第三章：函数
离散数学 第三章 函数
下面先规定几个标准集合的基数： 1) 空集的基数为0。 2) 设n为一自然数，Nn为从1到n的连贯的自然数集合， Nn={1,2,3,…,n}，Nn的基数为n，|Nn|=n 。 3) 设N为自然数的全体，N={1,2,3,…},N的基数为ℵ0(读成 阿列夫零， ℵ是希伯莱文的第一个字母)。 4) 设R为实数的全体，R的基数为ℵ ,|R|= ℵ 。 • • 以上四项规定，对于空集及Nn的基数，实际上就是集 合中元素的个数，关于ℵ0及ℵ，下面将予探讨。 有了标准基数之后，我们可以对各种集合测量其基数。 测量的手段是以双射函数为主体的等价关系一等势。 比如说，一个集合与N等势，那么这个集合的基数为 ℵ0 。
定理6 设A及B为两个可数集，那么A×B为一可数集。 定理 推论1 推论 设A1,A2,A3,…,An为n个可数集，那么 × A是可数集。
i=1 i n
定理7 (0,1)开区间上的实数不是可数集。 定理 定理8 设A为一集Y的函数，若f 是双射函数，则f 的逆关系 f –1是从Y到X的双射函数。 定理2 定理 设f 是从X到Y的函数，g 是从Y到Z的函数，则复合关 系f οg是从 X到Z的函数，将f ο g记为g ο f 。 定理3 定理 设f 是从X到Y的函数，g 是从Y到Z的函数。 1）若f 和g是满射函数，则g ο f 是满射函数； 2）若f 和g是单射函数，则g ο f 是单射函数； 3）若f 和g是双射函数，则g ο f 是双射函数。 定理4 定理 设f 是从X到Y的双射函数， f –1是f 的逆函数，则 1) (f –1) –1 = f 2) f –1 ο f = IX 3) f ο f –1 = IY
定义3 定义 设 |X|=n，P是从X到X的双射函数，称P为X上的置 换，称n为置换的阶。 • 在n个元素的集合中，不同的n阶置换的个数为n!。 • 通常用下面的方法表示置换。 x1 x2 x3 … xn P = p(x ) p(x ) p(x ) … p(x ) 1 2 3 n • 若∀xi∈X 有 p(xi) = xi ，则称P是恒等置换。 • P的逆函数P-1可表示为 p(x1) p(x2) p(x3) … p(xn) P-1 = x1 x2 x3 … xn • 置换的复合与关系的复合相同。 1 2 3 1 2 3 1 2 3 3 2 1 2 1 3 3 1 2
高中数学新教材必修一第三章 《函数的概念与性质》全套课件
然，其原因是没有关注到 t 的变化范圈。 下面用更精确的语言表示问题 1 中 S 与 t 的对应 关系。列车行进的路程 S 与运行时间 t 的对应关 系是列车行进的路程 S 与运行时间/的对应关系是 S=350t. ①,
4、若函数的定义域只有一个元素，则值域也只有一
个元素 √
5、对于不同的x , y的值也不同
×
6、f (a)表示当x = a时，函数f (x)的值，是一个常量 √
巩固练习
判断下列对应能否表示y是x的函数
（1） y=|x|
（2）|y|=x
（3） y=x 2
（4）y2 =x
（5） y2+x2=1 （6）y2-x2=1
2.函数的三要素
定义域 值域 对应法则f
定义域
决定
值域
对应法则
3.会求简单函数的定义域和函数值
4.理解区间是表示数集的一种方法，会把不等式转化为区间。
3.1.2函数的表示法
复习引入
函数的定义：设A、B是非空的实数集，如果
对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对 应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应， 那么就称f: A→B为从集合A到集合B的一个函数， 记作 y=f(x) , x∈A
x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定 义域；与x的值相对应的y的值叫做函数值，函 数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域。
显然值域是集合B的子集
复习引入
(1)如果y=f (x)是整式，则定义域是 实数集R (2)如果y=f (x)是分式，则定义域是
使分母不等于0的实数的集合
(3)如果y=f (x)是偶次根式，则定义域是
第三章 第五节 指数函数 课件(共53张PPT)
由图象知，其在(－∞，0]上单调递减，所以 k 的取值范围为(－∞，0].
答案： (－∞，0]
指数函数的性质及应用
角度一 比较指数幂的大小
解析： (1)由函数 y＝kx＋a 的图象可得 k<0，0<a<1.因为函数的图象与 x 轴交点的横坐标大于 1，所以 k>－1，所以－1<k<0.函数 y＝ax＋k 的图象可以 看成把 y＝ax 的图象向右平移－k 个单位长度得到的，且函数 y＝ax＋k 是减函 数，故此函数与 y 轴交点的纵坐标大于 1，结合所给的选项，选 B.
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
n (1)
an
＝(n
a
)n＝a(n∈N＋).(
)
m
(2)分数指数幂 an
可以理解为mn
个 a 相乘．(
)
(3)函数 y＝3·2x 与 y＝2x＋1 都不是指数函数．( )
(4)若 am<an(a>0，且 a≠1)，则 m<n.( )
答案： (1)× (2)× (3)√ (4)×
角度二 解简单的指数方程或不等式
(1)若
，则函数 y＝2x 的值域是( )
1 A．8，2
1 B．8，2
C．－∞，18
D．[2，＋∞)
4x，x≥0， (2)已知实数 a≠1，函数 f(x)＝2a－x，x<0， 若 f(1－a)＝f(a－1)，则 a 的
值为________．
解析： (1)因为
高中数学必修一-第三章-3.1 函数的概念及其表示
第三章函数3.1 函数的概念及其表示知识点一：函数的概念1.函数的有关概念2.函数的三要素一个函数的构成要素：定义域、对应关系和值域.因为值域是由定义域和对应关系决定的，所以两个函数的定义域和对应关系相同时，它们是同一个函数.3.区间的概念:设a,b∈R,a<b.实数集R可以用区间表示为(-∞,+∞).知识点二：函数的表示法1.函数的三种表示法2.分段函数已知函数y=f(x)，x∈A，如果自变量x在不同的取值范围内，函数有着不同的对应关系，那么我们称这样的函数为分段函数.【思考】1.函数的定义域和值域是否一定是无限集?2.区间是数集的另一种表示方法,是否任何数集都能用区间表示?3.根据函数的定义,任何一个自变量x是否都有唯一的函数值y与之对应?任何一个函数值y 是否都有唯一的自变量x与之对应?4.如何确定分段函数的定义域和值域?【解析】1.不一定.函数的定义域和值域也可能是有限集,如f(x)=1，x∈{1,2,3}.2.不是.如集合{0,1}就不能用区间表示.3.任何一个自变量x都有唯一的函数值y与之对应，但是函数值y不一定有唯一的自变量x 与之对应。
如f(x)=x2中，函数值4有两个自变量2、-2与之对应。
函数中x，y的对应关系是“一对一”或“多对一”,不能“一对多”.4.分段函数的定义域是每一段自变量取值范围的并集,值域也是每一段函数值取值范围的并集.3.1.1 函数的概念基础练一函数的概念1.（多选题）下面选项中,变量y是变量x的函数的是()A.x表示某一天中的时刻,y表示对应的某地区的气温B.x表示年份,y表示对应的某地区的GDP(国内生产总值)C.x表示某地区学生的某次数学考试成绩,y表示该地区学生对应的考试号D.x表示某人的月收入,y表示对应的个税2.下列四组函数中,表示同一个函数的是()3A.y=|x|与y=√x3B.y=√x2与s=(√t)2C.y=2t+1与y=2u+1D.y=1与y=x03.设集合M={x|0≤x≤2},N={y|0≤y≤2},那么下面的4个图形中,能表示以集合M为定义域,集合N为值域的函数关系的有()A.①②③④B.①②③C.②③D.②④二函数的定义域4.函数f(x)=√x−1的定义域为() x−2A.[1,+∞)B.[1,2)C.[1,2)∪(2,+∞)D.(1,2)∪(2,+∞)5.已知某矩形的周长为定值a,若该矩形的面积S是这个矩形的一边长x的函数,则这个函数的定义域是.6.已知函数y=f(x)的定义域为[-2,3],则函数y=f(2x+1)的定义域为.x+1三函数值及函数的值域7.已知集合P={x|y=√x−1},集合Q={y|y=√x−1},则()A.P=QB.P⫋QC.Q⫋PD.P∩Q=⌀8.函数y=√x2−2x+3的值域为.,则f(x)的值域为.9.已知函数f(x)=1x2−2x10.已知函数f(x)的定义域是[0,1],值域是[1,2],则这样的函数可以是f(x)=.11.已知函数f(x)=x2+x-1.);(1)求f(2), f(1x(2)若f(x)=5,求x的值.3.1.2 函数的表示法基础练一 函数的表示法及其应用 1.函数y =x x+1的图象大致是 ( )A B C D2.某同学从家里到学校,为了不迟到,先匀速跑一段时间,跑累了再匀速走余下的路,设在途中花费的时间为t ,离开家的距离为d ,则下面图象中,能正确表示d 与t 的关系的是( )A B C D3.已知函数y =f (x )的对应关系如表,函数y =g (x )的图象为如图所示的曲线ABC ,则g (f (3))的值为 .二 函数解析式的求法5.已知函数f (x +2)=x 2+6x +8,则函数f (x )的解析式为( ) A.f (x )=x 2+2x B.f (x )=x 2+6x +8 C.f (x )=x 2+4x D.f (x )=x 2+8x +66.函数f (x )满足f (1-2x )=-1x ,则f (2)=( )A.2B.-2C.12 D.-12 7.已知函数f (2x -1)=3x -5,若f (x 0)=4,则x 0= .8.已知f (x )是一次函数,2f (2)-3f (1)=5,2f (0)-f (-1)=1,则f (x )= .9.(1)已知函数g (√x +1)=2x +1,求g (x )的解析式;(2)已知f (x )为二次函数,且f (0)=2, f (2)=f (-1)=0,求f (x )的解析式.三 分段函数问题10.已知函数f (x )={√x,x >0,|x +1|,x ≤0,则f (f (-3))=( )A.√3B.1C.2D.√2 11.已知f (x )={x +2,x ≤−1,x 2,−1<x <2,2x,x ≥2,若f (x )=3,则x 的值是( )A.1B.1或32C.1,32或±√3 D.√312.函数f (x )=x +|x |x 的图象是( )A B C D13.(2022山西大同期中)已知函数f (x )={x 2,x ≤0,4−2x,x >0.(1)画出函数f (x )的图象;(2)当f (x )≥2时,求实数x 的取值范围.。
数学必修一第三章知识点总结
数学必修一第三章知识点总结第三章是关于函数的知识点总结。
1. 函数的概念：函数是一个特殊的关系，将一个数集的每个元素与另一个数集的元素对应起来。
函数可以用一个公式、图像或者表格来表示。
2. 定义域和值域：函数的定义域是指能够使函数有意义的所有输入值的集合，值域是所有函数可能的输出值的集合。
3. 函数的图像：函数的图像是将函数的输入和输出对应起来的一种形象表示。
在平面直角坐标系中，函数的图像是一条曲线或者直线。
4. 函数的性质：函数可以是奇函数、偶函数或者普通函数。
奇函数满足 f(-x) = -f(x)；偶函数满足 f(-x) = f(x)；普通函数不满足奇偶性质。
5. 函数的性质：函数可以是单调递增函数、单调递减函数、增函数或者减函数。
单调递增函数满足 f(x1) < f(x2) 当且仅当 x1 < x2；单调递减函数满足 f(x1) > f(x2) 当且仅当 x1 < x2；增函数在定义域上满足 f(x1) < f(x2) 当且仅当 x1 < x2；减函数在定义域上满足 f(x1) > f(x2) 当且仅当 x1 < x2。
6. 反函数：函数的反函数将函数的输入和输出颠倒过来，即输入变为输出，输出变为输入。
反函数的定义域和值域与原函数相反。
7. 复合函数：复合函数是两个或多个函数的组合。
复合函数的定义域是能够使复合函数有意义的所有值的集合。
8. 基本初等函数：基本初等函数包括常函数、一次函数、幂函数、指数函数、对数函数和三角函数等。
这些函数具有特定的性质和图像特征。
9. 函数的运算：函数之间可以进行加减乘除和求导等运算。
函数的运算结果仍然是一个函数，具有相应的性质和图像特征。
以上是第三章关于函数的知识点总结。
在学习函数时，需要理解函数的概念和性质，掌握常见的函数类型和图像特征，以及函数的运算和组合等操作。
同时，还需要通过练习题和实例来巩固和应用所学知识。
第三章第三节函数的连续性
第三章 §3 函数的连续性（第一讲）一、函数连续性的定义变量u 的增量 12u u u -=∆ （从1u 变到2u ）可正可负 设函数)(x f y =在点0x 的某邻域内有定义（含0x 点）。
在点0x ， 自变量的增量为 )(00x x x x x x ∆+=-=∆相应有函数的增量 00()()y f x x f x ∆=+∆- 连续性：定义1 若0)]()([lim lim 0000=-∆+=∆→∆→∆x f x x f y x x 称)(x f 在点0x 连续 定义2 若)()(lim )()(lim 00000x f x x f x f x f x x x =∆+=→∆→或称)(x f 在点0x 连续 （满足3点，1º在0()U x 有定义，2º)(limx f xx →存在，3º 等于)(0x f 在区间上连续：)(x f 在区间I 上每点都连续如：x y sin =在),(+∞-∞连续，x y ln =在),0(+∞连续即I x ∈∀有)()(lim 0x f x x f x =∆+→∆ 注：连续即⎪⎭⎫ ⎝⎛=→→x f x f xx x x 0lim )(lim 左连续：)()(lim 00x f x f x x =-→；右连续：)()(lim 00x f x f x x =+→结论：)(x f 在0x 连续⇔左、右连续（讨论分段函数在分界点的连续性）如：[]6ln )1(lim ln )1ln(lim55=+=+→→x x x x 例1：cos 02()0(0)xx x f x x a ⎧≥⎪+=<>,()0a f x x =求使在连续解： 21)0(=f ， 212cos lim0=++→x x x ax a a x x x x a a x x 21(lim lim00=-+=----→→∴当2121=a时，即1=a 时，)(x f 在0=x 连续。
高一上数学必修一第三章《3.1函数的概念与性质》知识点梳理
高一上必修一第三章《函数》知识点梳理3.1.1函数及其表示方法学习目标：（1）在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念，体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用；（2）了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域、值域；（3）通过具体问题情境总结共性，抽象出函数概念，积累从具体到抽象的活动经验，发展数学抽象的核心素养。
【重点】1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数.3.了解简单的分段函数，并能简单应用（函数分段不超过三段）.【难点】1、求函数的定义域和值域回顾初中所学的函数，在情境与问题中感受高中函数表达方式与初中的不同。
一、函数的概念我们已经学习过一些函数的知识，例如已经总结出：在一个变化过程中，数值发生变化的量称为变量；在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么就称y是x的函数.再例如，我们知道y=2x是正比例函数，y=-3x-1是一次函数，y=-2是反比例函数，y=x2+2x-3是二次函数，等等。
【情境与问题】（1）国家统计局的课题组公布，如果将2005年中国创新指数记为100，近些年来中国创新指数的情况如下表所示。
以y表示年度值，i表示中国创新指数的取值，则i是y的的函数吗？如果是，这个函数用数学符号可以怎样表示？（2）利用医疗仪器可以方便地测量出心脏在各时刻的指标值，据此可以描绘出心电图，如下图所示。
医生在看心电图时，会根据图形的整体形态来给出诊断结果（如根据两个峰值的间距来得出心率等）.初中实际上是用变量的观点和解析式来描述函数的，但从情境与问题中的两个实例可知，初中的方法有一定的局限性：情境与问题中的i是y的函数，v是t的函数，但是这两个函数与初中的函数有所不同，比如都很难用一个解析式表示，而且每个变量的取值范围也有了限制，等等。
高中数学新教材必修一第三章 《函数的概念与性质》全套课件
4、若函数的定义域只有一个元素，则值域也只有一
个元素 √
5、对于不同的x , y的值也不同
×
6、f (a)表示当x = a时，函数f (x)的值，是一个常量 √
巩固练习
判断下列对应能否表示y是x的函数
（1） y=|x|
（2）|y|=x
（3） y=x 2
（4）y2 =x
（5） y2+x2=1 （6）y2-x2=1
2x
0y 2
x
2
D
0
2x
学习新知
初中我们已知接触过函数的三种表示方法：解析法、列表法和图 象法
问题 2 某电气维修公司一个工人的工资关于天数 d 的函数 w=350d. ②定义域{1,2,3,4,5,6}
学习新知 这里的实数a与b都叫做相应区间的端点。
实数集R可以用区间表示为(-∞,+∞),“∞”读作“无穷 大”。满足x≥ a,x>a ,x ≤b, x<b的实数的集合分别表示 为[a, +∞)、(a, +∞)、(-∞,b]、(-∞,b).
集合表示 区间表示 数轴表示
{x a＜x＜b} (a , b)
我国某省城镇居民恩格尔系数变化情况
时间（年）y 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015
恩格尔系数r(%) 36.69 36.81 38.17 35.69 35.15 33.53 33.87 29.89 29.35 28.57
请仿照前面的方法描述恩格尔系数r和时间（年）y的关系。
对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对
应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应， 那么就称f: A→B为从集合A到集合B的一个函数， 记作 y=f(x) , x∈A
第三章 函数知识点
思维导图一．函数的概念1、函数的概念（1）函数的定义设集合A是一个非空_____集，按照某种确定的对应法则f对A中任意的实数x，都有___________的实数值y与它对应，则称这种对应法则为集合A 上的一个函数，记作________，其中x为________，y为________．（2）函数的三要素：_______、_______、（_______）.（3）相同函数的判断方法：①____________；②____________2、函数的定义域：（1）定义域的定义：________________________叫做函数的定义域．（2）确定函数定义域的常见方法：①若)(xf是整式，则定义域为________②若)(xf是分式，则定义域为________例:求函数xy111+=的定义域。
③若)(xf是偶次根式，则定义域为________例1:求函数()21432-+--=xxxy的定义域。
例2:求函数()02112++-=xxy的定义域。
④若)(xf是偶次根式，则定义域为________⑤对数函数y＝log a x的真数________⑥指数y＝a x、对数式y＝log a x的底为________⑦若)(xf为复合函数，则定义域由其中各基本函数的定义域组成的不等式组来确定⑧函数y ＝[f(x)]0的定义域为__________⑨如果函数由一些基本函数通过有限次四则运算结合而成的，那么其定义域为这些基本函数定义域的_______．书写函数定义域时，要写成集合或_______的形式．⑩实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义 （3）求抽象函数（复合函数）的定义域例1:已知函数)(x f 的定义域为[0,1]求)(2x f 的定义域例2:已知函数)12(-x f 的定义域为[0,1）求)31(x f -的定义域3、函数的值域 :(1)值域的定义：____________________________叫做函数的值域． （2）常见基本初等函数值域： 一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、三角函数（正余弦、正切）（3）确定函数值域的常见方法（配方法）：配方法是求“二次函数类”值域的基本方法。
第三章函数
第三章 函数一、基础知识定义1 映射，对于任意两个集合A ，B ，依对应法则f ，若对A 中的任意一个元素x ，在B 中都有唯一一个元素与之对应，则称f : A →B 为一个映射。
定义2 单射，若f : A →B 是一个映射且对任意x , y ∈A , x ≠y , 都有f (x )≠f (y )则称之为单射。
定义3 满射，若f : A →B 是映射且对任意y ∈B ，都有一个x ∈A 使得f (x )=y ，则称f : A →B 是A 到B 上的满射。
定义4 一一映射，若f : A →B 既是单射又是满射，则叫做一一映射，只有一一映射存在逆映射，即从B 到A 由相反的对应法则f -1构成的映射，记作f -1: A →B 。
定义5 函数，映射f : A →B 中，若A ，B 都是非空数集，则这个映射为函数。
A 称为它的定义域，若x ∈A , y ∈B ，且f (x )=y （即x 对应B 中的y ），则y 叫做x 的象，x 叫y 的原象。
集合{f (x )|x ∈A }叫函数的值域。
通常函数由解析式给出，此时函数定义域就是使解析式有意义的未知数的取值范围，如函数y =3x -1的定义域为{x |x ≥0,x ∈R}.定义6 反函数，若函数f : A →B （通常记作y =f (x )）是一一映射，则它的逆映射f -1: A→B 叫原函数的反函数，通常写作y =f -1(x ). 这里求反函数的过程是：在解析式y =f (x )中反解x 得x =f -1(y )，然后将x , y 互换得y =f -1(x )，最后指出反函数的定义域即原函数的值域。
例如：函数y =x -11的反函数是y =1-x1(x ≠0). 定理1 互为反函数的两个函数的图象关于直线y =x 对称。
定理2 在定义域上为增（减）函数的函数，其反函数必为增（减）函数。
定义7 函数的性质。
（1）单调性：设函数f (x )在区间I 上满足对任意的x 1, x 2∈I 并且x 1< x 2，总有f (x 1)<f (x 2)(f (x )>f (x 2))，则称f (x )在区间I 上是增（减）函数，区间I 称为单调增（减）区间。
高中数学必修一第三章知识点总结
第三章 函数的应用一、方程的根与函数的零点1、函数零点的概念：对于函数))((D x x f y ∈=，把使0)(=x f 成立的实数x 叫做函数))((D x x f y ∈=的零点。
2、函数零点的意义：函数)(x f y =的零点就是方程0)(=x f 实数根，亦即函数)(x f y =的图象与x 轴交点的横坐标。
即：方程0)(=x f 有实数根⇔函数)(x f y =的图象与x 轴有交点⇔函数)(x f y =有零点．3、函数零点的求法：○1 （代数法）求方程0)(=x f 的实数根； ,○2 （几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数)(x f y =的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．4、基本初等函数的零点：①正比例函数(0)y kx k =≠仅有一个零点。
②反比例函数(0)k y k x=≠没有零点。
③一次函数(0)y kx b k =+≠仅有一个零点。
④二次函数)0(2≠++=a c bx ax y ． （1）△＞０，方程20(0)ax bx c a ++=≠有两不等实根，二次函数的图象与x 轴有两个交点，二次函数有两个零点．（2）△＝０，方程20(0)ax bx c a ++=≠有两相等实根，二次函数的图象与x 轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．（3）△＜０，方程20(0)ax bx c a ++=≠无实根，二次函数的图象与x 轴无交点，二次函数无零点．《⑤指数函数(0,1)x y a a a =>≠且没有零点。
⑥对数函数log (0,1)a y x a a =>≠且仅有一个零点1.⑦幂函数y x α=，当0n >时，仅有一个零点0，当0n ≤时，没有零点。
5、非基本初等函数（不可直接求出零点的较复杂的函数），函数先把()f x 转化成()0f x =，再把复杂的函数拆分成两个我们常见的函数12,y y （基本初等函数），这另个函数图像的交点个数就是函数()f x 零点的个数。
数学第三章函数知识点总结
数学第三章函数知识点总结在数学中，函数是一种特殊的数学关系，它描述了两个变量之间的对应关系。
函数在数学中扮演着非常重要的角色，它们被广泛应用于各种数学领域和实际问题中。
在数学的第三章中，我们将学习如何定义和描述函数，以及函数的性质和应用。
1. 函数的定义函数是一种特殊的数学关系，它将一个或多个输入映射到一个输出。
这种映射可以用一个数学公式、图形、表格或者文字描述。
函数通常用f(x)的形式表示，其中x是输入，f(x)是输出。
函数也可以用其他变量表示，如y = f(x)。
在数学中，函数通常有两个集合：定义域和值域。
定义域是所有可能的输入值的集合，值域是所有可能的输出值的集合。
函数将定义域中的元素映射到值域中的元素。
2. 函数的表示函数可以通过各种方式来表示，最常见的是用表格、图形和公式来描述。
在函数的图形表示中，我们通常使用直角坐标系来显示函数的图像。
函数的图像是一条曲线，它显示了输入和输出之间的关系。
函数的表格表示中，我们列出了函数的输入和输出值。
函数的公式表示中，我们用数学公式来描述输入和输出之间的关系。
3. 函数的性质函数有许多重要的性质，这些性质可以帮助我们理解和分析函数。
其中一些重要的性质包括：- 定义域和值域：函数的定义域是所有可能的输入值的集合，值域是所有可能的输出值的集合。
- 单调性：函数的单调性描述了函数的增减趋势。
一个函数有可能是递增的（y随x的增加而增加）或者是递减的（y随x的增加而减小）。
- 奇偶性：函数的奇偶性描述了函数在坐标系中的对称性。
一个函数有可能是奇函数（f(-x) = -f(x)）或者是偶函数（f(-x) = f(x)）。
- 周期性：周期函数是一种具有周期性的函数，它的图像在特定的区间内会周期性地重复。
4. 函数的应用函数在数学中有着广泛的应用，它们被应用于各种数学领域和实际问题中。
在微积分中，函数被用来描述曲线的斜率、凹凸性和积分。
在代数中，函数被用来解方程和不等式。
高等数学第三章： 函数的极值与最值
所以f(x)在1处没有极值 同理 f(x)在1处也没有极值
16
运用第一、第二充分条件需要注意:
(1) 若函数有导数不存在的点时, 则可用第一 充分条件来判定有无极值;
(2) 对于只有驻点而没有导数不存在的点, 则 可用第二充分条件判断有无极值.
17
例 证明x 1时, ex 1 1 x
2
y
比较得: 最大值为 3 4 ,
最小值为 3 4 3 3.
1
2 1O 1
2
2
2x
26
求函数 f ( x) | x 2 | ex 在[0,3]上的
最大值与最小值.
解
( x 2)e x
f
(x)
(x
2)e x
f
(
x)
( x 1)e
(x
1)e x
应用. 事实上,当f ( x0 ) 0, f ( x0 ) 0时, f ( x)在点x0处可能有极大值,也可能有极小值, 也可能没有极值. 如, f1( x) x4, f2( x) x4, f3( x) x3 在x 0处分别属于上述三种情况.
仍用第一充分条件
15
例 求函数f(x)(x21)31的极值
一定是驻点或不可导点；此外最值也可能在区间 的端点处取得.
y
y
y
oa
bx o a
bx o a
bx
21
求连续函数 f (x)在闭区间[a, b]上的最大(小) 值的方法: (1) 将闭区间[a, b]内所有驻点和导数不存在的 点(即为极值可疑点)处的函数值和 区间端点的 函数值 f (a), f (b)比较, 其中最大(小)者就是 f (x) 在闭区间[a, b]上的最大(小)值. (2) 当 f (x)在闭区间[a, b]上单调时, 最值必在端 点处达到.
华科离散数学第三章
14
例3 设有函数f, g, h,均是由实数集R到R的函数,
且f (x)=x+3 ,g (x)=2x+1, h (x) ＝x/2 求复合函数 h •(g•f) , (h•g)•f 。
解: 所求的复合函数都是由R到R的函数
g f (x) g( f (x)) g(x 3) 2(x 3) 1 2x 7
所以# (BA)=8 。
f5={(a,2),(b,1),(c,1)} f6={(a,2),(b,2),(c,1)} f7={(a,2),(b,1),(c,2)} f8={(a,2),(b,2),(c,2)}
因此, #(BA)=(#B)#A 6
二、几种特殊的函数 定义3－3 设f是一由A到B的函数,
8
练习 3－1
１.设A＝{1, 2, 3, 4, 5} , B={6, 7, 8, 9, 10}, 判断下列由A到B的关系哪些是函数,哪些不是函 数。在相应的括号中键入“Y”或“N”。
(1) f1＝{(1, 10),(2, 9),(3, 8),(4, 7),(5, 6)} （ Y ）
(2) f2＝{(3, 6),(1, 8),(2, 6),(4, 7)}
注意：当g•f 是内射时，g可能不是内射， 例如
22
当g•f 是满射，f可能不是满射.
例如
当g•f 是双射时，f可能不是满射，g可能不是内射.
例如
23
例6 设有函数f：R→R和g：R→R，定义为
f(x)=x2－2 , g(x)=x＋4 试判断f是否内射？g•f是否内射。
解 （1）f不是内射。
因为3 ≠－3 ,但f(3)=f(－3)=7
f 3 (1)= (f•f 2)(1)=f (f 2(1))=f (3)=4 类似地f 3 (2)=1, f 3 (3)=2, f 3 (4)=3
讲义-第三章《函数》
例：求函数y=3x2+2x+1的最小值及它图像的对称轴，并说明图像的单调区间。
（3）图像法：用图像来表示两个变量的函数关系。特点是直观表示变化趋势。
2.分段函数：在函数定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的对应法则。
★3.3函数的单调性：
1.内涵:是指函数的增减性，反应在图像上就是看函数是增函数还是减函数。
2.增函数、减函数的等价说法：增函数就是在给定的区间上随着自变量x的增大（减小）而增大（减小），减函数是随着自变量x的增大（减小）而减小（增大）。
第三章函数
★3.1函数的概念（难点）
1.定义：有两个变量x和y，如果给定一个x值，就相应的确定了唯一的y值，那么我们就称y是x的函数。其中x表示自变量，y表示因变量。
2.函数的实质：是表示两个数集的元素之间按照某种对应法则确定的一种对应关系。
3.函数符号y=f（x）是一个抽象的数学符号，它是“y是x的函数”这句话的数学表示，并非表示f与x的乘积。在该符号中，f表示对应法则，等式y=f（x）表明，对于定义域中的任意x，在“对应法则f”的作用下，即可得到y。
★3.4函数的奇偶性
1.内涵：指函数的对称性。
2.奇偶性：奇函数：图像是以坐标原点为对称中心的中心对称图形（中心对称）
偶函数：图像是以y轴为对称轴的对称图形（轴对称）
3.判断函数的奇偶性的方法:
如满足f(-x)=-f(x)时，函数为奇函数；如满足f(-x)=f(x)时，函数为偶函数。
4.重点：（1）函数的奇偶性是函数在整个定义域上的一种性质；
3.根据函数的解析式判断一个函数在给定区间上是增函数还是减函数的一般步骤是：
离散数学第三章 函数
第三章 函数
二、反函数
1、定义1：设f：AB是双射，则逆关系 f -1：BA
是从B到A的函数，称为 f 的反函数。
记 f -1 ：BA。 由定义可知：当函数 f：AB的反函数存在，若 f (x) = y，则f -1 (y) = x 且
f f 1 I A , f 1 f I B
f 0 ( x) x n 1 n f ( x ) f ( f ( x ))
第三章 函数
(2) 定理2： 设f: A→B,则 f。IB=IA。f=f
(3) 定理3：设有函数f：AB，g：BC
① 若f ，g是单射，则f g也是单射。
② 若f ，g是满射，则f g也是满射。
所以 f。g={(x, 4x 2+4x+2)}， g。f={(x, 2x 2+3)}
f。f={(x, 4x+3)}， g。g={(x, x 4+2x 2+2)}
第三章 函数
2、性质：
⑴ 定理1：设有函数f：AB，g：BC，h：
CD，则f ( g h) 和( f g ) h都是函数，且
③ 若f ，g是双射，则f g也是双射。
注：定理3的逆不成立。
第三章 函数
例3：设A={ 1, 2, 3 }, B={ a, b, c, d }, C={ x, y, z }
令 f = {(1, a), (2, b), (3, c)},
g = {(a , x), (b, y), (c, z), ( d, z)}
f ( g h) = ( f g ) h = f g h 证明： f。(g。h)(x) =(g。h) (f (x))=h (g (f (x)) =h((f。g) (x))=(f。g)。h (x)
新教材人教版高中数学必修第一册 第三章 知识点总结
必修第一册第三章函数的概念与性质3.1 函数的概念及其表示1．函数的概念：一般地，设A、B是非空的数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数。
记作：y=f(x)，x∈A。
其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域。
2．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域（1）函数的定义域的求法：①自然型：解析式自身有意义，如分式函数的分母不为零，偶次根式函数的被开方数为非负数，对数函数的真数为正数；②实际型：解决函数的综合问题与应用问题时，应认真考察自变量x的实际意义。
（2）求函数的值域的方法：①配方法（将函数转化为二次函数）；②不等式法（运用不等式的各种性质）；③函数法（运用函数的单调性、函数图象等）。
（3）两个函数的相等：当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一个函数。
3．常用的函数表示法（1）解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式；（2）列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系；（3）图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系。
4．分段函数：若一个函数的定义域分成了若干个子区间，而每个子区间的解析式不同，这种函数又称分段函数；5.区间的概念：设a,b是两个实数，且a<b,我们规定：（1）满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间，表示[a,b];（2）满足不等式a<x<b的实数x的集合叫做开区间，表示(a,b);（3）满足不等式a≤x<b或a<x≤b的实数x的集合叫做半开半闭区间，表示[a,b)或(a,b];a,b都叫做区间的端点。
（4）代数与几何表示对照表（数轴上用实心点表示包括在区间内的端点，用空心点表示不包括在区间内的端点）（5）3.2 函数的基本性质⊆: 1．单调性：（1）定义：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，区间D I①∀ x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数；特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们成它是增函数。
C++第三章 函数
int step;
step=m;
m=n;
n=step;
}
运行结果：
x=5 y=10
x=5 y=10
分析：从上面的运行结果可以看出，并没有达到交换的目的。这是因为，这里采用的值调用，函数调用是传递的是实参的值，是单向传递过程。形参质的改变对实参不起作用。
2.引用调用
if(symm(m)&&symm(m*m)&&symm(m*m*m))
cout<<"m="<<m<<" m*m="<<m*m<<" m*m*m="<<m*m*m<<endl;
}
//****************以下是判断回文数的函数**********************
bool symm(long n)
{
k=(n-1)/2;
sum+=power(-1,k)*power(x,n)/n;
}
return sum;
}
double power(double y,int m)
{
int i;
double val=1;
for(i=1;i<=m;i++)
val*=y;
return val;
main函数也可以有形参和返回值，其形参也称为命令行参数，由操作系统在启动程序时初始化，其返回值传递给操作系统。不过命令行参数的类型与个数有特殊要求。
函数在没有被调用的时候是静止的，此时的形参只是一个符号，它标志着在形参出现的位置应该有一个什么类型的数据。函数在被调用时才由主调函数将实际参数（实参）赋予形参。
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第三章——函数本章知识网络高中数学有哪些章节函数与数列的关系函数与解析几何的关系函数与各个章节的关系，在高中阶段的地位函数一、函数的概念基础练习1、下列各组函数中，表示同一函数的是( )A 、2x y =与33x y = B 、112--=x x y 与1+=x y C 、x y -=1与()21-=x y D 、2lg x y =与x y lg 2=2、函数()()⎩⎨⎧≥--<+=)1(14)1(12x x x x x f 则使得1)(≥x f 的自变量取值范围为( )A 、]([]10,02, -∞-B 、]([]1,02, -∞-C 、][](10,12, -∞-D 、[][]10,10,2 -3、若函数)(x f y =的定义域是[]4,2-，则函数F ())()(x f x f x -+=的定义域是( )A []4,4-B []4,2C []2,2-D []2,4--4、甲乙两地相距2400公里，若火车以每个小时120公里的速度由甲地匀速直线驶向乙地，那么火车离乙地的距离S5、函数⎩⎨⎧≤≤-≤≤-=)21(1)11(2)(2x x x x x f 的值域是 。
6、若函数)(x f y =的图像如图所示，则⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-21f f ＝ 。
（有图）1、 定义2、 函数的概念有哪些3、 函数的定义域1）有解析式函数的定义域主要有三种类型：例1、1）x x x y -++-=1123 2）51log 5.0+-=x x y 3）x x y tan log 25.0++=例2、已知函数()31323-+-=ax ax x x f 的定义域是R ，则实数a 的取值范围是 .2）抽象函数定义域 例3、已知()1x f y +=的定义域[]2,0，则()2x f 2-的定义域为 .总结：求抽象函数定义域的关键点在于什么，步骤是什么？4、 函数的值域1）有函数解析试的函数值域有几种方法，代表题型有哪些例4、求函数]2,2[,322-∈++=x x x y 的值域。
例5、求函数),3[,11+∞∈-+=x x x y 的值域。
例6、求函数1cos 2sin +-=x x y 的值域。
例7、求函数2212++-=x x x y 的值域。
例8、求函数x x y 2323-+-=的值域。
例9、求函数]2,0[,239∈+=x y x x 的值域。
例10、求函数x x y 2323---=的值域。
例11、求函数x x y -+=1的值域。
例12、求函数1212+-=x x y 的值域。
2）抽象函数的值域例13、函数)(x f y =的值域为]4,1[-，则函数1)12(3+-=x f y 的值域为 。
例14、函数)(344)1(2R x x x x f ∈++=+，那么函数)(x f 的最小值是 。
5、 函数的解析式主要有几种方法，代表题型有哪些例15、()c bx ax x f 2++=，若()00f =，且()()1x x f 1x f ++=+，则()=x f 。
例16、()5312+=-x x f ，则()x f 的解析式为 。
例17、已知函数1)2(2-=+x x f ，求)21(x f -。
例18、已知x x x x x x f cos sin cos sin )cos (sin ⋅+=+，求函数)(x f 。
例19、（1）已知221)1(x x x x f +=+，求)(x f ；（2）已知221)1(xx x x f +=-，求)(x f ； （3）已知331)1(xx x x f -=-，求)(x f 。
例20、（1）已知x x f x f =-)1(2)(，求)(x f ；（2）已知x x x f x f +=--2)(2)(，求)(x f例21、已知)2,0(,11cos )(cos π∈=x x x f ，求)(sin x f例22、我们知道，对数函数x x f a log )(=具有性质：)()1(x f xf -=。
试另外举出一个函数)(xg ，也满足)()1(x g xg -=，且它的定义域必须包含（0，+∞）。
6、 函数的运算例23、函数()x x f -=1，()x x x g +-=1，则()()=+x g x f 。
例24、设()x x f =，()x2x g =，()()()x g x f x P +=，()()()x g x f x Q -=，求()x P 、)(x Q 并做图像。
7、 函数的建立建立函数的步骤：例25、新世纪花园要建造一个直径为16米的圆形喷水池（如图）。
计划在池的周边靠近水面的位置安装一个喷水头，要求喷出的水柱在离池中心3米的地方达到最高，高度为4米，还要在水池中心的上方设计一个装饰物，使各方向喷头的水柱在此处汇合。
问这个装饰物高度如何设计？例26、小明、小强和小红的爸爸每月工资分别为1500、2500、3500元。
问他们应缴纳多少个人所得税：1.个人每月的工资薪水收入x 中，800元为免税收入，其余部分为应纳税收入2税率按应纳税收入额规定如下表： 应纳税收入额（元） 税率（%）[)500,0 5[)2000,500 10[)5000,2000 15[)20000,500020例27、对于平面上任一点P ，当点Q 在线段AB 上运动时，称Q P 的最小值为P 到线段AB 的距离。
已知平面直角坐标系中的线段AB ，其中两端点为)2,1(-A 、)1,4(B ，点P 在x 轴上运动，写出点)0,(t P 到线段AB 的距离h 关于t 的函数解析式。
8、 函数相等函数相等的条件是：例28、在①()x x f =，()()2x x g =②()x x f =，()2x x g =③()1=x f ，()0x x g =④()()()⎩⎨⎧∈--∈+=1,0,10,1,1x x x x x f ，()()x f x g 1-=；这四组函数中，表示同一函数的组数是 。
9、 反函数1、已知如下命题：①函数)(x f y =存在反函数的充要条件是)(x f y =在定义域上单调；②函数)(x f y =与其反函数1-=f y ()x 的图像成轴对称图形；③递减函数的反函数不一定是递减函数；④函数)(x f y =与其反函数1-=f y ()x 的图像不可能重合。
其中正确命题的个数是（ ）A 、0B 、1C 、2D 、32、下列函数中，有反函数的是（ ）A 、532++=x yB 、2123+-=x y C 、112+=x y D 、()()⎩⎨⎧<≥-=03032x x x x y（1） 定义（2） 性质① 如果)(x f y =有反函数，那么函数中y x ,必须是 ，它的图像 ；② 可知，如果)(x f y =有反函数，那么函数)(x f y =与)(1x fy -=，互为反函数，)(x f y =的定义域是)(1x f y -=的值域，)(x f y =的值域是)(1x fy -=的定义域； ③ )(x f y =与)(1y f x -=图像 ，与)(1x f y -=的图像 ；④ )(x f y =图像过点),(b a ，则)(1x fy -=的图像过点 ； ⑤ =-)]([1x f f ，=-)]([1x f f ；⑥ 如果)(x f y =是奇函数，则)(1x f y -=是 ，反之亦然；如果)(x f y =是递增（减）函数，则)(1x f y -=是 ，反之亦然；⑦ 在定义域上单调的函数一定有反函数，有反函数的函数不一定是单调函数。
（3） 求反函数的步骤：例29、函数)21(2413-≠∈++=x R x x x y 且的反函数是 。
例30、求函数3x y =的反函数，并在同一坐标系作出原函数与反函数的图像。
例31、函数5x 4x y 2+-=()()1,x ∞-∈，则其反函数()=-x f 1 .例32、（1）若函数)(x f 的反函数为)0()(21>=-x x x f ，则=)4(f ；（2）若函数2)(+=x x x f ，则=-)31(1f 。
例33、（1）若()x f 图像过点()2,1，则其反函数)(1x f-必经过点 ；（2）若()x f 图像过点()1,0，则()2+x f 的反函数图像必过点 ，()21+-x f得图像必过点 。
例34、设)01(11)(2≤≤---=x x x f ，则)(1x f y -=的图像是 。
例35、直线2ax y +=与直线b x 3y -=关于x y =对称，那么（ ） （A ）31a =，6b = （B ）31a =，6b -= （C ）3a =，2b -= （D ）3a =，6b =例36、函数2xx e e y --=的反函数（ ） A 、是奇函数，它在),0(+∞上是减函数 B 、是偶函数，它在),0(+∞上是减函数C 、是奇函数，它在),0(+∞上是增函数D 、是偶函数，它在),0(+∞上是增函数例37、函数()0)(>+=x xa x x f 在区间[)+∞,2上存在反函数，则实数a 的取值范围是 。
例38、已知x x x f 32)3(+=，求)3(1x f -，提供如下一种解法：“由已知x x x f 32)3(+=，设3x t =得23)(1-=-t t f ，将3x t =带回，所以23)3(1-=-x x f ”上述解法是否正确，为什么？例39、设函数)(x f 对任何实数y x ,都有)()()(y f x f y x f +=+，求证：（1）0)0(=f ；（2）)(2)2(x f x f =。
例40、设)(x f 为定义在R 上的偶函数，当1-≤x 时，)(x f y =的图像是经过点)0,2(-，斜率为1的射线，又在)(x f y =的图像中有一部分是顶点在)2,0(，且过点)1,1(-的一段抛物线，试写出函数)(x f y =的表达式，并作出其图像。
10、最值求最值的几种方法：例41、已知410≤<t ，则t t -1的最小值为 。
例42、求函数)23)()(cos (sin >++=a a x a x y 的最小值。
例43、求1)2(4)(22+-++=x x x f 的最小值。
例44、已知x>0，y>0，且2x ＋5y ＝20，则xy 的最大值是 。
例45、已知R b a ∈,，且1022=+b a ，则b a +的范围是 。
例46、若1>a ，则11-+a a 的最小值为 。
例47、设x 、y 是关于m 的方程0622=++-a am m 的两个实根，则22)1()1(-+-y x 的最小值是 。
例48、对于每个实数x ，设)(x f 为2+x ，14+x ，x 24-三个函数中的最小值，求)(x f 的最大值。