高中数学说题比赛课件集锦谷艳波的课件
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数学说题1 高中数学说课比赛ppt课件
问题呈现与思路分析
已知直线y k ( x 2)(k 0)与抛物线C : y 2 8 x 相交于A、B两点，F 为C的焦点若 . FA 2 FB ， 求k的值.
本题的已知条件为过定点的直线与抛物线相交， 且焦点弦对应成比例，所求结论为求解该直线 的斜率.本题着重考查直线与抛物线的相对位置 关系.题眼为|FA|=2|FB|.
问题呈现与思路分析
已知直线y k ( x 2)(k 0)与抛物线C : y 8 x
2
相交于A、B两点，F 为C的焦点若 . FA 2 FB ， 求k的值.
本题的难点在于如何结合直线与抛物线的位 置关系，确定直线的斜率问题，解决问题的 关键在于如何利用好|FA|=2|FB|.
问题呈现与思路分析
1.问题呈现与思路分析 2.解题方法大展示 3.揭密试题、探究变式
4.链接高考
5.试题功能大探讨
6.结束语
问题呈现与思路分析
已知直线y k ( x 2)(k 0)与抛物线C : y 2 8 x 相交于A、B两点，F 为C的பைடு நூலகம்点若 . FA 2 FB ， 求k的值.
该题最新出现于2014年鄂尔多斯模拟，其知识点 主要涉及过定点的直线与抛物线相交问题.可综合 考查学生观察与归纳，函数与方程、数形结合等 思想与能力.
已知直线y k ( x 2)(k 0)与抛物线C : y 2 8 x 相交于A、B两点，F 为C的焦点若 . FA 2 FB ， 求k的值.
解决本题的常规思路在于通过联立直线与抛物线 方程，利用抛物线的定义以及韦达定理，建立关 于k的方程，通过解方程，确定k的值；而如果能 够利用好|FA|=2|FB|，结合平面几何相关性质，则 可以获得意想不到的效果.
高中数学说课一等奖 ppt课件
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4、讨论探究、达标演练——深化概率认识，巩固所 学知识
教学过程
设计意图
例2：做同时掷两枚硬币的试验，观察试验结 果： ⑴试验可能出现的结果有几种？分别把它们 表示出来。 ⑵做100次试验，每种结果出现的频数、频率 各是多少？ 重复⑵的操作，你会发现什么？你能估计 “两个正面朝上”的概率吗？ （利用计算机模拟掷两次硬币试验，说明问 题）
wwwthmemgallerycomwwwthmemgallerycom2121wwwthmemgallerycomwwwthmemgallerycom2222六教学反思当然课堂是一个动态的过程为使严谨的课堂更具弹性我还做了其他准备比如模拟抛掷骰子试验航空意外险理赔及赌徒分金币等学生感兴趣的且与本节课相关的问题以便适时的给学生拓宽知识让学生更充分地感受到数学知识在生产生活娱乐服务等方面的广泛应用
现称出的事现次件的数A频出率n现．A为的事比件例A出现的fn (频为A)数事 ；AnnA
2.5提问：随机事件、必然事件、 不可能事件频率的取值范围？
由于频数和频率的概念之前 学生有所涉及，在这里我做 了与教材不同的处理：在抛 币试验之前，先复习频数以 及频率的概念，然后直接用 频数和频率的知识来理解和 阐述下面的试验，为理解概 率概念及“利用频率估计概 率”的思想方法创造条件。
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3、师生合作，共探新知——抛掷硬币试验：
教学过程
◆试验步骤： 第一步，个人试验，收集数据：全班六个学 习小组，每小组九人，每人试验10次； 第二步，小组统计，上报数据：每小组轮流 将试验结果写在黑板上的表格里； 第三步，数据汇总，统计“正面朝上”次数 的频数及频率； 第四步，对比研究，探讨“正面朝上”的规 律性． ①随着试验次数的增加，硬币“正面朝上” 的频率稳定在0.5附近； ②抛掷相同次数的硬币，硬币“正面朝上” 的频率不是一成不变的。
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提问：如果再做一次试验，试验结果还会是 这样吗？（不会，具有随机性）
设计意图
分组试验是本节课最重要的环节， 不能忽略，这也是本节课教学中 最难控制的一个环节——必须把 试验的自主权交给学生，让同学 们亲历抛掷硬币的随机过程，唯 有如此，才能辩证的理解随机性 中的规律性． 试验环节的要点： 第一，试验不能拖沓，确保抛掷 硬币的随机性； 第二，必须能自主归纳出抛掷硬 币试验中的随机性和规律性．
❖ 2、过程与方法目标：⑴通过动手试验，体会随机事件发 生的随机性和规律性；⑵在试验、探究和讨论过程中理解 概率与频率的区别和联系，学会利用频率估计概率的思想 方法． ．
❖ 3、情感态度与价值观目标：通过学生动手实践，培养学 生的试验、观察、归纳和总结的技能，培育学生团结协作 探究、合作交流表达的团队意识。
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3、师生合作，共探新知——抛掷硬币试验：
教学过程
◆引出概率的概念：对于给定的随机事 件A，如果随着试验次数的增加，事件A 发生的频率稳定在某个常数上，把这个 常数记作P(A)，称为事件A的概率。
思考：事件A的概率P(A)的范围？频率与 概率有何区别和联系？ ◆频率与概率的区别和联系： ⑴频率是概率的近似值，随着试验次数 的增加，频率会稳定在概率附近； ⑵频率本身是随机的，在试验前不能确 定； ⑶概率是一个确定的数，是客观存在的， 与每次试验无关。
在实际教学中，学生总 能想到一些奇特的例子， 生动活泼，出人意 料．这部分看起来简单， 但是要学让学生用发散 思维举出生动、恰当的
例子还是比较困难的，
所以我设计了一个“擂
台比赛”，看哪一个小
组说的实例更多，更到
位。
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2.成果展示、承前启后——进一步认识随机事件、频 率
设计意图
分组试验是本节课最重要的环节， 不能忽略，这也是本节课教学中 最难控制的一个环节——必须把 试验的自主权交给学生，让同学 们亲历抛掷硬币的随机过程，唯 有如此，才能辩证的理解随机性 中的规律性． 试验环节的要点： 第一，试验不能拖沓，确保抛掷 硬币的随机性； 第二，必须能自主归纳出抛掷硬 币试验中的随机性和规律性．
❖ 2、过程与方法目标：⑴通过动手试验，体会随机事件发 生的随机性和规律性；⑵在试验、探究和讨论过程中理解 概率与频率的区别和联系，学会利用频率估计概率的思想 方法． ．
❖ 3、情感态度与价值观目标：通过学生动手实践，培养学 生的试验、观察、归纳和总结的技能，培育学生团结协作 探究、合作交流表达的团队意识。
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3、师生合作，共探新知——抛掷硬币试验：
教学过程
◆引出概率的概念：对于给定的随机事 件A，如果随着试验次数的增加，事件A 发生的频率稳定在某个常数上，把这个 常数记作P(A)，称为事件A的概率。
思考：事件A的概率P(A)的范围？频率与 概率有何区别和联系？ ◆频率与概率的区别和联系： ⑴频率是概率的近似值，随着试验次数 的增加，频率会稳定在概率附近； ⑵频率本身是随机的，在试验前不能确 定； ⑶概率是一个确定的数，是客观存在的， 与每次试验无关。
在实际教学中，学生总 能想到一些奇特的例子， 生动活泼，出人意 料．这部分看起来简单， 但是要学让学生用发散 思维举出生动、恰当的
例子还是比较困难的，
所以我设计了一个“擂
台比赛”，看哪一个小
组说的实例更多，更到
位。
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2.成果展示、承前启后——进一步认识随机事件、频 率
高中数学说题课件ppt
的重要手段。
02
掌握数列求和的基本方 法和技巧，如错位相减
法、裂项相消法等。
04
04
高中数学题目解析
代数题目解析
代数方程与不等式
解析一元一次方程、一元二次方 程、分式方程、不等式等，掌握 方程和不等式的解法，理解方程 和不等式的实际应用。
函数与导数
解析一次函数、二次函数、指数 函数、对数函数等，理解函数的 性质和图像，掌握函数的极值、 单调性等知识点。
变换图形的位置，让学生掌握空 间几何的解题方法。
总结词：通过变换图形的形状、 大小或位置，让学生掌握几何的 基本性质和解题方法。
改变图形的投影方式，让学生理 解投影几何的基本性质。
概率与统计题目变式训练
总结词：通过变换数 据或情境，让学生掌 握概率与统计的基本 概念和解题方法。
详细描述
改变数据的来源或分 布，让学生理解概率 分布的特性。
数据的分布特征：方差、标准 差等。
回归分析与预测方法：线性回 归分析、非线性回归分析等。
03
高中数学重点与难点解 析
函数与导数
核心概念与运用
能够运用导数研究函数的单调性、极值 和最值，解决生活中的优化问题。
理解导数的概念、性质和求导法则，掌 握常见函数的导数公式和求导方法。
函数是描述变量之间依赖关系的重要工 具，导数则用于研究函数的局部性质和 变化率。
圆锥曲线的标准方程 与性质：椭圆、双曲 线、抛物线等。
概率与统计解题方法
概率论 随机事件及其概率：独立事件、互斥事件等。 古典概型与几何概型的计算方法。
概率与统计解题方法
• 随机变量的概念与性质：离散型随机变量、连续型随机变 量等。
概率与统计解题方法
02
掌握数列求和的基本方 法和技巧，如错位相减
法、裂项相消法等。
04
04
高中数学题目解析
代数题目解析
代数方程与不等式
解析一元一次方程、一元二次方 程、分式方程、不等式等，掌握 方程和不等式的解法，理解方程 和不等式的实际应用。
函数与导数
解析一次函数、二次函数、指数 函数、对数函数等，理解函数的 性质和图像，掌握函数的极值、 单调性等知识点。
变换图形的位置，让学生掌握空 间几何的解题方法。
总结词：通过变换图形的形状、 大小或位置，让学生掌握几何的 基本性质和解题方法。
改变图形的投影方式，让学生理 解投影几何的基本性质。
概率与统计题目变式训练
总结词：通过变换数 据或情境，让学生掌 握概率与统计的基本 概念和解题方法。
详细描述
改变数据的来源或分 布，让学生理解概率 分布的特性。
数据的分布特征：方差、标准 差等。
回归分析与预测方法：线性回 归分析、非线性回归分析等。
03
高中数学重点与难点解 析
函数与导数
核心概念与运用
能够运用导数研究函数的单调性、极值 和最值，解决生活中的优化问题。
理解导数的概念、性质和求导法则，掌 握常见函数的导数公式和求导方法。
函数是描述变量之间依赖关系的重要工 具，导数则用于研究函数的局部性质和 变化率。
圆锥曲线的标准方程 与性质：椭圆、双曲 线、抛物线等。
概率与统计解题方法
概率论 随机事件及其概率：独立事件、互斥事件等。 古典概型与几何概型的计算方法。
概率与统计解题方法
• 随机变量的概念与性质：离散型随机变量、连续型随机变 量等。
概率与统计解题方法
精品课件： 高中数学说课比赛ppt课件集(共11套)
满足 1， 与 的夹角为120°，
则 的取值范围是__________________ .
变式六：若平面向量 , ，满足| | 1,| | 1
且以向量 ,
为邻边的平行四边形的面积为
1 2
则 与 的夹角 取值范围是_________.
一点想法
一题多解 一题多变 多题一解
解题方法：
解法1：排除法
对于选项A，如图1，PB
PC=
PB
PC
cos BPC
2
PB
当点P从点B运动到A的过程中，显然不可能在P0处取得最小值
C
A
B
P
P0
解题方法：
解法1：排除法
对于选项B，如图2，PB PC= PB PC cos BPC PB PA
问题
评 价：
我认为此题无论是从试题难度、试题背景、命 题立意，还是对数学思维能力的考查等，都很到
位，很有研究价值。主要体现在： 入口宽阔、解法多样； 紧扣概念、体现本质； 立意清晰、背景深刻； 渗透思想、能力到位。
解题思路1：
(2013年浙江高考理7)设P0是ABC的边AB上一定点，
满足P0 B =
二、说说解解法法
【难点、关键点】 【常用方法】
说解法
第一种解法：坐标法
第一种解法：坐标法
可能会出现问题
第一种解法：坐标法
正解
第二种解法：向量法
C
A
P
B
H
P0
第二种解法：向量法
第二种解法：向量法
第三种解法：排除法
选择题的命题有两方面的意图： 一、考查学生的求真意识；（坐标法；向量法） 二、考查学生处理问题的灵活性. （排除法）
则 的取值范围是__________________ .
变式六：若平面向量 , ，满足| | 1,| | 1
且以向量 ,
为邻边的平行四边形的面积为
1 2
则 与 的夹角 取值范围是_________.
一点想法
一题多解 一题多变 多题一解
解题方法：
解法1：排除法
对于选项A，如图1，PB
PC=
PB
PC
cos BPC
2
PB
当点P从点B运动到A的过程中，显然不可能在P0处取得最小值
C
A
B
P
P0
解题方法：
解法1：排除法
对于选项B，如图2，PB PC= PB PC cos BPC PB PA
问题
评 价：
我认为此题无论是从试题难度、试题背景、命 题立意，还是对数学思维能力的考查等，都很到
位，很有研究价值。主要体现在： 入口宽阔、解法多样； 紧扣概念、体现本质； 立意清晰、背景深刻； 渗透思想、能力到位。
解题思路1：
(2013年浙江高考理7)设P0是ABC的边AB上一定点，
满足P0 B =
二、说说解解法法
【难点、关键点】 【常用方法】
说解法
第一种解法：坐标法
第一种解法：坐标法
可能会出现问题
第一种解法：坐标法
正解
第二种解法：向量法
C
A
P
B
H
P0
第二种解法：向量法
第二种解法：向量法
第三种解法：排除法
选择题的命题有两方面的意图： 一、考查学生的求真意识；（坐标法；向量法） 二、考查学生处理问题的灵活性. （排除法）
数学说题2 高中数学说课比赛ppt课件
2、拓展（阿基米德三角型 ） 过任意抛物线焦点F作抛物线的弦，与抛物线 交与A、B两点，分别过A、B两点做抛物线的 切线L1,L2相交于P点。那么△PAB称作阿基 米德三角型。该三角形满足以下特性： 1、P点必在抛物线的准线上 ； 2、△PAB为直角三角形，且角P为直角 ； 3、PF⊥AB（即符合射影定理）； ……
题目：
已知直线 y k ( x 2)(k 0) 与抛物线C:
y 2 8x
相交A、B两点，F为C的焦点.若 FA 2 FB ,求k的值.
一、说题目
学生读题后认识大致有下列四个层次：
1.看到了两个方程（直线方程和抛物线方程）和一个等量关系：
y k ( x 2)(k 0) y 8x
8 ky 8 y 16k 0. 于是 y1 y 2 , y1 y 2 16. k
2
由抛物线定义将条件
FA 2 FB 转化为
2 2 y1 y2 。 2 2( 2), 即 ， 8 8
y 2 y 16
2 1 2 2
2 2 y 2 y 解得 1 2 ，从而解得 k 3
1
,
1 (2) 3 点评：解析几何的问题首先是几 何问题。本题是这种思想的深刻 体现和典型范例，通过巧妙利用 几何关系，以及抛物线相关基础 知识，而使得问题得到解决。这 归功于熟练的几何意识与平时训 练有素的练习。
三、说背景
1、本质： 我认为这题的本质是：经过焦点的 两条焦点弦倾斜角互补则端点弦所 在直线恒过准线与对称轴的交点。 （能够证明）
2 由 x1 x 2 4 得 2( x2 1) x2 4 x2 x2 2 0 x2 1
或ห้องสมุดไป่ตู้
高中数学优质说课大集PPT课件
z
R A
P
B M
Q
N
R M
O
P
x
Qy
第18页/共27页
问题解决
设计问题解决的目的，一是培养学生的问题解 决能力；二是使学生知道，学了空间直角坐标 系，可以用来解决实际问题，从而体会到数学 的应用价值，并构建起正确的数学观。
垂线法
墙
墙 地面
垂面法
第19页/共27页
例：写出以下几个点的坐标表示
所求点 原点O X轴上A点 Y轴上B点 Z轴上C点 XOY面内D点 YOZ面内E点 ZOX面内F点
一、说教材 一 教材内容 二 教学地位与作用 三 教学目标 四 教学的重难点 五 突破重难点的策略
第1页/共27页
空间直角坐 标系的建立以 及空间点的刻 画，空间直角 坐标是在学生 已经学过的二 维的平面直角 坐标系的基础 上的推广。
学习空间直角 坐标系的相关 知识，可以为 学习空间两点 距离公式以及 为将来用坐标 法来研究空间 几何对象打下
第15页/共27页
空间直角坐标系中点的坐标
解决问题 如何确定房间内吊灯的准确位置？
B
A
M
5米 Q
P
4米
3米 N
建立合适的 空间直角坐标系系
第16页/共27页
空间直角坐标系中点的坐标
垂线法
如图，M与z正半轴在xOy平
z
面的同侧，那么点M的z坐标 是线段MN的长度.
M(x,y,Biblioteka )NOPM（x，y，z）
的新内容。
第24页/共27页
布置作业
1、（必做题 ） 习题4.3 A组1、2. 2、（选做题）求M(1,1,2)关于坐标轴对称的点的坐标，
关于平面 xoy对称的点的坐标.
R A
P
B M
Q
N
R M
O
P
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Qy
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问题解决
设计问题解决的目的，一是培养学生的问题解 决能力；二是使学生知道，学了空间直角坐标 系，可以用来解决实际问题，从而体会到数学 的应用价值，并构建起正确的数学观。
垂线法
墙
墙 地面
垂面法
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例：写出以下几个点的坐标表示
所求点 原点O X轴上A点 Y轴上B点 Z轴上C点 XOY面内D点 YOZ面内E点 ZOX面内F点
一、说教材 一 教材内容 二 教学地位与作用 三 教学目标 四 教学的重难点 五 突破重难点的策略
第1页/共27页
空间直角坐 标系的建立以 及空间点的刻 画，空间直角 坐标是在学生 已经学过的二 维的平面直角 坐标系的基础 上的推广。
学习空间直角 坐标系的相关 知识，可以为 学习空间两点 距离公式以及 为将来用坐标 法来研究空间 几何对象打下
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空间直角坐标系中点的坐标
解决问题 如何确定房间内吊灯的准确位置？
B
A
M
5米 Q
P
4米
3米 N
建立合适的 空间直角坐标系系
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空间直角坐标系中点的坐标
垂线法
如图，M与z正半轴在xOy平
z
面的同侧，那么点M的z坐标 是线段MN的长度.
M(x,y,Biblioteka )NOPM（x，y，z）
的新内容。
第24页/共27页
布置作业
1、（必做题 ） 习题4.3 A组1、2. 2、（选做题）求M(1,1,2)关于坐标轴对称的点的坐标，
关于平面 xoy对称的点的坐标.
精品高中数学说题课件衡水中学校内精品全国数学教师大比武一等奖课件
2
五、题目变式
变式三：已知 （1）若
f ( x) 2 cos2 x 3 sin2 x a, (a R)
x R， 求f(x)的单调增区间；
（2）若 x [0, 2 ]时，f(x)的最大值为4，求a的值； （3）在（2）的条件下，求满足f(x)=1且 x [ , ] 的x的集合。
考点分析：考查三角函数中特殊角三角函数值、倍角
公式、化一公式、函数 y A sin( x ) 图像性质等基 础知识，考查基本运算能力．
二、解题方法
解 : (1) f ( x) 2cos x(sin x cos x) 1 sin 2 x cos 2 x π 2 sin 2 x 4
六、预测及反思
一、近年广东三角函数高考题特点 二、说题活动反思
二、解题方法
解法一：换元法，数形结合 解法二：运用函数单调性求最值
解法三：画出图像并观察求解
解法三：画出图像并观察求解
y
2
O
x
2
三、学情分析
1、学生基本理解函数性质内容及数形结合思想
2、尖子班学生，有很大机会上本科、重点 3、文科生，对函数综合题、解析几何、数 列等掌握有一定困难
4、公式在较好引导下大多能够直接记下并运用
为达到有效分以上，必须拿下的重 阵地！
四、学法指导
熟识三角函数定义、图像 熟悉特殊角三角函数值，诱导公式， 倍角公式
熟练化一公式，参数对函数图像、 性质的影响,换元法运用
宁反复品味几道经典题， 不贪多滥做意不明确题。
五、题目变式
变式一：如果定义域为R
例如：1.求函数 f ( x) cos2 x cos x 3 的值域。
五、题目变式
变式三：已知 （1）若
f ( x) 2 cos2 x 3 sin2 x a, (a R)
x R， 求f(x)的单调增区间；
（2）若 x [0, 2 ]时，f(x)的最大值为4，求a的值； （3）在（2）的条件下，求满足f(x)=1且 x [ , ] 的x的集合。
考点分析：考查三角函数中特殊角三角函数值、倍角
公式、化一公式、函数 y A sin( x ) 图像性质等基 础知识，考查基本运算能力．
二、解题方法
解 : (1) f ( x) 2cos x(sin x cos x) 1 sin 2 x cos 2 x π 2 sin 2 x 4
六、预测及反思
一、近年广东三角函数高考题特点 二、说题活动反思
二、解题方法
解法一：换元法，数形结合 解法二：运用函数单调性求最值
解法三：画出图像并观察求解
解法三：画出图像并观察求解
y
2
O
x
2
三、学情分析
1、学生基本理解函数性质内容及数形结合思想
2、尖子班学生，有很大机会上本科、重点 3、文科生，对函数综合题、解析几何、数 列等掌握有一定困难
4、公式在较好引导下大多能够直接记下并运用
为达到有效分以上，必须拿下的重 阵地！
四、学法指导
熟识三角函数定义、图像 熟悉特殊角三角函数值，诱导公式， 倍角公式
熟练化一公式，参数对函数图像、 性质的影响,换元法运用
宁反复品味几道经典题， 不贪多滥做意不明确题。
五、题目变式
变式一：如果定义域为R
例如：1.求函数 f ( x) cos2 x cos x 3 的值域。
说题(有关高中一道数学题的说题) PPT课件 图文
将多个三角函数化为一角一函数化归思想cossincossincossin是一条对称轴由于三角函数对称轴处恰为解法五导数法sin2cos已知函数则实数sincostan所在的直线为已知函数sincoscossincossin202032416的范围可以是于直线对称202032418202032419定义域为函数图象关于r满足定义函数y则函数图象关于原点奇函数中心函数y则函数定义域为r周期为t满足定义函数周期为t2定义域为r满足关于函数y则函数周期为t2定义域为r满足数周期为t4知识准备知识准备1
（y轴、偶函数）
拓 展
抽象函数对称性
2.函数y=f (x)定义域为R，满足
f (a x) f (b x)则函数图象
特例关：于点
a
2
b
,
0对称
1）若f (a x) f (ax),则?对称中心a，0
拓 展
2）若f (2ax) f (x),则对称中心a，0
fx = cosx
4 5 6 x
4 5 6
（ 2014湖 南 ， 理 9） 已 知 函 数 f(x)sin （ x-）
2
且3 0
f(x)dx0， 则 函 数 的 一 条 对 称 轴
A．x
5 6
B．x 7
12
C．x
3
D．x 6
高 考
0
， 4
B．
4
， 2
变 式
C． 2
，3 4
D． 34
，
抽象函数对称性
1.函数y=f (x)定义域为R，满足 f (a x) f (b x)则函数图象
关于x= a b 对称 特例： 2 1）若f (a x) f (a x)，则对称轴为x a 2）若f (2a x) f (x)，则对称轴为x a 3）若f (x) f (x)，则对称轴为x 0
（y轴、偶函数）
拓 展
抽象函数对称性
2.函数y=f (x)定义域为R，满足
f (a x) f (b x)则函数图象
特例关：于点
a
2
b
,
0对称
1）若f (a x) f (ax),则?对称中心a，0
拓 展
2）若f (2ax) f (x),则对称中心a，0
fx = cosx
4 5 6 x
4 5 6
（ 2014湖 南 ， 理 9） 已 知 函 数 f(x)sin （ x-）
2
且3 0
f(x)dx0， 则 函 数 的 一 条 对 称 轴
A．x
5 6
B．x 7
12
C．x
3
D．x 6
高 考
0
， 4
B．
4
， 2
变 式
C． 2
，3 4
D． 34
，
抽象函数对称性
1.函数y=f (x)定义域为R，满足 f (a x) f (b x)则函数图象
关于x= a b 对称 特例： 2 1）若f (a x) f (a x)，则对称轴为x a 2）若f (2a x) f (x)，则对称轴为x a 3）若f (x) f (x)，则对称轴为x 0
高中数学说题比赛课件集锦排列组合_平均分组高艳艳
3 3 1 2 3 3 6 5 3 3
( 5 )一组四本，另外两组各一本 分析：(5) 属于无序部分平均分组
4 1 1 分组方法是C6 C 2 C1 30(种)，那么其中有没有重复的分法
呢？我们发现，其中两组的书的本数都是一本，因此这 两组有了顺序，而与四本书的那一组，由于书的本数不
4 1 1 C6 C 2 C1 一样，不可能重复。所以实际分法是 15(种)。 2 A2
( 1 )分为三组，每组两本 分析：(1) 属于无序平均分组
2 2 2 分组数是C 6 C4 C2 90(种)，这90种分组实际上重复了6次。
我们不妨把六本不同的书写上1、、、、、六个号码，考 2 3 4 5 6 察以下两种分法：， (1 2)(3， 4)(5， 6)与(3， 4)(1， 2)(5，， 6) 由于书是均匀分组的，三组的本数一样，又与顺序无关，所以 这两种分法是同一种分法。以上的分组方法实际上加入了组的顺 序，因此还应取消分组的顺序，即除以组数的全排列数，所以
2 2 2 C6 C4 C2 分法是 15(种)。 3 A3
( 2 )分给甲、乙、丙三人，每人得2本
分析：（2）属于有序平均分组
由于分配给三人，同一本书给不同的人是不同的分法，所以 是排列问题。实际上可看源自“分为三组，再将这三组分给甲、乙、
2 2 2 C 3 6 C4 C2 丙三人”，因此只要将分组方法数再乘以A 3 ，即 A 3 3 90(种)， 3 A3
分两组，后半部分表示去甲乙两地。
解法五：先将2名教师平均分成Ａ，Ｂ两组，有1种分法；
２ 从学生中选两名到A组，Ｃ，剩下的在 B组； ４
A组到甲或乙地，B组到相应的另一地，有２种分法；
２ 所以有１ Ｃ ２＝１２种。 ４
( 5 )一组四本，另外两组各一本 分析：(5) 属于无序部分平均分组
4 1 1 分组方法是C6 C 2 C1 30(种)，那么其中有没有重复的分法
呢？我们发现，其中两组的书的本数都是一本，因此这 两组有了顺序，而与四本书的那一组，由于书的本数不
4 1 1 C6 C 2 C1 一样，不可能重复。所以实际分法是 15(种)。 2 A2
( 1 )分为三组，每组两本 分析：(1) 属于无序平均分组
2 2 2 分组数是C 6 C4 C2 90(种)，这90种分组实际上重复了6次。
我们不妨把六本不同的书写上1、、、、、六个号码，考 2 3 4 5 6 察以下两种分法：， (1 2)(3， 4)(5， 6)与(3， 4)(1， 2)(5，， 6) 由于书是均匀分组的，三组的本数一样，又与顺序无关，所以 这两种分法是同一种分法。以上的分组方法实际上加入了组的顺 序，因此还应取消分组的顺序，即除以组数的全排列数，所以
2 2 2 C6 C4 C2 分法是 15(种)。 3 A3
( 2 )分给甲、乙、丙三人，每人得2本
分析：（2）属于有序平均分组
由于分配给三人，同一本书给不同的人是不同的分法，所以 是排列问题。实际上可看源自“分为三组，再将这三组分给甲、乙、
2 2 2 C 3 6 C4 C2 丙三人”，因此只要将分组方法数再乘以A 3 ，即 A 3 3 90(种)， 3 A3
分两组，后半部分表示去甲乙两地。
解法五：先将2名教师平均分成Ａ，Ｂ两组，有1种分法；
２ 从学生中选两名到A组，Ｃ，剩下的在 B组； ４
A组到甲或乙地，B组到相应的另一地，有２种分法；
２ 所以有１ Ｃ ２＝１２种。 ４
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2010 年江苏高考题第 19 题：设各项均为正数的数列an 的前 n 项和为 sn ，已知
2a2 a1 a3 ，数列 sn 是公差为 d 的等差数列。
（1）求数列an 的通项公式（用 n ， d 表示）
（2）设 c 为实数，对满足 m n 3k 且 m n 的任意正整数，不等式 sm sn csk 都 成立，求证 c 的最大值是 9
总评： 这 5 种解法种，学生最容易想到的是解法 1 和解法 3， 这 2 种解法入手容易，思维难度不大但计算推导烦琐， 其余解法有一定的技巧和思维要求，学生难以入手， 但计算量小得多。
二、解题分析
2、解题分析及评价：第（2）问
由（1）知 d 2
0 由题可化得 c
m2 n2 k2
恒成立，题目转化求
数，不等式 sm
sn
csk
都成立，则 c
t2 2
推广 3：对满足 am bn tk 的任意正整数 m, n （其中 a,b,t 为非零常数 m n ），
求 ( m)2 ( n )2 的最小值（或范围） kk
解析几何背景：即当点 P ( m , n ) 在一条线段上时，求点 P 到原点的距离平方的最小值（或范围）。 kk
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各位评委、老师，您们好：
我今天要说的题目是3号题，试题考查的 是数列及不等式内容，数列与不等式是高中数 学最重要的内容之一，也是高等数学的基础， 在教学和高考中占有重要的地位，属于每年的 必考内容。
本题难度是中等偏难，属于中高档分。
原题：设各项均为正数的数列an 的前 n 项和为 sn ，已知 2a2 a1 a3 ，数列 sn 是
由 m n 3k 得 m n 3，表明点 P ( m , n ) 线段 x y 3(x 0, y 0, x y) 上
2a2 a1 a3 ，数列 sn 是公差为 d 的等差数列。
（1）求数列an 的通项公式（用 n ， d 表示）
（2）设 c 为实数，对满足 m n 3k 且 m n 的任意正整数，不等式 sm sn csk 都 成立，求证 c 的最大值是 9
总评： 这 5 种解法种，学生最容易想到的是解法 1 和解法 3， 这 2 种解法入手容易，思维难度不大但计算推导烦琐， 其余解法有一定的技巧和思维要求，学生难以入手， 但计算量小得多。
二、解题分析
2、解题分析及评价：第（2）问
由（1）知 d 2
0 由题可化得 c
m2 n2 k2
恒成立，题目转化求
数，不等式 sm
sn
csk
都成立，则 c
t2 2
推广 3：对满足 am bn tk 的任意正整数 m, n （其中 a,b,t 为非零常数 m n ），
求 ( m)2 ( n )2 的最小值（或范围） kk
解析几何背景：即当点 P ( m , n ) 在一条线段上时，求点 P 到原点的距离平方的最小值（或范围）。 kk
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各位评委、老师，您们好：
我今天要说的题目是3号题，试题考查的 是数列及不等式内容，数列与不等式是高中数 学最重要的内容之一，也是高等数学的基础， 在教学和高考中占有重要的地位，属于每年的 必考内容。
本题难度是中等偏难，属于中高档分。
原题：设各项均为正数的数列an 的前 n 项和为 sn ，已知 2a2 a1 a3 ，数列 sn 是
由 m n 3k 得 m n 3，表明点 P ( m , n ) 线段 x y 3(x 0, y 0, x y) 上
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谢谢 请多指教
以பைடு நூலகம்
上
两
式
相
减
，
得
a2k 1 a2k 1 2 于是有
a1 a3 a5 a59 (a1 a3 ) (a5 a7 ) (a57 a59 ) 15 2 30
。 。 。 。 。 （1）
又由 an 1 (1)
n
an 2n 1 ，令 n=1,3,5......59,知
关于一道高考题的 解法探究
浩良河化肥厂学校 谷艳波
2012 年高考全国新课程卷理科第 16 题：
n
数列 {a n} 满足
an1 (1) an 2n 1 ， 则
{a n } 的前 60 项和为
n a ( 1) an 2n 1 ，则 {a n } 的前 60 项和为 数列 {a } 满足 n1
a2 a1 1, a4 a3 5, a6 a5 9....... a60 a59 117
以上各式相加，得
(a2 a 4 a6 a60 ) (a1 a3 a5 a59 ) 1 5 9 117 1770
于是可知
a4k 3 a, a4k 2 a (8k 7), a4k 1 2 a, a4k a (8k 1),
所以 a4k -3 a4k 2
a4k 1 a4k 16k 6 ， 知每连续四项之和成等差
15(10 15 16 6) s60 1830 数列，则 2
g (n)an
an1 qan d （其中 q,d 为常数）构造
想通过以上几种方法求出通项，在进一步进行求和， 但进一步分析哪种形式都不符合，原因出在这道题有
(1) ，这样就给试题增加了难度，整体上看项与项
n
之间没有明显的联系，但我们知道，对于给出递推数列， 没有给出更好方法之前， 通常可以特值开路， 写出前几项， 进行归纳，再猜一般规律，这也是做数学题的通法，下面 我们看第一种方法
n a ( 1) an 2n 1 ，则 {a n } 的前 60 项和为 数列 {a } 满足 n1
n
思路三 分组求和法
解 法 三 ： 由
an1 (1)n an 2n 1
， 令
n=2k, 则 有
a2k 1 a2k 4k 1 ，令 n=2k-1,
则 有
a2k a2k 1 4k 3;
即 an2
an (1) (2n 1) 2n 1,
n
n a a ( 1 ) (2n 1) 2n 3 ，两式相加得 也有 n3 n1
an an1 an2 an3 2(1)n 4n 4 ，设 k 为整数，则
a4k 1 a4k 2 a4k 3 a4k 4 2(1)4k 1 4(4k 1) 4 16k 10于是
思路一
有
从特殊到一般
1
n a ( 1 ) an 2n 1 ，分别令 n=1,2,3,4,.....,则 解法一 设 a a 由递推公式 n1
a1 a, a 2 1 a, a3 2 a, a4 7 a, a5 a, a6 9 a, a7 2 a, a8 15 a. a9 a,
通过由特殊到一般这种方法我们归纳 出数列具备连续四项的和是等差数列，这 在数学来讲是不完全归纳，大题要是按这 样做的话就不具备数学证题的完备性，所 以我们就要附带证明过程，因为这道题是 连续四项的和是等差数列，我们必须找相 邻四项的关系，所以我们想到迭代法，通 过直接反复利用递推公式而进行迭代，能 够出现两项之间的关系式，然后进行关系 式之间的相加运算，下面我们就用迭代法
14
s 60 (a4 k 1 a4 k 2 a4 k 3 a4 k 4 ) 1830
k 0
n ( 1 ) 另外由于 的出现，使我们不得不想到 n 要分奇
数和偶数，从而得到 an1 an f (n) 或是 an 1 an f (n) 型问题，这是我们非常熟悉的形式，想到利用叠加法及并 项法来解决， 分别求出奇数项的和与偶数项的和， 再相加。 从而得到下一个熟悉的思路
n a ( 1) an 2n 1 ，则{a } 的前 60 项和为 数列 {a } 满足 n1
n n
思路二
利用迭代法
n
解法二 由 an 1 (1)
an 2n 1 得
an 2 (1) n an 1 2n 1 (1) n ((1) n an 2n 1) 2n 1 an (1) n (2n 1) 2n 1
n
本题是 2012 年高考题第 16 题，可以说本题的难度很 大，学生的失分率很高，这道题以数列的递推公式为背景， 求数列的前 n 项和的过程，看似简单，因为很容易认为这 个递推公式符合我们熟悉的几种递推公式形式， 如形式（1） an1 an f (n) （2） an1 (3) 法 用累加法 用累乘法
将（1）式代入（2）式得 a 2 a4 a6 a60 1800于是 。 。 。 。 。 （2）
s60 1830
以上只是三种解题方法还有一些方法我在这里就不一 一探究，通过这道高考题体现了数学常用的思想方法如特 值法，归纳推理的思想，分类讨论思想，构造法思想，以 及数列的迭代，累加的计算方法我想类似这样的题目在今 后的教学中应多加留意， 以上是我对这道题目的一些看法。