指数运算和指数函数

指数运算和指数函数

一、知识点

1.根式的性质

（1）当n 为奇数时，有a a n n = （2）当n 为偶数时，有⎩⎨⎧<-≥==)

0(,)

0(,a a a a a a n n

（3）负数没有偶次方根 （4）零的任何正次方根都是零 2.幂的有关概念

(1)正整数指数幂：)(.............*∈⋅⋅=N n a a a a a n

n

(2)零指数幂)0(10

≠=a a (3)负整数指数幂 ).0(1

*∈≠=

-N p a a a p

p (4)正分数指数幂 )1,,,0(>*∈>=n N n m a a a

n m n

m 且

(5)负分数指数幂 n

m n

m a

a

1=

-

)1,,,0(>*∈>n N n m a 且

(6)0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义 3.有理指数幂的运算性质 (1)),,0(,Q s r a a

a a s

r s

r

∈>=⋅+ (2)),,0(,)(Q s r a a a rs s r ∈>=

(3)),0,0(,)(Q r b a a a ab s

r

r ∈>>⋅=

4．指数函数定义：函数)10(≠>=a a a y x

且叫做指数函数。 5. 指数函数的图象和性质

x a y =

0 < a < 1 a > 1

图 象

性 质

定义域 R

值域

(0 , +∞)

定点 过定点（0，1），即x = 0时，y = 1

（1）a > 1，当x > 0时，y > 1；当x < 0时，0 < y < 1。

（2）0 < a < 1，当x > 0时，0 < y < 1；当x < 0时，y > 1。 单调性 在R 上是减函数

在R 上是增函数

对称性

x y a =和x y a -=关于y 轴对称

二、指数函数底数变化与图像分布规律

（1）

①x

y a

=②x

y b

=③x

y c

=④x

y d

=

则：0＜b＜a＜1＜d＜c

又即：x∈(0,+∞)时，x x x x

b a d c

<<<（底大幂大）

x∈(－∞,0)时，x x x x

b a d c

>>>

（2）特殊函数

11

2,3,(),()

23

x x x x

y y y y

====的图像：

三、指数式大小比较方法

(1)单调性法：化为同底数指数式，利用指数函数的单调性进行比较.

(2)中间量法

(3)分类讨论法

(4)比较法

比较法有作差比较与作商比较两种，其原理分别为：

①若0

A B A B

->⇔>；0

A B A B

-<⇔<；0

A B A B

-=⇔=；

②当两个式子均为正值的情况下，可用作商法，判断1

A

B

>，或1

A

B

<即可．四、典型例题

类型一、指数函数的概念

例1．函数2

(33)x

y a a a

=-+是指数函数，求a的值．

【答案】2

【解析】由2

(33)x

y a a a

=-+是指数函数，

可得

2331,

0,1,

a a

a a

⎧-+=

⎨

>≠

⎩且

解得

12,

01,

a a

a a

==

⎧

⎨

>≠

⎩

或

且

，所以2

a=．

举一反三：

【变式1】指出下列函数哪些是指数函数？

（1）4x

y=；（2）4

y x

=；（3）4x

y=-；（4）(4)x

y=-；

（5）

1

(21)(1)

2

x

y a a a

=->≠

且；（6）4x

y-

=．

【答案】（1）（5）（6）

【解析】（1）（5）（6）为指数函数．其中（6）4x

y -==14x

⎛⎫

⎪⎝⎭

，符合指数函数的定

义，而（2）中底数x 不是常数，而4不是变数；（3）是-1与指数函数4x 的乘积；（4）中底数40-<，所以不是指数函数．

类型二、函数的定义域、值域

例2．求下列函数的定义域、值域.

(1)313x x

y =+；(2)y=4x -2x

+1；(4)y =为大于1的常数)

【答案】（1）R ，(0，1)；（2）R [+∞,4

3

)； （3）1,2⎡⎫

-

+∞⎪⎢⎣⎭

[)0,+∞；（4）[1，a)∪(a ，+∞) 【解析】(1)函数的定义域为R (∵对一切x ∈R ，3x ≠-1).

∵ (13)11

11313

x x x

y +-==-++，又∵ 3x >0， 1+3x >1， ∴ 10113x <

<+， ∴ 1

1013x

-<-<+，

∴ 1

01113

x

<-<+， ∴值域为(0，1). (2)定义域为R ，4

3)212(12)2(22+-=+-=x

x x y ，∵ 2x >0， ∴ 212=x 即 x=-1

时，y 取最小值43，同时y 可以取一切大于43的实数，∴ 值域为[+∞,4

3

).

(3)要使函数有意义可得到不等式21

1309

x --≥，即21233x --≥，又函数3x y =是增函数，

所以212x -≥-，即12x ≥-

，即1,2⎡⎫

-+∞⎪⎢⎣⎭

，值域是[)0,+∞. (4)∵

01

1

112≥+-=-+x x x x ∴ 定义域为(-∞，-1)∪[1，+∞)， 又∵

11

1

011≠+-≥+-x x x x 且，∴ a a

y a y x x x x

≠=≥=-+-+11

211

21且， ∴值域为[1，

a)∪(a ，+∞).

【总结升华】求值域时有时要用到函数单调性；第(3)小题中值域切记不要漏掉y>0的条件，第(4)小题中

11

2

111≠+-=+-x x x 不能遗漏.