数学系一年级《数学分析》期末考试题
大学一年级《数学分析二》大学考试试题D卷及参考答案
2021年中央广播电视大学一年级期末考试试卷 大学一年级《数学分析二》大学考试试题D 卷及答案一、叙述题：(每小题5分，共10分）1、 叙述反常积分a dx x f ba,)(⎰为奇点收敛的cauchy 收敛原理2、 二元函数),(y x f 在区域D 上的一致连续二、计算题：（每小题8分，共40分）1、)212111(lim nn n n +++++∞→2、求摆线]2,0[)cos 1()sin (π∈⎩⎨⎧-=-=t t a y t t a x 与x 轴围成的面积3、求⎰∞+∞-++dx x x cpv 211)(4、求幂级数∑∞=-12)1(n nn x 的收敛半径和收敛域 5、),(yxxy f u =， 求y x u ∂∂∂2三、讨论与验证题：（每小题10分，共30分）1、yx y x y x f +-=2),(，求),(lim lim ),,(lim lim 0000y x f y x f x y y x →→→→；),(lim )0,0(),(y x f y x →是否存在？为什么？2、讨论反常积分⎰∞+0arctan dx xxp的敛散性。
3、讨论∑∞=-+133))1(2(n nnn n 的敛散性。
四、证明题：（每小题10分，共20分）3、 设f （x ）在[a ,b ]连续，0)(≥x f 但不恒为0，证明0)(>⎰badx x f4、 设函数u 和v 可微，证明grad (uv )=ugradv +vgradu参考答案一、1、,0.0>∃>∀δε使得δδδ<<<∀210，成立εδδ<⎰--21)(a a dx x f2、设2R D ⊂为点集，mRD f →:为映射，,0.0>∃>∀δε使得D x x x x ∈<-∀2,121,δ，成立ε<-)()(21x f x f二、1、由于x+11在[0，1]可积，由定积分的定义知（2分） )212111(lim nn n n +++++∞→ =2ln 11)11211111(1lim 10=+=+++++⎰∞→dx x nn n n n n （6分）2、 、所求的面积为：22023)cos 1(a dx x a ππ=-⎰（8分）3、 解：π=++=++⎰⎰-+∞→∞+∞-A A A dx x x dx x xcpv 2211lim 11)( (3分） 4、解：11lim 2=∞→nn x，r=1（4分） 由于x =0，x =2时，级数均收敛，所以收敛域为[0，2]（4分）5、解： y u ∂∂=221y x f x f -（3分）322112212yxf xy f y f f y x u -++=∂∂∂（5分） 三、1、解、0lim lim lim ,1lim lim lim 202000200==+-==+-→→→→→→yy y x y x x x y x y x y x y x y x （5分）由于沿kx y =趋于（0，0）极限为k+11所以重极限不存在（5分） 2、解：⎰⎰⎰∞+∞++=1100arctan arctan arctan dx x x dx x x dx x x p p p （2分），对⎰10arctan dx x xp，由于)0(1arctan 1+→→-x x x x p p 故p <2时⎰10arctan dx x x p 收敛（4分）；⎰∞+1arctan dx x x p，由于)(2arctan +∞→→x x x x p p π（4分）故p >1⎰∞+1arctan dx xx p 收敛，综上所述1<p <2，积分收敛 3、解：13123])1(2[lim3<+=-++∞→nn n n n 所以级数收敛（10分）四、证明题（每小题10分，共20分）1、证明：由0)(≥x f 但不恒为0，至少有一点],[0b a x ∈ f （x ）在[a ,b ]连续（2分），存在包含x 0的区间],[],[b a d c ⊂，有0)(>x f （4分），0)()(>≥⎰⎰dcbadx x f dx x f （4分）2、证明：以二元函数为例ugradvvgradu v v u u u v u v u v v u v u u v v u u v v u uv grad y x y x y x y x y y x x +=+=+=++=),(),(),(),(),()(（10分）。
数学系一年级《数学分析》期末考试题
1 / 3数学系一年级《数学分析》期末考试题学号 姓名一、（满分分，每小题分）单项选择题：、{n a }、{n b }和{n c }是三个数列，且存在,∀ >时有≤n a ≤n b n c ，则（ ）A. {n a }和{n b }都收敛时，{n c }收敛；. {n a }和{n b }都发散时，{n c }发散；C. {n a }和{n b }都有界时，{n c }有界；. {n b }有界时，{n a }和{n c }都有界；、=)(x f ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+=<,0 ,2.( ,0,0,,sin x x k x k x x kx 为常数） 函数 )(x f 在 点00=x 必 （ ） .左连续； . 右连续 . 连续 . 不连续 、''f （0x ）在点00=x 必 （ ）. x x f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim 02020 ； . '000)()(lim ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∆-∆+→∆x x f x x f x ; . '000)()(lim ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∆-∆+→∆x x f x x f x ; . x x f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim 0'0'0 ； 、设函数)(x f 在闭区间[b a ,]上连续，在开区间（b a ,）内可微，但≠)(a f )(b f 。
则 （ ） . ∈∃ξ（b a ,），使0)('=ξf ； . ∈∃ξ（b a ,），使0)('≠ξf ; . ∈∀x （b a ,），使0)('≠x f ；.当)(b f >)(a f 时，对∈∀x （b a ,），有)('x f > ；、设在区间Ⅰ上有⎰+=c x F dx x f )()(， ⎰+=c x G dx x g )()(。
则在Ⅰ上有（ ） . ⎰=)()()()(x G x F dx x g x f ； . c x G x F dx x g x f +=⎰)()()()( ；2 /3 . ⎰+=+c x G x F dx x F x g dx x G x f )()()]()()()([ ； . c x G x F dx x G x g dx x F x f +=+⎰)()()]()()()([ ；二、（满分分，每小题分）填空题 ： 、121323lim -+∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛-+x x x x ＝ ； 、)sgn(cos )(x x f =。
一年级数学分析期末
一年级数学分析期末第一篇：一年级数学分析期末2016-2017学年第一学期北师大版一年级数学期末质量分析一、基本情况一年级数学期末参试人数为22人，平均分94.68，及格人数21人，及格率95.45%；优秀人数20人，优秀率90.9%；良好人数21人，良好率95.45%。
整体来说，学生通过一学期的学习，成绩有了很大进步。
二、学生答题分析1、学生答题的总体情况: 大部分学生基础知识扎实，学习效果较好，特别是在计算部分、立体图形的认识、整时、半时的认读,数数、分类上失分较少。
但也反映出教学中存在的问题，学生在提出问题、分析问题、并解决问题上存在困难，不能用自己学到的知识解决生活中的实际问题。
同学之间还存在较大的差距，如何扎实做好培优辅差工作，如何加强班级管理，提高学习风气，在今后教育教学工作中应该引起足够的重视。
2、本次检测结合试卷剖析，学生主要存在以下几个方面的普遍错误类型：第一、不良习惯造成错误。
学生在答题过程中，不认真听老师读题，造成抄写数字错误、加减号看错等。
第二、审题不认真造成错误。
学生在答题过程中，审题存在较大的问题，有的题目需要学生在审题时必须通过分析才能找出答案，但学生经常大意。
三、存在问题本次检测，学生主要存在的问题有：1．第一题填空乐园。
学生在数一串珠子时，从左数，黑珠子是第几，黑珠子右边有几颗珠子，存在数错的情况。
2．第三题画一画，圈一圈。
第一小题，比较两个物体的多少，要求划出错误的答案，学生有划错的情况。
第二小题让小狗跳台阶，每次跳三下，有些孩子不会3个3个地数数，而失分。
3．第四题我是计算小能手。
第一小题学生做口算时分不清加减号，把加法当减法导致计算错误。
第三小题学生对一共有多少不知用什么方法计算，导致错误。
4.第五题解决问题，学生对一共有多少、还剩多少区分不清，不清楚用什么方法导致错误。
四、今后教学改进措施通过本次测试情况分析我们的教学现状，在今后的教学与评价过程中应作如下几方面的工作：1.培养学生良好学习习惯。
数学分析(1)期末模拟考试题(证明部分新)
数列极限类 1. 证明: 112111lim 222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++∞→n n n n n . 证 因为11211122222+≤⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++≤+n n n n n n n n n又11limlim22=+=+∞→∞→n n nn n n n ,由迫敛原理得112111lim 222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++∞→n n n n n . 2. 设() ,2,121,1111=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=>=+n a a a a a a n n n ,证明{}n a 有极限,并求此极限的值. 证 由均值不等式得a a a a a a a a n n n n n =⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+2212111,即{}n a 有下界. 又0212121=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-+n n n n n n n n n a a a a a a a a a a ,即{}n a 单调减,于是A a n n =∞→lim 存在,且由极限的保号性可得1≥A .对已知递推公式,令∞→n 和极限的唯一性得⎪⎭⎫⎝⎛+=A a A A 21, 解得a A =(负根舍去),即有a a n n =∞→lim .单调性的证明也可如下完成:11211212221=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+n n n n n a a a a a a ,或n n n n n a a a a a =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤+2121. 3. 设() ,2,16,1011=+==+n x x x n n ,试证数列{}n x 存在极限,并求此极限.证 由4166,10121==+==x x x 知, 21x x >.假设1+>k k x x ,则21166+++=+>+=k k k k x x x x ,由归纳法知{}n x 为单调下降数列.又显然有0>n x ,所以{}n x 有下界.由单调有界原理知,数列{}n x 收敛.所以可令a x n n =∞→lim ,对n n x x +=+61两边取极限得0662=--⇒+=a a a a ,解得3=a 或2-=a (舍去),故3lim =∞→n n x .4. 设+N ∈∃N ,当N n >时,有n n b A a ≤≤且()0lim =-∞→n n n a b .求证极限n n a ∞→lim 与n n b ∞→lim 存在且等于A .证 由n n b A a ≤≤得n n n a b a A -≤-≤0,由迫敛原理得A a n n =∞→lim ,再由()0lim =-∞→n n n a b 及A a n n =∞→lim 可得n n b ∞→lim 存在且等于A .5. 设()n n n n n n y x y y x x b y a x +==>=>=++21,,0,01111.求证: (1) {}n x 与{}n y 均有极限; (2) n n n n y x ∞→∞→=lim lim .证 因为()1121++=+≤=n n n n n n y y x y x x ,所以()()n n n n n n y y y y x y =+≤+=+21211,即{}n y 单调减少有下界,而n n n n n n n x x x y x x y y =≥=≥≥++111,即{}n x 单调增加有上界.所以{}n x 与{}n y 都收敛.在()121+=+n n n y y x 两边取极限得n n n n y x ∞→∞→=lim lim .6. 设0>n a ,且1lim1<=+∞→q a a nn n ,求证{}n a 收敛且0lim =∞→n n a .证 因为1lim1<=+∞→q a a nn n ,对给定的+N ∈∃>-=00,021N qε,当0N n >时,有()n n n n n n a a r r q q q a a q q q q a a <⇒<=+=-+<<--⇒-<-+++111121212121, 所以,当0N n >时,有112210a r a r ra a n n n n ---<<<<< ,由迫敛原理得0lim =∞→n n a .闭区间上连续函数的性质7. 证明方程01sin =++x x 在⎪⎭⎫⎝⎛-2,2ππ内至少有一个根. 证 令()1sin ++=x x x f ,则()x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,2ππ上连续,且22ππ-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-f ,222ππ+=⎪⎭⎫ ⎝⎛f ,即022<⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-ππf f .由根的存在性定理得至少存在一点∈ξ⎪⎭⎫⎝⎛-2,2ππ,使得()0=ξf ,即方程01sin =++x x 在⎪⎭⎫⎝⎛-2,2ππ内至少有一个根.8. 证明方程12=⋅xx 至少有一个小于1的正根.(10分)证 令()12-=xx x f ,则f 在[]1,0上连续且()()()011110<-=⋅-=⋅f f ,由闭区间上连续函数的零点存在定理,()1,0∈∃ξ，使得()12012=⋅⇒=-⋅=ξξξξξf .9. 设函数f 在[)+∞,0上连续,且满足()1lim =+∞→x f x .若f 在[)+∞,0上能取到负值,试证明:(1) [)+∞∈∃,00x ,使得()00=x f ; (2) f 在[)+∞,0上有负的最小值.证 由条件可设[)+∞∈',0x 且()0<'x f ,由()1lim =+∞→x f x ,存在)(0x M M '>>使得()021>>M f ,由根的存在性定理,得()[)+∞⊂'∈∃,0,0M x x ,使得()00=x f .(1)得证. (2) 由()1lim =+∞→x f x ,存在)(0x M M '>>使得当M x ≥时,有()021>>x f .又f 在[]M .0上连续,故[]M ,0∈∃ξ,使得()[](){}()0min ,0<'<=∈x f x f f M x ξ.而当[)+∞∈,M x 时,()021>>x f ,故对[)+∞∈∀,0x 有()≥x f ()[](){}()0min ,0<'<=∈x f x f f M x ξ.所以结论成立.10. 设n 为正整数,n a a a 221,,, 为n 2个实常数,且02<n a .求证多项式函数()n n n n n a x a x a x x P 21212122++++=--在()+∞∞-,内至少有两个零点.证 因为()0022<=n n a P ,又()()+∞=+∞=+∞→-∞→x P x P n x n x 22lim ,lim ,所以存在0>M ,使得()()0,022>>-M P M P n n ,又n P 2在[]0,M -和[]M ,0上都连续,由根的存在性定理,()0,1M -∈∃ξ和()M ,02∈∃ξ,使得()()02212==ξξn n P P ,所以,结论成立.11. 设()xt x x t x t x f sin sin sin sin lim -→⎪⎭⎫⎝⎛=,求()x f 的表达式,并指明()x f 的间断点及其类型.解: ()xx xx x t x x t xt xx t ex x t x t x f sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin 1lim sin sin lim =⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫⎝⎛=-→-→,所以0=x 为第一类可去间断点;() ,2,1±±==k k x π为第二类无穷间断点.12. 设()x f 在[]b a ,上连续,且满足()b x f a <<,求证:()b a x ,0∈∃,使得()00x x f =.证明:令()()x x f x F -=,则()x F 在[]b a ,上连续,()()()()()()0<-⋅-=⋅b b f a a f b F a F .由连续函数的零点定理,必存在()b a x ,0∈∃,使得()00=x F ,故()b a x ,0∈∃使得()00x x f =.13. 设()x f 是[]a 2,0上的连续函数,且满足条件()()a f f 20=.证明存在[]a x ,00∈,使得()()a x f x f +=00.证明: 令()()()a x f x f x F +-=,则()x F 在[]a ,0上连续,且()()()a f f F -=00,()()()()()()()02002=-=+⇒-=a f f a F F a f a f a F .若()()00==a F F ,则存在00=x 或a x =0使得()()a x f x f +=00.若()0F 与()a F 都不为零,则()()00<⋅a F F由连续函数的零点定理,必存在()a x ，00∈∃,使得()00=x F ,故()a x ,00∈∃使得()()a x f x f +=00.(注:两个数的和为零,则这两个数要么同时为零,要么,它们异号).14. 设函数()x f 在[)+∞,0上连续,且满足()1lim =+∞→x f x ,若存在()+∞∈,00x ,使得()00<x f ,求证:(1) ()+∞∈∃,0ξ使得()0=ξf ; (2) ()x f 在[)+∞,0上有负的最小值.证明: (1) 因为()1lim =+∞→x f x ,由函数的局部保不等式性,存在充分大的0>M (不妨设0x M >),使得M x >时,有()21>x f ,所以当M x >1时,()x f 在[]10,x x 上连续且()()010<⋅x f x f ,由连续函数的零点存在定理,存在[]()+∞⊂∈∃,0,10x x ξ使得()0=ξf .(2) 又()x f 在[]0,0x 上连续,故由最值定理,存在[]1,0x ∈η,使当[]1,0x x ∈时,()()ηf x f ≥,而()()00<≤x f f η,且[)+∞∈,1x x 时,()()ηf x f >>>021.所以()x f 在[)+∞,0上有负的最小值()ηf .15. 设()nx a x a x a x f n sin 2sin sin 21+++= ,若()x x f sin ≤,求证1221≤+++n na a a .证法1（用导数定义）因为 ()()n n na a a f nx na x a x a x f +++='⇒+++=' 212120cos 2cos 2cos . 又()()0000sin 0=⇒=≤f f ,所以()()()()1sin lim lim 00lim0000=≤=--='→→→xx x x f x f x f f x x x ,所以1221≤+++n na a a .证法2（用重要极限1）()1sin lim sin lim 2sin lim sin lim lim 0002010=≤+++=→→→→→xx x nxa x x a x x a x x f x x n x x x 所以1sin lim 2021=≤+++→xx na a a x n .导数与微分证明16. 设()⎪⎩⎪⎨⎧=≠=.0,0,0,1sin 3x x xx x f 证明: ()x f 在0=x 处可微; ()x f '在0=x 处不可微 证 因为()()()01sin lim 00lim0200==--='→→xx x f x f f x x ,所以函数()x f 在处可导,由可导与可微的关系知()x f 在0=x 处可微;又当0≠x 时, ()xx x x x f 1cos 1sin32-=', 而()()⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-'-'→→x x x x f x f x x 1cos 1sin 3lim 00lim00极限不存在,故()x f '在0=x 处不可导, 由可导与可微的关系知()x f '在0=x 处不可微; 17. 设()0x f ''存在,证明: ()()()()0200002limx f hx f h x f h x f h ''=--++→ 证:()()()()()()()()()()()[]()0000000000020000)21lim 212lim 2limx f x f x f h x f h x f h x f h x f h h x f h x f h x f h x f h x f h h h ''=''+''=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-'--'+'-+'=-'-+'=--++→→→ 18. 设()x f 为()+∞∞-,内的可导函数,周期为T .求证:()x f '也是以T 为周期的函数.证明:因为()()()()x f T x f x f T x f '=+'⇒=+,所以()x f '也是以T 为周期的函数. 中值定理的应用 19. 设01210=++++n a a a n ,证明多项式()n n x a x a a x f +++= 10在()1,0内至少有一个零点.证 作辅助函数()12101121+++++=n n x a n x a x a x F ,则()x F 在闭区间[]1,0满足罗尔中值定理的三个条件,故存在()1,0∈ξ使得()010=+++='n n a a a F ξξξ ,故()n n x a x a a x f +++= 10在()1,0内至少有一个零点.20. 设g f ,都是可导函数,且()()x g x f '<',证明当a x >时,()()()()a g x g a f x f -<-证 因为()()⇒'<'≤x g x f 0()x g 严格单调增.当a x >时, ()()a g x g >. 又由柯西中值定理得,存在()x a ,∈ξ使得()()()()()()()()()()()()()()()()a g x g a f x f g f a g x g a f x f g f a g x g a f x f -<-⇒<''=--⇒''=--1ξξξξ.21. 对任意的[)+∞∈,0x ,有()x x ≤+1ln ,且等号只在0=x 时成立.证明: 令()()(),001ln =⇒-+=f x x x f 存在()x ,0∈ξ,使得()()x f x f ξ'=,而()()001<⇒<+-='x f f ξξξ,当且仅当0=x 时()00=f ,所以结论成立.22. 设()x f 在[]a ,0上连续,在()a ,0内可导,且满足()()00==a f f ,求证:存在()a ,0∈ξ,使得()()02='+ξξξf f .提示:令()()x f x x F 2=,用罗尔中值定理可证.23. 设函数f 在[]b a ,上连续,在()b a ,内二阶可导,连结点()()a f a A ,与点()()()b f b B ,的直线交曲线()x f y =于点()()c f c M ,,其中b c a <<.证明:存在()b a ,∈ξ,使得()0=''ξf .证 因为B M A ,,三点共线,所以()()()()()()cb c f b f a c a f c f a b a f b f --=--=--. 在[]c a ,及[]b c ,上分别应用中值定理得: 存在()c a ,1∈η,使()()()a c a f c f f --='1η;存在()b c ,2∈η,使()()()cb c f b f f --='2η,即()()21ηηf f '='.由于f 二阶可导,故函数f '在区间[]21,ηη上满足罗尔中值定理的条件,故()()b a ,,21⊂∈∃ηηξ,使得()0=''ξf .24. 设10<<<b a ,证明不等式:abab a b 2arctan arctan -<-. 提示:在[]b a ,上用拉格朗日中值定理,注意将分母放大!25. 设b a <<0,证明不等式aba b a b b a a 1ln ln 222<--<+.26. 设()1,0∈x ,证明不等式()x x x x 2arctan 1ln <++<. 证 将要证的不等式变形为()2arctan 1ln 1<++<xxx ,令()()x x x f arctan 1ln ++=,则()()()x f x f ,1,0,00∈∀=在[]x ,0上满足拉格朗日中值定理的条件,于是()(),01,0⊂∈∃x ξ使得()211110arctan 1ln ξξ+++=-++x x x , 又由x +11与211x +在[]1,0上的连续性与单调性可得11121,111212<+<<+<ξξ,所以 ()2arctan 1ln 1<++<xxx ,故要证的不等式成立.27. 已知()x f 在0=x 的某邻域内有二阶连续导数,且()()()00,00,00≠''≠'≠f f f ,证明:存在唯一的一组实数321,,λλλ,使当0→h 时,()()()()032321f h f h f h f -++λλλ是比2h 高阶的无穷小量.证法1 （洛比达法则）()()()()()()()()()()()()0942123924lim 23322lim032lim3213210321023210f h f h f h f h h f h f h f h f h f h f h f h h h ''++=''+''+'''+'+'=-++→→→λλλλλλλλλλλλ令()()009421321=''++f λλλ,并由要证可知,前三式的分子的极限都应是零,可得到 ⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++0940321321321321λλλλλλλλλ (2) 因为0941321111≠,故(2)有唯一非零解.故结论成立.28. 设函数f 在),(+∞a 内可导,且()x f x +∞→lim 及()x f x '+∞→lim 都存在.证明()0lim ='+∞→x f x .证 当a x >时,由条件知,函数f 在区间[]1,+x x 上连续可导,故()1,+∈∃x x ξ,使得()()()ξf x f x f '=-+1.因为()x f x +∞→lim 及()x f x '+∞→lim 都存在,所以()x f x '+∞→lim =()()()[]()()0lim 1lim 1lim lim =-+=-+='+∞→+∞→+∞→+∞→x f x f x f x f f x x x ξξ.29. 证明;当2021π<<<x x 时,1212tan tan x x x x >证 令()x x x f tan =,则 ()xx xx x xx x x f 2222cos 2sin 21tan sec -=-='. 令()()⎪⎭⎫⎝⎛∈>-='⇒-=2,0,02cos 12sin 21πx x x g x x x g ,所以()x g 在⎪⎭⎫ ⎝⎛2,0π内单调增,则当0>x 时, ()()00=>g x g ,从而()0>'x f ,所以()x f 在⎪⎭⎫⎝⎛2,0π内单调增, 则当2021π<<<x x 时, ()()1212112212tan tan tan tan x x x x x x x x x f x f >⇒>⇒>.用单调性证明不等式30. 证明;当0>x 时, ()xx x +>+1arctan 1ln证 令()()()x x x x f arctan 1ln 1-++=,()()()()2221211;111ln 1x xx x f x x x f +++=''+-++=',当0>x 时,()0>''x f ,所以()x f '在()+∞,0内单调增,故当0>x 时, ()()00='>'f x f 因而得()x f 在()+∞,0内单调增, 故当0>x 时, ()()()xxx f x f +>+⇒=>1arctan 1ln 00. 31. 设e x 31≤≤,证明不等式:()1ln ln 23ln 122≤-≤-x x .32. 设0>x ，证明不等式11≤--xe x。
数学分析期末试题A答案doc
数学分析期末试题A答案doc2024年数学分析期末试题A及答案一、选择题1、以下哪个函数在 x = 0 处连续？ A. $f(x) = x^2$ B. $f(x) = \frac{1}{x}$ C. $f(x) = sin x$ D. $f(x) = e^x$ 答案：D解析：在 x = 0 处，只有选项 D 中的函数 e^x 是连续的。
因此，答案为 D。
2、设 $f(x) = x^2$，则 $f(3x - 2) =$ __________。
A. $x^2$ B. $(3x - 2)^2$ C. $(3x - 2)^3$ D. $(3x - 2)^2 + 1$ 答案：B解析：将 $x$ 替换为 $3x - 2$，得 $f(3x - 2) = (3x - 2)^2$。
因此，答案为 B。
3、下列等式中，错误的是： A. $\int_{0}^{1}x^2dx =\frac{1}{3}x^3|{0}^{1}$ B. $\int{0}^{\pi}\sin xdx = \cosx|{0}^{\pi}$ C. $\int{0}^{2\pi}\sin xdx = 0$ D.$\int_{0}^{1}(2x + 1)dx = (x^2 + x)|_{0}^{1}$ 答案：A解析：等式两边取极限，只有 A 选项等式两边不相等，因此 A 选项是错误的。
4、下列哪个导数是常数函数？ A. $y = x^3$ B. $y = \sin x$ C. $y = e^x$ D. $y = log_a(x)$ 答案：C解析：常数函数的导数为零。
在选项中，只有 C 中的函数 e^x 的导数为常数函数，其导数为 $e^x$。
因此，答案为 C。
高一生物期末考试试题及答案doc高一生物期末考试试题及答案doc高一生物期末考试是一次重要的学业水平测试，旨在考察学生在本学期学习生物课程的效果。
以下是本次考试的部分试题及其答案，供大家参考。
一、选择题1、下列哪一种生物不是由细胞构成的？ A. 细菌 B. 植物 C. 动物D. 病毒答案：D2、哪一个器官属于消化系统？ A. 口腔 B. 食道 C. 胃 D. 大肠答案：C3、在光合作用中，哪一个物质是植物从空气中吸收的？ A. 氧气 B. 二氧化碳 C. 葡萄糖 D. 水答案：B二、填空题1、病毒是一种生物，但它不能 _______ 和保持生命活动，必须_______ 在细胞内。
《数学分析》期末复习用 各章习题+参考答案
f f f (x) = x + 2 ； 2x + 3
f f f f (x) = 2x + 3 。 3x + 5
9． f (x) = f (x) + f (−x) + f (x) − f (−x) ， f (x) + f (−x) 是偶函数， f (x) − f (−x) 是奇
2
2
2
2
函数.
⎧− 4x + 3
2⋅4⋅6⋅
⋅ (2n) 。 (提示：应用不等式 2k > (2k − 1)(2k + 1) )。
9. 求下列数列的极限：
⑴
lim
n→∞
3n2 + 4n − 1 n2 +1 ;
⑵
n3 + 2n2 − 3n + 1
lim
n→∞
2n3 − n + 3 ;
2
⑶
3n + n3
lim
n→∞
3n+1
+ (n + 1)3
k∈Z ⎝
2
2⎠
（4） y = x −1 ，定义域： (− ∞,−1) ∪ [1,+∞)，值域： [0,1)∪ (1,+∞).
x +1
5．（1）定义域： ∪ (2kπ ,(2k +1)π )，值域： (− ∞,0]； k∈Z
（2）定义域：
∪
k∈Z
⎢⎣⎡2kπ
−
π 2
,2kπ
+
π 2
⎤ ⎥⎦
，值域： [0,1]；
1
（3）定义域：
[−
4,1] ，值域：
⎢⎣⎡0,
《数学分析》试题(含答案)
考试科目： 数学分析(I)一 、求极限、导数或高阶导数(每小题5分，共35分)1.n lim →∞⎛⎫++……解：n n n 11(1)(1)lim lim n n n n →∞++⎛⎫≤+≤……，故原式1=2.2.()222n x x x n x x x x 2x 2lim =lim =lim =lim =022ln 22ln 22n →∞→∞→∞→∞. 3.()42220011-cos 12lim =lim =sin ln 1+2x x xx x x x x x x →→•.4. 11limarcsin()1ln x x x x→--解：111limarcsin()arcsin 1ln 26x x x x π→-==-. 5.设(0)xxy x x =>,求y '.1(ln (ln 1))xx x x y x x x x x -'=++.6. 设函数)(x y y =是由参数方程⎩⎨⎧-=-=)cos 1()sin (t a y t t a x 确定，求2t dydxπ=和t dy dxπ=。
21t dy dxπ==.7. 设函数f 二阶可导，1()1x y f x -=+，22d y dx解：221()(1)1dy x f dx x x -'=++， 22344141()()(1)1(1)1d y x x f f dx x x x x --'''=-+++++.二、解答题（每小题8分，共32分）1. 已知001a <<，)n+1a n 0≥，求证n a 的极限存在并求其极限.解: 易知{}n a 单调增有上界1，故由单调收敛定理及n+1n n lim a =→∞知n n lima =1.→∞2. 讨论函数()211sin x x f x e x-=的间断点及其类型. 解: 0x =为可去间断点，=1x ±为第二类间断点.3. 求函数()(4)f x x =-的极值点与极值。
2010—2011 学年第一学期期末考试大学《数学分析 1》 试题及答案
五、证明题（3 小题，1,2 小题各题 6 分，3 小题 7 分，共 19 分）
1、设 an
=
sin1 2
+
sin 2 22
++
sin n 2n
，证明数列 an 收敛.
2、证明 f (x) = x2 在a,b上一致连续.
3、若函数
f
在 a,b上可导，且
f
+
(a
)
f
−
(b)
，
k
为介于
f
+
(a
)和f
−
(b)
( ) 1、已知 y = ln x + 1+ x2 ，求 dy ； dx
2、设
x y
= =
a(t a(1
− sin t) − cost)
，求
dy dx
；
3、设 y = xsin x ，求 y ；
4、设 y = arcsin 1− x2 ，求 dy .
5、求函数 f (x) = (2x − 5) 3 x2 的极值.
1
( ) d 1− x2 , ……………………………………3 分
( )2
1− 1− x2
( ) = 1 d 1 − x2 = − 1 x dx ……………………………………………………5 分 x 2 1− x2 x 1− x2
5、解：定义域 (− ,+)
f
(x) = 23
x2
+
(2
x
−
5)
2
x
−
( ) 9、若在 x0 附近 f (x) = pn (x)+ o (x − x0 )n ，则 pn (x)是唯一的，其中
小学一年级数学分析练习题
小学一年级数学分析练习题本文将为小学一年级的学生提供一些数学分析的练习题，旨在帮助他们加深对数学知识的理解和运用能力。
以下是一些针对小学一年级学生的数学题目，每道题后面都有详细的解答。
1. 题目：小明有3个苹果，小红有5个苹果，他们一共有几个苹果？解答：小明和小红一共有3 + 5 = 8个苹果。
2. 题目：班级有10个男生和12个女生，一共有几个学生？解答：班级一共有10 + 12 = 22个学生。
3. 题目：小华有4本书，他借给小明2本书，还剩几本书？解答：小华借出2本书后还剩4 - 2 = 2本书。
4. 题目：小明有8个糖果，他给了小红3个糖果，还剩几个？解答：小明给了小红3个糖果后还剩8 - 3 = 5个糖果。
5. 题目：一个篮子里有6个橘子，小华拿走了2个，还剩几个？解答：小华拿走2个橘子后还剩6 - 2 = 4个橘子。
6. 题目：妈妈有9个饼干，她给小明和小红各分了3个饼干，还剩几个？解答：妈妈给了小明和小红各分了3个饼干后还剩9 - 3 - 3 = 3个饼干。
7. 题目：有一条绳子长12米，小华剪下6米，还剩几米？解答：小华剪下6米后绳子还剩12 - 6 = 6米。
8. 题目：篮球队有7个男生和5个女生，一共有几个队员？解答：篮球队一共有7 + 5 = 12个队员。
9. 题目：班级有15个学生，其中有8个学生是女生，男生有几个？解答：班级中男生的数量为15 - 8 = 7个。
10. 题目：小华有10本漫画书，他借给小明5本，还剩几本？解答：小华借出5本书后还剩10 - 5 = 5本。
通过这些简单的数学练习题，小学一年级的学生可以巩固他们对基本数学概念的理解，并提高他们的计算能力。
希望以上练习题和解答能够对小学一年级的学生有所帮助。
持续学习和练习将有助于他们在数学方面取得更好的成绩。
数学分析期末复习题
13数学分析(三)复习范围一、计算题(每小题10分，共70分) 1. 全微分计算题2. 求隐函数(组)的一阶偏导数3. 求抽象函数的二阶偏导数4. 求曲线的切线与法平面方程或求曲面的切平面与法线方程5. 求函数的极值6. 计算第一型曲面积分7. 计算第二型曲面积分8. 计算第二型曲线积分(格林公式) 9. 二重积分的计算10. 高斯公式与斯托克斯公式 11. 求多元函数的方向导数 12. 曲线积分与路径无关问题13. 将三次积分用柱坐标与球坐标表示14. 应用--求曲面面积(二重积分)或质量问题(第一型曲线积分)15. 利用余元公式B(p,1-p)=ππp sin ，计算⎰+∞+01n x dx 类积分值二、解答与证明题(第小题10分，共30分)1. 用定义证明多元函数的极限2. 证明多元函数的连续性3. 研究含参量积分的一致收敛性4. 证明含参量非正常积分的连续性5. 三重积分的证明题6. 有关多维空间的聚点或开闭集问题7. 证明二重极限不存在8. 多元函数的可微性证明例题一、计算题1. 全微分计算题公式：du=u x ∂∂dx+u y ∂∂dy+uz∂∂dz 。
例1：求函数u=2222z x x y -+的全微分；例2：已知函数z=z(x,y)是由方程x 2+y 2+z 2-3x=0所确定的函数，求z(x,y)的全微分。
2. 求隐函数(组)的偏导数例3：设zy e z x +=，求yx z ∂∂∂2。
例4：设2x+y+3z=0，x+y+z=e -(x+y+z)，求dx dy ，dxdz。
3. 求抽象函数的二阶偏导数例5：设u=f(ax+by,by+cz,cz+ax)，求z x u∂∂∂2，22u y ∂∂其中f 具有二阶连续的偏导数；例6：设u=f(x 2-y 2，xye )，求yx u∂∂∂2，其中f 具有二阶连续偏导数。
4. 求曲线的切线与法平面方程或曲面的切平面与法线例7：求曲线：x 2+y 2+z 2=6，x+y+z=0在点(1,-2,1)处的法平面方程。
数学系一年级《数学分析》期末考试题
数学系一年级《数学分析》期末考试题各位读友大家好，此文档由网络收集而来，欢迎您下载，谢谢数学系一年级《数学分析》期末考试题学号姓名一、对错判断题：、设为两个数列，若（）则；（）2、若函数以为极限，则可表为；（）3、设定义于[]上，若取遍与之间的任意值，则比在[]上连续；（）4、若在连续，且存在，则在有界;（）5、若的导数在[]上连续，则必存在常数L,使，；（）6、①当时，；（）②；（）7、若和在点都不可导，则在点也不可导;（）8、为Ⅰ上凸函数的充要条件为，对Ⅰ上任意三点有：（）9、若在二阶可导，则（）为曲线的拐点的充要条件为；（）0、若S为无上界的数集，则存在一个递增数列,使得；（）二、单项选择题：、设在处连续，则（）12、设当是不连续是因为（）A.在无定义B.不存在左，右极限不相等3、设，其中在处连续但不可导，则（）A.不存在4、当很小时，下列近似公式正确的是（）5、若和对于区间（）内每一点都有，在（）内有（）D.（c为任意常数）D.（c为任意常数）三、证明题：、证明;2、证明不等式：；3、对任意实数有；4、证明：方程（为常数）在内不可能有两个不同的实根；5、设函数在点存在左，右导数，试证在连续；6、证明：若极限存在，则它只有一个极限；四、计算题：、写出的其拉格朗日型余项的马克劳林公式；2、求下列极限：①；②；③；3、求的微分；4、设函数的参量方程（）所确定，求.各位读友大家好，此文档由网络收集而来，欢迎您下载，谢谢。
一年级数学分析期末考试卷
一年级数学分析期末考试卷
题目一：计算下列算式的值
1. $5 + 3 = 8$
2. $7 - 2 = 5$
3. $4 \times 6 = 24$
4. $10 \div 2 = 5$
题目二：简答题
1. 什么是加法？
答：加法是指将两个或多个数相加，得到它们的和。
2. 什么是减法？
答：减法是指从一个数中减去另一个数，得到它们的差。
3. 什么是乘法？
答：乘法是指将两个或多个数相乘，得到它们的积。
4. 什么是除法？
答：除法是指将一个数除以另一个数，得到它们的商。
5. 什么是数轴？
答：数轴是一条直线，上面用来表示各种数的大小和顺序的工具。
题目三：填空题
1. 3 + ___ = 7，空格处应填什么？答：4
2. 8 - ___ = 5，空格处应填什么？答：3
3. 5 × ___ = 20，空格处应填什么？答：4
4. 15 ÷ ___ = 3，空格处应填什么？答：5
题目四：解答题
1. 请计算：$2 \times (3 + 5) = 16$
2. 请用数轴表示：5 + 3 = 8
3. 小明有9本书，他借给小红3本书，现在还剩多少本书？答：6本书
题目五：应用题
1. 小明用10元买了一支笔，一本本子5元，他一共花了多少钱？答：15元
2. 如果今天是星期二，再过3天是星期几？答：星期五
答案就是以上内容。
一年级数学期末考试卷分析【含答案】
一年级数学期末考试卷分析【含答案】专业课原理概述部分一年级数学期末考试卷分析一、选择题（每题1分，共5分）1. 下列哪个数字是偶数？A. 3B. 4C. 5D. 62. 5 + 7 = ？A. 10B. 12C. 14D. 163. 下列哪个图形是正方形？A. 三角形B. 矩形C. 圆形D. 正方形4. 下列哪个数字是质数？A. 11B. 12C. 13D. 145. 下列哪个数字是10的倍数？A. 9B. 10C. 11D. 12二、判断题（每题1分，共5分）1. 2 + 2 = 5 （）2. 1 > 2 （）3. 9是3的倍数（）4. 8是偶数（）5. 15是质数（）三、填空题（每题1分，共5分）1. 7 + 8 = __2. 14 7 = __3. 5 × 4 = __4. 20 ÷ 5 = __5. 13的倍数有：__四、简答题（每题2分，共10分）1. 请写出2的倍数，并说明为什么。
2. 请写出3的倍数，并说明为什么。
3. 请解释什么是质数。
4. 请解释什么是偶数。
5. 请解释什么是因数。
五、应用题（每题2分，共10分）1. 小明有10个苹果，他吃掉了3个，还剩下几个？2. 小红有15个糖果，她给了小明5个糖果，还剩下几个？3. 请计算下列算式的结果：4 + 6 × 24. 请计算下列算式的结果：18 ÷ 3 + 25. 请找出下列数字中最大的一个：7, 9, 11, 13六、分析题（每题5分，共10分）1. 请分析下列算式的正确性，并解释原因：8 + 5 = 132. 请分析下列算式的正确性，并解释原因：9 × 3 = 27七、实践操作题（每题5分，共10分）1. 请用纸和剪刀剪出一个正方形，并测量它的边长。
2. 请用纸和剪刀剪出一个长方形，并测量它的长和宽。
八、专业设计题（每题2分，共10分）1. 设计一个简单的加法游戏，要求使用不超过10以内的数字。
一年级数学分析练习题
一年级数学分析练习题一、填空题1. 4 + 2 = ________2. 7 - 3 = ________3. 5 × 2 = ________4. 8 ÷ 4 = ________5. 小明家有6个苹果，他吃掉了2个，那现在还剩下_______个苹果。
6. 9比7多_______。
7. 5比8少_______。
8. 把9个草莓分给3个孩子，每个孩子得到_______个草莓。
二、选择题1. 小狗有4只脚，小鸟有_______只脚。
A. 2B. 4C. 62. 妈妈给小明买了3个苹果，小明自己再买了2个，他一共有_______个苹果。
A. 3B. 5C. 73. 小华有7本故事书，她借给小明3本，小明借给小刚2本，小华还剩下_______本故事书。
A. 2B. 4C. 64. 5 × 3 = _______。
A. 10B. 15C. 255. 12 ÷ 4 = _______。
A. 2B. 3C. 4三、计算题1. 9 + 7 = _______2. 6 - 3 = _______3. 4 × 5 = _______4. 8 ÷ 2 = _______5. 10 ÷ 5 = _______四、应用题小明有10个糖果，小红有6个糖果，他们一起把糖果平均分给他们的3个朋友，每个人能得到多少个糖果？剩下几个糖果？五、填空题1. 4 + 3 = ________2. 8 - 4 = ________3. 2 × 5 = ________4. 9 ÷ 3 = ________5. 用数字填空：五比八_______。
6. 小华有8个苹果，她给小明3个，小明给小红2个，小华还剩下_______个苹果。
以上为一年级数学分析练习题，希望对学生们巩固数学知识有所帮助。
数学系一年级《数学分析》期末考试题 2002.1. .doc
数学系一年级《数学分析》期末考试题 2002.1.班级 学 号 姓 名一． （ 满分 1 0 分，每小题 2 分）判断题：1． 设数列}{n a 递增且 a a n n =∞→lim （有限）. 则有}sup{n a a =. ( ) 2. 设函数)(x f 在点0x 的某邻域)(0x U 内有定义. 若对)(0x U x n ο∈∀,当 0x x n →时, 数列)}({n x f 都收敛于同一极限. 则函数)(x f 在点0x 连续. ( )3. 设函数)(x f y =在点0x 的某邻域内有定义. 若存在实数A ,使0→∆x 时, ),()()(00x x A x f x x f ∆=∆--∆+ο则)(0x f '存在且A x f =')(0. ( )4. 若),(0)( ,0)()(2121x f x f x f x f ''<<''='='则有).()(21x f x f >( )5． 设 ⎰⎰+=+=c x G dx x g c x F dx x f )()( ,)()(. 则当)()(x G x F ≠时, 有)()(x g x f ≠. ( )二. （ 满分 1 5 分，每小题 3 分）填空题: 6. =+=∞→+=∑n n n k n a k n a lim .911612 . 7. 函数 |3|ln 3)(--=x x x f 的全部间断点是 . 8. )1ln()(2x x f +=, 已知 56)2()(lim000=--→h h x f x f h , =0x . 9. 函数193)(23+--=x x x x f 的既递减又下凸的区间是 .10. ⎰⎰='+=dx x f x c x dx x f )( ,sin )(2 .三. （ 满分 3 6 分，每小题 6 分）计算题:11. 1111lim 30-+-+→x x x .12. 求函数54)15(4)(+-=x x x f 的极值 .13. ⎰+12x x dx .14.⎰++dx x x )1ln(2. 15. ⎰+-+dx x x x 5232.16. 在边长为 a 的正三角形的三个角上剪去长为x 的四边形(如右上图),然后 折起来做成底为正三角形的盒子. 求最大体积 .四. （ 满分 7 分）验证题:17. 用“δε-”定义验证函数 254)(2-+=x x x f 在点20=x 连续 . 五. （ 满分 3 2 分，每小题 8 分）证明题:18. 设函数f 在区间] 2 , 0 [a 上连续 , 且 ) 2 () 0 (a f f =. 试证明 : ] , 0 [ a c ∈∃, 使 )() (a c f c f +=.19. 设函数)(x f 在区间 I 上可导, 且导函数 )(x f '在该区间上有界 .试证明 函数 )(x f 在区间 I 上一致连续 .20. 设函数)(x f 在区间] , 0 [a 上二阶可导,且 0) (=a f . )()(2x f x x F =. 试证明: ) , 0 ( a ∈∃ξ, 使 0) (=''ξF .21. 试证明: 对 R ∈∀n x x x ,,, 21Λ, 有不等式nx x x n x x x n n 2222121 +++≤+++ΛΛ.。
数学分析期末试题(值得下载 )
数学分析考试题一、判断题（每小题2分，共20分）1.开域是非空连通开集，闭域是非空连通闭集．（）2.当二元函数的重极限与两个累次极限都存在时，三者必相等．（）3.连续函数的全增量等于偏增量之和． （）4.在原点不可微．（）5.若都存在，则．（）6.在内不一致收敛．（）7.平面图形都是可求面积的．（）8.学过的各种积分都可以以一种统一的形式来定义. （）9.第二型曲面积分也有与之相对应的“积分中值定理”．（）10.二重积分定义中分割的细度不能用来代替．（）二、填空题（每小题3分，共15分）1.设，则其全微分．2.设，则在点处的梯度．3.设为沿抛物线,从到的一段，则．4.边长为密度为的立方体关于其任一棱的转动惯量等于．5.曲面在点（3,1,1）处的法线方程为．三、计算题（每小题5分，共20分）1．求极限．2．设是由方程所确定的隐函数，求．3．设，求.4．计算抛物线与轴所围的面积.四、(10分)密度的物体由曲面与所围成，求该物体关于轴的转动惯量．五、（10分）求第二类曲面积分其中是球面并取外侧为正向．六、（第1小题8分，第2小题7分，共15分）．1. 求曲线，在点（1，1，2）处的切线方程和法平面方程．2．证明：．七、（10分）应用积分号下的积分法，求积分．第三学期数学分析参考答案及评分标准一、判断题（每小题2分，共20分）1.开域是非空连通开集，闭域是非空连通闭集．（）2.当二元函数的重极限与两个累次极限都存在时，三者必相等．（√）3.连续函数的全增量等于偏增量之和． （）4.在原点不可微．（√）5.若都存在，则．（）6.在内不一致收敛．（√）7.平面图形都是可求面积的．（）8.学过的各种积分都可以以一种统一的形式来定义. （√）9.第二型曲面积分也有与之相对应的“积分中值定理”．（）10.二重积分定义中分割的细度不能用来代替．（√）二、填空题（每小题3分，共15分）1.设，则其全微分．2.设，则在点处的梯度 (1,-3,-3)．3.设为沿抛物线,从到的一段，则 2 ．4.边长为密度为的立方体关于其任一棱的转动惯量等于．5.曲面在点（3,1,1）处的法线方程为．三、计算题（每小题5分，共20分）1.解：先求其对数的极限．由于，所以 =0，故=1．2.解：方程两边对，求偏导数，得解得。
数学系一年级《数学分析》期末考试题
（一）数学系一年级《数学分析》期末考试题学号 姓名一、（满分10分，每小题2分）单项选择题：1、{n a }、{n b }和{n c }是三个数列，且存在N,∀ n>N 时有≤n a ≤n b nc ，则（ ）A {n a }和{n b }都收敛时，{n c }收敛； B. {n a }和{n b }都发散时，{n c }发散； C {n a }和{n b }都有界时，{n c }有界； D. {n b }有界时，{n a }和{n c }都有界；2、=)(x f ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+=<,0 ,2.( ,0,0,,sin x x k x k x x kx为常数） 函数 )(x f 在 点00=x 必 （ ）A.左连续；B. 右连续C. 连续D. 不连续 3、''f （0x ）在点00=x 必 （ ）A. x x f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim 02020 ； B. '000)()(lim ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∆-∆+→∆x x f x x f x ; C. '000)()(lim ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∆-∆+→∆x x f x x f x ; D. x x f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim 0'0'0 ； 4、设函数)(x f 在闭区间[b a ,]上连续，在开区间（b a ,）内可微，但≠)(a f )(b f 。
则（ ）A. ∈∃ξ（b a ,），使0)('=ξf ； B. ∈∃ξ（b a ,），使0)('≠ξf ;C. ∈∀x （b a ,），使0)('≠x f ；D.当)(b f >)(a f 时，对∈∀x （b a ,），有)('x f >0 ； 5、设在区间Ⅰ上有⎰+=c x F dx x f )()(，⎰+=c x G dx x g )()(。
则在Ⅰ上有（ ） A. ⎰=)()()()(x G x F dx x g x f ； B. c x G x F dx x g x f +=⎰)()()()( ； C. ⎰+=+c x G x F dx x F x g dx x G x f )()()]()()()([ ； D.c x G x F dx x G x g dx x F x f +=+⎰)()()]()()()([ ；二、（满分15分，每小题3分）填空题 ：1 121323lim -+∞→⎪⎭⎫⎝⎛-+x x x x ＝ ；2)sgn(cos )(x x f =。
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（一）数学系一年级《数学分析》期末考试题学号 姓名一、（满分10分，每小题2分）单项选择题：1、{n a }、{n b }和{n c }是三个数列，且存在N,∀ n>N 时有≤n a ≤n b nc ，则（ ）A {n a }和{n b }都收敛时，{n c }收敛； B. {n a }和{n b }都发散时，{n c }发散； C {n a }和{n b }都有界时，{n c }有界； D. {n b }有界时，{n a }和{n c }都有界；2、=)(x f ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+=<,0 ,2.( ,0,0,,sin x x k x k x x kx为常数） 函数 )(x f 在 点00=x 必 （ ）A.左连续；B. 右连续C. 连续D. 不连续 3、''f （0x ）在点00=x 必 （ ）A. x x f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim 02020 ； B. '000)()(lim ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∆-∆+→∆x x f x x f x ; C. '000)()(lim ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∆-∆+→∆x x f x x f x ; D. x x f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim 0'0'0 ； 4、设函数)(x f 在闭区间[b a ,]上连续，在开区间（b a ,）内可微，但≠)(a f )(b f 。
则（ ）A. ∈∃ξ（b a ,），使0)('=ξf ； B. ∈∃ξ（b a ,），使0)('≠ξf ;C. ∈∀x （b a ,），使0)('≠x f ；D.当)(b f >)(a f 时，对∈∀x （b a ,），有)('x f >0 ； 5、设在区间Ⅰ上有⎰+=c x F dx x f )()(，⎰+=c x G dx x g )()(。
则在Ⅰ上有（ ） A.⎰=)()()()(x G x F dx x g x f ； B. c x G x F dx x g x f +=⎰)()()()( ；C. ⎰+=+c x G x F dx x F x g dx x G x f )()()]()()()([ ；D. c x G x F dx x G x g dx x F x f +=+⎰)()()]()()()([ ； 二、（满分15分，每小题3分）填空题 ：1 121323lim -+∞→⎪⎭⎫⎝⎛-+x x x x ＝ ；2)sgn(cos )(x x f =。
)(x f 在区间[ππ,-]上的全部间断点为 ；3 )(x f ＝x 2sin , =)6()11(πf；4 函数)(x f 在R 内可导，且在（1,∞-）内递增，在（+∞,1）内递减,)()(xxe f x F =，)(x F 的单调递减区间为 ；5 =+⎰dx x f x f x f )(1)()(2' ； 三、（满分36分，每小题6分）计算题：1、⎪⎭⎫⎝⎛-→x x x 220sin 11lim ; 2、把函数2xx e e shx --=展开成具Peano 型余项的Maclaurin 公式 ;3、dx e arctg ex x ⎰-+11；4、xex f =)(2,计算积分dx xx f ⎰)( ；5、⎰+--dx x x x 2332 ；6、斜边为定长c 的直角三角形绕其直角边旋转，求所得旋转体的最大体积 ;四、（满分7分）验证题：由有“N -ε”定义验证数列极限 3225332lim220=--+→n n n h ； 五、（满分32分，每小题8分）证明题：1 设函数)(x f 和)(x g 都在区间Ⅰ上一致连续，证明函数)()(x g x f +在区间Ⅰ上一致连续；2 设函数)(x f 在点0x 可导且0)(0'≠x f ，试证明：y ∆～0)(x x x df =，其中)()(00x f x x f y -∆+=∆ ；3 设函数)(x f 在点a 具有连续的二阶导数，试证明：)()(2)()(lim''20a f ha f h a f h a f h =--++→ ； 4 试证明：0<x <2π时，有不等式 x sin >πx 2 .（二）一年级《数学分析》考试题一、（满分10分，每小题2分）判断题：1、无界数列必发散； （ ）2、若对ε∀>0，函数f 在[εε-+b a ,]上连续，则f 在开区间（b a ,）内连续； （ ）3、初等函数在有定义的点是可导的； （ ）4、ϕψ=f ，若函数ϕ在点0x 可导，ψ在点0x 不可导，则函数f 在点0x 必不可导 ； （ ）5、设函数f 在闭区间[b a ,]上连续，在开区间（b a ,）内可导，但)()(b f x f ≠，则对),(b a x ∈∀，有0)('≠x f ； （ ） 二、（满分20分，每小题4分）填空题 ：1、102862)12()12()2(lim+-+∞→n n n n ＝ ；2、曲线x x y ln =的所有切线中，与直线022=-+y x 垂直的切线是 ；3、)1ln(2x x y ++= ，=dxdy； 4、函数)(x f 二阶可导，)(x f ey = ， 则=22dxyd ； 5、把函数2)(x e x f -=展开成具Peano 型余项的Maclaurin 公式 ，=)(x f ；三、（满分30分，每小题6分）计算题:1、xe x x x xx 3lim)1(2)1ln(4lim220--++→ ；2、求 ,3)( ,0)(0'0==x f x f xx x f x ∆∆-→∆)2(lim00；3、xx x xx x y sin cos cos sin +-=， 求dy ；4、x x y sin 2=， 求)80(y ；5、210)lim (lim x x xx → ； 四、（满分40分，每小题8分）证明题：1、设函数)(x f 在区间Ⅰ上满足Lipschitz 条件：L ∃>0，∈∀21,x x Ⅰ， 有)()(21x f x f -21x x L -≤ ，证明f 在区间Ⅰ上一致连续；2、证明函数1)(-=x x f 在点1=x 不可导 ；3、设函数)(x f 在R 内连续且+∞=∞→)(lim x f x ，试证明)(x f 在R 有最小值；4、设0<a <b ，)(x f 在[b a ,]上可导，在（b a ,）内可导，证明),(b a ∈∃ξ，使得[])()()()(2'22ξξf a b a f b f -=- ；5、设函数f 和g 可导且0≠f ，又0)()()()(''=x g x f x g x f ，证明)()(x cf x g =，其中c 为常数.（三）一年级《数学分析》考试题一 对错判断题：1、设{}{}n n y x ,为两个数列，若n n y x （ 2 1、、=n ）则n n n n y x ∞→∞→lim lim ；（ ） 2、若函数)(x f 以A 为极限，则)(x f 可表为)1()(o A x f += ； （ ）3、设)(x f 定义于[b a ,]上，若)(x f 取遍)(a f 与)(b f 之间的任意值，则)(x f 比在[b a ,]上连续； （ ）4、若)(x f 在[)+∞,a 连续，且)(lim x f x +∞→存在，则)(x f 在[)+∞,a 有界;（ ）5、若)(x f y =的导数)('x f 在[b a ,]上连续，则必存在常数L,使2121)()(x x L x f x f -≤- ，[]b a x x , , 21∈∀ ； （ ）6、① 当0→x 时，0)n (m )()()( nm nmxo x o x o +=+ ； （ ）② )(n 0a )(n 0n ∞→→⇔∞→→n a ； （ ） 7、若)(x f 和)(x g 在0x 点都不可导，则)()(x g x f +在0x 点也不可导; （ ）8、)(x f 为Ⅰ上凸函数的充要条件为，对Ⅰ上任意三点321x x x 有：13131212)()()()(x x x f x f x x x f x f --≤-- （ ）9、若)(x f 在0x 二阶可导，则（()00,x f x ）为曲线)(x f y =的拐点的充要条件为0)(0''=x f ； （ ）10、若S 为无上界的数集，则存在一个递增数列{}S x n ⊂,使得 )( , ∞→∞←n x n ； （ ） 二 单项选择题：1、设 =)(x f ⎪⎩⎪⎨⎧=≠-0 ,0 , )1(1x k x x x 在0=x 处连续， 则=k （ ） A. 1 B. e C.e1D. －1 2、设 =)(x f ⎪⎩⎪⎨⎧=0 x 1 x 10 2 x x x 当0=x 是不连续是因为 （ ）A.)(x f 在0=x 无定义B.)(lim 0x f x →不存在C. )0()(lim 0f x f x ≠→ D.左，右极限不相等3、设 )()()(x a x x f ϕ-=，其中)(x ϕ在a x =处连续但不可导，则=)('a f （ ）A. 不存在B. )('a ϕC. )(a ϕD. －)('a ϕ 4、当x 很小时，下列近似公式正确的是 （ ）A. x e x≈ B.x x ≈ln C. x x n +≈+11 D. x x ≈sin5、若)(x f 和)(x g 对于区间（b a ,）内每一点都有)()(''x g x f =，在（b a ,） 内有 （ ）A.)()(x g x f =B.为常数）（2121 , c , )( , )(c c x g c x f ==D. )()(x cg x f =（c 为任意常数） D. c x g x f +=)()( （c 为任意常数） 三 证明题：1 证明 9921lim =+++∞→nnnnn ;2 证明不等式：h h h harctan 12+ ；3 对任意实数b a ,有)(212b ab a e e e+≤+ ； 4 证明：方程033=+-c x x （c 为常数）在[]1,0内不可能有两个不同的实根； 5 设函数)(x f 在点0x 存在左，右导数，试证)(x f 在0x 连续； 6 证明：若极限0lim x x →存在，则它只有一个极限；四 计算题：1 写出x x f sin )(=的其拉格朗日型余项的马克劳林公式；2 求下列极限：① )1021(lim n n n n +++∞→ ；② xxx arctan lim0→ ；③ 11lim 1--→n m x x x ；3 求 )sin(b ax ey +=的微分；4 设函数)(x y y =的参量方程 ⎩⎨⎧==tb y t a x sin cos （π t 0）所确定，求dx dy.（四）一年级《数学分析》考试题一 叙述题：1 用δε-语言叙述A x f x x =-→)(lim 0（A 为定数）2 叙述Rolle 中值定理，并举出下列例子：1） 第一个条件不成立，其它条件成立，结论不成立的例子； 2） 第二个条件不成立，其它条件成立，结论不成立的例子； 3） 第三个条件不成立，结论成立的例子；二、计算题：1 求极限)122(lim n n n n ++-+∞→ ；2 求极限x n x-∞→-)21(lim ； 3 求)1ln()(x x f +=的带Peano 型余项的Maclaurin 公式； 4 求xx xx n sin tan lim0--→；三、研究函数=)(x f ⎪⎩⎪⎨⎧+=0 x 10 x 00 22 x x x 在0=x 处的左，右极限和极限；四、研究函数求数集{}22x x s =的上、下确界，并依定义加以验证； 五、证明题：1 用定义证明： 35lim22=+→x n ；2 证明：()()())()()(x g o x g o x g o =+ (0x x →)3 设)(x f 定义在区间Ⅰ上，若存在常数L ，'x ∀,∈''x Ⅰ,有'''''')()(x x L x f x f -≤-证明：)(x f 在Ⅰ上一致连续；4 设函数)(x f 在点a 的某个邻域内具有连续的二阶导数，证明 )()(2)()(lim ''2a f ha f h a f h a f h =--++→ .（五）一年级《数学分析》考试题一 判断题：（满分10分，每小题2分）1、若0lim =∞→n n a ，则∞=∞→nn a 1lim； （ ）2、有限开区间（b a ,）内一致连续的函数)(x f 必在开区间内有界； （ ）3、设函数)(x f y =在点0X 的某领域内有定义，若存在数A ，使)()()(00x o x A x f x x f y ∆+∆=-∆+=∆，（0→∆x ），则)(x f 在点0X 可导且)(0'x f A = ； （ ）4、ψϕ+=f ，若函数f 在点0X 可导，则函数ϕ和ψ都在点0X 可导； （ ）5、设函数f 在闭区间[b a ,]上连续，在开区间（b a ,）内可导，若对),(b a x ∈∀，0)('≠x f ，则必有)()(b f x f ≠； （ ）二 单项选择题：（满分20分，每小题4分）1、函数)(x f 在点0x 连续的充要条件是 A. )0(0-x f 和)0(0+x f 中至少有一个存在； B. )0(0-x f 和)0(0+x f 存在且相等；C. )0(0-x f =)0(0+x f =)(0x f ;D. )(x f 在点0x 可导2、设函数f 定义在区间Ⅰ上，且满足Lipschitz 条件，0 L ∃，使对∈∀21,x x Ⅰ，有2121)()(x x L x f x f -≤-，则)(x f 在区间Ⅰ上 （ ）A. 连续但未必一致连续；B. 一致连续但未必连续；C. 必一致连续；D. 必不一致连续；3、)(0''x f 定义为：A.xx f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim 000 ； B. x x f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim 0'0'0 ；C.'000))()((lim x x f x x f x ∆-∆+→∆ ； D. '000))()(lim (xx f x x f x ∆-∆+→∆ ；4、设函数)(x φ和)(x ψ在区间Ⅰ内可导)()(''x x ψφ=，则在该区间内有 （ ）A. )()(x C x ψφ=+，其中C 为常数；B. )()(x C x ψφ=, 其中C 为常数;C. )()(x x ψφ=;D. )()(x x ψφ≠;5、=)(x f ⎩⎨⎧+≥3 x, b ax 3, 2 x x 为使f 在点3=x 可导，应取（ ）A.3=a ，0=b ；B. 0=a ，3=b ;C.6=a ，9-=b ;D. 9-=a ，6=b ; 三 计算题：（满分30分，每小题6分）1、1)(2-=x arctg x f ，求hh f f h )25()5(lim 0+-→ ；2、xx y ln )(sin =，求dxdy； 3、x e y xcos =，求)5(y ；4、)sin 11(lim 220xx x -→ ； 5、2)(-+=-xxaa x f ，其中0 a 且1≠a ，写出)(x f 的含4X 项且具Peano 型余项的Maclaurin 公式；四 验证题：（满分16分，每小题8分）1、用定义验证函数x x f sin )(=在（∞+∞- , ）内一致连续； 2 证明函数x x f =)(在点0=x 不可导； 五 证明题：（满分24分，每小题8分）1、设函数f 和g 在[]b a ,内连续，若对任何有理数),(b a r ∈，有)()(r g r f =，则在[]b a ,内)()(x g x f =；2、设函数)(x f 定义在（∞+∞- , ）内，且∈∀x （∞+∞- , ）和h ，有2)()(Mh x f h x f ≤-+，其中M 为正实数，证明)(x f 是（∞+∞- , ）内的常数函数； 3、设函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，在开区间（b a ,）内二级可导，且0)(=b f ，)()()(2x f a x x F -=，试证明：∈∃ξ（b a ,），使0)(''=ξF .。