随机解释变量问题

第四章 随机解释变量问题

1. 随机解释变量的来源有哪些?

答：随机解释变量的来源有：经济变量的不可控，使得解释变量观测值具有随机性；由于随机干扰项中包括了模型略去的解释变量，而略去的解释变量与模型中的解释变量往往是相关的；模型中含有被解释变量的滞后项，而被解释变量本身就是随机的。

2．随机解释变量有几种情形? 分情形说明随机解释变量对最小二乘估计的影响与后果? 答：随机解释变量有三种情形，不同情形下最小二乘估计的影响和后果也不同。(1)解释变量是随机的，但与随机干扰项不相关；这时采用OLS 估计得到的参数估计量仍为无偏估计量；(2)解释变量与随机干扰项同期无关、不同期相关；这时OLS 估计得到的参数估计量是有偏但一致的估计量；(3)解释变量与随机干扰项同期相关；这时OLS 估计得到的参数估计量是有偏且非一致的估计量。

3. 选择作为工具变量的变量必须满足那些条件?

答：选择作为工具变量的变量需满足以下三个条件：(1)与所替代的随机解释变量高度相关；(2)与随机干扰项不相关；(3)与模型中其他解释变量不相关，以避免出现多重共线性。

4．对模型

Y t =β0+β1X 1t +β2 X 2t +β3 Y t-1+μt

假设Y t-1与μt 相关。为了消除该相关性，采用工具变量法：先求Y t 关于X 1t 与 X 2t 回归，得到Y t

ˆ，再做如下回归： Y t =β0+β1X 1t +β2 X 2t +β3Y t ˆ1

-+μt 试问：这一方法能否消除原模型中Y t-1与μt 的相关性? 为什么?

解答：能消除。在基本假设下，X 1t ，X 2t 与μt 应是不相关的，由此知，由X 1t 与X 2t 估计出的Y t

ˆ应与μt 不相关。 5．对于一元回归模型

Y t =β0+β1X t *+μt

假设解释变量X t *的实测值X t 与之有偏误：X t = X t *+e t , 其中e t 是具有零均值、无序列相关，且与X t *及μt 不相关的随机变量。试问：

(1) 能否将X t = X t *+e t 代入原模型，使之变换成Y t =β0+β1X t +νt 后进行估计? 其中，νt

为变换后模型的随机干扰项。

(2) 进一步假设μt 与e t 之间，以及它们与X t *之间无异期相关，那么E(X t-1νt )=0成立

吗？X t 与X t-1相关吗?

(3) 由(2)的结论，你能寻找什么样的工具变量对变换后的模型进行估计? 解答：（1）不能。因为变换后的模型为

Y t =β0+β1X t +（μt -β

1e t ） 显然，由于

e t 与X t 同期相关，则说明变换后的模型中的随机干扰项νt =μt -β1e t 与X t 同 期相关。

(2) E(X t-1νt )=E[(X t-1*

+e t-1)( μt -β1e t

)]

= E(X t-1*μt)-β1E(X t-1*e t)+E(e t-1μt) -β1E(e t-1e t)=0

多数经济变量的时间序列，除非它们是以一阶差分的形式或变化率的形式出现，往往具有较强的相关性，因此，当X t与X t-1直接表示经济规模或水平的经济变量时，它们之间很可能相关；如果变量是一阶差分的形式或以变化率的形态出现，则它们间的相关性就会降低，但仍有一定程度的相关性。

(3) 由(2)的结论知，E(X t-1νt)=0，即X t-1与变换后的模型的随机干扰项不相关，而且X t 与X t-1有较强的相关性，因此，可用X t-1作为X t的工具变量对变换后的模型进行估计。

6．一个对某地区大学生就业增长影响的简单模型可描述如下:

gEMP t=β0+β1gMINI t+β2gPOP t+β3gGDP1t+β4gGDP t+μt

式中，EMP为新就业的大学生人数，MINI为该地区最低限度工资，POP为新毕业的大学生人数，GDP1为该地区国内生产总值，GDP为该国国内生产总值；g表示年增长率。

(1) 如果该地区政府以多多少少不易观测的却对新毕业大学生就业有影响的因素作为基础来选择最低限度工资，则OLS估计将会存在什么问题?

(2) 令MIN为该国的最低限度工资，它与随机扰动项相关吗?

(3) 按照法律，各地区最低限度工资不得低于国家最低工资，哪么gMIN能成为gMINI 的工具变量吗?

解答：(1) 由于地方政府通常是根据过去的经验、当前的经济状况以及期望的经济发展前景来定制地区最低限度工资水平，但模型中并不包含这些因素，而是被归结到了模型的随机干扰项中，因此gMINI与μ不仅异期相关，而且很可能是同期相关的，这将引起OLS 估计量的偏误，甚至当样本容量增大时也不具有一致性。

(2) 全国最低限度工资的制定主要根据全国整体的情况而定，因此gMINI基本与上述模型的随机扰动项无关。

(3) 由于地方政府在制定本地区最低工资水平时往往会考虑全国最低工资水乎要求，因此gMINI与gMIN具有较强的相关性。结合(2)知gMIN可以作为gMINI的工具变量使用。

第五章 多重共线性

1．什么是多重共线性? 产生多重共线性的经济背景是什么?

答：对于多元回归模型：

01122 12i i i k ki i Y X X X i n ββββμ=+++++=，，，

如果某两个或多个解释变量之间出现了相关性，则称为多重共线性。

产生多重共线性的经济背景是，经济变量在时间上有共同变化的趋势和经济变量之间较强的相关性。另外，当模型中包含解释变量与其滞后解释变量时，由于解释变量本身前后期相关，也会产生多重共线性。

2．多重共线性的危害是什么? 为什么会造成这些危害?

答：当存在完全的多重共线性时，模型的参数将无法估计，因为参数估计量(X'X)-1X'Y 中的(X'X)-1将不存在；当多重共线性程度很高时，(X'X)-1的分母将变得很小，因此参数估计量的方差σ2(X'X)-1将变大，相应的t 统计量值变小，显著性检验也失去意义，模型预测失去意义；另外，解释变量的参数不再反映各自与被解释变量之间的关系，而是反映它们对解释变量的共同影响，因而参数失去了应有的经济含义。

3．检验多重共线性的方法思路是什么? 有哪些克服方法?

答：检验多重共线性的思路是通过各种方法来检验解释变量之间是否存在显著的相关关系。

多重共线性的克服方法有很多，主要可以由以下几种：利用逐步回归法排除引起共线性的变量、差分法、减少参数估计量的方差、利用先验信息改变参数的约束形式、增加样本容量等。

4．在研究生产函数时，得到以下两种结果：

1n Y

ˆt =-5.04 + 0.8871nK t + 0.8931nL t (A) S.E.= (1.40) (0.087) (0.137) R 2=0.878 n=21

1n Y

ˆt =-8.57 + 0.0272t + 0.4601nK t + 1.2851nL t (B) S.E.= (2.99) (0.020) (0.333) (0.324) R 2=0.889 n=21

其中，Y=产量，K=资本，L=劳动，t=时间，n=样本容量。

请回答：

(1) 验证模型(A)中所有的系数在统计上都是显著的(5％)；

(2) 验证模型(B)中t 和lnK 的系数在统计上不显著(5％)；

(3) 可能什么原因造成了(B)中lnK 的系数不显著;

(4) 如果t 与lnK 的相关系数为0.98，你将如何判断并能得出什么结论?

解答: (1) 模型(A)中三个系数对应的t 统计量分别为:

40.104.5-=-3.6 087.0887.0=10.195 137

.0893.0=6.5182 查t 分布临界值表得t 0.025(18)=2.101，模型(A)中三个系数t 统计量的绝对值均大于临界值

2.101，因此所有的回归系数在统计上都是显著的。

(2) 模型(B)中t 和lnK 的系数对应的t 统计量分别为：