北师大九年级数学上册第四章《探索三角形相似的条件》基础训练2
2022-2023学年北师大版九年级数学上册《4-4探索三角形相似的条件》同步达标测试题(附答案)
2022-2023学年北师大版九年级数学上册《4.4探索三角形相似的条件》同步达标测试题（附答案）一．选择题（共12小题，满分48分）1．图形中，每个小网格均为正方形网格，带阴影部分的三角形中与如图△A1B1C1相似的是（）A．B．C．D．2．如图，在△ABC中，D，E两点分别在BC，AC上，且AD平分∠BAC，若∠ABE＝∠C，BE与AD相交于点F，则图中与△ABD相似的是（）A．△ABC B．△ABF C．△BFD D．△AEF3．如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，DE与BC不平行，那么下列条件中，不能判断△ADE∽△ACB的是（）A．∠ADE＝∠C B．∠AED＝∠B C．＝D．＝4．已知△ABC三边长是，，2，与△ABC相似的三角形三边长可能是（）A．1，，B．1，，C．1，，D．1，，5．如图，D是△ABC边AB上一点，添加一个条件后，仍然不能使△ACD∽△ABC的是（）A．∠ACB＝∠ADC B．∠ACD＝∠ABC C．D．6．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A≠∠B，点P是边AC上一点（不与A、C重合），过P点的一条直线与△ABC的边相交，所构成的三角形与原三角形相似，这样的直线有（）条．A．1B．2C．3D．47．如图，△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，则下列条件中，不一定能使△AED∽△ABC的是（）A．∠2＝∠B B．∠1＝∠C C．D．8．如图：点D在△ABC的边AB上，连接CD，下列条件：①∠ACD＝∠B；②∠ADC＝∠ACB；③AC2＝AD•AB；④AB•CD＝AC•BC．其中能判定△ACD∽△ABC的共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个9．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，则在下列四个条件中：①∠AED＝∠B；②DE∥BC；③；④AD•BC＝DE•AC，能满足△ADE∽△ACB的条件有（）A．1个B．2个C．3个D．4个10．如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，BC＝6，点P从点B出发以1个单位/s的速度向点A运动，同时点Q从点C出发以2个单位/s的速度向点B运动．当以B，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间为（）A．s B．s C．s或s D．以上均不对11．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，则在下列五个条件中：①∠AED＝∠B；②DE∥BC；③＝；④AD•BC＝DE•AC；⑤∠ADE＝∠C，能满足△ADE∽△ACB的条件有（）A．1个B．2个C．3个D．4个12．如图，正方形ABCD中，F为AB上一点，E是BC延长线上一点，且AF＝EC，连接EF，DE，DF，M是FE中点，连接MC，设FE与DC相交于点N．则4个结论：①DN ＝DG；②△BFG∽△EDG∽△BDE；③CM垂直BD；④若MC＝，则BF＝2；正确的结论有（）个A．4B．3C．2D．1二．填空题（共4小题，满分20分）13．如图，∠B＝∠D，请你添加一个条件，使得△ABC∽△ADE，这个条件可以是．14．如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E、F分别是BC、CD的中点，DE、AF交于点G，AF的中点为H，连接BG、DH．给出下列结论：①AF⊥DE；②DG＝；③HD∥BG；④△ABG∽△DHF．其中正确的结论有．（请填上所有正确结论的序号）15．如图，在△ABC中，AB≠AC．D、E分别为边AB、AC上的点．AC＝3AD，AB＝3AE，点F为BC边上一点，添加一个条件：，可以使得△FDB与△ADE 相似．（只需写出一个）16．如图，在△ABC中，P为AB上一点，在下列四个条件中：①∠ACP＝∠B；②∠APC ＝∠ACB；③AC2＝AP•AB；④AB•CP＝AP•CB，能满足△APC与△ACB相似的条件是（只填序号）．三．解答题（共8小题，满分52分）17．已知：如图，点C，D在线段AB上，△PCD是等边三角形，且AC＝1，CD＝2，DB ＝4．求证：△ACP∽△PDB．18．如图，已知∠1＝∠2，∠AED＝∠C，求证：△ABC∽△ADE．19．如图，AB•AE＝AD•AC，且∠1＝∠2，求证：△ABC∽△ADE．20．如图，点E是四边形ABCD的对角线BD上一点，且∠BAC＝∠BDC＝∠DAE．求证：△ABE∽△ACD．21．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于点D，点E是AB上一点，连接DE，BD2＝BC•BE．证明：△BCD∽△BDE．22．如图，在△ABC中，AB＝8cm，BC＝16cm，点P从点A开始沿AB向B以2cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC向C点以4cm/s的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒钟△PBQ与△ABC相似？23．如图，已知AD•AC＝AB•AE．求证：△ADE∽△ABC．24．如图，在△ABC中，AB＝AC＝1，BC＝，在AC边上截取AD＝BC，连接BD．（1）通过计算，判断AD2与AC•CD的大小关系；（2）求∠ABD的度数．参考答案一．选择题（共12小题，满分48分）1．解：因为△A1B1C1中有一个角是135°，选项中，有135°角的三角形只有B，且满足两边成比例夹角相等，故选：B．2．解：在△ABE与△ACB中，∠ABE＝∠C，∠BAE＝∠CAB，∴△ABE∽△ACB，∴∠AEB＝∠ABC，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠EAF，∴△ABD∽△AEF．故选：D．3．解：∵∠DAE＝∠CAB，∴当∠ADE＝∠C时，△ADE∽△ACB；当∠AED＝∠B时，△ADE∽△ACB；当＝时，△ADE∽△ACB．故选：C．4．解：∵△ABC三边长是，，2，∴△ABC三边长的比为：2：＝1：：，∴△ABC相似的三角形三边长可能是1，，，故选：A．5．解：A、当∠ACB＝∠ADC时，再由∠A＝∠A，可得出△ACD∽△ABC，故此选项不合题意；B、当∠ACD＝∠ABC时，再由∠A＝∠A，可得出△ACD∽△ABC，故此选项不合题意；C、当＝时，再由∠A＝∠A，可得出△ACD∽△ABC，故此选项不合题意；D、当＝时，无法得出△ACD∽△ABC，故此选项符合题意；故选：D．6．解：如图，过点P作AB的平行线，或作BC的平行线，或作AB的垂线，或作∠CPD＝∠B，共4条直线，故选：D．7．解：∠A＝∠A，A、若添加∠2＝∠B，可利用两角法判定△AED∽△ABC，故本选项错误；B、若添加∠1＝∠C，可利用两角法判定△AED∽△ABC，故本选项错误；C、若添加＝，可利用两边及其夹角法判定△AED∽△ABC，故本选项错误；D、若添加＝，不能判定△AED∽△ABC，故本选项正确；故选：D．8．解：①∠A＝∠A，∠ACD＝∠B，∴△ACD∽△ABC，②∵∠A＝∠A，∠ADC＝∠ACB，∴△ACD∽△ABC，③∵AC2＝AD•AB，∴，∵∠A＝∠A，∴△ACD∽△ABC，④条件不符合，不能判定△ACD∽△ABC，故选：C．9．解：①∠B＝∠AED，∠A＝∠A，则可判断△ADE∽△ACB，故①符合题意；②DE∥BC，则△ADE∽△ABC，故②不符合题意，③，且夹角∠A＝∠A，能确定△ADE∽△ACB，故③符合题意；④由AD•BC＝DE•AC可得＝，此时不确定∠ADE＝∠ACB，故不能确定△ADE∽△ACB，故④不符合题意，故选：B．10．解：设运动时间为t秒．BP＝t，CQ＝2t，BQ＝BC﹣CQ＝6﹣2t，当△BAC∽△BPQ，＝，即＝，解得t＝；当△BCA∽△BPQ，＝，即＝，解得t＝，综上所述，当以B，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间为s或s，故选：C．11．解：①∠B＝∠AED，∠A＝∠A，则可判断△ADE∽△ACB，故①符合题意；②DE∥BC，则△ADE∽△ABC，故②不符合题意，③，且夹角∠A＝∠A，能确定△ADE∽△ACB，故③符合题意；④由AD•BC＝DE•AC可得，此时不确定∠ADE＝∠ACB，故不能确定△ADE∽△ACB；故④不符合题意，⑤∠ADE＝∠C，∠A＝∠A，则可判断△ADE∽△ACB，故⑤符合题意；故选：C．12．解：正方形ABCD中，AD＝CD，在△ADF和△CDE中，，∴△ADF≌△CDE（SAS），∴∠ADF＝∠CDE，DE＝DF，∴∠EDF＝∠FDC+∠CDE＝∠FDC+∠ADF＝∠ADC＝90°，∴∠DEF＝45°，∵∠DGN＝45°+∠FDG，∠DNG＝45°+∠CDE，∠FDG≠∠CDE，而∠FDG与∠CDE不一定相等，∴∠DGN与∠DNG不一定相等，故判断出①错误；∵△DEF是等腰直角三角形，∵∠ABD＝∠DEF＝45°，∠BGF＝∠EGD（对顶角相等），∴△BFG∽△EDG，∵∠DBE＝∠DEF＝45°，∠BDE＝∠EDG，∴△EDG∽△BDE，∴△BFG∽△EDG∽△BDE，故②正确；连接BM、DM．∵△AFD≌△CED，∴∠FDA＝∠EDC，DF＝DE，∴∠FDE＝∠ADC＝90°，∵M是EF的中点，∴MD＝EF，∵BM＝EF，∴MD＝MB，在△DCM与△BCM中，，∴△DCM≌△BCM（SSS），∴∠BCM＝∠DCM，∴CM在正方形ABCD的角平分线AC上，∴MC垂直平分BD；故③正确；过点M作MH⊥BC于H，则∠MCH＝45°，∵MC＝，∴MH＝＝1，∵M是EF的中点，BF⊥BC，MH⊥BC，∴MH是△BEF的中位线，∴BF＝2MH＝2，故④正确；综上所述，正确的结论有②③④．故选：B．二．填空题（共4小题，满分20分）13．解：∵∠B＝∠D，∴添加∠C＝∠E或∠BAC＝∠DAE或∠BAD＝∠CAE或＝，可证△ABC∽△ADE．故答案为：∠C＝∠E或∠BAC＝∠DAE或∠BAD＝∠CAE或＝．14．解：∵四边形ABCD为正方形，∴∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，∵E和F分别为BC和CD中点，∴DF＝EC＝2，∴△ADF≌△DCE（SAS），∴∠AFD＝∠DEC，∠F AD＝∠EDC，∵∠EDC+∠DEC＝90°，∴∠EDC+∠AFD＝90°，∴∠DGF＝90°，即DE⊥AF，故①正确；∵AD＝4，DF＝CD＝2，∴AF＝，∴DG＝AD×DF÷AF＝，故②错误；∵H为AF中点，∴HD＝HF＝AF＝，∴∠HDF＝∠HFD，∵AB∥DC，∴∠HDF＝∠HFD＝∠BAG，∵AG＝＝，AB＝4，∴，∴△ABG∽△DHF，故④正确；∴∠ABG＝∠DHF，而AB≠AG，则∠ABG和∠AGB不相等，故∠AGB≠∠DHF，故HD与BG不平行，故③错误；故答案为：①④．15．解：DF∥AC，或∠BFD＝∠A．理由：∵∠A＝∠A，＝＝，∴△ADE∽△ACB，∴①当DF∥AC时，△BDF∽△BAC，∴△BDF∽△EAD．②当∠BFD＝∠A时，∵∠B＝∠AED，∴△FBD∽△AED．故答案为DF∥AC，或∠BFD＝∠A．16．解：前三项正确，因为他们分别符合有两组角对应相等的两个三角形相似；两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似．故相似的条件是①，②，③．三．解答题（共8小题，满分52分）17．证明：∵△PCD是等边三角形，∴∠PCD＝∠PDC＝60°，PC＝CD＝PD＝2，∴∠PCA＝∠PDB＝120°，∵AC＝1，BD＝4，∴，＝，∴＝，∴△ACP∽△PDB．18．证明：∵∠1＝∠2，∴∠1+∠BAE＝∠2+∠BAE，即∠DAE＝∠BAC，∵∠AED＝∠C，∴△ABC∽△ADE．19．证明：如图，∵AB•AE＝AD•AC，∴＝．又∵∠1＝∠2，∴∠2+∠BAE＝∠1+∠BAE，即∠BAC＝∠DAE，∴△ABC∽△ADE．20．解：∵∠BAC＝∠BDC，∠AOB＝∠DOC，∴∠ABE＝∠ACD又∵∠BAC＝∠DAE∴∠BAC+∠EAC＝∠DAE+∠EAC∴∠DAC＝∠EAB∴△ABE∽△ACD．21．证明：∵BD平分∠ABC，∴∠DBE＝∠CBD．∵BD2＝BC•BE，∴，∴△BCD∽△BDE．22．解：设在开始运动后第x秒，△BPQ与△BAC相似，由题意得：AP＝2xcm，PB＝（8﹣2x）cm，BQ＝4x，分两种情况考虑：当∠BPQ＝∠C，∠B＝∠B时，△PBQ∽△CBA，∴，即解得：x＝0.8，当x＝0.8秒时，△BPQ与△BAC相似；当∠BPQ＝∠A，∠B＝∠B时，△BPQ∽△BAC，∴，即，解得：x＝2，当x＝2秒时，△BPQ与△BAC相似．综上，当x＝0.8秒或2秒时，△BPQ与△BAC相似．23．证明：∵AD•AC＝AE•AB，∴＝在△ABC与△ADE中∵＝，∠A＝∠A，∴△ABC∽△ADE．24．解：（1）∵AD＝BC，BC＝，∴AD＝，DC＝1﹣＝．∴AD2＝＝，AC•CD＝1×＝．∴AD2＝AC•CD．（2）∵AD＝BC，AD2＝AC•CD，∴BC2＝AC•CD，即．又∵∠C＝∠C，∴△BCD∽△ACB．∴，∠DBC＝∠A．∴DB＝CB＝AD．∴∠A＝∠ABD，∠C＝∠BDC．设∠A＝x，则∠ABD＝x，∠DBC＝x，∠C＝2x．∵∠A+∠ABC+∠C＝180°，∴x+2x+2x＝180°．解得：x＝36°．∴∠ABD＝36°．。
北师大版九年级上册九年级上册第四章4.4探索三角形相似的条件(二)
北师大版九年级上册九年级上册第四章4.4探索三角形相似的条件（二）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列数据分别表示两个三角形的边，则两个三角形相似的是（ ）A ．3，2，4与9，12.6B ．2，4，5与4，9，12C ．3，4，5与2，2.5，1D ．2.5，5，4与0.5，1.1，1.5 2．要做甲、乙两个形状相同（相似）的三角形框架，已知甲三角形框架三边的长分别为50 cm 、60 cm 、80 cm ，乙三角形框架的一边长为20 cm ，则符合条件的乙三角形框架共有（ ）.A ．1种B ．2种C ．3种D ．4种 3．ABC ∆和A B C '''∆符合下列条件，其中ABC ∆和A B C '''∆不相似的是（ ） A ．45A A '︒∠=∠=，26B ︒∠=，109B '︒∠=B ．1AB =， 1.5AC =，2BC =，4A B ''=，2A C ''=，3B C ''=C ．A B '∠=∠，2AB =， 2.4AC =， 3.6A B ''=，3B C ''=D ．3AB =，5AC =，7BC =，A B ''=A C ''=B C ''=4．如图，在大小为44⨯的正方形网格中，是相似三角形的是（ ）A ．甲和乙B ．乙和丙C ．甲和丙D ．乙和丁5．ABC ，2，DEF 的两边长分别为1，如果ABC DEF ∽，那么DEF 的第三边长可能是下列数中的（ ）A ．B ． 2C ．D ． 6．已知△ABC 的三边长分别为6 cm ，7.5 cm ，9 cm ，△DEF 的一边长为4 cm ，若想得到这两个三角形相似，则△DEF 的另两边长是下列的( )A ．2 cm ，3 cmB ．4 cm ，5 cmC ．5 cm ，6 cmD ．6 cm ，7 cm7．如图，若A 、B 、C 、P 、Q 、甲、乙、丙、丁都是方格纸中的格点，为使△ABC ∽△PQR ，则点R 应是甲、乙、丙、丁四点中的（ ）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁8．在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比．已知这本书的长为20cm ，则它的宽约为（ ）A ．12.36cmB ．13.6cmC ．32.36cmD ．7.64cm9．如图，扇子的圆心角为0x ，余下扇形的圆心角为与y ︒，x 与y 的比通常按黄金比来设计，这样的扇子外形比较美观，若黄金比取0.6，则x 为（ ）A ．144B ．135C ．136D ．10810．某校要举办国庆联欢会，主持人站在舞台的黄金分割点处最自然得体．如图，若舞台AB 的长为20m ，C 为AB 的一个黄金分割点(AC BC)<，则AC 的长为（结果精确到0.1m ）（ ）A ．6.7mB ．7.6mC ．10mD ．12.4m二、填空题11．在ABC ∆中，6AB =，8AC =，在A B C '''∆中，4A B ''=，3AC ''=.若:BC B C ''= ______，则ABC ∆∆∽______.12．如图，点O 是ABC ∆内任意一点，且13AD AO =，13BE BO =，13CF CO =，则ABC ∆∽______，其相似比为______.13．如图，在正方形网格上画有梯形ABCD ，则BDC ∠的度数为______.14．已知点C 是线段AB 的黄金分割点，即12AC AB -=，那么AC CB =____.15．如果把两条邻边中较短边与较长边的比值为12的矩形称作黄金矩形.那么，现将长度为20cm 的铁丝折成一个黄金矩形，这个黄金矩形较短的边长是_____cm .三、解答题16．如图，在4×4的正方形方格中，△ABC 和△DEF 的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上.（1）填空：∠ABC= °，BC= ；（2）判断△ABC 与△DEF 是否相似，并证明你的结论.17．在ABC ∆与111A B C ∆中，6AB =，8BC =，10AC =，119A B =，1112B C =，1115AC =，试问ABC ∆与111A B C ∆相似吗？请说明理由.18．如图，AB BC AC AD DE AE==．求证：∠ BAD =∠CAE ．19．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC 和△DEF 的顶点都在格点上，P 1，P 2，P 3，P 4，P 5是△DEF 边上的5个格点，请按要求完成下列各题：（1）试证明三角形△ABC 为直角三角形；（2）判断△ABC 和△DEF 是否相似，并说明理由；（3）画一个三角形，使它的三个顶点为P 1，P 2，P 3，P 4，P 5中的3个格点并且与△ABC 相似（要求：不写作法与证明）．20．如图，已知90MON ︒∠=，A 是MON ∠内部的一点，过点A 作AB ON ⊥，垂足为点B ，3AB =厘米，4OB =厘米，动点E ，F 同时从O 点出发，点E 以1.5厘米/秒的速度沿ON 方向运动，点F 以2厘米/秒的速度沿OM 方向运动，EF 与OA 交于点C ，连接AE ，当点E 到达点B 时，点F 随之停止运动.设运动时间为(0)t t >秒.(1)当1t =秒时，EOF ∆与ABO ∆是否相似？请说明理由；(2)在运动过程中，不论t 取何值时，总有EF OA ⊥，为什么？21．如图，在矩形ABCD 中，1AB =，2AD =，且四边形ABFE 是一个正方形，试问点F 是BC 的黄金分割点吗？请说明理由.（补全解题过程）解：点F 是BC 的黄金分割点.理由如下：∵四边形ABFE 是一个正方形，∴1BF AB ==.又∵在矩形ABCD 中，2BC AD ==，∴BF BC=______. ∴点F 是BC 的黄金分割点.22．定义：如图1，点C 在线段AB 上，若满足AC 2=BC•AB ，则称点C 为线段AB 的黄金分割点．如图2，△ABC中，AB=AC=1，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D．（1）求证：点D是线段AC的黄金分割点；（2）求出线段AD的长．23．人体下半身（即脚底到肚脐的长度）与身高的比越接近0.618越给人以美感，遗憾的是，即使是身体修长的芭蕾舞演员也达不到如此完美.某女士身高1.68m.下半身1.02m，她应选择多高的高跟鞋看起来更美丽？（精确到0.l cm)参考答案1．A【分析】如果两个三角形的三组对应边成比例，那么这两个三角形相似. 【详解】A.2346912==,B.2454912≠≠ C.34512 2.5≠= D.2.5450.5 1.1 1.5≠≠故选项A能组成相似三角形.故选A【点睛】考核知识点：相似三角形的判定.理解判断条件是关键.2．C【解析】试题分析：根据相似图形的定义，可由三角形相似，那么它们边长的比相同，均为5：6：8，乙那个20cm的边可以当最短边，最长边和中间大小的边．故选：C．点睛：本题考查的是相似形的定义，相似图形的形状相同，但大小不一定相同．3．D【解析】【分析】根据：如果两个三角形的三组对应边成比例，那么这两个三角形相似.【详解】根据相似三角形的判定方法可知选项D中．对应边不成比例，则△ABC和△A′B′C′不相似，故选:D．【点睛】题考查了相似三角形的判定，①有两个对应角相等的三角形相似；②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似．4．C【分析】分别求得四个三角形三边的长，再根据三角形三边分别成比例的两三角形相似来判定．【详解】，23；丙中的三角形的三边分别是：2，丁中的三角形的三边分别是：3，；只有甲与丙中的三角形的三边成比例：2==∴甲与丙相似．故选：C．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定方法、勾股定理等，熟记定理的内容是解题的关键．5．A【解析】【分析】本题可根据相似三角形的性质：相似三角形的对应边成比例，来求出△DEF的第三边的长．【详解】解：设△DEF的第三边长为x，∵△ABC∽△DEF，且△ABC，2，△DEF的其中的两边长分别为1，=x2，∴，即：△DEF；故选：A．【点睛】此题考查了相似三角形的性质，相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．6．C【解析】设△DEF的另两边为xcm，ycm，若△DEF中为4cm边长的对应边为6cm，则：，解得：x=5，y=6；若△DEF中为4cm边长的对应边为7.5cm，则：，解得：x=3.2，y=4.8；若△DEF中为4cm边长的对应边为9cm，则：，解得：，；故选C．7．C【解析】分析：令每个小正方形的边长为1，分别求出两个三角形的边长，从而根据相似三角形的对应边成比例即可找到点R对应的位置．解答：解：根据题意，△ABC要使△ABC∽△PQR，则△PQR经计算只有丙点合适，故选C．8．A【分析】根据黄金分割比性质可得出结果.【详解】已知书的宽与长之比为黄金比，书的长为20cm，根据黄金分割的比值约为0.618可得书的宽约为20×0.618=12.36cm．故答案选A．【点睛】本题考查黄金分割比，熟记比值大约0.618是解题的关键．9．B【解析】【分析】由题意得到x与y的比值应为黄金比，根据黄金比为0.6，得到x与y比值为0.6，即为3：5，又根据扇子的圆心角与余下的圆心角刚好构成周角，即x与y之和为360，根据比例性质即可求出x的值．【详解】由扇子的圆心角为x°，余下扇形的圆心角为y°，黄金比为0.6，根据题意得：x：y=0.6=3：5，又∵x+y=360，则x=360×38=135．故选：B．【点睛】此题考查了黄金分割，以及比例的性质，解题的关键是根据题意列出x与y的关系式．10．B【解析】试题分析：根据黄金比值约为0.618进行计算即可．解：∵C为AB的一个黄金分割点，∴BC=AB≈12.4cm，∴AC=20﹣12.4=7.6cm，故选B．考点：黄金分割．11．3:2，///A C B【解析】【分析】三组对应边的比相等，则两个三角形相似．【详解】根据相似三角形判定，在ABC ∆中，6AB =，8AC =，在A B C '''∆中，4A B ''=，3AC ''=.若:BC B C ''=3:2，则///ABC A C B ∆∆∽故答案为3:2，///ABC A C B ∆∆∽【点睛】题考查了相似三角形的判定，①有两个对应角相等的三角形相似；②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似． 12．DEF ∆ 3:2【解析】【分析】 三组对应边的比相等的两个三角形相似；求出DE AB =EF BC =DF AC 可得. 【详解】 因为13AD AO =，13BE BO =，∠AOB=∠DOE 所以⊿AOB~⊿DOE 所以13DE AB = 同理，13EF BC =,13DF AC = 所以DE AB =EF BC =DF AC所以ABC ∆∽DEF ∆故答案为：(1). DEF ∆ (2). 3:2【点睛】此题主要考查相似三角形的判定方法：（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．13．135°【解析】【分析】由已知可得△ABD∽△DCB，故∠BAD=∠BDC.【详解】 ∵由已知可得AD BD =AB DC =BD BC∴△ABD∽△DCB，∴∠BAD=∠BDC，又∠BAD=180°-45°=135°，∴∠BDC=135°，故答案为：135°．【点睛】考核知识点：相似三角形的判定和性质.理解判定是关键.14 【解析】【分析】根据已知可得AC CB =化简可得. 【详解】因为点C 是线段AB 的黄金分割点，即AC AB =，那么AC CB ==【点睛】 本题主要考查了黄金分割的定义：线段上一点把线段分为较长线段和较短，若较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，即较长线段是整个线段的12倍，则这个点叫这条线段的黄金分割点，难度适中．15．(15-【分析】设这个黄金矩形较长的边长是xcm ，根据题意得：220x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，解方程可得. 【详解】设这个黄金矩形较长的边长是xcm ，根据题意得：12202x x ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，解得：x= 5，5)(15⨯-=-cm ．故答案为(15-【点睛】考核知识点：黄金分割点的应用.理解黄金分割的意义是关键.16．(1) (2)△ABC ∽△DEF .【解析】【分析】（1）根据已知条件，结合网格可以求出∠ABC 的度数，根据，△ABC 和△DEF 的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上，利用勾股定理即可求出线段BC 的长；（2）根据相似三角形的判定定理，夹角相等，对应边成比例即可证明△ABC 与△DEF 相似．【详解】(1)9045135ABC ∠=+=，BC ===故答案为(2)△ABC ∽△DEF .证明：∵在4×4的正方形方格中， 135,9045135ABC DEF ∠=∠=+=，∴∠ABC =∠DEF .∵2,2,AB BC FE DE ====∴2AB BC DE FE ==== ∴△ABC ∽△DEF .【点睛】考查勾股定理以及相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键. 17．相似.理由见解析.【解析】【分析】 根据三组对应边的比相等的两个三角形相似；证111111AB BC AC A B B C AC ==. 【详解】相似.理由如下： ∵116293AB A B ==， 1182123BC B C ==，11102153AC A C ==， ∴111111AB BC AC A B B C AC ==. ∴111ABC A B C ∆∆∽.【点睛】此题主要考查相似三角形的判定方法：（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．18．证明见解析．【解析】试题分析：由已知条件AB：AD=BC：DE=AC：AE，证得△ABC∽△ADE，根据相似三角形的性质得到∠BAC=∠DAE，即可得到结论．试题解析：证明：∵AB BC AC AD DE AE==，∴△ABC∽△ADE．∴∠BAC=∠DAE．∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC．∴∠ BAD=∠CAE．点睛：本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．19．(1)证明见解析；（2）相似，（3）作图见解析.【解析】试题分析：（1）利用网格得出AB2=20，AC2=5，BC2=25，再利用勾股定理逆定理得出答案即可；（2）利用AB=2，AC=，BC=5以及DE=4，DF=2，EF=2，利用三角形三边比值关系得出即可；（3）根据△P2P4P5三边与△ABC三边长度得出答案即可．解：（1）∵AB2=20，AC2=5，BC2=25；∴AB2+AC2=BC2，根据勾股定理的逆定理得△ABC 为直角三角形；（2）△ABC和△DEF相似．由（1）中数据得AB=2，AC=，BC=5，DE=4，DF=2，EF=2．====，∴△ABC ∽△DEF ．（3）如图：连接P 2P 5，P 2P 4，P 4P 5，∵P 2P 5=，P 2P 4=，P 4P 5=2，AB=2，AC=，BC=5，∴===，∴△ABC ∽△P 2P 4P 5．考点：作图—相似变换；勾股定理的逆定理；相似三角形的判定．20．（1)相似.理由见解析；(2) 见解析.【解析】【分析】（1）由 1.5132EO AB ==，2142OF BO ==，90EOF ABO ︒∠=∠=，得EOF ABO ∆∆∽； （2）证Rt Rt EOF ABO ∆∆∽，得EFO AOB ∠=∠.【详解】（1)相似.理由如下：∵1t =，∴ 1.5EO =厘米，2OF =厘米.∵3AB =厘米，4OB =厘米， ∴ 1.5132EO AB ==，2142OF BO ==. ∵AB ON ⊥，∴90EOF ABO ︒∠=∠=，∴EOF ABO ∆∆∽.(2)在运动过程中， 1.5EO t =厘米，2OF t =厘米.∵3AB =厘米，4OB =厘米，∴EO OF AB BO=. 又∵90EOF ABO ︒∠=∠=，∴Rt Rt EOF ABO ∆∆∽，∴EFO AOB ∠=∠.∵90AOB FOC ︒∠+∠=，∴90EFO FOC ︒∠+∠=，即90FCO ︒∠=，∴EF OA ⊥，即不论t 取何值，总有EF OA ⊥.【点睛】考核知识点：相似三角形的判定和性质.理解判定和性质是关键.21 【解析】【分析】根据正方形性质，1BF AB ==，2BC AD ==，得BF BC =. 【详解】解：点F 是BC 的黄金分割点.理由如下：∵四边形ABFE 是一个正方形，∴1BF AB ==.又∵在矩形ABCD 中，2BC AD ==，∴BF BC =. ∴点F 是BC 的黄金分割点.【点睛】考核知识点：黄金分割点.理解意义是关键.22． （1）详见解析（2） 【分析】 （1）判断△ABC ∽△BDC ，根据对应边成比例可得出答案． （2）根据（1）列出方程即可求出AD 的长度．【详解】解：（1）∵∠A=36°，AB=AC ，∴∠ABC=∠ACB=72°． ∵BD 平分∠ABC ，∴∠CBD=∠ABD=36°，∠BDC=72°．∴AD=BD ，BC=BD ． ∴△ABC ∽△BDC ．∴BD CD AB BC =，即AD CD AB AD =．∴AD 2=AC•CD ． ∴点D 是线段AC 的黄金分割点．（2）由（1）AD 2=AC•CD ，即AD 2=AC•（AC ﹣AD ），AD 2=1﹣AD ，AD 2+AD ﹣1=．解得（舍去负值）．∴． 23．她应选择大约4. 8cm 的高跟鞋看起来更美丽.【解析】【分析】设她应该选择高跟鞋的高为cm x .由题意，得1020.618168x x +=+. 【详解】设她应该选择高跟鞋的高为cm x . 由题意，得1020.618168x x+=+， 解得 4.8x ≈.即她应选择大约4. 8cm 的高跟鞋看起来更美丽.【点睛】考核知识点：黄金分割的运用.理解题意，列出方程是关键.。
北师大版九年级数学上册九年级数学上册 第四章 4.4 探索三角形相似的条件(二)
北师大版九年级上册九年级上册第四章 4.4 探索三角形相似的条件（二）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题1 . 如图，小芳和爸爸正在散步，爸爸身高1.8m，他在地面上的影长为2.1m．若小芳比爸爸矮0.3m，则她的影长为（）A．1.3m B．1.65m C．1.75m D．1.8m2 . 若△ABC∽△DEF，且对应高线比为4：9，则△ABC与△DEF的周长比为（）A．2：3B．3：2C．4：9D．16：813 . 如图，下列条件中不能判定△ACD∽△ABC的是（）A．∠ADC＝∠ACBB．C．∠ACD＝∠B D．AC2＝AD•AB4 . 下列说法正确的是（）A．对角线相等且互相平分的四边形是菱形B．对角线垂直且相等的四边形是正方形C．两角分别相等的两个三角形相似D．两边成比例且一角相等的两个三角形相似5 . 如图，已知BC交AD于点E，AB∥EF∥CD，那么图中相似的三角形共有（）A．1对B．2对C．3对D．4对6 . 如图，AB∥CD∥EF，则图中相似三角形的对数为（）A．4对B．3对C．2对D．1对7 . 晚上,小亮走在大街上发现:当他站在大街两边的两盏路灯之间,并且自己被两边路灯照在地上的两个影子成一直线时,自己右边的影子长为3 m,左边的影子长为1.5 m,又知自己身高1.80 m,两盏路灯的高相同,两盏路灯之间的距离为12 m,则路灯的高为（）A．6.6 m B．6.7 m C．6.8 m D．6.9 m8 . 如图，是线段上的一点，且，那么等于（）A．B．C．D．9 . △ABC的三边之比为3∶4∶5，若△ABC∽△A′B′C′，且△A′B′C′的最短边长为6，则△A′B′C′的周长为（）A．36B．24C．17D．1210 . 如图，在中，已知点在上，点在上，，，下列结论中正确的是（）A．B．C．D．二、填空题11 . 如图，要使，还需添加的条件________．12 . 已知点C是AB的黄金分割点(AC <BC)，若AB=4cm，则AC的长为_________cm.13 . □ABCD中，点P在对角线BD上（不与点B， D重合），添加一个条件，使得△BCD与△ADP相似，这个条件可以是________14 . 如图，△ABC中，DE∥FG∥BC，若AD＝DF＝FB，△ADE、梯形DEGF、梯形BCGF的面积分别为S1、S2、S3，则S1：S2：S3是_____．15 . 如果把两条邻边中较短边与较长边的比值为的矩形称作黄金矩形.那么，现将长度为20的铁丝折成一个黄金矩形，这个黄金矩形较短的边长是_____.三、解答题16 . 背景材料：在学习全等三角形知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型，它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．通过资料查询，他们知道这种模型称为手拉手模型．例如：如图1，两个等腰直角三角形△ABC和△ADE，∠BAC＝∠EAD＝90°，AB＝AC，AE＝AD，如果把小等腰三角形的腰长看作是小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手，这个就是手拉手模型，在这个模型中易得到△ABD≌△ACE．学习小组继续探究：（1）如图2，已知△ABC，以AB，AC为边分别向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE，请作出一个手拉手图形（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹），并连接BE，CD，证明BE＝CD；（2）小刚同学发现，不等腰的三角形也可得到手拉手模型，例如，在△ABC中AB＞AC，DE∥BC，将三角形ADE 旋转一定的角度（如图3），连接CE和BD，证明△ABD∽△ACE．学以致用：（3）如图4，四边形ABCD中，∠CAB＝90°，∠ADC＝∠ACB＝α，tanα＝，CD＝5，AD＝12．请在图中构造小刚发现的手拉手模型求BD的长．17 . 如图，在△ABC中，∠ACB=90º，AC=3，BC=4．D是BC边上一点，直线DE⊥BC于D，交AB于E，CF//AB 交直线DE于A．设CD=x．（1）当x取何值时，四边形EACF是菱形？请说明理由；（2）当x取何值时，四边形EACF的面积等于3？18 . 把下列左边的图形放大到右边的格点图中．19 . 如图Ⅰ，在第四象限的矩形ABCD，点A与坐标原点O重合，且AB=4，AD=3.如图Ⅱ，矩形ABCD沿OC方向以每秒1个单位长度的速度运动，同时点Q从B点出发也以每秒1个单位长度的速度沿矩形ABCD的边BC经过点C向点D运动，当点Q到达点D时，矩形ABCD和点Q同时停止运动，设点Q运动的时间为t秒.（1）在图Ⅰ中，点C的坐标(____),在图Ⅱ中，当t=2时，点A坐标(______),Q坐标(______)（2）当点Q在线段BC或线段CD上运动时，求出△ACQ的面积S关于t的函数关系式，并写出t的取值范围;（3）点Q在线段BC或线段CD上运动时，作QM⊥x轴，垂足为点M，当△QMO与△ACD相似时，求出相应的t值.20 . 已知菱形的一个角与三角形的一个角重合，然后它的对角顶点在这个重合角的对边上，这个菱形称为这个三角形的亲密菱形，如图，在△CFE中，CF=6，CE=12，∠FCE=45°，以点C为圆心，以任意长为半径作AD，再分别以点A和点D为圆心，大于AD长为半径做弧，交EF于点B，AB∥CA．（1）求证：四边形ACDB为△CFE的亲密菱形；（2）求四边形ACDB的面积.21 . 已知：如图，已知△ABC 中 AB=6cm，AC=4cm，动点 D、E 同时从 A、B 两点出发，分别沿A→C、B→A 方向匀速移动，它们的速度分别是 1cm/s 和2cm/s，当点 E 到达点 A 时，D、E 两点停止运动．设运动时间为t（s），问：当 t 为何值时，△ADE 与△ABC 相似？22 . 如图所示，△ABC内接于⊙O，AD是△ABC的边BC上的高，AE是⊙O的直径，连接BE. 求证：△ABE∽△ADC .如图，已知抛物线与x轴交于点A(-2,0),B(4,0)，与y轴交于点C(0,8)．(1) 求抛物线的解析式及其顶点D的坐标(2)设直线CD交x轴于点E，过点B作x轴的垂线，交直线CD于点F，在坐标平面内找一点G，使以点G、F、C为顶点的三角形与△CO E相似，请直接写出符合要求的，并在第一象限的点G的坐标；(3)在线段OB的垂直平分线上是否存在点P，使得点P到直线CD的距离等于点P到原点O的距离？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；(4)将抛物线沿其对称轴平移，使抛物线与线段EF总有公共点．试探究：抛物线向上最多可平移多少个单位长度？参考答案一、单选题1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、二、填空题1、2、3、4、5、三、解答题1、2、3、4、5、6、7、8、。
2022-2023年北师大版九年级数学上册《4-4探索三角形相似的条件》同步练习题(附答案) (2)
2022-2023学年北师大版九年级数学上册《4.4探索三角形相似的条件》同步练习题（附答案）一．选择题1．如图，D，E是△ABC边上的两个点，请你再添加一个条件，使得△ABC∽△AED，则下列选项不成立的是（）A．＝B．＝C．∠C＝∠ADE D．∠B＝∠AED 2．如图，△ABC中，P为边AB上一点，下列选项中的条件，不能说明△ACP与△ACB相似的是（）A．∠ACP＝∠B B．∠APC＝∠ACBC．AC2＝AP×AB D．AB×CP＝BC×AC3．如图，小正方形的边长均为1，则A、B、C、D四个选项中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（）A．B．C．D．4．如图，在△ABC中点D在线段BC上，请添加一条件使△ABC∽△DBA，则下列条件中一定正确的是（）A．AB2＝AC•BD B．AB2＝BC•BDC．AB•AD＝BD•BC D．AB•AD＝AC•BD5．如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，DE与BC不平行，那么下列条件中，不能判断△ADE∽△ACB的是（）A．∠ADE＝∠C B．∠AED＝∠B C．＝D．＝6．如图，在矩形ABCD中，AB＝10，AD＝4，点P是边AB上一点，若△APD与△BPC相似，则满足条件的点P有（）个．A．1B．2C．3D．47．如图，在三角形纸片中，∠A＝80°，AB＝6，AC＝8．将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形相似的有（）A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④8．如图，D是△ABC边AB上一点，添加一个条件后，仍不能使△ACD∽△ABC的是（）A．∠ACD＝∠B B．∠ADC＝∠ACB C．D．AC2＝AD•AB9．如图，已知矩形ABCD中，点E是边AD上的任一点，连接BE，过E作BE的垂线交BC延长线于点F，交边CD于点P，则图中共有相似三角形（）A．6对B．5对C．4对D．3对10．如图，平行四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，点E是OA的中点，连接BE并延长交AD于点F，S△AEF＝4，则下列结论：①FD＝2AF；②S△BCE＝36；③S△ABE＝16；④△AEF∽△ACD，其中一定正确的是（）A．①②③④B．①②C．②③④D．①②③11．如图，△ACD和△ABC相似需具备的条件是（）A．B．C．AC2＝AD•AB D．CD2＝AD•BD 12．如图，点A，B，C，D的坐标分别是（1，7），（1，1），（4，1），（6，1），以C，D，E 为顶点的三角形与△ABC相似，则点E的坐标不可能是（）A．（6，0）B．（6，3）C．（6，5）D．（4，2）13．如图，AB∥CD，AE∥FD，AE，FD分别交BC于点G，H，则图中共有相似三角形（）A．4对B．5对C．6对D．7对二．填空题14．如图，在平面直角坐标系xOy中．边长为4的等边△OAB的边OA在x轴上，C、D、E分别是AB、OB、OA上的动点，且满足BD＝2AC，DE∥AB，连接CD、CE，当点E 坐标为时，△CDE与△ACE相似．15．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，∠ABC＝90°，且AB＝3，点E是边AB上的动点，当△ADE，△BCE，△CDE两两相似时，则AE＝．16．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，点D、E分别是AC，BC的中点，点F是AD上一点，将△CEF沿EF折叠得△C，EF，C，F交BC于点G．当△CFG与△ABC相似时，CF的长为．17．边长为2的正方形ABCD中E是AB的中点，P在射线DC上从D出发以每秒1个单位长度的速度运动，过P作PF⊥DE，当运动时间为秒时，以点P，F，E为顶点的三角形与△AED相似．18．如图，在正方形ABCD中，M是BC边上的动点N在CD上，且CN＝CD，若AB＝2，设BM＝x，当x＝以A、B、M为顶点的三角形和以N、C、M为顶点的三角形相似．三．解答题19．如图，在平面直角坐标系中，已知OA＝6厘米，OB＝8厘米．点P从点B开始沿BA 边向终点A以1厘米/秒的速度移动；点Q从点A开始沿AO边向终点O以1厘米/秒的速度移动．若P、Q同时出发，运动时间为t（s）．（1）当t为何值时，△APQ与△AOB相似？（2）当t为何值时，△APQ的面积为8cm2？20．如图，在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝8cm．点E、F、G分别从点A、B、C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动．点E、G的速度均为2cm/s，点F的速度为4cm/s，当点F追上点G（即点F与点G重合）时，三个点随之停止移动．设移动开始后第t秒时，△EFG的面积为S（cm2）（1）当t＝1秒时，S的值是多少？（2）写出S和t之间的函数解析式，并指出自变量t的取值范围；（3）若点F在矩形的边BC上移动，当t为何值时，以点E、B、F为顶点的三角形与以点F、C、G为顶点的三角形相似？请说明理由．21．如图①，将一张矩形纸片对折，然后沿虚线剪切，得到两个（不等边）三角形纸片△ABC，△A1B1C1．（1）将△ABC，△A1B1C1如图②摆放，使点A1与B重合，点B1在AC边的延长线上，连接CC1交BB1于点E．求证：∠B1C1C＝∠B1BC．（2）若将△ABC，△A1B1C1如图③摆放，使点B1与B重合，点A1在AC边的延长线上，连接CC1交A1B于点F，试判断∠A1C1C与∠A1BC是否相等，并说明理由．（3）写出问题（2）中与△A1FC相似的三角形．22．如图，正方形ABCD的边长为8，E是BC边的中点，点P在射线AD上，过P作PF ⊥AE于F．（1）请判断△PF A与△ABE是否相似，并说明理由；（2）当点P在射线AD上运动时，设P A＝x，是否存在实数x，使以P，F，E为顶点的三角形也与△ABE相似？若存在，请求出x的值；若不存在，说明理由．参考答案一．选择题1．解：A．∵，∠A＝∠A，∴△ABC∽△AED，故A选项不符合题意；B．由，∠A＝∠A不能判定△ABC∽△AED，故B选项符合题意；C．∵∠C＝∠ADE，∠A＝∠A，∴△ABC∽△AED，故C选项不符合题意；D．∵∠B＝∠AED，∠A＝∠A，∴△ABC∽△AED．故D选项不符合题意．故选：B．2．解：A、当∠ACP＝∠B，∠A＝∠A时，△APC∽△ACB，故本选项不符合题意；B、当∠APC＝∠ACB，∠A＝∠A时，△APC∽△ACB，故本选项不符合题意；C、当AC2＝AP•AB，即AC：AB＝AP：AC时，结合∠A＝∠A可以判定△APC∽△ACB，故本选项不符合题意；D、当AB×CP＝AP×AC时，不能判断△APC和△ACB相似．故选：D．3．解：已知给出的三角形的各边分别为、2、、只有选项A的各边为1、、与它的各边对应成比例．故选：A．4．解：若添加AB2＝AC•BD，不能判定△ABC∽△DBA；故A选项不符合题意，若添加AB2＝BC•BD，能判定△ABC∽△DBA；理由：∵AB2＝BC•BD，∴，又∵∠ABD＝∠CBA，∴△ABC∽△DBA．故B选项符合题意，若添加AB•AD＝BD•BC，不能判定△ABC∽△DBA；故C选项不符合题意，若添加AB•AD＝AC•BD，不能判定△ABC∽△DBA．故D选项不符合题意，故选：B．5．解：∵∠DAE＝∠CAB，∴当∠ADE＝∠C时，△ADE∽△ACB；当∠AED＝∠B时，△ADE∽△ACB；当＝时，△ADE∽△ACB．故选：C．6．解：如图，∵四边形ABCD是矩形，AD＝4，∴∠A＝∠B＝90°，BC＝AD＝4，∵△APD与△BPC相似，∴＝或＝，∵AB＝10，AD＝BC＝4，∴＝或＝，解得：AP＝2或8或5，即点P有3个，故选：C．7．解：①阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似；②阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似；③两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似；④两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似．故选：B．8．解：A、当∠ACD＝∠B时，再由∠A＝∠A，可得出△ACD∽△ABC，故此选项不合题意；B、当∠ADC＝∠ACB时，再由∠A＝∠A，可得出△ACD∽△ABC，故此选项不合题意；C、当时，无法得出△ACD∽△ABC，故此选项符合题意；D、当AC2＝AD•AB时，即，再由∠A＝∠A，可得出△ACD∽△ABC，故此选项不合题意；故选：C．9．解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠ABC＝∠D＝∠DCB＝90°，∴∠PCF＝90°，∵BE⊥EF，∴∠BEF＝90°，∴∠ABE+∠AEB＝∠AEB+∠DEP＝90°，∴∠ABE＝∠DEP，∵AD∥BC，∴∠DEP＝∠F，∴∠ABE＝∠DEP＝∠F，∴△ABE∽△DEP∽△EFB∽△CFP，∴图中共有相似三角形有6对，故选：A．10．解：①∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，AD∥BC，AD＝BC，∵点E是OA的中点，∴CE＝3AE，∵AF∥BC，∴△AEF∽△CEB，∴＝＝3，∴BC＝3AF，∴FD＝2AF，所以结论①正确；②∵△AEF∽△CEB，CE＝3AE，∴＝32，∴S△BCE＝9S△F AE＝36，所以结论②正确；③∵△ABE和△CBE等高，且BE＝3EF，∴S△BCE＝3S△ABE，∴S△ABE＝12，所以结论③错误；④假设△AEF∽△ACD，∴EF∥CD，即BF∥CD，∵AB∥CD，∴BF和AB共线，∵点E是OA的中点，即BE与AB不共线，∴假设不成立，即△AEF和△ACD不相似，所以结论④错误．综上所述：正确的结论有①②．故选：B．11．解：∵在△ACD和△ABC中，∠A＝∠A，∴根据有两边对应成比例，且夹角相等的两三角形相似，得出添加的条件是：＝，∴AC2＝AD•AB．故选：C．12．解：△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝3，AB：BC＝2．A、当点E的坐标为（6，0）时，∠CDE＝90°，CD＝2，DE＝1，则AB：BC＝CD：DE，△CDE∽△ABC，故本选项不符合题意；B、当点E的坐标为（6，3）时，∠CDE＝90°，CD＝2，DE＝2，则AB：BC≠CD：DE，△CDE与△ABC不相似，故本选项符合题意；C、当点E的坐标为（6，5）时，∠CDE＝90°，CD＝2，DE＝4，则AB：BC＝DE：CD，△EDC∽△ABC，故本选项不符合题意；D、当点E的坐标为（4，2）时，∠ECD＝90°，CD＝2，CE＝1，则AB：BC＝CD：CE，△DCE∽△ABC，故本选项不符合题意；故选：B．13．解：∵AB∥CD，AE∥DF；∴△BFH∽△BAG△BAG∽△CEG△BFH∽△CEG△BFH∽△CDH△CEG∽△CDH△CDH∽△BAG．∴相似三角形共有6对．故选：C．二．填空题14．解：∵DE∥AB，∴∠DEC＝∠ACE，△ODE∽△OBA，∴△ODE也是等边三角形，则OD＝OE＝DE，设E（a，0），则OE＝OD＝DE＝a，BD＝AE＝4﹣a．∵△CDE与△ACE相似，分两种情况讨论：①当△CDE∽△EAC时，则∠DCE＝∠CEA，∴CD∥AE，∴四边形AEDC是平行四边形，∴AC＝a，∵BD＝2AC，∴4﹣a＝2a，∴a＝．∴E；②当△CDE∽△AEC时，∠DCE＝∠EAC＝60°＝∠B，∴∠BCD+∠ECA＝180°﹣60°＝120°，又∵∠BDC+∠BCD＝180°﹣∠B＝120°，∴∠BCD+∠ECA＝∠BDC+∠BCD，∴∠ECA＝∠BDC，∴△BDC∽△ACE，∴，∴BC＝2AE＝2（4﹣a）＝8﹣2a，∴8﹣2a+2＝4，∴a＝．∴．综上所述，点E的坐标为或．15．解：分两种情况：①当∠CED＝90°时，如图1，过E作EF⊥CD于F，∵AD∥BC，AD＜BC，∴AB与CD不平行，∴当△ADE、△BCE、△CDE两两相似时，∴∠BEC＝∠CDE＝∠ADE，∵∠A＝∠B＝∠CED＝90°，∴∠BCE＝∠DCE，∴AE＝EF，EF＝BE，∴AE＝BE＝AB＝，②当∠CDE＝90°时，如图2，∵当△ADE、△BCE、△CDE两两相似时，∴∠CEB＝∠CED＝∠AED＝60°，∴∠BCE＝∠DCE＝30°，∵∠A＝∠B＝90°，∴BE＝ED＝2AE，∵AB＝3，∴AE＝＝，综上，AE的值为或．故答案为：或．16．解：由勾股定理得：AC＝10，①当FG⊥BC时，∵将△CEF沿EF折叠得△C′EF，∴∠C′＝∠C，C′E＝CE＝4，∴sin∠C＝sin∠C′，∴＝，∴EG＝2.4，∵FG∥AB，∴＝，即＝，∴CF＝8；②当GF⊥AC时，如图，∵将△CEF沿EF折叠得△C′EF，∴∠1＝∠2＝45°，∴HF＝HE，∴EH＝4×＝，∴C′H＝＝3.2，∴CF＝C′F＝C′H+HF＝3.2+2.4＝5.6．综上所述，当△CFG与△ABC相似时，CF的长为8或5.6．故答案为：8或5.6．17．解：①如图，当△PFE∽△EAD时，可知此时PE⊥CD，t＝DP＝1；②如图，当△EFP∽△EAD时，可知，此时F为DE中点，EF＝DF＝DE＝，∵＝＝，即＝，解得t＝DP＝综上所述，满足条件的t的值为1s或s．18．解：∵CN＝CD，AB＝2，∴CN＝×2＝，∵BM＝x，∴CM＝2﹣x，①当CN与BM是对应边时，＝，即＝，解得x＝1；②当CN与AB是对应边时，＝，即＝，解得x＝．综上所述，x的值是1或．故答案为：1或．三．解答题19．解：（1）∵AO＝6，BO＝8，∴AB＝＝＝10，∵点P的速度是每秒1个单位，点Q的速度是每秒1个单位，∴AQ＝t，AP＝10﹣t，①∠APQ是直角时，△APQ∽△AOB，，即，解得t＝＞6，舍去；②∠AQP是直角时，△AQP∽△AOB，∴，即，解得t＝，综上所述，t＝秒时，△APQ与△AOB相似；（2）如图，过点P作PC⊥OA于点C，则PC＝（10﹣t），△APQ的面积＝×t×（10﹣t）＝8，整理，得：t2﹣10t+20＝0，解得：t＝5+＞6（舍去），或t＝5﹣；故当t＝5﹣s时，△APQ的面积为8cm2．20．解：（1）如图1，当t＝1秒时，AE＝2，EB＝10，BF＝4，FC＝4，CG＝2，由S＝S梯形GCBE﹣S△EBF﹣S△FCG，＝×﹣＝×（10+2）×8﹣×10×4﹣＝24（cm2）；（2）①如图1，当0≤t≤2时，点E、F、G分别在边AB、BC、CD上移动，此时AE＝2t，EB＝12﹣2t，BF＝4t，FC＝8﹣4t，CG＝2t，S＝S梯形GCBE﹣S△EBF﹣S△FCG＝×（EB+CG）•BC﹣EB•BF﹣FC•CG＝×8×（12﹣2t+2t）﹣×4t（12﹣2t）﹣×2t（8﹣4t）＝8t2﹣32t+48（0≤t≤2）．②如图2，当点F追上点G时，4t＝2t+8，解得t＝4，当2＜t＜4时，点E在边AB上移动，点F、G都在边CD上移动，此时CF＝4t﹣8，CG＝2t，FG＝CG﹣CF＝2t﹣（4t﹣8）＝8﹣2t，S＝FG•BC＝（8﹣2t）•8＝﹣8t+32．即S＝﹣8t+32（2＜t＜4）．（3）如图1，当点F在矩形的边BC上的边移动时，在△EBF和△FCG中，∠B＝∠C ＝90°，①若＝，即＝，解得t＝．所以当t＝时，△EBF∽△FCG，②若＝即＝，解得t＝．所以当t＝时，△EBF∽△GCF．综上所述，当t＝或t＝时，以点E、B、F为顶点的三角形与以F、C、G为顶点的三角形相似．21．（1）证明：由题意，知△ABC≌△A1B1C1，∴AB＝A1B1，BC＝B1C1，∠2＝∠7，∠A＝∠1．∴∠3＝∠A＝∠1．∴BC1∥AC．∴四边形ABC1C是平行四边形．∴AB∥CC1．∴∠4＝∠7＝∠2．∵∠5＝∠6，∴∠B1C1C＝∠B1BC．（2）解：∠A1C1C＝∠A1BC．理由如下：由题意，知△ABC≌△A1B1C1，∴AB＝A1B1，BC1＝BC，∠1＝∠8，∠A＝∠2．∴∠3＝∠A，∠4＝∠7．∵∠1+∠FBC＝∠8+∠FBC，∴∠C1BC＝∠A1BA．∵∠4＝（180°﹣∠C1BC），∠A＝（180°﹣∠A1BA），∴∠4＝∠A．（8分）∴∠4＝∠2∵∠5＝∠6，∴∠A1C1C＝∠A1BC．（3）解：△C1FB，△A1C1B，△ACB．22．解：（1）△PF A∽△ABE，理由：∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BC，且∠ABE＝90°，∴∠P AF＝∠AEB，又∵PF⊥AE，∴∠PF A＝∠ABE＝90°，∴△PF A∽△ABE；（2）①若△EFP∽△ABE，如图，∵△EFP∽△ABE，∴∠PEF＝∠EAB．∴PE∥AB．∴四边形ABEP为矩形．∴P A＝EB＝BC＝4，即x＝4．②如图，若△PFE∽△ABE，∵△PFE∽△ABE，∴∠PEF＝∠AEB．∵∠P AF＝∠AEB，∴∠PEF＝∠P AF．∴PE＝P A．∵PF⊥AE，∴点F为AE的中点．∵AE＝＝4，∴EF＝AE＝2，∵△PFE∽△ABE，∴，即，∴PE＝10，即x＝10．∴满足条件的x的值为4或10．。
北师大版九年级上册数学4.4探索三角形相似的条件4.4探索三角形相似的条件练习2
4.4探究三角形相像的条件1．以下各组三角形中，两个三角形可以相像的是（）A．△ ABC中，∠ A＝ 42 o，∠ B＝ 118 o，△ A`B`C` 中，∠ A` ＝ 118 o，∠ B` ＝ 15 o B．△ ABC中， AB=8， AC=4, ∠ A＝ 105 o，△ A`B`C` 中， A`B` ＝ 16，B`C` ＝ 8，∠ A`＝ 100o C．△ ABC中， AB=18， BC＝ 20，CA＝ 35，△ A`B`C` 中， A`B` ＝ 36， B`C` ＝ 40， C`A` ＝ 70D．△ ABC和△ A`B`C` 中，有AB BC，∠C＝∠C`。
A`B` B`C`2、△ABC和△DEF知足以下条件，此中使△ABC和△ DEF不相像的是（）o o oA．∠ A＝∠ D＝ 45 38` ，∠ C＝ 2622` ，∠ E＝ 108B． AB＝ 1，AC＝ 1.5 ， BC＝ 2， DE＝ 12，EF＝ 8，DF＝ 16C． BC＝ a，AC＝ b， AB＝ c， DE＝ a ，EF＝ b ，DF＝cD． AB＝ AC， DE＝ DF，∠ A＝∠ D＝ 40 o，3、如图，△ABC中∠ACB＝90o，CD⊥AB于D。
则图中可以相像的三角形共有（）A．1对 B ．2对 C．3对 D．4对4、试问直角三角形斜边上的高线分红的两个直角三角形和原三角形相像吗。
谈谈看5、如图，已知 E 是矩形 ABCD 的边 CD 上一点， BF⊥ AE 于 F，试说明：△ABF∽△ EAD。
6、如图，（ 1）若AE________, 则△ ABC∽ △ AEF；（ 2）若∠ E＝ _____，则△ A BC∽ △ AEF。
ABo7、如图，在梯形ABCD中， AD∥BC，∠ BAD=90对角线 BD⊥ DC，试问：（ 1）△ ABD与△ DCB相似吗？请说明原因。
（ 2）假如 AD＝ 4， BC＝ 9，你能求出BD的长吗？。
[精编]北师大版九年级数学上册《探索三角形相似的条件》基础训练2
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4 探索三角形相似的条件一、请你填一填（1）如图4—6—8，在△ABC中，AC是BC、DC的比例中项，则△ABC∽________,理由是________.图4—6—8（2）如图4—6—9，D、E、F分别是△ABC各边的中点，则△DEF∽________,理由是________.图4—6—9（3）如图4—6—10，∠BAD=∠CAE，∠B=∠D，AB=2AD，若BC=3 cm,则DE=________cm.图4—6—10（4）如图4—6—11，正方形ABCD的边长为2，AE=EB，MN=1，线段MN的两端分别在CB、CD上滑动，那么当CM=________时，△ADE与△MNC相似.图4—6—11二、认真选一选（1）如图4—6—12，下列条件不能判定△ABC 与△ADE 相似的是（ ）图4—6—12A.AB ACAD AE= B.∠B=∠ADE C.BCDEAC AE =D.∠C=∠AED（2）在平行四边形ABCD 中，E 在BC 边上，AE 交BD 于F ，若BE ∶EC=4∶5，则BF ∶FD 等于（ ）A.4∶5B.5∶4C.5∶9D.4∶9（3）如图4—6—13，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于点D ，CD=2，BD=1，则AD 的长是（ ）图4—6—13A.1B.2C.2D.4三、开动脑筋如图4—6—14，在四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，∠ABD=∠ACD，试找出图中的相似三角形，并加以证明.图4—6—14四、用数学眼光看世界如图4—6—15，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一点A，再在河的这一边选定点B和点C，使得AB⊥BC，然后选定点E，使EC⊥BC，确定BC与AE的交点D，若测得BD=180米，DC=60米，EC=50米，你能知道小河的宽是多少吗？图4—6—15参考答案一、（1）△DAC 这两个三角形的两边对应成比例且夹角相等，这两个三角形相似（2）△ABC 这两个三角形的三边对应成比例，这两个三角形相似 （3）1.5 （4）552或55二、（1）C （2）D （3）D三、（1）△AOB ∽△DOC （2）△AOD ∽△BOC证明：（1）∵∠ABD=∠ACD ，∠AOB=∠DOC （对顶角相等） ∴△AOB ∽△DOC（2）由（1）知△AOB ∽△DOC∴OC OBOD OA =， ∴OC OD OB OA = 又∵∠AOD=∠BOC ∴△AOD ∽△BOC四、解：∵由已知得∠ABD=∠DCE=90°,∠ADB=∠CDE ∴△ABD ∽△ECD ∴DCBDEC AB =将EC=50，BD=180，DC=60代入上式得：6018050=AB ，∴AB=150 即：小河的宽是150米.。
2022-2023学年北师大版九年级数学上册《4_4探索三角形相似的条件》同步练习题(附答案)
2022-2023学年北师大版九年级数学上册《4.4探索三角形相似的条件》同步练习题（附答案）一．选择题1．将两个完全相同的等腰直角三角形△ABC与△AFG摆成如图的样子，两个三角形的重叠部分为△ADE，那么图中一定相似的三角形是（）A．△ABC与△ADE B．△ABD与△AEC C．△ABE与△ACD D．△AEC与△ADC 2．如图，已知每个小正方形的边长均为1，△ABC与△DEF的顶点都在小正方形的顶点上，那么△DEF与△ABC相似的是（）A．B．C．D．3．下列各组条件中，一定能够判定△ABC与△DEF相似的是（）A．∠A＝∠B，∠D＝∠EB．∠B＝∠E，AB＝3，AC＝4，DE：DF＝3：4C．△ABC三边长分别为6，18，21，△DEF三边之比为2：7：6D．∠C＝91°，∠E＝91°，DE：AB＝EF：AC4．如图，在正方形ABCD中，点E为AD边上的一个动点（与点A，D不重合），∠EBM＝45°，BE交对角线AC于点F，BM交对角线AC于点G，交CD于点M，下列结论中错误的是（）A．△AEF∽△CBF B．△CMG∽△BFG C．△ABF∽△CBG D．△BDE∽△BCG 5．依据下列条件不能判断△ABC和△DEF的相似是（）A．∠A＝40°，∠B＝80°，∠E＝80°，∠F＝60°B．∠A＝∠E＝45°，AB＝12cm，AC＝15cm，ED＝20cm，EF＝16cmC．∠A＝∠D＝45°，AB＝12cm，AC＝15cm，ED＝16cm，EF＝20cmD．AB＝1cm，BC＝2cm，CA＝1.5cm，DE＝6cm，EF＝4cm，FD＝8cm6．如图，ABCD是正方形，AF＝2BF，E是CD的中点，P是AD边上的一点，下列条件：（1）∠AFP＝∠DEP；（2）AF•PE＝DE•PF；（3）PF：PE＝4：3；（4）∠FPE＝60°．其中能推出△APF∽△DPE的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个二．填空题7．如图，在边长为1的正方形网格中有点P、A、B、C，则图中所形成的三角形中，相似的三角形是．8．如图，正方形ABCD中，AB＝4，E为BC中点，两个动点M和N分别在边CD和AD 上运动且MN＝2，若△ABE与以D、M、N为顶点的三角形相似，则DM＝．9．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝9，BC＝12，D是AB边的中点，P是BC边上一动点（点P不与B、C重合），若以D、C、P为顶点的三角形与△ABC相似，则线段PC＝．10．（开放题）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC中点，AE⊥AD交CB延长线于点E，则△BAE相似于△．11．如图，在矩形ABCD中，作DF⊥AC，垂足为F，延长DF交边AB于点E，在图中一定和△DFC相似的三角形个数是个．12．如图，已知△ABC中，D为边AC上一点，P为边AB上一点，AB＝12，AC＝8，AD＝6，当AP的长度为时，△ADP和△ABC相似．13．如图，△OPQ在边长为1个单位的方格纸中，它们的顶点在小正方形顶点位置，点A，B，C，D，E也是小正方形的顶点，从点A，B，C，D，E中选取三个点所构成的三角形与△OPQ相似，那么这个三角形是．14．如图，在平面直角坐标系中有两点A（4，0），B（0，2），如果点C在x轴上（C与A 不重合）当点C的坐标为时，使得△BOC∽△AOB．15．如图，D是△ABC的边BC上的一点，∠BAD＝∠C，∠ABC的平分线分别与AC、AD 相交于点E、F，则图形中共有对相似三角形．（不添加任何辅助线）三．解答题16．如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别在BC、AC上，且BD＝CE，AD与BE相交于点F．（1）试说明△ABD≌△BCE；（2）△EAF与△EBA相似吗？说说你的理由．17．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点D是AB的中点，点E在DC的延长线上，过点B作BF∥DE交AE的延长线于点F，交AC的延长线于点G．（1）求证：AC＝CG；（2）若点P是直线BG上的一点，试确定点P的位置，使△BCP与△BCD相似．18．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，MN是点C的任意一条直线，过点A、B分别作BE ⊥MN，AD⊥MN，垂足分别为D、E，点F在MN上，且∠F AD＝∠CAB．（1）找出图中所有的相似的三角形，并选择其中的一对加以证明；（2）找出图中的相等线段，并加以证明．19．如图，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ADO＝∠BCO 求证：△ABO∽△DCO．20．如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AB＝6，CD＝16，BD＝20，一动点P从B向D运动，问当P离B多远时，△P AB与△PCD是相似三角形？试求出所有符合条件的P点的位置．参考答案一．选择题1．解：△ABE∽△DCA理由：∵△ABC与△AFG都为等腰直角三角形，∴∠DAE＝∠B＝∠C＝45°，∵∠AEB＝∠C+∠CAE＝45°+∠CAE＝∠CAD∴△ABE∽△DCA，故选：C．2．解：AB＝，BC＝，AC＝3，A、∵ED＝，EF＝2，DF＝3，∴＝＝，∴△DEF与△ABC相似；B、∵DE＝，EF＝1，DF＝2，∴≠≠，∴△DEF与△ABC不相似；C、∵DE＝，EF＝1，DF＝，∴≠≠，∴△DEF与△ABC不相似；D、∵DE＝，EF＝2，DF＝，∴≠≠，∴△DEF与△ABC不相似．故选：A．3．解：A、∠A和∠B，∠D和∠E不是两个三角形的对应角，故不能判定两三角形相似，故此选项不符合题意；B、根据∠B＝∠E，不能判定两三角形相似，因为相等的两个角不是夹角，故此选项不符合题意；C、△ABC三边长分别为6，18，21，则三边之比为2：6：7，由△DEF三边之比为2：7：6可知△ABC与△DEF相似，故此选项符合题意；D、DE：AB＝EF：AC不是直角三角形的对应边成比例，故不能判定两三角形相似，故此选项不符合题意．故选：C．4．解：∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BC，∴△AEF∽△CBF，故选项A不合题意；∵∠ACD＝∠EBM＝45°，∠CGM＝∠BGF，∴△CMG∽△BFG；故选项B不合题意；∵∠ADB＝∠ACB＝∠DBC＝∠EBM＝45°，∴∠MBC＝∠DBE，∴△DBE∽△CBG，故选项D不合题意；故选：C．5．解：A、∵∠A＝40°，∠B＝80°，∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝60°，∴∠C＝∠F，∠B＝∠E，∴△ABC∽△DFE，故此选项不符合题意；B、∵AB＝12cm，AC＝15cm，ED＝20cm，EF＝16cm，∴＝且∠A＝∠E，∴△ABC∽△EFD，故此选项不符合题意；C、∵AB＝12cm，AC＝15cm，ED＝20cm，EF＝16cm，∴＝且∠A＝∠D，不是两边成比例且夹角相等，故此选项符合题意；D、∵AB＝1cm，BC＝2cm，CA＝1.5cm，DE＝6cm，EF＝4cm，FD＝8cm，∴＝，∴△ABC∽△EFD，故此选项不合题意；故选：C．6．解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝∠D，AB＝AD＝CD，∵AF＝2BF，∴可以假设BF＝m，AF＝2m，则AB＝AD＝CD＝3m，∴E是CD的中点，∴DE＝EC＝1.5m，当∠AFP＝∠DEP时，∵∠A＝∠D＝90°，∴△APF∽△DPE，当AF•PE＝DE•PF时，∴＝，设＝＝k，则AF＝k•DE，PF＝k•PE，可得AP＝•AF，DP＝•DE，∴＝，∵∠A＝∠D＝90°，∴△APF∽△DPE，当PF：PE＝4：3，∵AF：DE＝4：3，∴＝，∴△APF∽△DPE，当∠FPE＝60°时，无法判断△APF∽△DPE，故选：B．二．填空题7．解：△APB∽△CP A，理由如下：由题意可知：AP＝＝，PB＝1，PC＝5，∴，，∵∠APB＝∠CP A，∴△APB∽△CP A，故答案为：△APB∽△CP A．8．解：∵正方形ABCD中，AB＝4，E为BC中点，∴BE＝2，由勾股定理得，AE＝＝2，当△ABE∽△MDN时，＝，即＝，解得，DM＝，同理，当△ABE∽△NDM时，DM＝，∴DM为或，故答案是：或．9．解：∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝9，BC＝12，∴AB＝15，∵D是AB边的中点，∴CD＝BD＝AB＝7.5，∵以D、C、P为顶点的三角形与△ABC相似，∴∠DPC＝90°或∠CDP＝90°，（1）若∠DPC＝90°，则DP∥AC，∴＝＝，∴BP＝BC＝6，则PC＝6；（2）若∠CDP＝90°，则△CDP∽△BCA，∴＝，即＝，∴PC＝．综上所述：PC＝6或．故答案为：6或．10．解：因为在△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC中点，所以AD＝DC，即∠C＝∠DAC．又因为AE⊥AD，所以∠EAB＝∠DAC＝∠C，因为∠E是公共角，所以△BAE∽△ACE．11．解：①∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD．∴△DFC∽△EAF．②∵四边形ABCD是矩形，∴∠CDA＝90°．又DF⊥AC，∴∠DFC＝∠90°．∴∠1＝∠2（同角的余角相等）．∴△DFC∽△AFD．③∵∠1＝∠1，∠CFD＝∠CDA＝90°，∴△DFC∽△ADC．④同理，△DFC∽△EAD．⑤△DFC∽△CBA．综上所述，在图中一定和△DFC相似的三角形个数是5个．故答案是：5．12．解：当△ADP∽△ACB时，∴＝，∴＝，解得：AP＝9，当△ADP∽△ABC时，∴＝，∴＝，解得：AP＝4，∴当AP的长度为4或9时，△ADP和△ABC相似．故答案为：4或9．13．解：与△OPQ相似的是△BCD；理由如下：连接BC、BD，如图所示：则∠BCD＝90°+45°＝135°＝∠QOP，由勾股定理得：OP＝BC＝，∵OQ＝2，CD＝1，∴，∴△OPQ∽△CDB；故答案为：△CDB．14．解：∵△BOC∽△AOB，∴＝，∴＝，∴OC＝1，∵点C在x轴上，∴点C的坐标为（1，0）或（﹣1，0）；故答案为：（1，0）或（﹣1，0）．15．解：在△ABC与△DBA中，∵∠ABD＝∠ABD，∠BAD＝∠C，∴△ABC∽△DBA，在△ABF与△CBE中，∵BF平分∠ABC，∴∠ABF＝∠CBE，又∠BAF＝∠BCE，∴△ABF∽△CBE．同理可证得：△ABE∽△DBF，所以图形中共有3对相似三角形．故答案为：3．三．解答题16．（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC，∠ABD＝∠BCE＝∠BAC，又∵BD＝CE，∴△ABD≌△BCE；（2）答：相似；理由如下：∵△ABD≌△BCE，∴∠BAD＝∠CBE，∴∠BAC﹣∠BAD＝∠CBA﹣∠CBE，∴∠EAF＝∠EBA，又∵∠AEF＝∠BEA，∴△EAF∽△EBA．17．证明：∵BF∥DE，∴＝，∵AD＝BD，∴AC＝CG．（2）解：当PB＝5或时，△BCP与△BCD相似；在△ABC和△GBC中：，∴△ABC≌△GBC（SAS），∴AB＝BG∴∠DBC＝∠CBP，∵AC＝6，BC＝8，∴AB＝10，∴CD＝5，∵∠DBC＝∠CBP，第一种情况：若∠DCB＝∠BCP，如图1：在△BCP与△BCD中∠DCB＝∠BCP，BC＝BC，∠DBC＝∠CBP，∴△BCP≌△BCD（ASA），∴BP＝CD＝5；第二种情况：若∠PCB＝∠DCB，如图2：∵∠CBD＝∠CBP，∴△BPC∽△BCD，∴，∴BP＝，综上所述：当PB＝5或时，△BCP与△BCD相似．18．解：（1）∵作BE⊥MN，AD⊥MN，∴∠ACB＝∠ADF＝∠BEC＝90°，∴∠DCA+∠DAC＝∠DCA+∠BCE＝90°，∴∠DAC＝∠BCE，∴△ADC∽△CEB，∵∠F AD＝∠CAB，∴△ADE∽△ACB；（2）DF＝CE，∵△ADF∽△ACB，∴，∵△ADC∽△CEB，∴，∴，∴，∴DF＝CE．19．证明：∵∠ADO＝∠BCO，∠AOD＝∠BOC，∴△AOD∽△BOC，∴，∴，又∵∠AOB＝∠DOC，∴△ABO∽△DCO．20．解：设BP＝x，BD＝20，则PD＝BD﹣BP＝20﹣x，分两种情况考虑：假设△P AB∽△PCD，有＝，又AB＝6，CD＝16，∴＝，即6（20﹣x）＝16x，解得：x＝；假设△P AB∽△CPD，有＝，∴＝，即x（20﹣x）＝96，整理得：（x﹣12）（x﹣8）＝0，解得：x1＝12，x2＝8，综上，当P离B的距离为或8或12时，△P AB与△PCD是相似三角形．。
北师大版九年级数学上册第四章《图形的相似》探索三角形相似的条件同步练习(含答案) (2)
4.4探索三角形相似的条件典型题同步练习第1课时三角形相似的判定定理1【学习目标】1．掌握相似三角形的定义、表示法，并能根据定义判断两个三角形是否相似．2．掌握由两角对应相等判定两个三角形相似的方法，并会运用这种判定三角形相似的方法解决简单问题．【学习重点】三角形相似的判定定理1及应用．【学习难点】三角形相似的判定定理1的证明．情景导入生成问题1．各角分别相等，各边成比例的两个多边形叫做相似多边形；相似多边形对应边的比叫做相似比．2．已知，如图两个四边形相似，则∠α的度数是(A)A．87°B．60°C．75°D．120°自学互研生成能力知识模块一探索三角形相似的判定定理1先阅读教材P89页的内容，然后完成下面的问题：1．相似三角形的定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形，如△ABC与△DEF相似，记作△ABC∽△DEF，其中对应顶点要写在相同位置上，如A与D，B与E，C与F相对应．AB∶DE等于BC∶EF．2．两角对应相等的两个三角形相似．探究内容：现有一块三角形玻璃ABC，不小心打碎了，只剩下∠A和∠B比较完整．如果用这两个角去配制一张完全一样的玻璃，能成功吗？问题情景出现后，让学生充分发表自己的想法．1．动手实验：现在，已量出∠A＝60°，∠B＝45°，请同学们当一当工人师傅，在纸上作∠A＝60°，∠B＝45°的△ABC，剪下与同桌所做的三角形比较，研究这两个三角形的关系．你有哪些发现？在小组内交流．学生经过画一画、剪一剪、量一量、算一算、拼一拼，在小组合作基础上，讨论交流，可能得出下面结论：①这样的两个三角形不一定全等；②两个三角形三个角都对应相等；③通过度量后计算，得到三边对应成比例；④通过拼置的方法发现这两个三角形可能相似．此时，教师鼓励学生大胆猜想，得出命题：猜想：两角对应相等，两三角形相似．归纳结论：两角分别相等的两个三角形相似．知识模块二相似三角形判定定理1的应用1．自学自研教材P89页的例1.2．完成教材P90页随堂练习．典例讲解：已知△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD是角平分线，求证：△ABC∽△BDC.分析：证明相似三角形应先找相等的角，显然∠C是公共角，而另一组相等的角则可以通过计算来求得．借助于计算也是一种常用的方法．证明：∵∠A＝36°，△ABC是等腰三角形，∴∠ABC＝∠C＝72°，又BD平分∠ABC，则∠DBC＝36°.在△ABC和△BDC中，∠C为公共角，∠A＝∠DBC＝36°，∴△ABC∽△BDC.对应练习：1．如图，E为平行四边形ABCD的边BC延长线上一点，连接AE，交CD于点F.若AB＝5，AD＝6，CF＝2，求线段CE的长．解：设CE＝x，证△ABE∽△FCE，由比例式求得CE＝4.2．如图，在边长为4的等边三角形ABC中，D、E分别在线段BC，AC上运动，在运动过程中始终保持∠ADE＝60°，求证：△ABD∽△DCE.证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠C＝60°.∴∠BAD＋∠ADB＝120°.∵∠ADE＝60°，∴∠ADB＋∠EDC＝120°.∴∠DAB＝∠EDC.∴△ABD∽△DCE.交流展示生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一探索三角形相似的判定定理1知识模块二相似三角形判定定理1的应用检测反馈达成目标1．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，则图中相似三角形共有(C)A．1对B．2对C．3对D．4对2．如图，D是直角三角形ABC直角边AC上的一点，若过D点的直线交AB于E，使得到的三角形与原三角形相似，则这样的直线有(B)A．1条B．2条C．3条D．4条3．如图，在矩形ABCD中，以对角线BD为一边构造一个矩形BDEF，使得另一边EF过原矩形的顶点C.(1)设Rt△CBD的面积为S1，Rt△BFC的面积为S2，Rt△DCE的面积为S3，则S1＝S2＋S3；(用“＞”“＝”或“＜”填空)(2)写出图中的三对相似三角形，并选择其中一对进行证明．解：△BCD∽△CFB，△BCD∽△DEC，△CFB∽△DEC.证明△BCD∽△DEC如：证明：∵∠EDC＋∠BDC ＝90°，∠CBD＋∠BDC＝90°，∴∠CBD＝∠EDC.又∵∠BCD＝∠DEC＝90°，∴△BCD∽△DEC.(答案不唯一)课后反思查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________2．存在困惑：________________________________________________________________________第2课时两边一夹角判定两个三角形相似【学习目标】1．理解并掌握三角形相似的判定定理：“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”．2．会运用三角形相似的判定方法解决简单问题．【学习重点】掌握“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”的判定方法．【学习难点】相似三角形判定定理在实际问题中的灵活运用．情景导入生成问题1．两角分别相等的两个三角形相似．2．下列说法中正确的个数是(C)①所有的等腰直角三角形都相似；②有一个角是80°的两个等腰三角形相似；③有一个角是100°的两个等腰三角形相似；④有一个角相等的两个等腰三角形相似．A．4B．3C．2D．13．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，D，E分别在AB，AC上，将△ADE沿DE折叠，使点A落在点A ′处，若A ′为CE 的中点，则折痕DE 的长为(B )A .12B ．2C ．3D ．4 自学互研 生成能力知识模块一 探索三角形相似的判定定理2先阅读教材P 91页的内容，然后解答下列问题： 1．两角对应相等的两个三角形相似．3．如图，两个三角形中，其边长已在图上标注，那么这两个三角形是(选填“是”或“不是”)相似三角形．根据是有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．1．情境导入问题：(1)相似三角形的定义是什么？三边成比例，三角分别相等的两个三角形相似． (2)判断两个三角形相似，你有哪些方法？方法1：通过定义(不常用)；方法2：通过平行线(条件特殊，使用起来有局限性)；方法3：判定定理1，两角分别相等的两个三角形相似．2．思考探究完成教材P 91页的做一做．归纳结论：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似． 知识模块二 三角形相似判定定理2的应用1．自学自研教材P 91页的例2. 2．完成教材P 92页的随堂练习．典例讲解：如图，已知△ABD ∽△ACE .求证：△ABC ∽△ADE .分析：由于△ABD ∽△ACE ，则∠BAD ＝∠CAE ，因此∠BAC ＝∠DAE ，再进一步证明BA AD ＝CAAE，则问题得证．证明：∵△ABD ∽△ACE ，∴∠BAD ＝∠CAE .又∵∠BAC ＝∠BAD ＋∠DAC ，∠DAE ＝∠DAC ＋∠CAE ，∴∠BAC ＝∠DAE .∵△ABD ∽△ACE ，∴AB AD ＝AC AE .在△ABC 和△ADE 中，∵∠BAC ＝∠DAE ，AB AD ＝ACAE，∴△ABC ∽△ADE .对应练习：1．下列条件不能判定△ABC 与△ADE 相似的是( C )A .AE AD ＝ACAB B ．∠B ＝∠ADE C .AE AC ＝DE BC D ．∠C ＝∠AED2．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 为CB 延长线上一点，E 为BC 延长线上一点，且满足AB 2＝DB ·CE .求证：△ADB ∽△EAC .证明：∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB ，∴∠ABD ＝∠ACE .∵AB 2＝DB ·CE ，∴AB CE ＝DB AB ，即AB CE ＝DBAC，∴△ADB ∽△EAC .交流展示 生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一 探索三角形相似的判定定理2 知识模块二 三角形相似判定定理2的应用检测反馈 达成目标1．下列条件能判断△ABC 和△A ′B ′C ′相似的是( C ) A .AB A′B′＝AC A′C′B .AB A′B′＝AC A′C′且∠A ＝∠C ′ C .AB BC ＝A′B′A′C′且∠B ＝∠A ′ D .AB A′B′＝AC A′C′且∠B ＝∠B ′2．如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形(阴影部分)与右图中△ABC相似的是(B) ,A),B),C) ,D)3．已知：如图，在△ABC中，CE⊥AB，BF⊥AC.求证：△AEF∽△ACB.证明：∵CE⊥AB，BF⊥AC，∴∠BF A＝∠CEA＝90°，∠A＝∠A，∴△AEC∽△AFB，∴AEAC＝AFAB，∴AEAF＝ACAB，又∵∠EAF＝∠CAB，∴△AEF∽△ACB.课后反思查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________ 2．存在困惑：________________________________________________________________________第3课时三边成比例的两个三角形相似【学习目标】1．掌握三边对应成比例判定两个三角形相似的方法．2．会选择合适的三角形相似的判定方法解决简单问题．【学习重点】掌握相似三角形的判定定理：“三边成比例的两个三角形相似”．【学习难点】会准确运用三角形相似的判定定理来判断、证明及计算．情景导入生成问题1．两角分别相等的两个三角形相似；两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．2．下列说法正确的是(C)A．有一个角相等的两个等腰三角形相似B．所有的直角三角形相似C．有一个锐角对应相等的两个直角三角形相似D．所有的等腰三角形相似3．已知△ABC如图所示，则与△ABC相似的是图中的(C),),A),B),C),D)自学互研生成能力知识模块一探索三边成比例的两个三角形相似师：我们上两节课学过什么定理？师生共同回忆，在上两节课的探索中，我们知道：三角对应相等、三边对应成比例的两个三角形相似；两角分别相等的两个三角形相似；两边成比例及夹角相等的两个三角形相似．师：那么判定三角形相似还有没有其他条件呢？今天我们再次踏上探索之旅途．画△ABC与△A′B′C′，使ABA′B′、BCB′C′和CAC′A′都等于给定的值k.(1)设法比较∠A与∠A′的大小．(2)△ABC与△A′B′C′相似吗？说说你的理由．改变k值的大小，再试一试．生：按照上面的步骤进行，这里的k由自己定，为了节约时间，一个组取一个相同的k值，不同的组取不同的k值．内容：学生根据画出的相似三角形的图形及在画相似三角形中的“发现”进行相互交流，教师给予适当的帮助，后由学生展示、讲解画出来的相似三角形，展示自己探索的过程及自己得出的结论．师：经过大家的亲身参与体会，你们得出的结论是什么呢？生：结论为∠A＝∠A′，△ABC∽△A′B′C′，理由是：∠A＝∠A′，ABA′B′＝CAC′A′.根据“两边成比例及夹角相等的两个三角形相似”可知：△ABC∽△A′B′C′.师：其他组的同学的结论相同吗？生：相同．师：经过大家的探讨，我们又掌握了一种相似三角形的判定方法．师：(演示课件)判定定理3：三条边成比例的两个三角形相似．知识模块二判定定理3的应用1．自学自研教材P94页的例3.2．完成教材P94的随堂练习．师：幻灯片展示：如图，△ABC与△A′B′C′相似吗？你有哪些判断方法？生：先独立思考，然后小组合作交流． 解：△ABC ∽△A ′B ′C ′.判断方法有：1.三边成比例的两个三角形相似；2.两角分别相等的两个三角形相似；3.两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；4.定义法．目的：巩固对本节知识的理解；并让学生将上两节课：相似三角形的判定定理1、2，与本课知识：相似三角形的判定定理3的内容系统的掌握．对应练习：1．教材P 95页习题4.7第1题．解：∵86＝43，107.5＝43，129＝43.∴86＝107.5＝129，∴这两个三角形相似．2．教材P 95页习题4.7第2题． 答：△ABC ∽△EFG .利用判定定理3.交流展示 生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一 探索三边成比例的两个三角形相似 知识模块二 判定定理3的应用检测反馈 达成目标1．下列条件不能判定△ABC 与△ADE 相似的是( D )A .AE AC ＝ADAB，∠CAE ＝∠BAD B ．∠B ＝∠ADE ，∠CAE ＝∠BAD C .AD AB ＝AE AC ＝DE BC D .DE BC ＝ADAB，∠C ＝∠E2．下列四个三角形，与右图中的三角形相似的是( B ),A ) ,B ),C) ,D)3．网格图中每个方格都是边长为1的正方形．若A，B，C，D，E，F都是格点，试用三边对应成比例的方法说明△ABC∽△DEF.证明：计算得AC＝2，BC＝10，AB＝4，DF＝22，EF＝210，ED＝8，∴ACDF＝BCEF＝ABDE＝2，∴△ABC∽△DEF.课后反思查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________ 2．存在困惑：________________________________________________________________________。
2022-2023学年北师大版九年级数学上册《4-4探索三角形相似的条件》同步练习题(附答案)
2022-2023学年北师大版九年级数学上册《4.4探索三角形相似的条件》同步练习题（附答案）一．选择题1．如图，已知∠1＝∠2，那么添加一个条件后，仍不能判定△ABC与△ADE相似的是（）A．∠C＝∠AED B．∠B＝∠D C．＝D．＝2．如图，点P是等腰△ABC的腰AB上的一点，过点P作直线（不与直线AB重合）截△ABC，使截得的三角形与原三角形相似．满足这样条件的直线最多有（）A．2条B．3条C．4条D．5条3．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，则在下列五个条件中：①∠AED＝∠B；②DE∥BC；③＝；④AD•BC＝DE•AC；⑤∠ADE＝∠C，能满足△ADE∽△ACB的条件有（）A．1个B．2个C．3个D．4个4．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，下列说法中不正确的是（）A．S△ADE：S△ABC＝1：2B．C．△ADE∽△ABC D．DE＝BC5．下列四个三角形，与如图中的三角形相似的是（）A．B．C．D．6．如图，∠A＝∠B＝90°，AB＝7，AD＝2，BC＝3，如果边AB上的点P使得以P，A，D为顶点的三角形和以P，B，C为顶点的三角形相似，则这样的P点共有几个（）A．1B．2C．3D．47．如图所示，若A、B、C、P、Q、甲、乙、丙、丁都是方格纸中的格点，为使△PQR∽△ABC，则点R应是甲、乙、丙、丁四点中的（）A．甲B．乙C．丙D．丁8．如图，把△ABC绕点A旋转得到△ADE（C与E重合），当点D刚好落在BC上时，连接CE，设AC、DE相交于点F，则图中相似三角形的对数是（）A．3对B．4对C．6对D．8对9．平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+2和x、y轴交于B、A两点，在第二象限内找一点P，使△P AO和△AOB相似的三角形个数为（）A．2B．3C．4D．5二．填空题10．如图，在△ABC中，D是AC边上的一点，AD＝3，CD＝1，要使△ADB∽△ABC，则AB的长为．11．如图，已知∠1＝∠2，添加条件后，使△ABC∽△ADE．12．△ABC中，AB＝10，AC＝6，点D在AC上，且AD＝3，若要在AB上找一个点E，使△ADE与△ABC相似，则AE＝．13．如图，四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AB＝5cm，AD＝3cm，BC＝2cm，P是AB 上一点，若以P、A、D为顶点的三角形与△PBC相似，则P A＝cm．14．如图，在三角形ABC中，AB＝6cm，AC＝12cm．点P从A沿AB以1厘米/秒的速度移动，点Q从C沿CA以2厘米/秒的速度向A移动．如果两点同时出发，经过秒后，△APQ与△ABC相似．15．如图所示，P、Q分别是△ABC的边AB、AC上的点，若AB＝6，AC＝5，AP＝2，且以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，则AQ的长为．16．如图，BC⊥AF，FD⊥AB，垂足分别为C，D，则图中共有对相似三角形．三．解答题17．如图，在矩形ABCD中，E为AD上一点，EF⊥EC交AB于F，连接FC，求证：△AEF ∽△DCE．18．在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是BC边上一点，过点D作∠ADE＝45°，DE交AC于点E，求证：△ABD∽△DCE．19．已知，如图在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，点P由点A出发沿AB 方向向终点点B匀速移动，速度为1cm/s，点Q由点B出发沿BC方向向终点点C匀速移动，速度为2cm/s．如果动点P，Q同时从A，B出发，当P或Q到达终点时运动停止．几秒后，以Q，B，P为顶点的三角形与△ABC相似？20．如图，点B、D、E在一条直线上，BE交AC于点F，＝，且∠BAD＝∠CAE．（1）求证：△ABC∽△ADE；（2）求证：△AEF∽△BCF．21．如图，在△ABC中，AD、BE分别是BC、AC边上的高．求证：△DCE∽△ACB．22．如图，在Rt△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB与DE交于点F，连接DB、CE．（1）若，求∠AFD的度数；（2）若∠ADE＝∠ABC，求证：△ADB∽△AEC．23．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm．现在有动点P从点B出发，沿线段BA向终点A运动，动点Q从点A出发，沿折线AC—CB向终点运动．如果点P 的速度是1cm/s，点Q的速度是1cm/s．它们同时出发，当有一点到达终点时，另一点也停止运动．设运动的时间为t秒．（1）如图1，Q在AC上，当t为多少秒时，以点A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？（2）如图2，Q在CB上，是否存着某时刻，使得以点B、P、Q为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．参考答案一．选择题1．解：∵∠1＝∠2∴∠DAE＝∠BAC∴A，B，D都可判定△ABC∽△ADE选项C中不是夹这两个角的边，所以不相似，故选：C．2．解：∵BA＝BC，∴∠A＝∠C，①作PE∥BC，可得△APE∽△ABC．②作PF∥AC，可得△BPF∽△BAC．③作∠APG＝∠A，可得△AGP∽△ABC，故选：B．3．解：①∠B＝∠AED，∠A＝∠A，则可判断△ADE∽△ACB，故①符合题意；②DE∥BC，则△ADE∽△ABC，故②不符合题意，③，且夹角∠A＝∠A，能确定△ADE∽△ACB，故③符合题意；④由AD•BC＝DE•AC可得，此时不确定∠ADE＝∠ACB，故不能确定△ADE∽△ACB；故④不符合题意，⑤∠ADE＝∠C，∠A＝∠A，则可判断△ADE∽△ACB，故⑤符合题意；故选：C．4．解：∵D，E分别是AB，AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，＝＝＝，∴△ADE∽△ABC，DE＝BC，∴＝（）2＝（）2＝．故选：A．5．解：设单位正方形的边长为1，给出的三角形三边长分别为，2，．A、三角形三边分别是2，，3，与给出的三角形的各边不成比例，故A选项错误；B、三角形三边，4，，与给出的三角形的各边不成比例，故B选项错误；C、三角形三边2，3，，与给出的三角形的各边不成比例，故C选项错误；D、三角形三边2，4，2，与给出的三角形的各边成比例，故D选项正确．故选：D．6．解：若点A，P，D分别与点B，C，P对应，即△APD∽△BCP，∴＝，∴＝，∴AP2﹣7AP+6＝0，∴AP＝1或AP＝6，检测：当AP＝1时，由BC＝3，AD＝2，BP＝6，∴＝，又∵∠A＝∠B＝90°，∴△APD∽△BCP．当AP＝6时，由BC＝3，AD＝2，BP＝1，又∵∠A＝∠B＝90°，∴△APD∽△BCP．若点A，P，D分别与点B，P，C对应，即△APD∽△BPC．∴＝，∴＝，∴AP＝．检验：当AP＝时，∵BP＝，AD＝2，BC＝3，∴＝，又∵∠A＝∠B＝90°，∴△APD∽△BPC．因此，点P的位置有三处，即在线段AP的长为1、、6，故选：C．7．解：根据题意，△ABC的三边之比为：：，要使△ABC∽△PQR，则△PQR的三边之比也应为：：，经计算只有丙点合适．故选：C．8．解：∵把△ABC绕点A旋转得到△ADE（D与E重合），∴△ABC≌△ADE，∠2＝∠1，即△ABC∽△ADE，∴∠3＝∠4，∴△AFE∽△DFC；∴AF：DF＝EF：FC，而∠AFD＝∠EFC，∴△AFD∽△EFC；∵把△ABC绕点A旋转得到△ADE（D与E重合），∴∠BAC＝∠DAE，AB＝AD，AC＝AE，∴∠3＝∠5，∴△ABD∽△AEC．∴图中共有4对相似三角形．故选：B．9．解：如图，①分别过点O、点A作AB、OB的平行线交于点P1，则△OAP1与△AOB相似（全等），②作AP2⊥OP1，垂足为P2则△AOP2与△AOB相似．③作∠AOP3＝∠ABO交AP1于P3，则△AOP3与△AOB相似．④作AP4⊥OP3垂足为P4，则△AOP4与△AOB相似．故选：C．二．填空题10．解：∵AD＝3，CD＝1，∴AC＝4，∵∠BAD＝∠CAB，∴当时，△ADB∽△ABC，即，∴AB＝2．故答案为2．11．解：添加条件∠B＝∠D后，△ABC∽△ADE．理由如下：∵∠1＝∠2，∴∠1+∠BAE＝∠2+∠BAE，即∠BAC＝∠DAE，又∵∠B＝∠D，∴ABC∽△ADE．故答案为∠B＝∠D．12．解：∵∠A是公共角，∴当，即时，△ADE∽△ACB解得：AE＝5当，即时，△ADE∽△ABC解得：AE＝故答案为：5或13．解：设AP＝xcm．则BP＝AB﹣AP＝（5﹣x）cm以A，D，P为顶点的三角形与以B，C，P为顶点的三角形相似，①当AD：PB＝P A：BC时，＝，解得x＝2或3．②当AD：BC＝P A：PB时，＝，解得x＝3，∴当A，D，P为顶点的三角形与以B，C，P为顶点的三角形相似，AP的值为2或3．故答案为2或3．14．解：由题意AP＝t，CQ＝2t，∵AC＝12cm，∴AQ＝（12﹣2t）cm，当＝时，△APQ∽△ABC，∴＝，解得t＝3．当＝时，△APQ∽△ACB，∴＝，解得t＝，故答案为3或．15．解：连接PQ．∵∠A是公共角，∴当AP：AB＝AQ：AC时，△APQ∽△ABC，即2：6＝AQ：5，解得：AQ＝；当AP：AC＝AQ：AB时，△APQ∽△ACB，即2：5＝AQ：6，解得：AQ＝；∴当AQ＝或时，以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似．故答案为：或．16．解：∵BC⊥AF，FD⊥AB，∴∠ACB＝∠ECF＝∠ADF＝∠BDE＝90°，又∵∠CEF＝∠DEB，∴△CEF∽△DEB①；∴∠EFC＝∠EBD，∴△ADF∽△ACB②；△ACB∽△EDB③；△ADF∽△ECF④；△ADF∽△EDB⑤；△ABC∽△EFC⑥．共6对，故答案为：6．三．解答题17．证明：∵∠FEC＝90°，∴∠AEF+∠DEC＝90°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠D＝90°，∵∠A+∠AFE+∠AEF＝180°，∴∠AFE+∠AEF＝90°，∴∠DEC＝∠AFE，又∵∠A＝∠D，∴△AEF∽△DCE．18．证明：如图所示：∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴△ABC为等腰直角三角形，∴∠B＝∠C＝45°，∴∠1+∠2＝180°﹣∠B＝135°，∵∠ADE＝45°，∴∠2+∠3＝135°，∴∠1＝∠3，∵∠B＝∠C，∴△ABD∽△DCE．19．解：设t秒后，以Q，B，P为顶点的三角形与△ABC相似；则PB＝（6﹣t）cm，BQ＝2tcm，∵∠B＝90°，∴分两种情况：①当时，即，解得：t＝2.4；②当时，即，解得：t＝；综上所述：2.4秒或秒时，以Q，B，P为顶点的三角形与△ABC相似．20．（1）∵∠BAD＝∠CAE∴∠BAD+∠CAD＝∠CAE+∠CAD即∠BAC＝∠DAE在△ABC和△ADE中＝，∠BAC＝∠DAE，∴△ABC∽△ADE；（2）∵△ABC∽△ADE，∴∠C＝∠E、在△AEF和△BFC中，∠C＝∠E，∠AFE＝∠BFC，∴△AEF∽△BCF．21．证明：∵在△ABC中，AD、BE分别是BC、AC边上的高，∴∠ADC＝∠BEC＝90°，∵∠C是公共角，∴△CDA∽△CEB，∴CD：CE＝CA：CB，∴CD：CA＝CE：CB，∴△DCE∽△ACB．22．解：（1）∵，∠ADE＝∠FDA，∴△ADE∽△FDA，∴∠AFD＝∠DAE＝90°．∴∠AFD的度数为90°；（2）∵∠ADE＝∠ABC，∠BAC＝∠DAE＝90°，∴△ADE∽△ABC，∴＝，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAC﹣∠BAE＝∠DAE﹣∠BAE，∴∠EAC＝∠DAB，∴△ADB∽△AEC．23．解：（1）如图1，当∠AQP＝90°时，△AQP∽△ACB，∴．在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB＝＝＝10（cm）．∵BP＝t，AQ＝t，∴P A＝10﹣t，∴，∴t＝，如图2，当∠APQ＝90°时，△APQ∽△ACB，∴，∴，t＝．综上所述，t＝或时，以点A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似；（2）如图3，当△BPQ∽△BAC时，．∵BQ＝14﹣t，BP＝t，∴，∴t＝，当△BQP∽△BAC时，∴，∴t＝（舍去），∴t＝时，Q在CB上，以点B、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似．。
北师大版九年级数学上册第四章4.4探索三角形相似的条件 同步测试题(含答案)
北师大版九年级数学上册第四章4.4探索三角形相似的条件同步测试题一、选择题（每小题3分，共18分）1．如图，点D，E分别在线段AB，AC上，且∠ABC＝∠AED.若DE＝2，AE＝3，BC＝4，则AB 的长为( )A．8 B．5 C．6 D．1.52．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AC＝6，AB＝9，则AD的长是( )A．6 B．5 C．4 D．33．如图，在等边△ABC中，P为BC上一点，D为AC上一点，且∠APD＝60°，BP＝1，CD＝2，则△ABC的边长为( )3A．3 B．4 C．5 D．64．如图，点D是△ABC的边BC上一点，∠BAD＝∠C，BC＝2BA，如果△ACD的面积为15，那么△ABD的面积为( )A ．15B ．10C ．7.5D ．55.如图，正方形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，E 是BC 的中点，DE 交AC 于点F.若DE ＝12，则DF 的长为( )A ．3B ．4C ．6D ．86.如图，点E ，F 分别在菱形ABCD 的边AB ，AD 上，且AE ＝DF ，BF 交DE 于点G ，延长BF 交CD 的延长线于H.若AF DF ＝2，则HFBG的值为( )A.23B.712C.12D.512二、填空题（每小题3分，共21分）7．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8，CB ＝6，在斜边AB 上取一点M ，使MB ＝CB ，过点M 作MN ⊥AB 交AC 于点N ，则MN ＝_______．8．已知：如图，在△ABC 中，AB ＝15 m ，AC ＝12 m ，AD 是∠BAC 的外角平分线，DE ∥AB 交AC 的延长线于点E ，那么CE ＝_______．9.如图，已知∠ADE＝∠ACB，BD＝8，CE＝4，CF＝2，则DF＝_______．10.如图，在平面直角坐标系中，已知A(－3，－2)，B(0，－2)，C(－3，0)，点M是线段AB上一点，连接CM，过点M作MN⊥MC交y轴于点N，若N(0，－1)，且点M，N在直线y＝kx＋b上，则k的值是_______．11.如图，在边长为9的等边△ABC中，BD＝3，∠ADE＝60°，则AE＝_______．12．如图，O为矩形ABCD的中心，将直角三角板的直角顶点与点O重合，转动三角板使两直角边始终与BC，AB相交，交点分别为M，N.如果AB＝4，AD＝6，OM＝x，ON＝y，那么y 与x的关系是_______．13．如图，在正方形ABCD中，E为AB边的中点，G，F分别为AD，BC边上的点．若AG＝1，BF＝2，∠GEF＝90°，则GF的长为_______．三、解答题（共61分）14．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D.(1)请指出图中所有的相似三角形； (2)你能得出AD 2＝BD ·DC 吗？15.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点E 在边BC 上移动(点E 不与点B ，C 重合)，满足∠DEF ＝∠B ，且点D ，F 分别在边AB ，AC 上．(1)求证：△BDE ∽△CEF ；(2)当点E 移动到BC 的中点时，求证：FE 平分∠DFC.16.如图，∠ABC ＝∠DBE ＝90°，C 是DE 的中点．(1)求证：△ABD ∽△AEB ；(2)当AB BC ＝43时，求BDBE的值；17．如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在边BC ，AC 上，连接AD ，DE ，且∠B ＝∠ADE ＝∠C. (1)求证：△BDA ∽△CED ；(2)若∠B＝45°，BC＝2，当点D在BC上运动时(点D不与B，C重合)，且△ADE是等腰三角形，求此时BD的长．18.如图，点P是线段BD上一个动点，∠B＝∠D＝90°，AB＝6，CD＝4，BD＝a.(1)当∠APC＝90°，a＝14时，求BP的长度；(2)若∠APC＝90°时，有两个符合要求的点P1，P2，且P1P2＝2，求a的值．19．如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点P是BC延长线上一点，连接AP，分别交BD，CD于点E，F，过点B作BG⊥AP于点G，交线段AC于点H.(1)若∠P＝25°，求∠AHG的大小；(2)求证：AE2＝EF·EP.20．如图，E是矩形ABCD的边BC上的一点，AC是其对角线，连接AE，过点E作EF⊥AE，EF 交AC 于点M ，EF 交DC 于点F ，过点B 作BG ⊥AC 于点G ，BG 交AE 于点H.(1)求证：△ABE ∽△ECF ；(2)求证：AH ·CM ＝BH ·EM ；(3)若E 是BC 的中点，AB BC ＝34，AB ＝6，求EM 的长．参考答案一、选择题：1-6、CCADDB二、填空题：7、3． 8、48_m ．9、4．10、1或12．11、7．12、y ＝32x ．13、3．三、解答题14、解：(1)△BAD ∽△BCA ∽△ACD. (2)AD 2＝BD ·DC. 理由如下： ∵∠BAC ＝90°， ∴∠BAD ＋∠DAC ＝90°. ∵AD ⊥BC ，∴∠DAC ＋∠ACD ＝90°，∠BDA ＝∠ADC ＝90°. ∴∠BAD ＝∠ACD. ∴△BAD ∽△ACD.∴AD CD ＝BD AD，即AD 2＝BD ·DC.15、证明：(1)∵AB ＝AC ， ∴∠B ＝∠C.∵∠BDE ＝180°－∠B －∠DEB ，∠CEF ＝180°－∠DEF －∠DEB ，且∠DEF ＝∠B ， ∴∠BDE ＝∠CEF. ∴△BDE ∽△CEF.(2)∵△BDE ∽△CEF ，∴BE CF ＝DEEF .∵点E 是BC 的中点，∴BE ＝CE. ∴CE CF ＝DE EF .∴CE DE ＝CF EF. ∵∠DEF ＝∠B ＝∠C ，∴△DEF ∽△ECF. ∴∠DFE ＝∠CFE ，即FE 平分∠DFC.16、解：(1)证明：∵∠ABC ＝∠DBE ＝90°， ∴∠ABC －∠DBC ＝∠DBE －∠DBC ，即∠ABD ＝∠CBE. ∵∠DBE ＝90°，C 是DE 的中点． ∴BC ＝CD ＝CE.∴∠E ＝∠CBE. ∴∠ABD ＝∠E.又∵∠BAD ＝∠EAB ，∴△ABD ∽△AEB. (2)∵AB BC ＝43，∴设AB ＝4k ，BC ＝3k.∴在Rt △ABC 中，AC ＝AB 2＋BC 2＝5k. ∵BC ＝CD ＝3k ，∴AD ＝AC －CD ＝5k －3k ＝2k. 由(1)可知△ABD ∽△AEB ， ∴BD BE ＝AD AB ＝2k 4k ＝12，即BD BE 的值为12. 17、解：(1)证明：∵∠B ＝∠ADE ＝∠C ，∠BAD ＝180°－∠ADB －∠B ，∠CDE ＝180°－∠ADB －∠ADE ，∴∠BAD ＝∠CDE. ∴△BDA ∽△CED.(2)∵∠B＝∠C＝45°，BC＝2，∴AB＝AC＝ 2.当AD＝AE时，∴∠ADE＝∠AED＝45°.∴∠DAE＝90°.∴点D与B重合，不合题意，舍去．当EA＝ED时，∴∠EAD＝∠EDA＝45°.∴AD平分∠BAC.∴AD垂直平分BC.∴BD＝1.当DA＝DE时，∵∠EDA＝∠C，∠DAE＝∠CAD，∴△ADE∽△ACD.∴DA∶AC＝DE∶DC.∴DC＝CA＝ 2.∴BD＝BC－DC＝2－ 2.∴综上所述，当△ADE是等腰三角形时，BD的长为1或2－ 2.18、解：(1)∵∠B＝∠D＝90°，∠APC＝90°，∴∠B＝∠APC＝90°，∠A＋∠B＝∠APC＋∠CPD.∴∠A＝∠CPD.∴△ABP∽△PDC.∴BPCD＝ABPD，即BP4＝614－BP.解得BP＝2或12.(2)设BP＝x，则PD＝a－x. ∵△ABP∽△PDC，∴ABPD＝BPCD，即6a－x＝x4.∴x2－ax＋24＝0，设方程的两个根为x1，x2，则x1＋x2＝a，x1x2＝24，∵P1P2＝2，∴|x1－x2|＝2.∴(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝4，∴a2－4×24＝4，解得a＝±10(负值舍去)．∴a＝10.19、解：(1)∵四边形ABCD是正方形，∴∠ACB＝45°.∵∠ACB＝∠P＋∠CAP，∴∠CAP＝20°.∵BG⊥AP，∴∠AGH＝90°.∴∠AHG＝90°－20°＝70°.(2)证明：连接CE.∵四边形ABCD是正方形，∴A，C关于BD对称，∠ACB＝∠ACD＝45°.∴EA＝EC.∴∠EAC＝∠ECA.∵∠ACB＝∠P＋∠CAE＝45°，∠ECF＋∠ECA＝45°，∴∠ECF＝∠P.∵∠CEF＝∠PEC，∴△CEF∽△PEC.∴ECPE＝EFEC.∴EC2＝EF·EP，∴EA2＝EF·EP.20、解：(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠ABE ＝∠ECF ＝90°. ∵AE ⊥EF ，∴∠AEB ＋∠FEC ＝90°. ∵∠AEB ＋∠BAE ＝90°， ∴∠BAE ＝∠CEF. ∴△ABE ∽△ECF.(2)证明：∵BG ⊥AC ，∠ABC ＝90°，∴∠ABG ＋∠BAG ＝90°，∠ECM ＋∠BAG ＝90°. ∴∠ABH ＝∠ECM.由(1)知∠BAH ＝∠CEM ，∴△ABH ∽△ECM. ∴AH EM ＝BHCM .∴AH ·CM ＝BH ·EM. (3)作MR ⊥BC ，垂足为R ，∵AB BC ＝34，AB ＝6，∴BC ＝8.∴BE ＝EC ＝4， ∵△ABE ∽△ECF ，∴AB BE ＝EC CF ，即64＝4CF .∴CF ＝83.∵CD ∥RM ∥AB ，∴△ERM ∽△ECF ，△CRM ∽△CBA. ∴RM CF ＝ER EC ，RM AB ＝RCBC， 即RM 83＝4－RC 4，RM 6＝RC 8.∴RM ＝2417，RC ＝3217.∴ER ＝EC －RC ＝3617. 在Rt △ERM 中，EM ＝ER ＋RM 2＝121317.。
(推荐)北师大版九年级数学上册《探索三角形相似的条件》基础训练2
4 探索三角形相似的条件一、请你填一填（1）如图4—6—8，在△ABC中，AC是BC、DC的比例中项，则△ABC∽________,理由是________.图4—6—8（2）如图4—6—9，D、E、F分别是△ABC各边的中点，则△DEF∽________,理由是________.图4—6—9（3）如图4—6—10，∠BAD=∠CAE，∠B=∠D，AB=2AD，若BC=3 cm,则DE=________cm.图4—6—10（4）如图4—6—11，正方形ABCD的边长为2，AE=EB，MN=1，线段MN的两端分别在CB、CD上滑动，那么当CM=________时，△ADE与△MNC相似.图4—6—11二、认真选一选（1）如图4—6—12，下列条件不能判定△ABC 与△ADE 相似的是（ ）图4—6—12A.AB ACAD AE= B.∠B=∠ADE C.BCDEAC AE =D.∠C=∠AED（2）在平行四边形ABCD 中，E 在BC 边上，AE 交BD 于F ，若BE ∶EC=4∶5，则BF ∶FD 等于（ ）A.4∶5B.5∶4C.5∶9D.4∶9（3）如图4—6—13，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于点D ，CD=2，BD=1，则AD 的长是（ ）图4—6—13A.1B.2C.2D.4三、开动脑筋如图4—6—14，在四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，∠ABD=∠ACD，试找出图中的相似三角形，并加以证明.图4—6—14四、用数学眼光看世界如图4—6—15，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一点A，再在河的这一边选定点B和点C，使得AB⊥BC，然后选定点E，使EC⊥BC，确定BC与AE的交点D，若测得BD=180米，DC=60米，EC=50米，你能知道小河的宽是多少吗？图4—6—15参考答案一、（1）△DAC 这两个三角形的两边对应成比例且夹角相等，这两个三角形相似（2）△ABC 这两个三角形的三边对应成比例，这两个三角形相似 （3）1.5 （4）552或55二、（1）C （2）D （3）D三、（1）△AOB ∽△DOC （2）△AOD ∽△BOC证明：（1）∵∠ABD=∠ACD ，∠AOB=∠DOC （对顶角相等） ∴△AOB ∽△DOC（2）由（1）知△AOB ∽△DOC∴OC OBOD OA =， ∴OC OD OB OA = 又∵∠AOD=∠BOC ∴△AOD ∽△BOC四、解：∵由已知得∠ABD=∠DCE=90°,∠ADB=∠CDE ∴△ABD ∽△ECD ∴DCBDEC AB =将EC=50，BD=180，DC=60代入上式得：6018050=AB ，∴AB=150 即：小河的宽是150米.。
北师大版九年级上册数学 4.4 探索三角形相似的条件(二)(2)
第四章图形的相似4．探索三角形相似的条件（二）一、学生知识状况分析学生在七年级下册第三章《三角形》里，已学习过三角形的基础知识掌握了基本的概念；在本章前面几节课中，又学习了成比例线段，平行线分线段成比例，相似多边形，相似三角形，并理解了它们的概念；现已具有了初步的平面图形的知识。
本节课是要在上节课探索三角形相似的条件第一课时的学习基础上，作为本章节第二节课，进一步加深相似三角形部分的知识，继续探索“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”这个判定定理。
学生在上节课学习的基础上，已经具有一定的探索经验、分析问题能力及归纳演绎的能力，具备了一定的合作与交流的能力，因此在教学方法上建议采用学生自主探索、分组讨论总结的方式。
二、教学任务分析教科书通过问题的形式，创设一个有利于学生动手操作和反思的情境，进一步发展学生的探索、交流能力，达到进一步探索三角形相似条件的目的，能够运用三角形相似的条件解决简单的问题，进一步发展学生的合情推理能力和初步的逻辑推理意识，由此体验数学概念由具体现象抽象出来的过程，以及数学术语表达的精练、简洁。
本节课学生经历发生、观察、操作、思考、交流、归纳的过程，进一步发展学生的空间观念，为后续章节的学习打下基础。
同时，让学生结合实际再次体会数学中的几何图形在生活中广泛存在并起到重要的作用；在教学中再辅以适量的练习使学生对所学的知识加深印象，增强解决问题的能力。
教学目标：（一）知识目标：理解并掌握三角形相似的判定定理：“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”。
（二）能力目标：在进行探索的活动过程中，发展类比的数学思想，激发学生的探索发现归纳意识，增强合情推理的语言表达能力。
（三）情感态度与价值观目标：培养学生积极的思考、动手、观察的能力，使学生感悟几何知识在生活中的价值。
教学重点：掌握相似三角形的判定定理：“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”。
教学难点：相似三角形判定定理在实际问题中的灵活运用三、教学过程分析本节课设计了七个教学环节：第一环节：前置诊断，开辟道路；第二环节：构造悬念，创设情境；第三环节：目标导向，自然引人；第四环节：设问质疑，探究尝试；第五环节：变式训练，巩固提高；第六环节：总结串联，纳入系统；第七环节：达标检测，反馈矫正。
2022-2023学年北师大版九年级上册数学4 探索三角形相似的条件同步练习
2022-2023学年北师大版九年级上册数学4 探索三角形相似的条件同步练习一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，在△ABC中，点D在AB上，下列条件能使△BCD和△ABC相似的是（）A.∠ACD=∠BB.∠ADC=∠ACBC.AC 2=AD•ABD.BC2=BD•BA2、如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（）A.∠ABP=∠CB.∠APB=∠ABCC.D.3、已知Rt△ABC中，∠C=90°，∠A≠∠B，点P是边AC上一点（不与A、C重合），过P点的一条直线与△ABC的边相交，所构成的三角形与原三角形相似，这样的直线有（）条．A.1B.2C.3D.44、如图，点D是△ABC的边AB上的一点，过点D作BC的平行线交AC于点E，连接BE，过点D作BE的平行线交AC于点F，则下列结论错误的是（）A. B. C. D.5、如图，在矩形ABCD中，E在AD上，，交CD于F，连结BF，则图中与△ABE 一定相似的三角形是（）A.△EFBB.△DEFC.△CFBD.△EFB与△DEF6、如图，AC是矩形ABCD的对角线，E是边BC延长线上一点，AE与CD相交于F，则图中的相似三角形共有（）A.2对B.3对C.4对D. 5对7、如果一个三角形能够分成两个与原三角形都相似的三角形，我们把这样的三角形称为孪生三角形，那么孪生三角形是（）A.不存在B.等腰三角形C.直角三角形D.等腰三角形或直角三角形8、如图，在正方形ABCD中，E是CD的中点，点F在BC上，且FC= BC．图中相似三角形共有（）A.1对B.2对C.3对D.4对9、下列各组中两个图形不一定相似的是（）A.有一个角是35°的两个等腰三角形B.两个等腰直角三角形C.有一个角是120°的两个等腰三角形D.两个等边三角形10、如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，下列条件中不能判断△ABC∽△AED的是（）A.∠AED=∠BB.∠ADE=∠CC. =D. =11、如图，已知DE//BC，那么下列结论正确的是（）A. B. C. D.12、如图，AB是⊙O的直径，OD垂直弦AC于点E，且交⊙O于点D，过点D作⊙O的切线与BA的延长线相交于点F，下列结论不一定正确的是（）A.∠CDB=∠BFDB.△BAC∽△OFDC.DF∥ACD.OD=BC13、如图，在△ABC中，∠A=78º，AB=4，AC=6，将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不一定相似的是（）A. B. C. D.14、如图，E为矩形ABCD的CD边延长线上一点，BE交AD于G ， AF⊥BE于F ，图中相似三角形的对数是（）A.5B.7C.8D.1015、下列说法中，错误的是A.所有的等边三角形都相似B.和同一图形相似的两图形相似C.所有的等腰直角三角形都相似D.所有的矩形都相似二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，点P是△ABC中AB边上的一点，过P作直线（不与AB重合）截△ABC，使截得的三角形与原三角形相似，满足条件的直线最多有________条．17、如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=16cm，AC=12cm，点P从点B出发，沿BC以2cm/s的速度向点C移动，点Q从点C出发，以1cm/s的速度向点A移动，若点P、Q分别从点B、C同时出发，设运动时间为t s，当t=________时，△CPQ与△CBA相似．18、如图，在△ABC与△ADE中，，要使△ABC与△ADE相似，还需要添加一个条件，这个条件可以是________ 。
九年级数学上册第四章《图形的相似》4.4探索三角形相似的条件第2课时相似三角形的判定2练习北师大版
九年级数学上册第四章《图形的相似》4.4 探索三角形相似的条件第2课时相似三角形的判定2同步练习（新版）北师大版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（九年级数学上册第四章《图形的相似》4.4 探索三角形相似的条件第2课时相似三角形的判定2同步练习（新版）北师大版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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第2课时相似三角形的判定2图4－4－14知识点由两边成比例且夹角相等判定两三角形相似1．如图4－4－14所示，已知△ABC,则图4－4－15中与△ABC相似的是（)图4－4－152．如图4－4－16，已知∠1＝∠2,那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是（)A．∠C＝∠E B．∠B＝∠ADEC。
错误!＝错误!D。
错误!＝错误!4－4－16 4－4－17 3。
如图4－4－17,能保证△ABC与△ACD相似的条件是( )A。
错误!＝错误!B.错误!＝错误!C．AC2＝AD·ABD．CD2＝AD·DB4．2016·贵阳期末在三角形纸片ABC中，AB＝8，BC＝4,AC＝6，按下列方法沿虚线剪下,能使阴影部分的三角形与△ABC相似的是（)图4－4－185．如图4－4－19，在△ABC中，点D，E分别在AB与AC上，且AD＝5，DB＝7，AE＝6，EC＝4，△ADE与△ACB相似吗?请说明理由．图4－4－196．在△ABC和△A′B′C′中，∠B＝∠B′，AB＝6，BC＝8，B′C′＝4，则当A′B′＝________时，△ABC与△A′B′C′相似．图4－4－207．如图4－4－20所示，在△ABC中，AB＝6，AC＝4，P是AC的中点，过点P的直线交AB于点Q,若以A，P，Q为顶点的三角形和△ABC相似，则AQ的长为________．8．2017·贵阳期末如图4－4－21,在正三角形ABC中，D，E分别在AC，AB上，且错误!＝错误!，AE＝EB.求证：△AED∽△CBD。
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4 探索三角形相似的条件
一、请你填一填
（1）如图4—6—8，在△ABC中，AC是BC、DC的比例中项，则△ABC∽________,理由是________.
图4—6—8
（2）如图4—6—9，D、E、F分别是△ABC各边的中点，则△DEF∽________,理由是________.
图4—6—9
（3）如图4—6—10，∠BAD=∠CAE，∠B=∠D，AB=2AD，若BC=3 cm,则DE=________cm.
图4—6—10
（4）如图4—6—11，正方形ABCD的边长为2，AE=EB，MN=1，线段MN的两端分别在CB、CD上滑动，那么当CM=________时，△ADE与△MNC 相似.
图4—6—11
二、认真选一选
（1）如图4—6—12，下列条件不能判定△ABC 与△ADE 相似的是（ ）
图4—6—12
A.AB AC AD AE =
B.∠B=∠ADE
C.
BC
DE AC
AE =
D.∠C=∠AED
（2）在平行四边形ABCD 中，E 在BC 边上，AE 交BD 于F ，若BE ∶EC=4∶5，则BF ∶FD 等于（ ）
A.4∶5
B.5∶4
C.5∶9
D.4∶9
（3）如图4—6—13，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于点D ，CD=2，BD=1，则AD 的长是（ ）
图4—6—13
A.1
B.
2
C.2
D.4
三、开动脑筋
如图4—6—14，在四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，∠ABD=∠ACD，试找出图中的相似三角形，并加以证明.
图4—6—14
四、用数学眼光看世界
如图4—6—15，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一点A，再在河的这一边选定点B和点C，使得AB⊥BC，然后选定点E，使EC⊥BC，确定BC与AE的交点D，若测得BD=180米，DC=60米，EC=50米，你能知道小河的宽是多少吗？
图4—6—15
参考答案
一、（1）△DAC 这两个三角形的两边对应成比例且夹角相等，这两个三角形相似
（2）△ABC 这两个三角形的三边对应成比例，这两个三角形相似 （3）1.5 （4）
55
2或
5
5
二、（1）C （2）D （3）D
三、（1）△AOB ∽△DOC （2）△AOD ∽△BOC
证明：（1）∵∠ABD=∠ACD ，∠AOB=∠DOC （对顶角相等） ∴△AOB ∽△DOC
（2）由（1）知△AOB ∽△DOC ∴OC OB OD OA =， ∴
OC
OD OB
OA =
又∵∠AOD=∠BOC ∴△AOD ∽△BOC
四、解：∵由已知得∠ABD=∠DCE=90°,∠ADB=∠CDE ∴△ABD ∽△ECD ∴
DC
BD EC
AB =
将EC=50，BD=180，DC=60代入上式得：
60
18050
=AB ，∴AB=150
即：小河的宽是150米.。