选修2-2 1.5定积分的概念-讲

n
n
n
y
N个小曲边梯形的面 积分别记作：
S1 , S2 , , Sn .
y x2
O













1 n
2 n
k n
n n
x
S Si
i 1
n
（2）用矩形来近似代替
i 1 i ' 在区间 , 上，用小矩形的面积 Si n n 2 i 1 i 1 ' 近似地代替Si 则有Si Si f ( )x x
矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
观察下列演示过程，注意当分割加细时，
矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
观察下列演示过程，注意当分割加细时，
矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
观察下列演示过程，注意当分割加细时，
矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
观察下列演示过程，注意当分割加细时，
矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
a a
三:
定积分的基本性质
性质3.
定积分关于积分区间具有可加性
b

a
f ( x )dx f ( x )dx f ( x )dx
a c
c
b
y
yf ( x)
O
a
c1 c2 a c1
Ｃ
b x
b c2

b
a
f ( x )dx f ( x )dx f ( x )dx f ( x )dx
性质 3 不论a，b，c的相对位置如何都有
a f (x)dx a f (x)dx c
y
b
c
b
f (x)dx。
y=f ( x)
f )( dx x)dx f (x f )( dx x) dx f (x )f dx (x f )( dx x dx f (。 x)dx a fa(x a)。 a a a c c c
i 1 i
(3)取极限:，所求曲边梯形的 面积S为
S lim f (xi )x
n i 1
O
a
xi xi xi+1 x

b
x
一、定积分的定义
从求曲边梯形面积S的过程中可以看出,通过“四步
曲”:
n求和------取极限得到解决 n 分割---近似代替---b .a i 1 i 1
y f ( x)
a
b
x
积分上限
f (x i )x i a f ( x )dx I lim 0 i 1
积分下限
b
n
被 积 函 数
被 积 表 达 式
积 分 变 量
定积分的定义： 即

b
a
ba f ( x)dx lim f (xi ) n n i 1
n
1.5 定积分的概念
一. 求曲边梯形的面积 1. 曲边梯形 ：在直角坐标系中，由连
续曲线 y=f(x) ，直线 x=a 、 x=b 及 x 轴所围成的 图形叫做曲边梯形。怎样来求曲边梯形的面 积？
y y=f (x)
x=a
O a
x=b
b x
P
放大
P
再放大
P
因此，我们可以用这条直线L来代替点P附近的曲线， 也就是说：在点P附近，曲线可以看作直线（即在很小范围 内以直代曲）．
根据定积分的定义右边图形的面积为 1 1 1 2 S f ( x)dx x dx 0 0 3
v
2
f(x)=x2
S 1 3
1
g gg
D S1 DS2 D S3 DS4
g
v(t ) = - t 2 + 2
D Sj
O
n
x
gD S
g
根据定积分的定义左边图形的面积为 1 1 5 2 S v(t )dt (t 2)dt 0 0 3
bb
n
n
定积分的定义： 即

b
a
ba f ( x)dx lim f (xi ) n n i 1
n
定积分的相关名称： ———叫做积分号， y f(x) ——叫做被积函数， f(x)dx —叫做被积表达式， x ———叫做积分变量， a ———叫做积分下限， O b ———叫做积分上限， [a, b] —叫做积分区间。
y x2
2
2
2
O













1 n
2 n
k n
n n
x
（4）取极限
因此, 我们有理由相信, 这个曲边三角形的面积 为:
n
n i 1 i 1 2 1 Sn S f ( )x ( ) n n n i 1 i 1 i 1 n ' i n
S l间隔地插入n-1个点,将它等分成
(2)取近似求和 :任取xi[xi1, xi]，第i个小曲边梯形的面积用 y 高为f(x )而宽为x的小矩形面积
i
f(xi)x近似之。
y=f ( x)
n
取n个小矩形面积的和作为曲边梯
形面积S的近似值： S
n
f (x )x
O
y
y f ( x)
a b
y f ( x)
x
—— 分成很窄的小曲边梯形， 然后用矩形面积代后求和。 —— 以直代曲
y
O
a
b
x
例1.求抛物线y=x2、直线x=1和x轴所围成的曲边梯形的面积。
解把底边[0,1]分成n等份,然后在每个分点作底边的垂线, 这样曲边三角形被分成n个小曲边梯形。 i i 1 1 i 1 i 第i个小区间 n , n 的长度 x
按定积分的定义，有 (1) 由连续曲线y=f(x) (f(x)0) ，直线x=a、x=b及 x轴所围成的曲边梯形的面积为
S f (x)dx；
a
b
(2) 设物体运动的速度v=v(t)，则此物体在时间区间 v v(t ) [a, b]内运动的距离s为 v
s v(t)dt。
a
b
O
a
b
t
y
小结:求由连续曲线yf(x)对应的曲边梯形面积的方法
y
的近似值。 有理由相信，分 点越来越密时，即分 割越来越细时，矩形 面积和的极限即为曲 边形的面积。
o
x
观察下列演示过程，注意当分割加细时，
矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
观察下列演示过程，注意当分割加细时，
矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
观察下列演示过程，注意当分割加细时，
矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
观察下列演示过程，注意当分割加细时，
矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
观察下列演示过程，注意当分割加细时，
矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
观察下列演示过程，注意当分割加细时，
矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
观察下列演示过程，注意当分割加细时，
b
S S1 S2 f ( x)dx g ( x)dx
a a
b
b
S2 g ( x)dx
a
a
b
O
a a
b x
三:
定积分的基本性质
性质1.

b
a
kf ( x )dx k f ( x )dx
a
b b
b
性质2.

b
a
[ f ( x ) g( x )]dx f ( x )dx g( x )dx
y
n
n
i 1 1 (i 1,2,3, , n) n n
2
y x2
O













1 n
2 n
k n
n n
x
（3）求和
n i 1 i 1 2 1 Sn S f ( )x ( ) n n n i 1 i 1 i 1 n ' i n
小矩形面积和S= f (xi )x f (xi )
n
如果当n∞时，S 的无限接近某个常数，
这个常数为函数f(x)在区间[a, b]上的定积分，记作
a
b
ba 即 dx lim xfi。 (xi ) lim f (x)dx，即 )) dx f (x i) aa ff((xx n 0 n i 1 i 1
y yf ( x)
b
a f (x)dx a f (x)dx c
O a
b a
b
c
b
f (x)dx。
b x
特别地，当 ab 时，有 f (x)dx0。
探究:
根据定积分的几何意义,如何用定积分表示图中阴影部分 yf ( x) 的面积? y
S1 y )dx fg ( x)
n
3.定积分的几何意义及性质
作业:P50
第3题 第4题
y
1 1 1 2 1 n 1 1 0 n n n n n n n 1 2 2 3 (1 2 (n 1)2 ) n 1 (n 1)n(2n 1) 3 n 6 1 1 1 1 2 . 6 n n
t
O
1 1 2 3 j n - 1
n n n n
n
说明：
(1) 定积分是一个数值, 它只与被积函数及积分区间有关， 而与积分变量的记法无关，即