数学系一年级《数学分析》期末考试题

（一）数学系一年级《数学分析》期末考试题

学号 姓名

一、（满分10分，每小题2分）单项选择题：

1、{n a }、{n b }和{n c }是三个数列，且存在N,∀ n>N 时有≤n a ≤n b n

c ，则（ ）

A {n a }和{n b }都收敛时，{n c }收敛； B. {n a }和{n b }都发散时，{n c }发散； C {n a }和{n b }都有界时，{n c }有界； D. {n b }有界时，{n a }和{n c }都有界；

2、=)(x f ⎪⎪⎩

⎪

⎪⎨⎧>+=<,0 ,2.( ,0

,0,

,sin x x k x k x x kx

为常数） 函数 )(x f 在 点00=x 必 （ ）

A.左连续；

B. 右连续

C. 连续

D. 不连续 3、'

'f （0x ）在点00=x 必 （ ）

A. x x f x x f x ∆-∆+→∆)

()(lim 02020 ； B. '

000)()(lim ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∆-∆+→∆x x f x x f x ; C. '

000)()(lim ⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛∆-∆+→∆x x f x x f x ; D. x x f x x f x ∆-∆+→∆)

()(lim 0'0'0 ； 4、设函数)(x f 在闭区间[b a ,]上连续，在开区间（b a ,）内可微，但≠)(a f )(b f 。则（ ）

A. ∈∃ξ（b a ,），使0)('

=ξf ； B. ∈∃ξ（b a ,），使0)('

≠ξf ;

C. ∈∀x （b a ,），使0)('≠x f ；

D.当)(b f >)(a f 时，对∈∀x （b a ,），有)('

x f >0 ； 5、设在区间Ⅰ上有⎰+=c x F dx x f )()(，

⎰+=c x G dx x g )()(。则在Ⅰ上有（ ） A.

⎰=)()()()(x G x F dx x g x f ； B. c x G x F dx x g x f +=⎰)()()()( ；

C. ⎰+=+c x G x F dx x F x g dx x G x f )()()]()()()([ ；

D. c x G x F dx x G x g dx x F x f +=+⎰

)()()]()()()([ ； 二、（满分15分，每小题3分）填空题 ：

1 1

21323lim -+∞→⎪⎭

⎫

⎝⎛-+x x x x ＝ ；

2

)sgn(cos )(x x f =。)(x f 在区间[ππ,-]上的全部间断点为 ；

3 )(x f ＝x 2

sin , =)6

()

11(π

f

；

4 函数)(x f 在R 内可导，且在（1,∞-）内递增，在（+∞,1）内递减,)()(x

xe f x F =，

)(x F 的单调递减区间为 ；

5 =+⎰dx x f x f x f )

(1)()(2

' ； 三、（满分36分，每小题6分）计算题：

1、⎪⎭

⎫

⎝⎛-

→x x x 220sin 11

lim ; 2、把函数2

x

x e e shx --=展开成具Peano 型余项的Maclaurin 公式 ;

3、dx e arctg e

x x ⎰

-+11

；

4、x

e

x f =)(2,计算积分

dx x

x f ⎰

)( ；

5、

⎰+--dx x x x 233

2 ；

6、斜边为定长c 的直角三角形绕其直角边旋转，求所得旋转体的最大体积 ;

四、（满分7分）验证题：由有“N -ε”定义验证数列极限 3

2

25332lim

220=--+→n n n h ； 五、（满分32分，每小题8分）证明题：

1 设函数)(x f 和)(x g 都在区间Ⅰ上一致连续，证明函数)()(x g x f +在区间Ⅰ上一致连续；

2 设函数)(x f 在点0x 可导且0)(0'

≠x f ，试证明：y ∆～0

)

(x x x df =，其中

)()(00x f x x f y -∆+=∆ ；

3 设函数)(x f 在点a 具有连续的二阶导数，试证明：

)()

(2)()(lim

''20a f h

a f h a f h a f h =--++→ ； 4 试证明：0

时，有不等式 x sin >πx 2 .

（二）一年级《数学分析》考试题

一、（满分10分，每小题2分）判断题：

1、无界数列必发散； （ ）

2、若对ε∀>0，函数f 在[εε-+b a ,]上连续，则f 在开区间（b a ,）内连续； （ ）

3、初等函数在有定义的点是可导的； （ ）

4、ϕψ=f ，若函数ϕ在点0x 可导，ψ在点0x 不可导，则函数f 在点0x 必不可导 ； （ ）

5、设函数f 在闭区间[b a ,]上连续，在开区间（b a ,）内可导，但)()(b f x f ≠，则对),(b a x ∈∀，有0)('

≠x f ； （ ） 二、（满分20分，每小题4分）填空题 ：

1、10

2

8

62)

12()12()2(lim

+-+∞

→n n n n ＝ ；

2、曲线x x y ln =的所有切线中，与直线022=-+y x 垂直的切线是 ；

3、)1ln(2x x y ++= ，

=dx

dy

； 4、函数)(x f 二阶可导，)

(x f e

y = ， 则=2

2dx

y

d ； 5、把函数2

)(x e x f -=展开成具Peano 型余项的Maclaurin 公式 ，

=)(x f ；