2018年必修一 《对数与对数运算》第二课时参考教案

2.2.1对数与对数运算

共三课时

教学目标：1．理解并记忆对数的定义，对数与指数的互化，对数恒等式及对数的性质．

2．理解并掌握对数运算法则的内容及推导过程．

3．熟练运用对数的性质和对数运算法则解题．

4．对数的初步应用.

教学重点：对数定义、对数的性质和运算法则

教学难点：对数定义中涉及较多的难以记忆的名称，以及运算法则的推导

教学方法：学导式

教学过程设计

第二课时

师：在初中，我们学习了指数的运算法则，请大家回忆一下．

生：m n m n

a a a+

⋅= (m,n∈Z)；()m n mn

a a

= (m,n∈Z)；()n n n

ab a b

=⋅ (n∈Z)，

师：下面我们利用指数的运算法则，证明对数的运算法则．（板书）

（1）正因数积的对数等于同一底数各个因数的对数的和，即

log

a （MN）=log

a

M+log

a

N．

（请两个同学读法则（1），并给时间让学生讨论证明．）

师：我们要证明这个运算法则，用眼睛一瞪无从下手，这时我们该想到，关于对数我们只学了定义和性质，显然性质不能证明此式，所以只有用定义证明．而对数是由指数加以定义的，显然要利用指数的运算法则加以证明，因此，我们首先要把对数等式转化为指数等式．

师：（板书）设log

a M=p，log

a

N=q，由对数的定义可以写成M=a p，N=a q．所以

M·N=a p·a q=a p+q，

所以log

a （M·N）=p+q=log

a

M+log

a

N．

即log

a （MN）=log

a

M+log

a

N．

师：这个法则的适用条件是什么？

生：每个对数都有意义，即M＞0，N＞0；a＞0且a≠1．

师：观察法则（1）的结构特点并加以记忆．

生：等号左端是乘积的对数，右端是对数的和，从左往右看是一个降级运算．师：非常好．例如，（板书）log

2

（32×64）=？

生：log

2（32×64）=log

2

32+log

2

64=5+6=11．

师：通过此例，同学应体会到此法则的重要作用——降级运算．它使计算简化．

师：（板书）log

62+log

6

3=？

生：log

62+log

6

3=log

6

（2×3）=1．

师：正确．由此例我们又得到什么启示？

生：这是法则从右往左的使用．是升级运算．

师：对．对于运算法则（公式），我们不仅要会从左往右使用，还要会从右往左使用．真正领会法则的作用！

师：（板书）（2）两个正数的商的对数等于被除数的对数减去除数的对数．

师：仿照研究法则（1）的四个步骤，自己学习．

（给学生三分钟讨论时间．）

生：（板书）设log

a M=p，log

a

N=q．根据对数的定义可以写成M=a p，N=a q．所

以

师：非常好．他是利用指数的运算法则和对数的定义加以证明的．大家再想一想，在证明法则（2）时，我们不仅有对数的定义和性质，还有法则（1）这个结论．那么，我们是否还有其它证明方法？

生：（板书）

师：非常漂亮．他是运用转化归结的思想，借助于刚刚证明的法则（1）去证明法则（2）．他的证法要比书上的更简单．这说明，转化归结的思想，在化难

为易、化复杂为简单上的重要作用．事实上，这种思想不但在学习新概念、新公式时常常用到，而且在解题中的应用更加广泛．

师：法则（2）的适用条件是什么？

生：M＞0，N＞0；a＞0且a≠1．

师：观察法则（2）的结构特点并加以记忆．

生：等号左端是商的对数，右端是对数的差，从左往右是一个降级运算，从右往左是一个升级运算．

师：（板书）lg20-lg2=？

师：可见法则（2）的作用仍然是加快计算速度，也简化了计算的方法．师：（板书）

例1 计算：

（学生上黑板解，由学生判对错，并说明理由．）：

（1）log

93+log

9

27=log

9

3×27=log

9

81=2；

（3）log

2（4+4）=log

2

4+log

2

4=4；

生：第（2）题错！在同底的情况下才能运用对数运算法则．（板书）

生：第（3）题错！法则（1）的内容是：

生：第（4）题错！法则（2）的内容是：

师：通过前面同学出现的错误，我们在运用对数运算法则时要特别注意什么？

生：首先，在同底的情况下才能从右往左运用法则（1）、（2）；其次，只有在正因数的积或两个正数的商的对数的情况下，才能从左往右运用运算法则（1）、（2）．

师：（板书）（3）正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数．即

log

a （N）n=n·log

a

N．

师：请同学们自己证明（给几分钟时间）师：法则（3）的适用条件是什么？

生：a＞0，a≠1；N＞0．

师：观察式子结构特点并加以记忆．生：从左往右仍然是降级运算．

师：例如，（板书）log

332=log

5

25=5log

5

2．练习计算（log

2

32）3．

（找一好一差两名学生板书．）

错解：（log

232）3=log

2

（25）3=log

2

215=15．

正确解：（log

232）3=（log

2

25）3=（5log

2

2）3=53=125．

（师再次提醒学生注意要准确记忆公式．）

师：（板书）（4）正数的正的方根的对数等于被开方数的对数除以根指数．即