数学系一年级《数学分析》期末考试题
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(一)数学系一年级《数学分析》期末考试题
学号 姓名
一、(满分10分,每小题2分)单项选择题:
1、{n a }、{n b }和{n c }是三个数列,且存在N,∀ n>N 时有≤n a ≤n b n
c ,则( )
A {n a }和{n b }都收敛时,{n c }收敛; B. {n a }和{n b }都发散时,{n c }发散; C {n a }和{n b }都有界时,{n c }有界; D. {n b }有界时,{n a }和{n c }都有界;
2、=)(x f ⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧>+=<,0 ,2.( ,0
,0,
,sin x x k x k x x kx
为常数) 函数 )(x f 在 点00=x 必 ( )
A.左连续;
B. 右连续
C. 连续
D. 不连续 3、'
'f (0x )在点00=x 必 ( )
A. x x f x x f x ∆-∆+→∆)
()(lim 02020 ; B. '
000)()(lim ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∆-∆+→∆x x f x x f x ; C. '
000)()(lim ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛∆-∆+→∆x x f x x f x ; D. x x f x x f x ∆-∆+→∆)
()(lim 0'0'0 ; 4、设函数)(x f 在闭区间[b a ,]上连续,在开区间(b a ,)内可微,但≠)(a f )(b f 。则( )
A. ∈∃ξ(b a ,),使0)('
=ξf ; B. ∈∃ξ(b a ,),使0)('
≠ξf ;
C. ∈∀x (b a ,),使0)('≠x f ;
D.当)(b f >)(a f 时,对∈∀x (b a ,),有)('
x f >0 ; 5、设在区间Ⅰ上有⎰+=c x F dx x f )()(,
⎰+=c x G dx x g )()(。则在Ⅰ上有( ) A.
⎰=)()()()(x G x F dx x g x f ; B. c x G x F dx x g x f +=⎰)()()()( ;
C. ⎰+=+c x G x F dx x F x g dx x G x f )()()]()()()([ ;
D. c x G x F dx x G x g dx x F x f +=+⎰
)()()]()()()([ ; 二、(满分15分,每小题3分)填空题 :
1 1
21323lim -+∞→⎪⎭
⎫
⎝⎛-+x x x x = ;
2
)sgn(cos )(x x f =。)(x f 在区间[ππ,-]上的全部间断点为 ;
3 )(x f =x 2
sin , =)6
()
11(π
f
;
4 函数)(x f 在R 内可导,且在(1,∞-)内递增,在(+∞,1)内递减,)()(x
xe f x F =,
)(x F 的单调递减区间为 ;
5 =+⎰dx x f x f x f )
(1)()(2
' ; 三、(满分36分,每小题6分)计算题:
1、⎪⎭
⎫
⎝⎛-
→x x x 220sin 11
lim ; 2、把函数2
x
x e e shx --=展开成具Peano 型余项的Maclaurin 公式 ;
3、dx e arctg e
x x ⎰
-+11
;
4、x
e
x f =)(2,计算积分
dx x
x f ⎰
)( ;
5、
⎰+--dx x x x 233
2 ;
6、斜边为定长c 的直角三角形绕其直角边旋转,求所得旋转体的最大体积 ;
四、(满分7分)验证题:由有“N -ε”定义验证数列极限 3
2
25332lim
220=--+→n n n h ; 五、(满分32分,每小题8分)证明题:
1 设函数)(x f 和)(x g 都在区间Ⅰ上一致连续,证明函数)()(x g x f +在区间Ⅰ上一致连续;
2 设函数)(x f 在点0x 可导且0)(0'
≠x f ,试证明:y ∆~0
)
(x x x df =,其中
)()(00x f x x f y -∆+=∆ ;
3 设函数)(x f 在点a 具有连续的二阶导数,试证明:
)()
(2)()(lim
''20a f h
a f h a f h a f h =--++→ ; 4 试证明:0 时,有不等式 x sin >πx 2 . (二)一年级《数学分析》考试题 一、(满分10分,每小题2分)判断题: 1、无界数列必发散; ( ) 2、若对ε∀>0,函数f 在[εε-+b a ,]上连续,则f 在开区间(b a ,)内连续; ( ) 3、初等函数在有定义的点是可导的; ( ) 4、ϕψ=f ,若函数ϕ在点0x 可导,ψ在点0x 不可导,则函数f 在点0x 必不可导 ; ( ) 5、设函数f 在闭区间[b a ,]上连续,在开区间(b a ,)内可导,但)()(b f x f ≠,则对),(b a x ∈∀,有0)(' ≠x f ; ( ) 二、(满分20分,每小题4分)填空题 : 1、10 2 8 62) 12()12()2(lim +-+∞ →n n n n = ; 2、曲线x x y ln =的所有切线中,与直线022=-+y x 垂直的切线是 ; 3、)1ln(2x x y ++= , =dx dy ; 4、函数)(x f 二阶可导,) (x f e y = , 则=2 2dx y d ; 5、把函数2 )(x e x f -=展开成具Peano 型余项的Maclaurin 公式 , =)(x f ;