2018-2019学年北京市朝阳区高一第一学期期末数学试卷〖详解版〗

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北京市朝阳区2018-2019年高一(上)期末答案(1)

北京市朝阳区2018~2019学年度第一学期期末质量检测高一年级数学学科试题答案 2019.1二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.三、解答题：本大题共4小题，共70分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 17. （本小题满分16分）解：（Ⅰ）当1a =时，由10x -<，解得1x <.所以{}1B x x =<．所以1{ 1}2AB x x ≤=<，{ 2}A B x x =≤. ………………………………………………………………5分（Ⅱ）若A B ⊆，即1,22B ⎡⎤⊆⎢⎥⎣⎦，{}B x x a =<，则2a >.所以实数a 的取值范围是()2,+∞. …………………………………………………………………………10分（Ⅲ）{}B x x a =<.因为当A B B R ()=ð时，有1={2}2B A x x x R 或⊆<>ð. 要使B A R ⊆ð，必须12a ≤. 所以实数a 的最大值是12. ……………………………………………………………………………………16分18. （本小题满分18分）解：（Ⅰ）由已知2(0)cos 01f ==.2()cos sin cos 4444f ππππ=+ 11122=+=. …………………………………………………5分（Ⅱ）因为()f x 1cos 21sin 222x x +=+11(sin 2cos 2)22x x =++π1sin(2)242x =++，所以函数()f x 的最小正周期为π．因为sin y x =的对称轴方程为ππ2x k =+,k ∈Z , 令ππ2π42x k +=+,k ∈Z ，得1ππ28x k =+，k ∈Z .所以函数()f x 的对称轴方程为1ππ28x k =+，k ∈Z . ………………12分（Ⅲ）令πππ2π-22π242k x k ++≤≤得 3πππ-π88k x k +≤≤，k ∈Z . 函数()f x 的单调增区间为3πππ-,π88k k ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦,k ∈Z ，所以函数()f x 在区间[0,π]上的单调递增区间为π[0,]8和5π[,π]8. ……18分 19. （本小题满分18分）解：（Ⅰ）当2m =时， 2()21f x x x =-++，配方得：2()(1)2f x x =--+，因此当1x =时，()f x 的最大值为2. …………………………………5分（Ⅱ）由()()2h x f x x =+，则()()221h x x m x =-+++，由于()h x 是偶函数，所以对任意R ∈x ，()()h x h x -=成立．即 1)2(1))(2()(22+++-=+-++--x m x x m x 恒成立．即 0)2(2=+x m 恒成立，所以 02=+m ，解得 2-=m ．所以实数m 的值是2-． ……………………………………………12分（Ⅲ）设函数()f x 在[]1,2上的值域为A ，()g x 在[0,]π上的值域为B ，由题意和子集的定义，得A B ⊆．当[0,]x ∈π时，7[,]666x πππ+∈，]2,1[)(-∈x g ．所以当[]1,2x ∈时，不等式2112x mx -≤-++≤恒成立，有[]1,1,2m x x x ≤+∈，易证1y x x =+在[]1,2上为增函数，得2m ≤. 有[]2,1,2m x x x ≥-∈，易证2y x x=-在[]1,2上为增函数，得1m ≥.综上，实数m 的取值范围为[]1,2 ． …………………………………………18分20. （本小题满分18分）解：（I ）（i ）a k =时，().xf x a b =+ 当1a >时，函数()f x 是增函数，则(0)0(1)1f f =⎧⎨=⎩，，即101b a b +=⎧⎨+=⎩，，解得21.a b =⎧⎨=-⎩，符合题意.此时 ()2 1.x f x =-当01a <<时，函数()f x 是减函数，则(0)1,(1)0,f f =⎧⎨=⎩即11,0,b a b +=⎧⎨+=⎩解得0,0.a b =⎧⎨=⎩不符合题意.综上，()2 1.xf x =- ……………………………………………………………7分（ii ）证明：假设[,]m n 是函数()f x 的一个等域区间.由1k a ≥+，则1a k -≤-，因为01a <<，所以函数()f x 是减函数，所以(),(),f m n f n m =⎧⎨=⎩即(),(),mn a a k m b n a a k n b m ⎧+-+=⎪⎨+-+=⎪⎩两式相减得：()()m na a a k m n n m -+--=-.整理得，(1)()0m na a a k m n -+-+-=. 因为m n <，所以mna a >，而10a k -+≤，所以(1)()0mna a a k m n -+-+->，与(1)()0mn a a a k m n -+-+-=矛盾.假设不成立.所以函数()f x 不存在等域区间. …………………………………………14分（Ⅱ）21()log 4g x x =-是等域函数. 11[,]42是该函数的一个等域区间. 这是因为()g x 在11[,]42单调递减，且1111(),()4224g g ==，所以当定义域为11[,]42时，值域也是11[,]42.所以11[,]42是函数21()log 4g x x =-的一个等域区间. ……………………18分。

北京市朝阳区2018-2019学年度高三期末文科数学试题(解析版)

北京市朝阳区2018-2019学年度第一学期期末质量检测高三年级数学试卷（文史类）2019．1（考试时间120分钟满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知集合，，则( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先求得集合A，再利用集合的并集运算，即可求解.【详解】由题意，集合，，则，故选D.【点睛】本题主要考查了集合的并集的运算，其中解答中正确求解集合A，利用集合的并集运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.2.下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性和单调性，即可得到答案.【详解】对于A中，函数为对数函数，不奇函数，不符合题意；对于B中，函数为幂函数，既是奇函数又是单调递增函数，符合题意；对于C中，函数为正弦函数，在其定义域上不是增函数，不符合题意；对于D中，函数，其定义域为不是奇函数，不符合题意，综上可知函数满足题意，故选B.【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性和单调性的判定问题，其中解答中熟记常见函数的奇偶性和单调性是解答本题的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.3.设，则是的( )A. 充分但不必要条件B. 必要但不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】本题考查不等式,充分条件,必要条件,充要条件及判定.所以有则则是的充分但不必要条件.故选A4.执行如图所示的程序框图，若输入的，则输出的( )A. 5B. 6C. -8D. -18【答案】C【解析】【分析】根据给定的程序框图，依次计算程序运行时的结果，直到满足条件终止循环，即可得到输出结果.【详解】由题意，模拟程序的运行，可得：执行循环体，，不满足条件，执行循环体，；不满足条件，执行循环体，；不满足条件，执行循环体，；满足条件，终止循环体，输出，故选C.【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的计算输出结果问题，其中解答中按照给定的程序框图，依次计算程序运行的结果是解答此类问题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.5.在平面直角坐标系中，过三点的圆被轴截得的弦长为( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】设圆的方程为,代入，求得圆的方程，令，解得圆M与轴的交点坐标，即可得到答案.【详解】根据题意，设过三点的圆为圆，其方程为,又由，则由，解得，即圆，令，得，解得，即圆M与轴的交点坐标分别为，所以圆M被轴截得的弦长为4，故选C.【点睛】本题主要考查了圆的方程的求解，以及直线与圆的弦长问题，其中解答中利用待定系数法求得圆的方程是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.6.已知四边形的顶点A，B，C，D在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，则( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】以A为坐标原点，以AC所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，分别求出的坐标，由向量的数量积的坐标运算，即可得到答案.【详解】如图所示，以A为坐标原点，以AC所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，则,所以，所以，故选C.【点睛】本题主要考查了平面向量的坐标表示，以及向量的数量积的坐标运算，其中解答中建立适当的直角坐标系，求解向量的坐标，再利用向量的数量积的坐标运算求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.7.已知双曲线的一条渐近线方程为，，分别是双曲线的左、右焦点，点在双曲线上，且，则( )A. 1B. 13C. 17D. 1或13【答案】B【解析】【分析】利用双曲线的渐近线方程，求出，然后利用双曲线的定义转化，即可求解，得到答案.【详解】由题意，双曲线的一条渐近线方程为，可得，解得，又由，又由，分别是双曲线的左、右焦点，点在双曲线上，且，可得点P在双曲线的左支上，所以，可得，故选B.【点睛】本题主要考查了双曲线的定义和双曲线的标准方程，以及双曲线的简单几何性质的应用，其中解答中根据双曲线的几何性质，确定双曲线的标准方程是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.8.从计算器屏幕上显示的数为0开始，小明进行了五步计算，每步都是加1或乘以2.那么不可能是计算结果的最小的数是( )A. 12B. 11C. 10D. 9【答案】B【解析】【分析】由题意，可列出树形图，逐步列举，即可得到答案.【详解】由题意，列出树形图，如图所示由树形图可知，不可能是计算结果的最小数是11，故选B.【点睛】本题主要考查了简单的合情推理，以及树形图的应用，其中解答中认真分析题意，列出树形图，结合树形图求解是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.第二部分（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上.9.设复数满足，则__________．【答案】【解析】【分析】等式两边同时除以1-i，得到z的表示式，分子和分母同乘以分母的共轭复数，化简，得到结果【详解】：∵复数z满足z（1-i）=2i ，∴∴ .【点睛】解答与复数相关概念有关的问题时，通常需要先把所给的复数化为a+bi （a，b∈R）的形式，再根据题意求解。

2018-2019学年北京市朝阳区高一第一学期期末质量检测数学试题(解析版)

2018-2019学年北京市朝阳区高一第一学期期末质量检测数学试题一、单选题1．的值是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】原式中的角度变形后，利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算即可得到结果．【详解】，故选：D．【点睛】此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．2．设，3，，则（）A．B．C．3，D．2，3，【答案】A【解析】由A与B，求出两集合的交集即可．【详解】，3，，，故选：A．【点睛】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．3．下列各式中，化简的结果为的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】利用诱导公式逐一化简各个选项，可得结果．【详解】由于，故排除A；由于，故排除B；由于，故C满足条件；由于，故排除D，故选：C．【点睛】本题主要考查诱导公式的应用，属于基础题．4．下列函数中，值域是的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】利用不等式性质及函数单调性对选项依次求值域即可．【详解】对于A：的值域为；对于B：，，，的值域为；对于C：的值域为；对于D：，，，的值域为；故选：D．【点睛】此题主要考查函数值域的求法，考查不等式性质及函数单调性，是一道基础题．5．已知，则（）A．B．C．D．7【答案】D【解析】直接利用两角和的正切函数公式求解即可．【详解】，．故选：D．【点睛】本题考查了两角和的正切函数公式，是基础题．6．已知非零向量，满足，夹角的余弦值是，若，则实数t的值是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】根据条件即可求出，而根据即可得出，进行数量积的运算即可求出t的值．【详解】，且夹角的余弦值是；；又；；；；．故选：A．【点睛】考查向量数量积的运算及计算公式，以及向量垂直的充要条件．7．如图，在平面直角坐标系xOy中，点P在边长为2的正方形ABCD内部及其边界上运动，已知点，，，则的最大值是（）A．2 B．4 C．6 D．【答案】C【解析】设，再求出和，利用向量数量积可得，最后由x的最大值为1可得的最大值为6．【详解】故选：C．【点睛】本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属基础题．8．苏格兰数学家纳皮尔发明了对数表，这一发明为当时的天文学家处理“大数运算”做出了巨大贡献法国著名数学家和天文学家拉普拉斯曾说过：“对数倍增了天文学家的寿命”比如在下面的部分对数表中，16，256对应的幂指数分别为4，8，幂指数和为12，而12对应的幂4096，因此根据此表，推算（）A ．524288B ．8388608C ．16777216D ．33554432 【答案】B【解析】先通过阅读，理解题意后再进行简单的合情推理即可得解. 【详解】由上表可知：，，即512，16384对应的幂指数分别为9，14，幂指数和为23，而23对应的幂为8388608，因此．故选：B ．【点睛】本题考查了阅读理解能力及进行简单的合情推理，属简单题.9．给出以下四个方程：；；；其中有唯一解的是（） A ． B ．C ．D ．【答案】B【解析】由方程与函数的关系，将方程问题转化为函数问题，再利用函数的增减性，奇偶性，函数零点存在性定理解题即可.【详解】设，易知：为增函数，又，故有唯一解，设，易知：为增函数，又，，由函数零点定理可得：有唯一解，设，易知：为增函数，由，，由函数零点定理可得：有唯一零点，又为偶函数，则有两个解，因为，，当且仅当时，即有唯一解，综合得：有唯一解的是，故选：B．【点睛】本题考查了方程与函数的转化及函数的增减性、奇偶性，函数零点存在性定理，属中档题．10．设函数的定义域为R，且，，若对于任意实数x，y，恒有则下列说法中不正确的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】令，即可求解，令，，即可求出，令，，可得结论，令，，.【详解】由题意，令，可得，，，故A正确，令，，可得，，故B正确令，，可得，，；，，故C正确，令，，可得，，故D错误，故选：D．【点睛】本题考查抽象函数问题，考查了函数的奇偶性、对称性、单调性，同时也考查了学生解决探索性问题的能力，属于中档题.二、填空题11．已知平面向量，，若，则实数______．【答案】【解析】利用向量平行的性质直接求解．【详解】平面向量，，，，解得实数．故答案为：．【点睛】本题考查实数值的求法，考查向量平行等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．12．已知，则______；______．【答案】【解析】利用同角三角函数的基本关系求得的值，再利用二倍角公式求得的值．【详解】已知，则，，故答案为：；．【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角公式的应用，属于基础题．13．已知函数的部分图象如图所示，则______；______．【答案】2【解析】由函数图象的顶点求出A，由周期求出，由五点法作图求出的值．【详解】有函数的图象顶点坐标可得，再根据，求得．再根据五点法作图可得，可得：，故答案为：2，．【点睛】本题主要考查由函数的部分图象求解析式，由函数图象的顶点求出A，由周期求出，由五点法作图求出的值，属于基础题．14．设函数，则______．【答案】【解析】求出，，，，，，，得到是以6为周期的周期函数，由此能求出．【详解】函数，，，，，，，，是以6为周期的周期函数，，．故答案为：．【点睛】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．15．设集合3，6，9，12，集合N满足：有两个元素；若，则且请写出两个满足条件的集合N______．【答案】，【解析】由，得，再结合已知条件可得答案．【详解】由，得．结合已知条件可得：两个满足条件的集合N为，．故答案为：，．【点睛】本题考查了元素与集合关系的判定，是基础题．16．已知函数．若在上是单调函数，则______；若对任意实数k，方程都有解，则a的取值范围是______．【答案】0【解析】作出函数的图象，由单调性的定义，结合图象可得a的值；由题意可得的值域为R，由，解得或，讨论，时，时，函数的图象和值域是否为R，即可得到所求范围．【详解】作出函数的图象，在上是单调函数，可得，而的对称轴为，可得在R上递增，即有；对任意实数k，方程都有解，即恒有解，即直线和的图象恒有交点，可得的值域为R，由时，时，；时，递增，且，不成立；由，解得或，当时，由图象可得的值域为R，当时，由图象可得的值域不为R，综合可得a的范围是故答案为：0，【点睛】本题考查分段函数的图象和运用，考查函数的单调性和值域，考查转化思想和数形结合思想方法，属于中档题．三、解答题17．设全集是实数集R，集合，．Ⅰ当时，分别求与；Ⅱ若，求实数a的取值范围；Ⅲ若，求实数a的最大值．【答案】(1)，；(2) (3)【解析】Ⅰ当时，确定集合B，由交、并的定义可得结果；Ⅱ由得；Ⅲ由得，得，可得实数a的最大值．【详解】Ⅰ当时，，，；Ⅱ，，实数a的取值范围为；Ⅲ，，又，，实数a的最大值为．【点睛】本题考查的知识点是集合的基本运算，包含关系判断及应用，集合关系中的参数问题，属基础题．18．已知函数．Ⅰ求，的值；Ⅱ求的最小正周期及对称轴方程；Ⅲ当时，求的单调递增区间．【答案】(1)．．(2) 最小正周期，函数的对称轴方程为：．(3) 函数的单调递增区间为：和【解析】Ⅰ直接利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的值．Ⅱ利用Ⅰ的函数的关系式利用整体思想求出函数的最小正周期和函数的对称轴方程．Ⅲ利用整体思想求出函数的单调区间．【详解】Ⅰ函数．，，则：．．Ⅱ由于：，所以：函数的最小正周期，令，解得：，所以函数的对称轴方程为：．Ⅲ令，解得，由于，所以：当或1时，函数的单调递增区间为：和【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．19．已知函数，．Ⅰ当时，求的最大值；Ⅱ若函数为偶函数，求m的值；Ⅲ设函数，若对任意，总有，使得，求m的取值范围．【答案】（1）2（2）-2（3）【解析】Ⅰ代入m的值，求出函数的最大值即可；Ⅱ根据偶函数图象关于y轴对称，二次函数的一次项系数为0，可得m的值；Ⅲ求解的值域M和的值域N，可得，即可求解实数m的取值范围．【详解】Ⅰ时，，故的最大值是2；Ⅱ函数，为偶函数，可得，可得即实数m的值为；（Ⅲ)，，那么的值域．当时，总有，使得，转化为函数的值域是的值域的子集；即：当时，函数，其对称轴，当时，即，可得；；此时无解．当时，即可得；或m；可得：当时，即，可得；；此时无解．综上可得实数m的取值范围为．【点睛】本题主要考查三角函数的化简，图象即性质的应用，二次函数的最值问题．20．如果函数在定义域的某个区间上的值域恰为，则称函数为上的等域函数，称为函数的一个等域区间．Ⅰ已知函数，其中且，，．当时，若函数是上的等域函数，求的解析式；证明：当，时，函数不存在等域区间；Ⅱ判断函数是否存在等域区间？若存在，写出该函数的一个等域区间；若不存在，请说明理由．【答案】(1)；见证明；(2)见解析【解析】Ⅰ当时，若函数是上的等域函数，根据函数的单调性，建立方程关系，进行求解即可；当，时，根据等域区间的定义建立方程关系，进行判断；Ⅱ结合函数的单调性，建立方程关系进行判断即可．【详解】Ⅰ已知函数，其中且，，．当时，若函数是上的等域函数，当时，为增函数，则，得，此时当时，为减函数，则，得，不满足条件．即；证明：当，时，，即，则为减函数，假设函数存在等域区间，则，两式作差得，即，，，，，，则，等式不成立，即函数不存在等域区间；Ⅱ函数不存在等域区间，证明假设函数存在等域区间，则，即，两式作差得，即，即函数过，的割线斜率等于4，为减函数，任意两点的割线斜率为负数，故不成立，即不存在等域区间．【点睛】本题主要考查函数值域的应用，结合等域区间的定义建立方程组关系，结合函数单调性的性质是解决本题的关键．。

北京市朝阳区2018-2019学年高一上期末数学试卷含答案解析

2018-2019学年北京市朝阳区高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．下列各组中的两个集合M和N，表示同一集合的是（）A．M={π}，N={3.14159} B．M={2，3}，N={（2，3）}C．M={x|﹣1＜x≤1，x∈N}，N={1} D．，2．若a＞b，则下列命题成立的是（）A．ac＞bc B．C．D．ac2≥bc23．若函数f（x）=x3+x2﹣2x﹣2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.54．某程序框图如图所示，若输出的S=57，则判断框内为（）A．k＞4？B．k＞5？C．k＞6？D．k＞7？5．给定函数①，②，③y=|x2﹣2x|，④，其中在区间（0，1）上单调递减的函数序号是（）A．①④B．②④C．②③D．①③6．已知a=，b=20.3，c=0.30.2，则a ，b ，c 三者的大小关系是（）A ．b ＞c ＞aB ．b ＞a ＞cC ．a ＞b ＞cD ．c ＞b ＞a7．函数的图象的大致形状是（）A ．B ．C ．D ．8．某苗圃基地为了解基地内甲、乙两块地种植同一种树苗的长势情况，从两块地各随机抽取了10株树苗，用茎叶图表示上述两组树苗高度的数据，对两块地抽取树苗的高度的平均数甲，乙和方差进行比较，下面结论正确的是（）A ．甲＞乙，乙地树苗高度比甲地树苗高度更稳定B ．甲＜乙，甲地树苗高度比乙地树苗高度更稳定C ．甲＜乙，乙地树苗高度比甲地树苗高度更稳定D ．甲＞乙，甲地树苗高度比乙地树苗高度更稳定9．如图是王老师锻炼时所走的离家距离（S ）与行走时间（t ）之间的函数关系图，若用黑点表示王老师家的位置，则王老师行走的路线可能是（）A ．B ．C ．D ．10．已知函数f（x）=a（x﹣a）（x+a+3），g（x）=2x﹣2，若对任意x∈R，总有f（x）＜0或g（x）＜0成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣4）B．[﹣4，0）C．（﹣4，0）D．（﹣4，+∞）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.11．已知函数则的值是．12．从某小学随机抽取100名同学，将他们身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）．由图中数据可知a=．若要从身高在[120，130﹚，[130，140﹚，[140，150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140，150]内的学生中选取的人数应为．13．已知0＜x＜1.5，则函数y=4x（3﹣2x）的最大值为．14．如图，一不规则区域内，有一边长为1米的正方形，向区域内随机地撒1000颗黄豆，数得落在正方形区域内（含边界）的黄豆数为360颗，以此实验数据1000为依据可以估计出该不规则图形的面积为平方米．（用分数作答）15．若函数的图象关于y轴对称，则a=．16．关于函数有以下四个命题：①对于任意的x∈R，都有f（f（x））=1；②函数f（x）是偶函数；③若T为一个非零有理数，则f（x+T）=f（x）对任意x∈R恒成立；④在f（x）图象上存在三个点A，B，C，使得△ABC为等边三角形．其中正确命题的序号是．三、解答题：本大题共4小题，共40分.17．已知函数的定义域为集合A，函数g（x）=lg（﹣x2+2x+m）的定义域为集合B．（Ⅰ）当m=3时，求A∩∁R B；（Ⅱ）若A∩B={x|﹣1＜x＜4}，求实数m的值．18．空气质量指数PM2.5（单位：μg/m3）表示每立方米空气中可入肺颗粒物的含量，这个理得到如图条形图：（1）估计该城市一个月内空气质量类别为良的概率；（2）从空气质量级别为三级和四级的数据中任取2个，求至少有一天空气质量类别为中度污染的概率．19．已知定义域为R的单调减函数f（x）是奇函数，当x＞0时，．（Ⅰ）求f（0）的值；（Ⅱ）求f（x）的解析式；（Ⅲ）若对任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，求实数k的取值范围．20．定义在（0，+∞）上的函数f（x），如果对任意x∈（0，+∞），都有f（kx）=kf（x）（k≥2，k∈N*）成立，则称f（x）为k阶伸缩函数．（Ⅰ）若函数f（x）为二阶伸缩函数，且当x∈（1，2]时，，求的值；（Ⅱ）若函数f（x）为三阶伸缩函数，且当x∈（1，3]时，，求证：函数在（1，+∞）上无零点；（Ⅲ）若函数f（x）为k阶伸缩函数，且当x∈（1，k]时，f（x）的取值范围是[0，1），求f（x）在（0，k n+1]（n∈N*）上的取值范围．2018-2019学年北京市朝阳区高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．下列各组中的两个集合M和N，表示同一集合的是（）A．M={π}，N={3.14159} B．M={2，3}，N={（2，3）}C．M={x|﹣1＜x≤1，x∈N}，N={1} D．，【考点】集合的相等．【分析】根据两个集合相等，元素相同，排除A；根据两个集合相等，元素相同，排除B先解集合M，然后判断元素是否相同，排除C先化简集合N，然后根据集合元素的无序性，选择D【解答】解：A：M={π}，N={3.14159}，因为π≠3.14159，故元素不同，集合也不同，故排除B：M={2，3}，N={（2，3）}，因为M的元素为2和3，而N的元素为一个点（2，3），故元素不同，集合不同，故排除C：M={x|﹣1＜x≤1，x∈N}，N={1}，由M={x|﹣1＜x≤1，x∈N}得，M={0，1}，故两个集合不同，故排除D：∵∴=，根据集合元素的无序性可以判断M=N，故选择D故答案为D【点评】本题考查两个集合相等的条件，涉及到元素相同以及集合元素的三个性质：无序性，互异性，确定性，为基础题2．若a＞b，则下列命题成立的是（）A．ac＞bc B．C．D．ac2≥bc2【考点】不等式的基本性质．【专题】计算题．【分析】通过给变量取特殊值，举反例可得A、B、C都不正确，对于a＞b，由于c2≥0，故有ac2≥bc2，故D成立．【解答】解：∵a＞b，故当c=0时，ac=bc=0，故A不成立．当b=0 时，显然B、C不成立．对于a＞b，由于c2≥0，故有ac2≥bc2，故D成立．故选D．【点评】本题主要考查不等式与不等关系，不等式性质的应用，通过给变量取特殊值，举反例来说明某个命题不正确，是一种简单有效的方法，属于基础题．3．若函数f（x）=x3+x2﹣2x﹣2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.5【考点】二分法求方程的近似解．【专题】应用题．【分析】由二分法的定义进行判断，根据其原理﹣﹣零点存在的区间逐步缩小，区间端点与零点的值越越接近的特征选择正确选项【解答】解：由表中数据中结合二分法的定义得零点应该存在于区间（1.4065，1.438）中，观察四个选项，与其最接近的是C，故应选C【点评】本题考查二分法求方程的近似解，求解关键是正确理解掌握二分法的原理与求解步骤，根据其原理得出零点存在的区间，找出其近似解．属于基本概念的运用题4．某程序框图如图所示，若输出的S=57，则判断框内为（）A．k＞4？B．k＞5？C．k＞6？D．k＞7？【考点】程序框图．【专题】算法和程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输入S的值，条件框内的语句是决定是否结束循环，模拟执行程序即可得到答案．【解答】解：程序在运行过程中各变量值变化如下表：K S 是否继续循环循环前1 1/第一圈2 4 是第二圈3 11 是第三圈4 26 是第四圈5 57 否故退出循环的条件应为k＞4故答案选A．【点评】算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出．其中前两点考试的概率更大．此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误．5．给定函数①，②，③y=|x 2﹣2x|，④，其中在区间（0，1）上单调递减的函数序号是（）A ．①④B ．②④C ．②③D ．①③【考点】函数单调性的判断与证明．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】根据增函数、减函数的定义，对数函数的单调性，二次函数的单调性，以及指数函数的单调性即可判断每个函数在（0，1）上的单调性，从而找出正确选项．【解答】解：①y=，x 增大时，增大，即y 增大；∴该函数在（0，1）上单调递增；②，x 增大时，x+1增大，减小；∴该函数在（0，1）上单调递减；③；∴x ∈（0，1）时，y=﹣x 2+2x ，对称轴为x=1；∴该函数在（0，1）上单调递增；④，∴指数函数在（0，1）上单调递减；∴在区间（0，1）上单调递减的函数序号是②④．故选：B ．【点评】考查增函数、减函数的定义，根据单调性定义判断函数单调性的方法，对数函数的单调性，含绝对值函数的处理方法：去绝对值号，二次函数的单调性，以及指数函数的单调性．6．已知a=，b=20.3，c=0.30.2，则a ，b ，c 三者的大小关系是（）A ．b ＞c ＞aB ．b ＞a ＞cC ．a ＞b ＞cD ．c ＞b ＞a【考点】不等关系与不等式．【专题】不等式的解法及应用．【分析】利用指数函数的单调性即可判断出．【解答】解：∵，∴b ＞c ＞a ．故选A ．【点评】熟练掌握指数函数的单调性是解题的关键．7．函数的图象的大致形状是（）A ．B ．C ．D ．【考点】函数的图象．【专题】数形结合．【分析】先利用绝对值的概念去掉绝对值符号，将原函数化成分段函数的形式，再结合分段函数分析位于y 轴左右两侧所表示的图象即可选出正确答案．【解答】解：∵y==当x ＞0时，其图象是指数函数y=a x 在y 轴右侧的部分，因为a ＞1，所以是增函数的形状，当x ＜0时，其图象是函数y=﹣a x 在y 轴左侧的部分，因为a ＞1，所以是减函数的形状，比较各选项中的图象知，C 符合题意故选C ．【点评】本题考查了绝对值、分段函数、函数的图象与图象的变换，培养学生画图的能力，属于基础题．8．某苗圃基地为了解基地内甲、乙两块地种植同一种树苗的长势情况，从两块地各随机抽取了10株树苗，用茎叶图表示上述两组树苗高度的数据，对两块地抽取树苗的高度的平均数甲，乙和方差进行比较，下面结论正确的是（）A ．甲＞乙，乙地树苗高度比甲地树苗高度更稳定B ．甲＜乙，甲地树苗高度比乙地树苗高度更稳定C ．甲＜乙，乙地树苗高度比甲地树苗高度更稳定D ．甲＞乙，甲地树苗高度比乙地树苗高度更稳定【考点】茎叶图．【专题】对应思想；定义法；概率与统计．【分析】根据茎叶图，计算甲、乙的平均数，再根据数据的分布情况与方差的概念，比较可得答案．【解答】解：根据茎叶图有：①甲地树苗高度的平均数为=28cm，乙地树苗高度的平均数为=35cm，∴甲地树苗高度的平均数小于乙地树苗的高度的平均数；②甲地树苗高度分布在19～41之间，且成单峰分布，且比较集中在平均数左右，乙地树苗高度分布在10～47之间，不是明显的单峰分布，相对分散些；∴甲地树苗高度与乙地树苗高度比较，方差相对小些，更稳定些；故选：B．【点评】本题考查了利用茎叶图估计平均数与方差的应用问题，关键是正确读出茎叶图，并分析数据，是基础题．9．如图是王老师锻炼时所走的离家距离（S）与行走时间（t）之间的函数关系图，若用黑点表示王老师家的位置，则王老师行走的路线可能是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】由题意可得在中间一段时间里，他到家的距离为定值，故他所走的路程是一段以家为圆心的圆弧，结合所给的选项得出结论．【解答】解：根据王老师锻炼时所走的离家距离（S）与行走时间（t）之间的函数关系图，可得在中间一段时间里，他到家的距离为定值，故他所走的路程是一段以家为圆心的圆弧，结合所给的选项，故选：C．【点评】本题主要函数的解析式表示的意义，函数的图象特征，属于中档题．10．已知函数f（x）=a（x﹣a）（x+a+3），g（x）=2x﹣2，若对任意x∈R，总有f（x）＜0或g（x）＜0成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣4）B．[﹣4，0）C．（﹣4，0）D．（﹣4，+∞）【考点】函数的值．【专题】函数的性质及应用．【分析】由题意可知x＜1时，g（x）＜0成立，进而得到a（x+a）（x﹣2a+1）＜0对x≥1均成立，得到a满足的条件，求解不等式组可得答案．【解答】解：由g（x）=2x﹣2＜0，得x＜1，故对x≥1时，g（x）＜0不成立，从而对任意x≥1，f（x）＜0恒成立，由于a（x﹣a）（x+a+3）＜0对任意x≥1恒成立，如图所示，则必满足，解得﹣4＜a＜0．则实数a的取值范围是（﹣4，0）．故选：C．【点评】本题考查了函数的值，考查了不等式的解法，体现了恒成立思想的应用，属于中档题．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.11．已知函数则的值是﹣2．【考点】函数的值．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】将x=代入函数的表达式，求出函数值即可．【解答】解：f（）==﹣2，故答案为：﹣2．【点评】本题考查了求函数值问题，考查分段函数以及对数函数的性质，是一道基础题．12．从某小学随机抽取100名同学，将他们身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）．由图中数据可知a=0.03．若要从身高在[120，130﹚，[130，140﹚，[140，150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140，150]内的学生中选取的人数应为3．【考点】频率分布直方图．【专题】概率与统计．【分析】欲求a，可根据直方图中各个矩形的面积之和为1，列得一元一次方程，解出a，欲求选取的人数，可先由直方图找出三个区域内的学生总数，及其中身高在[140，150]内的学生人数，再根据分层抽样的特点，代入其公式求解．【解答】解：∵直方图中各个矩形的面积之和为1，∴10×（0.005+0.035+a+0.02+0.01）=1，解得a=0.03．由直方图可知三个区域内的学生总数为100×10×（0.03+0.02+0.01）=60人．其中身高在[140，150]内的学生人数为10人，所以身高在[140，150]范围内抽取的学生人数为×10=3人．故答案为：0.03，3．【点评】本题考查频率分布直方图的相关知识．直方图中的各个矩形的面积代表了频率，所以各个矩形面积之和为1．同时也考查了分层抽样的特点，即每个层次中抽取的个体的概率都是相等的，都等于．13．已知0＜x＜1.5，则函数y=4x（3﹣2x）的最大值为．【考点】二次函数的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】将二次函数进行配方，根据二次函数的图象和性质进行求值即可．【解答】解：∵y=4x（3﹣2x）=﹣8x2+12x=﹣8（x﹣）2+，∴当x=时，函数取得最大值，故答案为：．【点评】本题主要考查二次函数的图象和性质，利用配方得到函数的对称轴是解决二次函数的关键．14．如图，一不规则区域内，有一边长为1米的正方形，向区域内随机地撒1000颗黄豆，数得落在正方形区域内（含边界）的黄豆数为360颗，以此实验数据1000为依据可以估计出该不规则图形的面积为平方米．（用分数作答）【考点】模拟方法估计概率．【专题】计算题；方程思想；综合法；概率与统计．【分析】根据几何概型的意义进行模拟试验计算不规则图形的面积，利用面积比可得结论．【解答】解：∵向区域内随机地撒1000颗黄豆，数得落在正方形区域内（含边界）的黄豆数为360颗，记“黄豆落在正方形区域内”为事件A，∴P（A）==，=平方米，∴S不规则图形故答案为：．【点评】几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关．15．若函数的图象关于y轴对称，则a=．【考点】函数的图象．【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】由题意可得函数f（x）为偶函数，函数f（x）的定义域关于原点对称，从而求得a 的值．【解答】解：由于函数的图象关于y轴对称，故该函数为偶函数，故函数f（x）的定义域关于原点对称，故a=﹣，故答案为：﹣．【点评】本题主要考查偶函数的图象特征，偶函数的定义域关于原点对称，属于基础题．16．关于函数有以下四个命题：①对于任意的x∈R，都有f（f（x））=1；②函数f（x）是偶函数；③若T为一个非零有理数，则f（x+T）=f（x）对任意x∈R恒成立；④在f（x）图象上存在三个点A，B，C，使得△ABC为等边三角形．其中正确命题的序号是①②③④．【考点】命题的真假判断与应用；分段函数的应用．【专题】函数思想；函数的性质及应用；简易逻辑．【分析】①根据函数的对应法则，可得不管x是有理数还是无理数，均有f（f（x））=1；②根据函数奇偶性的定义，可得f（x）是偶函数；③根据函数的表达式，结合有理数和无理数的性质；④取x1=﹣，x2=0，x3=，可得A（，0），B（0，1），C（﹣，0），三点恰好构成等边三角形．【解答】解：对于①，若x是有理数，则f（x）=1，则f（1）=1，若x是无理数，则f（x）=0，则f（0）=1，即对于任意的x∈R，都有f（f（x））=1；故①正确，对于②，∵有理数的相反数还是有理数，无理数的相反数还是无理数，∴对任意x∈R，都有f（﹣x）=﹣f（x），则函数f（x）是偶函数，故②正确；对于③，若x是有理数，则x+T也是有理数；若x是无理数，则x+T也是无理数，∴根据函数的表达式，任取一个不为零的有理数T，f（x+T）=f（x）对x∈R恒成立，故③正确；对于④，取x1=﹣，x2=0，x3=，可得f（x1）=0，f（x2）=1，f（x3）=0，∴A（，0），B（0，1），C（﹣，0），恰好△ABC为等边三角形，故④正确．故答案为：①②③④．【点评】本题主要考查命题的真假判断，给出特殊函数表达式，求函数的值并讨论它的奇偶性，着重考查了有理数、无理数的性质和函数的奇偶性等知识，属于中档题．三、解答题：本大题共4小题，共40分.17．已知函数的定义域为集合A，函数g（x）=lg（﹣x2+2x+m）的定义域为集合B．（Ⅰ）当m=3时，求A∩∁R B；（Ⅱ）若A∩B={x|﹣1＜x＜4}，求实数m的值．【考点】对数函数的定义域；交集及其运算；交、并、补集的混合运算．【专题】计算题；集合思想；定义法；集合．【分析】（Ⅰ）先化简集合A，B，再根据补集和交集的定义即可求出；（Ⅱ）根据交集的定义即可求出m的范围．【解答】解：（Ⅰ）由的定义域得A={x|﹣1＜x≤5}．当m=3时，B={x|﹣1＜x＜3}，则∁R B={x|x≤﹣1或x≥3}．所以A∩∁R B={x|3≤x≤5}．（Ⅱ）因为A={x|﹣1＜x≤5}，A∩B={x|﹣1＜x＜4}，所以有﹣42+2×4+m=0．解得m=8．此时B={x|﹣2＜x＜4}，符合题意．所以m=8．【点评】本题考查了函数的定义域的求法和集合的基本运算，属于基础题．18．空气质量指数PM2.5（单位：μg/m3）表示每立方米空气中可入肺颗粒物的含量，这个某市年月日﹣月日（天）对空气质量指数进行检测，获得数据后整理得到如图条形图：（1）估计该城市一个月内空气质量类别为良的概率；（2）从空气质量级别为三级和四级的数据中任取2个，求至少有一天空气质量类别为中度污染的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；分布的意义和作用．【专题】图表型；概率与统计．【分析】（1）由条形统计图可知，空气质量类别为良的天数为16天，从而可求此次监测结果中空气质量类别为良的概率；（2）样本中空气质量级别为三级的有4天，设其编号为a，b，c，d．样本中空气质量级别为四级的有2天，设其编号为e，f．列举出基本事件及符合条件的事件，根据概率公式求出相应的概率即可．【解答】解：（1）由条形统计图可知，空气质量类别为良的天数为16天，所以此次监测结果中空气质量类别为良的概率为．…（2）样本中空气质量级别为三级的有4天，设其编号为a，b，c，d．样本中空气质量级别为四级的有2天，设其编号为e，f．则基本事件有：（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（a，f），（b，c），（b，d），（b，e），（b，f），（c，d），（c，e），（c，f），（d，e），（d，f），（e，f），共15个．其中至少有一天空气质量类别为中度污染的有9个，∴至少有一天空气质量类别为中度污染的概率为．【点评】本题考查条形图，考查学生的阅读能力，考查列举法计算基本事件数及事件发生的概率，属于基础题．19．已知定义域为R的单调减函数f（x）是奇函数，当x＞0时，．（Ⅰ）求f（0）的值；（Ⅱ）求f（x）的解析式；（Ⅲ）若对任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，求实数k的取值范围．【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】（Ⅰ）利用定义域为R的函数f（x）是奇函数，求f（0）的值；（Ⅱ）求出x＜0的解析式，即可求f（x）的解析式；（Ⅲ）若对任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，f（x）在R上是减函数，所以t2﹣2t＞k﹣2t2．即3t2﹣2t﹣k＞0对任意t∈R恒成立，即可求实数k的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）因为定义域为R的函数f（x）是奇函数，所以f（0）=0．（Ⅱ）因为当x＜0时，﹣x＞0，所以．又因为函数f（x）是奇函数，所以f（﹣x）=﹣f（x）．所以．综上，（Ⅲ）由f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0得f（t2﹣2t）＜﹣f（2t2﹣k）．因为f（x）是奇函数，所以f（t2﹣2t）＜f（k﹣2t2）．又f（x）在R上是减函数，所以t2﹣2t＞k﹣2t2．即3t2﹣2t﹣k＞0对任意t∈R恒成立．方法一令3t2﹣2t﹣k=0，则△=4+12k＜0．由△＜0，解得．方法二即k＜3t2﹣2t对任意t∈R恒成立．令g（t）=3t2﹣2t，t∈R则∴故实数k的取值范围为．【点评】本题考查函数的解析式，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用单调性和参数分离，以及函数的最值的求法，属于中档题．20．定义在（0，+∞）上的函数f（x），如果对任意x∈（0，+∞），都有f（kx）=kf（x）（k≥2，k∈N*）成立，则称f（x）为k阶伸缩函数．（Ⅰ）若函数f（x）为二阶伸缩函数，且当x∈（1，2]时，，求的值；（Ⅱ）若函数f（x）为三阶伸缩函数，且当x∈（1，3]时，，求证：函数在（1，+∞）上无零点；（Ⅲ）若函数f（x）为k阶伸缩函数，且当x∈（1，k]时，f（x）的取值范围是[0，1），求f（x）在（0，k n+1]（n∈N*）上的取值范围．【考点】函数的值．【专题】证明题；转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】（Ⅰ）当x∈（1，2]时，，从而f（）=，由此能求出函数f（x）为二阶伸缩函数，由此能求出的值．（Ⅱ）当x∈（1，3]时，，由此推导出函数在（1，+∞）上无零点．（Ⅲ）当x∈（k n，k n+1]时，，由此得到，当x∈（k n，k n+1]时，f（x）∈[0，k n），由此能求出f（x）在（0，k n+1]（n∈N*）上的取值范围是[0，k n）．【解答】解：（Ⅰ）由题设，当x∈（1，2]时，，∴．∵函数f（x）为二阶伸缩函数，∴对任意x∈（0，+∞），都有f（2x）=2f（x）．∴．（Ⅱ）当x∈（3m，3m+1]（m∈N*）时，．由f（x）为三阶伸缩函数，有f（3x）=3f（x）．∵x∈（1，3]时，．∴．令，解得x=0或x=3m，它们均不在（3m，3m+1]内．∴函数在（1，+∞）上无零点．（Ⅲ）由题设，若函数f（x）为k阶伸缩函数，有f（kx）=kf（x），且当x∈（1，k]时，f（x）的取值范围是[0，1）．∴当x∈（k n，k n+1]时，．∵，所以．∴当x ∈（k n ，k n+1]时，f （x ）∈[0，k n ）．当x ∈（0，1]时，即0＜x ≤1，则∃k （k ≥2，k ∈N *）使，∴1＜kx ≤k ，即kx ∈（1，k ]，∴f （kx ）∈[0，1）．又，∴，即．∵k ≥2，∴f （x ）在（0，k n+1]（n ∈N *）上的取值范围是[0，k n ）．【点评】本题考查函数值的求法，考查函数值无零点的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．2019年3月12日。

2018-2019学年北京市朝阳区高三(上)期末数学试卷(理科)(解析版)

2018-2019学年北京市朝阳区高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知集合A＝{x∈N|1≤x≤3}，B＝{2，3，4，5}，则A∪B＝（）A．{2}B．{2，3}C．{2，3，4，5}D．{1，2，3，4，5} 2．（5分）设复数z满足（1+i）z＝2i，则|z|＝（）A．B．C．D．23．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的S＝12，则输出的S＝（）A．﹣8B．﹣18C．5D．64．（5分）在平面直角坐标系xOy中，过A（4，4），B（4，0），C（0，4）三点的圆被x 轴截得的弦长为（）A．2B．C．4D．5．（5分）将函数y＝sin2x的图象向右平移φ（φ＞0）个单位后，图象经过点，则φ的最小值为（）A．B．C．D．6．（5分）设x为实数，则“x＜0”是“”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．（5分）对任意实数x，都有（a＞0且a≠1），则实数a的取值范围是（）A．B．（1，3]C．（1，3）D．[3，+∞）8．（5分）以棱长为1的正方体各面的中心为顶点，构成一个正八面体，再以这个正八面体各面的中心为顶点构成一个小正方体，那么该小正方体的棱长为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．9．（5分）已知数列{a n}为等差数列，S n为其前n项的和．若a1+a3＝6，a4＝7，则S5＝．10．（5分）已知四边形的顶点A，B，C，D在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，则＝．11．（5分）如图，在边长为1的正方形网格中，粗实线表示一个三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为．12．（5分）过抛物线y2＝4x焦点F的直线交抛物线于A，B两点，分别过A，B作准线l 的垂线，垂足分别为C，D．若|AF|＝4|BF|，则|CD|＝．13．（5分）2018年国际象棋奥林匹克团体赛中国男队、女队同时夺冠．国际象棋中骑士的移动规则是沿着3×2格或2×3格的对角移动．在历史上，欧拉、泰勒、哈密尔顿等数学家研究了“骑士巡游”问题：在8×8＝64格的黑白相间的国际象棋棋盘上移动骑士，是否可以让骑士从某方格内出发不重复地走遍棋盘上的每一格？图（一）给出了骑士的一种走法，它从图上标1的方格内出发，依次经过标2，3，4，5，6，…，到达标64的方格内，不重复地走遍棋盘上的每一格，又可从标64的方格内直接走回到标1的方格内．如果骑士的出发点在左下角标50的方格内，按照上述走法，（填“能”或“不能”）走回到标50的方格内．若骑士限制在图（二）中的3×4＝12格内按规则移动，存在唯一一种给方格标数字的方式，使得骑士从左上角标1的方格内出发，依次不重复经过2，3，4，5，6，…，到达右下角标12的方格内，分析图（二）中A处所标的数应为．14．（5分）如图，以正方形的各边为底可向外作四个腰长为1的等腰三角形，则阴影部分面积的最大值是．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）在△ABC中，已知A＝，BC＝13．（Ⅰ）求AB的长；（Ⅱ）求BC边上的中线AD的长．16．（13分）某日A，B，C三个城市18个销售点的小麦价格如表：（Ⅰ）甲以B市5个销售点小麦价格的中位数作为购买价格，乙从C市4个销售点中随机挑选2个了解小麦价格．记乙挑选的2个销售点中小麦价格比甲的购买价格高的个数为X，求X的分布列及数学期望；（Ⅱ）如果一个城市的销售点小麦价格方差越大，则称其价格差异性越大．请你对A，B，C三个城市按照小麦价格差异性从大到小进行排序（只写出结果）．17．（14分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧面BCC1B1是平行四边形，BC1⊥C1C，平面A1C1CA⊥平面BCC1B1，且E，F分别是BC，A1B1的中点．（Ⅰ）求证：EF∥平面A1C1CA；（Ⅱ）当侧面A1C1CA是正方形，且BC1＝C1C时，（ⅰ）求二面角F﹣BC1﹣E的大小；（ⅱ）在线段EF上是否存在点P，使得AP⊥EF？若存在，指出点P的位置；若不存在，请说明理由．18．（13分）已知函数f（x）＝xe x﹣（m≥0）．（Ⅰ）当m＝0时，求函数f（x）的极小值；（Ⅱ）当m＞0时，讨论f（x）的单调性；（Ⅲ）若函数f（x）在区间（﹣∞，1）上有且只有一个零点，求m的取值范围．19．（14分）过椭圆W：＝1的左焦点F1作直线l1交椭圆于A，B两点，其中A（0，1），另一条过F1的直线l2交椭圆于C，D两点（不与A，B重合），且D点不与点（0，﹣1）重合．过F1作x轴的垂线分别交直线AD，BC于E，G．（Ⅰ）求B点坐标和直线l1的方程；（Ⅱ）求证：|EF1|＝|F1G|．20．（13分）已知a1，a2，…，a n，…是由正整数组成的无穷数列，对任意n∈N*，a n满足如下两个条件：①a n是n的倍数；②|a n﹣a n+1|≤5．（Ⅰ）若a1＝30，a2＝32，写出满足条件的所有a3的值；（Ⅱ）求证：当n≥11时，a n≤5n；（Ⅲ）求a1所有可能取值中的最大值．2018-2019学年北京市朝阳区高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．【解答】解：集合A＝{x∈N|1≤x≤3}＝{1，2，3}，B＝{2，3，4，5}，∴A∪B＝{1，2，3，4，5}．故选：D．2．【解答】解：∵（1+i）z＝2i，∴（1﹣i）（1+i）z＝2i（1﹣i），z＝i+1．则|z|＝．故选：C．3．【解答】解：模拟程序的运行，可得S＝12，n＝1执行循环体，S＝10，n＝2不满足条件S+n≤0，执行循环体，S＝6，n＝3不满足条件S+n≤0，执行循环体，S＝0，n＝4不满足条件S+n≤0，执行循环体，S＝﹣8，n＝5满足条件S+n≤0，退出循环，输出S的值为﹣8．故选：A．4．【解答】解：根据题意，设过A、B、C的圆为圆M，其方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0，又由A（4，4），B（4，0），C（0，4），则有，解可得：D＝﹣4，E＝﹣4，F＝0，即圆M的方程为x2+y2﹣4x﹣4y＝0，令y＝0可得：x2﹣4x＝0，解可得：x1＝0，x2＝4，即圆与x轴的交点的坐标为（0，0），（4，0），则圆被x轴截得的弦长为4；故选：C．5．【解答】解：函数y＝sin2x的图象向右平移φ（φ＞0）个单位后，解析式为y＝sin2（x ﹣φ），又此时图象经过点，∴＝sin2（﹣φ），∴2（﹣φ）＝2kπ+或2kπ+，k∈Z．解得φ＝﹣kπ+或φ＝﹣kπ，k∈Z．又φ＞0，故它最小的值是，故选：B．6．【解答】解：1）若x＜0，﹣x＞0，则：；∴“x＜0“是““的充分条件；2）时，；解得x＜0；∴“x＜0“是““的必要条件；综上得，“x＜0”是“”的充分必要条件．故选：C．7．【解答】解：∵log a（e x+3）≥1＝log a a，∴若a＞1，则e x+3≥a恒成立，∵e x+3＞3，∴此时1＜a≤3，若0＜a＜1，则e x+3≤a恒成立，∵e x+3＞3，∴此时a无解，综上所述，1＜a≤3，即实数a的取值范围是（1，3]．故选：B．8．【解答】解：正方体C1各面中心为顶点的凸多面体C2为正八面体，它的中截面（垂直平分相对顶点连线的界面）是正方形，该正方形对角线长等于正方体的棱长，所以它的棱长a2＝＝，以C2各个面的中心为顶点的正方体为图形C3是正方体，正方体C3面对角线长等于C2棱长的，（正三角形中心到对边的距离等于高的），∴对角线为×＝，∴a3＝＝，即该小正方体的棱长为．故选：C．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．9．【解答】解：根据题意得，2a2＝6，∴a2＝3 又a4＝7，∴2d＝7﹣3＝4，∴d＝2，a1＝1，∴S5＝5a1+＝5+20＝25，故答案为：25．10．【解答】解：以AC的连线为x轴，过B点且垂直于AC的直线为y轴，建立如图所示平面直角坐标系，则：A（﹣4，0），C（3，0），D（﹣1，﹣2），B（0，2），；∴．故答案为：7．11．【解答】解：由三视图画出该三棱锥的直观图，如图所示；则三棱锥P﹣ABC的体积为V三棱锥P﹣ABC＝S△ABC•h＝××4×2×2＝．故答案为：．12．【解答】解：设直线AB的倾斜角为θ，并设θ为锐角，由于|AF|＝4|BF|，则有，解得，则，由抛物线的焦点弦长公式可得，因此，．故答案为：5．13．【解答】解：如图所示：如果骑士的出发点在左下角标50的方格内，按照上述走法，能走回到标50的方格内，如图所示：使得骑士从左上角标1的方格内出发，依次不重复经过2，3，4，5，6，…，到达右下角标12的方格，且路线是唯一的，故A处应该为8，故答案为：能，814．【解答】解：设等腰三角形的底角为θ，则θ∈（0，），则等腰三角形的底边为2cosθ，高为sinθ，则S阴＝（2cosθ）2+4×＝2sin2θ+2cos2θ+2＝2sin（2θ+）+2，又2（，），当2θ＝，即时，S阴取最大值2+2，故答案为：2+2．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．【解答】解：（Ⅰ）由，，所以，由正弦定理得，，即；（Ⅱ）在△ABD中，，由余弦定理得，AD2＝AB2+BD2﹣2AB•BD cos B，所以AD2＝，所以．16．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）B市共有5个销售点，其小麦价格从低到高排列为：2450，2460，2500，2500，2500．所以中位数为2500，所以甲的购买价格为2500．C市共有4个销售点，其小麦价格从低到高排列为：2400，2470，2540，2580，故X的可能取值为0，1，2．，，．所以分布列为：所以数学期望．………（10分）（Ⅱ）三个城市按小麦价格差异性从大到小排序为：C，A，B．………（13分）17．【解答】．证明：（Ⅰ）取A1C1中点G，连FG，连GC在△A1B1C1中，因为F，G分别是A1B1，A1C1中点，所以FG∥B1C1，且．在平行四边形BCC1B1中，因为E是BC的中点，所以EC∥B1C1，且．所以EC∥FG，且EC＝FG．所以四边形FECG是平行四边形．所以FE∥GC．又因为FE⊄平面A1C1CA，GC⊂平面A1C1CA，所以EF∥平面A1C1CA．…………………（4分）（Ⅱ）（ⅰ）因为侧面A1C1CA是正方形，所以A1C1⊥C1C．又因为平面A1C1CA⊥平面BCC1B1，且平面A1C1CA∩平面BCC1B1＝C1C，所以A1C1⊥平面BCC1B1．所以A1C1⊥C1B．又因为BC1⊥C1C，以C1为原点建立空间直角坐标系C1﹣xyz，如图所示．设C1C＝a，则A（0，a，a），B（a，0，0），C（0，a，0），A1（0，0，a），B1（a，﹣a，0），．设平面FBC1的一个法向量为n＝（x，y，z）．由得即令y＝1，所以n＝（0，1，1）．又因为A1C1⊥平面BC1E，所以是平面BC1E的一个法向量．所以．由图可知，二面角F﹣BC1﹣E为钝角，所以二面角F﹣BC1﹣E的大小为．故答案为：（ⅱ）假设在线段EF上存在点P，使得AP⊥EF．设，则．因为＝，又AP⊥EF，所以．所以λ＝0∈[0，1]．故点P在点E处时，有AP⊥EF．18．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）当m＝0时：f'（x）＝（x+1）e x，令f'（x）＝0解得x＝﹣1，又因为当x∈（﹣∞，﹣1），f'（x）＜0，函数f（x）为减函数；当x∈（﹣1，+∞），f'（x）＞0，函数f（x）为增函数．所以，f（x）的极小值为..…………（3分）（Ⅱ）f'（x）＝（x+1）（e x﹣m）．当m＞0时，由f'（x）＝0，得x＝﹣1或x＝lnm．（ⅰ）若，则．故f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增；（ⅱ）若，则lnm＞﹣1．故当f'（x）＞0时，x＜﹣1或x＞lnm；当f'（x）＜0时，﹣1＜x＜lnm．所以f（x）在（﹣∞，﹣1），（lnm，+∞）单调递增，在（﹣1，lnm）单调递减．（ⅲ）若，则lnm＜﹣1．故当f'（x）＞0时，x＜lnm或x＞﹣1；当f'（x）＜0时，lnm＜x＜﹣1．所以f（x）在（﹣∞，lnm），（﹣1，+∞）单调递增，在（lnm，﹣1）单调递减．．…………（8分）（Ⅲ）（1）当m＝0时，f（x）＝xe x，令f（x）＝0，得x＝0．因为当x＜0时，f（x）＜0，当x＞0时，f（x）＞0，所以此时f（x）在区间（﹣∞，1）上有且只有一个零点．（2）当m＞0时：（ⅰ）当时，由（Ⅱ）可知f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增，且，，此时f（x）在区间（﹣∞，1）上有且只有一个零点．（ⅱ）当时，由（Ⅱ）的单调性结合f（﹣1）＜0，又f（lnm）＜f（﹣1）＜0，只需讨论f（1）＝e﹣2m的符号：当时，f（1）＞0，f（x）在区间（﹣∞，1）上有且只有一个零点；当时，f（1）≤0，函数f（x）在区间（﹣∞，1）上无零点．（ⅲ）当时，由（Ⅱ）的单调性结合f（﹣1）＜0，f（1）＝e﹣2m＞0，，此时f（x）在区间（﹣∞，1）上有且只有一个零点．综上所述，..…………（13分）19．【解答】（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由题意可得直线l1的方程为y＝x+1．与椭圆方程联立，由可求．……………（4分）（Ⅱ）证明：当l2与x轴垂直时，C，D两点与E，G两点重合，由椭圆的对称性，|EF1|＝|F1G|．当l2不与x轴垂直时，设C（x1，y1），D（x2，y2），l2的方程为y＝k（x+1）（k≠1）．由消去y，整理得（2k2+1）x2+4k2x+2k2﹣2＝0．则，．由已知，x2≠0，则直线AD的方程为，令x＝﹣1，得点E的纵坐标．把y2＝k（x2+1）代入得．由已知，，则直线BC的方程为，令x＝﹣1，得点G的纵坐标．把y1＝k（x1+1）代入得．＝＝把，代入到2x1x2+3（x1+x2）+4中，2x1x2+3（x1+x2）+4＝．即y E+y G＝0，即|EF1|＝|F1G|..…………（14分）20．【解答】（Ⅰ）解：a3的值可取27，30，33，36；（Ⅱ）证明：由a n+1≤a n+5（n＝1，2，…），对于任意的n，有a n≤5（n﹣1）+a1．当n≥a1﹣4时，a n≤5（n﹣1）+a1，即a n≤5（n﹣1）+n+4，即a n≤6n﹣1．则a n＜6n成立．∵a n是n的倍数，∴当n≥a1﹣4时，有a n≤5n成立．若存在n使a n＞5n，依以上所证，这样的n的个数是有限的，设其中最大的为N．则a N＞5N，a N+1≤5（N+1）成立，∵a N是N的倍数，故a N≥6N．由5≥a N﹣a N+1≥6N﹣5（N+1）＝N﹣5，得N≤10．因此当n≥11时，a n≤5n；（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知a11≤55，∵a n≤a n+1+5且a n是n的倍数，∴a10，a9，…，a1满足下面的不等式：a10≤60，a9≤63，a8≤64，a7≤63，a6≤66，a5≤70，a4≤72，a3≤75，a2≤80，a1≤85．则a1＝85，a2＝80，a3＝75，a4＝72，a5＝70，a6＝66，a7＝63，a8＝64，a9＝63，a10＝60，当n≥11时，a n＝5n这个数列符合条件．故所求a1的最大值为85．。

2019年7月北京市朝阳区2018~2019学年度第二学期期末质量检测高一数学试题及参考答案

北京市朝阳区2018~2019学年度第二学期期末质量检测高一年级数学学科试卷 2019.7(考试时间120分钟满分 150分)本试卷分为选择题(共50分)和非选择题(共100分)两部分第一部分(选择题共50分)一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.直线310x y -+=的倾斜角为 A.π6B.π3C.2π3D.5π62.在ABC △中,43a =,4b =,π3A =,则B = A.π6B.π3C.π2D.2π33.已知直线1:1l y kx =+,2:(2)l y k x =-,若12l l ⊥,则实数k 的值是 A.0B.1C.1-D.0或1-4. 在正方体1111D C B A ABCD -中,,E F 分别是棱1,AA AB 的中点,则异面直线EF 和1C D 所成角的大小是 A.π6B.π4C.π3D.π25.已知,l m 是两条不同的直线,,αβ是两个不同的平面,则下列命题正确的是 A.若m l l ⊥,//α,则α⊥m B.若βα//,//l l ,则βα// C.若βαα⊥⊥,l ,则β//l D.若βα⊥⊥l l ,,则βα//6. 从某小学随机抽取100名学生,将他们的身高数据(单位：厘米)按[100,110),[110,120),[120,130),[130,140),[140,150]分组,绘制成频率分布直方图(如图).从身高在)130,120[,)140,130[,]150,140[三组内的学生中,用分层抽样的方法抽取18人参加一项活动,则从频率/组距0.0350.0300.0200.0100.005身高150140130120110100O身高在]150,140[内的学生中选取的人数应为 A. 3 B. 4 C.5 D.67.如图,设A ,B 两点在河的两岸,某测量者在A 同侧的河岸边选定一点C ,测出AC 的距离为50米,∠ACB ＝45°,∠CAB ＝105°,则A ,B 两点的距离为A.50 2 米B.50 3 米C.25 2 米D.5063米8. 如图,在正方体1111ABCD A B C D -中,F 是棱11A D 上的动点.下列说法正确的是 A.对任意动点,F 在平面11ADD A 内不存在．．．与平面CBF 平行的直线 B.对任意动点,F 在平面ABCD 内存在．．与平面CBF 垂直的直线 C.当点F 从1A 运动到1D 的过程中,二面角F BC A --的大小不变．．D.当点F 从1A 运动到1D 的过程中,点D 到平面CBF 的距离逐渐变大．．9. 2018年科学家在研究皮肤细胞时发现了一种特殊的凸多面体, 称之为“扭曲棱柱”. 对于空间中的凸多面体, 数学家欧拉发现了它的顶点数, 棱数与面数存在一定的数量关系.凸多面体顶点数棱数面数三棱柱 6 9 5 四棱柱 8 12 6 五棱锥 6 10 6 六棱锥7127根据上表所体现的数量关系可得有12个顶点,8个面的扭曲棱柱的棱数是 A.14 B.16 C.18 D.2010.已知二次函数22(0)y x x m m =-+≠交x 轴于,A B 两点(,A B 不重合),交y 轴于C 点. 圆M 过,,A B C 三点.下列说法正确的是 ① 圆心M 在直线1x =上； ② m 的取值范围是(0,1)； ③ 圆M 半径的最小值为1； ④ 存在定点N ,使得圆M 恒过点N .A.①②③B.①③④C.②③D.①④FD 1C 1B 1A 1DCBA第二部分(非选择题共100分)二、填空题：本大题共6小题,每小题5分,共30分.11. 某学校甲、乙两个班各15名学生参加环保知识竞赛,成绩的茎叶图如下：乙甲629744174498752124678952149786987654则这30名学生的最高成绩是；由图中数据可得班的平均成绩较高. 12.在ABC △中,已知7,2,60a c A ===︒,则b = .13.某几何体是由一个正方体去掉一个三棱柱所得,其三视图如图所示.如果网格纸上小正方形的边长为1,那么该几何体的体积是 .14.已知直线60x ay ++=与圆228x y +=交于,A B 两点,若22AB =,则a =______.15.已知,αβ是两个不同平面,直线l α⊄. 给出下面三个论断： ①//l α ②l β⊥ ③αβ⊥以其中两个论断作为条件,余下的一个论断作为结论,写出一个正确的命题_______. 16.已知两条直线1y x =+, (1)y k x =-将圆221x y +=及其内部划分成三个部分, 则k 的取值范围是；若划分成的三个部分中有两部分的面积相等, 则k 的取值有_______种可能.三、解答题：本大题共4小题,共70分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 17.(本小题满分16分)如图,在ABC △中,D 是AB 的中点,3BC =,3B π=,BCD △的面积为332.(Ⅰ)求,AB AC 的长；(Ⅱ)求sin A 的值；(Ⅲ)判断ABC △是否为锐角三角形,并说明理由.俯视图侧（左）视图正（主）视图DCA B18.(本小题满分18分)某市从高二年级随机选取1000名学生,统计他们选修物理、化学、生物、政治、历史和地理六门课程(前3门为理科课程,后3门为文科课程)的情况,得到如下统计表,其中“√”表示选课,“空白”表示未选.科目方案人数物理化学生物政治历史地理一 220 √ √ √ 二 200 √ √ √ 三 180 √ √ √ 四 175 √ √ √ 五135√√√六90 √ √ √ (Ⅰ)在这1000名学生中,从选修物理的学生中随机选取1人,求该学生选修政治的概率； (Ⅱ)在这1000名学生中,从选择方案一、二、三的学生中各选取2名学生,如果在这6名学生中随机选取2名,求这2名学生除选修物理以外另外两门选课中有相同科目的概率； (Ⅲ)利用表中数据估计该市选课偏文(即选修至少两门文科课程)的学生人数多还是偏理(即选修至少两门理科课程)的学生人数多,并说明理由. 19. (本小题满分18分)如图,在多面体ABCDEF 中,平面ADEF ⊥平面ABCD ,四边形ADEF 为正方形,四边形ABCD 为梯形,且//AD BC ,90BAD ∠=︒,12AB AD BC ==. (Ⅰ)求证：//AD 平面BCEF ； (Ⅱ)求证：BD ⊥平面CDE ；(Ⅲ)在线段BD 上是否存在点M ,使得//CE 平面AMF ？若存在,求出BMDM的值；若不存在,请说明理由. 20.(本小题满分18分)在平面直角坐标系xOy 中,已知(1,1),(2,1),(,)A B C m n ---为三个不同的定点.以原点O 为圆心的圆与线段,,AB AC BC 都相切.(Ⅰ)求圆O 的方程及,m n 的值；(Ⅱ)若直线:()l y x t t =-+∈R 与圆O 相交于,M N 两点,且12OM ON ⋅=-,求t 的值； (Ⅲ)在直线AO 上是否存在异于A 的定点Q ,使得对圆O 上任意一点P ,都有(PAPQλλ=为常数)？若存在,求出点Q 的坐标及λ的值；若不存在,请说明理由.北京市朝阳区2018~2019学年度第二学期期末质量检测FEDCBA高一年级数学学科试卷答案 2019.7一、选择题：(本题满分50分) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案BABDDAACCD二、填空题：(本题满分30分) 题号111213141516答案96 乙 3 65±①②⇒③ (答案不唯一, 或②③⇒①)(,1][0,)-∞-+∞ 3三、解答题：(本题满分70分) 17. (本小题满分16分) 解：(Ⅰ)由11333sin 32222BCD S BC BD B BD =⋅⋅=⨯⨯⨯=△,得2BD =. 因为D 是AB 的中点,所以4AB =.在ABC △中,由余弦定理得2222cos AC AB BC AB BC B =+-⋅⋅.故1691213AC =+-=. ………………………………………………………6分 (Ⅱ)在ABC △中,由正弦定理,sin sin AC BCB A=. 所以333392sin 2613A ⨯==. ………………………………………………………11分(Ⅲ)ABC △是锐角三角形.因为在ABC △中,4,3,13AB BC AC ===. 所以AB 是最大边,故ACB ∠是最大角. 且222AC BC AB +>.所以ACB ∠为锐角.所以ABC △为锐角三角形. …………………………………………………………16分18.(本小题满分18分)解：(Ⅰ)设事件A 为“在这1000名学生中,从选修物理的学生中随机选取1人,该学生选修政治”.在这1000名学生中,选修物理的学生人数为220200180600++=, 其中选修政治的学生人数为220, 所以22011()60030P A ==. 故在这1000名学生中,从选修物理的学生中随机选取1人,该学生选修政治的概率为1130. ……………………………………………………………6分(Ⅱ)设这六名学生分别为A 1,A 2,B 1,B 2,C 1,C 2,其中A 1,A 2选择方案一,B 1,B 2选择方案二,C 1,C 2选择方案三.从这6名学生中随机选取2名,所有可能的选取方式为A 1A 2,A 1B 1,A 1B 2,A 1C 1,A 1C 2,A 2B 1,A 2B 2,A 2C 1,A 2C 2,B 1B 2,B 1C 1,B 1C 2,B 2C 1,B 2C 2,C 1C 2,共有15种选取方式. 记事件B 为“这2名学生除选修物理以外另外两门选课中有相同科目”.在15种选取方式中,这2名学生除选修物理以外另外两门选课中有相同科目的选取方式有A 1A 2,B 1B 2,C 1C 2,B 1C 1,B 1C 2,B 2C 1,B 2C 2,A 1C 1,A 1C 2,A 2C 1,A 2C 2,共11种,因此11()15P B =.……………………………………………………14分(Ⅲ)在选取的1000名学生中,选修至少两门理科课程的人数为220200180600++=人, 频率为600310005=. 选修至少两门文科课程的人数为175********++=人, 频率为400210005=. 从上述数据估计该市选课偏理的学生人数多. …………………………………………18分 19.(本小题满分18分)解：(Ⅰ)因为四边形ADEF 为正方形,所以//AD EF ,由于EF ⊂平面BCEF ,AD ⊄平面BCEF ,所以//AD 平面BCEF . …………………………………………………………5分(Ⅱ)因为四边形ADEF 为正方形,所以DE AD ⊥.平面ADEF ⊥平面ABCD , 平面ADEF平面ABCD AD =,所以DE ⊥平面ABCD . 所以DE BD ⊥.取BC 中点N ,连接DN .由//BN AD ,BN AD =,90BAD ∠=︒, 可得四边形ABND 为正方形. 所以DN AB =. 所以12DN BC =. 所以BD CD ⊥. 因为CDDE D =,所以BD ⊥平面CDE . ……………………………………12分(Ⅲ)存在,当M 为BD 的中点时,//CE 平面AMF ,此时1BMDM=. 证明如下：连接AN 交BD 于点M , 由于四边形ABND 为正方形,所以M 是BD 的中点,同时也是AN 的中点. 因为,//NC AD NC AD =, 又四边形ADEF 为正方形, 所以,//NC FE NC FE =,连接NF , 所以四边形NCEF 为平行四边形. 所以//CE NF .又因为NF ⊂平面AMF ,CE ⊄平面AMF ,所以//CE 平面AMF . ………………………………………………………18分NFEDCBANMF EDCBA20. (本小题满分18分)解：(Ⅰ)由于圆O 与线段AB 相切,所以半径1r =.即圆O 的方程为221x y +=.又由题221x y +=与线段AC 相切,所以线段AC 方程为1x =-.即1m =-.故直线BC 的方程为(1)3210n x y n ++-+=.由直线BC 和圆O 相切可得：2121(1)9n n -=++,解得3n =或1n =-.由于,A C 为不同的点,所以3n =. ……………………5分 (Ⅱ)设11(,)M x y ,22(,)N x y ,则121212OM ON x x y y ⋅=+=-. 由22,1,y x t x y =-+⎧⎨+=⎩可得222210x tx t -+-=,2248(1)0t t ∆=-->,解得22t -<<.所以212121,2t x x t x x -+==.故222221212121211()()()22t t y y x t x t x x x x t t t t --=-+-+=-++=-+=. 所以22212121111222t t x x y y t --+=+=-=-. 所以212t =.故22t =±. …………………………………………………………11分(Ⅲ)设00(,),(,)Q x y P x y .则22(1)(1)PA x y =+++,2200()()PQ x x y y =-+-.若在直线AO 上存在异于A 的定点Q ,使得对圆O 上任意一点P ,都有(PA PQλλ=为常数)等价于222200(1)(1)()()x y x x y y λ+++=-+-对圆O 上任意点(,)P x y 恒成立.即22222200(1)(1)()()x y x x y y λλ+++=-+-.整理得222222220000(1)()(22)(22)2()0x y x x y y x y λλλλ-++++++-+=.因为点Q 在直线AO 上,所以00x y =.由于P 在圆O 上,所以221x y +=.故222200(22)()320x x y x λλλ+++--=对任意[2,2]x y +∈-恒成立.所以202220220,320.x x λλλ⎧+=⎪⎨--=⎪⎩显然0λ≠,所以021x λ=-.故22230λλ--=,因为0λ>,解得2λ=或1λ=.当1λ=时,(1,1)Q --,此时,Q A 重合,舍去. 当2λ=时,11(,)22Q --,综上,存在满足条件的定点11(,)22Q --,此时2λ=. ………………………18分。

北京市朝阳区2018届高三上学期期末考试数学(理)试题含答案

北京市朝阳区2019-2020学年度第一学期期末质量检测数学试卷（理工类） 2018.1（考试时间120分钟满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知集合{}|(2)0A x x x =-<，{}|ln 0B x x =>，则A B I 是A. {}|12x x <<B.{}|02x x <<C. {}|0x x >D.{}|2x x > 2. 已知i 为虚数单位，设复数z 满足i 3z +=，则z =A.3B. 4C.10D.103. 在平面直角坐标系中，以下各点位于不等式(21)(3)0x y x y +--+>表示的平面区域内的是 A.(00)， B.(20)-， C.(01)-， D. (02)，4.“2sin 2α=”是“cos2=0α”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 5. 某四棱锥的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，则该四棱锥的体积为A. 4B.43C.423D.42 6. 已知圆22(2)9x y -+=的圆心为C .直线l 过点(2,0)M -且与x 轴不重合，l 交圆C 于,A B 两点，点A 在点M ，B 之间.过M 作直线AC 的平行线交直线BC 于点P ，则点P 的轨迹是A. 椭圆的一部分B. 双曲线的一部分C. 抛物线的一部分D. 圆的一部分7. 已知函数()f x x x a =⋅-的图象与直线1y =-的公共点不少于两个，则实数a 的取值范围是A.2a <-B.2a ≤-C.20a -≤<D.2a >- 8. 如图1，矩形ABCD 中，AD =.点E 在AB 边上，CE DE ⊥且1AE =. 如图2，ADE △沿直线DE 向上折起成1A DE △．记二面角1A DE A --的平面角为θ，当θ()00180∈o ，时，① 存在某个位置，使1CE DA ⊥； ② 存在某个位置，使1DE AC ⊥；③ 任意两个位置，直线DE 和直线1A C 所成的角都不相等.以上三个结论中正确的序号是A. ①B. ①②C. ①③D. ②③第二部分（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上. 9. 已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线则双曲线的渐近线方程为 .10. 执行如图所示的程序框图，输出S 的值为 . 11.YABCD 中，,E F 分别为边,BC CD 中点，若 AF x AB y AE =+u u u r u u u r u u u r（,x y ∈R ），则+=x y _________.12. 已知数列{}n a 满足11n n n a a a +-=-（2n ≥），1a p =，2a q =(,p q ∈R ).设1nn i i S a ==∑，则10a= ;2018S = .（用含,p q 的式子表示）13. 伟大的数学家高斯说过：几何学唯美的直观能够帮助我们了解大自然界的基本问题.一位同学受到启发，借助以下两个相同的矩形图形，按以下步骤给出了不等式：22222()()()ac bd a b c d +≤++的一种“图形证明”.bb cdaca cbC BA证明思路：（1）左图中白色区域面积等于右图中白色区域面积；（2）左图中阴影区域的面积为ac bd +，右图中，设BAD θ∠=，右图阴影区域的面积可表示为_________（用含a b c d ,,,，θ的式子表示）；（3）由图中阴影面积相等，即可导出不等式22222()()()ac bd a b c d +≤++. 当且仅当,,,a b c d 满足条件__________________时，等号成立.14. 如图，一位同学从1P 处观测塔顶B 及旗杆顶A ，得仰角分别为α和90α-o . 后退l (单位m)至点2P 处再观测塔顶B ，仰角变为原来的一半，设塔CB 和旗杆BA 都垂直于地面，且C ，1P ，2P 三点在同一条水平线上，则塔CB 的高为 m ；旗杆BA 的高为 m.（用含有和的式子表示）三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15. (本小题满分13分)已知函数21()sin cos sin 2f x x x x =-+. （Ⅰ）求()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC 中,,,a b c 为角,,A B C 的对边，且满足cos2cos sin b A b A a B =-，且02A π<<，求()f B 的取值范围. 16. (本小题满分13分)为了治理大气污染，某市2017年初采用了一系列措施，比如“煤改电”，“煤改气”，“国Ⅰ，Ⅱ轻型汽油车限行”，“整治散乱污染企业”等.下表是该市2016年和2017年12月份的空气质量指数（AQI ）（AQI 指数越小，空气质量越好）统计表. 表1：2016年12月AQI 指数表：单位（3g /m μ）P 21BC表2：2017年12月AQI 指数表：单位（3g /m μ）根据表中数据回答下列问题：（Ⅰ）求出2017年12月的空气质量指数的极差；（Ⅱ）根据《环境空气质量指数（AQI ）技术规定（试行）》规定：当空气质量指数为0～50时，空气质量级别为一级.从2017年12月12日到12月16这五天中，随机抽取三天，空气质量级别为一级的天数为ξ，求ξ的分布列及数学期望；（Ⅲ）你认为该市2017年初开始采取的这些大气污染治理措施是否有效?结合数据说明理由.17. (本小题满分14分)如图，在三棱柱111ABC A B C -中，90ACB ∠=o ，D 是线段AC 的中点，且1A D ⊥ 平面ABC ．（Ⅰ）求证：平面1A BC ⊥平面11AAC C ；（Ⅱ）求证：1//B C 平面1A BD ；（Ⅲ）若11A B AC ⊥，2AC BC ==，求二面角1A A B C --的余弦值.ACBB 1C 1A 1D18. (本小题满分13分)已知函数()cos f x x x a =+，a ∈R . （Ⅰ）求曲线()y f x =在点2x π=处的切线的斜率；（Ⅱ）判断方程()0f x '=（()f x '为()f x 的导数）在区间()0,1内的根的个数，说明理由；（Ⅲ）若函数()sin cos F x x x x ax =++在区间(0,1)内有且只有一个极值点，求a 的取值范围.19. (本小题满分14分)已知抛物线:C 24x y =的焦点为F ,过抛物线C 上的动点P （除顶点O 外）作C 的切线l 交x 轴于点T .过点O 作直线l 的垂线OM （垂足为M ）与直线PF 交于点N .（Ⅰ）求焦点F 的坐标；（Ⅱ）求证：FT MN P ；（Ⅲ）求线段FN 的长.20. (本小题满分13分)已知集合{}12,,...,n P a a a =，其中i a ∈R ()1,2i n n ≤≤>.()M P 表示+i j a a 1)i j n ≤<≤（中所有不同值的个数.（Ⅰ）若集合{}1,3,57,9P =，，求()M P ；（Ⅱ）若集合{}11,4,16,...,4n P -=，求证：+ija a的值两两不同，并求()M P ；（Ⅲ）求()M P 的最小值.（用含n 的代数式表示）北京市朝阳区2019-2020学年度第一学期期末质量检测高三年级数学试卷答案（理工类） 2018.1一、选择题（40分）二、填空题（30分）三、解答题（80分） 15. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）由题知111()sin 2(1cos 2)222f x x x =--+ 11=sin 2cos 222x x +=sin(2)24x π+. 由222242k x k ππππ-≤+≤π+（k ∈Z ），解得 88k x k 3πππ-≤≤π+ .所以()f x 单调递增区间为3[,]88k k πππ-π+（k ∈Z ）. …………… 6分（Ⅱ）依题意，由正弦定理，sin cos2sin cos sin sin B A B A A B =-.因为在三角形中sin 0B ≠，所以cos2cos sin A A A =-. 即(cos sin )(cos sin 1)0A A A A -+-= 当cos sin A A =时，4A π=；当cos sin 1A A +=时，2A π=. 由于02A π<<，所以4A π=. 则3+4BC =π. 则304B <<π.又2444B ππ7π<+<，所以1sin(2)14B π-≤+≤.由())24f B B π=+，则()f B的取值范围是22⎡-⎢⎣⎦，. ……………… 13分 16. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）2017年12月空气质量指数的极差为194. …………………3分（Ⅱ）ξ可取1，2，31232353(1)10C C P C ξ===；2132356(2)10C C P C ξ===；3032351(3)10C C P C ξ===. ξ的分布列为所以123 1.8101010E ξ=⨯+⨯+⨯= . ………………9分（Ⅲ）这些措施是有效的.可以利用空气质量指数的平均数，或者这两年12月空气质量指数为优的概率等来进行说明.………………13分17. （本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为90ACB ∠=o ，所以BC AC ⊥．根据题意， 1A D ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以1A D BC ⊥．因为1A D AC D =I ，所以BC ⊥平面11AAC C ．又因为BC ⊂平面1A BC ，所以平面1A BC ⊥平面11AAC C ． ………………4分（Ⅱ）证明：连接1AB ，设11AB A B E =I ，连接DE．根据棱柱的性质可知，E 为1AB 的中点，因为D 是AC 的中点，所以1//DE B C ．又因为DE ⊂平面1A BD ，1B C ⊄平面1A BD ，所以1//B C 平面1A BD ． ………………8分（Ⅲ）如图，取AB 的中点F ，则//DF BC ，因为BC AC ⊥，所以DF AC ⊥，又因为1A D ⊥平面ABC ，所以1,,DF DC DA 两两垂直．以D 为原点，分别以1,,DF DC DA 为,,x y z 轴建立空间坐标系（如图）. 由（Ⅰ）可知，BC ⊥平面11AAC C , 所以1BC AC ⊥．又因为11A B AC ⊥，1BC A B B =I , 所以1AC ⊥平面1A BC ，所以11AC AC ⊥，所以四边形11AAC C 为菱形．由已知2AC BC ==，则()0,1,0A -，()0,1,0C ，()2,1,0B ，(1A ．设平面1A AB 的一个法向量为(),,x y z =n ，因为(1AA =u u u r ，()2,2,0AB =u u u r ，所以10,0,AA AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u ru u u r n n ，即0,220.y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ 设1z =，则)=n ．ACB B 1C 1A 1DE 1再设平面1A BC 的一个法向量为()111,,x y z =m ，因为(10,CA =-u u u r ，()2,0,0CB =u u u r ，所以10,0,CA CB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u ru u u r m m，即1110,20. y x ⎧-=⎪⎨=⎪⎩ 设11z =，则()=m ．故cos ,⋅〈〉===⋅m n m n m n 由图知，二面角1A A B C --的平面角为锐角，所以二面角1A A B C --． …………14分 18. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）()cos sin f x x x x '=-.ππ()22k f '==-. …………3分（Ⅱ）设()()g x f x '=，()sin (sin cos )2sin cos g x x x x x x x x '=--+=--.当(0,1)x ∈时，()0g x '<，则函数()g x 为减函数. 又因为(0)10g =>，(1)cos1sin10g =-<, 所以有且只有一个0(0,1)x ∈，使0()0g x =成立.所以函数()g x 在区间()0,1内有且只有一个零点.即方程()0f x '=在区间()0,1内有且只有一个实数根. ……………7分（Ⅲ）若函数在区间内有且只有一个极值点，由于，即在区间内有且只有一个零点，且在两侧异号.因为当时，函数为减函数，所以在上，，即成立，函数为增函数；在上，，即成立，函数为减函数,则函数在处取得极大值0()f x .当时，虽然函数在区间内有且只有一个零点，但在两侧同号，不满足在区间内有且只有一个极值点的要求.由于，显然. 若函数在区间内有且只有一个零点，且在两侧异号，则只需满足：(0)0,(1)0,f f <⎧⎨≥⎩即0,cos10,a a <⎧⎨+≥⎩解得. ……………13分 19. （本小题满分14分）解：（Ⅰ） (0,1)F ……………2分（Ⅱ）设00(,)P x y .由24x y =，得214y x =，则过点P 的切线l 的斜率为0012x x k y x ='==. 则过点P 的切线l 方程为2001124y x x x =-.令0y =，得012T x x =，即01(,0)2T x .又点P 为抛物线上除顶点O 外的动点，00x ≠，则02TF k x =-.而由已知得MN l ⊥，则02MN k x =-. 又00x ≠，即FT 与MN 不重合，即FT MN P . …………6分（Ⅲ）由(Ⅱ)问，直线MN 的方程为02y x x =-，00x ≠.直线PF 的方程为0011y y x x --=，00x ≠.设MN 和PF 交点N 的坐标为(,)N N N x y 则0002.........(1)11..........(2)N N N N y x x y y x x ⎧=-⎪⎪⎨-⎪=+⎪⎩由（1）式得，02N N x x y =-（由于N 不与原点重合，故0N y ≠）.代入（2），化简得02N N y y y -=()0N y ≠.又2004x y =，化简得,22(1)1N N x y +-= （0N x ≠）.即点N 在以F 为圆心，1为半径的圆上.（原点与()0,2除外）即1FN =. …………14分20. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）()=7M P ； ………… 3分（Ⅱ）形如和式+i j a a 1)i j n ≤<≤（共有2(1)2n n n C -=项，所以(1)()2n n M P -≤. 对于集合{}11,4,16,...,4n -中的和式+i ja a ，+p q a a 1,1)i j n p q n ≤<≤≤<≤（：当j q =时，i p ≠时，++i j p q a a a a ≠；当j q ≠时，不妨设j q <，则121+24j i j jj q p q a a a a a a a -+<=<≤<+. 所以+i j a a 1)i j n ≤<≤（的值两两不同. 且(1)()=2n n M P -. ………… 8分（Ⅲ）不妨设123...n a a a a <<<<，可得1213121++...++...+n n n n a a a a a a a a a a -<<<<<<.+i j a a 1)i j n ≤<≤（中至少有23n -个不同的数.即()23M P n ≥-.设12,,...,n a a a 成等差数列，11,()+=,()i j n n i j i j a a i j n a a a a i j n +-+-++>⎧⎪⎨++≤⎪⎩，则对于每个和式+i j a a 1)i j n ≤<≤（，其值等于1+p a a （2p n ≤≤）或+q n a a (11)q n ≤≤-中的一个.去掉重复的一个1n a a +,所以对于这样的集合P ,()23M P n =-.则()M P 的最小值为23n -. ……………13分。

北京市朝阳区2018-2019高三数学期末考试(理科)试题(解析版)

北京市朝阳区2018-2019学年度第一学期期末质量检测高三年级数学试卷（理工类）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知集合，，则A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用并集定义直接求解．【详解】集合A＝{x∈N|1≤x≤3}＝{1，2，3}，B＝{2，3，4，5}，∴A∪B＝{1，2，3，4，5}．故选：D．【点睛】本题考查并集的求法，考查并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.设复数满足，则=A. B. C. 2 D.【答案】B【解析】【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．【详解】由（1﹣i）z＝2i，得z，∴|z|．故选：B．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．3.执行如图所示的程序框图，若输入的，则输出的=A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据框图的流程依次计算程序运行的结果，直到满足条件跳出循环，确定输出S的值【详解】模拟程序的运行，可得S＝12，n＝1执行循环体，S＝10，n＝2不满足条件S+n≤0，执行循环体，S＝6，n＝3不满足条件S+n≤0，执行循环体，S＝0，n＝4不满足条件S+n≤0，执行循环体，S＝﹣8，n＝5满足条件S+n≤0，退出循环，输出S的值为﹣8．故选：A．【点睛】解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.4.在平面直角坐标系中，过三点的圆被轴截得的弦长为A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用待定系数法求出圆的一般方程，令y＝0可得：x2﹣4x＝0，由此即可得到圆被轴截得的弦长.【详解】根据题意，设过A、B、C的圆为圆M，其方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0，又由A（4，4），B（4，0），C（0，4），则有，解可得：D＝﹣4，E＝﹣4，F＝0，即圆M的方程为x2+y2﹣4x﹣4y＝0，令y＝0可得：x2﹣4x＝0，解可得：x1＝0，x2＝4，即圆与x轴的交点的坐标为（0，0），（4，0），则圆被x轴截得的弦长为4；故选：A．【点睛】本题考查直线与圆的方程的应用，涉及待定系数法求圆的方程，关键是求出圆的方程．5.将函数的图象向右平移个单位后，图象经过点，则的最小值为A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据三角函数平移变换的规律得到向右平移φ（φ＞0）个单位长度的解析式，将点带入求解即可．【详解】将函数y＝sin2x的图象向右平移φ（φ＞0）个单位长度，可得y＝sin2（x﹣φ）＝sin（2x﹣2φ），图象过点，∴sin（2φ），即2φ2kπ，或2kπ，k∈Z，即φ 或，k ∈Z ，∵φ＞0，∴φ的最小值为．故选：B ．【点睛】本题主要考查了函数y ＝A sin （ωx +φ）的图象变换规律，考查计算能力，属于基础题． 6.设为实数，则是 “”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】由“x ＜0”易得“”，反过来，由“”可得出“x ＜0”，从而得出“x ＜0”是“”的充分必要条件．【详解】若x ＜0，﹣x ＞0，则：；∴“x ＜0“是““的充分条件；若，则；解得x ＜0； ∴“x ＜0“是““的必要条件；综上得，“x ＜0”是“”的充分必要条件．故选：C ．【点睛】充分、必要条件的三种判断方法．1．定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“⇒”为真，则是的充分条件．2．等价法：利用⇒与非⇒非，⇒与非⇒非，⇔与非⇔非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若⊆，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件． 7.对任意实数，都有（且），则实数的取值范围是A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意可得a＞1且a≤e x+3对任意实数x都成立，根据指数函数的性质即可求出．【详解】∵log a（e x+3）≥1＝log a a，∴a＞1且a≤e x+3对任意实数x都成立，又e x+3＞3，∴1＜a≤3，故选：B【点睛】本题考查了对数的运算性质和函数恒成立的问题，属于中档题．8.以棱长为1的正方体各面的中心为顶点，构成一个正八面体，再以这个正八面体各面的中心为顶点构成一个小正方体，那么该小正方体的棱长为A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用正八面体与大小正方体的关系，即可得到结果.【详解】正方体C1各面中心为顶点的凸多面体C2为正八面体，它的中截面（垂直平分相对顶点连线的界面）是正方形，该正方形对角线长等于正方体的棱长，所以它的棱长a2；以C2各个面的中心为顶点的正方体为图形C3是正方体，正方体C3面对角线长等于C2棱长的，（正三角形中心到对边的距离等于高的），因此对角线为，所以a，3故选：【点睛】本题考查组合体的特征，抓住两个组合体主元素的关系是解题的关键，考查空间想象能力，属于中档题.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．9.已知数列为等差数列，为其前项的和.若，，则_______.【答案】【解析】【分析】运用等差数列的前n项和公式可解决此问题．【详解】根据题意得，2＝6，∴＝3 又＝7，∴2d＝7﹣3＝4，∴d＝2，＝1，∴S＝55+20＝25，5故答案为：25．【点睛】本题考查等差数列的前n项和公式的应用．10.已知四边形的顶点A，B，C，D在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，则____________.【答案】【解析】【分析】以A为坐标原点，以AC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，分别求出的坐标，由数量积的坐标运算得答案．【详解】如图，以A为坐标原点，以AC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则A（0，0），B（4，2），C（7，0），D（3，﹣2），∴，，∴7×1+0×4＝7．故答案为：7．【点睛】本题考查平面向量数量积的性质及其运算，合理构建坐标系是解题的关键，是基础的计算题．11.如图，在边长为1的正方形网格中，粗实线表示一个三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为_______________．【答案】【解析】【分析】由三视图还原几何体，该几何体为三棱锥，底面三角形ACB与侧面三角形APB为全等的等腰直角三角形，侧面PAB⊥侧面ACB，AB＝4，PO＝OC＝2，由此即可得到结果．【详解】由三视图还原原几何体如图，该几何体为三棱锥，底面三角形ACB与侧面三角形APB为全等的等腰直角三角形，侧面PAB⊥侧面ACB，AB＝4，PO＝OC＝2．侧面PAC与PBC为全等的等边三角形．则该三棱锥的体积为V＝．故答案为：．【点睛】本题考查由三视图求体积，关键是由三视图还原原几何体，考查空间想象能力及运算能力，是中档题．12.过抛物线焦点的直线交抛物线于两点，分别过作准线的垂线，垂足分别为.若，则__________________.【答案】【解析】【分析】设直线AB的倾斜家为锐角θ，由|AF|＝4|BF|，可解出cosθ的值，进而得出sinθ的值，然后利用抛物线的焦点弦长公式计算出线段AB的长，再利用|CD|＝|AB|sinθ可计算出答案．【详解】设直线AB的倾斜角为θ，并设θ为锐角，由于|AF|＝4|BF|，则有，解得，则，由抛物线的焦点弦长公式可得，因此，．故答案为：5．【点睛】本题考查抛物线的性质，解决本题的关键在于灵活利用抛物线的焦点弦长公式，属于中等题．13.2018年国际象棋奥林匹克团体赛中国男队、女队同时夺冠.国际象棋中骑士的移动规则是沿着3×2格或2×3格的对角移动.在历史上，欧拉、泰勒、哈密尔顿等数学家研究了“骑士巡游”问题：在格的黑白相间的国际象棋棋盘上移动骑士，是否可以让骑士从某方格内出发不重复地走遍棋盘上的每一格？图（一）给出了骑士的一种走法，它从图上标1的方格内出发，依次经过标2,3,4,5,6,,到达标64的方格内，不重复地走遍棋盘上的每一格，又可从标64的方格内直接走回到标1的方格内.如果骑士的出发点在左下角标50的方格内，按照上述走法，_____（填“能”或“不能”）走回到标50的方格内.若骑士限制在图（二）中的3×4=12格内按规则移动，存在唯一一种给方格标数字的方式，使得骑士从左上角标1的方格内出发，依次不重复经过2,3,4,5,6,,到达右下角标12的方格内，分析图（二）中A处所标的数应为____.【答案】(1). 能(2).【解析】【分析】根据题意，画出路线图，解判断是否能，再根据题意，结合题目中的数字，即可求出A处的数字．【详解】如图所示：如果骑士的出发点在左下角标50的方格内，按照上述走法，能走回到标50的方格内，如图所示：使得骑士从左上角标1的方格内出发，依次不重复经过2，3，4，5，6，…，到达右下角标12的方格，且路线是唯一的，故A处应该为8，故答案为：能，8【点睛】本题考查了合情推理的问题，考查了转化与化归思想，整体和部分的思想，属于中档题14.如图，以正方形的各边为底可向外作四个腰长为1的等腰三角形，则阴影部分面积的最大值是___________.【答案】【解析】【分析】设等腰三角形底角为，阴影面积为，根据正弦函数的图象与性质即可得到结果.【详解】设等腰三角形底角为，则等腰三角形底边长为高为，阴影面积为：,当时，阴影面积的最大值为故答案为：【点睛】本题考查平面图形的面积问题，考查三角函数的图象与性质，解题关键用等腰三角形底角为表示等腰三角形的底边与高.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15.在中，已知，（1）求的长；（2）求边上的中线的长.【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)利用同角关系得到，结合正弦定理即可得到的长；（2）在中求出，结合余弦定理即可得到边上的中线的长. 【详解】解：（1）由，，所以.由正弦定理得，，即.（2）在中，.由余弦定理得，,所以.所以.【点睛】本题考查正余弦定理的应用，考查推理及运算能力，属于中档题.16.某日A,B,C三个城市18个销售点的小麦价格如下表：（1）甲以B市5个销售点小麦价格的中位数作为购买价格，乙从C市4个销售点中随机挑选2个了解小麦价格.记乙挑选的2个销售点中小麦价格比甲的购买价格高的个数为，求的分布列及数学期望；（2）如果一个城市的销售点小麦价格方差越大，则称其价格差异性越大.请你对A,B,C三个城市按照小麦价格差异性从大到小进行排序（只写出结果）.【答案】（1）分布列见解析，期望为1（2）C,A,B【解析】【分析】(1)由题意可得的可能取值为0，1，2.求出相应的概率值，即可得到的分布列及数学期望；（2）三个城市按照价格差异性从大到小排列为：C，A，B．【详解】解：（1）B市共有5个销售点，其小麦价格从低到高排列为：2450，2460，2500，2500，2500.所以中位数为2500，所以甲的购买价格为2500.C市共有4个销售点，其小麦价格从低到高排列为：2400，2470，2540，2580，故的可能取值为0，1，2.，，.所以分布列为所以数学期望.（2）三个城市按小麦价格差异性从大到小排序为：C,A,B【点睛】求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；第二步是:“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式（常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式等），求出随机变量取每个值时的概率；第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或事件的概率是否正确；第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布X～B(n，p))，则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式(E(X)＝np)求得.17.如图，三棱柱的侧面是平行四边形，，平面平面，且分别是的中点.（1）求证：平面；（2）当侧面是正方形，且时，（ⅰ）求二面角的大小；（ⅱ）在线段上是否存在点，使得？若存在，指出点的位置；若不存在，请说明理由.【答案】（1）见解析（2）（ⅰ）（ⅱ）点在点处时，有【解析】【分析】（1）取中点，证明四边形是平行四边形，可得从而得证；（2）（ⅰ）先证明平面以为原点建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，即可得到二面角的大小；（ⅱ）假设在线段上存在点，使得. 设，则.利用垂直关系，建立的方程，解之即可.【详解】证明：（1）取中点，连，连.在△中，因为分别是中点，所以，且.在平行四边形中，因为是的中点，所以，且.所以，且.所以四边形是平行四边形.所以.又因为平面，平面，所以平面.（2）因为侧面是正方形，所以.又因为平面平面，且平面平面，所以平面.所以.又因为，以为原点建立空间直角坐标系，如图所示. 设，则，.（ⅰ）设平面的一个法向量为.由得即令，所以.又因为平面，所以是平面的一个法向量.所以.由图可知，二面角为钝角，所以二面角的大小为.（ⅱ）假设在线段上存在点，使得.设，则.因为，又，所以.所以.故点在点处时，有【点睛】本题考查向量法求二面角大小、线面平行的证明，考查满足线面垂直的点的位置的判断与求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查化归与转化思想、数形结合思想，考查推理论论能力、空间想象能力，是中档题．18.已知函数.（Ⅰ）当时，求函数的极小值；（Ⅱ）当时，讨论的单调性；（Ⅲ）若函数在区间上有且只有一个零点，求的取值范围.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）详见解析（Ⅲ）【解析】【分析】（Ⅰ）由题意，当时，求得，得出函数的单调性，进而求解函数的极值；（Ⅱ）由，由，得或，分类讨论，即可得到函数的单调区间；（Ⅲ）由（1）和（2），分当和，分类讨论，分别求得函数的单调性和极值，即可得出相应的结论，进而得到结论.【详解】解：（Ⅰ）当时：，令解得，又因为当，，函数为减函数；当，，函数为增函数.所以，的极小值为.（Ⅱ）.当时，由，得或.(ⅰ)若，则.故在上单调递增；（ⅱ）若，则.故当时，；当时，.所以在，单调递增，在单调递减.(ⅲ)若，则.故当时，；当时，.所以在，单调递增，在单调递减.（Ⅲ）（1）当时，，令，得.因为当时，，当时，，所以此时在区间上有且只有一个零点.（2）当时：（ⅰ）当时，由（Ⅱ）可知在上单调递增，且，，此时在区间上有且只有一个零点.（ⅱ）当时，由（Ⅱ）的单调性结合，又，只需讨论的符号：当时，，在区间上有且只有一个零点；当时，，函数在区间上无零点.(ⅲ)当时，由（Ⅱ）的单调性结合，，，此时在区间上有且只有一个零点.综上所述，.【点睛】本题主要考查了导数在函数中的综合应用问题，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用.19.过椭圆W:的左焦点作直线交椭圆于两点，其中，另一条过的直线交椭圆于两点（不与重合），且点不与点重合.过作轴的垂线分别交直线，于,.（Ⅰ）求点坐标和直线的方程；（Ⅱ）求证：.【答案】（Ⅰ），的方程为（Ⅱ）详见解析【解析】【分析】（Ⅰ）由题意可得直线的方程为.与椭圆方程联立方程组，即可求解B点坐标；（Ⅱ）设，，的方程为，联立方程组，根据根与系数的关系，求得，，进而得出点的纵坐标，化简即可证得，得到证明.【详解】（Ⅰ）由题意可得直线的方程为.与椭圆方程联立,由可求.（Ⅱ）当与轴垂直时，两点与,两点重合，由椭圆的对称性，.当不与轴垂直时，设，，的方程为（）.由消去，整理得.则，.由已知，，则直线的方程为，令，得点的纵坐标.把代入得.由已知，，则直线的方程为,令，得点的纵坐标.把代入得.把，代入到中，=.即，即..【点睛】本题主要考查了直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,解答此类题目，通常通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系，得到“目标函数”的解析式，确定函数的性质进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出，本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.20.已知是由正整数组成的无穷数列，对任意，满足如下两个条件：①是的倍数；②.（1）若，，写出满足条件的所有的值；（2）求证：当时，；（3）求所有可能取值中的最大值.【答案】（1）（2）见解析（3）85【解析】【分析】（1）根据满足的两个条件即可得到满足条件的所有的值；（2）由，对于任意的，有. 当时，成立，即成立；若存在使，由反证法可得矛盾；（3）由（2）知，因为且是的倍数，可得所有可能取值中的最大值.【详解】（1）的值可取.（2）由，对于任意的，有.当时，，即，即.则成立.因为是的倍数，所以当时，有成立.若存在使，依以上所证，这样的的个数是有限的，设其中最大的为.则,成立，因为是的倍数，故.由,得.因此当时，.（3）由上问知，因为且是的倍数，所以满足下面的不等式：，. 则,, ,,,,,,,,当时，这个数列符合条件.故所求的最大值为85.【点睛】本题考查了数列的有关知识，考查了逻辑推理能力，综合性较强.。

北京市朝阳区2018-2019学年度第一学期期末质量检测高三数学理科试题及答案

北京市朝阳区2018－2019学年度第一学期期末质量检测高三年级数学试卷（理工类）2019.1（考试时间120分钟满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知集合{|13}A x x =∈≤≤N ，{2,3,4,5}B =，则AB =A.{2}B.{2,3}C.{2,3,4,5}D.{1,2,3,4,5} 2.设复数z 满足(1i)2i z -=，则||z =A.1C.2D. 3.执行如图所示的程序框图，若输入的12S =，则输出的S = A.8- B. 18- C.5 D.64.在平面直角坐标系xOy 中，过(4,4),(4,0),(0,4)A B C 三点的圆被x 轴截得的弦长为A.4B. C.2D. 5.将函数sin 2y x =的图象向右平移(0)ϕϕ>个单位后，图象经过点(3π，则ϕ的最小值为 A.12π B.6π C.3π D.65π 6. 设x 为实数，则0x <“”是 “12x x+≤-”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件7.对任意实数x ，都有log (e 3)1xa +≥（0a >且1a ≠），则实数a 的取值范围是A. 1(0,)3B.(]1,3C. (1,3)D.[3,)+∞8.以棱长为1的正方体各面的中心为顶点，构成一个正八面体，再以这个正八面体各面的中心为顶点构成一个小正方体，那么该小正方体的棱长为 A.22 B.33 C.13 D.14第二部分（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．9.已知数列{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项的和.若136a a +=，47a =，则5S =_______. 10.已知四边形的顶点A ，B ，C ，D 在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，则AC DB ⋅=____________.11.如图，在边长为1的正方形网格中，粗实线表示一个三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为．12.过抛物线2=4y x 焦点F 的直线交抛物线于,A B 两点，分别过,A B 作准线l 的垂线，垂足分别为,C D .若4AF BF =，则CD =__________________.13. 2018年国际象棋奥林匹克团体赛中国男队、女队同时夺冠.国际象棋中骑士的移动规则是沿着3×2格或2×3格的对角移动.在历史上，欧拉、泰勒、哈密尔顿等数学家研究了“骑士巡游”问题：在88=64⨯格的黑白相间的国际象棋棋盘上移动骑士，是否可以让骑士从某方格内出发不重复地走遍棋盘上的每一格？图（一）给出了骑士的一种走法，它从图上标1的方格内出发，依次经过标2,3,4,5,6,⋅⋅⋅,到达标64的方格内，不重复地走遍棋盘上的每一格，又可从标64的方格内直接走回到标1的方格内.如果骑士的出发点在左下角标50的方格内，按照上述走法，（填“能”或“不能”）走回到标50的方格内.若骑士限制在图（二）中的3×4=12格内按规则移动，存在唯一一种给方格标数字的方式，使得骑士从左上角标1的方格内出发，依次不重复经过2,3,4,5,6,⋅⋅⋅,到达右下角标BDCA12的方格内，分析图（二）中A处所标的数应为____.图（一）14.如图，以正方形的各边为底可向外作四个腰长为1的等腰三角形，则阴影部分面积的最大值是.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15.（本小题满分13分）在ABC △中，已知312,cos 413A C π==，13.BC = （Ⅰ）求AB 的长；（Ⅱ）求BC 边上的中线AD 的长.16.（本小题满分13分）某日A,B,C 三个城市18个销售点的小麦价格如下表：（Ⅰ）甲以B 市5个销售点小麦价格的中位数作为购买价格，乙从C 市4个销售点中随机挑选2个了解小麦价格.记乙挑选的2个销售点中小麦价格比甲的购买价格高的个数为X ，求X 的分布列及数学期望；（Ⅱ）如果一个城市的销售点小麦价格方差越大，则称其价格差异性越大.请你对A,B,C 三个城市按照小麦价格差异性从大到小进行排序（只写出结果）.17.（本小题满分14分）如图，三棱柱111ABC A B C -的侧面11BCC B 是平行四边形，11BC C C ⊥，平面11AC CA ⊥平面11BCC B ，且,E F 分别是11,BC AB 的中点. （Ⅰ）求证：//EF 平面11AC CA ；（Ⅱ）当侧面11A C CA 是正方形，且11BC C C =时，（ⅰ）求二面角1F BC E --的大小；（ⅱ）在线段EF 上是否存在点P ，使得AP EF ⊥？若存在，指出点P 的位置；若不存在，请说明理由.18.（本小题满分13分）已知函数2()e (1)(0)2xmf x x x m =-+≥. （Ⅰ）当0m =时，求函数()f x 的极小值；（Ⅱ）当0m >时，讨论()f x 的单调性；（Ⅲ）若函数()f x 在区间(),1-∞上有且只有一个零点，求m 的取值范围.FEC 1B 1A 1CBA19.（本小题满分14分）过椭圆W :2212x y +=的左焦点1F 作直线1l 交椭圆于,A B 两点，其中A (0,1)，另一条过1F 的直线2l 交椭圆于,C D 两点（不与,A B 重合），且D 点不与点()01-，重合. 过1F 作x 轴的垂线分别交直线AD ，BC 于E ,G . （Ⅰ）求B 点坐标和直线1l 的方程；（Ⅱ）求证：11EF FG =.20.（本小题满分13分）已知12,,,,n a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅是由正整数组成的无穷数列，对任意n *∈N ，n a 满足如下两个条件：①n a 是n 的倍数； ②15n n a a +-≤.（Ⅰ）若130a =，232a =，写出满足条件的所有3a 的值；（Ⅱ）求证：当11n ≥时，5n a n ≤；（Ⅲ）求1a 所有可能取值中的最大值.北京市朝阳区2018-2019学年度第一学期期末质量检测高三年级数学试卷答案（理工类） 2019.1一、选择题（40分）三、解答题（80分）15. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）由12cos 13C =，02C π<<，所以5sin 13C =. 由正弦定理得，sin sin AB BC C A =，即5sin =13sin CAB BC A =⋅= .……… 6分（Ⅱ）在ABD △中，3cos cos()4B C C C π=π--=+=. 由余弦定理得，222+2cos AD AB BD AB BD B =-⋅,所以2AD 21691329+2424=-⨯=. 所以AD =. ……………… 13分16. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）B 市共有5个销售点，其小麦价格从低到高排列为：2450，2460，2500，2500，2500.所以中位数为2500，所以甲的购买价格为2500. C 市共有4个销售点，其小麦价格从低到高排列为：2400，2470，2540，2580，故X 的可能取值为0，1，2.2022241(0)6C C P X C ===，11222442(1)63C C P X C ====，0222241(2)6C C P X C ===. 所以分布列为所以数学期望21()0(0)1(1)2(2)12136E X P X P X P X =⨯=+⨯=+⨯==⨯+⨯=. …… 10分（Ⅱ）三个城市按小麦价格差异性从大到小排序为：C ，A ，B ……… 13分证明：（Ⅰ）取11A C 中点G ，连FG ，连GC .在△111A B C 中，因为,F G 分别是1111,A B AC 中点，所以11FG B C //，且1112FG B C =. 在平行四边形11BCC B 中，因为E 是BC 的中点，所以11EC B C //，且1112EC B C =.所以EC FG //，且EC FG =.所以四边形FECG 是平行四边形. 所以FE GC //. 又因为FE ⊄平面11A C CA ，GC ⊂平面11A C CA ，所以//EF 平面11A C CA . …………………4分（Ⅱ）因为侧面11A C CA 是正方形，所以111AC C C ⊥.又因为平面11AC CA ⊥平面11BCC B ，且平面11AC CA 平面111BCC B C C =，所以11A C ⊥平面11BCC B .所以111AC C B ⊥.又因为11BC C C ⊥，以1C 为原点建立空间直角坐标系1C xyz -，如图所示. 设1C C a =，则11(0,,),(,0,0),(0,,0),(0,0,),(,,0)A a a B a C a A a B a a -，(,,0),(,,)22222a a a a aE F -. （ⅰ）设平面1FBC 的一个法向量为(,,z)x y =n .由110,0C B C F ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 得0,0.222ax a a ax y z =⎧⎪⎨-+=⎪⎩即0,.x y z =⎧⎨=⎩令1y =，所以(0,1,1)=n . 又因为11A C ⊥平面1BC E ，所以11(0,0,)C A a =是平面1BC E 的一个法向量. 所以111111cos ,C A C A C A ⋅===⋅n n n由图可知，二面角1F BC E --为钝角，所以二面角1F BC E --的大小为34π. ……………10分（ⅱ）假设在线段EF 上存在点P ，使得AP EF ⊥.设,[0,1]EPEFλλ=∈，则EP EF λ=. 因为(,,)(0,,)222a a a AP AE EP AE EF a a λλ=+=+=--+-(,,)222a a aa a λλ=---+，又AP EF ⊥，所以210()()()()022224a a a a AP EF a a a a λλλλ⋅=⨯+---+-+=+=.所以0[0,1]λ=∈.故点P 在点E 处时，有AP EF ⊥ .…………14分GABCA 1B1C 1FB解：(Ⅰ) 当0m =时：()(1)e xf x x '=+，令()0f x '=解得1x =-，又因为当(),1x ∈-∞-，()0f x '<，函数()f x 为减函数；当()1,x ∈-+∞，()0f x '>，函数()f x 为增函数.所以，()f x 的极小值为1(1)ef -=-. .…………3分（Ⅱ）()(1)(e )xf x x m '=+-.当0m >时，由()0f x '=，得1x =-或ln x m =.(ⅰ)若1em =，则1()(1)(e )0e xf x x '=+-≥.故()f x 在(),-∞+∞上单调递增；（ⅱ）若1em >，则ln 1m >-.故当()0f x '>时，1ln x x m <->或；当()0f x '<时，1ln x m -<<.所以()f x 在(),1-∞-，()ln ,m +∞单调递增，在()1,ln m -单调递减.(ⅲ)若10em <<，则ln 1m <-.故当()0f x '>时，ln 1x m x <>-或；当()0f x '<时，ln 1m x <<-.所以()f x 在(),ln m -∞，()1,-+∞单调递增，在()ln ,1m -单调递减. .…………8分（Ⅲ）(1)当0m =时，()e xf x x =，令()0f x =，得0x =.因为当0x <时，()0f x <，当0x >时，()0f x >，所以此时()f x 在区间(),1-∞上有且只有一个零点.(2)当0m >时：（ⅰ）当1em =时，由（Ⅱ）可知()f x 在(),-∞+∞上单调递增，且1(1)0e f -=-<，2(1)e 0e f =->，此时()f x 在区间(),1-∞上有且只有一个零点.（ⅱ）当1em >时，由（Ⅱ）的单调性结合(1)0f -<，又(ln )(1)0f m f <-<，只需讨论(1)e 2f m =-的符号：当1ee 2m <<时，(1)0f >，()f x 在区间()1-∞，上有且只有一个零点；当e2m ≥时，(1)0f ≤，函数()f x 在区间()1-∞，上无零点.(ⅲ)当10e m <<时，由（Ⅱ）的单调性结合(1)0f -<，(1)e 20f m =->，2(ln )ln 022m mf m m =--<，此时()f x 在区间(),1-∞上有且只有一个零点.综上所述，e02m ≤<. .…………13分解：（Ⅰ）由题意可得直线1l 的方程为1y x =+.与椭圆方程联立,由22112y x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可求41(,)33B --. ……………4分（Ⅱ）当2l 与x 轴垂直时，,C D 两点与E ,G 两点重合，由椭圆的对称性，11EF FG =. 当2l 不与x 轴垂直时，设()11,C x y ，()22,D x y ，2l 的方程为(1)y k x =+（1k ≠）.由22(1)12y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，整理得()2222214220k x k x k +++-=.则21224+21k x x k -=+，21222221k x x k -=+. 由已知，20x ≠，则直线AD 的方程为2211y y x x --=，令1x =-，得点E 的纵坐标2221E x y y x -+=.把()221y k x =+代入得()221(1)E x k y x +-=.由已知，143x ≠-，则直线BC 的方程为111143()4333y y x x ++=++,令1x =-，得点G的纵坐标111143()3G y x y x --=+.把()111y k x =+代入得()111(1)34G x k y x +-=+. ()()21211(1)1(1)34E G x k x k y y x x +-+-+=++ ()()212121(1)1(34)1(34)k x x x x x x -++-+⎡⎤⎣⎦=⋅+[]121221(1)23()4(34)k x x x x x x -+++=⋅+把21224+21k x x k -=+，21222221k x x k -=+代入到121223()4x x x x +++中， 121223()4x x x x +++=222222423()402121k k k k --⨯+⨯+=++.即0E G y y +=，即11EF FG =. .…………14分11 20. （本小题满分13分）（Ⅰ）3a 的值可取27,30,33,36. .…………3分（Ⅱ）由()151,2,n n a a n +≤+=⋅⋅⋅，对于任意的n ，有15(1)n a n a ≤-+.当14n a ≥-时，15(1)n a n a ≤-+，即5(1)4n a n n ≤-++，即61n a n ≤-. 则6n a n <成立.因为n a 是n 的倍数，所以当14n a ≥-时，有5n a n ≤成立.若存在n 使5n a n >，依以上所证，这样的n 的个数是有限的，设其中最大的为N . 则5N a N >,15(1)N a N +≤+成立，因为N a 是N 的倍数，故6N a N ≥. 由+1565(1)5N N a a N N N ≥-≥-+=-,得10N ≤.因此当11n ≥时，5n a n ≤. …………8分（Ⅲ）由上问知1155a ≤，因为+15n n a a ≤+且n a 是n 的倍数，所以1091,,,a a a ⋅⋅⋅满足下面的不等式：1060a ≤，963a ≤，864a ≤，763a ≤，666a ≤，570a ≤，472a ≤，375a ≤， 280a ≤，185a ≤.则1=85a ,2=80a , 3=75a ,472a =,570a =,666a =,763a =,864a =, 963a =,1060a =,当11n ≥时，5n a n =这个数列符合条件.故所求1a 的最大值为85. ………13分。

高中数学-高一上学期期末调研测试数学试题 Word版含解析72

2018-2019学年高一上学期期末调研测试数学试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合，集合，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意，求得集合，集合，根据集合的交集的运算，即可求解，得到答案.【详解】由题意，集合，集合，根据集合的交集的运算，可得，故选B.【点睛】本题主要考查了集合的交集的运算问题，其中解答中首先求解集合，再利用集合的交集的运算求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.2.有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下：，，，，根据样本的频数分布估计，大于或等于的数据约占A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】找到大于或等于的频数，除以总数即可.【详解】由题意知，大于或等于的数据共有：则约占：本题正确选项：【点睛】考查统计中频数与总数的关系，属于基础题.3.秦九韶算法是中国古代求多项式的值的优秀算法，若，当时，用秦九韶算法求A. 1B. 3C. 4D. 5【答案】C【解析】【分析】通过将多项式化成秦九韶算法的形式，代入可得.【详解】由题意得：则：本题正确选项：【点睛】本题考查秦九韶算法的基本形式，属于基础题.4.下列四组函数中，不表示同一函数的是A. 与B. 与C. 与D. 与【答案】D【解析】【分析】根据相同函数对定义域和解析式的要求，依次判断各个选项.【详解】相同函数要求：函数定义域相同，解析式相同三个选项均满足要求，因此是同一函数选项：定义域为；定义域为，因此不是同一函数本题正确选项：【点睛】本题考查相同函数的概念，关键在于明确相同函数要求定义域和解析式相同，从而可以判断结果.5.执行如图所示程序框图，当输入的x为2019时，输出的A. 28B. 10C. 4D. 2【答案】C【解析】【分析】的变化遵循以为公差递减的等差数列的变化规律，到时结束，得到，然后代入解析式，输出结果.【详解】时，每次赋值均为可看作是以为首项，为公差的等差数列当时输出，所以，即即：，本题正确选项：【点睛】本题结合等差数列考查程序框图问题，关键是找到程序框图所遵循的规律.6.函数的单调递增区间为A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】结合对数真数大于零，求出定义域；再求出在定义域内的单调递减区间，得到最终结果.【详解】或在定义域内单调递减根据复合函数单调性可知，只需单调递减即可结合定义域可得单调递增区间为：本题正确选项：【点睛】本题考查求解复合函数的单调区间，复合函数单调性遵循“同增异减”原则，易错点在于忽略了函数自身的定义域要求.7.在一不透明袋子中装着标号为1，2，3，4，5，6的六个质地、大小、颜色无差别小球，现从袋子中有放回地随机摸出两个小球，并记录标号，则两标号之和为9的概率是A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】确定所有可能的基本事件总数，再列出标号和为的所有基本事件，根据古典概型可求得概率. 【详解】有放回的摸出两个小球共有：种情况用表示两次取出的数字编号标号之和为有：，，，四种情况所以，概率本题正确选项：【点睛】本题考查古典概型的相关知识，对于基本事件个数较少的情况，往往采用列举法来求解，属于基础题.8.远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示的是一位母亲记录的孩子自出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满七进一，根据图示可知，孩子已经出生的天数是A. 336B. 510C. 1326D. 3603 【答案】B【解析】试题分析：由题意满七进一，可得该图示为七进制数, 化为十进制数为,故选B.考点：1、阅读能力及建模能力；2、进位制的应用.9.设，，，则a，b，c的大小关系为A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】将化成对数的形式，然后根据真数相同，底数不同的对数的大小关系，得到结果.【详解】由题意得：又本题正确选项：【点睛】本题考查对数大小比较问题，关键在于将对数化为同底或者同真数的对数，然后利用对数函数图像来比较.10.设函数和分别是上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是（）A. 是奇函数B. 是奇函数C. 是偶函数D. 是偶函数【答案】D【解析】试题分析：根据题意，A.错误，令定义域为，由：，所以是非奇非偶函数；B错误，令定义域为，由：即：，所以是偶函数；C.错误.令定义域为，由：，所以为非奇非偶函数；D.正确.令定义域为，由，即，所以为偶函数，正确.综上，答案为D.考点：1.函数的奇偶性；2.奇偶函数的定义域.11.已知函数是定义在R上的偶函数，且在上是增函数，若对任意，都有恒成立，则实数a的取值范围是A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据偶函数的性质，可知函数在上是减函数，根据不等式在上恒成立，可得：在上恒成立，可得的范围.【详解】为偶函数且在上是增函数在上是减函数对任意都有恒成立等价于当时，取得两个最值本题正确选项：【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性解抽象函数不等式的问题，关键在于能够通过单调性确定自变量之间的关系，得到关于自变量的不等式.12.设，表示不超过实数的最大整数，则函数的值域是A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据不同的范围，求解出的值域，从而得到的值域，同理可得的值域，再根据取整运算得到可能的取值.【详解】由题意得：，①当时，则，此时，，，则②当时，，，，.③当时，则，此时，，，则综上所述：的值域为本题正确选项：【点睛】本题考查新定义运算的问题，解题关键在于能够明确新定义运算的本质，易错点在于忽略与的彼此取值影响，单纯的考虑与整体的值域，造成求解错误.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.函数的定义域是_______________【答案】【解析】由题要使函数有意义须满足14.小明通过做游戏的方式来确定接下来两小时的活动，他随机地往边长为1的正方形内扔一颗豆子，若豆子到各边的距离都大于，则去看电影；若豆子到正方形中心的距离大于，则去打篮球；否则，就在家写作业则小明接下来两小时不在家写作业的概率为______豆子大小可忽略不计【答案】【解析】【分析】根据题意画出图形，求出写作业所对应的区域面积，利用得到结果.【详解】由题意可知，当豆子落在下图中的空白部分时，小明在家写作业大正方形面积；阴影正方形面积空白区域面积：根据几何概型可知，小明不在家写作业的概率为：本题正确结果：【点睛】本题考查几何概型中的面积型，属于基础题.15.若函数为偶函数，则______．【答案】1【解析】【分析】为定义域上的偶函数，所以利用特殊值求出的值.【详解】是定义在上的偶函数即解得：本题正确结果：【点睛】本题考查利用函数奇偶性求解参数值，对于定义域明确的函数，常常采用赋值法来进行求解，相较于定义法，计算量要更小.16.已知函数，若存在实数a，b，c，满足，其中，则abc的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】根据解析式，画出的图像，可知函数与每段的交点位置，由此可得，再求出的范围后，可确定整体的取值范围.【详解】由解析式可知图像如下图所示：由图像可知：又且时，可知即又本题正确结果：【点睛】本题考查函数图像及方程根的问题，关键在于能够通过函数图像得到的关系.三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.设集合，不等式的解集为B．当时，求集合A，B；当时，求实数a的取值范围．【答案】（1）A={x|-1<x<0},B={Xx|-2<x<4}；（2）a≤2.【解析】【分析】（1）直接代入集合即可得，解不等式得；（2）分别讨论和两种情况，得到关于的不等式组，求得取值范围.【详解】（1）当时，（2）若，则有：①当，即，即时，符合题意，②当，即，即时，有解得：综合①②得：【点睛】本题考查了解二次不等式、集合间的包含关系及空集的定义，属基础题．易错点在于忽略了的情况.18.在平面直角坐标系中，记满足，的点形成区域A，若点的横、纵坐标均在集合2，3，4，中随机选择，求点落在区域A内的概率；若点在区域A中均匀出现，求方程有两个不同实数根的概率；【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用列举法确定基本事件，即可求点落在区域内的概率；（2）以面积为测度，求方程有两个实数根的概率．【详解】根据题意，点的横、纵坐标在集合中随机选择，共有个基本事件，并且是等可能的其中落在，的区域内有，，，，，，，，共个基本事件所以点落在区域内的概率为（2），表示如图的正方形区域，易得面积为若方程有两个不同实数根，即，解得为如图所示直线下方的阴影部分，其面积为则方程有两个不同实数根的概率【点睛】本题考查概率的计算，要明确基本事件可数时为古典概型，基本事件个数不可数时为几何概型，属于中档题．19.计算：；若a，b分别是方程的两个实根，求的值．【答案】（1）；（2）12.【解析】【分析】（1）利用指数与对数运算性质即可得出；（2）根据题意，是方程的两个实根，由韦达定理得，，利用对数换底公式及其运算性质即可得出．【详解】（1）原式（2）根据题意，是方程的两个实根由韦达定理得，原式【点睛】本题考查了指数与对数运算性质、对数换底公式、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．20.下面给出了2010年亚洲某些国家的国民平均寿命单位：岁．国家平均寿命国家平均寿命国家平均寿命阿曼阿富汗59 巴基斯坦巴林阿联酋马来西亚朝鲜东帝汶孟加拉国韩国柬埔寨塞浦路斯老挝卡塔尔沙特阿拉伯蒙古科威特哈萨克斯坦缅甸菲律宾印度尼西亚日本黎巴嫩土库曼斯坦65吉尔吉斯斯泰国尼泊尔68坦乌兹别克斯约旦土耳其坦越南75 伊拉克也门中国以色列文莱伊朗74 新加坡叙利亚印度根据这40个国家的样本数据，得到如图所示的频率分布直方图，其中样本数据的分组区间为：，，，，，请根据上述所提供的数据，求出频率分布直方图中的a，b；请根据统计思想，利用中的频率分布直方图估计亚洲人民的平均寿命及国民寿命的中位数保留一位小数．【答案】（1），；（2）平均寿命71.8，中位数71.4.【解析】【分析】（1）根据表中数据，亚洲这个国家中，国民平均寿命在的频数是，频率是，由此能求出，同理可求；（2）由频率分布直方图能估计亚洲人民的平均寿命及国民寿命的中位数．【详解】（1）根据表中数据，亚洲这个国家中国民平均寿命在的频数是，频率是国民平均寿命在的频数是，频率是，计算得，由频率分布直方图可知，各个小矩形的面积各个区间内的频率转换为分数分别是：，，，，，以上所有样本国家的国民平均寿命约为：前三组频率和为中位数为根据统计思想，估计亚洲人民的平均寿命大约为岁，寿命的中位数约为岁【点睛】本题考查实数值、平均数、中位数的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．21.某种设备随着使用年限的增加，每年的维护费相应增加现对一批该设备进行调查，得到这批设备自购入使用之日起，前五年平均每台设备每年的维护费用大致如表：年份年 1 2 3 4 5维护费万元Ⅰ求y关于t的线性回归方程；Ⅱ若该设备的价格是每台5万元，甲认为应该使用满五年换一次设备，而乙则认为应该使用满十年换一次设备，你认为甲和乙谁更有道理？并说明理由．参考公式：，【答案】（Ⅰ）；（2）甲更有道理.【解析】【分析】（Ⅰ）分别求出相关系数，求出回归方程即可；（Ⅱ）代入的值，比较函数值的大小，判断即可．【详解】（Ⅰ），，，，，所以回归方程为（Ⅱ）若满五年换一次设备，则由（Ⅰ）知每年每台设备的平均费用为：（万元）若满十年换一次设备，则由（Ⅰ）知每年每台设备的平均费用大概为：（万元）所以甲更有道理【点睛】本题考查了求回归方程问题，考查函数求值，是一道常规题．22.已知，．求在上的最小值；若关于x的方程有正实数根，求实数a的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）通过讨论的范围，结合二次函数的性质求出函数的单调区间，求出函数的最小值即可；（2）得到，令，问题转化为在有实根，求出的范围即可．【详解】（1）当时，在上单调递减故最小值当时，是关于的二次函数，对称轴为当时，，此时在上单调递减故最小值当时，对称轴当，即时，在单调递减，在单调递增故最小值当时，即时，在上单调递减故最小值综上所述：（2）由题意化简得令，则方程变形为，根据题意，原方程有正实数根即关于的一元二次方程有大于的实数根而方程在有实根令，在上的值域为故【点睛】本题考查了二次函数的性质，考查函数的单调性，最值问题，考查分类讨论思想，转化思想．关键是通过换元的方式将问题转化为二次函数在区间内有实根的问题，可以用二次函数成像处理，也可以利用分离变量的方式得到结果.。

2018-2019学年高一上学期期末考试数学试卷 (2)

文档资料整理不易，仅供学习参考，谢谢！北京101中学2018－2019学年上学期高一年级期末考试数学试卷一、选择题共8小题。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1.若sin=，0<<，则cos=（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由已知利用同角三角函数平方关系即可计算得解．【详解】解：∵sinα，0＜α，∴cosα．故选：D．【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查恒等变换能力，属于基础题．2.集合M={Z}，N={Z}，则（）A. M NB. N MC. M N=D. M N=R【答案】A【解析】【分析】对k分类讨论，明确集合M，N的范围，即可得到结果．【详解】解：∵k∈Z；∴k＝2n或2n+1，n∈Z；∴；又；∴M⊆N．故选：A．【点睛】本题考查描述法表示集合的方法，集合间的关系及交并运算，属于基础题．3.下列命题中正确的是（）A. 共线向量都相等B. 单位向量都相等C. 平行向量不一定是共线向量D. 模为0的向量与任意一个向量平行【答案】D【解析】【分析】根据平面向量的基本概念，对选项中的命题逐一进行判断即可．【详解】解：对于A，共线向量大小不一定相等，方向不一定相同，A错误；对于B，单位向量的模长相等，但方向不一定相同，B错误；对于C，平行向量一定是共线向量，C错误；对于D，模为0的向量是零向量，它与任意一个向量是平行向量，D正确．故选：D．【点睛】本题考查了平面向量的基本概念与应用问题，是基础题．4.下列函数为奇函数，且在（－，0）上单调递减的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据函数奇偶性和单调性的性质逐一进行判断即可．【详解】解：A．f（x）＝是偶函数，不满足条件．B．是奇函数，则（﹣∞，0）上是减函数，满足条件．C．f（x）是非奇非偶函数，不满足条件．D．f（x）是非奇非偶函数，不满足条件．故选：B．【点睛】本题主要考查常见函数奇偶性和单调性的判断，考查基本概念的理解，属于基础题．5.已知函数（R，>0）的最小正周期为，为了得到函数的图象，只要将的图象（）A. 向左平移个单位长度B. 向右平移个单位长度C. 向左平移个单位长度D. 向右平移个单位长度【答案】A【解析】试题分析：由的最小正周期是，得，即，因此它的图象可由的图象向左平移个单位得到．故选A．考点：函数的图象与性质．【名师点睛】三角函数图象变换方法：【此处有视频，请去附件查看】6.如图所示，函数（且）的图象是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】当时，y=cosxtanx⩾0，排除B，D.当时，y=−cosxtanx<0，排除A.本题选择C选项.7.函数（>0）在区间[0，1]上至少出现10次最大值，则的最小值是（）A. 10B. 20C.D.【答案】C【解析】【分析】由题意利用正弦函数的图象和性质可得9T1＜10T，即9•1＜10•，由此求得ω的最小值．【详解】解：函数y＝sinωx（ω＞0）在区间[0，1]上至少出现10次最大值，∴9T1＜10T，即9•1＜10•，求得ω＜20π，故ω的最小值为，故选：C．【点睛】本题主要考查正弦函数的图象和性质，考查函数的周期性与最值，不等式的解法，属于中档题．8.设偶函数在（－，0）上是增函数，则与的大小关系是（）A. B. C. D. 不确定【答案】C【解析】本题考查的是函数的单调性与奇偶性。

北京市朝阳区2018-2019高三数学期末考试(理科)试题(解析版)

北京市朝阳区2018-2019学年度第一学期期末质量检测高三年级数学试卷（理工类）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知集合，，则A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用并集定义直接求解．【详解】集合A＝{x∈N|1≤x≤3}＝{1，2，3}，B＝{2，3，4，5}，∴A∪B＝{1，2，3，4，5}．故选：D．【点睛】本题考查并集的求法，考查并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.设复数满足，则=A. B. C. 2 D.【答案】B【解析】【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．【详解】由（1﹣i）z＝2i，得z，∴|z|．故选：B．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．3.执行如图所示的程序框图，若输入的，则输出的=A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据框图的流程依次计算程序运行的结果，直到满足条件跳出循环，确定输出S的值【详解】模拟程序的运行，可得S＝12，n＝1执行循环体，S＝10，n＝2不满足条件S+n≤0，执行循环体，S＝6，n＝3不满足条件S+n≤0，执行循环体，S＝0，n＝4不满足条件S+n≤0，执行循环体，S＝﹣8，n＝5满足条件S+n≤0，退出循环，输出S的值为﹣8．故选：A．【点睛】解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.4.在平面直角坐标系中，过三点的圆被轴截得的弦长为A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用待定系数法求出圆的一般方程，令y＝0可得：x2﹣4x＝0，由此即可得到圆被轴截得的弦长.【详解】根据题意，设过A、B、C的圆为圆M，其方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0，又由A（4，4），B（4，0），C（0，4），则有，解可得：D＝﹣4，E＝﹣4，F＝0，即圆M的方程为x2+y2﹣4x﹣4y＝0，令y＝0可得：x2﹣4x＝0，解可得：x1＝0，x2＝4，即圆与x轴的交点的坐标为（0，0），（4，0），则圆被x轴截得的弦长为4；故选：A．【点睛】本题考查直线与圆的方程的应用，涉及待定系数法求圆的方程，关键是求出圆的方程．5.将函数的图象向右平移个单位后，图象经过点，则的最小值为A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据三角函数平移变换的规律得到向右平移φ（φ＞0）个单位长度的解析式，将点带入求解即可．【详解】将函数y＝sin2x的图象向右平移φ（φ＞0）个单位长度，可得y＝sin2（x﹣φ）＝sin（2x﹣2φ），图象过点，∴sin（2φ），即2φ2kπ，或2kπ，k∈Z，即φ或，k∈Z，∵φ＞0，∴φ的最小值为．故选：B．【点睛】本题主要考查了函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，考查计算能力，属于基础题．6.设为实数，则是“”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】由“x＜0”易得“”，反过来，由“”可得出“x＜0”，从而得出“x＜0”是“”的充分必要条件．【详解】若x＜0，﹣x＞0，则：；∴“x＜0“是““的充分条件；若，则；解得x＜0；∴“x＜0“是““的必要条件；综上得，“x＜0”是“”的充分必要条件．故选：C．【点睛】充分、必要条件的三种判断方法．1．定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“⇒”为真，则是的充分条件．2．等价法：利用⇒与非⇒非，⇒与非⇒非，⇔与非⇔非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若⊆，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件．7.对任意实数，都有（且），则实数的取值范围是A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意可得a＞1且a≤e x+3对任意实数x都成立，根据指数函数的性质即可求出．【详解】∵log a（e x+3）≥1＝log a a，∴a＞1且a≤e x+3对任意实数x都成立，又e x+3＞3，∴1＜a≤3，故选：B【点睛】本题考查了对数的运算性质和函数恒成立的问题，属于中档题．8.以棱长为1的正方体各面的中心为顶点，构成一个正八面体，再以这个正八面体各面的中心为顶点构成一个小正方体，那么该小正方体的棱长为A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用正八面体与大小正方体的关系，即可得到结果.【详解】正方体C1各面中心为顶点的凸多面体C2为正八面体，它的中截面（垂直平分相对顶点连线的界面）是正方形，该正方形对角线长等于正方体的棱长，所以它的棱长a2；以C2各个面的中心为顶点的正方体为图形C3是正方体，正方体C3面对角线长等于C2棱长的，（正三角形中心到对边的距离等于高的），因此对角线为，所以a3，故选：【点睛】本题考查组合体的特征，抓住两个组合体主元素的关系是解题的关键，考查空间想象能力，属于中档题.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．9.已知数列为等差数列，为其前项的和.若，，则_______.【答案】【解析】【分析】运用等差数列的前n项和公式可解决此问题．【详解】根据题意得，2＝6，∴＝3 又＝7，∴2d＝7﹣3＝4，∴d＝2，＝1，∴S5＝55+20＝25，故答案为：25．【点睛】本题考查等差数列的前n项和公式的应用．10.已知四边形的顶点A，B，C，D在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，则____________.【答案】【解析】【分析】以A为坐标原点，以AC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，分别求出的坐标，由数量积的坐标运算得答案．【详解】如图，以A为坐标原点，以AC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则A（0，0），B（4，2），C（7，0），D（3，﹣2），∴，，∴7×1+0×4＝7．故答案为：7．【点睛】本题考查平面向量数量积的性质及其运算，合理构建坐标系是解题的关键，是基础的计算题．11.如图，在边长为1的正方形网格中，粗实线表示一个三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为_______________．【答案】【解析】【分析】由三视图还原几何体，该几何体为三棱锥，底面三角形ACB与侧面三角形APB为全等的等腰直角三角形，侧面PAB⊥侧面ACB，AB＝4，PO＝OC＝2，由此即可得到结果．【详解】由三视图还原原几何体如图，该几何体为三棱锥，底面三角形ACB与侧面三角形APB为全等的等腰直角三角形，侧面PAB⊥侧面ACB，AB＝4，PO＝OC＝2．侧面PAC与PBC为全等的等边三角形．则该三棱锥的体积为V＝．故答案为：．【点睛】本题考查由三视图求体积，关键是由三视图还原原几何体，考查空间想象能力及运算能力，是中档题．12.过抛物线焦点的直线交抛物线于两点，分别过作准线的垂线，垂足分别为.若，则__________________.【答案】【解析】【分析】设直线AB的倾斜家为锐角θ，由|AF|＝4|BF|，可解出cosθ的值，进而得出sinθ的值，然后利用抛物线的焦点弦长公式计算出线段AB的长，再利用|CD|＝|AB|sinθ可计算出答案．【详解】设直线AB的倾斜角为θ，并设θ为锐角，由于|AF|＝4|BF|，则有，解得，则，由抛物线的焦点弦长公式可得，因此，．故答案为：5．【点睛】本题考查抛物线的性质，解决本题的关键在于灵活利用抛物线的焦点弦长公式，属于中等题．13.2018年国际象棋奥林匹克团体赛中国男队、女队同时夺冠.国际象棋中骑士的移动规则是沿着3×2格或2×3格的对角移动.在历史上，欧拉、泰勒、哈密尔顿等数学家研究了“骑士巡游”问题：在格的黑白相间的国际象棋棋盘上移动骑士，是否可以让骑士从某方格内出发不重复地走遍棋盘上的每一格？图（一）给出了骑士的一种走法，它从图上标1的方格内出发，依次经过标2,3,4,5,6,,到达标64的方格内，不重复地走遍棋盘上的每一格，又可从标64的方格内直接走回到标1的方格内.如果骑士的出发点在左下角标50的方格内，按照上述走法，_____（填“能”或“不能”）走回到标50的方格内.若骑士限制在图（二）中的3×4=12格内按规则移动，存在唯一一种给方格标数字的方式，使得骑士从左上角标1的方格内出发，依次不重复经过2,3,4,5,6,,到达右下角标12的方格内，分析图（二）中A 处所标的数应为____.【答案】(1). 能(2).【解析】【分析】根据题意，画出路线图，解判断是否能，再根据题意，结合题目中的数字，即可求出A处的数字．【详解】如图所示：如果骑士的出发点在左下角标50的方格内，按照上述走法，能走回到标50的方格内，如图所示：使得骑士从左上角标1的方格内出发，依次不重复经过2，3，4，5，6，…，到达右下角标12的方格，且路线是唯一的，故A处应该为8，故答案为：能，8【点睛】本题考查了合情推理的问题，考查了转化与化归思想，整体和部分的思想，属于中档题14.如图，以正方形的各边为底可向外作四个腰长为1的等腰三角形，则阴影部分面积的最大值是___________.【答案】【解析】【分析】设等腰三角形底角为，阴影面积为，根据正弦函数的图象与性质即可得到结果.【详解】设等腰三角形底角为，则等腰三角形底边长为高为，阴影面积为：,当时，阴影面积的最大值为故答案为：【点睛】本题考查平面图形的面积问题，考查三角函数的图象与性质，解题关键用等腰三角形底角为表示等腰三角形的底边与高.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15.在中，已知，（1）求的长；（2）求边上的中线的长.【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)利用同角关系得到，结合正弦定理即可得到的长；（2）在中求出，结合余弦定理即可得到边上的中线的长.【详解】解：（1）由，，所以.由正弦定理得，，即.（2）在中，.由余弦定理得，,所以.所以.【点睛】本题考查正余弦定理的应用，考查推理及运算能力，属于中档题.16.某日A,B,C三个城市18个销售点的小麦价格如下表：（1）甲以B市5个销售点小麦价格的中位数作为购买价格，乙从C市4个销售点中随机挑选2个了解小麦价格.记乙挑选的2个销售点中小麦价格比甲的购买价格高的个数为，求的分布列及数学期望；（2）如果一个城市的销售点小麦价格方差越大，则称其价格差异性越大.请你对A,B,C三个城市按照小麦价格差异性从大到小进行排序（只写出结果）.【答案】（1）分布列见解析，期望为1（2）C,A,B【解析】【分析】(1)由题意可得的可能取值为0，1，2.求出相应的概率值，即可得到的分布列及数学期望；（2）三个城市按照价格差异性从大到小排列为：C，A，B．【详解】解：（1）B市共有5个销售点，其小麦价格从低到高排列为：2450，2460，2500，2500，2500.所以中位数为2500，所以甲的购买价格为2500.C市共有4个销售点，其小麦价格从低到高排列为：2400，2470，2540，2580，故的可能取值为0，1，2.，，.所以分布列为所以数学期望.（2）三个城市按小麦价格差异性从大到小排序为：C,A,B【点睛】求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；第二步是:“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式（常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式等），求出随机变量取每个值时的概率；第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或事件的概率是否正确；第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布X～B(n，p))，则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式(E(X)＝np)求得.17.如图，三棱柱的侧面是平行四边形，，平面平面，且分别是的中点.（1）求证：平面；（2）当侧面是正方形，且时，（ⅰ）求二面角的大小；（ⅱ）在线段上是否存在点，使得？若存在，指出点的位置；若不存在，请说明理由.【答案】（1）见解析（2）（ⅰ）（ⅱ）点在点处时，有【解析】【分析】（1）取中点，证明四边形是平行四边形，可得从而得证；（2）（ⅰ）先证明平面以为原点建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，即可得到二面角的大小；（ⅱ）假设在线段上存在点，使得. 设，则.利用垂直关系，建立的方程，解之即可.【详解】证明：（1）取中点，连，连.在△中，因为分别是中点，所以，且.在平行四边形中，因为是的中点，所以，且.所以，且.所以四边形是平行四边形.所以.又因为平面，平面，所以平面.（2）因为侧面是正方形，所以.又因为平面平面，且平面平面，所以平面.所以.又因为，以为原点建立空间直角坐标系，如图所示.设，则，.（ⅰ）设平面的一个法向量为.由得即令，所以.又因为平面，所以是平面的一个法向量. 所以.由图可知，二面角为钝角，所以二面角的大小为. （ⅱ）假设在线段上存在点，使得.设，则.因为，又，所以.所以.故点在点处时，有【点睛】本题考查向量法求二面角大小、线面平行的证明，考查满足线面垂直的点的位置的判断与求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查化归与转化思想、数形结合思想，考查推理论论能力、空间想象能力，是中档题．18.已知函数.（Ⅰ）当时，求函数的极小值；（Ⅱ）当时，讨论的单调性；（Ⅲ）若函数在区间上有且只有一个零点，求的取值范围.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）详见解析（Ⅲ）【解析】【分析】（Ⅰ）由题意，当时，求得，得出函数的单调性，进而求解函数的极值；（Ⅱ）由，由，得或，分类讨论，即可得到函数的单调区间；（Ⅲ）由（1）和（2），分当和，分类讨论，分别求得函数的单调性和极值，即可得出相应的结论，进而得到结论.【详解】解：（Ⅰ）当时：，令解得，又因为当，，函数为减函数；当，，函数为增函数.所以，的极小值为.（Ⅱ）.当时，由，得或.(ⅰ)若，则.故在上单调递增；（ⅱ）若，则.故当时，；当时，.所以在，单调递增，在单调递减.(ⅲ)若，则.故当时，；当时，.所以在，单调递增，在单调递减.（Ⅲ）（1）当时，，令，得.因为当时，，当时，，所以此时在区间上有且只有一个零点.（2）当时：（ⅰ）当时，由（Ⅱ）可知在上单调递增，且，，此时在区间上有且只有一个零点.（ⅱ）当时，由（Ⅱ）的单调性结合，又，只需讨论的符号：当时，，在区间上有且只有一个零点；当时，，函数在区间上无零点.(ⅲ)当时，由（Ⅱ）的单调性结合，，，此时在区间上有且只有一个零点.综上所述，.【点睛】本题主要考查了导数在函数中的综合应用问题，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用.19.过椭圆W:的左焦点作直线交椭圆于两点，其中，另一条过的直线交椭圆于两点（不与重合），且点不与点重合.过作轴的垂线分别交直线，于,.（Ⅰ）求点坐标和直线的方程；（Ⅱ）求证：.【答案】（Ⅰ），的方程为（Ⅱ）详见解析【解析】【分析】（Ⅰ）由题意可得直线的方程为.与椭圆方程联立方程组，即可求解B点坐标；（Ⅱ）设，，的方程为，联立方程组，根据根与系数的关系，求得，，进而得出点的纵坐标，化简即可证得，得到证明.【详解】（Ⅰ）由题意可得直线的方程为.与椭圆方程联立,由可求.（Ⅱ）当与轴垂直时，两点与,两点重合，由椭圆的对称性，.当不与轴垂直时，设，，的方程为（）.由消去，整理得.则，.由已知，，则直线的方程为，令，得点的纵坐标.把代入得.由已知，，则直线的方程为,令，得点的纵坐标.把代入得.把，代入到中，=.即，即..【点睛】本题主要考查了直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,解答此类题目，通常通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系，得到“目标函数”的解析式，确定函数的性质进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出，本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.20.已知是由正整数组成的无穷数列，对任意，满足如下两个条件：①是的倍数；②.（1）若，，写出满足条件的所有的值；（2）求证：当时，；（3）求所有可能取值中的最大值.【答案】（1）（2）见解析（3）85【解析】【分析】（1）根据满足的两个条件即可得到满足条件的所有的值；（2）由，对于任意的，有. 当时，成立，即成立；若存在使，由反证法可得矛盾；（3）由（2）知，因为且是的倍数，可得所有可能取值中的最大值.【详解】（1）的值可取.（2）由，对于任意的，有.当时，，即，即.则成立.因为是的倍数，所以当时，有成立.若存在使，依以上所证，这样的的个数是有限的，设其中最大的为.则,成立，因为是的倍数，故.由,得.因此当时，. （3）由上问知，因为且是的倍数，所以满足下面的不等式：，.则,, ,,,,,,,,当时，这个数列符合条件.故所求的最大值为85.【点睛】本题考查了数列的有关知识，考查了逻辑推理能力，综合性较强.。

2018-2019学年北京市高一上期末数学试卷(含答案解析)

2018-2019学年高一（上）期末数学试卷一、选择题（共8小题，每小题4分，共32分．在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（4分）已知集合A={1，3，5}，B={x|（x﹣1）（x﹣3）=0}，则A∩B=（）A．ΦB．{1}C．{3}D．{1，3}2．（4分）=（）A．B．C．D．3．（4分）若幂函数y=f（x）的图象经过点（﹣2，4），则在定义域内（）A．为增函数B．为减函数C．有最小值D．有最大值4．（4分）下列函数为奇函数的是（）A．y=2x B．y=sinx，x∈[0，2π]C．y=x3 D．y=lg|x|5．（4分）如图，在平面内放置两个相同的三角板，其中∠A=30°，且B，C，D 三点共线，则下列结论不成立的是（）A．B．C．与共线 D．=6．（4分）函数f（x）的图象如图所示，为了得到y=2sinx函数的图象，可以把函数f（x）的图象（）A．每个点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向左平移个单位B．每个点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移个单位C．先向左平移个单位，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）D．先向左平移个单位，再把所得各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）7．（4分）已知，若实数a，b，c满足0＜a＜b＜c，且f（a）f（b）f（c）＜0，实数x0满足f（x0）=0，那么下列不等式中，一定成立的是（）A．x0＜a B．x0＞a C．x0＜c D．x0＞c8．（4分）如图，以AB为直径在正方形内部作半圆O，P为半圆上与A，B不重合的一动点，下面关于的说法正确的是（）A．无最大值，但有最小值B．既有最大值，又有最小值C．有最大值，但无最小值D．既无最大值，又无最小值二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中横线上）9．（4分）已知向量=（1，2），写出一个与共线的非零向量的坐标．10．（4分）已知角θ的终边经过点（3，﹣4），则cosθ=．11．（4分）已知向量，在边长为 1 的正方形网格中的位置如图所示，则=．12．（4分）函数（t＞0）是区间（0，+∞）上的增函数，则t的取值范围是．13．（4分）有关数据显示，中国快递行业产生的包装垃圾在2015年约为400万吨，2016年的年增长率为50%．有专家预测，如果不采取措施，未来包装垃圾还将以此增长率增长，从年开始，快递行业产生的包装垃圾超过4000万吨．（参考数据：lg2≈0.3010，lg3≈0.4771）14．（4分）函数f（x）=sinωx在区间上是增函数，则下列结论正确的是（将所有符合题意的序号填在横线上）①函数f（x）=sinωx在区间上是增函数；②满足条件的正整数ω的最大值为3；③．三、解答题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．（10分）已知向量=（sinx，1），=（1，k），f（x）=．（Ⅰ）若关于x的方程f（x）=1有解，求实数k的取值范围；（Ⅱ）若且α∈（0，π），求tanα．16．（12分）已知二次函数f（x）=x2+bx+c满足f（1）=f（3）=﹣3．（Ⅰ）求b，c的值；（Ⅱ）若函数g（x）是奇函数，当x≥0时，g（x）=f（x），（ⅰ）直接写出g（x）的单调递减区间：；（ⅱ）若g（a）＞a，求a的取值范围．17．（12分）某同学用“五点法”画函数f（x）=Asin（ωx+φ）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：（Ⅰ）请将上表数据补充完整，函数f（x）的解析式为f（x）=（直接写出结果即可）；（Ⅱ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅲ）求函数f（x）在区间上的最大值和最小值．18．（10分）定义：若函数f（x）的定义域为R，且存在非零常数T，对任意x ∈R，f（x+T）=f（x）+T恒成立，则称f（x）为线周期函数，T为f（x）的线周期．（Ⅰ）下列函数，①y=2x，②y=log2x，③y=[x]，（其中[x]表示不超过x的最大整数），是线周期函数的是（直接填写序号）；（Ⅱ）若g（x）为线周期函数，其线周期为T，求证：函数G（x）=g（x）﹣x 为线周期函数；（Ⅲ）若φ（x）=sinx+kx为线周期函数，求k的值．高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题4分，共32分．在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（4分）已知集合A={1，3，5}，B={x|（x﹣1）（x﹣3）=0}，则A∩B=（）A．ΦB．{1}C．{3}D．{1，3}【解答】解：∵B={x|（x﹣1）（x﹣3）=0}={1，3}，∴A∩B={1，3}，故选：D2．（4分）=（）A．B．C．D．【解答】解：=﹣sin=﹣．故选：A．3．（4分）若幂函数y=f（x）的图象经过点（﹣2，4），则在定义域内（）A．为增函数B．为减函数C．有最小值D．有最大值【解答】解：设幂函数f（x）=xα，由f（﹣2）=4，得（﹣2）α=4=（﹣2）2，在α=2，即f（x）=x2，则在定义域内有最小值0，故选：C．4．（4分）下列函数为奇函数的是（）A．y=2x B．y=sinx，x∈[0，2π]C．y=x3 D．y=lg|x|【解答】解：y=2x为指数函数，没有奇偶性；y=sinx，x∈[0，2π]，定义域不关于原点对称，没有奇偶性；y=x3定义域为R，f（﹣x）=﹣f（x），为奇函数；y=lg|x|的定义域为{x|x≠0}，且f（﹣x）=f（x），为偶函数．故选：C．5．（4分）如图，在平面内放置两个相同的三角板，其中∠A=30°，且B，C，D 三点共线，则下列结论不成立的是（）A．B．C．与共线 D．=【解答】解：设BC=DE=m，∵∠A=30°，且B，C，D三点共线，则CD═AB=，AC=EC=2m，∴∠ACB=∠CED=60°，∠ACE=90°，∴，，故A、B、C成立；故选：D6．（4分）函数f（x）的图象如图所示，为了得到y=2sinx函数的图象，可以把函数f（x）的图象（）A．每个点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向左平移个单位B．每个点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移个单位C．先向左平移个单位，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）D．先向左平移个单位，再把所得各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）【解答】解：根据函数f（x）的图象，设f（x）=Asin（ωx+φ），可得A=2，=﹣，∴ω=2．再根据五点法作图可得2×+φ=0，∴φ=﹣，f（x）=2sin（2x﹣），故可以把函数f（x）的图象先向左平移个单位，得到y=2sin（2x+﹣）=2sin2x的图象，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），即可得到y=2sinx函数的图象，故选：C．7．（4分）已知，若实数a，b，c满足0＜a＜b＜c，且f（a）f（b）f（c）＜0，实数x0满足f（x0）=0，那么下列不等式中，一定成立的是（）A．x0＜a B．x0＞a C．x0＜c D．x0＞c【解答】解：∵f（x）=log2x﹣（）x在（0，+∞）上是增函数，0＜a＜b＜c，且f（a）f（b）f（c）＜0，∴f（a）、f（b）、f（c）中一项为负，两项为正数；或者三项均为负数；即：f（a）＜0，0＜f（b）＜f（c）；或f（a）＜f（b）＜f（c）＜0；由于实数x0是函数y=f（x）的一个零点，当f（a）＜0，0＜f（b）＜f（c）时，a＜x0＜b，当f（a）＜f（b）＜f（c）＜0时，x0＞a，故选：B．8．（4分）如图，以AB为直径在正方形内部作半圆O，P为半圆上与A，B不重合的一动点，下面关于的说法正确的是（）A．无最大值，但有最小值B．既有最大值，又有最小值C．有最大值，但无最小值D．既无最大值，又无最小值【解答】解：设正方形的边长为2，如图建立平面直角坐标系，则D（﹣1，2），P（cosθ，sinθ），（其中0＜θ＜π）=2+=（﹣2cosθ，﹣2sinθ）+（﹣1﹣cosθ，2﹣sinθ）=（﹣1﹣3cosθ，﹣3sinθ）∴==∵cosθ∈（﹣1，1），∴∈（4，16）故选：D二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中横线上）9．（4分）已知向量=（1，2），写出一个与共线的非零向量的坐标（2，4）．【解答】解：向量=（1，2），与共线的非零向量的坐标纵坐标为横坐标2倍，例如（2，4）．故答案为：（2，4）．10．（4分）已知角θ的终边经过点（3，﹣4），则cosθ=．【解答】解：∵角θ的终边经过点（3，﹣4），∴x=3，y=﹣4，r=5，则cosθ==．故答案为：．11．（4分）已知向量，在边长为1 的正方形网格中的位置如图所示，则= 3．【解答】解：由题意可知：=（3，0），=（1，1），则=3×1+1×0=3．故答案为：3．12．（4分）函数（t＞0）是区间（0，+∞）上的增函数，则t的取值范围是[1，+∞）．【解答】解：函数（t＞0）的图象如图：函数（t＞0）是区间（0，+∞）上的增函数，所以t≥1．故答案为：[1，+∞）．13．（4分）有关数据显示，中国快递行业产生的包装垃圾在2015年约为400万吨，2016年的年增长率为50%．有专家预测，如果不采取措施，未来包装垃圾还将以此增长率增长，从2021年开始，快递行业产生的包装垃圾超过4000万吨．（参考数据：lg2≈0.3010，lg3≈0.4771）【解答】解：设快递行业产生的包装垃圾为y万吨，n表示从2015年开始增加的年份的数量，由题意可得y=400×（1+50%）n=400×（）n，由于第n年快递行业产生的包装垃圾超过4000万吨，∴4000=400×（）n，∴（）n=10，两边取对数可得n（lg3﹣lg2）=1，∴n（0.4771﹣0.3010）=1，解得0.176n=1，解得n≈6，∴从2015+6=2021年开始，快递行业产生的包装垃圾超过4000万吨，故答案为：2021．14．（4分）函数f（x）=sinωx在区间上是增函数，则下列结论正确的是①②③（将所有符合题意的序号填在横线上）①函数f（x）=sinωx在区间上是增函数；②满足条件的正整数ω的最大值为3；③．【解答】解：函数f（x）=sinωx在区间上是增函数，由f（﹣x）=sin（﹣ωx）=﹣sinωx=﹣f（x），可得f（x）为奇函数，则①函数f（x）=sinωx在区间上是增函数，正确；由ω≤，可得∅≤3，即有满足条件的正整数ω的最大值为3，故②正确；由于+==2×，由题意可得对称轴x≥，即有f（）≤f（），故③正确．故答案为：①②③．三、解答题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．（10分）已知向量=（sinx，1），=（1，k），f（x）=．（Ⅰ）若关于x的方程f（x）=1有解，求实数k的取值范围；（Ⅱ）若且α∈（0，π），求tanα．【解答】解：（Ⅰ）∵向量a=（sinx，1），b=（1，k），f（x）=，∴f（x）==sinx+k．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）关于x的方程f（x）=1有解，即关于x的方程sinx=1﹣k有解．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）∵sinx∈[﹣1，1]，∴当1﹣k∈[﹣1，1]时，方程有解．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）则实数k的取值范围为[0，2]．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）（Ⅱ）因为，所以，即．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）当时，，．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）当时，，．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）16．（12分）已知二次函数f（x）=x2+bx+c满足f（1）=f（3）=﹣3．（Ⅰ）求b，c的值；（Ⅱ）若函数g（x）是奇函数，当x≥0时，g（x）=f（x），（ⅰ）直接写出g（x）的单调递减区间：[﹣2，2] ；（ⅱ）若g（a）＞a，求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）二次函数f（x）=x2+bx+c满足f（1）=f（3）=﹣3，∴解的b=﹣4；c=0．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得f（x）=x2﹣4x，∵函数g（x）是奇函数，∴g（﹣x）=﹣g（x），假设x＜0，则﹣x＞0，则g（﹣x）=f（﹣x）=x2+4x，∴g（x）=﹣x2﹣4x，∴g（x）=，（i）g（x）的单调减区间为[﹣2，2]．故答案为：[﹣2，2]．（ⅱ）若g（a）＞a，则或解得a＞5或﹣5＜a＜0．综上，a的取值范围为a＞5或﹣5＜a＜0．17．（12分）某同学用“五点法”画函数f（x）=Asin（ωx+φ）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：（Ⅰ）请将上表数据补充完整，函数f（x）的解析式为f（x）=f（x）=2sin（2x+）（直接写出结果即可）；（Ⅱ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅲ）求函数f（x）在区间上的最大值和最小值．【解答】解：（Ⅰ）把表格填完整：根据表格可得=﹣，∴ω=2．再根据五点法作图可得2×+φ=，∴φ=，故函数的解析式为：．（Ⅱ）令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，求得kπ﹣≤x≤kπ+，可得函数f （x）的单调递增区间为，k∈Z．（Ⅲ）因为，所以，故有．所以，当即时，f（x）在区间上的最小值为﹣2．当即x=0时，f（x）在区间上的最大值为1．18．（10分）定义：若函数f（x）的定义域为R，且存在非零常数T，对任意x ∈R，f（x+T）=f（x）+T恒成立，则称f（x）为线周期函数，T为f（x）的线周期．（Ⅰ）下列函数，①y=2x，②y=log2x，③y=[x]，（其中[x]表示不超过x的最大整数），是线周期函数的是③（直接填写序号）；（Ⅱ）若g（x）为线周期函数，其线周期为T，求证：函数G（x）=g（x）﹣x 为线周期函数；（Ⅲ）若φ（x）=sinx+kx为线周期函数，求k的值．【解答】解：（Ⅰ）对于①f（x+T）=2x+T=2x2T=f（x）2T，故不是线周期函数对于②f（x+T）=log2（x+T）≠f（x）+T，故不是线周期函数对于③f（x+T）=[x+T]=[x]+T=f（x）+T，故是线周期函数故答案为：③（Ⅱ）证明：∵g（x）为线周期函数，其线周期为T，∴存在非零常数T，对任意x∈R，g（x+T）=g（x）+T恒成立．∵G（x）=g（x）﹣x，∴G（x+T）=g（x+T）﹣（x+T）=g（x）+T﹣（x+T）=g（x）﹣x=G（x）．∴G（x）=g（x）﹣x为周期函数．（Ⅲ）∵φ（x）=sinx+kx为线周期函数，∴存在非零常数T，对任意x∈R，sin（x+T）+k（x+T）=sinx+kx+T．∴sin（x+T）+kT=sinx+T．令x=0，得sinT+kT=T；令x=π，得﹣sinT+kT=T；①②两式相加，得2kT=2T．∵T≠0，∴k=1检验：当k=1时，φ（x）=sinx+x．存在非零常数2π，对任意x∈R，φ（x+2π）=sin（x+2π）+x+2π=sinx+x+2π=φ（x）+2π，∴φ（x）=sinx+x为线周期函数．综上，k=1．。

北京市朝阳区高一数学上期末试卷

北京市朝阳区高一数学上期末试卷
北京市朝阳区高一数学上期末试卷2019
要多练习，知道自己的不足，对大家的学习有所帮助，详细内容请看下文北京市朝阳区高一数学上期末试卷。

选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
(1)已知全集 R，集合，，则
(A)
(B)
(C)
(D)
(2)函数的定义域为
(A)
(B)
(C)
(D)
(3)下列函数中，在定义域内既是奇函数又是偶函数的为
(4)偶函数的图象如右图所示，则的大小关系是
(A)
(B)
(C)
(D)
(5)函数的零点所在的大致区间是
示，其中可能正确的是
(10)函数满足对定义域内的任意，都有，则函数可以是
(A)
小编为大家整理了北京市朝阳区高一数学上期末试卷，希望对大家有所帮助。

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2019北京朝阳高一(上)期末数学试卷

πx
14. 设函数 f(x)=sin 3 ,则 f(1)+ f(2)+ f(3)+···+ f(100)=
15. 设集合 M={1,3,6,9,12,15},集合 N 满足：①有两个元素；②若 x∈N,则 x+3∈M 且 x-3∈M。请写出两个满足条件的集合 N=
{1
16. 已知函数 f(x)= 3|x|、x ≥ a a ∈ R 2x ‒ x2,x < ��
（I）当 a=1 时，分别求 A∩B 与 A∪B
（II）若 A ⊆ B,求实数 a 的取值范围；
（III）若（∁B��）∩B=B，求实数 a 的最大值. 18. （本小题满分 18 分）
已知函数 f（x）=cos²x+sinxcosx
π
（I）求 f（0），f（4）的值；（II）求 f（x）的最小正周期及对称轴方程；
x y=2x
x y=2x
x y=2x A. 524288
1
2
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5
6
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16
17
18
2048
4096
8192 16384 32768 65536 131072 262144
21
22
23
24
2097152
4194304
8388608
16777216
B. 8388608
1
（II）判断函数 g（x）=-4log2x 是否存在等域区间？若存在，写出该函数的一个等域区间；若不存在，请说明理由。