专题_解析几何中的动点轨迹问题

专题：解析几何中的动点轨迹问题

学大分教研中心 周坤

轨迹方程的探解析几何中的基本问题之一，也是近几年各省高考中的常见题型之一。解答这类问题，需要善于揭示问题的部规律及知识之间的相互联系。本专题分成四个部分，首先从题目类型出发，总结常见的几类动点轨迹问题，并给出典型例题；其次从方法入手，总结若干技法（包含高考和竞赛要求，够你用的了...）；然后，精选若干练习题，并给出详细解析与答案，务必完全弄懂；最后，回顾高考，列出近几年高考中的动点轨迹原题。OK ，不废话了，开始进入正题吧...

Part 1 几类动点轨迹问题

一、动线段定比分点的轨迹

例1 已知线段AB 的长为5，并且它的两个端点A 、B 分别在x 轴和y 轴上滑动，点P 在段AB 上，(0)AP PB λλ=>，求点P 的轨迹。 ()()()00P x y A a B b 解：设，，，，，，

()(

)0

11101a a x

x y b b y λλλλλλλ+⋅⎧⎧=+=⎪⎪⎪

+⎨⎨++⋅=⎪⎪=⎩

⎪+⎩

，

2225a b +=代入

()

()

2

2

2

2

2

1125y x λλλ

+++

=

()

()

2

2

2

2

2

125

2511x y λλλ+

=++

2225

14

P x y λ=+=

当时，点的轨迹是圆；① 1P y λ>当时，点的轨迹是焦点在轴上的椭圆;②

01P x λ<<当时，点的轨迹是焦点在轴上的椭圆③；

例2 已知定点A(3,1),动点B 在圆O 224x y +=上,点P 在线段AB 上,且BP:PA=1:2,求点P 的轨迹的方程.

()()113P x y B x y AB BP =-解：设，，，，有

()()()()11

33131313x x y y ⎧+-=

⎪+-⎪

⎨

+-⎪=⎪+-⎩

11332

312

x x y y -⎧=⎪⎪⎨

-⎪=⎪⎩化简即： 22114x y +=代入

22

3331422x y --⎛⎫⎛⎫

+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

得 所以点P 的轨迹为()2

2

116139x y ⎛

⎫-+-= ⎪⎝

⎭

二、两条动直线的交点问题

例3 已知两点P （-1,3），Q （1,3）以及一条直线:l y x =

AB 在l 上移动（点A 在B 的左下方），求直线PA 、QB 交点M 的轨迹的方程 ()()()11M x y A t t B t t ++解：设，，，，，， ()()1313PM x y PA t t =+-=+-，，，，

()()131113QM x y QB t t =--=+-+-，，，，

////PM PA QM QB ∴，，

()()()()()()()1313123x t t y x t t y ⎧+-=+-⎪∴⎨

--=-⎪⎩

34222x y t x y x t x y +⎧=⎪-+⎪⎨-⎪=⎪-+⎩

322

42

x y x x y x y +-=-+-+

()()()()32422x y x y x y x +-+=-+-

228y x -=

例4 已知12A A 、是双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的两个顶点，线段MN 为垂直于实轴

的弦，求直线1MA 与2NA 的交点P 的轨迹

()()()()()11111200P x y M x y N x y A a A a --解：设，，，，，，，，，，

1122A P A M

A P

A N k k k k =⎧⎪⎨

=⎪⎩ 11

11y y

x a x a y y x a x a

⎧=⎪++⎪⎨

-⎪=

⎪-+⎩ 1111y y y y

x a x a x a x a

-⋅=⋅+-+- 22

1222

2

1y y x a x a =--- 22

1122

1x y a b -=

2222111222

1y x x a b a a -∴=-= 22

1222

1y b x a a =

- 22

222y b x a a ∴=-- 222222a y b x a b =-+

()22

22010x y a b x x a b >>+=≠当时，是焦点在轴上的椭圆,；

2220a b x y a =>+=当时，是圆；

()22

22010x y b a y x a b

>>+=≠当时，是焦点在轴上的椭圆,；

三、动圆圆心轨迹问题

例5 已知动圆M 与定圆2216x y +=相切，并且与x 轴也相切，求动圆圆心M 的轨迹

()()0M x y y ≠解：设，，

4M y =-当圆，

4M y =+当圆

4y =±

222168x y y y +=±+

2816y x ±=-

M 的轨迹是两条抛物线(挖去它们的交点) ()()2211

202088

y x y y x y =

-≠=-+≠或