高数知识点总结

S(x)
对和式积分或求导
an xn
n0
求和
S * ( x)
• 数项级数 直接求和: 直接变换, 求部分和等 求和 间接求和: 转化成幂级数求和, 再代值
4、函数的幂级数和傅里叶级数展开法 （1）. 函数的幂级数展开法
• 直接展开法 — 利用泰勒公式 • 间接展开法 — 利用已知展式的函数及幂级数性质
2、求幂级数收敛域的方法
• 标准形式幂级数: 先求收敛半径 R , 再讨论 x R
处的敛散性 . 通过换元转化为标准形式
• 非标准形式幂级数 直接用比值法或根值法
3、幂级数和函数的求法
• 求部分和式极限
• 初等变换法: 分解、套用公式
• 映射变换法（在收敛区间内）
anxn
n0
难
逐项求导或求积分
z=z0+pt ;
两点式: M0M1 M0M 0, 即 x x0 y y0 z z0 . x1 x0 y1 y0 z1 z0
2.曲面
基本曲面：球面，圆柱面，柱面，旋转曲面 空间曲面的一般方程：F(x,y,z)=0
F(x, y) = 0表示母线平行于z轴的柱面. F(x, z) = 0表示母线平行于y轴的柱面. F(y, z) = 0表示母线平行于x轴的柱面.
a = (ax ) i + ( ay ) j + ( az) k
a = ax i + ay j+ az k 称为向量a在基本单位向量
i, j, k下的基本分解式或坐标表示式. ax、ay 、az为
坐标，分别是a在三坐标轴上的投影. 若在三维空间中不建立直角坐标系，同样
可研究向量的分解及向量的坐标运算。
设, , 为三个线性无关向量,a为任意向量，
则存在唯一一组数x,y,z,使得
a = x+ y+ z
3.数量积、向量积、混合积
设 a =(ax, ay , az), b = (bx , by , bz), c = (cx , cy , cz),则
a b = ax bx + ay by + az bz
2z xy
2z yx
在 X 0 (x0的, y0某) 邻域 内U 存( X 0在) 且在 连续，X 0 则
2z
2z
.
xy
yx
X X0
X X0
• 设多元函数 f ( X ) f (x1, x2,，, x则n )在 C k ()
4.二次曲面
研究方法是采用平面截割法. 用一些平行于坐标面的平面与曲面相截, 然后加以综合, 进而了解曲面的全貌.
椭球面,双曲抛物面,椭圆抛物面,单叶双曲面, 双叶双曲面
一、内容总结
1.多元函数的概念
2.多元函数的极限和连续性
A.极限的定义，二重极限和二次极限的区别
B.连续性
lim
f
(M )
f
(M 0 )，则称f
(M
)在点M
连续。
0
MM0
C.有界闭区域上连续函数的性质
3.偏导数的定义、计算以及几何意义
4.全微分的定义，形式不变性；可微和偏导数存 在、偏导数连续，连续之间的关系 5.复合函数偏导数的链式法则
u u x u y s x s y s u u x u y t x t y t
一、内容总结
知识点总结
一、内容总结：常数项级数的审敛法
1. 利用部分和数列的极限判别级数的敛散性
2. 正项级数审敛法
必要条件
lim
n
un
0
满足
不满足 发 散
比值审敛法
lim
n
un1 un
1
部分和求极限
不定
根值审敛法 lim n
n
un
用它法判别 比较审敛法
1
1
收敛
发散
3. 交错级数审敛法
概念:
(1)n1un (un 0) 称为交错级数 .
a b = ( aybz azby) i+( azbx axbz) j+ ( axby ay bx) k i jk
ax ay az bx by bz
ax ay az (a b) c [a,b,c] bx by bz .
cx cy cz
复习数量积、向量积、混合积的运算性质、几何意义、物理意义。
1、隐函数的导数：
• 一个方程的情形
定 理 1 设 函 数
在 点
U(X0)
F定理(x,yz)X0 FF(x0,X(2设三yxz,)y0y'z)00 z元(x,y)0 函 数 zF'y'
• 方程组的情形
定 理 3 设
， 若 （ 1 ）
2、高阶偏导数：
• 若 z f (X ) 的f 两(x,个y)混合偏导数 和
旋转曲面的方程可由母线C的方程(二元方程如F(x, y) = 0)
获得: 旋转轴对应的变量(如x)不变 ，剩下的那个(y)用除 轴外 的两个变量的平方和开平方根 ( y2 z2 )代替.
3.曲线
一般方程
F (x,y,z) 0
G
(
x
,
y
,
z
)
0
参数方程
x = x (t) y = y (t)
z = z (t)
4.平面
建立平面方程的基本方法：点法式、截距式、一般式。 点到平面的距离的向量式表达。 平面之间的位置关系。
一、 内容总结
1.直线方程
一般形式： 三元一次方程组.
对称式:s M0M
0,
即 x x0 m
y y0 n
z z0 p
参数形式: x=x0+mt, y=y0+nt ,
z=z0+pt ;
两点式: M0M1 M0M 0, 即 x x0 y y0 z z0 . x1 x0 y1 y0 z1 z0
一、 内容总结
1.直线方程
一般形式： 三元一次方程组.
对称式:s M0M
0,
即 x x0 m
y y0 n
z z0百度文库p
参数形式: x=x0+mt, y=y0+nt ,
（2）. 函数的傅里叶级数展开法
系数公式及计算技巧; 收敛定理; 延拓方法
一、 内容总结
1.向量的加法与数乘运算
运算律：交换、结合、分配
2.向量的分解
a = ax i + ay j+ az k， b =bxi + by j+ bz k
a b = (ax + bx) i + (ay+ by) j + (az+ bz ) k
n 1
Leibniz判别法: 若
且
则交错级数
收敛 , 且余项
4. 任意项级数审敛法
概念: 设 un 为收敛级数 . n 1
若
收敛 , 称
绝对收敛.
若
发散 , 称
条件收敛.
一、内容总结
1.
求和 展开
(在收敛域内进行)
时为数项级数;
时为幂级数;
(an ,bn 为傅氏系数) 时, 为傅立叶级数.
基本问题：判别敛散； 求收敛域； 求和函数； 级数展开.