余弦定理及三角形面积公式复习进程
高三数学总复习 正弦定理和余弦定理教案
高三数学总复习 正弦定理和余弦定理教案教学目标：1、掌握正弦定理和余弦定理的推导，并能用它们解三角形.2、利用正、余弦定理求三角形中的边、角及其面积问题是高考考查的热点．3、常与三角恒等变换相结合，综合考查三角形中的边与角、三角形形状的判断等.教学重点：①能充分应用三角形的性质及有关的三角函数公式证明三角形的边角关系式． ②能合理地选用正弦定理余弦定理结合三角形的性质解斜三角形．③能解决与三角形有关的实际问题．教学难点：①根据已知条件判定解的情形，并正确求解．②将实际问题转化为解斜三角形．教学过程一、基础回顾1、正余弦定理正弦定理：a sinA ＝b sinB ＝c sinC＝2R(其中R 为△ABC 外接圆的半径)． 余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bccosA ，b 2＝a 2＋c 2－2accosB ；c 2＝a 2＋b 2－2abcosC2、变形式①a ＝2RsinA ，b ＝2RsinB ，c ＝2RsinC ；(其中R 是△ABC 外接圆半径)②a ∶b ∶c ＝sinA ：sinB ：sinB③cosA ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cosB ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cosC ＝a 2＋b 2－c 22ab. 3、三角形中的常见结论(1) A ＋B ＋C ＝π.(2) 在三角形中大边对大角，大角对大边：A>B a>b sinA>sinB.(3) 任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．(4) △ABC 的面积公式① S ＝12a ·h(h 表示a 边上的高)； ② S ＝12absinC ＝12acsinB ＝12bcsinA ＝abc 4R； ③ S ＝12r(a ＋b ＋c)(r 为内切圆半径)； ④ S ＝P （P －a ）（P －b ）（P －c ），其中P ＝12(a ＋b ＋c)． 二、基础自测1、在△ABC 中，若∠A＝60°，∠B ＝45°，BC ＝32，则AC ＝________．2、在△ABC 中，a ＝3，b ＝1，c ＝2，则A ＝________．3、在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边，若a ＝2bcosC ，则此三角形一定是________三角形．4、已知△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，且a 2＋b 2－c 2＝ab ，则∠C＝________．5、在△ABC 中，a ＝32，b ＝23，cosC ＝13，则△ABC 的面积为________．三、典例分析例1 (2013·惠州模拟)△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a .(1)求b a； (2)若c 2＝b 2＋3a 2，求B . 解：(1)由正弦定理，得asin B ＝bsin A ，又asin Asin B ＋bcos 2A ＝2a ，∴bsin 2A ＋bcos 2A ＝2a ，即b ＝2a ，因此b a ＝ 2. (2)由c 2＝b 2＋3a 2及余弦定理，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝（1＋3）a 2c， (*) 又由(1)知，b ＝2a ，∴b 2＝2a 2，因此c 2＝(2＋3)a 2，c ＝2＋3a ＝3＋12 a. 代入(*)式，得cos B ＝22， 又0＜B ＜π，所以B ＝π4. 规律方法：1．运用正弦定理和余弦定理求解三角形时，要分清条件和目标．若已知两边与夹角，则用余弦定理；若已知两角和一边，则用正弦定理．2．在已知三角形两边及其中一边的对角，求该三角形的其它边角的问题时，首先必须判断是否有解，如果有解，是一解还是两解，注意“大边对大角”在判定中的应用．例2、(2013·合肥模拟)已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(4，－1)，n ＝(cos 2A 2，cos 2A)，且m ·n ＝72. (1)求角A 的大小； (2)若b ＋c ＝2a ＝23，试判断△ABC 的形状．解：(1)∵m ＝(4，－1)，n ＝(cos 2A2，cos 2A )， ∴m ·n ＝4cos 2A 2－cos 2A ＝4·1＋cos A 2－(2cos 2A －1)＝－2cos 2A ＋2cos A ＋3. 又∵m ·n ＝72， ∴－2cos 2A ＋2cos A ＋3＝72，解得cos A ＝12. ∵0＜A ＜π，∴A ＝π3.(2)在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，且a ＝3，∴(3)2＝b 2＋c 2－2bc ·12＝b 2＋c 2－bc . ① 又∵b ＋c ＝23，∴b ＝23－c ，代入①式整理得c 2－23c ＋3＝0，解得c ＝3，∴b ＝3， 于是a ＝b ＝c ＝3，即△ABC 为等边三角形．规律方法：判定三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行转化．无论使用哪种方法，不要随意约掉公因式；要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能．例3、(2012·课标全国卷)已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，acos C ＋3asin C －b －c ＝0.(1)求A ；(2)若a ＝2，△ABC 的面积为3，求b ，c.解：(1)由a cos C ＋3a sin C －b －c ＝0及正弦定理得sin A cos C ＋3sin A sin C －sin B －sin C ＝0.因为B ＝π－A －C ，则sin B ＝sin A cos C ＋cos A sin C . 所以3sin A sin C －cos A sin C －sin C ＝0.由于sin C ≠0，所以sin(A －π6)＝12. 又0<A <π，故A ＝π3. (2)△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝3，故bc ＝4. ① 又a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，故b 2＋c 2＝8.② 由①②联立，得b ＝c ＝2.四、练习 变式练习1：(2012·浙江高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且bsin A ＝3acos B.(1)求角B 的大小；(2)若b ＝3，sin C ＝2sin A ，求a ，c 的值．变式练习2：在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2asin A ＝(2b ＋c)sin B ＋(2c ＋b)sin C.(1)求A 的大小；(2)若sin B ＋sin C ＝1，试判断△ABC 的形状五、作业布置六、板书设计1、正余弦定理2、变形式3、三角形中常用结论典例分析七、教学反思。
余弦定理的应用与推导过程
余弦定理的应用与推导过程余弦定理是三角形中常用的定理，用于计算三边关系以及三角形的内角。
本文将介绍余弦定理的应用以及推导过程。
一、基本概念在开始介绍余弦定理之前，需要先了解一些基本概念。
对于一个三角形ABC，边a对应的顶点为A，边b对应的顶点为B，边c对应的顶点为C。
角A对应的边为a，角B对应的边为b，角C对应的边为c。
二、余弦定理的应用1. 计算两边夹角的余弦值余弦定理可以帮助我们计算两边夹角的余弦值。
假设已知三角形的三边长度为a、b、c，我们可以根据余弦定理计算出角A的余弦值。
公式如下：cosA = (b² + c² - a²) / (2bc)同样的方式可以计算角B和角C的余弦值。
2. 计算三角形的面积余弦定理还可以用于计算三角形的面积。
假设已知三角形的三边长度为a、b、c，可以利用余弦定理求得其中一个角的余弦值，然后应用三角形面积公式进行计算。
三角形的面积公式为：S = (1/2) * b * c * sinA其中，A为夹角的大小，sinA为A角的正弦值。
3. 判断三角形类型通过余弦定理可以判断三角形的类型。
当已知三边长度为a、b、c 时，若满足a² + b² > c²，则说明该三角形为锐角三角形；若满足a² + b² = c²，则说明该三角形为直角三角形；若满足a² + b² < c²，则说明该三角形为钝角三角形。
三、余弦定理的推导过程余弦定理的推导过程依据的是三角形中的角余弦定理。
假设三角形ABC的三边分别为a、b、c，夹角分别为A、B、C。
根据角余弦定理，我们有以下关系：cosA = (b² + c² - a²) / (2bc)cosB = (a² + c² - b²) / (2ac)cosC = (a² + b² - c²) / (2ab)这就是余弦定理的推导过程。
高三第一轮复习正弦定理、余弦定理与三角形面积公式
解斜三角形正弦定理、余弦定理与三角形面积公式【提纲挈领】主干知识归纳ABC 的6个基本元素： a,b,c,A,B,C .其中三内角 A,B,C 所对边边长分别为 a,b,c .1．正弦定理变式： a 2Rsin A,b2Rsin B,c 2RsinC2．余弦定理3. 三角形面积公式12ac sin B 2R sin A sin B sinC.2（ 2 ）秦九韶 —海伦公式： S ABC 方法规律总结1. 基本量观念： ABC 的 6个基本元素： a,b,c,A,B,C ．已知三个基本量（至少一个为边）确定一个 三角形，正余弦定理是“量化”依据，是初中全等三角形判定定理由定性向定量的转换 .2. 方程观念： 正余弦定理和面积公式是方程的粗坯， 是解三角形的依据， 从三角形 6 个基本元素来说是“知 三求三” .有两条主线：一是统一为边（消角）的关系，归结为边为元的代数方程；二是统一为角（消边） 的关系，归结为三角方程 . 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理 更方便、简捷．如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的 正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．3. 转化思想：利用正余弦定理实现边角间的相互转化 .4. 利用正弦定理解三角形主要是以下两类： （1）已知两边和一对角； （2）已知两角和一边 . 利用余弦定理解三角形主要是以下两类： （1）已知三边；（ 2）已知两边及其夹角 . 对于复杂问题需综合利用正余弦定理实现边角关系向统一转化 .【指点迷津】【类型一】定理的推导与证明【例 1】（2011 陕西理 18）叙述并证明余弦定理 .【解析】 : 余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与他们夹角的余弦之积 的两abc sin A sin B sinC2R （其中 R 是 ABC 的外接圆的半径）a 2b 2c 222bc cos A ，b 2c 2 a 22ca cos B ， c 2a 2b 22abcosC .变式：cosA2 2 2b c a,cosB2bc a 2 b 2,cosC2acb 22ab1 )S ABC11ab sin C bcsin A22p(p a)(p b)(p c),其中 pabc 2倍.或：在ABC 中，a,b,c 为A,B,C 的对边，有a 2b 2c 2 2bc cos A 2 2 2b ac 2ac cos B 2 2 2ca b2ab cosC证法一 如图uuuv uuuv BCuuuv uuuv uuuv uuuv(AC AB)?(AC AB)uuuv 2 uuuv uuuv uuuv 2 AC 2AC?AB ABI )证明： sinB cosA ；3(II) 若sinC sin A cosB ，且 B 为钝角，求 A,B,C .4 sinA sin A以 sinB cosA ；(II)解析】 :(I )由题根据正弦定理结合所给已知条件可得 ，所uuuv 2 ACuuu v ACuuuvAB COSA uuu v 2AB22b 22bc cos A c 22 2 2即 a b c 2bc cos A2 2 2同理可证 b a c 2ac cos B2 2 2c a b 2ab cosC证法二 已知 ABC 中 A,B,C 所对边分别为 a,b,c, 以 A 为原点， AB 所在直线为 x 轴，建立直角坐标 系，则 C(bcosA,bsinA),B(c,0) ,2 2 2 2a 2 BC 2 (bcosA c)2 (bsin A)2b 2 cos 2 A 2bc cos A c 2 b 2 sin 2 A 2 2 2b ac 2ac cos B同理可证2 2 2 b c a 2ca cosB, c 2 a 2 b 2 2ab cosC.类型二】解三角形例 1】【 2015 湖南，文 17】设 ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,abtanA .cosA sinB43 2 3 根据两角和公式化简所给条件可得 sinC sin AcosB cosAsin B，可得 sin 2 B ，结合 44所给角 B 的范围可得角 B,进而可得角 A, 由三角形内角和可得角 C.答案】（I ）略； （II ） A 30o ,B 120o ,C 30.o例 2】［2014·辽宁卷］ 在△ ABC 中，内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，且 a>c.已知BA ·BC ＝2，cosB1 ＝31，b ＝ 3.求：(1)a 和 c 的值； (2)cos(B －C)的值． → →1 ［解析 ］： (1)由 BA ·BC ＝2 得 c ·a ·cos B ＝ 2，又 cos B ＝ 3，所以 ac ＝6.由余弦定理，得 a 2＋c 2＝b 2＋2accos B ，又 b ＝3，所以 a 2＋ c 2＝ 9＋2× 2＝ 13.ac ＝ 6， a ＝ 2 ， a ＝ 3，解2 2 得 或a 2＋ c 2＝ 13， c ＝ 3 c ＝ 2. 因为 a >c ，所以 a ＝ 3，c ＝ 2.sin B ＝ 1 － cos 2B＝sin C ＝c 2·2 2＝ 4 2sin C ＝b sin B ＝3· 3 ＝9因为 a ＝b >c ，所以 C 为锐角，求 AD 的长 .(2)在△ ABC中，由正弦定理，得 因此所以cos （B －C ）＝cos Bcos C ＋sin Bsin C ＝13×79＋ 2 2 4 2 23 × ＝.3 9 27.[答案 ](1)a ＝3，c ＝2.(2)23. 27.例3【】2015安徽，理16】在 ABC 中，A3,AB6,AC3 2 ,点 D 在 BC 边上， AD BD ，22 3cos C ＝ 1－sin 2C ＝ 4 2 2＝ 7.9＝9.3答案】 10 类型三】三角形的面积【例 1】（2013年课标Ⅱ卷（文））△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, 已知 b=2,B= ,C= , 则△ ABC D ． -1的面积为A．() 2 +2B． +1C． 2 - 2【解析】： 由正弦定理有 2cc 2 2，又sin Asin[( )] 2 6 ，6 4 4sin sin6 4所以 S ABC 1 bcsin A 1 2 2 2 2 6 3 1. 2 2 4 答案： B例 2】【2015 天津，理 13】在 ABC 中，内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c ，已知 ABC 的面 积为 3 15 ， b c 2,cos A 1, 则 a 的值为4【答案】 8【例 3】［2014·新课标全国卷Ⅰ ］ 已知 a ，b ，c 分别为△ ABC 三个内角 A ，B ，C 的对边， a ＝2，且（2＋b ）·（sin A －sin B ）＝ （c － b ）sin C ，则△ ABC 面积的最大值为 ．［解析］: 根据正弦定理和 a ＝2可得（a ＋b ）（a －b ）＝（c －b ）c ，故得 b 2＋ c 2－ a 2＝ bc ，根据余弦定理得 cos A ＝ b 2＋ c 2－ a 2 1 π b2bc ＝12，所以A ＝3.根据b 2＋c 2－a 2＝bc 及基本不等式得 bc ≥2bc －a 2，即bc ≤4，所以△ ABC 面积 2bc 2 3 的最大值为 1× 4× 3＝ 3.22答案： 3 【同步训练】【一级目标】基础巩固组 一、选择题b c ，则 b （ ）答案】的面积是 （答案： C13. 在△ABC 中，角 A 、B 、C 所对应的边为 a,b,c ，若 cosA,b 3c ，则sinC 的值为（）1设C 的内角 ， C 的对边分别为 a ， b ， c ．若2 ， c 23 ， cos3，且2解析】 由余弦定理得：B ．2C ．22 D ．3即b 26b 80 ，解得： b 2 c 22bc cos 2，所以b 2 2 3 2b 2 或b 4 ，因为 bc ，所以 b 2 ，故选 B ．2.[2014 江·西卷 ] 在△ABC 中， 内角 A ，B ， C 所对的边分别是 a ， b ，c.若 c 2＝（a －b ）2＋6， πC ＝ 3 ，则△ABCA ．3B.9 23C.3 3C. 2D ． 3 3解析】：由余弦定理得， cos C ＝a ＋b －c ＝2ab －6＝12，所以2ab2abab ＝6，所以 S △ ABC ＝ 21absin C ＝ 3 2 3312223 A ．BC ．D.33 33【解析】：由 cosA 1,b33c及a2 b2 c 22bccosA,得a 2 b 2 c 2故△ABC 答案： A 是直角三角形，且 B , 所以 sinC21 cosA . 34． [2014 ·新课标全国卷Ⅱ ] 钝角三角形 ABC 的面积是 12，AB ＝1，BC ＝ 2，则 AC ＝( )A ．5B. 5C ．2D ． 1【解析】：根据三角形面积公式， 得 21BA ·BC ·sin B ＝21，即12× 1× 2×sin B ＝ 12，得 sin B ＝ 22，其中C<A. 若 B 为锐角，则 B ＝ π4 ，所以 AC ＝ 1＋2－2×1× 2× 22＝1＝AB ，易知 A 为直角，此时△ ABC 为直角三角形，所以 B 为钝角，即 B ＝ 34π，所以 AC ＝ 1＋2－2×1× 2× － 22 ＝ 5. 答案： B的面积为答案： D 二、填空题【答案】 77．【 2015北京，理 12】在△ABC 中， a 4，答案】 1→ → π8． [2014·山东卷] 在△ABC 中，已知AB ·AC ＝tan A ，当 A ＝ 时，△ ABC 的面积为 ______ 65．在 OAB 中，OA (2cos,2sin ),OB (5cos ,5sin )，若 OAOB5，则 OAB3 B ．2C ． 5 353 D.2解析】：由条件知 OA2,OB5,cos AOB1,所以 2SOAB2553 26．【 2015福建，理 12】若锐角 ABC 的面积为 10 3 ，且 AB5,AC，则 BC 等于b 5，c 6，则 sin2A sinC→ → π → → 2解析】：因为AB ·AC ＝|AB |· |AC|cos A ＝tan A ，且A ＝6，所以|AB|·|AC|＝32，所以△ABC 的面积 S1 → → 12 π1 ＝2|AB|·|AC|sin A ＝2×3×sin 6＝6答案： 16三、解答题29．【 2015新课标 1，文17】已知 a, b, c 分别是 ABC 内角 A,B,C 的对边， sin 2B 2sin AsinC . I ）若 a b ，求 cosB; II ）若 B 90o ，且 a2, 求 ABC 的面积 .2【解析】 :（I ）先由正弦定理将 sin 2B 2sin AsinC 化为变得关系，结合条件 a b ，用其中一边把 另外两边表示出来，再用余弦定理即可求出角 B 的余弦值；（II ）由（ I ）知b 2 = 2ac ，根据勾股定理和 即可求出 c ，从而求出 ABC 的面积 .试题解析：（I ）由题设及正弦定理可得 b 2 =2ac . 又a=b ，可得 b=2c ,a=2c ,II ）由（1）知b 2 =2ac .2 2 2因为B = 90°，由勾股定理得 a 2+c 2 =b 2. 故a 2+c 2 = 2ac ，得 c=a= 2. 所以 D ABC 的面积为 1. 1 【答案】（I ） （II ）1410. 【2015浙江，文 16】在 ABC 中，内角 A ，B ，C 所对的边分别为 a, b,c .已知 tan （ A ） 2.4sin2A（ 1）求 2 的值； sin 2 A + cos 2A（2）利用正弦定理得到边 b 的值，根据三角形，两边一夹角的面积公式计算得到三角形的面积由余弦定理可得 cosB =a 2 +c 2 -b 22ac（2）若 B,a 3，求 ABC 的面积 . 4解析】 （1） 利用两角和与差的正切公式，得到tanA1，利用同角三角函数基本函数关系式得到结论；3答案： A 2． ［2014·重庆卷］ 已知△ ABC 的内角 A ，B ，C 满足 sin 2A ＋sin （A －B ＋C ）＝sin （C －A －B ）＋12，面积 S 满足 1≤S ≤2，记 a ，b ，c 分别为 A ，B ，C 所对的边，则下列不等式一定成立的是 （ ）A ．bc （b ＋c ）＞8B ．ab （a ＋b ）＞16 2C ． 6≤abc ≤12D ． 12≤ abc ≤ 24［解析 ］: 因为 A ＋B ＋ C ＝π，所以 A ＋C ＝π－ B ， C ＝π－ （A ＋ B ），所以由已知等式可得 sin 2A ＋sin （ π 11 －2B ）＝sin ［π－2（A ＋B ）］＋2，即 sin 2 A ＋ sin 2B ＝sin 2（A ＋B ）＋2，sin ［（ A ＋B ）＋（A －B ）］＋sin ［（A ＋B ）－（A －B ）］＝sin 2（A ＋B ）＋12， 2 sin （ A ＋ B ）cos （A －B ）＝2sin （A ＋ B ）cos （A ＋B ）＋12，112sin （ A ＋ B ）［cos （A － B ）－ cos （A ＋ B ）］＝ ，所以 sin Asin Bsin C ＝ .28 1由 1≤S ≤ 2，得1≤2bcsin A≤2.由正弦定理得 a ＝2Rsin A ，b ＝2Rsin B ，c ＝2Rsin C ，所以 1≤2R 2·sinAsin Bsin C ≤ 2，所以 1≤R 4 ≤2，即 2≤ R ≤22，所以 bc （b ＋c ）＞abc ＝8R 3sin Asin Bsin C ＝ R 3≥8.试题解析： （1） 由 tan （ 4 sin2A 2cos A 所以 sin2A 1A ） 2，得 tanA32sin AcosA 2 2sin AcosA cos A 2tanA （2）由tanA13可得， 2tanA 1sinA 10 ,cos A 3 10 10 10 a 3,B ，由正弦定理知： b 3 5 . 4又sinC sin （A B ） sin AcosB cos Asin B 2551 12 5 所以 S ABC ab sin C3 3 5229.答案】 （1） 2 ；（2）9 5 二级目标】能力提升题组 一、选择题 1．在△ ABC 中， 内角 A,B,C 的对边分别是b ,c ，若 a 2 b 2 3bc ， sin C 2 3sin B ，则 A= A ） 300 B ） 600 C ） 120 D ）1500 解析】 由由正弦定理得2R2 3b 2R2 3b ， 所以 22b +c -a cosA=2bcc 23bc 2 3bc 2bc2bc3，所以 A=3002所以所以所以13答案： A 二、填空题13．【 2015广东，理 11】设 ABC 的内角 A ， B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，若 a 3， sin B2πC ，则 b622 答案】 2 2 ,1. 3 ,1.高考链接】a=1 ，则 b=【答案】1．三、解答题4. 【 2015 山东，文 17】ABC 中，角 A ，B ，C 所对的边分别为 a,b,c .已知3cos B ,sin (A3 B) 6 ,ac 2 3 求sinA 和c9的值.解析】在ABC 中，由36 cosB ，得 sin B33因为 A BC ，所以 sinC sin(A B) 69因为 sinC sinB ，所以 C B ， C 为锐角， cosC539因此 sin A sin(B C) sin BcosC cosBsinC5 3 3 63922 3由asinAc, 可得 a sinCcsin A sinC22c 32 3c ，又 ac 6 92 3 ，所以 c1.1. （2016 年全国 II 理 13）△ ABC 的内角 A 、B 、C 的对边分别为 a 、 b 、 c ，若 cosA4,cosC54b2 2 c1【解析】：由余弦定理有52bc21，解得b21.51b2 2 c13132b21【答b132. 【2015 浙江，理16】在ABC 中，内角A，B ，C所对的边分别为a ，b，c，已知A1）求tanC 的值；2）若ABC的面积为7，求b的值.答案】（1）2；（2）b 3.3.【2015江苏，15】在ABC中，已知AB 2,AC 3,A 60 .1）求BC 的长；2）求sin2C的值.因此sin 2C 2sin CcosC 2 21 2 7 4 3 ．7 7 7【答案】（ 1） 7 ；（2） 4 374. 【2015新课标 2，理17】 ABC 中， D 是BC 上的点， AD 平分 BAC ， ABD 面积是 ADC 面积的 2 倍． sin B (Ⅰ ) 求 sin C答案】 (Ⅰ)1 ；(Ⅱ)BD2,AC 1． 2(Ⅱ )若 AD 1， DC2 2 求 BD 和 AC 的长．。
高考数学一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 第6讲 正弦定理和余弦定理 第2课时 正、余弦定理的综
第2课时 正、余弦定理的综合问题与三角形面积有关的问题(多维探究) 角度一 计算三角形的面积(1)(2019·高考全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b＝6，a ＝2c ，B ＝π3，则△ABC 的面积为．(2)(2020·某某五校第二次联考)在△ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a 2＋b 2－c 2＝3ab ，且ac sin B ＝23sin C ，则△ABC 的面积为．【解析】 (1)法一：因为a ＝2c ，b ＝6，B ＝π3，所以由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得62＝(2c )2＋c 2－2×2c ×c cos π3，得c ＝23，所以a ＝43，所以△ABC 的面积S ＝12ac sinB ＝12×43×23×sin π3＝6 3.法二：因为a ＝2c ，b ＝6，B ＝π3，所以由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得62＝(2c )2＋c 2－2×2c ×c cos π3，得c ＝23，所以a ＝43，所以a 2＝b 2＋c 2，所以A ＝π2，所以△ABC的面积S ＝12×23×6＝6 3.(2)因为a 2＋b 2－c 2＝3ab ，所以由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝3ab 2ab ＝32，又0＜C ＜π，所以C ＝π6.因为ac sin B ＝23sin C ，所以结合正弦定理可得abc ＝23c ，所以ab ＝2 3.故S △ABC ＝12ab sin C ＝12×23sin π6＝32. 【答案】 (1)6 3 (2)32求三角形面积的方法(1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积，代入公式求面积；(2)若已知三角形的三边，可先求其中一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积，总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键．角度二 已知三角形的面积解三角形(2020·某某五市十校共同体联考改编)已知a ，b ，c 分别为△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，(3b －a )cos C ＝c cos A ，c 是a ，b 的等比中项，且△ABC 的面积为32，则ab＝，a ＋b ＝．【解析】 因为(3b －a )cos C ＝c cos A ，所以利用正弦定理可得3sin B cos C ＝sin A cosC ＋sin C cos A ＝sin(A ＋C )＝sinB ．又因为sin B ≠0，所以cosC ＝13，则C为锐角，所以sin C ＝223.由△ABC 的面积为32，可得12ab sin C ＝32，所以abc 是a ，b的等比中项可得c 2＝ab ，由余弦定理可得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，所以(a ＋b )2＝113ab ＝33，所以a ＋b ＝33.【答案】 933已知三角形面积求边、角的方法(1)若求角，就寻求这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解； (2)若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解． [注意] 正弦定理、余弦定理与三角函数性质的综合应用中，要注意三角函数公式的工具性作用．1．(2020·某某市模拟考试)在△ABC 中，AC ＝5，BC ＝10，cos A ＝255，则△ABC的面积为( )A.52 B ．5C ．10D ．102解析：选A.由AC ＝5，BC ＝10，BC 2＝AB 2＋AC 2－2AC ·AB cos A ，得AB 2－4AB －5＝0，解得AB ＝5，而sin A ＝1－cos 2A ＝55，故S △ABC ＝12×5×5×55＝52.选A. 2．(2020·某某市统一模拟考试)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a sin(A ＋B )＝c sin B ＋C2.(1)求A ；(2)若△ABC 的面积为3，周长为8，求a . 解：(1)由题设得a sin C ＝c cos A2，由正弦定理得sin A sin C ＝sin C cos A2，所以sin A ＝cos A2，所以2sin A 2cos A 2＝cos A 2，所以sin A 2＝12，所以A ＝60°.(2)由题设得12bc sin A ＝3，从而bc ＝4.由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得a 2＝(b ＋c )2－12. 又a ＋b ＋c ＝8，所以a 2＝(8－a )2－12，解得a ＝134.三角形面积或周长的最值(X 围)问题(师生共研)(2019·高考全国卷Ⅲ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知a sinA ＋C2＝b sin A .(1)求B ；(2)若△ABC 为锐角三角形，且c ＝1，求△ABC 面积的取值X 围． 【解】 (1)由题设及正弦定理得sin A sin A ＋C2＝sin B sin A .因为sin A ≠0，所以sinA ＋C2＝sin B .由A ＋B ＋C ＝180°，可得sinA ＋C2＝cos B 2，故cos B 2＝2sin B 2cos B2.因为cos B 2≠0，故sin B 2＝12，因此B ＝60°.(2)由题设及(1)知△ABC 的面积S △ABC ＝34a .由正弦定理得a ＝c sin A sin C ＝sin （120°－C ）sin C ＝32tan C ＋12. 由于△ABC 为锐角三角形，故0°<A <90°，0°<C <90°. 由(1)知A ＋C ＝120°，所以30°<C <90°，故12<a <2，从而38<S △ABC <32.因此，△ABC 面积的取值X 围是⎝⎛⎭⎪⎫38，32.求有关三角形面积或周长的最值(X 围)问题在解决求有关三角形面积或周长的最值(X 围)问题时，一般将其转化为一个角的一个三角函数，利用三角函数的有界性求解，或利用余弦定理转化为边的关系，再应用基本不等式求解．(一题多解)(2020·某某市质量检测)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若角A ，B ，C 成等差数列，且b ＝32. (1)求△ABC 外接圆的直径； (2)求a ＋c 的取值X 围．解：(1)因为角A ，B ，C 成等差数列，所以2B ＝A ＋C ， 又因为A ＋B ＋C ＝π，所以B ＝π3.根据正弦定理得，△ABC 的外接圆直径2R ＝bsin B ＝32sinπ3＝1.(2)法一：由B ＝π3，知A ＋C ＝2π3，可得0＜A ＜2π3.由(1)知△ABC 的外接圆直径为1，根据正弦定理得， asin A ＝bsin B ＝csin C ＝1，所以a ＋c ＝sin A ＋sin C ＝sin A ＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－A＝3⎝⎛⎭⎪⎫32sin A ＋12cos A＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π6. 因为0＜A ＜2π3，所以π6＜A ＋π6＜5π6.所以12＜sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π6≤1， 从而32＜3sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π6≤3，所以a ＋c 的取值X 围是⎝⎛⎦⎥⎤32，3. 法二：由(1)知，B ＝π3，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－3ac≥(a ＋c )2－3⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋c 22＝14(a ＋c )2(当且仅当a ＝c 时，取等号)，因为b ＝32，所以(a ＋c )2≤3，即a ＋c ≤3，又三角形两边之和大于第三边，所以32＜a ＋c ≤3， 所以a ＋c 的取值X 围是⎝⎛⎦⎥⎤32，3.解三角形与三角函数的综合应用(师生共研)(2020·某某省五市十校联考)已知向量m ＝(cos x ，sin x )，n ＝(cos x ，3cos x )，x ∈R ，设函数f (x )＝m ·n ＋12.(1)求函数f (x )的解析式及单调递增区间；(2)设a ，b ，c 分别为△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，若f (A )＝2，b ＋c ＝22，△ABC 的面积为12，求a 的值．【解】 (1)由题意知，f (x )＝cos 2x ＋3sin x cos x ＋12＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋1.令2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z ，解得x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3＋k π，π6＋k π，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3＋k π，π6＋k π，k ∈Z . (2)因为f (A )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π6＋1＝2，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫2A ＋π6＝1.因为0＜A ＜π，所以π6＜2A ＋π6＜13π6，所以2A ＋π6＝π2，即A ＝π6.由△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝12，得bc ＝2，又b ＋c ＝22，所以a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b ＋c )2－2bc (1＋cos A )， 解得a ＝3－1.标注条件，合理建模解决三角函数的应用问题，无论是实际应用问题还是三角函数与解三角形相结合的问题，关键是准确找出题中的条件并在三角形中进行准确标注，然后根据条件和所求建立相应的数学模型，转化为可利用正弦定理或余弦定理解决的问题．△ABC 中的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b ＝2a －2c cos B .(1)求角C 的大小；(2)求3cos A ＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π3的最大值，并求出取得最大值时角A ，B 的值．解：(1)法一：在△ABC 中，由正弦定理可知sin B ＝2sin A －2sin C cos B ， 又A ＋B ＋C ＝π，则sin A ＝sin (π－(B ＋C ))＝sin(B ＋C )，于是有sin B ＝2sin(B ＋C )－2sin C cos B ＝2sin B cos C ＋2cos B sin C －2sin C cos B ，整理得sin B ＝2sin B cos C ，又sin B ≠0， 则cos C ＝12，因为0<C <π，则C ＝π3.法二：由题可得b ＝2a －2c ·a 2＋c 2－b 22ac，整理得a 2＋b 2－c 2＝ab ，即cos C ＝12，因为0<C <π，则C ＝π3.(2)由(1)知C ＝π3，则B ＋π3＝π－A ，于是3cos A ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π3＝3cos A ＋sin (π－A )＝3cos A ＋sin A ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π3，因为A ＝2π3－B ，所以0<A <2π3，所以π3<A ＋π3<π，故当A ＝π6时，2sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π3的最大值为2，此时B ＝π2.[基础题组练]1．△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知b ＝7，c ＝4，cos A ＝74，则△ABC 的面积等于( )A ．37B.372C ．9D ．92解析：选B.因为cos A ＝74，则sin A ＝34，所以S △ABC ＝12×bc sin A ＝372，故选B. 2．在△ABC 中，已知C ＝π3，b ＝4，△ABC 的面积为23，则c ＝( )A ．27 B.7 C ．2 2D ．2 3解析：选D.由S ＝12ab sin C ＝2a ×32＝23，解得a ＝2，由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝12，故c ＝2 3.3．(2020·某某三市联考)已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，sin A ∶sin B ＝1∶3，c ＝2cos C ＝3，则△ABC 的周长为( )A ．3＋3 3B ．2 3C ．3＋2 3D ．3＋ 3解析：选C.因为sin A ∶sin B ＝1∶3，所以b ＝3a ，由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋（3a ）2－c 22a ×3a＝32，又c ＝3，所以a ＝3，b ＝3，所以△ABC 的周长为3＋23，故选C.4．(2020·某某师大附中4月模拟)若△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b ＝2，c ＝5，△ABC 的面积S ＝52cos A ，则a ＝( ) A ．1 B. 5 C.13D ．17解析：选A.因为b ＝2，c ＝5，S ＝52cos A ＝12bc sin A ＝5sin A ，所以sin A ＝12cos A .所以sin 2A ＋cos 2A ＝14cos 2A ＋cos 2A ＝54cos 2A cos A ＝255.所以a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝4＋5－2×2×5×255＝9－8＝1，所以a A.5．(2020·某某市定位考试)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，△ABC 的面积为43，且2b cos A ＋a ＝2c ，a ＋c ＝8，则其周长为( )A ．10B ．12C ．8＋ 3D ．8＋2 3解析：选B.因为△ABC 的面积为43，所以12ac sin B ＝4 3.因为2b cos A ＋a ＝2c ，所以由正弦定理得2sin B cos A ＋sin A ＝2sin C ，又A ＋B ＋C ＝π，所以2sin B cos A ＋sin A ＝2sin A cos B ＋2cos A sin B ，所以sin A ＝2cos B ·sin A ，因为sin A ≠0，所以cos B ＝12，因为0＜B ＜π，所以B ＝π3，所以ac ＝16，又a ＋c ＝8，所以a ＝c ＝4，所以△ABC 为正三角形，所以△ABC B.6．在△ABC 中，A ＝π4，b 2sin C ＝42sin B ，则△ABC 的面积为．解析：因为b 2sin C ＝42sin B ，所以b 2c ＝42b ，所以bc ＝42，S △ABC ＝12bc sin A ＝12×42×22＝2. 答案：27．(2020·某某某某五校协作体期中改编)在△ABC 中，A ＝π3，b ＝4，a ＝23，则B ＝，△ABC 的面积等于．解析：△ABC 中，由正弦定理得sin B ＝b sin Aa ＝4×sinπ323B 为三角形的内角，所以B＝π2，所以c ＝b 2－a 2＝42－（23）2＝2， 所以S △ABC ＝12×2×23＝2 3.答案：π22 38．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边，且B 为锐角，若sin A sin B ＝5c2b，sinB ＝74，S △ABC ＝574，则b 的值为． 解析：由sin A sin B ＝5c 2b ⇒a b ＝5c 2b ⇒a ＝52c ，①由S △ABC ＝12ac sin B ＝574且sin B ＝74得12ac ＝5，②联立①，②得a ＝5，且c ＝2. 由sin B ＝74且B 为锐角知cos B ＝34， 由余弦定理知b 2＝25＋4－2×5×2×34＝14，b ＝14.答案：149．在△ABC 中，∠A ＝60°，c ＝37a .(1)求sin C 的值；(2)若a ＝7，求△ABC 的面积．解：(1)在△ABC 中，因为∠A ＝60°，c ＝37a ，所以由正弦定理得sin C ＝c sin A a ＝37×32＝3314. (2)因为a ＝7，所以c ＝37×7＝3.由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A 得72＝b 2＋32－2b ×3×12，解得b ＝8或b ＝－5(舍)．所以△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝12×8×3×32＝6 3.10．(2020·某某五校第二次联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且3a cos C ＝(2b －3c )cos A .(1)求角A 的大小；(2)若a ＝2，求△ABC 面积的最大值．解：(1)由正弦定理可得，3sin A cos C ＝2sin B cos A －3sin C cos A ， 从而3sin(A ＋C )＝2sin B cos A ， 即3sin B ＝2sin B cos A .又B 为三角形的内角，所以sin B ≠0，于是cos A ＝32， 又A 为三角形的内角，所以A ＝π6.(2)由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得4＝b 2＋c 2－2bc ×32≥2bc －3bc ， 所以bc ≤4(2＋3)，所以S △ABC ＝12bc sin A ≤2＋3，故△ABC 面积的最大值为2＋ 3.[综合题组练]1．(2020·某某市诊断测试)在平面四边形ABCD 中，∠D ＝90°，∠BAD ＝120°，AD ＝1，AC ＝2，AB ＝3，则BC ＝( )A. 5B. 6C.7D ．2 2解析：选C.如图，在△ACD 中，∠D ＝90°，AD ＝1，AC ＝2，所以∠CAD ＝60°.又∠BAD ＝120°，所以∠BAC ＝∠BAD －∠CAD ＝60°.在△ABC 中，由余弦定理得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos ∠BAC ＝7，所以BC ＝7.故选C.2．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，a sin A ＋b sin B －c sin C sin B sin C ＝233a ，a ＝2 3.若b ∈[1，3]，则c 的最小值为．解析：由a sin A ＋b sin B －c sin C sin B sin C ＝233a ，得a 2＋b 2－c 22ab ＝33sin C ．由余弦定理可知cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ，即3cos C ＝3sin C ，所以tan C ＝3，故cos C ＝12，所以c 2＝b 2－23b ＋12＝(b －3)2＋9，因为b ∈[1，3]，所以当b ＝3时，c 取最小值3.答案：33．(2020·某某市学业质量调研)△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为32ac cos B ，且sin A ＝3sin C . (1)求角B 的大小；(2)若c ＝2，AC 的中点为D ，求BD 的长． 解：(1)因为S △ABC ＝12ac sin B ＝32ac cos B ， 所以tan B ＝ 3.又0＜B ＜π，所以B ＝π3. (2)sin A ＝3sin C ，由正弦定理得，a ＝3c ，所以a ＝6. 由余弦定理得，b 2＝62＋22－2×2×6×cos 60°＝28，所以b ＝27. 所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝（27）2＋22－622×2×27＝－714. 因为D 是AC 的中点，所以AD ＝7. 所以BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD cos A ＝22＋(7)2－2×2×7×⎝ ⎛⎭⎪⎫－714＝13. 所以BD ＝13.4．(2020·原创题)在△ABC 中，sin A ∶cos B ∶tan A ＝12∶16∶15.(1)求sin C ；(2)若AB ＝8，点D 为△ABC 外接圆上的动点，求DA →·DC →的最大值．解：(1)由sin A ∶tan A ＝12∶15，得cos A ＝45，故sin A ＝35，所以由sin A ∶cos B ＝12∶16，得cos B ＝45，故sin B ＝35，于是sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝2425. (2)在△ABC 中，由AC sin B ＝ABsin C，解得AC ＝5，由A ，B ，C ，D 四点共圆及题干条件，可知∠ADC ＝∠ABC 时DA →·DC →取得最大值， 设DA ＝m ，DC ＝n ，在△DAC 中，由余弦定理的推论得cos ∠ADC ＝m 2＋n 2－522mn ＝45， 故85mn ＝m 2＋n 2－25≥2mn －25， 解得mn ≤1252， 故DA →·DC →＝45mn ≤45×1252＝50， 当且仅当m ＝n ＝5102时，等号成立， 故DA →·DC →的最大值为50.。
解三角形(正弦定理、余弦定理、三角形面积公式)
授课班级：13级1班 授课时间：15年12月1日
2019年7月4日9时48分
1
余弦定理、正弦定理和三角形面积公 式
夯基释疑
概要
考点突破
考点一 考点二
例 1 训练1 例 2 训练2
课堂小结
考点三
例 3 训练3
2019年7月4日9时48分
2
夯基释疑
熟记公式是本节的基本要求。
所以sin A=
3=
3
3
3 2 1
12
12
12
2
因为a b，所以0 ∠A 2 ，则∠A= ，
3
6
因为∠C= 2
63 6
所以S
1 ABC = 2 ab sin C
14 2
3 12 1 12 2
3
2019年7月4日9时48分
19
余弦定理、正弦定理和三角形面积公 式
夯基释疑
概要
考点突破
考点一 考点二
例 1 训练1 例 2 训练2
课堂小结
考点三
例 3 训练3
2019年7月4日9时48分
17
考点突破 考点三 三角形面积公式的应用
【例3】（2013年高考题）在△ABC中，a 3，b=4，c= 37， 则△ABC的面积是 _________ .
解析
a2 b2 c2 9 16 37 1
21
请完成《学海领航课堂训练》
2019年7月4日9时48分
22
SUCCESS
THANK YOU
2019/7/4
5
所以cosA 1 ( 4)2 3 ,
5
高三第一轮复习正弦定理、余弦定理与三角形面积公式
解斜三角形正弦定理、余弦定理与三角形面积公式【提纲挈领】主干知识归纳ABC ∆的6个基本元素：C B A c b a ,,,,,.其中三内角C B A ,,所对边边长分别为c b a ,,.1．正弦定理R CcB b A a 2sin sin sin ===（其中R 是ABC ∆的外接圆的半径）变式：C R c B R b A R asin 2,sin 2,sin 2===2．余弦定理A bc c b a cos 2222-+=，B ca a c b cos 2222-+=，C ab b a c cos 2222-+=. 变式：abc a b C ac b a c B bc a c b A 2cos ,2cos ,2cos 222222222-+=-+=-+=.3.三角形面积公式 （1）.sin sin sin 2sin 21sin 21sin 212C B A R B ac A bc C ab S ABC====∆ （2）秦九韶—海伦公式：,))()((c p b p a p p S ABC ---=∆其中2cb a p ++=. 方法规律总结1.基本量观念：ABC ∆的6个基本元素：C B A c b a ,,,,,．已知三个基本量（至少一个为边）确定一个三角形，正余弦定理是“量化”依据，是初中全等三角形判定定理由定性向定量的转换.2.方程观念：正余弦定理和面积公式是方程的粗坯，是解三角形的依据，从三角形6个基本元素来说是“知三求三”.有两条主线：一是统一为边（消角）的关系，归结为边为元的代数方程；二是统一为角（消边）的关系，归结为三角方程. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷．如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．3.转化思想：利用正余弦定理实现边角间的相互转化.4.利用正弦定理解三角形主要是以下两类：（1）已知两边和一对角；（2）已知两角和一边. 利用余弦定理解三角形主要是以下两类：（1）已知三边；（2）已知两边及其夹角. 对于复杂问题需综合利用正余弦定理实现边角关系向统一转化.【指点迷津】【类型一】定理的推导与证明 【例1】（2011陕西理18）叙述并证明余弦定理.【解析】: 余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与他们夹角的余弦之积的两倍.或：在∆ABC 中，a,b,c 为A,B,C 的对边，有2222cos a b c bc A =+- 2222cos b a c ac B =+- 2222cos c a b ab C =+-证法一 如图2a BC BC =•u u u v u u u v()()AC AB AC AB =-•-u u u v u u u v u u u v u u u v222AC AC AB AB =-•+u u u v u u u v u u u v u u u v222cos b bc A c =-+即2222cos ab c bc A =+-同理可证2222cos b a c ac B =+-2222cos c a b ab C =+-证法二 已知∆ABC 中A,B,C 所对边分别为a,b,c,以A 为原点，AB 所在直线为x 轴，建立直角坐标系，则(cos ,sin),(,0)C b A b A B c ,2222(cos )(sin )a BC b A c b A ∴==-+22222cos 2cos sin b A bc A c b A =-++ 2222cos b a c ac B =+-同理可证2222222cos ,2cos .b c a ca B c a b ab C =+-=+-【类型二】解三角形【例1】【2015湖南，文17】设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,,tan a b c a b A =.（I ）证明：sin cos B A =；(II) 若3sin sincos 4C A B -=，且B 为钝角，求,,A B C . 【解析】:（I ）由题根据正弦定理结合所给已知条件可得sin sin cos sin A AA B=，所以sin cos B A = ；(II)222AC AC AB COSA AB=-•+u u u v u u u v u u u v u u u v根据两角和公式化简所给条件可得3sin sin cos cos sin 4C A B A B -==，可得23sin 4B =，结合所给角B 的范围可得角B,进而可得角A,由三角形内角和可得角C.【答案】（I ）略；(II)30,120,30.A B C ===o o o【例2】[2014·辽宁卷] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a >c .已知BA →·BC →＝2，cos B ＝13，b ＝3.求： (1)a 和c 的值； (2)cos(B －C )的值．[解析]：(1)由BA →·BC →＝2得c ·a ·cos B ＝2，又cos B ＝13，所以ac ＝6.由余弦定理，得a 2＋c 2＝b 2＋2ac cos B ，又b ＝3，所以a 2＋c 2＝9＋2×2＝13. 解⎩⎨⎧ac ＝6，a 2＋c 2＝13，得⎩⎨⎧a ＝2，c ＝3或⎩⎨⎧a ＝3，c ＝2. 因为a ＞c ，所以a ＝3，c ＝2.(2)在△ABC 中，sin B ＝1－cos 2B ＝1－()132＝223.由正弦定理，得sin C ＝c b sin B ＝23·2 23＝ 4 29.因为a ＝b ＞c ，所以C 为锐角，因此cos C ＝1－sin 2C ＝1－⎝⎛⎭⎫4 292＝79.所以cos(B －C )＝cos B cos C ＋sin B sin C ＝13×79＋2 23×4 29＝2327.[答案]（1）a ＝3，c ＝2.（2）2327. 【例3】【2015安徽，理16】在ABC ∆中，3,6,324A AB AC π===点D 在BC 边上，AD BD =，求AD 的长.【答案】10【类型三】三角形的面积【例1】（2013年课标Ⅱ卷（文））△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知b=2,B=,C=,则△ABC的面积为 （ ）A ．2+2B ．+1C ．2-2D ．-1【解析】：由正弦定理有224sin6sin2=⇒=c c ππ，又462)]46(sin[sin +=+-=πππA ，所以1346222221sin 21+=+⨯⨯⨯==∆A bc S ABC . 答案：B【例2】【2015天津，理13】在ABC ∆ 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知ABC ∆的面积为315 ，12,cos ,4b c A -==- 则a 的值为 .【答案】8【例3】[2014·新课标全国卷Ⅰ] 已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a ＝2，且(2＋b )·(sinA －sinB )＝(c －b )sinC ，则△ABC 面积的最大值为________．[解析]: 根据正弦定理和a ＝2可得(a ＋b )(a －b )＝(c －b )c ，故得b 2＋c 2－a 2＝bc ，根据余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，所以A ＝π3.根据b 2＋c 2－a 2＝bc 及基本不等式得bc ≥2bc －a 2，即bc ≤4，所以△ABC 面积的最大值为12×4×32＝ 3.答案：3【同步训练】【一级目标】基础巩固组 一、选择题1设C ∆AB 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若2a =，23c =，3cos A =b c <，则b =（ ）A 3B ．2C ．22D ．3【解析】由余弦定理得：2222cos a b c bc =+-A ，所以(2223223223b b =+-⨯⨯即2680bb -+=，解得：2b =或4b =，因为bc <，所以2b =，故选B ．【答案】B2.[2014·江西卷] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC的面积是( )A ．3 B.9 32 C.3 32D ．3 3【解析】：由余弦定理得，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝2ab －62ab ＝12，所以ab ＝6，所以S △ABC ＝12ab sin C ＝3 32.答案：C3. 在△ABC 中，角A 、B 、C 所对应的边为c b a ,,，若c b A3,31cos ==，则C sin 的值为（ ）A ．31 B ．32C ．322 D.33【解析】：由.,cos 23,31cos 222222c b a A bc c b a c b A -=-+===得及 故△ABC 是直角三角形，且,2π=B 所以31cos sin ==A C .答案：A4．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 钝角三角形ABC 的面积是12，AB ＝1，BC ＝2，则AC ＝( )A ．5 B. 5 C ．2 D ．1【解析】：根据三角形面积公式，得12BA ·BC ·sin B ＝12，即12×1×2×sin B ＝12，得sin B ＝22，其中C <A .若B 为锐角，则B ＝π4，所以AC ＝1＋2－2×1×2×22＝1＝AB ，易知A 为直角，此时△ABC 为直角三角形，所以B 为钝角，即B ＝3π4，所以AC ＝1＋2－2×1×2×⎝⎛⎭⎫－22＝ 5. 答案：B5．在OAB ∆中，)sin 5,cos 5(),sin 2,cos 2(ββαα==OB OA ，若5-=⋅OB OA ，则OAB∆的面积为（ ）A ．3 B ．23C ．35 D.235【解析】：由条件知,21cos ,5,2-=∠==AOB OB OA 所以235235221=⨯⨯⨯=∆OAB S .答案：D 二、填空题6．【2015福建，理12】若锐角ABC ∆的面积为103 ，且5,8AB AC == ，则BC 等于________．【答案】77．【2015北京，理12】在ABC △中，4a =，5b =，6c =，则sin 2sin AC= ．【答案】18．[2014·山东卷] 在△ABC 中，已知AB →·AC →＝tan A ，当A ＝π6时，△ABC 的面积为______．【解析】：因为AB ·AC ＝|AB →|·|AC →|cos A ＝tan A ，且A ＝π6，所以|AB →|·|AC →|＝23，所以△ABC 的面积S＝12|AB →|·|AC →|sin A ＝12×23×sin π6＝16. 答案：16三、解答题9．【2015新课标1，文17】已知,,a b c 分别是ABC ∆内角,,A B C 的对边，2sin 2sin sin B A C =.（I ）若ab =，求cos ;B（II ）若90B=o ，且a = 求ABC ∆的面积.【解析】:（I ）先由正弦定理将2sin 2sin sin B A C =化为变得关系，结合条件a b =，用其中一边把另外两边表示出来，再用余弦定理即可求出角B 的余弦值；（II ）由（I ）知22b ac =，根据勾股定理和即可求出c ，从而求出ABC ∆的面积. 试题解析：（I ）由题设及正弦定理可得22b ac =.又ab =，可得2bc =,2a c =,由余弦定理可得2221cos 24a cb B ac +-==. （II ）由(1)知22b ac =.因为B =90°，由勾股定理得222a c b +=.故222ac ac +=，得c a ==所以D ABC 的面积为1. 【答案】（I ）14（II ）1 10. 【2015浙江，文16】在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c .已知tan(A)24π+=.（1）求2sin 2sin 2cos AA A+的值； （2）若B ,34a π==，求ABC ∆的面积.【解析】(1)利用两角和与差的正切公式，得到1tan3A =，利用同角三角函数基本函数关系式得到结论；(2)利用正弦定理得到边b 的值，根据三角形，两边一夹角的面积公式计算得到三角形的面积.试题解析：(1)由tan(A)24π+=，得1tan 3A =， 所以22sin 22sin cos 2tan 2sin 2cos 2sin cos cos 2tan 15A A A A A A A A A A ===+++.(2)由1tan3A =可得，sin A A ==3,4a B π==，由正弦定理知：b =又sin sin()sin cos cos sin CA B A B A B =+=+=，所以11sin 3922ABCS ab C ∆==⨯⨯=. 【答案】(1)25；(2)9【二级目标】能力提升题组一、选择题1．在△ABC 中，内角A,B,C 的对边分别是a,b,c ，若22ab -=，sin C B =，则A=（A ）030 （B ）060 （C ）0120 （D ）0150【解析】由由正弦定理得2c c R =⇒=，所以cosA=222+c -a 2b bc ==A=300答案：A2．[2014·重庆卷] 已知△ABC 的内角A ，B ，C 满足sin 2A ＋sin(A －B ＋C )＝sin(C －A －B )＋12，面积S 满足1≤S ≤2，记a ，b ，c 分别为A ，B ，C 所对的边，则下列不等式一定成立的是( )A ．bc (b ＋c )>8B ．ab (a ＋b )>16 2C ．6≤abc ≤12D ．12≤abc ≤24[解析]: 因为A ＋B ＋C ＝π，所以A ＋C ＝π－B ，C ＝π－(A ＋B )，所以由已知等式可得sin 2A ＋sin(π－2B )＝sin[π－2(A ＋B )]＋12，即sin 2A ＋sin 2B ＝sin 2(A ＋B )＋12，所以sin[(A ＋B )＋(A －B )]＋sin[(A ＋B )－(A －B )]＝sin 2(A ＋B )＋12，所以2 sin(A ＋B )cos(A －B )＝2sin(A ＋B )cos(A ＋B )＋12，所以2sin(A ＋B )[cos(A －B )－cos(A ＋B )]＝12，所以sin A sin B sin C ＝18.由1≤S ≤2，得1≤12bc sin A ≤2.由正弦定理得a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ，所以1≤2R 2·sinA sinB sinC ≤2，所以1≤R 24≤2，即2≤R ≤2 2，所以bc (b ＋c )>abc ＝8R 3sin A sin B sin C ＝R 3≥8.答案：A 二、填空题3．【2015广东，理11】设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若3a =，1sin 2B =，6C =π，则b = .【答案】1． 三、解答题4. 【2015山东，文17】ABC ∆中，角A B C ，，所对的边分别为,,a b c .已知36cos ()23B A B ac =+==求sin A 和c 的值. 【解析】在ABC ∆中，由3cos B =6sin B =因为A B C π++=，所以6sin sin()9C A B =+=，因为sin sin C B <，所以C B <，C 为锐角，3cos 9C =， 因此sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+65336223=+=.由,sin sin a cA C =可得22sin 323sin 6cc A a c C ===，又23ac =1c =. 22【高考链接】1. （2016年全国II 理13）△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若135cos ,54cos ==C A ，a =1，则b = .【解析】：由余弦定理有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+=-+=b c b bcc b 2113521542222，解得1321=b . 【答案】1321=b2. 【2015浙江，理16】在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知4A π=，22b a -=122c . （1）求tan C 的值；（2）若ABC ∆的面积为7，求b 的值.【答案】（1）2；（2）3b=.3.【2015江苏，15】在ABC ∆中，已知ο60,3,2===A AC AB.（1）求BC 的长； （2）求C 2sin 的值.因此212743sin 2C 2sin Ccos C 27==⨯⨯=． 【答案】（1）7；（2）43 4. 【2015新课标2，理17】ABC ∆中，D 是BC 上的点，AD 平分BAC ∠，ABD ∆面积是ADC ∆面积的2倍．(Ⅰ) 求sin sin B C∠∠； (Ⅱ)若1AD =，2DC =，求BD 和AC 的长．【答案】(Ⅰ)12；(Ⅱ)1,2==AC BD ．。
高考数学一轮复习正弦定理余弦定理及解三角形课件理
基础诊断 考点突破
课堂总结
解 (1)由题意可知 c＝8－(a＋b)＝72.
由余弦定理得 cos C＝a2＋2ba2b－c2＝22＋2×5222×－52722
＝－15.
(2)由 sin Acos2B2＋sin Bcos2A2＝2sin C 可得：
sin
1＋cos A· 2
B＋sin
1＋cos B· 2
a2＋b2－c2 2ab
基础诊断 考点突破
课堂总结
2.S△ABC＝12absin C＝12bcsin A＝12acsin B＝a4bRc＝12(a＋b＋c)·r(r 是 三角形内切圆的半径)，并可由此计算 R，r.
基础诊断 考点突破
课堂总结
• 3．实际问题中的常用角
• (1)仰角和俯角
• 在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线
1－2419＝2
7 7.
而∠AEB＝23π－α，所以
cos∠AEB＝cos23π－α＝cos23πcos α＋sin23πsin α
＝－12cos
α＋
3 2 sin
α
＝－12·2 7 7＋
3 21 2 ·7
＝
7 14 .
基础诊断 考点突破
课堂总结
在
Rt△EAB
中，cos∠AEB＝EBAE＝B2E，故
课堂总结
5．(人教 A 必修 5P10B2 改编)在△ABC 中，acos A＝bcos B， 则这个三角形的形状为________． 解析 由正弦定理，得 sin Acos A＝sin Bcos B， 即 sin 2A＝sin 2B，所以 2A＝2B 或 2A＝π－2B， 即 A＝B 或 A＋B＝2π， 所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形． 答案 等腰三角形或直角三角形
(完整版)正余弦定理及解三角形整理(有答案)
正余弦定理考点梳理：1.直角三角形中各元素间的关系：如图，在△ABC 中，C ＝90°，AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a 。
（1）三边之间的关系：a 2＋b 2＝c 2。
（勾股定理） A（2）锐角之间的关系：A ＋B ＝90°； c （3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义） b sin A ＝cos B ＝，cos A ＝sin B ＝，tan A ＝。
C B c a c b ba2.2．斜三角形中各元素间的关系： a如图6-29，在△ABC 中，A 、B 、C 为其内角，a 、b 、c 分别表示A 、B 、C 的对边。
（1）三角形内角和：A ＋B ＋C ＝_____（2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。
（R 为外接圆半径）R CcB b A a 2sin sin sin ===3.正弦定理：＝＝＝2R 的常见变形：asin A b sin B csin C (1)sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ；(2)＝＝＝＝2R ；a sin Ab sin B csin C a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C (3)a ＝2R sin_A ，b ＝2R sin_B ，c ＝2R sin_C ；(4)sin A ＝，sin B ＝，sin C ＝.a 2Rb 2R c2R 4.三角形面积公式：S ＝ab sin C ＝bc sin A ＝ca sin B .1212125.余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。
余弦定理的公式： 或.2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c b a ba C ⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩222222222cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac b a c C ab ⎧+-=⎪⎪+-⎪=⎨⎪⎪+-=⎪⎩6.（1）两类正弦定理解三角形的问题：1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角. 2、已知两边和其中一边的对角，求其他边角. （2）两类余弦定理解三角形的问题：1、已知三边求三角.2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角.7.判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式.8.解题中利用中，以及由此推得的一些基本关系式进行三角变换ABC ∆A B C π++=的运算，如：sin()sin ,A B C +=cos()cos ,A B C +=-tan()tan ,A B C +=-.sincos ,cos sin ,tan cot222222A B C A B C AB C+++===9. 解斜三角形的主要依据是：设△ABC 的三边为a 、b 、c ，对应的三个角为A 、B 、C 。
任意三角形的面积公式复习课程
得cosC＝±
6 4.
由余弦定理，c2＝a2＋b2－2abcosC， 得b2± 6b－12＝0，解得b＝ 6或2 6. ∴bc＝＝4，6， 或bc＝＝42. 6，
三角形面积公式的推导 因为: SABC1 2aha1 2bhb1 2chc
又 ha =bsinC hb =csinA
A
c
b
ha
B
aC
hc =asinB
所以:S A B C 1 2a b sin C 1 2 b csinA 1 2 a csin B
三角形面积公式的推导
因为: S A B C 1 2a b sin C 1 2 b csinA 1 2 a csin B
(2)△ABC的面积S＝12bcsinA＝ 3，故bc＝4. 而a2＝b2＋c2－2bccos A，故b2＋c2＝8. 解得b＝c＝2.
[点评] 本题主要考查正弦定理、余弦定理以及三角 形面积公式的应用．求三角形的面积，要充分挖掘题目中 的条件，转化为求两边或两边之积及其夹角正弦的问题， 要注意方程思想在解题中的应用．另外也要注意三个内角 的取值范围，以避免由三角函数值求角时出现增根错误．
任意三角形的面积公式与应用
温故知新
一、三角形的面积公式： A
111 SABC2aha2bhb2chc
c
b
ha
B
aC
二、三角形的面积公式还有其他表达形式吗?
1
1
1
S A B C2a b sin C 2b csinA 2a csinB
abc S△＝ 4R ，R 为外接圆半径．
S△＝2R2sinAsinBsinC
[解] (1)由acos C＋ 3asin C－b－c＝0及正弦定理得 sin Acos C＋ 3sin Asin C－sin B－sin C＝0.
余弦定理公式推导过程
余弦定理公式推导过程题目：余弦定理公式的推导及应用摘要：本文将详细介绍余弦定理的推导过程及其应用。
首先，我们将给出余弦定理的几何解释，并解释为什么需要推导这个公式。
接下来，我们将使用向量的概念及相关数学推导，推导出余弦定理的数学公式。
然后，我们将探讨余弦定理的应用，包括解三角形的边或角度、计算三角形的面积等。
最后，我们将总结余弦定理的重要性及应用前景。
1. 引言余弦定理是解决三角形相关问题的重要工具之一。
通过该定理，我们可以求解三角形的边或角度，判断三角形的形状等。
但为了更好地理解余弦定理的本质，我们首先要了解余弦定理的几何解释。
2. 几何解释考虑一个三角形ABC，假设AB=c，BC=a，AC=b。
余弦定理的几何解释如下：三角形的任意一边的平方等于另外两边的平方之和减去这两边的乘积与这两边及之间夹角的余弦函数的乘积。
具体地，（1）对于边AB，有AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 * AC * BC *cos(A)；（2）对于边BC，有BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 * AB * AC *cos(B)；（3）对于边AC，有AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 * AB * BC *cos(C)。
通过这个几何解释，我们可以看出余弦定理的本质是将三角形的边与夹角之间建立了一种关系，通过这种关系可以求解未知量。
3. 推导过程为了导出余弦定理的数学公式，我们将使用向量的概念。
假设向量AP=a，向量BP=b，向量CP=c，并且向量AB=c，向量BC=a，向量AC=b。
那么根据余弦定理的几何解释，有：（1）向量AB * 向量AC = c^2；（2）向量BA * 向量BC = a^2；（3）向量CA * 向量CB = b^2。
根据向量的定义及性质，有（4）向量AB = 向量AP + 向量BP；（5）向量BC = 向量BP + 向量CP；（6）向量AC = 向量AP + 向量CP。
利用正余弦定理解决三角形面积问题(典型例题+跟踪训练)【解答题抢分专题】备战2023年高考数学
【解答题抢分专题】备战2023年高考数学解答题典型例题+跟踪训练（新高考通用）专题02利用正余弦定理解决三角形面积问题目录一览一、梳理必备知识二、基础知识过关三、典型例题讲解四、解题技巧实战五、跟踪训练达标六、高考真题衔接1.正弦定理R CcB b A a 2sin sin sin ===.（其中R 为ABC ∆外接圆的半径）2sin ,2sin ,2sin ;a R A b R B c R C ⇔===（边化角）sin ,sin ,sin ;222a b c A B C R R R⇔===（角化边）2.余弦定理：222222222cos 2cos 2cos .2b c a A bc a c b B ac a b c C ab ⎧+-=⎪⎪+-⎪=⎨⎪⎪+-=⎪⎩⇒2222222222cos ,2cos ,2cos .a b c bc A b a c ac B c a b ab C ⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩3.三角形面积公式：B ac A bcC ab S ABC sin 21sin 21sin 21===∆=12++为三角形ABC 的内切圆半径一、梳理必备知识4.三角形内角和定理：在△ABC 中，有()A B C C A B ππ++=⇔=-+222C A B π+⇔=-222()C A B π⇔=-+.【常用结论】①在ABC ∆中，sin sin ;a b A B A B >⇔>⇔>②sin 2sin 2,.2A B A B A B π==+=则或③在三角函数．．．．中，sin sin A B A B >⇔>不成立。
但在三角形．．．中，sin sin A B A B >⇔>成立一、单选题1．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a =c =，30B =︒，则ABC 的面积为（）．A．2B ．4C ．2D ．42．已知在ABC 中，4AB =，3AC =，cos 2A =，则ABC 的面积为（）A ．3B ．C ．6D ．3．在ABC 中，,,a b c 分别是角,,A B C 所对的边，2,,sin 2sin 3c A B C ===，则ABC 的面积为（）A B ．C ．2D ．4【答案】B【分析】由正弦定理求得24b c ==，利用面积公式进行求解.【详解】由正弦定理得：24b c ==，二、基础知识过关4．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知22230,=︒+-=A b c a ABC 的面积为（）A ．12B C ．1D ．25．已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为π3A =，b c +==a （）A ．B ．5C ．8D ．6．在ABC 中，已知3a =，c =60C =︒，则ABC 的面积为（）A B C D3二、填空题7．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a ＝2，b ＝1，1cos 3C =，则△ABC 的面积为______．【答案】38．在ABC 中，设a 、b 、c 分别是三个内角A 、B 、C 所对的边，2b =，1c =，面积12ABC S ∆=，则内角A 的大小为__．9．在△ABC 中，若7a =，3b =，8c =，则△ABC 的面积等于______________．【技巧实战1】1．记ABC 中角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知2A B =，32b c =.(1)求tan tan CB；(2)若ABC的周长为5ABC 的面积.2．已知ABC 的内角A 、B ，C 所对的边分别为a 、b 、c ，且cos 1cos 2A +=-．（Ⅰ）求角A 的值．（Ⅱ）若ABC 的面积为()7b c b c +=>，求a 的值．四、解题技巧实战3．ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且有()sin 20C A B +=.(1)求角C ；(2)当4a =，c =时，求ABC 的面积.1．（2022春·广西南宁·高一校考阶段练习）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若222b c a bc +=+，且8bc =，五、跟踪训练达标（1）求角A.（2）求△ABC 的面积.2．（2023·高一单元测试）已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin cos a C A ．（1）求角A ．（2）若a =2c =求△ABC 的面积．3．（2023秋·宁夏石嘴山·高三石嘴山市第三中学校考期末）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知向量()cos ,cos m A B = ，(),2n a c b =- ，且//m n．（1）求角A 的大小；（2）若4a b ==，ABC 面积．4．（2022秋·云南楚雄·高二校考阶段练习）已知ABC 角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,ABC 的周长为2,且sin sin A B C +=.(1)求边c 的长;(2)若ABC 的面积为23sin C ,求角C 的度数.5．（2023·全国·高三专题练习）ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos cos 2cos a C c A b B +=.（1）求B ；（2）若b =ABC 的面积为ABC 的周长.6．（山西省部分学校2023届高三下学期质量检测试题）已知a ，b ，c 分别为ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，()1cos sin c B C +=．(1)求角B 的大小；(2)若2b =，4a c +=，求ABC 的面积．7．（2023·安徽淮北·统考一模）设ABC 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin sin sin sin c C b B C A a a-=-，4b =．(1)求角B 的大小(2)若c =ABC 的面积．8．（广东省广州市2023届高三综合测试（一）数学试题）记ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .已知223cos cos 222C A a c b +=.(1)证明：sin sin 2sin A C B +=；(2)若2b =，3AB AC ⋅=uu u r uuu r ，求ABC 的面积.9．（湖北省八市2023届高三下学期3月联考数学试题）在ABC 中，记角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知π2sin 6b A a c ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，且2c =，点D 在线段BC 上.(1)若3π4ADC ∠=，求AD 的长；(2)若2,BD DC ABC = 的面积为sin sin BAD CAD ∠的值.10．（江西省金溪县第一中学2023届高三一轮复习验收考试数学（理）试题）已知在非钝角ABC 中，角,,A B C所对的边分别为1,,,cos sin 2a b c c a B B ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.(1)求sin A ；(2)若ABC 的面积为1，且__________（在下面两个条件中任选一个），求ABC 的周长.①2a =；②2a c =.注：如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.11．（广东省广州市南沙区东涌中学2023届高三上学期期中数学试题）已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，满足()274sincos222A B C -+=，(1)求A ；(2)D 是线段BC 边上的点，若2,3AD BD CD ===，求ABC 的面积..12．（云南省保山市、文山州2022-2023学年高二上学期期末考试数学试题）在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos cos 2cos 0b A a B c A ++=．(1)求角A 的大小；(2)若BC 边上的中线23AD =，且ABC S = ABC 的周长．2π由(1)有：2π3A =，所以ABC S △由余弦定理知222a b c bc =++，即1．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知B=150°.（1）若a，b，求ABC的面积；（2）若sin A C=2，求C.六、高考真题衔接2．（2022年全国新高考II 卷数学试题）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，分别以a ，b ，c 为边长的三个正三角形的面积依次为123,,S S S ，已知12313S S S B -+==．(1)求ABC 的面积；(2)若sin sin 3A C =，求b ．3．（2021年全国新高考II 卷数学试题）在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，1b a =+，2c a =+.．（1）若2sin 3sin C A =，求ABC 的面积；（2）是否存在正整数a ，使得ABC 为钝角三角形?若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．4．（2022年北京市高考数学试题）在ABC 中，sin 2C C =．(1)求C ∠；(2)若6b =，且ABC 的面积为ABC 的周长．25．（2022年浙江省高考数学试题）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知4,cos 5a C ==．(1)求sin A 的值；(2)若11b =，求ABC 的面积．。
余弦定理正弦定理三角形面积公式
余弦定理正弦定理三角形面积公式在咱们学习数学的旅程中，三角形可是个超级重要的“小伙伴”。
今天咱们就来好好聊聊和三角形有关的几个重要知识：余弦定理、正弦定理还有三角形面积公式。
先来说说余弦定理。
这余弦定理啊，就像是三角形的“密码解码器”。
它能帮助咱们通过三角形的边和角的关系，算出那些隐藏的信息。
比如说，在一个三角形 ABC 中，如果咱们知道了三条边 a、b、c 的长度，那就能通过余弦定理算出角 A、B、C 的大小。
我记得有一次给学生们讲这个知识点的时候，有个小同学一脸懵地问我：“老师，这余弦定理到底有啥用啊？”我笑着跟他说：“你想想看，假如你是个建筑师，要设计一个三角形的屋顶，你得知道每个角的大小和每条边的长度，才能保证这个屋顶既稳固又美观，这时候余弦定理不就派上用场了嘛！”再讲讲正弦定理。
正弦定理就像是三角形中的“公平秤”，不管三角形的形状怎么变，它都能保持平衡。
它说的是三角形的三条边和它们所对应的角的正弦值之间存在着固定的比例关系。
有一回在课堂上做练习题，有一道题是这样的：在三角形ABC 中，角 A 是 30 度，角 B 是 60 度，边 a 的长度是 2，让求边 b 的长度。
很多同学一开始有点不知所措，但当我引导他们运用正弦定理的时候，大家很快就找到了解题的思路。
最后咱们聊聊三角形面积公式。
这可是解决三角形面积问题的“神器”。
最常见的就是底乘以高除以 2 这个公式。
但还有一个用两边及其夹角来计算面积的公式，就是 S = 1/2 * ab * sinC。
我曾经带着学生们到操场上，让他们自己动手画出各种形状的三角形，然后测量边和角，用不同的面积公式去计算，看看结果是不是一样。
大家兴致勃勃，通过这样的实践，对三角形面积公式的理解也更加深刻了。
总之，余弦定理、正弦定理和三角形面积公式就像是三角形世界里的三把“金钥匙”，能帮助咱们打开三角形的各种秘密之门。
只要咱们熟练掌握并灵活运用，不管遇到什么样的三角形问题，都能迎刃而解。
高中数学必修五公式方法总结
高中数学必修五公式方法总结第一章 解三角形一、正弦定理：2(sin sin sin a b cR R A B C===为三角形外接圆半径）变形：2sin (sin )22sin (sin )22sin (sin )2a a R A A R b b R B B R c c R C C R ⎧==⎪⎪⎪==⎨⎪⎪==⎪⎩推论：::sin :sin :sin a b c A B C = 二、余弦定理：变形：三、三角形面积公式：111sin sin sin .222===ABC S bc A ac B ab C △ 第二章 数列一、等差数列： 1.定义：a n+1-a n =d (常数)2.通项公式：()n1n 1d a a =+-或()nmn m d a a =+-3.求和公式:()()1n n 1n n n 1n d22a a S a +-==+4.重要性质(1)a a a a qpnmq p n m +=+⇒+=+(2) m,2m,32m m m S S S S S --仍成等差数列二、等比数列：1.定义：)0(1≠=+q q a a nn 2.通项公式：q a a n n11-∙=或q a a mn mn-∙=3.求和公式:1n n 11n na ,q 1S a (1q )a a q ,q 11q 1q =⎧⎪=--⎨=≠⎪--⎩2222222222cos 2cos 2cos a b c bc Ab ac ac B c a b ab C =+-=+-=+-222222222cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B aca b c C ab +-=+-=+-=4.重要性质（1）a a a a q p n m q p n m =⇒+=+(2)m,2m,32--m m m S S S S S 仍成等比数列三、数列求和方法总结：1.等差等比数列求和可采用求和公式(公式法).2.非等差等比数列可考虑分组求和法、错位相减法等转化为等差或等比数列再求和, 常见的拆项公式: 111(1)n(n 1)n n 1=-++第三章：不等式一、解一元二次不等式三步骤： 222(1)ax bx c 0ax bx c 0(a 0).(2)ax bx c 0.(3).⎧++>++<>⎪++=⎨⎪⎩化不等式为标准式或计算的值，确定方程的根根据图象写出不等式的解集∆ 特别地：若二次项系数a 为正且有两根时写解集用口诀：不等号大于0取两边，小于0取中间二、分式不等式的求解通法：（1）标准化：①右边化零，②系数化正.（2）转 换：化为一元二次不等式（依据：两数的商与积同号）三、二元一次不等式Ax+By+C ＞0（A ，B 不同时为0），确定其所表示的平面区域用口诀：同上异下（A与不等式的符号）（注意：包含边界直线用实线，否则用虚线）四、线性规划问题求解步骤：画（可行域），移（平行线），求（交点坐标，最优解，最值），答. 五、基本不等式：0,0)2a ba b +≥≥≥（当且仅当a=b 时，等号成立）.1111(2)()n(n k)k nn k=-++1111(3)()(2n 1)(2n 1)22n 12n 1=--+-+1111(4[]n(n 1)(n 2)2n(n 1)(n 1)(n 2)=-+++++)=()10()()0()()(2)0()()0()0()()()30()()>⇔>≥⇔≥≠≥⇔-≥f x f x g x g x f x f x g x g x g x f x f x a a g x g x 常用的解分式不等式的同解变形法则为（）且（），再通分2a b (1)a b (2)ab ().2++≥≤变形;变形（和定积最大） 利用基本不等式求最值应用条件：一正数 ; 二定值 ; 三相等。
考点17 正、余弦定理及解三角形-高考全攻略之备战2019年高考数学(理)考点一遍过
考点17 正、余弦定理及解三角形1．正弦定理和余弦定理掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题. 2．应用能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.一、正弦定理 1．正弦定理在ABC △中，若角A ，B ，C 对应的三边分别是a ，b ，c ，则各边和它所对角的正弦的比相等，即sin sin sin a b c ==A B C.正弦定理对任意三角形都成立． 2．常见变形 （1）sin sin sin ,,,sin sin ,sin sin ,sin sin ;sin sin sin A a C c B ba Bb A a Cc A b C c B B b A a C c====== （2）;sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin a b c a b a c b c a b cA B C A B A C B C A B C+++++======+++++ （3）::sin :sin :sin ;a b c A B C = （4）正弦定理的推广：===2sin sin sin a b c R A B C，其中R 为ABC △的外接圆的半径. 3．解决的问题（1）已知两角和任意一边，求其他的边和角； （2）已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角． 4．在ABC △中，已知a ，b 和A 时，三角形解的情况二、余弦定理 1．余弦定理三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍，即2222222222cos ,2cos 2cos .a b c bc A b a c ac B c a b ab C =+-=+-=+-，2．余弦定理的推论从余弦定理，可以得到它的推论：222222222cos ,cos ,cos 222b c a c a b a b c A B C bc ca ab+-+-+-===. 3．解决的问题（1）已知三边，求三个角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角． 4．利用余弦定理解三角形的步骤三、解三角形的实际应用1．三角形的面积公式设ABC△的三边为a，b，c，对应的三个角分别为A，B，C，其面积为S.（1）12S ah= (h为BC边上的高)；（2）111sin sin sin 222S bc A ac B ab C ===；（3）1()2S r a b c=++(r为三角形的内切圆半径)．2．三角形的高的公式h A=b sin C=c sin B，h B=c sin A=a sin C，h C=a sin B=b sin A．3．测量中的术语（1）仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图①)．（2）方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)．（3）方向角相对于某一正方向的水平角.①北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向(如图③)；②北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向；③南偏西等其他方向角类似．（4）坡角与坡度①坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图④，角θ为坡角)；②坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④，i 为坡度)．坡度又称为坡比． 4．解三角形实际应用题的步骤考向一 利用正、余弦定理解三角形利用正、余弦定理求边和角的方法：（1）根据题目给出的条件(即边和角)作出相应的图形，并在图形中标出相关的位置．（2）选择正弦定理或余弦定理或二者结合求出待解问题．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到.（3）在运算求解过程中注意三角恒等变换与三角形内角和定理的应用． 常见结论：（1）三角形的内角和定理：在ABC △中，π A B C ++=，其变式有：πA B C +=-，π222A B C+=-等． （2）三角形中的三角函数关系：i in(s n s )A B C =+； ()s os co c A B C =-+；sincos 22A B C +=； cos sin 22A B C+=.典例1 在ABC △中，内角所对的边分别为，若，，则ca的值为A．1 BC D【答案】D△的内角的对边分别为,且. 典例2 已知ABC(1)求；(2)若,线段的垂直平分线交于点,求的长.【解析】(1)因为,所以.由余弦定理得，又，所以.（2）由（1）知,根据余弦定理可得，所以.=，解得.由正弦定理得2从而cos B=.设的中垂线交于点,因为在Rt BDE △中,，所以cos BE BD B ===， 因为为线段的中垂线，所以.1．在ABC △中，a ,b ,c 分别是角A ，B ，C 的对边，且2sin sin cos sin cos C B a BB b A -=，则A =ABCD2．在ABC △中，边上一点满足，.（1）若，求边的长；（2）若，求.考向二 三角形形状的判断利用正、余弦定理判定三角形形状的两种思路：（1）“角化边”：利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含边的关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状.（2）“边化角”：利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含内角的三角函数间的关系，通过三角恒等变换，得出内角间的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用πA B C ++=这个结论． 提醒：在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免造成漏解.典例3 在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，满足3cos cos sin sin cos 2A C A CB ++=，且,,a b c 成等比数列.（1）求角B 的大小； （2）若2,2tan tan tan a c ba A C B+==,试判断三角形的形状.（2）由2tan tan tan a c bA C B+=,利用正弦定理可得cos cos 2cos 1A C B +==,所以ABC △是等边三角形.3．在ABC △中，，，分别为角，，所对的边，若，则ABC △A ．一定是锐角三角形B ．一定是钝角三角形C ．一定是斜三角形D ．一定是直角三角形考向三 与面积、范围有关的问题（1）求三角形面积的方法①若三角形中已知一个角(角的大小，或该角的正、余弦值)，结合题意求夹这个角的两边或该两边之积，套公式求解．②若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，套公式求面积，总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键．（2）三角形中，已知面积求边、角的方法三角形面积公式中含有两边及其夹角，故根据题目的特点，若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解；若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解．典例4 在ABC △中，角的对边分别为，且．（1）求角；（2）若，求ABC △面积的最大值．【解析】（1）由已知和正弦定理得，，，解得．（2）由余弦定理得：，即，整理得：．∵（当且仅当取等号），∴，即，，故ABC △面积的最大值为．【名师点睛】在解决三角形问题中，面积公式最常用，因为公式中既有边又有角，容易和正弦定理、余弦定理联系起来.正、余弦定理在应用时，应注意灵活性，已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断.典例5 在ABC △中，，是边上的一点.（1）若，求的长；（2）若，求ABC △周长的取值范围.【解析】（1）在ADC △中，AD ＝1，，所以＝cos ∠DAC ＝1×2×cos∠DAC ＝3,所以cos ∠DAC ＝.由余弦定理得2222cos CD AC AD AC AD DAC =+∠-⋅⋅＝12＋1－2×2×1×＝7，所以CD ＝.（2）在ABC △中，由正弦定理得4sin sin sin sin 3AB BC AC C A B ====，，ππ0,sin 33A A ⎤⎛⎫<<∴+∈⎥ ⎪⎝⎭⎝⎦.，故ABC △周长的取值范围为.4．在ABC △中，内角所对的边分别是，已知.（1）求； （2）当时，求的取值范围． 5．在ABC △中，内角，，所对的边分别为，，，且ABC △的面积.（1）求；（2）若、、成等差数列，ABC △的面积为，求.考向四 三角形中的几何计算几何中的长度、角度的计算通常转化为三角形中边长和角的计算，这样就可以利用正、余弦定理解决问题.解决此类问题的关键是构造三角形，把已知和所求的量尽量放在同一个三角形中.典例6 如图，在ABC △中，D 为AB 边上一点，且DA DC =，已知π4B =，1BC =.（1）若ABC △是锐角三角形，DC =A 的大小； （2）若BCD △的面积为16，求AB 的长. 【解析】（1）在BCD △中，π4B =，1BC =，DC = 由正弦定理得sin sin BC CDBDC B=∠，解得1sin BDC ⨯∠==，所以π3BDC ∠=或2π3. 因为ABC △是锐角三角形，所以2π3BDC ∠=. 又DA DC =，所以π3A =.（2）由题意可得1π1sin 246BCD S BC BD =⋅⋅⋅=△，解得BD =，由余弦定理得222π2cos4CD BC BD BC BD =+-⋅⋅=251219329+-⨯⨯⨯=，解得3CD =，则AB AD BD CD BD =+=+=.所以AB6．如图，在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，(sin cos )a b C C =+.（1）求角B 的大小；（2D 为ABC △外一点，2DB =，1DC =，求四边形ABCD 面积的最大值. 考向五 解三角形的实际应用解三角形应用题的两种情形：（1）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解；（2）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解．研究测量距离问题是高考中的常考内容，既有选择题、填空题，也有解答题，难度一般适中，属中档题.解题时要选取合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解.典例7 如图，一条巡逻船由南向北行驶，在A 处测得山顶P 在北偏东()1515BAC ︒∠=︒方向上，匀速向北航行20分钟到达B 处，测得山顶P 位于北偏东60︒方向上，此时测得山顶P 的仰角为60︒，若山高为（1）船的航行速度是每小时多少千米？（2）若该船继续航行10分钟到达D 处，问此时山顶位于D 处的南偏东什么方向？（2）在BCD △中，由余弦定理得CD =在BCD △中，由正弦定理得所以山顶位于D 处南偏东45︒方向.7．某新建的信号发射塔的高度为AB ，且设计要求为：29米AB <<29.5米.为测量塔高是否符合要求，先取与发射塔底部B 在同一水平面内的两个观测点,C D ，测得60BDC ∠=︒， 75BCD ∠=︒，40CD =米，并在点C 处的正上方E 处观测发射塔顶部A 的仰角为30°，且1CE =米，则发射塔高AB =A ．()1米B ．()1米C ．()1米D ．()1米考向六 三角形中的综合问题1．解三角形的应用中要注意与基本不等式的结合，以此考查三角形中有关边、角的范围问题.利用正弦定理、余弦定理与三角形的面积公式，建立如“22,,a b ab a b ++”之间的等量关系与不等关系，通过基本不等式考查相关范围问题.2．注意与三角函数的图象与性质的综合考查，将两者结合起来，既考查解三角形问题，也注重对三角函数的化简、计算及考查相关性质等.3．正、余弦定理也可能结合平面向量及不等式考查面积的最值或求面积，此时注意应用平面向量的数量积或基本不等式进行求解.典例8 在ABC △，向量(sin ,1)A =m ，(1,cos )B =n ，且⊥m n . （1）求A 的值；（2）若点D 在边BC 上，且3BD BC =uu u r uu u rABC △的面积．【解析】（1）由题意知sin cos 0A B +=⋅=m n ，πA B C ++=，所以5πsin cos()06A A +-=，πsin()06A -=.ππ2π(,)663A -∈-，所以π06A -=，即π6A =.（2）设||BD x =，由3BD BC =uu u r uu u r ，得||3BC x =u u u r ，由（1）知πA C ==，所以||3BA x =uu r在ABD △1x =，所以3AB BC ==，典例9 ABC △的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .（1）若a ，b ，c 成等差数列，证明：sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )； （2）若a ，b ，c 成等比数列，求cos B 的最小值． 【解析】（1）因为a ，b ，c 成等差数列，所以a ＋c ＝2b . 由正弦定理得sin A ＋sin C ＝2sin B . 因为sin B ＝sin[π－(A ＋C )]＝sin(A ＋C )， 所以sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )．（2）因为a ，b ，c 成等比数列，所以b 2＝ac .由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－ac 2ac ≥2ac －ac 2ac ＝12，当且仅当a ＝c 时等号成立． 所以cos B 的最小值为12.8．已知函数（）的图象上相邻的最高点间的距离是.（1）求函数的解析式；（2）在锐角ABC △中，内角满足，求的取值范围.1．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边为a ，b ，c ，若a b ＝3，B ＝60°，则A = A ．45°B ．45°或135C ．135°D ．60°或120°2．在△ABC 中，若tan A ·tan B ＜1，则该三角形一定是 A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形 D ．以上都有可能3．在ABC △中，，，则角的取值范围是A ．B ．C ．D ．4．ABC △中，2AB =，BC =1cos 4A =，则AB 边上的高等于A ．4B ．34C D ．35．已知ABC △的面积为，，则的最小值为A ．B ．C ．D ．6．设ABC △的三个内角所对的边分别为，如果，且，那么ABC △外接圆的半径为 A ．2 B ．4 C ．D ．17．已知ABC △的内角的对边分别为，若，，则A ．2B ．C ．D ．8．若ABC △的三个内角所对的边分别是，，且，则A ．10B ．8C ．7D ．49．已知ABC △的面积为，三个内角，，的对边分别为，，，若，，则A ．2B ．4C ．D ．10．在ABC △中，D 为BC 边上一点，若ABD △是等边三角形，且AC =ADC △的面积的最大值为 .11．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30的方向上，行驶600m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30，则此山的高度CD =___________m.12．在ABC △中，角，，的对边分别为，，，已知，，．（1）求； （2）求的值．13．在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，，(cos ,sin )B A =n ，且∥m n ．（1）求角B 的大小；（2）若2b =，ABC △的面积为a c +的值．14．如图所示，在ABC △中, 点D 为BC 边上一点，且1BD =,E 为AC 的中点B =2π3ADB ∠=.（1）求AD 的长； （2）求ADE △的面积.15．在ABC △中，,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且cos ,cos ,cos a C b B c A 成等差数列． （1）求B 的值；（2）求()22sin cos A A C +-的范围．16．已知函数（1）当时，求的值域；（2）在ABC △中，若求ABC △的面积.1．（2017山东理科）在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若ABC △为锐角三角形，且满足sin (12cos )2sin cos cos sin B C A C A C +=+，则下列等式成立的是 A ．2a b = B ．2b a = C ．2A B = D ．2B A =2．（2018新课标全国Ⅱ理科）在ABC △中，cos2C =1BC =，5AC =，则AB =A ． BCD ．3．（2018新课标全国Ⅲ理科）ABC △的内角A B C ，，的对边分别为a ，b ，c ，若ABC △的面积为2224a b c +-，则C = A ．π2B ．π3C ．π4D ．π64．（2017浙江）已知△ABC ，AB =AC =4，BC =2． 点D 为AB 延长线上一点，BD =2，连结CD ，则△BDC 的面积是______，cos ∠BDC =_______．5．（2018新课标全国Ⅰ理科）在平面四边形ABCD 中，90ADC ∠=，45A ∠=，2AB =，5BD =. （1）求cos ADB ∠；（2）若DC =BC .6．（2017新课标全国Ⅰ理科）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ABC △的面积为23sin a A.（1）求sin B sin C ;（2）若6cos B cos C =1，a =3，求ABC △的周长.7．（2017新课标全国Ⅱ理科）ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知()2sin 8sin2B AC +=． （1）求cos B ；（2）若6a c +=，ABC △的面积为2，求b ．8．（2018北京理科）在△ABC 中，a =7，b =8，cos B =–17． （Ⅰ）求∠A ； （Ⅱ）求AC 边上的高．9．（2017天津理科）在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．已知a b >，5,6a c ==，3sin 5B =． （1）求b 和sin A 的值； （2）求πsin(2)4A +的值．1．【答案】C2．【解析】（1）∵，∴在Rt ABD △中，，∴，在ABC △中，，由余弦定理可得，，所以.（2）在ACD △中，由正弦定理可得，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，化简得，即，∵，∴.3．【答案】D【解析】已知，利用正弦定理化简得：，整理得：，，，即.△为直角三角形.故选D．则ABC4．【解析】（1）由正弦定理可得：，又，所以，则，因为，所以，因为，所以.5．【解析】（1）∵，∴，即，∵，∴.（2）∵、、成等差数列，∴， 两边同时平方得：，又由（1）可知：， ∴，∴，，由余弦定理得，，得，∴.6．【解析】（1）在ABC △中，由(sin cos )a b C C =+，得s i n s i n (s i n c o A B C C =+，即sin()sin (sin cos )B C B C C +=+，cos sin sin sin B C B C ∴=，又sin 0C >，∴cos sin B B =，即tan 1B =，∵(0,π)B ∈，∴（2）在BCD △中，2BD =，1DC =，22212212cos 54cos BC D D ∴=+-⨯⨯⨯=-.7．【答案】A【解析】过点E 作EF AB ⊥，垂足为F ，则,1EF BC BF CE ===米，30AEF ∠=︒， 在BDC △中，由正弦定理得.在Rt AEF △中，.所以1AB AF BF =+=+.故选A ．8．【解析】（1）.因为函数图象上相邻的最高点间的距离是，所以，由，，得，所以.（2）由得，即，则，又，所以.因为ABC△是锐角三角形，所以，则，所以，故.1．【答案】A【解析】∵a b＝3，B3sin60=︒，∴sin A＝2=32.又a<b，∴A＝45°．2．【答案】B【解析】由已知条件，得sin sin cos()cos1,0,0,cos cos cos cos cos cosA B A B CA B A B A B+⋅<><即即说明cos A，cos B，cos C中有且只有一个为负．因此△ABC一定是钝角三角形．3．【答案】A【解析】因为sin sinAB BCC A=，所以，所以，又，则必为锐角，故.5．【答案】A【解析】由题意知ABC △的面积为，且，所以，即，所以，当且仅当时取得等号，所以的最小值为，故选A ．6．【答案】D 【解析】因为，所以，即，所以，所以，因为，所以由正弦定理可得ABC △的外接圆半径为1112sin 2a R A =⨯==，故选D ． 7．【答案】D 【解析】∵是三角形的内角，∴，∴，由得561sin 56653sin 395a Bb A⨯===，故选D ． 8．【答案】B 【解析】由题意知,即，即，由正弦定理和余弦定理得：，即，即，则，故选B ．9．【答案】A【解析】ABC △的面积为.则由，可得.化简得，即，所以，解得或（舍去）.所以.所以.故选A ．10．【答案】【解析】如图.在ACD △中，2222248cos 222AD DC AC AD DC ADC AD DC AD DC +-+-∠===-⋅⋅1，整理得22482AD DC AD DC AD DC +=-⋅≥⋅， ∴16AD DC ⋅≤，当且仅当AD =DC 时取等号，∴ADC △的面积1sin 2S AD DC ADC AD DC =⋅∠=⋅≤∴ADC △的面积的最大值为12．【解析】（1）在ABC △中，由余弦定理得，解得．（2）在ABC △中，由得，∴，在ABC △中，由正弦定理得=， ∴， 又，故，∴，∴．13．【解析】（1）∵∥m n ，∴sin cos b A B ，由正弦定理，得sin sin cos B A A B =，∵sin 0A >，∴sin B B =，即tan B = ∵0πB <<，∴（212ac =，解得4ac =， 由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得221422a c ac =+-⨯2()3a c ac =+-2()12a c =+-， 故4a c +=．（2）由（1）知2AD =，依题意得23AC AE ==.在ACD △中，由余弦定理得222AC AD DC =+-2cos AD DC ADC ⋅∠,即2π9422cos 3DC DC =+-⨯⨯,即2250DC DC --=,解得1DC =（负值舍去）.（2）因为π3B =， 所以2π3A C +=. 22π2sin cos()1cos 2cos(2)3A A C A A +-=-+-131cos 2cos 2212cos 222A A A A A=--=- π1)3A =+-.因为2π03A <<，ππ2π33A -<-<，所以πsin(2)13A <-≤，所以()22sin cos A A C +-的范围是1,12⎛- ⎝．16．【解析】（1）当，即时，取得最大值3；当，即时，取得最小值，故的值域为.（2）设ABC△中所对的边分别为.即得又，即即易得1．【答案】A【解析】由题意知sin()2sin cos2sin cos cos sinA CBC A C A C++=+，所以2sin cos sin cos2sin sin2B C A C B A b a=⇒=⇒=，选A.【名师点睛】本题较为容易，关键是要利用两角和与差的三角函数公式进行恒等变形. 首先用两角和的正弦公式转化为含有A，B，C的式子，再用正弦定理将角转化为边，得到2a b=.解答三角形中的问题时，三角形内角和定理是经常用到的一个隐含条件，不容忽视.2．【答案】A【解析】因为所以，选A.【名师点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理，结合已知条件，灵活转化为边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.4【解析】取BC 中点E ，由题意：AE BC ⊥，△ABE 中，1cos 4BE ABC AB ∠==，∴1cos ,sin 4DBC DBC ∠=-∠==∴1sin 22△BCD S BD BC DBC =⨯⨯⨯∠=． ∵2ABC BDC ∠=∠，∴21cos cos 22cos 14ABC BDC BDC ∠=∠=∠-=，解得cos 4BDC ∠=或cos 4BDC ∠=-（舍去）．综上可得，△BCD ，cos BDC ∠=．5．【解析】（1）在ABD △中，由正弦定理得sin sin BD AB A ADB=∠∠.由题设知，52sin 45sin ADB =︒∠，所以sin 5ADB ∠=.由题设知，90ADB ∠<︒，所以cos 5ADB ∠==.（2）由题设及（1）知，cos sin BDC ADB ∠=∠=. 在BCD △中，由余弦定理得2222cos BC BD DC BD DC BDC =+-⋅⋅⋅∠25825=+-⨯⨯25=.所以5BC =.6．【解析】（1）由题设得21sin 23sin a ac B A=，即1sin 23sin ac B A =.由正弦定理得1sin sin sin 23sin AC B A =. 故2sin sin 3B C =.【名师点睛】在处理解三角形问题时，要注意抓住题目所给的条件，当题设中给定三角形的面积，可以使用面积公式建立等式，再将所有边的关系转化为角的关系，有时需将角的关系转化为边的关系；解三角形问题常见的一种考题是“已知一条边的长度和它所对的角，求面积或周长的取值范围”或者“已知一条边的长度和它所对的角，再有另外一个条件，求面积或周长的值”，这类问题的通法思路是：全部转化为角的关系，建立函数关系式，如sin()y A x b ωϕ=++，从而求出范围，或利用余弦定理以及基本不等式求范围；求具体的值直接利用余弦定理和给定条件即可.7．【解析】（1）由题设及A B C ++=π，可得2sin 8sin2BB =，故()sin 41cos B B =-． 上式两边平方，整理得217cos 32cos 150B B -+=，解得cos 1B =(舍去)，15cos 17B =．（2）由15cos 17B =得8sin 17B =，故14=sin 217△ABC S ac B ac =． 又=2ABC S △，则172ac =．由余弦定理及6a c +=得：()()222217152cos 21cos 362(1)4,217b ac ac B a c ac B =+-=+-+=-⨯⨯+= 所以2b =．【名师点睛】解三角形问题是高考的高频考点，命题大多放在解答题的第一题，主要利用三角形的内角和定理，正、余弦定理，三角形的面积公式等知识进行求解．解题时要灵活利用三角形的边角关系进行“边转角”“角转边”，另外要注意22,,a c ac a c ++三者之间的关系，这样的题目小而活，备受命题者的青睐．8．【解析】（Ⅰ）在△ABC 中，∵cos B =–17，∴B ∈（π2，π），∴sin B =．由正弦定理得sin sin a b A B =⇒7sin A ，∴sin A ．∵B ∈（π2，π），∴A ∈（0，π2），∴∠A =π3．（Ⅱ）在△ABC 中，∵sin C =sin （A +B ）=sin A cos B +sin B cos A 11()72-+．如图所示，在△ABC 中，∵sin C =h BC ，∴h =sin BC C ⋅=7=，∴AC ．9．【解析】（1）在ABC △中，因为a b >，故由3sin 5B =，可得4cos 5B =．由已知及余弦定理，有2222cos 13b a c ac B =+-=，所以b =由正弦定理sin sin a b A B =，得sin sin 13a B Ab ==．所以，b sin A ．（2）由（1）及a c <，得cos A =， 所以12sin 22sin cos 13A A A ==，25cos 212sin 13A A =-=-．故πππsin(2)sin 2cos cos 2sin 44426A A A +=+=． 【名师点睛】（1）利用正弦定理进行“边转角”可寻求角的关系，利用“角转边”可寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系可求角，利用两角和差的三角公式及二倍角公式可求三角函数值．（2）利用正、余弦定理解三角形是高考的高频考点，常与三角形内角和定理、三角形面积公式等相结合，利用正、余弦定理进行解题．。
余弦定理和面积公式
余弦定理和面积公式一、余弦定理。
1. 内容。
- 对于三角形ABC，设a,b,c分别为角A,B,C所对的边，则有c^2=a^2+b^2-2abcos C，a^2=b^2+c^2-2bccos A，b^2=a^2+c^2-2accos B。
2. 推导（以c^2=a^2+b^2-2abcos C为例）- 设→CA=→b，→CB=→a，→AB=→c。
- 根据向量的减法→c=→a-→b。
- 那么c^2=→c·→c=(→a-→b)·(→a-→b)=→a^2+→b^2-2→a·→b。
- 因为|→a| = a，|→b| = b，→a·→b=|→a||→b|cos C = abcos C。
- 所以c^2=a^2+b^2-2abcos C。
3. 应用。
- 已知两边及其夹角求第三边。
- 例如在ABC中，已知a = 3，b=4，C = 60^∘，求c。
- 根据余弦定理c^2=a^2+b^2-2abcos C，a = 3，b = 4，cosC=cos60^∘=(1)/(2)。
- 则c^2=3^2+4^2-2×3×4×(1)/(2)=25 - 12 = 13，所以c=√(13)。
- 判断三角形的形状。
- 若a^2+b^2=c^2，则cos C = 0，C = 90^∘，三角形为直角三角形。
- 若a^2+b^2>c^2，则cos C>0，C为锐角，三角形为锐角三角形（当a,b,c 为最长边时）。
- 若a^2+b^2，则cos C<0，C为钝角，三角形为钝角三角形（当c为最长边时）。
二、三角形面积公式。
1. 常见公式。
- 已知底和高：S=(1)/(2)ah，其中a为三角形的底，h为这条底边上的高。
- 已知两边及其夹角：S=(1)/(2)absin C=(1)/(2)bcsin A=(1)/(2)acsin B。
- 海伦公式：设三角形的三边为a,b,c，半周长p=(a + b+ c)/(2)，则S=√(p(p -a)(p - b)(p - c))。
余弦定理及三角形面积公式
余弦定理及三角形面积公式在我们的数学世界里，余弦定理和三角形面积公式就像是两把神奇的钥匙，能帮我们打开许多几何谜题的大门。
先来说说余弦定理。
想象一下，有一天我走在公园里，看到一片形状不规则的草坪。
我就在想，要是能知道这块草坪三条边的长度和夹角，那不就能算出它的面积了吗？这时候余弦定理就派上用场啦！余弦定理说的是，对于一个三角形，假设三条边分别是 a、b、c，对应的夹角分别是 A、B、C，那么就有 a²＝ b²＋ c² 2bc×cosA ，b²＝a²＋ c² 2ac×cosB ，c²＝ a²＋ b² 2ab×cosC 。
这看起来有点复杂，但其实很好理解。
比如说，有一个三角形，三条边分别是 3、4、5，其中一个角是 60 度。
我们就可以用余弦定理算出其他的边和角的关系。
再讲讲三角形面积公式。
大家都知道常见的三角形面积公式是底乘以高除以 2 ，但如果只知道三角形的三条边，怎么求面积呢？这就要用到另一个厉害的公式啦——海伦公式。
假设三角形的三条边分别是 a、b、c ，半周长 p ＝（a ＋ b ＋ c) ／2 ，那么面积 S ＝√p(p a)（p b)（p c) 。
这个公式虽然看起来有点吓人，但用起来可厉害着呢！我记得有一次，我给学生们布置了一道题，就是通过三条边的长度来求三角形的面积。
有的同学一开始被难住了，抓耳挠腮的。
我就引导他们一步步运用余弦定理和三角形面积公式，最后算出答案的时候，他们那兴奋的样子，让我觉得特别有成就感。
其实啊，余弦定理和三角形面积公式在我们的生活中也有很多用处。
比如建筑师在设计房屋的时候，工程师在建造桥梁的时候，都需要用到这些知识来确保结构的稳定性和准确性。
所以说，学好余弦定理和三角形面积公式，不仅能在考试中拿高分，还能让我们更好地理解这个世界，解决生活中的实际问题。
三角形面积计算公式余弦定理
三角形面积计算公式余弦定理三角形面积计算公式——余弦定理余弦定理是解决三角形问题中常用的定理之一，它可以帮助我们计算三角形的面积。
下面我们将介绍余弦定理的概念和具体计算方法。
一、余弦定理的概念在任意三角形ABC中，三边的长度分别为a、b、c，对应的角度为A、B、C。
那么，余弦定理可以表达为：c² = a² + b² - 2abcosC其中，c为三角形的第三边的长度，a和b为另外两边的长度，C为夹角C的角度。
二、余弦定理的应用余弦定理可以用于求解三角形的任意一个角度、边长或者面积。
我们将以求解三角形面积为例进行说明。
我们需要知道三角形的三边的长度。
接下来，我们可以使用余弦定理计算出三角形的一个角的余弦值。
然后，利用三角函数的反函数，我们可以求出这个角的角度。
最后，利用三角形的面积公式，我们可以计算出三角形的面积。
三、计算三角形面积的步骤1. 确定三角形的三边长度a、b、c；2. 使用余弦定理计算出一个角的余弦值，公式为：cosC = (a² + b² - c²) / (2ab)；3. 使用反余弦函数求出这个角的角度，公式为：C = arccos(cosC)；4. 使用三角形的面积公式计算出三角形的面积，公式为：S =0.5absinC。
四、一个例子假设有一个三角形ABC，其中两边的长度分别为a = 5，b = 7，夹角C的角度为60°。
我们可以按照以下步骤计算出这个三角形的面积。
1. 确定三角形的三边长度a、b、c，已知a = 5，b = 7；2. 使用余弦定理计算出一个角的余弦值，公式为：cosC = (a² + b² - c²) / (2ab) = (5² + 7² - c²) / (2 * 5 * 7)；3. 使用反余弦函数求出这个角的角度，公式为：C = arccos(cosC)；4. 使用三角形的面积公式计算出三角形的面积，公式为：S = 0.5absinC。
三角形面积正余弦公式
三角形面积正余弦公式三角形是几何学中的重要概念之一，它由三条边和三个内角组成。
在解决与三角形相关的问题时，我们常常会用到三角形的面积公式和余弦公式。
首先我们来看三角形的面积公式。
三角形的面积可以通过底边长和高来计算。
假设三角形的底边长为a，高为h，则三角形的面积S等于底边长乘以高的一半，即S=1/2 * a * h。
这个公式可以帮助我们计算任意三角形的面积。
例如，当底边长为4，高为3时，三角形的面积为6。
接下来，我们来看三角形的余弦公式。
余弦公式可以帮助我们求解三角形的边长和角度。
假设三角形的三条边分别为a、b、c，对应的内角为A、B、C，则余弦公式可以表示为：a^2 = b^2 + c^2 - 2bc * cosAb^2 = a^2 + c^2 - 2ac * cosBc^2 = a^2 + b^2 - 2ab * cosC其中，^表示乘方运算，cos表示余弦函数。
利用这个公式，我们可以解决一些涉及到三角形边长和角度的问题。
例如，已知一个三角形的两条边长分别为3和4，夹角为60度，我们可以利用余弦公式求解第三条边的长度。
根据余弦公式，我们可以得到：c^2 = 3^2 + 4^2 - 2 * 3 * 4 * cos60°c^2 = 9 + 16 - 24 * 0.5c^2 = 25 - 12c^2 = 13因此，这个三角形的第三条边长为根号13。
除了求解边长，余弦公式还可以用来求解三角形的角度。
例如，已知一个三角形的三条边长分别为3、4、5，我们可以利用余弦公式求解任意一个内角的度数。
假设我们想求解角A的度数，则可以使用余弦公式：cosA = (b^2 + c^2 - a^2) / (2 * b * c)cosA = (4^2 + 5^2 - 3^2) / (2 * 4 * 5)cosA = (16 + 25 - 9) / 40cosA = 32 / 40cosA = 0.8根据余弦函数的性质，我们可以通过反余弦函数得到角A的度数。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
s in C 3 s in A s in C s in C c o s A . QsinC0,
3sinAcosA12sin(A)1, sin(A)1.
Q0A, A, A.6
62
66
3
二、典例精讲：
4. 综合应用 例4. (2012 全国I)已知a , b , c 分别为ABC三个内角 A, B, C 的对边，且
由正弦定理，得 2sinAsinB3sinB,
QsinB0, sin A 3 , 2
Q0 A ,
2
A. 3
1. 正弦定理应用
规律方法： (1). 已知两角及一边，求其他的边，角；(AAS) (2). 已知两边及一边所对角，求其他边，角；(SSA) (3). 已知边角关系式，利用边角互化，求解边，角.
的面积为______________.
解：由余弦定理，A C 2 A B 2 B C 2 2 A B • B C • c o s B ,
4 92 5B C 22 5B C (1), 2
即 B C 25B C 2 40 . B C3或 8(舍 )
பைடு நூலகம் 1A B •B C • sin B 1 5 3 3 1 53 .
1. 正弦定理： a b c (R2 为R三角形的外接圆半径) sinA sinB sinC
变形：(1) a : b : c s i n A : s i n B : s i n C
(2) a 2 R s i n A ,b 2 R s i n B ,c 2 R s i n C .
2. 余弦定理：
2
2 24
二、典例精讲：
4. 综合应用 例4. (2012 全国I)已知 a , b分, c 别为 AB三C个内角 A,的B,对C 边，
且 c3asinCccosA .
(1)求 A ; (2)若 a2, 的A面BC 积为 求 3 , b , c .
解：(1) Q c3 a s in C c c o sA ,由正弦定理，得
a, b, c,
A.10
B .9
C .8
D .5
2. 余弦定理应用
规律方法： (1). 直接法：a. 已知两边及夹角，求第三边； (SAS)
b. 已知三边，求角. (SSS) (2). 间接法：已知两边及一边所对角，利用方程思想求解
第三边.
二、典例精讲：
3. 三角形的面积公式应用 例3. (2011 全国) AB中C ， B 1 2 0 o , A C 7 , A 则B 5 , ABC
二、典例精讲：
2. 余弦定理应用 例2. (2016 全国I) AB的C内角 A, B的, C对边分别为
c 2且, c o s A 则2 , b ( )
3
A. 2
B. 3
C .2
a ,若b , c , a 5 ,
D .3
解：由余弦定理， a 2b 2 c2 2 b cco sA ,
5b244b2, 即 3b28b30, 3
变形： cosAb2 c2 a2 ; 2bc
a2b2c22 bccosA ,
cosBa2 c2 b2 ;
b2a2c22accosB ,
2ac
c 2 a 2 b 2 2 a b c o sC .
cosCa2 b2 c2 . 2ab
一、知识回顾：
3. 三角形的面积公式： S1b csinA 1a csinB 1a b sinC
2. 解答题： (2015,17,国I),(2015,17,国II), (2014,17,国II),(2012,17,国)
教学目标：
1. 理解，掌握正，余弦定理及三角形面积公式； 2. 运用正，余弦定理及三角形面积公式解决：
(1)简单的三角形边，角及面积问题； (2)三角形的综合性问题。
一、知识回顾：
c3asinCccosA .
(1)求 A ; (2)若a2, ABC的面积为 3 , 求 b , c . 解：(2) QS1bcsinA 3, bc4 ①
2
由余弦定理， a2b2c22bccosA , 4b2c2241, 即 b2 c2 8, ②
2 由①②，得 bc2.
能力提升：
2
2
2
相关结论：
(1) ABC;
(2) ab AB;
(3) 任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；
(4) s i n ( A B ) s i n C ,c o s ( A B ) c o s C ,
s in (A B ) c o sC , c o s (A B ) s in C .
22
22
二、典例精讲：
1. 正弦定理应用 例1. (2015 安徽) 在 AB中C， A B 6 , A 7 5 o, B 4 5 则o,AC_____.
解：Q A 7 5 o , B 4 5 o , C60o.
由正弦定理， AB AC , sinC sin B
AC ABsinB
6 2 2 2.
b3或- 1(舍) 3
方程思想
巩固训练：
(1). (2015 广东) 设 AB的C内角 A, B的, 对C 边分别为
若 c 2 3 , co s A 且3 , 则b c , b ( C )
2
A.3
B.2 2
C .2
a, b, c, a 2,
D. 3
(2). (2013 全国I) 已知锐角 AB的C内角 A, B的, C对边分别为 且 23cos2Acos2A0,a7,则c6, b (D )
sinC
3
2
已知两角一边， 求其他边，角
变式训练：
(1). 在ABC中， a6,b3, B则60o, cosA______.
由正弦定理， a b ,
sin A sin B
A45o,或 135o(舍 )
sinAasinB6sin60o 2, cos A 2 .
b
32
2
(2). 在锐角 ABC中，若 2asinB 3则b, A______.
第三章 三角函数 、解三角形
第七节 正弦定理和余弦定理
高考动向：
1. 掌握正、余弦定理的内容，并能解决一些简单的三 角形度量问题；
2. 能够运用正，余弦定理等知识和方法解决一些简单 的实际问题.
高考链接：
1. 选择，填空题： (2016,4,国I),(2016,15,国II),(2016,9,国III),(2014,16,国I) (2013,4,国II), (2011,11,国), (2010,16,国)