《结构力学教学课件》§6-4 静定结构在荷载作用下的位移
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建立内力函数时，实际状态与虚拟状态的坐标应取为一致。
4、对于不同类型的结构，上式可以简化
各种类型的位移计算简化公式
①、梁和刚架
以弯曲变形为主，轴向、剪切变形 很小，可以略去
kp
M M P ds EI
②桁架
只有轴力，且同一杆件的轴
力及EA沿杆长度均为常数。
kp
F N .FNP ds EA
M
图
P
计算过程
FSP图
虚拟状态
M图 FS图
计算过程：
(1)在C点加相应于竖向位移的单位力P=1
(2)由平衡条件求实际荷载作用下的内力，再求虚设单位荷载作 用下的内力。取A点为坐标原点，当0≤x≤l/2时，任意截面的 内力表达式为：
实际荷载
MP
q (lx 2
xFra Baidu bibliotek)
FSP
q 2
(l
2x)
FNP 0
M .F N .F S F P 1引起结构的内力 .
①对静定结构来 说，都可以由平
1、两组
衡条件来求解；
内力
M P.FNP .FSP 实际荷载引起结构的内 力.
②两组内力符 号规定一致
2、 EI、 EA、GA：抗拉、抗弯、抗剪刚度。位移与截面、材 料有关
3、 ：杆件长度积分； ：各杆件的积分值求和——积分法
M M P ds＋
F N .FNPl
EI
轴力杆 EA
三、求解步骤
1.F P＝1沿拟求位移Δ的位置和方向虚设相应的单
位荷载；
2.M .F N .F S
根据平衡条件求出在单位荷载作用下结构的内力
3.M P.FNP .FSP
根据平衡条件求出在实际荷载作用下结构的内力 4、代入公式进行计算
例1：求图示简支梁在中点C的竖向位移，并比较弯曲变形与剪切 变形对位移的影响（梁的截面尺寸为b、h）
虚设荷载 M 1 x
2
1 FS
2
FN 0
(3)计算△
弯曲变形引起的位移 M
MM P ds 5ql4 ()
EI
384EI
剪切变形引起的位移 S k
FS .FSP ds 0.15 ql2 ()
GA
GA
总变形 5ql4 0.15 ql2
384EI
GA
设为矩形截面，如h/l=1/10,取 G=0.4E,有
d P
M Pds EI
duP
FNP ds EA
rPds
k
FSPds GA
注：k
系数k的解释说明：
A
k I2
S b
2 2
d
A*
A
剪应力沿截面分布不均匀的修正系数，和截面形状有 关。矩形截面：k=1.2；圆形截面：k=10/9
工字形截面：k=A/A1，A1（腹板面积） 薄壁圆环形截面：k=2
二、公式说明
§ 6-4 静定结构在荷载作用下的位移计算
一、公式推导
一般公式 1.K F R.c Md F Ndu F Srds
仅考虑荷载作用
KP MdP F NduP F SrPds
1、实际荷载在微段ds上引起的轴向、弯曲和剪切变形：duP、 dP 、 rPds的求解方法
2、代入
kp
M M P ds EI
F N .FNP ds EA
k F S .FSP ds GA
二、公式应用说明 三、求解步骤 四、求解例题1、2、3
在荷载作用下 位移计算公式
位移计算一般公式中仅考虑荷载作用
实际状态
虚拟状态
实际荷载在微段ds上引起的轴向、弯曲和剪切变形：duP、 dP 、 rPds的求解方法
F N .FNPl EA
③拱 一般实体拱，计算位移时可忽略曲率对位移的影响，只考 虑弯矩的影响；但在扁平拱中需考虑弯矩和轴力的影响
④组合结构
kp
M M P ds EI
F N .FNP ds EA
k F S .FSP ds GA
梁式杆，只考虑弯矩的影响，轴力杆，只考虑轴力影响 。
kp 梁式杆
ql 2 2
(0
x
l)
虚设荷载
M x(0 x l)
M l
Ay
M M P ds 5ql4 ()
EI
8EI
例3：如图所示桁架，计算下弦中点D的挠度。已知各杆弹性模量 E=210GPa，截面面积如图中括号内数值A(10-4m2)。
计算过程
1、在D点加P=1
2、求FNP：计算在荷载作用下各杆的轴力FNP
例2：求图示刚架结构在A点的竖向位移ΔAy，各杆材料相同，截 面的I、A均为常数。
(1) 在 A 点 加 相 应 于
竖向位移的单位力
实际状态
虚拟状态
(2) 由 平 衡 条 件 求 实 际荷载作用下的内力， 再求虚设单位荷载作 用下的内力。
(3)计算△
AB段 BC段
实际荷载
MP
qx2 2
(0
x
l)
MP
3、求 F N ：计算在P=1作用下各杆的轴力
4、求△c：列表进行
F N FN P l 0.008 m 8mm
EA
4、对于不同类型的结构，上式可以简化
各种类型的位移计算简化公式
①、梁和刚架
以弯曲变形为主，轴向、剪切变形 很小，可以略去
kp
M M P ds EI
②桁架
只有轴力，且同一杆件的轴
力及EA沿杆长度均为常数。
kp
F N .FNP ds EA
M
图
P
计算过程
FSP图
虚拟状态
M图 FS图
计算过程：
(1)在C点加相应于竖向位移的单位力P=1
(2)由平衡条件求实际荷载作用下的内力，再求虚设单位荷载作 用下的内力。取A点为坐标原点，当0≤x≤l/2时，任意截面的 内力表达式为：
实际荷载
MP
q (lx 2
xFra Baidu bibliotek)
FSP
q 2
(l
2x)
FNP 0
M .F N .F S F P 1引起结构的内力 .
①对静定结构来 说，都可以由平
1、两组
衡条件来求解；
内力
M P.FNP .FSP 实际荷载引起结构的内 力.
②两组内力符 号规定一致
2、 EI、 EA、GA：抗拉、抗弯、抗剪刚度。位移与截面、材 料有关
3、 ：杆件长度积分； ：各杆件的积分值求和——积分法
M M P ds＋
F N .FNPl
EI
轴力杆 EA
三、求解步骤
1.F P＝1沿拟求位移Δ的位置和方向虚设相应的单
位荷载；
2.M .F N .F S
根据平衡条件求出在单位荷载作用下结构的内力
3.M P.FNP .FSP
根据平衡条件求出在实际荷载作用下结构的内力 4、代入公式进行计算
例1：求图示简支梁在中点C的竖向位移，并比较弯曲变形与剪切 变形对位移的影响（梁的截面尺寸为b、h）
虚设荷载 M 1 x
2
1 FS
2
FN 0
(3)计算△
弯曲变形引起的位移 M
MM P ds 5ql4 ()
EI
384EI
剪切变形引起的位移 S k
FS .FSP ds 0.15 ql2 ()
GA
GA
总变形 5ql4 0.15 ql2
384EI
GA
设为矩形截面，如h/l=1/10,取 G=0.4E,有
d P
M Pds EI
duP
FNP ds EA
rPds
k
FSPds GA
注：k
系数k的解释说明：
A
k I2
S b
2 2
d
A*
A
剪应力沿截面分布不均匀的修正系数，和截面形状有 关。矩形截面：k=1.2；圆形截面：k=10/9
工字形截面：k=A/A1，A1（腹板面积） 薄壁圆环形截面：k=2
二、公式说明
§ 6-4 静定结构在荷载作用下的位移计算
一、公式推导
一般公式 1.K F R.c Md F Ndu F Srds
仅考虑荷载作用
KP MdP F NduP F SrPds
1、实际荷载在微段ds上引起的轴向、弯曲和剪切变形：duP、 dP 、 rPds的求解方法
2、代入
kp
M M P ds EI
F N .FNP ds EA
k F S .FSP ds GA
二、公式应用说明 三、求解步骤 四、求解例题1、2、3
在荷载作用下 位移计算公式
位移计算一般公式中仅考虑荷载作用
实际状态
虚拟状态
实际荷载在微段ds上引起的轴向、弯曲和剪切变形：duP、 dP 、 rPds的求解方法
F N .FNPl EA
③拱 一般实体拱，计算位移时可忽略曲率对位移的影响，只考 虑弯矩的影响；但在扁平拱中需考虑弯矩和轴力的影响
④组合结构
kp
M M P ds EI
F N .FNP ds EA
k F S .FSP ds GA
梁式杆，只考虑弯矩的影响，轴力杆，只考虑轴力影响 。
kp 梁式杆
ql 2 2
(0
x
l)
虚设荷载
M x(0 x l)
M l
Ay
M M P ds 5ql4 ()
EI
8EI
例3：如图所示桁架，计算下弦中点D的挠度。已知各杆弹性模量 E=210GPa，截面面积如图中括号内数值A(10-4m2)。
计算过程
1、在D点加P=1
2、求FNP：计算在荷载作用下各杆的轴力FNP
例2：求图示刚架结构在A点的竖向位移ΔAy，各杆材料相同，截 面的I、A均为常数。
(1) 在 A 点 加 相 应 于
竖向位移的单位力
实际状态
虚拟状态
(2) 由 平 衡 条 件 求 实 际荷载作用下的内力， 再求虚设单位荷载作 用下的内力。
(3)计算△
AB段 BC段
实际荷载
MP
qx2 2
(0
x
l)
MP
3、求 F N ：计算在P=1作用下各杆的轴力
4、求△c：列表进行
F N FN P l 0.008 m 8mm
EA