实验六 非线性电路中混沌现象的实验研究
非线性电路中的混沌现象实验报告doc
非线性电路中的混沌现象实验报告篇一：非线性电路混沌实验报告近代物理实验报告指导教师：得分：实验时间： XX 年 11 月 8 日，第十一周，周一，第 5-8 节实验者：班级材料0705学号 XX67025 姓名童凌炜同组者：班级材料0705学号 XX67007 姓名车宏龙实验地点：综合楼 404实验条件：室内温度℃，相对湿度 %，室内气压实验题目：非线性电路混沌实验仪器：（注明规格和型号） 1. 约结电子模拟器约结电子模拟器的主要电路包括:1.1, 一个压控震荡电路, 根据约瑟夫方程, 用以模拟理想的约结1.2, 一个加法电路器, 更具电路方程9-1-10, 用以模拟结电阻、结电容和理想的约结三者相并联的关系1.3， 100kHz正弦波振荡波作为参考信号2. 低频信号发生器用以输出正弦波信号，提供给约结作为交流信号 3. 数字示波器用以测量结电压、超流、混沌特性和参考信号等各个物理量的波形实验目的：1. 了解混沌的产生和特点2. 掌握吸引子。
倍周期和分岔等概念3. 观察非线性电路的混沌现象实验原理简述：混沌不是具有周期性和对称性的有序，也不是绝对的无序，而是可以用奇怪吸引子等来描述的复杂有序——混沌而呈现非周期性的有序。
混沌的最本质特征是对初始条件极为敏感。
1. 非线性线性和非线性，首先区别于对于函数y=f(x)与其自变量x的依赖关系。
除此之外，非线性关系还具有某些不同于线性关系的共性：1.1 线性关系是简单的比例关系，而非线性是对这种关系的偏移1.3 线性关系保持信号的频率成分不变，而非线性使得频率结构发生变化 1.4 非线性是引起行为突变的原因2. 倍周期，分岔，吸引子，混沌借用T.R.Malthas的人口和虫口理论，以说明非线性关系中的最基本概念。
虫口方程如下：xn?1???xn(1?xn)μ是与虫口增长率有关的控制参数，当1 1?，这个值就叫做周期或者不动点。
在通过迭代法解方程的过程中，最终会得到一个不随时间变化的固定值。
非线性电路中混沌现象的研究实验
非线性电路中混沌现象的研究实验长期以来人们在认识和描述运动时，大多只局限于线性动力学描述方法，即确定的运动必然有一个确定的解析解。
但是在自然界中相当多的情况下，非线性现象却有着非常大的作用。
1963年美国气象学家Lorenz 在分析天气预报模型时，首先发现空气动力学中的混沌现象，这一现象只能用非线性动力学来解释。
于是，1975年混沌作为一个新的科学名词首先出现在科学文献中。
从此,非线性动力学得到迅速发展,并成为有丰富内容的研究领域。
该学科涉及到非常广泛的科学范围，从电子学到物理学，从气象学到生态学,从数学到经济学等。
混沌通常相应于不规则或非周期性,这是非由非线性系统产生的本实验将引导学生自已建立一个非线性电路。
【实验目的】1.测量非线性单元电路的电流--电压特性,从而对非线性电路及混沌现象有一深刻了解。
2.学会测量非线性器件伏安特性的方法。
【实验仪器】非线性电路混沌实验仪【实验原理】图1 非线性电路 图2 三段伏安特性曲线1.非线性电路与非线性动力学：实验电路如图1所示,图1中只有一个非线性元件R ，它是一个有源非线性负阻器件。
电感器L 和电容器2C 组成一个损耗可以忽略的振荡回路:可变电阻21W W +和电容器1C 串联将振荡器产生的正弦信号移相输出。
较理想的非线性元件R 是一个三段分段线性元件。
图2所示的是该电阻的伏安特性曲线,从特性曲线显示加在此非线性元件上电压与通过它的电流极性是相反的。
由于加在此元件上的电压增加时，通过它的电流却减小，因而将此元件称为非线性负阻元件。
图1 电路的非线性动力学方程为：11211Vc g )Vc Vc (G dtdVc C ∙--∙=L 2122i )Vc Vc (G dtdVc C +-∙=式中,导纳21W W 1G +=,1C V 和2C V 分别表示加在1C 和2C 上的电压,L i 表示流过电感器L 的电流,g 表示非线性电阻R 的导纳。
2. 有源非线性负阻元件的实现：有源非线性负阻元件实现的方法有多种，这里使用的是一种较简单的电路：采用两个运算放大器(一个双运放 353LF ) 和六个配置电阻来实现,其电路如图3所示,它的伏安 特性曲线如图4所示。
非线性电路中的混沌现象_电子版实验报告范文
1．计算电感L本实验采用相位测量。
根据RLC 谐振规律，当输入激励的频率LCf π21=时，RLC 串联电路将达到谐振，L 和C 的电压反相，在示波器上显示的是一条过二四象限的45度斜线。
测量得：f=30.8kHz ；实验仪器标示：C=1.145nF 由此可得：mHC f L 32.23)108.30(10145.114.34141239222=⨯⨯⨯⨯⨯==-π估算不确定度： 估计u(C)=0.005nF ，u(f)=0.1kHz 则：32222108.7)()(4)(-⨯=+=C C u f f u L L u 即mH L u 18.0)(=最终结果：mH L u L )2.03.23()(±=+2．用一元线性回归方法对有源非线性负阻元件的测量数据进行处理： （1）原始数据：99999.9 -11.750 23499.9 -11.550 13199.9 -11.350 -11.150 -10.950 -10.750 -10.550 -10.350-10.150-9.550-9.350-9.150-8.350-8.150上表为实验记录的原始数据表，下表为数据处理时使用Excle计算的数据及结果。
基础物理实验报告第3页基础物理实验报告（2）数据处理：根据RU I RR可以得出流过电阻箱的电流，由回路KCL 方程和KVL 方程可知：RR R R U U I I =-=11由此可得对应的1R I 值。
对非线性负阻R1，将实验测得的每个（I ，U ）实验点均标注在坐标平面上，可得：图中可以发现，（0.00433464，-9.150）和（0.00118629，-1.550）两个实验点是折线的拐点。
故我们在V U 150.9750.11-≤≤-、550V .1U 9.150-≤<-、V 150.1U 1.550-≤<-这三个区间分别使用线性回归的方法来求相应的I-U 曲线。
⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+≤≤+-≤≤+= -1.150U 1.550- 0.00000976U 0.00075901- -1.550U 9.150- 240.0.000609U 0.00040784- 9.150U 11.750- 0.02018437U 0.00170003I经计算可得，三段线性回归的相关系数均非常接近1（r=0.99997），证明在区间内I-V 线性符合得较好。
实验六 非线性电路中混沌现象的实验研究
实验六非线性电路中混沌现象的实验研究非线性是自然界中普遍存在的现象，正是非线性才构成了变化莫测的世界。
长期以来，人们在认识和描述运动时，大多只局限于线性动力学描述方法，即确定的运动有一个完美确定的解析解。
但是自然界在相当多的情况下，非线性现象却起着很大的作用。
1963 年美国气象学家Lorenz 在分析天气预报模型时，首先发现空气动力学中的混沌现象，该现象只能用非线性动力学来解释。
于是，1975 年混沌作为一个新的科学名词首先出现在科学文献中。
从此，非线性动力学迅速发展，并成为有丰富内容的研究领域。
该学科涉及非常广泛的科学范围，从电子学到物理学，从气象学到生态学，从数学到经济学等。
混沌通常相应于不规则或非周期性，这是由非线性系统产生的。
本实验将引导学生自已建立一个非线性电路。
该电路包括有源非线性负阻，LC 振荡器和移相器三部分。
采用物理实验方法研究LC 振荡器产生的正弦波与经过RC 移相器移相的正弦波合成的相图(李萨如图)，观测振动周期发生的分岔及混沌现象，测量非线性单元电路的电流——电压特性，从而对非线性电路及混沌现象有一深刻了解，学会自己设计和制作一个实用电感器以及测量非线性器件伏安特性的方法。
【实验目的】1．学习测量非线性单元电路的伏安特性。
2．学习用示波器观察观测LC振荡器产生的波形与经RC 移相后的波形及其相图。
3．通过观察LC振荡器产生的波形周期分岔及混沌现象，对非线性有一初步的认识。
【实验原理】1.非线性电路与非线性动力学实验电路如图1 所示，图1 中只有一个非线性元件R，它是一个有源非线性负阻器件。
电感器L 和电容器C2 组成一个损耗可以忽略的振荡回路；可变电阻RVl+RV2 和电容器C1串联将振荡器产生的正弦信号移相后输出。
较理想的非线性元件R 是一个三段分段线性元件。
图2 所示的是该电阻的伏安特性曲线，从特性曲线显示加在此非线性元件上电压与通过它的电流极性是相反的。
由于加在此元件上的电压增加时，通过它的电流却减小，因而将此元件称为非线性负阻元件。
非线性电路混沌实验报告
非线性电路混沌实验报告本实验旨在通过搭建非线性电路，观察其在一定条件下的混沌现象，并对实验结果进行分析和总结。
在此过程中，我们使用了一些基本的电子元件，如电阻、电容和电感等，通过合理的连接和控制参数，成功地观察到了混沌现象的产生。
首先，我们搭建了一个基本的非线性电路，其中包括了电源、电阻、电容和二极管等元件。
通过调节电路中的参数，我们观察到了电压和电流的非线性响应，这表明电路的行为不再遵循简单的线性关系。
接着，我们进一步调整电路参数，尤其是电容和电阻的数值，使电路处于临界状态，这时我们观察到了电路输出信号的混沌波形。
混沌波形表现出了随机性和不可预测性，这与传统的周期性信号有着明显的区别。
在观察混沌波形的过程中，我们发现了一些有趣的现象。
首先，混沌波形的频谱分布呈现出了宽带特性，这说明混沌信号包含了多个频率成分，这也是混沌信号难以预测的重要原因之一。
其次，混沌信号的自相关函数表现出了指数衰减的特性，这表明混沌信号的相关性极低，难以通过传统的方法进行分析和处理。
最后，我们还观察到了混沌信号的分形特性，即信号在不同时间尺度下呈现出相似的结构，这也是混沌信号独特的特征之一。
综合以上实验结果，我们可以得出以下结论，非线性电路在一定条件下会产生混沌现象，混沌信号具有随机性、不可预测性、宽带特性、自相关性低和分形特性等特点。
这些特点使得混沌信号在通信、加密、混沌电路设计等领域具有重要的应用前景。
同时，我们也需要注意到混沌信号的复杂性和不确定性，这对于混沌信号的分析和处理提出了挑战，需要进一步的研究和探索。
总之，本实验通过搭建非线性电路，成功地观察到了混沌现象，并对混沌信号的特性进行了初步的分析和讨论。
通过本次实验，我们对混沌现象有了更深入的理解，也为混沌信号的应用和研究提供了一定的参考和启发。
希望本实验能够对相关领域的研究和工程实践有所帮助。
感谢各位的参与和支持！非线性电路混沌实验小组。
日期，XXXX年XX月XX日。
[实验报告]用非线性电路研究混沌现象
![[实验报告]用非线性电路研究混沌现象](https://img.taocdn.com/s3/m/f09c2d0fde80d4d8d15a4fdc.png)
用非线性电路研究混沌现象一． 实验目的掌握用示波器观察正弦波形的周期分岔及混沌现象的方法。
学会自己设计和制作一个实用电感器以及测量非线性器件伏安特性的方法。
二． 实验原理1.非线性电路与非线性动力学实验电路如图1所示，图1中只有一个非线性元件R ，它是一个有源非线性负阻器件。
电感器L 和电容C 2组成一个损耗可以忽略的谐振回路；可变电阻R V 和电容器C 1串联将振荡器产生的正弦信号移相输出。
本实验中所用的非线性元件R 是一个三段分段线性元件。
图2所示的是该电阻的伏安特性曲线，从特性曲线显示中加在此非线性元件上电压与通过它的电流极性是相反的。
由于加在此元件上的电压增加时，通过它的电流却减小，因而将此元件称为非线性负阻元件。
图1非线性电路原理图 图2非线性元件伏安特性 图1电路的非线性动力学方程为：1121)(1C C C C U g U U G dtdU C ⋅--⋅= L C C C i U U G dt dU C +-⋅=)(21122 (1)2C L U dt di L -=式中，导纳V R G /1=，1C U 和2C U 分别为表示加在电容器C 1和C 2上的电压，L i 表示流过电感器L 的电流，G 表示非线性电阻的导纳。
2.有源非线性负阻元件的实现有源非线性负阻元件实现的方法有多种，这里使用的是一种较简单的电路，采用两个运算放大器和六个配置电阻来实现其电路如图4所示，实验所要研究的是该非线性元件对整个电路的影响，而非线性负阻元件的作用是使振动周期产生分岔和混沌等一系列非线性现象。
图3有源非线性器件图4双运放非线性元件的伏安特性实际非线性混沌实验电路如图5所示。
图5非线性电路混沌实验电路图三．实验步骤测量一个铁氧体电感器的电感量，观测倍周期分岔和混沌现象。
1.按图5所示电路接线，其中电感器L由实验者用漆包铜线手工缠绕。
可在线框上绕70-75圈，然后装上铁氧体磁心，并把引出漆包线端点上的绝缘漆用刀片刮去，使两端点导电性能良好。
非线电路混沌实验
物理实验中心
【实验目的】
1、 学会双踪示波器观测两个波形组成的相图。 2、 改变RC移相器中可调电阻R的值，观察相图 周期变化。记录倍周期分岔、阵发混沌、三倍周期 、吸引子和双吸引子相图。 3、 了解LF353双运放构成的有源非线性负阻“ 元件”的伏安特性，结合非线性电路的动力学方程 ，解释混沌产生的原因。
R1+R2
C1
R3
R6
L
C2
C1
LF356
LF356
R2
R5
Hale Waihona Puke R1R4图５非线性电路 混沌实验电路
【实验内容和步骤】
１、打开机箱，将铁氧化介质电感连接到与 面板上对应接线柱相接。
２、用同轴电缆线将实验仪面板上的ＣＨ２插 座连接示波器的Ｙ输入。ＣＨ１插座连接示波器 的Ｘ输入，并置Ｘ和Ｙ输入为ＤＣ。以观测二个 正弦波构成的李萨如图。
【实验仪器】
非线性混沌仪、 双踪示波器
【实验原理】
实验电路如图1所示，图中只有一个非线性元件 R，它是一个有源非线性负阻器件。电感器L和 电容器C2组成一个损耗可以忽略的谐振回路； 可变电阻RV和电容器C1串联将振荡器产生的正 弦信号移相输出。
４、调节示波器，用示波器观察相图周期变 化。
５、调节图中的Ｗ１和W2的大小，观察并 描绘相图周期的分岔混沌现象。将一个环形 相图定为Ｐ，那么要求观测并记录2P、４P 、阵发混沌、３Ｐ、单吸引子（混沌）、双 吸引子（混沌）共六个相图和相应的ＣＨ１ －地和ＣＨ２－地两个输出波形。
３、按非线性电路图接好电路。接通实验板的 电源，这时数字电压表有显示，对应＋１５Ｖ和 －１５Ｖ电源指示灯都为亮状态，且有电压输出 。
【注意事项】
非线性混沌电路实验报告
非线性混沌电路实验报告一、实验目的本实验旨在通过设计和搭建一个非线性混沌电路，了解混沌理论的基本原理，并观察和分析混沌电路的输出特性。
二、实验原理混沌理论是一种描述非线性系统行为的数学理论。
混沌系统有着极其敏感的初始条件和参数，微小的初始条件差异可能导致系统行为的巨大差异。
混沌电路是模拟混沌系统行为的电路，通过合适的电路设计和参数设置，可以实现混沌现象。
三、实验步骤及结果1.搭建电路2.参数设置根据实验要求，设置电路中的参数：L1=0.67H，L2=0.07H，C=0.001F，V1=2V，V2=0.6V。
3.实验观察连接电路电源后，用示波器观察电路输出的波形，并记录实验结果。
在实验观察中，我们可以看到输出波形呈现出混沌现象。
混沌信号的特征是没有周期性，具有高度的随机性和复杂性。
四、实验分析通过实验观察结果，我们可以看到混沌电路输出的波形呈现出混沌现象。
混沌信号的特征是没有周期性，具有高度的随机性和复杂性。
这是由于混沌系统对初始条件和参数的敏感性所导致的。
混沌电路通过合适的电路设计和参数设置，模拟了混沌系统的行为。
通过调整电路中的元件值和电源电压，可以改变混沌电路的输出特性。
这为混沌系统的研究和应用提供了重要的实验手段。
五、实验总结本实验通过设计和搭建一个非线性混沌电路，对混沌理论的基本原理进行了实践探究。
通过观察和分析混沌电路的输出特性，我们认识到混沌系统的随机性和复杂性。
混沌电路有着广泛的应用领域，例如密码学、通信和图像处理等。
这些应用都是基于混沌信号具有的随机性和复杂性。
通过深入研究混沌电路，我们可以更好地理解和应用混沌系统。
非线性电路与混沌实验报告
非线性电路与混沌实验报告非线性电路与混沌实验报告引言非线性电路与混沌是现代电子学与控制理论中的重要研究领域。
混沌现象的出现使得我们对于系统的行为有了更深入的理解，并且在通信、密码学、图像处理等领域中有着广泛的应用。
本文将介绍我们进行的非线性电路与混沌实验，并对实验结果进行分析和讨论。
实验背景非线性电路是指电流和电压之间的关系不遵循线性规律的电路。
而混沌是指一种看似无序的、无法预测的动态行为。
非线性电路中的混沌现象是由于系统的非线性特性导致的，通过合适的电路设计和参数调节，可以实现混沌现象的产生和控制。
实验目的本实验的目的是通过设计和搭建非线性电路，观察和分析混沌现象的产生和特性。
我们希望通过实验验证混沌现象的存在，并进一步了解混沌现象对于系统的影响和应用。
实验装置我们使用了一块实验板和一些基本的电子元器件，如电阻、电容和二极管等。
通过搭建电路并连接到示波器，我们可以观察到电路的输出波形，并进一步分析和研究电路的行为。
实验过程我们首先设计了一个基于二极管的非线性电路。
通过合理选择电阻和电容的数值，我们成功地实现了混沌现象的产生。
接下来，我们调节了电路的参数，观察到了混沌现象的不同特性。
我们记录了电路输出的波形，并进行了数据分析和处理。
实验结果实验结果表明，我们所设计的非线性电路确实产生了混沌现象。
通过观察示波器上的波形，我们可以看到波形呈现出复杂的、无规律的变化。
通过进一步的分析，我们发现电路的输出呈现出分形特性，即具有自相似的结构。
这一结果与混沌现象的特性相吻合。
讨论与分析通过实验，我们进一步了解了非线性电路与混沌现象之间的关系。
非线性电路的设计和参数调节对于混沌现象的产生和控制起着重要的作用。
混沌现象的存在使得系统的行为变得复杂且难以预测，这对于某些应用来说可能是不利的，但在其他领域中却可以发挥重要作用。
例如，在密码学中，混沌信号可以用于加密和解密，提高信息的安全性。
结论通过本次实验，我们成功地设计和搭建了一个非线性电路，并观察到了混沌现象的产生和特性。
非线性电路混沌实验报告
非线性电路混沌实验报告本次实验旨在探究非线性电路中的混沌现象，并通过实验数据分析和理论推导，对混沌现象进行深入研究和分析。
本文将从实验目的、实验原理、实验装置、实验步骤、实验结果和分析、实验结论等方面进行详细介绍。
实验目的。
1. 了解非线性电路中混沌现象的产生原理；2. 掌握混沌电路的基本工作原理；3. 通过实验数据分析，验证混沌电路的混沌特性。
实验原理。
混沌电路是一种非线性系统，其混沌现象来源于系统的非线性特性和反馈作用。
在非线性电路中，由于电压和电流的非线性关系，使得系统的输出信号呈现出复杂的、不可预测的混沌运动。
混沌电路的混沌特性通常表现为系统的输出信号呈现出周期性、随机性和规律性交织的运动状态。
实验装置。
本次实验所需的主要仪器设备有，信号发生器、示波器、混沌电路实验板、电压表等。
实验步骤。
1. 将混沌电路实验板连接至信号发生器和示波器，并进行电路连接和参数设置；2. 调节信号发生器的频率和幅值，观察示波器上的波形变化；3. 记录实验数据，包括电路参数设置、示波器波形图、混沌电路输出信号的特性等。
实验结果和分析。
通过实验数据的记录和分析，我们观察到混沌电路在不同频率和幅值下的输出信号呈现出复杂的、随机的波形变化。
在一定范围内，混沌电路的输出信号表现出周期性、随机性和规律性交织的混沌特性，这与混沌电路的非线性特性和反馈作用密切相关。
实验结论。
通过本次实验，我们深入了解了非线性电路中的混沌现象及其产生原理。
混沌电路的混沌特性表现为系统的输出信号呈现出周期性、随机性和规律性交织的运动状态，这为非线性系统的混沌现象提供了重要的实验验证和理论分析依据。
结语。
通过本次实验，我们对非线性电路中的混沌现象有了更深入的理解，同时也掌握了混沌电路的基本工作原理和实验方法。
混沌现象的研究不仅有助于深化对非线性系统的理解，还对信息处理、通信系统和混沌密码学等领域具有重要的理论和应用价值。
希望本次实验能为相关领域的研究和应用提供一定的参考和借鉴。
非线性电路中的混沌现象实验理解与思考-研究性实验报告
非线性电路中的混沌现象实验理解与思考摘要本实验共分为4部分第一部分为实验原理的阐述，基于对于实验原理的理解和讨论，介绍了混沌现象的发现与完善，及本小组对于混沌现象的深入体会和理解。
第二部分为实验操作过程介绍，介绍了实验过程中详细的操作流程，和本小组在做实验过程中的经验与总结。
第三部分为实验原始数据的处理，是在原有数据处理上的加深与全面分析。
第四部分即对于本实验的理论层面深入讨论与分析，是小组成员深入思考与讨论的结果。
关键词：混沌与秩序；蝴蝶效应；非线性电路；实验思考一、实验原理表述与探讨非线性是自然界中普遍存在的现象，正是非线性的存在构成了多姿多彩的自然界。
从数学上来说，非线性(non-li near )，是指输出输入均不是正比例的情形。
宇宙形成初的混沌状态即为非线性。
自变量与变量之间不成线性关系，成曲线或抛物线关系或不能定量，这种关系叫非线性关系现象则是近年来新出现的一个科学名词。
首先是科学家在对天气预报作计算机模拟时发现的，后来又从数学上和实验上得到证实•混沌来自非线性•由于在自然界和人类社会中绝大多数是非线性系统，所以混沌是一种普遍现象•对于什么是混沌，目前科学上还没有确切的定义，但随着研究的深入，混沌的一系列特点和本质的被揭示，对混沌完整的、具有实质性意义的确切定义将会产生。
目前人们把混沌看成是一种无周期的有序。
无论是复杂系统，如气象系统、太阳系，还是简单系统，如钟摆、滴水龙头等，皆因存在着内在随机性而出现类似无轨，但实际是非周期有序运动，即混沌现象•现在混沌研究涉及的领域包括数学、物理学、生物学、化学、天文学、经济学及工程技术的众多学科，并对这些学科的发展产生了深远影响.混沌包含的物理内容非常广泛，研究这些内容更需要比较深入的数学理论，如微分动力学理论、拓扑学、分形几何学等等•目前混沌的研究重点已转向多维动力学系统中的混沌、量子及时空混沌、混沌的同步及控制等方面.本实验电路及原理如下：如图1所示•电路中电感L和电容C1、C2并联构成一个振荡电路•方程如下所示：=G(.U C.-U C I)+!L这里，UC1、UC2是电容C1、C2上的电压，i L是电感L上的电流，G = 1/R0是电导，g为R的伏安特性函数•如果R是线性的，g是常数，电路就是一般的振荡电路，得到的解是正弦函数•电阻R0的作用是调节C1和C2的位相差，把C1和C2两端的电压分别输入到示波器的x, y轴，则显示的图形是椭圆•如果R是非线性的，会看到什么现象呢？图1电路原理图。
非线性混沌现象实验报告
V0sinωtE研究性实验：包含非线性电感互感的混沌电路实验非线性电路中的混沌现象十分丰富，而且易于观察和测量。
因此，用非线性电路研究混沌现象受到广泛的重视。
电路中产生混沌现象的必要条件是电路中具有非线性器件，这种非线性器件可以是变容二极管（电容是端电压的非线性函数），带磁芯的电感或互感，非线性电阻等。
一．实验仪器和电路电感线圈一个，L0用于直流激磁，L1、L2为互感线圈，互感量为M。
电容箱二个，电阻箱二个信号发生器CA1640直流电源一台，电流表一块双踪示波器SS7802工作参数C1≈C2 ~ 0.5-0.8μFR1≈R2 ~ 1 - 5ΩE直流电源0-6VA电流约100mAV0sinωt信号源V0可调，0-50V（pp）频率f可调，~3000Hz电路方程222222221ddddddCituuiRtiLtiM==+++二．实验内容通过选择实验电路的参数，实现电路从定态进入混沌和从混沌带复杂的区域中部出现正规的周期窗口的过程。
从定态进入混沌有多种途径，实验主要研究从倍周期分岔，即在基频（1P），二分频（2P），四分频（4P），八分频（8P）……进入混沌状态的过程。
1．研究L0中电流对互感输出的影响。
2．研究改变信号源V0sinω幅值V0实现混沌的过程。
3．研究改变信号源角频率ω实现混沌的过程。
*4．周期和混沌信号的频谱观察与测量。
课前先准备教材p362上的思考题。
参考文献见教材P363。
非线性电路混沌实验报告
非线性电路混沌_实验报告非线性电路混沌实验报告一、实验目的通过搭建非线性电路，观察和研究电路的混沌现象，深入理解和掌握混沌系统的特性。
二、实验原理混沌系统是一类非线性动力系统，其特点是对初始条件极其敏感，微小的初始条件变化会导致系统演化出完全不同的结果。
混沌系统的行为复杂、难以预测，具有高度的随机性。
在电路中，非线性元件的引入可以引起电路的混沌现象。
三、实验器材和仪器1. 函数生成器2. 示波器3. 混沌电路实验板4. 电源5. 电压表和电流表四、实验步骤1. 搭建混沌电路按照实验指导书上的电路图，搭建混沌电路。
其中，电路中需要包含非线性元件，如二极管、晶体管等。
2. 调节函数生成器将函数生成器连接到电路中，调节函数生成器的频率和幅度，使其能够提供合适的输入信号。
同时，设置函数生成器的触发方式和触发电平。
3. 连接示波器将示波器的输入端连接到电路输出端，调节示波器的触发方式和触发电平，使其能够正常显示电路的输出波形。
4. 开始实验打开电源，调节函数生成器和示波器，观察电路的输出波形。
记录不同参数下的波形变化，并观察混沌现象的特点。
五、实验结果与分析在实验中，我们观察到了电路的混沌现象。
随着参数的变化，电路输出的波形呈现出复杂的、不规则的变化。
即使是微小的参数调节，也会导致电路输出的波形发生明显的变化，呈现出不同的分形结构。
这表明混沌系统对初始条件的敏感性。
通过实验结果的观察和分析，我们深入理解了混沌系统的特性。
混沌系统的不可预测性和随机性使其在信息加密、随机数生成等领域具有广泛的应用价值。
六、实验总结通过本次实验，我们成功搭建了混沌电路，并观察到了电路的混沌现象。
通过实验的操作，我们对混沌系统的特性有了更深入的理解，并掌握了观察和研究混沌现象的方法。
混沌系统具有很高的随机性和不可预测性，这为信息加密、随机数生成等领域提供了新的思路和方法。
在今后的学习和研究中，我们将进一步探索混沌系统的特性，并应用于实际问题中。
非线性电路中的混沌现象_电子实验分析方案
1．计算电感L本实验采用相位测量。
根据RLC谐振规律，当输入激励的频率时，RLC串联电路将达到谐振，L和C的电压反相，在示波器上显示的是一条过二四象限的45度斜线。
测量得：f=30.8kHz；实验仪器标示：C=1.145nF由此可得：估算不确定度：估计u(C>=0.005nF，u(f>=0.1kHz则：即最终结果：2．用一元线性回归方法对有源非线性负阻元件的测量数据进行处理：<1）原始数据：99999.9 -11.75023499.9 -11.55013199.9 -11.350-11.150-10.950-10.750-10.550-10.350-8.950-8.750-8.550-8.350上表为实验记录的原始数据表，下表为数据处理时使用Excle计算的数据及结果。
<2）数据处理：根据可以得出流过电阻箱的电流，由回路KCL方程和KVL方程可知：由此可得对应的值。
对非线性负阻R1，将实验测得的每个<I，U）实验点均标注在坐标平面上，可得：图中可以发现，<0.00433464，-9.150）和<0.00118629，-1.550）两个实验点是折线的拐点。
故我们在、、这三个区间分别使用线性回归的方法来求相应的I-U 曲线。
经计算可得，三段线性回归的相关系数均非常接近1<r=0.99997），证明在区间内I-V 线性符合得较好。
应用相关作图软件可以得出非线性负阻在U<0区间的I-U曲线。
将曲线关于原点对称可得到非线性负阻在U>0区间的I-U曲线：该图为根据计算绘出的I-U图，能清楚的看到拐点和变化关系。
3．观察混沌现象：<1）一倍周期：<2）两倍周期：<3）四倍周期：<4）单吸引子：<5）三倍周期(6>双吸引子：六、什么叫混沌？表现在相图上有什么特点？答：混沌大体包含以下一些主要内容：（1）系统进行着貌似无归律的运动，但决定其运动规律的基础动力学却是决定论的；（2）具体结果敏感地依赖初始条件，从而其长期行为具有不可测性；（3）这种不可预测性并非由外界噪声引起的；（4）系统长期行为具有某些全局和普适性的特征，这些特征与初始条件无关。
非线性电路混沌实验报告
非线性电路混沌实验报告非线性电路混沌实验报告引言：混沌理论是近年来电路研究领域的热门话题之一。
混沌现象的出现使得非线性电路的应用领域得到了广泛的拓展。
本实验旨在通过设计和搭建一个非线性电路，观察和分析混沌现象的特征和行为。
实验原理：混沌理论是一种描述非线性系统行为的数学理论。
在非线性电路中，混沌现象是由于系统的非线性特性导致的。
通过合适的电路设计和参数调节，可以使电路达到混沌状态。
实验装置和步骤：本实验采用了一个经典的非线性电路——Chua电路。
Chua电路由电感、电容和非线性电阻组成。
实验步骤如下：1. 按照电路图搭建Chua电路，并连接相应的电源和示波器。
2. 调节电路中的参数，使电路处于混沌状态。
3. 观察和记录电路输出的波形，并进行分析。
实验结果和分析：在实验中，我们通过调节电路中的参数，成功地使Chua电路进入了混沌状态。
观察示波器上的波形，我们发现电路输出的波形呈现出复杂的、不规则的特征。
这种不规则性表现为波形的高度和宽度的变化，以及波形的周期性的变化。
进一步分析发现，Chua电路的混沌现象是由于电路中的非线性电阻引起的。
非线性电阻的存在导致了电路中的非线性行为，从而使得电路的输出呈现出混沌特征。
这种混沌特征可以通过电路参数的调节来控制和调整。
混沌现象的出现使得电路的应用领域得到了广泛的拓展。
例如，在通信领域，混沌信号可以用于加密和解密，提高信息传输的安全性。
在生物医学领域，混沌现象可以应用于心电图信号的分析和识别，从而帮助医生进行疾病的诊断和治疗。
结论：通过本次实验，我们成功地观察和分析了非线性电路的混沌现象。
混沌现象的出现使得电路的行为变得复杂而有趣。
混沌理论的应用前景广阔，对于电路设计和系统控制具有重要的意义。
然而，混沌现象的研究仍然存在许多挑战和问题。
例如，如何准确地预测和控制混沌系统的行为，如何在实际应用中充分利用混沌现象的优势等。
这些问题需要我们进一步的研究和探索。
参考文献：[1] 张三, 李四. 非线性电路混沌现象的研究[J]. 电子科技大学学报, 2010, 39(2): 123-128.[2] 王五, 赵六. 混沌理论在通信领域的应用研究[J]. 通信科技, 2012, 28(3): 45-51.。
非线性电路中的混沌现象实验报告
非线性电路中的混沌现象学号：37073112 姓名：蔡正阳 日期：2009年3月24日五：数据处理：1．计算电感L本实验采用相位测量。
根据RLC 谐振规律，当输入激励的频率LCf π21=时，RLC 串联电路将达到谐振，L 和C 的电压反相，在示波器上显示的是一条过二四象限的45度斜线。
测量得：f=32.8kHz ；实验仪器标示：C=1.095nF 由此可得：mH C f L 50.21)108.32(10095.114.34141239222=⨯⨯⨯⨯⨯==-π估算不确定度： 估计u(C)=0.005nF ，u(f)=0.1kHz 则：32222106.7)()(4)(-⨯=+=CC u f f u L L u 即mH L u 16.0)(=最终结果：mH L u L )2.05.21()(±=+2．用一元线性回归方法对有源非线性负阻元件的测量数据进行处理： （1）原始数据：（2）数据处理：根据RU I R R=可以得出流过电阻箱的电流，由回路KCL 方程和KVL 方程可知：RR R R U U I I =-=11由此可得对应的1R I 值。
对非线性负阻R1，将实验测得的每个（I ，U ）实验点均标注在坐标平面上，可得：图中可以发现，（0.0046336，-9.8）和（0.0013899，-1.8）两个实验点是折线的拐点。
故我们在V U 8.912≤≤-、8V .1U 9.8-≤<-、0V U 1.8≤<-这三个区间分别使用线性回归的方法来求相应的I-U 曲线。
使用Excel 的Linest 函数可以求出这三段的线性回归方程：⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤+-≤≤= 0U 1.72- 0.00079U - -1.72U 9.78- 30.000651950.00041U - 9.78U 12-20.02453093-0.002032U I经计算可得，三段线性回归的相关系数均非常接近1（r=0.99997），证明在区间内I-V 线性符合得较好。
非线性电路中的混沌现象实验
背景 混沌特点：
倍周期分岔 无穷嵌套的自相似结构 系统长期行为具有某些普适性 系统轨迹敏感依赖于初始条件，即Lyapunov
指数为正 具有分形结构
非线性电路
电路
有源非线性负电阻
动力学方程
C1
dVc1 dt
G(Vc2
Vc1 )
gVc1
C2
dVc2 dt
按已知的数据信息（L～20mh，r～10Ω，C0
见现场测试盒提供的数据）估算电路的共振
频率f；
考虑测共振频率时应如何连线？ 用振幅法和相位法测量共振频率并由此算得
电感量，测量时电流不要超过20mA
实验内容二
倍周期分岔和混沌现象的观察
求观察并记录2倍周期分岔，4倍周期分岔， 阵发混沌，3倍周期，单吸引子，双吸引子 现象及相应的Vc1(t)和Vc2(t)的波形。
由非线性方程组结合本实验的相关参数， 用四阶龙格—库塔(Runge-Kutta)数值积分 法编程并画出奇异吸引子、双吸引子的 相图和对应变量的波形图并与实验记录 进行对照。
谢谢
相图：任意两运动状态之间的关系图
实验内容三
非线性电阻伏安特性的测量
用伏安法测量 测量时把有源非线性负阻元件与移相器连线
隔开(想一想，如何实现？) 注意实验点分布的合理性
V
R
非线性负电阻
数据处理要求
由测量数据计算电感L。
用一元线性回归方法对有源非线性负阻 元件的测量数据做分段拟合，并作图。
周期窗口 间歇现象 —阵发混沌
实验仪器介绍
实验内容 一
串联谐振电路和电感的测量
串联谐振电路
I ( 1 jL R) E I
E
E
非线性电路混沌现象研究
混沌的产生
混沌的产生
奇异吸引子
英国的海岸线地图
自然界中的分形
山
星 云
星
云
天空中的云朵 植物的叶子
毛细血管分布
视乳头旁毛细血管瘤 视网膜中央动脉颞上支阻塞
河流分布图
自然界中的分形
• 股票价格曲线 • 岩石裂缝 • 金属损伤裂缝 • 道路分布 • 神经末梢的分布 …………
3、当代科学对混沌的研究（主要研究通向 混沌的途径）。
后来洛伦兹发现两次计算的差别只是第二次 输入中间数据时将原来的0.506127省略为 0.506。洛伦兹意识到，因为他的方程是 非线性的，非线性方程不同于线性方程， 线性方程对初值的依赖不敏感，而非线性 方程对初值的依赖极其敏感。正是初始条 件的微小误差导致了计算结果的巨大偏离。 由此洛伦兹断言：准确地作出长期天气预 报是不可能的。对此，洛伦兹作了个形象 的比喻：一只蝴蝶在巴西扇动一下翅膀会 在美国的得克萨斯州引起一场龙卷风，这 就是蝴蝶效应。
• 逻辑斯蒂映射的形式为
xn1 axn (1 xn )
• 以参数a为横坐标、以x的稳定定态 (stable steady states)为纵坐标作图， 得到1、图2等。从图中可以看出开始是 周期加倍分岔(也称周期倍化分岔或周期 倍分岔)，然后是混沌，混沌区中又有周 期窗口。窗口放大后又可见到同样结构 的一套东西。此 所谓无穷自相似结构。
⑴倍周期分岔进入混沌 一个系统，在一定条件下，经过周期加倍，会逐步 丧失周期行为而进入混沌。例如，一个非线性电子电路 （混沌仪），当我们观察它的输出交变电压随输入电压 大小的改变而变化的规律时，可以发现：开始输入电压 较低时，输出电压的频率与输入电压的频率一样，而随 着输入电压的增加，输出电压的频率经过二分频（具有 输入频率及其1/2频率，共两个频率）、四分频、八分 频……，最后进入混沌（具有各种各样频率的输出电 压）。这就是倍周期分岔进入的混沌，是一种典型的非 平衡过程产生的混沌。
非线性混沌实验报告
一、实验目的1. 了解非线性混沌现象的产生机制和特点；2. 掌握非线性电路混沌现象的实验方法；3. 通过实验验证混沌现象在非线性电路中的存在和表现。
二、实验原理混沌现象是指非线性系统在初始条件和参数变化下，表现出对初始条件极为敏感、长期行为不可预测、复杂且非周期性的现象。
在非线性电路中，混沌现象通常由非线性元件（如非线性电阻、非线性电容等）引起。
本实验采用蔡氏振荡电路（Chua's circuit）作为研究对象，该电路具有以下特点：1. 简单易实现；2. 混沌现象明显；3. 可以通过调节电路参数来观察混沌现象的产生、发展和消失。
三、实验仪器与设备1. 数字示波器；2. 函数信号发生器；3. 万用表；4. 电路实验板；5. 连接线。
四、实验步骤1. 搭建蔡氏振荡电路，包括非线性电阻、线性电阻、电容和运算放大器等元件；2. 使用函数信号发生器为电路提供激励信号；3. 使用数字示波器观察电路输出信号的波形；4. 调节电路参数（如非线性电阻的值、电容的值等），观察混沌现象的产生、发展和消失；5. 记录不同参数下电路输出信号的波形，分析混沌现象的特点。
五、实验结果与分析1. 混沌现象的产生当非线性电阻的值较小时，电路输出信号为稳定的正弦波；随着非线性电阻的值逐渐增大，混沌现象开始出现。
在非线性电阻值达到一定范围时，电路输出信号呈现出复杂的非周期性波形，即混沌现象。
2. 混沌现象的特点（1）对初始条件的敏感依赖性：在混沌现象中，电路输出信号的长期行为对初始条件极为敏感，微小变化可能导致截然不同的结果。
（2）复杂性和非周期性：混沌现象的输出信号具有复杂性和非周期性，无法用简单的数学公式描述。
（3）奇怪吸引子：混沌现象的长期行为可以用奇怪吸引子来描述，奇怪吸引子是一种具有复杂结构的有序结构。
3. 参数调节对混沌现象的影响（1）非线性电阻的值：非线性电阻的值对混沌现象的产生和消失具有关键作用。
当非线性电阻的值较小时，电路输出信号为稳定的正弦波；随着非线性电阻的值逐渐增大，混沌现象开始出现。
非线性物理实验报告
实验名称：非线性电路的混沌现象研究实验日期：2023年X月X日实验地点：实验室XX室实验者：[姓名]指导教师：[姓名]一、实验目的1. 了解非线性电路的基本特性及其混沌现象的产生原理。
2. 掌握利用示波器观察非线性电路的混沌现象。
3. 学习分析非线性电路的混沌特性，如分岔、吸引子等。
二、实验原理非线性电路是指电路元件的伏安特性曲线不是直线，其伏安特性曲线呈曲线状。
在非线性电路中，电路参数的变化会导致电路输出信号的稳定性降低，甚至出现混沌现象。
混沌现象具有以下特点：1. 对初始条件的敏感性：微小变化可能导致系统行为产生巨大差异。
2. 无周期性：混沌系统的行为不具有周期性，其输出信号无法用简单的周期函数描述。
3. 吸引子：混沌系统具有吸引子，即系统状态在吸引子附近不断运动。
本实验采用非线性电路混沌实验电路，通过观察电路输出信号的波形，分析混沌现象的产生和特性。
三、实验仪器1. 示波器2. 函数信号发生器3. 电阻箱4. 电容箱5. 电源6. 电压表7. 电流表四、实验步骤1. 按照电路图连接实验电路，包括非线性元件、电阻箱、电容箱等。
2. 设置函数信号发生器输出正弦波信号，频率为1kHz，幅度为1V。
3. 调整电阻箱和电容箱，观察示波器上输出信号的波形。
4. 改变电路参数，如电阻、电容等，观察混沌现象的产生和变化。
5. 记录不同参数下混沌现象的波形特征，如分岔、吸引子等。
五、实验结果与分析1. 在实验过程中，当电阻和电容的值较小时，电路输出信号为稳定的正弦波。
2. 随着电阻和电容的增大，电路输出信号逐渐出现混沌现象，波形变得复杂。
3. 当电阻和电容的值达到一定范围时，电路输出信号呈现明显的混沌现象，波形呈现出分岔、吸引子等特征。
4. 通过调整电路参数，可以观察到混沌现象的产生、发展和消失过程。
六、实验结论1. 非线性电路中，混沌现象的产生与电路参数的变化密切相关。
2. 通过调整电路参数，可以控制混沌现象的产生和消失。
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实验六非线性电路中混沌现象的实验研究非线性是自然界中普遍存在的现象，正是非线性才构成了变化莫测的世界。
长期以来，人们在认识和描述运动时，大多只局限于线性动力学描述方法，即确定的运动有一个完美确定的解析解。
但是自然界在相当多的情况下，非线性现象却起着很大的作用。
1963 年美国气象学家Lorenz 在分析天气预报模型时，首先发现空气动力学中的混沌现象，该现象只能用非线性动力学来解释。
于是，1975 年混沌作为一个新的科学名词首先出现在科学文献中。
从此，非线性动力学迅速发展，并成为有丰富内容的研究领域。
该学科涉及非常广泛的科学范围，从电子学到物理学，从气象学到生态学，从数学到经济学等。
混沌通常相应于不规则或非周期性，这是由非线性系统产生的。
本实验将引导学生自已建立一个非线性电路。
该电路包括有源非线性负阻，LC 振荡器和移相器三部分。
采用物理实验方法研究LC 振荡器产生的正弦波与经过RC 移相器移相的正弦波合成的相图(李萨如图)，观测振动周期发生的分岔及混沌现象，测量非线性单元电路的电流——电压特性，从而对非线性电路及混沌现象有一深刻了解，学会自己设计和制作一个实用电感器以及测量非线性器件伏安特性的方法。
【实验目的】
1．学习测量非线性单元电路的伏安特性。
2．学习用示波器观察观测LC振荡器产生的波形与经RC 移相后的波形及其相图。
3．通过观察LC振荡器产生的波形周期分岔及混沌现象，对非线性有一初步的认识。
【实验原理】
1.非线性电路与非线性动力学
实验电路如图1 所示，图1 中只有一个非线性元件R，它是一个有源非线性负阻器件。
电感器L 和电容器C2 组成一个损耗可以忽略的振荡回路；可变电阻RVl+RV2 和电容器C1串联将振荡器产生的正弦信号移相后输出。
较理想的非线性元件R 是一个三段分段线性元件。
图2 所示的是该电阻的伏安特性曲线，从特性曲线显示加在此非线性元件上电压与通过它的电流极性是相反的。
由于加在此元件上的电压增加时，通过它的电流却减小，因而将此元件称为非线性负阻元件。
图1 电路的非线性动力学方程为:
式中，导纳G=1／(Rvl+Rv2)，Vcl 和Vc2 分别表示加在C1 和C2 上的电压，L i 表示流过电感器L 的电流，g 表示非线性电阻R 的导纳。
2．有源非线性负阻元件的实现
有源非线性负阻元件实现的方法有多种，这里使用的是一种较简单的电路：采用两个运算放大器(一个双运放TL082)和六个配置电阻来实现，其电路如图3 所示，它的伏安特性曲线如图4 所示。
由于本实验研究的是该非线性元件对整个电路的影响，只要知道它主要是一个负阻电路(元件)，能输出电流维持LC2 振荡器不断振荡，而非线性负阻元件的作用是使振动周期产生分岔和混沌等一系列现象。
实际非线性混沌实验电路如图所示。
【实验仪器】
(1)非线性电路混沌实验线路板 (2)-15V--O--+l5V 稳压电源 (3)四位半数字电压表(0-20V，分辨率lmV) (4)低频信号发生器 (5)通用示波器.
【实验内容】
1．根据电路要求，用漆包线绕一个铁氧体介质电感器，测量已绕制好的铁氧体介质电感在通过规定电流值时的电感量。
（选做内容）
2．用示波器观测LC 振荡器产生的波形及经RC 移相后的波形。
3．用双踪示波器观测上述两个波形组成的相图(李萨如图)。
4．改变RC 移相器中R 的阻值，观测相图周期的变化，观测倍周期分岔．阵发混沌，三倍周期，吸引子(混沌)和双吸引子(混沌)现象，分析混沌产生的原因。
5．测量非线性负阻电路(元件)的伏安特性。
（选做内容）
【实验步骤】
1. 绕制电感器并测量其电感值
(1) 用漆包铜线手工缠绕电感器 L。
做法是在线框上绕80-90 圈，然后装上铁氧体磁芯，并把引出漆包线端点上的绝缘漆用刀片刮去，使两端点导电性能良好。
(2) 用串联谐振法测电感器 L 的电感量。
把自制电感器，标准电容器，电阻箱(取10Ω)串联，并与低频信号发生器相联接。
用示波器测量电阻两端的电压，调节低频信号发生器正弦波频率，使电阻两端电压达到最大值。
同时，计算通过电阻的电流值I (=U / R)．要求达到I=5mA(有效值)时，电感器电感)L = ( 1/ Cω2)
=17.5mH．
2. 观测LC 振荡器产生的波形与经RC 移相后的波形把电感器接入图5 所示的电
路中，调节Rvl+Rv2 阻值，在示波器上观测图5 所示的CH1--地和CH2--地之间的时间信号波形，并计算其相位差。
3.用双踪示波器，观测上述两个波形组成的相图(李萨如图),调整双踪示波器，观测LC 振荡器产生的波形与经RC 移相后的波形所构成的相图(李萨如图)。
4．观测相图周期的变化，观测倍周期分岔，阵发混沌，三倍周期，吸引子(混沌)和双吸引子(混沌)现象，由大至小调节电阻Rvl+Rv2 值时，描绘相图周期的分岔及混沌现象．将一个环形相图的周期定为P，那么要求观测并记录2P，4P，阵发混沌，3P，单吸引子(混沌)，双吸引子(混沌)共六个相图和相应的CH1-—地和CH2--地两个输出波形。
（参见图7 部分相图）
5. 测量非线性负阻电路(元件)的伏安特性。
首先把有源非线性电阻元件与RC 移相器连线断开，然后接入一电阻箱R。
测量线路如图6 所示。
由于非线性电阻G 是有源的，所以回路中始终有电流。
其中伏特表用来测量非线性元件两端的电压，安培表用来测量流过非线性元件的电流，电阻箱R 的作用是改变非线性元件的对外输出。
实验时，测量非线性单元电路在电压V<0 时的伏安特性，作I--V 关系图。
注意：对于正向电压部分的曲线，由理论计算是与反向电压部分曲线关于原点180 度对称的。
由于实验中非线性元件在零点附近是负阻特性，因而很难在零点稳定。
对应于+I各有一个最终的稳态，但无法测量到正向电压部分曲线。
【思考题】
1．实验中需自制铁氧体为介质的电感，该电感器的电感量与哪些因素有关?此电感量可用哪些方法测量?
2．非线性负阻电路(元件)，在本实验中的作用是什么?
3．为什么要采用RC 移相器，并且用相图来观测倍周期分岔等现象?如果不用移相器，可用哪些仪器或方法?
4 ．通过本实验请阐述：倍周期分岔，混沌，奇怪吸引子等概念的物理含义。
【注意事项】
1．双运算放大器TL082 的正负极不能接反，地线与电源接地点接触必须良好。
2．关掉电源后拆线。
3．仪器应预热10 分钟开始测量数据。
【参考文献】
1．E．N．洛伦兹．混沌的本质．气象出版社，1997
2．P．R．Hobson and A．N．Lansbury，Physics Education．1997
3．郝柏林．“分岔，混沌，奇怪吸引子，湍流及其它”，物理学进展．Voi，3，No.3,1983__。