高三数学第二轮复习专题之《解析几何》

高三数学专题复习

《解析几何》

解题思路与方法：

高考试题中的解析几何的分布特点是除在客观题中有1~2个题目外，就是在解答题中有一个压轴题.也就是解析几何没有中档题.且解析几何压轴题所考查的内容是求轨迹问题、直线和圆锥曲线的位置关系、关于圆锥曲线的最值问题等.其中最重要的是直线与圆锥曲线的位置关系.在复习过程中要注意下述几个问题：

（1）在解答有关圆锥曲线问题时，首先要考虑圆锥曲线焦点的位置，对于抛物线还应同时注意开口方向，这是减少或避免错误的一个关键。

（2）在考查直线和圆锥曲线的位置关系或两圆锥曲线的位置关系时，可以利用方程组消元后得到二次方程，用判别式进行判断.但对直线与抛物线的对称轴平行时，直线与双曲线的渐近线平行时，不能使用判别式，为避免繁琐运算并准确判断特殊情况，此时要注意用好分类讨论和数形结合的思想方法.画出方程所表示的曲线，通过图形求解. 当直线与圆锥曲线相交时：涉及弦长问题，常用“韦达定理法”设而不求计算弦长(即应用弦长公式)；涉及弦长的中点问题，常用“差分法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化.同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍。

（3）求圆锥曲线方程通常使用待定系数法，若能据条件发现符合圆锥曲线定义时，则用定义求圆锥曲线方程非常简捷.在处理与圆锥曲线的焦点、准线有关问题，也可反用圆锥曲线定义简化运算或证明过程。

一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤。

定形——指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置。

定式——根据“形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时，可设方程为mx2+ny2=1(m＞0,n＞0)。

定量——由题设中的条件找到“式”中特定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小。

（4）在解与焦点三角形（椭圆、双曲线上任一点与两焦点构成的三角形称为焦点三角形）有关的命题时，一般需使用正余弦定理、和分比定理及圆锥曲线定义。

（5）要熟练掌握一元二次方程根的判别式和韦达定理在求弦长、中点弦、定比分点弦、弦对定点张直角等方面的应用。

（6）求动点轨迹方程是解析几何的重点内容之一，它是各种知识的综合运用，具有较大的灵活性，求动点轨迹方程的实质是将“曲线”化成“方程”，将“形”化成“数”，使我们通过对方程的研究来认识曲线的性质. 求动点轨迹方程的常用方法有：直接法、定义法、几何法、代入转移法、参数法、交轨法等，解题时，注意求轨迹的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围。

解析几何问题处理时易错易忽视点归纳：

1．用直线的点斜式、斜截式设直线的方程时, 易忽略斜率不存在的情况；题目告诉截距相等时，易忽略截距为0的情况。

2.求含系数的直线方程平行或者垂直的条件时，易忽略直线与x轴或者y轴平行的情况。

3．椭圆、双曲线a 、b 、ｃ之间的关系易记混。及e 的不同取值范围。 4．在解决椭圆、双曲线和抛物线问题时，易忽略对焦点的位置讨论。

5．求直线与圆、圆锥曲线相交弦问题用韦达定理时，求出字母系数后，应代入判别式中检验。 6．用判别式判定方程解的个数（或交点的个数）时，易忽略讨论二次项的系数是否为0。尤其是直线与圆锥曲线相交时更易忽略。

7．如果直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交,只有一个交点；如果直线与抛物线的轴平行时,直线与抛物线相交,只有一个交点。此时两个方程联立，消元后为一次方程。即直线与双曲线或者抛物线只有一个交点时，包括相切和上述情况。

8．各种角的范围：

两条相交直线所成的角(夹角) 0°<α≤90° 两条异面直线所成的角 0°<α≤90°

直线与平面所成的角 0°≤α≤90° 斜线与平面所成的角 0°<α< 90° 二面角 0°≤α≤180° 倾斜角 0°≤α< 180° 两个向量的夹角 0°≤α≤180° 第几象限角

第一部分 ：解析几何易错点举例分析

同学们在解答题时，往往由于对概念掌握得不太准确或不全面而出错，也会由于考虑问题不全面而造成漏解。现举例如下： 例1 求过点P （2，－1）且倾斜角的正弦值为

13

5

的直线方程。

易错分析：本题主要考查倾斜角的概念及直线点斜式方程的有关知识。考查学生根据已知条件熟练求

出直线方程的能力和三角函数式变形的能力。培养学生考虑问题的缜密性、思维的严谨性，使同学们了解解析几何的基本思想——用方程表示曲线的思想。 本题易错在丢掉直线方程)2x (12

5

1y --

=+，即02y 12x 5=++。

产生错误的原因是对直线倾角范围α（πα<≤0）不明确，由于本题给出的sin α为正极，因此满

足过P （2，－1）的直线倾角有两个，故所求直线的方程应有两个。若结果只有一个显然是不对的。 正确解法：设所求直线的倾斜角为α，则由题设知13

5sin =

α 因为πα<≤0，所以13

12sin 1cos 2±=-±=αα。 所以125cos sin tan ±==

ααα

，则所求直线方程为)2x (12

5

1y -±=+ 即02y 12x 5022y 12x 5=++=--或为所求

例2 等腰三角形的顶点是A （4，2），底边一个端点是B （3，5），求另一个端点C 的轨迹方程，并说

明它的轨迹是什么。

易错分析：C 的轨迹方程易错解为10)2y ()4x

(22=-+-，点C 的轨迹是以A （4，2）为圆心，

以10为半径的圆。

造成错误的原因是没有认真考虑题目要求的几何条件，实际上点C 满足：①A 、B 、C 三点组成三角

形；②A 、B 、C 三点组成的是等腰三角形。有同学在解题过程中只是根据②|AC|=|AB|，将轨迹的条件转化为对应的含x 、y 的方程。因此所求出的方程保证满足条件②而无法保证满足条件①，解题后没认真检验结果，而造成“解”的不严密。 正确解法：设另一端点C 的坐标为（x,y ） 依题意，得|AC|=|AB| 由两点间距离公式，得2222)52()34()2y ()4x (-+-=-+-

两边平方，得2222)52()34()2y ()4x (-+-=-+-

整理，得10)2y ()4x

(22=-+-

这是以点A （4，2）为圆心，以

10为半径的圆，如图。

又因为A 、B 、C 为三角形的三个顶点，所以A 、B 、C 三点不共线。 即点B 、C 不能重合且B 、C 不能为过点A 的一直径的两端点。 因为点B 、C 不能重合，所以点C 的横坐标x ≠3。 又因为点B 、C 不能为一直径的两端点，所以42

3

x ≠+，x ≠5。 故另一端点C 的轨迹方程是10)2y ()4x

(22=-+-（x ≠3，x ≠5）。

点C 的轨迹是以A （4，2）为圆心，10为半径的圆，但除去（3，5）和（5，－1）两点。 例3 已知抛物线的方程为)0a (ax 2y 2

<=，则它的焦点坐标为（ ）

A.

)0,2

a

(- B.

)2

a ,0(-

C.

)a

81,

0( D.

)a

81,0(-

错解：由抛物线方程为2

ax 2y =，知抛物线的对称轴为y 轴，a 2p 2-=，所以a p -=，

2

a 2p -=，所以它的焦点坐标为（0，2

a

-），所以应选B 。

正确解法：首先要准确理解概念，正确识记抛物线的标准方程为

px 2y 2=、px 2y 2-=、