线性相关线性相关等价命题
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所 以 向 量 组a1, a2, a3 线 性 相 关 ．
例4
1 0 0
讨论
E
:
e1
0
,
e2
1
,
e3
0
的线性相关性.
解：
0 0 1
设有数 x1, x2, x3, 使得
x1e1 x2e2 x3e3 0
则x1 x2 x3 0, 所以向量组 E 线性无关.
例9
b1 a1 a2 , b2 a2 a3 , b3 a3 a4 , b4 a4 a1,
例8
已知向量组 a1 , a2 , a3 线性无关，
证明向量组 b1 =a1 + a2 , b2 = a2 + a3 , b3 = a3 + a1 也线性无关.
证一 设有数 x1 , x2 , x3 使 x1b1 x2b2 x3b3 0 也就是
向量组 a1 , a2 , a3 线性无关 ,
定理1
向量组 A: a1 , a2 ,……, am 线性相关
x1a1 x2a2 xmam 0 有非零解.
Ax 0有非零解
其中矩阵 A = ( a1 , a2 ,……, am ).
秩 R (A) < m
定理 2
向量组 A: a1 , a2 ,……, am 线性无关
x1a1 x2a2 xmam 0 只有零解.
证二：令A (a1, a2 , a3 ), B (b1, b2 , b3)
则B AK， 其中
K 2, K是可逆方阵,
R(B) R( AK) R( A) 3,
所以向量组 b1 ,b2 ,b3 线性无关.
例8
已知向量组 a1 , a2 , a3 线性无关，
证明向量组 b1 =a1 + a2 , b2 = a2 + a3 , b3 = a3 + a1 也线性无关.
证三： 令A (a1, a2 , a3 ), B (b1, b2, b3 ),
令Bx 0, 即AKx 0
B1 A0 K1
因a1 , a2 , a3 线性无关
, Kx 0
K
1
1
0
K 2, R(K ) 3, x 0
0 1 1
所以向量组 b1 ,b2 ,b3 线性无关.
x1 x1
x2
x3
0 0
101 Q1 1 0 20
x2 x3 0 0 1 1 x1 = 0， x2 = 0，x3 = 0
向量组 b1 ,b2 ,b3 线性无关.
例8
已知向量组 a1 , a2 , a3 线性无关，
证明向量组 b1 =a1 + a2 , b2 = a2 + a3 , b3 = a3 + a1 也线性无关.
1
a1
0
,
解： 0
1
a2
1
,
0
1
a3
1
的线性相关性.
1
因为R (A ) = 3 ， 向量组 a1 , a2 , a3是线性无关的.
例 6 讨论向量组
1 1 2
a1
2
,
a2
1
Ax 0 只有零解
秩 R (A) = m
线性相关性的判定（秩法）
向量组 A: 1，2 ,L ，m 矩阵 A = ( 1，2 ,L ，m )
若秩 R (A) = m, 1，2 ,L ，m 线性无关 若秩 R (A) < m, 1，2 ,L ，m 线性相关
例 5 讨论向量组
1 3, 2 1, 3 2
4
1
3 1 2 3
1, 2 , 3共 面 不 全 为0的 数k1, k2 , k3
st. k11 k22 k33 0
共面 线性相关
不共面 线性无关
2
的线性相关性.
解：
1
2
4
设有数 x1, x2, x3, 使 得 x1a1 x2a2 x3a3 0
1 1 1 1 0 2
Q
0
1
2 2
2
4
r
~
0
0
1 0
1
0
2a1 a2 a3 0
§5.2 线性相关和线性无关
1 3
例1
1 2, 2 6
3
9
2 31
1与2共 线 不 全 为 零 的 数 k1, k2
st. k11 k22 0
共线 线性相关
不共线 线性无关
2 1 1
例2
,
a3
7
ห้องสมุดไป่ตู้
的线性相关性.
1
3
0
解：
1 1 2 r3 r1
a1, a2, a3
2
1
1 3
7 0
r2 r3
2r1 2 3 r2
知 R( a1 , a2 , a3 ) = 2 < 3,
所以向量组 a1 , a2 , a3 线性相关.
定义
设有向量组 A : a1, a2,L L , am 如果存在不全为零的数 k1, k2 ,, km使
k1a1 k2a2 kmam 0 () 则称向量组 A 是线性相关的.
否则，称它是线性无关的. 也就是，只有当
k1 k2 L L km 0 时，才能使(＊)式成立，
解齐次线性方程组 x11 x22 L xmm 0 （1）
若（1）只有唯一零解， 判定向量组 1，2 ,L ，m 线性无关
若（1）有非零解 判定向量组 1，2 ,L ，m 线性相关
例3
1 1 1
讨论
a1
0
,
a2
2
,
a3
则称向量组 A 是线性无关的.
说明：
线性相关
等价命题： 任一非零向量 线性无关.
1， 2线性相关 对应分量成比例.
含零向量的向量组 必线性相关.
k α 0 k 0或者α 0 1 k 2 1 k 2 0
线性相关性的判定（定义法）
例4
1 0 0
讨论
E
:
e1
0
,
e2
1
,
e3
0
的线性相关性.
解：
0 0 1
设有数 x1, x2, x3, 使得
x1e1 x2e2 x3e3 0
则x1 x2 x3 0, 所以向量组 E 线性无关.
例9
b1 a1 a2 , b2 a2 a3 , b3 a3 a4 , b4 a4 a1,
例8
已知向量组 a1 , a2 , a3 线性无关，
证明向量组 b1 =a1 + a2 , b2 = a2 + a3 , b3 = a3 + a1 也线性无关.
证一 设有数 x1 , x2 , x3 使 x1b1 x2b2 x3b3 0 也就是
向量组 a1 , a2 , a3 线性无关 ,
定理1
向量组 A: a1 , a2 ,……, am 线性相关
x1a1 x2a2 xmam 0 有非零解.
Ax 0有非零解
其中矩阵 A = ( a1 , a2 ,……, am ).
秩 R (A) < m
定理 2
向量组 A: a1 , a2 ,……, am 线性无关
x1a1 x2a2 xmam 0 只有零解.
证二：令A (a1, a2 , a3 ), B (b1, b2 , b3)
则B AK， 其中
K 2, K是可逆方阵,
R(B) R( AK) R( A) 3,
所以向量组 b1 ,b2 ,b3 线性无关.
例8
已知向量组 a1 , a2 , a3 线性无关，
证明向量组 b1 =a1 + a2 , b2 = a2 + a3 , b3 = a3 + a1 也线性无关.
证三： 令A (a1, a2 , a3 ), B (b1, b2, b3 ),
令Bx 0, 即AKx 0
B1 A0 K1
因a1 , a2 , a3 线性无关
, Kx 0
K
1
1
0
K 2, R(K ) 3, x 0
0 1 1
所以向量组 b1 ,b2 ,b3 线性无关.
x1 x1
x2
x3
0 0
101 Q1 1 0 20
x2 x3 0 0 1 1 x1 = 0， x2 = 0，x3 = 0
向量组 b1 ,b2 ,b3 线性无关.
例8
已知向量组 a1 , a2 , a3 线性无关，
证明向量组 b1 =a1 + a2 , b2 = a2 + a3 , b3 = a3 + a1 也线性无关.
1
a1
0
,
解： 0
1
a2
1
,
0
1
a3
1
的线性相关性.
1
因为R (A ) = 3 ， 向量组 a1 , a2 , a3是线性无关的.
例 6 讨论向量组
1 1 2
a1
2
,
a2
1
Ax 0 只有零解
秩 R (A) = m
线性相关性的判定（秩法）
向量组 A: 1，2 ,L ，m 矩阵 A = ( 1，2 ,L ，m )
若秩 R (A) = m, 1，2 ,L ，m 线性无关 若秩 R (A) < m, 1，2 ,L ，m 线性相关
例 5 讨论向量组
1 3, 2 1, 3 2
4
1
3 1 2 3
1, 2 , 3共 面 不 全 为0的 数k1, k2 , k3
st. k11 k22 k33 0
共面 线性相关
不共面 线性无关
2
的线性相关性.
解：
1
2
4
设有数 x1, x2, x3, 使 得 x1a1 x2a2 x3a3 0
1 1 1 1 0 2
Q
0
1
2 2
2
4
r
~
0
0
1 0
1
0
2a1 a2 a3 0
§5.2 线性相关和线性无关
1 3
例1
1 2, 2 6
3
9
2 31
1与2共 线 不 全 为 零 的 数 k1, k2
st. k11 k22 0
共线 线性相关
不共线 线性无关
2 1 1
例2
,
a3
7
ห้องสมุดไป่ตู้
的线性相关性.
1
3
0
解：
1 1 2 r3 r1
a1, a2, a3
2
1
1 3
7 0
r2 r3
2r1 2 3 r2
知 R( a1 , a2 , a3 ) = 2 < 3,
所以向量组 a1 , a2 , a3 线性相关.
定义
设有向量组 A : a1, a2,L L , am 如果存在不全为零的数 k1, k2 ,, km使
k1a1 k2a2 kmam 0 () 则称向量组 A 是线性相关的.
否则，称它是线性无关的. 也就是，只有当
k1 k2 L L km 0 时，才能使(＊)式成立，
解齐次线性方程组 x11 x22 L xmm 0 （1）
若（1）只有唯一零解， 判定向量组 1，2 ,L ，m 线性无关
若（1）有非零解 判定向量组 1，2 ,L ，m 线性相关
例3
1 1 1
讨论
a1
0
,
a2
2
,
a3
则称向量组 A 是线性无关的.
说明：
线性相关
等价命题： 任一非零向量 线性无关.
1， 2线性相关 对应分量成比例.
含零向量的向量组 必线性相关.
k α 0 k 0或者α 0 1 k 2 1 k 2 0
线性相关性的判定（定义法）