正比例函数的定义

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物理中的正比例反比例函数关系

物理中的正比例反比例函数关系正比例函数和反比例函数是物理学中非常重要的概念，被广泛应用于各种物理学问题中。

正比例函数指的是两个变量之间存在着线性关系，而反比例函数则指的是两个变量之间存在着倒数的关系。

在物理学中，这些函数关系经常出现在各种实验测试和数据记录中，因此了解和理解这些函数关系是非常重要的。

一、正比例函数的定义正比例函数是指，存在两个变量之间的线性关系，即当一个变量的值增加时，另一个变量也随之增加，且两个变量在图表上形成一条直线。

具体地说，一个变量的值随着另一个变量的值增加而增加，且增加的幅度与另一个变量的值成比例。

当我们测量一个运动物体的速度时，如果我们将时间和速度作为两个变量绘制成图表，我们会发现，当时间增加时，速度也随之增加，并形成一条经过原点的直线。

这种关系就是正比例函数关系，表达式为：v = k*t，其中v表示速度，t表示时间，k是速度和时间的比例系数。

三、正比例函数和反比例函数的应用正比例函数和反比例函数在物理学中有广泛的应用，下面分别介绍一些常见的应用：（1）正比例函数的应用在机械学中，正比例函数关系最广泛地应用于速度和加速度之间的关系。

当一个物体的速度越快，它的加速度也会越大，它受到的阻力也会越大。

而这种关系可以用正比例函数来表示，表达式为：a = k*v，其中a表示加速度，v表示速度，k是加速度和速度的比例系数。

在空气中飞行的飞机所受到的空气阻力就是一个正比例函数关系。

电阻与电流的关系也可以用正比例函数来表示。

当电路中的电流增加时，电阻也会随之增加，这是因为电流的增加会导致电路中的热量增加，而热量又会引起电阻的增加。

这种关系可以用欧姆定律来表示，即R = V/I，其中R表示电阻，V表示电压，I表示电流。

压力和体积之间的关系也可以用反比例函数来表示。

根据波义尔定理，当温度不变时，气体的体积和压力呈反比例关系，即P1V1 = P2V2，其中P1和V1表示气体压力和体积的初始值，P2和V2表示气体压力和体积的末值。

正比例函数基本概念

正比例函数是一种基本的一次函数，其定义和基本概念如下：
1. 定义：
正比例函数是形如y = kx 的数学函数，其中k 是一个非零常数（即k ≠ 0），x 是自变量，y 是因变量。

当自变量x 变化时，因变量y 会按照与x 成固定比例的方式变化。

2. 特性：
- 函数图像：正比例函数的图像是经过原点（0,0）的一条直线，斜率为k。

- 方向与斜率：当k > 0 时，图像从左下方向右上方倾斜，表示随着x 增大，y 也相应增大；当k < 0 时，图像从左上方向右下方倾斜，表示随着x 增大，y 反而减小。

- 比例系数：k 称为比例系数或斜率，它反映了y 随着x 改变的增长速度或者减少速度。

3. 一次函数与正比例函数的关系：
所有一次函数都可以写成y = mx + b 的形式，其中m 是斜率，b 是截距。

如果b = 0，那么该一次函
数就简化为正比例函数的形式，即只含有斜率项没有截距项。

4. 性质：
- 在同一坐标系中，不同的正比例函数，它们的形状都是直线，但斜率不同，因此图像的位置和倾斜程度各不相同。

- 正比例函数具有线性增长或减少的特点，不涉及任何转折点或拐点。

- 当x 的值发生变化时，y 的变化与其成正比，具体比例关系由k 确定。

综上所述，正比例函数是最简单的一类函数之一，它直观地表达了两个变量之间按一定比例相互关联的关系。

正比例函数定义

正比例函数定义
正比例函数是一种经典的数学函数，也可以称为均衡函数。

顾名思义，它的特点就是关于自然变量的输入与输出之间的比值是定值。

它可以用于描述在两个量尺内自变量与因变量的变化，也可以用于描述两个量尺内物质的变化或者描述受力的影响。

第一类正比例函数是单变量正比函数，这种函数描述的是自变量与因变量之间正比的极限关系，即当函数值最大时，自变量则最大，而反之，函数值最小时，自变量则最小。

它主要用于描述物理量受某一变量影响的变化规律。

另一类正比例函数是多变量正比函数，这种函数描述的是自变量之间正比的关系，即当函数值最大时，自变量之间的比值也是定值，而反之，函数值最小时，自变量之间的比值则也会随之发生变化。

它主要用于描述物质的扩散及受力的传递。

正比例函数一般只与正向变量有关，也就是说，输入的量值大于零时，输出的函数值必定也大于零。

它有很多应用，比如在概率论中，常常利用它来描述概率之间的关系；在热学中，它常用来表示物质之间的定化魔热反应；在复杂问题或者人工全因型中，也可以用它来描述复杂问题的变化规律。

总之，正比例函数的定义及其应用十分重要，各种形式的正比函数可以用来描述各行各业的物理或者力学过程，在数学、自然科学中占有重要地位。

第12讲正比例函数(知识解读题型精讲随堂检测)(原卷版)

第12讲正比例函数知识点1：正比例函数的定义一般地，形如y=kx(k≠0）函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数.知识点2：正比例函数图像和性质：待定系数法求正比例函数解析式1.正比例函数的表达式为y＝kx(k≠0)，只有一个待定系数k，所以只要知道除(0，0)外的自变量与函数的一对对应值或图象上一个点的坐标(原点除外)即可求出k的值，从而确定表达式．2.确定正比例函数表达式的一般步骤：(1)设——设出函数表达式，如y＝kx(k≠0)；(2)代——把已知条件代入y＝kx中；(3)求——解方程求未知数k； (4)写——写出正比例函数的表达式【题型一：正比例函数的定义】【典例1】（2023春•永定区期末）下列函数中，是正比例函数的是（）A．B．C．y＝x2D．y＝2x﹣1（2023春•赣州期末）下列式子中，表示y是x的正比例函数的是（）【变式11】A．y＝3x2B．C．D．y2＝3x【变式12】（2023春•洪江市期末）下列函数中，是正比例函数的是（）A．y＝2x﹣1B．C．D．y＝2x2+1【变式13】（2023春•朝阳区校级期中）下列变量之间的关系，一个变量是另一个变量的正比例函数的是（）A．正方形的面积S随边长x的变化而变化B．面积为20的三角形的一边上的高h随着这边长a的变化而变化C．正方形的周长C随着边长x的变化而变化L/min的流量往外放水，水箱中的剩水量V（单位：L）随着放水时间t（单位：min）的变化而变化【典例2】（2023春•兴隆县期末）已知y＝（m+1）x|m|，若y是x的正比例函数，则m的值为（）A．1B．﹣1C．1或﹣1D．0【变式21】（2023春•南皮县月考）若函数y＝（k+1）x+b﹣2是正比例函数，则（）A．k≠﹣1，b＝﹣2B．k≠1，b＝﹣2C．k＝1，b＝﹣2D．k≠﹣1，b＝2【变式22】（2023春•永春县期末）若y＝x+b是正比例函数，则b的值是（）A．0B．﹣1C．1D．任意实数【变式23】（2023春•孝感期末）若函数y＝﹣2x m﹣2+n+1是正比例函数，则m+n （）A．3B．2C．1D．﹣1【题型二：判断正比例函数图像所在象限】【典例3】（2023春•朔州期末）正比例函数的图象经过（）A．第一、二象限B．第一、三象限C．第一、四象限D．第二、四象限【变式31】（2023春•凤庆县期末）正比例函数y＝﹣3x的图象经过（）象限．A．第一、三象限B．第二、四象限C．第一、四象限D．第二、三象限【变式32】（2023春•南岗区期末）在平面直角坐标系中，正比例函数y＝﹣4x 的图象经过（）A．第一、二象限B．第一、三象限C．第二、三象限D．第二、四象限【题型三：正比例函数的性质】【典例4】（2023春•乐陵市期末）关于函数y＝2x，下列说法错误的是（）A．它是正比例函数B．图象经过（1，2）C．图象经过一、三象限D．当x＞0，y＜0【变式41】（2022秋•东胜区期末）关于函数y＝﹣3x，下列说法正确的是（）A．该函数的图象经过点（﹣3，1）B．是一次函数，但不是正比例函数C．该函数的图象经过第一、三象限D．随着x的增大，y反而减小【变式42】（2023•金山区二模）已知函数y＝kx（k≠0，k为常数）的函数值y 随x值的增大而减小，那么这个函数图象可能经过的点是（）A．（0.5，1）B．（2，1）C．（﹣2，4）D．（﹣2，﹣2）【变式43】（2022•临渭区二模）已知正比例函数y＝kx（k≠0），当自变量的值减小1时，函数y的值增大3，则k的值为（）A．B．C．3D．﹣3【题型四：判断正比例函数的比例系数大小】【典例5】（2022春•南城县校级月考）如图，三个正比例函数的图象分别对应表达式：①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx．将a，b，c按从小到大排列并用“＜”连接，正确的是（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．b＜c＜a D．a＜c＜b【变式51】（2022秋•渠县校级期中）三个正比例函数的表达式分别为①y＝ax；②y＝bx；③y＝cx，其在平面直角坐标系中的图象如图所示，则a，b，c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．b＞a＞c D．b＞c＞a【变式52】（2023秋•太仓市期末）如图，三个正比例函数的图象分别对应函数关系式：①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，将a，b，c从小到大排列并用“＜”连接为（）A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．a＜c＜b【题型五：待定系数法求正比例函数解析式】【典例6】（2023春•鼓楼区校级期末）已知y与x成正比例，且当x＝2时，y ＝4．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）若点（a，3）在这个函数图象上，求a的值．【变式61】（2023春•荆门期末）已知y与x成正比例，且x＝﹣2时y＝4，（1）求y与x之间的函数关系式；（2）设点（a，﹣2）在这个函数的图象上，求a．【变式62】（2022秋•城关区期末）已知点（，1）在函数y＝（3m﹣1）x的图象上，（1）求m的值，（2）求这个函数的解析式．【变式63】（2022秋•江宁区校级月考）已知y＝y2﹣y1，其中y1与x成正比例，y2与x+2成正比例，当x＝﹣1时，y＝2，当x＝2时，y＝10．（1）求y与x的函数表达式；（2）当x取何值时，y的值为30？【题型六：正比例函数的图像性质综合】【典例7】（2021春•灵山县期末）（1）小青学习了函数后，对画函数的图象很感兴趣，她作函数y＝|x|的图象过程如下（请补充完整空格的部分）：当x≥0时，得y＝x，当x＜0时，得y＝﹣x，她在坐标系中画出了如图1的图象，所以函数y＝|x|的图象由两条构成；同理，她用类似的方法和过程作出函数y＝|x﹣1|的图象；（2）请你在图2的坐标系中作出y＝|x﹣1|的图象；（3）学习经验拓展：根据上述的过程获得的经验，请你画出函数y＝|x﹣1|+|x|的图象．【变式7】（2022秋•大兴区校级期末）探究活动：探究函数y＝|x|的图象与性质，下面是小左的探究过程，请补充完整．（1）下表见y与x的几组对应值．x…﹣3﹣2﹣10123…y…3m10123…直接写出m的值是．（2）如图．在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．请你先描出点（﹣2．m），然后画出该函数的图象．（3）观察图象，写出函数y＝|x|的一条性质：．1．（2023春•东城区校级期中）下列函数中，是正比例函数的是（）A．y＝2x B．y＝C．y＝x2D．y＝2x﹣1 2．（2023春•信都区期末）正比例函数y＝x的图象大致是（）A．B．C．D．3．（2023•凤凰县模拟）下列图象中，表示正比例函数图象的是（）A．B．C．D．4．（2023春•灵宝市期末）已知（x1，y1）和（x2，y2）是直线y＝﹣3x上的两点，且x1＞x2，则y1与y2的大小关系是（）A．y1＞y2B．y1＜y2C．y1＝y2D．以上都有可能5．（2023春•南宁期末）一次函数y＝2x的图象经过的象限是（）A．第一、三象限B．第二、四象限C．第二、三象限D．第一、二象限6．（2023春•廊坊期末）下列关于正比例函数y＝3x的说法中，正确的是（）A．当x＝3时，y＝1B．它的图象是一条过原点的直线C．y随x的增大而减小D．它的图象经过第二、四象限7．（2022春•道里区期末）已知函数y＝（k﹣3）x，y随x的增大而减小，则常数k的取值范围是（）A．k＞3B．k＜3C．k＜﹣3D．k＜0 8．（2022•碑林区校级模拟）若一个正比例函数的图象经过点（2，﹣3），则这个图象一定也经过点（）A．（﹣3，2）B．（，﹣1）C．（，﹣1）D．（﹣，1）9．（2021•芦淞区模拟）已知正比例函数y＝（m﹣1）x的图象上两点A（x1，y1），B（x2，y2），当x1＜x2时，有y1＞y2，那么m的取值范围是（）A．m＜1B．m＞1C．m＜2D．m＞0 10．（2019•武功县一模）对于正比例函数y＝﹣2x，当自变量x的值增加1时，函数y的值增加（）A．B．C．2D．﹣2 11．（2023春•寻乌县期末）若函数y＝3x m﹣2是正比例函数，则m的值是．12．（2022春•青山区期末）已知函数y＝2x+m﹣1是正比例函数，则m＝．13．（2023•范县一模）写出一个y随x的增大而减小的正比例函数的表达式．14．（2021•包河区校级开学）已知正比例函数y＝kx，当﹣2≤x≤2时，函数有最大值3，则k的值为．15．（2022秋•宁波期末）已知y与x之间成正比例关系，且当x＝﹣1时，y＝3．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）当x＝2时，求y的值．16．（2023春•陵城区校级月考）已知y﹣2与3x﹣4成正比例函数关系，且当x ＝2时，y＝3．（1）写出y与x之间的函数解析式；（2）若点P（a，﹣3）在这个函数的图象上，求a的值；（3）若y的取值范围为﹣1≤y≤1，求x的取值范围．17．（2023春•西城区校级期中）函数问题：（1）作出y与x的函数y＝2|x|的图象；①自变量x的取值范围是；②列表并画出函数图象：x…﹣2﹣1012…y…4…③当自变量x的值从1增加到2时，则函数y的值增加了．（2）在一个变化的过程中，两个变量x与y之间可能是函数关系，也可能不是函数关系：下列各式中，y是x的函数的是．①x+y＝1；②|x+y|＝1；③xy＝1；④x2+y2＝1．。

19.2 正比例函数(原卷版)

A． B．
C． D．
【变式2-5】在直角坐标系中，y随x的增大而减小的正比例函数y＝kx的图象是（）
A． B．
C． D．
【变式2-6】（2022秋•丰顺县校级期末）在y＝k1x中，y随x的增大而减小，k1k2＜0，则在同一平面直角坐标系中，y＝k1x和y＝k2x的图象大致为（）
A． B．
C． D．
八年级下册数学《第十九章一次函数》
19.2正比例函数
◆正比例函数的概念：一般地，形如y＝kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数．
◆正比例函数反应的是两个变量之间的关系，是正比例关系.
【注意】判断一个函数是正比例函数：（1）所给等式是形如y＝kx的等式，自变量的指数只能是1.
A．a＞b＞cB．c＞b＞aC．b＞a＞cD．b＞c＞a
【变式2-9】已知正比例函数y＝（m﹣1）的图象在第二、四象限，求m的值．
【例题3】画出正比例函数y＝2x的图象．
解题技巧提炼
正比例函数的图象是一条经过原点的直线，因此可以用“两点法”画正比例函数的图象，所以经过原点与点（1，k）的直线是y＝kx（k是常数，k≠0）的图象．
A．y＝xB．y＝x+1C．y＝x2D．y
【变式1-2】（2022春•长安区校级期中）已知函数：①y＝2x﹣1；②y ；③y ；④y＝2x2，其中属于正比例函数的有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式1-3】（2022秋•无为市月考）若y关于x的函数y＝（a﹣4）x+b是正比例函数，则a，b应满足的条件是（）
A．第一、二象限B．第一、三象限
C．第一、四象限D．第二、四象限
解题技巧提炼
本题考查的是正比例函数的图象与系数的关系，根据正比例函数的性质判断k的范围是解题的关键．

正比例函数

正比例函数简介：正比例函数是数学中常见的一类函数，它们的图像是一条通过原点的直线。

本文将介绍正比例函数的定义、特点以及相关示例，以帮助读者更好地理解和应用正比例函数。

定义正比例函数是指一种函数关系，其中两个变量的比例保持不变。

设x和y是两个变量，若存在常数k使得对于任意的x，有y=kx成立，则称y是x的正比例函数。

k被称为比例系数。

通常用符号y ∝ x表示两者成比例的关系。

特点1.直线关系：正比例函数的图像是一条通过原点的直线。

这是因为当x为0时，y=k×0=0，因此原点(0,0)必然在图像上。

2.比例系数：比例系数k决定了直线的斜率。

斜率为正值时表示正相关关系，斜率为负值时则表示负相关关系。

斜率的绝对值越大，变化越快，反之则变化越慢。

3.例外情况：当比例系数k为0时，该函数不再成立。

因为此时代表变量无法通过相等的乘法关系相互联系。

示例以下是几个正比例函数的示例:示例1：函数表达式：y = 2xx | -2 | 0 | 3 | 5 |y | -4 | 0 | 6 | 10 |这个函数描述了一个正相关关系，且比例系数k为2。

当x增加1个单位时，y也增加2个单位。

以原点(0,0)为起点，连接所有的点就得到了一条通过原点的直线。

示例2：函数表达式：y = 0.5xx | -4 | 0 | 2 | 6 |y | -2 | 0 | 1 | 3 |这个函数仍然描述了一个正相关关系，但比例系数k为0.5。

即当x增加1个单位时，y增加0.5个单位。

通过连接所有的点，我们得到一条斜率较小的直线。

示例3：函数表达式：y = -3xx | -3 | 0 | 2 | 5 |y | 9 | 0 | -6 | -15 |这个例子展示了一个负相关关系，当x增加1个单位时，y减少3个单位。

我们可以通过连接所有的点得到一条斜率为负的直线。

应用正比例函数在实际生活中有许多应用。

例如：1.比例尺：地图上的比例尺可以用正比例函数来表示，其中地图上的距离与实际距离之间存在着直接成比例的关系。

15正比例函数(提高)知识讲解及其练习

正比例函数（提高）【学习目标】1. 理解正比例函数的概念，能正确画出正比例函数y kx =的图象；2. 能依据图象说出正比例函数的主要性质，解决简单的实际问题．【要点梳理】要点一、正比例函数的定义1、正比例函数的定义一般的，形如y kx = （k 为常数，且k ≠0）的函数，叫做正比例函数.其中k 叫做比例系数.2、正比例函数的等价形式（1）、y 是x 的正比例函数；（2）、y kx =（k 为常数且k ≠0）；（3）、若y 与x 成正比例；（4）、k xy =（k 为常数且k ≠0）. 要点二、正比例函数的图象与性质正比例函数y kx =（k 是常数，k ≠0）的图象是一条经过原点的直线，我们称它为直线y kx =.当k ＞0时，直线y kx =经过第一、三象限，从左向右上升，即随着x 的增大y 也增大；当k ＜0时，直线y kx =经过第二、四象限，从左向右下降，即随着x 的增大y 反而减小.要点三、待定系数法求正比例函数的解析式由于正比例函数y kx =（k 为常数，k ≠0 ）中只有一个待定系数k ，故只要有一对x ，y 的值或一个非原点的点，就可以求得k 值.【典型例题】类型一、正比例函数的定义1、若函数22432m n y x m n -+=-+-是y 关于x 的正比例函数，求m 、n 的值.【思路点拨】正比例函数的一般式为(0)y kx k =≠，要特别注意定义满足0k ≠，x 的指数为1．【答案与解析】解：由题意，得221320m n m n -+=⎧⎨-=⎩ 解得 11.5m n =⎧⎨=⎩ ∴当1, 1.5m n ==时，y 是x 的正比例函数.【总结升华】理解正比例函数的概念应抓住解析式中的两个主要特征：（1）k 不等于零；（2）x 的指数是1.举一反三：【变式】（春•凉州区校级月考）x 、y 是变量，且函数y=（k+1）x |k|是正比例函数，求K 的值．【答案】解：根据正比例函数的定义可得：k+1≠0，|k|=1，解得；k=1．2、设有三个变量x 、y 、z ，其中y 是x 的正比例函数，z 是y 的正比例函数（1）求证：z 是x 的正比例函数；（2）如果z ＝1，x ＝4时，求出z 关于x 的函数关系式.【答案与解析】解：（1）由题意，设11(0)y k x k =≠，22(0)z k y k =≠，12,k k 为常数 12z k k x =∴120,0k k ≠≠ ∴120k k ≠且为常数∴z 是x 的正比例函数；12z k k x =∴12(0)k k ≠（2）当z ＝1，x ＝4时，代入12z k k x = ∴1214k k = ∴z 关于x 的函数关系式是14z x =. 【总结升华】在本题中，按照题意，比例系数要设为不同的12,k k ，不要都设为k ，产生混淆.举一反三：【变式】已知z m y =+，m 是常数，y 是x 的正比例函数，当x ＝2时，z ＝1；当x ＝3时，z ＝－1，求z 与x 的函数关系．【答案】解：由题意，y kx =，z m kx =+ ,∵x ＝2时，z ＝1；当x ＝3时，z ＝－1，∴1＝m ＋2k ，－1＝m ＋3k解得k ＝－2，m ＝5∴z ＝－2x ＋5.类型二、正比函数的图象和性质3、（•眉山）若函数y=（m ﹣1）x |m|是正比例函数，则该函数的图象经过第象限．【思路点拨】根据正比例函数定义可得：|m|=1，且m ﹣1≠0，计算出m 的值，然后可得解析式，再根据正比例函数的性质可得答案．【答案与解析】解：由题意得：|m|=1，且m ﹣1≠0，解得：m=﹣1，函数解析式为y=﹣2x ，∵k=﹣2＜0，∴该函数的图象经过第二、四象限．【总结升华】此题主要考查了正比例函数的定义和性质，关键是掌握形如y=kx （k 是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数；正比例函数y=kx （k 是常数，k≠0），当k ＞0时，直线y=kx 依次经过第三、一象限，从左向右上升，y 随x 的增大而增大；当k ＜0时，直线y=kx 依次经过第二、四象限，从左向右下降，y 随x 的增大而减小．举一反三：【变式】已知正比例函数()21y t x =-的图象上一点（1x ，1y ），且1x 1y ＜0，那么t 的取值范围是（）A. t ＜12 B ．t ＞12 C ．t ＜12或t ＞12 D ．不确定【答案】A ；提示：因为1x 1y ＜0，所以该点的横、纵坐标异号，即图象经过二、四象限，则2t －1＜0，t ＜12．类型三、正比例函数的应用4、已知正比例函数4y x =的图像上有一点P(x ,y )和一点A(6，0)，O 为坐标原点，且△PAO 的面积等于12，你能求出P 点坐标吗？【思路点拨】画出草图，可知三角形的底边长为|OA|＝6，高为P 点纵坐标的绝对值，利用面积等于12求解.【答案与解析】解：依题意：1122P S OA y =⋅⋅=∵O （0，0），A （6，0）∴OA ＝6 ∴4,44p P P y y y ===-∴或41,(1,4)P y x P ==当时，此时；41,(1,4)P y x P =-=---当时，此时P 1414-综上：点的坐标为（，）或（-，）【总结升华】求点的坐标需要求点到坐标轴的垂线段的长，利用面积即可求出垂线段的长.【巩固练习】一.选择题1．下列说法中，不正确的是（）．A ．在21y x =+中，y 是x 的正比例函数B ．在12y x =-中，y 是x 的正比例函数C ．在xy ＝3中，y 是1x 的正比例函数D ．正方形的边长与周长为正比例关系2. 1P （1x ，1y ），2P （2x ，2y ）是正比例函数y x =-图象上的两点，则下列判断正确的是（）A ．1y ＞2yB ．1y ＜2yC ．当1x ＜2x 时，1y ＞2yD ．当1x ＜2x 时，1y ＜2y3.（秋•松江区校级期中）在水管放水的过程中，放水的时间x （分）与流出的水量y （立方米）是两个变量．已知水管每分钟流出的水量是0.2立方米，放水的过程共持续10分钟，则y 关于x 的函数图象是（）A ．B ．C ．D ．4．（•丽水）在直角坐标系中，点M ，N 在同一个正比例函数图象上的是（）A ．M （2，﹣3），N （﹣4，6）B ．M （﹣2，3），N （4，6）C ．M （﹣2，﹣3），N （4，﹣6）D ．M （2，3），N （﹣4，6）5. 正比例函数2y k x =-（k ≠0），下列结论正确的是（）A ．y ＞0B ．y 随x 的增大而增大C ．y ＜0D ．y 随x 的增大而减小6. 已知正比例函数y kx =（k ≠0）的图象如图所示，则在下列选项中k 值可能是（）A.1B.2C.3D.4二.填空题7．（春•山西校级月考）已知y 与x+1成正比例，且x=1时，y=2．则x=﹣1时，y 的值是．8．如图所示，直线1l 、2l 、3l 的解析式分别为1y ax =，2y bx =，3y cx =，则a 、b 、c 三个数的大小关系是________．9. 若函数()239y a x a =-+-是正比例函数，则a ＝________，图象过第______象限.10. 已知函数（k 为常数）为正比例函数，则k ＝____．此函数图象经过第______象限；y 随x 的增大而__________．11.（春•晋江市期末）在正比例函数y=（k ﹣2）x 中，y 随x 的增大而增大，则k 的取值范围是．12. 已知点A （1，－2），若A ，B 两点关于x 轴对称，则B 点的坐标为______,若点（3，n ）在函数2y x =-的图象上，则n ＝_______.三.解答题13. 已知5y +与34x +成正比例，当1x =时，2y =，（1）求y 与x 的函数关系式；（2）求当1x =-时的函数值；（3）如果y 的取值范围是05y ≤≤，求x 的取值范围。

正比例函数的定义

02
正比例函数的应用
物理应用
自由落体运动
在自由落体运动中，物体的速度与时间成正比，即速度v=gt，其
中g是重力加速度。
弹簧伸长
在弹性限度内，弹簧的伸长量与作用在其上的力成正比，即x=F/k，其中F是力，k是弹簧的劲度系数。
电流与电压
在纯电阻电路中，电流与电压成正比，即I=U/R，其中U是电压，R是电阻。
数学应用
线性回归分析
函数单调性
在回归分析中，当自变量和因变量之间存在线性关系时，可以使用正比例函数进行拟合。
正比例函数在其定义域内是单调递增或递减的，取决于其系数k的正负。
斜率计算
在平面坐标系中，直线的斜率等于其上两点间纵坐标差与横坐标差之商，即m=(y2-y1)/(x2-x1)，当x2=x1时，斜率不存在。
04
正比例函数与其他函数的区别与联系
与一次函数的区别与联系
一次函数的一般形式为 $y = ax + b$，其中 $a neq 0$，而正比例函数是特殊的一次函数，形式为 $y = kx$，其中 $k neq 0$。正比例函数可以看作是一次函数中 $b = 0$ 的特殊情况。
正比例函数和一次函数的图像都是直线，但正比例函数的图像过原点，而一次函数的图像不过原点。
类比学习
通过与其他函数进行类比，找出正比例函数的特殊性质和一般规律。
解题技巧
掌握解题技巧，如代数运算、函数代换等，提高解题效率。
学习建议
1 2
注重基础
在学习正比例函数时，应注重基础知识的学习，不要急于求成。
多做练习
通过大量的练习，加深对正比例函数的理解和掌握。
3
及时复习

正比例函数变量之间的关系

正比例函数变量之间的关系我们来了解一下正比例函数的定义。

正比例函数可以写成y=kx的形式，其中k是常数，称为比例系数。

这个函数表示y随着x的增加或减少而成比例地增加或减少。

当x增加1个单位时，y也增加k个单位。

如果k为正数，则y随着x的增加而增加；如果k为负数，则y随着x的增加而减少。

正比例函数的特点是直线图像经过原点，并且斜率为常数k。

当k 大于0时，直线向右上方倾斜；当k小于0时，直线向右下方倾斜。

斜率的绝对值越大，直线的倾斜程度越大，代表了变量之间的增长速度。

正比例函数在现实生活中有着广泛的应用。

举个例子，我们来看看购买水果的情况。

假设每个苹果的价格是1元，那么购买n个苹果的总价格y就是y=n*1。

这个函数描述了购买苹果数量和总价格之间的关系，可以看出随着购买数量的增加，总价格也相应增加。

类似地，正比例函数也可以用来描述其他商品的价格和数量之间的关系。

比如购买书籍、电子设备等，当我们购买的数量增加时，总价格也会相应增加。

这种关系在商业中很常见，可以帮助商家和消费者更好地理解市场需求和价格变化。

除了商业领域，正比例函数在科学研究中也有着重要的应用。

例如在物理学中，正比例函数可以描述力和位移之间的关系。

根据胡克定律，弹簧的伸长量与施加的力成正比。

这个关系可以用正比例函数表示为y=kx，其中y是伸长量，x是施加的力，k是弹簧的弹性系数。

通过实验测量伸长量和施加的力，我们可以确定弹簧的弹性系数，进而研究弹簧的性质和应用。

除了物理学，正比例函数还在经济学、生物学、工程学等领域中广泛应用。

在经济学中，正比例函数可以描述供求关系、价格和产量之间的关系等。

在生物学中，正比例函数可以描述生物体的生长和发育过程。

在工程学中，正比例函数可以描述电阻和电流之间的关系，帮助工程师设计电路和设备。

总结一下，正比例函数是一种常见的数学函数形式，用来描述两个变量之间的关系。

它的特点是直线图像经过原点，并且斜率为常数。

正比例函数在商业、科学和生活中都有广泛的应用，帮助我们理解和解释现象，做出决策和预测。

正比例函数与反比例函数

正比例函数与反比例函数1. 引言正比例函数和反比例函数是数学中常见的函数类型，它们在实际问题中有着广泛的应用。

本文将详细介绍正比例函数和反比例函数的定义、特点以及实际应用，以便读者更好地理解和应用这两种函数。

2. 正比例函数2.1 定义正比例函数是一种函数关系，表示当自变量的值增大（或减小时），因变量的值也相应地增大（或减小）的函数。

在数学符号中，正比例函数可以用y = kx表示，其中k为比例常数。

2.2 特点正比例函数的特点有：- 图像呈现直线；- 图像通过原点，即函数的解析式中没有常数项；- 若自变量增大，则因变量亦增大，且变化的速率相同。

2.3 实际应用正比例函数在实际问题中有着广泛的应用，例如：- 物理学中的速度和时间的关系，当物体匀速运动时，其速度与时间成正比；- 经济学中的成本和产量的关系，当生产规模扩大时，成本和产量之间存在正比例关系；- 地理学中的距离和时间的关系，当行驶速度恒定时，两地距离和到达时间成正比。

3. 反比例函数3.1 定义反比例函数是一种函数关系，表示当自变量的值增大（或减小时），因变量的值相应地减小（或增大）的函数。

在数学符号中，反比例函数可以用y = k/x表示，其中k为比例常数。

3.2 特点反比例函数的特点有：- 图像呈现曲线，通常为双曲线；- 图像与两个坐标轴都有渐进线，即函数的解析式中没有常数项；- 若自变量增大，则因变量减小，且变化的速率不同。

3.3 实际应用反比例函数在实际问题中也有广泛的应用，例如：- 物理学中的电阻和电流的关系，当电路中的电压不变时，电阻和电流成反比例关系；- 经济学中的价格和需求的关系，当商品价格上涨时，需求量下降，价格和需求成反比例关系；- 化学学中的稀释度和浓度的关系，当添加溶剂时，溶液的浓度与稀释度成反比例。

4. 比较与应用示例正比例函数和反比例函数的区别在于图像的形状和变化的速率不同。

正比例函数的变化速率相同，图像为直线，而反比例函数的变化速率不同，图像为曲线。

正比例函数概念

正比例函数的概念
一般地，两个变量x，y之间的关系式可以表示成形如y=kx（k为常数，且k≠0）的函数，那么y就叫做x的正比例函数。
正比例函数属于一次函数，但一次函数却不一定是正比例函数。正比例函数是一次函数的特殊形式，即一次函数y=kx+b中，若b＝0，即所谓“y轴上的截距”为零，则为正比例函数。正比例函数的关系式表示为：y=kx（k为比例系数）
定义域为x≠0；值域为y≠0。
3.因为在y=k/x(k≠0)中，x不能为0，y也不能为0，所以反比例函数的图象不可能与x轴相交，也不可能与y轴相交。
4.在一个反比例函数图象上任取两点P，Q，过点P，Q分别作x轴，y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S1，S2则S1＝S2=|K|
5.反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴y=x y=-x（即第一三，二四象限角平分线），对称中心是坐标原点。
6.若设正比例函数y=mx与反比例函数y=n/x交于A、B两点（m、n同号），那么A B两点关于原点对称。
7.设在平面内有反比例函数y=k/x和一次函数y=mx+n，要使它们有公共交点，则b²+4k·m≥（不小于）0。
8.反比例函数y=k/x的渐近线：x轴与y轴。
[编辑本段]反比例函数的应用举例
【例1】反比例函数的图象上有一点P（m, n）其坐标是关于t的一元二次方程t2-3t+k=0的两根，且P到原点的距离为根号13，求该反比例函数的解析式．
分析：
要求反比例函数解析式，就是要求出k，为此我们就需要列出一个关于k的方程．
解：∵m, n是关于t的方程t2-3t+k=0的两根
∴m+n=3，mn=k,
又PO=根号13，

正比例函数的定义

老张讲数学
正比例函数的定义
正比例函数的定义
正比例函数的定义：形如 y=kx(k≠0)的函数，叫做正比例函数，其中k叫比例系数。
1、形式上是一个一次单项式，单项式系数就是比例系数k
2、正比例函数的特征：（1）k≠0；（2）自变量的指数为“1”
3、一般情况下正比例函数自变量取值范围为一切实数，但在特殊情况下自变量取值范围会有所不同
一、设所求的正比例函数解析式。二、把已知的自变量的值和对应的函数值代入所设的解析式，得到以比例系数k为未知数的方程，解这个方程求出比例系数k。三、把k的值代入所设的解析式。
不是正比例函数
是正比例函数，正比例系数为2
判定一个函数是否是正比例函数，要从化简后来判断！
待 4、已知y与x成正比例，当x=4时，y=8，试求
定系数
y与x的函数解析式
解：∵y与x成正比例又∵当x=4时，y=8
∴y=kx ∴8=4k
法 ∴k=2
∴y与x的函数解析式为：y=2x
待定系数法求正比例函数解析式的一般步骤
正比例函数的定义
3.下列式子，哪些表示y是x的正比例函的）值y ．2x
是正比例函数，正比例系数为-0.1
是正比例函数，正比例系数为0.5
（3）y=2x2
（4）y2=4x
不是正比例函数
不是正比例函数
（5）y=-4x+3
（6） y=2(x－x2 )+2x2
正比例函数的定义
正比例函数的定义：形如 y=kx(k≠0)的函数，叫做正比例函数，其中k叫比例系数。
4、y与x成正比例函数 y=kx(常数k≠0)
5、从函数关系看，关键是比例系数k，比例系数k一确定，正比例函数就确定了；只需知

什么是正比例函数

什么是正比例函数正比例函数是数学中的一种特殊类型的函数，也是初中数学中的重要内容之一。

本文将以通俗易懂的语言介绍正比例函数的定义、性质、图像和应用等方面的知识。

一、正比例函数的定义正比例函数是指当自变量的值改变时，函数值也按相同比例发生变化的函数。

它的定义可以表示为：如果一个函数y=kx，其中x和y分别是自变量和函数值，而k是一个常数，那么这个函数就是正比例函数。

其中，k称为比例系数或比例常数。

二、正比例函数的性质1. 零点性质：当自变量为0时，正比例函数的函数值为0。

2. 单调性质：当自变量的值增大时，函数值也随之增大；反之，自变量的值减小时，函数值也随之减小。

3. 比例关系：自变量和函数值之间存在着一种恒定的比例关系，当自变量的值成倍增加或成倍减少时，函数值也相应地成倍增加或成倍减少。

三、正比例函数的图像正比例函数的图像通常是通过原点的直线，其斜率就是比例常数k。

当k>0时，函数图像为上斜直线；当k<0时，函数图像为下斜直线；当k=0时，函数图像为水平直线y=0。

四、正比例函数的应用正比例函数在现实生活中有着广泛的应用。

以下是一些常见的应用场景：1. 比例尺：地图上的比例尺就是一个正比例函数，它关系到实际距离和地图上的比例。

2. 聚会费用分摊：当朋友们一起聚会时，费用可以根据每个人的消费金额成比例分摊。

3. 速度和时间关系：在汽车行驶过程中，速度和时间之间存在着一种正比例关系，即速度等于行驶距离除以行驶时间。

综上所述，正比例函数是指当自变量的值改变时，函数值也按相同比例发生变化的函数。

它具有零点性质、单调性质和比例关系等性质。

其图像为直线，斜率为比例系数k。

正比例函数在现实生活中有着广泛的应用，比如比例尺、费用分摊和速度与时间关系等。

通过学习正比例函数，可以帮助我们更好地理解数学知识，并将其应用于实际问题中。

正比例函数k

正比例函数k一、概述正比例函数是高中数学中的一个重要概念，也是初学者必须掌握的基本知识之一。

它是指两个变量之间的关系，其中一个变量是另一个变量的倍数。

在本文中，我们将详细介绍正比例函数的定义、性质、图像以及如何绘制正比例函数的图像。

二、定义正比例函数k是指当一个变量x增加时，另一个变量y也随之按照相同的比例增加。

这里的k就是两个变量之间的比例系数，通常称作“常数项”。

正比例函数可以用以下公式表示：y = kx其中，y和x分别表示两个变量，k表示它们之间的比例系数。

三、性质1. 当x=0时，y=0。

2. 当x>0时，y>0。

3. 当x<0时，y<0。

4. 当k>0时，y和x具有相同的符号；当k<0时，y和x具有相反的符号。

5. 正比例函数在坐标系中呈现为一条经过原点且斜率为k的直线。

四、图像我们可以通过手工计算或使用计算机软件来绘制正比例函数的图像。

下面我们将介绍如何手工绘制图像。

1. 确定坐标轴首先，我们需要在纸上画出坐标系。

我们可以使用直角坐标系或极坐标系，具体取决于我们需要绘制的函数形式。

2. 确定比例系数k接下来，我们需要确定正比例函数的比例系数k。

这个值通常是由问题本身给出的，例如“每增加1个单位的x，y增加3个单位”中的比例系数就是3。

3. 绘制图像现在我们可以开始绘制正比例函数的图像了。

根据公式y=kx，在坐标轴上选择任意一个点P(x,y)，然后计算出另一个点Q(x+1,y+k)，并将它们连成一条直线。

重复这个过程直到绘制出整条函数曲线。

五、代码实现下面是一个Python程序，可以用来生成正比例函数的图像。

该程序使用了matplotlib库来绘制图像，并允许用户自定义比例系数k和x 范围。

```import matplotlib.pyplot as pltdef plot_proportionality(k, x_range):x = [i for i in range(x_range[0], x_range[1]+1)]y = [k*i for i in x]plt.plot(x, y)plt.xlabel('x')plt.ylabel('y')plt.title(f'y = {k}x')plt.show()plot_proportionality(2, [-5, 5])```在这个程序中，我们定义了一个名为`plot_proportionality`的函数，它接受两个参数：比例系数k和x范围。

初中数学知识归纳正比例函数的概念和性质

初中数学知识归纳正比例函数的概念和性质正比例函数是初中数学中重要的概念之一。

在学习正比例函数的过程中，我们需要了解它的定义、性质以及相关的应用。

本文将对正比例函数的概念和性质进行归纳，帮助读者更好地理解和掌握这一知识点。

一、正比例函数的定义正比例函数是指两个变量之间的关系是成正比的函数。

具体地说，设变量x和y成正比，通常表示为y=kx，其中k是比例系数。

在正比例函数中，两个变量的比值始终保持不变。

二、正比例函数的性质1. 变量之间的比值恒定：正比例函数中，变量y与变量x的比值为常数k。

无论x的取值如何变化，y与x的比值始终保持不变。

2. 图像通过原点：正比例函数的图像必定经过坐标原点(0,0)，这是因为当x为0时，根据函数公式y=kx，可以得到y=0。

这也符合正比例性质，即当x变为0时，y也会变为0。

3. 图像为一条直线：正比例函数的图像是一条直线，且直线的斜率为比例系数k。

这是因为正比例函数可以表示为y=kx，其一阶导数为常数k，因此函数图像为直线。

4. 图像延伸性：正比例函数可以根据比例系数的正负值得到不同的图像。

当k>0时，函数图像从原点向右上方延伸；当k<0时，函数图像从原点向右下方延伸。

5. 当k=1时的特殊情况：当比例系数k=1时，正比例函数变为一次函数y=x。

这是因为正比例函数中的比值恒定为1，即y与x相等。

三、正比例函数的应用正比例函数在实际生活中有着广泛的应用。

以下列举几个常见的例子：1. 比例尺：在地图中，比例尺用来表示实际距离和地图上的距离之间的关系。

当实际距离和地图上的距离成正比时，我们可以利用比例尺来测量实际距离。

2. 每小时行驶的里程：在汽车行驶中，速度与时间的关系通常是成正比的。

例如，一辆汽车每小时行驶60英里，那么2个小时行驶的里程将是120英里。

3. 电话费用：电话费用通常根据通话时间计算。

如果电话费用与通话时间成正比，我们可以根据通话时间来计算电话费用。

人教版同步教参数学八年级下册-一次函数(一)：正比例函数

一次函数第 1 节正比例函数【知识梳理】1、正比例函数的定义一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数。

备注：（1）正比例函数y=kx必须满足两个条件：①比例系数k≠0，②自变量x的次数是1（2）在判断一个函数是否是正比例函数时，只要看其是否满足y=kx（k≠0）的形式即可；若求函数的解析式，只要求出比例系数k的值，解析式就可以确定了。

（3）求正比例函数的解析式采用待定系数法，即设所求解析式为y=kx,将图象上的点的坐标代入解析式，求出k即可。

2、正比例函数的图象与性质=（k是常数，k≠0）的图象是一条经过原点与点（1，k）的直线，我们称正比例函数y kx=。

其图象和性质如下表：它为直线y kx3、确定正比例函数的关系式=（k是常数，k≠0），就是确定比例系数k（k≠0）的值，一确定正比例函数的关系式y kx般步骤如下：（1）先根据条件设出函数解析式y kx =；（2）确定一对自变量和函数的对应值（或图象上一个点的坐标）；（3）把对应值代入函数解析式，列出方程，解方程求出k 的值；（4）确定函数解析式。

【诊断自测】1、下列函数中是正比例函数的有（） ①y kx =；②13y x =-；③1y x=；④2y x =-；⑤1y x =-+ A.①③ B.② C.①③⑤ D.①②④2、如果正比例函数y kx =的图象经过点（1，-2），那么k 的值等于________。

3、画正比例函数2y x =的图象。

4、如图所示的函数图象中，正比例函数的图象是（）。

A ． B. C. D.5、111(,)P x y ，222(,)P x y 是正比例函数y x =-图象上的两点，则下列判断正确的是（）。

A. 12y y > B. 12y y < C.当12x x <时，12y y > D.当12x x <时，12y y < 6、正比例函数y kx =的图象经过点A （1,3），（1）求这个函数的解析式；（2）请判断点B （2,6）是否在这个正比例函数的图象上，并说明理由。

正比例函数与反比例函数的交点规律

正比例函数与反比例函数的交点规律一、引言正比例函数与反比例函数是初中数学中的重要概念，它们在实际生活中有着广泛的应用。

本文旨在探究正比例函数与反比例函数的交点规律，为初学者提供更深入的理解。

二、正比例函数与反比例函数的定义1. 正比例函数正比例函数是指两个量之间的关系是成正比例的，即当一个量增加时，另一个量也随之增加，并且它们之间存在一个固定的比值。

其一般形式为y=kx（其中k为常数，称为比例系数）。

2. 反比例函数反比例函数是指两个量之间的关系是成反比例的，即当一个量增加时，另一个量会随之减少，并且它们之间存在一个固定的积值。

其一般形式为y=k/x（其中k为常数，称为比例系数）。

三、交点规律1. 两个正比例函数相交当两个正比例函数相交时，它们会在第一象限内相交。

根据两个正比例函数的一般形式y1=k1x和y2=k2x，在第一象限内它们会有一个共同点(x,y)，使得y1=y2。

因此有k1x=k2x，解得x=k1/k2。

将x代入任意一个函数的一般形式中即可求出y。

2. 两个反比例函数相交当两个反比例函数相交时，它们会在第一象限内相交。

根据两个反比例函数的一般形式y1=k1/x和y2=k2/x，在第一象限内它们会有一个共同点(x,y)，使得y1=y2。

因此有k1/x=k2/x，解得x=sqrt(k1/k2)。

将x代入任意一个函数的一般形式中即可求出y。

3. 一个正比例函数和一个反比例函数相交当一个正比例函数和一个反比例函数相交时，它们会在第一象限内相交。

根据正比例函数和反比例函数的一般形式y1=k1x和y2=k2/x，在第一象限内它们会有一个共同点(x,y)，使得y1=y2。

因此有k1x=k2/x，解得x=sqrt(k1/k2)。

将x代入任意一个函数的一般形式中即可求出y。

四、实际应用正比例函数与反比例函数在实际生活中有着广泛的应用。

例如：1. 正比例函数：工人的工资与工作时间成正比；购买某种商品的数量与花费金额成正比等。

19.2.1正比例函数的概念(教案)

最后，我觉得自己在教学过程中还要注意以下几点：
1.语言表达要更加简洁明了，避免使用复杂的术语和概念，让学生更容易理解。
2.课堂氛围要活跃，鼓励学生积极参与，提高他们的学习热情。
3.注重培养学生的数据分析能力，让他们在实际问题中学会运用正比例函数。
关于小组讨论，我觉得可以适当增加一些具有挑战性的问题，让学生在讨论中深入探讨正比例函数的内涵和实际应用。同时，我要关注每个小组的讨论进度，适时给予引导，帮助他们解决问题。
在总结回顾环节，我发现部分学生对正比例函数的知识点掌握不够扎实。因此，我需要在课后加强个别辅导，关注这部分学生的学习情况，确保他们能够跟上教学进度。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调正比例函数的定义和性质这两个重点。对于难点部分，比如比例系数k的理解，我会通过实际案例和图示来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与正比例函数相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，比如测量物体质量和重力之间的关系，演示正比例函数的基本原理。
4.培养学生的逻辑推理核心素养，让学生在学习过程中学会运用严密的数学逻辑进行推理，提高思维品质。
5.培养学生的数据分析核心素养，通过对正比例函数实例的分析，学会收集、整理、分析数据，提高数据解读能力。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-正比例函数的定义：y=kx（k为常数，k≠0），这是本节课的核心内容。教师应重点讲解比例系数k的意义，以及自变量x与因变量y的关系。
(1)如果一辆自行车的速度保持不变，那么它行驶的距离与时间之间的关系可以用正比例函数表示。
(2)当物体的质量与重力的关系遵循正比例函数时，可以通过测量质量来计算重力，反之亦然。

正比例函数详细知识点总结

正比例函数详细知识点总结一、正比例函数的定义1、正比例函数的定义给定两个变量x和y，如果存在一个常数k，使得当x增大k倍时，y也增大k倍，那么称y是x的正比例函数。

我们可以用数学式表示为：y = kx其中，k为常数，称为比例系数。

2、比例系数的含义比例系数k表示两个变量之间的比例关系。

当k>1时，表示y随着x的增大而增大，当0<k<1时，表示y随着x的增大而减小，当k=1时，表示y和x成正比例关系。

3、正比例函数的定义域和值域对于正比例函数y=kx，定义域为实数集R，即x可以是任意实数；值域也为实数集R。

二、正比例函数的性质1、图像特点正比例函数的图像是一条经过原点的直线。

当k>1时，图像是从原点开始向上倾斜的直线；当0<k<1时，图像是从原点开始向下倾斜的直线；当k=1时，图像是经过原点的斜率为1的直线。

2、性质（1）通过原点正比例函数的图像必经过原点，因为当x=0时，y=0。

（2）斜率性质正比例函数的图像斜率为k，斜率表示函数随着自变量的变化而变化的速率。

（3）单调性当k>0时，正比例函数为增函数；当k<0时，正比例函数为减函数。

三、正比例函数的解题方法1、确定比例系数在解题时，首先需要确定比例系数k，可以通过已知条件或者数据关系来确定。

2、构建函数关系根据已知条件构建出正比例函数的函数式。

3、解题步骤（1）根据已知条件确定比例系数k；（2）构建出正比例函数的函数式；（3）应用正比例函数的性质和图像特点进行问题分析和解答。

四、正比例函数的应用正比例函数在实际问题中有着广泛的应用，尤其在数学建模和物理问题中常常出现。

下面举例说明正比例函数的应用：1、代买水果小明要在市场上代买水果，水果摊上的价格是正比例关系，每斤水果的价格是3元，小明要买的数量和购买的金额之间也是正比例关系。

如果他要买5斤水果，需要支付多少钱？解题步骤：（1）根据已知条件确定比例系数k为3；（2）构建出正比例函数的函数式y=3x；（3）代入x=5即可求得所需支付的金额为15元。

正比例函数的概念

正比例函数的概念
正比例函数是一种特殊的函数，它的定义形式为 y = kx，其中 k 是常数，称为比例系数。

在这种函数中，当 x 增加时，y 也会按照同样的
比例增加。

因此，这种函数被称为正比例函数。

正比例函数在数学中有着广泛的应用。

例如，在物理学中，速度和时
间之间的关系就可以用正比例函数来表示。

如果我们假设一个物体沿
着直线运动，并且它的速度是恒定不变的，则它所运动的距离与时间
之间就存在着一个正比例关系。

另外，在经济学中，收入和消费之间也可以用正比例函数来表示。

假
设一个人每月的收入是固定不变的，则他所能够消费的金额也会随着
收入而按照同样的比例增加。

需要注意的是，在正比例函数中，当 x = 0 时，y 的值也必须等于 0 。

这是因为如果 x = 0 而 y 不等于 0 ，则这个函数就不能被称为正比例
函数了。

此外，在实际应用中，我们还需要注意到一些特殊情况。

例如，在某
些情况下，当 x 增加到一定程度时，y 的增长可能会出现饱和现象。

这时，我们就需要重新考虑这个函数是否还能够被称为正比例函数。

总之，正比例函数是一种非常基础的数学函数，它在各个领域都有着广泛的应用。

通过对正比例函数的研究，我们可以更好地理解和应用它在实际问题中的作用。

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