空间向量 距离的计算
用空间向量求距离
计算点到直线距离
利用向量数量积的性质，有$vec{PQ} cdot vec{n} = 0$，进而求得点
$P$到直线的距离$d = frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{sqrt{A^2 + B^2}}$。
公式在实际问题中应用场景
几何问题
01
在平面几何中，点到直线的距离公式可用于求解点到直线的最
计算向量$vec{AB}$
$vec{AB} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1, z_2 z_1)$。
计算向量$vec{AB}$的模
得出两点间距离公式
$|vec{AB}| = sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$。
$d = sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$。
公式在实际问题中应用场景
1 2 3
空间几何问题
在解决涉及三维空间中点、线、面等几何元素的 问题时，两点间距离公式可用于计算两点之间的 距离。
物理问题
在物理学中，两点间距离公式可用于计算质点之 间的距离，进而解决与距离相关的物理问题，如 万有引力、电场强度等。
工程测量
在土木工程、水利工程等领域，两点间距离公式 可用于测量地面上两点之间的水平距离或空间中 两点之间的直线距离。
短距离、判断点与直线的位置关系等问题。
物理问题
02
在物理学中，点到直线的距离公式可用于计算电场强度、磁场
强度等物理量在空间中的分布情况。
工程问题
03
在工程领域中，点到直线的距离公式可用于计算建筑物之间的
空间向量点到平面的距离公式
空间向量点到平面的距离公式
在空间向量中,平面外一点P到平面α的距离d为：d=|n.MP|/|n|.
式中,n：平面α的一个法向向量,M：平面α内的一点,MP--
向量法求点到面的距离公式推导过程
平面的相关知识点
平面的一般式方程
Ax+By+Cz+D=0
其中n=(A，B,C)是平面的法向量，D是将平面平移到坐标原点所需距
离(所以
D=0时，平面过原点)
向量的模(长度)
向量AB（AB上面有→）的长度叫做向量的模，记作|AB|(AB上有→）或|a|(a上有→)。
向量的性质
向量的模的运算没有专门的法则，一般都是通过余弦定理计算两个向
量的和、差的模。
多个向量的合成用正交分解法，如果要求模一般需要先
算出合成后的向量。
模是绝对值在二维和三维空间的推广，可以认为就是
向量的长度。
推广到高维空间中称为范数。
空间向量基本定理
共线向量定理两个空间向量a,b向量(b向量不等于0），a∣∣b的充要条件是存在唯一的实数λ，使a=λb
共面向量定理
如果两个向量 a, b不共线，则向量 c与向量 a, b共面的充要条件是：存在唯一的一对实数x,y,使c=ax+by
空间向量分解定理
如果三个向量 a、 b、 c不共面，那么对空间任一向量 p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使p=xa+yb+zc。
任意不共面的三个向量都可作为空间的一个基底，零向量的表示唯一。
点到面距离空间向量公式
点到面距离空间向量公式- 设平面α的法向量为→n，平面α内一点A，平面α外一点P。
- 向量→PA在法向量→n方向上的投影的绝对值就是点P到平面α的距离d。
- 根据向量投影公式，向量→a在向量→b上的投影为frac{→a·→b}{|→b|}。
- 那么点P到平面α的距离d = |frac{→PA·→n}{|→n|}|。
2. 公式应用示例。
- 例如，已知平面α的方程为2x - y+z = 0，求点P(1,1,1)到平面α的距离。
- 平面α的法向量→n=(2, - 1,1)。
- 在平面α内任取一点A，不妨令x = 0,y = 0，则z = 0，即A(0,0,0)。
- 向量→PA=(0 - 1,0 - 1,0 - 1)=(-1,-1,-1)。
- 根据距离公式d=|frac{→PA·→n}{|→n|}|，→PA·→n=(-1)×2+(-1)×(-1)+(-1)×1=-2 + 1-1=-2，|→n|=√(2^2)+(-1)^{2+1^2}=√(4 + 1+1)=√(6)。
- 所以d=|(-2)/(√(6))|=(√(6))/(3)。
3. 相关知识点补充（人教版教材关联）- 在人教版教材中，这一知识点是在空间向量章节中。
- 学习这一公式之前，需要熟练掌握空间向量的基本运算，如向量的加减法、向量的数量积等。
- 同时，要理解法向量的概念，平面的法向量垂直于平面内的所有向量。
在求平面法向量时，通常根据平面方程的系数来确定，对于平面Ax + By + Cz+D = 0，其法向量为→n=(A,B,C)。
- 在应用公式计算点到面距离时，准确找出平面内一点和平面的法向量是关键。
如果平面方程没有直接给出，可能需要通过已知条件先求出平面方程，再求法向量进行距离计算。
《空间向量及其运算》距离
AB ( x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 ( z1 z2 )2
3.求点到平面的距离:如图点P为平面外一点， 点A为平面内的任一点，平面的法向量为n,过 点P作平面的垂线PO，记PA和平面所成的 角为，则点P到平面的距离 n
P
d PO PA sin
1
A
这个晶体的对角线 AC1 的长是棱长的
6倍。
思考： (1)本题中四棱柱的对角线BD1的长与棱长有什么关系？
(2)如果一个四棱柱的各条棱长都相等，并且以 某一顶点为端点的各棱间的夹角都等于 , 那么 有这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长吗?
A1 B1 D C
D1
C1Βιβλιοθήκη (3)本题的晶体中相对的两个平面之间的距离 A B 是多少? (提示：求两个平行平面的距离，通常归结为求点到平 面的距离或两点间的距离）
补充作业：
已知正方形ABCD的边长为4，CG⊥平面 ABCD，CG=2,E、F分别是AB、AD的中点， z G 求点B到平面GEF的距离。
x
F
D
C
A
E
B
y
4.异面直线的距离:
①作直线a、b的方向向量a、 b，求a、b的法向量n，即此 异面直线a、b的公垂线的方 向向量； ②在直线a、b上各取一点 A、B，作向量AB； ③求向量AB在n上的射影 d，则异面直线a、b间的距 离为
1 解:∵ D1 (0, 0,1), B(1,1, 0), A1 (1, 0,1), E (0, ,1) 2 1 A1 E 1, , 0 , D1B 1,1, 1 2 设 n ( x , y , z )是与 A1 E , D1 B都垂直的向量， A1 1 则 n A E 0, 1 x y 0, y 2 x , 2 即 z 3 x, n D1 B 0, x y z 0, 取x＝1，得其中一个n (1, 2, 3) A 选A1 E与BD1的两点向量为 D1 A1 1, 0, 0 , D1 A1 n 14 得A1 E与BD1的距离 d 14 n
立体几何空间向量点到直线距离
立体几何空间向量点到直线距离
要计算立体几何空间中点到直线的距离，可以使用以下步骤：
1. 确定直线的参数方程：假设直线的参数方程为 P + td，其中 P 是直线上的一个点，d 是直线的方向向量，t 是参数。
2. 计算点到直线的向量：设点为 A，点到直线的向量为 V = A - P。
3. 计算距离：点到直线的距离可以通过计算点到直线向量 V 在直线方向向量 d 上的投影来获得。
投影长度即为点到直线的距离。
具体计算步骤如下：
1. 计算投影向量：将向量 V 投影到直线方向向量 d 上，得到投影向量Proj = (V · d) / |d|² * d，其中·表示点乘运算。
2. 计算距离：点到直线的距离为 |V - Proj|，即点到直线向量 V 减去投影向量 Proj 的模长。
请注意，这个方法适用于计算立体几何空间中点到直线的距离。
如果直线是平面上的，则可以使用平面几何中的方法计算点到直线的距离。
空间向量间的距离
空间向量间的距离可以通过以下公式计算：
空间向量的距离公式是：d= |n·MP| |n|，其中n是平面的法向量，MP是点P到平面的向量。
该公式用于计算空间中一点到平面的距离。
另外，点到平面的距离也可以通过向量运算计算，设该点与平面内任意一点的连线的向量为a向量，平面的法向量为n向量，距离为d= |a·n| |n|，即a向量与n向量的数量积除以n向量的模。
此外，欧氏距离是最易于理解的一种距离计算方法，源自欧式空间中两点间的距离公式。
它可用于计算两点之间的直线距离，也可以用于计算向量的距离。
空间向量中点到平面的距离公式
空间向量中点到平面的距离公式
空间中点到平面的距离可以使用向量的方法来求解。
假设空间中平面的一般方程为Ax+By+Cz+D=0，点P(x0, y0, z0)为空间中的任意点，则点P到平面的距离可以表示为点P到平面的法向量的投影。
设平面的法向量为n=(A, B, C)，则点P到平面的距离d可以表示为d = |(n·OP)|/|n|，其中·表示向量的点积，|n|表示向量n的模长，OP为点P到平面上的任意一点Q的向量。
另一种常用的方法是通过点到平面的距离公式来求解。
设点
P(x0, y0, z0)到平面Ax+By+Cz+D=0的距离为d，则有d =
|Ax0+By0+Cz0+D|/√(A^2+B^2+C^2)。
这个公式也可以用来求解点到平面的距离。
从几何的角度来看，点到平面的距离实际上就是点到平面的垂直距离，可以通过这两种方法来求解。
这些公式和方法可以帮助我们在空间解决点到平面的距离问题。
空间向量求点面距离公式
点到面的距离公式空间向量
在空间向量中,平面外一点P到平面α的距离d为：d=|n.MP|/|n|.式中,n：平面α的一个法向向量,M ：平面α内的一点,MP--
向量法求点到面的距离公式推导过程
平面的相关知识点
平面的一般式方程
Ax+By+Cz+D=0
其中n = (A，B, C)是平面的法向量，D是将平面平移到坐标原点所需距离(所以
D=0时，平面过原点)
向量的模(长度)
向量AB（AB上面有→）的长度叫做向量的模，记作|AB|(AB上有→）或|a|(a上有→)。
向量的性质
向量的模的运算没有专门的法则，一般都是通过余弦定理计算两个向量的和、差的模。
多个向量的合成用正交分解法，如果要求模一般需要先算出合成后的向量。
模是绝对值在二维和三维空间的推广，可以认为就是向量的长度。
推广到高维空间中称为范数。
空间向量基本定理
共线向量定理两个空间向量a, b向量( b向量不等于0），a∣∣b的充要条件是存在唯一的实数λ，使a=λb
共面向量定理
如果两个向量a, b不共线，则向量c与向量a, b共面的充要条件是：存在唯一的一对实数x,y,使c=ax+by
空间向量分解定理
如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使p=xa+yb+zc。
任意不共面的三个向量都可作为空间的一个基底，零向量的表示唯一。
空间向量点到直线的距离推导
空间向量点到直线的距离推导1. 原理推导令空间中点A与点B组成向量 A B → \overrightarrow{AB} AB，向量外有一点P，那么我们要求的就是P与直线 A B →\overrightarrow{AB}AB的距离d。
连接点A与点P，得直线向量 A P → \overrightarrow{AP} AP。
将向量 A B → \overrightarrow{AB}AB与 A P → \overrightarrow{AP}AP叉乘，根据向量叉乘的几何意义，∣ A B → × A P → ∣ |\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AP}|∣AB×AP∣实际上是一个平行四边形面积，如下图所示：根据平行四边形公式，很显然我们要求的d就是这个平行四边形的高，也就是：d = ∣ A B → × A P → ∣ ∣ A B → ∣ d =\frac{|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AP}|} {|\overrightarrow{AB}|}d=∣AB∣∣AB×AP∣2. 具体实现直到了原理，具体的实现就很简单了，只要套公式就可以了。
其中^是个自己重载实现的求叉乘的操作：doubleCalDistancePointAndLine(Vec3d &point, Vec3d&lineBegin, Vec3d &lineEnd){//直线方向向量Vec3d n = lineEnd -lineBegin;//直线上某一点的向量到点的向量Vec3d m = point - lineBegin;return(n ^m).length()/ n.length();}详细代码3. 参考1.空间向量如何求点到直线距离？2..3.向量运算（叉乘几何意义）。
1.4.2-用空间向量研究距离、夹角问题
探究 已知直线l的单位方向向量为u, A是直线l上的定点，P是直线l外一点. 如何利
用这些条件求点P到直线l的距离? 如图示，向量AP在直线l上的投影向量为 AQ ，则△APQ是直角
u
P
三角形，因为A，P都是定点，所以|AP|，AP 与 u 的夹角∠PAQ都
dn
是确定的. 于 是可求 |AQ|. 再利用勾股定理，可以求出点P到直线l
点C1到平面AB1 E
的距离为 |
C1B1 |n|
n
|
1 3
.
D
A x
F
C
y
B
即直线FC1到平面AB1
E的距离为
1 3
.
3. 如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，求平面A1DB与平面D1CB1的距离.
解 : 平面A1DB//平面D1CB1,平面A1DB与平面D1CB1的距离 z
MN AN AM
1 ( AB AF ) 1 ( AB AD)
2
2
1 (c b) 2
∴|MN|2 1 (c b )2 1 ,
4
2
∴|MN| 2 ,即MN 2 .
2
2
【巩固训练4】如图，两条异面直线a, b所成的角为θ，在直线a, b上分别取点A′, E和
点A, F，使AA′⊥a，且AA′⊥b (AA′称为异面直线a, b的公垂线). 已知A′E=m, AF=n，
易得C1 (0, 1, 1),
A(1,
0, 0),
E(0,
0,
1 ). 2
E
∴C1 A
(1,
1, 1),
AE
(1, 0,
1 ). 2
D
F
3.2.3空间距离的向量求法
DB (2,2,0), DN (0,1,2),
设平面BDMN的一个法向量为
z
n ( x, y, z), 则
2 x 2 y 0 n (2, 2,1), y 2z 0
x
O
y
| AB n | | 2 (2) | 4 d . 2 2 2 n 3 2 (2) 1
P d O
n
PA n ( PO OA) n PO n,
| PA n || PO n || PO || n |
| PA n | | PA n | PO ， 即d n n
例1.已知正方形ABCD的边长为4，CG⊥平面ABCD， CG=2,E、F分别是AB、AD的中点，求点B到平面GEF 的距离。
n
| PA n | ★所以计算公式还是: d n
例2.
如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E,F,M,N 分别为A1B1,A1D1,B1C1,C1D1 的中点. 求平面AEF和平面BDMN的距离.
解： (2)如图建立空间直角坐标系,则A(2,0,0), B(2, 2,0), N (0,1, 2), AB (0, 2,0),
解:∵BD//平面C1MN, ∴只需求点B与 平面C1MN的距离， 如图建立直角坐标系,则B(2,2,0), M (1, 2,0), N (0,1,0), C1 (0, 2, 2),
NM (1,1, 0), NC1 (0,1, 2) BM (1, 0, 0)
z
y x
x y 0 x 2z , 令z 1, 则n (2, 2,1), y 2 z 0 y 2 z | n BM | | (1) 2 | 2 d . |n| 22 (2) 2 12 3
空间向量求点到直线的距离
空间向量求点到直线的距离
在立体几何中，空间点、直线、平面之间的关系是学习的重点，点和
直线的位置关系包括两种：点在直线上，点在直线外.当点在直线外时，
点到直线距离的计算随之出现.关于解决点到直线距离的问题，现在在立
体几何的高考中似乎很少考到了，但空间的点P到直线AB的距离的求法，（在竞赛中）还是应该理解和掌握的。
具体地说，就是过点P作直线AB
的垂线PM，且与直线AB相交于点M.那么线段PM的长度，就是我们所要
求的距离.但在实际操作中，有时我们往往很难找出我们所做的AB的垂线
时的垂足具体在什么地方？既然所要求解的距离（线段）都难以作出来，
那么求解就更加困难了。
所以，在本文中，我们来给大家介绍一下：立体
几何中，“用空间向量方法求点到直线的距离公式”。
空间向量点到直线的距离公式推导过程
空间向量点到直线的距离公式推导过程
空间中直线的一般方程可表示为Ax + By + Cz + D = 0，其中直
线上任一点为(x0, y0, z0)。
假设空间中有一个点P(x1, y1, z1)和一条直线L：Ax + By + Cz + D = 0（A、B、C不全为0），我们希望求点P到直线L的距离。
设直线L上一点为Q(x0, y0, z0)。
直线L的方向向量可表示为(A, B, C)。
我们有向量PQ（表示P到Q的方向向量）为(x1 - x0, y1 - y0,
z1 - z0)。
点P到直线L的距离即为向量PQ在直线L的方向向量上的投影。
由投影的定义可得，点P到直线L的距离为
d = |PQ · n| / |n|，其中·表示点乘，|n|表示向量n的模长。
将PQ和直线L的方向向量n进行点乘得到PQ · n = (x1 - x0) * A + (y1 - y0) * B + (z1 - z0) * C。
将直线L的方向向量n的模长代入得到|n| = √(A^2 + B^2 +
C^2)。
所以，点P到直线L的距离为
d = |(x1 - x0) * A + (y1 - y0) * B + (z1 - z0) * C| /
√(A^2 + B^2 + C^2)。
这就是空间中点到直线的距离公式的推导过程。
在实际问题中，
可以根据这个公式来计算点到直线的距离，进而进行相关的问题求解。
直线到平面的距离公式空间向量
直线到平面的距离公式空间向量
一、直线到平面的距离公式
直线到平面的距离公式是表示由直线和平面之间距离的一种数学公式。
可以用来计算直线到平面的最短距离，可以使用距离公式在三维空间
中快速求解直线到平面的距离。
二、距离公式的表达式
直线到平面的距离公式表达式可以用如下形式来表示：
D=|\frac{(L-P)\cdot N}{|N|}|
其中，D表示最短距离；L为直线上任意一点的空间坐标；P为平面上
任意一点的空间坐标；N为平面的法向量。
三、距离公式求解步骤
(1)首先要求出直线l和平面的关系；
(2)然后对直线l的任意一点求出空间坐标Ll；
(3)对平面的任意一点求出空间坐标Pp；
(4)求出平面的法向量N；
(5)用求得的L、P、N代入距离公式，得出最短距离D；
四、距离公式的应用
距离公式是用来求解三维空间中直线到平面的距离。
它可以应用在计算机图形学等领域，比如可以使用该公式计算物体到地形的碰撞检测等。
空间点到直线的距离公式向量法
空间点到直线的距离公式向量法
三维空间点到直线的距离公式向量法:
1、定义：
三维空间点到直线的距离公式向量法是根据给定的任意一点以及一条
直线，来计算该点到直线的距离。
2、直线和点的表示：
一般而言，直线可以用一个向量方程（A，B，C）或点斜式（点X，Y，Z，斜率K）表示；而点可以用坐标（X，Y，Z）表示。
3、公式：
距离公式可以写作：D＝|KX-Y+Z-K|/根号（K2+1）；其中K为直线斜率，X，Y，Z为给定点的坐标。
4、具体推导：
首先，设点A（X1，Y1，Z1）在向量方程Ax+By+Cz-D=0的垂直平面
上的一点，连接点A和点P（X，Y，Z），做垂线L，垂足为点B
（X2，Y2，Z2）。
由力学平衡原理可以得到：
△=∑(L＊F)=0；
△元中的L为向量AB的方向，F为力学力，L＊F指向量AB和力学
力F的叉乘。
于是得到：<AX1-AX2,BY1-BY2,CZ1-CZ2>*<F>=0；
由此可得表达式：KX-Y+Z-K=0；其中K= AX1-AX2/BY1-BY2=CZ1-CZ2，X=X1，Y=Y1，Z=Z2；则有距离公式：D＝|KX-Y+Z-K|/根号（K2+1）；
5、实际应用：
本公式可以用于空间两点距离的计算，它给出了该点都能平面上最近的点，也就是该点到该平面的距离，只要将对应位置的坐标值放入公式就可以直接求出点到直线的距离。
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学习目标：
1．能借助空间几何体内的位置关系求空间 的距离； 2．能用向量方法解决点面、线面、面面的 距离的计算问题，体会向量方法在研究几 何问题中的作用； 3. 探究题型，总结解法步骤。
复习回顾：
1.我们所学距离有哪几种？
2.已知，A(1,2,0),B(0,1,1),C(1,1,2) 试求平面ABC的一个法向量.
D
A B
练习3、在边长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中， M、N、E、F分别是棱A1B1、A1D1、B1C1、 C1D1的中点，求平面AMN与平面EFDB的距离。
z
d
AB n n
A1
N
D1
F E
C1
M B1 D
C B
y
x
A
小结：
怎样利用向量求距离？ 点到平面的距离：连结该点与平面上任意一点的向量在 平面法向量上投影的绝对值。 直线到平面的距离：转化为点到平面的距离。 平行平面间的距离：转化为直线到平面的距离、点到平 面的距离。
作业：
P50 A组2，3
F A
C
E
y
B
练习2: 正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为1，求AC与平 面DA1C1的距离 DA n D1 C1 d n
A1 B1
D
A B
C
三、求平面与平面间距离
例3、正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为1，
求平面A1DC1与平面AB1C的距离
D1 A1 B1 C1
d
C
DA n n
如图, ABCD 是矩形, PD 平面 ABCD , PD DC a , AD 2a , M 、N 分别是 AD 、PB 的中点,求点 A 到平面 MNC 的距离.
P
N D M A B C
解：如图,以 D 为原点建立空间直角坐标系 D－xyz 则 D(0,0,0),A( 2 a ,0,0),B( 2 a ,a ,0),C(0,a ,0),P(0,0,a )
∴d=| PA ||cos PA, n |=
| n|
A
O
| PA | | n | | cos PA, n |
=
| PA n | |n|
.
这个结论说明，平面外一点到平面的距离等于连结此点与平面上的任一点 （常选特殊点）的向量在平面的法向量上的投影的绝对值
例1、已知正方形ABCD的边长为4，GC⊥ 平面ABCD，GC=2,E、F分别是AB、AD的 z 中点，求点B到平面GEF的距离。
∴d
MA n n a a A MNC 即点 到平面 的距离为 . 2 2
二、求直线与平面的距离
例2、已知正方形ABCD的边长为4，CG⊥平面ABCD， CG=2,E、F分别是AB、AD的中点，求直线BD到平面 z GEF的距离。
G
d
| n BE| n
2 11 . 11
x D
2 2 1 1 a , 0, 0) N ( a , a, a ) ∵ M 、N 分别是 AD 、PB 的中点, ∴ M ( 2 2 2 2
1 1 2 2 z ∴ MC ( a , a , 0) , MN (0, a , a ) , MA ( a , 0, 0) P 2 2 2 2 设 n ( x, y, z ) 为平面 MNC 的一个法向量, ∴ n MN , n MC 2 N ∴ n MC ax ay 0 且 C D y 2 a a M n MN y z 0 2 2 2 A 解得 x y z , B 2 x ∴可取 n ( 2,1, 1)
G
x D F A
C
E
y
B
例: 1 如图，已知正方形
ABCD 的边长为 4，E、F 分别是 AB、AD 的中点，GC⊥平面 ABCD，且 GC＝2，求点 B 到 z 平面 EFG 的距离. G 解：如图，建立空间直角坐标系 C－xyz． 由题设 C(0,0,0)，A(4,4,0)，B(0,4,0)， D(4,0,0)，E(2,4,0)，F(4,2,0)，G(0,0,2)．
EF (2, 2,0), EG (2, 4, 2),
设平面 EFG 的一个法向量为 n ( x, y, z )
x
F
D
C
取n (1,1, 3) ,BE (2,0,0)
d | n BE| n
2 x 2 y 0 n EF， n EG 2 x 4 y 2z 0 A
一、求点到平面的距离
如图 A , 空间一点 P 到平面 的距离为 d,已知平面 的
一个法向量为 n ,且 AP 与 n 不共线,能否用 AP 与 n 表示 d ?
分析:过 P 作 PO⊥ 于 O,连结 OA.
P
n
则 d=| PO |= | PA | cos APO.
∵ PO ⊥ , n , ∴ PO ∥ n . ∴cos∠APO=|cos PA, n |.
E
y
B
2 11 2 11 .点 B 到平面 EFG 的距离为 . 11 11
• 求点到平面的距离的步骤：
• ⑴ 建立空间直角坐标系，写出平面内两个 不共线向量的坐标； • ⑵ 求平面的一个法向量的坐标； • ⑶ 找出平面外的点与平面内任意一点连接 向量的坐标； • ⑷ 代入公式