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八年级数学代数式的求值复习题

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初中数学整式的加减代数式的求值合并同类项练习题(附答案)

初中数学整式的加减代数式的求值合并同类项练习题(附答案)

初中数学整式的加减代数式的求值合并同类项练习题一. 单选题1•下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A.2•若x = 0是一元二次方程F+7T二+沪-9 = 0的一个根，则b的值是（）A.9 B・一3 C. ±3D・ 33•如图，在△ABC中，仙=4, AC = 3, BAC = 30。

，将△ABC绕点按逆时针旋转60。

得到连接BC“则的长为（）A. 3 B・4 C・5 D・64.平移抛物线y = -（A-l）（A + 3）,下列哪种平移方法不能使平移后的抛物线经过原点（）A.向左平移1个单位B.向上平移3个单位C.向右平移3个单位D.向下平移3个单位5.若关于x的一元二次方程（7H +1）X2+2A-1= 0有实数根，则加的取值范围是（）A. m＞—2B. 一2C. m＞—2且mh—1D.加》一2 且〃？h —16.二次函数y = ax2 + bx + c（a 0）的图象如图所示，其对称轴为直线x = -1，与x轴的交点为（几0）、（兀,0）,其中0＜丙＜1,有下列结论：①“处＞0；②一3＜勺＜-2；③电一” + cv-l；④当加为任意实数时,a-b va加2+/?/”◎若点（-0.5,y x）9（-2.y2）均在抛物线上，则牙＞y2；@）“＞ 1 •其中J匸确结3◎ B (it) C ◎7•计算一2/+/的结果为（）A. -3aB. 一a8.下列计算正确的是（） A. 5a + 2l} = lab9•已知一个多项式与3x 2 +9x 的和等于5X 2+4X -1 ＞则这个多项式是( A. 8疋 + 13/-1 C. 8X 2-5X +110•下列计算正确的是（） A. 5a 2b-3ab 2=2ab B ・ 2a 1- a 2=aC. 4.v*"2.v~—2D. — 2.x ）—5x =— 3x 11. 下列运算正确的是（）A. 3m 2 -2m 2 =1B. 5/zz 4 -2nr = 3mC. 7；/2/?-//?7?2=0 D. 3m-2m = tn 12. 下面计算正确的是（） A. 3x 2— x ，= 3 B. 3cr +2/ =5/ C. 3+x = 3xD. -0.25i/Z? +—ba = 0 13•下列运算中，正确的是() A. 3a + 2b = Sab B 2ci 3+ 3a 2= 5a 5C. —4crb + 3ba 2= —a 2b D . 5/ —4/ = 114. 某天数学课上老师讲了整式的加减运算，小颖回到家后拿岀自己的课堂笔记，认頁•地复习老师 在课堂上所讲的内容，她突然发现一道题目：(2a 2+3ab-b 2)-(~3a 2+ ah + 5h 2) =5a 2-6b 2,空格的地方被墨水弄脏了，请问空格中的一项是() A.+2db B ・+3d" C.+4ab D.-ab15. 如果 A = 3m 2-m + tB = 2m 2-m-l f 且 A-B+C = 0,则C=() A.-nr -8B.-nr 一2m-6C.nr +8D.5nr 一2m — 6二. 解答题16. (1)解方程:(x-2)(x+3) = 6：(2) 已知抛物线y = x 2+bx + c 经过A(-1.0).B(3.0)两点，求该抛物线的顶点坐标.1 求证：CE=BD ；C. _3/—2・「+ 5x +1 2宀5尤一1B. 5 ci —3/ =2a17•已知关于兀的一元二次方程F_(2k + l)x + 4—3 = 0.(1) 求证：无论k 取何值，该方程总有两个不相等的实数根：(2) 若△ABC 的斜边c = E 且两宜角边"和b 恰好是这个方程的两个根，求k 的值. 18•请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图(保留画图痕迹).(1) 如图1,抛物线1与兀轴交于4 B 两点，与y 轴交于点C, CDUx 轴交抛物线于点D, 作出抛物线的对称轴EF:(2) 如图2,抛物线厶，4交于点P 且关于直线M/V 对称，两抛物线分别交x 轴于点A, B 和点C, D,作出直线MN.19.如图，在△4BC 中，AC=AB,把△ABC 绕点A 顺时针旋转得到△4DE (点B 、C 分别对应点D 、 E) , BD 和CE 交于点F ・(1) 求出抛物线的解析式;02（2）点P为x轴上一点，当的周长最小时，求岀点P的坐标・21 •在平而直角坐标系中，WC的位置如图所示：（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方（2）将ZkABC绕着点逆时针旋转90°,画出旋转后得到的（3）请利用格点图，仅用无刻度的宜尺画出AC边上的高3D （保留作图痕迹）；（4）P为轴上一点，且△/%（?是以BC为直角边的直角三角形.请直接写出点P的坐标.22.某服装店销售一批衬衣，每件进价250元，开始以每件400元的价格销售，每星期能卖岀20 件，后来因库存积压，决左降价销售，经过两次降价后每件售价为324元，每星期能卖出172件.（1）已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率：（2）喜欢研究数学的店长在降价的过程中发现，适当的降价可增加销售又可增加收入，且每件衬衣售价每降低1元，销售疑会增加2件，若店长想要每星期获利11000元，为了让顾客得到更大的实惠，应把售价左为多少元？23.若二次函数y=kx2 + （3k + 2）兀 + 2R + 2 .（1）求证：抛物线与x轴有交点.（2）经研究发现，无论k为何值，抛物线经过某些特左的点，请求岀这些泄点.（3）若x=2x + 2,在-2<x<-l范围内，请比较片y的大小.24.某数学兴趣小组在探究函数y = .F-21知+3的图象和性质时，经历了以下探究过程：3m = , n = （2）描点并在图中画出函数的大致图象：3 根据函数图象，完成以下问题：①观察函数y = x2-21x1+3的图象，以下说法正确的有__________ （填写正确的序号）A.对称轴是直线x = l：B.函数y = 21x1+3的图象有两个最低点，其坐标分别是（-1,2）、（1.2）；C.当-1＜円时，y随A-的增大而增大：D.当函数〉，=工-21尤1+3的图象向下平移3个单位时，图象与兀轴有三个公共点；E.函数,y = （x-2）2-2lx-2l+3的图象，可以看作是函数y = F _2lxl+3的图象向右平移2个单位得到.②结合图象探究发现，当加满足 __________ 时，方程X2-2I X I+3=/K有四个解.③设函数y = F-21x1+3的图象与并对称轴相交于P点，当直线y = “和函数y = F_2lxl+3图象只有两个交点时，且这两个交点与点P所构成的三角形是等腰直角三角形，则n的值为25.（1）如图①，在等边三角形ABQ内，点到顶点，，的距离分別是3, 4, 5,则ZAPB=__________ ,由于朋，PB，PC不在同一三角形中，为了解决本题，我们可以将ZMBP绕点逆时针旋转60°到/MCP处，连接PP,此时，,就可以利用全等的知识，进而将三条线段的长度转化到一个三角形中，从而求岀ZVIBP的度数：（2）请你利用第（1）题的解答方法解答：如图②，ZVIBC中，ZG4B = 90°, AB = AC,.为上的点，且 ZmE = 45。

八年级数学代数式求值

八年级数学代数式求值

（一）整体代入法例1. 已知，则分式的值是多少？x x x x x =+----12229241522分析：由条件变形得，再两边平方得，将x x x x =+-=-=122122272分式，于是将整体代入即可求出其值。

x x xx x x xx x x 2222229241529221527----=-----=()()解：由变形得：x =+122 x -=122两边平方得：x x 227-=∴×x x x x x x x x 22222924152922157927152----=----=--=()()（二）变形代入法 例2. 如果，，那么等于多少？a bb cc a+=+=+11212分析：可由，得出，再由得出，再代入a ba b bb cc b+==-+==-1112121c a+2即可。

解：依题意知a ≠0且b ≠1 又由得a b a b b+==-111∴221a b b =-由得2121c b c b =-=- ∴c a bb b +=-+-22121=---=--=--=21212212112b bb b bb b()（三）参数法例3. 若，≠，则代数式43602700522310222222x y z x y z xyz x y zx y z--=+-=+---()的值等于多少？分析：可将z 看作参数，把4x －3y －6z ＝0和x ＋2y －7z ＝0转化成y ＝2z ，x ＝3z 代入所求代数式即可求出其值。

解：由4360270x y z x y z --=+-=⎧⎨⎩可得x zy z==⎧⎨⎩32将其代入代数式得： 原式××××=+---=-592429341013222222z z zz z z（四）特殊值法例4. 若，则的值是多少？()314432x ax bx cx dx e a b c d e +=++++-+-+ 分析：此题可采用特殊法解，可令x ＝－1，即可求出代数式的值。

初中数学竞赛代数专题讲义之代数式求值含例题习题及详解

初中数学竞赛代数专题讲义之代数式求值含例题习题及详解

代数式求值由数与字母经有限次代数运算（加、减、乘、除、乘方、开方）所组成的表达式叫做代数式。

已知一个代数式，把式中的字母用给定数值代替后，运算所得结果叫做在字母取给定数值时代数式的值。

一、专题知识1.基本公式（1）立方和公式：2233()()a b a ab b a b +-+=+（2）立方差公式：2233()()a b a ab b a b-++=-（3）完全立方和：33223()33a b a a b ab b +=+++（4）完全立方差：33223()33a b a a b ab b -=-+-2.基本结论（1）33322()33a b a b a b ab +=+--（2）33322()33a b a b a b ab -=-+-（3）22()()4a b a b ab-=+-二、经典例题例题1已知y z x z x yx y z+++==求代数式y z x +的值。

【解】（1）0x y z ++≠，由等比性质得2()2x y z y zx y z x+++==++；（2）0x y z ++=，则y z x +=-，所以1y zx+=-。

例题2已知234100x y +-=，求代数式y x x y xy y x x 65034203152223--++++的值。

【解】32221532043506x x y xy y x x y++++--322222215205034103410105(3410)(3410)(3410)1010x xy x x y y y x y x x y y x y x y =+-++-++-+=+-++-++-+=例题3实数,,a b c满足条件：231224a b ab -=+=-，求代数式2a b c ++的值。

【解】22222442318224a b a ab b ab c ab ⎧-=⇒-+=⎪⎨+=-⇒+=-⎪⎩两式相加得，()2220a b ++=只有2=0a b +且0c =，所以20a b c ++=。

初中数学代数式求值综合测试卷(含答案)

初中数学代数式求值综合测试卷(含答案)

初中数学代数式求值综合测试卷
一、单选题(共7道，每道10分)
1.化简的结果为( )
A. B.
C.9m-2
D.-9m-2
答案：D
试题难度：三颗星知识点：整式的加减
2.若关于x的多项式的值与x无关,则m2-2m2-2(2m-4)+4m的值为( )
A.-28
B.28
C.-32
D.44
答案：A
试题难度：三颗星知识点：整式的加减;化简求值
3.已知a-b=1,则代数式2a-2b-3的值是()
A.-1
B.1
C.-5
D.5
答案：A
试题难度：三颗星知识点：整体代入
4.已知代数式的值是8,那么代数式的值为()
A.1
B.2
C.3
D.4
答案：B
试题难度：三颗星知识点：整体代入
5.当x=2时,代数式ax3+bx+1的值为6,那么当x=-2时这个式子的值为()
A.-4
B.1
C.5
D.6
答案：A
试题难度：三颗星知识点：整体代入
6.一个三位数,中间的数字为a,个位上的数字比十位上的数字大2,百位上的数字比个位上的数字小3,用代数式表示这个三位数为()
A.3a+1
B.111a-98
C.111a+199
D.111a-298
答案：B
试题难度：三颗星知识点：数位表示
7.若a表示一个两位数,b也表示一个两位数,要把b放在a的右边,那么所组成的四位数应表示为()
A.100a+b
B.100a+10b
C.100b+a
D.1000b+10a
答案：A
试题难度：三颗星知识点：数位表示。

代数式求值经典题型1-(含详细答案)

代数式求值经典题型1-(含详细答案)

.
第
已知 x-y=2
10
题
求代数式 x3-6xy-y3
.
. .
.
解
x3-6xy-y3
=2（x-y）² . 把 x-y=2 代入上式 .
=（ x3 - y3）-6xy
=2（2）²
第
=（x-y）（x2+xy+y2）-6xy
=2×4
10
题
. 把 x-y=2 代入上式 .
=8
=2（x2+xy+y2）-6xy
第 6
1
4
=10×（x² + x²）------（1）
题
【第 2 步】
已知 x² -2x -2=0，两边同时除以 x，得
2 x -2 - x =0 把-2 移到等号右边，得
.
2 x - x =2，两边同时平方，得
4 x² - 4 + x² =4，把-4 移到等号右边，
4 x² + x² = 8--------（2）
. 把-6xy 移到括号里 .
=2（x2+xy+y2-3xy） =2（x2-2xy+y2）
答案： 8
.
.
第
11
已知 3x²-x-1 =0，
题
求代数式 6x3+7x²-5x-2018
.
. .
.
思考
已知 3x²-x-1 =0 故 3x²-x=1 ，
=2x+9x2-5x-2018 =9x2-3x-2018
7y² x=2x+5y 两边同时乘以 2x+5
第
13
2x²+5xy=7y²，把 7y²移到等号左边，

初中数学代数式化简求值练习题(含答案)

初中数学代数式化简求值练习题(含答案)

初中数学代数式化简求值练习题（含答案）1、已知x=1，求代数式x²+x（x-2）+（x+1）（x-1）的值。

2、已知x= -2，求代数式3（x-1）²+4x（x+2）-10的值。

3、先化简，再求值：2（x-3）（x+2）-（3+x）（3-x）-3（x-1）2，其中x=－2。

4、先化简再求值∶（2x³-2y²）-3（x³y²+x³）+2（y²+y²x³），其中x=-1，y=2。

5、先化简，再求值：(3x²y－2xy²)－2(xy²－2x²y)，其中x＝2，y＝－1。

6、先化简，再求值：5y（2x²y+3xy²）-3x（4xy²+3x²y），其中x＝1，y＝－1。

7、先化简，再求值：(3x²y-xy²)-2(xy²-3x²y)，其中x=-2，y=3。

8、先化简，再求值：(3x²y－2xy²)－2(xy²－2x²y)，其中x＝2，y＝－1。

9、若x²＋2y²＝5，求多项式(3x²－2xy＋y²)－(x²－2xy－3y²)的值。

10、先化简，再求值：5x²＋4－3x²－5x－2x²－5＋6x，其中x＝－3。

11、先化简，再求值：2(x＋x²y)－2/3(3x²y＋3/2x)－y²，其中x＝1，y＝－3。

12、先化简，再求值：（4x²y-3xy）+（-5x²y+2xy）-（2yx²-1），其中x=2，y=1/2。

13、先化简，再求值：2x²y－[2xy²－2(－x²y＋4xy²)]，其中x＝1/2，y＝－2。

中考数学专题测试卷：代数式的化简及求值

中考数学专题测试卷：代数式的化简及求值

2021年江西省中考数学专题测试卷：代数式的化简及求值一、选择题1．下列运算正确的是( )A．(2a2)3＝6a6B．－a2b2·3ab3＝－3a2b5C．ba b-＋ab a-＝－1 D．21aa-·11a+＝－12．计算：2225631x x xx x x-+-÷-+，其结果是( )A．(1)2x xx--B．(2)1x xx--C．2(1)xx x--D．1(2)xx x--3．当x＝2时，多项式ax5＋bx3＋cx－10的值为7，则当x＝－2时，这个多项式的值是() A．－3B．－27C．－7D．74．当a＝14，b＝198时，式子6a2－2ab－2(3a2－12ab)的值是()A．－17B．17C．－7 D．75．若x2＋4x－4＝0，则3(x－2)2－6(x－1)(x＋1)的值为( ) A．－6 B．6 C．18 D．306．若a＋b＋c＝0，则111111()()()a b cb c c a a b+++++的值等于( )A．0 B．1 C．－1 D．－37．已知多项式ax＋3与bx2－6x＋9的乘积中不含x2与x的项，则a、b的值为( ) A．a＝2，b＝0 B．a＝1，b＝1 C．a＝0，b＝0 D．a＝2，b＝4二、填空题8．若(2a＋3b)2＝(2a－3b)2＋A，则A＝______．9．计算：(m－2n＋3)(m＋2n－3)＝________．10．化简：(23aa-＋93a-)÷3aa+＝______．11．已知x2＋x－5＝0，则代数式(x－1)2－x(x－3)＋(x＋2)(x－2)的值为______．12．若1(21)(21)n n-+＝2121a bn n+-+，对任意自然数n都成立，则a＝______，b＝______；计算：m＝113⨯＋135⨯＋157⨯＋…＋11921⨯＝______．三、解答题13．已知x，y满足方程组52,25 1.x yx y-=-⎧⎨+=-⎩①②求代数式(x－y)2－(x＋2y)(x－2y)的值．14．先化简，再求值：(x ＋y )(x －y )－(4x 3y －8xy 3)÷2xy ，其中x ＝－1，y ．15．先化简，再求值：(a ＋1－451a a --)÷(11a -－22a a-)，其中a ＝－1．16．先化简(22221x x x +-－2221x x x x --+)÷1x x +，然后解答下列问题： (1)当x ＝3时，求原代数式的值；(2)原代数式的值能等于－1吗？为什么？参考答案1．C2．B3．B[解析]依题意，得25a＋23b＋2c－10＝7．即25a＋23b＋2c＝17．当x＝－2时，原式＝－25a－23b－2c－10＝－(25a＋23b＋2c)－10＝－17－10＝－27．故选B．4．A[解析]原式＝6a2－2ab－6a2＋ab＝－ab．当a＝14，b＝198时，原式＝－14×198＝－17．故选A．5．B[解析]原式＝3(x2－4x＋4)－6(x2－1)＝3x2－12x＋12－6x2＋6 ＝－3x2－12x＋18＝－3(x2＋4x)＋18．∵x2＋4x－4＝0，∴x2＋4x＝4．原式＝－3×4＋18＝6．故选B．6．D [解析]原式＝a cb+＋a bc+＋b ca+＝bb-＋cc-＋aa-＝－37．D [解析](ax＋3)(bx2－6x＋9)＝abx3－6ax2＋9ax＋3bx2－18x＋27＝abx3－(6a－3b)x2＋(9a－18)x＋27．依题意可得630,9180.a ba-=⎧⎨-=⎩解得2,4.ab=⎧⎨=⎩8．24ab9．m2－4n2＋12n－910．a[解析]原式＝(23aa-－93a-)÷3aa+＝293aa--÷3aa+＝(a＋3)·3aa+＝a．11．2[解析]原式＝x2－2x＋1－x2＋3x＋x2－4＝x2＋x－3．因为x2＋x－5＝0，所以x2＋x＝5．所以原式＝5－3＝2．12．12，－12；1021[解析]∵1(21)(21)n n-+＝2121a bn n+-+＝(21)(21)(21)(21)a nb nn n++--+＝2()()(21)(21)a b n a bn n++--+，∴对任意自然数n，等式2(a＋b)n＋a－b＝1都成立．∴0,1.a ba b+=⎧⎨-=⎩解得a＝12，b＝－12．∴m＝12(1－13＋13－15＋…＋119－121)＝12(1－121)＝1021．13．解：原式＝x2－2xy＋y2－x2＋4y2＝－2xy＋5y2．①＋②得：3x＝－3，即x＝－1．把x＝－1代入①，求得y＝15．所以原式＝－2×(－1)×15＋5×(15)2＝25＋15＝35．14．解：原式＝x2－y2－2x2＋4y2＝－x2＋3y2．当x＝－1，y时，原式＝－1＋1＝0．15．解：原式＝21(45)1a a a ----÷2(1)a a a --＝2(2)1a a --·(1)2a a a --＝a 2－2a ． 当a ＝－1时，原式＝(－1)2－2×(－1)＝3．16．解：(1)原式＝[2(1)(1)(1)x x x x +-+－2(1)(1)x x x --]•1x x + ＝(21xx -－1xx -)•1x x + ＝1x x -•1x x +＝11x x +-．当x ＝3时，原式＝3131+-＝2；(2)如果11x x +-＝－1，那么x ＋1＝－x ＋1．解得x ＝0．当x ＝0时，除式1xx +＝0，原式无意义．故原代数式的值不能等于－1．。

初中数学代数式求值精选练习题及答案

初中数学代数式求值精选练习题及答案

初中数学代数式求值精选练习题及答案1、已知3a-b+2c=7,5a+4b-3c=6，求代数式a+11b-12c的值；2、已知2m6+ m4= 3，求m的值；3、已知x2 −3x−27=0，求代数式1（x+4）2+（x+4）2的值；4、已知x，y，z为正数，且xy=28，yz=48，xz=84，求代数式x+2y+3z值；5、已知a= 2b−3，求代数式6ab+3a（2-3b）+3a+7的值；6、已知m a=2，m a+b=14，求代数式√m a + m b的值；7、已知x，y，z为整数，若x+y+z=3，x2+ y2+z2=5，求代数式x3+y3+ z3-10的值；8、已知m2-n2=12，（m+n）2= 16，求代数式8mn+9的值；9、已知x=√2+√3，求代数式x2−2√3x-4的值；10、已知m +n =-5，求代数式m2- 10n- n2的值。

参考答案1、已知3a-b+2c=7,5a+4b-3c=6，求代数式a+11b-12c的值；解：已知3a-b+2c=7将上式变换一下，得b=3a+2c-7---------------①将①代入5a+4b-3c=6，得5a+4（3a+2c-7）-3c =6整理，得17a+5c=34---------------②代数式a+11b-12c将①代入=a+11（3a+2c-7）-12c=34a+10c-77=2（17a+5c）-77将②代入=2×34-77=-92、已知2m6+ m4= 3，求m的值；解：2m6+ m4= 32（m2）3+ （m2）2= 3令m2=t，原式则为2t3 + t2 =32t3 + t2 -3 =02t3 + t2 -2-1 =0（2t3 - 2）+（t2 -1）=02（t3 -1）+（t2 -1）=02（t-1）（t2 +t+1）+（t+1）（t-1）=0 （t-1）〔2（t2 +t+1）+（t+1）〕=0（t-1）（2t2 +3t+3）=0因为2t2 +3t+3 =2（t+34）2+ 158>0所以2t2 +3t+3≠0故：只有t-1=0即t=1又m2=t所以m2=1，得m=±1故：m的值为±13、已知x2 −3x−27=0，求代数式1（x+4）2+（x+4）2解：x2 −3x−27=0x2 −3x−27−1= -1x2 −3x−28= -1（x+4）（x-7）= -1等号两边同时除以（x+4），得X -7= −1x+4等号两边同时乘以-1，得7-x = 1x+4-----------------①代数式1（x+4）2+（x+4）2=（1x+4）2+2×1x+4×（x+4）+（x+4）2-2=〔1x+4+（x+4）〕2-2将①带入，用7-x替换1x+4=〔（7−x）+（x+4）〕2-2 =（11）2-2=1094、已知x，y，z为正数，且xy=28，yz=48，xz=84，求代数式x+2y+3z值；解：xy=28-------------------①yz=48-------------------②xz=84-------------------③三个等式相乘，得（xyz）2= 28*48*84=（4*7）*（4*12）*（7*12）（xyz）2=（4∗7∗12）2因为x，y，z为正数所以xyz =4∗7∗12 -----④④÷①，得：z=12④÷②，得：x=7④÷③，得：y=4代数式x+2y+3z将x=7，y=4，z=12代入=7+2*4+3*12=515、已知a= 2b−3，求代数式6ab+3a（2-3b）+3a+7的值；解：a= 2b−3等式两边同时乘以b-3，得ab-3a=2上式变换一下，得ab=3a+2--------------①代数式6ab+3a（2-3b）+3a+7=6ab+6a-9ab+3a+7=-3ab+9a+7将①代入=-3（3a+2）+9a+7=-9a-6+9a+7=16、已知m a=2，m a+b=14，求代数式√m a + m b的值；解：m a+b=14m a×m b=14已知m a=2--------------①即：2 ×m b=14m b= 7-------------②代数式√m a + m b将①②代入=√2+7=37、已知x，y，z为整数，若x+y+z=3，x2+ y2+z2=5，求代数式x3+y3+ z3-10的值；解：因为x，y，z为整数且x2+ y2+z2=5若其中一个数为±3，它的平方为9，显然大于5所以：x，y，z只能取±2，±1, 0 -------------------①（A）设x= -2，因为x+y+z=3，所以y+z=5，这时y或z必定有一个取±3或±4或±5，不符合①，所以舍去；（B）设x= 2因为x+y+z=3，所以y+z=1即：y=1-z--------------------------②又x2+ y2+z2=5，所以y2+z2=1-------③将②代入③（1−z）2+z2=12z2-2z=0解得：z=0，或z=1对应的y=1或0整理得：{x=2y=0x=1或{x=2y=1z=0求代数式（x3+y3+ z3）-10=（23+03+ 13）-10=-1（C）设x= -1因为x+y+z=3，所以y+z=4，因为x，y，z只能取±2，±1, 0所以，这时只能是：y=z=2整理得：{x=−1 y=2 x=2求代数式（x3+y3+ z3）-10=（−13+23+ 23）-10=5（D）设x= 1因为x+y+z=3，所以y+z=2，即y=2- z又x2+ y2+z2=5，所以y2+z2=4将y=2- z代入（2−z）2+z2=4化简，得2z2-4z=0解得：z=0，或z=2对应y=2或y=0整理得：{x=1y=0x=2或{x=1y=2z=0求代数式（x3+y3+ z3）-10=（13+23+ 03）-10= -1（E）设x= 0因为x+y+z=3，所以y+z=3，即y=3- z又x2+ y2+z2=5，所以y2+z2=5将y=3- z代入（3−z）2+z2=5化简，得2z2-6z+4=0，即z2-3z+2=0即（z-2）（z-1）=0解得：z=2或z=1对应：y=1或y=2整理得：{x=0y=2x=1或{x=0y=1z=2求代数式（x3+y3+ z3）-10=（03+23+ 13）-10= -18、已知m2-n2=12，（m+n）2= 16，求代数式8mn+9的值；解：m2-n2=12（m +n）（m -n）=12两边同时平方，得（m + n）2（m−n）2=144将（m+n）2= 16代入16*（m−n）2=144（m−n）2=9等号左边展开：m2-2mn + n2=9------------①又（m+n）2= 16等号左边展开：m2+2mn + n2=16-----------②②-①，得4mn=7代数式8mn+9=2*4mn+9=2*7+9=239、已知x=√2+√3，求代数式x2−2√3x-4的值；解：x=√2+√3x= √2−√3（√2+√3）（√2−√3）= √2−√32−3=√2−√3−1=√3-√2--------------①x2 = （√3 − √2）2 =3+2-2√6=5-2√6---------------------②代数式x2−2√3x−4将①②代入=（5-2√6）-2√3（√3-√2）+4=5-2√6-6+2√6+4=310、已知m +n =-5，求代数式m2- 10n- n2的值。

初中数学《代数式求值》练习及答案

初中数学《代数式求值》练习及答案

初中《代数式求值》精选练习题及答案根据已知，求代数式的值：，求代数式（x+1）（x-1）的值；1、已知：x=3+2、已知2+1=x，求代数式1001-1000的值；3、已知m=349+356+364，求代数式m-12的值；4、已知2=21+2-1，求代数式2024+−2024的值；5、已知t≠0，且1-t=1，求代数式3+22+3003的值；6、已知92+30x+23=0，求代数式（3x+4）2+1（3x+4）2的值；7、已知2-13m=n，2-13n=m，求代数式2+2+1的值；8、已知2t+2=3，求代数式6-24的值；9、已知32+5m-11=0，求代数式（4m+7）（2m-5）+m（m+21）+3的值；10、已知x+3=2，求代数式42-〔6x-（5x-8）-2〕+3x-〔5x-2（2x-1）〕的值。

参考答案1、已知：x=3+，求代数式（x+1）（x-1）的值；解：已知x=3+=3+那么2=2=163----------①代数式（x+1）（x-1）=2-1将①代入=163-1=1332、已知2+1=x，求代数式1001-1000的值；解：已知2+1=x变换一下，得2-x=-1----------①再变换，得2=x-1------------②又3=2·x将②代入3=（x-1）·x=2-x将①代入故：3=-1------------③代数式1001-1000=999+2-999+1=999·2-999·x=999（2-x）将①代入=999·（-1）=-999=-（3）333将③代入=-（−1）333=-（-1）=13、已知m =349+356+364，求代数式m -12的值；解：m =349+356+364m=（37）2+3738+（38）2-------------------①将①等号两边同时取分母为1，得1等号右边分子分母同时乘以3837，得11=）3（33837=8−738−37=138−37等号两边同时取倒数1=38-37故：12=（37）2-23738+（38）2-----------②由①-②，得m -12=33738=337·2=6374、已知2=21+2-1，求代数式2024+−2024的值；解：已知2=21+2-1变换一下，得2+1=21+2等号两边同时平方，得4+22+1=2（1+2）4+22+1=2+22化简，得4=1代数式2024+−2024=4×506+4×（−506）=（a4）506+（a4）−506将4=1代入=1506+1−506=1+1=25、已知t≠0，且1-t=1，求代数式3+22+3003的值；解：已知t≠01-t=1等号两边同时乘以t，得1-2=t变换一下，得2=1-t---------------------①代数式3+22+3003=2·t+22+3003将①待入=（1-t）·t+2（1-t）+3003=t-2+2-2t+3003再将①待入=t-（1-t）+2-2t+3003=t-1+t+2-2t+3003=（t+t-2t）+（-1+2+3003）=30046、已知92+30x+23=0，求代数式（3x+4）2+1（3x+4）2的值；解：设3x+4=t则x=13（t-4）---------------①已知92+30x+23=0将①代入9−4）2+30×13（t−4）+23=0（t−4）2+10（t-4）+23=02-8t+16+10t-40+23=02+2t-1=0等号两边同时除以t，得t+2-1=0变化一下，得1-t=2等号两边同时平方，得12-2+2=4整理，得12+2=6因为3x+4=t故：（3x+4）2+1（3x+4）2=67、已知2-13m=n，2-13n=m，求代数式2+2+1的值；解：2-13m=n，2-13n=m则变换一下，得2=13m+n----------------①2=m+13n----------------②①-②，得2-2=12（m-n）（m+n）（m-n）=12（m-n）（m+n）（m-n）-12（m-n）=0（m-n）〔（m+n）-12〕=0则有：m-n=0，或（m+n）-12=0即：m=n或m+n=12（1）当m=n时已知2=13m+n2=13m+m=14m解得m=0，或m=14第一种情况：m=n=0代数式2+2+1将m=n=0代入=1=1第二种情况：m=n=14代数式2+2+1将m=n=0代入=142+142+1=393（2）当m+n=12时①+②，得2+2=14（m+n）=14×12代数式2+2+1=14×12+1=（13+1）（13−1）+1=132−1+1=138、已知2t+2=3，求代数式6-24的值；解：2t+2=3t=3−22所以：2=5−264----------------①①两边同时平方，得4=49−20616------------------------②代数式6-24=4（2-2）将①，②代入=49−206（-2）=−3×49+（−206）×（−26）+（606−986）64=93−386649、已知32+5m-11=0，求代数式（4m+7）（2m-5）+m（m+21）+3的值；解：32+5m-11=0变换一下，得32+5m=11------------①代数式（4m+7）（2m-5）+m（m+21）+3=82-20m+14m-35+2+21m+3=92+15m-32=3（32+5m）-32将①代入=3×11-32=110、已知x+3=2，求代数式42-〔6x-（5x-8）-2〕+3x-〔5x-2（2x-1）〕的值。

初中数学代数式求值经典练习题及答案

初中数学代数式求值经典练习题及答案

初中数学代数式求值经典练习题及答案根据已知，求下列代数式的值。

，求代数式x3的值；1、已知已知x＞0，且x2=10+2√214的值；2、已知x2 +4x2= 5 ，xy=1，求代数式xx3、已知2x+1·3x= 24，2x·3x+1= 54，求代数式√（x+y）xx的值；4、已知x2= x+1，x2= y+1，且x≠y，求求代数式√x5+x5+5的值；= 4 ，求代数式x7−14x5+x3的值；5、已知x + 1x的的值；6、已知x2= √234x +1 ，求代数式x2 + 1x27、已知（x+y）3-2（x+y）2-3xy（x+y） +3xy +2（x+y） -1= 0，求代数式x+y的值；8、已知13x·9x= 4 ，求代数式1x+ 1x的值；9、已知（x2+2x）（x+y）=60，且x2 +3x+y=19，求代数式 x-y 的值；10、已知x2+2x+4=0，求代数式x4 +1的值。

参考答案1、已知已知x＞0，且x2=10+2√214，求代数式x3的值。

解：x2=10+2√214x2=7 +2√21+34x2=（√7）2+ 2√21+ （√3）222x2=（√7 + √32）2因为x＞0，所以 x = √7 + √32x3=x2·x= 10+2√214·√7 + √32x3= 10√7 + 10√3 + 14√3 + 6√78x3= 16√7 + 24√38x3= 2√7 +3√3故代数式x3的值是：2√7 +3√3。

2、已知x2 +4x2= 5 ，xy=1，求代数式xx的值。

解：x2 +4x2= 5可将5写为：5×1，所以上式为x2 +4x2= 5 ×1又xy=1，将式中的1用xy代替，则有x2 +4x2= 5xyx2-5xy+ 4x2=0等式两边同时除以x2，得（xy ）2-5·xx+ 4 =0（xx -4）（xx-1）=0当xx -4=0 时，xx= 4当xx -1=0 时，xx= 1故代数式x3的值是：4或1。

代数式化简求值-初中数学常见的模型方法专题

代数式化简求值-初中数学常见的模型方法专题

代数式化简求值方法一：先化简，再代入例1：1. 化简求值：()2222252342ab a b ab ab a b --+-，其中3a =-，12b =． 【答案】24ab ，3-．【解析】【分析】原式去括号合并得到最简结果，把a 与b 的值代入计算即可求出值．【详解】解：()2222252342ab a b ab ab a b --+- 2222252342ab a b ab ab a b =-+-+24ab =，当3a =-，12b =时， 原式()214332⎛⎫=⨯-⨯=- ⎪⎝⎭． 【点睛】本题考查了整式的加减-化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 变：1－12. 先化简，再求值：()()23223232324xy y x y x y y xy y +---++-，其中2x =，3y =-．【答案】xy 2+y 3，9．【解析】【分析】原式去括号合并得到最简结果，把x 与y 的值代入计算即可求出值．【详解】解：2(xy 2+3y 3−x 2y )−(−2x 2y +y 3+xy 2)−4y 3=2xy 2+6y 3-2x 2y +2x 2y -y 3-xy 2-4y 3=xy 2+y 3，当x =2，y =-3时，原式=()()2322339⨯⨯-+-=．【点睛】本题考查了整式的加减-化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 变式1－2 3. 先化简，再求值：()22222333a ab a ab ⎛⎫+-+- ⎪⎝⎭，其中6a =-，23b =. 【答案】232a ab ++,26【解析】【分析】先对整式去括号、合并同类项，再将6a =-，23b =代入求值即可． 【详解】解：()222222223346332323a ab a ab a ab a ab a ab ⎛⎫+-+-=+--+=++ ⎪⎝⎭， 当6a =-，23b =时， 原式()()22636236122263=-+⨯-⨯+=-+= 【点睛】本题考查整式化简求值，解题关键是熟练运用整式的运算法则. 变式1－34. 先化简，再求值：221122y x y x y x xy y ⎛⎫-÷ ⎪-+-+⎝⎭，其中x ，y =1﹣．【答案】x y x y-+ 【解析】【分析】先将括号里的通分得()()()()x y x y x y x y +---+，再将2222y x xy y -+分母用完全平方式转化，再将除法转化成乘法，进行化简，化简之后将x ，y 的值代入求解即可.【详解】解：原式=()()()()()2·2x y x y x y x y x y y+----+=()()·2x y x y x y x y y -+-++=x y x y -+ ；当x ，y =1时，原式（ . 方法二：赋值求值法赋值求值法是指代数式中的字母的取值由答题者自己确定，然后求出所提供的代数式的值的一种方法．这是一种开放型题目，答案不唯一，在赋值时，要注意取值范围． 例25. 请将式子211111x x x -⎛⎫⨯+ ⎪-+⎝⎭化简后，再从0，1，2三个数中选择一个你喜欢且使原式有意义的x 的值代入求值．【答案】2x +；当0x =时，原式值为2或当2x =时，原式值为4【解析】【分析】先计算括号内的分式的加法运算，再计算乘法运算，结合分式有意义的条件确定x 的值，再代入计算即可. 【详解】解：原式(1)(1)11111x x x x x x +-+⎛⎫=⋅+ ⎪-++⎝⎭ 2(1)21x x x x +=+⋅=++． 依题意，只要1x ≠就行，当0x =时，原式=22x +=或当2x =时，原式=24x ．【点睛】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算是解题的关键. 变式2－16. 先化简，2211(1)x x x-+÷，然后请你自选一个理想的x 值求出原式的值 【答案】x x 1-，x=2时，原式=2. 【解析】【分析】本题可先把分式化简，再将x 的值代入求解；为了使原分式有意义，x 取1，-1和0以外的任何数． 【详解】原式=()2x 1x x (x 1)x 1+⨯+- =x x 1- x=2时，原式=2.【点睛】本题需注意的是：化简后代入的数不能使分母的值为0，变式2－27. 先化简，再求值：2221169x x x x x -⎛⎫-⋅ ⎪--+⎝⎭，其中x 是从1，2，3中选取的一个合适的数． 【答案】3x x -；-2 【解析】【分析】先计算括号内的异分母分式减法，再计算乘法，最后将可选取的x 值代入计算即可． 【详解】解：原式23(1)1(3)3x x x x x x x --=⋅=---， 当x 2=时，原式2223==--． 【点睛】此题考查分式的化简求值，正确掌握分式的混合运算法则及确定字母的可取数值是解题的关键．方法三：先变形，再整体代入从整体上认识问题和思考问题是一种重要的思想方法，在数学学习中有很广泛的应用，整体思想主要是将所考察的对象作对一个整体来对待，而这个整体是各要素按一定的思路组合成的有机统一体．不求字母的值，将所求代数式变形成与已知条件有关的式子． ①变换条件后，整体代入求值例318. 已知2410x x -=+，求43228481x x x x +--+的值．【答案】 1.-【解析】【分析】由2410x x -=+可得232214,4,41,x x x x x x x =-=-+=再利用整体代入的方法把原式降到是二次多项式，再整体代入求值即可. 【详解】解： 2410x x -=+，232214,4,41,x x x x x x x ∴=-=-+=∴ 43228481x x x x +--+()()22221484481x x x x x =-+---+ 22221632832481x x x x x x =-++---+24163x x =--+()2443x x =-++43 1.=-+=-【点睛】本题考查的是利用整体思想求解代数式的值，掌握降次的思想方法是解题的关键.变式3－1－19. 已知212a a -+=，则222a a a a+--的值为________． 【答案】1【解析】 【分析】由已知可知21a a -=，则21a a -=-，代入即可求值．【详解】解：212a a -+=，21a a ∴-=，则21a a -=-，2222111a a a a ∴+-=-=-． 故答案为1．【点睛】本题考查了求代数式的值，关键是由已知条件求出21a a -=和21a a -=-，考查了整体代入的思想．变式3－1－2 10. 116a b +=，求312a ab b a ab b-+++的值． 【答案】16【解析】【分析】结合题意，根据分式加法的性质，得6a b ab +=；再根据分式性质计算，即可得到答案． 【详解】∵116a b+= ∴6a b ab+= ∴6a b ab += ∴312a ab b a ab b -+++3=12a b ab a b ab +-++63=612ab ab ab ab -+318ab ab = 16=． 【点睛】本题考查了分式、代数式的知识，解题的关键是熟练掌握分式、代数式的性质，从而完成求解．②变换结论后，整体代入求值例3.211. 如果1m n +=，那么代数式()22221m n m n m mn m +⎛⎫+⋅- ⎪-⎝⎭的值为（ ）A. -3B. -1C. 1D. 3【答案】D【解析】 【分析】原式化简后，约分得到最简结果，把已知等式代入计算即可求出值．【详解】解：原式=()22221m n m n m mn m +⎛⎫+⋅- ⎪-⎝⎭ 2()()()()m n m n m n m n m m n m m n ⎡⎤+-=+⋅+-⎢⎥--⎣⎦ 3()()3()()m m n m n m n m m n =⋅+-=+- 1m n +=∴原式=3，故选D.【点睛】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 变式3－2－112. 已知2xy =-，3x y +=，求整式(310)[5(223)]xy y x xy y x ++-+-的值．【答案】22【解析】【分析】先把整式化简，然后把xy ，x y +分别作为一个整体代入求出整式的值．【详解】(310)[5(223)]xy y x xy y x ++-+-310(5223)xy y x xy y x =++--+3105223xy y x xy y x =++--+5310232x x y y xy xy =++-+-88x y xy =++8()x y xy =++．把2xy =-，3x y +=代入得，原式83(2)24222=⨯+-=-=．【点睛】求整式的值，一般先化简后求值，但当题目中含未知数的部分可以看成一个整体时，要用整体代入法，即把“整体”当成一个新的字母，求关于这个新的字母的代数式的值，这样会使运算更简便．变式3－2－213. 已知12x x -=，则221x x +的值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8【答案】C【解析】 【分析】根据完全平方公式得到214x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，据此求解即可． 【详解】解：∵12x x -=， ∴214x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即41222=+-x x ， ∴2216x x +=， 故选：C ．【点睛】本题考查了完全平方公式，掌握完全平方公式的结构特征是解决此题的关键．③变换条件和结论后，整体代入求值例3.314. 若2250a ab b +-=，则b a a b-的值为______． 【答案】5【解析】 【详解】∵2250a ab b +-=，∴225b a ab -=，∴b a a b -=22b a ab -=5ab ab =5， 故答案为5．【点睛】本题考查了分式化简求值，正确地对所给的式子进行变形是解决此题的关键.变式3－3－115. 已知x 2﹣3x+1＝0，求x 221x +的值． 【答案】7【解析】 【分析】先将等式两边同时除以x ，并整理可得x 1x+=3，然后利用完全平方公式的变形即可求出结论．【详解】解：∵x 2﹣3x+1＝0，∴x ﹣31x +=0， ∴x 1x+=3， ∴x 221x +=（x 1x+）2﹣2＝32﹣2＝7． 【点睛】此题考查的是等式的变形和完全平方公式的变形，掌握完全平方公式的变形是解题关键．变式3－3－216. 先化简，再求值（1a b -，22b a b -，÷2222+a ab a ab b --，其中a，b 满足a+b，12=0， 【答案】原式=1a b+=2 【解析】【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把已知等式变形后代入计算即可求出值． 【详解】，1a b -，22b a b -，÷2222+a ab a ab b-- =()()()()2•a b a b b a b a b a a b -+-+-- =1a b+ 由a+b ﹣12=0，得到a+b=12， 则原式=112=2．【点睛】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 方法四：隐含条件求值法先通过隐含条件求出字母值，然后化简再求值．例417. 若单项式23m a b --与12n b a +是同类项，求代数式()222332m mn n n --++的值． 【答案】0【解析】【分析】先通过3ab -与ba 是同类项这一条件，将m 、n 的值求出，然后再化简求值式后求值．【详解】∵23m a b --与12n b a +是同类项，∴2211m n -=⎧⎨+=⎩， 解得：00m n =⎧⎨=⎩∴()222332m mn n n --++ 223m mn n =+-0300=+⨯-0=．【点睛】本题考查了整式运算、代数式、二元一次方程组的知识；解题的关键是熟练掌握同类项、代数式的性质，从而完成求解．变式4－118. 已知2|2|(1)0a b -++=，求()22225242ab a b ab a b ⎡⎤---⎣⎦的值． 【答案】34【解析】【分析】先通过已知式2|2(1)0a b -++=∣， 求出a 、b 的值，因为绝对值式和平方式都具有非负性，如果两个非负数之和等于0，那么它们均为0，再去括号，合并同类项把原式化简，最后代入求值即可.【详解】解：∵2|2|(1)0a b -++=，又∵|2|0-≥a ，2(1)0b +≥，∴2010a b -=⎧⎨+=⎩，解得：21a b =⎧⎨=-⎩．， ∴()22225242ab a b ab a b ⎡⎤---⎣⎦ 222544ab ab a b =+-2294ab a b =-．当2a =，1b =-时，原式2292(1)42(1)=⨯⨯--⨯⨯-1816=+34=．【点睛】本题考查的是非负数的性质，整式的加减运算，化简求值，掌握去括号，合并同类项是解题的关键.变式4－219.|83|b -互为相反数，则2127ab ⎛⎫-= ⎪⎝⎭________． 【答案】37【解析】【分析】直接利用非负数的性质进而得出1﹣3a ＝0，8b ﹣3＝0，求出a ，b 的值，再代入所求代数式中即可求出答案．|83|0b -=，0≥，830b -≥∴130a -=，830b -=， ∴13a =，38b =， ∴222112727827371338ab ⎛⎫ ⎪⎛⎫-=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⨯⎝⎭． 故答案为37．【点睛】本题考查了非负数的性质，解题时利用了绝对值和二次根式的非负性，也利用了互为相反数的两个数的和为0这个结论．方法五：利用“无关”求值或说理方法总结要说明一个代数式值与某个字母的取值无关时需先对原式进行化简，则可得出该无关字母的系数为0；若给定字母写错得出正确答案，则该代数式的值与该字母无关． 例520. 有这样一道题：计算2222213823333535x x xy y x xy y ⎛⎫⎛⎫-+-+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值，其中12x =-，2y =．甲同学把“12x =-”错抄成了“12x =”，他的计算结果也是正确的，你知道这是怎么回事吗？【答案】见解析．【分析】原式去括号合并得到最简结果，即可作出判断． 【详解】解：2222213823333535x x xy y x xy y ⎛⎫⎛⎫-+-+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 2222213823333535x x xy y x xy y =--++++ 2y =，结果与x 的取值无关，故甲同学把“12x =-”错抄成了“12x =”，但他计算的结果也是正确的．【点睛】本题考查了整式的加减-化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 变式5－121. 已知2231A x xy y =++-，2B x xy =-．（1）若2A B -的值与y 的值无关，求x 的值．（2）若3A mB x --的值与x 的值无关，求y 的值．【答案】（1）x 的值为1-；（2）y 的值为1．【解析】【分析】（1）将A ，B 代入A -2B ，再去括号，再由题意可得10x +=，求解即可； （2）将A ，B 代入A −mB −3x ，再去括号，再由题意可得20m -=，30y my +-=，求解即可；【详解】解：（1）∵A 2231x xy y =++-，B =2x xy -，∴A -2B=（2231x xy y ++-）-2（2x xy -）=2223122x xy y x xy ++--+331xy y =+-()311x y =+-，∵A -2B 的值与y 的值无关，∴10x +=，∴1x =-；∴x 的值为1-；（2）∵A 2231x xy y =++-，B =2x xy -，=（2231x xy y ++-）-m （2x xy -）−3x=222313x xy y mx mxy x ++--+-()()22331m x y my x y =-++-+-∵A −mB −3x 的值与x 的值无关，∴20m -=，30y my +-=，∴2m =，1y =；∴y 的值为1．【点睛】本题考查了整式的加减，熟练掌握整式的加减的运算法则是解题的关键． 变式5－222. 已知多项式2233x mx nx x -++-+值与x 的取值无关，求()3232mn m mn m mn ⎡⎤---+⎣⎦的值．【答案】2.【解析】【分析】对多项式2233x mx nx x -++-+进行变形为(3)(1)3n x m x -+-+，根据多项式的值与x 的取值无关，则令30n -=，10m -=，求出m 、n 的值，然后代入()3232mn m mn m mn ⎡⎤---+⎣⎦进行计算即可.【详解】2233x mx nx x -++-+解：原式(3)(1)3n x m x =-+-+因为与x 的取值无关所以：30n -=3n =10m -=1m =()3232mn m mn m mn ⎡⎤---+⎣⎦32332mn m mn m mn =-+--2323mn m m =--当1m =，3n =时原式23213311=⨯⨯-⨯-6312=--=【点睛】本题主要考查了整式的加减-化简求值，熟练掌握整式加减的运算法则是解题的关键.方法六：配方法若已知条件含有完全平方式，则可通过配方，把条件转化成几个平方和的形式，再利用非负数的性质来确定字母的值，从而求得结果．例623. 已知a 2，b 2，2a ，4b ，5，0，求2a 2，4b ，3的值．【答案】7，【解析】【详解】试题分析：利用交换律凑出完全平方公式，求出a,b 的值，再代入目标整式求值.试题解析：解：因为a 2+b 2+2a -4b +5=0，，，a 2+2a +1，+，b 2-4b +4，=0,即（a +1，2+，b -2，2=0，，a +1=0且b -2=0，，a =-1且b =2，，原式=2×，-1，2+4×2-3=7，变式6－224. 已知2228170x x y y -+++=，求2()x y +的值．【答案】9【解析】【分析】利用配方法将2228170x x y y -+++=变为22(1)(4)0x y -++=，根据非负数的性质得到1,4==-x y ，最后求出答案．【详解】解：∵2228170x x y y -+++=∴22(21)(816)0x x y y -++++=，∴22(1)(4)0x y -++=∴10,40x y -=+=，∴1,4==-x y ，∴22()(14)9x y +=-=．【点睛】本题考查了配方法的应用以及代数式求值，关键在于将已知方程的左侧进行正确的配方．方法七：平方法在直接求值比较困难时，有时也可先求出其平方，再求平方值的平方根（即以退为进的策略），但要注意最后结果的符号．例725. 已知7x y +=且12xy =，则当x y <时，11x y 的值等于________． 【答案】112【解析】【分析】利用分式的加减运算法则与完全平方公式把原式化为：222()4x y xy x y +-，再整体代入求值，再利用平方根的含义可得答案.【详解】解：因为7x y +=，12xy =， 所以2222211()y x x y x y xy x y ⎛⎫⎛⎫---== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 22222()47412112144x y xy x y +--⨯===， 又因为x y <，所以110x y->， 所以11112x y -=， 故答案为：112． 【点睛】本题考查的是由条件式求解分式的值，掌握变形的方法是解题的关键. 变式7－126. 已知13x x +=，则1x x-的值是________．【答案】【分析】把已知等式两边平方，利用完全平方公式化简，整理求出221x x +的值，再利用完全平方公式即可求出所求式子的值． 【详解】解：由13x x +=，得到219x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即2217x x +=， ∴2221125x x x x ⎛⎫-=+-= ⎪⎝⎭，∴1x x-=故答案为：【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握完全平方公式的变形是解本题的关键．变式7－227. 若22212,60a b c a b c ++=++=，求ab ac bc ++的值【答案】42【解析】【分析】根据题意先将式子a ＋b ＋c ＝12进行完全平方后展开可得式子2222()144,222a b c a b b ab a c c c +++++=++=结合22260,a b c ++=求出ab ＋ac ＋bc 的值．【详解】根据题意可得：2222()144222a c b ac a b c c b b a +++++=+=+， 将22260a b c ++=代入式子可得2()60144222ab a a b c c bc +++=++=， 则42ab ac bc +=+故答案为42．【点睛】此题考查完全平方公式，解题关键在于结合实际运用完全平方公式． 方法八：特殊值法有些试题，用常规方法直接求解比较困难，若根据答案中所提供的信息，选择某些特殊情况进行分析，或选择某些特殊值进行计算，把一般形式变为特殊形式进行判断，这时常常会使题目变得十分简单．例828. 若3230123)x a a x a x a x =+++，则()()220213a a a a +-+的值为【答案】1【解析】【分析】把1x =代入已知计算得到301231)a a a a +++=；把1x =-代入已知计算得到301231)a a a a -+-=+；再利用平方差公式即可求解．【详解】解：由3230123)x a a x a x a x =+++，若令1x =，则301231)a a a a +++=；若令1x =-，则301231)a a a a -+-=+，所以()()220213a a a a +-+ ()()02130213a a a a a a a a =++++--331)1)=31)]=1=．故答案为：1．【点睛】本题考查了代数式求值，求代数式的值可以直接代入、计算．如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值．变式8－129. 已知实数a ，b 满足1a b ⋅=，那么221111a b +++的值为（ ） A. 14 B. 12C. 1D. 2 【答案】C【解析】【分析】把所求分式通分，再把已知条件代入求解．【详解】解：∵•1a b =，∴()2221a b ab ==， ∴22222222112111a b a b a b b a +++=+++++ 2222211a b b a ++=+++1=．故选：C ．【点睛】本题考查了分式的化简求值， 妥题的关键是利用a•b=1，把a•b=1代入通分的式子就可得到，分子分母相等的一个分式，所以可求出答案是1． 方法九：设参法遇到比值的情况，可对比值整体设参数，把每个字母用参数表示，然后代入计算即可． 例930. 已知234x y z ==，求222xy yz zx x y z ++++的值． 【答案】2629【解析】 【分析】先根据234xy z ==设出(0)234x y z k k ===≠，得到2x k =，3y k =，4z k =，然后代入分式求值即可． 【详解】解：设(0)234x y z k k ===≠， 则2x k =，3y k =，4z k =． ∴222xy yz zx x y z ++++ 22222261284916k k k k k k++=++ 2226262929k k ==． 【点睛】本题考查的是分式的化简求值，在解答此类题目时要注意，当条件是连等式，因此可用设参数法，即设出参数k ，得出x ，y ，z 与k 的关系，然后再代入待求的分式化简是解题的关键．变式9－131. 若x y a b b z c c a==---，求x y z ++的值． 【答案】0【解析】 【分析】设===---x y z k a b b c c a，则()x k a b =-，()y k b c =-，()z k c a =-，然后计算即可得到答案． 【详解】解：∵x y a b b z c c a ==---， 设===---x y z k a b b c c a， ∴()x k a b =-，()y k b c =-，()z k c a =-，∴()()()x y z k a b k b c k c a ++=-+-+-=ka kb kb kc kc ka -+-+-=0；【点睛】本题考查了比例的性质，求代数式的值，解题的关键是熟练掌握比例的性质进行解题．变式9－232. 已知0347x y z ==≠，求3x y z y ++的值． 【答案】5【解析】【分析】设已知等式等于k ，表示出x ，y ，z ，代入原式计算即可得到结果． 【详解】解：设347x y z k ===， 则x =3k ，y =4k ，z =7k ， ∴394754x y z k k k y k++++==． 【点睛】本题考查了比例的性质，利用等式的性质得出x =3k ，y =4k ，z =7k 是解题关键．方法十：利用根与系数的关系如果代数式可以看作某两个“字母”的轮换对称式，而这两个“字母”又可能看作某个一元二次方程的根，可以先用根与系数的关系求得其和、积式，再整体代入求值． 直接用根与系数的关系求值例10.133. 阅读材料：设一元二次方程20ax bx c ++=的两根为1x ，2x ，则两根与方程系数之间有如下关系12b x x a +=-，12c x x a⋅=根据该材料填空： 已知1x ，2x 是方程2630x x ++=的两实数根，则2112x x x x +的值为_____ 【答案】10【解析】 【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系得到，两根之和与两根之积，把代数式变形成与两根之和和两根之积有关的式子，代入两根之和与两根之积，求得代数式的值．【详解】解：由题意知，12126,3b x x x x a+=-=-=， 所以()2222121221211212122(6)23103x x x x x x x x x x x x x x +-⋅+--⨯+====⋅⋅. 故答案为：10．变式10－1－134. 已知1x 、2x 是一元二次方程220x x --=的两个根，则1211+x x 的值是（ ） A. 1 B. 12 C. 1- D. 12- 【答案】D【解析】 【分析】根据1x 、2x 是一元二次方程220x x --=的两个根得到12121,2x x x x +==-，再将1211+x x 变形为1212x x x x +，然后代入计算即可． 【详解】解：∵1x 、2x 是一元二次方程220x x --=的两个根，∴12121,2x x x x +==- ∵12121211x xx x x x ++=， ∴121212111122x x x x x x ++===--， 选D ．【点睛】本题主要考查了一元二次方程20(a 0)++=≠ax bx c 的根与系数的关系：若方程的两根为1x 、2x ，则1212,b c x x x x a a+=-=，熟记知识点与代数式变形是解题的关键．②构造一元二次方程，利用根与系数的关系求值．例10.235. 已知21a a -=，21b b -=，求a b b a+的值．【答案】-3【解析】【分析】由已知得a ，b 是方程210x x --=的两个根，再根据一元二次方程根与系数的关系求解即可．【详解】解：∵21a a -=，21b b -=，即210a a --=，210b b --=， ∴a ，b 是方程210x x --=的两个根，∴1a b +=，1ab =-，∴2222()212(1)31a b a b a b ab b a ab ab ++--⨯-+====--． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练地掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．方程20ax bx c ++=(0a ≠)的两根为12x x 、，则有12b x x a +=-，12c x x a=． 变式10－2－136. 已知2430m m -+=，22310n n -+=，1mn ≠，求值221m n +． 【答案】5或13或10【解析】【分析】通过求解一元二次方程，并结合题意，得到m 和n 的值，再代入计算即可得到答案．【详解】∵2430m m -+=∴()()130m m --=∴1m =或3m =∵22310n n -+=∴()()2110n n --=∴12n =或1n = ∵1mn ≠ ∴当1m =时，12n =；当3m =时，12n =或1n = ∴2215m n +=或13或10． 【点睛】本题考查了一元二次方程、代数式的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次方程的性质，从而完成求解．③根的含义和根与系数的关系结合使用求值例10.337. 已知1x ，2x 是方程2310x x -+=的两根，求2211222584x x x x ++++的值．【答案】34 【解析】【分析】由1x ，2x 是方程2310x x -+=的两根，可得123x x +=，21131x x =-，22231x x =-，再把原式降次为：()12111x x ++，从而可得答案.【详解】解：∵1x ，2x 是方程2310x x -+=的两根∴123x x +=，21131x x =-，22231x x =-∴221122112225846253184x x x x x x x x ++++=-++-++()1211133134x x =++=+=【点睛】本题考查的是一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系，掌握降次的思想是解题的关键.变式10－3－238. 已知α、β是方程210x x --=的两个实根，求5325αβ+的值． 【答案】21 【解析】【分析】由方程的解与根与系数的关系可得：2210,10,+=11,ααββαβαβ--=--==-，再把5325αβ+降次为2255155ααββ++++，再变形，整体代入计算即可得到答案. 【详解】解： α、β是方程210x x --=的两个实根，2210,10,+=11,ααββαβαβ∴--=--==-， 22=+1,=+1,ααββ∴()()2532+5=2+1+5+1αβααββ∴32224255αααββ=++++()22214255ααααββ=+++++226455ααββ=+++ 2255155ααββ=++++()()25251αβαβαβ⎡⎤=+-+++⎣⎦()51251121.=⨯++⨯+=【点睛】本题考查的是一元二次方程的解的含义，一元二次方程根与系数的关系，掌握降次的思想是解题的关键.方法十一：利用分式的基本性质求值例1139. 已知3x y =,求222223x xy y x xy y +--+的值.【答案】127【解析】【详解】试题分析：由3x y =可得：3x y =代入式子222223x xy y x xy y +--+中化简即可. 试题解析， ，3xy=, ， x =3y.∴()()()222222222232322312127733y y y y x xy y y x xy y y y y y y+⨯⨯-+-===-+-⨯+ . 例11－140. 先化简，再求值：2222m n m mn n +-+·(m，n)，其中mn，2.【答案】原式=2m nm n+-=5. 【解析】【详解】【试题分析】先将分母进行因式分解，再约分化简，最后代入即可.2222m n m mn n +-+·(m，n)，()22m n m n +-·(m，n)，2m nm n +-. 因为m n ，2，所以m，2n. 所以原式＝42n nn n+-，5. 【试题解析】2222m n m mn n +-+·(m，n)，()22m n m n +-·(m，n)，2m nm n +-. 因为m n ，2，所以m，2n. 所以原式＝42n nn n+-，5. 【方法点睛】本题目是一道分式的化简求值，方法是：先将每个式子进行因式分解，再约分，化简.方法十二：利用消元法求值若已知条件以比值的形式出现，则可利用比例的性质设比值为一个参数，或利用一个字母来表示另一个字母． 例1241. 如果2a b =，则2222a ab b a b -++= ( ) A.45B. 1C. 35D. 2【答案】C 【解析】【详解】由题意可知，2a b =，因此222222222224233455a ab b b b b b a b b b b -+-+===++，故选C 变式12－142. 若43a b =，则a bb-的值是（ ） A.13 B.23C. 1D.43【答案】A 【解析】【分析】由已知得到43a b =，再代入原式计算即可求解． 【详解】解：∵43a b =， ∴43a b =， ∴4133b ba b b b --==， 故选：A ．【点睛】本题考查了比例的性质，由已知得到43a b =再代入计算是解题的关键． 变式12－243. 已知2a c b d ==，求a b a +和c d c d -+值．【答案】32，13【解析】【分析】由2a cb d==可得2a b =，2c d =，再代入求值即可. 【详解】解：∵2a cb d ==，∴2a b =，2cd =．∴2322a b b b a b ++==， 2123c d d d c d d d --==++． 【点睛】本题考查的是比例的基本性质，掌握利用含有一个字母的代数式表示另外一个字母是解题的关键.变式12－344. 若29a b c +=，25a b c -=，则22222223749a b c a b c ++=-+________． 【答案】2 【解析】【分析】结合题意，通过求解二元一次方程组，分别的a 、b 和c 的关系式；再通过分式性质运算，即可得到答案．【详解】∵2925a b ca b c+=⎧⎨-=⎩，∴7a cb c=⎧⎨=⎩∴22222223749a b ca b c++=-+2222222(7)37(7)49c c cc c c++-+22108254cc==故答案为：2．【点睛】本题考查了二元一次方程组、分式运算、代数式的知识；解题的关键是熟练掌握二元一次方程组、合并同类项、分式、代数式的性质，从而完成求解．方法十三：利用倒数法求值倒数法是指将已知条件或待求的代数式作倒数变形，从而求出代数式的值的一种方法．例1345. 已知21 13 xx=+，求241xx+的值．【答案】1 7【解析】【分析】由21 13 xx=+可得0x≠，再取倒数可得：213xx+=，即13xx+=，再求解原代数式的倒数242221112,xx xx x x+⎛⎫=+=+-⎪⎝⎭从而可得答案.【详解】解：由21 13 xx=+知0x≠，所以213xx+=，即13xx+=．所以2422221112327xx xx x x+⎛⎫=+=+-=-=⎪⎝⎭．故241xx+的值为17．【点睛】本题考查的是利用倒数法求解分式的值，掌握222112x xx x⎛⎫+=+-⎪⎝⎭是解题的关键. 变式13－146. 已知21315x x x =-+，求2421x x x ++的值． 【答案】163【解析】【分析】已知等式分子分母除以x 变形求出1x x +的值，两边平方求出221x x+的值，原式分子分母除以2x 变形后，将各自的值代入计算即可求出值． 【详解】解：由21315x x x =-+知0x ≠，∴2315x x x -+=，即135x x -+=． ∴18x x+=． ∴2164x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴22162x x +=， ∴4222211162163x x x x x ++=++=+=．∴2421163x x x =++． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．变式13－247. 若22237y y ++的值为14，则21461y y +-的值为( )．A. 1B. －1C. -17 D. 15【答案】A 【解析】【详解】解:设234x x y += ，∵22347x x ++ 的值为14, ∴2174y =+,计算得出y=1, ∴2111681121x x ==+-⨯-.所以A 选项是正确的.点睛：本题主要考查了计算分式的值，设234x x y +=是解题关键，注意整体代入思想的运用.变式13－348. 已知14x x -=，则24251x x x =-+_______．【答案】113． 【解析】【分析】计算21()16x x-=，从而得到221+18x x =，然后先求原式的倒数，从而求解． 【详解】解：∵14x x-= ∴21()16x x-=221-2+16x x = ∴221+18x x = 42222551118513x x x x x --+=-==+∴24215113x x x =-+ 故答案为：113． 【点睛】本题考查倒数，完全平方公式的运用及分式的化简求值，掌握完全平方公式的结构以及分式的化简计算是解题关键．总结：事实上，以上这些方法并不是绝对孤立不变的，有时需要多种方法一起使用才能灵活解决问题，解题时，要仔细观测，深入分析，以便选择合理的解题方法，做到简洁、快速解题．。

重难点 填空压轴题(代数篇)(学生版)--2024年中考数学二轮复习

重难点 填空压轴题(代数篇)(学生版)--2024年中考数学二轮复习

重难点 填空压轴题(代数篇)目录题型01 求值类类型一 代数式求值类型二 方程、不等式求值类型三 函数求值题型02 规律探究类类型四 数字规律探究类型五 图形规律探究类型六 函数规律探究题型03 函数最值类类型七 一次函数的最值问题类型八 二次函数的最值问题类型九 反比例函数与其它函数的最值问题题型04 函数临界点类类型十 一次函数的最值问题类型十一 二次函数的最值问题类型十二 反比例函数的最值问题题型01求值类类型一代数式求值1已知，a+b=x+y=2，ax+by=5，则a2+b2=xy+ab x2+y22如图，正方形ABCD内部摆放着①号，②号，③号3个边长都为1的正方形，其中①号正方形部分被②号和③号正方形遮盖，若图中阴影部分的面积为S，则正方形ABCD的边长为．(用含S的式子表示)3若a <112011+12012+12013+12014+12015<a +1，则自然数a =．4下列说法正确的有．(选序号)①若(x -1)x -1=1，则满足条件x 的值有3个．②若x =32m -2，y =3-9m ，则用含x 的代数式表示y 为y =-9x +3．③已知(x -20)2+(x -28)2=100，则(x -24)2的值是34．④1，2，3，⋯，58这58个数中不能表示成某两个自然数的平方差的数共有14个．5四个互不相等的数a ，b ，c ，m 在数轴上的对应点分别为A ，B ，C ，M ，其中a =4，b =8，m =0.5(a +b +c )．(1)若c =2，则A ，B ，C 中与M 距离最小的点为；(2)若在A ，B ，C 中，点C 与点M 的距离最小，且不等于A ，B 与点M 的距离，则符合条件的点C 所表示的数c 的取值范围为．如果一个三位自然数各个数位上的数字均不为0，且百位数字等于十位数字与个位数字的和，则称这个数为“佳佳数”．如：532，因为5=3+2，所以532是“佳佳数”；又如，432，因为4≠3+2，所以432不是“佳佳数”．已知M 是一个“佳佳数”，则M 最大值是；交换M 的百位数字与十位数字得到一个新三位数N ，在N 的末位数字后加2得到一个新的四位数P ，在M 的十位数字与个位数字之间添加M 的十位数字得到一个新四位数Q ，若Q -P 能被7整除，则满足以上条件的“佳佳数”的最大值为．6若一个四位自然数M ，满足个位数字与十位数字之和的平方正好等于M 的千位数字与百位数字组成的两位数，则这个四位数称为“和数”，比如：4952，满足5+2 2=49；若一个四位自然数N ，满足个位数字与十位数字的平方差正好等于N 的千位数字与百位数字组成的两位数，则这个四位数称为“差数”，比如：7239，满足92-32=72；那么最大的“和数”与最小的“差数”之和是．如果一个“和数”M 与一个“差数”N 的个位数字均为a 、十位数字均为b ，且F M ,N =M +N +18a -22811，若F M ,N 为整数时，记G M ,N =aba +b，则G M ,N 的最大值是．7对于任意一个三位自然数M ，若它的各数位上的数字均不为0，且满足十位上数字的平方等于百位数字与个位数字之积的k 倍(k 为整数)，则称M 为“k 阶比例中项数”此时，记去掉其个位数字后剩余的两位数为m 1，去掉百位数字后剩余的两位数为m 2，规定F M =m 1+5m 2，则最大的“4阶比例中项数”是；若N =100m +10n +1(其中1≤m ≤4，2≤n ≤8，m ，n 均为正整数)是一个“k 阶比例中项数”，且F N 能被8除余3，则满足条件的N 之和是．类型二方程、不等式求值8已知方程组a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2的解为x=4y=3，则方程组2a1x-1+3b1y+1=6c12a2x-1+3b2y+1=6c2的解为．9如果一个五位数的万位数字与个位数字之和等于其百位数字的2倍，则称这个五位数为“星星数”，如果一个五位数的千位数字与十位数字之和等于其百位数字的2倍，则称这个五位数为“月亮数”；一个五位数A，规定其末三位数字组成的数与其前两位数字组成的数的和为F A；若M=10020+10000a+ 2010b+100c+d为“星星数”，N=10000a+1000b+10c+512+d为“月亮数”(其中1≤a≤8，0≤b≤4，0≤c≤8，0≤d≤7，且a，b，c，d为整数)，则a+2b+d的值为；在此条件下，若F M+F N 的值能被13整除，则满足条件的M的值为．定义新运算“⊕”，对于任意实数a，b都有a⊕b=a+3b 2．(1)若a=-2，b=6，则a⊕b的立方根是；(2)若不等式4⊕x≥5成立，则该不等式的解集是．10关于x的一元一次不等式组x-32≥2x+13-32x-m>5至少有3个整数解，且关于y的分式方程myy-2+2=-3y2-y有整数解，那么符合条件的所有整数m的和为．11(2024·浙江宁波·模拟预测)已知关于x的一元二次方程x2+ax+b=0有两个根x1，x2，且满足1<x1<x2<2．记t=a+b，则t的取值范围是．12已知，数轴上从左到右有三点A，B，C，它们在数轴上对应的数分别为a，b，c(a，b，c均不为整数)，且6<c-a<7，k<b<k+1(k为正整数)为正整数．在点A与点B之间的所有整数依次记为p1，p2，p3⋯，p m；在点B与点C之间的所有整数分别记为q1，q2，q3，⋯，q n．若p21+p22+p23+⋯+p2n=q21+q22+q23 +⋯+q2n，则k的值为．13如图，已知数轴上点A表示的数为8，B是数轴上一点，且AB=14．动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为ts t>0．(1)当t=s时，PB=4；(2)若点P表示的数是x，当2x+4+2x-6的值最小时，则t的取值范围是．14已知a，b，c为正整数，且a>b>c若b+c，a+c，a+b是三个连续正整数的平方，则a2+b2+c2的最小值为．15如果p，q是非零实数，关于x的方程||2023x-2024|-p|=-q始终存在四个不同的实数解，则p+q |p+q|+p-q|p-q|+pq|pq|+p|p|+q|q|的值为．16已知，直角梯形的上底为12厘米，下底为18厘米，高为12厘米．正方形的边长为13厘米，起始状态如下图所示．若正方形固定不动，把直角梯形以2厘米/秒的速度向右沿直线平移，设直角梯形的平移时间为t秒，两个图形的重叠部分面积为S平方厘米，则当S=60时，t=．类型三函数求值17如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A x 1,y 1 、B x 2,y 2 在双曲线y =3x上，且0<x 1<x 2，分别过点A ，点B 作x 轴的平行线，与双曲线y =9x 分别交于点C ，点D ．若△AOB 的面积为94，则ACBD的值为．18如图，在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，B -6,0 ，CB 与y 轴交于点D ，CD BD=14，点C 在反比例函数y =kxx >0 的图象上，且x 轴平分∠ABC ，则k 的值为．19如图，在平面直角坐标系中，平面内有一动点P m ,-14m 2+12m +2 ，定点A 4,0 、B 0,2 ，连结AB ．(1)点A 是否在点P 的运动路径上：；(填“是”或“否”)(2)若点P 只是在第一象限内运动，过点P 作PQ ⊥AB 于Q ，当PQ 取得最大值时，点P 的坐标是．20如图1，在△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =90°，边AB 上的点D 从顶点A 出发，向顶点B 运动，同时，边BC 上的点E 从顶点B 出发，向顶点C 运动，D ，E 两点运动速度的大小相等，设x =AD ，y =AE +CD，y关于x的函数图象如图2，图象过点0,2．则：(1)BC=．(2)y关于x的函数图象的最低点的横坐标是．21(2024·浙江宁波·一模)如图，点A为反比例函数y=k1x(x>0)上一点，连结AO并延长交反比例函数y=k2x(x<0)于点B，且k2=9k1．点C在y轴正半轴上，连结CA并延长交x轴于点E，连结BC交x轴于点F，若ACAE=4，SΔCOB=10，则△COF的面积为．22如图，正比例函数y=x与反比例函数y=kx(x>0)的图象交于点A，OA=2，过点A作AB⊥OA，交x轴于点B；作BA1∥OA，交反比例函数的图象于点A₁；过点A₁作A₁B₁⊥A₁B，交x轴于点B₁；再作B1A2∥BA1，交反比例函数的图象于点A₂，依次进行下去⋯根据以上信息，解答下列问题．(1)k的值为．(2)点A101的横坐标为．23给出如下新定义：在平面直角坐标系中，动点M x,y在反比例函数y1=1x上，若点A绕着M点旋转180°后得到点B，我们称B是A关于M的“伴随点”．若A2,t关于M的“伴随点”为B，由A、B和坐标原点构成的三角形是以OA为直角边的等腰直角三角形，则t的值是．24(2023·浙江温州·三模)如图1，为世界最大跨度铁路拱桥--贵州北盘江特大桥．如图2，已知拱桥曲线呈抛物线，主桥底部跨度OA=400米，以O为原点，OA所在直线为x轴建立平面直角坐标系，点E为抛物线最高点，立柱AB，CD，GH都与x轴垂直，BN∥OA，BC=120m，HF=40m，若F，G，O和B，D，O均三点共线．则立柱比HGCD =，以及EFAB=．25如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=4cm．动点P从点A出发，以1cm/s的速度沿射线AB匀速运动，到点B停止运动，同时动点Q从点A出发，以3cm/s的速度沿射线AC匀速运动．当点P停止运动时，点Q也随之停止运动．在PQ的右侧作△PQH，且QH⊥AB，点H在射线AB上．设点P的运动时间为t(s)．△PQH与△ABC的重叠部分的面积为S(cm2)，则当t=(s)时S最大；当t=(s)时S的值为38cm2．26一次函数y=kx+b(k、b为常数，k≠0)中的x与y的部分对应值如下表：下列结论中一定正确的是(填序号即可)．①当n>0时，k<0；②当y的值随x值的增大而增大时，n<0；③当S△AOB=9时，n=-5或n=7；④当k<0时，直线AB与y轴相交于点C，则OC=3n+6 4．题型02规律探究类类型四数字规律探究27将实数-1,2,-3,4,-5⋅⋅⋅按图所示方式排列．若用m,n表示第m排从左向右第n个数，则4,3与23,20 表示的两数之和是．28小亮有黑、白各10张卡片，分别写有数字0~9．把它们像扑克牌那样洗过后，数字朝下，排成四行，排列规则如下：①从左至右按从小到大的顺序排列：②黑、白卡片数字相同时，黑卡片放在左边．小亮每行翻开了两张卡片，如图所示：其余卡片上数字小亮让小明根据排列规则进行推算，小明发现有的卡片上数字可以唯一确定，例如第四行最后一张白色卡片上数字只能是有的卡片上的数字并不能唯一确定，小明对不能唯一确定的卡片上数字进行猜测，则小明一次猜对所有数字的概率是．29将正偶数按下表排列5列：第1列第2列第3列第4列第5列第一行2468第二行16141210第三行18202224⋯⋯2826根据上面规律，则2000应在．30下列各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，x 的值为．142638⋯a 1829320435bx31我国著名的数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，割裂分家万事非”．如图，在边长为1的正方形纸板上，依次贴上面积为12，14，18，⋯，12n 的长方形彩色纸片(n 为大于1的整数)，运用“数形结合”的思想，依数形变化的规律，可计算出12+14+18+⋯+12100=．32定义一种对正整数n 的“F 运算”：(1)当n 为奇数时，结果为3n +5；(2)当n 为偶数时，结果为n 2k(其中k 是使n2k为奇数的正整数)，并且运算重复进行．例如，取n =30，则：若n =420，则第2023次“F 运算”的结果是．33记S n =a 1+a 2+a 3+⋯+a n ，令T n =S 1+S 2+⋯+S nn，称T n 为a 1,a 2,⋯,a n 这数列的“理想数”．已知a 1,a 2,⋯,a 500的“理想数”为2505，那么24，a 1,a 2,⋯,a 500的“理想数”为．34观察下列算式：12=1×2×36；12+22=2×3×56；12+22+32=3×4×76；12+22+32+42=4×5×96；⋯⋯．用你所发现的规律，化简：(n +12)(n +13)(2n +25)6-(n +10)(n +11)(2n +21)6=(n 为正整数)．35斐波那契数列因意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例引入，故又称为“兔子数列”，即：1，1，2，3，5，8，13，21，34，⋯实际生活中及现代物理与化学等领域也有着广泛的应用，若斐波那契数列中的第n 个数记为a n ，则1+a 3+a 5+a 7+a 9+⋅⋅⋅+a 2021与斐波那契数列中的第个数相同．类型五图形规律探究36如图是一组有规律的图案，它由若干个大小相同的点和三角形组成．第1个图案中有3个点和1个三角形，第2个图案中有6个点和3个三角形，第3个图案中有9个点和6个三角形，⋅⋅⋅⋅⋅⋅依此规律，第10个图案中，三角形的个数与点个数的和为．37如图，图形都是由同样大小的菱形按照一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有3个菱形，第②个图形中一共有7个菱形，第③个图形中一共有13个菱形，⋯，按此规律排列下去，第⑧个图形中菱形的个数为．38如图所示，将形状、大小完全相同的“•”和线段按照一定规律摆成下列图形，第1幅图形中“•”的个数为a 1，第2幅图形中“•”的个数为a 2，第3幅图形中“•”的个数为a 3，以此类推，则1a 1+1a 2+1a 3+⋯+1a 18的值为.39如图，第一个正方形后，是用大小相等的小正方形拼成的大正方形，若第n 个、第m 个图形中正方形的个数分别记为S m 、S n ，m -n =a ，1<a <5，(-3)a <S m -S n <(-5)a ，则满足条件的所有n 值的和为．类型六函数规律探究40如图，在平面直角坐标系中，A 1,0 ，D 0,2 ，第1个正方形ABCD 面积记为S 1，第2个正方形A 1B 1C 1C 面积记为S 2，第3个正方形A 2B 2C 2C 1面积记为S 3，，以此规律，则第2023个正方形的面积S 2023=．41如图所示，已知直线与x 、y 轴交于B 、C 两点，A 0,0 ，在△ABC 内依次作等边三角形，使一边在x 轴上，另一个顶点在BC 边上，作出的等边三角形分别是第1个△AA 1B 1，第2个△B 1A 2B 2，第3个△B 2A 3B 3，⋯则第n 个等边三角形的边长等于．42如图，在平面直角坐标系中，正方形A 1B 1C 1A 2与正方形A 2B 2C 2A 3是以O 为位似中心的位似图形，且位似比为12，点A 1，A 2，A 3在x 轴上，延长A 3C 2交射线OB 1与点B 3，以A 3B 3为边作正方形A 3B 3C 3A 4；延长A 4C 3，交射线OB 1与点B 4，以A 4B 4为边作正方形A 4B 4C 4A 3；⋯按照这样的规律继续作下去，若OA 1=1，则正方形A 2021B 2021C 2021A 2022的面积为．43如图，已知点A 1，A 2，，A 2020在函数y =x 2位于第二象限的图象上，点B 1，B 2，，B 2020在函数y =x 2位于第一象限的图象上，点C 1，C 2，，C 2020在y 轴的正半轴上，若四边形OA 1C 1B 1、C 1A 2C 2B 2，，C 2021A 2022C 2022B 2022都是正方形，则正方形C 2021A 2022C 2022B 2022的对角线长为．44如图所示，抛物线y =x 2在第一象限内经过的整数点(横坐标、纵坐标都为整数的点)依次为A 1，A 2，A 3，⋯，A n ，将抛物线y =x 2沿直线l ：y =x 向上平移，得到一系列抛物线，且满足条件：①抛物线的顶点M 1，M 2，M 3，⋯，M n 都在直线y =x 上；②抛物线依次经过点A 1，A 2，A 3，⋯，A n ，则顶点M 2021的坐标为．45如图，在函数y=4xx>0的图象上有点P1、P2、P3、⋯，P n，P n+1，点P1的横坐标为1，且后面每个点的横坐标与它前面相邻点的横坐标的差都是1，过点P1、P2、P3、⋯，P n，P n+1，分别作x轴、y轴的垂线段，构成若干个矩形，如图所示，将图中阴影部分的面积从左至右依次记为S1、S2、S3、⋯，S n，则S n=．(用含n的代数式表示)46如图，点A1，A2，A3⋯在反比例函数y=1xx>0的图象上，点B1，B2，B3，⋯B n在y轴上，且∠B1OA1=∠B2B1A2=∠B3B2A3=⋯，直线y=x与双曲线y=1x交于点A1，B1A1⊥OA1，B2A2⊥B1A2，B3A3⊥B2A3⋯，则B n(n为正整数)的坐标是．题型03函数最值类类型七一次函数的最值问题47如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P是线段AB的中点．若动点C在x轴上，连接BC，以BC为直角边，点B为直角顶点作等腰直角△BCD，连接DP，则DP长度的最小值是．48如图，直线y=3x+3分别交x轴、y轴于点B、A，点M在x轴，将AM绕点A按逆时针旋转60°得到AN，连接BN，则BN的最小值为．49直线y=x+3与y轴和x轴分别交于A、B两点，点C是OB的三等分点，D，E分别是直线AB和y轴上的动点，则△CDE周长的最小值是．50在平面直角坐标系中，A2,0，C在直线y=x上运动，存在一点P，满足∠POA+∠OPA，B3,0OP的最小值为．=∠APB，则CP+1351已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，且顶点的纵坐标为-1，如果△ABC为直角三角形，那么△ABC的面积的最大值为．类型八二次函数的最值问题52(23-24九年级上·浙江·期末)已知Rt△ABC的直角顶点C与原点O重合，点A，B都落在抛物线y=4x2上，则AB与y轴的交点为；若OD⊥AB于点D，则点D到点1,0的最大距离为．53已知关于x的二次函数y=-x-k2+11，当1≤x≤4时，函数有最小值2k，则k的值为．54(2024·浙江杭州·模拟预测)若点在抛物线上过y轴上点E作两条相互垂直的直线与抛物线分别交于A，B，C，D，且M，N分别是线段AB，CD的中点，面积的最小值为．55如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=-x2+2x+3的图象与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，点在线段上，则PA+PO的最小值是．56(23-24九年级上·浙江嘉兴·期中)如图，抛物线y=x2-2x-3与轴交于两点，抛物线的顶点为，点为AB的中点，以为圆心，长为半径在轴的上方作一个半圆，点为半圆上一动点，连接，取的中点，当点沿着半圆从点运动至点的过程中，线段的最小值为．类型九反比例函数与其它函数的最值问题57如图，一次函数y=-x+b与反比例函数的图像相交于A，B两点，其交点的横坐标分别为4，8．(1)k的值是；(2)将点A沿x轴正方向平移个单位长度得到点C，连接并延长交x轴正半轴于点D，则的最大值是．58如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点．线段的中点在反比例函数的图象上．若一次函数的图象与的图象有且只有一个第三象限的公共点，且与轴、轴分别交于、两点，试求出四边形的面积最小为．59如图，曲线是二次函数y=-x2+6x+3图像的一部分(其中A是抛物线与y轴的交点，B是抛物线顶点)，曲线是反比例函数()图像的一部分，A，C两点的纵坐标相等，由点C开始不断重复“”的过程，形成一组波浪线．若点是波浪线上的点，则；若点和是波浪线上的点，则的最大值为．60如图，在平面直角坐标系中，点A，C分别在坐标轴上，且四边形是边长为3的正方形，反比例函数的图像与边分别交于E，D两点，△DOE的面积为4，点P为y轴上一点，则的最小值为．类型十一 一次函数的最值问题61如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，点B的坐标为，点为y轴上一动点，现连接．记线段所围成的封闭区域(不有6个整点时，m的取值范围是．62在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的“变换点”的坐标定义如下：当时，点坐标为；当时，点坐标为，线段上所有点按上述“变换点”组成一个新的图形，若直线与组成的新的图形有两个交点，则的取值范围是．63把a、b、c三个数按照从小到大排列，最大的数记作，例如，若直线与函数的图象有且只有1个交点，则k的取值范围是．64如图，直线分别与坐标轴交于，两点，若称横纵坐标都是整数的点为整点，那么△AOB内(含边界)的整点共有个．65某数学兴趣小组遇到这样一个问题：探究函数员小东根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究，结合绝对值的性质以及函数图象，解决问题：若一次函数的图象与函数的图象只有一个交点，则实数a的取值范围是．类型十二二次函数的最值问题66若抛物线y=x2-x+m与轴交于不同的两点、，且，则的取值范围是．67已知点，，若抛物线y=ax2-2ax+4a≠0与线段恰有一个公共点，则a 的取值范围为．68(23-24九年级上·浙江金华·期末)定义：若x，y满足：，(k为常数)且x≠y，则称点为“好点”．(1)若是“好点”，则．(2)在的范围内，若二次函数的图象上至少存在一个“好点”，则c的取值范围为．69如图函数y=ax2+bx+ca>0,b2-4ac>0图象是由函数y=ax2+bx+c a>0,b2-4ac>0的图像x轴上方部分不变，下方部分沿轴向上翻折而成，如图所示，则下列结论正确的是．；将图像向上平移个单位后与直线有个交点．70在平面直角坐标系中，为抛物线y=x2+4x+2上一点，为平面上一点，且位于点右侧．(1)此抛物线的对称轴为直线；(2)若线段与抛物线有两个交点，则的取值范围是．类型十三反比例函数的最值问题71在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标互为相反数，那么称该点为“黎点”．例如都是“黎点”．(1)当时，双曲线上的“黎点”为；(2)若抛物线(为常数)上有且只有一个“黎点”，则当时，的取值范围为．72定义新运算：，即的取值为a，b，c的中位数，例如：，，已知函数与直线有个交点时，则的取值范围为．73对于平面直角坐标系xOy 中的图形M 和直线m ，给出如下定义：若图形M 上有点到直线m 的距离为d ，那么称这个点为图形M 到直线m 的“d 距点”．如图，双曲线C ：y =4x(x >0)和直线l ：y =-x +n ，若图形C 到直线l 的“2距点”只有2个，则n 的取值范围是．74如图是6个台阶的示意图，每个台阶的高和宽分别是1和2，每个台阶凸出的角和凹入的角的顶点记作(为的整数)．函数的图象为．()若过点，则．()若过，则一定过另一点，则．()若使得这些点分布在它的两侧，且一侧个点一侧个点，请写出符合要求的的所有整数值：．75定义：在平面直角坐标系xOy 中，函数图象上到两条坐标轴的距离之积等于的点，叫做该函数图象的“n 阶积点”．例如，点为一次函数y =-32x +3图象的“92阶积点”．若y 关于x的一次函数y =nx +4n -6图象的“n 阶积点”恰好有3个，则n 的值为．76定义：平面直角坐标系xOy 中，点，点，若，，其中k 为常数，且k≠0，则称点是点的“k 级变换点”．例如，点-2,4 是点1,2 的“-2级变换点”．(1)若函数y =-4x的图象上存在点1,2 的“k 级变换点”，则k 的值为；(2)若关于x 的二次函数y =nx 2-4nx -5n (x ≥0)的图象上恰有两个点，这两个点的“1级变换点”都在直线上，则的取值范围是．77如图，在第一象限，反比例函数y =k 1x x >0 和y =k 2x x >0 的图象分别与直线l :y =25x 交于点，，过点A ，B 分别作轴，轴，垂足分别为C ，D ．(1)①k 1的值为．②图中阴影部分的面积为．(2)已知反比例函数y =m x x >0 的图象与直线l :y =25x 交于点，与抛物线y =-x 2+992x 交于点，，将点M ，N 之间的抛物线(不含端点)记为图象G ，则图象G 上的整点(横、纵坐标都是整数的点)有个．78定义：函数图象上到两坐标轴的距离都不大于的点叫做这个函数图象的“n 阶方点”．例如，点是函数图象的“阶方点”；点是函数图象的“2阶方点”．(1)在①；②；③三点中，是反比例函数图象的“1阶方点”的有(填序号)；(2)若y 关于x 的一次函数y =ax -3a +1图象的“2阶方点”有且只有一个，则；(3)若y 关于x 的二次函数图象的“n 阶方点”一定存在，则n 的取值范围为．。

代数式规律题与代数式求值(原卷版)--中考数学重难点专题训练

代数式规律题与代数式求值(原卷版)--中考数学重难点专题训练

回归教材重难点01代数式规律题与代数式求值本考点是中考三星高频考点，难度中等偏上，在全国部分地市的中考试卷中也多次考查。

（2022年广州卷第10题）如图，用若干根相同的小木棒拼成图形，拼第1个图形需要6根小木棒，拼第2个图形需要14根小木棒，拼第3个图形需要22根小木棒……若按照这样的方法拼成的第n个图形需要2022根小木棒，则n的值为（）A．252B．253C．336D．337【分析】根据图形特征，第1个图形需要6根小木棒，第2个图形需要6×2+2＝14根小木棒，第3个图形需要6×3+2×2＝22根小木棒，按此规律，得出第n个图形需要的小木棒根数即可．【解答】解：由题意知，第1个图形需要6根小木棒，第2个图形需要6×2+2＝14根小木棒，第3个图形需要6×3+2×2＝22根小木棒，按此规律，第n个图形需要6n+2（n﹣1）＝（8n﹣2）根小木棒，当8n﹣2＝2022时，解得n＝253，故选：B．【点评】本题主要考查了图形的变化规律，解决问题的关键是由特殊找到规律：第n个图形需要（8n﹣2）根小木棒是解题的关键．代数式规律题是代数式章节衍生出的一类经典题型，可以说是贯穿整个初中的学习。

而代数式求值问题也是初中数学中比较重要的内容，代数式包含整式、分式、根式三大部分，考察较多的是整式的求值。

在解决代数式求值问题时，常用到的思想方法有整体思想、转化思想、方程思想等，个别综合性较高的问题对学生的逻辑思维能力要求也较高。

因此，在复习代数式规律题和代数式求值问题时，一是要熟悉对应题型，掌握对应解决办法，二是要融合各思想方法，提高对综合题目的逻辑理解力。

本考点是中考四星高频考点，难度中等或偏上，在全国部分地市的中考试卷中也多次考查。

技法01：周期型规律题常见处理办法：①.找出第一周期的几个数，确定周期数②.算出题目中的总数和待求数③.用总数÷周期数=m……n（表示这列数中有m个整周期，最后余n个）④.最后余几，待求数就和每周期的第几个一样；技法02：推理型规律题常见处理办法：①依题意推出前3~4项规律的表达式；②类推第N项表达式技法03：代数式求值问题常用处理办法：①变形已知条件，使其符合待求式中含字母部分的最简组合形式②将待求式变形，使其成为含有上面最简组合式的表达式，③代入未知最简组合形式部分的值，求出最后结果代数式规律题【中考真题练】1．（2022•济宁）如图，用相同的圆点按照一定的规律拼出图形．第一幅图4个圆点，第二幅图7个圆点，第三幅图10个圆点，第四幅图13个圆点……按照此规律，第一百幅图中圆点的个数是（）A．297B．301C．303D．4002．（2022•牡丹江）观察下列数据：，﹣，，﹣，，…，则第12个数是（）A．B．﹣C．D．﹣3．（2022•玉林）如图的电子装置中，红黑两枚跳棋开始放置在边长为2的正六边形ABCDEF的顶点A处．两枚跳棋跳动规则是：红跳棋按顺时针方向1秒钟跳1个顶点，黑跳棋按逆时针方向3秒钟跳1个顶点，两枚跳棋同时跳动，经过2022秒钟后，两枚跳棋之间的距离是（）A．4B．2C．2D．04．（2022•恩施州）观察下列一组数：2，，，…，它们按一定规律排列，第n个数记为a n，且满足+＝．则a4＝，a2022＝．5．（2022•大庆）观察下列“蜂窝图”，按照这样的规律，则第16个图案中的“”的个数是．6．（2022•泰安）将从1开始的连续自然数按以下规律排列：若有序数对（n，m）表示第n行，从左到右第m个数，如（3，2）表示6，则表示99的有序数对是．【中考模拟练】1．（2023•云南模拟）有一组按规律排列的多项式：a﹣b，a2+b3，a3﹣b5，a4+b7，…，则第2023个多项式是（）A．a2023+b4047B．a2023﹣b4047C．a2023+b4045D．a2023﹣b40452．（2023•德城区一模）已知整数a1，a2，a3，a4，……满足下列条件：a1＝0，a2＝﹣|a1+1|，a3＝﹣|a2+2|，a4＝﹣|a3+3|，……依此类推，则a2023的值为（）A．﹣1011B．﹣1010C．﹣2022D．﹣20233．如图，被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”．其规律是：从第二行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和，表中两平行线之间的一列数：1，3，6，10，15，…，我们把第一个数记为a1，第二个数记为a2，第三个数记为a3，…，第n个数记为a n．则a100的值为（）A．100B．199C．5050D．100004．（2023春•硚口区月考）我国宋朝时期的数学家杨辉，曾将大小完全相同的圆弹珠逐层堆积，形成“三角垛”．如图，第1个图有1颗弹珠；第2个图有3颗弹珠；第3个图有6颗弹珠；第4个图有10颗弹珠；…；用a n表示第n个图的弹珠数，若…+＝，则n的值是（）A．1012B．2022C．2023D．20245．（2023•涟源市一模）如图，下列是一组有规律的图案，它们由边长相同的小正方形组成，按照这样的规律，第n个图案中涂有阴影的小正方形的数量是个．（用含有n的式子表示）代数式求值【中考真题练】1．（2022•郴州）若＝，则＝．2．（2022•成都）已知2a2﹣7＝2a，则代数式（a﹣）÷的值为．3．（2022•邵阳）已知x2﹣3x+1＝0，则3x2﹣9x+5＝．4．（2022•广西）阅读材料：整体代值是数学中常用的方法．例如“已知3a﹣b＝2，求代数式6a﹣2b﹣1的值．”可以这样解：6a﹣2b﹣1＝2（3a﹣b）﹣1＝2×2﹣1＝3．根据阅读材料，解决问题：若x＝2是关于x的一元一次方程ax+b＝3的解，则代数式4a2+4ab+b2+4a+2b﹣1的值是．5．（2022•苏州）已知3x2﹣2x﹣3＝0，求（x﹣1）2+x（x+）的值．6．（2022•安徽）观察以下等式：第1个等式：（2×1+1）2＝（2×2+1）2﹣（2×2）2，第2个等式：（2×2+1）2＝（3×4+1）2﹣（3×4）2，第3个等式：（2×3+1）2＝（4×6+1）2﹣（4×6）2，第4个等式：（2×4+1）2＝（5×8+1）2﹣（5×8）2，……按照以上规律，解决下列问题：（1）写出第5个等式：；（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明．7．（2022•金华）如图1，将长为2a+3，宽为2a的矩形分割成四个全等的直角三角形，拼成“赵爽弦图”（如图2），得到大小两个正方形．（1）用关于a的代数式表示图2中小正方形的边长．（2）当a＝3时，该小正方形的面积是多少？【中考模拟练】1．（2023•新华区模拟）已知a+2b﹣3＝0，则2a+4b+6的值是（）A．8B．12C．18D．242．（2023•香洲区校级一模）若，则＝．3．（2023•化州市模拟）已知﹣2m+3n2+7＝0，则代数式﹣12n2+8m+4的值等于．4．（2023•沭阳县模拟）按如图所示的运算程序，输入x的值为1时，则输出y值为．5．（2023•汉中一模）在数学活动课上，同学们利用如图所示的程序进行计算，计算按箭头指向循环进行．如，当初始输入5时，即x＝5，第1次计算结果为16，第2次计算结果为8，第3次计算结果为4，…（1）当初始输入1时，第1次计算结果为；（2）当初始输入4时，第3次计算结果为；（3）当初始输入3时，依次计算得到的所有结果中，有个不同的值，第20次计算结果为．。

初中数学中考总复习《数与式》代数式、整式与因式分解

初中数学中考总复习《数与式》代数式、整式与因式分解

拓展训练
21. (2020柳州11题3分)下列多项式中，能用平方差公式进行因式分解的是( A )
A. a2－b2
B. －a2－b2
C. a2＋b2
D. a2＋2ab＋b2
22. (2020贺州7题3分)多项式2a2b3＋8a4b2因式分解为( C )
A. a2b2(2b＋8a2)
B. 2ab2(ab＋4a3)
2. (数学文化) (2020泰安)下表被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”. 其规律是： 从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数 之和. 表中两平行线之间的一列数：1，3，6，10，15，…，我们把第一个数 记为a1，第二个数记为a2，第三个数记为a3，…，第n个数记为an，则a4＋a200 ＝__2_0_1_1_0__．
C. 5a2－3a2＝2
D. (a＋1)2＝a2＋1
13. (2018北部湾经济区5题3分)下列运算正确的是 ( D )
A. a(a＋1)＝a2＋1
B. (a2)3＝a5
C. 3a2＋a＝4a3
D. a5÷a2＝a3
14. (2017北部湾经济区4题3分)下列运算正确的是 ( A ) A. －3(x－4)＝－3x＋12 B. (－3x)2·4x2＝－12x4 C. 3x＋2x2＝5x3 D. x6÷x2＝x3
命题点 4 整式化简及求值(南宁2015年考查)
拓展训练 15. (2017来宾16题3分)化简：(7a－5b)－(4a－3b)＝_3_a_－__2_b__． 16. (2015南宁20题6分)先化简，再求值：(1＋x)(1－x)＋x(x＋2)－1，其中x＝12 .
解：原式＝1－x2＋x2＋2x－1＝2x.
第7题图

中考数学：代数式的化简求值问题大题专练真题+模拟(解析版北京专用)

中考数学：代数式的化简求值问题大题专练真题+模拟(解析版北京专用)

中考数学代数式的化简求值问题【方法归纳】是整式的化简求值问题，在2013-2022年中考中出现了6次，考查频率较高.1、对于整式的混合运算—化简求值，先按运算顺序把整式化简，再把对应字母的值代入求整式的值．有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似．2、对于分式计算：分式的运算即是分式的化简，①从整体上把握，是先对个别分式进行约分，还是先对分式进行加减；②把分式的除法运算转化为乘法运算；③按顺序(先括号内，再乘除，后加减)进行运算；④分式加减时，一是不要遗漏分式的分母，二是注意分数线具有的括号作用．【典例剖析】【例1】（2021·北京·中考真题）已知a2+2b2−1=0，求代数式(a−b)2+b(2a+b)的值．【答案】1【解析】【分析】先对代数式进行化简，然后再利用整体思想进行求解即可．【详解】解：(a−b)2+b(2a+b)=a2−2ab+b2+2ab+b2=a2+2b2，∵a2+2b2−1=0，∴a2+2b2=1，代入原式得：原式=1．【点睛】本题主要考查整式的乘法运算及完全平方公式，熟练掌握利用整体思想进行整式的化简求值是解题的关键．【例2】（2022·北京·中考真题）已知x2+2x−2=0，求代数式x(x+2)+(x+1)2的值．【答案】５【解析】【分析】先根据x2+2x−2=0，得出x2+2x=2，将x(x+2)+(x+1)2变形为2(x2+2x)+1，最后代入求值即可．【详解】解：∵x2+2x−2=0，∴x2+2x=2，∴x(x+2)+(x+1)2=x2+2x+x2+2x+1=2x2+4x+1=2(x2+2x)+1=2×2+1=5【点睛】本题主要考查了代数式求值，完全平方公式，单项式乘多项式，将x(x+2)+(x+1)2变形为2(x2+2x)+1，是解题的关键．【真题再现】1．（2013·北京·中考真题）已知x2−4x−1=0，求代数式(2x−3)2−(x+y)(x−y)−y2的值．【答案】12【解析】【分析】将代数式应用完全平方公式和平方差公式展开后合并同类项，将x2−4x=1整体代入求值．【详解】解：∵x2−4x−1=0，∴x2−4x=1．∴(2x−3)2−(x+y)(x−y)−y2=4x2−12x+9−x2+y2−y2=3x2−12x+9=3(x2−4x)+9=3×1+9=12．2．（2014·北京·中考真题）已知x−y=√3，求代数式(x+1)2−2x+y(y−2x)的值.【答案】4【解析】【分析】先利用完全平方公式以及整式的乘法将所给的式子化简，然后再进行处理，代入所给的数据即可．【详解】原式=x2-2xy+y2+1=(x-y)2+1，把x-y=√3代入，原式=3+1=4．【点睛】本题考查了整式的混合运算，涉及了完全平方公式，单项式乘多项式以及因式分解的应用，掌握整体代入的方法是解题的关键．3．（2015·北京·中考真题）已知2a2+3a-6=0．求代数式3a（2a+1）-（2a+1）（2a-1）的值．【答案】7【解析】【分析】先根据整式的乘法化简，然后再整体代入即可求解．【详解】解：3a(2a+1)−(2a+1)(2a−1)=6a2+3a−4a2+1=2a2+3a+1∵2a2+3a−6=0∴2a2+3a+1=7∴原式=7．【点睛】本题考查整式的化简求值．4．（2020·北京·中考真题）已知5x2−x−1=0，求代数式(3x+2)(3x−2)+x(x−2)的值．【答案】10x2−2x−4，-2【解析】【分析】先按照整式的混合运算化简代数式，注意利用平方差公式进行简便运算，再把5x2−x−1= 0变形后，整体代入求值即可．【详解】解：原式=9x2−4+x2−2x=10x2−2x−4.∵5x2−x−1=0，∴5x2−x=1，∴10x2−2x=2，∴原式=2−4=−2．本题考查的是整式化简求值，掌握利用平方差公式进行简便运算，整体代入求值是解题的关键．【模拟精练】一、解答题(共30题)1．（2022·北京房山·二模）已知2x2+3y2=2，求代数式(x+y)(x−y)+(x+2y)2−4xy的值．【答案】2【解析】【分析】利用平方差公式和完全平方公式对所给代数式进行化简，再将2x2+3y2=2整体代入求解．【详解】解：原式=x2−y2+x2+4xy+4y2−4xy=2x2+3y2，∵2x2+3y2=2，∴原式=2x2+3y2=2．【点睛】本题考查利用平方差公式和完全平方公式对代数式进行化简求值，难度较小，掌握整体代入思想是解题的关键．2．（2022·北京平谷·二模）已知m2−2m+5=0，求代数式(m−2)2+2(m+1)的值．【答案】1【解析】【分析】先根据已知等式可得m2−2m=−5，再利用完全平方公式、整式的加减运算法则求值即可得．【详解】解：由m2−2m+5=0得：m2−2m=−5，所以(m−2)2+2(m+1)=m2−4m+4+2m+2=m2−2m+6=−5+6=1．【点睛】本题考查了代数式求值、完全平方公式、整式的加减运算，熟练掌握整式的运算法则是解题关键．3．（2022·北京北京·二模）已知2m2+5m−1=0，求代数式(m+3)2+m(m−1)的值．【解析】【分析】去括号，合并同类项化简代数式，再根据2m2+5m−1=0得2m2+5m=1代入原式即可求得答案．【详解】解：(m+3)2+m(m−1)=m2+6m+9+m2−m=2m2+5m+9，∵2m2+5m−1=0，∴2m2+5m=1，∴2m2+5m+9=1+9=10，∴原代数式的值为10．【点睛】本题考查了代数式的化简，正确化简代数式是解题的关键．4．（2022·北京丰台·二模）已知3a2+b2−2=0，求代数式(a+b)2+2a(a−b)的值．【答案】2【解析】【分析】先将3a2+b2−2=0变形，得出3a2+b2=2，再将原式利用完全平方公式和整式运算化简，即可求解．【详解】∵3a2+b2−2=0，∴3a2+b2=2，∴(a+b)2+2a(a−b)=a2+2ab+b2+2a2−2ab=3a2+b2=2．【点睛】本题考查了完全平方公式和整式的化简求值，熟练掌握知识点是解题的关键．5．（2022·北京顺义·二模）已知x2+3x−2=0，求代数式(2x+y)(2x−y)−2x(x−3)+y2的值．【答案】4【解析】【分析】由x2+3x−2=0，可得x2+3x=2，根据完全平方公式，单项式乘以多项式，然后合并同类项，代入x2+3x=2，即可求解．【详解】解：∵x2+3x−2=0，∴x2+3x=2，(2x+y)(2x−y)−2x(x−3)+y2=4x2−y2−2x2+6x+y2=2x2+6x=2(x2+3x)=2×2=4．【点睛】本题考查了整数的混合运算，整体代入是解题的关键．6．（2022·北京房山·二模）已知x2+x−2=0，求代数式(x+1)(x−1)+x(x+2)的值．【答案】3【解析】【分析】先化简代数式，然后将x2+x−2=0，代入求解即可求解．【详解】解：∵x2+x−2=0，∴(x+1)(x−1)+x(x+2)=x2−1+x2+2x=2x2+2x−1=2(x2+x)−1=2×2−1=3．【点睛】本题考查了整式的化简求值，掌握整式的乘法是解题的关键．7．（2022·北京石景山·一模）已知m2−m=1，求代数式(2m+1)(2m−1)−m(m+3)的值．【答案】2【解析】【分析】根据平方差公式、合并同类项，化简代数式即可求解．【详解】解：(2m+1)(2m−1)−m(m+3)=4m2−1−m2−3m=3(m2−m)−1∵m2−m=1∴原式=3×1−1=2【点睛】本题考查了代数式、整式加减、合并同类项、平方差公式等知识点，熟练的正确运算是解决问题的关键．8．（2022·北京大兴·一模）已知x2−2x−1=0，求(x+1)(x−1)+2x(x−3)的值．【答案】2【解析】【分析】根据题意可得x2−2x=1，化简式子，整体代入即可求解．【详解】解：∵x2−2x−1=0，∴x2−2x=1，∴(x+1)(x−1)+2x(x−3)=x2−1+2x2−6x=3x2−6x−1=3(x2−2x)−1=3×1−1=2．【点睛】本题考查代数式求值，掌握整体代入的方法是解题的关键．9．（2022·北京一七一中一模）x−3x−1=0，求代数式x(3x−6)−(x+2)(x−2)的值.【答案】6【解析】【分析】将代数式化简，再提出二次项系数2，即可整体代换x2−3x的值．【详解】x(3x−6)−(x+2)(x−2)=3x2−6x−(x2−4)=2x2−6x+4=2(x2−3x)+4∵x2−3x−1=0，∴x2−3x=1，∴原式=2×1+4=6．【点睛】本题考查整式的化简求值和整体代换法．熟练掌握整式的化简计算和整体代换是解决本题的关键．10．（2022·北京平谷·一模）已知a2+2a﹣2＝0，求代数式（a﹣1）（a+1）+2（a﹣1）的值．【答案】−1【解析】【分析】(a−1)(a+1)+2(a−1)=a2+2a−3，由a2+2a−2=0可得a2+2a=2，整体代入求解即可．【详解】解：(a−1)(a+1)+2(a−1)=(a−1)(a+1+2)=(a−1)(a+3)=a2+2a−3∵a2+2a−2=0∴a2+2a=2∴原式=2−3=−1．【点睛】本题考查了代数式求值．解题的关键在于熟练掌握平方差公式及整体代入的思想．11．（2022·北京朝阳·一模）已知x2+x−3=0，求代数式(2x+3)(2x−3)−x(x−3)的值．【答案】0【解析】【分析】根据整式的乘法对代数式进行化简，整体代入即可得到答案．【详解】解：(2x+3)(2x−3)−x(x−3)=(2x)2−32−(x2−3x)=4x2−9−x2+3x=3x2+3x−9=3(x2+x−3)∵x2+x−3=0∴原式=0即代数式(2x+3)(2x−3)−x(x−3)的值为0．【点睛】本题考查整式的化简求值，根据整式的运算法则和乘法公式进行准确计算是解题的关键．12．（2022·北京市第一六一中学分校一模）已知a2﹣a﹣3＝0，求代数式a（3a﹣2）﹣b2﹣（a+b）（a﹣b）的值．【答案】6【解析】【分析】根据整式的混合运算将a(3a−2)−b2−(a+b)(a−b)化简即可得到2(a2−a)，再将a2−a−3=0变形为a2−a=3，最后整体代入求值即可．【详解】解：a(3a−2)−b2−(a+b)(a−b)=3a2−2a−b2−a2+b2=2(a2−a)．∵a2−a−3=0，即a2−a=3，∴2(a2−a)=2×3=6．【点睛】本题考查整式的混合运算和代数式求值．掌握整式的混合运算法则是解题关键．13．（2022·北京西城·一模）已知a2−2ab−7=0，求代数式(a+b)2−b(4a+b)+5的值．【答案】7【解析】【分析】先利用完全平方公式和整式的乘法运算法则化简，再把a2−2ab−7=0变形为a2−2ab= 7，然后再代入，即可求解．【详解】解：(a+b)2−b(4a+b)+5=a2+2ab+b2−4ab−b2+5=a2−2ab+5∵a2−2ab−7=0，∴a2−2ab=7，∴原式=7+5=12【点睛】本题主要考查了整式的混合运算，熟练掌握整式混合运算法则是解题的关键．14．（2022·北京通州·一模）已知a2−ab=1，求代数式(a−b)2+(a+b)(a−b)的值．【答案】2【解析】【分析】先根据完全平方公式和平方差公式化简，再把a2−ab=1变形整体代入即可求解．，【详解】解：(a−b)2+(a+b)(a−b)=a2-2ab+b2+a2-b2=2a2-2ab=2(a2-ab)∵a2−ab=1∴(a−b)2+(a+b)(a−b)=2(a2-ab)=2．【点睛】本题主要考查完全平方差公式、平方差公式的化简，去括号得到最简结果，再把已知等式变形后代入计算求值，解题的关键是学会整体代入的思想解决问题．15．（2022·北京海淀·一模）已知m2−2mn−3=0，求代数式(m−n)2+(m+n)(m−n)−m2的值．【答案】3【解析】【分析】将(m−n)2+(m+n)(m−n)−m2化简得m2−2mn，再将m2−2mn−3=0变形m2−2mn=3代入即可．【详解】解：(m−n)2+(m+n)(m−n)−m2=m2−2mn+n2+m2−n2−m2=m2−2mn，∵m2−2mn−3=0，∴m2−2mn=3，∴(m−n)2+(m+n)(m−n)−m2=m2−2mn=3．【点睛】本题考查了整式的化简求值，解题的关键是整体代入思想的运用．16．（2022·北京市三帆中学模拟预测）已知x2−4x−3=0，求(x−3)(x+3)−(x+2)2+ (xy)2÷y2的值．【答案】−10【解析】【分析】首先把整式进行化简，再把x2−4x=3代入，即可求得其值．【详解】解：∵x2−4x−3=0∴x2−4x=3∴(x−3)(x+3)−(x+2)2+(xy)2÷y2=x2−9−(x2+4x+4)+x2y2÷y2=x2−9−x2−4x−4+x2=x2−4x−13=3−13=−10【点睛】本题考查了整式的化简求值问题，采用整体代入法是解决此类题的关键．17．（2022·北京十一学校一分校模拟预测）已知x2+2x−1=0，求代数式(x+1)2+x(x+ 4)+(x−3)(x+3)的值．【答案】−5【解析】【分析】根据完全平方公式，单项式乘以多项式，平方差公式进行化简，再将已知代数式变形代入求解即可．【详解】解：∵(x+1)2+x(x+4)+(x−3)(x+3)=x2+2x+1+x2+4x+x2−9=3x2+6x−8又x2+2x−1=0x2+2x=1∴原式=3(x2+2x)−8=3×1−8=−5【点睛】本题考查了整式的化简求值，掌握完全平方公式，单项式乘以多项式，平方差公式是解题的关键．18．（2022·北京朝阳·模拟预测）先化简，再求值：（2a+1）2﹣2（a+2）（a﹣2），其中a为方程2x2+4x﹣3＝0的解．【答案】2a2+4a+9，12【解析】【分析】直接利用乘法公式化简计算，进而把已知代入求出答案．【详解】解：（2a+1）2﹣2（a+2）（a﹣2）＝4a2+4a+1﹣2（a2﹣4）＝4a2+4a+1﹣2a2+8＝2a2+4a+9，∵a为方程2x2+4x﹣3＝0的解，∴2a2+4a＝3，∴原式＝3+9＝12．【点睛】此题主要考查了整式的混合运算，正确运用乘法公式是解题关键．19．（2022·北京昌平·模拟预测）先化简，再求值：已知x−y=1，求(x+y)(x−y)+(y−1)2−x(x−2)的值．【答案】−2y+2x+1，3【解析】【分析】根据乘法公式与单项式乘以多项式法则展开合并同类项，然后整体代入x−y=1，求值即可．【详解】解：(x+y)(x−y)+(y−1)2−x(x−2)，=x2−y2+y2−2y+1−x2+2x，=−2y+2x+1，∵x−y=1，∴原式=2x−2y+1=2(x−y)+1=2×1+1=3．【点睛】本题考查多项式乘法化简求值，掌握平方差公式和完全平方公式，以及单项式乘以多项式法则是解题关键．20．（2022·北京·北理工附中模拟预测）已知a2+2b2−1=0，求代数式(a−b)2+b(2a+b)的值．【答案】1【解析】【分析】先对代数式进行化简，然后再利用整体思想进行求解即可．【详解】解：(a−b)2+b(2a+b)=a2−2ab+b2+2ab+b2=a2+2b2，∵a2+2b2−1=0，∴a2+2b2=1，代入原式得：原式=1．【点睛】本题主要考查整式的乘法运算及完全平方公式，熟练掌握利用整体思想进行整式的化简求值是解题的关键．21．（2022·北京西城·二模）已知x2+x−5=0，求代数式(1x +1x+1)⋅56x+3的值．【答案】53x2+3x ，13【解析】【分析】先根据分式混合运算法则化简分式，再由x2+x-5=0，变形为3x2+3x=15，最后整体代入化简式计算即可．【详解】解：(1x +1x+1)⋅56x+3=2x+1 x(x+1)⋅53(2x+1)=53x2+3x，∵x2+x-5=0，∴x2+x=5，∴3x2+3x=15，当3x2+3x=15时，原式=515=13，【点睛】本题考查分式化简求值，熟练掌握分式混合运算法则是解题的关键．22．（2022·北京市广渠门中学模拟预测）如果m2−4m−6=0，那么代数式(m2−m−4m+3+1)÷m+1m2−9的值．【答案】m2−4m+3，9【解析】【分析】根据分式的加法和除法法则化简题目中的式子，然后根据m2−4m−6=0可以得到m2−4m=6，然后整体代入化简后的式子即可解答本题．【详解】解：(m2−m−4m+3+1)÷m+1m2−9=m2−m−4+m+3m+3⋅(m+3)(m−3)m+1，=(m+1)(m−1)m+3⋅(m+3)(m−3)m+1，=(m −1)⋅(m −3)， =m 2−4m +3， ∵m 2−4m −6=0， ∴m 2−4m =6，∴原式=m 2−4m +3=6+3=9． 【点睛】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是掌握整体思想的应用． 23．（2020·北京朝阳·模拟预测）先化简，再求值：(2x 2x+1−14x 2+2x)÷(1−4x +214x)，其中x ＝3． 【答案】−22x−1，25【解析】 【分析】先根据分式的加减法法则计算括号内，再根据分式的乘除法法则计算即可． 【详解】 原式=4x 2−12x(2x+1)÷4x−4x 2−14x=(2x+1)(2x−1)2x(2x+1)⋅4x −(2x−1)2=−22x−1．当x =3时，原式=−22×3−1=−25． 【点睛】本题主要考查了分式的混合运算，掌握分式的通分和约分是解题的关键． 24．（2022·北京·二模）先化简，再求值：(a 2a−b−2ab−b 2a−b)÷a−b ab，其中a =√3+1,b =√3−1．【答案】ab ，2 【解析】 【分析】先对分式进行化简，然后再代入进行二次根式的运算即可． 【详解】 解：原式=a 2−2ab+b 2a−b×ab a−b=ab (a−b )2(a−b )2=ab ，把a =√3+1,b =√3−1代入得：原式=(√3+1)(√3−1)=3−1=2． 【点睛】本题主要考查分式的化简求值及二次根式的运算，熟练掌握分式的运算及二次根式的运算是解题的关键．25．（2021·北京门头沟·二模）已知：x−2y=0，求2x+yx2−2xy+y2⋅(x−y)的值．【答案】5【解析】【分析】先根据分式的乘法法则进行化简，再由x−2y=0得到x=2y，代入即可求解【详解】解：2x+yx2−2xy+y2⋅(x−y)=2x+y(x−y)2·(x−y)=2x+yx−y；当x−2y=0时，x=2y，原式=4y+y2y−y =5yy=5．【点睛】本题考查了分式的乘法运算与化简求值，正确进行分式的化简是解题关键．26．（2021·北京·一模）已知m+2n=√5，求代数式(4nm−2n +2)÷mm2−4n2的值．【答案】2√5【解析】【分析】根据分式的混合运算法则把原式化简，代入计算即可．【详解】解：原式=(4nm−2n +2m−4nm−2n)÷m2−4n22mm−2n×(m+2n)(m−2n)m=2(m+2n)，当m+2n=√5时，原式=2√5．【点睛】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．27．（2020·北京东城·二模）已知a−2b=0，求代数式1−(1a+3b +6ba2−9b2)÷a+3ba2−6ab+9b2的值．【答案】6ba+3b ，65【解析】【分析】将代数式化简得到6ba+3b ，再根据题意a−2b=0，可得a=2b，用b表示a代入6ba+3b，即可得出答案．【详解】解：1−(1a+3b +6ba2−9b2)÷a+3ba2−6ab+9b2=1−[a −3b (a +3b)(a −3b)+6b (a +3b)(a −3b)]÷a +3b(a −3b)2=1−a −3b +6b (a +3b)(a −3b)⋅(a −3b)2a +3b=1−a −3ba +3b=6b a+3b．当a −2b =0，即a =2b 时， 原式=6b2b+3b =65． 【点睛】本题考查了分式化简求值的知识点， 熟练掌握分式化简，以及用b 表示a 代入化简的代数式是解题的关键．28．（2020·北京门头沟·一模）已知a ≠0，a +b ≠0且a −b =1，求代数式a 2−b 22a 2+2ab÷(a −2ab−b 2a)的值．【答案】12(a−b )，12． 【解析】 【分析】由题意根据分式的混合运算法则把原式化简，代入计算即可． 【详解】 解：a 2−b 22a 2+2ab÷(a −2ab−b 2a)=(a +b )(a −b )2a (a +b )÷(a 2a −2ab −b 2a )=(a +b )(a −b )2a (a +b )÷(a 2−2ab +b 2a)=(a +b )(a −b )2a (a +b )⋅a(a −b )2 =12(a −b )∵a −b =1， ∴ 原式=12(a−b )=12． 【点睛】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键． 29．（2020·北京·北理工附中三模）先化简：(x 2−2x+1x 2−x+x 2−4x 2+2x )÷x−4x，再从−1≤x ≤3的整数中选取一个你喜欢的x 的值代入求值．【答案】2x−3x−4，当x =−1时，原式=1 【解析】 【分析】先利用分式的基本性质和分式的混合运算顺序和法则对分式进行化简，然后从−1≤x ≤3的整数中选取合适的x 的值代入计算即可． 【详解】 原式=[(x−1)2x (x−1)+(x+2)(x−2)x (x+2)]⋅xx−4， =(x −1x +x −2x )⋅xx −4 =2x −3x ⋅xx −4 =2x −3x −4∵x ≠0,1,2， ∴当x =−1时，原式=2×(−1)−3−1−4=1．【点睛】本题主要考查分式的化简求值，掌握分式的基本性质是解题的关键． 30．（2020·北京·模拟预测）如果m 2+m −√2=0，求代数式(2m+1m 2+1)÷m+1m 3的值【答案】√2 【解析】 【分析】首先将代数式加以化简，然后根据题意进一步可知m 2+m =√2，最后整体代入计算即可. 【详解】 由题意得：(2m +1m 2+1)÷m +1m 3=(2m+1m 2+m 2m 2)×m 3m+1 =(m+1)2m 2×m 3m+1=m (m +1) =m 2+m ，又∵m 2+m −√2=0， ∴m 2+m =√2， ∴原式=m 2+m =√2. 【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，熟练掌握相关方法是解题关键.。

八年级数学专题——有关代数式的求值问题人教实验版知识精讲

八年级数学专题——有关代数式的求值问题人教实验版知识精讲

初二数学专题——有关代数式的求值问题人教实验版【本讲教育信息】一. 教学内容：1. 化简求代数式的值．2. 利用整体思想求代数式的值．3. 运用完全平方公式的变形求代数式的值．二. 知识要点：1. 化简求值的一般思路，首先要把所给的代数式整理化简，再把相关字母的值代入，即可求得原代数式的值．其步骤为：①化简，②代入．例如：已知x ＝12，求代数式x 2（x －1）－x （x 2＋x －1）的值． 解：x 2（x －1）－x （x 2＋x －1）＝x 3－x 2－x 3－x 2＋x＝－2x 2＋x当x ＝12时，原式＝－2×（12）2＋12＝0 这类题型的重点是化简运算，主要运用整式加减、整式的乘除．同时，注重添、去括号的运算法则．合并同类项：系数相加减，字母和字母的指数不变．单项式乘多项式：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．多项式乘多项式：先用一个多项式每一项去乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．添（去）括号：括号前是“＋”号，添上（去掉）括号，括号内的每一项都不改变符号；括号前是“－”号，添上（去掉）括号，括号里的各项都改变符号．2. 运用整体思想这类题型一般已知某个式子的值，去求新的代数式的值．解题思路：整理所求代数式让其变形或构造出已知式子的形式，然后代入求值．例如：已知x 2＋x －1＝0，求x 3＋2x 2＋5的值．解：由x 2＋x －1＝0得x 2＋x ＝1则x 3＋2x 2＋5＝x 3＋x 2＋x 2＋5＝x （x 2＋x ）＋x 2＋5当x 2＋x ＝1时，原式＝x ＋x 2＋5＝1＋5＝6变形时常用因式分解进行整理．3. 运用完全平方公式变形，求代数式的值常用变形：①a 2＋b 2＝（a ＋b ）2－2ab ＝（a －b ）2＋2ab ；②（a －b ）2＝（a ＋b ）2－4ab ；③（a ＋b ）2＝（a －b ）2＋4ab ；④（a ＋b ）2＋（a －b ）2＝2a 2＋2b 2；⑤（a ＋b ）2－（a －b ）2＝4ab ；⑥（x ±1x ）2＝x 2＋1x 2±2．三. 考点分析：求代数式的值是中考的热门题型，往往是综合考查整式的加减、整式的乘除、因式分解和有理数的有关内容．难度中等，所占分值不高．【典型例题】例1. 先化简再求值．［（x －y ）2＋（x ＋y ）（x －y ）］÷2x ，其中x ＝3，y ＝－1.5．分析：（x －y ）2与（x ＋y ）与（x －y ）可运用乘法的完全平方公式与平方差公式展开，然后合并同类项．解：［（x －y ）2＋（x ＋y ）（x －y ）］÷2x＝（x 2－2xy ＋y 2＋x 2－y 2）÷2x＝（2x 2－2xy ）÷2x＝x －y当x ＝3，y ＝－1.5时，原式＝3－（－1.5）＝4.5．例2. 化简求值．（1）6a 2－5a （－a ＋2b －1）＋4a （－3a －52b －34），其中a ＝2，b ＝120； （2）若a ＝2，b ＝3，求3a 2b （2ab 3－a 2b 3－1）＋2（ab ）4＋a ·3ab 的值．分析：此种类型的题目应先把原式化简成最简形式，再代入求值．解：（1）6a 2－5a （－a ＋2b －1）＋4a （－3a －52b －34） ＝6a 2＋5a 2－10ab ＋5a －12a 2－10ab －3a＝－a 2－20ab ＋2a当a ＝2，b ＝120时，原式＝－22－20×2×120＋2×2＝－2． （2）3a 2b （2ab 3－a 2b 3－1）＋2（ab ）4＋a ·3ab＝6a 3b 4－3a 4b 4－3a 2b ＋2a 4b 4＋3a 2b＝6a 3b 4－a 4b 4．当a ＝2，b ＝3时，原式＝6×23×34－24×34＝2592．评析：正确运用运算性质，注意运算顺序，注意合并同类项．例3. 已知10a ＝20，10b ＝15，求3a ÷3b 的值． 分析：3a ÷3b ＝3a －b ，因此只需要求出a －b 的值即可．而10a ÷10b ＝10a －b ．解：因为10a ＝20，10b ＝15， 所以10a ÷10b ＝10a －b ＝20÷15＝102． 所以a －b ＝2．所以3a ÷3b ＝3a －b ＝32＝9．评析：此种类型的题目，要注意从问题出发，向已知条件靠拢．例4. （1）已知a ＋b ＝2，ab ＝－3，求a 2＋3ab ＋b 2的值．（2）已知（a ＋b ）2＝10，（a －b ）2＝2，求a 2＋b 2和ab 的值．分析：（1）本题直接计算不容易，如果把3ab 拆成（2ab ＋ab ）便可凑成完全平方公式的条件．（2）利用完全平方公式变形即可．解：（1）a 2＋3ab ＋b 2＝（a ＋b ）2＋ab当a ＋b ＝2，ab ＝－3时，原式＝22－3＝1．（2）由（a ＋b ）2＝10，得a 2＋2ab ＋b 2＝10（ⅰ）；由（a －b ）2＝2，得a 2－2ab ＋b 2＝2（ⅱ）；（ⅰ）＋（ⅱ）得2a 2＋2b 2＝12，即a 2＋b 2＝6．（ⅰ）－（ⅱ）得4ab ＝8，故ab ＝2．例5. 若a （a －1）－（a 2－b ）＝－2，求a 2＋b 22－ab 的值． 分析：首先对已知等式化简整理，a （a －1）－（a 2－b ）＝a 2－a －a 2＋b ＝－（a －b ）＝－2，即a －b ＝2．解：由已知化简可得a －b ＝2，所以a 2＋b 22－ab ＝12（a 2＋b 2－2ab ）＝12（a －b ）2＝12×22＝2． 评析：这类问题要对已知和所求都做适当变形，使它们含有一个相同的代数式．例6. 已知（2009－a ）（2006－a ）＝2007，求（2009－a ）2＋（2006－a ）2的值．分析：此题如果把原式展开，则非常麻烦．根据式子的特点，可设2009－a ＝x ，2006－a ＝y ，则xy ＝2007，x －y ＝3．要求的式子可转化为x 2＋y 2．解：设2009－a ＝x ，2006－a ＝y ，则xy ＝2007，x －y ＝3．所以x 2＋y 2＝（x －y ）2＋2xy ＝32＋2×2007＝9＋4014＝4023．所以（2009－a ）2＋（2006－a ）2的值为4023．评析：此题还有别的解法，将已知等式和所求代数式都展开，通过变形找出两者相同的部分，同学们可自己试试．【方法总结】本节主要讲述代数式求值的技巧问题，解决这类问题需要平时多积累，熟练掌握相关知识点，常用的方法有运算律的逆用、公式变形、拼凑、因式分解等．【模拟试题】（答题时间：45分钟）一. 选择题1. 已知5m ＝6，5n ＝3，则5m ＋n 的值是（ ）A. 3B. 2C. 18D. －3 2. 若a －b ＝2，则a 2－2ab ＋b 2的值是（ ）A. 8B. 2C. 4D. 2 3. 已知x ＋y ＝－5，xy ＝6，则x 2＋y 2的值是（ ）A. 1B. 13C. 17D. 25 4. 若a ＞0且a x ＝2，a y ＝3，则a x －y 的值为（ ）A. －1B. 1C. 23D. 32 *5. 已知x ＋y ＝12，则12x 2＋xy ＋12y 2的值是（ ） A. 14 B. 18C. 1D. 116二. 填空题1. 已知x ＝12，y ＝－1，则（x ＋y ）2－（x ＋y ）（x －y ）＝__________． 2. 已知x n ＝5，y n ＝3，则（xy ）2n 的值为__________．3. 已知（a －b ）2＝4，ab ＝12，则（a ＋b ）2＝__________． 4. 已知︱a －2︱＋（b ＋12）2＝0，则a 10b 10＝__________． 5. 已知x ＋y ＝4，x －y ＝10，则2xy ＝__________．6. 当s ＝t ＋12时，代数式s 2－2st ＋t 2的值为__________． **7. 已知y ＝13x －1，那么13x 2－2xy ＋3y 2－2的值是__________．三. 解答题1. 先化简，再求值：（x ＋3）2＋（x ＋2）（x －2）－2x 2，其中x ＝－13． 2. 已知a ＋b ＝5，ab ＝3，求a 2＋b 2的值．*3. 已知x 2－4＝0，求代数式x (x ＋1)2－x (x 2＋x )－x －7的值．**4. 已知︱x ＋y －3︱＋（x －y －1）2＝0，求代数式12［（－x 2y ）2］3的值．【试题答案】一. 选择题1. C2. C3. B4. C5. B二. 填空题1. 12. 2253. 64. 15. －426. 147. 1三. 解答题1. 解：原式＝6x ＋5＝3．2. 解：a 2＋b 2＝（a ＋b ）2－2ab ＝52－2×3＝19．3. 解：由已知得x 2＝4，x （x ＋1）2－x （x 2＋x ）－x －7＝x （x ＋1）［（x ＋1）－x ］－x －7＝x 2－7原式＝4－7＝－3．4. 提示：先由“两非负数和为0，则每个非负数均为0”得到x 、y 的值，然后化简求值．解：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3＝0x －y －1＝0 ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝1 ． 所以12［（－x 2y ）2］3＝12x 12y 6＝12×212×16＝211．。

最新中考数学专题复习-代数式求值(含解析)

最新中考数学专题复习-代数式求值(含解析)

代数式求值（含解析）一、单选题1.若代数式2x2+3x的值是5，则代数式4x2+6x﹣9的值是（）A. 10B. 1C. -4D. -82.已知a - b =1，则代数式2a-2b -3的值是( )A. -1B. 1C. -5D. 53.当x=﹣1时，2ax3﹣3bx+8的值为18，则12b﹣8a+2的值为（）A. 40B. 42C. 46D. 564.已知，则的值是（）A. B.C. D.5.已知多项式x2+3x=3，可求得另一个多项式3x2+9x﹣4的值为（）A. 3B. 4C. 5D. 66.若x2+x+1的值是8，则4x2+4x+9的值是（）A. 37B. 25C. 32D. 07.已知a－b = －2，则代数式3 (a－b)2 －ｂ＋ａ的值为（）A. －12B. －10C. 10D. 128.按下面的程序计算：若输入x=100，输出结果是501，若输入x=25，输出结果是631，若开始输入的x值为正整数，最后输出的结果为556，则开始输入的x值可能有（）A. 1种B. 2种C. 3种D. 4种9.设某代数式为A，若存在实数x0使得代数式A的值为负数，则代数式A可以是（）A. |3﹣x|B. x2+xC. D. x2﹣2x+110.当x=1时，代数式x3+x+m的值是7，则当x=﹣1时，这个代数式的值是（）A. 7B. 3C. 1D. -711.已知a﹣b=1，则代数式2a﹣2b﹣3的值是（）A. 1B. -1C. 5D. -512.使代数式2（x-5）的值为零的x的值是（）A. 2B. -2C. 5D. -5二、填空题13.若x2﹣3x=4，则代数式2x2﹣6x的值为________．14.已知x=（b2﹣4c＞0），则x2+bx+c的值为________ ．15.若x2+2x的值是8，则4x2﹣5+8x的值是________．16.若一个代数式a2﹣2a﹣2的值为3，则3a2﹣6a的值为________17.已知m﹣n=3mn，则的值是________．18.按照如图的操作步骤，若输入x的值为2，则输出的值是________．（用科学计算器计算或笔算）三、计算题19.先化简再求值：5x2﹣[2xy﹣3×（xy+2）+4x2]，其中x=﹣2，y= ．20.已知x2﹣x﹣5=0，求代数式（x+1）2﹣x（2x+1）的值．21.先化简，再求值：5（3a2b﹣ab2）﹣3（ab2+5a2b），其中a= ，b=﹣．四、解答题22.已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值是2，求的值．23.已知|ab﹣2|与|a﹣1|互为相互数，试求下式的值：+ + +…+ ．五、综合题24.阅读理解：由面积都是1的小正方格组成的方格平面叫做格点平面．而纵横两组平行线的交点叫做格点．如图1中，有9个格点，如果一个正方形的每个顶点都在格点上，那么这个正方形称为格点正方形．（1）探索发现：按照图形完成下表：格点正方形内格点数格点正方形面积关于格点正方形的面积S，从上述表格中你发现了什么规律？（2）继续猜想：类比格点正方形的概念，如果一个长方形的每个顶点都在格点上，那么这个长方形称为格点长方形，对于格点长方形的面积，你认为也有类似（1）中的规律吗？试以图5中格点长方形为例来说明．25.已知多项式ax5+bx3+3x+c，当x=0时，该代数式的值为﹣1．（1）求c的值；（2）已知当x=3时，该式子的值为9，试求当x=﹣3时该式子的值；（3）在第（2）小题的已知条件下，若有3a=5b成立，试比较a+b与c的大小？26.公安人员在破案时常常根据案发现场作案人员留下的脚印推断犯人的身高，如果用a表示脚印长度，b表示身高，关系接近于b=7a﹣3.07．（1）某人脚印长度为24.5cm，则他的身高约为多少？（2）在某次案件中，抓获了两名可疑人员，甲的身高为1.87m，乙的身高为1.75m，现场测量的脚印长度为26.9cm，请你帮助侦查一下，哪个可疑人员作案的可能性更大？答案解析部分一、单选题1.若代数式2x2+3x的值是5，则代数式4x2+6x﹣9的值是（A. 10B. 1C. -4D. -8【答案】B【考点】代数式求值【解析】【解答】解：∵2x2+3x=5，∴原式=2（2x2+3x）﹣9=10﹣9=1．故选B【分析】原式前两项提取2变形后，将已知等式代入计算即可求出值．2.已知a - b =1，则代数式2a-2b -3的值是( )A. -1B. 1C. -5D. 5【答案】C【考点】代数式求值【解析】【分析】先把2b-2a-3变形为-2（a-b)-3，然后把a-b=1代入计算即可．【解答】2b-2a-3=-2（a-b)-3，∵a-b=1，∴2b-2a-3=-2×1-3=-5．故选C．【点评】本题考查了代数式求值：先根据已知条件把代数式进行变形，然后利用整体代入进行求值．3.当x=﹣1时，2ax3﹣3bx+8的值为18，则12b﹣8a+2的值为（）A. 40B. 42C. 46D. 56【答案】B【考点】代数式求值【解析】【解答】解：将x=﹣1代入得：2ax3﹣3bx+8=﹣2a+3b+8=18，即2a﹣3b=﹣10，则12b﹣8a+2=﹣4（2a﹣3b）+2=40+2=42，故选B【分析】根据题意求出2a﹣3b的值，原式变形后将2a﹣3b代入计算即可求出值．4.已知，则的值是（）A. B.C. D.【答案】D【考点】代数式求值【解析】【分析】直接把看做一个整体代入，。

重难点1 代数式规律题与代数式求值(解析版)-【查漏补缺】2024年中考数学复习冲刺过关(全国通用)

重难点1 代数式规律题与代数式求值(解析版)-【查漏补缺】2024年中考数学复习冲刺过关(全国通用)

重难点01代数式求值与代数式规律题考点一：代数式求值代数式核心考点：1、整式中：同类项与合并同类项、同底数幂的乘除法计算公式、乘法公式、整式的混合运算等；2、分式中：分式的意义、分式的基本性质、分式的化简求值；题型01整式及其运算易错点01：幂的各公式记背⎪⎩⎪⎨⎧∙===∙∙+底数分别乘方的积）（积的乘法，等于各个，指数相乘）（幂的乘方，底数不变数不变，指数相加）（同底数幂的乘法，底n n n n m n m nm n m b a ab a a a a a )()(易错点02：乘法公式的记背与区别完全平方公式：()2222222)(2bab a b a b ab a b a +-=-++=+；首先，需注意公式中ab 乘积项的符号与两数和或差的一致性；其次，公式也是等式，从右往左也可以应用，故应用时要注意两平方项符号的一致性，如：()；2222y x y xy x --=-+-特别注意：当完全平方公式未知项为“中间项”时，答案一般会有两种情况，即正负皆可。

平方差公式：()；22)(b a b a b a -=-+平方差公式从左往右应用，只要一项系数相同，一项系数互为相反数即可，不需要都和公式长的一模一样，而结果特征为符号相同项的平方-符号相反项的平方；如：()；22)(x y y x y x -=---【中考真题练】1．（2023•黑龙江）下列运算正确的是（）A．2x+3y＝5xy B．（a+b）2＝a2+b2C．（xy2）3＝x3y6D．（a5）2÷a7＝a【分析】根据合并同类项的法则、完全平方公式、幂的乘方和积的乘方及同底数幂的除法进行计算即可作答．【解答】解：A．不能合并同类项，故本选项不符合题意；B．原式＝a2+b2+2ab，故本选项不符合题意；C．原式＝x3y6，故本选项符合题意；D．原式＝a3，故本选项不符合题意；故选：C．2．（2023•南充）关于x，y的方程组的解满足x+y＝1，则4m÷2n的值是（）A．1B．2C．4D．8【分析】根据方程组①﹣②得，2x+2y＝2m﹣n﹣1，即x+y＝，再根据x+y＝1，得2m﹣n＝3，所以4m÷2n＝22m÷2n＝22m﹣n＝23＝8．【解答】解：∵方程组，∴①﹣②得，2x+2y＝2m﹣n﹣1，∴x+y＝，∵x+y＝1，∴＝1，∴2m﹣n＝3，∴4m÷2n＝22m÷2n＝22m﹣n＝23＝8．故选：D．3．（2023•江西）化简：（a+1）2﹣a2＝2a+1．【分析】根据完全平方公式将原式展开后合并同类项即可．【解答】解：原式＝a2+2a+1﹣a2＝2a+1，故答案为：2a+1．4．（2023•凉山州）已知y2﹣my+1是完全平方式，则m的值是±2．【分析】利用完全平方式的意义解答即可．【解答】解：∵y2﹣my+1是完全平方式，y2﹣2y+1＝（y﹣1）2，y2﹣（﹣2）y+1＝（y+1）2，∴﹣m＝﹣2或﹣m＝2，∴m＝±2．故答案为：±2．5．（2023•宿迁）若实数m满足（m﹣2023）2+（2024﹣m）2＝2025，则（m﹣2023）（2024﹣m）＝﹣1012．【分析】根据a2+b2＝（a+b）2﹣2ab即可得答案．【解答】解：（m﹣2023）2+（2024﹣m）2＝2025，[（m﹣2023）+（2024﹣m）]2﹣2（m﹣2023）（2024﹣m）＝2025，1﹣2（m﹣2023）（2024﹣m）＝2025，1﹣2025＝2（m﹣2023）（2024﹣m），（m﹣2023）（2024﹣m）＝﹣1012，故答案为：﹣1012．6．（2023•丽水）如图，分别以a，b，m，n为边长作正方形，已知m＞n且满足am﹣bn＝2，an+bm＝4．（1）若a＝3，b＝4，则图1阴影部分的面积是25；（2）若图1阴影部分的面积为3，图2四边形ABCD的面积为5，则图2阴影部分的面积是．【分析】（1）根据正方形的面积公式列得代数式，然后代入数值计算即可；（2）结合已知条件可得a2+b2＝3，利用梯形面积公式可得（m+n）2＝10，然后将题干中的两个等式分别平方再相加并整理可得（a2+b2）（m2+n2）＝20，继而求得m2+n2＝，再结合（m+n）2＝10可求得mn＝，根据正方形性质可得图2中阴影部分是一个直角三角形，利用勾股定理求得其两直角边长，再根据三角形面积公式可得其面积为mn＝．【解答】解：（1）由题意可得图1阴影部分面积为：a2+b2，∵a＝3，b＝4，∴a2+b2＝32+42＝25，故答案为：25；（2）由题意可得a2+b2＝3，图2中四边形ABCD是直角梯形，∵AB＝m，CD＝n，它的高为：（m+n），∴（m+n）（m+n）＝5，∴（m+n）2＝10，∵am﹣bn＝2，an+bm＝4，∴将两式分别平方并整理可得：a2m2﹣2abmn+b2n2＝4①，a2n2+2abmn+b2m2＝16②，①+②整理得：（a2+b2）（m2+n2）＝20，∵a2+b2＝3，∴m2+n2＝，∵（m+n）2＝10，∴（m+n）2﹣（m2+n2）＝10﹣，整理得：2mn＝，即mn＝，∵图2中阴影部分的三角形的其中两边是两正方形的对角线，∴这两边构成的角为：45°+45°＝90°，那么阴影部分的三角形为直角三角形，其两直角边的长分别为：＝m，＝n，故阴影部分的面积为：×m×n＝mn＝，故答案为：．7．（2023•西宁）计算：（2a﹣3）2﹣（a+5）（a﹣5）．【分析】利用完全平方公式和平方差公式解答即可．【解答】解：（2a﹣3）2﹣（a+5）（a﹣5）＝（4a2﹣12a+9）﹣（a2﹣25）＝4a2﹣12a+9﹣a2+25＝3a2﹣12a+34．8．（2023•河北）现有甲、乙、丙三种矩形卡片各若干张，卡片的边长如图所示（a＞1）．某同学分别用6张卡片拼出了两个矩形（不重叠无缝隙），如表2和表3，其面积分别为S1，S2．表2表3（1）请用含a的式子分别表示S1，S2，当a＝2时，求S1+S2的值；（2）比较S1与S2的大小，并说明理由．【分析】（1）根据图形，利用长方形的面积公式计算即可；（2）利用作差法比较即可．【解答】解：（1）由图可知S1＝（a+2）（a+1）＝a2+3a+2，S2＝（5a+1）×1＝5a+1，当a＝2时，S1+S2＝4+6+2+10+1＝23；（2）S1＞S2，理由：∵S1﹣S2＝a2+3a+2﹣5a﹣1＝a2﹣2a+1＝（a﹣1）2，又∵a＞1，∴（a﹣1）2＞0，∴S1＞S2．【中考模拟练】1．（2024•天河区校级一模）下列计算，正确的是（）A．a2⋅a3＝a6B．a2+a2＝2a4C．（﹣a2）3＝﹣a6D．（a﹣1）2＝a2﹣1【分析】根据同底数幂相乘，合并同类项，幂的乘方，完全平方公式，逐项判断即可求解．【解答】解：A、a2⋅a3＝a5，故本选项错误，不符合题意；B、a2+a2＝2a2，故本选项错误，不符合题意；C、（﹣a2）3＝﹣a6，故本选项正确，符合题意；D、（a﹣1）2＝a2﹣2a+1，故本选项错误，不符合题意；故选：C．2．（2024•惠州模拟）在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a＞b）（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证等式（）A．（a+b）2＝a2+2ab+b2B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2C．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）D．（a+b）（a﹣2b）＝a2﹣ab﹣2b2【分析】第一个图形中阴影部分的面积计算方法是边长是a的正方形的面积减去边长是b的小正方形的面积，等于a2﹣b2；第二个图形阴影部分是一个长是（a+b），宽是（a﹣b）的长方形，面积是（a+b）（a﹣b）；这两个图形的阴影部分的面积相等．【解答】解：∵图甲中阴影部分的面积＝a2﹣b2，图乙中阴影部分的面积＝（a+b）（a﹣b），而两个图形中阴影部分的面积相等，∴阴影部分的面积＝a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．故选：C．3．（2023秋•凉山州期末）已知x+y﹣3＝0，则2y•2x的值是（）A．6B．﹣6C．D．8【分析】根据同底数幂的乘法求解即可．【解答】解：∵x+y﹣3＝0，∴x+y＝3，∴2y•2x＝2x+y＝23＝8，故选：D．4．（2024•邗江区校级一模）已知a﹣2b＝8，则代数式a2﹣4ab+4b2的值为64．【分析】将代数式a2﹣4ab+4b2因式分解，然后根据a﹣2b＝8，即可解答本题．【解答】解：∵a﹣2b＝8，∴a2﹣4ab+4b2＝（a﹣2b）2＝82＝64，故答案为：64．5．（2024•长安区一模）规定一种新运算：a☆b＝ab+a﹣b，如2☆3＝2×3+2﹣3＝5．（1）计算：（3a）☆5＝18a﹣5；（2）如果2☆（2x﹣3）＝3x2﹣2，则x的值为1或．【分析】（1）按照定义的新运算进行计算，即可解答；（2）按照定义的新运算可得：2（2x﹣3）+2﹣（2x﹣3）＝3x2﹣2，从而整理得：3x2﹣2x﹣1＝0，然后按照解一元二次方程﹣因式分解法进行计算即可解答．【解答】解：（1）由题意得：（3a）☆5＝3a•5+3a﹣5＝15a+3a﹣5＝18a﹣5，故答案为：18a﹣5；（2）∵2☆（2x﹣3）＝3x2﹣2，∴2（2x﹣3）+2﹣（2x﹣3）＝3x2﹣2，整理得：3x2﹣2x﹣1＝0，（x﹣1）（3x+1）＝0，x﹣1＝0或3x+1＝0，x＝1或x＝﹣，故答案为：1或﹣．6．（2024•南岗区校级一模）阅读材料：若x满足（6﹣x）（x﹣4）＝﹣3，求（6﹣x）2+（x﹣4）2的值．解：设（6﹣x）＝a，（x﹣4）＝b，则（6﹣x）（x﹣4）＝ab＝﹣3，a+b＝（6﹣x）+（x﹣4）＝2．所以（6﹣x）2+（x﹣4）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝22﹣2×（﹣3）＝10．带仿照上例解决下面问题：若x满足（20﹣x）（x﹣10）＝﹣5，则（20﹣x）2+（x﹣10）2的值是110．【分析】仿照阅读材料，设20﹣x＝a，x﹣10＝b，则a+b＝20﹣x+x﹣10＝10，ab＝﹣5，可得（20﹣x）2+（x﹣10）2＝（a+b）2﹣2ab，代入可得答案．【解答】解：设20﹣x＝a，x﹣10＝b，则a+b＝20﹣x+x﹣10＝10，ab＝﹣5，∴（20﹣x）2+（x﹣10）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝102﹣2×（﹣5）＝100+10＝110；故答案为：110．7．（2024•南京模拟）如图，点C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向两边作正方形，设AB＝9，两正方形的面积和S1+S2＝51，则图中阴影部分面积为．【分析】设AC＝m，CF＝n，可得m+n＝9，m2+n2＝51，求出mn即可．【解答】解：设AC＝m，CF＝n，∵AB＝9，∴m+n＝9，又∵S1+S2＝51，∴m2+n2＝51，由完全平方公式可得，（m+n）2＝m2+2mn+n2，∴92＝51+2mn，∴mn＝15，＝mn＝，∴S阴影部分即：阴影部分的面积为．故答案为：．8．（2024•重庆模拟）要使（x2﹣ax+6）（2x2﹣x+b）展开式中不含x2项和x3项，则a﹣b＝11．【分析】利用多项式乘多项式法则先计算（x2﹣ax+6）（2x2﹣x+b），再根据积的展开式中不含x2项和x3项求出a、b的值，最后计算a﹣b．【解答】解：（x2﹣ax+6）（2x2﹣x+b）＝2x4﹣x3+bx2﹣2ax3+ax2﹣abx+12x2﹣6x+6b＝2x4﹣（2a+1）x3+（a+b+12）x2﹣（ab+6）x+6b．∵（x2﹣ax+6）（2x2﹣x+b）展开式中不含x2项和x3项，∴﹣（2a+1）＝0，且a+b+12＝0．∴a＝﹣，b＝﹣．∴a﹣b＝﹣﹣（﹣）＝﹣+＝11．故答案为：11．9．（2024•郸城县二模）（1）计算：；（2）化简：（2x﹣y）（2x+y）﹣（2x﹣y）2．【分析】（1）根据二次根式的性质、绝对值的性质和负整数指数幂的性质，先算乘方、开方和去掉绝对值符号，再算加减即可；（2）根据平方差公式和完全平方公式计算乘方和乘法，最后合并同类项即可．【解答】解：（1）原式＝＝＝；（2）原式＝4x2﹣y2﹣4x2+4xy﹣y2＝4x2﹣4x2+4xy﹣y2﹣y2＝4xy﹣2y2．10．（2024•文水县一模）请阅读下面材料，并完成相应的任务，妙用平方差公式解决问题学完平方差公式后，王老师展示了以下例题：例计算+观察算式发现：如果将乘这时可以连续运用平方差公式进行计算，为使等式恒成立，需将式子整体再乘2．解：原式＝＝＝＝＝＝2﹣+＝2．以上计算的关键是将原式进行适当的变形后，运用平方差公式解决问题．计算符合算理，过程简洁．这种变形来源于认真观察（发现特点）、大胆猜想（运用公式）、严格推理（恒等变形）．学习数学要重视观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程．任务：（1）请仿照上述方法计算：2（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）+1；（2）请认真观察，计算：．【分析】（1）仿照题中给出的方法计算即可；（2）根据平方差公式分别计算，再根据有理数的乘法法则计算即可．【解答】解：（1）2（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）+1＝（3﹣1）（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）+1＝（32﹣1）（32+1）（34+1）（38+1）+1＝（34﹣1）（34+1）（38+1）+1＝（38﹣1）（38+1）+1＝316﹣1+1＝316；（2）＝＝＝＝．题型02分式及其化简计算易错点01：分式的判断只需要确定分母中含有未知数即可，不需要看化简后的结果；易错点02：分式的值为0时，必须同步保证分母是有意义的，也就是分母不等于0，否则分式无意义；解题大招01：若0＞B A ，则A、B 同号；若0＜BA，则A、B 异号；解题大招02：分式的化简求值问题中，加减通分，乘除约分，结果最简，喜欢的数既要方便计算，又尽可能大点；【中考真题练】1．（2023•赤峰）化简+x ﹣2的结果是（）A ．1B ．C ．D ．【分析】利用分式的加法法则进行计算即可．【解答】解：原式＝+＝＝，故选：D ．2．（2023•河北）化简的结果是（）A ．xy 6B ．xy 5C ．x 2y 5D ．x 2y 6【分析】先根据分式的乘方法则计算，再根据分式的乘法法则计算．【解答】解：x 3（）2＝x 3•＝xy 6，故选：A ．3．（2023•凉山州）分式的值为0，则x 的值是（）A ．0B ．﹣1C ．1D ．0或1【分析】根据分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零列式计算．【解答】解：∵分式的值为0，∴x2﹣x＝0且x﹣1≠0，解得：x＝0，故选：A．4．（2023•北京）若代数式有意义，则实数x的取值范围是x≠2．【分析】根据分式的分母不为零列出不等式，解不等式得到答案．【解答】解：由题意得：x﹣2≠0，解得：x≠2，故答案为：x≠2．5．（2023•宁夏）计算：+＝．【分析】利用同分母分式的加法法则运算即可．【解答】解：原式＝＝．故答案为：．6．（2023•福建）已知+＝1，且a≠﹣b，则的值为1．【分析】根据+＝1，可得ab＝2a+b，再代入即可求出答案．【解答】解：∵+＝1，∴+＝＝1，∴ab＝2a+b，∴＝＝＝1．故答案为：1．7．（2023•大庆）若x满足（x﹣2）x+1＝1，则整数x的值为﹣1或3或1．【分析】根据零指数幂可得x+1＝0，根据有理数的乘方可得x﹣2＝1；x﹣2＝﹣1，x+1为偶数，再解即可．【解答】解：由题意得：①x+1＝0，解得：x＝﹣1；②x﹣2＝1，解得：x＝3；③x﹣2＝﹣1，x+1为偶数，解得：x＝1，故答案为：﹣1或3或1．8．（2023•大连）计算：（+）÷．【分析】先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后进行计算即可解答．【解答】解：原式＝[+]•＝•＝．9．（2023•丹东）先化简，再求值：，其中．【分析】先算括号内的，把除化为乘，化简后将x的值代入计算即可．【解答】解：原式＝[﹣]×＝（﹣）×＝×＝；∵x＝（）﹣1+（﹣3）0＝2+1＝3，∴原式＝＝1．10．（2023•宜昌）先化简，再求值：+3，其中a＝﹣3．【分析】根据分式的除法法则把原式化简，把a的值代入计算即可．【解答】解：原式＝•+3＝•+3＝a+3，当a＝﹣3时，原式＝﹣3+3＝．11．（2023•广安）先化简（﹣a+1）÷，再从不等式﹣2＜a＜3中选择一个适当的整数，代入求值．【分析】根据分式的混合运算法则把原式化简，根据分式有意义的条件确定a的值，代入计算即可．【解答】解：（﹣a+1）÷＝•＝．∵﹣2＜a＜3且a≠±1，∴a＝0符合题意．当a＝0时，原式＝＝﹣1．【中考模拟练】1．（2024•珠海校级一模）下列计算正确的是（）A．B．C．D．【分析】根据分式的加减法运算法则进行计算即可求解．【解答】解：，故A错误，不符合题意；，故B错误，不符合题意；，故C错误，不符合题意；，故D正确，符合题意；故选：D．2．（2024•绵阳模拟）如果a＝﹣3﹣2，b＝，c＝，那么a，b，c三数的大小为（）A．a＜c＜b B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜c＜a【分析】利用负整式指数幂的性质、零次幂的性质分别进行计算即可．【解答】解：a＝﹣3﹣2＝﹣，b＝＝9；c＝＝1，∵﹣＜1＜9，∴a＜c＜b，故选：A．3．（2024•运城模拟）化简的结果是（）A．B．C．D．1【分析】根据分式的加减法运算法则和顺序计算即可．【解答】解：原式＝﹣＝＝＝1，故选：D．4．（2024•兰山区校级模拟）若x﹣y＝3xy，则的值是（）A．﹣3B．3C．D．【分析】先利用异分母分式加减法法则化简要求值代数式，再整体代入得结论．【解答】解：∵﹣＝﹣＝＝﹣．当x﹣y＝3xy时，原式＝﹣＝﹣3．故选：A．5．（2024•湖州一模）若分式有意义，则实数x的取值范围是x≠5．【分析】根据分式有意义的条件，分母不等于零即可求解．【解答】解：由题意得：x﹣5≠0，解得：x≠5．故答案为：x≠5．6．（2024•西城区校级一模）如果分式的值为0，则x的值是0．【分析】根据分式值为零的条件列式计算即可．【解答】解：由题意得，x（x﹣2）＝0，x﹣2≠0，解得，x＝0，故答案为：0．7．（2024•新疆模拟）当a＝﹣2时，代数式的值为0．【分析】先根据分式的加减法把原式进行化简，再把a＝﹣2代入求值即可．【解答】解：原式＝＝＝﹣a﹣2，当a＝﹣2时，原式＝2﹣2＝0．故答案为：0．8．（2024•凤翔区一模）化简：．【分析】先通分算括号内的，把除化为乘，再约分即可．【解答】解：原式＝＝＝2a﹣4．9．（2024•绵阳模拟）（1）计算：；（2）先化简，再求值：，其中．【分析】（1）先化简，然后计算加减法即可；（2）先通分括号内的式子，再算括号外的除法，然后将m的值代入化简后的式子计算即可．【解答】解：（1）＝2﹣1﹣++1﹣＝2；（2）＝÷＝•＝＝，当时，原式＝＝+1．10．（2024•天河区校级一模）先化简，然后从﹣1，0，1，2中选取一个合适的数作为x的值代入求值．【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选取合适的x的代入进行计算即可．【解答】解：原式＝（﹣）÷＝•＝•＝•＝﹣，∵x+1≠0，x﹣2≠0，∴x≠﹣1，x≠2，∴当x＝0时，原式＝﹣＝1．11．（2024•兴庆区校级一模）在数学课上，老师出了一道题，让甲、乙、丙、丁四位同学进行“接力游戏”规则如下：每位同学可以完成化简分式的一步变形，即前一位同学完成一步后，后一个同学接着前一个同学的步骤进行下一步化简变形，直至将该分式化简完毕．请根据如表的“接力游戏”回答问题：接力游戏老师：化简：甲同学：原式＝乙同学：＝丙同学：＝丁同学：＝．任务一：①在“接力游戏”中，丁同学是依据C进行变形的．A．等式的基本性质B．不等式的基本性质C．分式的基本性质D．乘法分配律②在“接力游戏”中，从乙同学开始出现错误，错误的原因是去括号时，括号前面是负号，没有将括号内的每一项都变号．任务二：请你写出该分式化简的正确结果﹣．【分析】①利用分式的相应的运算法则进行分析即可；②利用分式的运算法则进行分析即可．【解答】解：①丁同学是依据是分式的基本性质进行变形的．故选：C；故答案为：C；②从乙同学开始出现错误，错误的原因是：去括号时，括号前面是负号，没有将括号内的每一项都变号；故答案为：乙；去括号时，括号前面是负号，没有将括号内的每一项都变号；任务二：原式＝＝•＝•＝﹣．故答案为：﹣．题型03利用整体思想解决代数式求值问题代数式求值问题常用处理办法：①变形已知条件，使其符合待求式中含字母部分的最简组合形式②将待求式变形，使其成为含有上面最简组合式的表达式，③代入未知最简组合形式部分的值，求出最后结果；【中考真题练】1．（2023•巴中）若x满足x2+3x﹣5＝0，则代数式2x2+6x﹣3的值为（）A．5B．7C．10D．﹣13【分析】首先将已知条件转化为x2+3x＝5，再利用提取公因式将2x2+6x﹣3转化为2（x2+3x）﹣3，然后整体代入即可得出答案．【解答】解：∵x2+3x﹣5＝0，∴x2+3x＝5，∴2x2+6x﹣3＝2（x2+3x）﹣3＝2×5﹣3＝7．故选：B．2．（2023•南通）若a2﹣4a﹣12＝0，则2a2﹣8a﹣8的值为（）A．24B．20C．18D．16【分析】由已知条件可得a2﹣4a＝12，然后将2a2﹣8a﹣8变形后代入数值计算即可．【解答】解：∵a2﹣4a﹣12＝0，∴a2﹣4a＝12，∴2a2﹣8a﹣8＝2（a2﹣4a）﹣8＝2×12﹣8＝24﹣8＝16，故选：D．3．（2023•泰州）若2a﹣b+3＝0，则2（2a+b）﹣4b的值为﹣6．【分析】直接利用整式的加减运算法则化简，进而把已知代入得出答案．【解答】解：2（2a+b）﹣4b＝4a+2b﹣4b＝4a﹣2b＝2（2a﹣b），∵2a﹣b+3＝0，∴2a﹣b＝﹣3，∴原式＝2×（﹣3）＝﹣6．故答案为：﹣6．4．（2023•宁夏）如图是某种杆秤．在秤杆的点A处固定提纽，点B处挂秤盘，点C为0刻度点．当秤盘不放物品时，提起提纽，秤砣所挂位置移动到点C，秤杆处于平衡．秤盘放入x克物品后移动秤砣，当秤砣所挂位置与提纽的距离为y毫米时秤杆处于平衡．测得x与y的几组对应数据如下表：x/克024610y/毫米1014182230由表中数据的规律可知，当x＝20克时，y＝50毫米．【分析】观察列表中数据可知当放入x克物品时，秤砣所挂位置与提纽的距离为（10+2x）毫米，把x＝20代入求值即可．【解答】解：由题可得当放入0克物品时，秤砣所挂位置与提纽的距离为10毫米，当放入2克物品时，秤砣所挂位置与提纽的距离为10+2×2＝14（毫米），当放入4克物品时，秤砣所挂位置与提纽的距离为10+2×4＝18（毫米），当放入6克物品时，秤砣所挂位置与提纽的距离为10+2×6＝22（毫米），当放入8克物品时，秤砣所挂位置与提纽的距离为10+2×8＝26（毫米），当放入10克物品时，秤砣所挂位置与提纽的距离为10+2×10＝22（毫米），……所以当放入x克物品时，秤砣所挂位置与提纽的距离为（10+2x）毫米，当放入x＝20克物品时，秤砣所挂位置与提纽的距离为10+2×20＝50（毫米），故答案为：50．5．（2023•赤峰）已知2a2﹣a﹣3＝0，则（2a+3）（2a﹣3）+（2a﹣1）2的值是（）A．6B．﹣5C．﹣3D．4【分析】分别利用平方差公式和完全平方公式将括号去掉，再合并同类项并利用已知条件即可解答．【解答】解：原式＝（2a）2﹣32+（2a）2﹣4a+1＝2×（2a）2﹣4a﹣32+1＝8a2﹣4a﹣9+1＝8a2﹣4a﹣8＝4（2a2﹣a）﹣8．∵2a2﹣a﹣3＝0，∴2a2﹣a＝3，∴4（2a2﹣a）﹣8＝4×3﹣8＝4．故选：D．6．（2023•福建）已知+＝1，且a≠﹣b，则的值为1．【分析】根据+＝1，可得ab＝2a+b，再代入即可求出答案．【解答】解：∵+＝1，∴+＝＝1，∴ab＝2a+b，∴＝＝＝1．故答案为：1．7．（2023•北京）已知x+2y﹣1＝0，求代数式的值．【分析】根据已知可得x+2y＝1，然后利用分式的基本性质化简分式，再把x+2y＝1代入化简后的式子进行计算即可解答．【解答】解：∵x+2y﹣1＝0，∴x+2y＝1，∴＝＝＝＝2，∴的值为2．8．（2023•成都）若3ab﹣3b2﹣2＝0，则代数式（1﹣）÷的值为．【分析】先根据分式的减法法则进行计算，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，算乘法，最后代入求出答案即可．【解答】解：（1﹣）÷＝•＝•＝b（a﹣b）＝ab﹣b2，∵3ab﹣3b2﹣2＝0，∴3ab﹣3b2＝2，∴ab﹣b2＝，∴原式＝．故答案为：．9．（2023•菏泽）先化简，再求值：（+）÷，其中x，y满足2x+y﹣3＝0．【分析】利用分式的相应的法则对式子进行化简，再代入相应的值运算即可．【解答】解：（+）÷＝＝＝2（2x+y），∵2x+y﹣3＝0，∴2x+y＝3，∴原式＝2×3＝6．【中考模拟练】1．（2023•香洲区一模）已知2a+3b＝4，则整式﹣4a﹣6b+1的值是（）A．5B．3C．﹣7D．﹣10【分析】根据相反数的定义得：﹣2a﹣3b＝﹣4，首先化简﹣4a﹣6b+1，然后把﹣2a﹣3b＝﹣4代入化简后的算式，求出算式的值是多少即可．【解答】解：∵2a+3b＝4，∴﹣2a﹣3b＝﹣4，∴﹣4a﹣6b+1＝2（﹣2a﹣3b）+1＝﹣8+1＝﹣7，故选：C．2．（2023•巴中）若x满足x2+3x﹣5＝0，则代数式2x2+6x﹣3的值为（）A．5B．7C．10D．﹣13【分析】首先将已知条件转化为x2+3x＝5，再利用提取公因式将2x2+6x﹣3转化为2（x2+3x）﹣3，然后整体代入即可得出答案．【解答】解：∵x2+3x﹣5＝0，∴x2+3x＝5，∴2x2+6x﹣3＝2（x2+3x）﹣3＝2×5﹣3＝7．故选：B．3．（2023•姑苏区校级二模）若a2﹣3a+2＝0，则1+6a﹣2a2＝（）A．5B．﹣5C．3D．﹣3【分析】由题意知a2﹣3a＝﹣2，根据1+6a﹣2a2＝﹣2（a2﹣3a）+1，计算求解即可．【解答】解：由题意知a2﹣3a＝﹣2，∴1+6a﹣2a2＝﹣2（a2﹣3a）+1＝﹣2×（﹣2）+1＝5，故选：A．4．（2023•龙江县四模）代数式3x2﹣4x﹣5的值为7，则x2﹣x﹣5的值为（）A．4B．﹣1C．﹣5D．7【分析】根据题意列出等式，变形后求出x2﹣x的值，代入原式计算即可得到结果．【解答】解：∵3x2﹣4x﹣5的值为7，3x2﹣4x＝12，代入x2﹣x﹣5，得（3x2﹣4x）﹣5＝4﹣5＝﹣1．故选：B．5．（2024•兰山区校级模拟）若x﹣y＝3xy，则的值是（）A．﹣3B．3C．D．【分析】先利用异分母分式加减法法则化简要求值代数式，再整体代入得结论．【解答】解：∵﹣＝﹣＝＝﹣．当x﹣y＝3xy时，原式＝﹣＝﹣3．故选：A．6．（2024•汉川市模拟）已知x2﹣x﹣6＝0，则的值是（）A．B．C．D．1【分析】先把已知条件变形为x2﹣x＝6，再将分式变形为，整体代入计算即可．【解答】解：∵x2﹣x﹣6＝0，∴x2﹣x＝6，∴＝＝＝＝，故选：B．7．（2024•潼南区一模）当x＝1时，ax3+bx+3＝5；则当x＝﹣2时，则多项式ax2﹣2bx﹣2的值为6．【分析】根据x＝1时，ax3+bx+3＝5可得a+b＝2，然后将x＝﹣2代入ax2﹣2bx﹣2中，可得结果．【解答】解：∵x＝1时，ax3+bx+3＝5，即a+b＝2，当x＝﹣2时，ax2﹣2bx﹣2＝4a+4b﹣2＝4（a+b）﹣2＝4×2﹣2＝6，故答案为：6．8．（2024•咸安区模拟）已知x2﹣2x﹣2＝0，代数式（x﹣1）2+2021＝2024．【分析】将已知条件利用完全平方公式整理得（x﹣1）2＝3，将其代入（x﹣1）2+2021中计算即可．【解答】解：∵x2﹣2x﹣2＝0，∴x2﹣2x+1﹣3＝0，∴（x﹣1）2＝3，∴（x﹣1）2+2021＝3+2021＝2024，故答案为：2024．9．（2024•安溪县模拟）已知，且x≠y，则的值为3．【分析】先将已知条件化为3y﹣2x＝xy，再代入中化为，即可求值．【解答】解：∵，∴3y﹣2x＝xy，∴＝＝＝＝＝＝3，故答案为：3．10．（2024•武侯区校级一模）若2x2+2xy﹣5＝0，则代数式的值为．【分析】根据分式的加法法则、除法法则把原式化简，整体代入计算即可．【解答】解：原代数式＝（+）•＝•＝x（x+y）＝x2+xy，∵2x2+2xy﹣5＝0，∴2x2+2xy＝5，∴x2+xy＝，则原式＝，故答案为：．11．（2024•东阿县模拟）已知：m+＝5，则m2+＝23．【分析】将m+＝5代入m2+＝（m+）2﹣2，计算可得．【解答】解：当m+＝5时，m2+＝（m+）2﹣2＝52﹣2＝25﹣2＝23，故答案为：23．12．（2023•河源一模）已知m2﹣4m+1＝0，则代数式值＝14．【分析】由m2﹣4m+1＝0得出m﹣4+＝0，即m+＝4，再两边平方，进一步求解即可．【解答】解：∵m2﹣4m+1＝0，∴m﹣4+＝0，则m+＝4，∴（m+）2＝16，∴m2+2+＝16，∴m2+＝14，故答案为：14．13．（2024•东城区校级模拟）已知a2+a﹣2＝0，求代数式的值．【分析】先根据分式的减法法则进行计算，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，算乘法，最后代入求出答案即可．【解答】解：＝＝＝＝，∵a2+a﹣2＝0，∴a2+a＝2，∴原式＝．考点二：代数式规律题题型01数字变化类规律题解题大招01：周期型规律题常见处理办法：①.找出第一周期的几个数，确定周期数②.算出题目中的总数和待求数③.用总数÷周期数=m……n（表示这列数中有m个整周期，最后余n个）④.最后余几，待求数就和每周期的第几个一样；解题大招02：推理型规律题常见处理办法：①依题意推出前3~4项规律的表达式；②类推第N项表达式【中考真题练】1．（2023•牡丹江）观察下面两行数：1，5，11，19，29，…；1，3，6，10，15，…．取每行数的第7个数，计算这两个数的和是（）A．92B．87C．83D．78【分析】观察第2行数可知第n个数为1+2+3+…+n，第一行数的第n个数为第2行第n个数的2倍减1，即可求出每行数的第7个数，从而得到答案．【解答】解：观察第2行数可知，第7个数为：1+2+3+4+5+6+7＝28，第1行的第7个数为28×2﹣1＝55，∵28+55＝83，∴取每行数的第7个数，这两个数的和是83；故选：C．2．（2023•常德）观察下边的数表（横排为行，竖排为列），按数表中的规律，分数若排在第a行b 列，则a﹣b的值为（）A．2003B．2004C．2022D．2023【分析】观察数表得到a，b的值，即可求出答案．【解答】解：观察数表可得，同一行的分数，分子与分母的和不变，（m，n为正整数）在第（m+n ﹣1）行，第n列，∴在第2042行，第20列，∴a＝2042，b＝20，∴a﹣b＝2042﹣20＝2022，故选：C．3．（2023•临沂）观察下列式子：1×3+1＝22；2×4+1＝32；3×5+1＝42；…按照上述规律，（n﹣1）（n+1）+1＝n2．【分析】根据数字的变化规律，写出第（n﹣1）个等式即可．【解答】解：观察下列式子：1×3+1＝22；2×4+1＝32；3×5+1＝42；…；按照上述规律，（n﹣1）（n+1）+1＝n2．故答案为：（n﹣1）（n+1）+1．4．（2023•内蒙古）观察下列各式：S1＝＝1+，S2＝＝1+，S3＝＝1+…请利用你所发现的规律，计算：S1+S2+…+S50＝50．【分析】由题干中的式子总结规律，然后利用裂项法进行计算即可．【解答】解：S1+S2+…+S50＝1++1++1++ (1)＝（1+1+1+...+1）+（+++...+）＝1×50+（1﹣+﹣+﹣+...+﹣）＝50+（1﹣）＝50+＝50，故答案为：50．5．（2023•恩施州）观察下列两行数，探究第②行数与第①行数的关系：﹣2，4，﹣8，16，﹣32，64，…①0，7，﹣4，21，﹣26，71，…②根据你的发现，完成填空：第①行数的第10个数为（﹣2）10；取每行数的第2023个数，则这两个数的和为﹣22024+2024．【分析】观察可得，第①行数的第n个数为（﹣2）n，第②行数的第n个数为（﹣2）n+（n+1），即可得到答案．【解答】解：观察数列可得，第①行数的第10个数为（﹣2）10，第①行数的第2023个数为（﹣2）2023，第②行数的第2023个数为（﹣2）2023+2024，∵（﹣2）2023+（﹣2）2023+2024＝﹣22024+2024，∴取每行数的第2023个数，这两个数的和为﹣22024+2024．故答案为：（﹣2）10，﹣22024+2024．6．（2023•聊城）如图，图中数字是从1开始按箭头方向排列的有序数阵．从3开始，把位于同一列且在拐角处的两个数字提取出来组成有序数对：（3，5）；（7，10）；（13，17）；（21，26）；（31，37）…如果单独把每个数对中的第一个或第二个数字按顺序排列起来研究，就会发现其中的规律．请写出第n 个数对：（n2+n+1，n2+2n+2）．【分析】根据题意把每一个数对中的第一个数字和第二个数字按顺序排列起来，可发现第n个数对的第一个数为n（n+1）+1，“第n个数对的第二个数为（n+1）2+1，于是得到结论．【解答】解：每个数对的第一个数分别为3，7，13，21，31，．．．，即1×2+1，2×3+1，3×4+1，4×5+1，5×6+1，..．，则第n个数对的第一个数为n2+n+1，每个数对的第二个数分别为5，10，17，26，37，..．，即22+1，32+1，42+1，52+1，．．．，则第n个数对的第二个数为（n+1）2+1＝n2+2n+2，∴第n个数对为（n2+n+1，n2+2n+2）．故答案为：（n2+n+1，n2+2n+2）．7．（2023•浙江）观察下面的等式：32﹣12＝8×1，52﹣32＝8×2，72﹣52＝8×3，92﹣72＝8×4，…（1）写出192﹣172的结果；（2）按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n的等式表示，n为正整数）；（3）请运用有关知识，推理说明这个结论是正确的．【分析】（1）根据题目中的例子，可以写出192﹣172的结果；（2）根据题目中给出的式子，可以得到（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n；（3）将（2）中等号左边的式子利用平方差公式计算即可．【解答】解：（1）∵17＝2×9﹣1，∴192﹣172＝8×9＝72；（2）由题意可得，（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n；（3）∵（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝[（2n+1）+（2n﹣1）][（2n+1）﹣（2n﹣1）]＝（2n+1+2n﹣1）（2n+1﹣2n+1）＝4n×2＝8n，∴（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n正确．【中考模拟练】1．（2024•官渡区校级模拟）按一定规律排列的式子：a，2a3，4a5，8a7，16a9，…，则第2024个式子为（）A．22023a2025B．（22024﹣1）a4047C．22023a4047D．22024a4049【分析】由题目可得式子的一般性规律：第n个式子为：2n﹣1•a2n﹣1，当n＝2024时，第2024个式子为：22023•a4047，即可得出答案．【解答】解：式子的系数为1，2，4，8，16，⋯，则第n个式子的系数为：2n﹣1；式子的指数为1，3，5，7，9，⋯，则第n个式子的指数为：2n﹣1，∴第n个式子为：2n﹣1•a2n﹣1，当n＝2024时，第2024个式子为：22023•a4047，故选：C．2．（2024•渝中区校级模拟）有一列数{﹣1，﹣2，﹣3，﹣4}，将这列数中的每个数求其相反数得到{1，2，3，4}，再分别求与1的和的倒数，得到，设为{a1，a2，a3，a4}，称这为一次操作，第二次操作是将{a1，a2，a3，a4}再进行上述操作，得到{a5，a6，a7，a8}；第三次将{a5，a6，a7，a8}重复上述操作，得到{a9，a10，a11，a12}…以此类推，得出下列说法中，正确的有（）个．①a5＝2，，，，②a10＝﹣2，③a2015＝3，④．A．0B．1C．2D．3【分析】根据所给的操作方式，求出前面的数，再分析得出规律，再进行分析即可．【解答】解：∵{a1，a2，a3，a4}对应为{，，，}，∴a5＝2，，，，故①说法正确；a9＝﹣1，a10＝﹣2，a11＝﹣3，a12＝﹣4，∴经过两次操作后，所给的数重复出现，即每12个数为一组，∵2015÷12＝167……11，∴a2015＝﹣3，故③说法错误；②说法正确；∵a1+a2+a3+…+a12＝﹣，∴a1+a2+a3+…+a49+a50＝4×（﹣）+＝﹣＝﹣，故④说法错误．故正确的说法有1个．故选：C．3．（2024•南岗区校级一模）小王利用计算机设计了一个计算程序，输入和输出的数据如表：输入…12345…输出……那么，当输入数据为8时，输出的数据为（）A．B．C．D．【分析】由表格中的数据可知，输入的数据与输入的数据的分子相同，分母是分子的平方加1，从而可以解答本题．【解答】解：∵由表格可知，输入的数据与输出的数据的分子相同，而输出数据的分母正好是分子的平方加1，∴当输入数据为8时，输出的数据为：＝．故选项A错误，选项B错误，选项C正确，项D错误．故选：C．4．（2024•东兴区一模）对于每个正整数n，设f（n）表示n×（n+1）的末位数字．例如：f（1）＝2（1×2末位数字），f（2）＝6（2×3的末位数字），f（3）＝2（3×4的末位数字）…，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2023）的值是（）A．4020B．4030C．4040D．4050【分析】根据题意，可以写出前几个式子的值，然后即可发现式子的变化特点，从而可以求得所求式子的值．【解答】解：由题意可得，f（1）＝2，f（1）+f（2）＝2+6＝8，f（1）+f（2）+f（3）＝2+6+2＝10，f（1）+f（2）+f（3）+f（4）＝2+6+2+0＝10，f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）＝2+6+2+0+0＝10，f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）+f（6）＝2+6+2+0+0+2＝12，f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）+f（6）+f（7）＝2+6+2+0+0+2+6＝18，f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）+f（6）+f（7）+f（8）＝2+6+2+0+0+2+6+2＝20，…，∵2023÷5＝404…3，∴f（1）+f（2）+f（3）+…f（2023）＝（2+6+2+0+0）+（2+6+2+0+0）+（2+6+2+0+0）+…+（2+6+2+0+0）+2+6+2＝10×404+10＝4040+10＝4050，故选：D．5．（2024•沈阳模拟）定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，F（n）＝3n+1；②当n为偶数时，（其中k是使F（n）为奇数的正整数）…两种运算交替进行，例如，取n＝12，则有，按此规律继续计算，第2024次“F”运算的结果是（）A．B．37C．1D．4【分析】根据题意，通过通过罗列计算可发现从第5次开始，结果就只是1，4两个数轮流出现，且当次数是是偶数次时，结果是4；当次数是是奇数次时，结果是1．据此解答即可．【解答】解：当n＝12时，第1次结果是：＝3，第2次结果是：3×3+1＝10，第3次结果是：＝5，第4次结果是：3×5+1＝16，第5次结果是：＝1，第6次结果是：3×1+1＝4，第7次结果是：，第8次结果是：3×1+1＝4，•••，可以看出，从第5次开始，结果就只是1，4两个数轮流出现，且当次数是是偶数次时，结果是4；当次数是是奇数次时，结果是1．∴第2024次“F”运算的结果是4．故选：D．6．（2024•兰山区校级模拟）如图的数字三角形被称为“杨辉三角”，图中两平行线之间的一列数：1，3，6，10，15，…，我们把第一个数记为a1，第二个数记为a2，第三个数记为a3，…，第n个数记为a n，则a2023﹣a2021＝4045．【分析】通过归纳出第n个数a n的表达式为进行求解．【解答】解：由题意得，a1＝1，a2＝3＝1+2＝，a3＝6＝1+2+3＝，a4＝10＝1+2+3+4＝，……，∴第n个数记为a n＝，∴a2023﹣a2021＝﹣＝＝4045，故答案为：4045．7．（2024•湖南模拟）观察下面“品”字图形中各数字之间的规律，根据观察到的规律得出a+b的值为139．。

初中数学代数式求值专题训练及答案

初中数学代数式求值专题训练及答案

初中数学代数式求值专题训练及答案1、若2x+3y+z=1，2x+y+3z=3，求代数式 x+2y 的值。

2、已知：2023（1+3x）= 1，求代数式 7+6x 的值。

3、已知 a a= 3243，求代数式√a2+√a3+√a4的值。

4、若x2 + xy +y2 = 2xy +y2 = 3，求代数式（x+1）（y-2） + 3的值。

5、已知（x+13）2= 2023，求代数式（x -27）（x+53）的值。

6、已知x +2y=12，求代数式x2 - 4y2 + 48y的值。

7、已知x2 -3x +1=0，求代数式x2 + 1a2的值。

8、已知x2 -4x +1=0，求代数式x4 - 56x+ 2024的值。

9、已知x+ 1a =3，y+ 1a=1，z+ 1a==3，求代数式x yz的值。

10、已知x4 +x2 +1=0，求代数式x3 +1的值。

11、已知x=1，求代数式（x+2）（2x+1）-x2 +6的值。

12、若x＞y＞0，x2 + y2 =5xy，求代数式a2−a2aa的值。

13、已知2x2 +10=（x+2）（x+3），求代数式3x+6的值。

14、已知x=√8−2√15，求代数式x+1a的值。

15、已知x=2，求代数式7x2+（2x+3）（x-2）+12的值。

参考答案1、若2x+3y+z=1，2x+y+3z=3，求代数式x+2y的值解：因为2x+3y+z=1-- ----① 2x+y+3z=3-------②①+②，得4x+4y+4z=4即：x+y+z=1-----------③①-③，得x+2y=0故：代数式x+2y的值是02、已知：2023（1+3x）= 1，求代数式7+6x的值。

因为，要使得2023（1+3x）= 1成立，所以1+3x=0，即：x= - 13所以：7+3x =7 + 6×（- 13） =5故：代数式7+6x的值是53、已知 a a= 3243，求代数式√a2+√a3+√a4的值。

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全国初中（初二）数学竞赛辅导
第六讲代数式的求值
代数式的求值与代数式的恒等变形关系十分密切．许多代数式是先化简再求值，特别是有附加条件的代数式求值问题，往往需要利用乘法公式、绝对值与算术根的性质、分式的基本性质、通分、约分、根式的性质等等，经过恒等变形，把代数式中隐含的条件显现出来，化简，进而求值．因此，求值中的方法技巧主要是代数式恒等变形的技能、技巧和方法．下面结合例题逐一介绍．
1．利用因式分解方法求值
因式分解是重要的一种代数恒等变形，在代数式化简求值中，经常被采用．
分析 x的值是通过一个一元二次方程给出的，若解出x后，再求值，将会很麻烦．我们可以先将所求的代数式变形，看一看能否利用已知条件．
解已知条件可变形为3x2+3x-1=0，所以
6x4+15x3+10x2
=(6x4+6x3-2x2)+(9x3+9x2-3x)+(3x2+3x-1)+1
=(3x2+3x-1)(2z2+3x+1)+1
=0+1=1．
说明在求代数式的值时，若已知的是一个或几个代数式的值，这时要尽可能避免解方程(或方程组)，而要将所要求值的代数式适当变形，再将已知的代数式的值整体代入，会使问题得到简捷的解答．
例2 已知a，b，c为实数，且满足下式：
a2+b2+c2=1，①
求a+b+c的值．
解将②式因式分解变形如下
即
所以
a+b+c=0或bc+ac+ab=0．
若bc+ac+ab=0，则
(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(bc+ac+ab)
=a2+b2+c2=1，
所以 a+b+c=±1．所以a+b+c的值为0，1，-1．说明本题也可以用如下方法对②式变形：
即
前一解法是加一项，再减去一项；这个解法是将3拆成1+1+1，最终都是将②式变形为两个式子之积等于零的形式．
2．利用乘法公式求值
例3 已知x+y=m，x3+y3=n，m≠0，求x2+y2的值．
解因为x+y=m，所以
m3=(x+y)3=x3+y3+3xy(x+y)=n+3m·xy，
所以
求x2+6xy+y2的值．
分析将x，y的值直接代入计算较繁，观察发现，已知中x，y的值正好是一对共轭无理数，所以很容易计算出x+y与xy的值，由此得到以下解法．
解 x2+6xy+y2=x2+2xy+y2+4xy
=(x+y)2+4xy
3．设参数法与换元法求值
如果代数式字母较多，式子较繁，为了使求值简便，有时可增设一些参数(也叫辅助未知数)，以便沟通数量关系，这叫作设参数法．有时也可把代数式中某一部分式子，用另外的一个字母来替换，这叫换元法．
分析本题的已知条件是以连比形式出现，可引入参数k，用它表示连比的比值，以便把它们分割成几个等式．
x＝(a-b)k，y＝(b-c)k，z＝(c-a)k．
所以
x+y+z=(a-b)k＋(b-c)k+(c-a)k=0．
u+v+w=1，①
由②有
把①两边平方得
u2+v2+w2+2(uv+vw+wu)=1，
所以u2+v2+w2=1，
即
两边平方有
所以
4．利用非负数的性质求值
若几个非负数的和为零，则每个非负数都为零，这个性质在代数式求值中经常被使用．
例8 若x2-4x+|3x-y|=-4，求y x的值．
分析与解x，y的值均未知，而题目却只给了一个方程，似乎无法求值，但仔细挖掘题中的隐含条件可知，可以利用非负数的性质求解．
因为x2-4x+|3x-y|=-4，所以
x2-4x＋4＋|3x-y|=0，
即 (x-2)2+|3x-y|=0．
所以 y x=62=36．
例9 未知数x，y满足
(x2＋y2)m2-2y(x+n)m+y2+n2=0，其中m，n表示非零已知数，求x，y 的值．
分析与解两个未知数，一个方程，对方程左边的代数式进行恒等变形，经过配方之后，看是否能化成非负数和为零的形式．
将已知等式变形为
m2x2+m2y2-2mxy-2mny+y2+n2=0，
(m2x2-2mxy+y2)+(m2y2-2mny+n2)=0，即 (mx-y)2+(my-n)2=0．
5．利用分式、根式的性质求值
分式与根式的化简求值问题，内容相当丰富，因此设有专门讲座介绍，这里只分别举一个例子略做说明．
例10 已知xyzt=1，求下面代数式的值：
分析直接通分是笨拙的解法，可以利用条件将某些项的形式变一变．
解根据分式的基本性质，分子、分母可以同时乘以一个不为零的式子，分式的值不变．利用已知条件，可将前三个分式的分母变为与第四个相同．
同理
分析计算时应注意观察式子的特点，若先分母有理化，计算反而复杂．因为这样一来，原式的对称性就被破坏了．这里所言的对称性是
分利用这种对称性，或称之为整齐性，来简化我们的计算．同样(但请注意算术根！)
将①，②代入原式有
练习六
2．已知x+y=a，x2+y2=b2，求x4+y4的值．
3．已知a-b+c=3，a2+b2+c2=29，a3+b3+c3=45，求ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)的值．
5．设a+b+c=3m，求(m-a)3+(m-b)3+(m-c)3-3(m-a)(m-b)(m-c)的值．
8．已知13x2-6xy+y2-4x+1=0，求(x+y)13·x10的值．。

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