排列组合二项式定理复习
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2、分步乘法计数原理：完成一件事，需要分成n个步 骤，做第1步有m1种不同的方法,做第2步有m2种不同 的方法……，做第n步有mn种不同的方法.那么完成这
件事共有N m1 m2 L种不m同n 的方法.
分类计数原理
分步计数原理
完成一件事，共有n类 区别1 办法，关键词“分类”
完成一件事，共分n个 步骤，关键词“分步”
有不同组合的个数叫做从n个不同元素中取出m个
元素的组合数。用符号 C表nm 示.
组合数公式：
C nm
nn
1n
2
m!
n
m
1
n!
m!n m
!
其中：n, m N * ,并且m n.
C
0 n
1
判断一个具体问题是否为组合问题,关键是看取 出的元素是否与顺序有关,有关就是排列,无关便 是组合.判断时要弄清楚“事件是什么”.
2 n
=Cn2
且最大
（3） Cn0 Cn1 Cnn 2n
2 (4)Cn0 Cn2 Cn4 L Cn1 Cn3 Cn5 L n1
证明和求值 用二项式定理、赋值法；
例 ： 已 知Cn0
2Cn1
22
C
பைடு நூலகம்
2 n
23 Cn3
2n Cnn
729,
求Cn1
C
2 n
Cn3
C
n的
n
值
。
答案：63
解：由题意知前5次测试恰有4次测到次品，且第5
次测试是次品。故有：C43C61A44 576 种可能。
练习：1、某学习小组有5个男生3个女生，从中选3名 男生和1名女生参加三项竞赛活动，每项活动至少有1 人参加，则有不同参赛方法______种.
解：采用先组后排方法:
C53 C31 C42 A33 1080
排列组合应用题的常用方法
1、基本原理法 3、捆绑法 5、间接法 7、隔板法
2、特殊优先法 4、插空法 6、穷举法
三大原则 1、先特殊后一般
2、先取后排 3、先分类后分步
混合问题，先“组”后“排”
例2：对某种产品的6件不同的正品和4件不同的次 品,一一进行测试，至区分出所有次品为止，若所 有次品恰好在第5次测试时全部发现,则这样的测试 方法有种可能？
区别2
每类办法都能独立地完成 这件事情，它是独立的、 一次的、且每次得到的是 最后结果，只须一种方法 就可完成这件事。
每一步得到的只是中间结果， 任何一步都不能独立完成这件 事，缺少任何一步也不能完成 这件事，只有各个步骤都完成 了，才能完成这件事。
区别3 各类办法是互相独立的。 各步之间是互相关联的。
例1 某校组织学生分4个组 从3处风景点中选一处去春游,则 不同的春游方案的种数是
A. C34 B. P34 C. 34 D. 43
C
1.2：排列与组合
排列：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元 素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元 素中取出m个元素的一个排列。
排列数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所 有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个 元素的排列数。用符号 A表nm 示.
排列组合、二项式定理复习
肥城一中高二数学组
排列、组合、二项式定理
知识结构网络图：
排列与组合
二项式定理
基本原理 排列 排列数公式 组合 组合数公式 组合数的两个性质
二项式定理 二项式系数的性质 基础练习
两个计数原理
1、分类加法计数原理：完成一件事，有n类办法，在 第1类办法中有m1种不同的方法,在第2类办法中有m2 种不同的方法……在第n类办法中有mn种不同的方法. 那么 完成这件事共有 N m1 m2 种L不同m的n 方法.
排列数公式： Anm nn 1n 2 n m 1
n!
n m !
A n! n
其中：n, m N * ,并且m n.
n
0! 1
1.2：排列与组合
组合：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元 素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素 的一个组合。
组合数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所
2、3 名医生和 6 名护士被分配到 3 所学校为学生
体检,每校分配 1 名医生和 2 名护士,不同的分配方
法共有多少种?
解：依次确定到第一、第二、第三所学校去的医生和护士.
(C13 C62) (C12 C24) 1 540
二项式定理
(a b)n Cn0an C1nan1b Crnanrbr Cnnbn
组合数性质：
C
m n
C nm n
C
m n
C
m n
1
C
m n1
排列和组合的区别和联系：
名称
排列
组合
一个~
从n个不同元素中取出m个元 素，按一定的顺序排成一列
从n个不同元素中取出m个元 素，把它并成一组
~~数 所有排列的的个数
所有组合的个数
符号
种数 公式 关系
性质
Anm
C
m n
Anm
Anm
n(n 1) (n m 1)
n!
(n m)! Ann n! 0! 1
C
m n
C
m n
n(n 1) (n m
n! m!
m!(n m)!
C
0 n
1)
1
Anm Cnm Amm
C
m n
C nm n
，C m n1
Cnm
C m1 n
全排列：n个不同元素全部取出的一个排列.全排列数公式：所
有全排列的个数，即：Annn n (n 1) (n 2) 21
r 1
n
(1 + x)n 1 + C1nx + Cn2x2 +L + Crnxr +L + Cnnxn
一般地，(a b)n 展开式的二项式系数
Cn0 ,Cn1, Cnn 有如下性质：
（1）
Cnm
C nm n
（对称性）
Cnm
C m1 n
Cm nn1
（2）当n为偶数时，C
2 n
n1
最大
n1
当n为奇数时，C
(n N)
这个公式表示的定理叫做二项式定理，公式
右边的多项式叫做 (a+b) n的 展开式
，
其中 Crn（r=0,1,2,……,n）叫做 二项式系数 ，
Cnr anrbr 叫做二项展开式的通项，用 Tr+1
表示，该项是指展开式的第 r+1 项，展开式共有
_n_+__1_个项.
T C ranrbr
件事共有N m1 m2 L种不m同n 的方法.
分类计数原理
分步计数原理
完成一件事，共有n类 区别1 办法，关键词“分类”
完成一件事，共分n个 步骤，关键词“分步”
有不同组合的个数叫做从n个不同元素中取出m个
元素的组合数。用符号 C表nm 示.
组合数公式：
C nm
nn
1n
2
m!
n
m
1
n!
m!n m
!
其中：n, m N * ,并且m n.
C
0 n
1
判断一个具体问题是否为组合问题,关键是看取 出的元素是否与顺序有关,有关就是排列,无关便 是组合.判断时要弄清楚“事件是什么”.
2 n
=Cn2
且最大
（3） Cn0 Cn1 Cnn 2n
2 (4)Cn0 Cn2 Cn4 L Cn1 Cn3 Cn5 L n1
证明和求值 用二项式定理、赋值法；
例 ： 已 知Cn0
2Cn1
22
C
பைடு நூலகம்
2 n
23 Cn3
2n Cnn
729,
求Cn1
C
2 n
Cn3
C
n的
n
值
。
答案：63
解：由题意知前5次测试恰有4次测到次品，且第5
次测试是次品。故有：C43C61A44 576 种可能。
练习：1、某学习小组有5个男生3个女生，从中选3名 男生和1名女生参加三项竞赛活动，每项活动至少有1 人参加，则有不同参赛方法______种.
解：采用先组后排方法:
C53 C31 C42 A33 1080
排列组合应用题的常用方法
1、基本原理法 3、捆绑法 5、间接法 7、隔板法
2、特殊优先法 4、插空法 6、穷举法
三大原则 1、先特殊后一般
2、先取后排 3、先分类后分步
混合问题，先“组”后“排”
例2：对某种产品的6件不同的正品和4件不同的次 品,一一进行测试，至区分出所有次品为止，若所 有次品恰好在第5次测试时全部发现,则这样的测试 方法有种可能？
区别2
每类办法都能独立地完成 这件事情，它是独立的、 一次的、且每次得到的是 最后结果，只须一种方法 就可完成这件事。
每一步得到的只是中间结果， 任何一步都不能独立完成这件 事，缺少任何一步也不能完成 这件事，只有各个步骤都完成 了，才能完成这件事。
区别3 各类办法是互相独立的。 各步之间是互相关联的。
例1 某校组织学生分4个组 从3处风景点中选一处去春游,则 不同的春游方案的种数是
A. C34 B. P34 C. 34 D. 43
C
1.2：排列与组合
排列：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元 素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元 素中取出m个元素的一个排列。
排列数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所 有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个 元素的排列数。用符号 A表nm 示.
排列组合、二项式定理复习
肥城一中高二数学组
排列、组合、二项式定理
知识结构网络图：
排列与组合
二项式定理
基本原理 排列 排列数公式 组合 组合数公式 组合数的两个性质
二项式定理 二项式系数的性质 基础练习
两个计数原理
1、分类加法计数原理：完成一件事，有n类办法，在 第1类办法中有m1种不同的方法,在第2类办法中有m2 种不同的方法……在第n类办法中有mn种不同的方法. 那么 完成这件事共有 N m1 m2 种L不同m的n 方法.
排列数公式： Anm nn 1n 2 n m 1
n!
n m !
A n! n
其中：n, m N * ,并且m n.
n
0! 1
1.2：排列与组合
组合：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元 素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素 的一个组合。
组合数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所
2、3 名医生和 6 名护士被分配到 3 所学校为学生
体检,每校分配 1 名医生和 2 名护士,不同的分配方
法共有多少种?
解：依次确定到第一、第二、第三所学校去的医生和护士.
(C13 C62) (C12 C24) 1 540
二项式定理
(a b)n Cn0an C1nan1b Crnanrbr Cnnbn
组合数性质：
C
m n
C nm n
C
m n
C
m n
1
C
m n1
排列和组合的区别和联系：
名称
排列
组合
一个~
从n个不同元素中取出m个元 素，按一定的顺序排成一列
从n个不同元素中取出m个元 素，把它并成一组
~~数 所有排列的的个数
所有组合的个数
符号
种数 公式 关系
性质
Anm
C
m n
Anm
Anm
n(n 1) (n m 1)
n!
(n m)! Ann n! 0! 1
C
m n
C
m n
n(n 1) (n m
n! m!
m!(n m)!
C
0 n
1)
1
Anm Cnm Amm
C
m n
C nm n
，C m n1
Cnm
C m1 n
全排列：n个不同元素全部取出的一个排列.全排列数公式：所
有全排列的个数，即：Annn n (n 1) (n 2) 21
r 1
n
(1 + x)n 1 + C1nx + Cn2x2 +L + Crnxr +L + Cnnxn
一般地，(a b)n 展开式的二项式系数
Cn0 ,Cn1, Cnn 有如下性质：
（1）
Cnm
C nm n
（对称性）
Cnm
C m1 n
Cm nn1
（2）当n为偶数时，C
2 n
n1
最大
n1
当n为奇数时，C
(n N)
这个公式表示的定理叫做二项式定理，公式
右边的多项式叫做 (a+b) n的 展开式
，
其中 Crn（r=0,1,2,……,n）叫做 二项式系数 ，
Cnr anrbr 叫做二项展开式的通项，用 Tr+1
表示，该项是指展开式的第 r+1 项，展开式共有
_n_+__1_个项.
T C ranrbr