(完整版)高等数学第七版下册复习纲要

x1
m1
y y1 n1
z z1 与 L 2 : x x 2
p1
m2
y y2 n2
z z2 平行的判定： p2
L1 // L 2
s1 // s2
m1
n1
p1 .
m2 n2 p2
x 6. 直线 L1 :
x1
m1
y y1 n1
z z1 与 L 2 : x x 2
p1
m2
y y2 n2
z z2 垂直的判定： p2
x
y
cos
, cos
, cos
x2 y 2 z2
x2 y 2 z2
cos2
cos2
cos2
1 ； sin 2
sin 2
sin 2
2.
y
，
x2 y 2 z2
4. 向量 a ( xa , ya , za ) 与 b ( xb , yb , zb ) 垂直的判定：
a b a b 0 xa xb xb yb za zb 0 .
② . 两端积分： g ( y)dy f (x)dx ，得隐式通解 G ( y) F ( x) C ；
③ . 将隐函数显化 .
2. 齐次方程及其解法
dy
y
(1). 方程的形式：
.
dx
x
(2). 方程的解法：变量替换法
(3). 求解步骤
①．引进新变量 u
y ，有 y ux 及 dy
du ux ；
x
dx
5. 向量 a ( xa , ya , za ) 与 b ( xb , yb , zb ) 平行的判定：
2
a // b
ab 0
a kb, k 0
xa xb za k . x b yb zb
6. 三向量共面的判定： ka mb nc 0 a ,b ,c 共面 .
7. 向量 a ( xa , ya , za ) 在 b ( xb , yb , zb ) 上的投影： Pr j ab
第七章：微分方程
一、微分方程的相关概念
1. 微分方程的阶数：方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程的阶
.
2. 微分方程的解：使微分方程成为恒等式的函数称为微分方程的解
.
通解：所含独立的任意常数的个数与方程的阶数相同的解称为微分方程的通解
.
特解：确定了任意常数的通解称为微分方程的特解
.
3. 特解与通解的关系：可通过初始条件确定通解中的常数而得到满足条件的特解；
偏导数连续，全微分存在，反之未必 .
3. 连续性与全微分存在性的关系：
全微分存在，函数一定连续； ( 函数不连续，全微分一定不存在 )
函数连续，全微分未必存在 .
五、二元复合函数的偏 ( 全 ) 导数
1. 中间变量为两个，自变量为一个的复合函数的全导数：
z f (u,v),u (t), v (t ), z f ( (t ), (t)) ，
3. 点 M ( x1, y1, z1) 到平面 Ax By Cz D 0 的距离 d
Ax1 By1 cz1 D
错误 ! 未找到引用源。 .
A2 B2 C 2
4. 平面 1 : A1 x B1 y C1z D1 0 与 2 : A2 x B2 y C2 z D 2 0 平行的判定：
1 // 2
n1 // n2
dx ，( 公式 )
即 非齐次线性方程通解 =齐次线性方程通解 +非齐次线性方程特解 .
第八章：空间解析几何与向量代数
一、向量 a (xa , ya , za ), b ( xb , yb, zb), c ( xc , yc , zc )
1. 向量 a ( xa , ya, za ) 与 b (xb, yb, zb ) 的数量积： a b a b cos
三、直线
cos
A1 A2 B1 B2 C1C2
A12
B12
C
2 1
A22
B
2 2
C
2 2
1. 过点 P( x0 , y0 , z0 ) ，以 s ( m, n, p) 为方向向量的直线的点向式 ( 对称式、标准 ) 方程：
x x0 m
y y0 n
z z0 . p
2. 过点 P( x0 , y0 , z0 ) ，以 s (m, n, p) 为方向向量的直线的参数式方程：
对方程
P( x) y
Q( x) ，设 y
u( x)e
P(x)d x
为其通解，其中
u( x) 为未知函数，
dx
从而有
dy u ( x) e P(x ) d x u( x) P( x)e P (x) d x ， dx
代入原方程有 u ( x) e P( x) d x u( x) P( x)e P( x )d x P( x)u( x)e P (x) d x Q (x) ，
3. 二元初等函数在其定义区域内连续 .
二、二元函数的偏导数的相关知识点
1. 函数 z
f ( x, y) 对自变量 x, y 的偏导数：
zz
及 错误 ! 未找到引用源。 .
xy
2. 函数 z
f (x, y) 对自变量 x, y 的二阶偏导数：
2z
2z
2z
2z
2、
x
错误 ! 未找到引用源。 、
y2
、
xy
dz z du z dv dt u dt v dt
2. 中间变量为两个，自变量为两个的复合函数的偏导数：
5
z f (u,v),u ( x, y),v ( x, y), z f ( (x, y), ( x, y)) ，
z zu zv z zu zv ,
x u x vx y u x vx
六、隐函数微分法
1. yoz平面上的曲线 C ： f ( y , z) 0 绕 z 轴旋转一周所得的旋转曲面为
S ： f ( x2 y 2 , z) 0 .
F ( x, y, z) 0
2. 空间曲线 C ：
wenku.baidu.com
关于 xoy 平面上的投影柱面方程为： H ( x, y) 0 ；
G( x, y, z) 0
4
H (x, y) 0
x0
l
x 9. 直线 L :
x0
l
y y0 m L
y y0 m
z z0 与平面 n
: Ax By Cz D
S // N
l mn
.
ABC
z z0 与平面 n
: Ax By Cz D
0 垂直的判定： 0 平行的判定：
L //
S N Al Bm Cn 0 .
x 10. 直线 L :
x0
l
y y0 m
z z0 与平面 n
也可通过方程的表达式直接观察得到特解，因此特解不总包含在通解中
.
二、微分方程的常见类型及其解法
1. 可分离变量的微分方程及其解法
(1). 方程的形式： g ( y) dy f ( x)dx .
(2). 方程的解法：分离变量法 (3). 求解步骤
① . 分离变量，将方程写成 g( y) dy f ( x)dx 的形式；
二、平面
ab a
xa xb xb yb xa2 ya2
za zb . za2
1. 过点 P (x0 , y0, z0 ) ，以 n ( A, B, C ) 为法向量的平面的点法式方程：
A( x x0 ) B( y y0 ) C (z z0) 0 .
2. 以向量 n ( A, B,C ) 为法向量的平面的一般式方程： Ax By Cz D 0 .
xa xb xb y b za zb ；
i jk 2. 向量 a ( xa , ya , za ) 与 b ( xb , yb , zb ) 的向量积： a b xa ya za .
xb yb zb
a b a b sin 的几何意义为以 a, b 为邻边的平行四边形的面积 .
3. 向量 r ( x, y , z) 的方向余弦：
在 xoy 平面上的投影曲线为 C ：
.
z0
第九章：多元函数微分法及其应用
一、平面点集 1. 内点一定在点集内，但点集内的点未必是点集的内点，还有孤立点； 2. 聚点可以是点集的边界点，也可以是点集的内点，但不可以是点集的外点和点集内的孤立点； 3. 开集和闭集内的所有点都是聚点 . 二、二元函数的极限、连续性的相关知识点
L1 L 2 s1 s2 m1m2 n1n2 p1 p2 0 .
7. 直线 L1 : x x1 m1
y y1 n1
z z1 与 L 2 : x x 2
p1
m2
y y2 n2
z z2 的夹角： p2
cos
m1 m2 n1n 2 p1 p2
m12 n12 p12
m22
n
2 2
.
p
2 2
x 8. 直线 L :
1. 二元函数
f ( x, y ) 在 (x0 , y 0) 点的二重极限：
lim f ( x, y)
( x ,y ) ( x0 , y0 )
A.
2. 二元函数 f ( x, y) 在 (x0 , y0) 点的连续性： lim f ( x, y) f (x0 , y0) . ( x , y) ( x0 , y0 )
P( x) y
Q( x)
0.
dx
1
(2). 一阶齐次线性微分方程 dy P(x) y 0 的解法 : 分离变量法 . dx
通解为 y Ce P (x )d x ,( C R ). ( 公式 )
(3). 一阶非齐次线性微分方程 dy P( x) y Q(x) 0 的解法 : 常数变易法 . dx
dy
P ( x) d x
整理得 u (x) Q( x) e
，
两端积分得 u(x) Q ( x) e P( x) d xdx C ，
再代入通解表达式，便得到一阶非齐次线性微分方程的通解
y
e
P( x)d x (
Q( x)e
P(
x) d x
dx
C)
P( x) d x
P(x )d x
P (x)d x
Ce
e
Q( x)e
A1 B1 C1 D1
.
A2 B2 C 2 D 2
5. 平面 1 : A1 x B1 y C1z D1 0 与 2 : A2 x B2 y C2 z D 2 0 垂直的判定：
1
2
n1 n2
A1 A2 B1B2 C1C 2 0 .
6. 平面 1 : A1 x B1 y C1z D1 0 与 2 : A2 x B2 y C2 z D 2 0 的夹角：
1. 由一个方程确定的隐函数微分法： F ( x, y, z) 0 确定隐函数 z f ( x, y ) ，
直接对方程左右两端关于自变量求偏导数，即
F dx x dx
F dy y dx
F z 0 ，即 zx
F 1 F 0 F z 0 ，解得 z
x
y
zx
x
Fx' Fz'
2. 由方程组确定的隐函数组微分法：
'
(t0 )
法平面方程： ' (t0 )( x x0 ) ' (t0 )( y y0 )
' (t0 )( z z0 ) 0
F ( x, y, z) 0
2). 以一般式方程
G( x, y, z)
表示的曲线在点
0
M ( x0 , y 0 , z0 ) 的切线和法平面方程：
yx
注：若二阶混合偏导数
2z
2z
与
连续，则二者相等 .
xy yx
三、二元函数的全微分： dz
z dx
x
z dy y
四、二元函数连续性、偏导数存在性以及全微分存在性三者之间的关系
1. 函数连续性与偏导数存在性的关系：二者没有任何的蕴涵关系
.
2. 偏导数存在性与全微分存在性的关系：
全微分存在，偏导数存在；反之未必 .( 偏导数不存在，全微分一定不存在 )
x x0 tm y y0 tn . z z0 tp
3. 直线的一般式方程：
A1 x
B1y C1z
D1
0 . 方向向量为 s
n1 n2 .
A2x B2 y C2 z D2 0
4. 直线方程之间的转化：
i) 点向式 参数式 3
ii) 一般式 点向式 第一步：找点
第二步：找方向向量 s n1 n2
x 5. 直线 L1 :
ux
vx
uv
，可以解出
,.
G Gu Gv
xx
0
x ux vx
七、偏导数的几何应用
1. 曲线的切线方程和法平面方程
x 1). 以参数式方程 y
z
(t ), (t), 表示的曲线在 t (t )
t0 对应的点 M ( x0 , y 0 , z0 ) 的
切线方程：
x
'
x0
(t 0)
y y0
'
(t 0)
z z0
dx
du ②．代入原方程得： u x
dx
③．分离变量后求解，即解方程
(u) ；
du
dx
；
(u) u x
④．变量还原，即再用
y 代替 u . x
3. 一阶线性微分方程及其解法
(1). 方程的形式： dy P(x) y Q( x) . dx
一阶齐次线性微分方程
dy
:
P( x) y
0.
dx
dy
一阶非齐次线性微分方程 :
F (x, y, u, v) 0
u u( x, y)
确定隐函数
，
G(x, y, u, v) 0
v v(x, y)
直接对方程组左右两端关于自变量求偏导数，即
F dx x dx G dx x dx
F dy y dx G dy y dx
Fu ux Gu ux
Fv vx Gv vx
0
，即
0
F Fu Fv
0
x
: Ax By Cz D 0 的夹角：
Am Bn Cp
sin
.
A2 B2 C 2 m2 n2 p2
11. 点 P( x0 , y 0 , z0 ) 到直线
A1 x B1 y C1z D1
0 的距离： d
A2 x B2 y C2z D2 0
四、曲线、曲面
PM s ，其中 M 是直线上任意一点， s
s
n1 n2 .