线性代数性质公式整理教学文案
线性代数教案
线性代数教案一、引言线性代数是数学的重要分支，广泛应用于各个领域，如工程、物理、计算机科学等。
本教案旨在通过系统的学习和实践，帮助学生建立起对线性代数概念和技巧的正确理解和运用能力。
二、教学目标1. 掌握线性代数的基本概念，如矩阵、向量、线性方程组等；2. 熟悉线性代数的运算法则和性质；3. 学会运用线性代数解决实际问题；4. 提高学生的抽象思维和逻辑推理能力。
三、教学内容1. 向量空间1.1 向量的定义和表示1.2 向量的线性组合和线性相关性1.3 向量空间的性质和运算规律2. 矩阵2.1 矩阵的定义和表示2.2 矩阵的运算法则和性质2.3 矩阵的秩和逆矩阵3. 线性方程组3.1 线性方程组的基本概念和解的存在性3.2 线性方程组的解的唯一性和解的结构3.3 线性方程组的应用4. 特征值与特征向量4.1 特征值和特征向量的定义和性质4.2 对角化和相似矩阵4.3 特征值与特征向量的应用四、教学方法1. 讲授法：通过讲解线性代数的基本概念和原理，引导学生建立起知识体系。
2. 案例分析法：通过实际问题，让学生应用线性代数的方法进行求解，加深对理论知识的理解和应用能力。
3. 实际操作法：通过编写程序或使用数学软件，让学生进行实际计算和模拟，提高操作技能和实践能力。
4. 小组讨论法：组织学生进行小组讨论，促进合作学习和思维碰撞，培养团队合作精神和批判性思维。
五、教学评估1. 课堂测试：每个知识点结束后进行简单测试，检验学生对基本概念和运算法则的掌握程度。
2. 作业布置：每次课后布置作业，包括理论题和计算题，检验学生对理论知识和实际应用的理解和掌握情况。
3. 实验报告：要求学生完成线性代数实验，撰写实验报告，包括实验目的、方法、结果和讨论等，检验学生的实践操作能力和实验分析能力。
4. 期末考试：针对全面的课程内容进行期末考核，考察学生对线性代数的整体掌握情况。
六、教学资源1. 教材：推荐《线性代数》（第三版）李尚志著，清华大学出版社，作为教学参考书。
线性代数数学教案模板范文
一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解矩阵的初等变换的概念，掌握三种基本初等变换的操作方法。
（2）学会利用矩阵的初等变换求解线性方程组。
2. 过程与方法：（1）通过实例演示，引导学生理解矩阵初等变换的原理。
（2）通过小组合作，让学生在实践中掌握矩阵初等变换的操作技巧。
3. 情感态度与价值观：（1）激发学生对线性代数的兴趣，培养学生严谨的数学思维。
（2）培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
二、教学重难点1. 教学重点：（1）矩阵的初等变换的概念及三种基本初等变换的操作方法。
（2）利用矩阵的初等变换求解线性方程组。
2. 教学难点：（1）掌握矩阵初等变换的操作技巧。
（2）正确运用矩阵初等变换求解线性方程组。
三、教学方法1. 讲授法：系统讲解矩阵初等变换的概念、操作方法及求解线性方程组的步骤。
2. 案例分析法：通过具体实例，引导学生理解矩阵初等变换的原理。
3. 小组合作法：让学生在小组内讨论、实践，共同解决问题。
四、教学过程（一）导入1. 复习上节课内容，引导学生回顾矩阵的基本概念。
2. 提出问题：如何对矩阵进行操作，以便简化计算过程？（二）新课讲授1. 矩阵的初等变换的概念及三种基本初等变换的操作方法。
- 通过实例演示，让学生理解矩阵的初等变换。
- 讲解三种基本初等变换：交换两行（列）、倍加一行（列）到另一行（列）、某一行（列）乘以非零常数。
2. 利用矩阵的初等变换求解线性方程组。
- 通过实例讲解求解线性方程组的步骤。
- 强调行阶梯形矩阵和行最简形矩阵的求解方法。
（三）小组合作1. 分组讨论：如何利用矩阵的初等变换求解以下线性方程组？2x + 3y - z = 73x - 2y + 2z = 4-2x + 4y - 3z = 12. 各小组汇报讨论结果，教师点评并总结。
（四）巩固练习1. 完成课后习题，巩固所学知识。
2. 教师选取典型习题进行讲解，帮助学生解决疑惑。
（五）课堂小结1. 回顾本节课所学内容，强调矩阵的初等变换的概念、操作方法及求解线性方程组的方法。
线性代数各章要点整理
第一章行列式主要知识点一、行列式的定义和性质1.余子式和代数余子式的定义2.行列式按一行或一列展开的公式1）2）3.行列式的性质1）2）用数k乘行列式的某一行（列）所得新行列式＝原行列式的k倍. 推论3）互换行列式的任意两行（列）所得新行列式等于原行列式的相反数. 推论4）如果行列式中两行（列）对应元素成比例，则行列式值为0.5）行列式可以按任一行（列）拆开.6）行列式的某一行（列）的k倍加到另一行（列）上，所得新行列式与原行列式的值相等.二、行列式的计算1.二阶行列式和三角形行列式的计算.2.对一般数字行列式，利用行列式的性质将其降阶以化成二阶行列式或三角形（或对角形）行列式的计算.3.对行列式中有一行或一列中只有一个或两个非零元的情况，用这一行或一列展开.4.行列式中各行元素之和为一个常数的类型.5.范德蒙行列式的计算公式第二章矩阵主要知识点一、矩阵的概念1.要分清矩阵与行列式的区别2.几种特殊矩阵（0矩阵，单位阵，三角阵，对角阵，数量阵）二、矩阵的运算1.矩阵A , B的加、减、乘有意义的充分必要条件2.矩阵运算的性质比较矩阵运算（包括加、减、数乘、乘法等）的性质与数的运算性质的相同点和不同点（加法、乘法的交换律和结合律；乘法关于加法的分配律）重点是矩阵乘法没有交换律（由此产生了矩阵运算公式与数的运算的公式的不同点）.3.转置对称阵和反对称阵1）转置的性质2）若A T=A （A T= - A），则称A为对称（反对称）阵4.逆矩阵1）方阵A可逆（也称非异，非奇异，满秩）的充分必要条件是.当A可逆时，.2）方阵A的伴随阵的定义。
重要公式；与A -1的关系（当方阵A可逆时，）3）重要结论：若n阶方阵A,B满足AB=E，则A,B都可逆，且A-1=B ，B-1=A.4）逆矩阵的性质：; ; .5）消去律：设方阵A可逆，且AB=AC（BA=CA），则必有B=C。
（若不知A可逆，仅知A≠0结论不一定成立。
(完整版)线性代数教案(正式打印版)
2023
PART 06
二次型与正定矩阵
REPORTING
二次型概念及标准形
二次型定义
二次型是n个变量的二次多项式，其一般形式为$f(x_1, x_2, ..., x_n) = sum_{i=1}^{n}sum_{ j=1}^{n}a_{ij}x_ix_j$，其中$a_{ij}$为常数，且$a_{ij} = a_{ ji}$。
行列式中如果有两行（列）元素成比例， 若行列式的某一列（行）的元素都是两
则此行列式等于零。
数之和，例如第j列的元素都是两数之
和：a1j=b1+c1，a2j=b2+c2，....，
anj=bn+cn，则此行列式等于两个行
列式之和。
矩阵概念及运算
矩阵的定义
由m×n个数排成的m行n列的数表称为m行n列的矩阵，简称m×n矩阵。记作：A = (aij)m×n，这m×n 个数称为矩阵A的元素，简称为元，数aij位于矩阵A的第i行第j列，称为矩阵A的(i,j)元，以数aij为(i,j)元的 矩阵可记为(aij)或(aij)m × n，m×n矩阵A也记作Amn。
机器学习
在机器学习中，线性方程组常常 出现在最小二乘法和梯度下降法 等优化算法中，用于求解模型的
参数。
2023
PART 05
特征值与特征向量
REPORTING
特征值与特征向量定义及性质
定义：设A是n阶方阵， 如果存在数λ和非零n 维列向量x，使得 Ax=λx成立，则称λ是 A的特征值，x是A的 对应于特征值λ的特征 向量。
要作用。
向量空间与子空间
向量空间的定义 向量空间是一个集合，其中的元素称为向量，满足特定的 加法和数乘运算规则。向量空间必须包含零向量，且对加 法和数乘运算封闭。
《线性代数》教案
《线性代数》教案一、前言1. 教学目标：使学生理解线性代数的基本概念、理论和方法，培养学生运用线性代数解决实际问题的能力。
2. 适用对象：本教案适用于大学本科生线性代数课程的教学。
3. 教学方式：采用讲授、讨论、练习相结合的方式进行教学。
二、教学内容1. 第一章：线性代数基本概念1.1 向量及其运算1.2 线性方程组1.3 矩阵及其运算1.4 行列式2. 第二章：线性空间与线性变换2.1 线性空间2.2 线性变换2.3 矩阵与线性变换2.4 特征值与特征向量3. 第三章：特征值与特征向量3.1 特征值与特征向量的定义3.2 矩阵的特征值与特征向量3.3 矩阵的对角化3.4 二次型4. 第四章：线性方程组的求解方法4.1 高斯消元法4.2 克莱姆法则4.3 矩阵的逆4.4 最小二乘法5. 第五章：线性代数在实际应用中的案例分析5.1 线性规划5.2 最小二乘法在数据分析中的应用5.3 线性代数在工程中的应用5.4 线性代数在计算机科学中的应用三、教学方法1. 讲授：通过讲解线性代数的基本概念、理论和方法，使学生掌握线性代数的基础知识。
2. 讨论：组织学生就线性代数中的重点、难点问题进行讨论，提高学生的思维能力和解决问题的能力。
3. 练习：布置适量的练习题，让学生通过自主练习巩固所学知识，提高解题能力。
四、教学评价1. 平时成绩：考察学生的出勤、作业、课堂表现等方面，占总评的30%。
2. 期中考试：考察学生对线性代数知识的掌握程度，占总评的40%。
3. 期末考试：全面测试学生的线性代数知识水平和应用能力，占总评的30%。
五、教学资源1. 教材：推荐使用《线性代数》（高等教育出版社，同济大学数学系编）。
2. 辅助教材：可参考《线性代数教程》（清华大学出版社，谢乃明编著）。
3. 网络资源：推荐学生浏览线性代数相关网站、论坛，拓展知识面。
4. 软件工具：推荐使用MATLAB、Mathematica等数学软件，辅助学习线性代数。
《线性代数》教案
《线性代数》教案一、引言1. 课程目标：使学生理解线性代数的基本概念，掌握线性方程组的求解方法，了解矩阵和行列式的基本性质，培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。
2. 教学内容：本章主要介绍线性代数的基本概念、线性方程组的求解方法、矩阵和行列式的基本性质。
3. 教学方法：采用讲授法、案例分析法、讨论法等多种教学方法，引导学生主动探究、积极思考。
二、线性方程组1. 教学目标：使学生理解线性方程组的含义，掌握线性方程组的求解方法，能够运用线性方程组解决实际问题。
2. 教学内容：（1）线性方程组的概念及其解的含义；（2）线性方程组的求解方法（高斯消元法、矩阵法等）；（3）线性方程组在实际问题中的应用。
3. 教学方法：通过具体案例分析，引导学生理解线性方程组的概念，运用高斯消元法和矩阵法求解线性方程组，并讨论线性方程组在实际问题中的应用。
三、矩阵及其运算1. 教学目标：使学生理解矩阵的概念，掌握矩阵的运算方法，了解矩阵在数学和实际中的应用。
2. 教学内容：（1）矩阵的概念及其表示方法；（2）矩阵的运算（加法、数乘、乘法）；（3）矩阵的其他相关概念（逆矩阵、转置矩阵等）；（4）矩阵在数学和实际中的应用。
3. 教学方法：通过具体的例子，引导学生理解矩阵的概念，掌握矩阵的运算方法，探讨矩阵在其他相关概念中的应用，并了解矩阵在数学和实际中的重要作用。
四、行列式1. 教学目标：使学生理解行列式的概念，掌握行列式的计算方法，了解行列式在线性方程组求解中的应用。
2. 教学内容：（1）行列式的概念及其表示方法；（2）行列式的计算方法（按行（列）展开、性质的应用等）；（3）行列式在线性方程组求解中的应用。
3. 教学方法：通过具体的例子，引导学生理解行列式的概念，掌握行列式的计算方法，并了解行列式在线性方程组求解中的应用。
五、线性空间与线性变换1. 教学目标：使学生了解线性空间的概念，掌握线性变换的定义和性质，了解线性变换在数学和实际中的应用。
《线性代数》教案
《线性代数》教案一、前言1. 教学目标（1）理解线性代数的基本概念和原理；（2）掌握线性代数的基本运算方法和技巧；（3）能够应用线性代数解决实际问题。
2. 教学内容（1）线性方程组；（2）矩阵及其运算；（3）线性空间和线性变换；（4）特征值和特征向量；（5）二次型。
二、第一章：线性方程组1. 教学目标（1）理解线性方程组的定义和性质；（2）掌握线性方程组的求解方法；（3）能够应用线性方程组解决实际问题。
2. 教学内容（1）线性方程组的定义和性质；（2）线性方程组的求解方法：高斯消元法、克莱姆法则；（3）线性方程组的应用：线性规划、电路方程等。
三、第二章：矩阵及其运算1. 教学目标（1）理解矩阵的定义和性质；（2）掌握矩阵的运算方法；（3）能够应用矩阵解决实际问题。
2. 教学内容（1）矩阵的定义和性质；（2）矩阵的运算：加法、数乘、乘法；（3）矩阵的逆矩阵及其求法；（4）矩阵的应用：线性方程组、线性变换等。
四、第三章：线性空间和线性变换1. 教学目标（1）理解线性空间和线性变换的定义和性质；（2）掌握线性变换的表示方法；（3）能够应用线性变换解决实际问题。
2. 教学内容（1）线性空间的定义和性质；（2）线性变换的定义和性质；（3）线性变换的表示方法：矩阵表示、坐标表示；（4）线性变换的应用：图像处理、信号处理等。
五、第四章：特征值和特征向量1. 教学目标（1）理解特征值和特征向量的定义和性质；（2）掌握特征值和特征向量的求法；（3）能够应用特征值和特征向量解决实际问题。
2. 教学内容（1）特征值和特征向量的定义和性质；（2）特征值和特征向量的求法：幂法、矩阵对角化；（3）特征值和特征向量的应用：线性变换、振动系统等。
六、第五章：二次型1. 教学目标（1）理解二次型的定义和性质；（2）掌握二次型的标准形和规范形；（3）能够应用二次型解决实际问题。
2. 教学内容（1）二次型的定义和性质；（2）二次型的标准形和规范形：配方法、矩阵的对角化；（3）二次型的应用：最小二乘法、优化问题等。
线性代数性质定理公式全总结
概念、性质、定理、公式必须清楚，解法必须熟练，计算必须准确A可逆r(A) nA的列（行）向量线性无关的特征值全不为0AA 0 A x x Ax只有零解，nR, Ax总有唯一解TA A是正定矩阵A EA p p p p 是初等阵1 2 s i存在n阶矩阵B,使得AB E 或AB E○注：全体n维实向量构成的集合nR叫做n维向量空间.A不可逆r(A) n0 的列（行）向量线性相关AA0是的特征值A有非零解, 其基础解系即为关于0的特征向量AxAr (aE bA) n○注aE bA (aE bA) x 有非零解=- ab1向量组等价矩阵等价( )矩阵相似( )具有反身性、对称性、传递性矩阵合同( )√关于e e e ：1, 2, , n①称为n 的标准基，n 中的自然基，单位坐标向量p教材87 ；②e1,e2, ,e n 线性无关；③e1,e2, ,e n 1；④tr E=n ；⑤任意一个n维向量都可以用e1,e2 , ,e n 线性表示.a a a11 12 1n行列式的定义a a a21 22 2n ( j j j )1D ( ) a a an 1j 2 j nj1 2 n1 2 nj j j1 2 na a an1 n2 nn√行列式的计算：①行列式按行（列）展开定理：行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和.推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零.2②若A与B 都是方阵（不必同阶）, 则A O A A O=O B O B BO A A= ( 1)B O B OmnABA B（拉普拉斯展开式）③上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积.a O a1n1n④关于副对角线：a a2n 1 2n 1n(n1)( 1) 2 （即：所有取自不同行不同列的n个元素的乘积的代数和）a a a1n 2n n1a O a On1 n11 1 1x x x1 2 n⑤范德蒙德行列式： 2 2 2x x x1 2 nx xi j1 j i nn 1 n 1 n 1x x x1 2 na a a11 12 1n矩阵的定义由m n个数排成的m 行n列的表 A a a a21 22 2n 称为m n矩阵. 记作：A a 或A m nij m na a am1 m2 mnA A A11 21 n1伴随矩阵*A AijA A AT n12 22 2，A为 A 中各个元素的代数余子式.ijA A A1n 2n nn√逆矩阵的求法:3① A 1AA○注：1a b 1 d b 主换位c d ad bc c a 副变号②初等行变换1( A E) (E A )a11 1a1a11 1a3③ a21a2a21a2 a31a3a31a1√方阵的幂的性质：m n m n m n mnA A A (A ) (A)√设A m n ,B n s, A 的列向量为1, 2, , n , B 的列向量为1, 2 , , s ，b b b11 12 1s则AB C m sb b b21 22 2 s, , , c ,c , ,c1 2 n 1 2 sA c ，(i 1,2 , ,s)i ii 为Ax c i 的解b b bn1 n2nsA 1, 2 , s , A 1 A, 2 s , A , c1 s cc1,2,c2, ,, c c s 可由, 1, 2 , , n 线性表示. 即：C 的列向量能由A的列向量线性表示，B 为系数矩阵.同理：C 的行向量能由 B 的行向量线性表示，TA 为系数矩阵.a a a c11 12 1n 1 1 a a a c11 1 12 2 1n 2 1即：a a a c21 22 2n 2 2a a a c21 1 22 2 2n 2 2a a a cn1 n2 mn n ma a a cm1 1 m 2 2 mn 2 m√用对角矩阵○左乘一个矩阵, 相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的○行向量；4用对角矩阵○右乘一个矩阵, 相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的○列向量. √两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘.√分块矩阵的转置矩阵：T T T A B A CT T C D B D分块矩阵的逆矩阵：1 1A AB B 11 1A B1B A1 1 1 1A C A A CB1 1A O A OO B O B 1 1C B B CA B分块对角阵相乘：A B11 11A ,BA B22 22ABA B11 11A B22 22, nAnA11nA22分块对角阵的伴随矩阵：* *A BA*B AB*mnA ( 1) A BmnB ( 1) B A√矩阵方程的解法( A 0) ：设法化成(I) AX B 或(II) XA B初等行变换(I) 的解法：构造( A B) ( E X )T T T (II) 的解法：将等式两边转置化为 AX B ，T用(I) 的方法求出X ，再转置得X①零向量是任何向量的线性组合, 零向量与任何同维实向量正交.②单个零向量线性相关；单个非零向量线性无关.5③部分相关, 整体必相关；整体无关, 部分必无关. （向量个数变动）④原向量组无关, 接长向量组无关；接长向量组相关, 原向量组相关. （向量维数变动）⑤两个向量线性相关对应元素成比例；两两正交的非零向量组线性无关教材.p114⑥向量组1, 2, , n 中任一向量i (1≤i ≤n) 都是此向量组的线性组合.⑦向量组1, 2, , n 线性相关向量组中至少有一个向量可由其余n 1个向量线性表示.向量组1, 2 , , n 线性无关向量组中每一个向量i 都不能由其余n 1个向量线性表示.⑧m维列向量组1, 2 , , n 线性相关r(A) n；m 维列向量组1, 2 , , n 线性无关r (A) n .⑨若1, 2 , , n 线性无关，而1, 2, , n , 线性相关,则可由1, 2, , n 线性表示, 且表示法唯一.⑩矩阵的行向量组的秩列向量组的秩矩阵的秩. 行阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数.方全为0；每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素非零. 当非零行的第一个非零元为行阶梯形矩阵可画出一条阶梯线，线的下1，且这些非零元所在列的其他元素都是0时，称为行最简形矩阵? 矩阵的行初等变换不改变矩阵的秩, 且不改变列向量间的线性关系；矩阵的列初等变换不改变矩阵的秩, 且不改变行向量间的线性关系.即：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩.6√矩阵的初等变换和初等矩阵的关系：对A施行一次初等○行变换得到的矩阵,等于用相应的初等矩阵○左乘A；对A施行一次初等○列变换得到的矩阵,等于用相应的初等矩阵○右乘A .矩阵的秩如果矩阵 A 存在不为零的r 阶子式，且任意r 1阶子式均为零，则称矩阵A的秩为r . 记作r ( A) r向量组的秩向量组1, 2 , , n的极大无关组所含向量的个数，称为这个向量组的秩. 记作r( 1 , 2 , , n)矩阵等价A经过有限次初等变换化为 B . 记作： A B向量组等价1, 2, , n 和1, 2 , , n 可以相互线性表示.记作：1, 2, , n 1, 2, , n? 矩阵A与B 等价PAQ B ，P,Q 可逆r (A) r (B), A, B为同型矩阵A, B作为向量组等价, 即：秩相等的向量组不一定等价.矩阵A与B 作为向量组等价r( , , , n) r( , , , n) r ( 1, 2, n, 1 , 2 , , n )1 2 1 2矩阵A与B 等价.? 向量组1, 2, , s 可由向量组1, 2, , n 线性表示A X B 有解r ( 1, 2, , n )= r ( 1, 2, n, 1, 2 , , s ) r( 1, 2 , , s ) ≤r( 1, 2 , , n) . ? 向量组1, 2, , s 可由向量组1, 2, , n 线性表示,且s n，则1, 2 , , s 线性相关.向量组1, 2, , s 线性无关, 且可由1, 2, , n 线性表示,则s≤n .? 向量组1, 2, , s 可由向量组1, 2, , n 线性表示,且r ( 1 , 2, , s ) r( 1, 2 , , n ) , 则两向量组等价；p教材94,例10? 任一向量组和它的极大无关组等价. 向量组的任意两个极大无关组等价.7? 向量组的极大无关组不唯一，但极大无关组所含向量个数唯一确定.? 若两个线性无关的向量组等价, 则它们包含的向量个数相等.?设A是m n矩阵, 若r ( A) m，A的行向量线性无关；若r ( A) n ，A的列向量线性无关, 即：1, 2 , , n 线性无关. √矩阵的秩的性质：r A r A r A A p教材101,T T①若A O r (A) ≥ 1 若A O r( A) 0 0≤r( A) ≤min( m, n) ②( ) ( ) ( )m n 例15③r (kA) r (A) 若k 0④若A , B ,若r( A B) 0m n n s r( A) r (B) nB的列向量全部是Ax 的解⑤r ( AB) ≤min r ( A), r (B)⑥若A可逆r ( AB) r (B)若B可逆r AB r A( ) ( )即：可逆矩阵不影响矩阵的秩.Ax只有零解⑦若r (A m n) nr ( AB) r (B)A在矩阵乘法中有左消去律AB O B O AB AC B C；若r (B ) nn s r ( AB) r (B)B在矩阵乘法中有右消去律.8E O E Or r⑧( )若r A r A与唯一的等价，称为矩阵A的等价标准型.O O O O⑨r (A B) ≤r (A) r (B) max r ( A), r (B) ≤r(A,B) ≤r (A) r (B) p教材70A O O A⑩r r (A) r(B) O B B OA Cr r (A) r(B)O B当为方阵时AAx 有无穷多解 A 0n表示法不唯一, , , 线性相关0有非零解Ax 1 2 n可由, , , 线性表示Ax 有解r (A) r (A )1 2 n A当为方阵时Ax 有唯一组解 A 0 克莱姆法则n表示法唯一, , , 1 2线n性无关只有零解Axr (A) r (A )不可由, , , 线性表示Ax 无解r (A) r( A)1 2 n教材72r (A) 1 r ( A )讲义87Ax有无穷多解其导出组有非零解○注：Ax有唯一解其导出组只有零解式Ax 向量式x x x阵线性方程组的矩1 12 2 n n9a a a x b11 12 1n 1 11 ja a a x b21 22 2n 2 2A , x , j2 j, ,2, ,j 1 na a a x bm1 m 2 mn n mmjx1( , , , n)1 2 x 2 x nT T T T T T T 矩阵转置的性质：( A ) A ( AB) B A ( k A) kATT T TA A (A B) A B1 T T 1 T T(A ) (A ) ( A ) ( A )矩阵可逆的性质： 1 1( A ) A1 1 1( AB) B A1 1 1( k A) k A1A A1 1 1 1(A B) A B1 k k 1 k(A ) (A ) A伴随矩阵的性质：n 2( A ) A A ( AB) B A n 1( k A) k A A An 1 * * *(A B) A B1 1( ) ( ) AA A ( ) ( )k kA AAn r(A) n若r(A ) 1 r(A) n 1若AB A B nkA k AkkA A AB A B AA A A A E （无条件恒成立）0 r(A) n 1若10(1) , 是Ax 的解, 也是它的解1 2 1 2(2) 是Ax 的解,对任意k, k 也是它的解齐次方程组(3) , , , 是Ax 的解, 对任意k个常数1 2 k, , , , 也是它的解1 2 k 1 1 2 2 k k线性方程组解的性质：(4) , ,是Ax 的解是其导出组Ax 的解是Ax 的解(5) , Ax , Ax是的两个解是其导出组的解 12 1 2(6 ) Ax , Ax是的解则也是它的解是其导出组的解2 1 1 2(7) , , , Ax ,是的解则 1 2k也是的解Ax1 12 2 k k 1 2 k1是的解Ax 0 0 1 1 2 2 k k1 2 k√设A为m n矩阵, 若r (A) m r (A) r ( A ) Ax 一定有解，当m n 时, 一定不是唯一解方程个数未知数的个数向量维数向量个数, 则该向量组线性相关.m 是r ( A)和r (A ) 的上限.√判断1, 2, , s 是Ax 的基础解系的条件：①1, 2, , s 线性无关；②1, 2, , s 都是Ax 的解；③s n r (A) 每个解向量中自由未知量的个数.√一个齐次线性方程组的基础解系不唯一.√若是Ax 的一个解，1, , , s 是Ax 的一个解1, , , s , 线性无关√Ax 与Bx 同解（A,B 列向量个数相同）, 则：①它们的极大无关组相对应, 从而秩相等；②它们对应的部分组有一样的线性相关性；③它们有相同的内在线性关系.A.√两个齐次线性线性方程组Ax 与Bx 同解r r ( A) r (B)BA. √两个非齐次线性方程组Ax 与Bx 都有解，并且同解r r (A) r(B)B11√矩阵A与B l n 的行向量组等价齐次方程组Ax 与Bx 同解PA B （左乘可逆矩阵P ）；m n p教材101矩阵A m n 与B l n 的列向量组等价AQ B （右乘可逆矩阵Q ） .√关于公共解的三中处理办法：①把(I) 与(II) 联立起来求解；②通过(I) 与(II) 各自的通解，找出公共解；当(I) 与(II) 都是齐次线性方程组时，设1 , 2, 3 是(I) 的基础解系, 4, 5 是(II) 的基础解系，则(I) 与(II) 有公共解基础解系个数少的通解可由另一个方程组的基础解系线性表示.即：r ( , , ) r( , , c c )1 2 3 1 2 3 1 4 2 5当(I) 与(II) 都是非齐次线性方程组时，设1c1 1 c2 2 是(I) 的通解， 2 c3 3 是(II) 的通解，两方程组有公共解2c3 3 1 可由 1 , 2线性表示. 即：r( 1, 2) r ( 1, 2 2 c3 3 1)③设(I) 的通解已知，把该通解代入(II) 中，找出(I) 的通解中的任意常数所应满足(II) 的关系式而求出公共解。
《线性代数》教案
《线性代数》教案一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解线性代数的基本概念，如向量、矩阵、行列式等；（2）掌握线性方程组的求解方法，如高斯消元法、矩阵的逆等；（3）熟悉线性代数在实际问题中的应用。
2. 过程与方法：（1）通过实例讲解，培养学生的空间想象能力；（2）运用数学软件或工具，提高学生解决实际问题的能力；（3）引导学生运用线性代数的知识，分析、解决身边的数学问题。
3. 情感态度与价值观：（1）培养学生对数学的兴趣和好奇心；（2）感受数学在生活中的重要性，培养学生的应用意识；（3）引导学生树立正确的数学观念，克服对数学的恐惧心理。
二、教学内容1. 第一章：向量（1）向量的概念及几何表示；（2）向量的线性运算；（3）向量的数量积与向量垂直；（4）向量的坐标表示与运算。
2. 第二章：矩阵（1）矩阵的概念与运算；（2）矩阵的行列式；（3）矩阵的逆；（4）矩阵的应用。
3. 第三章：线性方程组（1）线性方程组的解法；（2）高斯消元法；（3）矩阵的逆与线性方程组的解；（4）线性方程组的应用。
4. 第四章：矩阵的特征值与特征向量（1）特征值与特征向量的概念；（2）矩阵的特征值与特征向量的求解；（3）矩阵的对角化；（4）矩阵的特征值与特征向量的应用。
5. 第五章：二次型（1）二次型的概念；（2）二次型的标准形；（3）二次型的判定；（4）二次型的应用。
三、教学方法1. 采用启发式教学，引导学生主动探索、思考；2. 结合实例讲解，培养学生的空间想象能力；3. 利用数学软件或工具，提高学生解决实际问题的能力；4. 组织课堂讨论，促进学生交流与合作；5. 注重练习与反馈，巩固所学知识。
四、教学评价1. 平时成绩：课堂表现、作业、小测验等；2. 期中考试：检测学生对线性代数知识的掌握程度；3. 期末考试：全面考察学生的线性代数知识、技能及应用能力。
五、教学资源1. 教材：《线性代数》；2. 辅助教材：《线性代数学习指导》；3. 数学软件：如MATLAB、Mathematica等；4. 网络资源：相关在线课程、教学视频、练习题等。
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线性代数知识点总结1 行列式（一）行列式概念和性质1、逆序数：所有的逆序的总数2、行列式定义：不同行不同列元素乘积代数和3、行列式性质：（用于化简行列式）（1）行列互换（转置），行列式的值不变（2）两行（列）互换，行列式变号（3）提公因式：行列式的某一行（列）的所有元素都乘以同一数k，等于用数k乘此行列式（4）拆列分配：行列式中如果某一行（列）的元素都是两组数之和，那么这个行列式就等于两个行列式之和。
（5）一行（列）乘k加到另一行（列），行列式的值不变。
（6）两行成比例，行列式的值为0。
（二）重要行列式4、上（下）三角（主对角线）行列式的值等于主对角线元素的乘积5、副对角线行列式的值等于副对角线元素的乘积乘6、Laplace展开式：（A是m阶矩阵，B是n阶矩阵），则7、n阶（n≥2）范德蒙德行列式数学归纳法证明★8、对角线的元素为a，其余元素为b的行列式的值：（三）按行（列）展开9、按行展开定理：（1）任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和等于行列式的值（2）行列式中某一行（列）各个元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积之和等于0（四）行列式公式10、行列式七大公式：（1）|kA|=k n|A|（2）|AB|=|A|·|B|（3）|A T|=|A|（4）|A-1|=|A|-1（5）|A*|=|A|n-1（6）若A的特征值λ1、λ2、……λn，则（7）若A与B相似，则|A|=|B|（五）克莱姆法则11、克莱姆法则：（1）非齐次线性方程组的系数行列式不为0，那么方程为唯一解（2）如果非齐次线性方程组无解或有两个不同解，则它的系数行列式必为0（3）若齐次线性方程组的系数行列式不为0，则齐次线性方程组只有0解；如果方程组有非零解，那么必有D=0。
2 矩阵（一）矩阵的运算1、矩阵乘法注意事项：（1）矩阵乘法要求前列后行一致；（2）矩阵乘法不满足交换律；（因式分解的公式对矩阵不适用，但若B=E,O,A-1，A*,f(A)时，可以用交换律）（3）AB=O不能推出A=O或B=O。
线性代数行列式的性质与计算PPT学习教案
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复习
1 1 2 3 1 3 3 7 9 5 求行列式D 2 0 4 2 1 的值。 3 5 7 14 6 4 4 10 10 2
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Байду номын сангаас
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解 D 3 3 7 9 5
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.证明
记 D det(aij ),
线性代数公式定理总结
线性代数公式定理总结线性代数是一门研究向量空间及其线性映射与线性变换的数学学科，涉及了许多重要的公式和定理。
本文将对线性代数中的关键公式和定理进行总结，以帮助读者更深入地理解线性代数的基本概念和原理。
一、向量的基本性质和运算公式1. 向量空间的定义：向量空间是一个基于域上的向量集合，在满足一定性质（如封闭性、加法交换律等）的条件下进行线性组合和标量乘法运算。
2. 向量的加法和数乘：对于向量a和b，有加法公式a+b=b+a和数乘公式c(a+b) = ca + cb。
3. 零向量的性质：对于任意向量a，有a + 0 = a，其中0为零向量。
4. 向量的负向量：对于向量a，存在一个向量-b使得a + (-b) = 0。
5. 向量的数量积：向量a和b的数量积（内积）表示为a·b =||a|| ||b|| cosθ，其中||a||和||b||分别为向量a和b的模长，θ为a和b之间的夹角。
6. 内积的性质：内积满足加法性、齐次性、对称性和正定性等性质，如对于向量a，b和c，有a·(b + c) = a·b + a·c。
二、线性方程组和矩阵运算公式1. 线性方程组的标准形式：线性方程组可以表示为AX = B的形式，其中A为系数矩阵，X为未知变量向量，B为常数向量。
2. 线性方程组的解的存在性和唯一性：线性方程组的解存在并且唯一当且仅当系数矩阵A的秩等于常数向量B的秩。
3. 矩阵的乘法和转置：对于矩阵A和B，有乘法公式AB ≠ BA，矩阵转置的性质(A^T)^T = A和(AB)^T = B^T A^T。
4. 逆矩阵的性质：对于方阵A，若存在逆矩阵A^{-1}使得AA^{-1} = A^{-1}A = I，其中I为单位矩阵，则称A为可逆矩阵。
5. 逆矩阵的求解：对于方阵A，若A可逆，则可以使用伴随矩阵求解逆矩阵A^{-1} = (1/ det(A)) adj(A)。
6. 矩阵的行列式和性质：矩阵的行列式表示为det(A)，满足交换行列式的值不变、对角矩阵的行列式等于对角线元素的乘积等性质。
线性代数性质公式整理
n 阶行列式的值等于它的任何一行(列)元素，与其对应的代数余子式乘积之和，即
|A|按 i 行展开的展开式
四、行列式的公式
|A|按 j 列展开的展开式
1.上(下)三角形行列式的值等于主对角线元素的乘积；
2.关于副对角线的 n 阶行列式的值
3.两个特殊的拉普拉斯展开式：如果 A 和 B 分别是 m 阶和 n 阶矩阵，则
，···， ，使得
七、矩阵的秩
1.求秩的主要方法：经过初等变换矩阵的秩不变；如果 A 可逆，则 2.矩阵的秩——设 A 是 m×n 矩阵，若 A 中存在 r 阶子式不等于 0，且所有 r+1 阶子式均为 0，
则称矩阵 A 的秩为 r，记成 r(A)，零矩阵的秩规定为 0。
3.矩阵的秩的性质——
矩阵 A 中非零子式的最高阶数是 r
组一定是线性无关的。
证明：证明线性无关通常的思路是：用定义法(同乘或拆项重组)，用秩(秩等于向量个数 则线性无关)，齐次方程组只有零解或反证法。 4.重要定理——
①n 维向量组
线性相关 齐次方程组
有非零解
②n 个 n 维向量
③ 个 n 维向量必线性相关。
④如果
线性相关，则
必线性相关。
⑤如果 n 维向量组
称为组合系数。 ，使得
则称向量 是向量
的线性组合，或者说向量 可由
线性表出。
②设有两个 n 维向量组(Ⅰ)
；(Ⅱ)
；如果(Ⅰ)中每个向量 都可由(Ⅱ)
中的向量
线性表出，则称向量组(Ⅰ)可由向量组(Ⅱ)线性表出。
如果(Ⅰ) 、(Ⅱ)这两个向量组可以互相线性表出，则称这两个向量组等价。
等价向量组具有传逆性、对称性、反身性。
线性代数数学教案模板范文
一、教学目标1. 知识与技能：（1）掌握行列式的定义及其基本性质；（2）能够运用行列式的性质进行行列式的运算；（3）了解行列式在解线性方程组中的应用。
2. 过程与方法：（1）通过实例引导学生理解行列式的概念；（2）通过小组合作，让学生探究行列式的性质；（3）通过实例分析，让学生掌握行列式的运算方法。
3. 情感态度与价值观：（1）培养学生对数学知识的探究精神；（2）激发学生学习线性代数的兴趣；（3）提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。
二、教学重难点1. 教学重点：行列式的定义、性质及运算方法。
2. 教学难点：行列式的性质及其在解线性方程组中的应用。
三、教学准备多媒体课件、黑板、粉笔。
四、教学过程（一）导入1. 复习线性方程组的概念及解法。
2. 引入行列式的概念，提出问题：如何用一种简单的方法来判断线性方程组的解的情况？（二）新课讲授1. 行列式的定义（1）展示行列式的定义，引导学生理解行列式的构成要素；（2）通过实例让学生直观感受行列式的计算方法。
2. 行列式的性质（1）展示行列式的性质，让学生通过小组合作探究这些性质；（2）引导学生归纳总结行列式的性质，并举例说明。
3. 行列式的运算（1）展示行列式的运算步骤，让学生跟随步骤进行计算；（2）通过实例让学生掌握行列式的运算方法。
（三）课堂练习1. 基本练习：运用行列式的性质进行行列式的运算；2. 应用练习：利用行列式求解线性方程组。
（四）课堂小结1. 回顾本节课所学内容，强调行列式的定义、性质及运算方法；2. 鼓励学生在课后复习巩固所学知识。
（五）作业布置1. 完成课后练习题，巩固所学知识；2. 预习下一节课的内容，为深入学习做好准备。
五、教学反思本节课通过实例引入行列式的概念，引导学生探究行列式的性质和运算方法。
在教学过程中，注重培养学生的探究精神和合作能力，激发学生学习线性代数的兴趣。
在课后，布置适量的作业，帮助学生巩固所学知识。
在教学过程中，要关注学生的学习反馈，及时调整教学策略，以提高教学效果。
线性代数行列式的概念和性质
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a12 a22
+
a11 1 11 det S11 a12 1 12 det S12
a11a22 a12a21
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1 3
例
设
A
2
4
3 7
a11 解 det A
an1
7 3 , 计算 det A 的值. 2
注 行列式的每个元素都分别对应一个余子式和一个代数余子
式.
根据该定义，可重新表达行列式的值
a11
det A
a1n def
n
1 k
a1k 1 det S1k
an1 ann
k 1
n
a1k A1k
k 1
其中 A1k 是元 a1k 对A 或 det A 的代数余子式.
相当于把行列式按第一行展开
cnk bn1
bnn
a1k
b11
, D2 det(bij )
akk
bn1
b1n ,
bnn
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内容总结
线性代数课件行列式的概念和性质。对 n = 2, 3,。项,每一项都是位于不同行,不同列的 三个元素的乘积, 其中三项为正, 三项为负.。个不同项的代数和，其中的每一项都是处于行 列式不同行又不同列的n 个元之乘积.。说明 行列式中行与列具有同等的地位,因此行列式的 性质凡是对行成立的对列也同样成立.。性质5 把行列式的某一列(行)元素的k倍加到另一列 (行)对应的元素上去，行列式的值不变．
AC
det U
det A det B
OB
线性代数性质定理公式全总结教学文案
精品文档概念、性质、定理、公式必须清楚，解法必须熟练，计算必须准确(),nT A r A n A A Ax x Ax A Ax A A A E οοοββ==⇔∀≠≠≠⇔∀∈=≅可逆 的列（行）向量线性无关 的特征值全不为0 只有零解 ，0总有唯一解 是正定矩阵 R 12,s iA p p p p nB AB E AB E⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪=⋅⋅⋅⎪==⎪⎩ 是初等阵存在阶矩阵使得 或 ○注：全体n 维实向量构成的集合nR 叫做n 维向量空间. ()A r A n A A A Ax A ολ<=⇔==不可逆0的列（行）向量线性相关 0是的特征值 有非零解,其基础解系即为关于0的⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩特征向量○注 ()()a b r aE bA n aE bA aE bA x οολ+<⎧⎪+=⇔+=⎨⎪⎩有非零解=-精品文档⎫⎪≅⎪−−−→⎬⎪⎪⎭:;具有向量组等价矩阵等价()反身性、对称性、传递性矩阵相似()矩阵合同() √ 关于12,,,n e e e ⋅⋅⋅：①称为n¡的标准基，n¡中的自然基，单位坐标向量87p 教材；②12,,,n e e e ⋅⋅⋅线性无关； ③12,,,1n e e e ⋅⋅⋅=； ④tr =E n ；⑤任意一个n 维向量都可以用12,,,n e e e ⋅⋅⋅线性表示.1212121112121222()1212()n n nn n j j j n j j nj j j j n n nna a a a a a D a a a a a a τ==-∑LL L L L M M M L1√ 行列式的计算：①行列式按行（列）展开定理：行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和. 推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零.精品文档②若A B 与都是方阵（不必同阶）,则==()mn A OA A O A BO BO BBO A AA B B O B O*==**=-1（拉普拉斯展开式）③上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积.④关于副对角线：(1)211212112111()n n nnn n n n n n n a Oa a a a a a a Oa O---*==-K NN 1 （即：所有取自不同行不同列的n 个元素的乘积的代数和）⑤范德蒙德行列式：()1222212111112n i j nj i nn n n nx x x x x x x x x x x ≤<≤---=-∏L L L M M M L111由m n ⨯个数排成的m 行n 列的表111212122212n n m m mn a a a a a a A a a a ⎛⎫⎪ ⎪=⎪⎪⎝⎭L L M M M L称为m n ⨯矩阵.记作：()ij m n A a ⨯=或mn A ⨯()1121112222*12n Tn ijn n nn A A A A A A A A A A A ⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪⎪⎝⎭L L M M M L，ij A 为A 中各个元素的代数余子式. √ 逆矩阵的求法:精品文档① 1A A A *-= ○注： 1a b d b c d c a ad bc --⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭1 L L 主换位副变号 ②1()()A E E A -−−−−→MM 初等行变换③1231111213a a a a a a -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3211111213a a a a a a -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭√ 方阵的幂的性质：m n m nA A A+= ()()m nmnA A =√ 设,,m n n s A B ⨯⨯A 的列向量为12,,,n ααα⋅⋅⋅,B 的列向量为12,,,s βββ⋅⋅⋅，则m sAB C ⨯=⇔()()1112121222121212,,,,,,s s n s n n ns b b b b b b c c c b b b ααα⎛⎫⎪ ⎪⋅⋅⋅= ⎪⎪⎝⎭L L L M M M L ⇔i iA c β= ，(,,)i s =L 1,2⇔iβ为iAx c =的解⇔()()()121212,,,,,,,,,s s s A A A A c c c ββββββ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=L ⇔12,,,s c c c L 可由12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示.即：C 的列向量能由A 的列向量线性表示，B 为系数矩阵.同理：C 的行向量能由B 的行向量线性表示，TA 为系数矩阵.即： 1112111212222212n n n n mn n m a a a c a a a c a a a c βββ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L M M M M M L ⇔11112212121122222211222n n m m mn ma a a c a a a c a a a c βββββββββ+++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩L L L L L L √ 用对角矩阵Λ○左乘一个矩阵,相当于用Λ的对角线上的各元素依次乘此矩阵的○行向量；精品文档用对角矩阵Λ○右乘一个矩阵,相当于用Λ的对角线上的各元素依次乘此矩阵的○列向量. √ 两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘.√ 分块矩阵的转置矩阵：TTT TT A B A C C D BD ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭分块矩阵的逆矩阵：111A A B B ---⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 111A B BA---⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1111A C A A CB O B OB ----⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 1111A O A OC B B CAB ----⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ 分块对角阵相乘：11112222,A B A B A B ⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⇒11112222A B AB A B ⎛⎫=⎪⎝⎭,1122nn n A A A ⎛⎫= ⎪⎝⎭分块对角阵的伴随矩阵：***A BA B AB ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ *(1)(1)mn mn A A B B B A **⎛⎫-⎛⎫= ⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭√ 矩阵方程的解法(0A ≠)：设法化成AX B XA B ==(I) 或 (II)A B E X −−−−→MM 初等行变换(I)的解法：构造()()T T T TA XB X X=(II)的解法：将等式两边转置化为， 用(I)的方法求出，再转置得① 零向量是任何向量的线性组合,零向量与任何同维实向量正交. ② 单个零向量线性相关；单个非零向量线性无关.精品文档③ 部分相关,整体必相关；整体无关,部分必无关. （向量个数变动）④ 原向量组无关,接长向量组无关；接长向量组相关,原向量组相关. （向量维数变动） ⑤ 两个向量线性相关⇔对应元素成比例；两两正交的非零向量组线性无关114p 教材. ⑥ 向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅中任一向量i α(1≤i ≤)n 都是此向量组的线性组合.⑦ 向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性相关⇔向量组中至少有一个向量可由其余n -1个向量线性表示. 向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性无关⇔向量组中每一个向量i α都不能由其余n -1个向量线性表示. ⑧ m 维列向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性相关()r A n ⇔<； m 维列向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性无关()r A n ⇔=.⑨ 若12,,,n ααα⋅⋅⋅线性无关，而12,,,,n αααβ⋅⋅⋅线性相关,则β可由12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示,且表示法唯一. ⑩ 矩阵的行向量组的秩=列向量组的秩=矩阵的秩. 行阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数.可画出一条阶梯线，线的下方全为0；每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素非零.当非零行的第一个非零元为1，且这些非零元所在列的其他元素都是0⑪ 矩阵的行初等变换不改变矩阵的秩,且不改变列向量间的线性关系； 矩阵的列初等变换不改变矩阵的秩,且不改变行向量间的线性关系. 即：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩.精品文档√ 矩阵的初等变换和初等矩阵的关系：对A 施行一次初等○行变换得到的矩阵,等于用相应的初等矩阵○左乘A ； 对A 施行一次初等○列变换得到的矩阵,等于用相应的初等矩阵○右乘A .如果矩阵A 存在不为零的r 阶子式，且任意r +1阶子式均为零，则称矩阵A 的秩为r .记作()r A r =向量组12,,,n αααL 的极大无关组所含向量的个数，称为这个向量组的秩.记作12(,,,)n r αααL A 经过有限次初等变换化为B . 记作：A B =%12,,,n ααα⋅⋅⋅和12,,,n βββ⋅⋅⋅可以相互线性表示. 记作：()()1212,,,,,,n n αααβββ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅%⑫ 矩阵A 与B 等价⇔PAQ B =，,P Q 可逆⇔()(),,,r A r B A B A B =≠>为同型矩阵作为向量组等价,即：秩相等的向量组不一定等价.矩阵A 与B 作为向量组等价⇔1212(,,,)(,,,)n n r r αααβββ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=1212(,,,,,,)n n r αααβββ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⇒ 矩阵A 与B 等价.⑬ 向量组12,,,s βββ⋅⋅⋅可由向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示⇔AX B =有解⇔12(,,,)=n r ααα⋅⋅⋅1212(,,,,,,)n s r αααβββ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⇒12(,,,)s r βββ⋅⋅⋅≤12(,,,)n r ααα⋅⋅⋅. ⑭ 向量组12,,,s βββ⋅⋅⋅可由向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示,且s n >，则12,,,s βββ⋅⋅⋅线性相关.向量组12,,,s βββ⋅⋅⋅线性无关,且可由12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示,则s ≤n .⑮ 向量组12,,,s βββ⋅⋅⋅可由向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示,且12(,,,)s r βββ⋅⋅⋅12(,,,)n r ααα=⋅⋅⋅,则两向量组等价；p 教材94,例10 ⑯ 任一向量组和它的极大无关组等价.向量组的任意两个极大无关组等价.精品文档⑰ 向量组的极大无关组不唯一，但极大无关组所含向量个数唯一确定. ⑱ 若两个线性无关的向量组等价,则它们包含的向量个数相等. ⑲ 设A 是m n ⨯矩阵,若()r A m =，A 的行向量线性无关；若()r A n =，A 的列向量线性无关,即：12,,,n ααα⋅⋅⋅线性无关. √ 矩阵的秩的性质：①()A O r A ≠⇔若≥1 ()0A O r A =⇔=若 0≤()m n r A ⨯≤min(,)m n ②()()()TTr A r A r A A == p 教材101,例15③()()r kA r A k =≠ 若0④()(),,()0m n n s r A r B n A B r AB B Ax ⨯⨯+≤⎧=⇒⎨=⎩若若0的列向量全部是的解⑤()r AB ≤{}min (),()r A r B⑥()()()()A r AB r B B r AB r A ⇒=⇒=若可逆若可逆 即：可逆矩阵不影响矩阵的秩.⑦若()()()m n Ax r AB r B r A n AB O B O A AB AC B C ο⨯⇔=⎧⎪=⎧⎪=⎨⎪⇒=⇒=⎧⎨⎪⎨⎪⎪=⇒=⎩⎩⎩ 只有零解在矩阵乘法中有左消去律；精品文档若()()()n s r AB r B r B n B ⨯=⎧=⇒⎨⎩在矩阵乘法中有右消去律.⑧()r rE O E O r A r A A OO OO ⎛⎫⎛⎫=⇒⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭若与唯一的等价，称为矩阵的等价标准型. ⑨()r A B ±≤()()r A r B + {}max (),()r A r B ≤(,)r A B ≤()()r A r B + p 教材70 ⑩()()A O O A r r A r B O B B O ⎛⎫⎛⎫==+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()()A C r r A r B O B ⎛⎫≠+ ⎪⎝⎭121212,,,0,,,()(),,,A n n A n Ax A n Ax Ax r A r A Ax A n βαααβαααβββααα⇔=−−−−−→=<⇔⇒⇔=⇔=⇔=⇔=−−−−−→≠⇒=⇔⇒L L M L 当为方阵时当为方阵时有无穷多解0表示法不唯一线性相关有非零解可由线性表示有解有唯一组解0克莱姆法则表示法唯一 线127()(),,,()()()1()n Ax r A r A Ax r A r A r A r A οββαααβββ⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⇔=⎪⎩⎧⇔≠⎪⇔=⇔<⎨⎪⇔+=⎩M L M M 教材72讲义8性无关只有零解不可由线性表示无解 ○注：Ax Ax ββ⇒=<≠⇒=<≠有无穷多解其导出组有非零解有唯一解其导出组只有零解精品文档Ax β=1122n n x x x αααβ+++=L1112111212222212,,n n m m mn n m a a a x b a a a x b A x a a a x b β⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L M M M M M L 12,,2,,j j j mj j n αααα⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭L M 11212(,,,)n n x x x αααβ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭L M线性方程组解的性质：1212121211221212(1),,(2),,(3),,,,,,,,(4),,(5),,(6k k k k Ax Ax k k Ax k Ax Ax Ax Ax Ax ηηοηηηοηηηηολλλληληληγβηογηβηηβηηο=+⎫⎪=⎪⎬=⎪⎪++⎭==+==-=L L 是的解也是它的解 是的解对任意也是它的解齐次方程组 是的解对任意个常数 也是它的解 是的解是其导出组的解是的解 是的两个解是其导出组的解211212112212112212),(7),,,,100k k k k k k k Ax Ax Ax Ax Ax ηβηηηοηηηβληληληβλλλληληληλλλ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪=⇔-=⎪=⎪⎪++=⇔++=⎪⎪++=⇔++=⎩L 是的解则也是它的解是其导出组的解 是的解则也是的解 是的解√ 设A 为m n ⨯矩阵,若()r A m =⇒()()r A r A β=M⇒Ax β=一定有解， 当m n <时,一定不是唯一解⇒<方程个数未知数的个数向量维数向量个数,则该向量组线性相关.m 是()()r A r A βM和的上限. √ 判断12,,,s ηηηL 是Ax ο=的基础解系的条件： ① 12,,,s ηηηL 线性无关； ② 12,,,s ηηηL 都是Ax ο=的解；③ ()s n r A =-=每个解向量中自由未知量的个数.√ 一个齐次线性方程组的基础解系不唯一.√ 若η*是Ax β=的一个解，1,,,s ξξξL 是Ax ο=的一个解⇒1,,,,s ξξξη*L 线性无关√ Ax ο=与Bx ο=同解（,A B 列向量个数相同）,则：① 它们的极大无关组相对应,从而秩相等； ② 它们对应的部分组有一样的线性相关性； ③ 它们有相同的内在线性关系.√ 两个齐次线性线性方程组Ax ο=与Bx ο=同解⇔()()A r r A r B B ⎛⎫==⎪⎝⎭.√ 两个非齐次线性方程组Ax β=与Bx γ=都有解，并且同解⇔()()A r r A r B B βγ⎛⎫==⎪⎝⎭MM. √ 矩阵m n A ⨯与l n B ⨯的行向量组等价⇔齐次方程组Ax ο=与Bx ο=同解⇔PA B =（左乘可逆矩阵P ）；101p 教材 矩阵m n A ⨯与l n B ⨯的列向量组等价⇔AQ B =（右乘可逆矩阵Q ）. √ 关于公共解的三中处理办法：① 把(I)与(II)联立起来求解；② 通过(I)与(II)各自的通解，找出公共解；当(I)与(II)都是齐次线性方程组时，设123,,ηηη是(I)的基础解系, 45,ηη是(II)的基础解系，则 (I)与(II)有公共解⇔基础解系个数少的通解可由另一个方程组的基础解系线性表示.即：1231231425(,,)(,,)r r c c ηηηηηηηη=+M当(I)与(II)都是非齐次线性方程组时，设11122c c ξηη++是(I)的通解，233c ξη+是(II)的通解，两方程组有公共解⇔2331c ξηξ+-可由12,ηη线性表示. 即：12122331(,)(,)r r c ηηηηξηξ=+-M③ 设(I)的通解已知，把该通解代入(II)中，找出(I)的通解中的任意常数所应满足(II)的关系式而求出公共解。
(完整版)线性代数教案(正式打印版)
第（1）次课授课时间（）基本内容备注第一节二、三阶行列式的定义一、二阶行列式的定义从二元方程组的解的公式,引出二阶行列式的概念。
设二元线性方程组⎩⎨⎧=+=+22222211212111bxaxabxaxa用消元法,当021122211≠-aaaa时,解得211222111212112211222112121221,aaaababaxaaaababax--=--=令2112221122211211aaaaaaaa-=,称为二阶行列式,则如果将D中第一列的元素11a,21a换成常数项1b,2b,则可得到另一个行列式,用字母1D表示,于是有2221211ababD=按二阶行列式的定义,它等于两项的代数和：212221abab-,这就是公式（2）中1x的表达式的分子。
同理将D中第二列的元素a 12,a 22换成常数项b1,b2 ,可得到另一个行列式,用字母2D表示,于是有2121112babaD=按二阶行列式的定义,它等于两项的代数和：121211baba-,这就是公式（2）中2x的表达式的分子。
于是二元方程组的解的公式又可写为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==DDxDDx2211其中0≠D例1.解线性方程组.1212232121⎪⎩⎪⎨⎧=+=-xxxx同样,在解三元一次方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa时,要用到“三阶行列式”,这里可采用如下的定义.二、三阶行列式的定义设三元线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa用消元法解得定义设有9个数排成3行3列的数表333231232221131211aaaaaaaaa记333231232221131211aaaaaaaaaD=322113312312332211aaaaaaaaa++=332112322311312213aaaaaaaaa---,称为三阶行列式,则三阶行列式所表示的6项的代数和,也用对角线法则来记忆：从左上角到右下角三个元素相乘取正号,从右上角到左下角三个元素取负号,即例2. 计算三阶行列式243122421----=D.(-14)例3. 求解方程094321112=xx（32==xx或）例4. 解线性方程组.5573422⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++-=++-zyxzyxzyx解先计算系数行列式573411112--=D069556371210≠-=----+-=第（ 2 ）次课授课时间（）第（ 3 ）次课授课时间（）基本内容备注第六节行列式按行（列）展开定义在n阶行列式中，把元素ija所处的第i行、第j列划去，剩下的元素按原排列构成的1-n阶行列式，称为ija的余子式，记为ijM；而ijjiijMA+-=)1(称为ij a的代数余子式.引理如果n阶行列式中的第i行除ija外其余元素均为零，即：nnnjnijnjaaaaaaaDΛΛMMMΛΛMMMΛΛ11111=.则：ijijAaD=.证先证简单情形：nnnnnaaaaaaaDΛMMMΛΛ212222111=再证一般情形：定理行列式等于它的任意一行（列）的各元素与对应的代数余子式乘积之和，即按行：()jiAaAaAajninjiji≠=+++02211Λ按列：()jiAaAaAanjnijiji≠=+++02211Λ证：（此定理称为行列式按行（列）展开定理）nnnniniinaaaaaaaaaDΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ2121112110+++++++++=nnnninnnnnninnnnninaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ211121121211211211112110+++=).,2,1(2211niAaAaAaininiiiiΛΛ=+++=例1：335111243152113------=D.解:例2:21122112----=OOOOnD解:21122112----=OOOOnD2112211121---=+++OOOOΛn rr1+=nDn.从而解得1+=nDn.例3．证明范德蒙行列式112112222121111---=nnnnnnnxxxxxxxxxDΛΛΛΛΛΛΛΛ()1i jn i jx x≥>≥=-∏.其中，记号“∏”表示全体同类因子的乘积.证用归纳法因为=-==1221211xxxxD()21i ji jx x≥>≥-∏所以，当2=n n=2时，（4）式成立.现设（4）式对1-n时成立，要证对n时也成立.为此，设法把n D降阶；从第n行开始，后行减去前行的1x倍，有()()()()()()21311221331122222133111111nn nnn n nn nx x x x x xx x x x x x x x xDx x x x x x x x x---------=---LLLL L L LL（按第一列展开，并提出因子1xxi-）第（ 4 ）次课授课时间（）第（5）次课授课时间（）基本内容备注第一节矩阵一、矩阵的定义称m行、n列的数表mnmmnnaaaaaaaaaΛΛΛΛΛΛΛ212222111211为nm⨯矩阵，或简称为矩阵；表示为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=mnmmnnaaaaaaaaaAΛΛΛΛΛΛΛ212222111211或简记为nmijaA⨯=)(,或)(ijaA=或n m A⨯；其中ij a表示A中第i行，第j列的元素。
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线性代数性质公式整的乘积的代数和，这里帘汀〜是1, 2,・n •的一个排列。
当• 是偶排列时，该项的前面带正号；当是奇排列时，该项的前面带负号，即|釦1 a l2V这里. 表示对所有n 阶排列求和。
式（1.1）称为n 阶行列式的完全展开式 2. 逆序与逆序数 ——一个排列中，如果一个大的数排列在小的数之前，就称这 两个数构成一个逆序。
一个排列的逆序总是称为这个排列的逆序数。
用 表示排列 '的逆序数。
3. 偶排列与奇排列一一如果一个排列的逆序数是偶数，则称这个排列为偶排 列，否则称为奇排列忖h4.2阶与3阶行列式的展开一|匚d =ad - hea21 a 22 也 3 对1 日32 ^33=^^22333 + ^12a 23^31 + a 13a 21a 32 _ a 13a 22a 31 ~ 312^21^33 _ a ll a 23 a 32、相关概念 1•行列式线性代数第一章行列式町131«a 22 … di«1!| •|i gi fdi f ■■1 P «a n i 鈿.2 a t]n是所有取自不同行不同列的 n 阶行列式n 个元素行，第j 列的元素，剩下的元素按原来的位置排法构成的一个n-1阶的行列式6.伴随矩阵一一由矩阵A 的行列式|A|所有的代数余子式所构成的形如、行列式的性质1. 经过转置行列式的值不变，即I ：l A l'k 行列式行的性质与列的性质是对等 的。
2. 两行互换位置，行列式的值变号。
特别地，两行相同 （或两行成比例），行列式 的值为0.3. 某行如有公因子k ,则可把k 提出行列式记号外。
4. 如果行列式某行（或列）是两个元素之和，则可把行列式拆成两个行列式之和:5.把某行的k 倍加到另一行，行列式的值不变:pi 岂为al旳b ］帕 b :t=b t + 斶b? + kaj b$ +1“巳5 1 c i“卬6.代数余子式的性质一一行列式任一行元素与另一行元素的代数余子式乘积5.余子式与代数余子式——在n 阶行列式日12…^22 … 屯】】4)-| *|| || *甲章■■1 p III釘2 …a t ］nan - 日］』1 1 … … … … a i - 14 …a i -1J- 1 邳Li 丰 a i + u …+ i,j -1 a i + 1.| +*** ***… 2［订 …^ll,j -1 a IIJ +1 （-1）2叫为％的代数余子式，记为 «1 - Ln+ Im Aij 称为呦的余子式，记为，即A 产（-1严叫ii ；称A 】】A12A21 …A 22 ...A (2)A lllv,称为A 的伴随矩阵，记作… 中划去所在的第i之和为0 三、行列式展开公式n阶行列式的值等于它的任何一行（列）元素，与其对应的代数余子式乘积之和, 即|A| =日Mi】+ a^Aiz +…+引|崗产E；冷Sik |A按i行展开的展开式l A l =叭佝十也i幅+…十a nj A tii = 严沁kjAki|A|按j列展开的展开式四、行列式的公式1. 上（下）三角形行列式的值等于主对角线元素的乘积；Ill'll - 1}2. 关于副对角线的n阶行列式的值|A| = （_ “r-3］屁］i ］…如3. 两个特殊的拉普拉斯展开式：如果A和B分别是m阶和n阶矩阵，则|S B|=|?B|=IAHB|A= (-l)mn|A|||B|申1 1 (1)Xl x tl2Xn=rr v ： v ： v …(x； - Xi)y4.范德蒙行列式十* 4- ■■* * 4- 1 j i■1MH皿一1-.Tl —1.rll —1X 1X 2 …x tb5. 抽象n阶方阵行列式公式（矩阵）若A、B都是n阶矩阵，A'是A的伴随矩阵，若A可逆，入忑=⑴…血是A的特征值：' _『丨；J I；|AB|=|A||B|；& _卜「；■ ' - - /：1：，I A J=缶；|A| = 11卜］入j；若A-B|，则|A| = |0|，且特征值相同。
AA" = A4A= |A|E一般情况下："土B|工風土画五、行列式的计算1. 数字型行列式将行列式化为上下三角，再按行或列展开；化简技巧：①将每列（行）都加到同一列（行），或者将每列（行）ki倍都加到同一列（行）。
②逐行（或逐列）相加③利用范德蒙公式或特殊的拉普拉斯展开式数学归纳法--- ①验证n=1时命题正确；假设n=k时命题正确；证明n=k+1时，命题正确。
②验证n=1和n=2时命题都正确，假设n<k命题正确，证明n=k，命题正确。
③对于n阶的三对角行列式，通常可用数学归纳法。
2. 抽象型行列式一一通常与矩阵一起考，利用行列式的性质（倍加、提公因数k、拆项）等来恒等变形；也可能利用矩阵的运算、公式、法则、特征值、相似。
☆利用单位矩阵f 1\ X恒等变形来计算|A+B|形式的行列式。
3. 行列式|A|是否为0的判定若A=［「］是n阶矩阵，那么行列式|A|=0 I矩阵A不可逆I 秩r（A）<n--------- 一--------------------------------0是矩阵A的特征值A的列（行）向量线性相关。
因此，判断行列式是否为0,常用：①秩；②齐次方程组是否有非零解；③ 看特征值是否为0;④反证法；⑤若|A|=k|A|，且k 工1时也能得出|A|=0 4. 代数余子式求和① 按定义直接计算求和；② 用行列式的按行或列展开的公式。
由于 鈿的值与知的值没有关系，故可以 构造一个新的行列式|B|,通过求新行列式的代数余子式间接求出原行列式的代 数余子式。
P205例20③ 利用行列式任一行元素与另一行元素的代数余子式乘积之和为0的性 质 ④ 根据伴随矩阵A '的定义，通过求A -再来求和。
第二章矩阵、矩阵的概念及运算个mXn 矩阵，当m=n 时，矩阵A 称为n 阶矩阵或n 阶方阵。
如果一个矩阵所 有元素都是0,则称为零矩阵，记作 0。
两个矩阵人=⑻仏一，B = 曲t ，如果m=s , n=t ，则称A 与B 是同型矩 阵两个同型矩阵如果对应的元素都相等，则称矩阵 A 与B 相等，记作A=B 矩阵A 是一个表格，而行列式|A|是一个数。
二、矩阵的运算1. （加法）设A 、B 是同型矩阵，则'''■■ _ ■■■■■ 屯::亠"：工小_卫二亠打i 乂，2. (数乘)"A 一 kbijlm x II _ 出日丄】x it矩阵m Xn 个数排成如下m 行n 列的一个表格'a ll …5]辺1a 22 …p li ■%13爲称为是3. (乘法)若A 为m xs 矩阵，B 为sxn 矩阵，则A 、B 可乘，且乘积AB 是一个 mXn 矩阵。
记成匸小^ijlm x 11，其中砌=冋训kj = a ii b ij + 如切 + •” + a is b HI4. 转置 将矩阵A 的行列互换得到矩阵A 的转置矩阵、 三、矩阵的运算规则 ABC 为同型矩阵，则 1. 加法——|A + B = B +A ； (A + B) + C = A + (13 + C )： A + O = A ； A i ( - A) = O2. 数乘 --- 二丁八 •- -|(k ■+ m)A kA + mA ； k(A+ B) = kA + kB ； 1A = A ； 0A=d3. 乘法ABC 满足可乘条件(AD)C = A(BC)； A(B + C) - ,\B + AC ； (B + C)A = BA +注意一般情况下AR 註BAAB = O 不能推出A = O 或R = 0 AB = B 且B 芒0,不能推出A = E对角矩阵的逆矩阵 4.转置一一(A + B)7 = A T + 田；(3j 「=kA 1； (AB)T = B ，r；(A‘『j 「= A5. ------------------ 伴随矩阵A ，= |A|A ] ； AA • = A * 八=|A|E ；’ I -；(AT )11(⑷、曾 H ； 叶| = |A|八； (A )= |A|n -2A(门王2)对角矩阵i.16. 方阵的幕一一- 1注意(AB〕k = (AB)(AB)…(AB)工A k B k(A + B)k = A2+ AB + BA+ r + 2AB + B2(A + B)(A - B) = A2- AB + BA - B27. 特殊方阵的幕(求用')――①若秩r(A) = l,则A可以分解为两个矩阵的乘枳，言A? = IA，从而A11 = I11】A例如P218②特殊的二项式展开I[B Ol n a 0'③分块矩阵[o c]=0 c hb④特征值、特征向量、相似⑤简单试乘后如有规律可循，再用归纳法。
四、特殊矩阵设A是n阶矩阵：①单位阵：主对角元素为1,其余元素为0,记成②数量阵：数k与单位矩阵E的积kE称为数量矩阵。
③对角阵：非对角元素都是0的矩阵称为对角阵，记成|A* A-diag[a Lt*，巧I④上(下)三角阵：当i >/0</)时，有％= °的矩阵称为上(下)三角阵。
⑤对称阵：满足厂=八，即|片空⑥反对称阵：满足A「=-A，即呦=-呷，即"的对称阵称为反对称阵。
⑦正交阵：汽〉丁和矩阵称为正交阵，即“⑧初等矩阵：单位矩阵经过一次初等变换所得到的矩阵。
⑨伴随矩阵：见(一.1.6) ■- = :■■■■ 1五、可逆矩阵1. 主要定理：若A可逆则A的逆矩阵唯一且|A|不为0。
行列式不为0则矩阵可逆。
2. 概念——设A是n阶方阵如果存在n阶矩阵B使得I ：. 成立，则称A 是可逆矩阵或非奇异矩阵，B是A的逆矩阵，记成A"1 = B3. 可逆的充要条件一一①存在n阶矩阵B使得AB=E②胡「广，或秩r(A)=n，或A的列(行)向量线性无关③齐次方程组Ax=0只有零解④矩阵A的特征值不全为04. 逆矩阵的运算性质一一若则(kA)-1-^-1若A，B 可逆，则(AB)l = A 〔；特别地(A<) —〔AV 若川可逆，则(A T)_1 = (A A ; (A〔I —A；= £注意，即使A,B,A+B都可逆，一般地(A + I幼G A 1+ B 15. 求逆矩阵的方法一一①若A'I■■■..■-②初等变换⑷E)空早(E|A J③用定义求B,使得AB=E或BA=E，则A可逆且A 1= B④分块矩阵，设B,C都可逆，则[B 0〕1[B-10 1[0 B1-1■ o0 C[0 C-1]； C 0R-10六、初等变换、初等矩阵1. 主要结论：用初等矩阵P左乘A，所得PA矩阵就是矩阵A做了一次和矩阵P同样的行变换；若是右乘就是相应的列变换2. 初等变换——设A 是m x n 矩阵，（倍乘）用某个非零常数k （kr 0）乘A 的某行 （列）的每个元素，（互换）互换A 的某两行（列），（倍加）将A 的某行例）元素的k 倍加到另一行（列）。