2006年浙江大学427数学分析考研真题【圣才出品】
浙江大学经济学综合2006真题及答案
浙江大学2006年硕士研究生入学考试试题考试科目：经济学综合编号：402本试卷由三部分组成：其一是西方经济学部分，共有l00分，所有专业必考；其二是国际经济学部分，共有50分，国际贸易学和世界经济专业必考;其三是政治经济学部分，共有50分，除国际贸易学和世界经济专业外其他专业必考。
西方经济学部分一、名词解释(每题5分，共30分)1．生命周期假说2．货币供给乘数3．奥肯法则4．后此谬误5. 公共品6．停业原则二、简答题(每题10分，共40分)1．简述货币的职能和货币需求的原因。
2．简述通货膨胀的三种类型。
3．对土地征税会产生什么影响？4．市场效率的限制？三、论述题(每题15分，共30分)1．论述并比较古典学派和凯恩斯主义的宏观经济理论和政策。
2．试述不完全竞争的经济成本。
国际经济学部分一、名词解释(每题5分，共15分)1．有效保护税率2．许可证贸易3．价格转移二、简答题(共20分；请在A、B两组中选答一组，电子商务考生可选考B组)A组1．简述要素禀赋理论与需求偏好相似理论的主要差别。
2．就国际收支弹性理论进行简要评述。
B组：1．结合图形与公式，简要比较传统经济与网络经济中的边际效用规律及其产生原因。
2．简要举例说明电子商务解决方案的种类及影响选择的主要因素。
三、论述题(15分)试述波特的国际竞争优势理论及其对我国外贸政策的启示，并分析比较优势理论与竞争优势理论的相互联系。
政治经济学部分一、名词解释(每题5分，共15分)1．纸币流通规律2．资本周转3．产业结构高度化二、简答题(每题l０分，共20分)1．你如何理解：“任何生产都是社会的生产”这一论断？2．简述劳动力商品的价值与使用价值。
三、论述题(15分)在论述政府宏观调控目标与内容的基础上，再结合我国当前的宏观经济状况，谈谈我国当前宏观调控的重点领域。
浙江大学2006年硕士研究生入学考试试题考试科目：经济学综合编号：402本试卷由三部分组成：其一是西方经济学部分，共有l00分，所有专业必考；其二是国际经济学部分，共有50分，国际贸易学和世界经济专业必考;其三是政治经济学部分，共有50分，除国际贸易学和世界经济专业外其他专业必考。
2006年考研数学试题详解及评分参考
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(6) 设随机变量 X 与 Y 相互独立，且均服从区间 [0， 3] 上的均匀分布，则
P{ max { X , Y } £ 1 } =
【答】 应填 1 / 9 .
【解】 P{ max { X , Y } £ 1} = P{ X £ 1, Y £ 1} = P{ X £ 1} × P{Y £ 1} =
(13) 设 A , B 为随机事件，且 P ( B ) > 0 ， P ( A | B ) = 1 ，则必有 (C) P ( A U B ) = P ( A) . 【答】 应选 (C). 【解】 因 P ( A | B ) = (A) P ( A U B ) > P ( A) . (D) P ( A U B ) = P ( B ) . (B) P ( A U B ) > P ( B ) .
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【答】 应填 2 . 【解】 因 x ® 0 时， ln(1 + x) : x, 1 - cos x : (2) 微分方程 y ¢ =
1 2 x×x x ，故原式= lim 1 2 = 2 . x 0 ® 2 2 x
y (1 - x) 的通解是 . x 【答】 应填 y = C x e - x （ C 为任意常数）. dy 1 - x 【解】 分离变量，得 = dx . 两边积分，有 ln | y |= ln | x | - x + C1 ，即 y x | y |= eC1 | x | e- x . 记 C = ± eC1 ，则有 y = C x e - x . 由于 y = 0 也是原方程的解，故上式中 C 可以为零，于是得通解 y = C x e - x （ C 为任意常数）. x 2 + y 2 ( 0 £ z £ 1 )的下侧，则 òò xdydz + 2 ydzdx + 3( z - 1)dxdy = .
浙江大学2006年数学分析
浙江大学2006年数学分析考试试题一. (20分) (1)证明:数列1111log (1,2,3)23n x n n n=+++⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅是收敛的,其中log 表示以自然数e 为底的对数. (2)计算:1111lim 1232n n n n n →∞⎛⎫++⋅⋅⋅+⎪+++⎝⎭. 二. (15分)设()f x 是闭区间[],a b 上的连续函数,对任一点(),x a b ∈,存在趋于零的数列{}k r ,使得()()()22lim0k k k kfx r f x r f x r →∞++--=.证明函数()fx 为一线性函数.三. (15分)设()h x 是(),-∞+∞上的无处可导的连续函数,试以此构造连续函数()f x ,在(),-∞+∞上仅在两点可导,并且说明理由.四. (15分)设()()22222221sin ,0,0,0x y x y x y f x y x y ⎧++≠⎪+=⎨⎪+=⎩(1)求(),f x y x ∂∂以及(),f x y y∂∂.(2)问(),f x y x∂∂,(),f x y y∂∂在原点是否连续?(),f x y 在原点是否连续?试说明理由.五. (20分)设()f x 在[)0,+∞的任何闭子区间[],αβ上黎曼可积,且()0f x dx +∞⎰收敛,证明:对于常数1a >,成立()()0xyaf x dx f x dx +∞+∞-=⎰⎰.六. (15分)计算曲面积分()32222sxdydz ydzdx zdxdyI axby cz++=++⎰⎰其中(){}2222,,S x y z x y z r =|++=,常数0,0,0,0a b c r >>>>七. (15分)设V 为单位球:2221x y z ++≤,又设,,a b c 为不全为零的常数,计算:()cos VI ax by cz dxdydz =++⎰⎰⎰八. (20分)设函数()2112f x x x=--,证明级数()()0n n n f∞=!∑收敛.九. (15分)设()f x 在[)0,+∞上可微,()00f =.若有常数0A >,使得对任意[)0,x ∈+∞,有()()f x A f x '≤.证明:在[)0,+∞,()0f x =.。
2006年考研数学一试题与答案解析
2006年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上)(1)0ln(1)lim1cos x x x x→+=-. (2)微分方程(1)y x y x-'=の通解是 .(3)设∑是锥面z =(01z ≤≤)の下侧,则23(1)xdydz ydzdx z dxdy ∑++-=⎰⎰ .(4)点(2,1,0)到平面3450x y z ++=の距离z = .(5)设矩阵2112⎛⎫= ⎪-⎝⎭A ,E 为2阶单位矩阵,矩阵B 满足2=+BA B E ,则B = .(6)设随机变量X 与Y 相互独立,且均服从区间[0,3]上の均匀分布,则{}max{,}1P X Y ≤= .二、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分. 每小题给出の四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前の字母填在题后の括号内)(7)设函数()y f x =具有二阶导数,且()0,()0f x f x '''>>,x ∆为自变量x 在0x 处の增量,y ∆与dy 分别为()f x 在点0x 处对应の增量与微分,若0x ∆>,则(A)0dx y <<∆ (B)0y dy <∆< (C)0y dy ∆<<(D)0dy y <∆<(8)设(,)f x y 为连续函数,则140(cos ,sin )d f r r rdr πθθθ⎰⎰等于(A)(,)xf x y dy ⎰⎰(B)(,)f x y dy ⎰⎰(C)(,)yf x y dx ⎰⎰(C)(,)f x y dx ⎰⎰(9)若级数1nn a∞=∑收敛,则级数(A)1nn a∞=∑收敛 (B)1(1)nn n a ∞=-∑收敛(C)11n n n a a∞+=∑收敛(D)112n n n a a ∞+=+∑收敛 (10)设(,)f x y 与(,)x y ϕ均为可微函数,且1(,)0y x y ϕ≠.已知00(,)x y 是(,)f x y 在约束条件(,)0x y ϕ=下の一个极值点,下列选项正确の是(A)若00(,)0x f x y '=,则00(,)0y f x y '=(B)若00(,)0x f x y '=,则00(,)0y f x y '≠(C)若00(,)0x f x y '≠,则00(,)0y f x y '=(D)若00(,)0x f x y '≠,则00(,)0y f x y '≠(11)设12,,,,s αααL 均为n 维列向量,A 是m n ⨯矩阵,下列选项正确の是 (A)若12,,,,s αααL 线性相关,则12,,,,s A αA αA αL 线性相关 (B)若12,,,,s αααL 线性相关,则12,,,,s A αA αA αL 线性无关(C)若12,,,,s αααL 线性无关,则12,,,,s A αA αA αL 线性相关 (D)若12,,,,s αααL 线性无关,则12,,,,s A αA αA αL 线性无关.(12)设A 为3阶矩阵,将A の第2行加到第1行得B ,再将B の第1列の-1倍加到第2列得C ,记110010001⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭P ,则(A)1-=C P AP (B)1-=C PAP(C)T =C P AP(D)T=C PAP(13)设,A B 为随机事件,且()0,(|)1P B P A B >=,则必有(A)()()P A B P A >U(B)()()P A B P B >U(C)()()P A B P A =U(D)()()P A B P B =U(14)设随机变量X 服从正态分布211(,)N μσ,Y 服从正态分布222(,)N μσ, 且12{||1}{||1},P X P Y μμ-<>-<则(A)12σσ< (B)12σσ>(C)12μμ<(D)12μμ>三、解答题(本题共9小题,满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) (15)(本题满分10分) 设区域D=(){}22,1,0x y x y x +≤≥,计算二重积分2211DxyI dxdy x y+=++⎰⎰. (16)(本题满分12分) 设数列{}n x 满足()110,sin 1,2,...n x x x n ππ+<<==.求:(1)证明lim n x x →∞存在,并求之.(2)计算211lim n x n x n x x +→∞⎛⎫ ⎪⎝⎭. (17)(本题满分12分) 将函数()22xf x x x=+-展开成x の幂级数. (18)(本题满分12分) 设函数()()0,,f u +∞在内具有二阶导数且z f=满足等式22220z zx y∂∂+=∂∂. (1)验证()()0f u f u u'''+=. (2)若()()10,11,f f '==求函数()f u の表达式.(19)(本题满分12分) 设在上半平面(){},0D x y y =>内,数(),f x y 是有连续偏导数,且对任意の0t >都有()()2,,f tx ty t f x y =.证明: 对L 内の任意分段光滑の有向简单闭曲线L ,都有(,)(,)0Lyf x y dx xf x y dy -=⎰Ñ.(20)(本题满分9分) 已知非齐次线性方程组 有3个线性无关の解,(1)证明方程组系数矩阵A の秩()2r =A .(2)求,a b の值及方程组の通解. (21)(本题满分9分)设3阶实对称矩阵A の各行元素之和均为3,向量()()121,2,1,0,1,1TT=--=-αα是线性方程组0x =A の两个解.(1)求A の特征值与特征向量.(2)求正交矩阵Q 和对角矩阵A ,使得T=Q AQ A . (22)(本题满分9分)随机变量x の概率密度为()()21,1021,02,,40,令其它x x f x x y x F x y ⎧-<<⎪⎪⎪=≤<=⎨⎪⎪⎪⎩为二维随机变量(,)X Y の分布函数.(1)求Y の概率密度()Y f y .(2)1,42F ⎛⎫-⎪⎝⎭. (23)(本题满分9分)设总体X の概率密度为(,0)F X = 10θθ- 0112x x <<≤<其它,其中θ是未知参数(01)θ<<,12n ,...,X X X 为来自总体X の简单随机样本,记N 为样本值12,...,n x x x 中小于1の个数,求θの最大似然估计.2006年全国硕士研究生入学考试数学一真题解析一、 填空题（1）0ln(1)lim 1cos x x x x→+-= 2 .221cos 1,)1ln(x x x x -+Θ （0x →当时）（2）微分方程(1)y x y x-'=の通解是(0)xy cxe x -=≠，这是变量可分离方程.（3）设∑是锥面1)Z ≤≤の下侧，则23(1)2xdydz ydzdx z dxdy π∑++-=⎰⎰补一个曲面221:1x y z ⎧+≤∑⎨=⎩1上侧∴16dxdydz ∑∑Ω+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰（Ω为锥面∑和平面1∑所围区域）6V =（V 为上述圆锥体体积）而123(1)0dydz ydzdx z dxdy ∑⨯++-=⎰⎰（∵在1∑上：1,0zdz ==）（4）,1,0,450x y z d ++==点(2)到平面3的距离(5)设A = 2 1 ,2阶矩阵B 满足BA =B +2E ,则|B |= .-1 2解:由BA =B +2E 化得B (A -E )=2E ,两边取行列式,得|B ||A -E |=|2E |=4,计算出|A -E |=2,因此|B |=2.（6）91 二、 选择题（7）设函数()y f x =具有二阶导数，且()0f x '>，()0f x ''>，x ∆为自变量x 在0x 处の增量，y ∆与dy 分别为()f x 在点0x 处对应の增量与微分.若0>∆x ，则[A](11)设?1,?2,…,?s 都是n 维向量，A 是m ?n 矩阵，则（ ）成立.(A) 若?1,?2,…,?s 线性相关,则A ?1,A ?2,…,A ?s 线性相关. (B) 若?1,?2,…,?s 线性相关,则A ?1,A ?2,…,A ?s 线性无关. (C) 若?1,?2,…,?s 线性无关,则A ?1,A ?2,…,A ?s 线性相关. (D) 若?1,?2,…,?s 线性无关,则A ?1,A ?2,…,A ?s 线性无关. 解: (A)本题考の是线性相关性の判断问题,可以用定义解.若?1,?2,…,?s 线性相关,则存在不全为0の数c 1,c 2,…,c s 使得c 1?1+c 2?2+…+c s ?s =0,用A 左乘等式两边,得c 1A ?1+c 2A ?2+…+c s A ?s =0,于是A ?1,A ?2,…,A ?s 线性相关.如果用秩来解,则更加简单明了.只要熟悉两个基本性质,它们是: 1.??1,?2,…,?s ?线性无关? r(?1,?2,…,?s ?)=s. 2. r(AB )? r(B ).矩阵(A ?1,A ?2,…,A ?s )=A (??1,??2,…,?s ?),因此r(A ?1,A ?2,…,A ?s )? r(?1,??2,…,?s ?).由此马上可判断答案应该为(A).(12)设A 是3阶矩阵,将A の第2列加到第1列上得B ,将B の第1列の-1倍加到第2列上得C .记 1 1 0P = 0 1 0 ,则0 0 1(A) C =P -1AP . (B) C =PAP -1. (C) C =P TAP . (D) C =PAP T.解: (B)用初等矩阵在乘法中の作用得出B =PA ,1 -1 0C =B 0 1 0 =BP -1= PAP -1.0 0 1（13）根据乘法公式与加法公式有： P(AB)=P(B)P(A/B)=P(B) P(A ⋃B)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A) 应选C （14）依题：).1,0(~),10(~2211N Y N x σμσμ--，因},1{}1{21<-><-μμY P X P即 .11222111⎭⎬⎫⎩⎨⎧<->⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-σσμσσμY P X p 所以.,112121σσσσ<>应选A 三、 解答题（18）设函数()(0,)f u +∞在内具有二阶导数，且Zf=满足等式（I ）验证()()0f u f u u'''+= （II ）若(1)0,(1)1f f '== 求函数()f u 的表达式证：（I ）zzf f xy∂∂''==∂∂（II ）令(),;dp p dp du f u p c du u p u'==-=-+⎰⎰则（19）设在上半平面{}(,)|0D x y y =>内，函数(,)f x y 具有连续偏导数，且对任意0t >都有2(,)(,)f tx ty tf x y -=证明：对D 内任意分段光滑の有向简单闭曲线L ，都有0),(),(=-⎰dy y x xf dx y x yf L.证：把2(,)(,)f tx ty t f x y t -=两边对求导得：(,)(,)2(,)x y xf tx ty yf tx ty tf x y ''+=- 令1t =，则(,)(,)2(,)x y xf x y yf x y f x y ''+=-再令 (,),(,)P yf x y Q xf x y ==-所给曲线积分等于0の充分必要条件为Q Px y∂∂=∂∂ 今(,)(,)x Qf x y xf x y x∂'=--∂ 要求Q Px y∂∂=∂∂成立，只要(,)(,)2(,)x y xf x y yf x y f x y ''+=- 我们已经证明，Q Px y∂∂∴=∂∂，于是结论成立. (20)已知非齐次线性方程组??????????????????????x 1+x 2+x 3+x 4=-1, 4x 1+3x 2+5x 3-x 4=-1，??????????? a x 1+x 2+3x 3+bx 4=1 有3个线性无关の解.① 证明此方程组の系数矩阵A の秩为2. ② 求a,b の值和方程组の通解.解:① 设?1,?2,?3是方程组の3个线性无关の解,则?2-?1,?3-?1是AX =0の两个线性无关の解.于是AX =0の基础解系中解の个数不少于2,即4-r(A )?2,从而r(A )?2.又因为A の行向量是两两线性无关の,所以r(A )?2. 两个不等式说明r(A )=2.② 对方程组の增广矩阵作初等行变换:1 1 1 1 -1 1 1 1 1 -1(A |?)= 4 3 5 -1 -1 ? 0 –1 1 –5 3 ,a 1 3b 1 0 0 4-2a 4a+b-5 4-2a 由r(A )=2,得出a=2,b=-3.代入后继续作初等行变换:1 02 -4 2 ? 0 1 -1 5 -3 . 0 0 0 0 0 得同解方程组 x 1=2-2x 3+4x 4， x 2=-3+x 3-5x 4，求出一个特解(2,-3,0,0)T和AX =0の基础解系(-2,1,1,0)T,(4,-5,0,1) T.得到方程组の通解:(2,-3,0,0)T+c 1(-2,1,1,0)T+c 2(4,-5,0,1)T, c 1,c 2任意.(21) 设3阶实对称矩阵A の各行元素之和都为3,向量?1=(-1,2,-1)T,??2=(0,-1,1)T都是齐次线性方程组AX =0の解.① 求A の特征值和特征向量. ② 求作正交矩阵Q 和对角矩阵?,使得 Q TAQ =?.解:① 条件说明A (1,1,1)T=(3,3,3)T,即 ?0=(1,1,1)T是A の特征向量,特征值为3.又?1,?2都是AX =0の解说明它们也都是A の特征向量,特征值为0.由于?1,?2线性无关, 特征值0の重数大于1.于是A の特征值为3,0,0.属于3の特征向量:c ?0, c ?0.属于0の特征向量:c 1?1+c 2?2, c 1,c 2不都为0. ② 将?0单位化,得?0=(33,33,33)T. 对?1,?2作施密特正交化,の?1=(0,-22,22)T ,??2=(-36,66,66)T. 作Q =(?0,?1,?2),则Q 是正交矩阵,并且3 0 0 Q TAQ =Q -1AQ = 0 0 0 . 0 0 0（22）随机变量X の概率密度为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<≤<<-=其他,020,4101,21)(x x x f X ，令2X Y =，),(y x F 为二维随机变量）（Y X ,の分布函数. （Ⅰ）求Y の概率密度；（Ⅱ）)4,21(-F 解：（Ⅰ）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<≤<≤<=≤=≤=y y y y y X P y Y P y F Y 4,141,)2(10,)1(0,0)()()(2式式⎰⎰=+=≤≤-=-yyy dx dx y X y P 0434121)()1(式； ⎰⎰+=+=≤≤-=-yy dx dx y X y P 0141214121)()2(式. 所以：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<≤<<==其他,041,8110,83)()('y yy y y F y f Y Y这个解法是从分布函数の最基本の概率定义入手，对y 进行适当の讨论即可，在新东方の辅导班里我也经常讲到，是基本题型. （Ⅱ）)4,21(-F )212()22,21()4,21()4,21(2-≤≤-=≤≤--≤=≤-≤=≤-≤=X P X X P X X P Y X P 4121211==⎰--dx .（23）设总体X の概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<<=其他,021,110,),(x x x f θθθ，其中θ是未知参数（0<θ<1）.n X X X Λ,,21为来自总体の简单随机样本，记N 为样本值n x x x Λ,,21中小于1の个数.求θの最大似然估计.解：对样本n x x x Λ,,21按照<1或者≥1进行分类：pN p p x x x Λ,,21<1，pn pN pN x x x Λ,,21++≥1.似然函数⎩⎨⎧≥<-=++-其他，,01,,,1,,)1()(2121pn pN pN pN p p N n N x x x x x x L ΛΛθθθ，在pN p p x x x Λ,,21<1，pn pN pN x x x Λ,,21++≥1时，)1ln()(ln )(ln θθθ--+=N n N L ，01)(ln =---=θθθθN n N d L d ，所以nN=最大θ.2005年考研数学一真题一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）（1）曲线122+=x x y の斜渐近线方程为 _____________.（2）微分方程x x y y x ln 2=+'满足91)1(-=y の解为. ____________.（3）设函数181261),,(222z y x z y x u +++=，单位向量}1,1,1{31=n ρ，则)3,2,1(nu∂∂=.________.（4）设Ω是由锥面22y x z +=与半球面222y x R z --=围成の空间区域，∑是Ωの整个边界の外侧，则⎰⎰∑=++zdxdy ydzdx xdydz ____________.（5）设321,,ααα均为3维列向量，记矩阵),,(321ααα=A ，)93,42,(321321321ααααααααα++++++=B ， 如果1=A ，那么=B ..（6）从数1,2,3,4中任取一个数，记为X, 再从X ,,2,1Λ中任取一个数，记为Y, 则}2{=Y P =____________.二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出の四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前の字母填在题后の括号内）（7）设函数n nn xx f 31lim )(+=∞→，则f(x)在),(+∞-∞内(A) 处处可导. (B) 恰有一个不可导点.(C) 恰有两个不可导点. (D) 至少有三个不可导点. [ ] （8）设F(x)是连续函数f(x)の一个原函数，""N M ⇔表示“M の充分必要条件是N ”，则必有(A) F(x)是偶函数⇔f(x)是奇函数. （B ） F(x)是奇函数⇔f(x)是偶函数.(C) F(x)是周期函数⇔f(x)是周期函数.(D) F(x)是单调函数⇔f(x)是单调函数. [ ] （9）设函数⎰+-+-++=yx yx dt t y x y x y x u )()()(),(ψϕϕ, 其中函数ϕ具有二阶导数，ψ具有一阶导数，则必有(A) 2222y u x u ∂∂-=∂∂. （B ） 2222yu x u ∂∂=∂∂. (C) 222yuy x u ∂∂=∂∂∂. (D)222x u y x u ∂∂=∂∂∂. [ ] （10）设有三元方程1ln =+-xze y z xy ，根据隐函数存在定理，存在点(0,1,1)の一个邻域，在此邻域内该方程(A) 只能确定一个具有连续偏导数の隐函数z=z(x,y). (B) 可确定两个具有连续偏导数の隐函数x=x(y,z)和z=z(x,y). (C) 可确定两个具有连续偏导数の隐函数y=y(x,z)和z=z(x,y).(D) 可确定两个具有连续偏导数の隐函数x=x(y,z)和y=y(x,z). [ ] （11）设21,λλ是矩阵A の两个不同の特征值，对应の特征向量分别为21,αα，则1α，)(21αα+A 线性无关の充分必要条件是(A)01≠λ. (B) 02≠λ. (C) 01=λ. (D) 02=λ. [ ]（12）设A 为n （2≥n ）阶可逆矩阵，交换A の第1行与第2行得矩阵B, **,B A 分别为A,B の伴随矩阵，则(A) 交换*A の第1列与第2列得*B . (B) 交换*A の第1行与第2行得*B . (C) 交换*A の第1列与第2列得*B -. (D) 交换*A の第1行与第2行得*B -.[ ]（13）设二维随机变量(X,Y) の概率分布为 X Y 0 1 0 a 1 b 已知随机事件}0{=X与}1{=+Y X 相互独立，则(A) a=, b= (B) a=, b=(C) a=, b= (D) a=, b= [ ]（14）设)2(,,,21≥n X X X n Λ为来自总体N(0,1)の简单随机样本，X 为样本均值，2S 为样本方差，则(A) )1,0(~N X n (B) ).(~22n nSχ(C) )1(~)1(--n t SXn (D) ).1,1(~)1(2221--∑=n F X X n n i i [ ] 三 、解答题（本题共9小题，满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） （15）（本题满分11分） 设}0,0,2),{(22≥≥≤+=y x y x y x D，]1[22y x ++表示不超过221y x ++の最大整数. 计算二重积分⎰⎰++Ddxdy y x xy .]1[22 （16）（本题满分12分） 求幂级数∑∞=--+-121))12(11()1(n n n x n n の收敛区间与和函数f(x).（17）（本题满分11分）如图，曲线C の方程为y=f(x)，点(3,2)是它の一个拐点，直线1l 与2l 分别是曲线C 在点(0,0)与(3,2)处の切线，其交点为(2,4). 设函数f(x)具有三阶连续导数，计算定积分⎰'''+32.)()(dx x f x x（18）（本题满分12分）已知函数f(x)在[0，1]上连续，在(0,1)内可导，且f(0)=0,f(1)=1. 证明： （I ）存在),1,0(∈ξ使得ξξ-=1)(f ；（II ）存在两个不同の点)1,0(,∈ζη，使得.1)()(=''ζηf f（19）（本题满分12分）设函数)(y ϕ具有连续导数，在围绕原点の任意分段光滑简单闭曲线L 上，曲线积分⎰++Ly x xydydx y 4222)(ϕの值恒为同一常数.（I ）证明：对右半平面x>0内の任意分段光滑简单闭曲线C ，有022)(42=++⎰Cyx xydydx y ϕ；（II ）求函数)(y ϕの表达式. （20）（本题满分9分）已知二次型21232221321)1(22)1()1(),,(x x a x x a x a x x x f +++-+-=の秩为2. （I ） 求a の值； （II ） 求正交变换Qy x=，把),,(321x x x f 化成标准形；（III ） 求方程),,(321x x x f =0の解. （21）（本题满分9分）已知3阶矩阵A の第一行是c b a c b a ,,),,,(不全为零，矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=k B 63642321（k 为常数），且AB=O, 求线性方程组Ax=0の通解..（22）（本题满分9分）设二维随机变量(X,Y)の概率密度为求：（I ） (X,Y)の边缘概率密度)(),(y f x f Y X ； （II ）Y X Z-=2の概率密度).(z f Z（23）（本题满分9分）设)2(,,,21>n X X X n Λ为来自总体N(0,1)の简单随机样本，X 为样本均值，记.,,2,1,n i X X Y i i Λ=-=求：（I ） i Y の方差n i DY i ,,2,1,Λ=； （II ）1Y 与n Y の协方差).,(1n Y Y Cov。
2006年考研数学二真题
2006年全国硕士研究生入学考试数学（二）一、填空题（1）曲线4sin 52cos x xy x x+=-的水平渐近线方程为（2）设函数2301sin ,0(),0xt dt x f x x a x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩⎰ 在x =0处连续，则a =（3）广义积分22(1)xdxx +∞=+⎰（4）微分方程(1)y x y x-'=的通解是 （5）设函数()y y x =由方程1yy xe =-确定，则0x dy dx== (6) 设A = 2 1 ,2阶矩阵B 满足BA =B +2E ,则|B |= .-1 2 二、选择题（7）设函数()y f x =具有二阶导数，且()0,()0,f x f x x '''>>∆为自变量x 在点x 0处的增量，0()y dy f x x ∆与分别为在点处对应增量与微分,若0x ∆>，则[ ]（A ）0dy y <<∆ （B ）0y dy <∆<（C ）0y dy ∆<<（D ）0dy y <∆<（8）设()f x 是奇函数，除0x =外处处连续，0x =是其第一类间断点，则()xf t dt ⎰是[ ]（A ）连续的奇函数（B ）连续的偶函数（C ）在x =0间断的奇函数（D ）在x =0间断的偶函数（9）设函数()g x 可微,1()(),(1)1,(1)2,g x h x eh g +''===则g (1)等于[ ]（A ）ln31-（B ）ln31--（C ）ln 21--（D ）ln21- ∵ 1()()()g x h x g x e+''=，1(1)12g e+= g (1)= ln 21--（10）函数212x x xy c e c xe -=++满足的一个微分方程是[ ]（A ）23xy y y xe '''--= （B ）23xy y y e '''--=（C ）23x y y y xe '''+-=（D ）23xy y y e '''+-=将函数212x x xy c e c xe -=++代入答案中验证即可.（11）设(,)f x y 为连续函数，则14(cos ,sin )d f r r rd πθθθγ⎰⎰等于[ ]（A ）(,)xf x y dy ⎰（B ）(,)dx f x y dy ⎰（C ）(,)yf x y dx ⎰（D ）(,)f x y dx ⎰（12）设(,)(,)f x y x y ϕ与均为可微函数，且(,)0,y x y ϕ'≠已知00(,)(,)x y f x y 是在约束条件(,)0x y ϕ=下的一个极值点，下列选项正确的是[ ]（A ）若0000(,)0,(,)0x y f x y f x y ''==则 （B ）若0000(,)0,(,)0x y f x y f x y ''=≠则 （C ）若0000(,)0,(,)0x y f x y f x y ''≠=则（D ）若0000(,)0,(,)0x y f x y f x y ''≠≠则(13)设α1,α2,…,αs 都是n 维向量，A 是mn 矩阵，则（ ）成立.(A) 若α1,α2,…,αs 线性相关,则A α1,A α2,…,A αs 线性相关. (B) 若α1,α2,…,αs 线性相关,则A α1,A α2,…,A αs 线性无关. (C) 若α1,α2,…,αs 线性无关,则A α1,A α2,…,A αs 线性相关. (D) 若α1,α2,…,αs 线性无关,则A α1,A α2,…,A αs 线性无关.(14)设A 是3阶矩阵,将A 的第2列加到第1列上得B ,将B 的第1列的-1倍加到第2列上得C .记 1 1 0P = 0 1 0 ,则0 0 1 (A) C =P -1AP . (B) C =PAP -1.(C) C =P TAP . (D) C =PAP T.三、解答题（15）试确定A ，B ，C 的常数值，使23(1)1()xe Bx Cx Ax o x ++=++其中3()o x 是当30x x →时比的高阶无穷小.（16）求arcsin xxe dx e ⎰.（17）设区域22{(,)||,0}D x y x y x =+≤≥，计算二重积分2211DxyI dxdy x y +=++⎰⎰.（18）设数列{}n x 满足10x π<<，1sin (1,2,3,)n n x x n +==证明：（1）1lim n n x +→∞存在，并求极限；（2）计算211lim n x n n n x x +→∞⎛⎫ ⎪⎝⎭.（19）证明：当0a b π<<<时，1sin 2cos sin 2cos b b b b a a a aππ++>++. （20）设函数()(0,)f u +∞在内具有二阶导数，且Z f=满足等式22220z zx y∂∂+=∂∂. （I ）验证()()0f u f u u'''+=； （II ）若(1)0,(1)1f f '== 求函数()f u 的表达式.（21）已知曲线L 的方程221(0)4x t t y t t⎧=+≥⎨=-⎩（I ）讨论L 的凹凸性；（II ）过点(1,0)-引L 的切线，求切点00(,)x y ，并写出切线的方程； （III ）求此切线与L （对应0x x ≤部分）及x 轴所围的平面图形的面积.(22)已知非齐次线性方程组 x 1+x 2+x 3+x 4=-1,4x1+3x2+5x3-x4=-1，a x1+x2+3x3+bx4=1有3个线性无关的解.①证明此方程组的系数矩阵A的秩为2.②求a,b的值和方程组的通解.(23) 设3阶实对称矩阵A的各行元素之和都为3,向量α1=(-1,2,-1)T, α2=(0,-1,1)T都是齐次线性方程组AX=0的解.①求A的特征值和特征向量.②求作正交矩阵Q和对角矩阵,使得Q T AQ=.。
2006考研数学(二)真题及参考答案
2006年全国硕士研究生入学考试数学（二）一、填空题 （1）曲线4sin 52cos x xy x x+=-的水平渐近线方程为 .（2）设函数231sin ,0,(),x t dt x f x x a x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩⎰在0x =处连续，则a = .（3）广义积分22(1)xdxx +∞=+⎰.（4）微分方程(1)y x y x-'=的通解是 . （5）设函数()y y x =由方程1yy xe =-确定，则A dy dx== .（6）设矩阵2112A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，E 为2阶单位矩阵，矩阵B 满足2B A BE =+，则B = . 二、选择题（7）设函数()y f x =具有二阶导数，且()0,()0f x f x '''>>，x ∆为自变量x 在0x 处的增量，y ∆与dy 分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分，若0x ∆>，则 （A ）0.dy y <<∆ （B ）0.y dy <∆<（C ）0.y dy ∆<<（D ）0.dy y <∆<【 】（8）设()f x 是奇函数，除0x =外处处连续，0x =是其第一类间断点，则()x f t dt ⎰是（A ）连续的奇函数. （B ）连续的偶函数（C ）在0x =间断的奇函数 （D ）在0x =间断的偶函数. 【 】（9）设函数()g x 可微，1()(),(1)1,(1)2g x h x e h g +''===，则(1)g 等于（A ）ln 31-. （B ）ln 3 1.--（C ）ln 2 1.--（D ）ln 2 1.-【 】（10）函数212xxx y C e C e xe -=++满足一个微分方程是（A ）23.xy y y xe '''--= （B ）23.xy y y e '''--=（C ）23.xy y y xe '''+-=（D ）23.xy y y e '''+-=（11）设(,)f x y 为连续函数，则140(cos ,sin )d f r r rdr πθθθ⎰⎰等于（A ）22120(,).x xdx f x y dy -⎰⎰（B ）22120(,).x dx f x y dy -⎰⎰（C ）22120(,).y ydy f x y dx -⎰⎰（D ）22120(,).y dy f x y dx -⎰⎰【 】（12）设(,)f x y 与(,)x y ϕ均为可微函数，且1(,)0y x y ϕ≠. 已知00(,)x y 是(,)f x y 在约束条件(,)0x y ϕ=下的一个极值点，下列选项正确的是（A ）若00(,)0x f x y '=，则00(,)0y f x y '=. （B ）若00(,)0x f x y '=，则00(,)0y f x y '≠. （C ）若00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '=. （D ）若00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '≠.【 】（13）设12,,,,a a a 均为n 维列向量，A 是m n ⨯矩阵，下列选项正确的是 （A ）若12,,,,a a a 线性相关，则12,,,,Aa Aa Aa 线性相关. （B ）若12,,,,a a a 线性相关，则12,,,,Aa Aa Aa 线性无关.（C ）若12,,,,a a a 线性无关，则12,,,,Aa Aa Aa 线性相关.（D ）若12,,,,a a a 线性无关，则12,,,,Aa Aa Aa 线性无关. 【 】（14）设A 为3阶矩阵，将A 的第2行加到第1行得B ，再将B 的第1列的-1倍加到第2列得C ，记110010001P ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则（A ）1.C P AP -= （B ）1.C PAP -=（C ）.T C P AP =（D ）.TC PAP =三 解答题15．试确定A ，B ，C 的常数值，使得23(1)1()xe Bx Cx Ax o x ++=++，其中3()o x 是当30x x →时比的高阶无穷小.16．arcsin xxe dx e ⎰求. 17．{}22(,)1,0D x y x y x =+≤≥设区域，221.1DxyI dxdy x y +=++⎰⎰计算二重积分 18．{}110,sin (0,1,2,)n n n x x x x n π+<<== 设数列满足1lim n x x +→∞证明: (1) 存在,并求极限；211(2)lim()n x n x nx x +→∞计算. 19．sin 2cos sin cos .<a <b b b b b a a a a a πππ<++>++证明: 当0时, 20 设函数()()0,,f u +∞在内具有二阶导数且()22z fx y=+满足等式22220z zx y∂∂+=∂∂.(Ⅰ)验证()()0f u f u u'''+=；(Ⅱ)若()()()10,11,f f f u '==求函数的表达式. 21 已知曲线L 的方程为221,(0),4x l t y l t⎧=+≥⎨=-⎩（Ⅰ）讨论L 的凹凸性；（Ⅱ）过点（-1，0）引L 的切线，求切点00(,)x y ，并写出切线的方程； （Ⅲ）求此切线与L （对应于0x x ≤的部分）及x 轴所围成的平面图形的面积.22 已知非齐次线性方程组12341234123414351331x x x x x x x x ax x x bx +++=-⎧⎪++-=-⎨⎪++-=⎩有个线性无关的解Ⅰ证明方程组系数矩阵A 的秩()2r A =； Ⅱ求,a b 的值及方程组的通解.23 设3阶实对称矩阵A 的各行元素之和均为3,向量()()121,2,1,0,1,1TTαα=--=-是线性方程组A x =0的两个解, (Ⅰ)求A 的特征值与特征向量 (Ⅱ)求正交矩阵Q 和对角矩阵A,使得TQ AQ A =.真题解析一、填空题 （1）曲线4sin 52cos x xy x x+=-的水平渐近线方程为15y =4sin 11lim lim2cos 55x x xx y x x→∞→∞+==-（2）设函数2301sin ,0(),0xt dt x f x x a x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩⎰ 在x =0处连续，则a =132200()1lim ()lim 33x x sm x f x x →→==（3）广义积分22(1)xdxx +∞=+⎰1222222201(1)11110(1)2(1)2(1)22xdx d x x x x +∞+∞+∞+==-⋅=+=+++⎰⎰（4）微分方程(1)y x y x-'=的通解是xy cxe -=)0(≠x（5）设函数()y y x =由方程1yy xe =-确定，则0x dy dx==e-当x =0时，y =1，又把方程每一项对x 求导，y yy e xe y ''=--01(1)1x x y yyyye y xe ey e xe ===''+=-=-=-+(6) 设A = 2 1 ,2阶矩阵B 满足BA =B +2E ,则|B |= .-1 2解:由BA =B +2E 化得B (A -E )=2E ,两边取行列式,得|B ||A -E |=|2E |=4, 计算出|A -E |=2,因此|B |=2. 二、选择题（7）设函数()y f x =具有二阶导数，且()0,()0,f x f x x '''>>∆为自变量x 在点x 0处的增量，0()y dy f x x ∆与分别为在点处对应增量与微分,若0x ∆>，则[A]（A ）0dy y <<∆（B ）0y dy <∆<（C ）0y dy ∆<<（D ）0dy y <∆<由()0()f x f x '>可知严格单调增加()0()f x f x ''>可知是凹的即知（8）设()f x 是奇函数，除0x =外处处连续，0x =是其第一类间断点，则()xf t dt ⎰是[B]（A ）连续的奇函数 （B ）连续的偶函数（C ）在x =0间断的奇函数 （D ）在x =0间断的偶函数（9）设函数()g x 可微,1()(),(1)1,(1)2,g x h x e h g +''===则g (1)等于[C] （A ）ln 31- （B ）ln 31--（C ）ln 21--（D ）ln 21- ∵ 1()()()g x h x g x e +''=，1(1)12g e+= g (1)= ln 21--（10）函数212x x x y c e c xe -=++满足的一个微分方程是[D] （A ）23x y y y xe '''--= （B ）23x y y y e '''--=（C ）23xy y y xe '''+-=（D ）23xy y y e '''+-=将函数212x x x y c e c xe -=++代入答案中验证即可.（11）设(,)f x y 为连续函数，则14(cos ,sin )d f r r rd πθθθγ⎰⎰等于[C]（A ）2212(,)x xdx f x y dy -⎰⎰（B ）2212(,)x dx f x y dy -⎰⎰（C ）2212(,)y ydy f x y dx -⎰⎰（D ）2212(,)y dy f x y dx -⎰⎰（12）设(,)(,)f xyxy ϕ与均为可微函数，且(,)0,y x y ϕ'≠已知00(,)(,)x y f x y 是在约束条件(,)0x y ϕ=下的一个极值点，下列选项正确的是[D]（A ）若0000(,)0,(,)0x y f x y f x y ''==则（B ）若0000(,)0,(,)0x y f x y f x y ''=≠则 （C ）若0000(,)0,(,)0x y f x y f x y ''≠=则 （D ）若0000(,)0,(,)0x y f x y f x y ''≠≠则(,)(,)(,)(,)0(1)(,)(,)0(2)(,)0x x xy y y F f x y x y F f x y x y F f x y x y F x y λλϕλϕλϕϕ=+'''=+=⎧⎪'''=+=⎨⎪'==⎩令今000000(,)(,)0,(,)y y y f x y x y x y ϕλϕ''≠∴=-'代入(1) 得 00000000(,)(,)(,)(,)y xx y f x y x y f x y x y ϕϕ'''='今 00000000(,)0,(,)(,)0(,)0x y xy f x y f x y x y f x y ϕ''''≠∴≠≠则 故选[D] (13)设α1,α2,…,αs 都是n 维向量，A 是m ⨯n 矩阵，则（ ）成立.(A) 若α1,α2,…,αs 线性相关,则A α1,A α2,…,A αs 线性相关. (B) 若α1,α2,…,αs 线性相关,则A α1,A α2,…,A αs 线性无关. (C) 若α1,α2,…,αs 线性无关,则A α1,A α2,…,A αs 线性相关. (D) 若α1,α2,…,αs 线性无关,则A α1,A α2,…,A αs 线性无关. 解: (A)本题考的是线性相关性的判断问题,可以用定义解.若α1,α2,…,αs 线性相关,则存在不全为0的数c 1,c 2,…,c s 使得c 1α1+c 2α2+…+c s αs =0,用A 左乘等式两边,得c 1A α1+c 2A α2+…+c s A αs =0,于是A α1,A α2,…,A αs 线性相关.如果用秩来解,则更加简单明了.只要熟悉两个基本性质,它们是: 1. α1,α2,…,αs 线性无关⇔ r(α1,α2,…,αs )=s. 2. r(AB )≤ r(B ).矩阵(A α1,A α2,…,A αs )=A ( α1, α2,…,αs ),因此r(A α1,A α2,…,A αs )≤ r(α1, α2,…,αs ).由此马上可判断答案应该为(A).(14)设A 是3阶矩阵,将A 的第2列加到第1列上得B ,将B 的第1列的-1倍加到第2列上得C .记 1 1 0P = 0 1 0 ,则 0 0 1(A) C =P -1AP . (B) C =PAP -1. (C) C =P TAP . (D) C =PAP T. 解: (B)用初等矩阵在乘法中的作用得出B =PA , 1 -1 0C =B 0 1 0 =BP -1= PAP -1. 0 0 1三、解答题（15）试确定A ，B ，C 的常数值，使23(1)1()x e Bx Cx Ax o x ++=++其中3()o x 是当30x x →时比的高阶无穷小.解：泰勒公式2331()26xx x e x o x =++++代入已知等式得 23323[1()][1]1()26x x x o x Bx Cx Ax o x ++++++=++整理得233111(1)()()1()226BB xC B x C o x Ax o x ⎛⎫+++++++++=++ ⎪⎝⎭比较两边同次幂函数得B +1=A ①C +B +12=0 ② 1026B C ++= ③ 式②-③得120233B B +==-则 代入①得13A = 代入②得16C = （16）求arcsin xxe dx e ⎰.解：原式=22arcsin arcsin ()x x xx e t de e t dt e t =⎰⎰令21arcsin arcsin ()1t dttd t t t t =-=-+-⎰⎰2222arcsin arcsin 1(2)12(1)1t tdt t udu t u t t u u t t -=-+-==-+--⎰⎰令2arcsin 1t dut u =-+-⎰arcsin 11ln 21t u C t u -=-+++22arcsin arcsin 111ln 211x x x x x x e e e dx C e e e --∴=-++-+⎰. （17）设区域22{(,)||,0}D x y x y x =+≤≥，计算二重积分2211DxyI dxdy x y +=++⎰⎰.解：用极坐标系2201D xydxdy x y ⎛⎫= ⎪++⎝⎭⎰⎰11222002ln(1)ln 2122r I d dr r r ππππθ-==+=+⎰⎰. （18）设数列{}n x 满足10x π<<，1sin (1,2,3,)n n x x n +==证明：（1）1lim n n x +→∞存在，并求极限；（2）计算211lim n x n n n x x +→∞⎛⎫ ⎪⎝⎭. 证：（1）212sin ,01,2x x x n =∴<≤≥ 因此 1sin ,{}n n n n x x x x +=≤单调减少有下界()0n x ≥根据准则1，lim n n x A →∞=存在在1sin n n x x +=两边取极限得sin 0A A A =∴=因此1lim 0n n x +→∞=（2）原式21sin lim "1"n x n n n x x ∞→∞⎛⎫= ⎪⎝⎭为型 离散型不能直接用洛必达法则先考虑 22011s i n l i m l n 0s i n l i m t t t t t t t e t →⎡⎤⎢⎥⎣⎦→⎛⎫= ⎪⎝⎭用洛必达法则2011(cos sin )limsin 2t t t t t tt te→-=23233310()0()26cos sin limlim22t t t t t t t t t t tt t ee →→⎡⎤⎡⎤-+--+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦==3330110()261lim26t t t t ee →⎛⎫-++ ⎪⎝⎭-==.（19）证明：当0a b π<<<时，1sin 2cos sin 2cos b b b b a a a aππ++>++. 证：令()sin 2cos f x x x x x π=++ 只需证明0a x π<<<时,()f x 严格单调增加()sin cos 2sin f x x x x x π'=+-+cos sin x x x π=-+()cos sin cos sin 0f x x x x x x x ''=--=-< ()f x '∴严格单调减少又()cos 0f ππππ'=+=故0()0()a x f x f x π'<<<>时则单调增加（严格）()()b a f b f a >>由则得证（20）设函数()(0,)f u +∞在内具有二阶导数，且()22Z fx y=+满足等式22220z zx y∂∂+=∂∂.（I ）验证()()0f u f u u'''+=； （II ）若(1)0,(1)1f f '== 求函数()f u 的表达式.证：（I ）()()22222222;zx zy f x y f x y xyx yx y∂∂''=+=+∂∂++()()()()22222223222222zx y f x yf x yx x y x y ∂'''=+++∂++()()()()22222223222222zy x f x yf x yy x y x y ∂'''=+++∂++()2222222222()0()()0f x y z zf x yx y x yf u f u u'+∂∂''+=++=∂∂+'''∴+=代入方程得成立（II ）令(),;,dp p dp du c f u p c p du u p u u'==-=-+=⎰⎰则22(1)1,1,()ln ||,(1)0,0()ln ||f c f u u c f c f u u '===+==∴= 由（21）已知曲线L 的方程221(0)4x t t y t t⎧=+≥⎨=-⎩（I ）讨论L 的凹凸性；（II ）过点(1,0)-引L 的切线，求切点00(,)x y ，并写出切线的方程； （III ）求此切线与L （对应0x x ≤部分）及x 轴所围的平面图形的面积.解：（I ）4222,42,12dx dy dy t t t dt dt dx t t-==-==-222312110(0)2dy d d y dx t dx dx dt t t t dt ⎛⎫⎪⎛⎫⎝⎭=⋅=-⋅=-<> ⎪⎝⎭处(0L t ∴>曲线在处)是凸（II ）切线方程为201(1)y x t ⎛⎫-=-+⎪⎝⎭，设2001x t =+，20004y t t =-，则2223200000000241(2),4(2)(2)t t t t t t t t ⎛⎫-=-+-=-+⎪⎝⎭得200000020,(1)(2)001t t t t t t +-=-+=>∴=点为（2，3），切线方程为1y x =+（III ）设L 的方程()x g y =则()3()(1)S g y y dy =--⎡⎤⎣⎦⎰ ()224024241t t y y x y -+==±-=±-+解出t 得由于（2，3）在L 上，由()232241()y x x y g y ===--+=得可知()30944(1)S y y y dy ⎡⎤=-----⎣⎦⎰ 3300(102)44y dy ydy =---⎰⎰3333220002(10)44(4)214(4)3y y yd y y =-+--=+⨯⨯-⎰8642213333=+-=- (22)已知非齐次线性方程组 x 1+x 2+x 3+x 4=-1,4x 1+3x 2+5x 3-x 4=-1，a x 1+x 2+3x 3+bx 4=1有3个线性无关的解.① 证明此方程组的系数矩阵A 的秩为2.② 求a,b 的值和方程组的通解.解:① 设α1,α2,α3是方程组的3个线性无关的解,则α2-α1,α3-α1是AX =0的两个线性无关的解.于是AX =0的基础解系中解的个数不少于2,即4-r(A )≥2,从而r(A )≤2.又因为A 的行向量是两两线性无关的,所以r(A )≥2.两个不等式说明r(A )=2.② 对方程组的增广矩阵作初等行变换:1 1 1 1 -1 1 1 1 1 -1(A |β)= 4 3 5 -1 -1 → 0 –1 1 –5 3 ,a 1 3b 1 0 0 4-2a 4a+b-5 4-2a由r(A )=2,得出a=2,b=-3.代入后继续作初等行变换:1 02 -4 2→ 0 1 -1 5 -3 .0 0 0 0 0得同解方程组x 1=2-2x 3+4x 4，x 2=-3+x 3-5x 4，求出一个特解(2,-3,0,0)T 和AX =0的基础解系(-2,1,1,0)T ,(4,-5,0,1) T.得到方程组的通解: (2,-3,0,0)T +c 1(-2,1,1,0)T +c 2(4,-5,0,1)T , c 1,c 2任意.(23) 设3阶实对称矩阵A 的各行元素之和都为3,向量α1=(-1,2,-1)T , α2=(0,-1,1)T 都是齐次线性方程组AX =0的解.① 求A 的特征值和特征向量.② 求作正交矩阵Q 和对角矩阵Λ,使得 Q T AQ =Λ.解:① 条件说明A (1,1,1)T =(3,3,3)T ,即 α0=(1,1,1)T 是A 的特征向量,特征值为3.又α1,α2都是AX =0的解说明它们也都是A 的特征向量,特征值为0.由于α1,α2线性无关, 特征值0的重数大于1.于是A 的特征值为3,0,0.属于3的特征向量:c α0, c ≠0.属于0的特征向量:c 1α1+c 2α2, c 1,c 2不都为0.② 将α0单位化,得η0=(33,33,33)T . 对α1,α2作施密特正交化,的η1=(0,-22,22)T , η2=(-36,66,66)T . 作Q =(η0,η1,η2),则Q 是正交矩阵,并且 3 0 0Q T AQ =Q -1AQ = 0 0 0 .0 0 0。
陈纪修《数学分析》(第2版)(下册)名校考研真题-Euclid空间上的极限和连续(圣才出品)
第11章Euclid空间上的极限和连续一、判断题1．若f（x，y）在D内对x和y都是连续的，则f（x，y）对（x，y）∈D为二元连续函数．[重庆大学研]【答案】错【解析】举反例：，很明显但是不存在，如果选取路径y=kx趋于0，有不唯一．二、填空题（1）函数的定义域是______，它是______区域；（2）函数的定义域是______；（3）函数的定义域是______；（4）二元函数的定义域是______；（5）函数的定义域是______．[西安交通大学研]【答案】（1）（2）（3）椭圆与抛物线所围的区域；（4）（5）三、解答题1．设f（x）为定义在上的连续函数，α是任意实数，有证明：E是开集，F是闭集．[江苏大学2006研]证明：对任意的，有．因为f（x）在上连续，所以由连续函数的局部保号性知，存在的一个邻域使得当时有，从而，故E是开集．设为F 的任意一个聚点，则存在F中的点列使得．由于f（x）在上连续，所以，又，从而，即，故F是闭集．2．求．[南京大学研、厦门大学研、山东科技大学研]解：方法一由于令，有所以方法二由于，，所以，故有3．设f（x，y）在[a，b]×[c，d]上连续，证明：在[c，d]上连续．[南京理工大学研、华东师范大学研]证明：反证法．假设g（y）在某点处不连续，则存在及点列，使得因为f（x，y）在[a，b]×[c，d]上连续，故在[a，b]×[c，d]上一致连续．于是对，存在δ＞0，当时恒有．特别当时，即．固定y，让x在[a，b]上变化，取最大值，可得即时，．因为，所以对δ＞0，存在N ＞0，当n＞N时有，从而有，这与一开始得到的不等式矛盾，结论得证．4．设，为有界闭集，试证：开集W、V，使得A证明：A、B为有界闭集．[四川大学研]令显然W、V为开集．5．设试讨论下面三种极限：[南京工学院研]解：由于在y=0和x=0的函数极限不存在，故在（0，0）点的两个累次极限都不存在．6．设f（x，y是区域D：|x|≤1，|y|≤1上的有界k次齐次函数（k≥1），问极限是否存在？若存在，试求其值．[南京大学研]解：令x=rcosθ，y=rsinθ．由于f（x，y）是区域D上的有界k次齐次函数7．设二元函数f(x,y)在正方形区域[0，1]×[0，1]上连续．记J=[0，1]．（1）试比较的大小并证明之；（2）给出并证明使等式成立的（你认为最好的）充分条件．[浙江大学研]解：（1），有上式对于任意的x都成立，则由y的任意性可知（2）若，使下面证明上面条件为充分条件显然8．设为n维欧氏空间，A是的非空子集，定义x到A的距离为证明：上的一致连续函数．[南京大学研] 证明：有对使故对时，即上的一致连续函数．9．[暨南大学2013研] 解：设，则。
2006年考研数学三真题及解析
（ 8） 设函数 f x 在 x
f h2
0 处连续，且 lim
h0
h2
1 ，则
(A) f 0 0且 f 0 存在
(B) f 0 1且 f 0 存在
-7-
(C) f 0 0且 f 0 存在
(D) f 0 1且 f 0 存在
[ C]
2
fh
【分析 】从 lim
h0
2
h
1 入手计算 f (0) ，利用导数的左右导数定义判定
(Ⅲ) F
1 ,4 .
2
（ 23）（本题满分 13 分） 设总体 X 的概率密度为
f x;
, 0 x 1, 1 ,1 x 2, 0, 其他,
其中 是未知参数 0
1 ， X 1 , X 2 ..., X n 为来自总体 X 的简单随机样本，记 N 为样本值 x1 , x2 ..., x n 中
小于 1 的个数 . （Ⅰ）求 的矩估计； （Ⅱ）求 的最大似然估计
(D) 若 1 , 2 , , s 线性无关，则 A 1 , A 2 , , A s 线性无关 .
[
]
（ 13） 设 A 为 3 阶矩阵，将 A 的第 2 行加到第 1 行得 B ，再将 B 的第 1 列的 1 倍加到第 2 列得 C ，记
110 P 0 1 0 ，则
001
（Ａ） C
P
1
AP
.
（Ｂ） C PAP 1 .
(A) 若 f x ( x0 , y0 ) 0 ，则 f y ( x0 , y0 ) 0 .
(B) 若 f x ( x0 , y0 ) 0 ，则 f y ( x0 , y0 ) 0 . (C) 若 f x ( x0 , y0 ) 0 ，则 f y ( x0 , y0 ) 0 .
伍胜健《数学分析》笔记和考研真题详解(含参变量积分)【圣才出品】
伍胜健《数学分析》笔记和考研真题详解第17章含参变量积分17.1复习笔记一、含参变量定积分1．基本概念设函数在平面区域上有定义．（1）若对于定积分存在，则由此定义了区间[a，b]上的函数I（x）称为含参变量定积分（简称含参变量积分），其中x为参变量．（2）若对于存在，则也称J（y）为含参变量定积分，其中y为参变量．2．基本性质（1）连续性定理①设函数在区域上连续，则对于含参变量定积分存在，并且I（x）在区间[a，b]上连续．注：f（x，y）在D上连续只是I（x）连续的充分条件．②设函数在区域上连续，则有③设函数在区域上连续，则对变上限含参变量积分存在，并且二元函数I（x，u）在D上连续．对于变下限含参变量积分，也有类似的结论．（2）可积性定理①设函数f（x，y）在区域上连续，则函数和分别在区间[a，b]和[c，d]上可积，并且②设函数f（x，y）在区域上连续，则（3）可导性定理①设函数f（x，y）及其偏导数在区域上连续，则函数在区间[a，b]上可导，并且有②设函数f（x，y）及其偏导数在区域上连续，则求导数运算与积分运算是可交换顺序的．③设函数及其偏导数在区域上连续，且是满足的可微函数，则函数在区间上可导，并且二、含参变量广义积分1．含参变量无穷积分（1）含参变量无穷积分的定义设函数在上有定义，其中为一个集合．若对于广义积分收敛，则可得到E上的函数称该函数为含参变量无穷积分．（2）含参变量无穷积分的一致收敛①含参变量无穷积分的一致收敛的定义设函数在上有定义，其中是一个区间．若对于当时，对于有则称含参变量无穷积分在E上一致收敛．②含参变量无穷积分的绝对一致收敛的定义设函数在上有定义，其中是一个区间．若对于收敛，则称在E上绝对收敛．若在E上绝对收敛，则在E 上收敛．另外，若在E上一致收敛，则在E上绝对一致收敛．（3）一致收敛的判别法则①柯西准则设函数在上有定义，其中是一个区间，则含参变量无穷积分在E上一致收敛的充分必要条件是：对当时，对，有②魏尔斯特拉斯定理设函数在上有定义，其中是一个区间．若存在函数使得对于及有并且收敛，则在E上绝对一致收敛．③狄利克雷判别法设函数在上有定义（其中是一个区间），并且满足：a．存在对于及有b．对任意固定的是y的单调函数，且对于当时，对一切有即当时，q（x，y）关于x一致趋于0，则含参变量无穷积分在E上一致收敛．④阿贝尔判别法设函数在上有定义（其中是一个区间，并且满足：a．在上一致收敛；b．对任意固定的是y的单调函数，并且存在常数对于及有则含参变量无穷积分在E上一致收敛．（4）基本性质①定理1设函数在上有定义，其中则含参变量无穷积分在上一致收敛的充分必要条件是：对任意的满足条件且的序列函数序列在E 上一致收敛．②定理2设函数在上连续，其中是一个区间，并且含参变量无穷积分在E 上一致收敛到函数I（x），则I（x）在E 上连续．③定理3设函数在上连续，且含参变量无穷积分在[a，b]上一致收敛，则有④定理4设函数f（x，y）及其偏导数在上连续，其中是一个区间，再设存在x 0∈E，使得收敛，并且在E 上一致收敛，则a．在E 上一致收敛；b．⑤狄尼定理设函数在上连续且不变号，设对于收敛，且I（x）在[a，b]上连续，则I（x）在[a，b]上一致收敛．2．含参变量瑕积分（1）定义设函数在上连续，当时，以c为瑕点．若对任意瑕积分（17-1）收敛，则I（x）在[a，b]上有定义．称I（x）为含参变量瑕积分．（2）基本性质利用变换可以将（17-1）式化成含参变量无穷积分从而得到含参变量瑕积分也有相应的一致收敛性以及其它的性质．三、函数与 函数1．函数（1）定义函数是指由如下含参变量积分定义的函数：（2）定义域。
2006浙江大学考研题及其详解
浙江大学2006年攻读硕士学位研究生入学考试试题与详解一、（18分）试求图1所示电路中的电压0U 及4V 电压源的输出功率2解：方法一：画出简化后电路图（a ），根据KCL ，KVL 列出方程34211318412433112=++++=+=+=++i i i i i i i i i ⇒A623A6531==i i65110=⨯=i U V 33.15W 346623434-=-=⨯-=⨯-=i U P V W2KCL,KVL 考点链接：电路基本定理，简单电路的等效变换二、（10分）如图2所示，含源二端网络N 通过π型电路连接负载R ，欲使流过R 的电流为N 网络端口电流的6I,负载R 的取值应为多少？RI 6RI 6图2 （a ） 解：如图（a ）所示令 R Ii 61=3)]66([)15)(66(⨯+-=+++=I R I I R R I R I U或直接应用分流关系可得 RIRR R I I 98315331161+=+++⋅+⋅= 解得 Ω=910R考点：二端网络，电路定理三、（18分）图3所示电路中，已知1N 、2N 为纯电阻网络，1N 的传输参数为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡161234 2N 是对称网络，当A 03=I 时，测得A 6,V 323-==I U 。
试求：（1）2N 的传输参数；（2）若3—3’端口接电阻Ω=6R ,求3I 为多少？32V33图3解：（1）)()(221221I D CU I I B AU U -+=-+= 代入1N 的传输参数得 221226123432I U I I U -=-=根据戴维南定理：求出开路电压 V 243243|0202=⨯===I U U 求出短路电流 16232|0202==-==U I I A Ω==2300I U R eq ， eq R I U U 202+= 画出等效电路图U 0R 33'方法一：2N 的传输方程332332DI CU I BI AU U -=--=当3I =0时，有15202=+=eq R I U U V3232CU I AU U =-= ⇒25==C A由对称网络特性可知D A = 1212=⇒=-B BC A即2N 的传输参数矩阵为 =2T ⎥⎦⎤⎢⎣⎡52125 方法二：2N 的开路电阻方程33323233232222I R I R U I R I R U +-=+-=当3I =0时，有15202=+=eq R I U U V23232222I R U I R U -=-= ⇒5.05.23222==R R由对称网络特性可知 3322R R = , 2332R R =即2N 的电阻参数矩阵为 =2R ⎥⎦⎤⎢⎣⎡5.25.05.05.2 53222==R R A 5==D A 2132==R C 1=-BC AD 12=B 即2N 的传输参数矩阵为 =2T ⎥⎦⎤⎢⎣⎡52125 注：2I 为非关联参考方向，故列方程时需注意加负号（2）计算电路如上图32V=⋅=21T T T ⋅⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡161234⎥⎦⎤⎢⎣⎡52125=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡761726332 可得方程33336)(2633232I U I U -=-+=⇒ 36.03-=I A考点：双口网络的各种参数及其方程，双口网络的级联，对称网络。
浙江师范大学数学分析与高等代数2006真题
入 学 考 试 试 题
考试科目： 数学分析与高等代数 报考学科、专业： 课程与教学论（数学教育学）
数 学 分 析 部 分
一、求下列极限（每小题 5 分，共 30 分） 1． n lim (1 1 ) n ， 3. 5.
2n 1 1 lim ， x 1 x 1 ln x n k lim k ， n k 1 3 ln(1 x) ， tan x n 1 4． n lim ， k ( k 1) k 1 1 3 5 2 n 1 6. lim 。 x 2 4 6 2n
2.
a b b b a b b b a b b b
b b b a
。
七、当 a，b 取何值时，下列方程组有解，在有解的情况下，求解此 线性方程组，并写出方程组的一般解（ 12 分）
2 x1 x2 3 x3 2 x4 6 , 3 x1 3 x2 3 x3 2 x4 5 , ax4 3 , x1 2 x2 5 x 4 x 6 x x b . 2 3 4 1
Q3 的一个线性变换 A，满足：
1 A(ε1，ε2，ε3)＝(ε1，ε2，ε3) 2 3
1 1 3 7 ， 2 4
(1) 求线性变换 A 在 Q 上的特征值与特征向量； （ 8 分） (2) 分别求线性变换 A 的值域 AV 与核 A－1(0)的一组基。 （ 8 分） 十、设 A 是一个实对称矩阵，在 Rn 上定义线性变换 A： Aα＝Aα，
n 1
2．
n 1
n (n 1)!
四、设数列 an 满足 lim
a1 a2 an a a ， a 为实数. 求证 lim n 0 。 n n n n
06年浙江大学管理学真题
2006浙江大学硕士研究生入学考试管理学试卷（代码477）一、选择题1、控制工作中，分析和评估偏差信息首要是A找出产生偏差信息的主要原因B判断偏差信息的差距程度C找出产生偏差信息的确的位置D找出产生偏差信息的人2、某个公司目前有三个投资方案可供选择，请找出最符合最小后悔的投资方案市场条件期望值方案市场条件好市场条件一般市场条件差甲 80 70 50乙 100 60 30丙 120 80 20丁 160 50 -20A 甲 B乙 C丙 D丁3、下列人员，非管理性最少的是：A 校长 B系主任C教研室主任 D教师4、下列哪项直接影响其他职能的效益A 计划 B组织 C领导 D控制5、第一个采用霍桑实验，从而创立人际关系管理学的是：A 罗伯特欧文B亨利法约尔 C特罗 D梅克6、比较链式网络和全通道网络信息沟通的区别，可以得出的结论是A 链式一对一的网络信息沟通中，信息的失真性较少B 全通式的一对一的信息沟通中，信息的管理效率高C 全通信息沟通中信息的内容控制比链式好D 链式信息沟通比全通信息沟通更能激起员工的积极性7、组织设计中，最重要的是：A 部门划分和结构组成 B职位设计和分配C 管理者的素质和能力 D职位设计和分析8、某公司领导比较看好某位青年员工，并经常指点和培养他，引起一般员工的不满，认为这样做很不公平。
你认为下面哪一种选择比较正确：A 该领导委派重任给该青年，以树立该青年员工的工作业绩B 疏远该青年员工，以表示公平C 重新评估该青年员工的能力，根据评估结果作出处理D 不理睬那些反对声9、非正式组织对组织起着正面和反面的作用，其中起积极作用的是A 使本组织员工的意见一致 B统一本组织员工的行为规范C 增进本组织员工的群体意识 D满足正式组织员工的心理需求10、王强是销售高手并且又乐此不疲，根据领导生命周期理论，对王强应采取哪种领导风格会有更好的效果：A高工作，高关系 C高工作，低关系B低工作，低关系 D低工作，高关系二名词解释1、网络结构2、职务轮换3、前馈控制4、动机5、强制权6、管理幅度三、简答题1、有人认为：“计划跟不上变化，所以制订计划是没有用的”，你认为对不对，试论述之。
2006年考研数学一试题与答案解析
2006年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上)(1)0ln(1)lim 1cos x x x x→+=-. (2)微分方程(1)y x y x-'=の通解是 .(3)设∑是锥面z =(01z ≤≤)の下侧,则23(1)xdydz ydzdx z dxdy ∑++-=⎰⎰ .(4)点(2,1,0)到平面3450x y z ++=の距离z = . (5)设矩阵2112⎛⎫=⎪-⎝⎭A ,E 为2阶单位矩阵,矩阵B 满足2=+BA B E ,则B = .(6)设随机变量X 与Y 相互独立,且均服从区间[0,3]上の均匀分布,则{}max{,}1P X Y ≤= .二、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分. 每小题给出の四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前の字母填在题后の括号内)(7)设函数()y f x =具有二阶导数,且()0,()0f x f x '''>>,x ∆为自变量x 在0x 处の增量,y ∆与dy 分别为()f x 在点0x 处对应の增量与微分,若0x ∆>,则(A)0dx y <<∆ (B)0y dy <∆< (C)0y dy ∆<<(D)0dy y <∆<(8)设(,)f x y 为连续函数,则140(cos ,sin )d f r r rdr πθθθ⎰⎰等于(A)(,)xf x y dy ⎰⎰(B)(,)f x y dy ⎰⎰(C)(,)yf x y dx ⎰⎰(C)(,)f x y dx ⎰⎰(9)若级数1nn a∞=∑收敛,则级数(A)1nn a∞=∑收敛 (B)1(1)nn n a ∞=-∑收敛(C)11n n n a a∞+=∑收敛(D)112n n n a a ∞+=+∑收敛 (10)设(,)f x y 与(,)x y ϕ均为可微函数,且1(,)0y x y ϕ≠.已知00(,)x y 是(,)f x y 在约束条件(,)0x y ϕ=下の一个极值点,下列选项正确の是(A)若00(,)0x f x y '=,则00(,)0y f x y '=(B)若00(,)0x f x y '=,则00(,)0y f x y '≠(C)若00(,)0x f x y '≠,则00(,)0y f x y '=(D)若00(,)0x f x y '≠,则00(,)0y f x y '≠(11)设12,,,,s ααα均为n 维列向量,A 是m n ⨯矩阵,下列选项正确の是 (A)若12,,,,s ααα线性相关,则12,,,,s A αA αA α线性相关 (B)若12,,,,s ααα线性相关,则12,,,,s A αA αA α线性无关(C)若12,,,,s ααα线性无关,则12,,,,s A αA αA α线性相关 (D)若12,,,,s ααα线性无关,则12,,,,s A αA αA α线性无关.(12)设A 为3阶矩阵,将A の第2行加到第1行得B ,再将B の第1列の-1倍加到第2列得C ,记110010001⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭P ,则(A)1-=C P AP (B)1-=C PAP(C)T =C P AP(D)T =C PAP(13)设,A B 为随机事件,且()0,(|)1P B P A B >=,则必有(A)()()P AB P A > (B)()()P A B P B >(C)()()P A B P A = (D)()()P A B P B =(14)设随机变量X 服从正态分布211(,)N μσ,Y 服从正态分布222(,)N μσ, 且12{||1}{||1},P X P Y μμ-<>-<则(A)12σσ< (B)12σσ>(C)12μμ<(D)12μμ>三、解答题(本题共9小题,满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) (15)(本题满分10分) 设区域D=(){}22,1,0x y x y x +≤≥,计算二重积分2211DxyI dxdy x y +=++⎰⎰.(16)(本题满分12分)设数列{}n x 满足()110,sin 1,2,...n x x x n ππ+<<==. 求:(1)证明lim n x x →∞存在,并求之.(2)计算211lim n x n x n x x +→∞⎛⎫ ⎪⎝⎭. (17)(本题满分12分) 将函数()22xf x x x =+-展开成x の幂级数.(18)(本题满分12分) 设函数()()0,,f u +∞在内具有二阶导数且z f=满足等式22220z zx y ∂∂+=∂∂. (1)验证()()0f u f u u'''+=. (2)若()()10,11,f f '==求函数()f u の表达式. (19)(本题满分12分) 设在上半平面(){},0D x y y =>内,数(),f x y 是有连续偏导数,且对任意の0t >都有()()2,,f tx ty t f x y =.证明: 对L 内の任意分段光滑の有向简单闭曲线L ,都有(,)(,)0Lyf x y dx xf x y dy -=⎰.(20)(本题满分9分) 已知非齐次线性方程组1234123412341435131x x x x x x x x ax x x bx +++=-⎧⎪++-=-⎨⎪++-=⎩ 有3个线性无关の解,(1)证明方程组系数矩阵A の秩()2r =A . (2)求,a b の值及方程组の通解. (21)(本题满分9分)设3阶实对称矩阵A の各行元素之和均为3,向量()()121,2,1,0,1,1TT=--=-αα是线性方程组0x =A の两个解.(1)求A の特征值与特征向量.(2)求正交矩阵Q 和对角矩阵A ,使得T=Q AQ A . (22)(本题满分9分)随机变量x の概率密度为()()21,1021,02,,40,令其它x x f x x y x F x y ⎧-<<⎪⎪⎪=≤<=⎨⎪⎪⎪⎩为二维随机变量(,)X Y の分布函数.(1)求Y の概率密度()Y f y . (2)1,42F ⎛⎫-⎪⎝⎭. (23)(本题满分9分)设总体X の概率密度为(,0)F X = 10θθ- 0112x x <<≤<其它,其中θ是未知参数(01)θ<<,12n ,...,X X X 为来自总体X の简单随机样本,记N 为样本值12,...,n x x x 中小于1の个数,求θの最大似然估计.2006年全国硕士研究生入学考试数学一真题解析一、填空题（1）0ln(1)lim1cos x x x x→+-= 2 .221cos 1,)1ln(x x x x -+ （0x →当时）（2）微分方程(1)y x y x-'=の通解是(0)xy cxe x -=≠，这是变量可分离方程.（3）设∑是锥面1)Z ≤≤の下侧，则23(1)2xdydz ydzdx z dxdy π∑++-=⎰⎰补一个曲面221:1x y z ⎧+≤∑⎨=⎩1上侧,2,3(1)P x Q y R z ===-1236P Q Rx y z∂∂∂++=++=∂∂∂ ∴16dxdydz ∑∑Ω+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰（Ω为锥面∑和平面1∑所围区域）6V =（V 为上述圆锥体体积）623ππ=⨯=而123(1)0dydz ydzdx z dxdy ∑⨯++-=⎰⎰（∵在1∑上：1,0z dz ==）（4）,1,0,450x y z d ++==点(2)到平面3的距离d ====(5)设A = 2 1 ,2阶矩阵B 满足BA =B +2E ,则|B |= .-1 2解:由BA =B +2E 化得B (A -E )=2E ,两边取行列式,得|B ||A -E |=|2E |=4,计算出|A -E |=2,因此|B |=2. （6）91 二、选择题（7）设函数()y f x =具有二阶导数，且()0f x '>，()0f x ''>，x ∆为自变量x 在0x 处の增量，y ∆与dy 分别为()f x 在点0x 处对应の增量与微分.若0>∆x ，则[A]0)(0)(0)(0)(<∆<<<∆<∆<∆<<y dy D dy y C dy y B y dy A()0,()f x f x '>因为则严格单调增加 ()0,()f x f x ''>则是凹的 y dy x ∆<<>∆0,0故又1000(8)(,)(cos ,sin )[C](A)(,)(B)(,)xf x y d f r r rdr f x y dy f x y dy πθθθ⎰⎰⎰⎰⎰⎰40设为连续函数,则等于(C)(,)(D)(,)yf x y dxf x y dx ⎰⎰⎰111111111(9)[D]()()(1)()()()2n n n n n n n n n n n n n n n a A a B a a a C a a D a∞=∞∞==∞∞∞+++===-+∑∑∑∑∑∑若级数收敛,则级数收敛收敛收敛收敛也收敛00000000000000000(10)(,)(,)(,)0,(,)(,)0y x y x y x y x y f x y x y x y x y f x y x y f x y f x y f x y f x y f x y f x y f x y f x ϕϕϕ'≠=''''≠''''≠≠设与均为可微函数,且已知(,)是在约束条件下的一个极值点,下列选项正确的是[D](A)若(,)=0,则(,)=0(B)若(,)=0,则(,)0(C)若(,)0,则(,)=0(D)若(,)0,则(,00000000000000000(,)(,)(,)(,)0(1)(,)(,)0(2)(,)0(,)(,)(,)(,)0,(,)(,)(,)(,)0x x x y y y y y xy x y y x y f x y x y f x y x y f x y x y x y f x y f x y x y x y f x y x y x y f x y λλϕλϕλϕϕϕϕλϕϕ≠+'''⎧+=⎪'''+=⎨⎪'=⎩'''''≠∴=-='''≠)0构造格朗日乘子法函数F=F =F =F =今代入(1)得今00,(,)0[]y f x y D '≠则故选(11)设α1,α2,…,αs 都是n 维向量，A 是m ⨯n 矩阵，则（ ）成立.(A) 若α1,α2,…,αs 线性相关,则A α1,A α2,…,A αs 线性相关. (B) 若α1,α2,…,αs 线性相关,则A α1,A α2,…,A αs 线性无关. (C) 若α1,α2,…,αs 线性无关,则A α1,A α2,…,A αs 线性相关. (D) 若α1,α2,…,αs 线性无关,则A α1,A α2,…,A αs 线性无关. 解: (A)本题考の是线性相关性の判断问题,可以用定义解.若α1,α2,…,αs 线性相关,则存在不全为0の数c 1,c 2,…,c s 使得c 1α1+c 2α2+…+c s αs =0,用A 左乘等式两边,得c 1A α1+c 2A α2+…+c s A αs =0,于是A α1,A α2,…,A αs 线性相关.如果用秩来解,则更加简单明了.只要熟悉两个基本性质,它们是: 1. α1,α2,…,αs 线性无关⇔ r(α1,α2,…,αs )=s. 2. r(AB )≤ r(B ).矩阵(A α1,A α2,…,A αs )=A ( α1, α2,…,αs ),因此r(A α1,A α2,…,A αs )≤ r(α1, α2,…,αs ).由此马上可判断答案应该为(A).(12)设A 是3阶矩阵,将A の第2列加到第1列上得B ,将B の第1列の-1倍加到第2列上得C .记 1 1 0P = 0 1 0 ,则 0 0 1(A) C =P -1AP . (B) C =PAP -1.(C) C =P T AP . (D) C =PAP T.解: (B)用初等矩阵在乘法中の作用得出B =PA ,1 -1 0C =B 0 1 0 =BP -1= PAP -1. 0 0 1（13）根据乘法公式与加法公式有： P(AB)=P(B)P(A/B)=P(B)P(A ⋃B)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A) 应选C （14）依题：).1,0(~),10(~2211N Y N x σμσμ--，,1}1{1111⎭⎬⎫<⎩⎨⎧-=<-σσμμX P X P .1}1{2222⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-=<-σσμμY P Y P 因 },1{}1{21<-><-μμY P X P即 .11222111⎭⎬⎫⎩⎨⎧<->⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-σσμσσμY P X p 所以.,112121σσσσ<>应选A三、解答题{}22222212120222021(15)(,)1,0,1:011ln(1)ln 21122DD DxyD x y x y x I dxdy x yxydxdy x y r I dxdy d dr r x yr ππππθ-+=+≤≥=++=++===+=+++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰设区域计算二重积分解{}{}{}211112121(16)0,sin (1,2,)(1)lim (2)lim():(1)sin ,01,2sin ,0,lim ,n n n n n n x n n nn n n n n n n n x x x x n x x x x x x n x x x x x x x A π+→∞+→∞+→∞<<===∴<≤≥=≤≥∴=设数列满足求证明存在,并求之计算解因此当时单调减少又有下界，根据准则1,存在递推公式两边取极限得sin ,0A A A =∴=21sin (2)lim(),n x n n n x x ∞→∞原式=为"1"型离散型不能直接用洛必达法则22011sin lim ln()0sin lim()t ttt tt t e t→→=先考虑2323203311(cos sin )1110()0()lim26cos sin sin 1262limlim2262t t t t t t t t t t t t t t tt t t ttteeeee →→→⎡⎤⎡⎤--+--+⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦-=====2(17)()2xf x x x x =+-将函数展开成的幂极数 ()(2)(1)21x A Bf x x x x x ==+-+-+解:2(1)(2)2,32,3A xB x x x A A ++-====令 11,31,3x B B =-=-=-令)](1[131)21(131)1(131)2(132)(x x x x x f --⨯--⨯=+⨯--⨯= 10001111()(1)(1),132332n n n n n n n n n x x x x ∞∞∞+===⎡⎤=--=+-<⎢⎥⎣⎦∑∑∑（18）设函数()(0,)f u +∞在内具有二阶导数，且Z f=满足等式22220z zx y∂∂+=∂∂ （I ）验证()()0f u f u u'''+= （II ）若(1)0,(1)1f f '== 求函数()f u 的表达式 证：（I）zzf f xy∂∂''==∂∂()22222zxf f xx y xy∂'''=+∂++()()22322222x y f f x y x y '''=+++()()2223222222zy x f f yx y x y ∂'''=+∂++同理22220()()0z z f x y f u f u u∂∂''+==∂∂'''∴+=代入得成立（II ）令(),;dp p dp du f u p c du u p u'==-=-+⎰⎰则ln ln ,()cp u c f u p u'=-+∴==22(1)1,1,()ln ||,(1)0,0()ln ||f c f u u c f c f u u '===+===由得于是（19）设在上半平面{}(,)|0D x y y =>内，函数(,)f x y 具有连续偏导数，且对任意0t >都有2(,)(,)f tx ty tf x y -=证明：对D 内任意分段光滑の有向简单闭曲线L ，都有0),(),(=-⎰dy y x xf dx y x yf L.证：把2(,)(,)f tx ty t f x y t -=两边对求导得：(,)(,)2(,)x y xf tx ty yf tx ty tf x y ''+=- 令 1t =，则(,)(,)2(,)x y xf x y yf x y f x y ''+=- 再令 (,),(,)P yf x y Q xf x y ==-所给曲线积分等于0の充分必要条件为Q Px y∂∂=∂∂ 今(,)(,)x Qf x y x f xy x∂'=--∂(,)(,)y Pf x y y f xy y∂'=+∂ 要求Q Px y∂∂=∂∂成立，只要(,)(,)2(,)x y xf x y yf x y f x y ''+=- 我们已经证明，Q Px y∂∂∴=∂∂，于是结论成立. (20)已知非齐次线性方程组 x 1+x 2+x 3+x 4=-1, 4x 1+3x 2+5x 3-x 4=-1，a x 1+x 2+3x 3+bx 4=1 有3个线性无关の解.① 证明此方程组の系数矩阵A の秩为2. ② 求a,b の值和方程组の通解.解:① 设α1,α2,α3是方程组の3个线性无关の解,则α2-α1,α3-α1是AX =0の两个线性无关の解.于是AX =0の基础解系中解の个数不少于2,即4-r(A )≥2,从而r(A )≤2.又因为A の行向量是两两线性无关の,所以r(A )≥2. 两个不等式说明r(A )=2.② 对方程组の增广矩阵作初等行变换:1 1 1 1 -1 1 1 1 1 -1(A |β)= 4 3 5 -1 -1 → 0 –1 1 –5 3 ,a 1 3b 1 0 0 4-2a 4a+b-5 4-2a 由r(A )=2,得出a=2,b=-3.代入后继续作初等行变换:1 02 -4 2 → 0 1 -1 5 -3 . 0 0 0 0 0 得同解方程组 x 1=2-2x 3+4x 4， x 2=-3+x 3-5x 4，求出一个特解(2,-3,0,0)T和AX =0の基础解系(-2,1,1,0)T,(4,-5,0,1) T.得到方程组の通解:(2,-3,0,0)T+c 1(-2,1,1,0)T+c 2(4,-5,0,1)T, c 1,c 2任意.(21) 设3阶实对称矩阵A の各行元素之和都为3,向量α1=(-1,2,-1)T, α2=(0,-1,1)T都是齐次线性方程组AX =0の解. ① 求A の特征值和特征向量. ② 求作正交矩阵Q 和对角矩阵Λ,使得 Q TAQ =Λ.解:① 条件说明A (1,1,1)T=(3,3,3)T,即 α0=(1,1,1)T是A の特征向量,特征值为3.又α1,α2都是AX =0の解说明它们也都是A の特征向量,特征值为0.由于α1,α2线性无关, 特征值0の重数大于1.于是A の特征值为3,0,0.属于3の特征向量:c α0, c ≠0.属于0の特征向量:c 1α1+c 2α2, c 1,c 2不都为0. ② 将α0单位化,得η0=(33,33,33)T. 对α1,α2作施密特正交化,のη1=(0,-22,22)T , η2=(-36,66,66)T. 作Q =(η0,η1,η2),则Q 是正交矩阵,并且3 0 0Q T AQ =Q -1AQ = 0 0 0 . 0 0 0（22）随机变量X の概率密度为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<≤<<-=其他,020,4101,21)(x x x f X ，令2X Y =，),(y x F 为二维随机变量）（Y X ,の分布函数. （Ⅰ）求Y の概率密度；（Ⅱ）)4,21(-F 解：（Ⅰ）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<≤<≤<=≤=≤=y y y y y X P y Y P y F Y 4,141,)2(10,)1(0,0)()()(2式式⎰⎰=+=≤≤-=-yyy dx dx y X y P 0434121)()1(式； ⎰⎰+=+=≤≤-=-yy dx dx y X y P 0141214121)()2(式. 所以：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<≤<<==其他,041,8110,83)()('y yy y y F y f Y Y这个解法是从分布函数の最基本の概率定义入手，对y 进行适当の讨论即可，在新东方の辅导班里我也经常讲到，是基本题型. （Ⅱ）)4,21(-F )212()22,21()4,21()4,21(2-≤≤-=≤≤--≤=≤-≤=≤-≤=X P X X P X X P Y X P 4121211==⎰--dx . （23）设总体X の概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<<=其他,021,110,),(x x x f θθθ，其中θ是未知参数（0<θ<1）.n X X X ,,21为来自总体の简单随机样本，记N 为样本值n x x x ,,21中小于1の个数.求θの最大似然估计.解：对样本n x x x ,,21按照<1或者≥1进行分类：pN p p x x x ,,21<1，pn pN pN x x x ,,21++≥1.似然函数⎩⎨⎧≥<-=++-其他，,01,,,1,,)1()(2121pn pN pN pN p p N n N x x x x x x L θθθ，在pN p p x x x ,,21<1，pn pN pN x x x ,,21++≥1时，)1ln()(ln )(ln θθθ--+=N n N L ，01)(ln =---=θθθθN n N d L d ，所以nN=最大θ.2005年考研数学一真题一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）（1）曲线122+=x x y の斜渐近线方程为 _____________.（2）微分方程x x y y x ln 2=+'满足91)1(-=y の解为. ____________.（3）设函数181261),,(222z y x z y x u +++=，单位向量}1,1,1{31=n ，则)3,2,1(nu∂∂=.________.（4）设Ω是由锥面22y x z +=与半球面222y x R z --=围成の空间区域，∑是Ωの整个边界の外侧，则⎰⎰∑=++zdxdy ydzdx xdydz ____________.（5）设321,,ααα均为3维列向量，记矩阵),,(321ααα=A ，)93,42,(321321321ααααααααα++++++=B ， 如果1=A ，那么=B ..（6）从数1,2,3,4中任取一个数，记为X, 再从X ,,2,1 中任取一个数，记为Y , 则}2{=Y P =____________.二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出の四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前の字母填在题后の括号内）（7）设函数n nn xx f 31lim )(+=∞→，则f(x)在),(+∞-∞内(A) 处处可导. (B) 恰有一个不可导点.(C) 恰有两个不可导点. (D) 至少有三个不可导点. [ ]（8）设F(x)是连续函数f(x)の一个原函数，""N M ⇔表示“M の充分必要条件是N ”，则必有(A) F(x)是偶函数⇔f(x)是奇函数. （B ） F(x)是奇函数⇔f(x)是偶函数.(C) F(x)是周期函数⇔f(x)是周期函数.(D) F(x)是单调函数⇔f(x)是单调函数. [ ]（9）设函数⎰+-+-++=yx yx dt t y x y x y x u )()()(),(ψϕϕ, 其中函数ϕ具有二阶导数，ψ 具有一阶导数，则必有(A) 2222y u x u ∂∂-=∂∂. （B ） 2222yu x u ∂∂=∂∂. (C) 222yuy x u ∂∂=∂∂∂. (D) 222x u y x u ∂∂=∂∂∂. [ ] （10）设有三元方程1ln =+-xzey z xy ，根据隐函数存在定理，存在点(0,1,1)の一个邻域，在此邻域内该方程(A) 只能确定一个具有连续偏导数の隐函数z=z(x,y).(B) 可确定两个具有连续偏导数の隐函数x=x(y,z)和z=z(x,y). (C) 可确定两个具有连续偏导数の隐函数y=y(x,z)和z=z(x,y).(D) 可确定两个具有连续偏导数の隐函数x=x(y,z)和y=y(x,z). [ ]（11）设21,λλ是矩阵A の两个不同の特征值，对应の特征向量分别为21,αα，则1α，)(21αα+A 线性无关の充分必要条件是(A) 01≠λ. (B) 02≠λ. (C) 01=λ. (D) 02=λ. [ ] （12）设A 为n （2≥n ）阶可逆矩阵，交换A の第1行与第2行得矩阵B, **,B A 分别为A,B の伴随矩阵，则(A) 交换*A の第1列与第2列得*B . (B) 交换*A の第1行与第2行得*B . (C) 交换*A の第1列与第2列得*B -. (D) 交换*A の第1行与第2行得*B -.[ ]（13）设二维随机变量(X,Y) の概率分布为 X Y 0 1 0 0.4 a 1 b 0.1已知随机事件}0{=X 与}1{=+Y X 相互独立，则(A) a=0.2, b=0.3 (B) a=0.4, b=0.1(C) a=0.3, b=0.2 (D) a=0.1, b=0.4 [ ] （14）设)2(,,,21≥n X X X n 为来自总体N(0,1)の简单随机样本，X 为样本均值，2S 为样本方差，则(A) )1,0(~N X n (B) ).(~22n nS χ(C) )1(~)1(--n t SX n (D) ).1,1(~)1(2221--∑=n F X X n n i i [ ]三 、解答题（本题共9小题，满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） （15）（本题满分11分） 设}0,0,2),{(22≥≥≤+=y x y x y x D ，]1[22y x ++表示不超过221y x ++の最大整数. 计算二重积分⎰⎰++Ddxdy y xxy .]1[22（16）（本题满分12分） 求幂级数∑∞=--+-121))12(11()1(n n n x n n の收敛区间与和函数f(x).（17）（本题满分11分）如图，曲线C の方程为y=f(x)，点(3,2)是它の一个拐点，直线1l 与2l 分别是曲线C 在点(0,0)与(3,2)处の切线，其交点为(2,4). 设函数f(x)具有三阶连续导数，计算定积分⎰'''+32.)()(dx x f x x（18）（本题满分12分）已知函数f(x)在[0，1]上连续，在(0,1)内可导，且f(0)=0,f(1)=1. 证明：（I ）存在),1,0(∈ξ 使得ξξ-=1)(f ；（II ）存在两个不同の点)1,0(,∈ζη，使得.1)()(=''ζηf f （19）（本题满分12分）设函数)(y ϕ具有连续导数，在围绕原点の任意分段光滑简单闭曲线L 上，曲线积分⎰++Lyx xydydx y 4222)(ϕの值恒为同一常数.（I ）证明：对右半平面x>0内の任意分段光滑简单闭曲线C ，有022)(42=++⎰Cy x x y d ydx y ϕ；（II ）求函数)(y ϕの表达式. （20）（本题满分9分）已知二次型21232221321)1(22)1()1(),,(x x a x x a x a x x x f +++-+-=の秩为2.（I ） 求a の值；（II ） 求正交变换Qy x =，把),,(321x x x f 化成标准形； （III ） 求方程),,(321x x x f =0の解.（21）（本题满分9分）已知3阶矩阵A の第一行是c b a c b a ,,),,,(不全为零，矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=k B 63642321（k 为常数），且AB=O, 求线性方程组Ax=0の通解..（22）（本题满分9分）设二维随机变量(X,Y)の概率密度为.,20,10,0,1),(其他x y x y x f <<<<⎩⎨⎧=求：（I ） (X,Y)の边缘概率密度)(),(y f x f Y X ；（II ）Y X Z -=2の概率密度).(z f Z（23）（本题满分9分）设)2(,,,21>n X X X n 为来自总体N(0,1)の简单随机样本，X 为样本均值，记.,,2,1,n i X X Y i i =-=求：（I ） i Y の方差n i DY i ,,2,1, =；（II ）1Y 与n Y の协方差).,(1n Y Y Cov。
2006考研数一真题及解析课案
2006年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题：1-6小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.(1) 0ln(1)lim1cos x x x x→+=-.(2) 微分方程(1)y x y x-'=的通解是 .(3) 设∑是锥面z =(01z ≤≤)的下侧，则23(1)xdydz ydzdx z dxdy ∑++-=⎰⎰.(4) 点(2,1,0)到平面3450x y z ++=的距离d = .(5) 设矩阵2112A ⎛⎫=⎪-⎝⎭，E 为2阶单位矩阵，矩阵B 满足2B A BE =+，则B = .(6)设随机变量X 与Y 相互独立，且均服从区间[0,3]上的均匀分布，则{}max{,}1P X Y ≤= .二、选择题：9-14小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.(7) 设函数()y f x =具有二阶导数，且()0,()0f x f x '''>>，x 为自变量x 在0x 处的增量，y 与dy 分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分，若0x >，则( ) (A)0.dx y << (B)0.y dy << (C)0.y dy <<(D)0.dy y <<(8) 设(,)f x y 为连续函数，则140(cos ,sin )d f r r rdr πθθθ⎰⎰等于( )(A)(,).xf x y dy ⎰⎰(B)(,).dx f x y dy ⎰⎰(C)(,).yf x y dx ⎰⎰(D)(,).f x y dx ⎰⎰(9) 若级数1nn a∞=∑收敛，则级数( )(A)1nn a∞=∑收敛. (B)1(1)nn n a ∞=-∑收敛.(C)11n n n a a∞+=∑收敛.(D)112n n n a a ∞+=+∑收敛. (10) 设(,)f x y 与(,)x y ϕ均为可微函数，且(,)0y x y ϕ'≠. 已知00(,)x y 是(,)f x y 在约束条件(,)0x y ϕ=下的一个极值点，下列选项正确的是( ) (A)若00(,)0x f x y '=，则00(,)0y f x y '=. (B)若00(,)0x f x y '=，则00(,)0y f x y '≠. (C)若00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '=. (D)若00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '≠.(11) 设12,,,s a a a 均为n 维列向量，A 是m n ⨯矩阵，下列选项正确的是( ) (A)若12,,,s a a a 线性相关，则12,,,s Aa Aa Aa 线性相关. (B)若12,,,s a a a 线性相关，则12,,,s Aa Aa Aa 线性无关.(C)若12,,,s a a a 线性无关，则12,,,s Aa Aa Aa 线性相关.(D)若12,,,s a a a 线性无关，12,,,s Aa Aa Aa 线性无关.(12) 设A 为3阶矩阵，将A 的第2行加到第1行得B ，再将B 的第1列的-1倍加到第2列得C ，记110010001P ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则( )(A)1.C P AP -= (B)1.C PAP -=(C).T C P AP =(D).TC PAP =(13) 设,A B 为随机事件，且()0,(|)1P B P A B >=，则必有( ) (A)()().P A B P A ⋃> (B)()().P A B P B ⋃>(C)()().P A B P A ⋃=(D)()().P A B P B ⋃=(14) 设随机变量X 服从正态分布211(,)N μσ，Y 服从正态分布222(,)N μσ，且12{||1}{||1},P X P Y μμ-<>-<则必有( )(A)1 2.σσ< (B)1 2.σσ>(C)1 2.μμ<(D)1 2.μμ>三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分10分)设区域(){}22,1,0D x y xy x =+≤≥,计算二重积分2211DxyI dxdy x y +=++⎰⎰.(16)(本题满分12分)设数列{}n x 满足()110,sin 1,2,...n x x x n ππ+<<== . (I)证明lim n n x →∞存在,并求该极限 ；(II)计算11lim n x n n n x x +→∞⎛⎫ ⎪⎝⎭.(17)(本题满分12分)将函数()22xf x x x=+-展开成x 的幂级数 .(18)(本题满分12分)设函数()f u 在()0,+∞内具有二阶导数，且z f=满足等式22220z zx y∂∂+=∂∂(I) 验证()()0f u f u u'''+=. (II) 若()()10,11,f f '==求函数()f u 的表达式.(19)(本题满分12分)设在上半平面(){},0D x y y =>内,函数(),f x y 是有连续偏导数,且对任意的0t >都有()()2,,f tx ty tf x y -=.证明: 对D 内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L ，都有()(),,0Lyf x y dx xf x y dy -=⎰(20)(本题满分9分)已知非齐次线性方程组1234123412341435131x x x x x x x x ax x x bx +++=-⎧⎪++-=-⎨⎪+++=⎩有3个线性无关的解(I) 证明方程组系数矩阵A 的秩()2r A =; (II) 求,a b 的值及方程组的通解. (21)(本题满分9分)设3阶实对称矩阵A 的各行元素之和均为3,向量()()121,2,1,0,1,1TTαα=--=-是线性方程组0Ax =的两个解.(I) 求A 的特征值与特征向量(II) 求正交矩阵Q 和对角矩阵Λ,使得T Q AQ =Λ.(22)(本题满分9分)随机变量x 的概率密度为 ()1,1021,0240,X x f x x ⎧-<<⎪⎪⎪=≤<⎨⎪⎪⎪⎩其他()2,,y X F x y =令为二维随机变量(,)X Y 的分布函数.求(I) Y 的概率密度()Y f y ; (II) 1,42F ⎛⎫- ⎪⎝⎭.(23)(本题满分9分)设总体X 的概率密度为()(),01,01,12010,x f x x θθθθ<<⎧⎪=-≤<<<⎨⎪⎩其中是未知参数其它.12n ,...,X X X 为来自总体X 的简单随机样本,记N 为样本值12,...,n x x x 中小于1的个数,求θ的最大似然估计.2006年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析一、填空题 (1)【答案】2.【详解】由等价无穷小替换，0x →时，21ln(1),1cos 2x x xx +-， 2002ln(1)lim lim 11cos 2x x x x x x x →→+=-=2 (2)【答案】xCxe-.【详解】分离变量，(1)dy y x dx x -=⇒(1)dy x dx y x -=⇒1(1)dy dx y x =-⇒1dy dx dx y x=-⎰⎰⎰ ⇒ln ln y x x c =-+ ⇒ln ln y x x ce e -+= ⇒xy Cxe -=(3)【答案】2π【详解】补一个曲面221:1x y z ⎧+≤∑⎨=⎩1,取上侧，则1∑+∑组成的封闭立体Ω满足高斯公式，1()P Q R dv Pdydz Qdzdx Rdxdy I x y z Ω∑+∑∂∂∂++=++=∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰ 设 ,2,3(1)P x Q y R z ===-，则1236P Q Rx y z∂∂∂++=++=∂∂∂ ∴I =6dxdydz Ω⎰⎰⎰(Ω为锥面∑和平面1∑所围区域)6V =(V 为上述圆锥体体积)注：以下几种解法针对于不同的方法求圆锥体体积V 方法1：I 623ππ=⨯=(高中方法，圆锥的体积公式，这种方法最简便) 而 123(1)0xdydz ydzdx z dxdy ∑++-=⎰⎰(在1∑上：1,0z dz ==)方法2：先二重积分，后定积分.因为1V Sdz =⎰，r =222r x y =+，22r z =，22S r z ππ==，所以1122001133V z dz z πππ===⎰ .从而6623I V ππ==⨯=方法3：利用球面坐标. 1z =在球坐标下为：1cos ρθ=， 1224cos 06sin I d d d ππϕθϕρϕρ=⎰⎰⎰2432sin cos d d ππϕθϕϕ=⎰⎰2430cos (2)cos d d ππϕθϕ=-⎰⎰422001(2)()cos 2d ππθϕ-=--⎰202d πθπ==⎰方法4：利用柱面坐标 .21106rI d dr rdz πθ=⎰⎰⎰216(1)d r rdr πθ=-⎰⎰12230116()23d r r πθ=-⎰202d πθπ==⎰(4)【详解】代入点 000(,,)P x y z 到平面0Ax By Cz D +++=的距离公式d ===(5)【答案】 2【详解】由已知条件2BA B E =+变形得，2BA E B -=⇒()2B A E E -=, 两边取行列式, 得()244B A E E E -===其中，2110112120111A E ⎡⎤⎡⎤-=-==⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦， 222E 4E == 因此，2422E B A E===-.(6)【答案】19【详解】根据独立性原理：若事件1,,n A A 独立，则{}{}{}{}1212n n P A A A P A P A P A =事件{}{}{}{}max{,}11,111X Y X Y X Y ≤=≤≤=≤≤，而随机变量X 与Y 均服从区间[0,3]上的均匀分布，有{}1011133P X dx ≤==⎰和{}1011133P Y dy ≤==⎰. 又随机变量X 与Y 相互独立，所以，{}{}{}{}max(,)11,111P x y P x Y P x P Y ≤=≤≤=≤⋅≤1133=⨯19=二、选择题. (7)【答案】A 【详解】方法1： 图示法.因为()0,f x '>则()f x 严格单调增加；因为()0,f x ''> 则()f x 是凹函数，又0x >，画2()f x=结合图形分析，就可以明显得出结论：0dy y <<. 方法2：用两次拉格朗日中值定理000()()()y dy f x x f x f x x '-=+--(前两项用拉氏定理)0()()f x f x x ξ''=- (再用一次拉氏定理)0()()f x x ηξ=-'', 其中000,x x x x ξηξ<<+<<由于()0f x ''>，从而0y dy ->. 又由于0()0dy f x x '=>，故选[]A 方法3： 用拉格朗日余项一阶泰勒公式. 泰勒公式：000()()()()f x f x f x x x '=+-()20000()()()()2!!n n n f x f x x x x x R n ''+-++-+，其中(1)00()()(1)!n nn fx R x x n +=-+. 此时n 取1代入，可得20001()()()()()02y dy f x x f x f x x f x ξ'''∆-=+∆--∆=∆> 又由0()0dy f x x '=∆>，选()A .(8)【答案】()C【详解】记140(cos ,sin )(,)Dd f r r rdr f x y dxdy πθθθ=⎰⎰⎰⎰，则区域D 的极坐标表示是：01r ≤≤ ，04πθ≤≤. 题目考察极坐标和直角坐标的互化问题，画出积分区间，结合图形可以看出，直角坐标的积分范围(注意 y x = 与 221x y += 在第一象限的交点是22（，)，于是:02D y y x ≤≤≤≤所以，原式0(,)ydy f x y dx =. 因此选 ()C(9) 【答案】D 【详解】方法1：数列收敛的性质：收敛数列的四则运算后形成的新数列依然收敛因为1n n a ∞=∑收敛，所以11n n a ∞+=∑也收敛，所以11()n n n a a ∞+=+∑收敛，从而112n n n a a ∞+=+∑也收敛.选D. 方法2：记nn a =1n n a ∞=∑收敛.但1n n n a ∞∞===∑(p 级数，12p =级数发散)；111n n n n a a ∞∞+===∑(p 级数，1p =级数发散)均发散。
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第一部分名校考研真题说明：本部分从指定伍胜健主编的《数学分析》为考研参考书目的名校历年考研真题中挑选最具代表性的部分，并对其进行了详细的解答。
所选考研真题既注重对基础知识的掌握，让学员具有扎实的专业基础；又对一些重难点部分（包括教材中未涉及到的知识点）进行详细阐释，以使学员不遗漏任何一个重要知识点。
第7章定积分1．设f（x）和g（x）在[a，b]上连续，证明：其中[哈尔滨工业大学研]证明：不妨令.当M=0时，f（x）≡0，结论显然成立，所以不妨设M＞0.∵g（x）在[a，b]上连续，从而一致连续，所以，当时，由ε的任意性，可知2．设f（x）及g（x）在[a，b]上连续，f（x）≤g（x），且证明：在[a，b]上，f（x）≡g（x）．[湖南大学研]证明：设F（x）=f（x）-g（x），从而在[a，b]上，F（x）≤0，且下证F（x）≡0，反证法：若不然，，则存在，使在[x1，x2]上F（x）＜0.从而其中，得出矛盾．故在[a，b]上，F（x）=0，即f（x）≡g（x）.3．计算．[上海交通大学研]解：作变换，则，当时，，当时，，所以4．设f（x）连续，且有，求x≥0时f（x）的值．[北京航空航天大学研]解：由得，方程两边对x求导，得而x＞0时，f（x）＞0，所以，从而（c为常数）.又因为，且f（x）连续，故因此5．给出有界函数f（x）在闭区间[a，b]上Riemann可积的定义．试举出一个在[a，b]上有界但不可积的例子，并给出证明．[上海大学研]证明：Riemann可积的定义：设f（x）是定义在[a，b]上的一个函数，J是一个确定的实数．若对任意给定的正数ε，总存在某一正数δ，使得对[a，b]的任何分割T，以及在其上任意选取的点集，只要，就有则称函数f（x）存区间[a，b]上Riemann可积．在[a，b]上有界但不可积的例子：在区间[a，b]的任何部分区间上均有，所以，它不趋于0．因此f(x)在[a，b]上不可积．6．求定积分．[上海大学2006研]解：由于是奇函数，故，从而7．求．[南京理工大学2006研]解：做变量替换，则8．设f（x）为[a，b]上的有界单调函数，证明：（1）函数至多只有可数个间断点；（2）讨论函数在[a，b]上的可积性．[江苏大学2006研]证明：（1）设D是f（x）的第一类间断点集，令，，则，故只需证明A、B为可数集即可．以A为例，对任意的，选取有理数，使得．再选取有理数和，，使当时，；而当时，（此由f（x）在X有单侧极限可知）．因此，对应法则是从A到的一个映射，而且是单射，这是因为若有，，使，，，则．注意到，不妨设，于是可取，那么由前面的不等式，就得出的矛盾．这说明A与的一个子集对等，由可数，则A可数．（2）设f（x）为增函数，且f（a）＜f（b）（若f（a）=f（b），则f（x）为常量函数，显然可积）．对[a，b]的任一分割T，f（x）为增函数，f（x）在T所属的每个小区间上的振幅为于是有由此可见，任给ε＞0，只要，就有所以f（x）在[a，b]上可积．9．设f（x）在[0，＋∞）上连续有界，证明：[华东师范大学2006研]证明：记．显然有，又，故对任意的ε＞0，存在，使得由上确界的定义知，对上述的ε＞0，存在，．因为f（x）在处连续，由连续函数的局部保号性知存在δ＞0，使得，．于是由于，所以存在，使得取，则有即．10．设函数f（x）在[a，b]上非负、连续、严格递增，g（x）在[a，b]上处处大于零、连续且．由积分中值定理，对任意自然数n，存在，使得求极限．[北京师范大学研]解：因为g（x）在[a，b]上处处大于零、连续，所以存在c＞0使得当时，有g(x)≥c．从而对任意的ε＞0，有由于，又f（x）在[a，b]严格递增，故由极限的保号性知，存在N＞0，使得当n＞N时，有，于是．又由f（x）在[a，b]上严格递增知，当n＞N时，有成立，故．11．设函数f（x）是[－1，1]上的连续函数，且有，，证明：至少存在两个不同元素，使得．[北京师范大学2006研]证明：反证法．假设f（x）在（－1，1）内至多只有一个零点．若f（x）在（－1，1）内没有零点，不妨设f（x）在（－1，1）内恒正．由于f（x）在处连续，故由连续函数的局部保号性知，存在充分小的δ＞0使得当时．有．于是矛盾．若f（x）在（－1，1）内只有一个零点c，则f（x）在内恒不为零．若f(x)在内恒正或恒负，可以类似前面的证明推出矛盾．若f（x）在（－1，c）内恒正，在（c，1）内恒负（f（x）在（－1，c）内恒负，在（c，1）内恒正的情况完全类似）．由于，，所以．令，则，且g（x）在内恒正，往后类似前面的证明即可推出矛盾．12．设f（x）在[0，1]上Riemann可积，且，求．[浙江大学研]解：因为f（x）在[0，1]上Riemann可积，所以存在M，使得，则．则．13．利用可积函数条件证明：在[0,1]上可积．[南京师范大学2006研]证明：对[0，1]做任意分割T，注意到f（x）在[0，1]上有界，其不连续点为且f（x）在[0，1]的任意区间上的振幅w≤1．对任意的ε＞0，由于f（x）在上只有有限个间断点，故可积．因此，存在η＞0，对的任意分法，只要，就有．显然，，则对于[α，β]的任意分法，只要，就有．令，设是在[0，1]上满足的任意分法．设，由上述证明，有，显然又有，所以．于是，则f（x）在[0,1]上可积．。
2006年全国硕士研究生入学统一考试数学真题数3--03真题初步答案
2006年全国硕士研究生入学统一考试数学三答案一、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. （1） 1解： 记(1)1()n n n u n -+= 2(1)22121lim lim()lim()122n n n n n n n u n n-→∞→∞→∞++===21(1)2122lim lim()lim()12121n n n n n n nu n n ---→∞→∞→∞===--所以lim 1n n u →∞=.(2) 32e解：由()()f x f x e '=，有 ()()2()()()()f x f x f x f x ee f x e '''''=== 2()2()2()3()()()(2())2()2f x f x f x f x f x e e f x e f x e ''''''====以2x =代入，得3(2)3(2)22f f e e '''==.(3) 42dx dy -解：方法1：由微分形式不变性，有222222(4)(4)(4)(82)dz f x y d x y f x y xdx ydy ''=--=--(1,2)(0)(84)4-2dzf dx dy dx dy '=-=方法2：求偏导数，22(4)8,zf x y x x∂'=-∂g 22(4)(2y)y z f x y ∂'=--∂. 以11,2,(0)2x y f '===，代入z z dz dx dy x y ∂∂=+∂∂便得如上填. (4) 1 -11 1⎛⎫⎪⎝⎭解:由2BA B E =+化得()2B A E E -=,显然 A E -可逆，且 112E()2()B A E A E --=-=-其中 2 1 1 0 1 1-1 20 1-1 1A E ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ， 11 -11() 1 12A E -⎛⎫-= ⎪⎝⎭1 -1 1 -11B2 1 1 1 12⎛⎫⎛⎫=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（5）19解： {}{}{}{}max(,)11,111p x y p x Y p x p Y ≤=≤≤=≤≤=1133⋅=19.（6）2解：因为2()()E S D X =，故只要计算()D X . X 概率密度()f x 是偶函数，所以()0E X =222220()()[()]()()2()D X E X E X E X x f x dx x f x dx +∞+∞-∞=-===⎰⎰202x x e dx ∞-==⎰.二、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（7）A解：方法1：因为()0,f x '>则()f x 严格单调增加 ()0,f x ''> 则()f x 是凹的0x >V 又，故0dy y <<V . 方法2：用两次拉格朗日中值定理 000()()()y dy f x x f x f x x '-=+--V V V 0()()f x f x x ξ''=-V V0()()f x x ηξ''=-V 其中000,x x x x ξηξ<<+<<V由于()0f x ''>，从而0y dy ->V 又由于0()0dy f x x '=>V ，故选[]A(8) C解：因为()f x 在0x =处连续，所以2202220(0)lim ()lim ()lim ()()lim 0x h x h f f x f x x h f h f h h h+→→→→=====又22200()(0)()limlim 1,0h x f x f f h x h x h+→→-==- 所以(0)f +'存在，故选[C ].（9）D解：题设1n n a ∞=∑收敛，所以11n n a ∞+=∑也收敛，所以11()n n n a a ∞+=+∑收敛，从而112n n n a a ∞+=+∑也收敛.[]D 选.(10) B解：线性非齐次微分方程的两个解的差是对应的齐次微分方程的解.因为12()()y x y x ≠，所以12(()())y x y x -是齐次微分方程的一个非零解，C 是任意常数，所以12(()())C y x y x -是对应的齐次微分方程的通解.再加上原非齐次方程的一个特解，便得原非齐次方程的通解，[B ].(11) D解：引入函数(,,)(,)(,)F x y f x y x y λλϕ=+，有000000000000000000(,)(,)0(1)(,)(,)0(2)(,)0(,)(,)(,)(,)0,(,)(,)(,)(,)0,(,)0[]x x xy y y y y x y x y y x y f x y x y f x y x y x y f x y f x y x y x y f x y x y x y f x y f x y D λλϕλϕϕϕϕλϕϕ'''⎧+=⎪'''+=⎨⎪'=⎩'''''≠∴=-=''''≠≠Q F =F =F =代入(1)得今则故选(12) A【考点】本题考的是线性相关性的判断问题,可以用定义解.解：方法1：若12,,,s αααL 线性相关,则存在不全为0的数12s ,,,k k k L 使得11220s s k k k ααα+++=L用A 左乘等式两边,得11220s s k A k A k A ααα+++=L于是12,,,s A A A αααL 线性相关.方法2：如果用秩来解,则更加简单明了.只要熟悉两个基本性质,它们是:1. 12,,,s αααL 线性相关⇔ 12(,,,)s r s ααα<L .2.()()r AB r B <.矩阵1212(,,,)(,,,)s s A A A A αααααα=L L ,因此1212(,,,)(,,,)s s r A A A r s αααααα≤<L L由此马上可判断答案应该为[A ]. (13) B解：用初等矩阵在乘法中的作用得出将A 的第2行加到第1行得B ，即 110010001B A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭=PA将B 的第1列的-1倍加到第2列得C ，即110010001C B -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 记 BQ 因 PQ =110010001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭110010001-⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭E =，故1Q P -=从而 11C BP PAP --== ,故选[B ]. （14）A【考点】正态分布的基本性质和正态分布的标准化技巧 解：11111(1)(),X P X P μμσσ--<=<随机变量11-X μσ~(0,1)N ，且其概率密度函数是偶函数.故111111*********[()(0)]2()1X X P P μμφφφσσσσσσ⎧⎫⎧⎫--⎪⎪<=<<=-=-⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎩⎭⎩⎭.同理221(1)2()1P Y μφσ-<=-因为()x φ是单调函数，当12{||1}{||1}P X P Y μμ-<>-<时，112()1φσ->212()1φσ-，即1211σσ>，即12σσ>，故选[A ].三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15) 解：(1)1sin()lim (,)lim [1arctan y y xy y yg x f x y xy xπ→+∞→+∞-==-+,由于0x ≠，所以 lim sinlim ,y y xxy y x yyπππ→+∞→+∞==g11limlim ,11y y y xy x x y→+∞→+∞==++所以11()arctan xg x x xπ-=-. 200022200222011arctan 2lim ()lim()limarctan arctan 112arctan 1lim lim 21121lim .21x x x x x x x x x x g x x x x xx x x x x x x x x x x x ππππππ++++++→→→→→→--+=-=-+-++-+++==+（）等洛（）（）（）(16)解：10Ddy =⎰⎰3202)03y y x dy =--⎰12023y dy =⎰29=.(17) 证：令()sin 2cos f x x x x x π=++ 只需证明0x π<<时,()f x 单调增加（严格）()sin cos 2sin f x x x x x π'=+-+cos sin x x x π=-+ ()cos sin cos sin 0f x x x x x x x ''=--=-<()f x '∴ 单调减少（严格）又()cos 0f ππππ'=+=，故0()0()x f x f x π'<< >时则单调增加（严格）()()b a f b f a >>由则得证.(18) 解：(1)设所求的曲线方程为()y y x =，按题意，在其上任意一点(,)P x y 处的切线斜率y '与OP 的斜率yx的差等于(0,0)ax a x >≠，即有y y ax x '-=.并且有初始条件(1)0y =.解之，按一阶线性微分方程解的公式，有11ln ln [][][]()dxdx x x x x y e axe dx C e axe dx C x adx C x ax C --⎰⎰=+=+=+=+⎰⎰⎰以上1dx x ⎰不写成ln x 而可以写成ln x 的原因是，题中有初始条件(1)0y =，x 取在1处 而微分方程的解应是连续的，题设0x ≠，故其解只能取在包含1x =而不跨过0x =区间，故0x >,因此ln x 可以写成ln x .再由(1)0y =定出C a =-，于是所求的曲线方程为 (1),0y ax x a =->. (2) 直线y ax =与曲线(1)y ax x =-的交点(0,0)与(2,2)a . 直线y ax =与曲线(1)y ax x =-所围平面图形的面积222004()[(1)][2]3S a ax ax x dx ax ax dx a =--=-=⎰⎰按题意，4833a =，故2a =.(19) 222tan ln(1),11x axc x x x x -+-≤≤解：记-121(-1(2-1)n n n xu n n +=）， 有2321-121(-1(1)(21)(-1(2-1)limlim n n n n n n n n xu n n x x u n n +++→∞→∞++==）） 故知当21x <即1x <时，原级数绝对收敛；当21x >，即1x >时，原级数通项不趋于0，级数发散，所以收敛半径1R =.在1x =±处-1(-1(2-1)n n u n n ±=），级数1n n u ∞=∑绝对收敛，故收敛域为[1,1]-.为求和函数，应先在收敛区间内进行，由 -121-1211(-1(-1(2-1)(2-1)n n n n n n x x x n n n n +∞∞===∑∑）） 令-121(-1()(2-1)n n n xf x n n ∞==∑）有 -12-12-121111(-1(-12(-1()()()(2-1)(2-1)2-1n n n n n n n n n x x xf x n n n n n -∞∞∞==='''===∑∑∑）））-121-121-1221112(-12(-1()()()2(-12-12-1n n n n n n n n n x x f x x n n --∞∞∞-===''''===∑∑∑）））2222(-11n nn x x∞===+∑）. 再倒回去，有 202()(0)()02arctan 1xxf x f f t dt dt x t '''=+=+=+⎰⎰()(0)()02arctan xxf x f f t dt xdt '=+=+⎰⎰=22022[arctan ]2arctan -ln(1)01xx tdt x t x t -=++⎰. 于是 -121221(-12arctan -ln(1),11(2-1)n n n xx t x x x n n +∞==+-<<∑）. 又因在1x =±处，级数收敛，右边和函数的表达式在1x =±处连续，因此，在1x =±处上式仍成立，即有()()1212211()2tan ln(1),1121n n n x s x x axc x x x x n n -+∞=-==-+-≤≤-∑.(20) 解：方法1：记1234[,,,]A αααα=，则1234123412341234(10)1234123412341234a a a a a a aa+++=+++++ 31234000(10)(10)000000a a a a a a=+=+于是当0a =或10a =-时，1234,,,αααα线性相关.当0a =时，1α为1234,,,αααα的一个极大线性无关组，且2131412,3,4αααααα===. 当10a =-时,对A 作初等行变换.92349234183410100012741001001236100010A ----=→---12349234000011001100[,,,]101010101111ββββ---→→=----由于234,,βββ为1234,,,ββββ的一个极大线性无关组，且1234ββββ=---，故234,,ααα 为1234,,,αααα的一个极大线性无关组，且1234αααα=---.方法2：记1234[,,,]A αααα=，对A 施以初等行变换，有12341234123400123400123400a a a a a A B a a a aaa+++-=→=+-+-当0a =时，A 的秩为1，因而1234,,,αααα线性相关,此时1α为1234,,,αααα的一个极大线性无关组，且2131412,3,4αααααα===.0a ≠时，再对B 施以初等行变换，有123412341000011001100[,,,].10101010100111a a B C γγγγ++--→→==----如果10a ≠-，C 的秩为4，故1234,,,αααα线性无关;如果10a =-时，C 的秩为3，故1234,,,αααα线性相关.由于234,,γγγ是1234,,,γγγγ的一个极大线性无关组，且1234γγγγ=---，于是234,,ααα是1234,,,αααα的一个极大线性无关组，1234αααα=---.(21) 解:(1) 由A 的每行元素之和为3，有(1,1,1)(3,3,3)T TA =故，0(1,1,1)Tα=是A 的特征向量,特征值为3.又12,αα都是0AX =的解说明它们也都是A 的特征向量,特征值为0.由于12,αα线性无关, 特征值0的重数大于1.于是A 的特征值为3,0,0.属于3的特征向量:0c α, c 0≠.属于0的特征向量: 1122c c αα+，12,c c 不都为0. (2)将0α单位化,得0()333T η=. 对12,αα作施密特正交化,得1(0, )22T η=-,2(Tη=. 作123(,,)Q ηηη=,则Q 是正交矩阵,并且-13 0 00 0 00 0 0T Q AQ Q AQ ⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭(3)由TQ AQ =Λ，其中1T Q Q -=0003TA Q Q⎡⎤⎢⎥=Λ=⎢⎥⎢⎥⎣⎦0003330000333333⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦666333()()(())222T TA E Q Q E Q E Q-=Λ-=Λ-6613233()022332TQ E Q Q Q-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=Λ-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦6666323333()()()222232T T TQ Q QEQ QQ E=⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦. （22）解：（Ⅰ）20,0(1),01()()()(2),141,4YyyF y P Y y P X yyy<⎧⎪≤<⎪=≤=≤=⎨≤<⎪⎪≤⎩式式⎰⎰=+=≤≤-=-yyydxdxyXyP434121)()1(式；⎰⎰+=+=≤≤-=-yydxdxyXyP141214121)()2(式。
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2006年浙江大学427数学分析考研真题
浙江大学2006年攻读硕士学位研究生入学试题
考试科目：数学分析（427） 考生注意：
1．本试卷满分为150 分，全部考试时间总计180 分钟；
2．答案必须写在答题纸上，写在试题纸上或草稿纸上均无效。
一、（20分) ()i 证明：数列
1111ln (1,2,3,)23n x n n n =++++-=收敛； ()ii 计算：1111lim()1232n n n n n →∞
+++++++.
二、（15分) 设()f x 是闭区间
[],a b 上的连续函数，对任一点(),x a b ∈，存在趋于零的数列，使得
2()()2()lim 0k k k k f x r f x r f x r →∞++--=.
证明：函数()f x 为一线性函数.
三、（15分) 设()h x 是
(),-∞+∞上的无处可导的连续函数，试以此构造连续函数()f x ，在
(),-∞+∞上仅在两点可导，并且说明理由.
2 / 3
四、（15分) 设22222221()sin ,0(,)0,0x y x y x y f x y x y ⎧++≠⎪+=⎨⎪+=⎩.
()i 求(,)f x y x ∂∂以及(,)f x y y ∂∂；
()ii 问(,),(,)f f x y x y x y ∂∂∂∂在原点是否连续?(,)f x y 在原点是否可微?试说明理由.
五、（20分) 设()f x 在()0,+∞的任何闭子区间[],αβ上黎曼可积，且0()f x dx +∞
⎰收敛，
证明：对于常数 1a >，成立
000lim ()()xy y a f x dx f x dx ++∞+∞-→=⎰⎰.
六、（15分) 计算曲面积分
32222()S xdydz ydzdx zdxdy I ax by cz ++=++⎰⎰ 其中
{}2222(,,)S x y z x y z r =++=，常数0,0,0,0a b c r >>>>.
七、（15分) 设V 为单位球：
2221x y z ++≤，又设,,a b c 为不全为零的常数，计算： cos()V I ax by cz dxdydz
=++⎰⎰⎰.
八、（20分) 设函数21()12f x x x =--，证明级数
()0!(0)n n n f ∞=∑收敛.
九、（15分) 设()f x 在)0,+∞⎡⎣上可微，(0)0f =.若有常数0A >，使得对任意
)
0,x ∈+∞⎡⎣，有
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()()f x A f x '≤.证明在)
0,+∞⎡⎣，()0f x =.。