第27章相似全章导学案

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九年级数学(人教版)第27章《相似》全章教案

第27章《相似》全章教案27．1 图形的相似〔1〕教学目标:1、知识与技能：通过实例知道相似图形的意义. 通过对生活中的事物或图形的观察，得理性认识，从而加以识别相似的图形．2、过程与方法:通过观察、归纳等数学活动，与他人交流思维的过程和结果，能用所学的知识去解决问题．3、情感态度与价值观：在获得知识的过程中培养学习的自信心．教学重点:相似图形和相似多边形的意义.教学难点:探索相似多边形对应角相等，对应边的比相等.教学过程:一、创设情境，导入新课引导学生观察课本p24-图27.1—1每两个图形之间的相同之处与不同之处---这两个图形形状相同，大小不相同，它们叫什么图形？这两个图形只是形状相同，大小不相同，它们叫相似图形.也可以说，这两个图形相似.二、师生互动，探索新知：1、观察以下几组几何图形，你能发现它们之间有什么关系?从而得出：具有相同形状的图形叫相似形．〔出示课题——图形的相似〕2、对上面的3组图形，通过图形的缩小或放大，再利用图形的平移或旋转等变换，使它与另一个图形能够重合，从而加以验证它们是相似的图形。

归纳定义：相似图形----形状相同的两个图形叫做相似图形.3、你还见过哪些相似的图形，请举出一些例子与同学们交流．三、探究：1、思考教科书第25页的思考，哈哈镜里看到的不同镜像它们相似吗？2、观察以下图中的3组图形，它们是不是相似形?为什么?(激发学生的求知欲，为下一节课“相似图形的特征”做好准备)四、课堂练习完成课本第25页练习第1、2题。

五、课堂小结这节课你有哪些收获?六、课时作业1、根据今天所学的内容，请你收集或设计一些相似的图案．2、习题27.1第1、2题．27．1 图形的相似〔2〕教学目标:1、知识与技能：通过对生活中的事物或图形的观察，获得理性认识，从而加以识别相似的图形．2、过程与方法：经历对相似图形观察、分析、欣赏以及动手操作、画图、测量等过程，能用所学的知识去解决问题；回忆相似图形的性质、定义，得出相似三角形的定义及其基本性质。

人教版九年级数学教案第27章《相似》全章导学案(共13课时)

人教版九年级数学《相似》全章导学案第1课时图形的相似知识点1：相似图形的概念【例1】下列图形不是相似图形的是( C )A. 同一张底片冲洗出来的两张不同尺寸的照片B. 用放大镜将一个细小物体图案放大过程中的原有图案和放大图案C. 某人的侧身照片和正面照片D. 大小不同的两张同版本中国地图,1. 如图1－27－68－1，用放大镜将图形放大，这种图形的改变是( A )图1－27－68－1A. 相似B. 平移C. 轴对称D. 旋转知识点2：相似图形的识别【例2】下列四组图形不是相似图形的是( D ),2. 观察下列各组图形，其中不相似的是( A )知识点3：比例尺的计算【例3】在一幅比例尺是1∶1 000 000的地图上，量得北京到天津的距离是12 cm，则北京到天津的实际距离是120km.,3. 要建一个长40 m，宽20 m的厂房，在比例尺是1∶500的图纸上，长要画cm( B )A. 5B. 8C. 7D. 6知识点4：画相似图形【例4】如图1－27－68－2的左边的格点图中有一个四边形，请在右边的格点图中画出一个与该四边形相似的图形.图1－27－68－2略.,4. 图1－27－68－3中的三角形称为格点三角形，请画出一个与图中三角形相似的格点三角形.图1－27－68－3略.A组5. “相似的图形”是指( A )A. 形状相同的图形B. 大小不相同的图形C. 能够重合的图形D. 大小相同的图形,6. 对一个图形进行放缩时，下列说法中正确的是( D )A. 图形中线段的长度与角的大小都会改变B. 图形中线段的长度与角的大小都保持不变C. 图形中线段的长度保持不变、角的大小可以改变D. 图形中线段的长度可以改变、角的大小保持不变7. 如图1－27－68－4，下面选项中的四个图形与其相似的是( C )图1－27－68－4A B C D,8. 下列各组图形相似的是( B )B组9. 下列各组图形一定相似的是( C )A. 两个菱形B. 两个矩形C. 两个正方形D. 两个等腰梯形,10. 给出下列几何图形：①两个圆；②两个正方形；③两个矩形；④两个正六边形；⑤两个等边三角形；⑥两个直角三角形；⑦两个菱形. 其中，一定相似的有①②④⑤.(填序号)11. 在比例尺是1∶1 000 000的地图上量得广州到深圳的距离是16 cm，广州到深圳的实际距离是160km.,12. 两地实际距离为2 000 m，图上距离为2 cm，则这张地图的比例尺为( D )A. 1 000∶1B. 100 000∶1C. 1∶1 000D. 1∶100 000C 组13. 在比例尺是1∶25 000 000的地图上，量得北京到上海的距离长4.2 cm ，如果一列直达火车以每小时175 km 的速度从上海开出，经过几小时可以到达北京？解：由题意，得 4.2×25 000 000＝105 000 000(cm)＝1 050(km). ∴1 050÷175＝6(h).∴经过6 h 可以到达北京.,14. 下面四个图案：不等边三角形、等边三角形、正方形和矩形，其中每个图案花边的宽度都相同，那么每个图形中花边的内外边缘所围成的几何图形不一定相似的是( D )第2课时相似多边形及其性质知识点1：成比例线段【例1】下列各组中的四条线段成比例的是( A ) A. a ＝2，b ＝6，c ＝4，d ＝12 B. a ＝4，b ＝6，c ＝5，d ＝10 C. a ＝2，b ＝3，c ＝2，d ＝ 3D. a ＝2，b ＝3，c ＝4，d ＝1,1. 以下列长度(同一单位)为长的四条线段中，不成比例的是( C ) A. 2,5,10,25 B. 4,7,4,7C. 2，12，12，4 D. 2，5，2 5，5 2知识点2：相似多边形的性质【例2】如图1－27－69－1，四边形CDEF 与四边形C ′D ′E ′F ′相似，求未知边x ，y 的长度和角β的度数.图1－27－69－1解： x ＝12，y ＝20，β＝80°.,2. 如图1－27－69－2的两个五边形相似，求未知边a ，b ，c ，d 的长度.图1－27－69－2解： a ＝3，b ＝4.5，c ＝4，d ＝6. 知识点3：相似多边形的判定【例3】如图1－27－69－3，一个矩形广场的长为100 m ，宽为80 m ，广场外围两条纵向小路的宽均为1.5 m ，如果设两条横向小路的宽都为x m ，那么当x 为多少时，小路内、外边缘所围成的两个矩形相似？图1－27－69－3解：当100－1.5×2100＝80－2x 80时，小路内、外边缘所围成的两个矩形相似.解得x ＝1.2.答：当x 为1.2时，小路内、外边缘所围成的两个矩形相似. ,3. 如图1－27－69－4，矩形A′B′C′D′在矩形ABCD 的内部，AB ∥A′B′，AD ∥A′D′，且AD ＝12，AB ＝6，设AB 与A′B′，BC 与B′C′，CD 与C′D′，DA 与D′A′之间的距离分别为a ，b ，c ，d ，a ＝b ＝c ＝d ＝2，矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD 吗？为什么？图1－27－69－4解：不相似，理由如下： ∵AD A′D′＝128＝32，AB A′B′＝62＝3， ∴AD A′D′≠AB A′B′. ∴不相似.A 组4. 下列线段成比例的是( C ) A. 1,2,3,4 B. 5,6,7,8 C. 1,2,2,4 D. 3,5,6,9,5. 下列各组中的四条线段成比例的是( A ) A. 1 cm,2 cm,20 cm,40 cm B. 1 cm,2 cm,3 cm,4 cm C. 4 cm,2 cm,1 cm,5 cmD. 5 cm,10 cm,15 cm,20 cm B 组6. 如图1－27－69－5的相似四边形，求未知边x ，y 的长度和角α的大小.图1－27－69－5解：x ＝632，y ＝27，α＝88°.,7. 如图1－27－69－6，四边形ABCD 与四边形A′B′C′D′相似，且AD ＝BC ，DC ∥AB ，∠A ＝∠B ，∠A′＝65°，A′B′＝6 cm ，AB ＝8 cm ，AD ＝5 cm ，试求：四边形ABCD 各角的度数与A ′D ′，B ′C ′的长.图1－27－69－6解：四边形ABCD 各角的度数分别为∠A ＝65°， ∠B ＝65°，∠C ＝115°，∠D ＝115°，B′C′＝A′D′＝154cm .8. 在一张由打印机打印出来的纸上，一个多边形的一条边由原来的1 cm 变成了4 cm ，那么这个多边形的另一条边由原来4 cm 变成了( C )A . 4 cmB . 8 cmC . 16 cmD . 32 cm ,9. 已知四边形ABCD 和四边形A 1B 1C 1D 1相似，四边形ABCD 的最长边和最短边的长分别是10 cm 和4 cm ，如果四边形A 1B 1C 1D 1的最短边的长是6 cm ，那么四边形A 1B 1C 1D 1的最长边的长是 15 cm .C 组10. 将一个三角形和一个矩形按照如图1－27－69－7的方式扩大，使他们的对应边之间的距离均为1，得到新的三角形和矩形，下列说法正确的是( A )图1－27－69－7A . 新三角形与原三角形相似B . 新矩形与原矩形相似C . 新三角形与原三角形、新矩形与原矩形都相似D. 新三角形与原三角形、新矩形与原矩形都不相似,11. 如图1－27－69－8，已知矩形ABCD 与矩形BCFE 相似，且AD ＝AE ，求AB ∶AD 的值.图1－27－69－8解：依题意，得 AB AD ＝BC BE ，即AB AD ＝AD AB －AD . ∴AB AD ＝1ABAD－1. 解得AB ∶AD ＝1＋52(负值已舍去).第3课时相似三角形的简单性质知识点1：找相似三角形的对应边、对应角【例1】如图1－27－70－1，已知△ADE ∽△ABC ，AD ＝2，BD ＝3. (1)写出这对相似三角形的对应角和对应边的比例式； (2)求△ADE 与△ABC 的相似比.图1－27－70－1解：(1)相似三角形的对应角为∠A 与∠A ，∠ADE 与∠ABC ，∠AED 与∠ACB ；对应边的比例式为AD AB ＝AE AC ＝DEBC .(2)25.1. 如图1－27－70－2，已知△OAB ∽△OCD ，且DC ∥AB ，请写出这对相似三角形的对应角和对应边的比例式.图1－27－70－2解：相似三角形的对应角为∠A 与∠C ，∠B 与∠D ，∠AOB 与∠COD ；对应边的比例式为OA OC ＝OB OD ＝AB CD .知识点2：相似三角形简单性质的直接运用【例2】如图1－27－70－3，已知△ABC ∽△DEF ，求未知边x ，y 的长度.图1－27－70－3解： x ＝6，y ＝72. ,2. 如图1－27－70－4，△ABC 与△DEF 相似，∠B ，∠E 为钝角，求未知边x ，y 的长度.图1－27－70－4解： x ＝12，y ＝7或x ＝967，y ＝647.知识点3：相似三角形简单性质的综合运用【例3】如图1－27－70－5，D ，E 分别是AC ，AB 边上的点，△ADE ∽△ABC ，且DE ＝4，BC ＝12，CD ＝9，AD ＝3，求AE ，BE 的长.图1－27－70－5解：∵△ADE ∽△ABC ， ∴AE AC ＝AD AB ＝DE BC. ∵DE ＝4，BC ＝12，CD ＝9，AD ＝3，∴AC ＝12. ∴AE ＝4，AB ＝9. ∴BE ＝AB －AE ＝5.3. 如图1－27－70－6，AC ＝4，BC ＝6，∠B ＝36°，∠D ＝117°，且△ABC ∽△DAC. (1)求∠BAD 的大小； (2)求DC 的长.图1－27－70－6解：(1)∵△ABC ∽△DAC ， ∴∠DAC ＝∠B ＝36°， ∠BAC ＝∠D ＝117°.∴∠BAD ＝∠BAC ＋∠DAC ＝153°. (2)∵△ABC ∽△DAC ， ∴AC DC ＝BC AC. 又∵AC ＝4，BC ＝6，∴DC ＝83.A 组4. 已知△ABC ∽△A 1B 2C 2，如果∠A ＝40°，那么∠A 1等于( A ) A. 40° B. 80° C. 140° D. 20°,5. 要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为5 cm,6 cm 和9 cm ，另一个三角形的最短边长为2.5 cm ，则它的最长边为( C )A. 3 cmB. 4 cmC. 4.5 cmD. 5 cmB 组6. 如图1－27－70－7，在△ABC 中，点D 在BC 边上，△ABC ∽△DBA . 若BD ＝4，DC ＝5，则AB 的长为 6 .图1－27－70－7,7. 如图1－27－70－8，在正方形网格中有两个相似三角形△ABC 和△DEF ，则∠BAC 的度数为( D )图1－27－70－8A . 105°B . 115°C . 125°D . 135°8. 如图1－27－70－9，已知△ABC ∽△AED ，AD ＝5 cm ，AC ＝10 cm ，AE ＝6 cm ，∠A ＝66°，∠ADE ＝65°，求AB 的长及∠C 的度数.图1－27－70－9解：∵△ABC ∽△AED ，∠ADE ＝65°，∴∠C ＝∠ADE ＝65°，AD AC ＝AEAB.∴510＝6AB. 解得AB ＝12(cm ).,9. 如图1－27－70－10，已知△ABC ∽△DEC ，AC ＝3 cm ，BC ＝4 cm ，CE ＝6 cm ，求AD 的长.图1－27－70－10解：∵△ABC ∽△DEC ， ∴AC DC ＝BC EC. ∵AC ＝3 cm ，BC ＝4 cm ，CE ＝6 cm ， ∴3DC ＝46. ∴DC ＝92(cm ).∴AD ＝3＋92＝152(cm ).C 组10. 如图1－27－70－11，点C ，D 在线段AB 上，△PCD 是等边三角形，且△ACP ∽△PDB .(1)求∠APB 的大小.(2)说明线段AC ，CD ，BD 之间的数量关系.图1－27－70－11解：(1)∵△PCD 是等边三角形， ∴∠PCD ＝60°.∴∠A ＋∠APC ＝60°. ∵△ACP ∽△PDB. ∴∠APC ＝∠PBD. ∴∠A ＋∠B ＝60°. ∴∠APB ＝120°.(2)∵△ACP ∽△PDB ，∴AC PD ＝PCBD.又∵PC ＝PD ＝CD ，∴CD 2＝AC·BD.11. 如图1－27－70－12，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，AB ＝8，AD ＝3，BC ＝4，点P 为AB 边上一动点，若△P AD 与△PBC 是相似三角形，求AP 的长.图1－27－70－12解： ∵AD ∥BC ，∠ABC ＝90°， ∴∠A ＝180°－∠ABC ＝90°. ∴∠PAD ＝∠PBC ＝90°. AB ＝8，AD ＝3，BC ＝4，设AP 的长为x ，则BP 的长为 8－x .若AB 边上存在点P ，使△P AD 与△PBC 相似，则分下列两种情况. ①若△APD ∽△BPC ，则AP ∶BP ＝AD ∶BC ，即x ∶(8－x )＝3∶4.解得x ＝247；②若△APD ∽△BCP ，则AP ∶BC ＝AD ∶BP ，即x ∶4＝3∶(8－x ).解得x ＝2或x ＝6.综上所述，AP ＝247或AP ＝2或AP ＝6.第4课时相似三角形的判定(1)——平行线法知识点1：平行线分线段成比例【例1】如图1－27－71－1，在△ABC 中，DE ∥BC ，若AD AB ＝13，AE ＝1，则EC 等于( B )图1－27－71－1A . 1B . 2C . 3D. 4 ,1. 已知l 1∥l 2∥l 3，直线AB 和CD 分别交l 1，l 2，l 3于点A ，E ，B 和点C ，F ，D. 若AE ＝2，BE ＝4，则CFCD的值为( B )图1－27－71－2A . 12B . 13C . 23 D. 34知识点2：相似三角形的判定——平行线法【例2】如图1－27－71－3，DE 是△ABC 的中位线. 那么△ADE 和△ABC 是否相似？说明理由.图1－27－71－3解：△ADE 和△ABC 相似. 理由如下： ∵DE 是△ABC 的中位线， ∴DE ∥BC.∴△ADE ∽△ABC. ,2. 如图1－27－71－4，已知AB ∥CD ∥EF ，请你找出图中所有的相似三角形.图1－27－71－4解：△AOB ∽△DOC ， △AOB ∽△FOE ，△DOC ∽△FOE.知识点3：相似三角形判定与性质的综合运用【例3】如图1－27－71－5，DE ∥BC ，且AD ＝3，AB ＝5，CE ＝3，求AE 的长.图1－27－71－5解：AE ＝4.5.,3. 如图1－27－71－6，AB 与CD 相交于点O ，AC ∥BD ，AO BO ＝35，AC ＝9，求BD 的长.图1－27－71－6解：BD ＝15.A 组4. 如图1－27－71－7，AD ∥BE ∥CF ，直线m ，n 与这三条平行线分别交于点A ，B ，C 和点D ，E ，F ，已知AB ＝5，BC ＝10，DE ＝4，则EF 的长为( C )图1－27－71－7A . 12B . 9C . 8 D. 4,5. 如图1－27－71－8，AB ∥CD ，AD 与BC 相交于点O ，若AO ＝2，DO ＝4，BO ＝3，则BC 的长为( B )图1－27－71－8A . 6B . 9C . 12D . 15 B 组6. 如图1－27－71－9，已知DE ∥BC ，AE ＝50 cm ，EC ＝30 cm ，BC ＝70 cm ，∠A ＝45°，∠C ＝40°，求：(1)∠AED 和∠ADE 的度数； (2)DE 的长.图1－27－71－9解：(1)∠AED 和∠ADE 的度数分别为40°，95°.(2)DE ＝1754cm.,7. 如图1－27－71－10，在▱ABCD 中，点E 在DC 上，若EC ∶AB ＝2∶3，EF ＝4，求BF 的长.图1－27－71－10解：BF 的长为6. C 组8. 如图1－27－71－11，用三个完全一样的菱形ABGH ，BCFG ，CDEF 拼成平行四边形ADEH ，AE 与BG ，CF 分别交于点P ，Q . 若AB ＝6，求线段BP 的长.图1－27－71－11解：由菱形的性质可知，AD ＝3AB ＝18，DE ＝6. ∵BP ∥DE ，∴△ABP ∽△ADE. ∴BP DE ＝AB AD ，即BP 6＝618. 解得BP ＝2.,9. 如图1－27－71－12，E 是▱ABCD 的边BC 延长线上一点，AE 交CD 于点F ，FG ∥AD 交AB 于点G.(1)填空：图中与△CEF 相似的三角形有 △DAF ，△BEA ，△GFA ；(写出图中与△CEF 相似的所有三角形)(2)从(1)中选出一个三角形，并证明它与△CEF 相似.图1－27－71－12解：(2)略.第5课时相似三角形的判定(2)——三边法和两边及其夹角法知识点1：相似三角形的判定——三边法【例1】如图1－27－72－1，O 为△ABC 内一点，点D ，E ，F 分别为OA ，OB ，OC 的中点，求证：△DEF ∽△ABC.图1－27－72－1证明：∵D ，E ，F 分别是OA ，OB ，OC 的中点，∴DE ＝12AB ，EF ＝12BC ，DF ＝12AC ，即DE AB ＝EF BC ＝DFAC.∴△DEF ∽△ABC.,1. 如图1－27－72－2，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，那么△ABC 与△A 1B 1C 1是否相似？为什么？图1－27－72－2解：相似. 理由如下：∵AB ＝5，AC ＝10，BC ＝5， A 1B 1＝2，A 1C 1＝2，B 1C 1＝10， ∴AB A 1B 1＝102，AC A 1C 1＝102，BC B 1C 1＝102.∴AB A 1B 1＝AC A 1C 1＝BCB 1C 1. ∴△ABC ∽△A 1B 1C 1.知识点2：相似三角形的判定——两边及其夹角法【例2】如图1－27－72－3，D ，E 分别是△ABC 两边AB ，AC 上的点，AD ＝3，BD ＝5，AE ＝4，EC ＝2. △ADE 与△ACB 是否相似，并说明理由.图1－27－72－3解：相似.理由如下：∵AD ＝3，BD ＝5，AE ＝4， EC ＝2， ∴AD AC ＝34＋2＝12，AE AB ＝43＋5＝12. ∴ AD AC ＝AE AB .∵∠A ＝∠A ，∴△AED ∽△ABC.,2. 如图1－27－72－4，AB·AE ＝AD·AC ，且∠1＝∠2，求证：△ABC ∽△ADE.图1－27－72－4证明：∵AB·AE ＝AD·AC ，∴AB AD ＝ACAE.又∵∠1＝∠2，∴∠2＋∠BAE ＝∠1＋∠BAE ，即∠BAC ＝∠DAE. ∴△ABC ∽△ADE.知识点3：相似三角形判定与性质的综合运用【例3】如图1－27－72－5，D 是△ABC 的边AB 上的一点，BD ＝43，AB ＝3，BC ＝2.(1)△BCD 与△BAC 相似吗？请说明理由；(2)若CD ＝53，求AC 的长.图1－27－72－5解：(1)△BCD ∽△BAC. 理由如下：∵BD ＝43，AB ＝3，BC ＝2，∴BD BC ＝432＝23，BC BA ＝23. ∴BD BC ＝BC BA. 而∠DBC ＝∠CBA ，∴△BCD ∽△BAC.(2)∵△BCD ∽△BAC ，∴CD AC ＝BCBA ，即53AC ＝23.∴AC ＝52.,3. 如图1－27－72－6，已知四边形ABCD ，∠B ＝∠ACD ，AB ＝6，BC ＝4，AC ＝5，CD ＝7.5.(1)证明：△ABC ∽△DCA ； (2)求AD 的长.图1－27－72－6(1)证明：∵AB ＝6，BC ＝4，AC ＝5，CD ＝7.5， ∴AB CD ＝BC AC ＝45且∠B ＝∠ACD. ∴△ABC ∽△DCA.(2)解：∵△ABC ∽△DCA ， ∴AC AD ＝BC AC ＝45. ∴5AD ＝45. ∴AD ＝254.A 组4. 如图1－27－72－7，根据所给条件，判断△ABC 和△DBE 是否相似，并说明理由.图1－27－72－7解：△ABC ∽△DBE.理由如下： ∵AC DE ＝BC BE ＝AB DB ＝12， ∴△ABC ∽△DBE.,5. 如图1－27－72－8，AC ＝20，BC ＝10，EC ＝16，CD ＝8，证明：△ABC 和△EDC 相似.图1－27－72－8证明：∵AC EC ＝2016＝54， BC CD ＝108＝54， ∴AC EC ＝BC CD. 又∵∠ACB ＝∠ECD ， ∴△ABC ∽△EDC. B 组6. 如图1－27－72－9，点D ，E ，F 分别是△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点. 求证：△DEF ∽△ABC .图1－27－72－9证明：∵点 D ，E ，F 分别是△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点， ∴EF ，FD ，DE 为△ABC 的中位线.∴EF ＝12BC ，FD ＝12AC ，DE ＝12AB.∴EF BC ＝FD AC ＝DE AB ＝12. ∴△DEF ∽△ABC.,7. 如图1－27－72－10，AD ，BC 交于点O ，AO·DO ＝CO·BO ，求证：△ABO ∽△CDO.图1－27－72－10解：∵AO·DO ＝CO·BO ， ∴AO CO ＝BO DO. 而∠AOB ＝∠COD ， ∴△ABO ∽△CDO.C 组8. 如图1－27－72－11，在正方形ABCD 中，P 是BC 边上的点，BP ＝3PC ，Q 是CD 的中点. 求证：△QCP ∽△ADQ .图1－27－72－11证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴AD ＝CD ＝BC ，∠C ＝∠D ＝90°. ∵BP ＝3PC ，Q 是CD 的中点，∴CP ＝14BC ，CQ ＝DQ ＝12CD .∴CP ∶DQ ＝CQ ∶DA ＝1∶2.∴△QCP ∽△ADQ .,9. 如图1－27－72－12，四边形ABEG ，GEFH ，HFCD 都是边长为a 的正方形，△AEF 与△CEA 相似吗？为什么？图1－27－72－12解：△AEF 与△CEA 相似.理由如下：由勾股定理，得AE ＝AB 2＋BE 2＝2a. ∴AE EF ＝2a a ＝2， EC AE ＝2a 2a ＝ 2. ∴AE EF ＝EC AE. 又∵∠AEF ＝∠CEA ， ∴△AEF ∽△CEA. 第6课时相似三角形的判定(3)——两角法知识点1：相似三角形的判定——两角法【例1】如图1－27－73－1，在△ABC 中，AC ＞AB ，点D 在AC 上(不与A ，C 重合)，∠ABD ＝∠ACB ，求证：△ABD ∽△ACB.图1－27－73－1证明：∵∠BAD ＝∠CAB ，∠ABD ＝∠ACB ， ∴△ABD ∽△ACB.,1. 如图1－27－73－2，DE ∥AB ，AD ∥BC ，求证：△EAD ∽△ACB.图1－27－73－2解：∵DE ∥AB ， ∴∠BAC ＝∠DEA. ∵AD ∥BC ， ∴∠C ＝∠DAE.∴△EAD ∽△ACB.知识点2：相似三角形判定与性质的综合应用【例2】如图1－27－73－3，在△ABC 中，D ，E 分别是边AB ，AC 上一点，且∠AED ＝∠B. 若AE ＝5，AB ＝9，CB ＝6.(1)求证：△AED ∽△ABC ； (2)求DE 的长.图1－27－73－3(1)证明：∵∠AED ＝∠B ，∠A ＝∠A ， ∴△AED ∽△ABC.(2)解：∵△AED ∽△ABC ， ∴AE AB ＝DE CB. ∵AE ＝5，AB ＝9，CB ＝6，∴59＝DE6.解得DE ＝103.∴DE 的长为103.,2. 如图1－27－73－4，AB ，CD 相交于点O ，且∠C ＝∠B ，若AC ＝4 cm ，AO ＝3 cm ，BD ＝8 cm.(1)求证：△AOC ∽△DOB ； (2)求OD 的长.图1－27－73－4(1)证明：∵∠C ＝∠B ，∠AOC ＝∠DOB ，∴△AOC∽△DOB.(2)解：∵△AOC∽△DOB，∴ACDB＝OAOD，即48＝3OD.解得OD＝6(cm).∴OD的长为6 cm.知识点3：圆中的相似三角形【例3】如图1－27－73－5，⊙O的弦AB，CD交于点P，连接AC，BD，求证：△BDP ∽△CAP.图1－27－73－5证明：∵∠A与∠D都为所对的圆周角，∠B与∠C都为所对的圆周角，∴∠A＝∠D，∠B＝∠C.∴△BDP∽△CAP.,3. 如图1－27－73－6，延长圆内接四边形ABCD的边AD和边BC，相交于点E，求证：△ABE∽△CDE.图1－27－73－6解：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠ADC＋∠B＝180°.又∵∠ADC＋∠EDC＝180°，∴∠B＝∠EDC.∵∠E＝∠E，∴△ABE∽△CDE.A组4. 如图1－27－73－7，AB∥DE，AC∥DF，点B，E，C，F在一条直线上，求证：△ABC∽△DEF.图1－27－73－7证明：∵AB∥DE，AC∥DF，∴∠B ＝∠DEF ，∠ACB ＝∠F. ∴△ABC ∽△DEF.,5. 如图1－27－73－8，在△ABC 中，∠A ＝30°，∠C ＝90°，BD 平分∠ABC. 求证：△ABC ∽△BDC.图1－27－73－8证明：∵∠A ＝30°，∠C ＝90°， ∴∠ABC ＝90°－30°＝60°. ∵BD 平分∠ABC ，∴∠DBC ＝12∠ABC ＝30°.∴∠A ＝∠DBC. 又∵∠C ＝∠C ， ∴△ABC ∽△BDC. B 组6. 如图1－27－73－9，在△ABC 和△ADE 中，∠BAD ＝∠CAE ，∠B ＝∠D. (1)△ABC 与△ADE 相似吗？为什么？(2)已知AB ＝2AD ，BC ＝8 cm ，求DE 的长.图1－27－73－9解：(1)△ABC ∽△ADE.理由如下：∵在△ABC 和△ADE 中，∠BAD ＝∠CAE ，∴∠BAD ＋∠DAC ＝∠CAE ＋∠DAC ，即∠BAC ＝∠DAE. 又∵∠B ＝∠D ，∴△ABC ∽△ADE.(2)由(1)知，△ABC ∽△ADE ，则AB AD ＝BCDE .∵AB ＝2AD ，BC ＝8 cm ，∴2AD AD ＝8DE.解得DE ＝4(cm )，即DE 的长是4 cm . ,7. 如图1－27－73－10，Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的高. 求证： (1)△ACD ∽△ABC ；(2)△CBD ∽△ABC .图1－27－73－10证明：(1)∵CD 是斜边AB 上的高， ∴∠ADC ＝90°. ∴∠ADC ＝∠ACB. ∵∠A ＝∠A ， ∴△ACD ∽△ABC.(2)∵CD 是斜边AB 上的高， ∴∠BDC ＝90°. ∴∠BDC ＝∠ACB. ∵∠B ＝∠B ，∴△CBD ∽△ABC. C 组8. 如图1－27－73－11，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝36°，BD 是∠ABC 的角平分线. (1)△ABC 与△BDC 相似吗？请说明理由； (2)求证：AD 2＝AB ·CD .图1－27－73－11(1)解：相似. 理由如下： ∵在△ABC 中，AB ＝AC ， ∠A ＝36°，∴∠ABC ＝180°－36°2＝72°.∵BD 是∠ABC 的角平分线，∴∠CBD ＝12∠ABC ＝36°.∴∠CBD ＝∠A .又∵∠C ＝∠C ， ∴△ABC ∽△BDC . (2)证明：∵△ABC ∽△BDC ， ∴BC DC ＝ACBC. ∴BC 2＝AC ·CD . 由题意，可得BC ＝BD ＝AD . 又∵AB ＝AC ，∴AD 2＝AB ·CD .,9. 如图1－27－73－12，△ABC 内接于⊙O ，∠BAC 的平分线分别交⊙O ，BC 于点D ，E ，连接BD .(1)求证：△ABD ∽△AEC ；(2)试写出图中其他各对相似三角形.图1－27－73－12(1)证明：∵AD 平分∠BAC ， ∴∠BAD ＝∠DAC. ∵∠D ＝∠C ， ∴△ABD ∽△AEC.(2)解：△AEC ∽△BED ， △BED ∽△ABD.第7课时相似三角形的简单性质与判定的综合习题课知识点1：求线段的长【例1】如图1－27－74－1，AD 与BC 交于O 点，∠A ＝∠C ，AO ＝4，CO ＝2，CD ＝3，求AB 的长.图1－27－74－1解：∵∠A ＝∠C ， ∠AOB ＝∠COD ， ∴△AOB ∽△COD. ∴AB CD ＝AO CO ，即AB 3＝42. ∴AB ＝6. ,1. 如图1－27－74－2，在△ABC 中，点D 在AB 边上，∠ABC ＝∠ACD ， AD ＝2，AB ＝5. 求AC 的长.图1－27－74－2解：∵∠ABC ＝∠ACD ， ∠A ＝∠A ，∴△ABC ∽△ACD.AD AC∵AD ＝2，AB ＝5， ∴AC 2＝5AC .∴AC ＝10.知识点2：证明角相等【例2】如图1－27－74－3，在△ABC 中，点D ，E 分别在AC ，AB 上，已知AE·AB ＝AD·AC ，求证：∠B ＝∠ADE.图1－27－74－3解：∵AE·AB ＝AD·AC ，∴AE AC ＝AD AB . ∵∠A ＝∠A ， ∴△ADE ∽△ABC.∴∠B ＝∠ADE. ,2. 如图1－27－74－4，在△ABC 中，D ，E 分别为BC 边上的两点，且AC AD ＝AB DE ＝BCAE，求证：∠B ＝∠AEB.图1－27－74－4证明：∵AC AD ＝AB DE ＝BC AE， ∴△ABC ∽△DEA. ∴∠B ＝∠AED.知识点3：证明等比式【例3】如图1－27－74－5，已知CD ⊥AB ，BE ⊥AC ，证明：AD AE ＝ACAB.图1－27－74－5解：∵CD ⊥AB ，BE ⊥AC ， ∴∠ADC ＝∠AEB ＝90°. ∵∠A ＝∠A ， ∴△ADC ∽△AEB .AE AB,3. 如图1－27－74－6，在平行四边形ABCD 中，F 为AD 上一点，CF 的延长线交BA延长线于点E . 求证：DC BE ＝DFBC.图1－27－74－6证明：∵四边形ABCD 为平行四边形， ∴∠B ＝∠D ，BE ∥CD. ∴∠E ＝∠ECD. ∴△DCF ∽△BEC. ∴DC BE ＝DFBC .知识点4：证明等积式【例4】如图1－27－74－7，在△ABC 中，∠ADE ＝∠ABC ，BD ，CE 交于点O. 求证：AE·AB ＝AD·AC.图1－27－74－7证明：∵∠A ＝∠A ，∠ADE ＝∠ABC ， ∴△ADE ∽△ABC.∴ AE AC ＝AD AB . ∴AE·AB ＝AD·AC.,4. 如图1－27－74－8，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 是斜边AB 上的高，证明：AC 2＝AB ·AD .图1－27－74－8证明：∵在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 是斜边AB 上的高， ∴∠ADC ＝∠ACB ＝90°. ∵∠A ＝∠A ，∴△ACD ∽∠ABC . ∴AC AB ＝AD AC . ∴AC 2＝AB ·AD .知识点5：证明线段平行或垂直【例5】如图1－27－74－9，AB 与CD 相交于点O ，OA ＝3，OB ＝5，OD ＝6，OC ＝185.求证：AC ∥BD .图1－27－74－9证明：∵OA ＝3，OB ＝5，OD ＝6，OC ＝185，∴OA OB ＝OC OD ＝35. 而∠AOC ＝∠BOD ， ∴△AOC ∽△BOD. ∴∠A ＝∠B. ∴AC ∥BD.,5. 如图1－27－74－10，在△ABC 中，∠C ＝90°，D ，E 分别为AB ，BC 上的点，且BD·AB ＝BE·BC. 求证：DE ⊥AB.图1－27－74－10证明：∵BD·AB ＝BE·BC ，∴BD BC ＝BE BA. 又∵∠DBE ＝∠CBA ， ∴△BDE ∽△BCA. ∴∠BDE ＝∠C ＝90°，即DE ⊥AB .知识点6：圆中的相似三角形【例6】如图1－27－74－11，点A ，B ，C ，D 为⊙O 上的四个点，，AC 交BD 于点E ，CE ＝4，CD ＝6.(1)求证：△CDE ∽△CAD ； (2)求AE 的长.图1－27－74－11(1)证明：∵， ∴∠BAC ＝∠CAD ＝∠CDE. ∵∠ACD ＝∠DCE ， ∴△CDE ∽△CAD.(2)解：∵△CDE ∽△CAD ， ∴CE CD ＝CD CA ，即46＝6CA . 解得CA ＝9.∴AE ＝AC －CE ＝9－4＝5.,6. 如图1－27－74－12，AB 是⊙O 的直径，PB 与⊙O 相切于点B ，连接PA 交⊙O 于点C ，连接BC.(1)求证：∠BAC ＝∠CBP ； (2)求证：PB 2＝PA·PC.图1－27－74－12证明：(1)∵AB 是⊙O 的直径，PB 与⊙O 相切于点B ， ∴∠ACB ＝∠ABP ＝90°.∴∠BAC ＋∠ABC ＝∠ABC ＋∠CBP ＝90°. ∴∠BAC ＝∠CBP.(2)∵∠ABP ＝∠PCB ＝90°，∠P ＝∠P ， ∴△ABP ∽△BCP . ∴PB P A ＝PC PB . ∴PB 2＝P A ·PC .A 组7. 如图1－27－74－13，在△ABC 中，DE ∥BC ，DE BC ＝25，AD ＝4，求BD 的长度.图1－27－74－13解：BD ＝6.,8. 如图1－27－74－14，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10，AC ＝8，E 是AC 上一点，AE ＝5，ED ⊥AB ，垂足为D . 求BD 的长.图1－27－74－14解：BD ＝6.B 组9. 如图1－27－74－15，AB 是⊙O 的直径，CD ⊥AB 于点D ，AD ＝9 cm ，DB ＝4 cm ，求CD 和AC 的长.图1－27－74－15解：如答图27－74－1，连接BC. ∵AB 是⊙O 的直径，CD ⊥AB ，可得△ADC ∽△CDB ，△ADC ∽△ACB.由△ADC ∽△CDB ，得CD BD ＝ADCD，即CD 2＝AD·DB ＝36. 解得CD ＝6(cm).答图27－74－1由△ADC ∽△ACB ，得AC AB ＝ADAC，即AC 2＝AB·AD ＝117. 解得AC ＝313(cm ).∴CD 的长为6 cm ，AC 的长为313 cm. ,10. 如图1－27－74－16，AD 是△ABC 的高，AE 是⊙O 的直径，且△ABC 三个顶点都在⊙O 上，求证：AB ·AC ＝AE ·AD .图1－27－74－16证明：如答图27－74－2，连接CE. 由圆周角定理可知，∠B ＝∠E. ∵∠ADB ＝∠ACE ＝90°， ∠B ＝∠E ，∴△ADB ∽△ACE .答图27－74－2∴AB ∶AE ＝AD ∶AC. ∴AB·AC ＝AE·AD.C 组11. 如图1－27－74－17，边长为4的等边三角形ABC 中，D ，E 分别为AC ，BC 上的点(D ，E 与顶点不重合)，∠BDE ＝60°.(1)求证：△ABD ∽△CDE ；(2)设CD ＝x ，BE ＝y ，求y 与x 的函数关系式，并求y 的最小值.图1－27－74－17(1)证明：∵△ABC 是等边三角形， ∴∠A ＝∠C ＝60°. ∵∠BDE ＝60°，∴∠ADB ＋∠CDE ＝120°. ∵∠ABD ＋∠ADB ＝120°， ∴∠ABD ＝∠CDE. ∵∠A ＝∠C ， ∴△ABD ∽△CDE.(2)解：∵△ABD ∽△CDE ，∴AD CE ＝ABCD.∴CE ＝x(4－x)4 ＝－14x 2＋x.∴y ＝4－CE ＝14x 2－x ＋4.∵y ＝14(x －2)2＋3，∴y 的最小值为3. ,12. 如图1－27－74－18，在△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝16 cm ，AC ＝12 cm ，点P 从点B 出发，沿BC 以2 cm /s 的速度向点C 移动；点Q 从点C 出发，以1 cm /s 的速度向点A 移动.若点P ，Q 分别从点B ，C 同时出发，设运动时间为t s ，当t 为何值时，△CPQ 与△CBA 相似？图1－27－74－18解：分以下两种情况.①当CP 和CB 是对应边时，△CPQ ∽△CBA ，∴CP CB ＝CQCA ，即16－2t 16＝t 12. 解得t ＝4.8；②当CP 和CA 是对应边时， △CPQ ∽△CAB ，∴CP CA ＝CQCB ，即16－2t 12＝t 16. 解得t ＝6411.综上所述，当t ＝4.8 s 或6411s 时，△CPQ 与△CBA 相似.第8课时相似三角形的周长和面积知识点1：相似三角形周长的比等于相似比【例1】在一张由复印机复印出来的纸上，一个多边形的一条边的长由原来的1 cm 变成4 cm ，那么它的周长由原来的3 cm 变成( B )A . 6 cmB . 12 cmC . 24 cmD . 48 cm ,1. 如果两个相似三角形的周长的比为1∶4，那么这两个三角形的相似比为( B ) A . 1∶2 B . 1∶4 C . 1∶8 D . 1∶16知识点2：相似三角形对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线)的比等于相似比【例2】如果两个相似三角形对应边之比是1∶4，那么它们的对应中线之比是( B ) A . 1∶2 B . 1∶4 C . 1∶8 D . 1∶16,2. 若△ABC ∽△DEF ，且相似比为2∶3，则它们对应边上的高之比为( A )A . 2∶3B . 4∶9C . 3∶5D . 9∶4知识点3：相似三角形面积的比等于相似比的平方【例3】已知△ABC ∽△DEF ，且相似比为1∶2，则△ABC 与△DEF 的面积比为( A ) A . 1∶4 B . 4∶1C . 1∶2D . 2∶1,3. 如图1－27－75－1，已知△ADE ∽△ABC ，且AD ∶DB ＝2∶1，则S △ADE ∶S △ABC＝( D )图1－27－75－1A . 2∶1B . 4∶1C . 2∶3D . 4∶9知识点4：利用相似三角形周长和面积的性质计算【例4】如图1－27－75－2，已知DB ＝2AD ，EC ＝2AE. (1)求证：△ADE ∽△ABC ；(2)若△ABC 的周长为27 cm ，求△ADE 的周长.图1－27－75－2解：(1)证明略.(2)△ADE 的周长为9 cm.,4. 如图1－27－75－3，在△ABC 中，DE ∥BC ，AD BD ＝32，S △ABC ＝25.(1)求证：△ADE ∽△ABC ； (2)求S △ADE 和S 四边形DBCE 的值.图1－27－75－3解：(1)证明略.(2)S △ADE ＝9，S 四边形DBCE ＝16.A 组5. 如果两个相似三角形对应边之比是1∶3，那么它们的对应中线之比是( A ) A. 1∶3 B. 1∶4 C. 1∶6 D. 1∶9,6. 如图1－27－75－4，已知△ABC ∽△DEF ，AB ∶DE ＝1∶2，则下列等式一定成立的是( D )图1－27－75－4A .BC DF ＝12B . ∠A 的度数∠D 的度数＝12C . △ABC 的面积△DEF 的面积＝12D . △ABC 的周长△DEF 的周长＝12B 组7. 若相似三角形△ABC 和△A′B′C′的面积比为1∶4，则它们的相似比为( C ) A . 1∶4 B . 1∶3C . 1∶2D . 1∶1,8. 如图1－27－75－5，在△ABC 中，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，且AE AB ＝AD AC ＝12，则S △ADE ∶S 四边形BCED ＝( C )图1－27－75－5A . 1∶3B . 1∶2C . 1∶3D . 1∶49. 已知△ABC ∽△A′B′C′，AD 是△ABC 的中线，A′D′是△A′B′C′的中线，若AD A′D′＝12，且△ABC 的周长为20 cm ，求△A′B′C′的周长.解：△A′B′C′的周长是40 cm .10. 已知△ABC 的三边长分别为5,12,13，与其相似的△A′B′C′的最大边长为26，求△A′B′C′的面积.解：△A′B′C′的面积是120.C 组11. 如图1－27－75－6，在△ABC 中，DE ∥BC ，S 1表示△ADE 的面积，S 2表示四边形DBCE 的面积，若D 是AB 边的中点，则S 1∶S 2＝ 1∶3 ；若S 1＝S 2，则AD ∶AB ＝ 22.图1－27－75－6,12. 如图1－27－75－7，在矩形ABCD 中，以对角线BD 为一边构造一个矩形BDEF ，使得另一边EF 过原矩形的顶点C.(1)设Rt △CBD 的面积为S 1，Rt △BFC 的面积为S 2，Rt △DCE 的面积为S 3，则S 1 ＝ S 2＋S 3；(填“＞”“＝”或“＜”)(2)若CE ＝3，DE ＝4，求S 2的值.图1－27－75－7解：(2)S 2＝323.第9课时相似三角形的应用举例(1)——高度与河宽问题知识点1：利用相似测量物体的高度【例1】如图1－27－76－1，利用标杆BE 测量建筑物的高度. 已知标杆BE 高1.2 m ，测得AB ＝1.6 m ，BC ＝12.4 m. 求建筑物CD 的高.图1－27－76－1解：建筑物CD 的高是10.5 m . ,1. 图1－27－76－2是小明测量某古城墙高度的示意图，点P 处放一水平的平面镜，然后，后退至点B ，从点A 经平面镜刚好看到古城墙CD 的顶端C 处，已知AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，且测得AB ＝1.2 m ，BP ＝1.8 m ，PD ＝12 m ，求该古城墙的高度.图1－27－76－2解：该古城墙的高度是8 m .知识点2：利用相似测量河的宽度(测量距离)【例2】如图1－27－76－3，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一点A ，再在河岸的另一边选定点B 和点C ，使得AB ⊥BC ，然后选定点E ，使EC ⊥BC ，确定BC 与AE 的交点为点D ，若测得BD ＝180 m ，DC ＝60 m ，EC ＝50 m ，你能知道小河的宽是多少吗？图1－27－76－3解：由题意，可知△ABD ∽△ECD ， ∴AB EC ＝BD CD ，即AB 50＝18060. ∴AB ＝150(m ).∴小河的宽是150 m .,2. 如图1－27－76－4，为了估计河的宽度，我们在河对岸选定了一个目标点O ，在近岸取点A ，C 使O ，A ，C 三点共线，且线段OC 与河岸垂直，接着在过点C 且与OC 垂直的直线上选择适当的点D ，使OD 与近岸所在的直线交于点B. 若测得AC ＝30 m ，CD ＝120 m ，AB ＝40 m ，求河的宽度OA .图1－27－76－4解：∵AB ⊥OC ，CD ⊥OC ， ∴AB ∥CD.∴△OAB ∽△OCD. ∴OA OC ＝AB CD ，即OA OA ＋30＝40120. ∴OA ＝15(m ).故河的宽度OA 为15 m.A 组3. 已知某一旗杆的影子长6 m ，同时测得旗杆顶端到其影子顶端的距离是10 m ，如果此时附近的一棵小树影子长3 m ，那么小树高是( A )A. 4 mB. 5 mC. 8 mD. 20 m,4. 如图1－27－76－5，A ，B 两点被池塘隔开，在AB 外取一点C ，连接AC ，BC ，在AC 上取一点E ，使AE ＝3EC ，作EF ∥AB 交BC 于点F ，量得EF ＝6 m ，则AB 的长为 24 m .图1－27－76－5B 组5. 如图1－27－76－6，小明家的窗口面对大楼，相距AB ＝80 m ，窗高CD ＝1.2 m ，小明从窗口后退2 m ，眼睛从点O 处恰好能看到楼顶M 和楼底N ，求大楼的高度.图1－27－76－6解：由题意，知AB ＝80 m ，CD ＝1.2 m ，OA ＝2 m ， ∵CD ∥MN ，∴△OCD ∽△OMN. ∴CD MN ＝OA OB ，即1.2MN ＝22＋80. ∴MN ＝49.2(m ).答：大楼的高度为49.2 m .,6. 如图1－27－76－7，小明为了测量楼MN 的高度，在离MN20 m 的A 处放了一块平面镜，小明沿NA 后退到点C ，正好从镜中看到楼顶M ，若AC ＝2 m ，小明的眼睛离地面的高度BC 为1.8 m ，请你帮助小明计算一下楼房的高度.图1－27－76－7解：∵BC ⊥CA ，MN ⊥AN ， ∴∠C ＝∠N ＝90°.根据题意，可知∠BAC ＝∠MAN ， ∴△BCA ∽△MNA. ∴BC MN ＝AC AN . ∴1.8MN ＝220. 解得MN ＝18(m ). ∴楼房的高度为18 m .C 组7. 如图1－27－76－8，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF 测量树的高度AB ，他调整自己的位置，设法使斜边DF 保持水平，并且边DE 与点B 在同一直线上. 已知纸板的两条边DF ＝50 cm ，EF ＝30 cm ，测得边DF 离地面的高度AC ＝1.5 m ，CD ＝20 m ，求树高AB .图1－27－76－8解：∵∠DEF ＝∠DCB ＝90°，∠D ＝∠D ， ∴△DEF ∽△DCB. ∴BC EF ＝DC DE. ∵DF ＝50 cm ＝0.5 m ，EF ＝30 cm ＝0.3 m ，AC ＝1.5 m ，CD ＝20 m ， ∴由勾股定理求得DE ＝0.4 m . ∴BC 0.3＝200.4. ∴BC ＝15(m ).∴AB ＝AC ＋BC ＝1.5＋15＝16.5(m ).,8. 如图1－27－76－9，李华晚上在两根相距40 m 的路灯杆下来回散步，已知李华身高AB ＝1.6 m ，灯柱CD ＝EF ＝8 m .(1)若李华距灯柱CD 的距离DB ＝16 m 时，求他的影子BQ 的长； (2)若李华的影子PB ＝5 m ，求李华距灯柱EF 的距离.图1－27－76－9解：(1)∵AB ∥CD ，∴△ABQ ∽△CDQ. ∴AB CD ＝BQ DQ ，即1.68＝BQ 16＋BQ . ∴BQ ＝4(m ). ∴他的影子BQ 的长为4 m .(2)∵AB ∥EF ，∴△ABP ∽△EFP. ∴AB EF ＝PB PF ，即1.68＝5PF . ∴PF ＝25(m ). ∴BF ＝PF －PB ＝20 m .∴李华距灯柱EF 的距离是20 m .第10课时相似三角形的应用举例(2)——盲区及其他问题知识点1：作辅助线构造相似三角形解决实际问题【例1】如图1－27－77－1，一位同学在某一时刻测得直立的标杆高为1 m 时，影长为1.2 m ，他立即又测量建筑物的影子，因建筑物AB 靠近另一个建筑物CE ，所以AB 的影子没有完全落在地上，一部分影子落在墙上，他测得地上部分的影子长BC 为7.2 m ，又测得墙上部分的影子高CD 为1.2 m ，请你帮他计算建筑物AB 的高度.图1－27－77－1解：如答图27－77－1，过点D 作DH ⊥AB 于点H ，则DH ＝BC ＝7.2 m ，BH ＝CD ＝1.2 m .∵在某一时刻测得直立的标杆高为1 m 时，影长为1.2 m ，答图27－77－1∴AH HD ＝11.2，即AH 7.2＝11.2. ∴AH ＝6.∴AB ＝AH ＋BH ＝6＋1.2＝ 7.2(m ).答：建筑物AB 的高度为7.2 m . ,1. 如图1－27－77－2，现要测量旗杆的高CD ，在B 处立一标杆AB ＝2.5 cm ，人在F 处，眼睛为E.标杆顶点A 、旗杆顶点C 在一条直线上. 已知BD ＝3.6 m ，FB ＝2.2 m ，EF ＝1.5 m. 求旗杆的高度.图1－27－77－2解：如答图27－77－2，过点E 作EH ∥FD 分别交AB ，CD 于点G ，H. ∵EF ∥AB ∥CD ， ∴EF ＝GB ＝HD.∴AG ＝AB －GB ＝2.5－1.5＝ 1(m )，EG ＝FB ＝2.2(m )，GH ＝BD ＝3.6(m)，CH ＝CD －1.5.答图27－77－2又∵AG CH ＝EG EH ，∴1CD －1.5＝2.25.8. ∴CD ＝4322(m ).∴旗杆的高度为4322m .知识点2：运用“相似三角形对应高的比等于相似比”解决实际问题【例2】如图1－27－77－3是一个照相机成像的示意图，如果底片AB 宽40 mm ，焦距是60 mm ，求所拍摄的2 m 外的景物的宽CD .图1－27－77－3解：CD ＝43m .,2. 如图1－27－77－4是步枪在瞄准时的示意图，从眼睛到准星的距离OE 为80 cm ，步枪上的准星宽度AB 为0.2 cm ，目标的正面宽度CD 为50 cm ，求眼睛到目标的距离OF .图1－27－77－4解：眼睛到目标的距离为200 m.A 组3. 如图1－27－77－5是一个照相机成像的示意图. 如果像高MN 是35 mm ，焦距是50mm ，拍摄的景物高度AB 是4.9 m ，那么拍摄点L 离景物有 7 m.,图1－27－77－54. 如图1－27－77－6，放映幻灯片时，通过光源，把幻灯片上的图形放大到屏幕上. 若光源到幻灯片的距离为30 cm ，到屏幕的距离为90 cm ，且幻灯片中的图形的高度为7 cm ，则屏幕上图形的高度为( C )图1－27－77－6 A . 6 cm B . 12 cm C . 21 cm D . 24 cmB 组5. 如图1－27－77－7，一条河的两岸有一段是平行的，在河的南岸边每隔5 m 有一棵树，在河的北岸边每隔50 m 有一根电线杆，小丽站在离南岸15 m 的点P 处看北岸，发现北岸相邻的两根电线杆恰好被南岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有四棵树，求河的宽度.图1－27－77－7解：如答图27－77－3，过点P 作PF ⊥AB ，交CD 于点E ，交AB 于点F ，设河宽为x m.答图27－77－3∵AB ∥CD ，∴△PDC ∽△PBA. ∴PF PE ＝AB CD . ∴15＋x 15＝5025.解得x ＝15.答：河的宽度为15 m .6. 如图1－27－77－8，有一路灯杆AB(底部B 不能直接到达)，在灯光下，小华在点D 处测得自己的影长DF ＝3 m ，沿BD 方向到达点F 处再测得自己的影长FG ＝4 m . 如果小华的身高为1.5 m ，求路灯杆AB 的高度.图1－27－77－8解：∵CD ∥EF ∥AB ， ∴△CDF ∽△ABF ， △EFG ∽△ABG . ∴CD AB ＝DF BF ，FE AB ＝FG BG. 又∵CD ＝EF ，∴DF BF ＝FGBG.∵DF ＝3 m ，FG ＝4 m ，BF ＝BD ＋3，BG ＝BD ＋7，∴3BD ＋3＝4BD ＋7. 解得BD ＝9(m ). ∴BF ＝12(m ). 由CD AB ＝DF BF ，得1.5AB ＝312.解得AB ＝6(m ). 则路灯杆AB 的高度是6 m . C 组7. 如图1－27－77－9，要在一块△ABC 的纸片上截取正方形DEFG 模型. 其中，G ，F 在BC 边上，D ，E 分别在AB ，AC 边上，AH ⊥BC 交DE 于点M ，若BC ＝12 cm ，AH ＝8 cm ，求正方形DEFG 的边长.图1－27－77－9解：设正方形边长为x cm .由相似可得DE BC ＝AMAH，∵BC ＝12 cm ，AH ＝8 cm ， AM ＝(8－x)cm ， ∴x 12＝8－x 8.解得x ＝4.8. ∴正方形的边长是4.8 cm . ,8. 如图1－27－77－10，△ABC 是一块锐角三角形余料，边BC ＝120 mm ，高AD ＝80 mm ，要把它加工成长方形零件PQMN ，使长方形PQMN 的边QM 在BC 边上，其余两个顶点P ，N 分别在AB ，AC 边上，求这个长方形零件PQMN 的面积S 的最大值.图1－27－77－10解：设长方形零件PQMN 的边PN ＝a ，PQ ＝x ，则AE ＝80－x. ∵PN ∥BC ，∴△APN ∽△ABC. ∴PN BC ＝AE AD. ∴a 120＝80－x 80. 解得a ＝120－32x. 所以长方形PQMN 的面积S ＝xa ＝x ⎝⎛⎭⎫120－32x ＝－32x 2＋120x ＝－32(x －40)2＋2 400. 当x ＝40时，S 值最大，S 最大值＝2 400(mm 2).∴这个长方形零件PQMN 的面积S 的最大值是2 400 mm 2.第11课时位似知识点1：位似图形及其性质【例1】若两个图形位似，则下列叙述不正确的是( C ) A . 每对对应点所在的直线相交于同一点 B . 两个图形上的对应线段之比等于相似比 C . 两个图形上的对应线段必平行D . 两个图形的面积比等于相似比的平方 ,1. 下列关于位似图形的4个表述：①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形；②位似图形一定有位似中心；③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么，这两个图形是位似图形；④位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于相似比. 正确的有( B )A . 1个B . 2个C . 3个 D. 4个知识点2：位似图形的画法【例2】如图1－27－78－1，以点O 为位似中心，把△ABC 缩小为原来的13.。

人教版数学九年级下册第二十七章相似导学案

27.1图形的相像学习目标、要点、难点【学习目标】1．理解并掌握两个图形相像的观点；认识成比率线段的观点，会确立线段的比.2．知道相像多边形的主要特点，即：相像多边形的对应角相等，对应边的比相等；会依据相似多边形的特点辨别两个多边形能否相像，并会运用其性质进行有关的计算．【要点难点】1．相像图形的观点与成比率线段的观点；相像多边形的主要特点与辨别．2．成比率线段观点；运用相像多边形的特点进行有关的计算．知识概览图相像多边形的特点：对应角相等，对应边的比相等图形的相像判断两个多边形相像：对应角相等，对应边的比相等比率线段：有四条线段，此中两条线段的比与另两条线段的比相等，称这四条线段是比率线段新课导引【生活链接】以以下图所示，实用同一张底片洗出的不一样尺寸的照片，也有一辆汽车和它的模型，这些都给我们以形状同样的图形的形象．【问题研究】这类形状同样的图形叫做相像图形，两个图形相像，此中一个图形能够看作是由另一个图形放大或减小获得的．那么相像的图形拥有哪些性质呢?教材精髓知识点 1相像图形我们把形状同样的图形叫做相像图形．两个图形相像，此中一个图形能够看作是由另一个图形放大或减小获得的．比如：如图27－1 所示的几组图形都是形状同样、大小不一样的图形，所以这几组图形分别都是相像图形．1当两个图形的形状同样、大小也同样时，这两个图形也是相像图形，它们是特别的相像图形：全等形．比如：如图 27－ 2 所示，△ ABC 与△ A ′B ′C ′的形状同样，而且大小也同样，所以这两个三角形相像，而且这两个三角形全等．拓展所谓“形状同样”，就是与图形的大小、地点没关，与摆放角度、摆放方向也没关．有些图形之间固然只有很小的差别，但也不可以以为是“形状同样”．知识点 2比率线段对于四条线段 a ，b ，c ，d ，假如此中两条线段的比 ( 即它们长度的比 ) 与另两条线段的比相等，如 a c b d( 即 ab ＝ bc) ，我们就说这四条线段是成比率线段，简称比率线段．(1) 式子ac也能够写成 a ： b=c ：d ，往常这里的 a 叫做第一比率项， b 叫做第二比率项， cb d叫做第三比率项， d 叫做第四比率项．(2) 有时在 ac 中，＝，比如： 4 6，的比率中项，此时 b 2 ad ． b d b c6 9，这时我们把 b 叫做 a d(3) 在式子ac的两边同时乘以，得＝ cb ，在与比率有关的计算中，我们常经过上述变bdbdad形转变字母之间的关系．拓展往常状况下，四条线段 a ，b ，c ，d 的单位应当一致，但有时为了计算方便，a ，b 的单位一致， c ，d 的单位一致也能够．知识点 3相像多边形对应边成比率，对应角相等的两个多边形叫做相像多边形．拓展在多边形中，只有当“对应边成比率”、 “对应角相等”这两个条件同时成即刻，才能说明两个多边形是相像多边形．知识点 4相像多边形的性质相像多边形的对应角相等，对应边的比相等．比如：若△ ABC 与△ A ′B ′C ′相像，则∠ A ＝∠ A ′，∠B ＝∠ B ′，∠ C ＝∠ C ′，ABACBC.2知识点 5相像比相像多边形对应边的比称为相像比．拓展相像多边形面积的比等于相像比的平方．规律方法小结(1) 相像的两个图形之间大小、方向、地点能够同样，也能够不一样，但它们的形状一定同样．如：两张大小不一样的世界地图或中国地图；两面大小不一样的中国国旗；同一底片、尺寸不一样的两张照片．有些图形之间很相像，但不相像，如：哈哈镜中人的形象与自己不相像；阴历十五夜晚的月亮与十六夜晚的月亮固然很相像，但其实不相像．(2)学习本节知识时要充足运用转变思想，即把求证的线段之间的关系转变为易证、易求的线段间的另一种关系，同时，对于给出两条线段的比而没有指明两条线段的大小关系时，要分类议论．研究沟通当相像比为 1 时，相像的两个图形之间有什么关系 ?点拨相像比为 1 的两个图形是全等形．讲堂检测基本观点题1、以下多边形中，必定相像的是( )A．两个矩形B．两个菱形C．两个正方形D．两个平行四边形2、以下命题中，正确的选项是( )A．相像多边形是全等多边形B．不全等的多边形不是相像多边形C．全等多边形是相像多边形D．不相像的多边形可能是全等多边形3、假如线段 a 是线段 b、线段 c 的比率中项， b＝3，c＝12，那么线段 a 的长是多少 ?基础知识应用题4、假如两地的实质距离为750m，图上距离为 5 cm, 那么这张图的比率尺是多少?5、已知四边形 ABCD与四边形 A′B′C′D′相像，且 AB：BC：CD：DA＝20： 15：9：8，四边形 A′ B′ C′ D′的周长为 26，求四边形 A′B′C′D，的各边长．综合应用题6、等腰梯形 ABCD与等腰梯形 A′B′C′D′，相像，AD＝BC，∠A＝65°，AB＝8 cm，A′ B′＝ 6 cm，AD＝ 5 cm，求 A′D′的长及梯形 A′B′C′D′各内角的度数．7、已知同样时辰的物高与影长成比率，假如高为 1.5 m 的竹竿的影长为 2.5 m ，那么影长为30 m 的旗杆的高度为( )A． 20 m B．16 mC． 18 m D．15 m研究与创新题8、已知线段AB＝8，C为线段AB的黄金切割点，求A C: BC的值．体验中考在同一时辰，身高为1．6 米的小强在阳光下的影长为0．8 米，一棵大树的影长为4．8 米，则这棵树的高度为( )A ．4．8 米B．6．4 米C ．9．6 米D．10 米学后反省附：讲堂检测及体验中考答案讲堂检测1、剖析依据相像多边形的定义，两个矩形只知足对应角相等，而对应边不必定成比率；两个菱形只知足对应边成比率，而对应角也不必定相等；两个正方形的对应边成比率，对应角都是90°，必定相像；两个平行四边形的对应边不必定成比率，对应角也不必定相等．应选 C.【解题策略】判断两个多边形能否相像，一定同时具备对应角相等、对应边的比相等，这两个条件缺一不行．2、剖析全等多边形是特别的相像多边形．应选 C.【解题策略】假如两个多边形全等，则必定相像，可是假如两个多边形相像，则不必定全等．3、剖析四条线段 a，b，c，d 是成比率线段，若第二比率项和第三比率项是两条同样的线段，即 a： b＝ b：c，则把 b 叫做 a 和 c 的比率中项．将 a：b＝ c： d 变形，可获得 bc＝ ad，当 a：b＝b c 时，有 b2＝ac．:解：∵a是 b，c 的比率中项，且 b＝， c＝，312∴a2＝bc＝ 3× 12＝36，∴ a＝± 6．∵ a 是线段，∴线段 a 的长是．6【解题策略】假如线段 a 是线段 b ， c 的比率中项，那么 a 2 =bc ． ( 此中 a ，b ，c 均为正数 )4、剖析图的比率尺是一种比率关系，是图上距离与实质距离的比，往常写成1：x 的形式，也就是说，图上的 1 cm 相当于实质的 x cm ，如某图的比率尺为 1：40000，就是说图上的 1 cm 相当于实质的 40000 cm ，即 400 m.解：∵ 750 m ＝75000 cm ，∴ 5:75000 ＝1:15000 ，即这张图的比率尺是 1:15000 ．【解题策略】无论是将图形放大仍是减小，比率尺都是图上距离与实质距离的比．、剖析依据四边形 ABCD 各边的比为：：： 8 可得四边形 A ′B ′C ′D ′各边的比也为 520 15 9 20： 15：9：8，再依据四边形 A ′B ′C ′D ′的周长为 26，可求出各条边的长．解：∵四边形 ABD 与四边形 A ′ B ′ C ′ D ′相像，且 AB: BC: CD: DA ＝ 20:15:9:8 ，∴ A ′ B ′： B ′C ′： C ′D ′： D ′A ′＝ 20： 15：9：8．又∵四边形 A ′B ′C ′D ′的周长为，26 ∴ A ′ B ′ =26×20=10，B ′C ′=26×15=7．5，20 15 9 15 98 20 8 C ′D ′ × 9 ．，D ′A ′ × 20， =26 20 15 9 8 =4 5 =26 15 9 =420 8即四边形 A ′B ′C ′D ′的各边长分别为 A ′ B ′＝ 10，B ′C ′＝ 7．5，C ′D ′＝ 4．5，D ′A ′＝ 4．【解题策略】相像多边形的相像比等于对应边的比．6、剖析充足利用相像多边形的对应角相等、对应边成比率的性质和等腰梯形的性质来解题．解：∵等腰梯形 ABCD 与等腰梯形 A ′B ′C ′D ′相像，∴∠ A ＝∠ A ′=65°， AB AD，A BA D即85 ，∴ A ′D ′=15(cm) ，6 A D4∴ B ′ C ′＝ 15，∠ A ′＝∠ B ′＝ °，4 cm65∴∠ C ′＝∠ D ′＝ 180°－ 65°＝ 115°．【解题策略】本题是一道综合性题目，在运用相像多边形性质的同时也运用了等腰梯形的性质．7、剖析本题考察比率线段的基天性质．因为同一时辰物高与影长成比率，所以2.530，∴旗杆的高度＝30 1.5＝18(m)．应选 C．1.5旗杆的高度2.5【解题策略】解决此类问题时，也能够依据比率式列出方程，经过解方程求出旗杆的高度．8、剖析黄金切割点指的是线段上的某一点，它将线段所分红的两条线段中，较长的一条线段是较短的一条线段和整条线段的比率中项，此中较长的一条线段与整条线段的比值叫做黄金比，黄金比的近似值约为0.618 ，正确值是5 1．2解：当 AC＞ BC时，AC=5 1AB=4( 5－1) ，2∴BC=AB－AC=8－4( 5－ 1)=12－4 5 =4(3－5 ) ，∴AC：BC5－1)：4(3－ 5)=5 1 ．=4(25 1AB当AC＜ BC时， BC 5 －1)，=2=4(∴AC AB－BC－ 5)，==4(3∴ AC: BC=4(3 － 5 ):4( 5 －1)= 5 1 ．2【解题策略】对于给出两条线段的比，而没有指明两条线段的大小关系时，要分类议论．体验中考剖析设这棵树的高度为x 米，则 1.6 ：0.8 ＝x：4.8 ，解得 x＝9.6 ．应选 C．【解题策略】同样时辰的物高与影长成比率．27.2相像三角形应用举例学习目标、要点、难点【学习目标】1．进一步稳固相像三角形的知识．2．能够运用三角形相像的知识，解决不可以直接丈量物体的长度和高度（如丈量金字塔高度问题、丈量河宽问题、盲区问题）等的一些实质问题．3．经过把实质问题转变成有关相像三角形的数学模型，进一步认识数学建模的思想，培育分析问题、解决问题的能力．【要点难点】1．运用三角形相像的知识计算不可以直接丈量物体的长度和高度．2．灵巧运用三角形相像的知识解决实质问题（如何把实质问题抽象为数学识题）．知识概览图相像三角形的应用：灵巧掌握题意，把实质问题转变为数学识题，运用数学建模思想和数形联合思想灵巧地解决问题．新课导引【生活链接】王芳同学跳起来把一个排球打在离她 2 m远的地上，而后球反弹遇到墙上，假如王芳跳起击排球时的高度是 1.8m，排球落地址离墙的水平距离是 6m，假定排球向来沿直线运动，那么排球能遇到墙上离地多高的地方?【问题研究】由题意可获得如右图所示的图形．已知AB＝1.8 m，AP＝，P ＝，PQ⊥2 m C 6 mAC，那么如何求DC的长呢 ?由已知可证 Rt△ APB∽Rt△ CPD，由相像三角形的性质可知即1.8 2，所以DC＝5.4(m)．利用相像三角形的知识还可以解决很多实质问题．DC 6教材精髓知识点应用相像三角形的知识解决实质问题AB AP， DC PC相像三角形的知识在实质生产和生活中有着宽泛的应用，这一应用是成立在数学建模思想和数形联合思想的基础上，把实质问题转变为数学识题，经过求解数学识题达到解决实质问题的目的．拓展求线段的长度时，可依据已知条件并利用相像成立未知线段的比率关系式，从而求出所求线段的长．运用数学建模思想把生活中的实质问题抽象为数学识题，经过求解数学识题达到解决实质问题的目的．讲堂检测基础知识应用题1、如图 27—38 所示，为了估量河的宽度，我们能够在河对岸选定一个目标 P，在近岸取点 Q和 S，使点 P， Q， S共线且直线 PS与河垂直，接着在过点S 且与 PS垂直的直线 a 上选择适合的点T，确立 PT 与过点 Q且垂直 PS的直线 b 的交点 R，假如测得 QS＝45 m，ST＝90 m， QR＝60 m，求河的宽度 PQ．2 、古代一位数学家想出了一种丈量金字塔高度的方法，如图 27－39 所示，为了丈量金字塔的高度OB，先竖起一根已知长度的木棒 O′ B′，比较木棒的影长 A′B′与金字塔的影长 AB，即可近似地算出金字塔的高度 OB且已知 O′B′=1 米， A′ B′＝ 2 米， AB＝274 米，求金字塔的高度 OB．综合应用题3 、如图27－40 所示，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC＝240 mm，高AD＝160mm，要把它加工成正方形部件，使正方形的一边在BC上，其余两个极点分别在AB，AC上，则这个正方形部件的边长是多少 ?4、如图 27— 41 所示，在 Rt△ABC中，∠ B＝ 90°， BC=4 cm， AB＝8 cm，D，E，F 分别为 AB，AC，BC边的中点， P 为 AB边上一点，过 P 作 PQ∥BC交 AC于 Q，以 PQ为一边，在点 A 的另一侧作正方形 PQMN，若 AP＝3 cm，求正方形 PQMN与矩形 EDBF的公共部分的面积．研究与创新题5、教课楼旁边有一棵树，课外数学兴趣小组的同学在阳光下测得一根长为 1 m 的竹竿的影长为 0．9 m，在同一时辰他们丈量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教课楼的墙壁上，如图 27－ 42 所示，经过一番争辩，该小组的同学以为持续丈量也能够求出树高，他们测得落在地面上的影长为 2.7 m ，落在墙壁上的影长为 1.2 m ，请你计算树高为多少．体验中考小明在一次军事夏令营活动中，进行打靶训练，在用枪对准目标点 B 时，要使眼睛 O、准星 A、目标 B 在同一条直线上，如图－45所示，在射击时，小明有稍微的颤动，以致准星 A 偏离到 A′，27若 OA＝0．2 m，OB＝40 m，AA′＝ 0．0015 m，则小明射击到的点 B′，偏离目标点 B 的长度 BB′为 ( )A．3 m B．0．3 m C．0．03 m D．0．2 m学后反省附：讲堂检测及体验中考答案讲堂检测1、剖析可利用三角形相像的性质来求解．解：∵∠ PQR＝∠ PST＝90°，∠ P＝∠ P，∴ Rt△PQR∽ Rt△PST，∴PQQR ，PS ST即PQ QR ，∴PQ60 ，PQ QS ST PQ 4590PQ ×90=( PQ+45) ×60，解得 PQ ＝90．故河宽大概为 90 m ．【解题策略】利用相像三角形的性质能够丈量不方便抵达的两点间的距离．2、剖析要求 OB 的长度，能够经过证明△ OAB ∽△ O ′A ′B ′，从而获得比率式从而求解．OB AB ， OBAB解：∵太阳光是平行光芒，∴∠ OAB ＝∠ O ′ A ′B ′．又∵∠ ABO ＝∠ A ′B ′ O ′＝ 90°，∴△ OAB ∽△ O ′ A ′B ′，∴ OB ：O ′B ′＝ AB ：A ′B ′，∴ OB=ABgO B 274 1=137(米) ．A B2故金字塔的高度为137 米．【解题策略】本题要点考察阅读理解能力和知识的迁徙运用能力，从而计算出不可以直接丈量的物体的高度．3、剖析若四边形 PQMN 为正方形，则 AE ⊥PN ，这样△ APN 的高能够写成 A D －ED ＝ AD －PN ，再由△ APN ∽△ ABC ，即可找到 PN 与已知条件之间的联系．解：设正方形 PQMN 为加工成的正方形部件，边 QM 在 BC 上，极点 P ，N 分别在 AB ，AC 上，△ABC 的高 AD 与正方形 PQMN 的边 PN 订交于 E ，设正方形的边长为 x mm ．∵PN ∥ BC ，∴△ APN ∽△ ABC ，∴AE PN , AD BC ∴160 x= x, 解得 x=96(mm)，160240∴加工成的正方形部件的边长为96 mm ．【解题策略】本题中相像三角形的知识有了一个实质意义，所以在解题时要擅长把生活中的问题转变为数学识题来解决．4、剖析因为 PQ ∥BC ，所以PQAP，从而可求出的长，而四边形是正方形，所以BC ABPQPQMNPN 的长及 DN 的长都能够求出来．因为正方形 FQMN 与矩形 EDBF 的公共部分是矩形，故只需求出 DN ，MN 的长，就能够求出矩形的面积．解：在 Rt △ ABC 中，∠ B ＝ 90°， AB=8 cm ，BC ＝4 cm ，D ，E ， F 分别为 AB ， AC ，BC 边的中点，则 AD ＝4 cm ，DE ∥ BC ，DE ⊥ AB ．又∵ PQ ∥BC ，∴△ APQ ∽△ ABC ， ∴ AP PQ ，即3 PQ ，∴ = 3 .AB BC8 4PQ 2由四边形 PQMN 是正方形，得 PN ＝ 3，2∴AN ＝ 9 ，DN ＝AN －AD ＝ 1，2 2∴正方形 PQMN 与矩形 EDBF 的公共部分的面积为：DN ·MN=DN · PQ= 1 × 3 = 3(cm 2) ．2 2 4【解题策略】本题考察了直角三角形、正方形与相像三角形知识的综合应用，要娴熟掌握每一种几何图形的性质．5、剖析第一依据题意画出表示图 ( 如图 27－43 所示 ) ，把实质问题抽象成数学识题，从而利用△ PQR ∽△ DEC ，△ PQR ∽△ ABC 求出树高 AB ．解：如图 27－43(1) 所示，延伸 AD ， BE 订交于 C ，则 CE 是树的影长的一部分．由题意可得△ PQR ∽△ DEC ，∴PQQR ，DEEC即10.9，∴ CE=1.08(m) ，1.2 CE∴ BC ＝BE+CE ＝2.7+1.08 ＝3.78(m) ．又∵△ PQR ∽△ ABC ，∴PQQR ， ABBC即1 0.9 AB 3.78，∴ AB=4.2(m) ，故树高为 4．2 m ．体验中考剖析由三角形相像可得OAAA，∴ BB ′ =OB gAA =400.0015=0.3(m) ．应选 B.OB BBOA0.2【解题策略】解决本题的要点是依据 AA ′∥ BB ′，从相像三角形的周长与面积学习目标、要点、难点【学习目标】1．理解并初步掌握相像三角形周长的比等于相像比，面积的比等于相像比的平方．2．能用三角形的性质解决简单的问题．【要点难点】1．相像三角形的性质与运用．2．相像三角形性质的灵巧运用，及对“相像三角形面积的比等于相像比的平方”性质的理解，特别是对它的反向应用的理解，即对“由面积比求相像比”的理解．知识概览图相像三角形对应高的比、对应中线的比、对应角均分线的比都等于相像比相像三角形的周长与面相像三角形周长的比等于相像比( 相像多边形周长的比等于相像比)积相像三角形面积的比等于相像比的平方( 相像多边形面积的比等于相像比的平方)新课导引【生活链接】假如两个三角形相像，那么它们的周长之间有什么关系 ?它们的面积之间有什么关系 ?两个相像多边形呢 ?【问题研究】前方我们已经学习了相像图形的性质：相像图形的对应角相等，对应边的比相等．那么相像图形的周长与面积又拥有如何的性质呢?教材精髓知识点 1相像三角形对应高的比等于相像比如图－57所示，假如△ ABC∽△ A′B′C′，且AB＝ k，那么27A B△ABC 与△ A ′B ′C ′的相像比 k ， A 作 AD ⊥BC ， A ′作 A ′D ′⊥ B ′C ′，垂足分 D ，D ′，在△ ABD 与△ A ′ B ′ D ′中，∠B ＝∠ B ′，∠ADB ＝∠ A ′D ′B ′＝ 90°，所以 Rt △ABD ∽Rt △A ′B ′D ′，所以ADAB＝k ，即相像三角形高的比等于相像比k ．A D A B知点 2 相像三角形中的比、角均分的比都等于相像比如 27－ 58 所示，在△ ABC 和△A ′B ′C ′中，AD ，A ′D ′分 △ ABC 和△ A ′B ′C ′的中， BE ，B ′E ′分 △ ABC 和△ A ′B ′ C ′的角均分，若△ ABC ∽△ A ′B ′ C ′，ADAB＝k ．A D A B知点 3 相像三角形周的比等于相像比假如△ ABC ∽△ A ′B ′C ′，而且△ ABC 与△ A ′ B ′ C ′的相像比 k ，那么ABBC AC＝ k ，A BB CA CAB＝ k·A′B′ ， BC k·B′C′ ，AC＝k·A′C′，所以=△ ABC 的周AB BC CAkA B kB C kA Ck( A B B C C A )k ，即相像三角形周的比△ABC 的周AB BC CAAB BC CAAB BC CA等于相像比．比如：已知△ ABC ∽△ A ′B ′C ′，它的周分 60 cm 和，且 AB ＝，B ′C ′ 72 cm 15 cm＝24 cm ，两个三角形的相像比 60 5 ，且 AB BC 5 ，因 AB ＝，B ′C ′＝， 726 A B B C 6 15 cm 24 cm 所以 A ′B ′＝ c ， BC ＝ c ，A ′ C ′＝18 20 ，所以 AC ＝－－＝ 25(cm) －－＝．m m60 15 20 72 18 24 30(cm) 知点 4 相像多形周的比等于相像比假如多形A 1 A 2 ⋯ A n 与多形A 1 ′ A 2′⋯ A n ′相像，而且多形A 1A 2⋯ A n 与多形A 1′2n′的相像比 k ，A 1A 2A 2A 3 ⋯A nA11 21 22 32 3A ′⋯ A A 1 A 2A 2 A 3A n A 1＝k ，∴ AA ＝ kA ′ A ′， A A ＝ kA ′ A ′，⋯，A A 1＝kAn ′ A 1 ′，∴A 1A 2 A 2A 3 ⋯ AA 1＝ k A 1′A 2′ A 2′A 3′ ⋯A ′A 1′ ) ，∴ A 1A 2 A 2A 3 ⋯A n A 1n+ + +n( + + +nA 1 A 2 A 2 A 3 A n A 1⋯＝k ，即相像多形周的比等于相像比.知点 5相像三角形面的比等于相像比的平方若△ ABC ∽△ A ′B ′C ′，△ ABC 与△ A ′B ′C ′的相像比是 k ，AD ，A ′D ′分是 BC 与 B ′C ′S △ ABC 1BC gADBCAD上的高，2 2S △ABCBC AD= k ·k=k , 即相像三角形面的比等于相像比的平方．1g2 BC AD知识点 6相像多边形面积的比等于相像比的平方对于两个相像的四边形，能够把它们分红两对相像的三角形，能够得出这两个四边形面积的比等于相像比的平方．对于两个相像的多边形，用近似的方法，能够把它们分红若干对相像的三角形，从而得出相像多边形面积的比等于相像比的平方．规律方法小结 (1) 假如两个三角形相像，那么它们对应高的比、对应角均分线的比、对应中线的比、对应周长的比都等于相像比．(2)相像三角形的面积比等于相像比的平方．(3)类比相像三角形的性质可知，相像多边形的周长比等于相像比，面积比等于相像比的平方．(4)本节内容中求相像三角形对应边的比和面积的比的问题能够相互转变，对于没有指明对应极点的相像三角形仍旧要分类议论．讲堂检测基本观点题1、 (1) 若两个相像三角形的面积比为 1：2，则它们的相像比为；(2)若两个相像三角形的周长比为 3：2，则它们的相像比为；(3)若△ ABC∽△ A′B′C′，且 AB＝ 5，A′B′＝ 3，△ A′B′C′的周长为 12，则△ ABC的周长为.基础知识应用题2、如图 27－59 所示，在△ ABC和△ DEF中， AB＝2DE，AC＝2DF，∠ A＝∠ D，△ ABC的周长是24，面积是 48，求△ DEF的周长和面积．3、如图 27－60 所示，在锐角三角形ABC中，AD，CE分别为 BC，AB边上的高，△ ABC和△BDE的面积分别为 18 和 2， DE＝2，求 AC边上的高．4、如图27－61所示，在△ ABC与△ CAD中，AD∥ BC，CD交AB于点E，且AE：EB＝1:2，EF∥BC交 AC于点 F，且 S△ADE＝1，求 S△BCE和 S△AEF．5、如图 27－62 所示， AD是△ ABC的角均分线， BH⊥AD于点 H， CK⊥AD于点 K，求证AB· DK＝AC·DH．17综合应用题6、如图 27－63 所示，在梯形 ABCD中，对角线 AC， BD订交于点 O，若△ COD的面积为 a2，△AOB的面积为 b2，此中 a＞0，b＞0，求梯形 ABCD的面积 S．研究与创新题7、如图－64所示，ABCD的对角线 AC，BD订交于点 O， E 是 AB延伸线上一点， OE交BC27于点 F，AB＝ a， BC＝b，BE＝c，求 BF 的长．8、如图 27－65 所示，在△ ABC中，D是 BC边上的中点，且 AD＝AC，DE⊥BC，DE与 AB订交于点 E， EC与 AD订交于点 F.(2)若 S△FCD＝5，BC＝ 10，求 DE的长体验中考1、已知△ ABC与△ DEF相像且面积比为4：25，则△ ABC与△ DEF的相像比为．2、如图27－67所示，在△ ABC中，BC＞AC，点D在BC上，且DC＝AC，∠ACB的均分线 CF交 AD于 F，点 E 是 AB的中点，连结EF．(1)求证 EF∥BC；(2)若四边形 BDFE的面积为 6，求△ ABD的面积．学后反省附：讲堂检测及体验中考答案讲堂检测、剖析(1)∵两个相像三角形的面积比等于相像比的平方，∴k2＝1，且 k＞，∴k＝ 2 ．120(2)2∵相像三角形的周长比等于相像比，且周长比为3:2 ，∴相像三角形的相像比为3：2．(3) ∵相像比5：3，∴△ ABC的周长5. 又∵△ A′ B′ C′的周长为12，∴△ABC的周长＝5，∴△ ABC的周△A BC的周长3123长为 20．答案： (1) 2 ：2 (2)3：2 (3)20【解题策略】解决此类题时，可直策应用相像三角形的周长比、面积比与相像比的关系来求解．2、剖析先说明△ ABC∽△ DEF，再运用相像三角形的性质——相像三角形的周长比等于相像比、面积比等于相像比的平方进行求解．解：在△ ABC和△ DEF中，∵AB=2DE，AC=2DF，∴DE DF 1.AB AC2又∵∠ D＝∠ A，∴△ DEF∽△ ABC，且相像比为1．2∴△ DEF 的周长1. 即△ DEF 的周长1，△ ABC的周长2242∴△ DEF的周长为 12．∴ S2，即S△DEF121，△ DEFS△ABC2482∴S△DEF＝12．即△ DEF的周长为 12，面积为 12．【解题策略】解决此类问题时，可利用相像三角形周长的比等于相像比、相像三角形面积的比等于相像比的平方来求解．3、剖析若求AC边上的高，就要把AC边上的高作出来，因为△ABC的面积为 18，所以只需求出 AC边的长，就能够求出AC边上的高．∵AD⊥BC，CE⊥ AB，∴∠ ADB＝∠ CEB＝ 90°，又∵∠ ABD＝∠ CBE，∴ Rt △ADB∽Rt △CEB．∴ BD AB,即 BD BE，且∠ ABC=∠ DBE，BE CBAB CB∴△ EBD∽△ CBA，∴S△BED2DE 2 ，S△BCA AC18又∵ DE＝ 2，∴ AC＝6．∵S△ABC＝1AC·BF＝ 18，∴ BF＝6．2【解题策略】解决本题的要点是依据已知条件说明△EBD∽△ CBA．4、剖析由 AD∥ BC，可得△ ADE∽△ BCE，求 S△BCE比较简单，而求 S△AEF不易利用相像三角形的面积关系来求解．由DA∥EF可知△AEF与△EAD是两个高相等的三角形，所以这两个三角形的面积比就等于底边长的比，求出 EF： AD就能够求出△ AEF的面积．解：∵ AD∥BC，∴△ ADE∽△ BCE，2 2∴S△ADE：S△BCE＝AE：BE．又∵ AE: BE＝ 1： 2，∴ S△ADE: S△BCE＝1:4 ，∵S△ADE＝1，∴ S△BCE＝4．又∵ EF∥ BC，∴△ AEF∽△ ABC，∴EF: BC＝AE：AB＝1:3 ．又∵△ ADE∽△ BCE，∴ AD：BC＝ AE：BE＝1： 2，∴BC＝2AD，∴ EF：AD＝2：3．又∵ AD∥ EF，∴△ ADE与△ AEF等高．∴S△AEF：S△ADE＝EF：AD＝2：3．∵S△ADE=1，∴ S△AEF＝2 .3【解题策略】利用相像三角形的性质进行有关面积的计算时，有时会用到等底等高的三角形面积相等、同底 ( 或等底 ) 三角形的面积之比等于对应高之比、同高(或等高)三角形的面积之比等于对应底边长之比等等．5、剖析由已知易证△ BHD∽△ CKD，△ ABH∽△ ACK，从而易得证明：∵ BH⊥ AD，CK⊥AD，∴ BH∥CK，AB BH DHAC CK DK, 即 AB·DK=AC·DH．∴△ BHD ∽△ CKD ，∴DHBH．①DK CK∵AD 均分∠ BAC ，∴∠ 1＝∠ 2．又∵∠ BHA=∠ CKA=90°，∴ R t △ ABH ∽Rt △ACK, ∴ AB BH．②ACCK由①②可知ABDH，∴ AB ·DK ＝AC ·DH ．AC DK【解题策略】在本题中，利用BH把AB和DH联系起来，往常把这里的BH叫做中间比，它CKACDK CK起到桥梁的作用．、剖析梯形的面积等于4 个三角形的面积之和，而△ AOB 和△ COD 的面积都已用 a ，b 表示6出来，所以要点是求出△ AOD 和△ BOC 的面积．由图可知△ AOD 和△ BOC 的面积相等，而△ AOD 和△ COD 在 AC 边上的高是同一条高，所以△ AOD 和△ COD 的面积比就等于 AO ：OC ，这样就能够求出△ AOD 的面积．解：∵ AB ∥CD ，∴△ COD ∽△ AOB ，∴∴CO 2 S△ COD2a,AO 2S△ AOB2bCOa 2a2.AOb b又∵ S △ABC ＝ S △ ABD ，∴ S △ ABC －S △ AOB ＝S △ABD －S △ AOB ，即 S △BOC ＝ S △ AOD ．又∵S△ AOD=AOb ，S△ CODCO a∴ S △ AOD = b·S △COD = b· a 2=ab ．aa∴ S △ COB ＝S △ AOD ＝ab ．∴梯形 ABCD 的面积 S ＝ a 2+ab+ab+b 2＝ ( a+b) 2．【解题策略】底在同一条直线上，高同样的两个三角形面积的比等于底边长的比，而相像三角形面积的比等于对应边的比的平方，要注意差别这两个性质．7、剖析明显所求线段 BF 与已知线段 BE 在同一个三角形中，假如能找到一个与△ BEF 相像且有能直接找到，假如过 O 作 OC ∥BC 交 AB 于 G ，就能获得△ EBF ∽△ EGO ，本题可解．解：过点 O 作 OG ∥ BC 交 AB 于 G ，则△ EBF ∽△ EGO ．∵ ABCD 的对角线订交于点 O ，∴ OA ＝OC ，AG ＝ GB ．又∵△ EBF ∽△ EGO ，∴BFEB.GO EG∵ AG ＝GB ＝ 1AB ，∴ OG ＝ 1BC ．22又∵ AB ＝ a ， BC ＝b ，BE ＝ c ，∴ OG ＝ 1 b ，GB ＝ 1 a ，GE=1a+c ．2221∴ BFcBF bgc bc，∴ 2.1 1 =1a 2cccbaa222【解题策略】解决此类题的要点是结构相像图形，而结构相像图形的一般方法是作平行线．、剖析由 E ⊥BC ， D 是 BC 的中点，可得∠ B ＝∠ ，由 AD ＝AC ，可得∠ ＝∠ ACD ，从而相8 D 1 2似可证．过 A 作 AM ⊥BC 垂足为 M ，求 DE 的长能够在 ED ∥M 的基础上利用比率线段求得．, A证明： (1) ∵DE ⊥ BC ，D 是 BC 的中点，∴EB ＝ EC ，∴∠ B ＝∠ 1．又∵ AD ＝AC ，∴∠ 2＝∠ ACB ，∴△ ABC ∽△ FCD ．解： (2) 过点 A 作 AM ⊥ BC ，垂足为 M ，∵△ ABC ∽△ FCD ，BC ＝2CD ，2∴S△ABC=BC=4．S △ FCD CD又∵ S △FCD ＝ 5，∴ S △ABC ＝20．∵ S △ ABC ＝ 1BC ·AM ，且 BC ＝10，2∴ 20= 1×10· AM ，∴ AM ＝4．2又∵ DE ∥ AM ，∴DEBD．AMBM∵ BM ＝BD+DM ，BD ＝ 1 BC ＝5，DM ＝ 1 DC ＝ 5，22 2∴ BM ＝5+ 5 ＝15，22∴ DE 5．∴ DE= 8 .415 32体验中考1、剖析相像三角形的面积之比等于相像比的平方．故填 2：5．2、证明： (1) ∵CF 均分∠ ACB ，∴∠ 1＝∠ 2．又∵ DC ＝AC ，∴ CF 是△ ACD 的中线，∴点 F 是 AD 的中点．又∵点 E 是 AB 的中点，∴EF ∥BD ，即 EF ∥BC解： (2) 由 (1) 知， EF ∥BD ，∴△ AEF ∽△ ABD ，2∴S△AEFAE．S △ ABDAB又∵ AE ＝ 1AB ，S △ AEF ＝S △ABD － S 四边形 BDFE ＝S △ ABD －6，2∴ S △ABD 61 2，S △ ABD2∴ S △ ABD ＝8，∴△ ABD 的面积为 8．27、 3 位似图形学习目标：1、能利用图形的位似将一个图形放大或减小.2、存心识地培育学生学习数学的踊跃感情，激发学生对图形学习的好奇心，形成多角度，多方法想问题的学习习惯 .学习过程：一、课前准备1．知识链接（1）什么叫位似图形？有哪几种位似的种类？（2）位似图形的性质是什么？2．预习检测（1）经过预习你能总结出利用位似把一个图形进行放缩的方法吗？（2）利用位似放缩图形用到了位似的哪些性质？二、学习过程研究 1请同学们察看以下图，要作出一个新图形，使新图形与原图形对应线段的比为 2∶ 1，同学们在小组间相互沟通，看一看有几种方法？总结上述作法我们可概括出：（一）“利用位似将图形放大或减小的作图步骤. ”。

九年级数学下册第二十七章相似 27.2 相似三角形 27.2.2 相似三角形的性质导学案 (新版

27.2.2 相似三角形的性质一、学习目标：1．理解相似三角形的性质；2．会利用相似三角形的性质解决简单的问题．二、学习重难点：重难点：利用相似三角形的性质解决简单的问题．探究案三、教学过程复习巩固(1)什么叫相似三角形？(2)如何判定两个三角形相似？课堂探究知识点一：相似三角形对应线段的比三角形中有各种各样的几何量，例如三条边的长度，三个内角的度数，高、中线、角平分线的长度，以及周长、面积等．如果两个三角形相似，那么它们的这些几何量之间有什么关系呢？如图，△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，它们对应高、对应中线、对应角平分线的比各是多少？归纳总结例题解析例1 如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，矩形 EFGH内接于△ABC，且长边FG 在BC上，矩形相邻两边的比为1∶2，若BC＝30 cm，AD＝10 cm，求矩形EFGH的周长．归纳总结小试牛刀，平行四边形ABCD中，E是BC边上一点，且BE＝EC，BD、AE相交于F点．(1)求△BEF与△A FD的周长之比；(2)若S△BEF＝6cm2，求S△AFD.2.若△ABC∽△A′B′C′，其面积比为1∶2，则△ABC与△A′B′C′的相似比为( )A．1∶2 B.2∶2C．1∶4 D.2∶13.如图所示，在锐角三角形ABC中，AD，CE分别为BC，AB边上的高，△ABC和△BDE 的面积分别为18和8，DE＝3，求AC边上的高．课堂探究知识点二：相似三角形周长和面积的比某施工队在道路拓宽施工时遇到这样一个问题，马路旁边原有一个面积为100平方米，周长为80米的三角形绿化地，由于马路拓宽，绿地被削去了一个角，变成了一个梯形，原绿化地一边AB的长由原来的0米缩短成18米(如图)．问题是：它的周长是多少？归纳总结例题解析例2 已知两个相似三角形的最短边分别为9 cm和6 cm. 若它们的周长之和为60 cm，则这两个三角形的周长分别是多少？归纳总结小试牛刀，PN ∥BC ，AD ⊥BC 交PN 于E ，交BC 于D. (1)若AP∶PB＝1∶2，S △ABC ＝18，求S △A PN ； (2)若S △APN ∶S 四边形PB ＝1∶2，求AEAD的值．，已知△ABC 中，AB ＝5，BC ＝3，AC ＝4，PQ ∥AB ，P 点在AC 上(与A 、C 不重合)，Q 点在BC 上．(1)当△PQC 的面积是四边形P ABQ 面积的13时，求CP 的长；(2)当△PQC 的周长与四边形PABQ 的周长相等时，求CP 的长．随堂检测1.若两个三角形相似，相似比为8∶9，则它们对应角平分线之比是，若其中较小三角形的一条角平分线的长为6 cm，则另一个三角形对应角平分线长为cm．2.如果两个相似三角形的一组对应边分别为3 cm和5 cm，且较小三角形的周长为15 cm，那么较大三角形的周长为cm.3.如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，且DE∥BC.若△ADE与△ABC的周长之比为2∶3，AD＝4，则DB＝.4．已知△ABC∽△A′B′C′，CD是AB边上的中线，C′D′是A′B′边上的中线，CD ＝4 cm，C′D′＝10 cm，AE是△ABC的一条高，AE＝4.8 cm.求△A′B′C′中对应高线A′E′的长．5．已知△ABC∽△DEF，△ABC和△DEF的周长分别为20 cm和25 cm，且BC＝5 cm，DF＝4 cm，求EF和AC的长．课堂小结1．相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；2．相似三角形(多边形)的周长的比等于相似比；相似三角形的对应线段(对应中线、对应角平分线、对应边上的高)的比也等于相似比；3．相似三角形的面积的比等于相似比的平方．我的收获___________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________参考答案合作探究如图，分别作△ABC和△A′B′C′的对应高AD和A′ D′ .解：∵ △ABC∽△A′B′C′，∴ ∠B= ∠B′ .又△ABD和△A′B′D′都是直角三角形，∴△ ABD∽ △A′B′D′.∴AAA′A′=AAA′A′=A.类似地，可以证明相似三角形对应中线的比、对应角平分线的比也等于k. 归纳总结相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比.相似三角形对应线段的比等于相似比.例题解析例1解：设HG ＝x cm ，则EH ＝2x cm. 易得AP ⊥EH. ∵AD ＝10 cm ， ∴AP ＝(10－x) cm. ∵四边形EFGH 为矩形， ∴EH ∥BC ， ∴△AEH ∽ △ABC ． ∴ APAD=EHBC ,即10－x 10=2x30. 解得x=6．∴HG ＝6 cm ，EH ＝12 cm.∴矩形EFGH 的周长为36 cm. 小试牛刀1.解析：利用相似三角形的对应边的比可以得到周长和面积之比，然后再进一步求解．解：(1)∵在平行四边形ABCD 中，AD ∥BC ，且AD ＝BC ，∴△BEF ∽△AFD.又∵BE＝12BC ，∴BE AD ＝BF DF ＝EF AF ＝12，∴△BEF 与△AFD 的周长之比为BE ＋BF ＋EF AD ＋DF ＋AF ＝12； (2)由(1)可知△BEF∽△DAF，且相似比为12，∴S △BEF S △AFD ＝(12)2，∴S △AFD ＝4S △BEF ＝4×6＝24cm 2.方法总结：理解相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方是解决问题的关键．2.B.方法总结：解决问题的关键是掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方． 3.解：过点B 作BF⊥AC，垂足为点F.∵AD⊥BC, CE ⊥AB ，∴Rt △ADB ∽Rt △CEB ，∴BDBE ＝AB CB ，即BD AB ＝BE CB ，且∠ABC＝∠DBE，∴△EBD ∽△CBA, ∴S △BED S △BCA ＝(DE AC )2＝818.又∵DE＝3，∴AC ＝4.5.∵S △ABC ＝12AC ·BF ＝18, ∴BF ＝8.方法总结：解决此类问题，可利用相似三角形周长的比等于相似比、面积比等于相似比的平方来解答．知识点二：相似三角形周长和面积的比解：将上面生活中的问题转化为数学问题是：如图，已知DE ∥BC ，AB =30 m ，BD =18 m ，△ABC 的周长为80 m ，求△ADE 的周长. ∵DE ∥BC ，∴∠ADE =∠B ，∠AED =∠C ， ∴△ADE ∽△ABC ，∴AA AA=AA AA=AAAA, 由比例的性质可得，AA +AA +AA AA +AA +AA=AAAA, 而△ADE 的周长=AD ＋AE ＋DE , △ABC 的周长=AB ＋AC ＋BC ， ∴△AAA的周长80=30－1830, ∴△ADE 的周长=32 m. 例题解析例2解：设△ABC ∽△A 1B 1C 1，且△ABC 中的最短边AC ＝9 cm ，△A 1B 1C 1中的最短边A 1C 1＝6 cm.则AAA 1A 1=96=32,∴△ABC 和△A 1B 1C 1的相似比为32. 设△ABC 的周长为x cm ，则△A 1B 1C 1的周长为(60－x )cm. ∴A 60－A=32,解得x ＝36，60－x ＝24.∴△ABC 的周长为36 cm ，△A 1B 1C 1的周长为24 cm. 小试牛刀1.解：(1)因为PN∥BC，所以∠APN＝∠B，∠ANP ＝∠C，△APN ∽△ABC ，所以S △APN S △ABC ＝(AP AB )2.因为AP∶PB＝1∶2，△ABC ＝18，所以S △APN S △ABC ＝(13)2＝19，所以S △APN ＝2；(2)因为PN∥BC ，所以∠APE＝∠B，∠AEP ＝∠ADB，所以△APE∽△ABD，所以AP AB ＝AEAD ，S △APN S △ABC ＝(AP AB )2＝(AE AD )2.因为S △APN ∶S 四边形PB ＝1∶2，所以S △APN S △ABC ＝13＝(AE AD )2，所以AE AD ＝13＝33.方法总结：利用相似三角形对应线段的比等于相似比可以推出相似三角形面积的比等于相似比的平方．2.解：(1)∵PQ∥AB，∴△PQC ∽△ABC ，∵S △PQC ＝13S 四边形PABQ ，∴S △PQC ∶S △ABC ＝1∶4，∵14＝12，∴CP ＝12CA ＝2； (2)∵△PQC∽△ABC，∴CP CA ＝CQ CB ＝PQ AB ，∴CP 4＝CQ 3，∴CQ ＝34CP.同理可知PQ ＝54CP ，∴C △PCQ＝CP ＋PQ ＋CQ ＝CP ＋54CP ＋34CP ＝3CP ，C四边形PABQ＝PA ＋AB ＋BQ ＋PQ ＝(4－CP)＋AB ＋(3－CQ)＋PQ ＝4－CP ＋5＋3－34CP ＋54CP ＝12－12CP ，∴12－12CP ＝3CP ，∴72CP ＝12，∴CP ＝247.方法总结：由相似三角形得出线段的比例关系，再根据线段的比例关系解决面积、线段的问题是解题的关键．随堂检测1. 8∶9,2742. 253.24.解：∵△ABC∽△A′B′C′，CD 是AB 边上的中线，C ′D ′是A′B′边上的中线，且AE ，A ′E ′是对应的高线，∴AE A′E′＝CDC′D′. ∴4.8A′E′＝410. ∴A ′E ′＝12 cm.5.解：∵相似三角形周长的比等于相似比， ∴EF BC ＝2520. ∴EF ＝54BC ＝54×5＝254(cm)．同理AC DF ＝2025，∴AC ＝45DF ＝45×4＝165(cm)．word11 / 11 ∴EF 的长是254cm ，AC 的长是165cm.。

第二十七章相似专题“一线三等角”的相似模型的导学案

专题：一线三等角的相似模型
学习目标：用“一线三等角”的基本模型解决相似三角形中的相关问题；
教学重点：掌握“一线三等角”的基本模型；
教学难点：“一线三等角”的基本图形的提炼、变式和运用。

教学导入：
问题：如图，点A、D、E在一条直线上，ΔABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，BD⊥DE，
CE⊥DE.求证：ΔABD≌ΔCAE
活动1：
问题1：如图，点A、D、E在一条直线上，∠BAC=90°，BD⊥DE，CE⊥DE.ΔABD与ΔCAE
有什么关系？；说明理由。

问题2：如图，点A、D、E在一条直线上，∠D=∠1=∠E=80°,则ΔABD与ΔCAE相似吗？说明
理由。

问题3：如图，点A、D、E在一条直线上，∠D=∠1=∠E= α .则ΔABD与ΔCAE相似吗？说明
理由。

活动2：
问题1：已知等边ΔABC 的边长为2，点D 、E 、F 分别是AB 、BC 、CA 上的点，且BD=1，
BE= 13
，∠DEF==60°，求CF 的长。

问题2：如图所示，已知矩形ABCD 中，CD=2，AD=3，点P 是AD 上的一个动点（与A 、
D 不重合），过点P 作PE⊥CP 交直线AB 于点
E ，设PD=x ，AE=y ，写出y 与x 的函
数解析式。

本课小结：如下图，点A 、D 、E 在一条直线上，∠D=∠BAC=∠E . 都有∽；
从而得到，再结合题目的条件解决问题。

思考：如图，等腰ΔABC 中，AB=AC ，∠EDF=∠B ，且D 是边BC 上的中点，请找出图中所
有的相似三角形。

九年级数学导学案第第27章相似相似三角形的判定1

27.2.1相似三角形的判定1【教学内容】课本29---31页内容。

【教学目标】知识与技能1、会用符号“∽”表示相似三角形如ABC ∆ ∽'''A B C ∆ 。

2、理解掌握平行线分线段成比例定理过程与方法培养学生运用类比联想，猜想命题，再加以证明的研究问题的方法以及化归的思想. 情感、态度与价值观通过观察、猜想、归纳、探究等数学活动，给学生创造成功机会，使他们爱学、乐学、会学，同时培养学生勇于探索、积极合作的精神.【教学重难点】重点：相似三角形的判定定理的理解和初步应用；难点：相似三角形的判定定理的证明.【导学过程】【知识回顾】相似多边形的主要特征是什么？相似三角形有什么性质？【情景导入】在相似多边形中，最简单的就是相似三角形．在ABC ∆与'''A B C ∆中，如果∠A=∠A′, ∠B=∠B′, ∠C=∠C′, 且k A C CA C B BC B A AB =''=''=''．我们就说ABC ∆与'''A B C ∆相似，记作ABC ∆∽'''A B C ∆，k 就是它们的相似比．反之如果ABC ∆∽'''A B C ∆，则有∠A=_____, ∠B=_____, ∠C=____, 且A C CA CB BC B A AB ''=''=''．问题：如果1k =，这两个三角形有怎样的关系？【新知探究】探究一、 (1) 如图,任意画两条直线1l , 2l ,再画三条与1l , 2l 相交的平行线3l , 4l ，5l 分别量度3l , 4l ，5l 在1l 上截得的两条线段AB, BC 和在2l , 上截得的两条线段DE, EF 的长度, :AB BC 与:DE EF 相等吗?任意平移5l , 再量度AB, BC, DE, EF 的长度, :AB BC 与:DE EF 相等吗?(2) 问题，()::AB AC DE =，()::BC AC DF =．强调“对应线段的比是否相等”探究二、(2) 平行线分线段成比例定理推论思考：1、如果把图中l 1 , l 2两条直线相交，交点A 刚落到l 3上，如下左图，所得的对应线段的比会相等吗？依据是什么？思考、如果把图中l 1 , l 2两条直线相交，交点A 刚落到l 4上，如图上右图，所得的对应线段的比会相等吗？依据是什么？归纳总结：平行线分线段成比例定理推论平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边延长线），所得的_______线段的比_________.探究三、如图，在ABC ∆中，D E ∥BC 且分别交AB,AC 于点D,EADE ∆与ABC ∆有什么关系？…….【知识梳理】本节课你学习了什么知识？【随堂练习】1、如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，AC=4 ，AB=3，EC=1.求AD 和BD.2、如图，△ABC ∽△AED, 其中DE ∥BC ，找出对应角并写出对应边的比例式．3、如图，△ABC ∽△AED ，其中∠ADE=∠B ，找出对应角并写出对应边的比例式．4 、已知：梯形ABCD 中，AD ∥BC ，EF ∥BC ，AE=FC ，364EB =，153DF =，求：AE 的长。

(完整word版)图形的相似导学案

人教课标实验版九年级数学（下)第二十七章《相似》27.1《图形的相似》导学案版本：人教课标实验版年级:九年级学科：数学单位：河北镇九年制学校作者：段小明人教课标实验版九年级数学（下)第二十七章《相似》27。

1图形的相似班级: 姓名：【学习目标】1。

了解比例的基本性质、线段的比、成比例线段。

2.认识图形的相似，探索相似图形的性质,知道相似多边形的性质，利用图形的相似解决一些实际问题。

【预习导学】一、复习导入1、什么是全等图形、全等三角形？2、全等三角形的性质、判定定理有哪些?二、自学反馈自学课本34—38页，完成以下题目：1、把_____________________图形叫做相似图形.2、两个图形相似,其中一个图形可以看作是由另一个图形______和_______得到的。

3、对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的比等于________，如dc b a （即ad=bc ），那么我们就说这四条线段是_________。

4、相似多边形的性质：_______相等,对应边________。

5、如果两个多边形，那么这两个多边形相似。

【合作探究】探究1 图形的相似小组活动下列各图中哪组图形是相似图形（）。

友情提示:观察图形,要看清本质，准确辨别。

跟踪训练完成课本35页练习题目。

探究2 相似多边形的性质小组活动如图，四边形ABCD 和EFGH 相似，求角α、β的大小和EH 的长度x ．友情提示:利用性质，理清思路,关注格式。

跟踪训练数学活动小组为测旗杆AB 的高,在同一时刻测得一竹竿EF 的高为6米，其影长FD为4米，此时旗杆影BC的长为8米，则旗杆高为________。

【当堂检测】1。

下列说法中，不正确的是( ）A。

两幅比例不同的中国行政地图是相似图形B.两个图形相似与形状有关而与位置无关C。

哈哈镜中人的形象与本人是相似的D。

同一底片洗出来的不同尺寸的照片是相似的2。

下列几何图形中,形状相同的图形是( ）A。

九年级数学下册第二十七章相似图形的相似导学案新人教

1x77°α117°82°77°18121827.1图形的相似一、自主学习1.预习课本24页至26页.的图形叫做相似图形. 2.观察以下两组图片中的两个图形相似吗？3.说明(1)相似图形的_______一定要相同，______________无关。

(2)两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形______或______得到。

4.哈哈镜及平面镜中的形象与你本人相似吗？二、合作探究(自学课本26页至27页的内容)1.成比例线段的概念：对于四条线段a,b,c,d ，如果其中______的比与的比，就称这四条线段是，简称 .练习：若a=3,b=6,c=12,则a 、b 、b 、c 线段是成比例的吗？2.相似多边形：__________________________________.3.相似多边形的性质：相似多边形相等边。

说一说如何识别两个多边形相似？三、展示交流1.如图所示的相似四边形中，求未知边x 的长度和角度α的大小．学习目标1.通过观察图形，学生进行分析、归纳、体会、理解并掌握两个图形相似的概念．2.了解成比例线段的概念，会求线段的比．学习重点相似图形的概念与成比例线段的概念．学习难点成比例线段概念、求线段的比，注意线段长度的单位要统一．2.如图，△ABC与△DEF相似，求未知边x,，y的长度。

3.在比例尺为1:10 000 000的地图上，量的甲、乙两地的距离是30cm ,求两的实际距离.四、【随堂检测】1.下列说法正确的是（）A．所有的平行四边形都相似 B．所有的矩形都相似 C．所有的菱形都相似 D．所有的正方形都相似2.下列各组线段中（单位是cm），能成比例的是（）A、 1，3，4，6B、 30，12，0.8，0.2C、 0.1，0.2，0.3，0.4D、 12，16，45，603.△ABC与△DEF相似，如果AC=3，DF=1.8，则△DEF 与△ABC与的相似比是_________．4.观察下列图形，指出哪些是相似图形：5、在比例尺是1:10000的地图上，量得甲、乙两地之间的距离是.5.已知线段3，4，6与x是成比例线段，则_______x。

第27章《相似》导学案

第1课时相似图形学习目标1.通过对事物的图形的观察、思考和分析，认识理解相似的图形.2.经历动手操作的活动过程，增强学生的观察、动手能力.3.体会图形的相似在现实生活中的存在与应用，进一步提高学生的数学应用意识. 自学引导理解相似图形的概念，能正确判断两个图形是否相似；学生独立完成后集体订正①把图形叫做相似图形.②两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形和得到的.③从放大镜里看到的三角板和原来的三角板相似吗？ ④哈哈镜中人的形象与本人相似吗？ ⑤全等三角形相似吗？⑥生活中哪些地方会见到相似图形？当堂练习1.下列各组图形相似的是()2.将左下图中的箭头缩小到原来的21，得到的图形是()3.用一个10倍的放大镜看一个15°的角，看到的角的度数为( )A.150°B.105°C.15°D.无法确定大小第1课时相似图形学习目标1.通过对事物的图形的观察、思考和分析，认识理解相似的图形.2.经历动手操作的活动过程，增强学生的观察、动手能力.3.体会图形的相似在现实生活中的存在与应用，进一步提高学生的数学应用意识. 自学引导理解相似图形的概念，能正确判断两个图形是否相似；学生独立完成后集体订正①把图形叫做相似图形.②两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形和得到的.③从放大镜里看到的三角板和原来的三角板相似吗？ ④哈哈镜中人的形象与本人相似吗？ ⑤全等三角形相似吗？⑥生活中哪些地方会见到相似图形？当堂练习1.下列各组图形相似的是()2.将左下图中的箭头缩小到原来的21，得到的图形是()3.用一个10倍的放大镜看一个15°的角，看到的角的度数为( )A.150°B.105°C.15°D.无法确定大小第2课时相似多边形与比例线段学习目标1.结合现实情境了解成比例线段，并能运用比例线段进行计算求值，理解并掌握相似多边形的性质以及运用相似多边形的性质解决实际问题.2.在探索过程中激发学生的求知欲，发展学生的交流合作精神. 自学引导掌握相似多边形的概念及性质，理解并掌握“相似比”的概念，能运用相似多边形的性质进行相关的计算.①对于四条线段a 、b 、c 、d,如果其中两条线段的比等于 ,如a b =cd(即ad=bc),那么我们就说这四条线段是 .②相似多边形的相等，对应边 .③相似多边形的比称为相似比，当相似比为1，这两个多边形 .④用一个放大镜看一个四边形ABCD ，若该四边形的边长放大5倍，下列说法正确的是( )A.角A 是原来的5倍B.周长是原来的5倍C.每一个内角都发生了变化D.以上说法都不对⑤五边形ABCDE 的五边长分别为5 cm 、20 cm 、30 cm 、35 cm 、40 cm.另一个和它相似的五边形的最短边长是10 cm ，则这个五边形的最长边为 .点拨：第④题注意相似多边形的角的度数相等，对应边成比例；第⑤题注意对对应的理解. 当堂练习1.下列各线段的长度成比例的是( )A.2 cm ，5 cm ，6 cm ，8 cmB.1 cm ，2 cm ，3 cm ，4 cmC.3 cm ，6 cm ，7 cm ，9 cmD.3 cm ，6 cm ，9 cm ，18 cm2.在比例尺为1∶200的地图上，测得A ，B 两地间的图上距离为4.5 cm ，则A ，B 两地间的实际距离为 m.3.两个相似多边形一组对应边分别为3 cm ，4.5 cm ，那么它们的相似比为( )A.32B.23C.94D.494.一个多边形的边长分别为2，3，4，5，6，另一个和它相似的多边形的最长边为24，则这个多边形的最短边长为( )A.6B.8C.12D.10 5.(2013·莆田)下列四组图形中，一定相似的是( )A.正方形与矩形B.正方形与菱形C.菱形与菱形D.正五边形与正五边形6.已知菱形ABCD 与菱形A ′B ′C ′D ′，添加一个条件，使菱形ABCD 与菱形A ′B ′C ′D ′相似，这个条件是 .(写出一个即可)拓展提升7.(2014·重庆)如图，△ABC 与△DEF 相似，相似比为 1∶2，BC 的对应边是EF ，若BC=1，则EF 的长是( ) A.1 B.2 C.3 D.48.某机器零件在图纸上的长度是21 mm ，它的实际长度是630 mm ，则图纸的比例尺是( )A.1∶20B.1∶30C.1∶40D.1∶509如图，正五边形FGHMN 与正五边形ABCDE 相似，若AB ∶FG=2∶3，则下列结论正确的是( ) A.2DE=3MN B.3DE=2MN C.3∠A=2∠F D.2∠A=3∠F10.已知两地的实际距离是1 800 m ，在地图上量得这两地的距离为2 cm ，则这个地图的比例尺为( )A.1∶900B.1∶9 000C.1∶90 000D.1∶36 00011.已知如图，在△ABC 中，AB=20，BC=14，AC=12，△ADE 与△ACB 相似，∠AED=∠B,DE=5，求AD ，AE 的长.第3课时相似三角形的判定定理1,2学习目标掌握三边成比例的两个三角形相似和两边成比例且夹角相等的两个三角形相似这两个判定三角形相似的定理.自学指导要点感知1三边的两个三角形相似.预习练习1-1已知△ABC中，AB=4,BC=5,CA=6.如果DE=8，那么当EF= ，FD=时，△DEF∽△ABC.要点感知2 两边且夹角的两个三角形相似.预习练习2-1 在△ABC和△A′B′C′，若∠B=∠B′，AB=6，BC=8，B′C′=4，则当A′B′= 时，△ABC∽△A′B′C′.当堂训练1.有甲、乙两个三角形木框，甲三角形木框的三边长分别为1，2，5，乙三角形木框的三边长分别为5，5，10，则甲、乙两个三角形( )A.一定相似B.一定不相似C.不一定相似D.无法判断2.如图，在△ABC中，AB＝25，BC＝40，AC＝20.在△ADE中，AE＝12，AD＝15，DE＝24，试判断这两个三角形是否相似，并说明理由.3.在等边三角形ABC中，D、E分别在AC、AB上，且AD∶AC=1∶3，AE=BE，则有( )A.△AED∽△BEDB.△AED∽△CBDC.△AED∽△ABDD.△BAD∽△BCD4.下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是( )5.一个钢筋三脚架三边长分别是20 cm、50 cm、60 cm.现在再做一个与其相似的钢筋三脚架，而只有长为30 cm和50 cm的两根钢筋，要求以其中一根为一边，从另一根上截下两段(允许有余料)作为两边，则下列截法：①将30 cm截出5 cm和25 cm；②将50 cm截出10 cm和25 cm；③将50 cm截出12 cm和36 cm；④将50 cm截出20 cm和30 cm.其中正确的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个6.如图，△ABC中，点P在AB上，在下列四个条件中：①AP∶AC=AC∶AB；②AC2=AP·AB；③AB·CP=AP·CB.能满足△APC和△ACB相似的条件有( )A.1个B.2个C.3个D.0个7.如图，已知∠DAB=∠CAE，请补充一个条件：，使△ABC∽△ADE.8.已知如图，正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP=3PC,Q是CD的中点。

九年级下27章相似导学案

合作学习：成比例线段的意义图27.1-4◆ 合作学习：探究相似多边形的性质 1、观察右图中的两个四边形是相似的（1）量一量：AB=_______，BC=_______，CD=_______，DA=_______，B A '' =_______，C B '' _______，D C ''=_______，D A '' =_______，∠A=_______，∠B=_______，∠C=_______，∠D =_______。

（2）算一算______=''B A AB ，______=''C B BC ，______=''D C CD ，______=''A D DA。

（3）议一议：通过计算，当这两个四边形相似时，对应边与对应角有怎样的关系？【结论】：（1）相似多边形的特征：相似多边形的对应角______，对应边的比_______．反之，如果两个多边形的对应角______，对应边的比_______，那么这两个多边形_______．几何语言：在⊿ABC 和⊿A 1B 1C 1中若．则⊿ABC 和⊿A 1B 1C 1相似（2）相似比：相似多边形________的比称为相似比．问题：相似比为1时，相似的两个图形有什么关系？结论：相似比为1时，相似的两个图形______，因此________形是一种特殊的相似形．111;;C C B B A A ∠=∠∠=∠∠=∠111111C A ACC B BC B A AB == 5c d、的长度．图1 例题2：上图中，若DE∥BC，AD=2cm，BD=3cm，BC=4cm.求DE的长.练习1、已知△ADE∽△ABC，下列比例式正确的是：( )5、在下面的两组图形中，各有两个相似三角形，试确定x ，y ，m ，n 的值.6、(2009年甘肃定西)如上图，小东用长为3.2m 的竹竿做测量工具测量学校旗杆的高度，移动竹竿，使竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点．此时，竹竿与这一点相距8m 、与旗杆相距22m ，则旗杆的高为（） A ．12m B ．10m C ．8m D ．7m◆ 学后反思：B DE A1．重点：相似三角形的定义与三角形相似的预备定理．2．难点：三角形相似的预备定理的应用．◆自学展示:（1）相似多边形的主要特征是什么？（2）平行线分线段成比例定理及其推论的内容是什么？(3) 问题：如果△ABC∽△ADE,那么你能找出哪些角的关系？边呢？◆合作学习：如图27.2-3，在△ABC中，DE∥BC，DE分别交AB，AC于点D，E。

第27章相似全章教案

第27章《相似》全章教案27．1 图形的相似第一课时一、教学目标(一) 知识目标通过对生活中的事物或图形的观察，获得理性认识，从而加以识别相似的图形．(二) 能力目标通过观察、归纳等数学活动，与他人交流思维的过程和结果，能用所学的知识去解决问题．(三) 情感目标在获得知识的过程中培养学习的自信心．二、教学重点引导学生观察图形，并从中获取信息，培养他们的观察、分析及归纳能力．三、教学难点应用获得的数学知识解决生活中的实际问题．四、教学过程一、创设情境，导入新课：观察教材第36页的两组图形，你能发现它们之间有什么关系?二、师生互动，探索新知：1、观察下列几组几何图形，你能发现它们之间有什么关系?从而得出：具有相同形状的图形叫相似形．（出示课题——图形的相似）2、对(2)中的3组图形，通过图形的缩小或放大，再利用图形的平移或旋转等变换，使它与另一个图形能够重合，从而加以验证它们是相似的图形。

3、你还见过哪些相似的图形，请举出一些例子与同学们交流．三、试一试：利用课本后面的网格或格点图纸设计出几组相似的图形，并利用幻灯片加以展示，使学生在学习中获得成功的喜悦．四、探究：1、思考教科书第37页观察中的问题，哈哈镜里看到的不同镜像它们相似吗？2、观察下图中的3组图形，它们是不是相似形?为什么?(激发学生的求知欲，为下一节课“相似图形的特征”做好准备)五、课堂练习完成课本第37页练习第1、2题。

六、课堂小结这节课你哪些收获?七、课时作业1、根据今天所学的内容，请你收集或设计一些相似的图案．2、习题27.1第1、2题．课后反思：27．1 图形的相似第二课时一、教学目标(一) 知识与技能通过对生活中的事物或图形的观察，获得理性认识，从而加以识别相似的图形．(二) 过程与方法1、经历对相似图形观察、分析、欣赏以及动手操作、画图、测量等过程，能用所学的知识去解决问题；2、回顾相似图形的性质、定义，得出相似三角形的定义及其基本性质。

第27章相似全章学案

第1课时相似图形（1）学习目标：1．通过生活中的实例，认识图形的相似，并能在诸多图形中找出相似的图形．2．能在格点中画出相似图形．学习重难点:重点：认识形状相同的图形，探索相似图形的定义，以及用定义去判断两个图形是否相似．难点：找出形状相同的图形；在格点中画出相似图形．学习过程：一、创设情景明确目标到目前为止，我们已接触过很多图形，有规则的，也有不规则的；有形状相同的，也有形状不相同的，本节课我们就来研究形状相同的图形．二、自主学习指向目标自学导读：自主学习课本P34页P35页上面的内容，思考：1. 自主学习课本P34页，思考：观察图形找特点（回答下列问题）（1）如图（1）同一张底片洗出的不同尺寸的照片中，人物的形状改变了吗？（2）如图（2），两个足球的形状相同吗？它们的大小呢？（3）如图（3），两个同一型号的形状相同吗？大家从刚才看到的四对图形中，发现每一对图形中有什么特点呢？图（1）图（2）图（3）2. 自主学习课本P35页“思考”并解决．（小组成员之间可以互相讨论）自我评价：学生活动：反思：全等图形是相似图形吗？自主解决：1. ______相同的图形叫做相似图形．两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形__________得到．2. 下列各组图形中，不是相似形的一组是（）A．B．C．D．三、合作探究达成目标1．探究主题一：相似图形的概念【小组讨论】在下面各组图形中，是相似图形的是__________.【点拨升华】判断相似图形就是根据相似图形的定义，通过观察，根据“形状相同”这一特征判断，与“大小”、“位置”无关．变式训练：1. 下列说法中，不正确的是（）A．同一版的8开中国地图与32开中国地图相似B．亮亮3岁时的照片与15岁时照片相似C．用放大镜看到的图形与原图形相似D．所有的圆都相似2.下列图形中不是相似图形的是（）A．所有等边三角形B．所有矩形C．所有正方形D．所有的圆2．探究主题二：在方格纸中画相似图形【小组讨论】阅读课本P39页第4题并解决．答图直接画在课本上．【点拨升华】在方格纸中画出与原图形相似的图形实质就是在格点图中把原图形放大或缩小．方法是：先确定一个点（为了方便，一般选图形的一个顶点），利用平移的方法将一边放大或缩小，得到第二顶点，依次作出其他各顶点，最后顺次连接相邻的两个顶点，就得到所要画的图形．变式训练:3. 在如图所给的方格图中，任画一个多边形，再将这个多边形放大和缩小．四、总结梳理内化目标（1）这节课我学会了：（2）易错点：（3）这节课还存在的疑问：五、达标检测反思目标1．指出下列图形是相似图形的是（）A．两张孪生兄弟的照片B．三角板的内、外三角形C．行书中的“美”和楷书中的“美”D．同一棵树上摘下的两片树叶2．如图，用放大镜将图形放大，应属于哪一种变换．．．．：（请选填：对称变换、平移变换、旋转变换、相似变换）．3．举出生活中相似图形的两个例子：（1）；（2）．4．找出下面图形中的相似图形.5．如图4，在8×8的网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，△OAB 的顶点都在格点上，请在网格中画出一个．．．．．．．．与△OAB 形状相同且放大了的三角形.第2课时相似图形（2）学习目标：1. 经历探索相似多边形性质的过程，掌握相似多边形的性质．2. 会根据相似多边形的性质识别两个多边形是否相似，并会运用其性质进行相关的计算．3. 理解相似比的对应关系．学习重难点:重点：理解并掌握相似多边形的性质．难点：运用相似多边形的性质进行相关的计算．学习过程：一、创设情景明确目标学生活动：思考下列问题：1. 如下图的左边格点图中，有一个四边形，请在右边的格点图中画出一个与该四边形相似的图形．画完后请与同学交流一下．A BO图42. 问题：对于图中两个相似的四边形，它们的对应角有何关系？对应边呢？3. 为什么有些图形是相似的，而有的图形看起来想像却又不相似呢？相似的两个图形有什么主要特征呢？学完本节课后，这一系列的问题就可迎刃而解．二、自主学习指向目标自学导读：1. 自主学习课本P36至P37页内容．（1）填空：对比图中的△ABC 和△A 1B 1C 1，由于正三角形的每个角都等于60°，可得 ∠A ＝______，∠B ＝______，∠C ＝______．由△ABC 和△A 1B 1C 1是正三角形，可得 AB ＝BC ＝AC ，A 1B 1＝B 1C 1＝A 1C 1．从而11AB A B ＝()()＝()()．所以说，正三角形都是相似的，它们的对应角________，对应边的比________．（2）模仿上题填空：对比图中的六边形ABCDEF 和A 1B 1C 1D 1E 1F 1，由于正六边形的每个角都等于，可得 ∠A ＝______，∠B ＝______，∠C ＝______，∠D ＝______，∠E ＝______，∠F ＝______．由六边形ABCDEF 和A 1B 1C 1D 1E 1F 1是正六边形，可得 ______＝______，______＝______，______＝______，______＝______，______＝______，______＝______．从而()()＝()()＝()()＝()()＝()()＝()()．所以说，正六边形都是相似的，它们的对应角________，对应边的比________．2. 相似的正多边形对应角相等，对应边的比相等．这个结论对于一般的相似多边形是否成立？3. 何谓成比例线段？在理解时应注意什么？4. 相似多边形的性质是什么？如何判断两个多边形相似？5. 什么是相似比？相似比为1时，相似的两个图形有什么关系？自我评价：1. 对于四条线段a ，b ，c ，d ，如果______=______，那么线段a ，b ，c ，d 是成比例线段，简称比例线段，理解时注意有顺序要求．2. 相似多边形对应角______，对应边的比______．反过来，如果两个多边形满足______CD B C 1D 11B C1相等，__________相等，那么这两个多边形相似．3. 相似多边形________的比称为相似比．当相似比为1时，两个图形______．4. 解决创设情景，明确目标中的第2题．三、合作探究达成目标1．探究主题一：相似多边形的性质【小组讨论】课本P37页例题．【点拨升华】利用相似多边形对应角相等，对应边的比相等求解．变式训练：1. 在如图所示的相似梯形中，求未知的边和角．2．探究主题二：相似多边形的判定【小组讨论】课本P39页“思考”第6题．【点拨升华】判定两个多边形相似，需同时满足对应角相等，对应边的比相等这两个条件，缺一不可．变式训练:2.在下图的三个矩形中，相似的是（）A ．甲和乙B ．甲和丙C ．乙和丙D ．甲、乙和丙四、总结梳理内化目标（1）这节课我学会了：（2）易错点：（3）这节课还存在的疑问：五、达标检测反思目标1．给出下列大小不同的4对几何图形：①两个圆；②两个正方形；③两个菱形；⑤两个小正六边形．其中一定是相似图形的是（）A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对2．下列各组线段（单位：㎝）中，成比例线段的是（）A ．1、2、3、4B ．1、2、2、4C ．3、5、9、13D ．1、2、2、3 3．如果两地相距250km ，那么在1∶10000000的地图上，它们相距______cm.．4．已知两个相似多边形的相似比为7:2，且较大多边形的最小边是21cm ，则另一个多边形的最小边是_____cm ．5．如果四边形ABCD 与四边形A′B′C′D′相似，且CD ⊥BC ，C′D′⊥B′C′，∠A′=135°，根据图5中的条件，求出未知的x ，y 及∠α.A ′ABCB ′C ′DD ′211210 15135°65°x α α1.5cm4cm4cmA ′ABCB ′C ′DD ′ 3.2 2 44.84.5α110° 62°βxyz六、作业布置必作：选作：27.2 相似三角形27.2.1 相似三角形的判定第1课时相似三角形的判定方法（1）学习目标：1．理解相似三角形的概念，并会用以证明和计算．2．体会用相似符号“∽”表示的相似三角形之间的边，角对应关系．3．了解平行线分线段成比例定理及其推论，会用平行线证明两个三角形相似，并从中建立相等的比，用以证明、计算．学习重难点:重点：相似三角形的定义及其判定基本定理．难点：探究相似三角形判定基本定理的过程．学习过程：一、创设情景明确目标1. 相似多边形的特征是什么？2. 怎样判定两个多边形相似？3. 什么叫相似比？4. 相似多边形中，最简单的就是相似三角形．如果∠A ＝∠A 1，∠B ＝∠B 1，∠C ＝∠C 1，11ABA B ＝11BC B C ＝11ACA C ，那么△ABC 与△A 1B 1C 1相似吗？我们还有其他方法判定两个三角形相似吗？二、自主学习指向目标自学导读：1. 自主学习课本P40页探究1之上部分内容，思考并填空：（1）、的两个三角形是相似三角形．（2）△ABC 与△A′B′C′相似，记作△ABC________△A′B′C′．（3）如果两个三角形相似且相似比为1，那么这两个三角形.2. 自主学习课本P40页探究1至P41页“思考”之上部分内容，思考并填空：（1）平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段的比______．符号语言叙述：如图所示，A B CD E F l 1 l 2 l 3 l 4 l 5∵l 1∥l 2∥l 3，∴AB BC ＝（），()BC ＝()EF ，AB AC ＝（），()AC ＝()DF．反思：如何找出图形中的对应线段？（2）平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段的比________．你能根据课本P41页图27.2-2中的两个图写出成比例线段吗？看谁写的又多又好． 3. 自主学习课本P41页“思考”至P42页上面部分内容，思考：（1）体会过点E 作与AB 平行的直线EF 的作用，为什么要作这条辅助线？我们过点D 作与AC 平行的直线与BC 相交，可否证明△ADE ∽△ABC ？（2）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形________．符号语言叙述：如图所示，∵EF ∥BC ，∴△______∽△______．自我评价：1. 已知△ABC ∽△A′B′C′，相似比为3∶5，且∠A=60°，∠B=36°，则△A′B′C′与△ABC 的相似比为______，∠C′=______°．2. 如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，则△______∽△______，对应边的比例式为ADAB=______=______．三、合作探究达成目标1．探究主题一：相似三角形中的边、角对应关系【小组讨论】（1）如图，已知△ABC ∽△DBE ，相似比为k ．则∠A ＝∠D ，∠ABC ＝∠，∠C ＝∠；()()()AB BC CA ===．（注意：相似比是有顺序的，△ABC ∽△DBE ，就要用“∽”前的△ABC 的一边与“∽”后的△DBE 的对应边之比作为相似比）（2）如图，△ABC ∽△EDC ，试写出对应角及对应边的比例式，并求出x ，y 和z ．【点拨升华】当两个相似三角形用符号“∽”表示时，对应顶点已经给出，即相应位置上的点是对应点，由对应点可以写出对应角、对应边．对顶角相等，两个相等的角是对应角．两个三角形中的最大(或最小)角是对应角．变式训练：1. 已知△ABC ∽△A 1B 1C 1，且∠A=50°，∠B=95°，则∠C=°，∠C 1=°．2. 如图，△ABC ∽△CDE ，B ，C ，D 三点在一条直线上，AB=6，BC=2，DE=4，求AB CD E 27 y x 40 60 z ° 72° 42 ABC D E A BC EFEDCA BD 的长．2．探究主题二：平行线与相似三角形【小组讨论】（1）解决课本P54页第5题．（要求独立解决）（2）如图，在△ABC 中，EF ∥BC ，AE=2cm ，BE=6cm ，BC=4cm ，求EF 的长．【点拨升华】题目中有平行线，可得相似三角形，利用相似三角形的性质，可列出比例式，然后代入就可求出EF 的长．变式训练：3. 如图，已知△ABC ∽△ADE ，AB=30 cm ，BD=18 cm ，BC=20 cm ，∠A=75°， ∠ABC=•40°．则∠ADE=度；∠AED=度；ADAB=；DE=cm ；AE=cm ． 4. 如图，在□ABCD 中，EF ∥AB ，DE ∶EA=2∶3，EF=4，求CD 的长．四、总结梳理内化目标（1）这节课我学会了：（2）易错点：（3）这节课还存在的疑问：五、达标检测反思目标1. 如图1，AD ∥EF ∥BC ，下列比例式不成立的是（）A ．AE EB =DF FC B ．AB EB =DC FCC ．AE AB = AD BCD ．AE DF =ABDC2. 如图2，在△ABC 中，DE ∥BC ，小聪认为：∵DE ∥BC ，∴AD AB =DEBC；小明认为应是：∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ，∴AD AB =DEBC.那么你认为（）ABA BC EFCD A BC图1D E FA ．仅小聪对B ．仅小明对C ．两人均对D ．两人均错3. 如图3，若△ABC ∽△DEF ，则∠A 的度数为______，DF=______.4. 如图4，如图15，已知AB 是⊙O 的直径，C 是AB 延长线上一点，BC=OB ，CE 是⊙O 的切线，切点为D ，过点A 作AE ⊥CE ，垂足为E ，则CD ∶DE 的值是________．5. 如图5，已知菱形ABCD 内接于△AEF ，AE=5cm ，AF=4cm ，求菱形的边长.六、作业布置必作：选作：第2课时相似三角形的判定方法（2）学习目标：1．掌握相似三角形的判定定理：“如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似”，“如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似”．2．会进行简单的证明、计算．学习重难点:重点：类似于SSS 及SAS 两种全等三角形判定方法，探索判定两三角形相似的定理．难点：探究三角形相似的定理，并运用它们解决问题．学习过程：一、创设情景明确目标1. 相似三角形的定义：各角______，各边______的两个三角形叫做相似三角形．它也可以用于判定三角形相似．2. 探索三角形全等的条件的思路：根据三角形全等的定义，两个三角形中有3个角和3条边都对应相等（将3角3边称作三角形的6个元素，即三角形的6个元素都相等），这两个三角形全等. 但在探索三角形全等的条件时，是从两个三角形中有1个元素对应相等开始，逐渐增多条件，来考查三角形是否全等. 这节课，我们就仿照探索三角形全等的条件的思路来探索三角形相似的条件．先从类似于判定三角形全等的SSS 方法及SAS 方法开始，探索两个三角形相似的条件．二、自主学习指向目标自学导读：1. （1）联想：两个三角形中，如果三组边对应相等，那么这两个三角形________；如A BC图5D EFA图4A 图3D EFB C 4.5 4 630°45°ABC图2 D E果这两个三角形相似，那么它们的边需要满足什么条件？（2）请你画△ABC 与△A ′B ′C ′，使AB=1cm ，A′B′=2cm ，AC=1.5cm ，A′C′=3cm ，即1==2AB AC A'B'A'C'．那么这画的这两个三角形相似吗？再与小组同学画的三角形比一比，你们画的这些三角形都相似吗？（3）自主学习课本P42页探究2至P43页内容，思考：两个三角形的三边满足什么条件时，它俩相似？请注意仔细阅读P43页中间右侧方框中的内容，从中体会解决问题的思路方法．相似三角形的判定定理：如果两个三角形的______组对应边的比相等，那么这两个三角形相似．符号语言叙述：在△ABC 与△A ′B ′C ′中，∵，∴△ABC ∽△A ′B ′C ′.2. （1）联想：两个三角形中，如果两组边对应相等，且它们的夹角相等，那么这两个三角形________．如果两个三角形有1个角对应相等，且夹这个角的两组对应边的比相等，那么这两个三角形相似吗？（2）如图，在△ABC 与△A ′B ′C ′中，∠A ＝∠A ′=60°，AB=1cm ，A′B′=2cm ，AC=1.5cm ，A′C′=3cm ，即1==2AB AC A'B'A'C'. 那么这两个三角形相似吗？ C'60︒60︒B'A'CBA思路提示：取AB ，AC 的中点分别为D ，E 两点，连接DE ，证明△ABC ≌△A ′B ′C ′．（3）自主学习课本P44页“探究3”．填空：证明：在线段A′B′（或它的延长线）上截取A′D=AB ，过点D 作DE ∥B′C′，交A′C′于点E ，根据引定理可得△A ′DE ∽△A ′B ′C ′．∴A'DA'B'=______=______．又=AB AC A'B'A'C'，A′D=AB ， ∴=A'E AC A'C'A'C'． ∴______=______．又∠______=∠______， ∴△______≌△______． ∴△A ′DE ∽△A ′B ′C ′．相似三角形判定定理：如果两个三角形的对应边的比相等，并且相应的相等，那么这两个三角形相似．符号语言叙述：ABCA ′BC ′DE在△ABC 与△A’B’C’中，∵∠＝∠，()()()（），∴△ABC ∽△A’B’C’．自我评价： 1. 如图1，若AB AD =AC AE =BCDE，则△_____∽△_____，所以∠DAE=______．2. 如图2，已知AD AC =AEAB，则△_____∽△_____，所以∠ADE=______．三、合作探究达成目标1．探究主题一：判定三角形相似【小组讨论】仔细阅读课本P44页例题及其解答过程，并解决“云朵”中的两个问题．【点拨升华】问题（1）中两角相等，接着看夹这两角的对应边的比是否相等；问题（2）中已知三边长，求出这三组对应边的比看是否相等．相等则相似，不相等则不相似．对于问题（2）这类问题，可以用一个三角形中的长、中、短三条边的长分别与另一个三角形的长、中、短的三边的长相比，看它们的比是否相等．变式训练：1.如图1，图2，判断图中的两个三角形是否相似.2．探究主题二：相似三角形中的分类讨论思想【小组讨论】阅读课本P45页练习第3题，和同伴交流你的看法．【点拨升华】未明确相似三角形的对应关系时，应根据不同的对应关系分别计算要求的线段.使另一个三角形框架的边长为2的边与长为4，5，6的边分别对应，进而求解．变式训练：2. 一个钢筋三角架边长分别是20cm ，50cm ，60cm ，现在要做一个与其相似的钢筋三角架，而只有长为30cm 和50cm 的两根钢筋，要求以其中一根为一边，从另一根上截下两段（允许有余料）作为两边，问有几种不同的截法？3. 如图，正方形ABCD 的边长为2，AE=EB ，CN=14BC ，M 在CD 上滑动，当CM 长等于多少时，△AED 与以M ，N ，C 为顶点的三角形相似．C N ABC 图2DEF15 2520 36 2745ABC图1 DE 6432ABC 图2DE ABC 图1DE四、总结梳理内化目标（1）这节课我学会了：（2）易错点：（3）这节课还存在的疑问：五、达标检测反思目标1. △ABC 和△DEF 满足下列条件，其中能使△ABC ∽△DEF 的是（）A ．EF=DF=3 B ．AB=3，BC=4，CA=5，EF=2，C ．AB=1，AC=1.5，BC=2，DE=12，EF=8，DF=16D ．AB=3，AC=4，BC=6，DE=6，EF=8，DF=10 2. 下列条件中，能判定△ABC ∽△A′B′C′的是（）A ．AB AC ''=AC A B ''，∠C=∠C′ B ．AB A B ''=BC B C ''，∠B=∠B′C ．AB A B ''=ACA C ''，∠B=∠B′ D ．BC B C ''=ACA C ''，∠A=∠A′ 3. 在△ABC 和△A′B′C′中，若∠B=∠B′，AB=12，BC=8，A′B′=6，则当B′C′=______时，△ABC ∽△A′B′C′.4. 如图1，在4×4的方格图中，△ABC 和△DEF 都在边长为1的小正方形的顶点上，求证：△ABC ∽△DEF.5. 如图2，在△ABC 中，AB=8cm ，BC=16cm ，点P 从点A 开始沿AB 向B 以2cm/s 的速度移动，点Q 从点B 开始沿BC 向C 以4cm/s 的速度移动，如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，经过几秒钟△PBQ 与△ABC 相似？六、作业布置必作：选作：第3课时相似三角形的判定方法（3）学习目标：1．掌握相似三角形的判定定理：“如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角ABC图2P QAB C图1D EF对应相等，那么这两个三角形相似”．2．了解“斜边的比等于一组直角边的比的两相直角三角形相似”． 3．会进行简单的证明、计算．学习重难点:重点：从两角对应相等的角度探究三角形相似的条件．难点：探究三角形相似的定理，并运用它们解决问题．学习过程：一、创设情景明确目标根据三角形全等的定义，两个三角形中有3个角和3条边都对应相等（将3角3边称作三角形的6个元素，即三角形的6个元素都相等），这两个三角形全等. 但在探索三角形全等的条件时，是从两个三角形中有1个元素对应相等开始，逐渐增多条件，来考查三角形是否全等. 这节课，我们就仿照探索三角形全等的条件的思路来探索三角形相似的条件. 先从两个三角形只有1个角对应相等开始，探索两个三角形相似的条件．二、自主学习指向目标自学导读：1. 如果两个三角形只有1个角对应相等，那么这两个三角形相似吗？请每位同学画一画：在△ABC 与△A ′B ′C ′中，∠A ＝∠A ′=60°，小组内各人画的三角形相似吗？．2. 观察两副三角尺，其中同样角度（与，或与）的两个三角尺相似吗？3. 如果两个三角形有2角对应相等，那么这两个三角形相似吗？例如，在下图中，在△ABC 与△A ′B ′C ′中，∠A ＝∠A ′=60°，∠B ＝∠B ′=45°，那么这两个三角形相似吗？45︒45︒ABCA'C'B'60︒60︒因为∠A ＝∠A ′=60°，∠B ＝∠B ′=45°，根据三角形的内角和等于180°，可得∠C ＝∠C ′=75°，所以这两个三角形的3个角对应相等．量一量：AB=1.5cm ，A′B′=3cm ，那么1=2AB A'B'．请量一量：AC=cm ，A′C′=cm ，那么=AC A'C'（）（）．BC=cm ，B′C′=cm ，那么=BC B'C'（）（）．这两个三角形的3组对应边的比相等吗？这两个三角形相似吗？ 4. 自主学习课本P46页探究4．填空：证明：如图，在线段A′B′（或它的延长线）上截取A′D=AB ，过点D 作DE ∥B′C′，交A′C′于点E ，根据引定理可得△A ′DE ∽△A ′B ′C ′．由DE ∥B′C′，得∠______=∠B′．∵∠B=∠B′， ∴∠B =∠______．又∵______=______，∠A =∠A′，∴△______≌△______．∴△A ′DE ∽△A ′B ′C ′．相似三角形判定定理：如果一个三角形的个角与另一个三角形的个角对应相等，那么这两个三角形相似．符号语言叙述：在△ABC 与△A ′B ′C ′中，∵∠＝∠，∠＝∠，∴△ABC ∽△A ′B ′C ′．自我评价：1. 如图，锐角三角形ABC 的边AB 和AC 边上的高CE 和BF 相交于点D ，请写出图中一对相似三角形：___________．三、合作探究达成目标1．探究主题一：两角对应相等与三角形相似【小组讨论】仔细阅读课本P46页例2及其解答过程，讨论证明等积式的思路和方法？【点拨升华】结合下图进行分析．大多数等积式的证明问题都与相似三角形有关，如何寻找相似三角形就成为解决问题的关键，通常是先将等积式转化为比例式．在例题中，如将PA •PB=PC •PD 转化为PA PC =PDPB ，再通过“横看”，即分别观察“=”两边的分子PA ，PD 与分母PC ，PB ，从而定出△PAD △PCB ；或“竖看”，即分别观察“=”两边分子、分母中的线段PA ，PC 与PD ，PB ，从而定出△PAC 与△PDB ，接着再寻求条件证明它们相似，这种分析方法就是“三点定形法”．请尝试连接AD ，CB ，解决课本例题．变式训练： 1．如图，△ABC 内接于⊙O ，∠BAC 的平分线交⊙O 于点D ，交BC 于点E ，连接BD ．ABC OPD•ABCA ′ BC ′D E（1）请你找出图中所有的相似三角形；（2）请选择其中的一对相似三角形予以证明．思路提示：根据“在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等”知∠D=∠C ，∠DBC=∠DAC=∠DAB ，然后根据两个角对应相等的两个三角形相似作出判断、证明．2．在上题条件下，若DE=3，EA=7，则BD=______． 2．探究主题二：两个直角三角形的相似【小组讨论】（1）阅读课本P47页“思考”及下面的证明过程．了解：满足斜边的比等于一组直角边的比的两个直角三角形相似．（2）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，垂足为D ．图中有哪几对相似三角形？为什么？ABCD分析：∵CD ⊥AB ，∴∠CDB ＝90°．∴∠B+∠BCD=90°．又∵∠ACB ＝90°，∴∠B+∠A=90°．∴∠BCD=∠A ．在△ABC 和△CBD 中，∵∠ACB ＝∠CDB ＝90°，∠BCD=∠A ，∴△ABC ∽△CBD ．请你再找出其他的几对相似三角形：，．【点拨升华】有一个锐角对应相等的两个直角三角形相似．变式训练：3. 如图，在矩形ABCD 中，DE ⊥AC 于E ，则△ABC ∽△，△ABC ∽△，△ABC ∽△．四、总结梳理内化目标（1）这节课我学会了：（2）易错点：（3）这节课还存在的疑问：五、达标检测反思目标1．下列结论：①所有的等腰三角形都相似，②有一个角是80°的两个等腰三角形相似，③EDCB A有一个角是100°的两个等腰三角形相似，④有一个角相等的两个等腰三角形相似，其中正确的有（） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个2．如图1，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC ，BD 相交于点O ，若AD=1，BC=3，则AO CO的值为（） A ．21 B ．31 C ．41 D ．913．如图2，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 是斜边AB 上的高. (1) 若AD=8，BD=2，则CD=； (2) 若BD=4，AB=9，则BC=； (3) 若AD=2，AB=3，则AC=； (4) 若CD=8，BD=4，则AD=． (5) 若AB=5，AC=4，则CD=.4．（1）如图3，请你增加一个条件：∠＝∠（或∠＝∠），使△ABC ∽△ACD ．（2）如图4，请你增加一个条件：∠＝∠（或∠＝∠），使△ABC ∽△AED ．5．（1）如图3，已知AC=6，AD=4，∠B =∠ACD ，求AB 的长．解：在△ABC 与△ACD 中，∵∠＝∠A ，∠ =∠ACD ，∴△ABC ∽△．∴AC =AD （）（），即AC 2=AD ⋅AB ，∴62=4 AB ，∴AB=. （2）如图4，已知AC=6，AD=2，AE=3，∠B =∠AED ，求AB 的长．解：在△ABC 与△AED 中，∵∠＝∠A ，∠ =∠AED ，∴△ABC ∽△． ∴AC =AD （）（），即AE ⋅=AD ⋅AB ，∴×=2 AB ，∴AB=. 反思解题经验：如图3，如果△ABC ∽△ACD ，那么AC 2=AD ⋅AB.如图4，如果△ABC ∽△AED ，那么AE ⋅AC=AD ⋅AB .DCB A A BCD E 图3 图4A BCD图2图1六、作业布置必作：选作：27.2.2 相似三角形应用举例学习目标：1. 会利用相似三角形的知识测量物体的高度和宽度．2. 能利用相似三角形的知识解决一些实际问题．学习重难点:重点：运用三角形相似解决实际问题．难点：在实际问题中建立数学模型．学习过程：一、创设情景明确目标1. 在前面，我们学过哪些判定三角形相似的方法？相似三角形的性质是什么？2. 观察下列图片，你会利用相似三角形知识解决一些不能直接测量的物体（如塔高、河宽等）的长度或高度的问题吗？二、自主学习指向目标自学导读：自主学习课本P48页至P50页内容．思考：1. 根据例题3，我们知道由于太阳离我们非常遥远，所以可以把太阳逃近似地看成平行光线．那么，在阳光下，同一时刻不同物体的物高与影长的比之间有什么关系？2. 请你围绕下图，根据例题4的符号语言，将其叙述成测量河宽的一种方案．可以口述给同伴听听．3. 仔细阅读例题5中的分析，观察下图：，其中仰角是________．自我评价：1. 解决课本P50页练习第1题，将你的做法说给同伴听听．2. 解答例题5，你还有哪些方法？请与同组成员尽可能多的想出解决问题的方法．三、合作探究达成目标1．探究主题一：利用太阳光测量物体的高度【小组讨论】围绕自我评价1，再次仔细阅读例题3，请设计出测量你所在学校旗杆高度的测量方案．【点拨升华】在同一时刻，太阳光下不同物体的高度之比与其影长之比相等．变式训练：1．如图，要测量旗杆AB 的高度，可在地面上竖一根竹竿DE ，测量出DE 的长以及DE 和AB 在同一时刻下地面上的影长即可，则下面能用来求AB 长的等式是（）.A ．AB EF DE BC = B ．AB DE EF BC = C ．AB BC DE EF = D ．AB ACDE DF=2．某同学想测量旗杆的高度，在同一时刻量得另一同学的身高是1.5m ，其影长是1m ，旗杆的影长是8m ，则旗杆的高度是_______m ．3．如图，九年级某班数学兴趣小组的同学想利用所学数学知识测量学校旗杆的高度，当身高1.6米的楚阳同学站在C 处时，他头顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合，同一时刻，其他成员测得AC=2米，AB=10米，则旗杆的高度是________米．2．探究主题二：利用相似三角形测量物体的高度和宽度【小组讨论】（1）对于例题4这样测量河宽的问题，你还能设计出其他测量方案吗？（2）对于例题5，你还有其它解法吗？【点拨升华】在解决某些不能直接度量的物体的高度或宽度等测量类问题时，可以借助其他物体间接测量，这时常常要构造相似三角形来解决．变式训练：4. 如图，AD AB ⊥，EF AB ⊥，BC AB ⊥，DH BC ⊥，DH 交EF 于点G ，则______AD ==，图中的相似三角形是________∽________．.5. 如图，小明站在C 处看甲、乙两楼楼顶上的点A 和点E ，点C ，E ，A 在同一条直线上，点B ，D 分别在点E ，A 的正下方，且D ，B ，C 三点在同一条直线上，已知B ，C 相距20米，D ，C 相距40米，乙楼高BE 为15米，求甲楼的高度（小明的身高忽略不计）.四、总结梳理内化目标（1）这节课我学会了：（2）易错点：（3）这节课还存在的疑问：五、达标检测反思目标1．小刚身高1.7m ，测得他站立在阳光下的影子长为0.85m ，紧接着他把手臂竖直举起，测得影子长为1.1m ，那么小刚举起的手臂超出头顶（）.A.0.5mB.0.55mC.0.6mD.2.2m2．如图，为了测量一池塘的宽DE ，在岸边找一点C ，测得30CD m =，在DC 的延长线上找一点A ，测得5AC m =，过点A 作AB ∥DE ，交EC 的延长线于点B ，测得6AB m =.请你据此求出池塘的宽DE =________.3．小颖同学欲根据光的反射定律测量一棵大树的高度，如图10，其测量方法是：把镜子放在离树（AB ）9.2米远的点E 处，然后沿着直线DE 后退到点D ，这时恰好在镜子里看到树梢的顶点A ，再用皮尺量得 2.8DE =米，观察者身高 1.6CD =米，请你计算树的高度约为________米. （精确到0.1米）4．如图，公园内有一个长5米的跷跷板AB ，当支点O 在距离A 端2米时，A 端的人可以将B 端的人跷高1.5米，那么当支点O 在AB 的中点时，A 端的人下降同样的高度可以将B 端的人跷高米．。

2022年第27章相似教案课件教案

2022年第27章相似教案课件教案篇一：第27章相似全章教案篇二：九年级数学(人教版)第27章《相似》全章教案篇三：第27章相似全章教案第27章《相似》全章教案 27．1第一课时一、(一)(二)通过观察、归纳等数学活动，与他人交流思维的过程和结果，能用所学的知识去解决问(三)二、三、四、一、创设情境，导入新课：观察教材第36页的两组图形，你能发现它们之间有什么关系?二、师生互动，探索新知：1、观察下列几组几何图形，你能发现它们之间有什么关系?从而得出：具有相同形状的图形叫相似形．（出示课题——图形的相似）2、对(2)中的3组图形，通过图形的缩小或放大，再利用图形的平移或旋转等变换，使31三、试一试：利用课本后面的网格或格点图纸设计出几组相似的图形，并利用幻灯片加以展示四、探究：1、思考教科书第37页观察中的问题，哈哈镜里看到的不同镜像它们相似吗？2、观察下图中的3组图形，它们是不是相似形?为什么?五、(激发学生的求知欲，为下一节课“相似图形的特征”做好准备)完成课本第37页练习第1、2六、这节课你哪些收获?1、根据今天所学的内容，请你收集或设计一些相似的图案．2、习题27.1第1、2题．课后反思：27．1第二课时一、教学(一)(二) 识去解决问题；2、回顾相似图形的性质、定义，得出相似三角形的定义及其基本性质。

21、经历对相似图形观察、分析、欣赏以及动手操作、画图、测量等过程，能用所学的知(三)通过观察、归纳等数学活动，与他人交流思维的过程和结果，在获得知识的过程中培养学习的自信心．发展审美能力，增强对图形欣赏的意识。

1．情境导入播放多媒体——教材中的图27．1．l-4 （1）（用投影幻灯片或用教学挂图展示）．观察相似三角形的特征，得出：三角相似的对应角相等、对应边成比例以及相似比． 2．课前热身分组活动：（5分钟）复习相似变换图形，掌握相似形的基本特征：对应角相等，对应边的比相等． 3．合作深究（1）整体感知从回顾旧知“相似多边形性质”入手定义相似三角形，认识符号相似于“∽”，会用数学语言表达两个三角形相似——从课本第41页中“习题27.1第5题”，通过测量得到DE∥BC时，△ADE∽△ABC－一给出三角形相似的定义．（1）四边互动互动1师：教师展示投影1：课本第38页中图27．1．1-4．这两个图形有何共同特征？师：这两个图形的不同点在哪里？（教师在学生进行议论、交流、评判形成共识后可由学生进行口头归纳．）明确图上所展示的两个相似图形中，∠A=∠A＇，∠Ｂ＝∠Ｂ＇，∠Ｃ＝∠Ｃ＇， ABBCAC??． A__39;B__39;B__39;C__39;A__39;C__39; 定义相似比：两个相似三角形对应边的比叫相似比．注意：相似比是有顺序的，△ABC与△Ａ＇Ｂ＇Ｃ＇的相似比为k，则△A＇B＇C＇与△Ａ1ＢＣ的相似比为．k互动２师：展示投影2：课本中第39页图27.1-5．△ABC与△ADE的三个角对应相等吗？为什么？师：△ABC与△ADE的三边对应成比例吗？量量看．（动手测量得出结论并与同伴交流）师：△ABC与△ADE相似吗？学生分组进进行讨论．明确在同学交流、评判的过程中，老师进一步阐述，平行于三角形一边的直线截其他两边或其延长线所得的三角形与原三角形相似．34．达标反馈课本第40页练习第 l－3 题．注：（１）题中找对应边应考虑长边与长边、中边与中边、短边与短边是否对应成比例及大角与大角、小角与小角、中角与中角是否对应相等． 5．学习小结（１）内容总结相似用符号“∽”表示，读作“相似于”．两个相似三角形对应边的比称为相似比，相似比是有顺序的．△ABC与△A＇B＇C＇的相1似比为k，则△A＇B＇C＇与△ABC的相似比为．k平行于三角形一边的直线截三角形的另两边，所得对应线段成比例．（2）方法归纳学会动手画平行线，动手测量、计算、观察、猜想总结规律；重在培养学生的合作、交流与探索的能力．课后反思：27．2．1相似三角形的判定第一课时教学目标(一)知识与技能1、了解相似比的定义，掌握判定两个三角形相似的方法“平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”；2、掌握“如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似”的判定定理。

第27章《相似》复习课导学案

第二十七章复习课
1.知道相似三角形、相似多边形、位似的概念及其性质,并能够根据相似三角形的性质、位似的性质解决有关问题.
2.知道相似三角形的各种判定方法,能熟练选择合适的判定方法证明三角形相似.
3.会根据相似三角形的性质来测量物体的高度、河的宽度等.
4.重点:相似三角形的性质和判定方法;相似多边形性质的应用;位似图形的坐标变化规律以及根据位似的性质作出一个图形的位似图形.
◆体系构建
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◆核心梳理
1. 形状相同的两个图形是相似图形,两个三角形全等时,这两个三角形也相似,相似比为1.
,那么这四条线段成比例.
2.四条线段a、b、c、d,如果a∶b=c∶ｄ。

苏人教版九年级数学下册第二十七章《图形的相似》导学案

C 1cABB 1A 1B 1D 1BDACA 1C 1苏人教版九年级数学下册第二十七章《图形的相似》导学案编制人：审核人：执教老师：使用日期：学生姓名：学习目标1．正确理解图形相似、相似多边形、相似比等概念.2．了解相似多边形的性质和判定，并会用性质进行相关的计算.学习重点能正确识别相似的图形，会用相似多边形性质进行的计算. 学习难点能正确识别相似的图形，会用相似多边形性质进行的计算.学习过程学生笔记（教师二次备课）一、自主学习了解新知（独学）（一）、观察下列图形的形象你有什么发现？⑴每组中的一个图形可由另一个图形放在或缩小面得到吗？⑵每组中的两个图形的样子相同吗？（二）操场上的国旗的长2.4米，宽1.6米，教室里的国旗的长60厘米，宽40厘米，它们长与宽的比相等吗？表示两个比相等的式子叫 .（三）请用刻度尺和量角器量一量，两个相似的图形的对应角有什么关系？对应边呢？ABCDABCD二、合作探究掌握新知（对学、群学、展示）（１）我们把的图形叫做相似图形.相似多边形对应边的比叫做 .（2）对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们长度的比）与另两条线段的比相等，如a cb d=(即ac=bd)，我们就说a,b,c，d这四条线段 .（3）相似多边形的对应的角；对应边的比 .三、应用新知例如图，四边形ABCD和EFGH相似,求角αβ、的大小和EF的长度x.四、发现总结(1)如果两个图形相似，则对应的相等；对应比相等.(2)如果两个图形的相似比为1，则这两个图形 .(3)如果两个图形的相似由已知的边和角，求未知的边和角时一定要注意 .(4)求两线段的比一定要统一 .五、应用巩固：完成课后练习六、课堂检测1．已知△ABC与△DEF的相似比是23，则△DEF与△ABC的相似比是（）A．23B．32C．25D．492．若线段AB=1m，CD=30㎝,则ABCD=（）A．13B．130C．103D． 303．已知线段1、2、3与x成比例线段，则x= .4．如图，△ABC与△DEF相似，点A的对应点为点F，求未知边x、y的长度.5．如图，DE∥BC,1）求ADAB、AEAC、DEBC2）证明△ADE与△ABC相似。