2018全国高中数学联赛模拟试题及参考答案
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BDP 180 2 ,所以 DPB 2 60 .
在 BDP 中由正弦定理得
sin 2 60
1 x
x 3 ,x sin 60 3 2sin 2 60
又 0 ,90
,所以当 2 60
90 ,即 75 时 xmin 2 3 3 .
2018 全国高中数学联合竞赛模拟试题参考答案
一、填空题:本道题共 8 小题,每小题 8 分,共 64 分. 1.已知函数 y 函数 y lg kx 2 4 x k 3 的定义域为 B , 当 B A 时, 实 6 x x 2 的定义域为 A , . ∈ [−2,3],
数 k 的取值范围是
【解答】由题意 得, A = [−2,3] , 令������(������) = ������������ + 4������ + ������ + 3,当������ ≥ 0 时,令 x → +∞时不满足题意. 故 k<0.则此时������(������)为一个开口向下的二次函数, 由 B A 得, ������(−2) ≤ 0,������(3) ≤ 0, △≥ 0, − 解得− ≥ ������> − 4. 注意:函数的定义域不能为空集。 2.已知函数������(������) = 1 − 【解答】由题意得, (������>������)若������(������) = 2 ln √������ − ������(������),则������(������������)的取值范围为____________. + = 1而������(������������) = 1 − + = 1≥ . ,解得ln ������ + ln ������的最小值为 6,故������(������������)的 .
+ 1)².
因为������ = 4,������ =24,由上式和������ ,������ 是正整数知,当������ > 1,
都是正整数。
11. (本题满分 20 分) △ ABC中, O 是 BC 的中点,|BC| = 3√2,其周长为 6 + 3√2. 若点 T 在线段 AO 上,且 |AT| = 2|TO|,设点 T 的轨迹为 E,M,N 是射线 OC 上不同的两点,|OM| · |ON| = 1 . 过 点 M 的直线与 E 交于P,Q,直线 QN 与 E 交于另一点 R,证明: △ MPR 是等腰三角形.
·
) ,此时������ = ,满足题意。 .
8.设������为给定的正整数,集合������是{1,2, … ,2������ − 1}的一个子集,满足:������中任意两个不同的正整数之和都不等 于2������ − 1和2������,则|������|的最大值为____________. 【解答】注意到,当 A={n,n+1,…,2n-1}时,A 中最小的两个数之和都不小于 2n+1,故 A 中任意两个不 同正整数之和不等于 2n-1 或 2n,因此,|A|的最大值不小于 n。 另一方面,考察下面的数列(它是 1,2,…,2n-1 的一个排列)2n-1,1;2n-2,2;…;n+1,n-1;n. 其中任意两个相邻数之和都为 2n-1 或 2n.而由抽屉原理知:当|A|≥n+1 时,A 中必然有两个数在上述数列 中相邻,所以,符合条件的 A 的元素个数不大于 n. 综上可知,|A|的最大值为 n。 二、解答题:本道题共 3 个小题,满分 56 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 9. (本题满分 16 分) 设������(������) = ������������ + ������������ + ������(������ > 0), 方程������(������) = ������ 的两个根是������ 与������ , 且������ > 0,������ − ������ > .又若0 < t < ������ ,试比较������(������)与������ 的大小. 【解答】因为������ ,������ 是方程������������ + ������������ + ������ = ������的两个根,所以由韦达定理得,������ + ������ =− 且有������������ + ������������ + ������ = ������ ,因此 ������(������) − ������ = (������������ + ������������ + ������) − (������������ + ������������ + ������) = ������(������ − ������ )(������ + ������ ) + ������(������ − ������ ) = ������(������ − ������ ) ������ + ������ + 由������ + ������ + = ������ + − ������ = ������ + − ������ < ������ + ������ ������
F O D B C E
解方程得,OF= ,R=
√
,三棱锥 A-BCD 的高 AE=2√2,故三棱锥 A-BCD 的高与
√
其外接球的直径的比值为
.
6.已知椭圆 E:
+
= 1 的右焦点为F ,直线 l 与圆心在原点,半径为 b 位于第一、第四象限的半圆相切
于点 M,且交椭圆 E 于 P,Q 两点,则 △ F PQ 的周长为___________.
y
P N O Q D M R x
【解答】由题意,AB+AC 为定值 6,故 A 的轨迹为长轴为 6,焦距为3√2的椭圆: + 则 OA 的三等分点 T 的轨迹 E:x² + 2y² = 1(y≠0)
= 1.(y ≠ 0)
要证明△MPR 为等腰三角形,由于 M,N 地位等价,则△PRN 也为等腰三角形。由于 PQ 直线的任意性,考虑 极端情况可发现△MPR 中 MP=MR 可成立,故 PN=RN 也能成立,猜测 P 和 R 关于 x 轴对称。 下采用同一法证明该结论。设直线 QN:x=my+t, N(t,0) ,M( ,0) ,R(������ ,������ ) ,Q(������ ,������ ) ,P(������ , − ������ ) 将 QN 与椭圆联立得(2+m²)y²+2mty+t²-1=0. 由韦达定理得 ������ +������ = ������ ������ = 代入得 − = +
P
7.对于 ≤ ������ ≤ 1,则(1 + ������) (1 − ������)(1 − 2������) 的最大值为___________. 【解答】采用待定系数法。考虑[α (1 + ������) ][������(1 − ������)][������²(2������ − 1) ]的最大值。 首先有 α(1 + x) = ������(1 − ������) = ������(2������ − 1), 即 = .其次有5������ − ������ + 4������ = 0.
消去 β 得 0=2(3������������ + 5������ − 2������ ) = 2(5������ − 2������)(������ + ������),我们取 ������,������,������ = (2,30,5),由平均不等式得 [2(1 + ������)] [30(1 − ������)][5(2������ − 1)] ≤ ( 故(1 + ������) (1 − ������)(1 − 2������) 的最大值为
Q
= ������ (1 −
x
²
)= ������ ²,故������������ = ������������ .
²
F1
O M
F2
∴������������ + ������������ = ������.同理������������ + ������������ = ������. ∴△ ������������������ 的周长为2������. 注:也可采用联立直线与圆锥曲线的方法解答,但过于繁琐,本解 答采用熟知的结论:������������ + ������������ = ������.
y
【解答】如图,设������ ������ ,������ ,由焦半径公式,������������ = ������ − ������������ . 在������������ △ ������������������中,������������ = ������������ − ������������ = ������ + ������ − ������
√
2
²
=
=
,若������������������������<0,则������������������������<0,这不可能.
∴ ������������������������>0. ������������������������ ≤
.
4. 在边长为 1 的正三角形纸片 ABC 的边 AB,AC 上分别取 D,E 两点,使沿线段 DE 折叠三角形纸片后,顶 点 A 正好落在边 BC,在这种情况下,AD 的最小值为___________. 解:设 AD x , ADE ,记 A 得对称点为 P,则由对称性可知 DP x , PDE , BD 1 x ,
,������ ������ = ,并
− ������ <0,及������>0,������ − ������ <0得,
������(������) − ������ >0. ∴当0 < ������ < ������ 时,������(������)>������ 。 10.(本题满分 20 分)数列{������ }满足:������ = 1,������ 【解答】令������ = ,则������ = 1 ������ ,������ = = + ,证明:对������ > 1, = + + ,于是 都是正整数。
先考虑最大值,由于������>������,ln ������ 为正,当������ → +∞时,������(������������) → 1,由条件知可以满足. 再考虑最小值,由柯西不等式, 最小值为 .综上所述,1>������(������������) ≥ . 3.在△ ������������������ 中,若sin(2������ + ������) = 2������������������������,则������������������������的最大值为 【解答】展开得,������������������2������������������������������ + ������������������������������������������2������ = 2������������������������,即s������������2������ + ������������������������������������������2������ = 2������������������������. 故������������������������ = =
5. 在球的内接三棱锥 A-BCD 中,AB=8,CD=4,平面 ACD⊥平面 BCD,且△ACD 与△BCD 是以 CD 为底的全等 的等腰三角形,则三棱锥 A-BCD 的高与其外接球的直径的比值为_____________.
A
【解答】如图,易得 AE⊥BE,由等量关系,CE=ED=2,AF=BF=4,AE=BE=2√2. 由垂径定理,OF⊥AB,OE⊥CD,由对称性得 O 在 EF 上. 由勾股定理,OF + AF = AO = R = OC = (4 − OF)² + CE²
+ ,因为������
+
1 1 1 1 1 1 1 = + + + + 1 1 2 4 ������ 2 ������ 16( + ) 4 2 ������
即������
= 2������ (������ + 2),所以������
= 2������ [2������
(������
+ 2) + 2] = 4���பைடு நூலகம்�� (������