离散傅里叶变换(DFT)
离散傅里叶变换(DFT)
尾补L－M个零后，再形成第一行的循环倒相序列。
（2） 第1行以后的各行均是前一行向右循环移1位 形成的。 （3） 矩阵的各主对角线上的序列值均相等。
x( L 1) x( L 2) y (0)c x(0) y (1) x(1) x(0) x( L 1) c y (2)c ＝ x(2) x(1) x(0) y ( L 1)c x( L 1) x( L 2) x( L 3) x(1) h(0) x(2) h(1) x(3) h(2) x (0) h( L 1)
主值序列 x(n)
DFT变换对
x(n)的长度为M点，N≥M
N点DFT 变换对
DFT [ x(n)] X (k ) x(n)WNkn
n 0 N 1
WN e
j
2 N
k 0,1,..., N 1 n 0,1,..., N 1
1 N 1 IDFT [ X (k )] x(n) X (k )WN kn N k 0
1 IDFT[ X (k )]N N
N 1
[ x(m)WNmk ]WN kn
k 0 m 0
N 1 N 1
1 x ( m) N m 0
1 N
WNk ( m n )
k 0
N 1
W
k 0
N 1
k ( mn ) N
1 N
e
k 0
N 1 j 2 k ( m n ) N
x(n)
L称为循环卷积区间长度，L≥max［N，M］。
用矩阵计算循环卷积的公式
L 1 yc (n) h(m) x((n m)) L RL (n) m0
离散傅里叶变换(DFT)
~
将 x(n)以N为周期进行周期延拓得到 x(n) = x(( n)) N 将
~
x(n) = x((n)) N 左移m位得到 x(n + m)
(3.2.4)
例： ( n) = 3e n , o ≤ n ≤ 15 ，求 f ( n) = x(( n + 5))15 R15 (n) x
的16点离散傅立叶变换DFT。
N=16; n=0:N-1; xn=3*exp(n); m=5; fn=xn(mod((n+m),N)+1); XK=fft(xn, N); subplot(2, 2, 1); stem(n,xn); subplot(2, 2, 2); stem(n,abs(XK)); FK=fft(fn,N); subplot(2, 2, 3); stem(n,fn); subplot(2, 2, 4); stem(n,abs(FK));
x(n)为长度为N的有限长序列
x(n) 是长度为N的有限长序列x(n)的周期延拓序列
x (n ) =
~
~
m =∞
∑
∞
x ( n + mN )
(3.1.5) (3.1.6)
x (n ) = x ( n ) RN (n )
~
~
主值区间：周期序列 x( n) 从n=0到N-1的第一个周期。
~
主值序列：而主值区间上的序列称为 x( n) 的主值序列。
m
~2 m )) N) R x 2 (( (( m )) N ( n ) x (m x
2
离散傅里叶变换(DFT)(图)
离散傅里叶变换（DFT）（图）上一回说到，在离散傅里叶级数（DFS）中，离散时间周期序列在时域是离散的n ，其频谱是离散频率周期序列，在频域也是离散的k，理论上解决了时域离散和频域离散的对应关系问题。
但由于其在时域和频域都是周期序列，所以都是无限长序列。
无限长序列在计算机运算上仍然是无法实现的。
为此我们必须取有限长序列来建立其时域离散和频域离散的对应关系。
一、DFS的主值序列上一回讨论我们知道，离散时间周期序列是一个无限长序列，其傅立叶级数展开式为（1）可以看出时间点序号n 是以N为周期的，如果只取其一个周期，称之为的主值序列：（2）主值序列x（n）就是一个长度为N的有限长离散时间序列。
同理，的DFS也是一个无限长序列，即傅立叶系数：（3）也可以看出频率点序号k 也是以N为周期的，如果只取其一个周期，称之为的主值序列：（4）主值序列X（k）是一个长度为N的有限长离散频率序列。
可见，离散时间周期序列在时域和频域的主值序列，均为有限长离散序列。
且主值序列的长度均为N（即n，k＝0，1，2，…，N－1）。
二、离散傅里叶变换（DFT）的定义在离散傅立叶级数（DFS）中，取其时域和频域的主值序列，变换仍然成立。
这就是离散傅里叶变换（DFT），即：（5）和其逆变换（IDFT）：（6）可见离散傅里叶变换（DFT）只不过是特殊的离散傅立叶级数（DFS），如果其时域和频域都仅取主值序列。
离散傅立叶级数（DFS）中的无限长序列和都是以N为周期的周期序列，所以在计算离散时间周期序列及其频谱时，可以利用DFS的周期性，只需要在时域和频域各取一个主值序列，用计算机各计算一个周期中的N个样值，最后将所得的主值序列x（n）和X（k）进行周期延拓，即可得到原来的无限长序列和。
三、DFT的推广应用由DFT的导入过程可以发现，DFT不仅可以解决无限长周期序列的计算机运算问题，而且更可以解决有限长序列的计算机运算问题。
事实上，对于有限长离散序列，总可以把时域和频域的变换区间（序列长度）均取为N（包括适当数量的补0点），通常把N称之为等间隔采样点数，我们可以把这个N点的变换区间视为某个周期序列的一个主值序列，直接利用DFT的定义计算其N点变换。
dft与离散傅里叶变换
dft与离散傅里叶变换DFT与离散傅里叶变换引言：数字信号处理中，频域分析是一项重要的技术。
DFT（离散傅里叶变换）和离散傅里叶变换（DFT）是两种常用的频域分析方法。
本文将介绍DFT和离散傅里叶变换的基本原理、应用领域以及它们之间的区别。
一、DFT的基本原理离散傅里叶变换（DFT）是一种将时域信号转换为频域信号的方法。
它的基本原理是将信号分解为不同频率的正弦和余弦波的叠加。
DFT 可以将信号从时域转换到频域，帮助我们分析信号的频谱特征。
DFT的计算公式是通过对信号的采样点进行离散计算得到的。
它将信号分解为一系列复数，表示不同频率的正弦和余弦波的振幅和相位信息。
通常情况下，DFT的输入信号是离散时间的有限长度序列，输出信号也是离散时间的有限长度序列。
二、DFT的应用领域DFT在信号处理领域有着广泛的应用。
以下是几个典型的应用领域：1. 音频信号处理：DFT可以用于音频信号的频谱分析，帮助我们了解音频信号的频率组成以及频谱特征。
它在音频编码、音频效果处理等方面有着重要作用。
2. 图像处理：DFT可以用于图像的频域分析，帮助我们了解图像的频率特征，如边缘、纹理等。
它在图像压缩、图像增强等方面有着广泛的应用。
3. 通信系统：DFT可以用于通信信号的频谱分析，帮助我们了解信号在频域上的特征，如信号的带宽、频率偏移等。
它在调制解调、信道估计等方面有着重要作用。
三、离散傅里叶变换（DFT）与傅里叶变换（FT）的区别离散傅里叶变换（DFT）是傅里叶变换（FT）在离散时间上的应用。
它们之间的区别主要体现在以下几个方面：1. 定义域：傅里叶变换是定义在连续时间上的，而离散傅里叶变换是定义在离散时间上的。
2. 输入信号类型：傅里叶变换可以处理连续时间的信号，而离散傅里叶变换可以处理离散时间的信号。
3. 计算方法：傅里叶变换通过积分计算得到频域信号，而离散傅里叶变换通过对输入信号的采样点进行离散计算得到频域信号。
4. 结果表示：傅里叶变换的结果是连续的频域信号，而离散傅里叶变换的结果是离散的频域信号。
离散傅里叶变换
c) 频域循环移位定理 若
则
21
3.2.3 循环卷积定理
长度分别为N1和N2的有限长序列x1(n)和x2(n)的N点DFT
分别为： （ N=max［ N1, N2 ］）。
X1(k)=DFT［x1(n)]
X2(k)=DFT［x2(n)］ 如果 则 X(k)=X1(k)· X2(k)
x n IDFT X k x1 m x2 n m N RN n
10
定义： 的主值区间：周期序列 中从n=0到N-1的范围 的主值序列：主值区间上的序列 为叙述方便，将式(3.1.5)该写成
x n N 表示x(n)以N为周期的周期延拓序列，符号((n))N表示n对模
N的余数，即
这里k是商。
11
例如，N=7,
=x((n))7，则有
x 7 x 7 7 x 0 x 8 x 8 7 x 1
类似
Note：对实序列有 X k X N k
DFT x N n X k , 0 k N 1
28
3.2.5 DFT的共轭对称性
1. 有限长共轭对称序列和共轭反对称序列
分别用xep(n)和xop(n) 表示有限长共轭对称序列和共轭反对称
由此对长度为N的序列x(n)，且 x n x n N ，则
X k x n W
n 0 N 1 kn N
的DFS为
x n N W
n 0
N 1
kn N
kn x n WN n 0
N 1
1 N 1 1 N 1 kn kn x n X k WN X k WN N n 0 N n 0
离散傅里叶变换(DFT)
尾补L－M
（2） 第1行以后的各行均是前一行向右循环移1位
（3） 矩阵的各主对角线上的序列值均相等。
y(0)c x(0) x(L1) x(L2)
y(1)c
x(1)
x(0) x(L1)
y(2)c
＝ x(2)
x(1)
x(0)
y(L1)c x(L1) x(L2) x(L3)
m0
n'm
精选课件
N1
N1
X(k) x1(m)WN km x2(n')WN kn '
m0
n'0
X1(k)X2(k)， 0kN1
由于 X ( k ) D F T [ x ( n ) ] X 1 ( k ) X 2 ( k ) X 2 ( k ) X 1 ( k )， 因此
x (n ) ID F T [X (k)] x 1 (n ) x2(n)x2(n) x 1 ( n )
精选课件
若 则
且
D[F x(n)T ]X (k) D [ x ( F n (m T )N R )N ( n ) ] W N m X ( k k ) ID [X (k F ( l)T N ) R N ( k ) ] W N n x ( ln )
证明：
N 1
N 1
Y ( k ) D F T [ y ( n ) ] N x ( ( n m ) ) N R N ( n ) W N k n x ( ( n m ) ) N W N k n
m0
（3.2.5）
yc(n)=h(n) x(n)
L称为循环卷积区间长度，L≥max［N，M］。
精选课件
离散傅里叶变换（DFT）
离散傅⾥叶变换（DFT） 对于第⼀幅图来说，它侧重展⽰傅⾥叶变换的本质之⼀：叠加性，每个圆代表⼀个谐波分量。
第⼆幅图直观的表⽰了⼀个周期信号在时域与频域的分解。
周期信号的三⾓函数表⽰ 周期信号是每隔⼀定时间间隔，按相同规律⽆始⽆终重复变化的信号。
任何周期函数在满⾜狄利克雷条件下（连续或只有有限个间断点，且都是第⼀类间断点；只有有限个极值点），都可以展开成⼀组正交函数的⽆穷级数之和。
使⽤三⾓函数集的周期函数展开就是傅⾥叶级数。
对于周期为T 的信号f(t)，可以⽤三⾓函数集的线性组合来表⽰，即f(t)=a_0+\sum_{n=1}^{\infty }(a_n\cos n\omega t+b_n\sin n \omega t) 式中\omega=\frac{2\pi}{T}是周期信号的⾓频率，也成基波频率，n\omega称为n次谐波频率；a_0为信号的直流分量，a_n和b_n分别是余弦分量和正弦分量幅度。
根据级数理论，傅⾥叶系数a_0、a_n、b_n的计算公式为：\left\{\begin{matrix}a_0=\frac{1}{T}\int _{\frac{-T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)dt \\ a_n=\frac{2}{T}\int _{\frac{-T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)\cos{n\omegat}dt,n=1,2,3,... \\ b_n=\frac{2}{T}\int _{\frac{-T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)\sin{n\omega t}dt,n=1,2,3,... \end{matrix}\right. 若将式⼦中同频率的正弦项和余弦项合并，得到另⼀种形式的周期信号的傅⾥叶级数，即f(t)=A_0+\sum_{n=1}^{\infty}A_n\cos(n\omega t+\varphi_n) 其中，A_0为信号的直流分量；A_1\cos(\omega t+\varphi_1)为信号的基频分量，简称基波；A_n\cos(n\omega t+\varphi_n)为信号的n次谐波，n ⽐较⼤的谐波，称为⾼次谐波。
数字信号处理第3章 离散傅里叶变换(DFT)
Y(k)=DFT［y(n)］=aX1(k)+bX2(k), 0≤k≤N-1(3.2.1)
其中X1(k)和X2(k)分别为x1(n)和x2(n)的N点DFT。
3.2.2 循环移位性质
1. 序列的循环移位 设x(n)为有限长序列，长度为N，则x(n)的循环移 位定义为 y(n)=x((n+m))NRN(N) (3.2.2)
其中 XR(k)=Re［X(k)］=DFT［xep(n)］
(3.2.17)
X(k)=DFT［x(n)］=XR(k)+jXI(k) (3.2.18)
jXI(k)=jIm［X(k)］=DFT［xop(n)］
设x(n)是长度为N的实序列，且X(k)=DFT［x(n)］，则
(1) X(k)=X*(N-k),0≤k≤N-1 (2) 如果 x(n)=x(N-m) 则X(k)实偶对称，即X(k)=X(N-k) (3.2.20) (3.2.19)
如果序列x(n)的长度为M， 则只有当频域采样点
数N≥M时， 才有
xN(n)=IDFT［X(k)］=x(n) 即可由频域采样X(k)恢复原序列x(n)，否则产生时 域混叠现象。 这就是频域采样定理。
下面推导用频域采样X(k)表示X(z)的内插公式和内
插函数。设序列x(n)长度为M，在频域0~2π之间等间隔 采样N点，N≥M，则有
的值。
图 3.2.3 共轭对称与共轭反对称序列示意图
如同任何实函数都可以分解成偶对称分量和奇对
称分量一样，任何有限长序列x(n)都可以表示成共轭对 称分量和共轭反对称分量之和，即
x(n)=xep(n)+xop(n)
0≤n≤N-1
(3.2.11)
(3.2.13) (3.2.14)
DSP-离散傅里叶变换(DFT)
由于：
N1
N 1 W k0
k(mn) N
{1 0
mnM N,MM为整数
mnM N,M
所以， 在变换区间上满足下式：
IDFT[X(k)]=x(n),
0≤n≤N-1
离散傅里叶逆变换是唯一的。
3.1 离散傅里叶变换的定义
[例]
解:
序(1)列设x变(n换)=区R4间(nN) ，=8求，x(则n)：的X (8k点) 和n1760 点x(DnF)WT 8。kn
设序列x(n)的长度为N， 其Z变换和DFT分别为：
N1
X(z)ZT[x(n)] x(n)zn
n0
N1
X(k)DFT[x(n)] x(n)WNkn
n0
比较上面二式可得关系式
0kN-1
X(k) XXX(((kkkX )))(XXX(z(z(z)z)))zzezej2jN 2Njk2ke ,k,j,2N k00,0kkkNN--N 11-10((33k ..1(1.3.33. )1).3)N ze N
离散傅里叶变换(DFT)
本章主要内容
▪ 离散傅里叶变换的定义 ▪ 离散傅里叶变换的基本性质 ▪ 频率域采样 ▪ 离散傅里叶变换的应用举例
离散傅里叶变换(DFT)
DFT变换的实质：有限长序列的傅里叶变换的有限点离散采
样(时域和频域都是离散化的有限点长的序列)。
DFT变换的意义：
▪ 开辟了频域离散化的道路，使数字信号处理可以在频域中进 行处理，增加了数字信号处理的灵活性。 ▪ DFT具有多种快速算法(FFT)，实现了信号的实时处理和设备 的简化。
3 N 0
j 2 kn
e8
XX(k(k)
77
)
n n0 0
离散傅里叶变换(DFT)
X (k) X (e j ) 2 k , N
0 k N-1
(3.1.4)
序列x(n)的N点DFT是 x(n)的DTFT在[0，2π]上的N点等间隔采样
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
2 N
m
-1 单位圆
jIm(z)
j
z平面
2 N
0
1
Re(z)
2 ( N 1) N
-j
图 3.1.1 X(k)与X(z),X(e jω)的关系
x((n))N 表示先对n进行模N运算，然后对所得结果进行函数运算
n 25, N 9, 25 7 9
第3章 离散傅里叶变换(DFT) x(n)
n
0 ~x (n) N-1
...
...
n
0
N-1
定义从n=0 到(N-1)的第一个周期为主值序列或区间。
第3章 离散傅里叶变换(DFT) (2)从DFS到离散傅里叶变换
(4) 周期为N 的离散周期信号
DFS
N 1
j 2 nk
X (k) x(n)e N
n0
x(n)
1
N 1
j 2 nk
X (k)e N
N k0
k ~ n ~
时域离散周期频域周期离散。频谱特点:周期为N的离散谱
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
四种傅立叶变换:
1. 连续非周期 2. 连续周期 3. 离散非周期 4. 离散周期
1
N 1
j 2 kn
X (k)e N
N k0
X (e j ) 2 X (k) ( 2 k)
N k
N
其中 :
X
(k)
N 1
x(n)e
离散傅里叶变换(DFT)
X (k) DFT[x(n)]
x
(n)W
kn N
n0
比较上面二式可得关系式
0 k N-1
X (k ) X (z) , j2 k ze N
0 k N -1
(3.1.3)
X (k ) X (e j ) 2 k ,
0 k N -1
(3.1.4)
N
（3.1.3）式表明序列x(n)的N点DFT是x(n)的Z变换在单位圆上
1 N 1 N k0
X (k )WNkn ,
n 0,
1,
, N - 1 (3.1.2)
▪
式中， WN
j 2
e N
，N称为DFT变换区间长度， N M
1
二、DFT和Z变换的关系
▪ 设序列x(n)的长度为N， 其Z变换和DFT分别为：
N 1
X (z) ZT[ x(n)] x() x(n mN ) (3.1.5)
m
x(n) x(n) RN (n)
(3.1.6)
为了以后叙述方便， 将(3.1.5)式用如下形式表示：
x(n) x((n))N
有限长序列x(n)的离散傅里叶变换X(k)，正好是x(n)的
周期延拓序列x((n))N的离散傅里叶级数系数 X(k)的主值序
• x2n=cos(pi*n/8); • X2k=fft(x2n,N); %计算N点DFT[x2(n)] • Xk2=fft(x2n,N1); %计算N1点DFT[x1(n)] • %产生序列x3(n),计算DFT[x3(n)]
• x3n=sin(pi*n/8); • X3k=fft(x3n,N); %计算N点DFT[x3(n)] • Xk3=fft(x3n,N1); %计算N1点DFT[x1(n)]
离散傅里叶变换的公式
离散傅里叶变换的公式离散傅里叶变换（DFT）是一种数字信号处理的方法，它将时域上的信号转换为频域上的信号。
在图像处理、音频处理、通信等领域中广泛使用。
DFT的公式和理论基础十分重要，本文将详细介绍DFT的公式及其相关知识。
一、基本概念在介绍DFT的公式前，有一些基本概念需要了解：1.离散时间傅里叶变换（DTFT）：DTFT是一种将离散时间序列（离散信号）变换到连续角频率谱的变换。
它表示为X(e ^ jω)=∑x(n)e ^ -jωn ，其中X(e ^ jω) 是离散时间序列 x(n) 的 DTFT，e ^ jωn 是离散复指数信号。
2.离散傅里叶变换（DFT）：DFT是一种计算离散时间序列的离散频率谱的算法。
用DFT可以将一个N个离散点的信号转换为N个离散频率点的频谱，其中每个点代表一个离散频率。
由于DFT的本质是使用频域上的样本估计DTFT，因此它通常比DTFT更具实际意义。
3.复数：在DFT中，我们需要使用复数表示信号和频率。
复数可表示为 a+bi ，其中a,b均为实数，i为虚数单位，i^2=-1。
其中a称为实部，b称为虚部。
4.正变换和逆变换：正变换是将时域信号转换为频域信号的过程，逆变换是将频域信号转换为时域信号的过程。
对于DFT来说，正变换即将离散时间序列转换为离散频率点的频谱，逆变换即将离散频谱转换为离散时间序列。
二、DFT的公式DFT的公式如下：X(k)=∑x(n)e ^ -j2πkn/N ，k=0,1,2,...,N-1其中，X(k)是离散时间序列x(n)的DFT系数，k是频率索引，N是样本数。
公式中的 e ^ -j2πkn/N 是离散复指数信号，也称为旋转因子，代表了信号的周期性。
由于信号周期性的特点，e ^ -j2πkn/N 的 n 取值范围在 0~N-1 之间，因此k 取值在 0~N-1 之间时，X(k) 能够准确地表达样本信号的离散频率成分。
需要注意的是，X(k) 及其离散频率点均为复数，且X(n) 中既包含了信号的幅度，也包含了频率相位信息。
实验三 离散傅里叶变换(DFT)
title('|X(k)|'); subplot(2, 2, 4); stem(k, angle(Xk)); %显示序列的相位谱 title('arg|X(k)|'); 由这个周期序列的实验我们可以看出，与例 1 相比，有限长序列 x(n) 可以看成是周期序列 x(n) 的 一个周期；反之，周期序列 x(n) 可以看成是有限长序列 x(n) 以 N 为周期的周期延拓。频域上的情况也 是相同的。从这个意义上说，周期序列只有有限个序列值有意义。 3）有限长序列 DFT 与离散时间傅里叶变换 DTFT 的联系 离散时间傅里叶变换（DTFT）是指信号在时域上为离散的，而在频域上则是连续的。如果离散 时间非周期信号为 x(n) ，则它的离散傅里叶变换对(DTFT)表示为：
~ ~
DTFT[ = x(n)] X = (e j w )
n = −∞
∑ x ( n) e
∞
− j wn
jw IDTFT[ X (e= )] x= ( n)
1 2π
−π
∫ X (e
π
ห้องสมุดไป่ตู้
jw
) e j wn d w
其中 X (e jω ) 称为信号序列的频谱。将频谱表示为
X (e j w ) = X (e j w ) eϕ ( w )
3.４实验报告
(1) 列写调试通过的实验内容程序，打印或描绘实验程序产生的曲线图形。 (2) 思考题：有限长序列的离散傅里叶变换（DFT）与离散时间傅里叶变换（DTFT）有何联系与 区别？
② 画出原信号与傅里叶逆变换 IDFT[ X ( k ) ]的图形进行比较。 ，求 x(n) 周期重复次数为 3 次时的 DFS 和 (3) 已知周期序列的主值 x(n) ＝［7，6，5，4，3，2］ IDFS。要求： ① 画出原信号序列的主值和周期序列的图形。
离散傅里叶变换DFT
X2(n)= 1 1 1 1
……………………………………………………
1 2 4 8
1 2 4 8
1 2 4 8
解：
N=5时：
N=10,N=50时类同
2.5 DFT的性质
2.5.1.线性
1.两序列都是N点时
如果 则有：
2.5.2圆周移位
一、定义
一个有限长序列 的圆周移位定义为：
这里包括三层意思：
1)先将 进行周期延拓
2)再进行移位
3)最后取主值序列：
二、时域圆周移位定理
证明：
由DFS和DFT的关系：
表明：有限序列的圆周移位，在频域引入一个和频率成正比的线性相移，对幅度没影响。
第2章离散傅里叶变换（DFT)
2.1引言
一.DFT是重要的变换
分析有限长序列的有用工具。
在运算方法上起核心作用，谱分析、卷积、相关都可以通DFT在计算机上实现。
二.DFT是现代信号处理桥梁
DFT要解决两个问题：
一是离散与量化，
二是快速运算。
三.傅氏变换的几种可能形式
1.连续时间、连续频率的傅氏变换
时域信号连续的非周期的
时间函数
频率函数
连续和非周期
非周期和连续
连续和周期
非周期和离散
离散和非周期
周期和连续
散和周期
周期和离散
2.2周期序离散傅里叶级数DFS
一、.周期序列DFS的引入
周期序列：
周期序列可以表示成成谐波关系的复指数序列：
正变换：
逆变换：
二、的周期性
三、 和Z变换、X（ejw）的关系
※ 是Z变换X(Z)在单位圆上采样，
第三章 离散傅里叶变换(DFT)
− N
n
)*
W
n N
=
W
n N
+iN
3. 可约性 4. 正交性
W i⋅n N
= WNn / i
∑ ∑ 1
N
N −1
W
nk N
(WNmk
)
*
k =0
=
1 N
N −1
W (n−m)k N
k =0
=
⎧1, ⎩⎨0,
n − m = iN n − m ≠ iN
3.3 周期序列的离散傅里叶级数
z 可以看出，当0≤k≤N-1 时，X~(k) 是对X(z)在Z平面单 位圆上的N点等间隔采样，在此区间之外随着k的变 化，X~ (k ) 的值呈周期变化。
了。所以这种无穷长序列实际上只有N个序列值的信息是 有用的，因此周期序列与有限长序列有着本质的联系。
3.3 周期序列的离散傅里叶级数
z X~(k) ↔ ~x (n) 是一个周期序列的离散傅里叶 级数(DFS)变换对，这种对称关系可表示为：
∑ X
(k )
=
D F S [ x (n)]
=
N −1
x
10
X (k) =
|X(ejω)|
X (e jω ) ω= 2π k 10
=
− j 4π k
e 10
sin(π k / 2) sin(π k /10)
5
…
o
π
…
2π
3π
4π
ω
3.3 周期序列的离散傅里叶级数
例2 已知周期序列x (n),求X (k )。并讨论 X~ (k)与 X (e jω ) 的关系
将n和k互换，有 ∑ Nx (－k ) = N－1 X (n)WNkn n＝0
第三章 离散傅里叶变换(DFT)
~ X ( k ) N k ( r pn)
k 0
N 1
~ NX ( r pN ) ~ NX ( r )
j 2 nr N
1 ~ 因此, X (r ) N
~ ( n )e x
n 0
N 1
将r换成k则有 1 ~ X (k ) N
n 0
则有
~ ~ ~ (n) b~ (n) aX (k ) bX (k ) DFSax1 x2 1 2
其中，a,b为任意常数。
二.序列的移位
~ ~(n) X (k ) 如果 DFSx
则有：
~ ~(n m) W mk X (k ) DFSx N e
2 j mk N
即：
N 1 n 0 j 2 kn N
~ ~( n )e X (k ) x ~( n ) 1 x N
N 1 k 0
~ X ( k )e
2 j kn N
~ X (k ) 的周期性 2 N 1 j ( k mN ) n ~ 周期性： ( k m N) ~( n )e N X x
) X (k )
0
0 20
N 0 N
k
四.离散时间、离散频率的傅氏变换--DFT
x(nT)=x(n)
1 2 T0 F0 0
T0 NT
0
x (e
j k 0T
T 2T
1 2
( N 1) ( N 1)
NT N
0
)
2 T s 1 T 2
x(k )
n 0 N 1 j 2 nk N
~ ( n )W nk x N
N 1 n 0
离散傅里叶变换(DFT)
k=floor((-Nw/2+0.5):(Nw/2+0.5)); %建立关于纵轴对称的频率相量
for r=0:3;
K=3*r+1;
% 1,4,7,10
nx=0:(K*Nx-1); x=xn(mod(nx,Nx)+1);
%周期延拓后的时间向量 %周期延拓后的时间信号x
Xk=x*(exp(-j*dw*nx'*k))/K; %DFS
0
DFT的提出：
离散傅里叶变换不仅具有明确的物理意义，相对于DTFT， 它更便于用计算机处理。但是，直至上个世纪六十年代，由 于数字计算机的处理速度较低以及离散傅里叶变换的计算量 较大，离散傅里叶变换长期得不到真正的应用，快速离散傅 里叶变换算法的提出，才得以显现出离散傅里叶变换的强大 功能，并被广泛地应用于各种数字信号处理系统中。近年来， 计算机的处理速率有了惊人的发展，同时在数字信号处理领 域出现了许多新的方法，但在许多应用中始终无法替代离散 傅里叶变换及其快速算法。
X (e j ) x(n)e jn n
x(n) 1 X (e j )e jnd
2
其中ω为数字角频率，单位为弧度。 注意：非周期序列，包含了各种频率的信号。
局限性：离散时间傅里叶变换（DTFT）是特殊的Z变换，在数学和信号分 析中具有重要的理论意义。但在用计算机实现运算方面比较困难。这是因为， 在DTFT的变换对中，离散时间序列在时间n上是离散的，但其频谱在数字角
§1、傅里叶级数
周期为N的序列 ~x(n) ~x(n rN), (r为整数)
j( 2 )n
基频序列为 e1(n) e N
k次谐波序列为
ek (n)
j( 2 )nk
e N
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
时域循环移位定理表明：有限长序列的循环移位，在离散 频域中相当于引入一个和频率成正比的线性相移WN-mk 频域循环移位定理表明：时域序列的调制(相移)等效于频域 的循环移位
(3.1.7)
注：若x(n)实际长度为M，延拓周期为N，则当N<M时，(3.1.5) 式仍表示以N为周期的周期序列，但(3.1.6)和 (3.1.7)式仅对 N≥M时成立。
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
图3.1.2（a）中x(n)实际长度M=6，
x (n) 如图 当延拓周期N=8时，~
3.1.2（b）所示。
DTFT:X(e )= x( n)e
M 1 n0
N (n) RN (n) xN ( n) x
(k ) x N (n)WNkn DFS : X
DFT与ZT关系：
k
z e
j k N
X (k ) X ( z )
k ,, ,..., N k ,, ,..., N
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
（2）时/频域循)] X (k )
k 0,1,..., N 1
则
且
mk DFT [ x(( n m)) N RN (n)] WN X (k )
nl IDFT [ X (( k l )) N RN (k )] WN x ( n)
n 0 N 1
WN e
j
2 N
k 0,1,..., N 1 n 0,1,..., N 1
1 N 1 IDFT [ X (k )] x(n) X (k )WN kn N k 0
1 IDFT[ X (k )]N N
N 1
mk kn [ x ( m ) W ] W N N k 0 m 0 k ( mn ) W N k 0 N 1
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
M为整数 M为整数
x (n ) =
m = −∞
∑
∞
x ( n + mN )
(3.1.5) (3.1.6)
x (n ) = x (n ) ⋅ RN (n )
~
~
x(n)=x((n))N，
% X (k ) =
m =− ∞
∑ X (k + mN )
∞
% X (k ) = X (k ) RN (k )
回到本节
N k=0
k =0 N
为DFT变换 长度N≥M， ， N 为DFT变换 长度N≥M， WN = e DFT 有限长 离散序列 有限长 离散序列
−j
2π N
第三章 离散傅里叶变换DFT
例1
解：
已知 x(n) = R4 (n)，分别求N = 8和N =16 时的X (k)。
N = 8时
N−1 n=0 nk N
第三章 离散傅里叶变换DFT
式中x((n))N表示x(n)以N为周期的周期延拓序列， ((n))N 表示n对N求余， 即如果 n=MN+n1， 0≤n1≤N-1， 则 ((n))N=n1 例如 N = 5, x N (n) = x((n))5 则有
~
M为整数，
x (5) = x ((5))5 = x (0) x (6) = x ((6))5 = x (1)
∑e
n=0
k =0 8, = 0, k = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
x(n)的16点DFT为
k 1 − W168 1 − e k X (k ) = W16 n = = k 2π −j k 1 − W16 n=0 1 − e 16 π 7π sin k −j k 2 = e 16 , k = 0,1, 2,L ,15 π sin k 16
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sin( k ) 2 , k 0,1, ,7 sin( k ) 8
kn 16
设变换区间N=16， 则
X (k ) x(n)W
n 0
15
e
N 0
3
j
2 kn 16
e
3 j k 16
sin( k ) 4 , k 0,1, ,15 sin( k ) 16
具体而言，即：
(1)时域周期序列看作是有限长序列x(n)的周期延拓
(2)频域周期序列看作是有限长序列X(k)的周期延拓 (3)把周期序列DFS的定义式（时域、频域）各取主值 区间，就得到关于有限长序列时频域的对应变换对。
（前面已证：时域上周期序列的离散傅里叶级数在频域上仍是同 周期序列）
第3章 离散傅里叶变换(DFT) (1)周期序列的主值区间与主值序列
DFT 矩阵方程为:X WN x 即: 1 X (0) 1 X (1) 1 WN 1 WN 2 X (2) ＝ 1 ( N 1) X ( N 1) 1 W N 1 WN 2 WN 4 WN 2( N 1)
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
3.1 离散傅里叶变换的定义 3.2 离散傅里叶变换的基本性质 3.3 频率域采样 3.4 DFT的应用举例
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
一. 引言
3.1 离散傅里叶变换的定义
我们已经学习了连续时间傅里叶变换、连续周期信 号的傅里叶级数、离散时间傅里叶变换，他们都是信号 处理领域中重要的数学变换。本章讨论离散傅里叶变换 (DFT)，其开辟了频域离散化的道路，使数字信号处理可 以在频域进行。DFT存在快速算法，使信号的实时处理得 以实现。DFT不仅在理论上有重要意义，在各种信号处理 中也起着核心作用。
1 ak N
x ( n )e
n 0
N 1
j
2 kn N
令X (k ) Nak
2 n(k N ) N
X ( k ) x ( n )e
n 0
N 1
j
2 nk N
X (k N )
x ( n )e
n 0
N 1
j
x ( n )e
n 0
N 1
例 3.1.1 x(n)=R4(n) ，求x(n)的8点和16点DFT 。
解：DFT定义式为：X (k ) 设变换区间N=8， 则
7
kn x ( n ) W N n 0
3 j 2 kn 8
N 1
X (k ) x(n)W8kn e
n 0 N 0
e
3 j k 8
第3章 离散傅里叶变换(DFT) (4)DFT和Z变换的关系
x ( n ), n 0,1,
X ( z ) ZT [ x(n)] x(n) z n
kn X (k ) DFT [ x(n)] x(n)WN , n 0 n 0 N 1
N 1
, N 1
0 k N-1
x(n) 。因此它的DTFT 因为周期序列不满足条件： n 不存在。但是，正象连续时间周期信号可用傅氏级数表达， 周期序列也可用离散的傅氏级数来表示。 (1)DFS定义 2
正变换： X ( k ) DFS [ x ( n )]
x ( n )e
n 0 N 1 k 0
第3章 离散傅里叶变换(DFT) (3)周期序列的傅里叶变换表示 x(n) 。因此它的DTFT 因为周期序列不满足条件： n 不存在。但是，通过引入奇异函数δ 其DTFT可以用公式 表示。
x(n) x(n kN ), k
1 x(n) N
X ( k )e
k 0
X (k ) x(n)W
n 0 ~ N 1 ~ kn N kn x((n)) N WN n 0 kn N N 1
1 x(n) N
~
X (k )W
k 0
N 1 ~
1 N
X ((k ))
k 0
N 1
kn W N N
从上式可知，DFS，IDFS的求和只限定在n=0到 n=N-1,及k=0到N-1的主值区间进行。 因此可得到新的定义，即有限序列的离散傅氏变 换(DFT)的定义。 有限长序列隐含着周期性。
N 1
j
2 kn N
2 j X (e ) N
2 X (k ) ( k) N k
其中 : X (k ) x (n )e
n 0
N 1
j
2 kn N
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
四. 离散付里叶变换
周期序列实际上只有有限个序列值才有意义 ，因 而它的离散傅里叶级数表示式也适用于有限长序列 , 这就得到有限长序列的傅里叶变换(DFT)。
y ( n ) x1 ( m ) x 2 (( n m )) N R N ( n )
N 1
x1 ( n ) x 2 ( n ) x 2 ( n ) x1 ( n )
x (n) ，定义其第一个周期 n=0~N-1， 对于周期序列 ~ 为 ~ x (n) 的“主值区间”，主值区间上的序列为主值序 列 x(n)。
x (n) 的关系可描述为： x(n)与 ~ x (n)是x(n)的周期延拓 ~ ~ x ( n ) 是 x (n)的"主值序列 " 数学表示：
x(n) x(n mN ) x((n)) N m x(n) x(n) R (n) x((n)) R (n) N N N
N 1
j
N
nk
1 反变换：x ( n ) IDFS [ X ( k )] N
X ( k )e
2 j nk N
一般记：
WN e
j
2 N
第3章 离散傅里叶变换(DFT) (2)周期序列的离散傅里叶级数推导 由
x(n) x(n kN ), k
x(n)
x(n ) 可以展成傅里叶级数：
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
二. 四种信号傅里叶表示
(1) 周期为T的连续时间周期信号
x (t )
1 t T 0 2 / T X ( k 0 ) x (t ) e jk 0t dt T t 时域周期频域离散。频谱特点:离散非周期谱
(2) 连续时间非周期信号
FS
4.
离散周期
离散周期
DFS
切实理解四种FT之间的对应关系
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
三. 离散付里叶级数(DFS)
为了便于更好地理解DFT的概念，先讨论周期序列及 其离散傅里叶级数（DFS）表示。然后讨论可作为周期函 数一个周期的有限长序列的离散傅里叶变换(DFT)。 周期序列
x(n) x(n kN ), k
k
a e
k n 0
N 1
j
2 2 kn j mn N N
e
e
n 0
N 1
j
2 ( k m ) n N
根据正交定理
x(n)e
n 0
N 1
j
2 mn N
Nam
令k=m
1 ak N
x ( n )e
n 0
N 1
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
图 3.2.1
循环移位过程示意图
第3章 离散傅里叶变换(DFT) 2. 序列的圆周卷积 设 x1 ( n ) 和 x 2 ( n ) 是两个具有相同长度N的有限长序列( 若不等，对序列补零使其为N点， N max( N 1 , N 2 ) )，定 义圆周卷积：
x((n)) N 表示先对n进行模N运算，然后对所得结果进行函数运算
n 25, N 9, 25 9 7
第3章 离散傅里叶变换(DFT) x(n)
0
~ x (n)
N-1
n
...
0 N-1
...
n
定义从n=0 到(N-1)的第一个周期为主值序列或区间。
第3章 离散傅里叶变换(DFT) (2)从DFS到离散傅里叶变换 如果x(n)的长度为N， 且 x(n) x((n)) N ， 则可 写出 x(n) 的离散傅里叶级数表示为：
nk X (k ) x(n 1 x (1) 2( N 1) WN x (2) ( N 1)( N 1) WN x ( N 1) 1
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
DFT
nk X (k ) DFT x (n ) x (n )WN ， 0 k N 1 n 0
N 1
1 x(n) IDFT X (k ) N
nk X ( k ) W N ,0 n N 1 k 0
N 1
第3章 离散傅里叶变换(DFT) (3)离散傅里叶变换的矩阵方程
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
jIm(z)
2 m N j
z 平面
2 N
-1
0
1 2 ( N 1) N
Re(z)
单位圆 -j
图 3.1.1 X(k)与X(z),X(e jω)的关系
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
3.2 离散傅里叶变换的基本性质
一. 基本概念
1. 序列的圆周移位
序列x(n)，长度为N，则x(n)的圆周移位定义为：
y(n) x((n m)) N RN (n)
循环移位过程：
circshift(a,[0,-1])
x(n)
周期延拓
x(n) x((n)) N