等比数列及其性质

数列 定义 公差（比）
等 差 数 列 类比 等 比 数 列
n 2 , an an1 d
n 2 , an q q 0
an1
公差d R
公比q 0
通项公式 an a1 (n 1)d
引申 中项 性质
an am (n m)d
an1
an
an2 2
若m+n=p+t(m,n,p,t ∈ N*),则am+an=ap+at
2012届JS高三第一轮复习 数学（文）
数列第五课时：
《等比数列及其性质》
俞雪峰
本节课的学习目的：通过复习探究等 比数列的项与项之间的几类关系使同 学们能较深入理解等比数列的本质， 从而为全面理解和掌握等比数列的有 关内容打下坚实的基础。
本节课的学习方法：与等差数列进行 比较，通过类比的方法复习等比数列。
在等比数列{an}中：
an21 anan2
考点二、等比数列的判定
回顾：等比数列的常用判定方法
(1)aan＋n1＝q(q 为非零常数，n∈N*)⇔{an}是等比数列；
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(2)an＝cqn(c，q 为非零常数，n∈N*)⇔{an}是等比数列；
(3)an＋12＝an·an＋2(an·an＋1·an＋2≠0，n∈N*)⇔{an}是等比数列．
n 2 , an an1 d
n 2 , an q q 0
an1
公差d R
公比q 0
通项公式 an a1 (n 1)d
任意两项 an am (n m)d
连续三项
an1
an
an2 2
四项
若m+n=p+t(m,n,p,t ∈ N*),则am+an=ap+at
an a1qn1
3
2
32
2
3
3
2
解析：由题知，a8·a10=a4·a14=6,且a4+a14=5, 解得a4=2,a14=3,或a4=3,a14=2a1,8∴ a14 2 ,
a8 a4 3
或 a18 a1，4 故3 选C. a8 a4 2
六、总结：
• 复习内容：等比数列的定义、通项公式、性质。 本质就是复习数列项与项之间的关系——从定 义的相邻两项的关系、通项公式的第n项与首 项的关系、拓展到任意两项的关系最后到三项、 四项的关系。通过本节课的复习我们可以深入 的理解和掌握等比数列的实质。
an amqnm
an21 anan2
若m+n=p+t(m,n,p,t ∈ N*),则aman=apat
五、课堂演练：
1. (教材改编题)在等比数列{an}中，a1=1,a5=9,则a3=( )
A. 3 B. -3 C. 3或-3 D.
3
解析：a23=a1a5=9,且a1,a3,a5同号，∴a3=3.故选A.
(判断一个数列是否为等 比数列的首选方法：定义)
an q(n 2) 或 an1 q(n N *)
an1
an
an 0
例3、已知数列{an}的前n项和Sn＝2an＋1， 求证：{an}是等比数列，并求出通项公式．
证明：∵Sn＝2an+1， ∴Sn+1＝2an+1+1，
∴Sn+1－Sn＝an+1 ＝(2an+1+1)－(2an+1)＝2an+1－2an. ∴ an+1 ＝2an+1－2an ∴an+1＝2an …… ① 又∵S1＝a1＝2a1+1，∴a1＝－1≠0. 由①式可知，an≠0，
2. A.
已- 知1{anB}.是-2等比数C.列2,a2=2D,a. 5=
1,则公比q=(
4
1
)
2
2
1
解析:q3=a5 4 ∴1q,= .故1选D.
a3 2 8
2
3. (2011·济南山师附中模拟)在等比数列{an}中，
a8·a10=6,a4+a14=5,则aa188 等于( )
A. 2 B. C.3 或 D2. - 或3 -
解：由等比数列的性质知a1a2a3=(a1a3)·a2=a32=5,
a7a8a9=(a7a9)·a8=a38=10,
所以a2a8=
50
1 3
,
所以a4a5a6=(a4a6)·a5=a35=a2(a8
)3=5(0
1 6
)3=5 2
,故选A.
数列 定义 公差（比）
等 差 数 列 类比 等 比 数 列
那么这个数列叫做等 个 常 数 , 那 么 这 个 数
差数列.这个常数叫做 列 叫 做 等 比 数 列 . 这
等差数列的公差，用d 个常数叫做等比数列
表示
的公比，用q表示
数学表达 式
an+1-an=d
an1 q an
a a q 通项公式 an = a1 +（n-1）d
n
n 1 1
名称 等 差 数 列
• 复习方法：主要是类比（与等差数列类比进行 复习）的方法、兼顾了回顾、探究、讨论。
• 数学方法：转化的思想、函数与方程的思想
• 解题方法：基本量法、赋值法、归纳法、累加 法、累乘法、性质的灵活运用。
七、布置作业：
• 1、回顾本节课的有关内容。 • 2、校本训练二十五。 • 3、预习下一节课的内容：等比数列求
1 2
2
an
1 2n1 2
2n2
解后反思：利用通项公式由已知的基本量转化为解
方程组。所谓函数与方程的思想。
二、等比数列通项公式的引申
名称
等差数列
an am (n m)d n,m N*
已知等差数列｛an｝中，公 差为d，则an与am（n,m ∈ N*） 有何关系？
通项 an a1 (n 1)d
则：am ·an=ap ·at.
a1，a2，a3，……，an-2，an-1，an，……
a1+an=a2+an-1 =a3+an-2=…
a1an=a2an-1=a3an-2=…
考点三：等比数列性质的应用
例4、在等比数列{an}中，且an＞0，
a2a4+2a3a5+a4a6=36, 求a3+a5= _ 6 .
……
由此归纳等差数列的通 项公式可得：
an a1qn-1
名称
通项 公式
等差数列
an a1 (n 1)d
法2：累加法
n 2 , a2 a1 d
a3 a2 d
推导 过程
a4 a3 d
……
an an1 d
把这n-1个式子相加，得：
an a1 (n 1)d
当n=1时，上式成立
等比数列的性质
等比数列的性质
等比数列的性质
通项 公式
an a1 (n 1)d
法1：不完全归纳法
推导 过程
a2 a1 d a3 a1 2d a4 a1 3d
……
由此归纳等差数列的通 项公式可得：
an a1 (n 1)d
等比数列
an a1q n1
法1：不完全归纳法
a2 a1
q a2
a1q
a3 a1q2
a4 a1q3
公式
引申 am a1 (m 1)d
an am (n m)d
可得
an am (n m)d
等比数列
an amqnm n, m N*
已知等比数列｛an｝中，公 比为q，则an与am（n,m ∈ N*） 有何关系？
an=a1qn-1
am=a1qm-1
an qnm am
可得
an amqnm n,m N*
解：由性质可得 a2a4=a3a3=a32 a4a6=a5a5=a52 所以 a32+2a3a5+a52=(a3+a5)2=36
例5 (2010·全国)已知各项均为正数的等比数列{an}，
a1a2a3=5,a7a8a9=10,则a4a5a6=( )
A.5 2 B. 7 C. 6 D. 4
2
分析:利用等比数列的性质求解；
∴由
a n1 an
2 知{an}是等比数列，
所以通项公式：an＝－2n-1.
四、等比数列的性质
等差数列的性质 等比数列的性质
已知{an}是等差数列， 已知{an}是等比数列，
若m + n=p + t
若m + n=p + t
（m，n，p，t ∈ N*） （m，n，p，t ∈ N*）
则：am+an=ap+at.
在等比数列通项公式 an a1qn1 中，有四 个量，an、a1、q、n
知道其中的任意三个量，就可以求 出另一个量，即知三求一 .
我们称之为基本量法！
例2：在等比数列{an}中：
已知 a3 2 , a6 16 , 求an
解： an a1qn1
a6 a3
a1q5 a1q2
16 2
a1 q
a3a9=2a25,a2=2,则a1等于( )
A. 1 B. 2C. -
D. 22
解析:∵a3a9=2a25,∴a26=2a25,∴q2=2,∵q＞0,∴q= 2 , ∴a1= a2 2 ,故2选B.
q2
关于等比数列的性质与等差数列 的性质类似：随着复习的深入我 们可能会碰到以下一些性质。同 学们可以了解一下：
如果在a与b中间插入 一个数G，使a，G，b成 等比数列，那么G叫做a与 b的等比中项。
A ab 2
1、两个数的等差中项只有一个 2、任意两个数都有等差中项
G ab
注意：1.两个数的等比中项有两个， 它们互为相反数；2.这两个数必须 满足同号的条件，即ab>0
在等差数列{an}中:
an1
an
an2 2
和公式及其简单应用。
变式5-1
在等比数列{an}中，a1=1,公比|q|≠1.若am=a1a2a3a4a5,则 m=( ) A. 9 B. 10 C. 11 D. 12
解析：am=a1a2a3a4a5=a53=(a1q2)5=q10=a11,故选C. 变式5-2
(2011·潍坊模拟)已知等比数列{an}的公比为正数，且
例2：在等比数列{an}中：
已知 a3 2 , a6 16 , 求an
另解 :
Q an amqnm n, m N *
a6 a3q63 q3 16
2 q 2 an a3 qn3 2 2n3 2n2
三、等比中项
等差中项
等比中项
如果在a与b中间插入 一个数A，使a，A，b成 等差数列，那么A叫做a 与b的等差中项。
an a1qn1
an amqnm
an21 anan2
若m+n=p+t(m,n,p,t ∈ N*),则aman=apat
一、等比数列的定义及 通项公式
名称
等差数列
等比数列
定义
如果一个数列从第2项 如果一个数列从第2
起，每一项与前一项 项起，每一项与它前
的差等于同一个常数， 一项的比都等于同一
(1)已知a1 2, q 3, an 162, 求n;
(2)已知a1
3,
q
1 2
，求a5；
(3)已知a9
1 9
,q
1 3
, 求a1；
(4)已知a1 2, a5 8,求q
解题思路分析： an a1qn1
答案：（1）n= 5
3 （2）a5= 16
（3）a1=729 （4）q= 2
解后反思：
an a1 (n 1)d , n N*
等比数列
an a1qn1
法2： 累乘 法
n 2 , a2 q a1
a3 q a2
a…n … q
an1
把这n-1个式子相乘，得： an a1qn1
当n=1时，上式成立 an a1qn1 , n N*
考点一：等比数列的基本 运算
例1：在等比数列{an}中：