排列组合二项式定理复习
35：排列组合和二项式定理高三复习数学知识点总结(全)
排列、组合与二项式定理1.两个计数原理（1）分类计数定理（加法原理）：如果完成一件事，有n 类方式，在第1类方式中有1m 种不同的方法，在第2类方式中有2m 种不同的方法，......，在第n 类方式中有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有n m m m N +++=...21种不同的方法.（2）分步计数定理（乘法原理）：如果完成一件事，需要完成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法，......，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有n m m m N ⨯⨯⨯= 21种不同的方法.（3）两个计数原理的区别分类计数原理与分步计数原理的区别关键在于看事件能否完成，事件完成了就是分类，分类后要将种数相加；事件必须要连续若干步才能完成的则是分步，分步后要将种数相乘.2.排列（1）排列的定义：一般地，从n 个不同元素中取出)(n m m ≤个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列.（2）排列数的定义：一般地，从n 个不同元素中取出)(n m m ≤个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号m n A 表示.（3）排列数公式：)1()2)(1()!(!+---=-=m n n n n m n n A m n .特别地：①（全排列）.123)2)(1(!⋅⋅--== n n n n A n n ②.1!0=3.组合（1）组合的定义：一般地，从n 个不同元素中取出)(n m m ≤个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合.（2）组合数的定义：一般地，从n 个不同元素中取出)(n m m ≤个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，用符号m n C 表示.（3）组合数公式：()()()()121!!!!m m n n m m n n n n m A n C A m m n m ---+===- .特别地：01n C =.（4）组合数的性质：①m n n m n C C -=；②11-++=m n m n m n C C C ；③11--=kn k n nC kC .4.解决排列与组合问题的常用方法通法：先特殊后一般（有限制条件问题），先组合后排列（分组问题），先分类后分步（综合问题）.例：某校开设9门课程供学生选修，其中A 、B 、C 三门由于上课时问相同，至多选一门，学校规定，每位同学选修4门，共有多少种不同的选修方案？答：.75461336=+C C C （1）特殊元素、位置优先安排法：对问题中的特殊元素或位置优先考虑排列，然后排列其他一般元素或位置.例4-1：0、2、3、4、5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有几个？答：.3013131224=+C C C A （2）限制条件排除法：先求出不考虑限制条件的个数，然后减去不符合条件的个数.也适用于解决“至多”“至少”的排列组合问题.例4-2：从7名男同学和5名女同学中选出5人，若至少有2名女同学当选，问有多少种情况？答：.596)(471557512=+-C C C C（3）相邻问题“捆绑法”：将必须相邻的元素“捆绑”在一起，当作一个元素进行排列，待整个问题排好之后再考虑它们内部的排列数，它主要用于解决相邻问题.例4-3：5个男生3个女生排成一列，要求女生排一起，共有几种排法？答：6363A A =4320（4）不相邻问题“插空法”：先把无位置要求的元素进行排列，再把规定不相邻的元素插入已排列好的元素形成的“空档”中（注意两端）.例4-4：5个男生3个女生排成一列，要求女生不相邻且不可排两头，共有几种排法？答：5354A A （5）元素相同“隔板法”：若把n 个不加区分的相同元素分成m 组，可通过n 个相同元素排成一排，在元素之间插入1-m 块隔板来完成分组，共11--+m m n C 种方法.例4-5：10张参观公园的门票分给5个班，每班至少1张，有几种选法？答：.49C （6）元素不多“列举法”：即把符合条件的一一列举出来.例4-6：将数字1、2、3、4填入标号为1、2、3、4的四个方格内，每个方格填一个，则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法种数有种。
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排列组合二项式定理复习一、复习指导1、分类计数原理和分步计数原理是排列组合的基础和核心，它们的共同点都是把一个事件分成若干个分事件来进行计算。
只不过利用分类计算原理时，每一种方法都可能独立完成事件；如需连续若干步才能完成的则是分步。
利用分类计数原理，重在分“类”，类与类之间具有独立性和并列性；利用分步计数原理，重在分步；步与步之间具有相依性和连续性。
比较复杂的问题，常先分类再分步。
2、排列数与组合数都是计算完成事件方法个数的公式，排列数是研究排列(既取又排)个数的公式，组合数是研究组合(只取不排) 个数的公式，是否有序是它们之间的本质区别。
排列数公式：A™ =n(n-l)(n-2)---[n-(m-l)] =—,当ID=n 时，(n - m)IA； = n(n -1) • • • 2 • 1 = n!, 其中m, n£N+, mWn,规定0!=l组合数公式：cm=4l=n(n_l)(n_2)...[n_(m_l)]=_n!_11 A* m! m!(n - m)!组合数性质：c：=c「m,代+cy=C"『，规定C?=1,其中m, neN+, mWn3、处理排列组合应用题的规律(1)两种思路：直接法，间接法(2)两种途径：元素分析法，位置分析法(3)对排列组合的混合题，一般先选再排，即先组合再排列。
弄清要完成什么样的事件是前提(4)基本题型及方法：捆绑法，插空法，错位法，分组分配法, 均匀分组法，逆向思考法等4、二项式定理(a + b)n =C°a n +C*a n-1b + --- + C^a n-r b r +--- + C^b n通项公式T r+1 =c>n_1b r, r=0, 1, 2,…，n二项式系数的性质：(1)对称性，在展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即C?=c, c] =C：T, c： =c/2,c： =c「；(2)增减性与最大值：在二项式展开式中，二项式系数先增后减,且在中间取得最大值，当n是偶数时，中间一项最大；当n是奇n-1 n+1数时，中间两项cF，c7相等，且为最大值；(3)C?+C*+C：+... + 明=2「偿+席+叱+... = (：；,+c：+c：+...5、概率(1)概率是频率的近似值，两者是不同概念(2)等可能事件中概率P(A)=兰,P(A)e[O, 1]n(3)互斥事件A, B中有一个发生的概率：加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)特例：B顼时,P(A) + P(A) = 1,即对立事件的概率和为1(4)相互独立事件A, B同时发生的概率P(A・B)=P(A)P(B) 事件A在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率P n(k)=C n k P k(l-P)-k,其中P为事件A在一次试验中发生的概率，此式为二项式[(1-P)+P]n展开的第k+1项(5)随机事件的概率的理解应遵循从特殊到一般，从具体到抽象的认知规律。
计数原理,排列、组合,二项式定理复习教案
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4知识点检测：
（1）从甲、乙、丙3名同学中选出两名同学，一名担任班长，一名担任副班长，有多少种不同的选法？
（2）从甲、乙、丙3名同学中选出2名分别参加上午和下午的活动，有多少种不同的方法？
1.组织学生在了解的基础上理解排列的概念，掌握排列数公
1.组合的概念
从n个不同的元素中，任取m（m≤n）个元素组成一组，称为从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.
排列与组合的区别：排列是从n个不同的元素中任取m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列，与m个元素的排列顺序有关；组合是从n个不同元素中任取m（m≤n）个元素组成一组，与m个元素的排列顺序无关.
2.组合数
从n个不同的元素中，任取m（m≤n）个元素的所有组合的个数，称为从n个不同元素中取出m个元素的组合数，
用符号表示.
5、知识点检测：
某天上午共4节课，排语文、数学、体育、计算机课，其中体育课不排在第一节课，那么这天上午课表的不同排法种数是（）
1.引导并组织学生根据信息进行讨论.区别排列与组合。
国主义情怀.
1.二项式定理的内容
设 a.,b是任意实数，n是任意给定的正整数，则
2.二项展开式的通项公式
3.二项式系数与二项展开式中某项的系数
3.知识点检测：
组织学生运用二项式定理的相关内容解决实际问题.。
高考数学排列组合二项式定理复习
2、本章的应用题的解决思路主要是：正向思考 和逆向思考，正向思考时，可通过“分类”或 “分步”，对稍复杂的问题进行分解；逆向思 考时用集合的观点看，就是先从问题涉及的集 合在全集的补集入手，使问题得到简化。
3、注意排列和组合的内在联系和区别，计算应 用题时避免重复和遗漏。
典型例题分析
（一）排列数和组合数公式及组合数性质 的应用 例 1 ：解不等式 A9x 6 A6x2
A C A C
B
D
（1）
B
（2）
D
系统（ 1 ）的可靠度为 P（ 1 ） P（A C B D） 1 P （ [ A C） （ B D） ] 1 P（A C ） P（B D ） 1 (1 r 2 ) 2 r 2 (2 r 2 ) 系统（2）的可靠度为 P（2） P( A B) P(C D) [1 P( A ) P( B )][1 P(C ) P( D ) [1 (1 r ) 2 ]2 r 2 (2 r ) 2 (2 r ) 2 2 r 2 系统（2）更可靠
5
2
n
(a 2 1) n 的展开式系数最大项为 第三项
2 2 T3 C 4 a 54, a 3
例2 : 求 x 3x 1 2 x 1 的展开式中各项
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2 10
(1)系数和(2)系数绝对值的和
(1)(310 )
(2)(5 310 )
例3：化简:
（二）排列组合应用题
例3（1）5名同学报名参加4个活动小组（每人限报1 个），共有多少种不同的报名方法 ( 4 5 )
（2）5名同学争夺4项竞赛冠军，冠军获得者共有多 少种可能？ ( 5 4 )
排列组合与二项式定理
第三节 排列组合与二项式定理复习一．关于基本计数原理 1. 加法原理设完成一件事有 m 种方式，第一种方式有种方法，第二种方式有种方法，… … ；第 m 种方式有种方法,无论通过哪种方法都可以完成这件事，则完成这件事总共有1n 2n m n 12m n n n +++L 种不同的方法 。
2. 乘法原理设完成一件事有 m 个步骤，第一个步骤有种方法，第二个步骤有种方法，… … ；第 m 个步骤有种方法, 必须通过每一步骤，才算完成这件事。
则完成这件事总共有1n 2n m n 12m n n n ×××L 种不同的方法 。
加法原理和乘法原理是两个很重要计数原理，它们不但可以直接解决不少具体问题，同时也是推导下面常用排列组合公式的基础 。
同时它们也是计算古典概率的基础。
二．关于排列 1、选排列：从 n 个不同元素中，每次取 k 个不同的元素，按一定的顺序排成一列，称为选排列，其排列总数为：(1)k n ≤≤!(1)(2)(1)()k n n p n n n n k n k =−−−+=−L !!2、全排列：当 k = n 时称为全排列，其排列总数为： 3、可重复排列：(1)(2)21n n n P p n n n n ==−−⋅=L 从 n 个不同元素中，每次取 k 个元素 (k n )≤，允许重复，这种排列称为可重复排列，其排列总数为：k n n n n ⋅⋅=L三．关于组合与二项式定理 1、组合：从 n 个不同元素中，每次取 k 个不同的元素，不管其顺序合并成一组，称为组合，其组合总数为：(1k n ≤≤)其中常记为 ，称为组合系数。
kn C n k ⎛⎞⎜⎟⎝⎠!!()!kk nn P n C k n k k ==−!2、分组组合n 个不同元素分为 k 组，各组元素数目分别为的分法总数为：12,,,k r r r L 1212!,!!!k k n r r r nr r r ++=L L3．有重复的组合从 n 个不同元素中，每次取 k 个 元素，允许重复，不管其顺序合并成一组，这种组合称为有重复的组合，其组合总数为：(1k n ≤≤) !!()!k k nnP n C k n k k ==−!4．二项式定理当不大时，二项式(可利用二项展开式的系数表（杨辉法则）写出它的展开式。
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n n +1n nn排列组合、二项式定理总结复习1，分类计数原理 完成一件事有几类方法，各类办法相互独立每类办法又有多种不同的办法（每一种都可以独立的完成这个事情）分步计数原理 完成一件事，需要分几个步骤，每一步的完成有多种不同的 方法n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合 组合数 从 n 个不同元素中，任取 m （m ≤n ）个元素的所有组合个数 m nm=n ! nm !(n - m )!性质 C m = Cn -mCm = C m + C m -1排列组合题型总结 一． 直接法1 .特殊元素法例 1 用 1，2，3，4，5，6 这 6 个数字组成无重复的四位数，试求满足下列条件的四位数各有多少个CC（1）数字 1 不排在个位和千位（2）数字 1 不在个位，数字 6 不在千位。
分析：（1）个位和千位有 5 个数字可供选择A2 ，其余 2 位有四个可供选择A2 ，由乘法原理：5 4A2 A2 =2405 42．特殊位置法（2）当 1 在千位时余下三位有A3 =60，1 不在千位时，千位有A1 种选法，个位有A1 种，余下5 4 4的有A2 ，共有A1 A1 A2 =192 所以总共有 192+60=2524 4 4 4二间接法当直接法求解类别比较大时，应采用间接法。
如上例中（2）可用间接法A4 - 2 A3 +A2 =2526 5 4Eg 有五张卡片，它的正反面分别写 0 与 1，2 与 3，4 与 5，6 与 7，8 与9，将它们任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三位数？分析：：任取三张卡片可以组成不同的三位数C 3 ⨯ 23 ⨯A3 个，其中 0 在5 3百位的有C 2 ⨯ 22 ⨯A2 个，这是不合题意的。
故共可组成不同的三位数4 2C 3 ⨯ 23 ⨯A3 - C 2 ⨯ 22 ⨯A2 =4325 3 4 2Eg 三个女生和五个男生排成一排（1）女生必须全排在一起有多少种排法（捆绑法）（2）女生必须全分开（插空法须排的元素必须相邻）（3）两端不能排女生（4）两端不能全排女生（5）如果三个女生占前排，五个男生站后排，有多少种不同的排法292928 113 二． 插空法 当需排元素中有不能相邻的元素时，宜用插空法。
专题04 排列组合与二项式定理(解析版)--高二数学专题解析
专题04排列组合与二项式定理--高二数学专题解析知识点一：排列1：排列≤)个元素,并按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不（1）定义：一般地,从n个不同元素中取出m(m n同元素中取出m个元素的一个排列.（2）相同排列：两个排列的元素完全相同,且元素的排列顺序也相同.2：排列数与排列数公式1：组合（1）定义：一般地：从n个不同的元素中取出m(m n≤)个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m 个元素的一个组合.（2）相同组合：只要两个组合的元素相同，无论元素的顺序如何，都是相同的组合.（3）组合与排列的异同≤)个元素”.相同点:组合与排列都是“从n个不同的元素中取出m(m n不同点:组合要求元素“不管元素的顺序合成一组”,而排列要求元素“按照一定的顺序排成一列”因此区分某一问题是组合问题还是排列问题,关键是看选出的元素是否与顺序有关,即交换某两个元素的位置对结果有没有影响,若有影响,则是排列问题，若无影响，则是组合问题.2：组合数与组合数公式（1）组合数的定义：从n个不同元素中取出m(m n≤)个元素的所有不同组合的个数,叫做从n个不同元3：组合数的性质b一、单选题1．在()5232x x ++的展开式中x 的系数是（）A ．160B ．180C ．240D ．210【答案】C【分析】根据二项式的定义可知有4个因式中取2，1个因式中取3x 项，即可得解.【详解】在()5232x x ++的展开式中，要得到含x 的项，则有4个因式中取2，1个因式中取3x 项，故x 的系数为445C 32240⨯⨯=．故选：C7．高三（一）班学生要安排毕业晚会的4个音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求2个舞蹈节目不连排，则共有________种不同的排法．【答案】3600【答案】20【分析】根据题意，先对【详解】对于6盏不同的花灯进行取下，可先对因为取花灯每次只能取一盏，且只能从下往上取，又因为每串花灯先后顺序已经固定，所以除去重复的排列顺序，所以共有663333A20 A A=故答案为：20.13．按照下列要求，分别求有多少种不同的方法？(1)6个不同的小球放入4个不同的盒子；(2)6个不同的小球放入4个不同的盒子，每个盒子至少一个小球；(3)6个相同的小球放入4个不同的盒子，每个盒子至少一个小球；(4)6个不同的小球放入4个不同的盒子，恰有1个空盒．x16．（多选题）若()32+n x（=20．（多选题）有甲、乙、丙、丁、戊五位同学，下列说法正确的是（）A ．若丙在甲、乙的中间（可不相邻）排队，则不同的排法有20种B ．若五位同学排队甲不在最左端，乙不在最右端，则不同的排法共有78种C ．若五位同学排队要求甲、乙必须相邻且甲、丙不能相邻，则不同的排法有36种D ．若甲、乙、丙、丁、戊五位同学被分配到三个社区参加志愿活动，每位同学只去一个社区，每个社区至少一位同学，则不同的分配方案有150种【答案】BCD【分析】对于A ：讨论甲、乙之间有几位同学，分析运算即可；对于B ：讨论甲、乙所在位置，分析运算即可；对于C ：先求甲、乙相邻的安排方法，再排除甲、乙相邻且甲、丙相邻的安排方法；对于D ：先将学生安排出去，再排除有小区没有人去的可能.【详解】对于选项A ：可知有三种可能：甲、乙之间只有一位同学，则不同的排法有2323A A 12=种；甲、乙之间有两位同学，则不同的排法有12222222C A A A 16=种；甲、乙之间有三位同学，则不同的排法有2323A A 12=种；不同的排法共有12161240++=种，故A 错误；对于选项B ：可知有四种可能：甲在最右端，乙在最左端，则不同的排法有33A 6=种；甲在最右端，乙不在最左端，则不同的排法有1333C A 18=种；甲不在最右端，乙在最左端，则不同的排法有1333C A 18=种；甲不在最右端，乙不在最左端，则不同的排法有2333A A 36=种；不同的排法共有618183678+++=种，故B 正确；对于选项C ：若甲、乙相邻，则不同的排法有2424A A 48=种；若甲、乙必须相邻且甲、丙相邻，则不同的排法有2323A A 12=种；不同的排法共有481236-=种，故C 正确；对于选项D ：若每位同学只去一个社区，则不同的排法有53243=种；若有小区没有人去，则有两种可能：所有人去了一个小区，则不同的排法有13C 3=种；所有人去了两个小区，则不同的排法有()25132C 2C 90-=种；不同的排法共有()243390150-+=种，故D 正确；故选：BCD.21．将5名学生分到A ，B ，C 三个宿舍，每个宿舍至少1人至多2人，其中学生甲不到A 宿舍的不同分法有__________．原理即可得出答案.【详解】首位是1，第二位是0，则后三位可以用剩下的数字全排列，共有33A 6=个，前两位是12，第三位是0，后两位可以用余下的两个数字进行全排列，共有22A 2=种结果.前三位是123，第四位是0，最后一位是4，只有1种结果，∴数字12340前面有6+2+1=9个数字，数字本身就是第十个数字.故答案为：10.27．重新排列1，2，3，4，5，6，7，8．(1)使得偶数在原来的位置上，而奇数不在原来的位置上，有多少种不同排法？(2)使得偶数在奇数的位置上，而奇数在偶数的位置上，有多少种不同的排法？(3)使得偶数在偶数位置上，但都不在原来的位置上；奇数在奇数位置上，但也都不在原来的位置上，有多少种不同的排法？(4)如果要有数在原来的位置上，有多少种不同的排法？(5)如果只有4个数在原来的位置上，有多少种不同的排法？(6)如果至少有4个数在原来的位置上，有多少种不同的排法？(7)偶数在偶数位置上；但恰有两个数不在原来位置上，奇数在奇数位置上，但恰有两个数不在原来位置上，有多少种不同排法？(8)偶数在偶数位置上，且至少有两个数不在原来位置上；奇数在奇数位置上，也至少有两个数不在原来位置上，有多少种不同排法？【答案】(1)9；(2)576；(3)81；(4)25487；(5)630；(6)771；(7)36；(8)225.【分析】（1）利用匹配问题错排公式求解；（2）利用乘法分步原理求解；（3）利用匹配问题求解；（4）用排除法．对8个数进行全排列，再减去没有数在原来的位置上的排法，即得解；（5）利用乘法分步原理求解；（6）用排除法．先对8个数进行全排列，再去掉恰有i 个数在原来位置上的排法()0123i =,,,，即得解；（7）利用匹配问题和分步乘法原理得解；。
排列组合题期末复习
一、排列组合知识1.两个原理 （分类记数原理和分步记数原理）2.两个概念（排列和组合的概念）学习中注意突出几点：(1)如何确定元素和位置的关系，•元素及其所占的位置，这是排列组合问题中的两个基本要素。
以元素为主，分析各种可能性，称为“元素分析法”；以位置为主，分析各种可能性，称为“位置分析法”。
例1（2007全国2文10）5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有（ ）A 、10种B 、20种C 、25种D 、32种（2）两个概念有何差异（组成的元素相同，但与顺序关系不同），初步形成两者的关系或关系式。
例2（1）平面内有10个点，以其中每2个点为端点的线段共有多少条？（2）平面内有10个点，以其中每2个点为端点的有向线段共有多少条？3.两类基本公式排列数公式： 规定：0！=1组合数公式： 10==n n n C C 特别地：4.两类基本性质.组合性质1:组合性质2:例3求和：C22+C32+C42+……+C1002.二、排列组合典型题解答策略排列组合应用问题，大致可分为三类：（1）简单的排列或组合题，可以根据公式直接求结果（不带限制条件）（2）带有限制条件的排列或组合题，有两种计算方法直接法：把符合限制条件的排列或组合数直接计算出来。
间接法：先暂时不考虑限制条件的排列或组合种数，然后从中减去所有不符合条件的排列或组合种数。
（3）排列组合综合问题，采取先选后排的原则，要作到合理分类。
1.特殊元素和特殊位置优先法位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法,若以元素分析为主,需先安排特殊元素,再处理其它元素.若以位置分析为主,需先满足特殊位置的要求,再处理其它位置。
若有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数题目中规定相邻的几个元素并为一个组（当作一个元素）参与排列，要注意相邻元素内部间也存在排列。
高中数学高考总复习---排列组合、二项式定理知识讲解及考点梳理
高中数学高考总复习---排列组合、二项式定理知识讲解及考点梳理【高考展望】命题角度：该部分的命题就是围绕两个点展开．第一个点是围绕排列，组合展开，设计利用排列组合和两个基本原理求解的实际计数问题的试题，目的是考查对排列组合基本方法的掌握程度，考查分类与整合的思想方法，试题都是选择题或者填空题，难度中等或者偏易；第二点是围绕二项式定理展开，涉及利用二项式的通项公式计算二项式中特定项的系数、常数项、系数和等试题，目的是考查对二项式定理的掌握程度和基本的运算求解能力，试题也都是选择题或者填空题，难度中等．预计高考对该部分的考查基本方向不变，即考查简单的计数问题、二项式定理的简单应用，但由于排列，组合试题的特点，也不排除出现难度稍大的试题的可能．复习建议：该部分的复习以基本问题为主，要点有两个：一个是引导学生掌握解决排列，组合问题的基本思想，即分类与分步的思想，使学生在解题时有正确的思维方向；一个是掌握好二项展开式的通项公式的应用，这是二项式定理的考查核心．【知识升华】一、排列与组合1、分类计数原理与分步计数原理是关于计数的两个基本原理，两者的区别在于分步计数原理和分步有关，分类计数原理与分类有关.2、排列与组合主要研究从一些不同元素中，任取部分或全部元素进行排列或组合，求共有多少种方法的问题.区别排列问题与组合问题要看是否与顺序有关，与顺序有关的属于排列问题，与顺序无关的属于组合问题.3、排列与组合的主要公式①排列数公式：)1()1()!(!+-⋅⋅⋅-=-=mnnnmnnA mn(m≤n)A nn=n! =n(n―1)(n―2) ·…·2·1.②组合数公式：12)1()1()1()!(!!⨯⨯⋅⋅⋅⨯-⨯+-⋅⋅⋅-=-=mmmnnnmnmnC mn(m≤n).③组合数性质：①mnnmnCC-=(m≤n). ②nnnnnnCCCC2210=+⋅⋅⋅+++③1314202-=⋅⋅⋅++=⋅⋅⋅++nnnnnnCCCCC4、分类应在同一标准下进行，确保“不漏”、“不重”，分步要做到“步骤连续”和“步骤独立”，并能完成事项.5、界定“元素与位置”要辩证地看待，“特殊元素”、“特殊位置”可直接优先安排，也可间接处理.6、解排列组合综合问题注意先选后排的原则，复杂的排列、组合问题利用分类思想转化为简单问题求解.7、常见的解题策略有以下几种：（1）特殊元素优先安排的策略；（2）合理分类与准确分步的策略；（3）排列、组合混合问题先选后排的策略；（4）正难则反、等价转化的策略；（5）相邻问题捆绑处理的策略；（6）不相邻问题插空处理的策略；（7）定序问题除法处理的策略；（8）分排问题直排处理的策略；（9）“小集团”排列问题中先整体后局部的策略；（10）构造模型的策略.二、二项式定理1、二项式定理(a +b)n =C 0n an +C1n an－1b+…+Crn an－rbr +…＋Cnn bn，其中各项系数就是组合数Crn，展开式共有n+1项，第r+1项是Tr+1 =C rn an－rbr.2、二项展开式的通项公式二项展开式的第r+1项Tr+1=C rn an－rbr(r=0,1,…n)叫做二项展开式的通项公式。
安居职业高级中学对口升学数学专题复习：排列组合、二项式定理
排列组合、二项式定理 一．基础练习
1.设88018(1),x a a x a x +=+++则0128,,,
,a a a a 中奇数的个数为（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
2.若21
()n x x
-展开式中的所有二项式系数和为512，则该展开式中的常数项为 ．
3.在二项式(x －
21x
)6
的展开式中, 常数项是 ．
4．若31()2n x x
-
的展开式中第四项为常数项，则n = .
二．提高练习
1. 一个盒子里有3个分别标有号码为1，2，3的小球，每次取出一个，记下它的标号后再放回盒子中，共取3次，则取得小球标号最大值是3的取法有（ ） A ．12种 B ．15种 C ．17种 D ．19种
【答案】D 【解析】
试题分析：分三类：第一类，有一次取到3号球，共有1
32212C ⨯⨯=取法；第二类，有两次
取到3号球，共有2
326C ⨯=取法；第三类，三次都取到3号球，共有1种取法；共有19种取法.
考点：排列组合，分类分步记数原理.
2.已知()|2||4|f x x x =++-的最小值为n ，则二项式1
()n
x x
-展开式中2x 项的系数为 .
三．拓展练习
1.某动点在平面直角坐标系第一象限的整点上运动（含,x y正半轴上的整点），其运动规律为
m n m n
→++或(,)(1,1)
→+-。
若该动点从原点出发，经过6步运动到() m n m n
(,)(1,1)
6,2点，则有（）种不同的运动轨迹。
（）
A．15 B．14 C．9 D．10
【答案】C．
【解析】。
排列组合二项式定理复习小结(学生)
排列组合二项式定理-小结与复习一、知识点：（一）排列与组合 1 分类计数原理：做一件事情，完成它可以有 n 类办法，在第一类办法中 有 1 m 种不同的方法，在第二类办法中有 2 m 种不同的方法，……，在第 n 类办法中有 n m 种不同的方法 那么完成这件事共有 12 n N m m m =+++ L 种不同的方法2.分步计数原理：做一件事情，完成它需要分成 n 个步骤，做第一步有 1 m 种不同的方法，做第二步有 2 m 种不同的方法，……，做第 n 步有 n m 种不 同的方法，那么完成这件事有 12 n N m m m =´´´ L 种不同的方法 3．排列的概念：从n 个不同元素中，任取m （m n £ ）个元素（这里的 被取元素各不相同）按照一定的顺序 ．．．．．排成一列，叫做从n 个不同元素中取 出m 个元素的一个排列 ．．．．4．排列数的定义：从n 个不同元素中，任取m （m n £ ）个元素的所有 排列的个数叫做从n 个元素中取出m 元素的排列数，用符号 mn A 表示 5．排列数公式： (1)(2)(1) m n A n n n n m =---+ L （ ,, m n N m n *Σ ） 6 阶乘： ! n 表示正整数 1 到n 的连乘积，叫做n 的阶乘 规定0!1 = ． 7．排列数的另一个计算公式： m n A = !()! n n m - 8 组合的概念：一般地，从n 个不同元素中取出m ( ) m n £ 个元素并成一 组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合9．组合数的概念：从n 个不同元素中取出m ( ) m n £ 个元素的所有组合的个数， 叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数 ．．．． 用符号 mn C 表示． 10．组合数公式： (1)(2)(1) ! m m n n m m A n n n n m C A m ---+ == L 或 )! ( ! ! m n m n C m n - = ) , , ( n m N m n £ Î * 且 11 组合数的性质 1： m n n m n C C - = ．规定： 10 = n C ； 12．组合数的性质 2： m n C 1 + ＝ mn C + 1 - m nC （二）二项式定理 1． 01 ()() n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N -* +=+++++Î L L ， 2． 1 (1)1 n r r nn n x C x C x x +=+++++ L L .3．二项展开式的通项公式： 1 r n r r r n T C a b - + = 注意:求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对r 的限 制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性4. 二项式系数表（杨辉三角）5．二项式系数的性质： () n a b + 展开式的二项式系数是 0 n C ， 1 n C ， 2 n C ，…，n n C ． r n C 可以看成以r 为自变量的函数 () f r，定义域是 {0,1,2,,} n L ，（1）对称性．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（∵ m n m n nC C - = ）． 直线 2 n r = 是图象的对称轴．（2）增减性与最大值：当n 是偶数时，中间一项 2 n n C取得最大值；当n 是 奇数时，中间两项 12 n n C - ， 12 n n C + 取得最大值．（3）各二项式系数和：∵ 1 (1)1 n r r n n n x C x C x x +=+++++ L L ，令 1 x = ，则 012 2 n r n n n n n nC C C C C =++++++ L L 请对照知识点总结典型题型二、解题思路：解排列组合问题，首先要弄清一件事是“分类”还是“分步”完成， 对于元素之间的关系，还要考虑“是有序”的还是“无序的” ，也就是会 正确使用分类计数原理和分步计数原理、排列定义和组合定义，其次，对 一些复杂的带有附加条件的问题，需掌握以下几种常用的解题方法： 特殊优先法 对于存在特殊元素或者特殊位置的排列组合问题， 我们可 以从这些特殊的东西入手，先解决特殊元素或特殊位置，再去解决其它元 素或位置，这种解法叫做特殊优先法.例如：用 0、1、2、3、4 这 5 个数 字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有________个.（答案：30 个）科学分类法 对于较复杂的排列组合问题，由于情况繁多，因此要对各 种不同情况，进行科学分类，以便有条不紊地进行解答，避免重复或遗漏 现象发生 例如：从 6 台原装计算机和 5台组装计算机中任取 5 台，其中至 少有原装与组装计算机各两台， 则不同的选取法有_______种. （答案： 350）插空法 解决一些不相邻问题时，可以先排一些元素然后插入其余元 素，使问题得以解决 例如：7 人站成一行，如果甲乙两人不相邻，则不同 排法种数是______.(答案:3600)捆绑法 相邻元素的排列，可以采用“整体到局部”的排法，即将相邻 的元素当成“一个”元素进行排列，然后再局部排列 例如：6 名同学坐成 一排，其中甲、乙必须坐在一起的不同坐法是________种.（答案：240）P 种“捆绑”方法注意:⑴ｍ个不同的元素必须相邻，有 mm⑵ｍ个不同元素互不相邻，分别“插入”到ｎ个“间隙”中的ｍ个位P 种不同的“插入”方法置有 mn⑶ｍ个相同的元素互不相邻，分别“插入”到ｎ个“间隙”中的ｍ个C 种不同的“插入”方法位置，有 mn⑷若干个不同的元素“等分”为 ｍ个组,要将选取出每一个组的组合P数的乘积除以 mm排除法从总体中排除不符合条件的方法数，这是一种间接解题的方 法.b、排列组合应用题往往和代数、三角、立体几何、平面解析几何的某些 知识联系，从而增加了问题的综合性，解答这类应用题时，要注意使用相 关知识对答案进行取舍.例如：从集合{0，1，2，3，5，7，11}中任取 3 个元素分别作为直线方程 Ax+By+C=0 中的 A、B、C，所得的经过坐标原点 的直线有_________条.（答案：30）三、例题选讲：例 1 由数字１、２、３、４、５、６、７组成无重复数字的七位数(1）求三个偶数必相邻的七位数的个数；（2）求三个偶数互不相邻的七位数的个数解 (1)：因为三个偶数２、４、６必须相邻，所以要得到一个符合条 件的七位数可以分为如下三步：A 种不同的排法；第一步将１、３、５、７四个数字排好有 44A 种不同的“捆第二步将２、４、６三个数字“捆绑”在一起有 33绑”方法;第三步将第二步“捆绑”的这个整体“插入”到第一步所排的四 个不同数字的五个“间隙”(包括两端的两个位置)中的其中一个位置 上,有 15 A 种不同的“插入”方法 根据乘法原理共有 431 435 A A A ×× ＝720 种不同的排法 所以共有 720 个符合条件的七位数解（2）：因为三个偶数２、４、６ 互不相邻，所以要得到符合条 件的七位数可以分为如下两步：第一步将１、３、５、７四个数字排好，有 44 A 种不同的排法； 第二步将２、４、６分别“插入”到第一步排的四个数字的五个“间隙” （包括两端的两个位置）中的三个位置上，有 3 5 A 种“插入” 方法 根据乘法原理共有 1440 3 5 4 4 = × A A 种不同的排法 所以共有 1440 个符合条件的七位数例２ 将Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ、Ｆ分成三组，共有多少种不同的分法？ 解：要将Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ、Ｆ分成三组，可以分为三类办法：（１－１－４）分法、（１－２－３）分法、（２－２－２）分法 下面分别计算每一类的方法数：第一类（１－１－４）分法，这是一类整体不等分局部等分的问 题，可以采用两种解法解法一：从六个元素中取出四个不同的元素构成一个组，余下的 两个元素各作为一个组，有 46 C 种不同的分法 解法二：从六个元素中先取出一个元素作为一个组有 1 6 C 种选法， 再从余下的五个元素中取出一个元素作为一个组有 15 C 种选法，最后余 下的四个元素自然作为一个组，由于第一步和第二步各选取出一个元 素分别作为一个组有先后之分，产生了重复计算，应除以 2 2 A所以共有 11 65 2 2C C × Ａ ＝15 种不同的分组方法 第二类（１－２－３）分法，这是一类整体和局部均不等分的问 题，首先从六个不同的元素中选取出一个元素作为一个组有 1 6 C 种不 同的选法，再从余下的五个不同元素中选取出两个不同的元素作为一 个组有 2 5 C 种不同的选法，余下的最后三个元素自然作为一个组，根 据乘法原理共有 12 65 C C × ＝60 种不同的分组方法 第三类（２－２－２）分法，这是一类整体“等分”的问题，首 先从六个不同元素中选取出两个不同元素作为一个组有 2 6 C 种不同的 取法，再从余下的四个元素中取出两个不同的元素作为一个组有 24 C 种 不同的取法，最后余下的两个元素自然作为一个组 由于三组等分存在 先后选取的不同的顺序，所以应除以 3 3 P ，因此共有 2264 33A C C × ＝15 种不 同的分组方法 根据加法原理，将Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ、Ｆ六个元素分成三组共 有：15＋60＋15＝90 种不同的方法例３ 一排九个坐位有六个人坐，若每个空位两边都坐有人，共有多少 种不同的坐法？解：九个坐位六个人坐，空了三个坐位，每个空位两边都有人，等价于三个空位互不相邻，可以看做将六个人先依次坐好有 6 6 A 种不同的坐法，再将三个空坐位“插入”到坐好的六个人之间的五个“间隙” （不包括两端）之中的三个不同的位置上有 3 5 C 种不同的“插入”方法根据乘法原理共有 6365 A C × ＝7200 种不同的坐法 ①计算: )1 ( 5 ) 1 ( 10 ) 1 ( 10 ) 1 ( 5 ) 1 (2345 - + - + - + - + - x x x x x ②计算: n n n n n C C C 2 42 1 2 1 + + + + L 分析：本例是二项式定理的逆用.若正用二项式定理,亦可求解,但过程较繁.解： ①) 1 ( 5 ) 1 ( 10 ) 1 ( 10 ) 1 ( 5 ) 1 ( 2 3 4 5 - + - + - + - + - x x x x x =1 1 ] 1 ) 1 [( 5 = - + - x ② n n n n n C C C2 42 1 2 1 + + + + L ＝(12) n + ＝ n3 例 4． 证明恒等式: 10 10 10 1 10 0 10 2= + + + C C C L 分析:本题的证明方法值得注意,它是对二项式定理中的a 、b 取某些特殊 值.证明：左边＝ 01101010101010 (11)2 C C C +++=+= L ＝右边引伸:化简 n nn n n n n n n C x C x C x C ) 1 ( 2 2 1 1 0 - + + + - - - L 解: n n n n n n n n n C x C x C x C ) 1 ( 2 2 1 1 0 - + + + - - - L ＝ nx ) 1 ( - 例 5． 求证 ) ( 9 8 3 * 2 2 N n n n Î - - + 能被 64 整除. 分析:考虑到用二项式定理证明,就需要多项式展开后的各项尽量多的含有 2 8 的式子.因此,可将 2 2 3 + n 化成 1 1 2 ) 1 8 ( ) 3 ( + + + = n n 再进行展开,化简即可证得.证明：∵ 221 389(81)89n n n n ++ --=+-- ＝ 1221 111 (18888)89n n n n n n C C C n + +++ +++++-- L ＝ 221 11 888 n n n n n C C + ++ +++ L ＝ 2221 11 8(88) n n n n n C C -- ++ +++ L ∴多项式展开后的各项含有 28 ∴ ) ( 9 8 3 * 2 2 N n n n Î - - + 能被 64 整除.引伸:①求证 1 9 23 + 能被 10 整除;②求 13 8 除以 9 的余数.例 6. 求 5 2 ) 1 ( ) 1 ( x x - + 的展开式中 3 x 的系数.解:利用通项公式 r r n r n r b aC T - + = 1 ,则 2 ) 1 ( x + 的通项公式 r r r x C T × = + 2 1 , } 2 , 1 , 0 { Îr 5 ) 1 ( x - 的通项公式 k k k k k k x C x C T 5 5 1 ) 1 ( ) (- = - × = + , } 5 , 4 , 3 , 2 , 1 , 0 { Î k 令 3 = +r k ,则 î í ì = = 2 1 r k 或 î í ì = = 1 2 r k 或 îí ì = = 0 3 r k 从而 3 x 的系数为 53 5 2 5 1 2 1 5 = - + - C C C C 引伸:求 10 3 ) 1 )( 1 ( x x + - 的展开式中 5 x 的系数. ( 答案:207 )例 7． 求 15 3 ) 1 ( xx - 的展开式中的常数项和有理项. 解:设展开式中的常数项为第 1 + r 项,则6 5 30 15 15 3 15 1 ) 1 ( ) 1 ( ) ( ) 1 ( r r r r r r r r x C x x C T - - + × × - = × × - = (*) 由题意得 0 65 30 = - r ,解得6 = r , 所以展开式中的常数项为第7 项 5005 ) 1 ( 6 15 6 1 6 7 = × - = = + C T T . 由题意可得 Z r Î - 65 30 ,即r 是6 的倍数,又因为 15 0 £ £r ,所以 r =0,6,12 故展开式中的有理项为5 5 0 15 0 1 ) 1 ( x x C T = × × - = , 5005 7 = T , 5 13 420- = x T . 四、基础练习 1：1.从{1、2、3、4、…、20}中任选 3 个不同的数，使这三个数成等差数列， 这样的等差数列最多有（ ）90 个 （B）180 个 （C）200 个 （D）120 个2.男女学生共有 8 人，从男生中选取 2 人，且从女生中选取 1 人，共有 30 种不同的选法，其中女生有（ ）(A)2 人或 3 人 （B）3 人或 4 人 （C）3 人 （D）4 人3.从编号分别为 1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11 的 11 个球中，取 出 5 个小球，使这 5 个小球的编号之和为奇数，其方法总数为（ ）（A）200 （B）230 （C）236 （D）2064.兰州某车队有装有 A，B，C，D，E，F 六种货物的卡车各一辆，把这些 货物运到西安，要求装 A 种货物，B 种货物与 E 种货物的车，到达西安的 顺序必须是 A，B，E（可以不相邻，且先发的车先到），则这六辆车发车的 顺序有几种不同的方案（ ）（A）80 （B）120 （C）240 （D） 3605.用 0，1，2，3，4 这五个数字组成无重复数字的五位数，其中恰有一个 偶数夹在两个奇数之间的五位数的个数是（ ）（A）48 （B）36 （C）28 （D）126.某药品研究所研制了 5 种消炎药 , , , , , 5 4 3 2 1 a a a a a 4 种退烧药 , , , , 4 3 2 1 b b b b 现从中取出两种消炎药和一种退烧药同时使用进行疗效实 验，但又知 , , 2 1 a a 两种药必须同时使用，且 4 3 ,b a 两种药不能同时使用， 则不同的实验方案有（ ）（A）27 种 （B）26 种 （C）16 种 （D）14 种7.某池塘有 A，B，C 三只小船，A 船可乘 3 人，B 船可乘 2 人，C 船可乘 1 人，今天 3 个成人和 2 个儿童分乘这些船只，为安全起见，儿童必须由成 人陪同方能乘船，他们分乘这些船只的方法共有（ ）120 种 （B）81 种 （C）72 种 （D）27 种8.梯形的两条对角线把梯形分成四部分，有五种不同的颜色给这四部分涂 色，每一部分涂一种颜色，任何相邻（具有公共边）的两部分涂不同的颜色，则不同的涂色方法有（ ）180 种 （B）240 种 （C）260 种 （D）320 种9.将 1，2，3，4，5，6，7，8，9 这九个数排成三横三纵的方阵，要求每D 1 C DAA 1 C 1B 1 B 一竖列的三个数从前到后都是由从小到大排列，则不同的排法种数是 __168010.10 个相同的小球放入编号为 1，2，3 的三个盒子内，要求每个盒子的 球数不小于它的编号数，则不同的放法共有______ 种，1511.过正方体的每三个顶点都可确定一个平面，其中能与这个正方 体的 12 条棱所成的角都相等的不同平面的个数为_______ 个 12.从单词 “equation” 中选取 5 个不同的字母排成一排， 含有 “qu” （其中“qu”相连且顺序不变）的不同的排列共有（ ）120 个 （B）480 个 （C）720 个 （D）840 个13.将 5 枚相同的纪念邮票和 8 张相同的明信片作为礼品送给甲、乙两名 学生，全部分完且每人至少有一件礼品，不同的分法是（ ）（A）52 （B）40 （C）38 （D）11基础练习 21.从正方体的6个面中选取3个面， 其中有2个面不相邻的选法共有 （ ）A.8 种B.12 种C.16 种D.20 种分析：两个面不相邻，只能对面，中间再夹一个面.第一步，正方体两平 面相对有 3 种不同情况，中间可以夹剩下的 4 个中的任意一个，又有 4 种 不同的情况，这两步都完成，事情完成，用分步计数原理 答案选 B.2.一名数学教师和四名获奖学生排成一行留影，若老师不排在两端，则共 有_____种不同的排法.分析：（法一）、从特殊元素出发，由于数学教师是特殊元素，所以他除了 两端外，还有 3 个位置可排共有 1 3 A 种排法，然后排学生共有 44 A 种排法， 由分步计数原理可得答案是 72.（法二）从特殊位置出发，由于两端是特殊位置，除数学教师外先从四名学生中选 2 人排在两端共有 2 4 A 种排法，然后剩余的学生及老师排剩余的 位置共有 A 3 3 种排法.由分步计数原理可得答案是 72.3. 由数字 1、2、3、4、5、6、7 组成无重复数字的七位数.（1）求有 3 个偶数相邻的 7 位数的个数；（2）求 3 个偶数互不相邻的 7 位数的个数.答案：用捆绑法可得（1）为 720 个；用插空法可得（2）为 1440 个.4. 从 5 男 4 女中选 4 位代表，其中至少有 2 位男同志，且至少有 1 位女 同志，分别到 4 个不同的工厂调查，不同的分派方法有（ ） A.100 种 B.400 种 C.480 种 D.2400 种解：分两种情况，采取先取后排的思想可得符合要求的选法共有2400 4 4 1 4 3 5 4 4 2 4 2 5 = + A C C A C C （种）5. 四面体的顶点和各棱中点共 10 个点，在其中取 4个不共面的点，不同的取法有________种. 解： 取出的 4 点不共面比取出的 4 点共面的情形要复杂， 因此宜用间接法： 用任意取出四点的组合总数减去这四点共面的取法数.取出四点共面时有 三种可能 第一类：四点共面于四面体的某一个面时，有 4 46 C 种取法；第二类： 由四面体的一条棱上三点及对棱中点所确定的平面有 6 个； 第三类： 过四面体中的四条棱的中点，而与另外两条棱平行的平面有 3 个.故取 4个点不共面时的不同取法有 ) ( 141 ) 3 6 4 (46 4 10 种 = + + - C C 6.已知碳元素有 3 种同位素 12 C、 13 C、 14 C，氧元素也有 3 种同位素 16 O、 17O、 18O，则不同的原子构成的 CO 2 分子有（ ） A.81 种 B.54 种 C.27 种 D.9 种解：分步计数原理，先选碳原子，再选第一个氧原子，第二个氧原子.所 以27 13 1 3 1 3 = = C C C N （种）7.用 1、2、3、4、5、6 六个数字组成没有重复数字的四位数中，是 9 的 倍数的共有（ ） A.360 个 B.180 个 C.120 个 D.24 个解：因为 3+4+5+6=18 能被 9 整除，所以共有 4 4 A =24个. 8 .在代数式 52 2 ) 1 1 )( 5 2 4 ( xx x + - - 的展开式中，常数项为_____.(答 案:15)9.若 44 33 22 1 0 4) 3 2 ( x a x a x a x a a x + + + + = + ,则 ( ) ( )23 1 24 2 0 a a a a a + - + + 的值为A.1B.-1C.0D.2解：题中的 0 a ， 1 a ，…， 4 a 是二项展开式的各项系数而不是各项的二项式系数，它们不等于 0 4 C ，1 4 C ，…， 44 C 令 x＝1 或－1 可得它们的不同形 式的代数和，于是可得结论 答案选 A.10．求 6 102 ) 1 ( ) 1 ( x x x - + + 展开式中各项系数的和. （令 1 = x ,得 0 ）11．若 7 7 2 2 1 0 7 ) 2 1 ( x a x a x a a x + + + + = - L ,则= + + + 7 1 0 a a a L ,-1=+ + + 6 4 2 0 a a a a , =+ + + 7 5 3 1 a a a a , =+ + + 7 1 0 a a a L .12． n x x x ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 2 + + + + + + L 的展开式中的各项系数之和为 .( 2 2 1 - + n )13．设 12 11 11 1 12 0 8 4 ) 3 ( ) 3 ( ) 3 ( ) 4 ( ) 1 ( a x a x a x a x x + + + + + + + = + + L ,求:(1) 12 2 1 0 a a a a + + + + L 的值;(2) 12 4 2 0 a a a a + + + + L 的值.解:令 31 x += ,即 2 x =- ,得 12 2 1 0 8 4 2 ) 1 ( a a a a + + + + = × - L , 即 256 2 8 12 2 1 0 = = + + + + a a a a L .令 31 x +=- ,即 4 x =- 得 12 2 1 0 8 4 0 ) 3 ( a a a a + - + - = × - L ,即 0 12 2 1 0 = + - + - a a a a L ,故128 ) 0 256(21 )] ( ) [(2 1 12 2 1 0 12 2 1 0 12 4 2 0 = + = + - + - + + + + + = + + + + a a a a a a a a a a a a L L L 五、课后作业 1：1. ①有 1 元、2 元、5 元、50 元、100 元的人民币各一张,取其中的一张 或几张,能组成多少种不同的币值?②7 个电阻串联在一起连成一串,中间只要有一个坏了,这串电阻就 失效,因电阻损坏而失效的可能性种数是多少?解： ① 63 1 2 6 66 2 6 1 6 = - = + + + C C C L种 ② 仿照①,共有 127 种.2 在 10 )3 2 ( y x - 的展开式中,求:①二项式系数的和; ②各项系数的和;③奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和; ④奇数项系数和与 偶数项系数和; ⑤x 的奇次项系数和与x 的偶次项系数和.分析:因为二项式系数特指组合数 rn C ,故在①,③中只需求组合数的和,而与二项式 y x 3 2 - 中的系数无关.解：设 1010 2 8 2 9 1 10 0 10 ) 3 2 ( y a y x a y x a x a y x + + + + = - L (*),各项系数和即为 10 1 0 a a a + + + L ,奇数项系数和为 0210 a a a +++ L ,偶 数项系数和为 9 5 3 1 a a a a + + + + L , x 的奇次项系数和为9 5 3 1 a a a a + + + + L ,x 的偶次项系数和 10 4 2 0 a a a a + + + + L .由于(*)是恒等式,故可用“赋值法”求出相关的系数和.①二项式系数和为 10 10 10 1 10 0 10 2 = + + + C C C L . ②令 1 = = y x ,各项系数和为 1 ) 1 ( ) 3 2 ( 10 10 = - = - .③奇数项的二项式系数和为 9 10 10 2 10 0 10 2 = + + + C C C L , 偶数项的二项式系数和为 99 10 3 10 1 10 2 = + + + C C C L . ④设 10 10 2 8 2 9 1 10 0 10 ) 3 2 ( y a y x a y x a x a y x + + + + = - L ,令 1 = = y x ,得到 1 10 2 1 0 = + + + + a a a a L …(1),令 1 = x , 1 - = y (或 1 - = x , 1 = y )得 10 10 3 2 1 0 5 = + + - + - a a a a a L …(2)(1)+(2)得 1010 2 0 5 1 ) ( 2 + = + + + a a a L ,∴奇数项的系数和为 25 1 10+ ;(1)-(2)得 10 9 3 1 5 1 ) ( 2 - =+ + + a a a L , ∴偶数项的系数和为 25 1 10- .⑤x 的奇次项系数和为 25 1 109 5 3 1 - =+ + + + a a a a L ; x 的偶次项系数和为 25 1 1010 4 2 0 + = + + + + a a a a L . 注意:要把“二项式系数的和”与“各项系数和”,“奇(偶)数项系数 和与奇(偶)次项系数和”严格地区别开来,“赋值法”是求系数和的常规 方法之一.3 已知 n x x 2 2 3) ( + 的展开式的系数和比 n x ) 1 3 ( - 的展开式的系数和大992,求 n xx 2 ) 1 2 ( - 的展开式中:①二项式系数最大的项;②系数的绝对值最大的项.解：由题意 992 2 2 2 = - n n ,解得 5 = n .① 10 1(2) x x- 的展开式中第 6 项的二项式系数最大,即 8064 ) 1 ( ) 2 ( 5 55 101 5 6 - = - × × = = + xx C T T . ②设第 1 + r 项的系数的绝对值最大,则 rr r r r r r r x C xx C T 2 10 10 10 10 10 1 2) 1 ( ) 1 ( ) 2 ( - - - + × × × - = - × × = ∴ ï î ï í ì × ³ × × ³ × - - + - + - - - 1 10 1 10 10 10 1 10 1 10 10 10 2 2 2 2 r r r r r r r r C C C C ,得 ï îï í ì ³ ³ + - 1 10 10 1 10 10 2 2 r r r r C C C C ,即 î í ì - ³ + ³ - r r r r 10 ) 1 ( 2 2 11 ∴ 311 38 £ £r ,∴ 3 = r ,故系数的绝对值最大的是第 4 项4.已知 n xx ) 2 ( 2+的展开式的第5项的二项式系数与第3项的二项式系数之比为 14:3,求展开式中的常数项.解:由题意 3 : 14 : 2 4 = n n C C ,即 0 50 5 2 = - - n n ,∴ 10 = n 或 5 - = n (舍去)∵ 2 5 10 10 2 10 10 1 2 ) 2 ( ) ( rrr r r r r xC xx C T - - + × × = × = ,由题意得 0 25 10 = - r ,得 2 = r ,∴常数项为第 3 项 180 2 22 10 1 23 =× = = + C T T . 引伸:条件变为第5项的系数与的3项的系数之比为56:3,求展开式的中间 项.解:由题意 3 : 56 ) 4 ( : ) 16 ( 2 4 = n n C C ,可得 10 = n ,展开式共11项,故展开式的中间项为第 6 项,即 2 1568064 -= x T .4.求 10 3 2 )1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( x x x x + + + + + + + + L 的展开式中含2 x 项的系数. 解:二项式 2 ) 1 ( x + ,3 ) 1 ( x + ,… 10 )1 ( x + 展开式中2 x 项的系数分别为： 222 2310 ,,,.C C C L 其和为： 222 2310 C C C +++ L ＝ 3 11C ∴ 10 3 2 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( x x x x + + + + + + + + L 的展开式中含 2 x 项的系数为 311C 5. 若 n 是 3 的倍数，求证： 1 3 - n是 13 的倍数解：令 n ＝3k ，k 是整数，则( ) 126 26 26 1 1 26 1 27 1 3 1 1 1 - + × + + × + = - + = - = - - - kk k k k k k kk n C C C L ( )11 1 1 26 26 26 - - - + + × + = k k k k k C C L . ( )1 2 1 1 26 26 - - - + + × + k k k k k C C L Q 是整数，\ n 是13的倍数. 3-1。
高三数学 排列、组合、二项式定理
高三数学 排列、组合、二项式定理【考点梳理】 一、考试内容1.分类计数原理与分步计数原理。
2.排列、排列数公式。
3.组合、组合数公式。
4.组合数的两个性质。
5.二项式定理，二项式展开的性质。
二、考试要求1.掌握分类计数原理与分步计数原理，并能用这两个原理分析和解决一些简单的问题。
2.理解排列、组合的意义，掌握排列数、组合数的计算公式和组合数的性质，并能用它解决一些简单的问题。
3.掌握二项式定理和二项式系数的性质，并能用它们计算和论证一些简单问题。
三、考点简析1.排列、组合、二项式知识相互关系表〔1〕分类计数原理中的分类。
〔2〕分步计数原理中的分步。
正确地分类与分步是学好这一章的关键。
〔1〕排列定义，排列数〔2〕排列数公式：系mn A =)!(!m n n -=n ·(n-1)…(n-m+1)〔3〕全排列列：nn A =n!〔4〕记住如下几个阶乘数：1！=1，2！=2，3！=6，4！=24，5！=120，6！=720〔1〕组合的定义，排列与组合的区别 〔2〕组合数公式：m=)!(!!m n m n -=12)1(1)m -(n 1)-n (⨯⨯⨯-⨯+ m m n〔3〕组合数的性质 ①m =n-m②r n r n r n C C C 11+-=+③r r =n ·-1r-1④0+1+…+n=2n⑤0-1+…+(-1)nn=0即0+2+4+…=1+3+…=2n-1〔1〕二项式展开公式(a+b)n=0a n+1a n-1b+…+k a n-k b k+…+n b n〔2〕通项公式：二项式展开式中第k+1项的通项公式是T k+1=k a n-k b k〔1〕求某些多项式系数的和。
〔2〕证明一些简单的组合恒等式。
〔3〕证明整除性。
①求数的末位；②数的整除性与求系数；③简单多项式的整除问题。
〔4〕近似计算。
当|x|充分小时，我们常用如下公式估计近似值：①(1+x)n≈1+nx②(1+x)n≈1+nx+2)1(nnx2〔5〕证明不等式。
【高考一轮复习,二级结论高效解题】专题13 排列组合、二项式定理
专题13 排列组合、二项式定理二级结论1：排列组合中的分组与分配【结论阐述】①“非均匀分组”是指将所有元素分成元素个数彼此不相等的组，使用分步组合法；①“均匀分组”是指将所有元素分成所有组元素个数相等或部分组元素个数相等的组．不论是全部均匀分组，还是部分均匀分组，如果有m个组的元素是均匀的，都有A m m种顺序不同的分法只能算一种分法；①对于非均匀编号分组采用分步先组合后排列法，部分均匀编号分组采用分组法；①平均分堆问题倍缩法采用缩倍法、除倍法、倍除法、除序法、去除重复法）；①有序分配问题逐分法采用分步法）；①全员分配问题采用先组后排法；①名额分配问题采用隔板法（或元素相同分配问题隔板法、无差别物品分配问题隔板法）；①限制条件分配问题采用分类法．【应用场景】需要根据题意判断出符合题意的分组、分配方式，涉及平均分配、部分平均不定向分配、非平均不定向分配，以及分类、分步计数原理等．【典例指引1】1．某高校从某系的10名优秀毕业生中选派4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？【典例指引2】2．有6本不同的书，分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，有多少种分法？【针对训练】（2022·江苏省苏州）3．现有5个不同的小球，放到标号分别为①①①的三个空盒中，每个盒子至少放一个小球，有（）种不同的放法A．240种B．150种C．360种D．540种4．将20个完全相同的小球放入编号分别为1，2，3，4的四个盒子中，要求每个盒子中球的个数不小于它的编号，则不同的放法种数为（）A．1615B．1716C．286D．3645．10个相同的小球放在三个编号为1，2，3的盒中，每盒至少1个，有_________种方分法.（2022·重庆巴蜀中学高二）6．学校要安排2名班主任，3名科任老师共五人在本校以及另外两所学校去监考，要求在本校监考的老师必须是班主任，且每个学校都有人去，则有（ ）种不同的分配方案． A ．18B ．20C ．28D ．34（2022·山西·芮城）7．有3个完全相同的标号为1的小球和两个标号为2，3的小球，将这5个小球放入3个不同的盒子中，每个盒子至少放一个小球，则不同的放法总数为（ ） A ．45B ．90C ．24D ．150（2022·山西省长治市）8．某社区服务站将5名志愿者分到3个不同的社区参加活动，要求每个社区至少1人，不同的分配方案有（ ） A ．360种B ．300种C ．90种D ．150种（2022·江苏·昆山）9．（1）4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，共有多少种放法；（2）4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，恰有一个盒子空，共有多少种放法；（3）10个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，每个盒子不空，共有多少种放法；（4）4个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，恰有两个盒子空，共有多少种放法？10．按下列要求分配6本不同的书,各有多少种不同的分配方式? （1）分成三份,1份1本,1份2本,1份3本;（2）甲、乙、丙三人中,一人得1本,一人得2本,一人得3本; （3）平均分成三份,每份2本;（4）平均分配给甲、乙、丙三人,每人2本; （5）分成三份,1份4本,另外两份每份1本;（6）甲、乙、丙三人中,一人得4本,另外两人每人得1本; 二级结论2：()()(),mn nax by cx dy ax by cz ++++型的系数【结论阐述】一、三项展开式中的特定项（系数）问题的处理方法：（1）通常将三项式转化为二项式积的形式，然后利用多项式积的展开式中的特定项（系数）问题的处理方法求解；（2）将其中某两项看成一个整体，直接利用二项式展开，然后再分类考虑特定项产生的所有可能情形；（3）也可以按照推导二项式定理的方法解决问题．二、几个多项式积的展开式中的特定项（系数）问题的处理方法：可先分别化简或展开为多项式和的形式，再分类考虑特定项产生的每一种情形，求出相应的特定项，最后进行合并即可．【应用场景】对于()()(),mn nax by cx dy ax by cz ++++型系数问题，可以采用相应的方法解决问题。
排列、组合、二项式定理的精品教案3篇
排列、组合、二项式定理的精品教案排列、组合、二项式定理的精品教案精选3篇（一）教案主题：排列、组合、二项式定理教学目标：1. 了解和理解排列、组合的概念和特点；2. 学习排列、组合的计算公式；3. 通过实际问题应用排列、组合的知识；4. 理解和应用二项式定理。
教学准备：1. PowerPoint演示文稿；2. 排列、组合的计算示例；3. 计算器。
教学流程：一、导入（5分钟）1. 引出学生对于排列、组合的了解，以及他们对于二项式定理的了解。
2. 引出排列、组合涉及到的实际问题，如抽奖、排座位等。
二、讲解排列（15分钟）1. 讲解排列的概念：从n个元素中选取r个元素进行排列，一共有多少种不同的排列方式。
2. 讲解排列的计算公式：P(n, r) = n!/(n-r)!。
3. 讲解排列的特点：次序有关，一个元素不能重复选取。
三、讲解组合（15分钟）1. 讲解组合的概念：从n个元素中选取r个元素进行组合，一共有多少种不同的组合方式。
2. 讲解组合的计算公式：C(n, r) = n!/[(n-r)!r!]。
3. 讲解组合的特点：次序无关，一个元素不允许重复选取。
四、讲解二项式定理（15分钟）1. 讲解二项式定理的概念：将一个二项式表达式展开后的结果。
2. 讲解二项式定理的公式：(a+b)^n = C(n, 0) a^n b^0 + C(n, 1) a^n-1 b^1 + ... + C(n, n-1) a^1 b^n-1 + C(n, n) a^0 b^n。
3. 讲解二项式定理的应用：展开二项式表达式，求特定项的值。
五、练习与应用（20分钟）1. 给出一些排列、组合的计算问题，让学生自主计算并回答。
2. 提供一些实际问题，让学生应用排列、组合的知识进行解决。
六、总结与延伸（5分钟）1. 对排列、组合和二项式定理进行简要总结。
2. 探讨一些延伸问题，如多项式展开、二项式系数等。
教学反思：1. 教学内容安排合理，从概念到计算公式，再到实际应用，能够让学生逐步理解和掌握知识。
高中数学专题讲解排列组合及二项式定理
排列组合及二项式定理【基本知识点】1．二项式系数的性质：()n a b +展开式的二项式系数是0n C ，1n C ，2n C ，…，n n C ．r n C 可以看成以r 为自变量的函数()f r ，定义域是{0,1,2,,}n ，（1）对称性．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（∵m n m n n C C -=）． （2）增减性与最大值：当n 是偶数时，中间一项2nn C 取得最大值；当n 是奇数时，中间两项12n nC -，12n nC+取得最大值．（3）各二项式系数和：∵1(1)1n r rn n n x C x C x x +=+++++，令1x =，则0122n rn nn n n n C C C C C =++++++【常见考点】一、可重复的排列求幂法：重复排列问题要区分两类元素：一类可以重复，另一类不能重复，把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，则通过“住店法”可顺利解题，在这类问题使用住店处理的策略中，关键是在正确判断哪个底数，哪个是指数。
（1）有4名学生报名参加数学、物理、化学竞赛，每人限报一科，有多少种不同的报名方法？ （2）有4名学生参加争夺数学、物理、化学竞赛冠军，有多少种不同的结果？ （3）将3封不同的信投入4个不同的邮筒，则有多少种不同投法？ 【解析】：（1）43（2）34 （3）34二．相邻问题捆绑法： 题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.（4）,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果,A B 必须相邻且B 在A 的右边，那么不同的排法种数有【解析】：把,A B 视为一人，且B 固定在A 的右边，则本题相当于4人的全排列，4424A =种 （5）3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3 位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（ ） A. 360 B. 188 C. 216 D. 96【解析】： 间接法 6位同学站成一排，3位女生中有且只有两位女生相邻的排法有，22223242C A A A =432 种其中男生甲站两端的有1222223232A C A A A =144，符合条件的排法故共有288三．相离问题插空法 ：元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.（6）七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是【解析】：除甲乙外，其余5个排列数为55A 种，再用甲乙去插6个空位有26A 种，不同的排法种数是52563600A A =种（7） 书架上某层有6本书，新买3本插进去，要保持原有6本书的顺序，有 种不同的插法（具体数字作答）【解析】： 111789A A A =504（8）马路上有编号为1，2，3…，9九只路灯，现要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的 二盏或三盏，也不能关掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有多少种？【解析】：把此问题当作一个排对模型，在6盏亮灯的5个空隙中插入3盏不亮的灯35C 种方法,所以满足条件的关灯方案有10种.四．元素分析法（位置分析法）：某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元 素；再排其它的元素。
排列组合与二项式定理知识点
§10. 排列组合二项定理 知识要点一、两个原理.1. 乘法原理、加法原理.2. 可．以有．．重复．．元素．．的排列. 从m 个不同元素中，每次取出n 个元素，元素可以重复出现，按照一定的顺序排成一排，那么第一、第二……第n 位上选取元素的方法都是m 个，所以从m 个不同元素中，每次取出n 个元素可重复排列数m·m·… m = m n .. 例如：n 件物品放入m 个抽屉中，不限放法，共有多少种不同放法？ （解：nm 种）二、排列.1. ⑴对排列定义的理解.定义：从n 个不同的元素中任取m(m ≤n )个元素，按照一定顺序．．．．．．排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列.⑵相同排列.如果；两个排列相同，不仅这两个排列的元素必须完全相同，而且排列的顺序也必须完全相同.⑶排列数.从n 个不同元素中取出m (m≤n )个元素排成一列，称为从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列. 从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列数，用符号m n A 表示. ⑷排列数公式：),,()!(!)1()1(N m n n m m n n m n n n A m ∈≤-=+--= 注意：!)!1(!n n n n -+=⋅ 规定0! = 1111--++=⋅+=m n m n m n m m m n m n mA A C A A A 11--=m n m n nA A 规定10==n n n C C 2. 含有可重元素．．．．．．的排列问题. 对含有相同元素求排列个数的方法是：设重集S 有k 个不同元素a 1，a 2,…...a n 其中限重复数为n 1、n 2……n k ，且n = n 1+n 2+……n k , 则S 的排列个数等于!!...!!21k n n n n n =. 例如：已知数字3、2、2，求其排列个数3!2!1)!21(=+=n 又例如：数字5、5、5、求其排列个数？其排列个数1!3!3==n . 三、组合.1. ⑴组合：从n 个不同的元素中任取m (m≤n )个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合. ⑵组合数公式：)!(!!!)1()1(m n m n C m m n n n A A C m n m m m n m n-=+--== ⑶两个公式：①;m n n m n C C -= ②m n m n m n C C C 11+-=+①从n 个不同元素中取出m 个元素后就剩下n-m 个元素，因此从n 个不同元素中取出 n-m 个元素的方法是一一对应的，因此是一样多的就是说从n 个不同元素中取出n-m 个元素的唯一的一个组合.（或者从n+1个编号不同的小球中，n 个白球一个红球，任取m 个不同小球其不同选法，分二类，一类是含红球选法有1m n 111m n C C C --=⋅一类是不含红球的选法有m n C ）②根据组合定义与加法原理得；在确定n+1个不同元素中取m 个元素方法时，对于某一元素，只存在取与不取两种可能，如果取这一元素，则需从剩下的n 个元素中再取m-1个元素，所以有C 1-m n ，如果不取这一元素，则需从剩余n 个元素中取出m 个元素，所以共有C m n 种，依分类原理有m n m n m n C C C 11+-=+.⑷排列与组合的联系与区别.联系：都是从n 个不同元素中取出m 个元素.区别：前者是“排成一排”，后者是“并成一组”，前者有顺序关系，后者无顺序关系. ⑸①几个常用组合数公式n n nn n n C C C 2210=+++ 11111121153142011112++--++++++-+=+==++=+++=+++k n k n k n k n m n m m n m m m m m mn n n n n n n n C n C k nC kC C C C C C C C C C C C②常用的证明组合等式方法例.i. 裂项求和法. 如：)!1(11)!1(!43!32!21+-=++++n n n （利用!1)!1(1!1n n n n --=-） ii. 导数法. iii. 数学归纳法. iv. 倒序求和法.v. 递推法（即用m n m n mn C C C 11+-=+递推）如：413353433+=+++n n C C C C C . vi. 构造二项式. 如：n n n n n n C C C C 222120)()()(=+++证明：这里构造二项式n n n x x x 2)1()1()1(+=++其中n x 的系数，左边为22120022110)()()(n n n n n n n n n n n n n nn n C C C C C C C C C C C +++=⋅++⋅+⋅+⋅-- ，而右边nn C 2= 五、二项式定理.1. ⑴二项式定理：n n n r r n r n n n n n n b a C b a C b a C b a C b a 01100)(+++++=+-- .展开式具有以下特点：① 项数：共有1+n 项；② 系数：依次为组合数;,,,,,,210n n r n n n n C C C C C③ 每一项的次数是一样的，即为n 次，展开式依a 的降幕排列，b 的升幕排列展开. ⑵二项展开式的通项.n b a )+（展开式中的第1+r 项为：),0(1Z r n r b a C T r r n r n r ∈≤≤=-+.⑶二项式系数的性质.①在二项展开式中与首未两项“等距离”的两项的二项式系数相等；②二项展开式的中间项二项式系数．．．．．最大. I. 当n 是偶数时，中间项是第12+n 项，它的二项式系数2nn C 最大； II. 当n 是奇数时，中间项为两项，即第21+n 项和第121++n 项，它们的二项式系数2121+-=n n n n C C 最大. ③系数和：1314201022-=++=+++=+++n n n n n n n n n n n C C C C C C C C附：一般来说b a by ax n ,()(+为常数）在求系数最大的项或最小的项．．．．．．．．．．．时均可直接根据性质二求解. 当11≠≠b a 或时，一般采用解不等式组11111(,+-+-+⎩⎨⎧≤≤⎩⎨⎧≥≥k k k k k k k k k k T A A A A A A A A A 为或的系数或系数的绝对值）的办法来求解.⑷如何来求n c b a )(++展开式中含r q p c b a 的系数呢？其中,,,N r q p ∈且n r q p =++把n n c b a c b a ])[()(++=++视为二项式，先找出含有r C 的项r r n r n C b a C -+)(，另一方面在r n b a -+)(中含有q b 的项为q p q r n q q r n q r n b a C b a C ----=，故在n c b a )(++中含r q p c b a 的项为r q p q r n r n c b a C C -.其系数为r r q p n p n q r n r n C C C p q r n q r n q r n r n r n C C --==---⋅-=!!!!)!(!)!()!(!!. 2. 近似计算的处理方法.当a 的绝对值与1相比很小且n 不大时，常用近似公式na a n +≈+1)1(，因为这时展开式的后面部分n n n n n a C a C a C +++ 3322很小，可以忽略不计。
高中数学知识点总结及公式大全排列组合与二项式定理
高中数学知识点总结及公式大全排列组合与二项式定理高中数学知识点总结及公式大全：排列组合与二项式定理一. 排列组合排列组合是高中数学中重要的知识点之一，用于解决计数问题。
排列组合分为排列和组合两种情况。
1. 排列排列是指从一组对象中按照一定的顺序选择若干个对象进行排列。
高中数学中常用的排列公式为：An= n!/(n-r)!，其中n表示总数，r表示选取的个数。
排列的特点是考虑顺序，即不同的顺序被视为不同的排列。
2. 组合组合是指从一组对象中选择若干个对象进行组合，不考虑顺序。
高中数学中常用的组合公式为：Cn= n!/[(n-r)!*r!]，其中n表示总数，r表示选取的个数。
组合的特点是不考虑顺序，即不同的顺序被视为相同的组合。
二. 二项式定理二项式定理是高中数学中的重要定理之一，用于展开一个任意次数的二项式表达式。
二项式定理的公式为：(a+b)^n = Cn0 * a^n * b^0 + Cn1 * a^(n-1) * b^1 + Cn2 * a^(n-2) * b^2 + ... + Cnr * a^(n-r) * b^r + ... + Cnn * a^0 * b^n 其中Cnr代表组合数，表示从n中选取r个的组合数。
三. 相关数学公式除了排列组合和二项式定理，高中数学还有许多重要的公式需要掌握。
1. 三角函数相关公式：- 三角恒等式：sin^2x + cos^2x = 1；tanx = sinx/cosx- 三角和差公式：sin(x ± y) = sinx*cosy ± cosx*siny；cos(x ± y) = cosx*cosy - sinx*siny- 三角倍角公式：sin2x = 2sinxcosx；cos2x=cos^2x-sin^2x=2cos^2x-1=1-2sin^2x2. 数列与数列求和公式：- 等差数列通项公式：an = a1 + (n-1)d；等差数列前n项和公式：Sn = n/2(a1 + an) = n/2(2a1 + (n-1)d)- 等比数列通项公式：an = a1 * r^(n-1)；等比数列前n项和公式：Sn = (a1(1-r^n))/(1-r)3. 平面几何相关公式：- 点到直线的距离公式：d = | Ax0 + By0 + C | / √(A^2 + B^2)- 两点间距离公式：d = √[(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2]- 矩形面积公式：S = a * b- 三角形面积公式：S = 1/2 * a * b * sinγ以上只是数学知识点的一部分，针对不同的题目和问题，可能还需要运用其他公式和方法进行解题。
1.6排列组合与二项式定理复习课
A.1
B.－1
C.0
D.2
10．求 (1 x x 2 )10 (1 x) 6 展开式中各项系数的和.
11．若 (1 2x) 7 a0 a1 x a2 x 2 a7 x 7 ,则 a0 a1 a7
, .
a0 a 2 a 4 a6
王新敞
奎屯 新疆
王新敞
奎屯
新疆
王新敞
奎屯
新疆
王新敞
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奎屯
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新疆
王新敞
奎屯
新疆
王新敞
奎屯
新疆
例２
将Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ、Ｆ分成三组，共有多少种不同的分法？
1
例３ 一排九个坐位有六个人坐，若每个空位两边都坐有人，共有多少种不同的坐法？
练习： ．①计算: ( x 1) 5 5( x 1) 4 10( x 1) 3 10( x 1) 2 5( x 1)
1 2 3 例 5．求证： Cn 2Cn 3Cn
n nCn n 2n1 ．
2
例 6. 求 (1 x) 2 (1 x) 5 的展开式中 x 3 的系数.
三、课堂练习： 1.从正方体的 6 个面中选取 3 个面，其中有 2 个面不相邻的选法共有 A.8 种 B.12 种 C.16 种 D.20 种
4
14.已知 (3 x x 2 ) 2n 的展开式的系数和比 (3x 1) n 的展开式的系数和大 992,求 (2 x 1 ) 2n 的展开
课题
§排列组合二项式定理复习
2 课时
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2 n
=Cn2
且最大
（3） Cn0 Cn1 Cnn 2n
2 (4)Cn0 Cn2 Cn4 L Cn1 Cn3 Cn5 L n1
证明和求值 用二项式定理、赋值法；
例 ： 已 知Cn0
2Cn1
22
C
2 n
23 Cn3
2n Cnn
729,
求Cn1
C
2 n
Cn3
C
n的
n
值
。
答案：63
例1 某校组织学生分4个组 从3处风景点中选一处去春游,则 不同的春游方案的种数是
A. C34 B. P34 C. 34 D. 43
C
1.2：排列与组合
排列：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元 素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元 素中取出m个元素的一个排列。
排列数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所 有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个 元素的排列数。用符号 A表nm 示.
解：由题意知前5次测试恰有4次测到次品，且第5
次测试是次品。故有：C43C61A44 576 种可能。
练习：1、某学习小组有5个男生3个女生，从中选3名 男生和1名女生参加三项竞赛活动，每项活动至少有1 人参加，则有不同参赛方法______种.
解：采用先组后排方法:
C53 C31 C42 A33 1080
r 1
n
(1 + x)n 1 + C1nx + Cn2x2 +L + Crnxr +L + Cnnxn
一般地，(a b)n 展开式的二项式系数
Cn0 ,Cn1, Cnn 有如下性质：
（1）
Cnm
C nm n
（对称性）
Cnm
C m1 n
Cm nn1
（2）当n为偶数时，C
2 n
n1
最大
n1
当n为奇数时，C
2、3 名医生和 6 名护士被分配到 3 所学校为学生
体检,每校分配 1 名医生和 2 名护士,不定到第一、第二、第三所学校去的医生和护士.
(C13 C62) (C12 C24) 1 540
二项式定理
(a b)n Cn0an C1nan1b Crnanrbr Cnnbn
排列数公式： Anm nn 1n 2 n m 1
n!
n m !
A n! n
其中：n, m N * ,并且m n.
n
0! 1
1.2：排列与组合
组合：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元 素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素 的一个组合。
组合数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所
排列组合、二项式定理复习
肥城一中高二数学组
排列、组合、二项式定理
知识结构网络图：
排列与组合
二项式定理
基本原理 排列 排列数公式 组合 组合数公式 组合数的两个性质
二项式定理 二项式系数的性质 基础练习
两个计数原理
1、分类加法计数原理：完成一件事，有n类办法，在 第1类办法中有m1种不同的方法,在第2类办法中有m2 种不同的方法……在第n类办法中有mn种不同的方法. 那么 完成这件事共有 N m1 m2 种L不同m的n 方法.
(n N)
这个公式表示的定理叫做二项式定理，公式
右边的多项式叫做 (a+b) n的 展开式
，
其中 Crn（r=0,1,2,……,n）叫做 二项式系数 ，
Cnr anrbr 叫做二项展开式的通项，用 Tr+1
表示，该项是指展开式的第 r+1 项，展开式共有
_n_+__1_个项.
T C ranrbr
组合数性质：
C
m n
C nm n
C
m n
C
m n
1
C
m n1
排列和组合的区别和联系：
名称
排列
组合
一个~
从n个不同元素中取出m个元 素，按一定的顺序排成一列
从n个不同元素中取出m个元 素，把它并成一组
~~数 所有排列的的个数
所有组合的个数
符号
种数 公式 关系
性质
Anm
C
m n
Anm
Anm
n(n 1) (n m 1)
区别2
每类办法都能独立地完成 这件事情，它是独立的、 一次的、且每次得到的是 最后结果，只须一种方法 就可完成这件事。
每一步得到的只是中间结果， 任何一步都不能独立完成这件 事，缺少任何一步也不能完成 这件事，只有各个步骤都完成 了，才能完成这件事。
区别3 各类办法是互相独立的。 各步之间是互相关联的。
2、分步乘法计数原理：完成一件事，需要分成n个步 骤，做第1步有m1种不同的方法,做第2步有m2种不同 的方法……，做第n步有mn种不同的方法.那么完成这
件事共有N m1 m2 L种不m同n 的方法.
分类计数原理
分步计数原理
完成一件事，共有n类 区别1 办法，关键词“分类”
完成一件事，共分n个 步骤，关键词“分步”
n!
(n m)! Ann n! 0! 1
C
m n
C
m n
n(n 1) (n m
n! m!
m!(n m)!
C
0 n
1)
1
Anm Cnm Amm
C
m n
C nm n
，C m n1
Cnm
C m1 n
全排列：n个不同元素全部取出的一个排列.全排列数公式：所
有全排列的个数，即：Annn n (n 1) (n 2) 21
有不同组合的个数叫做从n个不同元素中取出m个
元素的组合数。用符号 C表nm 示.
组合数公式：
C nm
nn
1n
2
m!
n
m
1
n!
m!n m
!
其中：n, m N * ,并且m n.
C
0 n
1
判断一个具体问题是否为组合问题,关键是看取 出的元素是否与顺序有关,有关就是排列,无关便 是组合.判断时要弄清楚“事件是什么”.
排列组合应用题的常用方法
1、基本原理法 3、捆绑法 5、间接法 7、隔板法
2、特殊优先法 4、插空法 6、穷举法
三大原则 1、先特殊后一般
2、先取后排 3、先分类后分步
混合问题，先“组”后“排”
例2：对某种产品的6件不同的正品和4件不同的次 品,一一进行测试，至区分出所有次品为止，若所 有次品恰好在第5次测试时全部发现,则这样的测试 方法有种可能？