高等流体力学第九章

开始
假设一个速度分布，用与计算首次迭代 时的动量离散方程中的系数和常数项
u*, *, *(u, , )
假设一个压力场，即给定压力猜测值
p'
根据当前速度场及压力场，计算动 量离散方程等方程中的系数和常数项
SIMPLE
a, b
步骤1：求解动量离散方程，式 (3) 与 (4) 令
p* p, u* u


（ 9）
9.8.1 速度修正方程

引入压力修正值与速度修正值的表达式 （5）（6）和（7），方程（8）和（9） 可写成：
' aiJ uiJ

' anbunb
' ( PI 1, J
' PIJ ) AiJ
（10）' a来自j Ij' anb nb
' ' ( PI , J 1 PIJ ) AIj
* * * aiJ uiJ uiJ anb (unb unb ) [( PI 1, J PI*1, J ) ( PIJ PIJ )] AiJ


（ 8）
* * * aIj Ij Ij anb ( nb nb ) [( PI , J 1 PI*, J 1 ) ( PIJ PIJ )] AIj
9.2 锯齿形压力场
P=100 500 100 500 100 500
锯齿形压力场
在任一网格点P处，对应的pW－pE＝0。 结果是错误的
9.3 棋盘形压力场
100 300 100 300 100 300 5 27 5 27 5 27
100
300
100
300
100
300
5
27
5
27
5
27
100
300
9.9 压力修正方程的讨论
4.最后一次迭代之后，所有的解就是收敛的，对 于所有的控制容积，压力修正方程的质量源b 将实际上变为0。。所以收敛解不会受推导p’ 方程所作的任何近似的影响。 5.当计算域内各处质量源b的值变得足够小时就 可以停止迭代。 6.压力方程可看成是引向正确的压力场的一个中 间算法，对最终解没有直接影响。 7.过程的收敛速度与p’方程的特定公式有关，如 果略去的项太多，可能会导致发散。
其中，
' Ij

' ' d Ij ( PI , J 1 PIJ )
，
AiJ d iJ aiJ
d Ij
AIj
（14）
a Ij
9.8.1 速度修正方程

* uIJ uiJ
* IJ iJ
将（12）和（13）代入式（6）和（7）， 有：
' diJ ( PI 1, J ' PIJ )
算 法 流 程 图
u*, *
步骤2：根据速度
u*,，求解 * 压力修正方程， 压力修正方程
* , *
否
p'
步骤3：修正压力与速度，式（(5) 5），（(15) 15），和（(16) 16）

收敛否？
p, u, , *
输运方程（视需要进行） 步骤4：求解所有其他的离散化输运方程
是
结束
流场数值计算的主要方法


流场计算的基本过程是在空间上用有 限体积法或其他类似方法将计算域离 散成许多小的体积单元，在每个体积 单元上对离散后的控制方程组进行求 解。 本质：对离散后的控制方程组的求解。
流场数值计算方法分类图
所有变量全场联立求解
耦合式解法
部分变量全厂联立求解 局部地区所有变量联立求解
（ 2）
9.8.1 速度修正方程

* p 设有初始的猜测压力场 ，根据前两式有：
* aiJ uiJ

* anbunb
* ( PI 1, J
* PIJ ) AiJ
biJ
（ 3）
* aIj Ij

* anb nb
* ( PI 1, J
* PIJ ) AIJ
bIj
（ 4）
y x
对u与v的交错位置 u v 其它
9.8 SIMPLE算法

SIMPLE——用以进行流场计算的程序， 是解压力耦合方程的半隐式方法。
9.8 SIMPLE算法

SIMPLE算法的基本思想：
对于给定的压力场，求解离散形式的动量方程， 得出速度场，对压力场加以修正，据此求得新 的速度场，检查是否收敛，若不收敛，用修正 后的压力值作为给定的压力场，开始下一层次 的计算，如此反复，直到获得收敛解。
流场数值解法
非原始变量法 分离式解法 原始变量法
涡量-流函数法 涡量-速度法 压力修正法 解压力泊松方程法 人为压缩法
（11）
可以看出，由压力修正值可可求出速度修正值（ u ',
' ）。
9.8.1 速度修正方程

为简化上式的求解过程，可近似处理： ' 略去方程中与速度修正值相关的 anbunb ' 和 anb nb ，有：
' uiJ ' diJ ( PI 1, J ' PIJ )
（12） （13）
100
300
100
300
5
y x
27
5
27
5
27
棋盘形压力场
9.4 连续性方程
控制容积
du 0 dx
W w
P e
E
(δ x)e (δ x)w 在如图所示的控制容积内积分
ue uw 0
u p ue 2 uw u p 2
一维问题的典型网格点群
0
9.5 波形速度场
v=100 400 100 400 100 400
第九章 流场的计算
9.1 压力梯度项的表达
控制容积 W w P e E
2 2 2 一维问题的典型网格点群 上式可看出动量方程包含两个相间而不是相邻网 格点之间的压力差，在效果上压力取的是较实际 所采用的网格为粗的网格上的值，导致精度下降
pW pw pW pE pP p P E δ x) ( e ( δ x ) pw pe
X
波形速度场
这些速度满足连续性方程但却不能认为是 合理的或有意义的
9.6 交错网格


如果不一定要在同样的网格点上计算所 有的变量，而对每一个因变量采用不同 的网格，成为一种交错网格。 采用交错网格时，速度分量是对位于控 制容积表面上的点进行计算
9.7 速度分量交错网格
y x
对u的交错位置
9.7 速度分量交错网格
* ' ' u u d p p 在推导速度修正式 e e e P E
' 项 anbunb
' a u 1.略去 nb nb 项可以把p’方程写成与通用的Φ方
时摒弃 这样做不会对计算带来明显的危害。
程相同的形式，并采用一个一次的，每次求解一个 变量的解法。 ' a u 2.在SIMPLE算法中，忽略 nb nb 是一种认可。 3.由SIMPLE算法所给定的收敛解并不包含任何由忽 ' a u 略 nb nb 所产生的误差。
（15）
对于 ui 1, J 和 I ,i 1 ，也存在类似的表达式； 上式表明，如果已知压力修整值 p ' ，便可对猜测的速 * * u , 度场 作出相应的速度修正，得到正确的速度 场 u, 。
' ' d Ij ( PI , J 1 PIJ )
（16）
9.9 压力修正方程的讨论

SIMPLE算法的两个关键问题：
①如何构造压力修正方程？ ②如何构造速度修正方程？
9.8.1 速度修正方程

交错网格关于速度的 ui , J 和 I , j 的动量方 程的离散形式：
aiJ uiJ anbunb (PI 1,J PIJ ) AiJ biJ （1）
aIj Ij anb nb (PI , J 1 PIJ ) AIJ bIj
定义压力修正值
p' ，
*
（ 5）
p p p'
9.8.1 速度修正方程

定义速度修正值 u ' 和 ' ，则有：
u u u'
*
（ 6） （ 7）
'
*
将正确的压力场 p 代入动量离散方程（1）（2）， 得到正确的速度场（ u , ）。
9.8.1 速度修正方程

假定源项 b 不变，方程（1）和（2）减去 （3）和（4），得：