(整理)MATLAB的根轨迹分析法及重点习题.
第九章根轨迹法MATLAB
15
例9-1
100s 2 已知系统的开环传递函数为： G s ss TLAB命令如下： z=[-2]; p=[0 -1 -2]; pzmap(p,z)
2
二、绘制系统根轨迹图
MATLAB用函数命令rlocus ( )来绘制根轨迹图，其调用格式为： rlocus (sys)：sys为闭环系统的开环传递函数G(s)H(s)，此函数在 当前窗口中绘制出闭环系统特征方程1+k G(s)H(s)=0的根轨迹图。
可以用于连续系统，也可用于离散系统；
例9-2
k s 3 已知系统的开环传递函数为： G s ss 1s 2
试绘制该系统的根轨迹图。
其MATLAB命令如下： z=[-3];p=[0 -1 -2];k=1; sys=zpk(z,p,k);
rlocus(sys)
3
rlocus (sys, k)：此命令可用指定的反馈增益向量k来绘制根轨迹图；
6
k= 0.4984
poles =
-2.0664 -0.0918 + 0.3349i -0.0918 - 0.3349i
7
例9-4
设系统结构如图所示，试绘制反馈系数Ta从 0→∞变动时闭环系统的根轨迹图，并计算其零极 点。
R(s) E(s)
5
1 Ta s
1 s5 s 1
C(s)
5Ta s 1 解： (1)由系统结构图知系统的开环传递函数为：Gk s s5 s 1
[k, poles]=rlocfind (sys, p) ：对于给定根计算对应的增益和闭环极点 poles。
4
例9-3
已知一单位负反馈系统的开环传递函数为：
k G s s0.5 s 14 s 1
实验六 用MATLAB进行根轨迹分析
rlocus(G);
axis([-8 5 -5 5])
hold on
disp(‘press any key to continue.’)
pause
end
clear
clc
Wn=2;
Xita=.5;
b=[1,3,5];
主导极点法：在全部闭环极点中，选留最靠近虚轴而又不十分靠近闭环零点的一个或几个闭环极点作为主导极点，略去不十分接近原点的偶极子，以及比主导极点距离远6倍以上（在许多实际运用中，常取2～3倍）的闭环零极点。选留的主导零点数不要超过主导极点数。
主导极点法常用于估算高阶系统的性能。用主导极点代替全部闭环极点绘制系统时间响应曲线时，形状误差仅出现在曲线的起始段，而主要决定性能指标的曲线中、后段，其形状基本不变。
for i=1:3
G=tf(Wn^2*[1,b(i)]/b(i),[1,2*xita*Wn,0]);
rlocus(G);
disp(‘press any key to continue.’)
pause
hold on
end
四、实验方法、步骤：
1）MATLAB参考程序(1)如下：
2）MATLAB参考程序(2)如下：
五、实验现象、实验数据记录：
六、实验现象、实验数据的分析：
七、实验结论：
指导教师评语和成绩评定：
实验报告成绩：
指导教师签字：
年 月 日
clear
clc
Wn=2;
xita=0.5;
a=[1,3,5];
for i=1:length(a)
闭环实数主导极点对系统性能的影响：相当于增大系统的阻尼，使峰值时间滞后，超调量下降。如果实数极点比复数极点更接近坐标原点，动态过程可以变成非振荡过程。
MATLAB的根轨迹分析
基于MATLAB的根轨迹分析一.实验目的:1. 学习利用MATLAB的语言绘制控制系统根轨迹的方法。
2. 学习利用根轨迹分析系统的稳定性及动态特性。
二.实验内容：1. 应用MATLAB语句画出控制系统的根轨迹。
2. 求出系统稳定时，增益k的范围。
3. 分析系统开环零点和极点对系统稳定性的影响。
三.实验步骤1•给定某系统的开环传递函数G(s)H(s)=k/s(s*s+4s+16)用MATLAB与语言绘出该系统的根轨迹。
程序如下：num=[1];den=[1,4,16,0];G=tf(nu m,de n)G1=zpk(G)Z=tzero(G)P=pole(G)pzmap( nu m,de n);title('pole-zero Map')rlocus( nu m,de n)根轨迹如图-2-6-8-8Root Locus 结论：由上图可知增益k的取值范围：0<k<642.将系统的开环传递函数改为：G(s)H(s)=k/s(s*s+4s+5)绘出该系统根轨迹图，观察增加了开环零点后根轨迹图的变化情况。
程序如下：num=[1,1];den=[1,4,5,0];G=tf(nu m,de n)G1=zpk(G)Z=tzero(G)P=pole(G)pzmap( nu m,de n);title('pole-zero Map')rlocus( nu m,de n)根轨迹如图Root LocusrRrxA-2-2.5 -2 -1.5 -1-0.5Real Axis结论：增加了开环零点后根轨迹的变化tax A■『r r L ■iJ 1「「⑴改变了根轨迹在实轴上的分布。
(2) 改变了根轨迹渐近线的条数、倾角及截距口(3) 若增加的廿坏零点和某个极点車合或距离很近，构成开坏偶极子，则两者和互抵消。
因此，可加入•个零点來抵消有损于系统性能的极点耳(4) 根轨迹曲线将向左倔移，有利于改善系统的动态件能，而且，所加的零点越靠近虚轴，彫响越大。
自动控制原理Matlab实验3(系统根轨迹分析)
《自动控制原理》课程实验报告实验名称系统根轨迹分析专业班级 ********************学号姓名**指导教师李离学院名称电气信息学院2012 年 12 月 15 日一、实验目的1、掌握利用MATLAB 精确绘制闭环系统根轨迹的方法；2、了解系统参数或零极点位置变化对系统根轨迹的影响；二、实验设备1、硬件：个人计算机2、软件：MATLAB 仿真软件（版本6.5或以上）三、实验内容和步骤 1．根轨迹的绘制利用Matlab 绘制跟轨迹的步骤如下：1） 将系统特征方程改成为如下形式：1 + KG ( s ) = 1 + K )()(s q s p =0， 其中，K 为我们所关心的参数。
2） 调用函数 r locus 生成根轨迹。
关于函数 rlocus 的说明见图 3.1。
不使用左边的选项也能画出根轨迹，使用左边的选项时，能 返回分别以矩阵和向量形式表征的特征根的值及与之对应的增益值。
图3.1 函数rlocus 的调用例如，图 3.2 所示系统特征根的根轨迹及其绘制程序见图 3.3。
图3.2 闭环系统一图3.3 闭环系统一的根轨迹及其绘制程序图 3.4 函数 rlocfind 的使用方法注意：在这里，构成系统 s ys 时，K 不包括在其中，且要使分子和分母中 s 最高次幂项的系数为1。
当系统开环传达函数为零、极点形式时，可调用函数 z pk 构成系统 s ys : sys = zpk([zero],[pole],1);当系统开环传达函数无零点时，[zero]写成空集[]。
对于图 3.2 所示系统，G(s)H(s)=)2()1(++s s s K *11+s =)3)(2()1(+++s s s s K . 可如下式调用函数 z pk 构成系统 s ys :sys=zpk([-1],[0 -2 -3],1)若想得到根轨迹上某个特征根及其对应的 K 的值，一种方法是在调用了函数 rlocus 并得到了根 轨迹后调用函数 rlocfind 。
实验五根轨迹分析
|实验四 用MATLAB 绘制根轨迹图 （The Root Locus Using MATLAB ）一、绘制系统的根轨迹在绘制根轨迹之前，先把系统的特征方程整理成标准根轨迹方程r num(s)1+G(s)H(s)=1+K =0den(s)⋅其中：rK为根轨迹增益；num(s)为系统开环传递函数的分子多项式；den(s)为系统开环传递函数的分母多项式。
绘制根轨迹的调用格式有以下三：rlocus(num,den) 开环增益k 的范围自动设定； rlocus(num,den,k) 开环增益k 的范围人工设定； [K,p]=rlocfind(G ) 确定所选定处的增益和对应的特征根。
例4.1 已知某系统的开环传递函数为s s s s K s r 424)(23+++⋅=G试绘制该系统的根轨迹。
解： 在Matlab 命令窗口键入 num=[1 4];den=[1 2 4 0]; rlocus(num,den)可得如图4-1的结果。
-5-4-3-2-11-10-8-6-4-20246810Real AxisI m a g i n a r y A x i sRoot Locus图4-1由于采用rlocus()函数绘制根轨迹时，不同的根轨迹分支之间只区分颜色而不区分线形，所以打印时是不容易分辨各个分支的，需要在运行Matlab 程序时注意观察曲线的颜色。
■例4-2 若要求例4-1中的r K 在1到10之间变化，绘制相应的根轨迹。
解 在MATLAB 命令窗口键入 num=[1 4];den=[1 2 4 0];k=[1:0.5:10]; rlocus(num,den,k)可得如图4-2.的结果。
-4.5-4-3.5-3-2.5-2-1.5-1-0.500.5Root LocusReal AxisI m a g i n a r y A x i s图4-2例4-3 设系统的开环传递函数为)22)(3(()(2+++=s s s K s s rs H G ）试绘制其闭环系统的根轨迹图并在图上找出几点的相关数据。
第14讲应用MATLAB的根轨迹分析
第四章 根轨迹分析法 解: 1）创建MATLAB环境。 (1)在MATLAB环境下输入如下文本程序 g=tf(1，conv([1,1,0],[1,3])); rlocus(g) (2)在根轨迹图上找到 s 3 3 .2 5 实部比为
ts 3 n
3 .2 5 0 .3 7 2 8 .7 3 ~ 5
3 2
T (s )
在MATLAB环境下输入如下文本程序： g=tf(1.81,[1,4,3,1.81]) step(g)
% 1 6 % , t p 5 .1 7 s, t s 7 .5 9s
自动控制原理
12
第四章 根轨迹分析法 2）单位斜坡函数输入时，
e ss e ss lim s
自动控制原理
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第四章 根轨迹分析法
总 结
1. 根轨迹法是一种图解方法。它不用求解高次代数方程 即可将系统闭环特征方程的根解出来。
2. 根轨迹是以开环传递函数中的某个参数为参变量而画 出的闭环特征方程式的根轨迹图。 3. 根轨迹图不仅能直观地表示出参数的变化对系统性能 的影响，而且还可以用它求出指定参变量或指定阻尼比 相对应的闭环极点。根据确定的闭环极点和已知的闭环 零点，就能计算出系统的输出响应及其性能指标，从而 避免了求解高阶微分方程 的麻烦。
g 2
Imaginary Axis
0.88
1
(s 1) s (s 4 s 8 )(s 3)
2
1 K
g
0 0.88 1 2 3 0.38 -2 0.27 -1.5 Real Axis 0.19 0.12 0.06 -1 -0.5 4 5 0
MATLAB程序为 0.68 num=[1,1]； 0.5 -5 den=conv([1,4,8,0],[1,3])； -3 -2.5 g=tf(num,den) 图4-25 rlocus(g)
matlab中根轨迹
matlab中根轨迹M a t l a b中的根轨迹是一种用于分析和设计控制系统的有力工具。
根轨迹图能够帮助我们直观地了解系统的稳定性、动态特性和控制参数对系统性能的影响。
在本文中，我们将一步一步地回答关于M a t l a b中根轨迹的一些常见问题。
1.什么是根轨迹？根轨迹是指系统传递函数零极点在复平面上随参数变化时所形成的轨迹。
这些轨迹是系统的特征线，可以帮助我们分析和预测系统的动态行为。
根轨迹图通常以虚轴为对称轴，用于研究连续时间域系统的稳定性和相应的频率响应。
2.如何在M a t l a b中绘制根轨迹？在M a t l a b中，绘制根轨迹有多种方法，其中最常用的是使用"r l o c u s"函数。
这个函数的基本语法为r l o c u s(s y s)或r l o c u s(s y s K)或r l o c u s(s y s,K)，其中s y s是控制系统的传递函数，K是增益。
通过改变K的值，可以生成不同增益对应的根轨迹图。
3.如何选择适当的增益K？选择适当的增益K是非常重要的，因为它直接决定了系统的稳定性和性能。
通常情况下，我们可以通过观察根轨迹来判断系统是否稳定，并选择合适的增益K。
当系统的根轨迹趋近于虚线的无穷远处时，该系统是稳定的。
此时，我们可以选择一个适当的增益K，以实现所需的动态性能。
4.如何分析根轨迹图？根轨迹图提供了丰富的信息，可以帮助我们分析系统的动态行为。
首先，我们可以根据根轨迹的形状判断系统的稳定性。
如果所有的根轨迹都位于左半平面，则系统是稳定的；如果有根轨迹位于右半平面，则系统是不稳定的。
其次，我们还可以通过根轨迹图估计系统的动态特性，如振荡频率、过渡时间和超调量。
振荡频率可以通过根轨迹的旋转速度和半径来估计，而过渡时间和超调量可以通过根轨迹到达虚线和实轴的位置来估计。
此外，根轨迹图还可以帮助我们选择合适的控制器增益。
根据根轨迹的位置，我们可以调整增益的大小，以达到所需的系统性能。
利用MATLAB绘制系统根轨迹
第4章 利用MATLAB 绘制系统根轨迹一、 利用MATLAB 绘制系统根轨迹相关知识假设闭环系统中的开环传递函数可以表示为：)()())(()())(()(021********s KG p s p s p s z s z s z s K den numK a s a s a s b b s b s K s G n m nn n n m m m m k =+⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++==++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++=---- 则闭环特征方程为： 01=+dennumK特征方程的根随参数K 的变化而变化，即为闭环根轨迹。
控制系统工具箱中提供了rlocus()函数，可以用来绘制给定系统的根轨迹，它的调用格式有以下几种：rlocus(num ，den) rlocus(num ，den ，K) 或者 rlocus(G) rlocus(G ，K)以上给定命令可以在屏幕上画出根轨迹图，其中G 为开环系统G 0(s)的对象模型,K 为用户自己选择的增益向量。
如果用户不给出K 向量，则该命令函数会自动选择K 向量。
如果在函数调用中需要返回参数，则调用格式将引入左端变量。
如[R ，K]=rlocus(G)此时屏幕上不显示图形，而生成变量R 和K 。
R 为根轨迹各分支线上的点构成的复数矩阵，K 向量的每一个元素对应于R 矩阵中的一行。
若需要画出根轨迹，则需要采用以下命令：plot(R ，¹¹)plot()函数里引号内的部分用于选择所绘制曲线的类型，详细内容见表1。
控制系统工具箱中还有一个rlocfind()函数，该函数允许用户求取根轨迹上指定点处的开环增益值，并将该增益下所有的闭环极点显示出来。
这个函数的调用格式为：[K ，P]=rlocfind(G)这个函数运行后，图形窗口中会出现要求用户使用鼠标定位的提示，用户可以用鼠标左键点击所关心的根轨迹上的点。
这样将返回一个K 变量，该变量为所选择点对应的开环增益，同时返回的P 变量则为该增益下所有的闭环极点位置。
实验三利用MATLAB进行根轨迹分析
实验三利用MATLAB进行根轨迹分析实验三利用MATLAB进行根轨迹分析一、实验目的1、熟悉MATLAB用于控制系统中的一些基本编程语句和格式。
2、利用MATLAB语句绘制系统的根轨迹。
3、掌握用根轨迹分析系统性能的图解方法。
二、实验原理1、绘制系统的根轨迹rlocus()2、确定闭环根位置对应增益值K的函数rlocfind()该函数的调用格式为：[k,r]=rlocfind(num,den)三、实验内容请绘制下面系统的根轨迹曲线①、G(s)=k/s*(s^2+2*s+2)*(s^2+6*s+13)K:从0到无穷大时的根轨迹，x轴、y轴和标题。
②、G(s)=k*(s+12)/(s+1)*(s^2+12*s+100)*(s+10)K:从0到1000时的根轨迹曲线。
③、G(s)=k*(0.05+1)/s*(0.0714+1)*(0.012*s^2+0.1*s+1) K:从0到无穷大时的根轨迹曲线，图形窗口任选一点，确定系统稳定性。
程序：①num=[1];>> den=conv(conv([1,0],[1,2,2]),[1,6,13]);>> tf(num,den)Transfer function:1------------------------------------s^5 + 8 s^4 + 27 s^3 + 38 s^2 + 26 s>> num=[0,0,1];>> den=[1,8,27,38,26];>> rlocus(num,den)>> grid>> xlabel('Real Axis'),ylabel('Imaginary Axis')>> title('Root Locus')②num=[1,12];den=conv(conv([1,1],[1,12,100]),[1,10]); >> tf(num,den) Transfer function:s + 12--------------------------------------s^4 + 23 s^3 + 242 s^2 + 1220 s + 1000 >> num=[1,12]; >> den=[1,23,242,1220,1000];>> k=1:0.5:1000;>> rlocus(num,den)>> grid③num=[0.05 1];den=conv(conv([1,0],[0.0714 1]),[0.012 0.1 1]); rlocus(num,den)r=rlocus(num,den)[r,k]=rlocus(num,den)G=tf(num,den);rlocus(G);[k,r]=rlocfind(G)G_c=feedback(G,1);step(G_c)gridxlabel('Real Axis'),ylabel('Imaginary Axis')title('Root Locus')从k的取值可以知道系统是稳定的。
利用Matlab绘制系统的根轨迹
利用Matlab绘制系统的根轨迹本章前面的内容介绍了控制系统根轨迹的绘制以及利用系统大致的根轨迹图分析系统性能的方法，若要由根轨迹获得系统在某一特定参数下准确的性能指标或者准确的闭环极点，需要依据幅值条件精确地作图。
如果利用MATLAB工具箱中函数，则可方便、准确地作出根轨迹图，并利用图对系统进行分析。
MATLAB工具箱中，求系统根轨迹的几个常用函数有rlocus,rlocfind,sgrid，下面通过具体的例子来说明这些函数的应用。
例4-13控制系统的开环传递函数为G(s)H(s)=绘制系统的根轨迹图。
解利用函数rlocus函数可直接作出系统的根轨迹图，程序如下：%example4-13%num=[1,5];dun=[1,6,11,6,0];rlocus(num,dun)执行该程序后，可得到如图4-20所示的根轨迹。
图4-20例4-13题根轨迹图利用函数rolcus可画出系统的根轨迹图后，可用rlocfind函数在根轨迹上选择任意极点，得到相应的开环增益和其它闭环极点。
例4-14控制系统的开环传递函数为绘制系统的根轨迹图，并确定根轨迹的分离点及相应的开环增益。
解将开环传递函数写为Matlab程序如下：%example4-14%num=[1];den=[0.0002,0.03,1,0];rlocus(num,den)title(‘Root Locus’)[k,p]=rlocfind(num,den)程序执行过程中，先绘出系统的根轨迹，并在图形窗口中出现十字光标，提示用户在根轨迹上选择一点，这时，将十字光标移到所选择的地方，可得到该处对应的系统开环增益及其它闭环极点。
此例中，将十字光标移至根轨迹的分离点处，可得到k=9.6115p=-107.7277-21.9341-20.3383若光标能准确定位在分离点处，则应有两个重极点，即相等。
程序执行后，得到的根轨迹图如图4-21所示。
图4-21例4-14系统的根轨迹例4-15开环系统的传递函数为绘制系统的根轨迹，并分析系统的稳定性。
用MATLAB绘制根轨迹
.
[例]非最小相位系统：Gk 稳定时的增益值。
(s)
(s
kg 1)( s
2)
，试确定使系统
[解]：根轨迹如右：
有闭环极点在右 半平面，系统是 不稳定的。显然 稳定临界点在原 点。该点的增益 临界值为 kgp 。
计算对应的根轨迹增益。由幅值条件：
kg
1
s(s 4)(s 6) s1.2 j2.1 m
解得：kg 44
k(is 1)
开环传递函数以Gk (s)
i 1 n
的形式表示时，k称为开环放
大系数。
(Tjs 1)
j 1
显然 k与kg 的关系为：k kg
zi ，式中 p j不计0极点。 pj
s2
s
ks 1 2 ks
1
B
s
k
Ds
s2 s
k
2
k s
1
ks 1
k
1
s
2 s 2 ks 1
s2 s 2
1
s
2 s 2 系统，前向通路的传递函数
80
60
若闭环极点落在下图中红线包围
的区域中，有：
% ectg 和ts
3
40
20
0 30 60 90
.
上述结论也可应用于具有主导极点的高阶系统中。如下例：
[例4-12]单位反馈系统的开环传递函数为：Gk
第五章 ——MATLAB跟轨迹分析
K ( s + 5) ( s + 1)( s + 3)( s + 12) ，
绘制系统的跟轨迹,并在跟轨迹上任选一点 并在跟轨迹上任选一点， 试使用 MATLAB 绘制系统的跟轨迹 并在跟轨迹上任选一点， 计算该点的增益 K 及其所有极点的位置
4. 已知单位负反馈系统， 已知单位负反馈系统， 系统的开环传递函数为
第五章
5.1 5.2 5. 3 5. 4
MATLAB跟轨迹分析 MATLAB跟轨迹分析
根轨迹法基础 MATLAB根轨迹相关指令 MATLAB根轨迹相关指令 根轨迹分析与设计工具rltool 根轨迹分析与设计工具rltool 用根轨迹分析系统性能
5.1
跟轨迹法基础
一、根轨迹方程 二、基本条件
根轨迹的相角条件 根轨迹的幅值条件
已知单位负反馈系统， 2. 已知单位负反馈系统，系统的开环传递函数为
GH ( s ) = K ( s + 1) ， s (0.5s + 1)(4 s + 1)
绘制系统的跟轨迹。 试使用 MATLAB 绘制系统的跟轨迹。
已知单位负反馈系统， 3. 已知单位负反馈系统，系统的开环传递函数为
G ( s) =
阻尼比间隔0 阻尼比间隔0.1，范围：0-1； 范围： 自然振荡角频率间隔为pi/10，范围0 pi/10 自然振荡角频率间隔为pi/10，范围0-pi
（3）zgrid（z，wn） zgrid（ wn）
可以指定阻尼比系数z与自然振荡角频率wn 可以指定阻尼比系数z与自然振荡角频率wn。 wn。
5. 3
例5-2：绘制如下系统的根轨迹图
0.05s + 0.045 G(s) = 2 ( s − 1.8s + 0.9)( s 2 + 5s + 6)
用MATLAB用于根轨迹分析
根轨迹图相同
Root Locus 1.5 0.91 0.84 0.74 0.6 0.42 0.22
1
0.96
0.5 0.99 Imaginary Axis
5
-0.5 0.99
-1
0.96
-1.5
0.91 -3 -2.5
0.84 -2
0.74 -1.5
0.6 -1
0.42
0.22 0 0.5
例4.2.6的根轨迹
k k G (s) = = 4 2 s ( s + 2.73)( s + 2 s + 2) s + 4.73s 3 + 7.46 s 2 + 5.46 s rlocus ( [ 1 ] , [1 4.73 7.46 5.46 0] )
零点的作用
k G ( s) H ( s) = 2 s ( s + 3)
用MATLAB用于根轨迹分析 MATLAB用于根轨迹分析
绘制根轨迹可用函数 rlocus(num,den) num,den分别对应系统开环传递函数分子多项式和 分母多项式系数构成的数组。
k k 若 G(s) = = 3 s( s + 1)( s + 2) s + 3s 2 + 2s 在MATLAB环境下键入 num = [1]; den = [1,3, 2, 0]; rlocus (num, den)
根轨迹相同的两个系统响应却不同
k (0.8s + 1) k (0.8s + 1) , H1 ( s ) = 1 , G1 ( s ) H1 ( s ) = s (5s + 1) s (5s + 1) k k (0.8s + 1) G1 ( s ) = , H1 ( s ) = (0.8s + 1) , G2 ( s ) H 2 ( s ) = s (5s + 1) s (5s + 1) G1 ( s ) = 开环传递函数相同， 1 ( s ) H1 ( s ) = G2 ( s ) H 2 ( s ) G 开环零、极点相同， 1 = 0 , p2 = −0.2 , z1 = −1.25 p 闭环传递函数不同： k (0.8s + 1) Φ1(s)= 2 5s + (1 + 0.8k ) s + k k , Φ 2(s)= 2 5s + (1 + 0.8k ) s + k
实验三 MATLAB用于根轨迹分析
实验三 MATLAB用于根轨迹分析
一、实验目的
通过使用MATLAB完成根轨迹绘制、部分分式展开以及根轨迹分析等工作。
二、实验原理
绘制根轨迹可用函数rlocus(num,den)或rlocus(num,den,k)。
其中num,den分别对应系统开环传递函数的分子系数和分母系数构成的数组。
如果参数k是指定的，将按照给定的参数绘制根轨迹图，否则k是自动确定的，k的变化范围为0到∞。
三、实验内容
用MATLAB绘制系统的根轨迹图。
四、实验代码
1、
num=[1];
den=[1 3 2 0];
rlocus(num,den)
2、
Gc=tf(1,[1 5]);
Go=tf([1 1],[1 8 0]);
H=tf(1,[1 2]);
rlocus(Gc*Go*H);
v=[-10 10 -10 13];
axis(v);
grid on
五、实验结果
1、
2、
六、实验总结
本次实验通过MATLAB实现了由系统结构图绘制根轨迹图。
七、实验心得
本次实验相对于前两次实验来说比较简单、较为容易实现，但是需要结合其它相关的函数比如说Gain、Pole、Damping等函数来加以理解。
Matlab实验三 绘制根轨迹
③测量出根轨迹增益和对应闭环极点坐标， 测量出根轨迹增益和对应闭环极点坐标， * 在窗口显示 K ( s + 1)
Gk ( s ) =
( s + 2)( s + 3)
[k,poles] = rlocfind(sys) [k,poles] = rlocfind(sys,p) P为已知的要研究的闭环极点。
Matlab
for
Principles of Automatic Control
实验三 绘制根轨迹 1：绘制根轨迹 2：参量分析
① 绘制根轨迹 rlocus(sys)
K ( s + 1) Gk ( s ) = ( s + 2)( s + 3)
*
rlocus(num，den) ， rlocus(sys,k)
②参量分析（根轨迹图上一顿乱点即可） 参量分析（根轨迹图上一顿乱点即可） 图上一顿乱点即可 r=rlocus(sys)
K ( s + 1) Gk ( s ) = ( s + 2)( s + 3)
*
r=rlocus(num，den) ， [r,k]=rlocus(sys) [r,k]=rlocus(num，den) ，
(s − σ a )
K1
n− m
= −1
根轨迹渐进线的方程是新的根轨迹方程。 根轨迹渐进线的方程是新的根轨迹方程。
• 例：绘制根轨迹及其渐近线
K1 G( s讨论增加零点对根轨迹的影响 试试-2至 之间的零点 试试 至-4之间的零点
K1 G( s) = s( s + 1)( s + 2)
④绘制零、极点以及在窗口显示零极点 绘制零、 pzmap(sys)
控制系统的根轨迹分析(matlab)..
13.2图形化根轨迹法分析与设计
13.2.1 图形化根轨迹法分析 与设计工具rltool
MATLAB 图 形 化 根 轨 迹 法 分 析 与 设 计 工 具 rltool是对SISO系统进行分析设计的。既可以 分析系统根轨迹，又能对系统进行设计。其 方便性在于设计零极点过程中，能够不断观 察系统的响应曲线，看其是否满足控制性能 要求，以此来达到提高系统控制性能的目的。
Root Locus 10 8 6 4
System: G Gain: 4.02 Pole: -0.247 + 2.18i Damping: 0.113 Overshoot (%): 70 Frequency (rad/-4 -6 -8 -10 -3.5 System: G Gain: 45.1 Pole: -0.0575 - 6.84i Damping: 0.0084 Overshoot (%): 97.4 Frequency (rad/sec): 6.84
Root Locus 15
10
5
Imaginary Axis
0
-5
-10
-15 -16
-14
-12
-10
-8
-6 Real Axis
-4
-2
0
2
4
图13.5 例3系统根轨迹
Select a point in the graphics window selected_point = -0.0071 + 3.6335i K= 95.5190 POLES = -7.4965 -0.0107 + 3.6353i -0.0107 - 3.6353i -0.4821
3.增加极点。删掉前面所加零点，再为系统增加极点
matlab 关于根轨迹与频域法的例题
在分析和设计系统中最常用的经典方法有根轨迹和频域法。
当系统的性能指标以幅值裕度、相位裕度和误差系数等形式给出时，采用频率法来分析和设计系统是很方便的。
应用频率法对系统进行校正，其目的是改变系统的频率特性形状，使校正后的系统频率特性具有合适的低频、中频和高频特性，以及足够的稳定裕量，从而满足所要求的性能指标。
基于频率法的超前频率校正设超前校正装置的传递函数为超前校正的最大超前相位角以及对应的频率为超前校正装置的主要作用是通过其相位超前效应来改变频率响应曲线的形状，产生足够大的相位超前角，以补偿原来系统中元件造成的过大的相位滞后。
因此校正时应使校正装置的最大超前相位角出现在校正后系统的开环剪切频率（幅频特性的交接频率）处。
利用频率法设计超前校正装置的步骤：1.根据性能指标对稳态误差系数的要求，确定k2.利用确定的开环增益k，画出未校正系统的Bode图，并求出其相位裕度和幅值裕度3.确定为使相位裕量达到要求值，所需增加的超前相位角。
其中ε 取(5°-15°)4.求得校正参数α5.求得剪切频率,通过查表法6.求取T7.画出校正后系统的Bode图，检验系统性能指标是否已全部达到要求。
若不满足要求，返回 3 重新选取ε例设有一单位反馈系统，其开环函为，要求系统的稳态误差系数为20(1/s), 相位裕度大于50°，幅值裕度大于10db。
试确定串联校正装置。
解:根据可得k = 40; Matlab 程序如下：o numo = 40;deno = conv([1 0],[1,2]);[Gm1,Pm1,Wcg1,Wcp1] = margin(numo,deno);r = 50;r0 = Pm1;w = logspace(-1,3);[mag1,phase1] = bode(numo,deno,w);for(epsilon=5:15)phic = (r-r0+epsilon)*pi/180;alpha = (1+sin(phic))/(1-sin(phic));[i1,ii] = min(abs(mag1-1/sqrt(alpha)));wc = w(ii);T = 1/(wc*sqrt(alpha));numc = [alpha*T,1];denc = [T,1];[num,den] = series(numo,deno,numc,denc);[Gm,Pm,Wcg,Wcp] = margin(num,den);if(Pm >= r) break; end;endprintsys(numc,denc);printsys(num,den);[mag2,phase2] = bode(numc,denc,w);[mag,phase] = bode(num,den,w);subplot(211);semilogx(w,20*log10(mag),w,20*log10(mag1),'--',w,20*log10(mag2),'-.');grid;ylabel('幅值(db)');subplot(212);semilogx(w,phase,w,phase1,'--',w,phase2,'-.');grid;ylabel('相位(°)');xlabel('频率(rad/sec)');title('[校正后：幅值裕度=',num2str(20*log10(Gm)),'db','相位裕度=','num2str(Pm),'°');disp('[校正前：幅值裕度=',num2str(20*log10(Gm1)),'db','相位裕度=','num2str(Pm1),'°');disp('[校正后：幅值裕度=',num2str(20*log10(Gm)),'db','相位裕度=','num2str(Pm),'°');基于频率法的串联滞后校正设串联校正装置的传递函数为最大滞后相位角和对应的频率分别为滞后校正装置的主要作用是在高频段造成幅值衰减，降低系统的剪切频率，以便能使系统获得充分的相位裕度，但应同时保证系统在新的剪切频率附近的相频特性曲线变化不大。
自动控制原理实验五利用matlab绘制系统根轨迹
实验五利用MATLAB绘制系统根轨迹一、实验目的（1）熟练掌握使用MATLAB绘制控制系统零极点图和根轨迹图的方法；（2）熟练使用根轨迹设计工具SISO；（2）学会分析控制系统根轨迹的一般规律；（3）利用根轨迹图进行系统性能分析；（4）研究闭环零、极点对系统性能的影响。
二、实验原理及内容1、根轨迹与稳定性当系统开环增益从变化时，若根轨迹不会越过虚轴进入s右半平面，那么系统对所有的K值都是稳定的；若根轨迹越过虚轴进入s右半平面，那么根轨迹与虚轴交点处的K值，就是临界开环增益。
应用根轨迹法，可以迅速确定系统在某一开环增益或某一参数下的闭环零、极点位置，从而得到相应的闭环传递函数。
2、根轨迹与系统性能的定性分析1）稳定性。
如果闭环极点全部位于s左半平面，则系统一定是稳定的，即稳定性只与闭环极点的位置有关，而与闭环零点位置无关。
2）运动形式。
如果闭环系统无零点，且闭环极点为实数极点，则时间响应一定是单调的；如果闭环极点均为复数极点，则时间响应一般是振荡的。
3）超调量。
超调量主要取决于闭环复数主导极点的衰减率，并与其它闭环零、极点接近坐标原点的程度有关。
4）调节时间。
调节时间主要取决于最靠近虚轴的闭环复数极点的实部绝对值；如果实数极点距虚轴最近，并且它附近没有实数零点，则调节时间主要取决于该实数极点的模值。
5）实数零、极点影响。
零点减小闭环系统的阻尼，从而使系统的峰值时间提前，超调量增大；极点增大闭环系统的阻尼，使系统的峰值时间滞后，超调量减小。
而且这种影响将其接近坐标原点的程度而加强。
【自我实践5-1】在实验内容（2）中控制系统的根轨迹上分区段取点，构造闭环系统传递函数，分别绘制其对应系统的阶跃响应曲线，并比较分析。
1：阻尼比=，k=2：阻尼比=,k=3：阻尼比= k=4：阻尼比=,k=0,3855：阻尼比=（无此阻尼，取）,k=将数据填入实验数据记录表中。
阻尼比闭环极点p开环增益K自然频率n超调量%调节时间t s = + 1e+03 = += + =1 + 0 =+194\3、基于SISO 设计工具的系统根轨迹设计用根轨迹法进行系统校正过程中，分析补偿增益和附加实数（或复数）零极点之间匹配的规律。
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4.1某系统的结构如题4-1图所示，试求单位阶跃响应的调节时间t s ，若要求t s =0.1秒，系统的反馈系数应调整为多少？解:(1)由系统结构图可知系统闭环传递函数为:100()100()1001()()1001*G s s s G s H s s aa sΦ===+++ 在单位阶跃函数作用下系统输出为：12100()()()(100)100k k C s R s s s s a s s a=Φ==+++为求系统单位阶跃响应，对C(s)进行拉斯反变换：1021001001001001lim ()lim1001001lim (100)()lim 11()(100)1()(1)s s s as a at k sC s s a ak s a C s s aC s as a s a c t e a→→→-→--===+=+==-=-+=-根据定义调节时间等于响应曲线进入5%误差带，并保持在此误差带内所需要的最短时间，且根据响应系统单位阶跃响应的函数表达式可以看出系统单位阶跃响应的稳态值为1a,因此: 10010011()(1)0.950.051ln 201001=0.1ln 20=0.3s 10s s at s at s s c t e a a e t a a t --=-=⇒=⇒==因为题中，所以(2)若要求t s =0.1秒,则有:1ln 20=0.1100=0.3s t aa =⇒ 即:若要求调节时间缩小为0.1秒,则需将反馈环节的反馈系数调整为0.3。
4.2已知二阶系统的阶跃响应曲线如题4.2图所示，该系统为单位负反馈系统，试确定其开环传递函数。
解：根据系统阶跃响应曲线可以看出： 峰值时间=0.1s p t ，超调量 1.3-1%=100%30%1σ⨯=； 根据课本中对典型二阶系统222()2nn ns s s ωζωωΦ=++暂态性能指标的推导计算可知：%p t e σ-==结合本题已知阶跃响应曲线可知：0.1(1)%30%(2)p t e σ-====由式(2)可知：0.3ln 0.30.3832cot =0.3832=arccot 0.3832=69.0332=cos =0.3578eζϕζϕζϕ-=⇒-=⇒==即：将ζ带入式(1)中可得：0.1p n t ω==回顾题意对于典型二阶系统其闭环传递函数为222()2nn ns s s ωζωωΦ=++，且系统为单位负反馈系统，所以系统开环传递函数和闭环传递函数之间满足如下关系：222222222211()()121211211131.8851===224.0753n n n nn n n n n G s s s s G s s G s s G G s s s sωζωζωωωζωωωζωΦ==Φ==+++++++++，因为：所以：，4.3单位反馈控制系统开环传递函数为()(1)KG s s Ts =+,若116s =0.25s K T -=、,试求(1)动态性能指标%(0.05)s t σ∆=、.(2)欲使%=16%σ,当T 不变时，K 应取何值。
解：(1)对于单位反馈控制系统，已知开环传递函数可求出其闭环传递函数，并将其化为标准形式为：22()(1)()1()1(1)1180.25n n n K KG s K s Ts T s K s K G s Ts s K s s Ts T T T Tωζωζω+Φ====+++++++===⇒==即：；22 所以根据动态性能指标的计算公式将上述两参数带入后可得：0.2511ln( 1.5142%44.43%s n t s e e ζωσ--=-=-====(2)由于T=0.25s,所以可知: 1n n T ωζωζ==⇒=2将阻尼比带入超调量的计算公式中:%16%0.16ln 0.16ln 0.16 3.9388e e K σ--==⇒=⇒-==⇒=将阻尼比带入可得：4.4设控制系统如题4-4图所示，其中图(a)为无速度反馈系统，图(b)为带速度反馈系统，试确定系统阻尼比为0.5时K t 的值，并比较图(a)和图(b)系统阶跃响应的动态性能指标。
解:(1)根据系统结构图可求得两系统的闭环传递函数为:2210()101(1)(),101()()1021(1)10()10(1)(),101()()10101(1)(1)1+100.21622a n n b t tt n t n G s s s s G s H s s s s s G s s s s G s H s s s K s K s s s K K ωζωωζω+Φ======++++++Φ===+++++++===所以所以因此(2)根据已经求得的两系统的阻尼比和无阻尼自然振荡角频率可分别计算两系统的动态性能指标:0.55351.0053%60.47%1ln( 6.0168ra pa a sa nt s t s e t sσζω-=======-=0.76481.1471%16.3%1ln( 1.9827rb pb b sb nt s t s e t sσζω-=======-=经对比可看出:采用速度反馈的b 系统虽然上升时间和峰值时间稍有延长,但超调量存在明显下降,系统振荡剧烈程度下降,另外调节时间也显著降低,即使说系统能够在较快的时间内达到稳定,系统动态性能得到了提高。
4.5某系统结构如题4-5图所示，试判断系统的稳定性。
解：根据系统结构图可利用梅森公式求解其传递函数，结构图中前向通道有一条，回路有两个，且两回路相关，因此有：2212111321010(+1)20101(2)1(1)(1)11011010()21101s s s s s s s sP s P s s s s s ∆=--⋅-=+++++=∆=∆+Φ==∆+++因此可得系统特征方程为：32211010s s s +++=列写其劳斯表为：3211021120902111s s s根据劳斯判据可知，劳斯表第一列系数符号均未发生变化，因此系统稳定。
4.6已知系统特征方程如下，用劳斯判据判断系统的稳定性，如不稳定求在s 右半平面的根数及虚根值。
另外用MATLAB 软件直接求其特征跟加以验证。
(1)5432543224312243248011232324484160124800480,148s=2js s s s s s s s s s +++++=+=±2劳斯表中出现全零行，根据上一行数据列写辅助方程为12s 对其求导得到全零行的新系数为：240，求解辅助方程可得通过分析劳斯表中第一列系数可知并没有符号变化，所以不存在位于s 右半平面的特征根，另外由于系统劳斯表中出现全零行,所以系统不稳定，存在对称于原点的根为s=2j ±用MATLAB 软件中函数roots 求特征方程根可得，系统特征方程根为如下所示，进一步验证了上述求解结果的正确性。
(2)5432543210312203525011235320251680(16)(80)033525000250,125s=s s s s s s s s s s +++++=+=2同时乘以非正系数3可简化计算劳斯表中出现全零行，根据上一行数据列写辅助方程为5s 对其求导得到全零行的新系数为：100，求解辅助方程可得通过分析劳斯表中第一列系数可知并没有符号变化，所以不存在位于s 右半平面的特征根，另外由于系统劳斯表中出现全零行,所以系统不稳定，存在对称于原点的根为s=±用MATLAB 软件中函数roots 求特征方程根可得，系统特征方程根为如下所示，进一步验证了上述求解结果的正确性。
(3)6543265432(-20)(10)24447810014710448055100005100,510s=1290110s s s s s s s s s s s s s -+-+--+=------+=-±-4劳斯表中出现全零行，根据上一行数据列写辅助方程为-5s 对其求导得到全零行的新系数为：-20-10，求解辅助方程可得通过分析劳斯表中第一列系数符号变化两次，所以有两个位于s 右半平面的特征根，另外由于系统劳斯表中出现全零行,所以系统不稳定，存在对称于原点的根为s=1±±用MATLAB 软件中函数roots 求特征方程根可得，系统特征方程根为如下所示，进一步验证了上述求解结果的正确性。
(4)65432(4)(6)212741340134000340,34s=j,s=2250314s s s s s s s ----------=--±±--4劳斯表中出现全零行，根据上一行数据列写辅助方程为s 对其求导得到全零行的新系数为：4-6，求解辅助方程可得通过分析劳斯表中第一列系数符号变化1次，所以有1个位于s 右半平面的特征根，另外由于系统劳斯表中出现全零行,所以系统不稳定，存在对称于原点的根为s=j,s=2±±用MATLAB 软件中函数roots 求特征方程根可得，系统特征方程根为如下所示，进一步验证了上述求解结果的正确性。
4.7已知单位反馈系统的开环传递函数为2(0.51)()(+1)(0.51)K s G s s s s s +=++，试确定系统稳定时的K 值范围。
解：根据已知单位反馈系统开环传递函数可知系统特征方程为：4320.5 1.52(0.51)0s s s K s K +++++=，对系统列写劳斯表可得：4320.521.50.5100.51234.50.516(0.51)1s Ks K K s KKs K K K++-+--+欲使系统稳定则需满足：0.5120103K K +->⇒<4.50.510556(0.51)KK K K +->⇒--<<-+-+0K >汇总得：05 1.708K <<-+=4.8已知系统的特征方程为321340400s s s K +++=，试确定系统稳定时的K 值范围，若要求闭环系统极点均位于s=-1垂线之左，K 值该如何调整。
解：(1)对系统列写劳斯表为：321401340404013140s s K K s K-欲使系统稳定则需满足：40400;40013KK ->>，即：013K <<。
(2)将1s s =-带入系统原特征方程中得：323210174028011710402819.8414028s s s K s s K s K K +++-=---欲使系统稳定则需满足：19.840 4.95K K ->⇒<；402800.7K K ->⇒>；即0.7 4.95K <<4.9已知系统稳定，求2()1()2t r t t t =++的系统稳态误差。