分形维数浅释

然而，分形，却具有非整数的维数。这是怎么回事呢？为了解释清楚，我们先看看一条线段（如图一）：
图一
如果我们把此线段分割一次，则
， ，
式中L是一个常数，
n是分割的次数，
乃分割n次后的总碎片数，
是分割n次后的每一碎片的长度
第二次分割（每个线段再分割一次）：
， ，
第三次分割（每个线段再分割一次）：
， ，
因此，我们不难知道，分割n次后，
“科赫”曲线的研究十分有用，常用来帮助分析海岸线（coastline）的结构，由近似的分形维数，可以定量的分析海岸线的平滑度或不平滑度(“smoother”or“rougher”)。据文献记载，英国（GreatBritain）的海岸线之分形维数的近似值为1.25；而南非（South Africa）海岸线分形维数的近似值为1.0；挪威(Norway)海岸线分形维数的近似值为1.52。可见南非的海岸线是相当平滑的，而英国的海岸线则是比较不平滑的(rougher)，较接近“科赫”曲线的特性；而挪威的海岸线则是更趋复杂。
图八
这个特殊的H碎形可由以下的运作得到（图九）：
图九
观察图九，我们可以归纳出：
当 ， ，
当 ， ，
当 ， ，
当 ， ，
所以，运作n次后，
，
读者不难算出，其“豪斯多夫”维数恰好等于2。留给读者当家庭作业吧。
以下四个分形树（Tree Fractal），分支夹角各为120度，140度，160度，和180度，它们都有完全一样的分形维数： 。
图十一
还有一个很重要的定理：若一个几何图形包含两个以上的不同维数的图形，那么，这整个图形的维数，必定等于那个较大的维数。这个特性可以由盒计数法来加以阐释的很清楚（限于篇幅，不加赘述）。因此，整个分形树（Tree Fractal）的维数（如图），恰恰等于最终端分支的维数（如果最终端分支的维数大于或等于1）。如果最终端分支的维数小于1，则整个分形树（Tree Fractal）的维数必定是1，因为一支树干的维数是1。
图十
一些很单纯的分形，我们可以直接计算出来它们的维数，但是许多较复杂的分形，则是常用的盒计数法(Box-CountingMethod)。此方法十分简易且有效。步骤如下，随着n的增加，计算方形“盒子（boxes）”的数目（如图十一），可以估计出分形的维数（而n不需很大）。用这个方法可以有效地估计出相当复杂、或不规则形状的分形之维数，这一方面，限于篇幅，不详谈了。
分形几何，有若干特性，例如“自相似性（self-similarity）”等等。本文由一个最耐人寻味的特性切入，那就是分形维数（Fractal Dimension）。并且，也借此讨论过程，得以对分形（碎形）有更深入的了解。
首先，众所周知，一般几何所用的维数，或维度(Dimension)是整数，如一个点是0维，一条线段是1维，一个在平面上的几何图形是2维，如一个方形或一个圆形；再者，一个立方体或一个球形，则被视为3维。
图七
观察图七，我们可以归纳出：
当 ， ，
当 ， ，
当 ， ，
所以，运作n次后，
，
由式二，
于是，我们得到了“科赫”曲线的维数D= 1.262。这也是一介于1和2之间的维数。非常有趣的是，这个“科赫”曲线的总长度是无穷大（看起来像吗？），因为
总长度
以上两个例子，不是线，也不是面，它们似乎是某种介于线与面之间的存在。读者可以加以沉思一番。
最后，关于分形的应用，不仅是在物理学，地理学，海洋学，更可应用在医学，生物学，化学，纺织学，设计学等等诸多的领域里。比如说化学，分子的分形结构及维数，会影响到许多化学反应的机制、快慢。又比如说纺织学，人造纤维的分形结构及维数，也会深深地影响到许多成品的巨观特性，如色泽等等。至于在美学的设计上，那就是更直接，更生动了！
当 ， ，
当 ， ，
当 ， ，
所以分割n次后，
，
由式二，
在此，我们得到了一个非整数的维数D= 0.631。这是一介于0和1之间的维数。
让我们进一步看看介于1和2之间的维数。它是一个碎形（如图四）。
图四
我们可以由以下方法得到这个分形（图五）：
图五
观察图五，我们可以得到：
当 ， ，
当 ， ，
当 ， ，
所以操作n次后，
图十二
希望本文粗浅的介绍，能带给读者几许好奇心，或兴趣，来欣赏一下这门蛮新的学问，扩充一下我们对大自然的看法。
喻麟佑博士
2012年三月
于广州
附注：
一．B. Mandelbrot,The Fractal Geometry of Nature, W. H. Freeman and Co., NY, 1977.
分形树(Fractal Trees)的分形维数也相当有趣，十分值得我们讨论。
另外，值得一提的是，分形的“豪斯多夫”维数并非一定是非整数的，有时也会是整数。严格来说，分形的“豪斯多夫”维数大于“拓扑”维数，这样比较正确。以下是一个例子—H分形(H-fractal)，或称H树(H-Tree)，（如图八）。它的确是一个分形，但“豪斯多夫”维数为2。
总碎片数： ，
每一碎片大小：
现在，让我们来定义一个维数D：
(式一)
式中，L的D次方（即维数）等于，分割n次后的总碎片数，乘上每一碎片长度的D次方。特别注意的是，分割的次数n必须是非常大（无穷大）。
D也就是一般所指的“豪斯多夫”维数（Hausdorff Dimension）。
式一也可写成（先暂不管 ）：
正文：
分形(Fractal) ，又称“碎形”或“残形”。这种几何形状，对很多人而言，其实并不陌生 ，大家或多或少都可在一些书本、杂志封面、海报或月历等地方看到过。自从20世纪80年代开始[注一]，“混沌(chaos)”，“奇异吸引子(strange attractors)”，“分形(fractal)”, 还有与以上相关的许多新名词，如雨后春笋般呈现，且被人们所津津乐道。无论是专业人士的讨论或一般茶余饭后的闲谈皆然。
，
由式二，
这一次，我们得到了一个非整数的维数D= 1.465。这是一介于1和2之间的维数。十分有趣的是，这个碎形的总面积为0，因为
总面积
另外，还有一个非常典型且有名的例子，那就是“科赫”曲线（Koch Curve）（如图六）,十分值得我们来讨论。
图六
我们可以由以下的运作得到这个“科赫”曲线（图七）：
等式两边取自然对数:
或
严格来说，分割的次数n为无穷大
或 (式二)
因为 ，我们也不难得到
(式三)
所以，L这个常数，对维数来讲，并不重要。
到目前为止，可能不太容易理解，到底怎么回事了。好，让我们来算一算这条线段的“豪斯多夫”维数吧！
由式二，
因此，我们得到这条线段的“豪斯多夫”维数是1。
再者，让我们来看看一个在平面上的几何图形（如图二）：
图二
观察图二，我们不难得到：
当ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ， ，
当 ， ，
所以分割n次后，
，
由式二，
也就是说，这个方形的“豪斯多夫”维数是2。
那么非整数的维数，是怎么回事呢？让我们来看看著名的“康托尔”集(Cantor Set)。“康托尔”集，可说是最简单的一种碎形了。它可由如下方式形成（如图三）：
图三
观察图三，我们不难理解：
分形维数（Fractal Dimension）浅释
笔者:喻麟佑博士（美国亚利桑那大学物理学博士）
2012年3月于广州
前言：
最近，数学课下课后，有学生问我一个网上流传的数学问题，令很多学生困惑。简化以后，大意可以由下图描述：
三角形的两个斜边一直往下折，折了无穷次后，看起来不就是和底边一样了？那么，1 + 1不就等于 了？要回答类似这个问题，必须了解分形(Fractal)的原理才行。其实这两个斜边，折了无穷次后，是一个分形的结构，和一条直线是大不相同的。现在，我们来了解一下分形的原理。