反比例函数动点面积专题

反比例函数 ---动点、面积专题（附详解）

一、解答题（共7小题）

1、已知反比例函数y=的图象经过点A（﹣，1）．

（1）试确定此反比例函数的解析式；

（2）点O是坐标原点，将线段OA绕O点顺时针旋转30°得到线段OB．判断点B是否在此反比例函数的图象上，并说明理由；

（3）已知点P（m，m+6）也在此反比例函数的图象上（其中m＜0），过P点作x轴的垂线，交x轴于点M．若线段PM上存在一点Q，使得△OQM的面积是，设Q点的纵坐标为n，求n2﹣2n+9的值．

2、已知：反比例函数经过点B（1，1）．

（1）求该反比例函数解析式；

（2）连接OB，再把点A（2，0）与点B连接，将△OAB绕点O按顺时针方向旋转135°得到△OA′B′，写出A′B′的中点P的坐标，试判断点P是否在此双曲线上，并说明理由；

（3）若该反比例函数图象上有一点F（m，）（其中m＞0），在线段OF 上任取一点E，设E点的纵坐标为n，过F点作FM⊥x轴于点M，连接EM，使△OEM的面积是，求代数式的值．

3、如图，M点是正比例函数y=kx和反比例函数的图象的一个交点．（1）求这两个函数的解析式；

（2）在反比例函数的图象上取一点P，过点P做PA垂直于x轴，垂足

为A，点Q是直线MO上一点，QB垂直于y轴，垂足为B，直线MO上是否存在这样的点Q，使得△OBQ的面积是△OPA的面积的2倍？如果存在，请求出点Q的坐标，如果不存在，请说明理由．

4、如图，已知：一次函数：y=﹣x+4的图象与反比例函数：（x＞0）的图象分别交于A、B两点，点M是一次函数图象在第一象限部分上的任意一点，过M分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为M1、M2，设矩形MM1OM2的面积为S1；点N为反比例函数图象上任意一点，过N分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为N1、N2，设矩形NN1ON2的面积为S2；

（1）若设点M的坐标为（x，y），请写出S1关于x的函数表达式，并求x取何值时，S1的最大值；

（2）观察图形，通过确定x的取值，试比较S1、S2的大小．

5、如图，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点M（﹣2，﹣1），且P （﹣1，﹣2）为双曲线上的一点，Q为坐标平面上一动点，PA垂直于x轴，QB 垂直于y轴，垂足分别是A、B．

（1）写出正比例函数和反比例函数的关系式；

（2）当点Q在直线MO上运动时，直线MO上是否存在这样的点Q，使得△OBQ 与△OAP面积相等？如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由．

6、如图1，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点M（﹣2，﹣1），且P （﹣1，﹣2）为双曲线上的一点，Q为坐标平面上一动点，PA垂直于x轴，QB 垂直于y轴，垂足分别是A、B．

（1）写出正比例函数和反比例函数的关系式；

（2）当点Q在直线MO上运动时，直线MO上是否存在这样的点Q，使得△OBQ 与△OAP面积相等如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由；（3）如图2，当点Q在第一象限中的双曲线上运动时，作以OP、OQ为邻边的平行四边形OPCQ，求平行四边形OPCQ周长的最小值．

7、如图，点P（a，b）和点Q（c，d）是反比例函数y=图象上第一象限内的

两个动点（a＜b，a≠c），且始终有OP=OQ．

（1）求证：a=d，b=c；

（2）P1是点P关于y轴的对称点，Q1是点Q关于x轴的对称点，连接P1Q1分别交OP、OQ于点M、N．

①求证：PQ∥P1Q1；

②求四边形PQNM的面积S能否等于？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．

反比例动点与面积答案与评分标准

一、解答题（共7小题）

1、已知反比例函数y=的图象经过点A（﹣，1）．

（1）试确定此反比例函数的解析式；

（2）点O是坐标原点，将线段OA绕O点顺时针旋转30°得到线段OB．判断点B是否在此反比例函

数的图象上，并说明理由；

（3）已知点P（m，m+6）也在此反比例函数的图象上（其中m＜0），过P点作x轴的垂线，交x 轴于点M．若线段PM上存在一点Q，使得△OQM的面积是，设Q点的纵坐标为n，求n2﹣2n+9的

值．

考点：反比例函数综合题；待定系数法求反比例函数解析式；旋转的性质。

专题：综合题。

分析：（1）由于反比例函数y=的图象经过点A（﹣，1），运用待定系数法即可求出此反比例函数

的解析式；

（2）首先由点A的坐标，可求出OA的长度，∠AOC的大小，然后根据旋转的性质得出∠AOB=30°，OB=OA，再求出点B的坐标，进而判断点B是否在此反比例函数的图象上；

（3）把点P（m，m+6）代入反比例函数的解析式，得到关于m的一元二次方程；根据题意，可得Q点的坐标为（m，n），再由△OQM的面积是，根据三角形的面积公式及m＜0，得出mn的值，最后将所求的代数式变形，把mn的值代入，即可求出n2﹣2n+9的值．

解答：解：（1）由题意得1=，解得k=﹣，∴反比例函数的解析式为y=﹣；

（2）过点A作x轴的垂线交x轴于点C．

在Rt△AOC中，OC=， AC=1，

∴OA==2，∠AOC=30°，∵将线段OA绕O点顺时针旋转30°得到线段OB，

∴∠AOB=30°，OB=OA=2，∴∠BOC=60°．过点B作x轴的垂线交x轴于点D．

在Rt△BOD中，BD=OB•sin∠BOD=，OD=OB=1，∴B点坐标为（﹣1，），

将x=﹣1代入y=﹣中，得y=，∴点B（﹣1，）在反比例函数y=﹣的图象上．

（3）由y=﹣得xy=﹣，∵点P（m，m+6）在反比例函数y=﹣的图象上，其中m＜0，