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2019-2020深圳市文德学校数学高考一模试题(及答案)

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2019-2020学年广东省深圳市高考数学模拟考试(文科)试题Word版含解析

2019-2020学年广东省深圳市高考数学模拟考试(文科)试题Word版含解析

2019-2020学年广东省深圳市高考模拟考试数学（文科）试题一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={﹣2，﹣1，0，1，2，3}，B={y|y=|x|﹣3，x∈A}，则A∩B=（）A．{﹣2，1，0} B．{﹣1，0，1，2} C．{﹣2，﹣1，0} D．{﹣1，0，1}2．若复数z1，z2在复平面内对应的点关于y轴对称，且z1=2﹣i，则复数在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．已知函数f（x）=，则f（﹣2016）=（）A．e2B．e C．1 D．4．某市重点中学奥数培训班共有14人，分为两个小组，在一次阶段考试中两个小组成绩的茎叶图如图所示，其中甲组学生成绩的平均数是88，乙组学生成绩的中位数是89，则m+n的值是（）A．10 B．11 C．12 D．135．已知a，b，c为△ABC的三个角A，B，C所对的边，若3bcosC=c（1﹣3cosB），sinC：sinA=（）A．2：3 B．4：3 C．3：1 D．3：26．已知=（﹣2，1），=（k，﹣3），=（1，2），若（﹣2）⊥，则||=（）A．B．C．D．7．某四面体三视图如图所示，则该四面体的四个面中，直角三角形的面积和是（）A．2 B．4 C．D．8．自圆C：（x﹣3）2+（y+4）2=4外一点P（x，y）引该圆的一条切线，切点为Q，切线的长度等于点P到原点O的长，则点P轨迹方程为（）A．8x﹣6y﹣21=0 B．8x+6y﹣21=0 C．6x+8y﹣21=0 D．6x﹣8y﹣21=09．若如图的框图所给的程序运行结果为S=20，那么判断框中应填入的关于k的条件是（）A．k=9 B．k≤8 C．k＜8 D．k＞810．如图所示，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1内接于半径为的半球O，四边形ABCD为正方形，则该四棱柱的体积最大时，AB的长是（）A．1 B．C．D．211．设F为双曲线（a＞0，b＞0）的右焦点，若OF的垂直平分线与渐近线在第一象限内的交点到另一条渐近线的距离为，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．312．若直线l：y=kx﹣1与曲线C：f（x）=x﹣1+没有公共点，则实数k的最大值为（）A．﹣1 B．C．1 D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．若函数（x∈R）为奇函数，则ab= ．14．已知实数x，y满足，目标函数z=3x+y+a的最大值为4，则a= ．15．已知函数f（x）=asinxcosx﹣sin2x+的一条对称轴方程为x=，则函数f（x）的最大值为．16．当x∈（0，1）时，函数f（x）=e x﹣1的图象不在函数g（x）=x2﹣ax的下方，则实数a 的取值范围是．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且asinB=﹣bsin（A+）．（1）求A；（2）若△ABC的面积S=c2，求sinC的值．18．从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入xi （单位：千元）与月储蓄yi（单位：千元）的数据资料，算得， =20， =184， =720．1）求家庭的月储蓄y关于月收入x的线性回归方程；2）若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为： =， =．19．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，，点D是棱AA1的中点．（Ⅰ）证明：平面BDC1⊥平面BDC；（Ⅱ）求三棱锥C1﹣BDC的体积．20．已知F1，F2分别是椭圆C：的两个焦点，且|F1F2|=2，点在该椭圆上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线l与以原点为圆心，b为半径的圆相切于第一象限，切点为M，且直线l与椭圆交于P、Q两点，问|F2P|+|F2Q|+|PQ|是否为定值？如果是，求出定值；如不是，说明理由．21．已知函数f（x）=（2﹣a）（x﹣1）﹣2lnx（a∈R）．（1）若曲线g（x）=f（x）+x上点（1，g（1））处的切线过点（0，2），求函数g（x）的单调减区间；（2）若函数y=f（x）在上无零点，求a的最小值．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系，己知直线l的极坐标方程为ρcosθ﹣ρsinθ=2，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=2pcosθ（p ＞0）．（1）设t为参数，若x=﹣2+t，求直线l的参数方程；（2）已知直线l与曲线C交于P、Q，设M（﹣2，﹣4），且|PQ|2=|MP|•|MQ|，求实数p的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|2x﹣1|．（1）若不等式f（x+）≥2m+1（m＞0）的解集为（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞），求实数m的值；（2）若不等式f（x）≤2y++|2x+3|，对任意的实数x，y∈R恒成立，求实数a的最小值．2019-2020学年广东省深圳市高考模拟考试数学（文科）试题参考答案一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={﹣2，﹣1，0，1，2，3}，B={y|y=|x|﹣3，x∈A}，则A∩B=（）A．{﹣2，1，0} B．{﹣1，0，1，2} C．{﹣2，﹣1，0} D．{﹣1，0，1}【考点】交集及其运算．【分析】把A中元素代入y=|x|﹣3中计算求出y的值，确定出B，找出A与B的交集即可．【解答】解：把x=﹣2，﹣1，0，1，2，3，分别代入y=|x|﹣3得：y=﹣3，﹣2，﹣1，0，即B={﹣3，﹣2，﹣1，0}，∵A={﹣2，﹣1，0，1，2，3}，∴A∩B={﹣2，﹣1，0}，故选：C．2．若复数z1，z2在复平面内对应的点关于y轴对称，且z1=2﹣i，则复数在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】由z1=2﹣i，复数z1，z2在复平面内对应的点关于y轴对称，求出z2，然后代入，利用复数代数形式的乘除运算化简，求出复数在复平面内对应的点的坐标，则答案可求．【解答】解：∵z1=2﹣i，复数z1，z2在复平面内对应的点关于y轴对称，∴z2=﹣2﹣i．∴==，则复数在复平面内对应的点的坐标为：（，），位于第二象限．故选：B．3．已知函数f（x）=，则f（﹣2016）=（）A．e2B．e C．1 D．【考点】分段函数的应用．【分析】由已知条件利用分段函数的性质先由函数的周期性求出f，再由指数的性质能求出结果．【解答】解：∵f（x）=，∴当x＞2时，函数是周期函数，周期为5，f（﹣2016）=f=f（1）=e，故选：B．4．某市重点中学奥数培训班共有14人，分为两个小组，在一次阶段考试中两个小组成绩的茎叶图如图所示，其中甲组学生成绩的平均数是88，乙组学生成绩的中位数是89，则m+n的值是（）A．10 B．11 C．12 D．13【考点】茎叶图．【分析】利用平均数求出m的值，中位数求出n的值，解答即可．【解答】解：∵甲组学生成绩的平均数是88，∴由茎叶图可知78+86+84+88+95+90+m+92=88×7，∴m=3又乙组学生成绩的中位数是89，∴n=9，∴m+n=12．故选：C．5．已知a，b，c为△ABC的三个角A，B，C所对的边，若3bcosC=c（1﹣3cosB），sinC：sinA=（）A．2：3 B．4：3 C．3：1 D．3：2【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】由3bcosC=c（1﹣3cosB）．利用正弦定理可得3sinBcosC=sinC（1﹣3cosB），化简整理即可得出．【解答】解：由正弦定理，设，∵3bcosC=c（1﹣3cosB）．∴3sinBcosC=sinC（1﹣3cosB），化简可得 sinC=3sin（B+C）又A+B+C=π，∴sinC=3sinA，∴因此sinC：sinA=3：1．故选：C．6．已知=（﹣2，1），=（k，﹣3），=（1，2），若（﹣2）⊥，则||=（）A．B．C．D．【考点】平面向量数量积的运算；平面向量的坐标运算．【分析】求出向量﹣2，利用向量的垂直，数量积为0，列出方程求解向量，然后求解向量的模即可．【解答】解： =（﹣2，1），=（k，﹣3），=（1，2），﹣2=（﹣2﹣2k，7），（﹣2）⊥，可得：﹣2﹣2k+14=0．解得k=6，=（6，﹣3），所以||==3．故选：A．7．某四面体三视图如图所示，则该四面体的四个面中，直角三角形的面积和是（）A．2 B．4 C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图还原得到原几何体，分析原几何体可知四个面中直角三角形的个数，求出直角三角形的面积求和即可．【解答】解：由三视图可得原几何体如图，∵PO⊥底面ABC，∴平面PAC⊥底面ABC，而BC⊥AC，∴BC⊥平面PAC，∴BC⊥AC．该几何体的高PO=2，底面ABC为边长为2的等腰直角三角形，∠ACB为直角．所以该几何体中，直角三角形是底面ABC和侧面PBC．PC=，∴，，∴该四面体的四个面中，直角三角形的面积和．故选：C．8．自圆C：（x﹣3）2+（y+4）2=4外一点P（x，y）引该圆的一条切线，切点为Q，切线的长度等于点P到原点O的长，则点P轨迹方程为（）A．8x﹣6y﹣21=0 B．8x+6y﹣21=0 C．6x+8y﹣21=0 D．6x﹣8y﹣21=0【考点】轨迹方程．【分析】由题意画出图象，根据条件和圆的切线性质列出方程化简，求出点P的轨迹方程【解答】解：由题意得，圆心C（3，﹣4），半径r=2，如图：因为|PQ|=|PO|，且PQ⊥CQ，所以|PO|2+r2=|PC|2，所以x2+y2+4=（x﹣3）2+（y+4）2，即6x﹣8y﹣21=0，所以点P在直线6x﹣8y﹣21=0上，故选D．9．若如图的框图所给的程序运行结果为S=20，那么判断框中应填入的关于k的条件是（）A．k=9 B．k≤8 C．k＜8 D．k＞8【考点】程序框图．【分析】运行程序框图，确定条件．【解答】解：如图：K1098s11120可知，10，9时条件成立，8时不成立．故选D．10．如图所示，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1内接于半径为的半球O，四边形ABCD为正方形，则该四棱柱的体积最大时，AB的长是（）A．1 B．C．D．2【考点】球内接多面体．【分析】设AB=a，BB1=h，求出a2=6﹣2h2，故正四棱柱的体积是V=a2h=6h﹣2h3，利用导数，得到该正四棱柱体积的最大值，即可得出结论．【解答】解：设AB=a，BB1=h，则OB=a，连接OB1，OB，则OB2+BB12=OB12=3，∴=3，∴a2=6﹣2h2，故正四棱柱的体积是V=a2h=6h﹣2h3，∴V′=6﹣6h2，当0＜h＜1时，V′＞0，1＜h＜时，V′＜0，∴h=1时，该四棱柱的体积最大，此时AB=2．故选：D．11．设F为双曲线（a＞0，b＞0）的右焦点，若OF的垂直平分线与渐近线在第一象限内的交点到另一条渐近线的距离为，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．3【考点】双曲线的简单性质．【分析】求得交点坐标，利用点到直线的距离公式可知： =，即可求得4a2=3c2，利用双曲线的离心率即可求得双曲线的离心率．【解答】解：双曲线（a＞0，b＞0）渐近线方程y=±x，由OF的垂直平分线为x=，将x=，代入y=x，则y=，则交点坐标为（，），由（，），到y=﹣x，即bx+ay=0的距离d===，解得：c=2b=2，即4a2=3c2，则双曲线的离心率e==，故选：B．12．若直线l：y=kx﹣1与曲线C：f（x）=x﹣1+没有公共点，则实数k的最大值为（）A．﹣1 B．C．1 D．【考点】函数的图象．【分析】直线l：y=kx﹣1与曲线f（x）=x﹣1+没有公共点，则x﹣1+=kx﹣1无解，可化为k=1+，设g（x）=1+，求导，研究此函数的单调性即可解决【解答】解：若直线l：y=kx﹣1与曲线f（x）=x﹣1+没有公共点，则x﹣1+=kx﹣1无解，∵x=0时，上述方程不成立，∴x≠0则x﹣1+=kx﹣1可化为k=1+，设g（x）=1+，∴g′（x）=∴g′（x）满足：在（﹣∞，﹣1）上g′（x）＞0，在（﹣1，0）上g′（x）＜0，在（0，+∞）上g′（x）＜0，∴g（x）满足：在（﹣∞，﹣1）上递增，在（﹣1，0）上递减，在（0，+∞）上递减，g（﹣1）=1﹣e，而当x→+∞时，g（x）→1，∴g（x）的图象：∴g（x）∈（﹣∞，1﹣e]∪（1，+∞）无解时，k∈（1﹣e，1]，=1，∴kmax故选：C二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．若函数（x∈R）为奇函数，则ab= 2016 ．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】利用f（0）=0，即可得出结论．【解答】解：∵函数（x∈R）为奇函数，∴f（0）==0，∴ab=2016，故答案为2016．14．已知实数x，y满足，目标函数z=3x+y+a的最大值为4，则a= ﹣3 ．【考点】简单线性规划．【分析】由题意，不等式组，表示一个三角形区域（包含边界），求出三角形的三个顶点的坐标，目标函数z=3x+y+a的几何意义是直线的纵截距，由此可求得结论．【解答】解：由题意，不等式组，表示一个三角形区域（包含边界），三角形的三个顶点的坐标分别为（0，2），（1，0），（，2）目标函数z=3x+y的几何意义是直线的纵截距由线性规划知识可得，在点A（，2）处取得最大值4．3×+2+a=4，解得a=﹣3故答案为：﹣3．15．已知函数f（x）=asinxcosx﹣sin2x+的一条对称轴方程为x=，则函数f（x）的最大值为 1 ．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的对称性．【分析】本题运用离对称轴远近相同的点函数值相等求出a值，再求三角函数的最值．【解答】解：f（x）=，∵是对称轴，f（0）=f（），∴，∴，最大值为1．故答案为1．16．当x∈（0，1）时，函数f（x）=e x﹣1的图象不在函数g（x）=x2﹣ax的下方，则实数a 的取值范围是[2﹣e，+∞）．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】由已知得f（x）﹣g（x）=e x﹣x2+ax﹣1≥0对x∈（0，1）恒成立，从而， =（）=h（x）对于x∈（0，1）恒成立，进而a≥h（x）max（e x﹣x﹣1），由导数性质得h（x）是增函数，由此能求出实数a的取值范围．【解答】解：∵当x∈（0，1）时，函数f（x）=e x﹣1的图象不在函数g（x）=x2﹣ax的下方，∴f（x）﹣g（x）=e x﹣x2+ax﹣1≥0对x∈（0，1）恒成立，∴e x﹣x2+ax﹣1≥0，∴=h（x）对于x∈（0，1）恒成立，∴a≥h（x），max=（）（e x﹣x﹣1），令t（x）=e x﹣x﹣1，x∈（0，1），t′（x）=e x﹣1＞0对x∈（0，1）恒成立，∴t（x）≥t（0）=0，∴h′（x）＞0恒成立，h（x）是增函数，=h（1）=，∴h（x）max∴实数a的取值范围是[2﹣e，+∞）．故答案为：[2﹣e，+∞）．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且asinB=﹣bsin（A+）．（1）求A；（2）若△ABC的面积S=c2，求sinC的值．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）由正弦定理化简已知可得tanA=﹣，结合范围A∈（0，π），即可计算求解A 的值．（2）由（1）可求sinA=，利用三角形面积公式可求b=，利用余弦定理可求a=，由正弦定理即可计算求解．【解答】（本题满分为12分）解：（1）∵asinB=﹣bsin（A+）．∴由正弦定理可得：sinAsinB=﹣sinBsin（A+）．即：sinA=﹣sin（A+）．可得：sinA=﹣sinA﹣cosA，化简可得：tanA=﹣，∵A∈（0，π），∴A=…6分（2）∵A=，∴sinA=，∵由S=c2=bcsinA=bc，可得：b=，∴a2=b2+c2﹣2bccosA=7c2，可得：a=，由正弦定理可得：sinC=…12分18．从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入xi （单位：千元）与月储蓄yi（单位：千元）的数据资料，算得， =20， =184， =720．1）求家庭的月储蓄y关于月收入x的线性回归方程；2）若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为： =， =．【考点】线性回归方程．【分析】1）利用已知条件求出，样本中心坐标，利用参考公式求出b，a，然后求出线性回归方程： =bx+a；2）通过x=7，利用回归直线方程，推测该家庭的月储蓄．【解答】（本小题满分12分）解：1）由题意知n=10，，又，，由此得， =2﹣0.3×8=﹣0.4，故所求线性回归方程为=0.3x﹣0.4．2）将x=7代入回归方程，可以预测该家庭的月储蓄约为=0.3×7﹣0.4=1.7（千元）．19．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，，点D是棱AA1的中点．（Ⅰ）证明：平面BDC1⊥平面BDC；（Ⅱ）求三棱锥C1﹣BDC的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）由题设证明BC⊥平面ACC1A1，可得DC1⊥BC，再由已知可得∠ADC=∠A1DC1=45°，得∠CDC1=90°，即C1D⊥DC，结合线面垂直的判定得DC1⊥平面BDC，从而得到平面BDC1⊥平面BDC；（Ⅱ）由等积法可得三棱锥C1﹣BDC的体积．【解答】（Ⅰ）证明：由题意知BC⊥CC1，BC⊥AC，AC∩CC1=C，∴BC⊥平面ACC1A1，又∵DC1⊂平面ACC1A1，∴DC1⊥BC．∵∠ADC=∠A1DC1=45°，∴∠CDC1=90°，即C1D⊥DC．∵DC∩BC=C，∴DC1⊥平面BDC，又∵DC1⊂平面BDC1，∴平面BDC1⊥平面BDC．（Ⅱ）解：由，得AA1=4，所以AD=2，所以．所以Rt△CDC1的面积，所以．20．已知F1，F2分别是椭圆C：的两个焦点，且|F1F2|=2，点在该椭圆上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线l与以原点为圆心，b为半径的圆相切于第一象限，切点为M，且直线l与椭圆交于P、Q两点，问|F2P|+|F2Q|+|PQ|是否为定值？如果是，求出定值；如不是，说明理由．【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）由|F1F2|=2，点在该椭圆上，求出a=2，，由此能出椭圆C的方程．（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），推导出．连接OM，OP，由相切条件推导出，由此能求出|F2P|+|F2Q|+|PQ|为定值．【解答】解：（Ⅰ）∵F1，F2分别是椭圆C：的两个焦点，且|F1F2|=2，点在该椭圆上．由题意，得c=1，即a2﹣b2=1，①又点在该椭圆上，∴，②由①②联立解得a=2，，∴椭圆C的方程为．（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），，，∴．连接OM，OP，由相切条件知：，∴，∴．同理可求得，∴|F2P|+|F2Q|+|PQ|=2+2=4为定值．21．已知函数f（x）=（2﹣a）（x﹣1）﹣2lnx（a∈R）．（1）若曲线g（x）=f（x）+x上点（1，g（1））处的切线过点（0，2），求函数g（x）的单调减区间；（2）若函数y=f（x）在上无零点，求a的最小值．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出函数的导数，计算g′（1），求出a的值，从而求出g（x）的递减区间即可；（2）问题转化为对x∈（0，），a＞2﹣恒成立，令l（x）=2﹣，x∈（0，），根据函数的单调性求出a的最小值即可．【解答】解：（1）∵g（x）=（3﹣a）x﹣（2﹣a）﹣2lnx，∴g′（x）=3﹣a﹣，∴g′（1）=1﹣a，又g（1）=1，∴1﹣a==﹣1，解得：a=2，由g′（x）=3﹣2﹣=＜0，解得：0＜x＜2，∴函数g（x）在（0，2）递减；（2）∵f（x）＜0在（0，）恒成立不可能，故要使f（x）在（0，）无零点，只需任意x∈（0，），f（x）＞0恒成立，即对x∈（0，），a＞2﹣恒成立，令l（x）=2﹣，x∈（0，），则l′（x）=，再令m（x）=2lnx+﹣2，x∈（0，），则m′（x）=＜0，故m（x）在（0，）递减，于是m（x）＞m（）=2﹣2ln2＞0，从而f′（x）＞0，于是l（x）在（0，）递增，∴l（x）＜l（）=2﹣4ln2，故要使a＞2﹣恒成立，只要a∈[2﹣4ln2，+∞），综上，若函数y=f（x）在上无零点，则a的最小值是2﹣4ln2．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系，己知直线l的极坐标方程为ρcosθ﹣ρsinθ=2，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=2pcosθ（p ＞0）．（1）设t为参数，若x=﹣2+t，求直线l的参数方程；（2）已知直线l与曲线C交于P、Q，设M（﹣2，﹣4），且|PQ|2=|MP|•|MQ|，求实数p的值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）直线l的极坐标方程为ρcosθ﹣ρsinθ=2，利用极坐标与直角坐标的互化公式即可化为直角坐标方程．由x=﹣2+t，可得y=x﹣2=﹣4+t，即可得出直线l的参数方程．（2）曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=2pcosθ（p＞0），即为ρ2sin2θ=2pρcosθ（p＞0），即可化为直角坐标方程．把直线l的参数方程代入可得：t2﹣（8+2p）t+8p+32=0．不妨设|MP|=t1，|MQ|=t2．|PQ|=|t1﹣t2|=．利用|PQ|2=|MP|•|MQ|，即可得出．【解答】解：（1）直线l的极坐标方程为ρcosθ﹣ρsinθ=2，化为直角坐标方程：x﹣y﹣2=0．∵x=﹣2+t，∴y=x﹣2=﹣4+t，∴直线l的参数方程为：（t为参数）．（2）曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=2pcosθ（p＞0），即为ρ2sin2θ=2pρcosθ（p＞0），可得直角坐标方程：y2=2px．把直线l的参数方程代入可得：t2﹣（8+2p）t+8p+32=0．∴t1+t2=（8+2p），t1t2=8p+32．不妨设|MP|=t1，|MQ|=t2．|PQ|=|t1﹣t2|===．∵|PQ|2=|MP|•|MQ|，∴8p2+32p=8p+32，化为：p2+3p﹣4=0，解得p=1．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|2x﹣1|．（1）若不等式f（x+）≥2m+1（m＞0）的解集为（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞），求实数m的值；（2）若不等式f（x）≤2y++|2x+3|，对任意的实数x，y∈R恒成立，求实数a的最小值．【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式．【分析】（1）求得不等式f（x+）≥2m+1（m＞0）的解集，再结合不等式f（x+）≥2m+1（m＞0）的解集为（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞），求得m的值．（2）由题意可得g（x）=|2x﹣1|﹣|2x+3|的最小值小于或等于2y+，再利用绝对值三角不等式求得g（x）的最小值为4，可得4≤2y+恒成立，再利用基本不等式求得2y+的最小值为2，可得2≥4，从而求得a的范围．【解答】解：（1）∵不等式f（x+）≥2m+1（m＞0）的解集为（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞），即|2（x+）﹣1|≤2m+1 的解集为（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）．由|2x|≥2m+1，可得2x≥2m+1，或2x≤﹣2m﹣1，求得 x≥m+，或x≤﹣m﹣，故|2（x+）﹣1|≤2m+1 的解集为（﹣∞，﹣m﹣]∪[m+，+∞），故有m+=2，且﹣m﹣=﹣2，∴m=．（2）∵不等式f（x）≤2y++|2x+3|，对任意的实数x，y∈R恒成立，∴|2x﹣1|≤2y++|2x+3|恒成立，即|2x﹣1|﹣|2x+3|≤2y+恒成立，故g（x）=|2x﹣1|﹣|2x+3|的最小值小于或等于2y+．∵|2x﹣1|﹣|2x+3|≤|2x﹣1﹣（2x+3）|=4，∴4≤2y+恒成立，∵2y+≥2，∴2≥4，∴a≥4，故实数a的最小值为4．。

2020年广东省深圳市高考数学一模试卷(文科) (解析版)

2020年广东省深圳市高考数学一模试卷(文科) (解析版)

2020年高考数学一模试卷（文科）一、选择题（共12小题）1．设（1+i）z=4−2i1−i，则z的共轭复数z=（）A．4﹣2i B．4+2i C．2﹣i D．2+i2．设集合U＝R，A＝{x|x2＞3x}，B＝{x|x≤2}，则（∁U A）∩B＝（）A．{x|0＜x≤2}B．{x|0≤x≤2}C．{x|x＜0}D．{x|2＜x≤3} 3．下列函数中为奇函数的是（）A．y＝x2−1x B．y＝2x+2﹣xC．y＝cos（x+π2）D．y＝|lnx|4．珠算被誉为中国的第五大发明，最早见于汉朝徐岳撰写的《数术记遗》.2013年联合国教科文组织正式将中国珠算项目列入教科文组织人类非物质文化遗产．如图，我国传统算盘每一档为两粒上珠，五粒下珠，也称为“七珠算盘”．未记数（或表示零）时，算盘每档各珠均如最左档一样位置；记数时，要拨珠靠梁，一个上珠表示“5”，一个下珠表示“1”．例如，当百位档一个上珠，十位档一个下珠和个位档一个上珠分别靠梁时，所表示的数是515．现选定“个位档”“十位档”和“百位档”，若规定每档拨动一珠靠梁（其它各珠不动），则在其所有可能表示的三位数中随机取一个数，这个数能被3整除的概率为（）A．18B．14C．12D．345．已知π是圆周率，e为自然对数的底数，则下列结论正确的是（）A．lnπ＞ln3＞log3e B．lnπ＞log3e＞ln3C．ln3＞log3e＞lnπD．ln3＞lnπ＞log3e6．已知直线l经过A（1，3）和B（﹣1，﹣1）两点，若将直线l绕点A按逆时针方向旋转π4后到达直线1'的位置，则l '的方程为（ ）A ．x ﹣y +2＝0B ．3x +y ﹣6＝0C ．2x ﹣y +5＝0D ．3x +y +4＝07．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A ．9πB ．22π3C ．28π3D ．34π38．已知数列{a n }满足a 1＝2，a n +1=2ana n +2，则a 2020＝（ ） A ．22019B ．11010C ．22021D ．110119．已知圆锥的底面半径为2，高为4√2，则该圆锥的内切球表面积为（ ） A ．4πB ．4√2πC ．8√2πD ．8π10．函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2）的部分图象如图所示，将函数f （x ）的图象向右平移π4个单位后，所得到的图象对应的函数为（ ）A ．y ＝2sin （2x −π3） B ．y ＝2sin （12x −π3）C ．y ＝2sin （2x −5π6） D ．y ＝2sin （12x −5π6）11．已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，棱长为4，BB 1的中点为M ，过D 、M 、C 1三点的平面截正方体为两部分，则截面图形的面积为（ ） A ．18B ．6√10C ．12√2D ．3612．已知函数f （x ）={|log 2x +2|，0＜x ≤13−√x ，x ＞1，若存在互不相等的正实数x 1、x 2、x 3，满足f （x 1）＝f （x 2）＝f （x 3），其中x 1＜x 2＜x 3，则x 3•f （x 1）的最大值为（ ） A ．14B ．4C ．9D ．36二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知平面向量a →、b →，若a →=（1，2），a →∥b →，a →⊥（a →+b →），则|b →|＝ ．14．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a ＝2，b =√3，sin C =√3sin B ，则△ABC 的面积为 ．15．某地为了解居民的每日总用电量y （万度）与气温x （°C ）之间的关系，收集了四天的每日总用电量和气温的数据如表：气温X （°C ） 19 13 9 ﹣1 每日总用电量y （（万度）24343864经分析，可用线性回归方程y ^=−2x +a 拟合y 与X 的关系．据此预测气温为14°C 时，该地当日总用电量y （万度）为 ． 16．设F 为双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的左焦点，过F 作圆x 2+y 2＝a 2的切线，切点为M ，切线与渐近线y =bax 相交于点N ，若|MN |＝2|MF |，则C 的离心率为 ．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．已知公差不为零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 3＝15，且a 1，a 3，a 11成等比数列． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）设b n ＝a n •（56）n ，试问数列{b n }是否存在最大项？若存在，求出最大项序号n 的值；若不存在，请说明理由．18．为了推动青少年科技活动的蓬勃开展，培养青少年的创新精神和实践能力，提高青少年的科技素质．某市开展“青少年科技创新大赛”活动．已知参加该活动的学生有1000人，其中男生600人，女生400人，为了解学生在该活动中的获奖情况是否与性别有关，现采用分层抽样的方法，从中随机抽取了100名学生的参赛成绩，其频率分布直方图如图：（1）该活动规定：成绩不低于60分的参赛学生可获奖，低于60分的参赛学生不能获奖．请将参赛学生获奖和不获奖的人数填入如表的列联表，并判断能否有90%以上的把握认为“参赛学生是否获奖与性别有关”？获奖 不获奖 合计 男生 女生 合计100（2）估计这100名学生的参赛成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）．附：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)．P （K 2≥k ）0.40 0.25 0.15 0.10 k0.7081.3232.0722.70619．已知三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1，侧面BCC 1B 1为正方形，底面ABC 为正三角形，BC 1∩B 1C ＝O ，A 1B 1＝A 1C ．（1）求证：B 1C ⊥平面A 1BC 1；（2）若BC ＝2，求点C 到平面A 1B 1C 1的距离．20．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的离心率为√22，且椭圆C 过点（0，﹣1）．（1）求椭圆C 的方程；（2）已知直线l ：y ＝x +m （m ＞0）与椭圆C 交于A 、B 两点，点O 为坐标原点，在椭圆C 上是否存在一点P ，满足OP →+OA →+OB →=0→？若存在，求△ABP 的面积；若不存在，请说明理由．21．已知函数f （x ）＝cos x +a4x 2﹣a ．（1）当a ＝1时，求曲线y ＝f （x ）在点（π，f （π））处的切线方程； （2）当a ≥1时，求证：对任意的x ∈[0，2]，f （x ）≤0．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．如图，有一种赛车跑道类似“梨形”曲线，由圆弧BĈ，AD ̂和线段AB ，CD 四部分组成，在极坐标系Ox 中，A （2，π3），B （1，2π3），C （1，4π3），D （2，−π3），弧BC ̂，AD ̂所在圆的圆心分别是（0，0），（2，0），曲线是弧BC ̂，曲线M 2是弧AD ̂． （1）分别写出M 1，M 2的极坐标方程：（2）点E ，F 位于曲线M 2上，且∠EOF =π3，求△EOF 面积的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]23．已知f（x）＝|x2+2﹣t|+|2x+t﹣3|（x＞0）．（1）若f（1）＝2，求实数t的取值范围；（2）求证：f（x）≥2．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设（1+i）z=4−2i1−i，则z的共轭复数z=（）A．4﹣2i B．4+2i C．2﹣i D．2+i 【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．解：∵（1+i）z=4−2i 1−i，∴z=4−2i(1−i)(1+i)=2−i，则z=2+i．故选：D．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．2．设集合U＝R，A＝{x|x2＞3x}，B＝{x|x≤2}，则（∁U A）∩B＝（）A．{x|0＜x≤2}B．{x|0≤x≤2}C．{x|x＜0}D．{x|2＜x≤3}【分析】可解出集合A，然后进行交集、补集的运算即可．解：A＝{x|x＜0，或x＞3}；∴∁U A＝{x|0≤x≤3}；∴（∁U A）∩B＝{x|0≤x≤2}；故选：B．【点评】本题考查集合的交、并、补集的混合运算，是基础题，解题时要认真审题，仔细解答．3．下列函数中为奇函数的是（）A．y＝x2−1x B．y＝2x+2﹣xC．y＝cos（x+π2）D．y＝|lnx|【分析】根据题意，依次分析选项中函数是否是奇函数，综合即可得答案．解：根据题意，依次分析选项：对于A，y＝x2−1x，其定义域为{x|x≠0}，有f（﹣x）≠f（x）且f（﹣x）≠﹣f（x），即函数y＝x2−1x既不是奇函数也不是偶函数，不符合题意；对于B，y＝2x+2﹣x，其定义域为R，有f（﹣x）＝f（x），函数y＝2x+2﹣x为偶函数，不符合题意；对于C，y＝cos（x+π2）＝﹣sin x，是其定义域为R，有f（﹣x）＝﹣f（x），则函数y＝cos（x+π2）是奇函数，符合题意；对于D，y＝|lnx|，其定义域为（0，+∞），既不是奇函数也不是偶函数，不符合题意；故选：C．【点评】本题考查函数奇偶性的判断，注意函数奇偶性的定义，属于基础题．4．珠算被誉为中国的第五大发明，最早见于汉朝徐岳撰写的《数术记遗》.2013年联合国教科文组织正式将中国珠算项目列入教科文组织人类非物质文化遗产．如图，我国传统算盘每一档为两粒上珠，五粒下珠，也称为“七珠算盘”．未记数（或表示零）时，算盘每档各珠均如最左档一样位置；记数时，要拨珠靠梁，一个上珠表示“5”，一个下珠表示“1”．例如，当百位档一个上珠，十位档一个下珠和个位档一个上珠分别靠梁时，所表示的数是515．现选定“个位档”“十位档”和“百位档”，若规定每档拨动一珠靠梁（其它各珠不动），则在其所有可能表示的三位数中随机取一个数，这个数能被3整除的概率为（）A．18B．14C．12D．34【分析】列举所有可能表示的三位数，在其所有可能表示的三位数中随机取一个数，这个数能被3整除包含的三位数的个数，由此能求出这个数能被3整除的概率．解：选定“个位档”“十位档”和“百位档”，规定每档拨动一珠靠梁（其它各珠不动），所有可能表示的三位数有：111，115，151，515，155，515，551，555，共8个，则在其所有可能表示的三位数中随机取一个数，这个数能被3整除包含的三个数有：111，555，共2个， ∴这个数能被3整除的概率为p =28=14． 故选：B ．【点评】本题考查概率的求法，考查列举法、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．5．已知π是圆周率，e 为自然对数的底数，则下列结论正确的是（ ） A ．ln π＞ln 3＞log 3e B ．ln π＞log 3e ＞ln 3 C ．ln 3＞log 3e ＞ln πD ．ln 3＞ln π＞log 3e【分析】利用对数函数的性质求解．解：∵函数对数y ＝lnx 和y ＝log 3x 在（0，+∞）上单调递增，且π＞3＞e ， ∴ln π＞ln 3＞lne ＝1，又∵log 3e ＜log 33＝1， ∴ln π＞ln 3＞log 3e ， 故选：A ．【点评】本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数的性质的合理运用．6．已知直线l 经过A （1，3）和B （﹣1，﹣1）两点，若将直线l 绕点A 按逆时针方向旋转π4后到达直线1'的位置，则l '的方程为（ ）A ．x ﹣y +2＝0B ．3x +y ﹣6＝0C ．2x ﹣y +5＝0D ．3x +y +4＝0【分析】直线l 的斜率为k AB =−1−3−1−1=2，设l '的斜率为k ，由题意得k ＜0，则tan π4=|2−k||1+2k|，求出l '的斜率，由此能求出l '的方程．解：∵直线l 经过A （1，3）和B （﹣1，﹣1）两点， ∴直线l 的斜率为k AB =−1−3−1−1=2， 将直线l 绕点A 按逆时针方向旋转π4后到达直线1'的位置，设l '的斜率为k ，由题意得k ＜0， 则tan π4=|2−k||1+2k|，解得k ＝﹣3或k =13（舍），∴l '的方程为y ﹣3＝﹣3（x ﹣1），即3x +y ﹣6＝0． 故选：B ．【点评】本题考查直线方程的求法，考查直线方程、直线夹角公式等基础知识，考查推理论证能力与运算求解能力，属于中档题．7．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．9πB．22π3C．28π3D．34π3【分析】首先把三视图转换为直观图，进一步求出直观图的体积．解：根据几何体的三视图可得直观图为：该几何体为上面为一个半径为2的半球，下面为底面半径为2，高为3的半圆柱体．如图所示：故V=12×π×22×3+23×π×23=34π3．故选：D．【点评】本题考查的知识要点：三视图和直观图形之间的转换，几何体的体积和表面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． 8．已知数列{a n }满足a 1＝2，a n +1=2a na n +2，则a 2020＝（ ） A ．22019B ．11010C ．22021D ．11011【分析】由a n +1=2ana n +2可得1a n+1−1a n =12，又a 1＝2，所以数列{1a n }是首项为12，公差为12的等差数列，再利用等差数列的通项公式即可求出结果．解：∵a n +1=2ana n+2，∴1a n+1=a n +22a n ，即1a n+1=12+1a n，∴1a n+1−1a n=12，又∵a 1＝2，∴数列{1a n}是首项为12，公差为12的等差数列，∴1a n=12+(n −1)×12=12n ，∴a n =2n，∴a 2020=22020=11010， 故选：B ．【点评】本题主要考查了数列的递推式，以及等差数列的通项公式，是中档题． 9．已知圆锥的底面半径为2，高为4√2，则该圆锥的内切球表面积为（ ） A ．4πB ．4√2πC ．8√2πD ．8π【分析】先由题设条件求出圆锥的轴截面，再求其内切圆的的半径，即为圆锥内切球的半径，最后解决其表面积问题．解：如图所示：△PAB 为圆锥的轴截面，且AB ＝2R ＝4，OP ＝4√2， 在直角三角形POA 中，PA =√(4√2)2+4=6．设△PAB 内切圆的半径为r ， ∵S △PAB =12×AB ×PO ＝8√2=12（PA +PB +AB ）•r =12（12+4）•r ， ∴r =√2即为圆锥的内切球的半径．故其表面积为4πr 2＝8π． 故选：D ．【点评】本题主要考查圆锥的内切球问题，属于基础题．10．函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2）的部分图象如图所示，将函数f （x ）的图象向右平移π4个单位后，所得到的图象对应的函数为（ ）A ．y ＝2sin （2x −π3） B ．y ＝2sin （12x −π3）C ．y ＝2sin （2x −5π6） D ．y ＝2sin （12x −5π6）【分析】直接利用函数的图象的应用求出函数f （x ）的关系式，进一步利用图象的变换的应用求出结果．解：根据函数的图象：A ＝2，T =2(5π12+π12)=π， 所以ω＝2．当x =−π12时，函数取得最小值，故2×(−π12)+φ=2kπ−π2，解得φ＝2k π−π3，k ∈Z ， 当k ＝0时，φ=−π3． 故f （x ）＝2sin （2x −π3），所以把f （x ）＝2sin （2x −π3）的图象向右平移π4个单位得到g （x ）=2sin(2x −π2−π3)=2sin(2x −5π6)， 故选：C ．【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．11．已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，棱长为4，BB 1的中点为M ，过D 、M 、C 1三点的平面截正方体为两部分，则截面图形的面积为（ ） A ．18B ．6√10C ．12√2D ．36【分析】取AB 中点N ，连结DN ，MN ，推导出MN ∥DC 1，且MN =12DC 1＝2√2，DN ＝C 1M ＝2√5，从而过D 、M 、C 1三点的平面截正方体为两部分的截面图形为等腰梯形DNMC 1，由此能求出截面图形的面积． 解：取AB 中点N ，连结DN ，MN ，∵正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，棱长为4，BB 1的中点为M ， ∴MN ∥DC 1，且MN =12DC 1＝2√2，DN ＝C 1M ＝2√5，∴过D 、M 、C 1三点的平面截正方体为两部分的截面图形为等腰梯形DNMC 1， ∴截面图形的面积为：S =12(4√2+2√2)×√(2√5)2−(√2)2=18．故选：A ．【点评】本题考查截面图形的面积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力与运算求解能力，属于中档题．12．已知函数f （x ）={|log 2x +2|，0＜x ≤13−√x ，x ＞1，若存在互不相等的正实数x 1、x 2、x 3，满足f（x1）＝f（x2）＝f（x3），其中x1＜x2＜x3，则x3•f（x1）的最大值为（）A．14B．4C．9D．36【分析】作出图象，可得1＜x3＜9，结合条件得到x3•f（x1）＝x3•f（x3）＝x3•（3−√x3），换元构造函数g（t）＝3t2﹣t3，利用导数求得其最大值即可解：作出函数f（x）的图象如图：由图可得，1＜x3＜9，且有f（x1）＝f（x3），则x3•f（x1）＝x3•f（x3）＝x3•（3−√x3），其中1＜x3＜9，令t=√x3，则t∈（1，3），g（t）＝x3•f（x1）＝t2（3﹣t）＝3t2﹣t3，所以当g‘（t）＝6t﹣3t2＝0，解得t＝2，即当t∈（1，2）时，g（t）单调递增，t∈（2，9）时，g（t）单调递减，则g（t）＝x3•f（x1）最大4值为g（2）＝3×4﹣8＝4，故选：B．【点评】本题考查分段函数的图象及运用，考查数形结合的思想方法，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知平面向量a→、b→，若a→=（1，2），a→∥b→，a→⊥（a→+b→），则|b→|＝√5．【分析】由题意利用两个向量平行、垂直的性质，两个向量坐标形式的运算法则，求出结果．解：∵平面向量a→、b→，若a→=（1，2），a→∥b→，故可设b→=（λ，2λ）．∵a→⊥（a→+b→），∴a→⋅(a→+b→)=a→2+a→⋅b→=5+（λ+4λ）＝0，求得λ＝﹣1，则|b→|=√λ2+4λ2=√5|λ|=√5，故答案为：√5．【点评】本题主要考查两个向量平行、垂直的性质，两个向量坐标形式的运算，属于基础题．14．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a ＝2，b =√3，sin C =√3sin B ，则△ABC 的面积为 √112．【分析】由正弦定理化简已知等式可得c 的值，利用余弦定理可求cos C ，根据同角三角函数基本关系式可求sin C 的值，进而根据三角形的面积公式即可计算得解． 解：∵a ＝2，b =√3，sin C =√3sin B ， ∴由正弦定理可得c =√3b ＝3，∴cos C =a 2+b 2−c 22ab =4+3−92×2×√3=−√36，可得sin C =√1−cos 2C =√336，∴S △ABC =12ab sin C =12×2×√3×√336=√112．故答案为：√112． 【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．15．某地为了解居民的每日总用电量y （万度）与气温x （°C ）之间的关系，收集了四天的每日总用电量和气温的数据如表：气温X （°C ） 19 13 9 ﹣1 每日总用电量y （（万度）24343864经分析，可用线性回归方程y ^=−2x +a 拟合y 与X 的关系．据此预测气温为14°C 时，该地当日总用电量y （万度）为 32 ．【分析】求出样本中心，代入回归直线方程，求出a ，然后求解该地当日总用电量． 解：由题意可知：x =19+13+9−14=10，y =24+34+38+644=40， 所以40＝﹣2×10+a ，解得a ＝60． 线性回归方程y ^=−2x +60， 预测气温为14°C 时， 可得y ＝﹣28+60＝32． 故答案为：32．【点评】本题考查回归直线方程的求法，是基本知识的考查，基础题．16．设F 为双曲线C ：x 2a −y 2b =1（a ＞0，b ＞0）的左焦点，过F 作圆x 2+y 2＝a 2的切线，切点为M ，切线与渐近线y =ba x 相交于点N ，若|MN |＝2|MF |，则C 的离心率为 √3 ．【分析】先在Rt △OMF 中求出|MF |的长和tan ∠MFO ，从而得到直线MN 的方程，将其与渐近线方程y =b ax 联立，解得点N 的坐标，再在Rt △OMF 中，由三角形的等面积法求得M 的纵坐标，由于|MN |＝2|MF |，所以|NF||MF|=3=y N y M=c 2b −a，最后结合b 2＝c 2﹣a 2和e =ca 即可求得离心率．解：根据题意，作出如图所示的图形，F （﹣c ，0），|OM |＝a ，在Rt △OMF 中，|MF |=√|OF|2−|OM|2=√c 2−a 2=b ，tan ∠MFO ═|OM||MF|=ab，∴直线MN 的方程为y =ab （x +c ），联立{y =a b (x +c)y =b a x ，解得{x =a 2c b 2−a 2y =abc b 2−a 2，∴y N =abc b 2−a 2， 由三角形的等面积法可知，y M =abc．∵|MN |＝2|MF |，∴|NF||MF|=3=y N y M=c 2b −a ，又b 2＝c 2﹣a 2，∴c =√3a ，离心率e =ca =√3． 故答案为：√3．【点评】本题考查双曲线中的渐近线、离心率等几何性质，还涉及直线与圆的位置关系、两条直线的交点坐标等知识点，考查学生综合运用知识的能力和运算能力，属于中档题． 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．已知公差不为零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 3＝15，且a 1，a 3，a 11成等比数列． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）设b n ＝a n •（56）n ，试问数列{b n }是否存在最大项？若存在，求出最大项序号n 的值；若不存在，请说明理由．【分析】本题第（1）题先通过等差数列的求和公式和等差中项的性质可计算出a 2＝5，再设等差数列{a n }的公差为d （d ≠0），将a 1，a 3，a 11均表示成a 2与d 的表达式，根据等比中项的性质列出算式，即可计算出公差d 的值，即可计算出等差数列{a n }的通项公式；第（2）题先根据第（1）题的结果计算出数列{b n }的通项公式，然后假设数列{b n }存在最大项，则有{b n ≥b n+1b n ≥b n−1，代入通项公式列出不等式组，化简整理并计算出n 的取值范围，再判断出n 的值是否存在即可判断数列{b n }是否存在最大项． 解：（1）由题意，可知 S 3=3(a 1+a 3)2=3⋅2a 22=3a 2＝15，解得a 2＝5， 设等差数列{a n }的公差为d （d ≠0），则a 1＝5﹣d ，a 3＝5+d ，a 11＝5+（11﹣2）•d ＝5+9d ， ∵a 1，a 3，a 11成等比数列，∴a 32＝a 1•a 11，即（5+d ）2＝（5﹣d ）（5+9d ）， 整理，得d 2﹣3d ＝0， 解得d ＝0（舍去），或d ＝3， ∴a n ＝5+（n ﹣2）•3＝3n ﹣1，n ∈N*．（2）由（1）知，b n ＝a n •（56）n ＝（3n ﹣1）•（56）n ，依题意，假设数列{b n }存在最大项，则有{b n ≥b n+1b n ≥b n−1，即{(3n −1)⋅(56)n ≥(3n +2)⋅(56)n+1(3n −1)⋅(56)n ≥(3n −4)⋅(56)n−1， 化简，得{6(3n −1)≥5(3n +2)5(3n −1)≥6(3n −4)， 解得163≤n ≤193，∵n ∈N*，∴n ＝6，故数列{b n }存在最大项，且取得最大项时n 的值为6．【点评】本题主要考查等差数列和等比数列的相关计算，以及通过计算不等式组的方法找到数列的最大项．考查了转化与化归思想，方程思想，以及不等式的运算能力，逻辑思维能力和数学运算能力．本题属中档题．18．为了推动青少年科技活动的蓬勃开展，培养青少年的创新精神和实践能力，提高青少年的科技素质．某市开展“青少年科技创新大赛”活动．已知参加该活动的学生有1000人，其中男生600人，女生400人，为了解学生在该活动中的获奖情况是否与性别有关，现采用分层抽样的方法，从中随机抽取了100名学生的参赛成绩，其频率分布直方图如图：（1）该活动规定：成绩不低于60分的参赛学生可获奖，低于60分的参赛学生不能获奖．请将参赛学生获奖和不获奖的人数填入如表的列联表，并判断能否有90%以上的把握认为“参赛学生是否获奖与性别有关”？获奖 不获奖 合计 男生 女生 合计100（2）估计这100名学生的参赛成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）．附：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)．P （K 2≥k ）0.40 0.25 0.15 0.10 k0.7081.3232.0722.706【分析】（1）先利用分层抽样的方法得到抽取的100名学生中男生、女生的人数，再结合频率分布直方图求出男生中获奖的人数和不获奖的人数，女生中获奖的人数和不获奖的人数，完成列联表即可，计算K 的观测值K 2，对照题目中的表格，得出统计结论；（2）用每组的区间中点值乘以该组的频率依次相加，分别求出男生的平均成绩和女生的平均成绩，再求平均值即可求出结果．解：（1）由题意可知，抽取的100名学生中男生有6001000×100=60人，女生有40人，所以男生中获奖的人数为：2×0.0125×20×60＝30人，不获奖的人数为60﹣30＝30人， 女生中获奖的人数为：（0.0125+0.0075）×20×40＝16人，不获奖的人数为40﹣16＝24人，所以2×2列联表如下：获奖 不获奖 合计 男生 30 30 60 女生 16 24 40 合计4654100所以K 的观测值：K 2=100(30×24−30×16)246×54×40×60≈0.966＜2.706；所以没有90%以上的把握认为“参赛学生是否获奖与性别有关”；（2）男生得分的平均值的估计值为：10×0.0025×20+30×0.0075×20+50×0.0150×20+70×0.0125×20+90×0.0125×20＝60（分），女生得分的平均值的估计值为：10×0.0050×20+30×0.0100×20+50×0.0150×20+70×0.0125×20+90×0.0075×20＝53（分），所以这100名学生的参赛成绩的平均数的估计值为：60+532=56.5（分）．【点评】本题考查了独立性检验的应用问题，也考查了计算能力的应用问题，是中档题． 19．已知三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1，侧面BCC 1B 1为正方形，底面ABC 为正三角形，BC 1∩B 1C ＝O ，A 1B 1＝A 1C ．（1）求证：B 1C ⊥平面A 1BC 1；（2）若BC ＝2，求点C 到平面A 1B 1C 1的距离．【分析】（1）由侧面BCC1B1为正方形，得B1C⊥BC1，再由已知可得B1C⊥A1O，由直线与平面垂直的判定可得B1C⊥平面A1BC1；（2）由（1）知，A1O⊥B1C，再由已知可得A1C1＝A1C，再证明三角形全等可得∠A1OC1＝∠A1OC＝90°，得到A1O⊥平面BB1C1C，求出多面体A1﹣BB1C1C的体积，得到棱柱的体积，设点C到平面A1B1C1的距离为h，由棱柱体积列式求得点C到平面A1B1C1的距离．【解答】（1）证明：如图，∵侧面BCC1B1为正方形，∴B1C⊥BC1，又A1B1＝A1C，O为B1C的中点，∴B1C⊥A1O，又BC1∩A1O＝O，∴B1C⊥平面A1BC1；（2）解：由（1）知，A1O⊥B1C，由侧面BCC1B1为正方形，底面ABC为正三角形，A1B1＝A1C，得A1C1＝A1C，在△A1OC与△A1OC1中，由A1C1＝A1C，OC＝OC1，A1O＝A1O，得△A1OC≌△A1OC1，可得∠A1OC1＝∠A1OC＝90°，∴A1O⊥平面BB1C1C，得A1O⊥BC1．由BC＝2，得BC1=B1C=2√2，A1O=√2．∴多面体A1﹣BB1C1C的体积V=1×2×2×√2=4√23，3=2√2．由等积法可得V ABC−A1B1C1设点C到平面A1B1C1的距离为h，由S△ABC×h=1×2×2×√32×h=2√2，解得h=2√63．2∴点C 到平面A 1B 1C 1的距离为2√63．【点评】本题考查直线与平面垂直的判定，考查了推理能力与计算能力，训练了利用等体积法求点到平面的距离，属于中档题．20．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的离心率为√22，且椭圆C 过点（0，﹣1）． （1）求椭圆C 的方程；（2）已知直线l ：y ＝x +m （m ＞0）与椭圆C 交于A 、B 两点，点O 为坐标原点，在椭圆C 上是否存在一点P ，满足OP →+OA →+OB →=0→？若存在，求△ABP 的面积；若不存在，请说明理由．【分析】（1）将点代入椭圆可得b ，利用离心率以及a 2＝b 2+c 2即可求出a ，则有椭圆方程；（2）联立直线与椭圆，利用根与系数关系表示出P 的坐标，代入椭圆即可求出m 的值．解：（1）由题得e =c a =√22，所以c 2=12a 2，将（0，﹣1）代入得到b 2＝1，结合a 2＝b 2+c 2， 解得a 2＝2，c 2＝1，故椭圆C 的方程为x 22+y 2=1；（2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），联立{y =x +m x 2+2y 2=2， 整理得3x 2+4mx +2m 2﹣2＝0，则x 1+x 2=−4m 3，x 1x 2=2m 2−23， 所以y 1+y 2＝x 1+x 2+2m =2m 3， 若有OP →+OA →+OB →=0→，即有OP →=−（OA →+OB →）＝﹣（−4m 3，2m 3）＝（4m 3，−2m 3）， 又因为P 在椭圆上，故（4m 3）2+2（−2m 3）2＝2，解得m ＝±√32，所以直线l ：y ＝x ±√32，经计算可得点P 到直线l 的距离d =|32√3|√2=34√6， 则S △ABP =12×d •|AB |=12×34√6•√1+1•(233)2−4×(−16)=34√6． 【点评】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用离心率公式和点满足椭圆方程，考查直线方程的求法，注意讨论直线的斜率，以及联立直线方程和椭圆方程运用韦达定理和判别式大于0，同时考查向量加法的坐标运算，属于中档题．21．已知函数f （x ）＝cos x +a 4x 2﹣a ．（1）当a ＝1时，求曲线y ＝f （x ）在点（π，f （π））处的切线方程；（2）当a ≥1时，求证：对任意的x ∈[0，2]，f （x ）≤0．【分析】（1）根据导数和的几何意义，即可求出切线方程；（2）根据导数和函数单调性及最值，即可求出．解：（1）当a ＝1时，f （x ）＝cos x +14x 2﹣1，则f ′（x ）＝﹣sin x +12x ，∴切线的斜率k ＝f ′（π）=π2，∵f （π）＝﹣2+π24， ∴曲线y ＝f （x ）在点（π，f （π））处的切线方程为y +2−π24=π2（x ﹣π），即2πx ﹣4y ﹣8﹣π2＝0．证明：（2）当a ≥1时，f ′（x ）＝﹣sin x +a2x ，当x ∈[0，2]时，sin x ≥0，则﹣sin x ≤0，a 2≥0， ∴f ′（x ）＝﹣sin x +a2x ≤0，在[0，2]上恒成立，∴f （x ）在[0，2]上单调递增，∴f （x ）≤f （2）＝cos2+a ﹣a ＝cos2＜0，故对任意的x ∈[0，2]，f （x ）≤0．【点评】本题考查了导数和几何意义和导数和函数的最值的关系，考查了运算求解能力，转化与化归能力，属于中档题．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．如图，有一种赛车跑道类似“梨形”曲线，由圆弧BĈ，AD ̂和线段AB ，CD 四部分组成，在极坐标系Ox 中，A （2，π3），B （1，2π3），C （1，4π3），D （2，−π3），弧BC ̂，AD ̂所在圆的圆心分别是（0，0），（2，0），曲线是弧BĈ，曲线M 2是弧AD ̂． （1）分别写出M 1，M 2的极坐标方程：（2）点E ，F 位于曲线M 2上，且∠EOF =π3，求△EOF 面积的取值范围．【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． （2）利用三角形的面积公式和极径的应用及三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的应用求出结果．曲线是弧BĈ， 解：（1）由题意可知：M 1的极坐标方程为ρ=1(2π3≤θ≤4π3)． 记圆弧AD 所在圆的圆心（2，0）易得极点O 在圆弧AD 上．设P （ρ，θ）为M 2上任意一点，则在△OO 1P 中，可得ρ＝4cos θ（−π3≤θ≤π3）． 所以：M 1，M 2的极坐标方程为ρ=1(2π3≤θ≤4π3)和ρ＝4cos θ（−π3≤θ≤π3）． （2）设点E （ρ1，α），点F （ρ2，α−π3），（0≤α≤π3），所以ρ1＝4cos α，ρ2=4cos(α−π3)．所以S △EOF =12ρ1⋅ρ2⋅sin π3=4√3cosα(cosαcos π3+sinαsin π3)=2√3sin(2α+π6)+√3． 由于0≤α≤π3，所以12≤sin(2α+π6)≤1． 故S △EOF ∈[2√3，3√3]．【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，极径的应用，三角形面积公式的应用，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．一、选择题23．已知f（x）＝|x2+2﹣t|+|2x+t﹣3|（x＞0）．（1）若f（1）＝2，求实数t的取值范围；（2）求证：f（x）≥2．【分析】（1）利用绝对值不等式的性质可得（3﹣t）（t﹣1）≥0，解出即可；（2）利用绝对值不等式及基本不等式即可得证．解：（1）∵f（1）＝|3﹣t|+|t﹣1|≥|3﹣t+t﹣1|＝2，取等号的条件为（3﹣t）（t﹣1）≥0，解得1≤t≤3，即实数t的取值范围为[1，3]；（2）证明：易知f(x)=|x2+2−t|+|2x+t−3|≥|x2+2−t+2x+t−3|=|x2+2x−1|，∵x＞0，∴x2+2x =x2+1x+1x≥3√x2⋅1x⋅1x3=3，∴|x2+2x−1|≥2，∴f（x）≥2．【点评】本题以绝对值不等式，均值不等式和二次不等式为载体，考查不等式的求解及证明，分类讨论思想，及数学抽象，逻辑推理等数学核心素养，难度不大．。

2020年广东省深圳市高考数学一模试卷(文科)

2020年广东省深圳市高考数学一模试卷(文科)

2020年广东省深圳市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ={1，2，3，4，5}，B ={0，2，4，6}，则集合A ∩B 的子集共有（ ） A ．2个 B ．4个C ．6个D ．8个【答案】B【命题意图】本题主要考查集合的交集运算，考查子集个数问题，基础题． 【解析】方法一：由集合A ={1，2，3，4，5}，B ={0，2，4，6}，得A ∩B ={2，4}， 则A ∩B 的子集有{2}，{4}，{2，4}，∅，共4个，故选B ．方法二：由集合A ={1，2，3，4，5}，B ={0，2，4，6}，得A ∩B ={2，4}，含有2个元素，则A ∩B 的子集有224=个，故选B ．【点评】先求出集合的交集，再写出子集，或根据含有n 个集合的子集的个数为2n 判断． 2．若复数z 2i1ia +=-的实部为0，其中a 为实数，则|z |=（ ）A ．2 BC ．1D ．2【答案】A【命题意图】本题主要考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数模的求法，是基础题． 【解析】∵z ()()()()2i 1i 2i 22i 1i 1i 1i 22a a a a +++-+===+--+且z 的实部为0，∴a =2， 则z =2i ，则|z |=2．故选A ．【点评】利用复数代数形式的乘除运算化简，根据实部为0求出a ，再由复数模的计算公式求解．3．已知向量()1OA k =-u u u r ，，()12OB =u u u r ，，()20OC k =+u u u r，，且实数k >0，若A 、B 、C 三点共线，则k =（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】D【命题意图】本题考查向量共线、向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．【解析】∵向量()1OA k =-u u u r ，，()12OB =u u u r ，，()20OC k =+u u u r，，且实数k >0，AB OB OA =-=u u u r u u u r u u u r （2，2﹣k ），BC OC OB =-=u u u r u u u r u u u r（k +1，﹣2）， 由于A 、B 、C 三点共线，故AB uuu r ∥BC uuu r ，∴1222k k+-=-，解得k=-2或k=3, 由k >0，解得k =3．故选D ．【点评】由A 、B 、C 三点共线，得AB uuu r ∥BC uuu r，结合坐标运算，由此能求出k ．4．意大利数学家斐波那契的《算经》中记载了一个有趣的问题：已知一对兔子每个月可以生一对兔子，而一对兔子出生后在第二个月就开始生小兔子．假如没有发生死亡现象，那么兔子对数依次为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144……，这就是著名的斐波那契数列，它的递推公式是a n =a n ﹣1+a n ﹣2（n ≥3，n ∈N *），其中a 1=1，a 2=1．若从该数列的前100项中随机地抽取一个数，则这个数是偶数的概率为（ ） A ．13B ．33100C ．12D ．67100【答案】B【命题意图】本题主要考查了古典概率计算公式、斐波那契数列的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．【解析】根据斐波那契数列的定义，可得：每三个数中有一个偶数，可得：从该数列的前100项中随机地抽取一个数，则这个数是偶数的概率33100=．故选B ． 【点评】由斐波那契数列的定义，可得：每三个数中有应该偶数，即可得出结论．5．设a =0.3b =，c =log ）A ．a >b >cB ．a >c >bC ．c >a >bD ．b >a >c【答案】D【命题意图】本题考查了指数函数和对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．【解析】∵000.31a <=<=，30.3020221b ==>=0.30.3log log 10c =<=，∴ b >1>a >0>c ，∴b >a >c ，故选D ．【点评】利用指数函数对数函数的单调性判断大小即可得出．6．如图所示的茎叶图记录了甲，乙两支篮球队各6名队员某场比赛的得分数据（单位：分）．若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x 和y 的值为（ ）A ．2和6B ．4和6C ．2和7D ．4和7【答案】C【命题意图】本题考查茎叶图，中位数和平均值，考查识图能力，是基础题． 【解析】由选项可知x >0，y <9，再由茎叶图可知： 甲队的数据中位数为：16202+=18，乙队的数据中位数为：19102y++， 若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则19102y++=18，解得y =7，x 甲16=（7+12+16+20+20+x +31），x 乙16=（8+9+19+17+27+28）=1086， x 甲x =乙，解得x =2，故选C ．【点评】根据茎叶图，利用中位数和平均值的计算公式可得答案．7．若双曲线22221x y a b-=（a >0，b >0）的焦距为1，﹣2），则此双曲线的方程为（ ）A ．2214x y -= B ．2214y x -=C ．221416x y -= D ．221164x y -= 【答案】B【命题意图】本题考查了双曲线的方程、几何性质，属于基础题．【解析】由题意可得c =a 2+b 2=c 2=5，…①．∵渐近线经过点（1，﹣2），∴（1，﹣2）在直线by x a=-上．∴b =2a …②．由①②可得12a b =⎧⎨=⎩，则此双曲线的方程为：2214y x -=．故选B ． 【点评】根据a ,b ,c 的关系和点在渐近线上联立方程组求解即可．8．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是由一个长方体切割而成的三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为（ ）A ．12B ．16C ．24D ．32【答案】B【命题意图】本题考查的知识要点：三视图和几何体之间的转换，还原直观图是解题的关键，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． 【解析】根据几何体的三视图可得为几何体的直观图为： 如图所示：请旋转一下角度再看所以V =3×4×4﹣41134432⨯⨯⨯⨯⨯=16．故选B ． 【点评】首先把三视图还原几何体的直观图，进一步求出几何体的体积． 9．已知函数()π(0)3f x Asin x b A ⎛⎫=++> ⎪⎝⎭的最大值、最小值分别为3和﹣1，关于函数f （x ）有如下四个结论：①A=2，b=1；②函数f（x）的图象C关于直线5π6x=-对称；③函数f（x）的图象C关于点2π3⎛⎫⎪⎝⎭，对称；④函数f（x）在区间π5π66⎛⎫⎪⎝⎭，内是减函数．其中，正确的结论个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C【命题意图】本题主要考查三角函数的性质，整体的思想，属于中档题．【解析】根据函数f（x）=A sin（xπ3+）+b的最大值为3，最小值为﹣1，可得31A bA b+=⎧⎨-+=-⎩；解得A=2，b=1，故f（x）=2sin（xπ3+）+1．故①正确；直线5π6x=-代入xππ32+=-，故函数f（x）的图象C关于直线5π6x=-对称；②正确；点2π3⎛⎫⎪⎝⎭，代入，得f（xπ3+）=2sinπ+1=1；故函数f（x）的图象C不关于点2π3⎛⎫⎪⎝⎭，对称；③不正确；当x∈π5π66⎛⎫⎪⎝⎭，时，xπ3+∈（π2，7π6）．故函数f（x）在区间π5π66⎛⎫⎪⎝⎭，内是减函数．④正确；∴正确的结论个数是：3个；故选C．【点评】利用正弦函数的最值，求得A和b的值．结合正弦函数性质对命题逐一判断即可．10．函数f（x）=cos x•ln x）的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【命题意图】本题考查函数图象的判定，考查了函数的奇偶性，属于基础题．【解析】因为()()))()f x cos x lnx cosx lnx f x -=-⋅=-⋅=-，∴函数f （x ）为奇函数，其图象关于原点对称，故排除A ，D ；当x =π时，()))ππππ0f cos ln ln=⋅=>，故排除C ．故选B ．【点评】利用函数的奇偶性和特殊点的函数值，运用排除法得解．11．已知直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1，∠ABC =90°，AB =BC =AA 1=2，BB 1和B 1C 1的中点分别为E 、F ，则AE 与CF 夹角的余弦值为（ ）A B ．25C ．45D 【答案】B【命题意图】本题考查了直三棱柱的定义，通过建立空间直角坐标系，利用向量坐标解决异面直线所成角的问题，考查了计算能力，属于基础题．【解析】分别以直线BA ，BC ，BB 1为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系B-xyz ，则：A （2，0，0），E （0，0，1），C （0，2，0），F （0，1，2），∴()()201012AE CF =-=-u u u r u u u r ，，，，，，∴2cos 5AE CF AE CF AE CF⋅===u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r ，，∴AE 与CF 夹角的余弦值为25．故选B ． 【点评】建立空间直角坐标系，然后可求出()()201012AE CF =-=-u u u r u u u r，，，，，，然后可求出25cos AE CF =u u u r u u u r ，，从而可得出AE 与CF 夹角的余弦值．12．函数f （x ）是定义在（0，+∞）上的可导函数，f '（x ）为其导函数，若xf '（x ）+f （x ）=（1﹣x ）e x ，且f （2）=0，则f （x ）>0的解集为（ ） A ．（0，1） B ．（0，2） C ．（1，2） D ．（1，4）【答案】B【命题意图】本题主要考查了利用导数求解函数的单调性，解题的关键是进行合理的构造．属于中档题. 【解析】令g （x ）=xf （x ），则g ′（x ）=xf ′（x ）+f （x ）=（1﹣x ）e x ，当x ∈（0，1）时，g ′（x ）>0，故g （x ）单调递增，当x ∈（1，+∞）时，g ′（x ）<0，故函数单调递减， 又因为f （2）=0，所以g （2）=2f （2）=0，g （0）=0， 由f （x ）>0可得，xf （x ）>0即g （x ）>0， 所以0<x <2． 故选B ．【点评】构造函数，结合已知可求函数g （x ）的单调性，然后结合特殊点g （0）=g （2）=0及单项即可求解．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．已知sin （απ4+）13=，则sin2α= ． 【答案】79-【命题意图】本题主要考查利用二倍角公式以及诱导公式花间求值，属于基础题． 【解析】根据π1sin 43α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，故sin2α=﹣cos （2απ2+）=﹣cos2（απ4+）=22π4sin α⎛⎫+- ⎪⎝⎭179=-，故答案为79-． 【点评】利用诱导公式和二倍角公式把要求的式子化为 22π4sin α⎛⎫+- ⎪⎝⎭1，再代值求解． 14．在△ABC 中，角 A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若（a +b ）（sin A ﹣sin B ）=（a ﹣c ）sin C ，b =2，则△ABC 的外接圆面积为 ． 【答案】4π3【命题意图】本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，属于基础题． 【解析】∵△ABC 中，由（a +b ）（sin A ﹣sin B ）﹣（a ﹣c ）sin C =0， 利用正弦定理可得：（a +b ）（a ﹣b ）﹣（a ﹣c ）c =0，即 a 2+c 2﹣b 2=a ，∴cos B 222122a c b ac +-==，∴B π3=． ∵b =2，∴设△ABC 的外接圆半径为R ，由正弦定理可得2R b sinB == 解得R =△ABC 的外接圆面积S =πR 24π3=． 故答案为：4π3． 【点评】由条件利用正弦定理可得 a 2+c 2﹣b 2=a ，求得B 的值．利用正弦定理，圆的面积公式即可求解． 15的球内，则该圆柱的最大体积为 ．【答案】4π【命题意图】本题考查圆柱的内接球，考查求圆柱体积的最大值，比较综合，属于中高档题．【解析】作出轴截面如图．设圆柱体的底面半径为r，则球心到底面的距离（即圆柱高的一半）为d，则d=，则圆柱的高为hV=πr2h=2πr=r=≤=4π，当且仅当r2=6﹣2r2，即r=4π．故答案为：4π．【点评】解题关键是准确作出轴截面，设圆柱体的底面半径为r，由勾股定理用R与r表示出圆柱的高，从而得到其体积的表达式，再结合基本不等式，可得到圆柱体积的最大和此时底面半径的值．16．设椭圆C：2222x ya b+=1（a>b>0）的左、右焦点分别为F1、F2，其焦距为2c，O为坐标原点，点P满足|OP|=2a，点A是椭圆C上的动点，且|P A|+|AF1|≤3|F1F2|恒成立，则椭圆C离心率的取值范围是．【命题意图】本题主要考查椭圆的几何性质，属于难题．【答案】[45，1）【解析】要使|P A|+|AF1|≤3|F1F2|恒成立，只需3|F1F2|≥（|P A|+|AF1|）max恒成立，根据椭圆的定义可得|AF1|+|AF2|=2a，所以|P A|+|AF1|=|P A|+2a﹣|AF2|≤|PF2|+2a，当且仅当P，F2，A三点共线时，取等号，F2在线段P A上，又点P的轨迹是以O圆心，半径为2r的圆上，所以点P到圆内点F2的最大距离为半径与|OF2|的和，即|PF2|≤2a+c，所以|P A|+|AF1|≤|PF2|+2a≤2a+c+2a=4a+c，所以6c≥4a+c，即5c≥4a，所以可得离心率e45ca=≥，又e <1，所以离心率的范围：[45，1），故答案为：[45，1）． 【点评】由|P A |+|AF 1|≤3|F 1F 2|恒成立，当且仅当，P ，F 2，A 三点共线时，取等号又点P 的轨迹是以O 圆心，半径为2r 的圆上，所以点P 到圆内点F 2的最大距离为半径与|OF 2|的和，可得6c ≥4a +c ，进而可得离心率的范围．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分． 17．已知数列{a n }，a 1=4，（n +1）a n +1﹣na n =4（n +1）（n ∈N *）． （1）求数列{a n }的通项公式； （2）若b n 11n n a a +=⋅，求数列{b n }前n 项和为T n ．【命题意图】本题主要考查数列的通项公式，以及用裂项相消法求数列前n 项和．考查了整体思想，转化思想的应用，逻辑思维能力和数学运算能力．【解析】（1）根据题意，由（n +1）a n +1﹣na n =4（n +1）（n ∈N *），可得 2a 2﹣a 1=8， 3a 3﹣2a 2=12， ……na n ﹣（n ﹣1）a n ﹣1=4n ．以上各项相加，可得na n ﹣a 1=8+12+…+4n ， ∴na n =4+8+12+…+4n ()442n n +=， ∴a n =2n +2，（n ∈N *）． （2）由（1）知，b n ()()111122244n n a a n n +===⋅++（1112n n -++）．故T n =b 1+b 2+…+b n14=（1123-）14+（1134-）14++L （1112n n -++）14=（111111233412n n -+-++-++L ）14=（1122n -+） ()82nn =+．【点评】（1）根据递推式结合累加法求出数列{a n }的通项公式；（2）先根据第（1）题的结果计算出数列{b n }的通项公式，然后用裂项相消法计算出前n 项和T n ． 18．某公司为了对某种商品进行合理定价，需了解该商品的月销售量y （单位：万件）与月销售单价x （单位：元/件）之间的关系，对近6个月的月销售量y i 和月销售单价x i （i =1，2，3，…，6）数据进行了统计分析，得到一组检测数据如表所示：月销售单价x （元/件） 4 5 6 7 8 9 月销售量y （万件）898382797467（1）若用线性回归模型拟合y 与x 之间的关系，现有甲、乙、丙三位实习员工求得回归直线方程分别为：y =-$4x +105，y =$4x +53和y =-$3x +104，其中有且仅有一位实习员工的计算结果是正确的．请结合统计学的相关知识，判断哪位实习员工的计算结果是正确的，并说明理由；（2）若用y =ax 2+bx +c 模型拟合y 与x 之间的关系，可得回归方程为20.375y x =-+$0.875x +90.25，经计算该模型和（1）中正确的线性回归模型的相关指数R 2分别为0.9702和0.9524，请用R 2说明哪个回归模型的拟合效果更好；（3）已知该商品的月销售额为z （单位：万元），利用（2）中的结果回答问题：当月销售单价为何值时，商品的月销售额预报值最大？（精确到0.01）≈80.91．【命题意图】本题考查线性回归方程，考查利用导数求最值，是中档题． 【解析】（1）已知变量x ，y 具有负相关关系，故乙不对． ∵456789 6.56x +++++==，898382797467796y +++++==，代入甲和丙的回归方程验证甲正确；（2）由于0.9702>0.9524，且R 2越大，残差平方和越小，拟合效果越好， 故选用20.375y x =-+$0.875x +90.25更好；（3）由题意可知，320.3750.87590.25z x y x x x ==-++$，即3237361884z x x x =-++，则z ′297361844x x =-++．令z ′=0，解得x 79=（舍去）或x 79=．令079x +=，当x ∈（0，x 0）时，z 单调递增，当x ∈（x 0，+∞）时，z 单调递减．∴当x =x 0时，商品的月销售额预报值最大，80.91≈，∴x ≈9.77． ∴当x ≈9.77时，商品的月销售额最大．【点评】（1）由变量x ，y 具有负相关关系，说明乙不对，求出样本点的中心坐标，验证甲与丙得答案； （2）根据R 2越大，残差平方和越小，拟合效果越好进行判断即可； （3）求出z 关于x 的函数关系式，再利用导数求最值．19．如图，四边形ABCD 为长方形，AB =2BC =4，E 、F 分别为AB 、CD 的中点，将△ADF 沿AF 折到△AD 'F 的位置，将△BCE 沿CE 折到△B 'CE 的位置，使得平面AD 'F ⊥底面AECF ，平面B 'CE ⊥底面AECF ，连接B 'D '．（1）求证：B 'D '∥平面AECF ； （2）求三棱锥B '﹣AD 'F 的体积．【命题意图】本题考查线面垂直的证明，考查三棱锥的体积求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查运算求解能力，是中档题．【解析】（1）作D ′M ⊥AF 于M ，作B ′N ⊥EC 于点N ， ∵AD ′=D ′F =2，B ′C =B ′E =2，∠AD ′F =∠CB ′E =90°，∴M ，N 为AF ，CE 的中点，且''D M B N ==∵平面AD ′F ⊥底面AECF ，平面AD ′F ∩底面AECF =AF ， D ′M ⊥AF ，D ′M ⊂平面‘F ，∴D ′M ⊥底面AECF ，同理：B ′N ⊥底面AECF ，∴D ′M ∥B ′N ， ∴四边形D ′B ′NM 是平行四边形，∴B ′D ′∥MN ，∵B ′D ′⊄平面AECF ，MN ⊂平面AECF ，∴B ′D ′∥平面AECF ． （2）设点B ′到平面AD ’F 的距离为h ，连结NF ， ∵D ′M ∥B ′N ，D ′M ⊂平面AD ′F ，B ′N ⊄平面AD ′F ， ∴B ′N ∥平面AD ′F ，∴B ′到平面AD ′F 的距离与点N 到平面AD ′F 的距离相等， ∵N 为CE 中点，EF =2，∴NF ⊥CE ， ∵AF ∥CE ，∴NF ⊥AF ，∵平面AD ′F ⊥底面AECF =AF ，NF ⊂底面AECF ， ∴NF ⊥平面AD ′F ，∴点N 到平面AD ′F 的距离为NF =∴点B ′到平面AD ′F 的距离h =∵S △AD ′F 12222=⨯⨯=，故三棱锥B '﹣AD 'F 的体积V B ′﹣AD ′F '11233AD F S h =⋅=⨯=V【点评】（1）作D ′M ⊥AF 于M ，作B ′N ⊥EC 于点N ，可证得四边形D ′B ′NM 是平行四边形，进而证明B ′D ′∥平面AECF ．（2）设点B ′到平面AD ’F 的距离为h ，连结NF ，B ′到平面AD ′F 的距离与点N 到平面AD ′F 的距离相等，进而求出三棱锥B '﹣AD 'F 的体积．20．在平面直角坐标系xOy 中，过点F （2，0）的动圆恒与y 轴相切，FP 为该圆的直径，设点P 的轨迹为曲线C ．（1）求曲线C 的方程；（2）过点A （2，4）的任意直线l 与曲线C 交于点M ，B 为AM 的中点，过点B 作x 轴的平行线交曲线C 于点D ，B 关于点D 的对称点为N ，除M 以外，直线MN 与C 是否有其它公共点？说明理由．【命题意图】本题主要考查抛物线的定义，直线与抛物线的位置关系和中点坐标的关系，属于中档题． 【解析】（1）如图，过P 作y 轴的垂线，垂足为H ，交直线x =﹣2于P '，设动圆的圆心为E ，半径为r ，则E 到y 轴的距离为r ，在梯形OFPH 中，由中位线性质可得PH =2r ﹣2， 所以|PP '|=2r ﹣2+2=2r ，又|PF |=2r ， 所以|PF |=|PP '|，由抛物线的定义知，点P 是以F （2，0）为焦点，以直线x =﹣2为准线的抛物线， 所以曲线C 的方程为：y 2=8x ；（2）由A （2，4）可得A 在求出C 上，（i 当直线l 的斜率存在时，设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）（x 1≠2），则y 12=8x 1，AM 的中点B （122x +，142y +），即B （12x +1，12y+2），在方程y 2=8x 中，令y 12y =+2，得x 18=（12y+2）2，所以D （211(2)82y +，122y +）， 设N （x 2，y 2），由中点坐标公式可得x 214=（12y +2）2122x +-，又y 12=8x 1，代入化简x 212y =， 所以N （12y ，12y +2），直线MN 的斜率为：11121111122422282y y y y y y y x ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭=--， 所以直线MN 的方程为：y 14y =（x ﹣x 1）+y 1①， 将x 1218y =代入①化简可得：y 14y =x 12y +②，将x 28y =代入②式整理可得y 2﹣2y 1y +y 12=0，△=4y 12﹣4y 12=0，所以直线MN 与抛物线相切，所以除M 点外，直线MN 与C 没有其他的公共点．（ii ）当直线MN 的斜率不存在时．M （2，﹣4），B （2，0），D （0，0），N （﹣2，0）， 直线MN 的方程为：y =﹣x ﹣2代入抛物线的方程可得x 2﹣4x +4=0，△=42﹣4×4=0， 所以除M 点外，直线MN 与C 没有其他的公共点． 综上所述，除M 点外直线MN 与C 没有其他的公共点．【点评】（1）设P 的坐标，过P 做y 轴的垂线交于点H ，及与直线x =﹣2交于一点，得E 到y 轴的距离为半径r ，由梯形的中位线可得P 到定点F 的距离等于到定直线x =﹣2的距离，根据抛物线的定义可得P 的轨迹为抛物线，并且焦点F （2，0），准线为x =﹣2的抛物线；（2）根据直线l 的斜率存在和不存在进行讨论，设M 的坐标，可得中点B 的坐标，由题意可得D 的坐标，进而可得N 的坐标，求出直线MN ，与抛物线方程联立，由判别式为0可得直线除M 点外，没有其他的公共点．21．已知函数f （x ）=（x ﹣1）ln x +ax 2+（1﹣a ）x ﹣1． （1）当a =﹣1时，判断函数的单调性； （2）讨论f （x ）零点的个数．【命题意图】本题主要考查了利用导数求解函数的单调性及零点个数的判断，体现了分类讨论思想及转化思想的应用．【解析】（1）a =﹣1时，f （x ）=（x ﹣1）ln x ﹣x 2+2x ﹣1，()1'23f x lnx x x=--+， 令h （x ）()1'23f x lnx x x==--+，则()()()2221111'2x x h x x x x +-=-+=， 易得函数h （x ）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减， 故h （x ）≤h （1）=0即f ′（x ）≤0， 所以f （x ）在（0，+∞）上单调递减；（2）根据f （x ）=（x ﹣1）ln x +ax 2+（1﹣a ）x ﹣1可得f （1）=0，即x =1为函数f （x ）的一个零点， 设g （x ）=ln x +ax +1，则f （x ）的零点个数即为g （x ）的不为1的零点个数加上1，（i ）当a =﹣1时，由（1）知f （x ）单调递减，且x =1是f （x ）的零点，故f （x ）有且只有1个零点1； （ii ）当a ≥0时，g （x ）单调递增且g （1）>0，g （x ）=ln x +ax +1()()22131111x ax a x ax x x -++-<++=++，0<x <1，因为ax 2+（a +3）x ﹣1<（a +4）x 2+（a +3）x ﹣1=[（a +4）x ﹣1]（x +1）， 所以g （14a +）<0， 综上可知，g （x ）在（0，+∞）上有1个零点且g （1）=9， 所以f （x ）有2个零点 （iii ）又()1'ax g x x +=，所以当﹣1<a <0时，g （x ）在（0，1a-）上单调递增，在（1a -+∞，）上单调递减，故g （x ）的最大值g （1a -）=ln （1a-）>0， 又g （x ）()()21211111x x ax x x --<++<+=++0，且g （13）<0，g （1e ）a e=<0， 所以g （x ）在（0，1a-）上有1个零点，在（1a -+∞，）上有1个零点且x =0也是零点， 此时f （x ）共有3个零点，（iv ）又()1'ax g x x +=，所以当a <﹣1时，g （x ）在（0，1a-）上单调递增，在（1a -+∞，）上单调递减，故g （x ）的最大值g （1a -）=ln （1a-）<0， 故g （x ）没有零点，此时f （x ）只有1个零点，综上可得，当a ≤﹣1时，f （x ）有1个零点；当﹣1<a <0时，f （x ）有3个零点，当a ≥0时，f （x ）有2个零点．【点评】（1）把a =﹣1代入后对函数求导，结合导数与单调性的关系即可求单调性；（2）对函数求导，结合导函数可判断函数的单调性，利用函数的性质及零点判定定理即可求解． （二）选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一题计分，[选修4–4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy 中，直线C 1的参数方程为x tcos y tsin αα⎧=-⎪⎨=⎪⎩，，（t 为参数，α为倾斜角），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ=4sin θ． （1）求C 2的直角坐标方程；（2）直线C 1与C 2相交于E ，F 两个不同的点，点P的极坐标为()π，若2|EF |=|PE |+|PF |，求直线C 1的普通方程．【命题意图】本题主要考查了极坐标参数方程普通方程的互化、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．【解析】（1）曲线C 2的极坐标方程为ρ=4sin θ．即ρ2=4ρsin θ，可得普通方程为x 2+y 2=4y ． （2）点P的极坐标为()π，可得直角坐标为（﹣0）．把直线C 1的参数方程为cos sin x t y t αα⎧=-+⎪⎨=⎪⎩，，（t 为参数，α为倾斜角），代入C 2方程可得：t 2﹣（cos α+4sin α）t +12=0，△24sin )αα=+-48>0，可得：sin （απ3+）>，或sin （απ3+）<α为锐角．可得：sin （απ3+）>，解得：0<απ3<．则t1+t2α+4sinα，t1t2=12．∴|EF|==|PE|+|PF|=|t1|+|t2|=|t1+t2|=8|sin（απ3 +）|，∴=8|sin（απ3+）|，∴化为sin（απ3+）=1，∴απ6=+2kπ，k∈Z．α满足0<απ3<．可得απ6=．∴直线C1的参数方程为：12xy t⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，化为普通方程为x=0．【点评】（1）曲线C2的极坐标方程为ρ=4sinθ．即ρ2=4ρsinθ，进而转化可得普通方程．（2）点P的极坐标为()π，可得直角坐标为（﹣2，0）．把直线C1的参数方程为x tcosy tsinαα⎧=-⎪⎨=⎪⎩，，（t为参数，α为倾斜角），代入C2方程可得：t2﹣（α+4sinα）t+12=0，△>0，由α为锐角．利用根与系数的关系可得：|EF|==4，|PE|+|PF|=|t1|+|t2|=|t1+t2|=8|sin（απ3+）|，解出α即可得出直线方程．[选修4–5：不等式选讲]23．已知a，b，c为正数，且满足a+b+c=1．证明：（1）111a b c++≥9；（2）ac +bc +ab ﹣abc 827≤． 【命题意图】本题主要考查基本不等式，属于中档题． 【解析】（1）()111111332229a b a c b c a b c a b c a b c b a c a c b ⎛⎫⎛⎫++=++++=++++++≥+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当13a b c ===时，等号成立； （2）∵a ，b ，c 为正数，且满足a +b +c =1， ∴c =1﹣a ﹣b ，1﹣a >0，1﹣b >0，1﹣c >0，∴ac +bc +ab ﹣abc =（a +b ﹣ab ）c +ab =（a +b ﹣ab ）（1﹣a ﹣b ）+ab =（b ﹣1）（a ﹣1）（a +b ）=（1﹣a ）（1﹣b ）（1﹣c ）()()()31118[]327a b c -+-+-≤=， ∴ac +bc +ab ﹣abc 827≤，当且仅当13a b c ===时，等号成立．。

2019-2020年高考数学一模试卷 理(含解析)

2019-2020年高考数学一模试卷 理(含解析)

2019-2020年高考数学一模试卷理（含解析）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合U={2，0，1，5}，集合A={0，2}，则∁U A=（）A．φB．{0，2} C．{1，5} D．{2，0，1，5}2．（5分）已知复数z满足z（1+i）=1（其中i为虚数单位），则z=（）A．B．C．D．3．（5分）若函数y=a x+b的部分图象如图所示，则（）A．0＜a＜1，﹣1＜b＜0 B．0＜a＜1，0＜b＜1 C．a＞1，﹣1＜b＜0 D．a＞1，0＜b＜14．（5分）已知实数x，y满足不等式组，则2x+y的最大值为（）A．3 B．4 C．6 D．95．（5分）已知直线a，b，平面α，β，且a⊥α，b⊂β，则“a⊥b”是“α∥β”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出S的值为（）A．16 B．25 C．36 D．497．（5分）在△ABC中，a，b，c分为为∠A，∠B，∠C所对的边，若函数f（x）=x3+bx2+（a2+c2﹣ac）x+1有极值点，则∠B的范围是（）A．（0，）B．（0，] C．[，π）D．[，π]8．（5分）如果自然数a的各位数字之和等于8，我们称a为“吉祥数”．将所有“吉祥数”从小到大排成一列a1，a2，a3…，若a n=xx，则n=（）A．83 B．82 C．39 D．37二、填空题：本大题共5小题，考生作答6小题，每小题5分，满分25分．本大题分为必做题和选做题两部分（一）必做题：第9、10、11、12、13题为必做题，每道试题考生必须作答．9．（5分）（x﹣）4的展开式中常数项为．（用数字表示）10．（5分）（x2﹣2sinx）dx=．11．（5分）已知向量=（﹣1，1），=（1，）（x＞0，y＞0），若⊥，则x+4y的最小值为．12．（5分）已知圆C：x2+y2+8x+ay﹣5=0经过抛物线E：x2=4y的焦点，则抛物线E的准线与圆C相交所得的弦长为．13．（5分）设P是函数y=lnx图象上的动点，则点P到直线y=x的距离的最小值为．三、【坐标系与参数方程选做题】（共1小题，每小题5分，满分5分）14．（5分）在极坐标系中，曲线C1：ρcosθ=与曲线C2：ρ2cos2θ=1相交于A，B两点，则|AB|=．四、【几何证明选讲选做题】（共1小题，每小题0分，满分0分）15．如图，在Rt△ABC中，∠A=30°，∠C=90°，D是AB边上的一点，以BD为直径的⊙O与AC相切于点E．若BC=6，则DE的长为．三、解答题16．（12分）函数f（x）=2sin（ωx+）（w＞0）的最小正周期是π．（1）求f（）的值；（2）若sinx0=，且x0∈（0，），求f（x0）的值．17．（12分）空气质量指数（简称AQI）是定量描述空气质量状况的指数，其数值越大说明空气污染越严重，为了及时了解空气质量状况，广东各城市都设置了实时监测站．下表是某网站公布的广东省内21个城市在xx12月份某时刻实时监测到的数据：城市 AQI数值城市 AQI数值城市 AQI数值城市 AQI数值城市 AQI数值城市 AQI数值城市 AQI数值广州118 东莞137 中山95 江门78 云浮76 茂名107 揭阳80深圳94 珠海95 湛江75 潮州94 河源124 肇庆48 清远47佛山160 惠州113 汕头88 汕尾74 阳江112 韶关68 梅州84 （1）请根据上表中的数据，完成下列表格：空气质量优质良好轻度污染中度污染AQI值范围[0，50）[50，100）[100，150）[150，200）城市个数（2）统计部门从空气质量“良好”和“轻度污染”的两类城市中采用分层抽样的方式抽取6个城市，省环保部门再从中随机选取3个城市组织专家进行调研，记省环保部门“选到空气质量“良好”的城市个数为ξ”，求ξ的分布列和数学期望．18．（14分）在三棱锥P﹣ABC中，已知平面PBC⊥平面ABC，AB是底面△ABC最长的边．三棱锥P﹣ABC的三视图如图1所示，其中侧视图和俯视图均为直角三角形．（1）请在图2中，用斜二测画法，把三棱锥P﹣ABC的直观图补充完整（其中点P在xOz平面内），并指出三棱锥P﹣ABC的哪些面是直角三角形；（2）求二面角B﹣PA﹣C的正切值；（3）求点C到面PAB的距离．19．（14分）已知数列{a n}的首项大于0，公差d=1，且+=．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足：b1=﹣1，b2=λ，b n+1=b n+，其中n≥2．①求数列{b n}的通项b n；②是否存在实数λ，使得数列{b n}为等比数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．20．（14分）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率为，过左焦点倾斜角为45°的直线被椭圆截得的弦长为．（1）求椭圆E的方程；（2）若动直线l与椭圆E有且只有一个公共点，过点M（1，0）作l的垂线垂足为Q，求点Q 的轨迹方程．21．（14分）已知定义在[﹣2，2]上的奇函数f（x）满足：当x∈（0，2]时，f（x）=x（x﹣2）．（1）求f（x）的解析式和值域；（2）设g（x）=ln（x+2）﹣ax﹣2a，其中常数a＞0．①试指出函数F（x）=g（f（x））的零点个数；②若当1+是函数F（x）=g（f（x））的一个零点时，相应的常数a记为a k，其中k=1，2，…，n．证明：a1+a2+…+a n＜（n∈N*）．广东省深圳市xx高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合U={2，0，1，5}，集合A={0，2}，则∁U A=（）A．φB．{0，2} C．{1，5} D．{2，0，1，5}考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：根据集合的补集的定义求出A的补集即可．解答：解：∵集合U={2，0，1，5}，集合A={0，2}，∴∁U A={1，5}，故选：C．点评：本题考查了集合的运算，是一道基础题．2．（5分）已知复数z满足z（1+i）=1（其中i为虚数单位），则z=（）A．B．C．D．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则即可得出．解答：解：∵z（1+i）=1，∴=．故选：D．点评：本题考查了复数的运算法则，属于基础题．3．（5分）若函数y=a x+b的部分图象如图所示，则（）A．0＜a＜1，﹣1＜b＜0 B．0＜a＜1，0＜b＜1 C．a＞1，﹣1＜b＜0 D．a＞1，0＜b＜1考点：指数函数的图像与性质．专题：函数的性质及应用．分析：根据指数函数的图象和性质即可判断解答：解：由图象可以看出，函数为减函数，故0＜a＜1，因为函数y=a x的图象过定点（0，1），函数y=a x+b的图象过定点（0，b），∴﹣1＜b＜0，故选：A点评：本题主要考查函数图象的应用，利用函数过定点是解决本题的关键．4．（5分）已知实数x，y满足不等式组，则2x+y的最大值为（）A．3 B．4 C．6 D．9考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出可行域，平行直线可得直线过点A（3，0）时，z取最大值，代值计算可得．解答：解：作出不等式组所对应的可行域（如图阴影），变形目标函数z=2x+y可得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x可知，当直线经过点A（3，0）时，z取最大值，代值计算可得z=2x+y的最大值为6故选：C点评：本题考查简单线性规划，准确作图是解决问题的关键，属中档题．5．（5分）已知直线a，b，平面α，β，且a⊥α，b⊂β，则“a⊥b”是“α∥β”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据题意，分两步来判断：①分析当α∥β时，a⊥b是否成立，有线面垂直的性质，可得其是真命题，②分析当a⊥b时，α∥β是否成立，举出反例可得其是假命题，综合①②可得答案．解答：解：根据题意，分两步来判断：①当α∥β时，∵a⊥α，且α∥β，∴a⊥β，又∵b⊂β，∴a⊥b，则a⊥b是α∥β的必要条件，②若a⊥b，不一定α∥β，当α∩β=a时，又由a⊥α，则a⊥b，但此时α∥β不成立，即a⊥b不是α∥β的充分条件，则a⊥b是α∥β的必要不充分条件，故选B．点评：本题考查充分必要条件的判断，涉及线面垂直的性质的运用，解题的关键要掌握线面垂直的性质．6．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出S的值为（）A．16 B．25 C．36 D．49考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：执行程序框图，依次写出每次循环得到的i，n，S的值，当i=6时，满足条件i＞5，退出循环，输出S的值为36．解答：解：执行程序框图，可得S=0，n=1，i=1S=1，不满足条件i＞5，i=2，n=3，S=4不满足条件i＞5，i=3，n=5，S=9不满足条件i＞5，i=4，n=7，S=16不满足条件i＞5，i=5，n=9，S=25不满足条件i＞5，i=6，n=11，S=36满足条件i＞5，退出循环，输出S的值为36．故选：C．点评：本题主要考察了程序框图和算法，正确判断退出循环时S的值是解题的关键，属于基础题．7．（5分）在△ABC中，a，b，c分为为∠A，∠B，∠C所对的边，若函数f（x）=x3+bx2+（a2+c2﹣ac）x+1有极值点，则∠B的范围是（）A．（0，）B．（0，] C．[，π）D．[，π]考点：利用导数研究函数的极值．专题：计算题；导数的综合应用；解三角形．分析：先求导f′（x）=x2+2bx+（a2+c2﹣ac），从而化函数f（x）=x3+bx2+（a2+c2﹣ac）x+1有极值点为x2+2bx+（a2+c2﹣ac）=0有两个不同的根，从而再利用余弦定理求解．解答：解：∵f（x）=x3+bx2+（a2+c2﹣ac）x+1，∴f′（x）=x2+2bx+（a2+c2﹣ac），又∵函数f（x）=x3+bx2+（a2+c2﹣ac）x+1有极值点，∴x2+2bx+（a2+c2﹣ac）=0有两个不同的根，∴△=（2b）2﹣4（a2+c2﹣ac）＞0，即ac＞a2+c2﹣b2，即ac＞2accosB；即cosB＜；故∠B的范围是（，π）；故选：D．点评：本题考查了导数的综合应用及余弦定理的应用，属于中档题．8．（5分）如果自然数a的各位数字之和等于8，我们称a为“吉祥数”．将所有“吉祥数”从小到大排成一列a1，a2，a3…，若a n=xx，则n=（）A．83 B．82 C．39 D．37考点：数列递推式．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：利用“吉祥数”的定义，分类列举出“吉祥数”，推理可得到结论．解答：解：由题意，一位数时只有8一个；二位数时，有17，26，35，44，53，62，71，80共8个三位数时：（0，0，8）有1个，（0，1，7）有4个，（0，2，6）有4个，（0，3，5）有4个，（0，4，4）有2个，（1，1，6）有3个，（1，2，5）有6个，（1，3，4）有6个，（2，2，4），有3个，（2，3，3）有3个，共1+4×3+2+3×3+6×2=36个，四位数小于等于xx：（0，0，1，7）有3个，（0，0，2，6）有1个，（0，1，1，6）有6个，（0，1，2，5）有7个，（0，1，3，4）有6个，（1，1，1，5）有3个，（1，1，2，4）有6个，（1，1，3，3）有3个，（1，2，2，3）有3个，共有3×4+6×3+1+7=38个数，∴小于等于xx的一共有1+8+36+38=83个，即a83=xx故选：A点评：本题考查新定义，涉及简单计数原理和排列组合的知识，属中档题．二、填空题：本大题共5小题，考生作答6小题，每小题5分，满分25分．本大题分为必做题和选做题两部分（一）必做题：第9、10、11、12、13题为必做题，每道试题考生必须作答．9．（5分）（x﹣）4的展开式中常数项为．（用数字表示）考点：二项式定理．专题：计算题；二项式定理．分析：利用二项展开式的通项公式T r+1=（﹣）r••x4﹣2r，令4﹣2r=0得r=2，即可求出（x﹣）4的展开式中常数项．解答：解：设（x﹣）4展开式的通项为T r+1，则T r+1=（﹣）r••x4﹣2r，令4﹣2r=0得r=2．∴展开式中常数项为：（﹣）2•=．故答案为：．点评：本题考查二项式系数的性质，利用通项公式化简是关键，属于中档题．10．（5分）（x2﹣2sinx）dx=18．考点：微积分基本定理．专题：导数的概念及应用．分析：根据微积分基本定理计算即可．解答：解：（x2﹣2sinx）dx=（x3+2cosx）|=×33+2cos3﹣×（﹣3）3﹣2cos（﹣3）=9+9=18 故答案为：18点评：本题考查了微积分基本定理，关键是求出原函数，属于基础题11．（5分）已知向量=（﹣1，1），=（1，）（x＞0，y＞0），若⊥，则x+4y的最小值为9．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：根据⊥，得到x+y=xy，由x+4y≥4结合“=”成立的条件，求出此时x，y的值，从而得到答案．解答：解：∵⊥，（x＞0，y＞0），∴•=﹣1+=0，∴+=1，∴x+4y=（x+4y）（+）=1+++4≥5+2=9，当且仅当=即x2=4y2时“=”成立，故答案为：9点评：本题考查了平面向量数量积的运算，考查了基本不等式的性质，是一道基础题．12．（5分）已知圆C：x2+y2+8x+ay﹣5=0经过抛物线E：x2=4y的焦点，则抛物线E的准线与圆C相交所得的弦长为4．考点：抛物线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求出抛物线E：x2=4y的焦点为（0，1），准线为y=﹣1，确定圆的方程，即可求出抛物线E的准线与圆C相交所得的弦长．解答：解：抛物线E：x2=4y的焦点为（0，1），准线为y=﹣1．（0，1）代入圆C：x2+y2+8x+ay﹣5=0，可得1+a﹣5=0，∴a=4∴圆C：x2+y2+8x+4y﹣5=0，即（x+4）2+（y+2）2=25，∴圆心到直线的距离为d=1，∴抛物线E的准线与圆C相交所得的弦长为2=4．故答案为：4．点评：本题考查圆的方程，考查抛物线的性质，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，比较基础．13．（5分）设P是函数y=lnx图象上的动点，则点P到直线y=x的距离的最小值为．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题；作图题；导数的综合应用．分析：由题意作图，从而可得点P（1，0）时，点P到直线y=x的距离的有最小值；从而求解．解答：解：由题意作图如下，令y′==1得，x=1，y=0；故点P（1，0）时，点P到直线y=x的距离的有最小值；故d==；故答案为：．点评：本题考查了导数的综合应用及数形结合的思想应用，属于中档题．三、【坐标系与参数方程选做题】（共1小题，每小题5分，满分5分）14．（5分）在极坐标系中，曲线C1：ρcosθ=与曲线C2：ρ2cos2θ=1相交于A，B两点，则|AB|=2．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：曲线C1：ρcosθ=化为x=．曲线C2：ρ2cos2θ=1化为ρ2（cos2θ﹣sin2θ）=1，可得x2﹣y2=1，联立解得即可．解答：解：曲线C1：ρcosθ=化为x=．曲线C2：ρ2cos2θ=1化为ρ2（cos2θ﹣sin2θ）=1，∴x2﹣y2=1，联立，解得．∴|AB|=2．故答案为：2．点评：本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、弦长问题，考查了计算能力，属于基础题．四、【几何证明选讲选做题】（共1小题，每小题0分，满分0分）15．如图，在Rt△ABC中，∠A=30°，∠C=90°，D是AB边上的一点，以BD为直径的⊙O与AC相切于点E．若BC=6，则DE的长为4．考点：与圆有关的比例线段．专题：立体几何．分析：连接OE，由已知得∠AEO=90°，OA=2OE，OD=AD，由直角三角形斜边中线等于斜边的一半，得DE=OD，由此能求出DE的长．解答：解：连接OE，∵AC是⊙O的切线，∴∠AEO=90°，∵∠A=30°，∴OA=2OE，∵OA=OD+AD，OD=OE，∴OD=AD，∴DE=OD（直角三角形斜边中线等于斜边的一半），∵∠C=90°，∠A=30°，BC=6，∴AB=2BC=12，∵AB=OB+OD+AD=3OD=12，∴OD=4，∴DE=OD=4．故答案为：4．点评：本题考查线段长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的简单性质的合理运用．三、解答题16．（12分）函数f（x）=2sin（ωx+）（w＞0）的最小正周期是π．（1）求f（）的值；（2）若sinx0=，且x0∈（0，），求f（x0）的值．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：计算题；三角函数的求值．分析：（1）由已知可求ω的值，从而可得解析式，即可根据诱导公式求值．（2）由已知可求得cos2x0的值，即可求sin2x0的值，由两角和的正弦公式展开所求代入即可求值．解答：解：（1）∵f（x）的周期是π，即T=π，…（1分）∴ω==2，即．…（3分）∴．…（5分）（2）由得，…（7分）又，∴2x0∈（0，π），…（8分）∴，…（9分）∵=．∴．…（12分）点评：本小题主要考查了三角函数f（x）=Asin（ωx+ϕ）的图象与性质，同角三角函数的关系式，诱导公式，两角和与差和二倍角的三角函数公式，考查了简单的数学运算能力，属于基础题．17．（12分）空气质量指数（简称AQI）是定量描述空气质量状况的指数，其数值越大说明空气污染越严重，为了及时了解空气质量状况，广东各城市都设置了实时监测站．下表是某网站公布的广东省内21个城市在xx12月份某时刻实时监测到的数据：城市 AQI数值城市 AQI数值城市 AQI数值城市 AQI数值城市 AQI数值城市 AQI数值城市 AQI数值广州118 东莞137 中山95 江门78 云浮76 茂名107 揭阳80深圳94 珠海95 湛江75 潮州94 河源124 肇庆48 清远47佛山160 惠州113 汕头88 汕尾74 阳江112 韶关68 梅州84 （1）请根据上表中的数据，完成下列表格：空气质量优质良好轻度污染中度污染AQI值范围[0，50）[50，100）[100，150）[150，200）城市个数（2）统计部门从空气质量“良好”和“轻度污染”的两类城市中采用分层抽样的方式抽取6个城市，省环保部门再从中随机选取3个城市组织专家进行调研，记省环保部门“选到空气质量“良好”的城市个数为ξ”，求ξ的分布列和数学期望．考点：离散型随机变量的期望与方差；分层抽样方法．专题：概率与统计．分析：（1）根据已知数据，能完成表格．（2）按分层抽样的方法，抽出的“良好”类城市为4个，抽出的“轻度污染”类城市为2个．根据题意ξ的所有可能取值为：1，2，3．分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和数学期望．解答：解：（1）根据数据，完成表格如下：空气质量优质良好轻度污染中度污染AQI值范围[0，50）[50，100）[100，150）[150，200）城市频数 2 12 6 1…（2分）（2）按分层抽样的方法，从“良好”类城市中抽取个，…（3分）从“轻度污染”类城市中抽取个，…（4分）所以抽出的“良好”类城市为4个，抽出的“轻度污染”类城市为2个．根据题意ξ的所有可能取值为：1，2，3．∵，，．…（8分）∴ξ的分布列为：ξ 1 2 3p所以．…（11分）答：ξ的数学期望为2个．…（12分）点评：本题主要考察读图表、分层抽样、概率、随机变量分布列以及数学期望等基础知识，考查运用概率统计知识解决简单实际问题的能力，数据处理能力．18．（14分）在三棱锥P﹣ABC中，已知平面PBC⊥平面ABC，AB是底面△ABC最长的边．三棱锥P﹣ABC的三视图如图1所示，其中侧视图和俯视图均为直角三角形．（1）请在图2中，用斜二测画法，把三棱锥P﹣ABC的直观图补充完整（其中点P在xOz平面内），并指出三棱锥P﹣ABC的哪些面是直角三角形；（2）求二面角B﹣PA﹣C的正切值；（3）求点C到面PAB的距离．考点：二面角的平面角及求法．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）由已知条件能用出三棱锥P﹣ABC直观图，由三视图知△ABC和△PCA是直角三角形．（2）过P作PH⊥BC交BC于点H，由三视图知△PBC为等腰三角形，取PC的中点E，过E作EF⊥PA且交PA于点F，连接BE，BF，∠BFE是二面角B﹣PA﹣C的平面角，由此能求出二面角B﹣PA﹣C的正切值．（3）记C到面PAB的距离为h，由V P﹣ABC=V C﹣PAB，能求出C到面PAB的距离．解答：解：（1）三棱锥P﹣ABC直观图如图1所示；由三视图知△ABC和△PCA是直角三角形．…（3分）（2）如图2，过P作PH⊥BC交BC于点H，由三视图知△PBC为等腰三角形，∵BC=4，，∴PB=PC=BC=4，取PC的中点E，过E作EF⊥PA且交PA于点F，连接BE，BF，因为BE⊥PC，由三视图知AC⊥面PBC，且BE⊂面PBC，∴AC⊥BE，又由AC∩PC=C，∴BE⊥面PAC，由PA⊂面PAC，∴BE⊥PA，BE∩EF=E，∴PA⊥面BEF，由BF⊂面BEF，∴PA⊥BF，所以∠BFE是二面角B﹣PA﹣C的平面角．…（6分）∵△PEF∽△PAC，∴，∵，∴，…（8分），∴在直角△BFE中，有．所以，二面角B﹣PA﹣C的正切值为．…（9分）（3）记C到面PAB的距离为h，由（1）、（2）知，∴，PB=4，V C﹣PAB==，…（12分）三棱锥P﹣ABC的体积，…（13分）由V P﹣ABC=V C﹣PAB，得C到面PAB的距离．…（14分）点评：本题主要考察空间点、线、面位置关系，三视图及几何体的直观图，二面角，三棱锥的体积，空间坐标系等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，考查用向量方法解决数学问题的能力．19．（14分）已知数列{a n}的首项大于0，公差d=1，且+=．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足：b1=﹣1，b2=λ，b n+1=b n+，其中n≥2．①求数列{b n}的通项b n；②是否存在实数λ，使得数列{b n}为等比数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．考点：数列与不等式的综合．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）由已知得=，从而，由此能求出数列{a n}的通项公式．（2）①由已知得=+1，令c n=，则c2=λ，c n+1=c n+1，由此能求出数列{b n}的通项公式．②若数列{b n}为等比数列，则有，由此能求出存在实数λ=1，使得数列{b n}为等比数列．解答：解：（1）∵数列{a n}的首项大于0，公差d=1，且+=，…（2分）∴=，…（3分）整理得，解得a1=1或a1=﹣3（舍去）．…（4分）因此数列{a n}的通项a n=n．…（5分）（2）①∵b n+，∴=+1．…（6分）令c n=，则有c2=λ，c n+1=c n+1，（n≥2）．∴当n≥2时，c n=c2+（n﹣2）=n﹣2+λ，．…（8分）∴数列{b n}的通项b n=．…（9分）②∵b1=﹣1，b2=λ，，…（10分）∴若数列{b n}为等比数列，则有=b1b3，即，解得λ=1或．…（11分）当时，（n≥2），不是常数，数列{b n}不是等比数列，当λ=1时，b1=﹣1，，（n≥2），数列{b n}为等比数列．所以，存在实数λ=1，使得数列{b n}为等比数列．…（14分）点评：本题考查了等差数列的基本量的计算、递推数列的通项公式、数列裂项求和公式、等比数列的定义，考查了学生的运算能力，以及化归与转化的思想．20．（14分）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率为，过左焦点倾斜角为45°的直线被椭圆截得的弦长为．（1）求椭圆E的方程；（2）若动直线l与椭圆E有且只有一个公共点，过点M（1，0）作l的垂线垂足为Q，求点Q 的轨迹方程．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）由椭圆E的离心率为，可得=，解得a2=2b2，可得c=b．故椭圆E的方程可设为x2+2y2=2b2，则椭圆E的左焦点坐标为（﹣b，0），过左焦点倾斜角为45°的直线方程为l′：y=x+b．与椭圆方程联立可得交点坐标，利用弦长公式|AB|===，解得b即可得出．（2）当切线l的斜率存在且不为0时，设l的方程为y=kx+m，与椭圆方程联立得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0，根据直线l和椭圆E有且仅有一个交点，可得△=0，m2=2k2+1．由于直线MQ与l垂直，可得直线MQ的方程为：y=﹣，联立，解得，消去m，k即可得出．解答：解：（1）∵椭圆E的离心率为，∴=，解得a2=2b2，∴c2=a2﹣b2=b2，即c=b．故椭圆E的方程可设为x2+2y2=2b2，则椭圆E的左焦点坐标为（﹣b，0），过左焦点倾斜角为45°的直线方程为l′：y=x+b．设直线l′与椭圆E的交点记为A，B，联立，消去y，得3x2+4bx=0，解得x1=0，x2=﹣，∴|AB|===，解得b=1．故椭圆E的方程为．（2）（ i）当切线l的斜率存在且不为0时，设l的方程为y=kx+m，联立，消去y并整理，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0，∵直线l和椭圆E有且仅有一个交点，∴△=16k2m2﹣4（1+2k2）（2m2﹣2）=0，化简并整理，得m2=2k2+1．∵直线MQ与l垂直，∴直线MQ的方程为：y=﹣，联立，解得，∴x2+y2====2．（*）（ ii）当切线l的斜率为0时，此时Q（1，±1），符合（*）式．（ iii）当切线l的斜率不存在时，此时Q 或，符合（*）式．综上所述，点Q的轨迹方程为x2+y2=2．点评：本题主要考查轨迹方程和椭圆的定义、直线方程、直线与椭圆相切的位置关系，弦长问题，考查学生运算能力、推理论证以及分析问题、解决问题的能力，考查数形结合、化归与转化思想，属于难题．21．（14分）已知定义在[﹣2，2]上的奇函数f（x）满足：当x∈（0，2]时，f（x）=x（x﹣2）．（1）求f（x）的解析式和值域；（2）设g（x）=ln（x+2）﹣ax﹣2a，其中常数a＞0．①试指出函数F（x）=g（f（x））的零点个数；②若当1+是函数F（x）=g（f（x））的一个零点时，相应的常数a记为a k，其中k=1，2，…，n．证明：a1+a2+…+a n＜（n∈N*）．考点：数列与函数的综合．专题：导数的综合应用；等差数列与等比数列．分析：（1）由奇函数性质得f（0）=0，当x∈[﹣2，0）时，f（x）=﹣f（﹣x）=﹣（﹣x）（﹣x﹣2）=﹣x（x+2），由此能求出f（x）的解析式和值域．（2）①当t=0时，方程f（x）=t有三个实根，当t=1或t=﹣1时，方程f（x）=t只有一个实根，当t∈（0，1）或t∈（﹣1，0）时，方程f（x）=t有两个实根．设h（x）=，x∈[﹣1，1]，h（﹣1）=0，，由此利用导数性质能求出函数F（x）=g （f（x））的零点个数．②由已知得g（f（1+））=0，g（f（1+））=g（）=ln（﹣a k（）=0，从而，记m（x）=ln（x+1）﹣x，﹣1=，由此利用导数性质能证明a1+a2+…+a n＜（n∈N*）．解答：（1）解：∵f（x）为奇函数，∴f（0）=0．当x∈[﹣2，0）时，﹣x∈（0，2]，则f（x）=﹣f（﹣x）=﹣（﹣x）（﹣x﹣2）=﹣x（x+2），∴f（x）=．∵x∈[0，2]时，f（x）∈[﹣1，0]，x∈[﹣2，0），f（x）∈[0，1]，∴f（x）的值域为[﹣1，1]．（2）①解：函数f（x）的图象如图a所示，当t=0时，方程f（x）=t有三个实根，当t=1或t=﹣1时，方程f（x）=t只有一个实根，当t∈（0，1）或t∈（﹣1，0）时，方程f（x）=t有两个实根．由g（x）=0，解得a=，∵f（x）的值域为[﹣1，1]，∴只需研究函数y=在[﹣1，1]上的图象特征．设h（x）=，x∈[﹣1，1]，h（﹣1）=0，，令h′（x）=0，得x=e﹣2∈（0，1），h（e﹣2）=．∵当﹣1＜x＜e﹣2时，h′（x）＞0，当e﹣2＜x＜1时，h′（x）＜0，又∵ln23＜ln32，即，由h（0）=，h（1）=，得h（0）＜h（1），∴h（x）的大致图象如图b所示．根据图象b可知，当0＜a＜、、a=时，直线y=a与函数y=h（x）的图象仅有一个交点，则函数g（x）在[﹣1，1]上仅有一个零点，记零点为t，则t分别在区间（﹣1，0）、（0，1）上，根据图象a，方程f（x）=t有两个交点，因此函数F（x）=g（f（x））有两个零点．类似地，当a=时，函数g（x）在[﹣1，1]上仅有零点0，因此函数F（x）有﹣1、0、1这三个零点．当a=时，函数g（x）在[﹣1，1]上有两个零点，一个零点是1，另一个零点在（0，1）内，因此函数Y（x）有三个零点．当时，函数g（x）在[﹣1，1]上有两个零点，且这两个零点均在（0，1）内，因此函数F（x）有四个零点．当a＞时，函数g（x）在[﹣1，1]上没有零点，因此函数F（x）没有零点．②证明：∵1+是函数F（x）=g（f（x））的一个零点，∴有g（f（1+））=0，∵1+∈（0，2），∴f（1+）=，∴g（f（1+））=g（）=ln（）﹣a k（）=0，∴，k=1，2，…，n．记m（x）=ln（x+1）﹣x，﹣1=，∵当x∈（0，1]时，m′（x）＜0，∴当x∈（0，1]时，m（x）＜m（0）=0，即ln（x+1）＜x．故有ln（）＜，则＜=，k=1，2，…，n．当n=1时，a1．当n≥2时，∵＜=﹣，∴a1+a2+a3+…+a n＜+…+＜==＜．综上，有a1+a2+…+a n＜（n∈N*）．点评：本题主要考查函数的性质、分段函数、导数应用、一元二次方程的求解、连续函数的零点存在性定理，放缩法证明数列不等式，考查学生数形结合、分类讨论的数学思想，以及计算推理能力及分析问题、解决问题的能力及创新意识．。

2019-2020高考数学一模试卷含答案

2019-2020高考数学一模试卷含答案

2019-2020高考数学一模试卷含答案一、选择题1．已知在ABC V 中，::3:2:4sinA sinB sinC =，那么cosC 的值为（ ）A ．14-B ．14C ．23-D ．232．()22x xe ef x x x --=+-的部分图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．3．已知2a ib i i+=+ ，,a b ∈R ，其中i 为虚数单位，则+a b =（ ） A ．-1B ．1C ．2D ．34．通过随机询问110名不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：男女总计爱好402060不爱好203050总计6050110由2222()110(40302030),7.8()()()()60506050n ad bc K K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯==≈++++⨯⨯⨯算得 附表：参照附表，得到的正确结论是（ ）A ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”B ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”C ．在犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”D ．在犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关” 5．在空间直角坐标系中，点P(3,4,5)与Q(3，－4，－5)两点的位置关系是( ) A ．关于x 轴对称 B ．关于xOy 平面对称 C ．关于坐标原点对称 D ．以上都不对6．设a b ，为两条直线，αβ，为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（ ） A ．若a b ，与α所成的角相等，则a b ∥ B ．若a αβ∥，b ∥，αβ∥，则a b ∥ C ．若a b a b αβ⊂⊂P ，，，则αβ∥ D ．若a b αβ⊥⊥，，αβ⊥，则a b ⊥r r7．已知集合{}{}x -1<x 1Q=x 0x 2P =<<<，，那么P Q=⋃ A ．（-1,2）B ．（0，1）C ．（-1,0）D ．（1,2）8．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1CC 的中点，则异面直线AE 与CD 所成角的正切值为A ．2B C D ．2 9．在△ABC 中，a ＝5，b ＝3，则sin A ：sin B 的值是（ ） A ．53B ．35C ．37D ．5710．在如图的平面图形中，已知1,2,120OM ON MON ==∠=o,2,2,BM MA CN NA ==u u u u v u u u v u u u v u u u v 则·BC OM u u u vu u u u v的值为A ．15-B ．9-C ．6-D ．011．已知2tan()5αβ+=，1tan()44πβ-=，则tan()4πα+的值等于（ ） A ．1318B ．322C ．1322D ．31812．把红、黄、蓝、白4张纸牌随机分给甲、乙、丙、丁4个人，每人分得一张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是 A ．对立事件 B ．互斥但不对立事件 C ．不可能事件D ．以上都不对二、填空题13．设n S 是等差数列{}*()n a n N ∈的前n 项和，且141,7a a ==，则5______S =14．已知圆锥的侧面展开图是一个半径为2cm ，圆心角为23π的扇形，则此圆锥的高为________cm .15．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若3A π=，3a =b=1,则c =_____________16．ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若π6,2,3b ac B ===，则ABC △的面积为__________.17．已知圆台的上、下底面都是球O 的截面，若圆台的高为6，上、下底面的半径分别为2，4，则球O 的表面积为__________．18．已知函数sin(2)()22y x ϕϕππ=+-<<的图象关于直线3x π=对称，则ϕ的值是________．19．设复数1(z i i =--虚数单位),z 的共轭复数为z ，则()1z z -⋅=________.20．若x ，y 满足约束条件220100x y x y y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩，则32z x y =+的最大值为_____________．三、解答题21．已知曲线C ：（t 为参数）， C ：（为参数）．（1）化C ，C 的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线； （2）若C 上的点P 对应的参数为，Q 为C 上的动点，求中点到直线（t 为参数）距离的最小值．22．如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是矩形，1A D 与1AD 交于点E .124AA AB AD ===.（1）证明：AE ⊥平面ECD ；（2）求直线1A C 与平面EAC 所成角的正弦值.23．十九大以来，某贫困地区扶贫办积极贯彻落实国家精准扶贫的政策要求，带领广大农村地区人民群众脱贫奔小康.经过不懈的奋力拼搏，新农村建设取得巨大进步，农民收入也逐年增加.为了更好的制定2019年关于加快提升农民年收入力争早日脱贫的工作计划，该地扶贫办统计了2018年50位农民的年收入并制成如下频率分布直方图：附：参考数据与公式 6.92 2.63≈，若 ()2~,X Nμσ，则①()0.6827P X μσμσ-<+=…；② (22)0.9545P X μσμσ-<+=…；③ (33)0.9973P X μσμσ-<+=….（1）根据频率分布直方图估计50位农民的年平均收入x （单位：千元）（同一组数据用该组数据区间的中点值表示）；（2）由频率分布直方图可以认为该贫困地区农民年收入 X 服从正态分布 ()2,N μσ，其中μ近似为年平均收入2,x σ 近似为样本方差2s ，经计算得：2 6.92s =，利用该正态分（i ）在2019年脱贫攻坚工作中，若使该地区约有占总农民人数的84.14%的农民的年收入高于扶贫办制定的最低年收入标准，则最低年收入大约为多少千元?（ii ）为了调研“精准扶贫，不落一人”的政策要求落实情况，扶贫办随机走访了1000位农民.若每个农民的年收入相互独立，问：这1000位农民中的年收入不少于12.14千元的人数最有可能是多少?24．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为21x ty at=+⎧⎨=-⎩（t 为参数，a R ∈），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，线C 的极坐标方程是4πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭. （1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）己知直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，且AB =a 的值.25．已知函数()()2f x x 2a 1x 2alnx(a 0)=-++>．()1求()f x 的单调区间；()2若()f x 0≤在区间[]1,e 上恒成立，求实数a 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【解析】 【分析】 【详解】::sin :sin :sin 3:2:4a b c A B C == ，不妨设3,2,4a k b k c k ===，,则()()()2223241cos 2324k k k C k k+-==-⨯⨯ ，选A.2．A解析：A 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性，排除D ；根据函数解析式可知定义域为{}1x x ≠±,所以y 轴右侧虚线部分为x=1，利用特殊值x=0.01和x=1.001代入即可排除错误选项．由函数解析式()22x x e e f x x x --=+-，易知()22x xe ef x x x ---=+-=() f x - 所以函数()22x xe ef x x x --=+-为奇函数，排除D 选项根据解析式分母不为0可知,定义域为{}1x x ≠±,所以y 轴右侧虚线部分为x=1， 当x=0.01时，代入()f x 可得()0f x <，排除C 选项 当x=1.001时，代入()f x 可得()0f x >，排除B 选项 所以选A 【点睛】本题考查了根据函数解析式判断函数的图象，依据主要是奇偶性、单调性、特殊值等，注意图中坐标的位置及特殊直线，属于中档题．3．B解析：B 【解析】 【分析】利用复数除法运算法则化简原式可得2ai b i -=+，再利用复数相等列方程求出,a b 的值，从而可得结果. 【详解】因为22222a i ai i ai b i i i+--==-=+- ，,a b ∈R ， 所以2211b b a a ==⎧⎧⇒⎨⎨-==-⎩⎩，则+1a b =，故选B. 【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.4．A解析：A 【解析】 【分析】 【详解】由27.8 6.635K ≈>，而()26.6350.010P K ≥=，故由独立性检验的意义可知选A5．A解析：A【解析】点P(3,4,5)与Q(3，－4，－5)两点的x 坐标相同，而y 、z 坐标互为相反数，所以两点关于x 轴对称． 考点：空间两点间的距离.6．D解析：D 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：A 项中两直线a b ，还可能相交或异面,错误； B 项中两直线a b ，还可能相交或异面,错误； C 项两平面αβ，还可能是相交平面，错误； 故选D.7．A解析：A 【解析】利用数轴，取,P Q 所有元素，得P Q =U (1,2)-．【名师点睛】对于集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图处理．8．C解析：C 【解析】 【分析】利用正方体1111ABCD A B C D -中，//CD AB ，将问题转化为求共面直线AB 与AE 所成角的正切值，在ABE ∆中进行计算即可. 【详解】在正方体1111ABCD A B C D -中，//CD AB ，所以异面直线AE 与CD 所成角为EAB ∠， 设正方体边长为2a ，则由E 为棱1CC 的中点，可得CE a =，所以5BE a =，则55tan 22BE a EAB AB a ∠===.故选C.【点睛】求异面直线所成角主要有以下两种方法：（1）几何法：①平移两直线中的一条或两条，到一个平面中；②利用边角关系，找到（或构造）所求角所在的三角形；③求出三边或三边比例关系，用余弦定理求角；（2）向量法：①求两直线的方向向量；②求两向量夹角的余弦；③因为直线夹角为锐角，所以②对应的余弦取绝对值即为直线所成角的余弦值.9．A解析：A 【解析】 由正弦定理可得：sin 5sin 3A aB b == . 本题选择A 选项.10．C解析：C 【解析】分析：连结MN ，结合几何性质和平面向量的运算法则整理计算即可求得最终结果. 详解：如图所示，连结MN ，由2,2BM MA CN NA ==u u u u v u u u v u u u v u u u v可知点,M N 分别为线段,AB AC 上靠近点A 的三等分点，则()33BC MN ON OM ==-u u u v u u u u v u u u v u u u u v ，由题意可知：2211OM ==u u u u v ，12cos1201OM ON ou u u u v u u u v ⋅=⨯⨯=-，结合数量积的运算法则可得：()2333336BC OM ON OM OM ON OM OM ⋅=-⋅=⋅-=--=-u u u v u u u u v u u u v u u u u v u u u u v u u u v u u u u v u u u u v .本题选择C 选项.点睛：求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．11．B解析：B 【解析】 【分析】由题可分析得到()tan +tan 44ππααββ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦,由差角公式,将值代入求解即可 【详解】 由题,()()()21tan tan 3454tan +tan 21442211tan tan 544παββππααββπαββ⎛⎫+---⎪⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎝⎭=+--=== ⎪ ⎪⎢⎥⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎣⎦+⨯++-⎪⎝⎭,故选：B 【点睛】本题考查正切的差角公式的应用,考查已知三角函数值求三角函数值问题12．B解析：B 【解析】 【分析】本题首先可以根据两个事件能否同时发生来判断出它们是不是互斥事件，然后通过两个事件是否包含了所有的可能事件来判断它们是不是对立事件，最后通过两个事件是否可能出现来判断两个事件是否是不可能事件，最后即可得出结果．， 【详解】因为事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”不可能同时发生，所以它们是互斥事件， 因为事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”不包含所有的可能事件，所以它们不是对立事件，所以它们是互斥但不对立事件，故选B ． 【点睛】本题考查了事件的关系，互斥事件是指不可能同时发生的事件，而对立事件是指概率之和为1的互斥事件，不可能事件是指不可能发生的事件，考查推理能力，是简单题．二、填空题13．25【解析】由可得所以解析：25 【解析】由141,7a a ==可得11,2,21n a d a n ===-，所以5(19)5252S +⨯==． 14．【解析】【分析】设此圆的底面半径为高为母线为根据底面圆周长等于展开扇形的弧长建立关系式解出再根据勾股定理得即得此圆锥高的值【详解】设此圆的底面半径为高为母线为因为圆锥的侧面展开图是一个半径为圆心角为解析：3【解析】【分析】设此圆的底面半径为r ，高为h ，母线为l ，根据底面圆周长等于展开扇形的弧长，建立关系式解出r ，再根据勾股定理得22h l r =- ，即得此圆锥高的值． 【详解】设此圆的底面半径为r ，高为h ，母线为l ，因为圆锥的侧面展开图是一个半径为2cm ，圆心角为23π的扇形, 所以2l =，得24233r l πππ=⨯= ,解之得23r =， 因此,此圆锥的高2222242cm 332h l r ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭，故答案为42． 【点睛】本题给出圆锥的侧面展开图扇形的半径和圆心角，求圆锥高的大小，着重考查了圆锥的定义与性质和旋转体侧面展开等知识，属于基础题．15．2【解析】【分析】根据条件利用余弦定理可建立关于c 的方程即可解出c 【详解】由余弦定理得即解得或（舍去）故填2【点睛】本题主要考查了利用余弦定理求三角形的边属于中档题解析：2 【解析】 【分析】根据条件，利用余弦定理可建立关于c 的方程，即可解出c. 【详解】由余弦定理2222cos a b c bc A =+-得231c c =+-，即220c c --=，解得2c =或1c =-（舍去）.故填2. 【点睛】本题主要考查了利用余弦定理求三角形的边，属于中档题.16．【解析】【分析】本题首先应用余弦定理建立关于的方程应用的关系三角形面积公式计算求解本题属于常见题目难度不大注重了基础知识基本方法数学式子的变形及运算求解能力的考查【详解】由余弦定理得所以即解得（舍去 解析：3【解析】【分析】本题首先应用余弦定理，建立关于c 的方程，应用,a c 的关系、三角形面积公式计算求解，本题属于常见题目，难度不大，注重了基础知识、基本方法、数学式子的变形及运算求解能力的考查．【详解】由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-， 所以2221(2)2262c c c c +-⨯⨯⨯=， 即212c =解得c c ==-所以2a c ==11sin 222ABC S ac B ∆==⨯= 【点睛】本题涉及正数开平方运算，易错点往往是余弦定理应用有误或是开方导致错误．解答此类问题，关键是在明确方法的基础上，准确记忆公式，细心计算．17．【解析】【分析】本道题结合半径这一条件利用勾股定理建立等式计算半径即可【详解】设球半径为R 球心O 到上表面距离为x 则球心到下表面距离为6-x 结合勾股定理建立等式解得所以半径因而表面积【点睛】本道题考查 解析：80π【解析】【分析】本道题结合半径这一条件，利用勾股定理，建立等式，计算半径，即可。

2020年广东省深圳市高考数学一模试卷(文科)含答案解析

2020年广东省深圳市高考数学一模试卷(文科)含答案解析

2020年广东省深圳市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={﹣1，0，1}，B={y|y=x2﹣x，x∈A}，则A∩B=（）A．{0}B．{2}C．{0，1}D．{﹣1，0}2．若平面向量=（m，1），=（2，1），且（﹣2）∥，则m=（）A．1 B．2 C．3 D．43．设i为虚数单位，已知，则|z1|，|z2|的大小关系是（）A．|z1|＜|z2|B．|z1|=|z2|C．|z1|＞|z2|D．无法比较4．研究人员随机调查统计了某地1000名“上班族”每天在工作之余使用手机上网的时间，并将其绘制为如图所示的频率分布直方图．若同一组数据用该区间的中点值作代表，则可估计该地“上班族”每天在工作之余使用手机上网的平均时间是（）A．1.78小时 B．2.24小时 C．3.56小时 D．4.32小时5．已知函数f（x）=cos2x﹣sin2x，下列说法错误的是（）A．f（x）的最小正周期为πB．x=是f（x）的一条对称轴C．f（x）在（﹣，）上单调递增D．|f（x）|的值域是[0，1]6．直线y=k（x+1）（k∈R）与不等式组，表示的平面区域有公共点，则k的取值范围是（）A．[﹣2，2] B．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）C．[﹣，]D．（﹣∞，﹣]∪[，+∞）7．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则在该几何体中，最长的棱的长度是（）A．4 B．2C．6 D．48．函数f（x）=xcosx在[﹣π，π]上的大致图象是（）A．B．C．D．9．已知﹣＜α＜，且sinα+cosα=，则α的值为（）A．﹣B．C．﹣D．10．已知A，B，C是球面上三点，且AB=6，BC=8，AC=10，球心O到平面ABC的距离等于该球半径的，则此球的表面积为（）A．πB．πC．πD．π11．过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F，且倾斜角为的直线与抛物线交于A，B两点，若弦AB的垂直平分线经过点（0，2），则p等于（）A．B．C．D．12．已知a＞0，若函数且g（x）=f（x）+2a至少有三个零点，则a的取值范围是（）A．（，1]B．（1，2]C．（1，+∞）D．[1，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．下列四个函数中：①y=﹣；②y=log2（x+1）；③y=﹣；④y=．在（0，+∞）上为减函数的是．（填上所有正确选项的序号）14．甲、乙、丙、丁四支足球队举行“贺岁杯”足球友谊赛，每支球队都要与其它三支球队进行比赛，且比赛要分出胜负．若甲、乙、丙队的比赛成绩分别是两胜一负、全败、一胜两负，则丁队的比赛成绩是．15．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n的值为．（参考数据：sin15°=0.2588，sin7.5°=0.1305）16．在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的顶点B（﹣5，0）和C（5，0），顶点A在双曲线的右支上，则．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知等差数列{a n}满足a1+a3=8，a2+a4=12．（Ⅰ）求数列{a n}的前n项和为S n；（Ⅱ）若++…+=，求n的值．18．某房地产公司新建小区有A、B两种户型住宅，其中A户型住宅每套面积为100平方米，B户型住宅每套面积为80平方米．该公司准备从两种户型住宅中各拿出12套销售给内部员工，表是这24套住宅每平方米的销售价格：（单位：万元/平方米）：房号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12A户型 2.6 2.7 2.8 2.8 2.9 3.2 2.9 3.1 3.4 3.3 3.4 3.5 B户型 3.6 3.7 3.7 3.9 3.8． 3.9 4.2 4.1 4.1 4.2 4.3 4.5 （Ⅰ）根据表格数据，完成下列茎叶图，并分别求出A，B两类户型住宅每平方米销售价格的中位数；（Ⅱ）该公司决定对上述24套住房通过抽签方式销售，购房者根据自己的需求只能在其中一种户型中通过抽签方式随机获取房号，每位购房者只有一次抽签机会．小明是第一位抽签的员工，经测算其购买能力最多为320万元，抽签后所抽得住房价格在其购买能力范围内则确定购买，否则，将放弃此次购房资格．为了使其购房成功的概率更大，他应该选择哪一种户型抽签？19．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AC，且侧面BB1C1C是菱形，∠B1BC=60°．（Ⅰ）求证：AB1⊥BC；（Ⅱ）若AB⊥AC，AB1=BB1，且该三棱柱的体积为2，求AB的长．20．在平面直角坐标系xOy中，椭圆E的中心在原点，经过点A（0，1），其左、右焦点分别为F1、F2，且•=0．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）过点（﹣，0）的直线l与椭圆E有且只有一个公共点P，且与圆O：x2+y2=r2（r ＞0）相切于点Q，求r的值及△OPQ的面积．21．已知函数f（x）=e x+ax+b（a，b∈R，e是自然对数的底数）在点（0，1）处的切线与x 轴平行．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）若对一切x∈R，关于x的不等式f（x）≥（m﹣1）x+n恒成立，求m+n的最大值．选修4-1：几何证明选讲22．如图，在直角△ABC中，AB⊥BC，D为BC边上异于B、C的一点，以AB为直径作⊙O，并分别交AC，AD于点E，F．（Ⅰ）证明：C，E，F，D四点共圆；（Ⅱ）若D为BC的中点，且AF=3，FD=1，求AE的长．选修4-4：坐标系与参数方程23．在平面直角坐标系xOy中，已知三圆C1：x2+y2=4，C2：（x+）2+（y﹣1）2=4，C3：（θ为参数）有一公共点P（0，2）．（Ⅰ）分别求C1与C2，C1与C3异于点P的公共点M、N的直角坐标；（Ⅱ）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求经过三点O、M、N的圆C 的极坐标方程．选修4-5：不等式选讲24．已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣3|（a∈R）．（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）≥x+8的解集；（Ⅱ）若函数f（x）的最小值为5，求a的值．2020年广东省深圳市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={﹣1，0，1}，B={y|y=x2﹣x，x∈A}，则A∩B=（）A．{0}B．{2}C．{0，1}D．{﹣1，0}【考点】交集及其运算．【分析】把A中元素代入B求出y的值，确定出B，找出两集合的交集即可．【解答】解：把x=﹣1，0，1代入得：y=2，0，即B={2，0}，∵A={﹣1，0，1}，∴A∩B={0}，故选：A．2．若平面向量=（m，1），=（2，1），且（﹣2）∥，则m=（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】利用向量的共线的充要条件，列出方程求解即可．【解答】解：平面向量=（m，1），=（2，1），且（﹣2）∥，可得m﹣4=2（﹣1），解得m=2．故选：B．3．设i为虚数单位，已知，则|z1|，|z2|的大小关系是（）A．|z1|＜|z2|B．|z1|=|z2|C．|z1|＞|z2|D．无法比较【考点】复数求模．【分析】利用复数的运算法则分别化简z1，z2，再利用模的计算公式即可得出．【解答】解：z1====﹣i，∴|z1|=1．∵，∴|z2|==1，则|z1|=|z2|．故选：B．4．研究人员随机调查统计了某地1000名“上班族”每天在工作之余使用手机上网的时间，并将其绘制为如图所示的频率分布直方图．若同一组数据用该区间的中点值作代表，则可估计该地“上班族”每天在工作之余使用手机上网的平均时间是（）A．1.78小时 B．2.24小时 C．3.56小时 D．4.32小时【考点】频率分布直方图．【分析】根据频率分布直方图，利用同一组数据所在区间的中点值乘以对应的频率，再求和即可．【解答】解：根据频率分布直方图，得；估计该地“上班族”每天在工作之余使用手机上网的平均时间为=0.12×2×1+0.20×2×3+0.10×2×5+0.08×2×7=3.56（小时）．故选：C．5．已知函数f（x）=cos2x﹣sin2x，下列说法错误的是（）A．f（x）的最小正周期为πB．x=是f（x）的一条对称轴C．f（x）在（﹣，）上单调递增D．|f（x）|的值域是[0，1]【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】由三角函数公式化简可得f（x）=cos2x，由三角函数的性质逐个选项验证可得．【解答】解：∵f（x）=cos2x﹣sin2x=cos2x，∴f（x）的最小正周期T==π，选项A正确；由2x=kπ可得x=，k∈Z，∴x=是f（x）的一条对称轴，选项B正确；由2kπ+π≤2x≤2kπ+2π可得kπ+≤x≤kπ+π，∴函数的单调递增区间为[kπ+，kπ+π]，k∈Z，C错误；|f（x）|=|cos2x|，故值域为[0，1]，D正确．故选：C6．直线y=k（x+1）（k∈R）与不等式组，表示的平面区域有公共点，则k的取值范围是（）A．[﹣2，2] B．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）C．[﹣，]D．（﹣∞，﹣]∪[，+∞）【考点】简单线性规划．【分析】作出可行域，k表示过定点（﹣1，0）的直线y=k（x+1）的斜率，数形结合可得．【解答】解：作出不等式组所对应的可行域（如图△ABC），k表示过定点（﹣1，0）的直线y=k（x+1）的斜率，数形结合可得当直线经过点A（0，2）时，直线的斜率取最大值2，当直线经过点B（0，﹣2）时，直线的斜率取最小值﹣2，故选：A．7．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则在该几何体中，最长的棱的长度是（）A．4 B．2C．6 D．4【考点】由三视图还原实物图．【分析】根据几何体的三视图还原几何体形状，由题意解答．【解答】解：由几何体的三视图得到几何体是以俯视图为底面的四棱锥，如图：由网格可得AD最长为=；故答案为：．8．函数f（x）=xcosx在[﹣π，π]上的大致图象是（）A．B．C．D．【考点】利用导数研究函数的单调性；余弦函数的图象．【分析】根据奇偶函数图象的对称性排除A、C；利用特殊点排除D，从而得到答案．【解答】解：由f（x）=xcosx为奇函数知，其图象关于原点对称，排除A、C；又f（π）=πcosπ=﹣π＜0，故排除D；故选B．9．已知﹣＜α＜，且sinα+cosα=，则α的值为（）A．﹣B．C．﹣D．【考点】同角三角函数基本关系的运用．【分析】利用两角和的正弦函数公式化简已知可得sin（）=，从而可得sin （）=，结合α的范围，利用正弦函数的图象和性质即可求值得解．【解答】解：因为：sinα+cosα=，所以：sin（）=，所以：sin（）=．又因为：﹣＜α＜，可得：，所以：=，解得：．故选：A．10．已知A，B，C是球面上三点，且AB=6，BC=8，AC=10，球心O到平面ABC的距离等于该球半径的，则此球的表面积为（）A．πB．πC．πD．π【考点】球的体积和表面积．【分析】求出三角形ABC的外心，利用球心到△ABC所在平面的距离为球半径的一半，求出球的半径，即可求出球的表面积．【解答】解：由题意AB=6，BC=8，AC=10，∵62+82=102，可知三角形是直角三角形，三角形的外心是AC的中点，球心到截面的距离就是球心与三角形外心的距离，设球的半径为R，球心到△ABC所在平面的距离为球半径的一半，所以R2=（R）2+52，解得R2=，∴球的表面积为4πR2=π．故选：C．11．过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F，且倾斜角为的直线与抛物线交于A，B两点，若弦AB的垂直平分线经过点（0，2），则p等于（）A．B．C．D．【考点】抛物线的简单性质．【分析】可以求出抛物线的焦点坐标，从而可以写出弦AB所在直线方程为，可设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程和抛物线方程联立消去x可得到关于y的一元二次方程，由韦达定理即可求出弦AB的中点坐标为，而弦AB的垂直平分线方程可写出为y﹣2=﹣x，弦中点坐标带入该方程便可求出p的值．【解答】解：，过焦点F且倾斜角为的直线方程为：，设A（x1，y1），B（x2，y2）；由得，y2﹣2py﹣p2=0；∴y1+y2=2p，x1+x2=3p；∴弦AB的中点坐标为；弦AB的垂直平分线方程为y﹣2=﹣x，弦AB的中点在该直线上；∴；解得．故选：C．12．已知a＞0，若函数且g（x）=f（x）+2a至少有三个零点，则a的取值范围是（）A．（，1]B．（1，2]C．（1，+∞）D．[1，+∞）【考点】函数零点的判定定理．【分析】把函数零点问题转化为方程根的问题，然后画出a=1及a=2时的分段函数的简图，由图判断a=1及a=2时满足题意，结合选项得答案．【解答】解：函数g（x）=f（x）+2a的零点的个数等价于方程f（x）=﹣2a根的个数，即函数y=f（x）的图象与直线y=﹣2a交点的个数，利用特殊值验证法：当a=1时，y=f（x）的图象如图：满足题意；当a=2时，y=f（x）的图象如图：满足题意．结合选项可知，a的范围是D．故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．下列四个函数中：①y=﹣；②y=log2（x+1）；③y=﹣；④y=．在（0，+∞）上为减函数的是①④．（填上所有正确选项的序号）【考点】函数单调性的判断与证明．【分析】根据单调性的定义，对数函数和指数函数的单调性，以及不等式的性质即可判断每个函数在（0，+∞）上的单调性，从而写出在（0，+∞）上为减函数的序号．【解答】解：∵x∈（0，+∞）；①x增大时，增大，﹣减小，即y减小，∴该函数在（0，+∞）上为减函数；②x增大时，x+1增大，log2（x+1）增大，即y增大，∴该函数在（0，+∞）上为增函数；③x增大时，x+1增大，减小，增大，∴该函数在（0，+∞）上为增函数；④x增大时，x﹣1增大，减小，即y减小，∴该函数在（0，+∞）上为减函数；∴在（0，+∞）上为减函数的是①④．故答案为：①④．14．甲、乙、丙、丁四支足球队举行“贺岁杯”足球友谊赛，每支球队都要与其它三支球队进行比赛，且比赛要分出胜负．若甲、乙、丙队的比赛成绩分别是两胜一负、全败、一胜两负，则丁队的比赛成绩是全胜．【考点】进行简单的合情推理．【分析】根据题意可得，共有6胜6负，由甲，乙，丙的成绩，运用补集思想即可求出丁的成绩．【解答】解：由题意可得，甲、乙、丙、丁四支足球队举行“贺岁杯”足球友谊赛，每支球队都要与其它三支球队进行比赛，且比赛要分出胜负，则共需进行=6场，∵每场都会产生胜方和负方，∴比赛共产生6胜6负，∵甲、乙、丙队的比赛成绩分别是两胜一负、全败、一胜两负，已有3胜6负，∴丁队的比赛成绩是全胜，即3胜．故答案为：全胜．15．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n的值为24．（参考数据：sin15°=0.2588，sin7.5°=0.1305）【考点】程序框图．【分析】列出循环过程中S与n的数值，满足判断框的条件即可结束循环．【解答】解：模拟执行程序，可得n=6，S=3sin60°=，不满足条件S≥3.10，n=12，S=6×sin30°=3，不满足条件S≥3.10，n=24，S=12×sin15°=12×0.2588=3.1056，满足条件S≥3.10，退出循环，输出n的值为24．故答案为：24．16．在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的顶点B（﹣5，0）和C（5，0），顶点A在双曲线的右支上，则=．【考点】双曲线的简单性质．【分析】首先由正弦定理，有=，进而根据双曲线的几何性质，可得|CB|=2c=4，|AB|﹣|CA|=2a=6，代入，即可得到答案．【解答】解：根据正弦定理：在△ABC中，有=，又由题意C、B分别是双曲线的左、右焦点，则|CB|=2c=10，且△ABC的顶点A在双曲线的右支上，又可得|AB|﹣|AC|=2a=6，则===．故答案为：．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知等差数列{a n}满足a1+a3=8，a2+a4=12．（Ⅰ）求数列{a n}的前n项和为S n；（Ⅱ）若++…+=，求n的值．【考点】数列的求和；等差数列的前n项和．【分析】（Ⅰ）通过a1+a3=8，a2+a4=12与等差中项的性质可知a2=4，a3=6，进而可知公差及首项，利用等差数列的求和公式计算即得结论；（Ⅱ）通过（I）裂项可知=﹣，进而并项相加并与已知条件比较即得结论．【解答】解：（Ⅰ）∵a1+a3=8，a2+a4=12，∴a2=4，a3=6，∴等差数列{a n}的公差d=a3﹣a2=6﹣4=2，首项a1=a2﹣d=4﹣2=2，∴数列{a n}是首项、公差均为2的等差数列，于是其前n项和为S n=2•=n（n+1）；（Ⅱ）由（I）可知，==﹣，∴++…+=1﹣+﹣+…+﹣=，又∵++…+=，∴=，即n=999．18．某房地产公司新建小区有A、B两种户型住宅，其中A户型住宅每套面积为100平方米，B户型住宅每套面积为80平方米．该公司准备从两种户型住宅中各拿出12套销售给内部员工，表是这24套住宅每平方米的销售价格：（单位：万元/平方米）：房号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A户型 2.6 2.7 2.8 2.8 2.9 3.2 2.9 3.1 3.4 3.3 3.4 3.5 B户型 3.6 3.7 3.7 3.9 3.8． 3.9 4.2 4.1 4.1 4.2 4.3 4.5 （Ⅰ）根据表格数据，完成下列茎叶图，并分别求出A，B两类户型住宅每平方米销售价格的中位数；（Ⅱ）该公司决定对上述24套住房通过抽签方式销售，购房者根据自己的需求只能在其中一种户型中通过抽签方式随机获取房号，每位购房者只有一次抽签机会．小明是第一位抽签的员工，经测算其购买能力最多为320万元，抽签后所抽得住房价格在其购买能力范围内则确定购买，否则，将放弃此次购房资格．为了使其购房成功的概率更大，他应该选择哪一种户型抽签？【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；茎叶图．【分析】（Ⅰ）由表格数据，能作出茎叶图，并能求出A，B两类户型住宅每平方米销售价格的中位数．（Ⅱ）若选择A户型抽签，求出成功购房的概率；若选择B户型抽签，求出成功购房的概率．由此得到该员工选择购买A户型住房的概率较大．【解答】解：（Ⅰ）由表格数据，作出茎叶图：A户型销售价格的中位数是=3.0，B户型销售价格的中位数是=4.0．（Ⅱ）若选择A户型抽签，则每平方米均价不得高于3.2万元，有能力购买其中的8套住房，∴成功购房的概率是=，若选择B户型抽签，每平方米均价不得高于4.0万元，有能力购买其中的6套住房，成功购房的概率是，∵，∴该员工选择购买A户型住房的概率较大．19．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AC，且侧面BB1C1C是菱形，∠B1BC=60°．（Ⅰ）求证：AB1⊥BC；（Ⅱ）若AB⊥AC，AB1=BB1，且该三棱柱的体积为2，求AB的长．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（I）取BC中点M，连结AM，由AB=AC得AM⊥BC，由菱形和等边三角形的性质得出BC⊥B1M，故BC⊥平面AB1M，故而AB1⊥BC；（II）利用勾股定理的逆定理得出AM⊥B1M，从而B1M⊥平面ABC，故而B1M为棱柱的高，根据棱柱的体积列方程解出AB．【解答】解：（I）取BC中点M，连结AM，B1M，∵AB=AC，M是BC的中点，∴AM⊥BC，∵侧面BB1C1C是菱形，∠B1BC=60°，∴B1M⊥BC，又AM⊂平面AB1M，B1M⊂平面AB1M，AM∩B1M=M，∴BC⊥平面AB1M，∵AB1⊂平面AB1M，∴BC⊥AB1．（II）设AB=x，则AC=x，BC=x，∵M是BC的中点，∴AM=，BB1=，B1M=，又∵AB1=BB1，∴AB1=，∴AB12=B1M2+AM2，∴B1M⊥AM．由（I）知B1M⊥BC，AM⊂平面ABC，BC⊂平面ABC，AM∩BC=M，∴B1M⊥平面ABC，∴V==，∴x=2，即AB=2．20．在平面直角坐标系xOy中，椭圆E的中心在原点，经过点A（0，1），其左、右焦点分别为F1、F2，且•=0．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）过点（﹣，0）的直线l与椭圆E有且只有一个公共点P，且与圆O：x2+y2=r2（r ＞0）相切于点Q，求r的值及△OPQ的面积．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）设椭圆E的方程为=1（a＞b＞0），由椭圆E经过点A（0，1），•=0，求出a，b，由此能求出椭圆E的方程．（Ⅱ）设直线l：y=k（x+），联立，得（2k2+1）x2+4x+6k2﹣2=0，由此利用根的判别式、直线与圆相切、两点间距离公式，结合已知条件能求出r的值及△OPQ的面积．【解答】解：（Ⅰ）∵在平面直角坐标系xOy中，椭圆E的中心在原点，其左、右焦点分别为F1、F2，∴设椭圆E的方程为=1（a＞b＞0），∵椭圆E经过点A（0，1），∴b=1，∵•=0，且AF1=AF2，∴b=c=1，∴a2=1+1=2，∴椭圆E的方程是．（Ⅱ）设直线l：y=k（x+），联立，整理，得（2k2+1）x2+4x+6k2﹣2=0，①∴，∵直线l与椭圆相切，∴△=0，解得k=±1，代入方程①中，得到，解得x=﹣，代入直线l的方程中，得y=，即P（﹣，），又∵直线l与圆x2+y2=r2相切，∴r===，∵|OP|==，∴|PQ|===，S△OPA=．21．已知函数f（x）=e x+ax+b（a，b∈R，e是自然对数的底数）在点（0，1）处的切线与x 轴平行．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）若对一切x∈R，关于x的不等式f（x）≥（m﹣1）x+n恒成立，求m+n的最大值．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）根据导数的几何意义，建立方程关系即可求a，b的值；（Ⅱ）将不等式恒成立进行转化，构造函数，求函数的导数，利用函数单调性，极值和最值与导数的关系进行求解即可．【解答】解：（Ⅰ）函数的导数f′（x）=e x+a，∵函数f（x）在点（0，1）处的切线与x轴平行，∴f′（0）=0，即f′（0）=e0+a=1+a=0，则a=﹣1，又f（0）=1+b=1，则b=0；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=e x﹣x，则不等式f（x）≥（m﹣1）x+n恒成立等价为e x≥mx+n，即e x﹣mx﹣n≥0，设g（x）=e x﹣mx﹣n，则g′（x）=e x﹣m，当m≤0时，g′（x）＞0恒成立，则g（x）在R上递增，没有最小值，故不成立，当m＞0时，由g′（x）=0得x=lnm，当g′（x）＜0时，得x＜lnm，当g′（x）＞0时，得x＞lnm，即当x=lnm时，函数取得最小值g（lnm）=e lnm﹣mlnm﹣n=m﹣mlnm﹣n≥0，即m﹣mlnm≥n，2m﹣mlnm≥m+n，令h（m）=2m﹣mlnm，则h′（m）=1﹣lnm，令h′（m）=0得m=e，当0＜m＜e时，h（m）单调递增，当m＞e时，h（m）单调递减，故当m=e时，h（m）取得最大值h（e）=e，∴e≥m+n，故m+n的最大值为e．选修4-1：几何证明选讲22．如图，在直角△ABC中，AB⊥BC，D为BC边上异于B、C的一点，以AB为直径作⊙O，并分别交AC，AD于点E，F．（Ⅰ）证明：C，E，F，D四点共圆；（Ⅱ）若D为BC的中点，且AF=3，FD=1，求AE的长．【考点】与圆有关的比例线段；圆內接多边形的性质与判定．【分析】（Ⅰ）连结EF，BE，说明AB是⊙O是直径，推出∠ABE=∠C，然后证明C，E，F，D四点共圆．（Ⅱ）利用切割线定理求解BD，利用C、E、F、D四点共圆，得到AE•AC=AF•AD，然后求解AE．【解答】（Ⅰ）证明：连结EF，BE，则∠ABE=∠AFE，因为AB是⊙O是直径，所以，AE⊥BE，又因为AB⊥BC，∠ABE=∠C，所以∠AFE=∠C，即∠EFD+∠C=180°，∴C，E，F，D四点共圆．（Ⅱ）解：因为AB⊥BC，AB是直径，所以，BC是圆的切线，DB2=DF•DA=4，即BD=2，所以，AB==2，因为D为BC的中点，所以BC=4，AC==2，因为C、E、F、D四点共圆，所以AE•AC=AF•AD，即2AE=12，即AE=．选修4-4：坐标系与参数方程23．在平面直角坐标系xOy中，已知三圆C1：x2+y2=4，C2：（x+）2+（y﹣1）2=4，C3：（θ为参数）有一公共点P（0，2）．（Ⅰ）分别求C1与C2，C1与C3异于点P的公共点M、N的直角坐标；（Ⅱ）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求经过三点O、M、N的圆C 的极坐标方程．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）求出圆C3的普通方程，解方程组得出交点坐标；（2）求出过三点的圆的普通方程，转化为极坐标方程．【解答】解：（I）圆C3的直角坐标方程为（x﹣）2+（y﹣1）2=4．联立方程组，解得或．联立方程组，解得或．∴M（﹣，﹣1），N（，﹣1）．（II）M，N的中垂线方程为x=0，故过点M，N，O三点的圆圆心在y轴上，设圆的半径为r，则（r﹣1）2+=r2，解得r=2．∴圆心坐标为（0，﹣2）．∴经过三点O、M、N的圆C的直角坐标方程为x2+（y+2）2=4．即x2+y2+4y=0．∴经过三点O、M、N的圆C的极坐标方程为ρ2+4ρsinθ=0，即ρ=﹣4sinθ．选修4-5：不等式选讲24．已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣3|（a∈R）．（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）≥x+8的解集；（Ⅱ）若函数f（x）的最小值为5，求a的值．【考点】绝对值不等式的解法；函数的最值及其几何意义；分段函数的应用．【分析】（Ⅰ）当a=1时，不等式即|x+1|+|x﹣3|≥x+8，分类讨论去掉绝对值，分别求得它的解集，再取并集，即得所求．（Ⅱ）由条件利用绝对值三角不等式求得f（x）的最小值，再根据f（x）的最小值为5，求得a的值．【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）≥x+8，即|x+1|+|x﹣3|≥x+8，若x＜﹣1，则有﹣x﹣1+3﹣x≥x+8，求得x≤﹣2．若﹣1≤x≤3，则有x+1+3﹣x≥x+8，求得x≤﹣4，不满足要求．若x＞3，则有x+1+x﹣3≥x+8，求得x≥10．综上可得，x的范围是{x|x≤﹣2或x≥10}．（Ⅱ）∵f（x）=|x+a|+|x﹣3|=|x+a|+|3﹣x|≥|x+a+3﹣x|=|a+3|，∴函数f（x）的最小值为|a+3|=5，∴a+3=5，或a+3=﹣5，解得a=2，或a=﹣8．2020年7月30日第21页（共21页）。

2019-2020数学高考一模试题(及答案)

2019-2020数学高考一模试题(及答案)

2019-2020数学高考一模试题(及答案)一、选择题1．2532()x x-展开式中的常数项为（ ）A ．80B ．-80C ．40D ．-402．若以连续掷两颗骰子分别得到的点数m ，n 作为点P 的横、纵坐标，则点P 落在圆229x y +=内的概率为（ ）A ．536B ．29C ．16D ．193．若满足sin cos cos A B Ca b c==，则ABC ∆为（ ） A ．等边三角形 B ．有一个内角为30°的直角三角形 C ．等腰直角三角形D ．有一个内角为30°的等腰三角形4．设向量a r ，b r满足2a =r ，||||3b a b =+=r r r ，则2a b +=r r （ ）A ．6B ．32C ．10D ．425．如图，12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，过2F 的直线与双曲线C 交于,A B 两点．若11::3:4:5AB BF AF =，则双曲线的渐近线方程为（ ）A ．23y x =±B ．2y x =±C ．3y x =D ．2y x =±6．已知命题p ：若x >y ，则－x <－y ；命题q ：若x >y ，则x 2>y 2.在命题①p ∧q ；②p ∨q ；③p ∧(⌝q )；④(⌝p )∨q 中，真命题是( ) A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④7．2n n +<n+1(n∈N *),某同学应用数学归纳法的证明过程如下: (1)当n=1时211+不等式成立.(2)假设当n=k(k∈N *)时,不等式成立,2k k +<k+1. 那么当n=k+1时()()()2222(k 1)k 1k 3k 2k3k 2k 2(k 2)+++=++<+++++所以当n=k+1时,不等式也成立.根据(1)和(2),可知对于任何n∈N *,不等式均成立. 则上述证法（ ） A ．过程全部正确 B ．n=1验得不正确C ．归纳假设不正确D ．从n=k 到n=k+1的证明过程不正确8．函数()f x 的图象如图所示，()f x '为函数()f x 的导函数，下列数值排序正确是（ ）A ．()()()()02332f f f f ''<<<-B ．()()()()03322f f f f ''<<-<C ．()()()()03232f f f f ''<<<-D ．()()()()03223f f f f ''<-<<9．在如图的平面图形中，已知1,2,120OM ON MON ==∠=o,2,2,BM MA CN NA ==u u u u v u u u v u u u v u u u v则·BC OM u u u vu u u u v的值为A ．15-B ．9-C ．6-D ．0 10．由a 2，2﹣a ，4组成一个集合A ，A 中含有3个元素，则实数a 的取值可以是（ ） A ．1B ．﹣2C ．6D ．211．已知全集{}1,0,1,2,3U =-，集合{}0,1,2A =，{}1,0,1B =-，则U A B =I ð（ ） A ．{}1- B ．{}0,1 C ．{}1,2,3-D ．{}1,0,1,3-12．把红、黄、蓝、白4张纸牌随机分给甲、乙、丙、丁4个人，每人分得一张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是 A ．对立事件B ．互斥但不对立事件C ．不可能事件D ．以上都不对二、填空题13．某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200,400,300,100件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取________ 件. 14．在区间[1,1]-上随机取一个数x ，cos2xπ的值介于1[0,]2的概率为 ．15．已知实数,x y 满足不等式组201030y x y x y -≤⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩，则yx 的取值范围为__________．16．ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2b =，3c =，2C B =，则ABC V 的面积为______．17．在体积为9的斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，S 是C 1C 上的一点，S —ABC 的体积为2，则三棱锥S —A 1B 1C 1的体积为___．18．高三某班一学习小组的,,,A B C D 四位同学周五下午参加学校的课外活动，在课外活动中，有一人在打篮球，有一人在画画，有一人在跳舞，另外一人在散步，①A 不在散步，也不在打篮球；②B 不在跳舞，也不在散步；③“C 在散步”是“A 在跳舞”的充分条件；④D 不在打篮球，也不在散步；⑤C 不在跳舞，也不在打篮球.以上命题都是真命题，那么D 在_________.19．如图，已知P 是半径为2，圆心角为3π的一段圆弧AB 上一点，2A B B C =u u u v u u u v ，则PC PA ⋅u u u v u u u v的最小值为_______．20．已知向量a r与b r的夹角为60°，|a r|=2，|b r|=1，则|a r+2 b r|= ______ .三、解答题21．如图，直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，D,E 分别是AB ，BB 1的中点.（Ⅰ）证明： BC 1//平面A 1CD;（Ⅱ）设AA 1= AC=CB=2，AB=22，求三棱锥C 一A 1DE 的体积.22．已知复数12i z m =-，复数21i z n =-，其中i 是虚数单位，m ，n 为实数. （1）若1m =，1n =-，求12z z +的值； （2）若212z z =，求m ，n 的值.23．为评估设备生产某种零件的性能，从设备生产该零件的流水线上随机抽取100个零件为样本，测量其直径后，整理得到下表：经计算，样本的平均值，标准差，以频率值作为概率的估计值.（I ）为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为，并根据以下不等式进行判定（表示相应事件的概率）： ①； ②； ③.判定规则为：若同时满足上述三个式子，则设备等级为甲；若仅满足其中两个，则等级为乙，若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部都不满足，则等级为了.试判断设备的性能等级.（Ⅱ）将直径尺寸在之外的零件认定为是“次品”.①从设备的生产流水线上随机抽取2个零件，求其中次品个数的数学期望；②从样本中随意抽取2个零件，求其中次品个数的数学期望.24．随着“互联网+交通”模式的迅猛发展，“共享自行车”在很多城市相继出现。

2020年广东省深圳市高考数学一模试卷(理科)(含答案解析)

2020年广东省深圳市高考数学一模试卷(理科)(含答案解析)

2020年广东省深圳市高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.集合，集合，则A. B. C. D.2.下列函数中为奇函数的是A. B. C. D.3.已知复数，则z的共轨复数A. B. C. D.4.已知是圆周率，e为自然对数的底数，则下列结论正确的是A. B.C. D.5.将直线l：绕点按逆时针方向旋转得到直线，则直线的方程为A. B.C. D.6.已知数列为等比数列，若，，则A. B. 8 C. D. 167.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为A.B.C.D.8.已知过原点O的直线l与曲线C：相切，则l的斜率为A. B. C. D. e9.珠算被誉为中国的第五大发明，最早见于汉朝徐岳撰写的数术记遗年联合国教科文组织正式将中国珠算项目列入教科文组织人类非物质文化遗产．如图，我国传统算盘每一档为两粒上珠，五粒下珠，也称为“七珠算盘”未记数或表示零时，每档的各珠位置均与图中最左档一样；记数时，要拨珠靠梁，一个上珠表示“5”，一个下珠表示“1”，例如：当千位档一个上珠、百位档一个上珠、十位档一个下珠、个位档一个上珠分别靠梁时，所表示的数是现选定“个位档”、“十位档”、“百位档”和“千位档”，若规定每档拨动一珠靠梁其它各珠不动，则在其可能表示的所有四位数中随机取一个数，这个数能被3整除的概率为A. B. C. D.10.已知过抛物线焦点F的直线与抛物线交于P，Q两点，M为线段PF的中点，连接OM，则的最小面积为A. 1B.C. 2D. 411.已知定义在R上的函数在上有且仅有3个零点，其图象关于点和直线对称，给出下列结论：；函数在上有且仅有3个极值点；函数在上单调递增；函数的最小正周期是2．其中所有正确结论的编号是A. B. C. D.12.将边长为5的菱形ABCD沿对角线AC折起，顶点B移动至B处，在以点，A，C，为顶点的四面体中，棱AC、的中点分别为E、F，若，且四面体的外接球球心落在四面体内部，则线段EF长度的取值范围为A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.记为等差数列的前n项和，若，则数列的公差为______．14.某地为了解居民的每日总用电量万度与气温之间的关系，收集了四天的每日总用电量和气温的数据如表：气温19139每日总用电量万度24343864经分析，可用线性回归方程拟合y与X的关系．据此预测气温为时，该地当日总用电量万度为______．15.已知等边三角形ABC的边长为3，点D，E分别在边AB，BC上，且，，则的值为______．16.已知点、分别为双曲线C：的左、右焦点，点为C的渐近线与圆的一个交点，O为坐标原点，若直线与C的右支交于点N，且，则双曲线C的离心率为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.函数．求函数的最小正周期；已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且，求的面积．18.已知三棱柱的所有棱长都相等，平面平面ABC，C.求证：平面；求二面角的余弦值．19.已知椭圆C：的短轴长为2，离心率为，左顶点为A，过点A的直线l与C交于另一个点M，且与直线交于点N．求椭圆C的方程；是否存在实数t，使得为定值？若存在，求实数t的值；若不存在，请说明理由．20.某市为提升中学生的数学素养，激发学生学习数学的兴趣，举办了一次“数学文化知识大赛”，分预赛和复赛两个环节．已知共有8000名学生参加了预赛，现从参加预赛的全体学生中随机地抽取100人的预赛成绩作为样本，得到如下频率分布直方图．规定预赛成绩不低于80分为优良，若从上述样本中预赛成绩不低于60分的学生中随机地抽取2人，求恰有1人预赛成绩优良的概率；由频率分布直方图可认为该市全体参加预赛学生的预赛成绩Z服从正态分布，其中可近似为样本中的100名学生预赛成绩的平均值同一组数据用该组区间的中点值代替，且利用该正态分布，估计全市参加预赛的全体学生中预赛成绩不低于91分的人数；预赛成绩不低于91分的学生将参加复赛，复赛规则如下：每人的复赛初始分均为100分；参赛学生可在开始答题前自行决定答题数量n，每一题都需要“花”掉即减去一定分数来获取答题资格，规定答第k题时“花”掉的分数为；每答对一题加分，答错既不加分也不减分；答完n题后参赛学生的最终分数即为复赛成绩．已知学生甲答对每道题的概率均为，且每题答对与否都相互独立．若学生甲期望获得最佳的复赛成绩，则他的答题数量n应为多少？参考数据：；若，则，，．21.已知函数．当时，求的导函数在上的零点个数；若关于x的不等式在上恒成立，求实数a的取值范围．22.如图，有一种赛车跑道类似“梨形”曲线，由圆弧和线段AB，CD四部分组成，在极坐标系Ox中，，，，，弧所在圆的圆心分别是，，曲线是弧，曲线是弧．分别写出，的极坐标方程：点E，F位于曲线上，且，求面积的取值范围．23.已知．若，求实数t的取值范围；求证：．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：集合，集合，故选：C．求出集合A，集合B，由此能求出．本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.答案：D解析：解：根据题意，依次分析选项：对于A，，其定义域为R，有，且，即函数既不是奇函数也不是偶函数，不符合题意；对于B，，其定义域为R，有，为偶函数，不符合题意；对于C，，其定义域为R，有，为偶函数，不符合题意；对于D，，有，解可得，即其定义域为，有，为奇函数，符合题意；故选：D．根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性，综合即可得答案．本题考查函数奇偶性的判断，关键是函数奇偶性的定义，属于基础题．3.答案：C解析：解：，复数，的共轨复数．故选：C．直接利用复数运算化简，然后利用共轭复数的概念得答案．本题考查了复数的高次乘方运算，考查了共轭复数的概念，是基础题．4.答案：A解析：解：函数对数和在上单调递增，且，，又，，故选：A．利用对数函数的性质求解．本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数的性质的合理运用．5.答案：D解析：解：直线l：绕点按逆时针方向旋转得到直线，设直线的斜率为k，则根据到角公式的应用，，解得，所以直线的方程为，整理得．故选：D．直接利用到角公式的应用和点斜式的应用求出结果．本题考查的知识要点：到角公式的应用，直线方程的确定，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．6.答案：A解析：解：数列为等比数列，若，所以：，由于，所以，整理得．故选：A．直接利用关系式的变换和等比性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：等比数列的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．7.答案：D解析：解：根据几何体的三视图可得直观图为：该几何体为上面为一个半径为2的半球，下面为底面半径为2，高为3的半圆柱体．如图所示：故．故选：D．首先把三视图转换为直观图，进一步求出直观图的体积．本题考查的知识要点：三视图和直观图形之间的转换，几何体的体积和表面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．8.答案：B解析：解：由题意设切点为，，．，由切线过原点得，所以，所以．故选：B．设切点为，然后利用导数求出切线方程，将代入即可求出切点坐标，问题可解．本题考查导数的几何意义与切线的求法，属于基础题．9.答案：C解析：解：选定“个位档”、“十位档”、“百位档”和“千位档”，规定每档拨动一珠靠梁其它各珠不动，则在其可能表示的所有四位数中随机取一个数，基本事件总数，这个数能被3整除包含的基本事件有：5511，5115，5151，1155，1515，1551，共6个，这个数能被3整除的概率为．故选：C．基本事件总数，利用列举法求出这个数能被3整除包含的基本事件有6个，由此能求出这个数能被3整除的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．10.答案：B解析：解：设，，设P在x轴上方，由题意可得直线PQ的斜率不为0，设直线PQ的方程为，联立直线与抛物线的方程，整理可得，，，因为M为PF的中点，所以，所以，所以，故选：B．由题意可得直线PQ的斜率不为0，设直线PQ的方程，与抛物线联立球心两根之和及两根之积，可得PF的中点M的纵坐标，由，整理可得由，而为定值可得的面积的最小值本题考查直线与抛物线的综合及均值不等式的应用，属于中档题．11.答案：A解析：解：曲线关于点对称，所以：；又因为其图象关于直线对称，所以：，；由可得：即，；因为数在上有且仅有3个零点，所以，即，；由可得；，，又，；；所以易知；错误；令，则，；令，则可取，1，2；，，；正确；令；；当时，为的一个递增区间，而，在上单调递增，正确；；；错误．综上所述，其中正确的结论为；故选：A．先根据条件求得函数的解析式，再结合三角函数的性质判断选项即可．本题主要考查命题的真假判断以及三角函数的图象和性质，属于中档题目，也是易错题目．12.答案：B解析：解：如图，由已知可得，，且，平面，是AC的中点，到点A、C的距离相等的点位于平面ACF内，同理可知，到点、D的距离相等的点位于平面ACF内，球心O到点A，，C，D的距离相等，球心O位于平面与平面ACF的交线上，即直线EF上．球心O落在线段EF上不含端点E、，显然，由题意，，则，且．，，则，显然，，即．又，．故选：B．由题意画出图形，可证平面，得到球心O位于平面与平面ACF的交线上，即直线EF上，由勾股定理结合，，可得线段EF长度的取值范围．本题考查空间中点、线、面间的距离计算，考查空间想象能力与思维能力，属中档题．13.答案：解析：解：设等差数列的公差为d．，，则数列的公差．故答案为：．利用等差数列的通项公式及求和公式即可得出．本题考查了等差数列的通项公式及求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14.答案：32解析：解：由题意可知：，，所以，解得．线性回归方程，预测气温为时，可得．故答案为：32．求出样本中心，代入回归直线方程，求出a，然后求解该地当日总用电量．本题考查回归直线方程的求法，是基本知识的考查，基础题．15.答案：3解析：解：以B为原点，BC和垂直BC的线分别为x、y轴建立平面直角坐标系，如图所示，则，，，．故答案为：3．以B为原点，BC和垂直BC的线分别为x、y轴建立平面直角坐标系，再分别写出C、D、E三点坐标，结合平面向量数量积的坐标运算即可得解．本题考查平面向量在几何中的应用，在规则平面多边形中建立坐标系求解可事半功倍，考查学生的运算能力，属于基础题．16.答案：解析：解：如图，由题意可得，直线与圆O相切于点M，且，由双曲线的定义可知，，，且，，即，，又，联立解得，即．故答案为：．由题意画出图形，可得直线与圆O相切于点M，且，再由双曲线的定义及隐含条件列式求解双曲线的离心率．本题考查双曲线的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．17.答案：解：，函数的最小正周期；，，，，即，由正弦定理以及可得，由余弦定理可得，可得，，．解析：根据三角函数恒等变换的应用和正弦函数的性质即可求出；先求出A的值，再根据正弦定理余弦定理即可求出b的值，根据三角形的面积公式可得．本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦函数的性质，正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．18.答案：解：证明：设直线与直线交于点G，连结，四边形是菱形，，，G为的中点，，，平面．解：取BC中点O为坐标原点，如图，分别以OA，OC，所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设棱柱的棱长为2，则1，，0，，0，，，0，，1，，2，，设平面的一个法向量y，，则，取，得，设平面的一个法向量为b，，则，取，得0，，设二面角的平面角为，则．二面角的余弦值为．解析：设直线与直线交于点G，连结，推导出，，由此能证明平面．取BC中点O为坐标原点，分别以OA，OC，所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的余弦值．本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力，是中档题．19.答案：解：由题意可得，即，，，解得，，则椭圆C的方程为；假设存在实数，使得为定值．由题意可得直线l的斜率存在，由，可设直线l的方程为，，联立，可得，由韦达定理可得，即，，即，将代入，可得，则，若为定值，则，解得，此时为定值，所以存在实数，使得为定值．解析：由题意可得，运用椭圆的离心率的公式和a，b，c的关系，解方程可得a，c，进而得到椭圆方程；假设存在实数，使得为定值．可设直线l的方程为，，联立椭圆的方程，运用韦达定理，求得M的坐标，将代入，求得N的坐标，再由向量的数量积的坐标表示，结合定值，可得所求值．本题以直线和椭圆为载体，其几何关系向量表达为背景，利用方程思想解决几何问题，主要考查椭圆的基本量，直线和椭圆的位置关系，向量的数量积的运算，考查逻辑推理、数学运算等数学核心素养及思维能力，属于中档题．20.答案：解：由题意得样本中成绩不低于60分的学生共有：人，其中成绩优良的人数为人，记“从样本中预赛成绩不低于60分的学生中随机地抽取2人，恰有1人预赛成绩优良”为事件C，则恰有1人预赛成绩优良的概率：．由题意知样本中的100名学生预赛成绩的平均值为：，则，又由，，，估计全市参加参赛的全体学生中成绩不低于91分的人数为：，即全市参赛学生中预赛成绩不低于91分的人数为182．以随机变量表示甲答对的题数，则，且，记甲答完n题所加的分数为随机变量X，则，，依题意为了获取答n题的资格，甲需要“花”掉的分数为：，设甲答完n题的分数为，则，由于，当时，取最大值105，即复赛成绩的最大值为105．若学生甲期望获得最佳复赛成绩，则他的答题量n应该是10．解析：求出样本中成绩不低于60分的学生共有40人，其中成绩优良的人数为15人，由此能求出恰有1人预赛成绩优良的概率．样本中的100名学生预赛成绩的平均值为：，则，由，得，从而，由此能求出估计全市参加参赛的全体学生中成绩不低于91分的人数．以随机变量表示甲答对的题数，则，且，记甲答完n题所加的分数为随机变量X，则，，为了获取答n题的资格，甲需要“花”掉的分数为：，设甲答完n题的分数为，则，由此能求出学生甲期望获得最佳复赛成绩的答题量n的值．本题考查概率、频数、数学期望的求法及应用，考查频率分布直方图、二项分布等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．21.答案：解：易知，显然，所以是的一个零点，令，则时，，所以在单调递减，在单调递增，则的最小值为，又，且，所以在上存在唯一零点，则在上亦存在唯一零点，因为是奇函数，所以在上也存在唯一零点，综上所述，当时，的导函数在上的零点个数为3；不等式恒成立，即不等式恒成立，令，则等价于不等式恒成立，若，即时，不等式显然成立，此时，若时，不等式等价于设，当时，，令则，已知，，且，则在，上单调递减，在上单调地增，又，，所以在上恒成立，所以在上单调递减，则，显然函数为偶函数，故函数在上的最大值为1，因此，综上所述，满足题意的实数a的取值范围为．解析：易知，显然，对导函数求导得到，在单调递减，在单调地增，则可得在上存在唯一零点，所以在上亦存在唯一零点，因为是奇函数，所以在上也存在唯一零点，故共3个零点；条件等价于不等式恒成立，令，则等价于不等式恒成立，则若，即时，不等式显然成立，此时，若时，不等式等价于，构造函数，利用导数求得单调性进而可判断a的范围．本题考查函数导数的综合应用，考查利用导数判断函数零点个数，导数求函数单调性，属于难题．22.答案：解：由题意可知：的极坐标方程为．记圆弧AD所在圆的圆心易得极点O在圆弧AD上．设为上任意一点，则在中，可得所以：，的极坐标方程为和设点，点，，所以，．所以．由于，所以．故．解析：直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．利用三角形的面积公式和极径的应用及三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的应用求出结果．曲线是弧，本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，极径的应用，三角形面积公式的应用，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．23.答案：解：，取等号的条件为，解得，即实数t的取值范围为；证明：易知，，，，．解析：利用绝对值不等式的性质可得，解出即可；利用绝对值不等式及基本不等式即可得证．本题以绝对值不等式，均值不等式和二次不等式为载体，考查不等式的求解及证明，分类讨论思想，及数学抽象，逻辑推理等数学核心素养，难度不大．。

2020年广东省深圳市高考数学一模试卷1（含答案解析）

2020年广东省深圳市高考数学一模试卷1（含答案解析）

2020年⼴东省深圳市⾼考数学⼀模试卷1（含答案解析）2020年⼴东省深圳市⾼考数学⼀模试卷1⼀、选择题（本⼤题共12⼩题，共60.0分）1.已知集合A={x∈N|x<4}，B={x|x≥?1}，则A∩B=()A. {x|0≤x<4}B. {1,2，3}C. {0,1，2，3，4}D. {0,1，2，3}2.已知复数z=3+2i，则|2?3iz|=()A. 1B. √13C. √1313D. 133.已知⾓α的顶点与原点O重合，始边与x轴的⾮负半轴重合，它的终边过点P(?35,45 )，则sin(α+π)=()A. ?35B. 35C. ?45D. 454.设x，y满⾜约束条件{x+y?2≤0x?2y+1≤02x?y+2≥0，则z=3x+y的最⼤值为()A. ?3B. 4C. 2D. 55.函数f(x)是R上的偶函数且在(?∞,0)上是增函数，⼜f(3)=1，则不等式f(x?1)<1的解集为()A. {x|x<2}B. {x|?2C. {x|x4}D. {x|x>3}6.如图所⽰，⽹络纸上⼩正⽅形的边长为1，粗线画出的是某四棱锥的三视图，则该⼏何体的体积为()A. 2B. 83C. 6D. 87.已知圆锥的母线长为5，⾼为4，则圆锥的表⾯积为()A. 30πB. 18πC. 24πD. 27π8.如图，三棱锥A?BCD中，AB⊥底⾯BCD，BC⊥CD，且AB=BC=1，CD=2，点E为CD的中点，则AE的长为()A. √2B. √3C. 2D. √59.关于函数f(x)=2sin(2x+π6)，下列说法正确的是()A. 若x1,x2是函数f(x)的零点，则x1?x2是π的整数倍B. 函数f(x)的图象关于直线x=?π12对称C. 函数f(x)的图象与函数y=2cos(2x?π3)的图象相同D. 函数f(x)的图象可由函数y=2sin2x的图象向左平移π6个单位长度得到10.在长⽅体ABCD?A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=√2，则异⾯直线AD1与DB1所成⾓的余弦值为()A. √36B. √1515C. ?√1515D. ?√3611.已知F1，F2是椭圆与x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点，过左焦点F1的直线与椭圆交于A，B两点，且满⾜|AF1|=2|BF1|，|AB|=|BF2|，则该椭圆的离⼼率是()A. 12B. √33C. √32D. √5312.函数f(x)=2ln x?x的最⼤值为()A. ?1B. 2ln2?2C. 1D. 4ln2?4⼆、填空题（本⼤题共4⼩题，共20.0分）13.曲线y=xe x?1在点(1,1)处切线的斜率等于__________．14.已知向量a?，b? 满⾜|a?+b? |=|a??b? |，则a??b? =_______．15.已知F1，F2是双曲线C：x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左右焦点，A，B是双曲线的左右顶点，M是以F1，F2为直径的圆与双曲线的渐近线的⼀个交点，若∠AMB=45°，则该双曲线的离⼼率是______．16.在△ABC中，D为边BC上⼀点，BD=12DC，∠ADB=120°，AD=2，若△ADC的⾯积为3?√3，则∠BAC=_______．三、解答题（本⼤题共7⼩题，共82.0分）17.等差数列{a n}中，a3=1,a11=9,(1)求该等差数列的通项公式a n(2)求该等差数列的前n项和S n18.某产品的三个质量指标分别为x，y，z，⽤综合指标S=x+y+z评价该产品的等级.若S≤4，则该产品为⼀等品.先从⼀批该产品中，随机抽取10件产品作为样本，其质量指标列表如下：(1)利⽤上表提供的样本数据估计该批产品的⼀等品率．(2)在该样本的⼀等品中，随机抽取2件产品，①⽤产品编号列出所有可能的结果;②设事件B为“在取出的2件产品中，每件产品的综合指标S都等于4”，求事件B发⽣的概率．19.如图，四棱锥P?ABCD的底⾯ABCD是平⾏四边形，PA⊥底⾯ABCD，∠PCD=90°，PA=AB=AC=2(I)求证：AC⊥CD；(Ⅱ)点E在棱PC的中点，求点B到平⾯EAD的距离．20.已知抛物线C：y2=2px(p>0)，直线y=x?1与C交于A，B两点，且|AB|=8．(1)求p的值；(2)如图，过原点O的直线l与抛物线C交于点M，与直线x=?1交于点H，过点H作y轴的垂线交抛物线C于点N，证明：直线MN过定点．21. 已知函数f(x)=e x ?1?x ?ax 2，当x ≥0时，f(x)≥0恒成⽴，求实数a 的取值范围．22. 在直⾓坐标系xOy 中，直线l 的参数⽅程为{x =2?3ty =√3t,(t 为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建⽴极坐标系，曲线C 1的极坐标⽅程为ρ=4cosθ．(1)求l 的极坐标⽅程和C 1的直⾓坐标⽅程；(2)若曲线C 2的极坐标⽅程为θ=π6，C 2与l 的交点为A ，与C 1异于极点的交点为B ，求|AB|．23. 设f(x)=|2x ?1|+|x +1|．(1)解不等式f(x)≤3；(2)若不等式m|x|≤f(x)恒成⽴，求m 的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：【分析】可解出集合A ，然后进⾏交集的运算即可．考查描述法、列举法的定义，以及交集的运算．【解答】解：A ={0,1，2，3}；∴A ∩B ={0,1，2，3}．故选D ．2.答案：A解析：【分析】把复数z =3+2i 代⼊|2?3i z|，再由商的模等于模的商求解．本题考查复数模的求法，是基础的计算题．【解答】解：∵z =3+2i ，∴|2?3i z|=|2?3i 3+2i |=|2?3i||3+2i|=1．故选：A ．3.答案：C解析：【分析】本题考查三⾓函数的定义，求出⾓的终边上的点到原点的距离，利⽤任意⾓的三⾓函数公式求出α的三⾓函数值．【解答】解：∵α的顶点在原点，始边与x 轴的⾮负半轴重合，⼜终边过点(?35,45)，∴|OP|=√(?35)2+(45)2=1，，，故选C ．4.答案：B解析：【分析】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想⽅法，是基础题．由约束条件作出可⾏域，化⽬标函数为直线⽅程的斜截式，数形结合得到最优解，代⼊最优解的坐标得答案．【解答】解：由约束条件{x +y ?2≤0x ?2y +1≤02x ?y +2≥0作出可⾏域如图，由{x +y ?2=0x ?2y +1=0，解得{x =1y =1，即B(1,1)，化⽬标函数z =3x +y 为y =?3x +z ，由图可知，当直线y =?3x +z 过B(1,1)时，直线在y 轴上的截距最⼤，此时z 有最⼤值为3×1+1=4．故选：B ．5.答案：C解析：解：函数f(x)是R 上的偶函数且在(?∞,0)上是增函数，可得f(x)=f(|x|)，且f(x)在(0,+∞)上是减函数，不等式f(x ?1)<1=f(3)，即为f(|x ?1|)3，即为x ?1>3或x ?1解得x>4或x即解集为{x|x>4或x故选：C．由题意可得f(x)=f(|x|)，且f(x)在(0,+∞)上是减函数，不等式f(x?1)<1=f(3)，可得|x?1|> 3，解不等式即可得到所求解集．本题考查函数的奇偶性和单调性的判断和运⽤：解不等式，运⽤偶函数的性质：f(x)=f(|x|)，以及转化思想是解题的关键，属于中档题．6.答案：A解析：【分析】本题主要考查空间⼏何体的三视图及四棱锥体积的计算，难度⼀般，属于中档题．将三视图还原成⼏何体，再根据三棱锥体积公式计算即可．【解答】解：由三视图可知：该四棱锥的底⾯为上底和下底分别为1和2且⾼为2的直⾓梯形，有⼀条棱和底⾯垂直，⼏何体的⾼为2，故体积为V=13×(1+2)×22×2=2，故选：A．7.答案：C解析：【分析】本题考查的知识点是圆锥的表⾯积，熟练掌握圆锥的⼏何特征是解答的关键．由题意得到圆锥的底⾯半径为3，代⼊圆锥的表⾯积公式求解．解：由题意知圆锥的底⾯半径为3，则圆锥的表⾯积为π×3×5+π×32=24π．8.答案：B解析：|AE|2=|AC|2+|CE|2=|AB|2+|BC|2+|CE|2=1+1+1=3，故|AE|=√3．9.答案：C解析：本题考查三⾓函数的图像与性质，属中档题．【解答】解：由题意知函数y =f (x )的图象与x 轴的相邻两交点间的距离为π2，故A 错误；函数y =f (x )的图象关于点(?π12,0)对称，故B 错误；函数f (x )=2sin (2x +π6)=2sin [(2x ?π3)+π2]=2cos (2x ?π3)，故C 正确；函数f (x )的图象可由函数y =2sin2x 的图象向左平移π12个单位长度得到，故D 错误，故选C ．10.答案：B解析：【分析】本题考查异⾯直线所成⾓的余弦值的求法，考查空间中线线位置关系等基础知识，考查运算求解能⼒，属于基础题．以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建⽴空间直⾓坐标系，利⽤向量法能求出异⾯直线AD 1与DB 1所成⾓的余弦值．【解答】解：在长⽅体ABCD ?A 1B 1C 1D 1中，AB =BC =2，AA 1=√2，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建⽴空间直⾓坐标系，则A(2,0，0)，D 1(0,0，√2)，D(0,0，0)，B 1(2,2，√2)， AD 1 =(?2,0，√2)，DB 1 =(2,2，√2)，设异⾯直线AD 1与DB 1所成⾓为θ，则cosθ=|AD1???????? ?DB 1???????? ||AD 1|?|DB 1|=√6?√10=√1515．∴异⾯直线AD 1与DB 1所成⾓的余弦值为√1515．故选：B ．11.答案：B本题考查椭圆的简单性质的应⽤，考查数形结合以及转化思想的应⽤，属于中档题利⽤已知条件，画出图形，通过三⾓形的边长关系，结合余弦定理，求解椭圆的离⼼率即可．【解答】解：作出图形，如下：由题意可得：|F1B|+|BF2|=2a，|AB|=|BF2|，可得|AF1|=a，|AF2|=a，|AB|=|BF2|=32a，|F1F2|=2c，在△ABF2中，由余弦定理得cos∠BAF2=94a2+a2?94a22×32a×a=13，在△AF1F2中，由余弦定理得cos∠BAF2=a2+a2?4c22×a×a =1?2(ca)2，所以13=1?2(ca)2，所以e=ca=√33．故选：B．12.答案：B解析：【分析】本题考查利⽤导数研究函数的单调性，利⽤导数求函数的最值，依题意，f′,(x)=2x ?1=2?xx，(x>0)，所以x∈(0,2)时，f′(x)>0，函数f(x)递增，x∈(2,+∞)时，f′(x)<0，函数f(x)递减，即可求得结果．【解答】解：f′,(x)=2x ?1=2?xx，(x>0)，所以x∈(0,2)时，f′(x)>0，函数f(x)递增，x∈(2,+∞)时，f′(x)<0，函数f(x)递减，所以函数f(x)=2ln x?x的最⼤值为f(2)=2ln2?2，故选B．13.答案：2解析：由y =xe x?1可得：y′=&e x?1+xe x?1，所以y′|x=1=e 0+e0=2，所以曲线y =xe x?1在点(1,1)处切线的斜率k =2．14.答案：0解析：【分析】本题考查了向量的模、向量的数量积．只需对模两边平⽅即可．【解答】解：由|a ? +b ? |=|a ? ?b ? |，得a ? 2+b ? 2+2a ? ?b ? =a ? 2+b ? 22a b ，∴a ? ?b ? =0．故答案为0．15.答案：√5解析：解：双曲线C ：x 2a 2y 2b 2=1(a >0,b >0)的⼀条渐近线⽅程为：bx ?ay =0，以F 1，F 2为直径的圆：x 2+y 2=c 2，可得{bx ?ay =0x 2+y 2=c 2，不妨设M(a,b)，可知MB ⊥x 轴．∠AMB =45°，所以∠MAB =45°，∴k MA =b?0a?(?a)=1，可得b =2a ，可得c 2?a 2=4a 2，解得e =√5．故答案为：√5．利⽤双曲线的渐近线与圆联⽴⽅程，求出M 的坐标，通过∠AMB =45°，得到直线的斜率关系，转化求解双曲线的离⼼率即可．本题考查双曲线的简单性质的应⽤，考查计算能⼒转化思想的应⽤．16.答案：60°解析：【分析】本题主要考查解三⾓形中的边⾓关系及其⾯积等基础知识与技能，分析问题解决问题的能⼒以及相应的运算能⼒．先根据三⾓形的⾯积公式利⽤△ADC 的⾯积求得DC ，进⽽根据三⾓形ABC 的⾯积求得BD 和BC ，进⽽根据余弦定理求得AB.最后在三⾓形ABC 中利⽤余弦定理求得cos∠BAC ，求得∠BAC 的值．【解答】解：由△ADC 的⾯积为3?√3可得S △ADC =12?AD ?DC ?sin60°=√32DC =3?√3 S △ABC=32(3?√3)=12AB ?AC ?sin∠BAC 解得DC =2√3?2，则BD =√3?1,BC =3√3?3．AB 2=AD 2+BD 2?2AD ?BD ?cos120°=4+(√3?1)2+2(√3?1)=6， AB =√6，AC 2=AD 2+CD 2?2AD ?CD ?cos60°=4+4(√3?1)2?4(√3?1)=24?12√3AC=√6(√3?1)则cos∠BAC =BA 2+AC 2?BC 22AB?AC=√3?9(4?2√3)26?6(3?1)=√3?612(3?1)=12．故∠BAC =60°．故答案为60°．17.答案：解：(1)∵a 11=a 3+8d ，∴d =1∴a n =a 3+(n ?3)d =n ?2， (2)∵a n =n ?2，∴a 1=?1，∴S n =(a 1+a n )n2=n (n?3)2．解析：本题考查等差数列： (1)考查等差数列的通项公式； (2)考查等差数列的前n 项和．18.答案：解：(1)计算10件产品的综合指标S ，如下表：其中S ≤4的有A 1，A 2，A 4，A 5，A 7，A 9，共6件，故该样本的⼀等品率为610，从⽽可估计该批产品的⼀等品率为0.6．(2)?①在该样本的⼀等品中，随机抽取2件产品的所有可能结果为： {A 1,A 2}，{A 1,A 4}，{A 1,A 5}，{A 1,A 7}，{A 1,A 9}，{A 2,A 4}{,A 2,A 5}，{A 2,A 7}，{A 2,A 9}， {A 4,A 5}，{A 4,A 7}，{A 4,A 9}，{A 5,A 7}，{A 5,A 9}，{A 7,A 9}，共15种．②在该样本的⼀等品中，综合指标S等于4的产品编号分别为：A1，A2，A5，A7，则事件B发⽣的可能结果为：{A1,A2}，{A1,A5}，{A1,A7}，{A2,A5}，{A2,A7}，{A5,A7}，共6种．所以P(B)=615=25．解析：本题考查了随机事件，考查了古典概型及其概率计算公式，是基础题．(1)⽤综合指标S=x+y+z计算出10件产品的综合指标并列表表⽰，则样本的⼀等品率可求；(2)①直接⽤列举法列出在该样品的⼀等品中，随机抽取2件产品的所有等可能结果；②列出在取出的2件产品中，每件产品的综合指标S都等于4的所有情况，然后利⽤古典概型概率计算公式求解．19.答案：(Ⅰ)证明：因为PA⊥底⾯ABCD，所以PA⊥CD，因为∠PCD=90°，所以PC⊥CD，所以CD⊥平⾯PAC，所以CD⊥AC.…(4分)(Ⅱ)解：因为PA=AB=AC=2，E为PC的中点，所以AE⊥PC，AE=√2．由(Ⅰ)知AE⊥CD，所以AE⊥平⾯PCD．作CF⊥DE，交DE于点F，则CF⊥AE，则CF⊥平⾯EAD．因为BC//AD，所以点B与点C到平⾯EAD的距离相等，CF即为点C到平⾯EAD的距离．…(8分)在Rt△ECD中，CF=CE×CDDE =2√33．所以，点B到平⾯EAD的距离为2√3.…(12分)解析：(I)证明CD⊥平⾯PAC，可得AC⊥CD；(Ⅱ)作CF⊥DE，交DE于点F，则CF⊥AE，则CF⊥平⾯EAD.因为BC//AD，所以点B与点C到平⾯EAD的距离相等，CF即为点C到平⾯EAD的距离，利⽤等⾯积可得结论．本题考查线⾯垂直的性质与判定，考查点B到平⾯EAD的距离，考查学⽣分析解决问题的能⼒，属于中档题．20.答案：(1)解：由{y 2=2pxy=x?1,消x可得y2?2py?2p=0，设A(x1,y1),B(x2,y2)，∴y1+y2=2p，y1y2=?2p，∴弦长|AB|=√12+12√(y1+y2)2?4y1y2 =√2√4p2+8p=8，解得p=2或p=?4(舍去)，∴p=2；(2)证明：由(1)可得y2=4x，设M(14y02,y0)，∴直线OM的⽅程y=4y0x，当x=?1时，y H=?4y，则y H=y N=?4y，代⼊抛物线⽅程y2=4x，可得x N=4y，∴N(4y02,?4y0)，∴直线MN的斜率k=y0+4y04y02=4y0y02?4，直线MN的⽅程为y?y0=4y0y02?4(x?14y02)，整理可得y=4y0y02?4(x?1)，故直线MN过点(1,0)．解析：本题考查抛物线的标准⽅程和直线与抛物线的位置关系，属中档题．(1)根据弦长公式即可求出p的值；(2)由(1)可得y2=4x，设M(14y02,y0)，根据题意求出点N的坐标，即可表⽰出直线MN的⽅程，即可求直线过定点．21.答案：解：f′(x)=e x?1?2ax，令?(x)=e x?1?2ax，则?′(x)=e x?2a．1)当2a≤1时，在[0,+∞)上，?′(x)≥0，?(x)递增，?(x)≥?(0)，即f′(x)≥f′(0)=0，∴f(x)在[0,+∞)为增函数，∴f(x)≥f(0)=0，∴a ≤12时满⾜条件； 2)当2a >1时，令?′(x)=0，解得x =ln2a ，当x ∈[0,ln2a)上，?′(x)<0，?(x)单调递减，∴x ∈(0,ln2a)时，有?(x)∴f(x)在区间(0,ln2a)为减函数，∴f(x)2]．解析：本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应⽤以及分类讨论思想，转化思想，属难题．求出函数的导数，通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间，进⽽得出实数a 的取值范围．22.答案：解：(1)直线l 的参数⽅程为{x =2?3t,(t 为参数)，转换为直⾓坐标⽅程为：x +√3y ?2=0．设代⼊x +√3y ?2=0，整理得直线l 的极坐标⽅程为，曲线C 1的极坐标⽅程为ρ=4cosθ．转换为直⾓坐标⽅程为：(x ?2)2+y 2=4，(2)曲线C 2的极坐标⽅程为θ=π6，曲线C 2与l 的交点为A ，则：ρA cos π6+√3ρA sin π6?2=0，解得：ρA =2√33，与C 1异于极点的交点为B ，所以：ρB =4cos π6=2√3，则：|AB|=|ρA ?ρB |=4√33．解析：本题考查的知识要点：参数⽅程直⾓坐标⽅程和极坐标⽅程之间的转换，三⾓函数关系式的恒等变换，直线⽅程的求法及应⽤，主要考查学⽣的运算能⼒和转化能⼒．属于基础题型． (1)直接利⽤转换关系，把参数⽅程直⾓坐标⽅程和极坐标⽅程之间进⾏转换，(2)利⽤线的关系建⽴⽅程组，求出极径，进⼀步求出结果．23.答案：解：(1)当x当?1≤x≤12时，f(x)=?(2x?1)+(x+1)=?x+2≤3，解得x≥?1，故?1≤x≤12；当x>12时，f(x)=(2x?1)+(x+1)=3x≤3，解得x≤1，故12综上所述，满⾜f(x)≤3的解集为{x|?1≤x≤1}．(2)当x=0时，可知对于?m∈R，不等式均成⽴；当x≠0时，由已知可得：m≤f(x)|x|=|2x?1|+|x+1||x|=|2?1x|+|1+1x|≤|(2?1x)+(1+1x)|=3，当x≤?1或x≥12时，等号成⽴，综上所述，使得不等式恒成⽴的m的取值范围为m≤3．解析：(1)通过讨论x的范围，求出各个区间上的不等式的解集，取并集即可；(2)问题转化为m≤f(x)|x|，再根据绝对值的性质求出m的范围即可．本题考查了解绝对值不等式问题，考查绝对值的性质，以及分类讨论思想，是⼀道中档题．。

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2019-2020深圳市文德学校数学高考一模试题(及答案)一、选择题1．设函数()()21,04,0x log x x f x x ⎧-<=⎨≥⎩，则()()233f f log -+=（ ） A ．9B ．11C ．13D ．15 2．一个正方体内接于一个球，过球心作一个截面，如图所示，则截面的可能图形是（ ）A ．①③④B ．②④C ．②③④D ．①②③ 3．一个容量为80的样本中数据的最大值是140,最小值是51,组距是10,则应将样本数据分为( )A ．10组B ．9组C ．8组D ．7组4．如图是某高三学生进入高中三年来的数学考试成绩茎叶图，第1次到第14次的考试成绩依次记为1214,,A A A L ，下图是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流程图，那么算法流程图输出的结果是（ ）A ．7B ．8C ．9D ．105．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，甲所得为（ ） A ．54钱 B ．43钱 C ．32钱 D ．53钱 6．已知()3sin 30,601505αα︒+=︒<<︒，则cos α为（ ）A B ．C D7．函数()f x =的图象关于( ) A ．x 轴对称B ．原点对称C ．y 轴对称D ．直线y x =对称 8．函数()sin(2)2f x x π=-的图象与函数()g x 的图象关于直线8x π=对称，则关于函数()y g x =以下说法正确的是（ ） A ．最大值为1，图象关于直线2x π=对称 B ．在0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，为奇函数 C ．在3,88ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，为偶函数 D ．周期为π，图象关于点3,08π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称 9．已知,m n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列命题： ①若m αP ，m n ⊥，则n α⊥；②若m α⊥，n αP ，则m n ⊥；③若,m n 是异面直线，m α⊂，m βP ，n β⊂，n αP ，则αβ∥；④若,m n 不平行，则m 与n 不可能垂直于同一平面.其中为真命题的是（ ）A ．②③④B ．①②③C ．①③④D ．①②④10．在ABC V 中，若 3,120AB BC C ==∠=o ，则AC =（ ）A ．1B ．2C ．3D ．411．设A （3，3，1），B （1，0，5），C （0，1，0），AB 的中点M ，则CM =A ．4B ．532C D12．若双曲线22221x y a b-=，则其渐近线方程为（ ）A ．y=±2xB ．y=C ．12y x =±D ．y x = 二、填空题13．若双曲线22221x y a b -=()0,0a b >>两个顶点三等分焦距，则该双曲线的渐近线方程是___________.14．在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称.若1sin 3α=，则cos()αβ-=___________. 15．函数()23s 34f x in x cosx =+-（0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦）的最大值是__________． 16．371()x x +的展开式中5x 的系数是 .（用数字填写答案）17．等边三角形ABC 与正方形ABDE 有一公共边AB ，二面角C AB D --的余弦值为3，M N ，分别是AC BC ，的中点，则EM AN ，所成角的余弦值等于 ． 18．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos 1cos2cos 1cos2b C C c B B +=+，C 是锐角，且27a =，1cos 3A =，则ABC △的面积为______． 19．34331654+log log 8145-⎛⎫+= ⎪⎝⎭________. 20．已知双曲线1C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，第一象限内的点00(,)M x y 在双曲线1C 的渐近线上，且12MF MF ⊥，若以2F 为焦点的抛物线2C ：22(0)y px p =>经过点M ，则双曲线1C 的离心率为_______．三、解答题21．如图，已知四棱锥P ABCD -的底面为等腰梯形，//AB CD ,AC BD ⊥,垂足为H ，PH 是四棱锥的高．（Ⅰ）证明：平面PAC ⊥平面PBD ;（Ⅱ）若AB 6=APB ADB ∠=∠=60°,求四棱锥P ABCD -的体积． 22．十九大以来，某贫困地区扶贫办积极贯彻落实国家精准扶贫的政策要求，带领广大农村地区人民群众脱贫奔小康.经过不懈的奋力拼搏，新农村建设取得巨大进步，农民收入也逐年增加.为了更好的制定2019年关于加快提升农民年收入力争早日脱贫的工作计划，该地扶贫办统计了2018年50位农民的年收入并制成如下频率分布直方图：附：参考数据与公式 6.92 2.63≈，若 ()2~,X N μσ，则① ()0.6827P X μσμσ-<+=…；② (22)0.9545P X μσμσ-<+=…；③(33)0.9973P X μσμσ-<+=….（1）根据频率分布直方图估计50位农民的年平均收入x （单位：千元）（同一组数据用该组数据区间的中点值表示）；（2）由频率分布直方图可以认为该贫困地区农民年收入 X 服从正态分布 ()2,N μσ，其中μ近似为年平均收入2,x σ 近似为样本方差2s ，经计算得：2 6.92s =，利用该正态分布，求：（i ）在2019年脱贫攻坚工作中，若使该地区约有占总农民人数的84.14%的农民的年收入高于扶贫办制定的最低年收入标准，则最低年收入大约为多少千元?（ii ）为了调研“精准扶贫，不落一人”的政策要求落实情况，扶贫办随机走访了1000位农民.若每个农民的年收入相互独立，问：这1000位农民中的年收入不少于12.14千元的人数最有可能是多少?23．（辽宁省葫芦岛市2018年二模）直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为21x tcos y tsin αα=+⎧⎨=+⎩(t 为参数)，在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，圆C 的方程为6cos ρθ=.（1）求圆C 的直角坐标方程；（2）设圆C 与直线l 交于点,A B ，若点P 的坐标为()2,1，求PA PB +的最小值.24．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，H 是正方形11AA B B 的中心，122AA =1C H ⊥平面11AA B B ，且1 5.C H =（Ⅰ）求异面直线AC 与11A B 所成角的余弦值；（Ⅱ）求二面角111A AC B --的正弦值；（Ⅲ）设N 为棱11B C 的中点，点M 在平面11AA B B 内，且MN ⊥平面111A B C ，求线段BM 的长．25．选修4-5：不等式选讲：设函数()13f x x x a =++-.（1）当1a =时，解不等式()23f x x ≤+；（2）若关于x 的不等式()42f x x a <+-有解，求实数a 的取值范围.26．已知函数()|1|f x x =+（1）求不等式()|21|1f x x <+-的解集M（2）设,a b M ∈，证明：(ab)()()f f a f b >--.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【解析】【分析】根据自变量所在的范围代入相应的解析式计算即可得到答案.【详解】∵函数2log (1),0()4,0x x x f x x -<⎧=⎨≥⎩， ∴()2l 23og 2(3)log 3log 44f f -+=+=2+9=11．故选B ．【点睛】本题考查函数值的求法，考查指对函数的运算性质，是基础题． 2．A解析：A【解析】【分析】分别当截面平行于正方体的一个面时，当截面过正方体的两条相交的体对角线时，当截面既不过体对角线也不平行于任一侧面时，进行判定，即可求解.【详解】由题意，当截面平行于正方体的一个面时得③；当截面过正方体的两条相交的体对角线时得④；当截面既不过正方体体对角线也不平行于任一侧面时可能得①；无论如何都不能得②.故选A.【点睛】本题主要考查了正方体与球的组合体的截面问题，其中解答中熟记空间几何体的结构特征是解答此类问题的关键，着重考查了空间想象能力，以及推理能力，属于基础题.3．B解析：B【解析】由题意知，(14051)108.9-÷=，所以分为9组较为恰当，故选B.4．C解析：C【解析】【分析】根据流程图可知该算法表示统计14次考试成绩中大于等于90的人数，结合茎叶图可得答案．【详解】根据流程图所示的顺序，可知该程序的作用是累计14次考试成绩超过90分的次数．根据茎叶图可得超过90分的次数为9.故选：C ．【点睛】本题主要考查了循环结构，以及茎叶图的认识，解题的关键是弄清算法流程图的含义，属于基础题．5．B解析：B【解析】设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为2,,,,2a d a d a a d a d --++,则22a d a d a a d a d -+-=++++,解得6a d =-,又225,a d a d a a d a d -+-+++++=1a \=,则4422633a a d a a ⎛⎫-=-⨯-== ⎪⎝⎭,故选B.6．D解析：D【解析】分析：先求出()cos 30α︒+的值，再把cos α变形为00cos[(30)30]α+-，再利用差角的余弦公式展开化简即得cos α的值.详解：∵60150α︒<<︒，∴90°＜30α︒+＜180°，∴()cos 30α︒+=-45， ∵c os α=00cos[(30)30]α+-,∴c os α=-453152⨯=， 故选D. 点睛：三角恒等变形要注意“三看（看角看名看式）”和“三变（变角变名变式）”，本题主要利用了看角变角，00(30)30αα=+-，把未知的角向已知的角转化,从而完成解题目标. 7．C解析：C【解析】【分析】求函数的定义域，判断函数的奇偶性即可．【详解】解：()f x =Q 0x ∴≠解得0x ≠()f x ∴的定义域为()(),00,D =-∞+∞U ，D 关于原点对称.任取x D ∈，都有()()f x f x -===， ()f x ∴是偶函数，其图象关于y 轴对称，故选：C .【点睛】本题主要考查函数图象的判断，根据函数的奇偶性的定义判断函数的奇偶性是解决本题的关键．8．B解析：B【解析】【分析】先求出函数y=g(x)的解析式，再利用三角函数的图像和性质对每一个选项逐一分析判断.【详解】设点P(x,y)是函数()y g x =图像上的任意一点，则点Q (x ,)4y π-+在函数y=f(x)的图像上，sin[2(-x+)]sin 2()42y x g x ππ=-=-=， 对于选项A,函数y=g(x)的最大值为1，但是()012g π=≠±，所以图象不关于直线2x π=对称，所以该选项是错误的；对于选项B,()()g x g x -=-，所以函数g(x)是奇函数，解222+22k x k ππππ-≤≤得 +44k x k ππππ-≤≤，)k Z ∈（,所以函数在0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，所以该选项是正确的； 对于选项C,由前面分析得函数y=g(x)的增区间为3[+,]()44k k k Z ππππ+∈,且函数y=g(x)不是偶函数，故该选项是错误；对于选项D,函数的周期为π，解2,,2k x k x ππ=∴=所以函数图像的对称中心为,0)(k Z)2k π∈（,所以该选项是错误的. 故选：B【点睛】本题主要三角函数的解析式的求法，考查三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.9．A解析：A【解析】【分析】根据空间中点、线、面位置关系，逐项判断即可.【详解】①若m αP ，m n ⊥，则n 与α位置关系不确定；②若n αP ，则α存在直线l 与n 平行，因为m α⊥，所以m l ⊥，则m n ⊥； ③当m α⊂，m P β，n β⊂，n αP 时，平面α，β平行；④逆否命题为：若m 与n 垂直于同一平面，则,m n 平行，为真命题.综上，为真命题的是②③④.故选A【点睛】本题主要考查空间中点线面位置关系，熟记线面关系、面面关系，即可求解，属于常考题型.10．A解析：A【解析】余弦定理2222?cos AB BC AC BC AC C =+-将各值代入得2340AC AC +-=解得1AC =或4AC =-(舍去)选A.11．C解析：C【解析】试题分析：先求得M （2,32，3）点坐标，利用两点间距离公式计算得CM =，故选C ．考点：本题主要考查空间直角坐标系的概念及空间两点间距离公式的应用．点评：简单题，应用公式计算． 12．B解析：B【解析】=b y x a =±，计算得b a =方程为y =.【考点定位】本小题考查了离心率和渐近线等双曲线的性质.二、填空题13．【解析】【分析】由题意知渐近线方程是再据得出与的关系代入渐近线方程即可【详解】∵双曲线的两个顶点三等分焦距∴又∴∴渐近线方程是故答案为【点睛】本题考查双曲线的几何性质即双曲线的渐近线方程为属于基础题解析：y =±【解析】【分析】 由题意知，渐近线方程是b y x a =±，1223a c =⨯，再据222c ab =+，得出 b 与a 的关系，代入渐近线方程即可．【详解】 ∵双曲线22221x y a b-= (0,0)a b >>的两个顶点三等分焦距，∴1223a c =⨯，3c a =，又222c ab =+，∴b =∴渐近线方程是b y x a =±=±，故答案为y =±． 【点睛】本题考查双曲线的几何性质即双曲线22221x y a b-= (0,0)a b >>的渐近线方程为b y x a =±属于基础题．14．【解析】试题分析：因为和关于轴对称所以那么（或）所以【考点】同角三角函数诱导公式两角差的余弦公式【名师点睛】本题考查了角的对称关系以及诱导公式常用的一些对称关系包含：若与的终边关于轴对称则若与的终边 解析：79- 【解析】试题分析：因为α和β关于y 轴对称，所以2,k k Z αβππ+=+∈，那么1sin sin 3βα==，cos cos 3αβ=-=（或cos cos 3βα=-=）， 所以()2227cos cos cos sin sin cos sin 2sin 19αβαβαβααα-=+=-+=-=-. 【考点】同角三角函数，诱导公式，两角差的余弦公式【名师点睛】本题考查了角的对称关系，以及诱导公式，常用的一些对称关系包含：若α与β的终边关于y 轴对称，则2,k k Z αβππ+=+∈ ，若α与β的终边关于x 轴对称，则2,k k Z αβπ+=∈，若α与β的终边关于原点对称，则2,k k Z αβππ-=+∈. 15．1【解析】【详解】化简三角函数的解析式可得由可得当时函数取得最大值1解析：1【解析】【详解】化简三角函数的解析式，可得()22311cos cos 44f x x x x x =--=-++=2(cos 12x --+， 由[0,]2x π∈，可得cos [0,1]x ∈，当cos x =时，函数()f x 取得最大值1． 16．【解析】由题意二项式展开的通项令得则的系数是考点：1二项式定理的展开式应用解析：35【解析】由题意，二项式371()x x +展开的通项372141771()()r r r r r r T C x C x x--+==，令2145r -=，得4r =，则5x 的系数是4735C =. 考点：1.二项式定理的展开式应用.17．【解析】【分析】【详解】设AB=2作CO ⊥面ABDEOH ⊥AB 则CH ⊥AB ∠CHO 为二面角C−AB−D 的平面角CH=3√OH=CHcos ∠CHO=1结合等边三角形ABC 与正方形ABDE 可知此四棱锥为解析：16【解析】【分析】【详解】设AB =2,作CO ⊥面ABDEOH ⊥AB ，则CH ⊥AB ，∠CHO 为二面角C −AB −D 的平面角，CH =3√，OH =CH cos ∠CHO =1，结合等边三角形ABC 与正方形ABDE 可知此四棱锥为正四棱锥， 3,11(),2212AN EM CH ANAC AB EM AC AE AN EM ====+=-∴⋅=u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r 故EM ,AN 112633=⋅，18．【解析】【分析】由及三角变换可得故于是得到或再根据可得从而然后根据余弦定理可求出于是可得所求三角形的面积【详解】由得∵∴∴又为三角形的内角∴或又∴于是由余弦定理得即解得故∴故答案为【点睛】正余弦定理 解析：2【解析】【分析】 由cos 1cos2cos 1cos2b C C c B B +=+及三角变换可得sin cos sin cos B C C B=，故sin2sin2B C =，于是得到B C =或2B C π+=，再根据1cos 3A =可得B C =，从而b c =，然后根据余弦定理可求出b c ==【详解】 由cos 1cos2cos 1cos2b C C c B B +=+，得22sin cos 2cos sin cos 2cos B C C C B B=， ∵cos 0,cos 0C B ≠≠， ∴sin cos sin cos B C C B=， ∴sin2sin2B C =，又,B C 为三角形的内角，∴B C =或2B C π+=， 又1cos 3A =， ∴BC =，于是b c =． 由余弦定理得2222cos ,a b c b A =+-即(222223b b b =+-，解得b =，故c =∴11sin 223ABC S bc A ∆===故答案为．【点睛】正余弦定理常与三角变换结合在一起考查，此类问题一般以三角形为载体，解题时要注意合理利用相关公式和三角形三角的关系进行求解，考查综合运用知识解决问题的能力，属于中档题．19．【解析】试题分析：原式=考点：1指对数运算性质 解析：278【解析】 试题分析：原式=344332542727log log 134588-⎡⎤⎛⎫+⨯=+=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦考点：1.指对数运算性质.20．【解析】【分析】由题意可得又由可得联立得又由为焦点的抛物线：经过点化简得根据离心率可得即可求解【详解】由题意双曲线的渐近线方程为焦点为可得①又可得即为②由联立①②可得由为焦点的抛物线：经过点可得且即解析：2+【解析】【分析】 由题意可得00b y x a=，又由12MF MF ⊥，可得22200y x c +=，联立得0x a =，0y b =，又由F 为焦点的抛物线2C ：22(0)y px p =>经过点M ，化简得224ac 0c a --=，根据离心率c e a =，可得2410e e --=，即可求解． 【详解】 由题意，双曲线的渐近线方程为b y x a =±，焦点为()1,0F c -，()2,0F c ， 可得00b y x a=，① 又12MF MF ⊥，可得00001y y x c x c ⋅=-+-， 即为22200y x c +=，②由222a b c +=，联立①②可得0x a =，0y b =，由F 为焦点的抛物线2C ：22(0)y px p =>经过点M ，可得22b pa =，且2p c =，即有2224b ac c a ==-，即224ac 0c a --=由c e a=，可得2410e e --=，解得2e =+【点睛】本题考查了双曲线的几何性质——离心率的求解，其中根据条件转化为圆锥曲线的离心率的方程是解答的关键．求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a ，c 的值，代入公式c e a=；②只需要根据一个条件得到关于,,a b c 的齐次式，转化为,a c 的齐次式，然后转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得e (e 的取值范围)．三、解答题21．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ. 【解析】【分析】【详解】试题分析：（Ⅰ）因为PH 是四棱锥P-ABCD 的高．所以AC ⊥PH,又AC ⊥BD,PH,BD 都在平面PHD 内,且PH I BD=H.所以AC ⊥平面PBD.故平面PAC ⊥平面PBD.（Ⅱ）因为ABCD 为等腰梯形，AB P CD,AC ⊥.所以因为∠APB=∠ADR=600所以,HD=HC=1.可得等腰梯形ABCD 的面积为S=12所以四棱锥的体积为V=13x （ 考点：本题主要考查立体几何中的垂直关系，体积的计算．点评：中档题，立体几何题，是高考必考内容，往往涉及垂直关系、平行关系、角、距离、体积的计算．在计算问题中，有“几何法”和“向量法”．利用几何法，要遵循“一作、二证、三计算”的步骤，利用向量则能简化证明过程．本题（I ）较为简单，（II ）则体现了“一作、二证、三计算”的解题步骤．22．（1）17.4；（2）（i ）14.77千元（ii ）978位【解析】【分析】（1）用每个小矩形的面积乘以该组中点值，再求和即可得到平均数；（2）（i ）根据正态分布可得：0.6827()0.50.84142P X μσ>-=+≈即可得解；（ii ）根据正态分布求出每个农民年收入不少于12.14千元的事件概率为0.9773，利用独立重复试验概率计算法则求得概率最大值的k 的取值即可得解.【详解】（1）由频率分布直方图可得：120.04140.12160.28180.36200.1220.06240.0417.4x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=； （2）（i ）由题()~17.4,6.92X N ，0.6827()0.50.84142P X μσ>-=+≈， 所以17.4 2.6314.77μσ-=-=满足题意，即最低年收入大约14.77千元；（ii ）0.9545(12.14)(2)0.50.97732P X P X μσ≥=≥-=+≈， 每个农民年收入不少于12.14千元的事件概率为0.9773，记这1000位农民中的年收入不少于12.14千元的人数为X ，()1000,0.9773X B : 恰有k 位农民中的年收入不少于12.14千元的概率()()100010000.997310.9973k k k P X k C -==-()()()()10010.97731110.9773P X k k P X k k =-⨯=>=-⨯-得10010.9773978.2773k <⨯=， 所以当0978k ≤≤时，()()1P X k P X k =-<=，当9791000k ≤≤时，()()1P X k P X k =->=，所以这1000位农民中的年收入不少于12.14千元的人数最有可能是978位.【点睛】此题考查频率分布直方图求平均数，利用正态分布估计概率，结合独立重复试验计算概率公式求解具体问题，综合性强.23．（1）()2239x y -+=（2）【解析】分析：（1）将6cos ρθ=两边同乘ρ，根据直角坐标与极坐标的对应关系得出直角坐标方程；（2）将直线的参数方程代入圆的普通方程，根据参数的几何意义与根与系数的关系得出PA PB +．详解：（1）由26cos ,6cos ρθρρθ==得，化为直角坐标方程为226x y x +=，即()2239x y -+=（2）将l 的参数方程带入圆C 的直角坐标方程，得()22cos sin 70t t αα+--= 因为0V >，可设12,t t 是上述方程的两根，()12122cos sin 7t t t t αα⎧+=--⎨⋅=-⎩所以 又因为（2，1）为直线所过定点，1212PA PB t t t t ∴+=+=-==≥=所以PA PB 的最小值为∴+点睛：本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的转化，参数方程的几何意义与应用，属于基础题．24．（Ⅰ；（Ⅱ；（Ⅲ【解析】【分析】（Ⅰ）以B 为坐标原点，BA 所在直线为x 轴，1BB 所在直线为y 轴，建立坐标系，设异面直线AC 与11A B 所成角为α，算出11,AC A B u u u r u u u u r ，再利用cos α=11|cos ,|AC A B 〈〉u u u r u u u u r 计算即可； （Ⅱ）分别求出平面11AA C 的法向量m u r 与平面111B AC 的法向量n r ，再利用向量的夹角公式算得cos ,m n 〈〉u r r 即可；（Ⅲ）设(,,0)M a b ，由MN ⊥平面111A B C ，得111100MN A B MN A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u v u u u u v u u u u v u u u u v ，进一步得到M 的坐标，再由模长公式计算BM 的长.【详解】如图所示，建立空间直角坐标系，其中点B 为坐标原点，BA 所在直线为x 轴，1BB 所在直线为y 轴，由题意，111(0,0,0),B A C A B C ， （Ⅰ）11((AC A B ==-u u u r u u u u r ，所以111111cos ,||||AC A B AC A B AC A B ⋅〈〉===u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r ， 设异面直线AC 与11A B 所成角为α，则cos α=11|cos ,|3AC A B 〈〉=u u u r u u u u r ， 所以异面直线AC 与11A B所成角的余弦值为3. （Ⅱ）易知111(AA AC ==u u u r u u u u r ，设平面11AA C 的法向量(,,)m x y z =，则11100m AC m AA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u v v u u u v v，即00⎧+=⎪⎨=⎪⎩，令x =z =，所以m =u r ，同理，设平面111B AC 的法向量(,,)n x y z =r ， 则111100n A C n A B ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u v v u u u u v v，即00⎧-+=⎪⎨-=⎪⎩，令y =z =n =r ，所以2cos ,7||||77m n m n m n ⋅〈〉===⋅⋅u r r u r r u r r ， 设二面角111A AC B --的大小为θ， 则2235sin 1()7θ=-=， 所以二面角111A AC B --的正弦值为35. （Ⅲ）由N 为棱11B C 的中点，得2325,,N ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 设(,,0)M a b ，则2325,,222MN a b ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭u u u u r ， 由MN ⊥平面111A B C ，得111100MN A B MN A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u v u u u u v u u u u v u u u u v ，即 2(22)022325(2)(2)5022a a b ⎧⎛⎫-⋅-=⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎪-⋅-+-⋅-+⋅= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎩， 解得2224a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故22,,024M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，因此22,,024BM ⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u u r ， 所以线段BM 的长为10||BM =u u u u r .【点睛】本题主要考查直线与平面平行、直线与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识，考查学生的空间想象能力、运算能力和推理论证能力.25．（1）15[,]42（2）(5,3)-【解析】【分析】（1）通过讨论x 的范围，求出不等式的解集即可；（2）问题等价于关于x 的不等式14x x a ++-<有解，()min 14x x a++-<，求出a的范围即可．【详解】解：（1）()1323f x x x a x =++-≤+可转化为 14223x x x ≥⎧⎨-≤+⎩或114223x x x -<<⎧⎨-≤+⎩或12423x x x ≤-⎧⎨-≤+⎩， 解得512x ≤≤或114x ≤<或无解. 所以不等式的解集为15,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦. （2）依题意，问题等价于关于x 的不等式14x x a ++-<有解， 即()min 14x x a ++-<， 又111x x a x x a a ++-≥+-+=+，当()()10x x a +-≤时取等号. 所以14a +<，解得53a -<<，所以实数a 的取值范围是()5,3-.【点睛】含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用。

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