昆明理工大学线性代数试卷

昆明理工大学2015级试卷( A卷)

考试科目：线性代数考试日期：2016.6.21 命题教师：集体命题

一、 填空题（每小题4分，共40分）

1. 已知A 为3阶方阵，且2A =-，则1

2A -= ；

2．已知200300020,030002003A B ⎛⎫⎛⎫

⎪ ⎪=- =- ⎪ ⎪

⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

，则1=-A B ； 3. 已知1121A -⎛⎫= ⎪-⎝⎭，则A 的伴随矩阵*

A = ；

4. 设向量123(2,1,1),(0,1,0),(1,2,)T T T t ααα= = =线性相关，则 t =

；

5. 如果n 维向量组含有1n +个向量，则该向量组的线性关系为

__________；

6. 设A 为34⨯阶的矩阵，且A 的行向量组线性无关，则

()A r =__________；

7. 已知n 元非齐次线性方程组

Ax=b 有唯一解，则()A,b =r _________；

8. 设A 为正交矩阵，且0A

<，则A =__________；

9. 设1010005t t ⎛⎫ ⎪

⎪ ⎪⎝⎭

为正定矩阵，则t 的取值范围是 ；

10.设112 -，

，是3阶方阵A 的特征值，则23A E -= .

二、计算题（共30分）

11（8分）、计算4阶行列式 40

1232

1

34240

3110

D -=

---.

12（14分）、已知向量组A ： 123421234,1,3,52012αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪

==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭

，

（1）求向量组A 的秩；（2）求一个最大无关组，并把其余向量用最大无关组线性表示.

13（8分）、已知12325221,3134343A =B = ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪

⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭

. 求矩阵X 使得AX B =.

三、 证明题（共16分）

14（12分）、设线性方程组

123

123

123

+

1

1 x x x a ax x x

x x ax

+=⎧

⎪

++=

⎨

++=

⎪⎩

，

证明：（1）当1

a≠时方程组有唯一解，并求唯一解；

(2) 当1

a=时方程组有无穷多解，并求通解.

15(4分)、设向量组

123

,,

ααα线性相关，向量组

234

,,

ααα线性无关. 证明

向量

1

α可由

23

,

αα线性表示.

四、综合应用题（共14分）

16（14分）、已知对称矩阵

202

040

205

-

⎛⎫

⎪

⎪

⎪

-⎝⎭

A=，

试求：(1) A的特征值及其对应的特征向量；

(2) 正交矩阵P使得1

P AP

-为对角矩阵.