数学系一年级《数学分析》期末考试题

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(一)数学系一年级《数学分析》期末考试题

学号 姓名

一、(满分10分,每小题2分)单项选择题:

1、{n a }、{n b }和{n c }是三个数列,且存在N,∀ n>N 时有≤n a ≤n b n

c ,则( )

A {n a }和{n b }都收敛时,{n c }收敛; B. {n a }和{n b }都发散时,{n c }发散; C {n a }和{n b }都有界时,{n c }有界; D. {n b }有界时,{n a }和{n c }都有界;

2、=)(x f ⎪⎪⎩

⎪⎨⎧>+=<,0 ,2.( ,0

,0,

,sin x x k x k x x kx

为常数) 函数 )(x f 在 点00=x 必 ( )

A.左连续;

B. 右连续

C. 连续

D. 不连续 3、'

'f (0x )在点00=x 必 ( )

A. x x f x x f x ∆-∆+→∆)

()(lim 02020 ; B. '

000)()(lim ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∆-∆+→∆x x f x x f x ; C. '

000)()(lim ⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛∆-∆+→∆x x f x x f x ; D. x x f x x f x ∆-∆+→∆)

()(lim 0'0'0 ; 4、设函数)(x f 在闭区间[b a ,]上连续,在开区间(b a ,)内可微,但≠)(a f )(b f 。则( )

A. ∈∃ξ(b a ,),使0)('

=ξf ; B. ∈∃ξ(b a ,),使0)('

≠ξf ;

C. ∈∀x (b a ,),使0)('≠x f ;

D.当)(b f >)(a f 时,对∈∀x (b a ,),有)('

x f >0 ; 5、设在区间Ⅰ上有⎰+=c x F dx x f )()(,

⎰+=c x G dx x g )()(。则在Ⅰ上有( ) A.

⎰=)()()()(x G x F dx x g x f ; B. c x G x F dx x g x f +=⎰)()()()( ;

C. ⎰+=+c x G x F dx x F x g dx x G x f )()()]()()()([ ;

D. c x G x F dx x G x g dx x F x f +=+⎰

)()()]()()()([ ; 二、(满分15分,每小题3分)填空题 :

1 1

21323lim -+∞→⎪⎭

⎝⎛-+x x x x = ;

2

)sgn(cos )(x x f =。)(x f 在区间[ππ,-]上的全部间断点为 ;

3 )(x f =x 2

sin , =)6

()

11(π

f

4 函数)(x f 在R 内可导,且在(1,∞-)内递增,在(+∞,1)内递减,)()(x

xe f x F =,

)(x F 的单调递减区间为 ;

5 =+⎰dx x f x f x f )

(1)()(2

' ; 三、(满分36分,每小题6分)计算题:

1、⎪⎭

⎝⎛-

→x x x 220sin 11

lim ; 2、把函数2

x

x e e shx --=展开成具Peano 型余项的Maclaurin 公式 ;

3、dx e arctg e

x x ⎰

-+11

4、x

e

x f =)(2,计算积分

dx x

x f ⎰

)( ;

5、

⎰+--dx x x x 233

2 ;

6、斜边为定长c 的直角三角形绕其直角边旋转,求所得旋转体的最大体积 ;

四、(满分7分)验证题:由有“N -ε”定义验证数列极限 3

2

25332lim

220=--+→n n n h ; 五、(满分32分,每小题8分)证明题:

1 设函数)(x f 和)(x g 都在区间Ⅰ上一致连续,证明函数)()(x g x f +在区间Ⅰ上一致连续;

2 设函数)(x f 在点0x 可导且0)(0'

≠x f ,试证明:y ∆~0

)

(x x x df =,其中

)()(00x f x x f y -∆+=∆ ;

3 设函数)(x f 在点a 具有连续的二阶导数,试证明:

)()

(2)()(lim

''20a f h

a f h a f h a f h =--++→ ; 4 试证明:0

时,有不等式 x sin >πx 2 .

(二)一年级《数学分析》考试题

一、(满分10分,每小题2分)判断题:

1、无界数列必发散; ( )

2、若对ε∀>0,函数f 在[εε-+b a ,]上连续,则f 在开区间(b a ,)内连续; ( )

3、初等函数在有定义的点是可导的; ( )

4、ϕψ=f ,若函数ϕ在点0x 可导,ψ在点0x 不可导,则函数f 在点0x 必不可导 ; ( )

5、设函数f 在闭区间[b a ,]上连续,在开区间(b a ,)内可导,但)()(b f x f ≠,则对),(b a x ∈∀,有0)('

≠x f ; ( ) 二、(满分20分,每小题4分)填空题 :

1、10

2

8

62)

12()12()2(lim

+-+∞

→n n n n = ;

2、曲线x x y ln =的所有切线中,与直线022=-+y x 垂直的切线是 ;

3、)1ln(2x x y ++= ,

=dx

dy

; 4、函数)(x f 二阶可导,)

(x f e

y = , 则=2

2dx

y

d ; 5、把函数2

)(x e x f -=展开成具Peano 型余项的Maclaurin 公式 ,

=)(x f ;

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