从几道高考题说起

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谈谈几道有瑕疵的高考题

谈谈几道有瑕疵的高考题甘志国(北京丰台二中ꎬ北京１０００７１)摘㊀要:本文对八道高考题提出了商榷ꎬ都是以前的文献中未曾出现过的ꎬ其中包括２０２２年高考上海卷第１２题.关键词:瑕疵ꎻ高考题ꎻ商榷中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２３)１６－００３４－０６收稿日期:２０２３－０３－０５作者简介:甘志国(１９７１－)ꎬ男ꎬ湖北省竹溪人ꎬ硕士ꎬ中学正高级教师ꎬ特级教师ꎬ从事数学解题研究.基金项目:北京市教育学会十三五教育科研滚动立项课题数学文化与高考研究 (项目编号:ＦＴ２０１７ＧＤ００３)㊀㊀一年一度的高考是考生㊁老师㊁家长㊁学校乃至全社会关注的重点话题.高考试题有解法常规㊁情景新颖㊁杜绝偏怪㊁引导教学㊁服务选才等特点ꎬ这也与新课改之精神㊁教育乃培养人的活动㊁数学本来应当是人人能够喜爱的美的科学合拍.但笔者也发现了少数有瑕疵(值得商榷)的高考题.虽然原题不会太影响(实际上ꎬ还是有影响)考生正确答题ꎬ但作为高考题的权威性及引用的广泛性ꎬ还是要确保无误ꎬ尽可能地做到严谨㊁完美.题１㊀(２０２２年高考上海卷第１２题)已知函数ｆ(ｘ)的定义域为[０ꎬ＋ɕ)ꎬ值域为Ａｆꎬ且满足ｆ(ｘ)＝ｆ１１＋ｘæèçöø÷.若ａ>０ꎬ且ｙｙ＝ｆ(ｘ)ꎬｘɪ[０ꎬａ]{}＝Ａｆꎬ则实数ａ的取值范围是.题１是试卷填空压轴题.笔者估计命题专家的解答是:由题得ｙｙ＝ｆ(ｘ)ꎬｘɪ[０ꎬａ]{}＝Ａｆꎬ即ｆ(ｘ)ｘȡ０{}＝ｆ(ｘ)０ɤｘɤａ{}.由题设ꎬ可得ｆ(ｘ)ｘȡ０{}＝ｆ(ｘ)０ɤｘɤａ{}ɣｆ(ｘ)ｘȡａ{}.再由ｆ(ｘ)ｘȡａ{}＝ｆ１１＋ｘæèçöø÷ｘȡａ{}＝ｆ１１＋ｘæèçöø÷０<１１＋ｘɤ１１＋ａ{}＝ｆ(ｘ)０<ｘɤ１１＋ａ{}ꎬ可得ｆ(ｘ)ｘȡ０{}＝ｆ(ｘ)０<ｘɤ１１＋ａ{}ɣｆ(ｘ)０ɤｘɤａ{}.所以ｆ(ｘ)ｘȡ０{}＝ｆ(ｘ)０ɤｘɤａ{}⇔ｆ(ｘ)０ɤｘɤａ{}ɣｆ(ｘ)０<ｘɤ１１＋ａ{}＝ｆ(ｘ)０ɤｘɤａ{}⇔ｆ(ｘ)０<ｘɤ１１＋ａ{}⊆ｆ(ｘ)０ɤｘɤａ{}⇔１１＋ａɤａ(ａ>０)⇔ａȡ５－１２.因而所求实数ａ的取值范围是５－１２ꎬ＋ɕ[öø÷.解答错了ꎬ错在哪里?若函数ｆ(ｘ)的值域Ａｆ是单元素集ꎬ则ｆ(ｘ)０<ｘɤ１１＋ａ{}⊆ｆ(ｘ)０ɤｘɤａ{}⇒１１＋ａɤａ(ａ>０)不成立.因而上述解答不正确.事实上ꎬ若Ａｆ是单元素集ꎬ则所求实数ａ的取值范围是(０ꎬ＋ɕ).因而原题是错题ꎬ可把原题修正为:若对于定义域为[０ꎬ＋ɕ)ꎬ值域为Ａｆꎬ且满足ｆ(ｘ)＝ｆ１１＋ｘæèçöø÷恒成立的所有函数ｆ(ｘ)ꎬ均有ｙｙ＝ｆ(ｘ)ꎬｘɪ[０ꎬａ]{}＝Ａｆꎬ则正数ａ的取值范围是.对于修正后的题目ꎬ解答如下:由题设ꎬ可得ｙｙ＝ｆ(ｘ)ꎬｘɪ[０ꎬａ]{}＝Ａｆꎬ即ｆ(ｘ)ｘȡ０{}＝ｆ(ｘ)０ɤｘɤａ{}.记５－１２＝αꎬ可得１α＋１＝α(α>０).(１)由已知可验证函数ｆ(ｘ)＝０ꎬｘɪ[０ꎬα)ɣ(αꎬ＋ɕ)１ꎬｘɪα{}{满足ｆ(ｘ)＝ｆ１１＋ｘæèçöø÷恒成立.再由ｆ(ｘ)ｘȡ０{}＝０ꎬ１{}ꎬ可得若ｆ(ｘ)ｘȡ０{}＝ｆ(ｘ)０ɤｘɤａ{}ꎬ则ａȡα.(２)当ａȡα时ꎬ下证由题设可得ｆ(ｘ)ｘȡ０{}＝ｆ(ｘ)０ɤｘɤａ{}.事实上ꎬ由题设可得ｆ(ｘ)ｘȡα{}＝ｆ１１＋ｘæèçöø÷ｘȡα{}＝ｆ１１＋ｘæèçöø÷０<１１＋ｘɤ１１＋α{}＝ｆ１１＋ｘæèçöø÷０<１１＋ｘɤα{}＝ｆ(ｘ)０<ｘɤα{}.所以ｆ(ｘ)ｘȡ０{}＝ｆ(ｘ)０ɤｘ<α{}ɣｆ(ｘ)ｘȡα{}＝ｆ(ｘ)０ɤｘ<α{}ɣｆ(ｘ)０<ｘɤα{}＝ｆ(ｘ)０ɤｘɤα{}.综上所述ꎬ可得所求正数ａ的取值范围是５－１２ꎬ＋ɕ[öø÷.注㊀本题是会影响考生作答的:考生若只考虑Ａｆ是单元素集的特殊情况ꎬ就会把答案填成 (０ꎬ＋ɕ) .题１的情形在以前的高考题中也出现过.题２㊀(２００５年高考全国Ⅰ卷理科第１５题)已知ΔＡＢＣ的外接圆的圆心为Ｏꎬ两条边上高的交点为Ｈ.若ＯＨң＝ｍ(ＯＡң＋ＯＢң＋ＯＣң)ꎬ则实数ｍ＝.笔者估计命题专家的解答是:由ＯＨң＝ｍ(ＯＡң＋ＯＢң＋ＯＣң)ꎬ可得ＡＨң＝(ｍ－１)ＯＡң＋ｍ(ＯＢң＋ＯＣң).再由ＡＨңʅＢＣңꎬ可得ＡＨң ＢＣң＝(ｍ－１)ＯＡң ＢＣң＋ｍ(ＯＣң＋ＯＢң) (ＯＣң－ＯＢң)＝(ｍ－１)ＯＡң ＢＣң＋ｍ(｜ＯＣң｜２－ＯＢң｜２)＝(ｍ－１)ＯＡң ＢＣң＝０.所以ｍ＝１.解答错了ꎬ错在哪里?当ＯＡʅＢＣ时ꎬ由(ｍ－１)ＯＡң ＢＣң＝０ꎬ并不能得到ｍ＝１ꎬ只能得到ｍɪＲꎻ当ΔＡＢＣ是正三角形时ꎬ可得ＯＨң＝ＯＡң＋ＯＢң＋ＯＣң＝０ꎬ因而也只能得到ｍɪＲ.建议把题２改述为以下四道题目之一(它们的答案均是１):(１)已知ΔＡＢＣ的外接圆的圆心为Ｏꎬ两条边上高的交点为Ｈ.若对于任意的ΔＡＢＣꎬＯＨң＝ｍ(ＯＡң＋ＯＢң＋ＯＣң)恒成立ꎬ则实数ｍ＝ꎻ(２)已知ΔＡＢＣ不是正三角形ꎬ其外接圆的圆心为Ｏꎬ两条边上高的交点为Ｈ.若ＯＨң＝ｍ(ＯＡң＋ＯＢң＋ＯＣң)ꎬ则实数ｍ＝ꎻ(３)已知ΔＡＢＣ的外心Ｏ与垂心Ｈ不重合ꎬ若ＯＨң＝ｍ(ＯＡң＋ＯＢң＋ＯＣң)ꎬ则实数ｍ＝ꎻ(４)若ΔＡＢＣ的外心Ｏ与垂心Ｈ不重合ꎬ则当实数ｍ＝时ꎬＯＨң＝ｍ(ＯＡң＋ＯＢң＋ＯＣң).下面再分析几道有瑕疵的高考题.题３㊀(２０２２年高考全国乙卷理科第１１题)双曲线Ｃ的两个焦点为Ｆ１ꎬＦ２ꎬ以Ｃ的实轴为直径的圆记为Ｄꎬ过Ｆ１作Ｄ的切线与Ｃ交于ＭꎬＮ两点ꎬ且ｃｏｓøＦ１ＮＦ２＝３５ꎬ则Ｃ的离心率为(㊀㊀).Ａ.５２㊀㊀Ｂ.３２㊀㊀Ｃ.１３２㊀㊀Ｄ.１７２解法１㊀可不妨设Ｆ１(－ｃꎬ０)ꎬＦ２(ｃꎬ０)分别是双曲线Ｃ:ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝１(ａ>ｂ>０)的左㊁右焦点ꎬ过左焦点Ｆ１作圆Ｄ:ｘ２＋ｙ２＝ａ２的切线ꎬ切点为Ｐꎬ连接ＯＰ(Ｏ是坐标原点)ꎬ则ＯＰʅＭＮ.包括图１与图２两种情况:可得ＯＰ＝ａꎬＯＦ１＝ｃꎬＦ１Ｐ＝ｂ.作Ｆ２ＱʊＯＰ交ＭＮ于点Ｑꎬ则Ｆ２ＱʅＭＮꎬＦ２Ｑ＝２ＯＰ＝２ａꎬＱＦ１＝２Ｆ１Ｐ＝２ｂ.图１㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀图２(１)如图１所示ꎬ两个交点ＭꎬＮ均在双曲线Ｃ的左支上.由ｃｏｓøＦ１ＮＦ２＝３５ꎬ可求得ＮＦ２＝５２ａꎬＮＱ＝３２ａ.所以ＮＦ１＝ＮＱ－ＱＦ１＝３２ａ－２ｂꎬＮＦ２＝ＮＦ１＋２ａ＝７２ａ－２ｂ.再由ＮＦ２＝５２ａꎬ可得ａ＝２ｂ.所以双曲线Ｃ的离心率ｅ＝１＋ｂａæèçöø÷２＝５２.(２)如图２所示ꎬ两个交点ＭꎬＮ分别在双曲线Ｃ的左支㊁右支上.由ｃｏｓøＦ１ＮＦ２＝３５ꎬ可求得ＮＦ２＝５２ａꎬＮＱ＝３２ａ.所以ＮＦ１＝ＮＱ＋ＱＦ１＝３２ａ＋２ｂꎬＮＦ２＝ＮＦ１－２ａ＝２ｂ－１２ａ.再由ＮＦ２＝５２ａꎬ可得３ａ＝２ｂ.所以双曲线Ｃ的离心率ｅ＝１＋ｂａæèçöø÷２＝１３２.解法２㊀(１)如图１所示ꎬ两个交点ＭꎬＮ均在双曲线Ｃ的左支上.可得ＯＰʅＮＦ１ꎬＯＰ＝ａꎬＯＦ１＝ｃꎬＰＦ１＝ｂ.设øＦ１ＮＦ２＝αꎬøＦ２Ｆ１Ｎ＝βꎬ由ｃｏｓøＦ１ＮＦ２＝３５即ｃｏｓα＝３５ꎬ可得ｓｉｎα＝４５ꎬｓｉｎβ＝ａｃꎬｃｏｓβ＝－ｂｃ.在әＦ２Ｆ１Ｎ中ꎬ可得ｓｉｎøＦ１Ｆ２Ｎ＝ｓｉｎπ－α－β()＝ｓｉｎα＋β()＝ｓｉｎαｃｏｓβ＋ｃｏｓαｓｉｎβ＝４５ˑ－ｂｃæèçöø÷＋３５ˑａｃ＝３ａ－４ｂ５ｃ.在әＦ２Ｆ１Ｎ中ꎬ由正弦定理可得ＮＦ２ｓｉｎβ＝ＮＦ１ｓｉｎøＦ１Ｆ２Ｎ＝２ｃｓｉｎα＝５ｃ２.所以ＮＦ１＝５ｃ２ｓｉｎøＦ１Ｆ２Ｎ＝５ｃ２ˑ３ａ－４ｂ５ｃ＝３ａ－４ｂ２ꎬＮＦ２＝５ｃ２ｓｉｎβ＝５ｃ２ˑａｃ＝５ａ２.再由双曲线的定义ꎬ可得ＮＦ２－ＮＦ１＝５ａ２－３ａ－４ｂ２＝ａ＋２ｂ＝２ａ.即ａ＝２ｂ.所以双曲线Ｃ的离心率ｅ＝１＋ｂａæèçöø÷２＝５２.(２)如图２所示ꎬ两个交点ＭꎬＮ分别在双曲线Ｃ的左支㊁右支上.可得ＯＰʅＮＦ１ꎬＯＰ＝ａꎬＯＦ１＝ｃꎬＰＦ１＝ｂ.设øＦ１ＮＦ２＝αꎬøＦ２Ｆ１Ｎ＝βꎬ由ｃｏｓøＦ１ＮＦ２＝３５即ｃｏｓα＝３５ꎬ可得ｓｉｎα＝４５ꎬｓｉｎβ＝ａｃꎬｃｏｓβ＝ｂｃ.在әＦ２Ｆ１Ｎ中ꎬ可得ｓｉｎøＦ１Ｆ２Ｎ＝ｓｉｎπ－α－β()＝ｓｉｎα＋β()＝ｓｉｎαｃｏｓβ＋ｃｏｓαｓｉｎβ＝４５ˑｂｃ＋３５ˑａｃ＝３ａ＋４ｂ５ｃ.在әＦ２Ｆ１Ｎ中ꎬ由正弦定理可得ＮＦ２ｓｉｎβ＝ＮＦ１ｓｉｎøＦ１Ｆ２Ｎ＝２ｃｓｉｎα＝５ｃ２.所以ＮＦ１＝５ｃ２ｓｉｎøＦ１Ｆ２Ｎ＝５ｃ２ˑ３ａ＋４ｂ５ｃ＝３ａ＋４ｂ２ꎬＮＦ２＝５ｃ２ｓｉｎβ＝５ｃ２ˑａｃ＝５ａ２.再由双曲线的定义ꎬ可得ＮＦ１－ＮＦ２＝３ａ＋４ｂ２－５ａ２＝２ｂ－ａ＝２ａ.即３ａ＝２ｂ.所以双曲线Ｃ的离心率ｅ＝１＋ｂａæèçöø÷２＝１３２.注㊀得到的结果是所求双曲线Ｃ的离心率为５２或１３２ꎬ与本题是单选题不符.建议把本题的题干改述为:已知双曲线Ｃ的两个焦点分别为Ｆ１ꎬＦ２ꎬ以双曲线Ｃ的实轴为直径的圆记为Ｄꎬ过焦点Ｆ１作圆Ｄ的切线与双曲线Ｃ的两支分别交于点ＭꎬＮ.若ｃｏｓøＦ１ＮＦ２＝３５ꎬ则双曲线Ｃ的离心率为(㊀㊀).Ａ.５２㊀㊀Ｂ.３２㊀㊀Ｃ.１３２㊀㊀Ｄ.１７２题４㊀(２００９年高考全国Ⅱ卷理科第１４题)设等差数列ａｎ{}的前ｎ项和为Ｓｎꎬ若ａ５＝５ａ３ꎬ则Ｓ９Ｓ５＝.解析㊀由{ａｎ}为等差数列ꎬ可得Ｓ９Ｓ５＝９ａ５５ａ３＝９.商榷㊀题４有不严谨之处:当ａｎ＝０(ｎɪＮ∗)时ꎬ满足题设但不满足结论.把题４中的等差数列改为各项不全为０的等差数列即可(改动后答案不变).题５㊀(２０１７年高考上海卷第６题)设双曲线ｘ２９－ｙ２ｂ２＝１(ｂ>０)的焦点为Ｆ１ꎬＦ２ꎬＰ为该双曲线上的一点.若｜ＰＦ１｜＝５ꎬ则｜ＰＦ２｜＝.解析㊀由双曲线的定义ꎬ可得｜｜ＰＦ１｜－｜ＰＦ２｜｜＝｜５－｜ＰＦ２｜｜＝６ꎬ得｜ＰＦ２｜＝１１.商榷㊀我们先证明结论双曲线ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝１(ａ>０ꎬｂ>０ꎬｃ＝ａ２＋ｂ２)左支上任一点Ｐ到左焦点Ｆ的距离ＰＦ的取值范围是[ｃ－ａꎬ＋ɕ)ꎬ右支上任一点Ｑ到左焦点Ｆ的距离ＱＦ的取值范围是[ｃ＋ａꎬ＋ɕ) .设点Ｐ(ｘꎬｙ)(ｘɤ－ａ)ꎬ可得ＰＦ２＝(ｘ＋ｃ)２＋ｙ２＝(ｘ＋ｃ)２＋ｂ２ｘ２ａ２－ｂ２＝ｃ２ａ２ｘ＋ａ２ｃæèçöø÷２.由ｘɤ－ａꎬ可得ＰＦ的取值范围是[ｃ－ａꎬ＋ɕ).同理可证ꎬＱＦ的取值范围是[ｃ＋ａꎬ＋ɕ).建议把题５中的焦点为改为两个焦点分别为 .接下来ꎬ解答该题时ꎬ可不妨设Ｆ１ꎬＦ２分别是双曲线的左㊁右焦点ꎬ由证得的结论可得｜ＰＦ１｜＝５ȡ９＋ｂ２－３ꎬ０<ｂɤ５５ꎬ还可证明当ｂɪ(０ꎬ５５]时ꎬ均满足题意.因而题目设双曲线ｘ２９－ｙ２ｂ２＝１(ｂ>５５)的两个焦点分别为Ｆ１ꎬＦ２ꎬＰ为该双曲线上的一点.若｜ＰＦ１｜＝５ꎬ则｜ＰＦ２｜＝的答案是不存在 .故建议把题５中的ｂ>０改为０<ｂɤ５５ .题６㊀(２００６年高考浙江卷第１９题)如图３所示ꎬ椭圆ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１(ａ>ｂ>０)与过点Ａ(２ꎬ０)ꎬＢ(０ꎬ１)的直线有且只有一个公共点Ｔꎬ且椭圆的离心率ｅ＝３２.图３(１)求椭圆方程ꎻ(２)设Ｆ１ꎬＦ２分别为椭圆的左㊁右焦点ꎬ求证:｜ＡＴ｜２＝１２｜ＡＦ１｜｜ＡＦ２｜.商榷㊀第(１)问的答案是ｘ２２＋２ｙ２＝１.在本题中还可得Ｆ２(３２ꎬ０)ꎬＴ(１ꎬ１２)ꎬ所以点Ｔ应在点Ｆ２的左上方ꎬ所以题６的原图(即图３)有误ꎬ这会影响考生答题(考生算出正确答案后ꎬ对照图形检验时却以为自己算错了ꎬ会又算一遍ꎬ ).题７㊀(２０１０年高考重庆卷理科第２０题)已知以原点Ｏ为中心ꎬＦ(５ꎬ０)为右焦点的双曲线Ｃ的离心率ｅ＝５２.(１)求双曲线Ｃ的标准方程及其渐近线方程ꎻ(２)如图４所示ꎬ已知过点Ｍ(ｘ１ꎬｙ１)的直线ｌ１ʒｘ１ｘ＋４ｙ１ｙ＝４与过点Ｎ(ｘ２ꎬｙ２)(其中ｘ２ʂｘ１)的直线ｌ２ʒｘ２ｘ＋４ｙ２ｙ＝４的交点Ｅ在双曲线Ｃ上ꎬ直线ＭＮ与两条渐近线分别交于ＧꎬＨ两点ꎬ求әＯＧＨ的面积.图４解析㊀(１)(过程略)双曲线Ｃ的标准方程为ｘ２４－ｙ２＝１ꎬ其渐近线方程为ｘʃ２ｙ＝０.(２)由两点确定一直线可得直线ＭＮ的方程为ｘＥｘ＋４ｙＥｙ＝４.分别解方程组ｘＥｘ＋４ｙＥｙ＝４ꎬｘ－２ｙ＝０ꎬ{ｘＥｘ＋４ｙＥｙ＝４ꎬｘ＋２ｙ＝０ꎬ{可求得两点Ｇ(４ｘＥｘ＋２ｙＥꎬ２ｘＥ＋２ｙＥ)ꎬＨ(－４ｘＥｘ＋２ｙＥꎬ２ｘＥ＋２ｙＥ).因为点Ｅ在双曲线Ｃ上ꎬ所以ｘ２Ｅ－４ｙ２Ｅ＝４.进而可得ＳәＯＧＨ＝１２(８ｘ２Ｅ－４ｙ２Ｅ－－８ｘ２Ｅｘ－４ｙ２Ｅ)＝８ｘ２Ｅ－４ｙ２Ｅ＝８４＝２.商榷㊀下面将指出题７的原图(即图４)的错误:因为点Ｅ关于ｘ轴的对称点Ｅᶄ(ｘＥꎬ－ｙＥ)也在双曲线Ｃ上ꎬ而双曲线Ｃ在点Ｅᶄ处的切线方程为ｘＥｘ４－(－ｙＥ)ｙ＝－１ꎬ即ｘＥｘ＋４ｙＥｙ＝４ꎬ也即直线ＭＮꎬ所以直线ＭＮ与双曲线Ｃ应当相切ꎬ而不是相离.题８㊀(２０１７年高考北京卷文科㊁理科第８题)根据有关资料ꎬ围棋状态空间复杂度的上限Ｍ约为３３６１ꎬ而可观测宇宙中普通物质的原子总数Ｎ约为１０８０.则下列各数中与ＭＮ最接近的是(㊀㊀).(参考数据:ｌｇ３ʈ０.４８)Ａ.１０３３㊀Ｂ.１０５３㊀Ｃ.１０７３㊀㊀Ｄ.１０９３分析㊀题８中的３３６１与１０８０均应看成是准确数(１ˑ１０８０ꎬ１.０ˑ１０８０均可认为是近似数ꎬ它们分别精确到１０８０ꎬ１０７９)ꎬ也可均看成是精确到１的近似数.而围棋状态空间复杂度的上限Ｍ与可观测宇宙中普通物质的原子总数Ｎ均为正整数ꎬ所以由Ｍʈ３３６１ꎬＮʈ１０８０可得Ｍ＝３３６１ꎬＮ＝１０８０.而事实却是围棋状态空间复杂度的上限Ｍ<３３６１ꎬ可观测宇宙中普通物质的原子总数Ｎ<１０８０.权当这是本题的一点不严谨吧.下面就按照Ｍ＝３３６１ꎬＮ＝１０８０来求解. 解法１㊀由ｌｇＭＮ＝ｌｇＭ－ｌｇＮ＝ｌｇ３３６１－ｌｇ１０８０＝３６１ˑｌｇ３－８０ʈ３６１ˑ０.４８－８０＝１７３.２８－８０＝９３.２８ꎬ可得ＭＮʈ１０９３.２８ꎬ所以ＭＮ>１０９３>１０７３>１０５３>１０３３ꎬ进而可得答案.对解法１的分析㊀若答案是Ｄꎬ则需证明ＭＮ－１０７３>ＭＮ－１０９３ꎬ３３６１１０８０－１０７３>３３６１１０８０－１０９３ꎬ３３６１－１０１５３>３３６１－１０１７３ꎬ由３３６１>(３７３２)４０＝(２１８７９)４０>(２０００５)４０＝１０１６０>１０１５３ꎬ可得３３６１－１０１５３＝３３６１－１０１５３.接下来ꎬ还需比较３３６１与１０１７３的大小.由ｌｇ３ʈ０.４８ꎬ可得３３６１ʈ１０１７３.２８ꎬ再由此得出３３６１>１０１７３是没有道理的.好比由２.５ʈ３ꎬ３>２.９ꎬ并不能得出２.５>２.９是一个道理(由近似值及其精确度只能得出真值的取值范围).由３３６１>１０１７３.２８(它等价于ｌｇ３>０.４８)可以得出３３６１>１０１７３ꎬ而由ｌｇ３ʈ０.４８不能得出ｌｇ３>０.４８.所以解法１的理由不充分.根据近似数的理论ꎬ ｌｇ３ʈ０.４８的意义就是把ｌｇ３(精确到０.０１)按照四舍五入法取近似数得到的结果是０.４８ꎬ比如２０１４年高考课标全国Ⅱ卷理科第２１(３)题已知１.４１４２<２<１.４１４３ꎬ估计ｌｎ２的近似值(精确到０.００１) ꎬ答案０.６９３就是按照四舍五入法取近似数得到的结果.因而ꎬｌｇ３ʈ０.４８⇔０.４７５ɤｌｇ３<０.４８５.由０.４７５ɤｌｇ３<０.４８５⇔１７１.４７５ɤ３６１ｌｇ３<１７５.０８５⇔１０１７１.４７５ɤ３３６１<１０１７５.０８５可知ꎬ不能比较出３３６１与１０１７３的大小.说明按此思路不能继续作答ꎬ得出答案Ｄ也是没有道理的.解法２㊀Ｃ.其理由是:(１)１０７３<３３６１１０８０<１０９３ꎻ(２)３３６１１０８０－１０７３<１０９３－３３６１１０８０.证明如下:在解法１中已严格证得３３６１>１０１６０ꎬ所以３３６１１０８０>１０８０>１０７３.还可得２４０１０１２＝(２１０１０３)４＝１.０２４４< (１.１２)２＝１.２１２<(５４)２<５３ꎬ即３ˑ２４０<５ˑ１０１２.又因为３３６１＝３ˑ(３９)４０＝３ˑ１９６８３４０<３ˑ(２ˑ１０４)４０＝３ˑ２４０ˑ１０１６０<５ˑ１０１７２<１０１７３ꎬ所以３３６１１０８０<１０９３.所以１０７３<３３６１１０８０<１０９３.得结论(１)成立.前面已证得３３６１<５ˑ１０１７２ꎬ所以２ˑ３３６１<１０１７３.所以２ˑ３３６１<１０１７３＋１０１５３.所以３３６１１０８０－１０７３<１０９３－３３６１１０８０.得结论(２)成立.对解法２的分析㊀虽然解法２中没有用 (参考数据:ｌｇ３ʈ０.４８) ꎬ但是参考数据可不用是常识.解答２０１４年高考课标全国Ⅱ卷理科第２１(３)题时ꎬ就可不用题设１.４１４２<２<１.４１４３ .早年的高考数学试卷前面写的参考公式也不是解题时必须要用的.因此ꎬ解法２正确.对题８的改编㊀根据有关资料ꎬ围棋状态空间复杂度与３３６１有关ꎬ可观测宇宙中普通物质的原子总数与１０８０有关.下列各数中与ｌｇ３３６１１０８０最接近的是(㊀㊀).(参考数据:０.４７０<ｌｇ３<０.４７８)Ａ.３３㊀㊀Ｂ.５３㊀㊀Ｃ.７３㊀㊀Ｄ.９３解析㊀由０.４７０<ｌｇ３<０.４７８及ｌｇ３３６１１０８０＝３６１ｌｇ３－８０ꎬ可得３３<５３<７３<ｌｇ３３６１１０８０<９３.再由ｌｇ３３６１１０８０－７３>９３－ｌｇ３３６１１０８０⇔ｌｇ３３６１１０８０>８３⇔３６１ｌｇ３>１６３及３６１ｌｇ３>３６１ˑ０.４７０＝１６９.６７>１６３ꎬ可得ｌｇ３３６１１０８０－７３>９３－ｌｇ３３６１１０８０ꎬ故本题的答案为Ｄ.注㊀由这道改编题及其解法可知ꎬ 已知ａ㊁ｂ㊁ｃɪＲ.若ａ比ｃ更接近于ｂꎬ则１０ａ比１０ｃ更接近于１０ｂ是假命题(由图５可理解此结论正确).比如ꎬ以上改编题的结论是９３比７３更接近于ｌｇ３３６１１０８０ꎬ但不能由此得出１０９３比１０７３更接近于１０ｌｇ[３３６１/１０８０]即３３６１１０８０ꎬ因为在以上解法２中已严格证得１０７３比１０９３更接近于３３６１１０８０.图５参考文献:[１]甘志国.对一道联考题的完整解答[Ｊ].数理化解题研究ꎬ２０２３(０７):２－６.[责任编辑:李㊀璟]。

高考物理真题滑雪

高考物理真题滑雪滑雪是一项受到许多人喜爱的冬季运动，不仅可以锻炼身体，而且还能让人在风雪中感受到与众不同的乐趣。

在高考物理中，也常常会出现与滑雪相关的真题，考察学生对滑雪运动背后的物理原理的理解。

下面我们就来看几道典型的高考物理真题，一起来揭开滑雪运动的物理奥秘。

1. 2018年全国卷Ⅲ物理题题目描述：雪橇公园里设有一条用冰块铺成的斜坡，小孩可从斜坡顶端出发向下滑，下面有一段地面让他们滑行。

小孩顶端以0速度出发，斜坡与水平方向连线的交角大约是30°，小孩从斜坡顶端下滑到水平地面后仍未达到呈恒定速度的滑行速度。

题目要求：1）简述小孩滑坡过程中所受的力。

2）当小孩在斜坡上快速滑行与匀速滑行时，小孩所受的摩擦力分别有何异同。

解析：在这道题中，考察了小孩在斜坡滑动过程中的受力情况。

首先，当小孩位于斜坡上时，他会受到重力、支持力和摩擦力等多个力的作用。

尤其是下滑过程中，重力会使小孩沿着斜坡方向滑动，而摩擦力会阻碍他的运动。

当小孩达到水平地面后，摩擦力会起到减速作用，直至最终达到匀速直线运动。

2. 2017年北京卷物理题题目描述：某校的操场上一道斜坡，斜坡的下端有一块稀薄的坡帆，两端各悬有不同质量的物体A和B，小李匀速地拉动质量为m的箱子C，从斜坡底端垂直上拉，在拉力方向上与斜坡维持20°角，箱子沿斜坡上行，到达斜坡上端时速度为v1，而物体A，B仍悬于空中。

已知箱子C静止时箱子和斜面的摩擦力为f0，当箱子C做匀速运动时，箱子斜面的摩擦力为f，则有：f>f0。

箱子C通过坡顶后，进行完整磨擦匀速运动，在箱子C下端速度v1的情况下拉竖直方向的力值为T，请讨论物体A质量小而物体B质量大的物理现象。

题目要求：①讨论拉力T与质量m的关系；②讨论箱子通过坡顶后做匀速磨擦运动与无磨擦势力状态的比较。

解析：在这道题中，需要考生分析箱子在斜坡上运动过程中各种受力情况，特别是在箱子通过坡顶后做匀速磨擦运动时，受到摩擦力和拉力的共同影响。

由2008年江西高考理科数学最后一题说起

由2008年江西高考理科数学最后一题说起周湖平年年岁岁卷相似，岁岁年年题不同。

2008年是江西省高考数学自主命题的第四年，今年全省理科平均分为69.37 比去年了降了19.87，特别是理科压轴题的难度系数为0.11，属于超难题。

2007年考生满面笑容，2008年考生叫苦连天。

2008年的理科压轴题是一道函数与不等式的综合题，一改前两年以数列与不等式的综合题为压轴题局面，避免了老师和学生猜题压宝，具有良好的导向作用。

压轴题基于公平的原则体现了试题选拔功能,其设计之新颖,立意之深隧,技巧之高难，把选拔功能体现得酣畅淋漓。

本文以08年江西省高考数学理科压轴题为例谈谈自己的看法。

1考查能力好载体题目函数()f x ＝x +11＋a +11＋8+ax ax ，x ∈(0，＋∞)．（1）当8a =时，求()f x 的单调区间；（2）对任意正数a ，证明：()12f x <<．解（1）略（2）对任意给定的0>a ，0>x ，因为ax a x x f 8111111)(+++++=，若令axb 8=，则8=abx ① ba x x f +++++=111111)( ② （一）先证1)(>x f ：因为x x +>+1111，a a +>+1111，bb +>+1111 又由x b a +++2≥8244=abx ，∴x b a ++≥6所以（2）.再证2)(<x f ：由①、②中关于x ，a ，b 的对称性，不妨设x ≥a ≥b ，则0<b ≤2，（Ⅰ）.当a+b ≥7，则a ≥5，∴x ≥a ≥5111<+b ，16261611111<=+≤+++a x1)1)(1)(1()()(1)1)(1)(1()()(9)1)(1)(1()(23111111111111)(=++++++++++=+++++++++≥+++++++++=+++++>+++++=b a x abx ax bx ab x b a b a x ax bx ab x b a b a x ax bx ab x b a b a x b a x x f∴2111111)(<+++++=b a x x f（Ⅱ）若a+b<7，由①得ab x 8=，∴811+=+ab ab x ③ 因为222))1(21()(41111b b b a b b b b +-=+++-<+ ∴)1(2111b b b +-<+ ④ 同理得)1(2111a a a +-<+ ⑤，于是 )8211(212)(+-+++-<ab ab b b a a x f ⑥ 今证明8211+>+++ab ab b b a a ⑦ 因为)1)(1(211b a ab b b a a ++>+++，则只要)1)(1(2b a ab ++82+>ab ab 只要ab b a +<++8)1)(1(，即证ab ab b a +<+++81，即a+b<7，而这显然成立。

从四道高考英语试题看would的用法

从四道高考英语试题看would的用法would是众多英语词汇中含义丰富，用法较为灵活的单词之一，也是中学生英语学习过程中较难掌握的一个词。

它既可以当助动词也可以作情态动词。

would更是高考英语试题中经常出现的考点之一。

一．would在历年高考英语试题中的用法1. MET1985Put on more clothes. You ____ be feeling cold with only a shirt on.A. canB. couldC. wouldD. must此题的含义为“多穿点衣服吧，如果仅仅只穿一件衬衫，你会感到寒冷的。

”根据题意，应该选择答案C。

would作助动词，用于虚拟语气时，它构成一种委婉，温和，谨慎的语气。

例如，I think you would be safer if you keep away from her .（我认为如果你离开她，你会更安全）I would think the journey will take something like two weeks.（依我看，这次旅程大约需要两个星期）I would look at the problem a little differently.（我对这个问题的看法略有不同）I might see her personally. It would be better. （我可能亲自去看她，那样更好些）(=It would be better if I saw her personally.)She’d be stupid not to accept. （她不接受那才笨呢）(=She would be stupid if s he didn’t accept.)2.MET1992---Shall we go skating or stay at home ?---Which____do yourself ?A. do you ratherB. would you ratherC. will you ratherD. should you rather根据句意“我们去溜冰还是呆在家里？你自己宁愿选择哪一项？（你自己愿意做何选择？）不难选对答案would you rather。

高考历史说题比赛

高考历史说题比赛
高考历史说题比赛是一种特殊形式的教育比赛，旨在提高教师和学生对高考历史题目的理解和解析能力。

比赛中，参赛者（通常是教师或学生）需要选取一道或几道高考历史题目，然后进行详细的分析和解释。

这个过程不仅需要参赛者对历史知识的掌握，还需要他们具备良好的逻辑思维和表达能力。

在说题过程中，参赛者通常会强调从材料中提取有效信息、运用所学知识找到对应知识点，并突出重点，逐一排除错误选项，最终得出正确结论。

他们还会就历史推理型做题方法进行解读，指出选项常见的错误类型，如不符合题干、以偏概全、不符合史实、绝对化、颠倒关系、无必然因果联系等。

此外，参赛者还需要展示他们的教学或学习技巧，例如怎样审题解题，以及如何进行巩固拓展延伸。

他们需要以清晰、精炼的语言阐述题目的特征和解题规律，以便让学生或听众能够更好地理解和掌握。

总的来说，高考历史说题比赛是一种富有挑战性的教育活动，它不仅能够提高参赛者的历史知识和解题能力，还能够锻炼他们的逻辑思维和表达能力。

对于教师来说，这也是一种有效的教学方法，可以帮助学生更好地理解和掌握高考历史题目。

要扎扎实实上好“梳理探究”课——从2009年一道高考题说起

绣锦：兰绕阶座凝香 ” 芝）、
这道题，语文能力角度上看．查语言表达的连从考
版高中语文教材的同行，本着对学生、国家负责的请对
态度．扎实实上好 “ 理探究 ” ！扎梳课『者通联：徽宿州市祁县中学］作安
学生的问题意识、究意识、新意识及能力，而实探创从现新课程理念所倡导的知识与能力、过程与方法、度态情感与价值观的 “ 维目标 ” 全面提升学生的语文素三．养。不仅是学生终身发展所必需的．是我国社会发这更展和民族振兴对人才培养的客观要求！
基于以上阐述。者在此郑重呼吁．用人教课标笔使
万山金）组成两副七字对联，副新春对联．副教师，一一
办公室对联．明确写出每副对联的上下联ｆ案分别并答
是“ 翠柳迎春千里绿：牛耕地万山金 ” “ 李满园春黄和桃
是新课程改革在实施过程中向现实妥协的结果．不它利于新课程改革的深化．更不利于学生的全面发展和
个性化学习。
教材的５册必修本均由 “ 读鉴赏 … 表达交流 … 梳理阅 ‘ ‘
探究 ‘ 著导读 ” 大板块构成：必修１的 “ 理探名四而梳
重要内容！

从2009高考几道作文题谈作文试题的命制

年的道材料十目的作文题其实也属新材料作文类型 ,这样 , 题
新材料作文占强 ,成为高考作文命题形式的主流。
材料作文久已有之 , 但因为以观点命题而引人垢病 , 年全国卷率先推出新材料作文 ,之后的三年间成为高考命题的主要形式。新材料作文可贵之处是其立意具有开放度 ,只提供
语文思维能力和语言能力发展的基本功能 ,而变成政治学科的
文 , 旨体现开放性 ,让学生有话可说 ,命题形式则显现多元在化 ,共有四种类型。新材料作文
题作文
道 ,半命题作文
道。新材料作文的标题可有可无 ,今
附庸 ,从根本上偏离了语文科考年“ 谈科学家的创新与创造 ” 、年“ 图书阅读率调查 ” 、年的“ 泣川地震 ” 爱心捐助、
生常谈的话题 ,而材料的形式则以寓言和事例材料为主。寓言
材料往往具有丰富的寓意 ,但材料的思想内涵及指向性 ,决定
了材料的品质。全国卷喜欢用小动物的材料 ,并且寓意带有道
德教育意味 ,显现出低幼化的倾向。事例材料则大多是议论文《
论据大全》之类的作文应试素材中常见的 ,有的材料虽然是当年的时事热点 ,貌似新鲜 ,但其内容实质则依然陈旧 ,学生在写
材料 ,要求学生在材料的规定性中自由立意 ,有利于考查学生的抽象思维能力 , 考查学生能否从材料中形成自己的观点 ,形成的是怎样的观点 ,有利于学生从不同角度立意。全国卷连续四年采用新材料作文的形式年全国卷提供图画的材料作文一个小孩跌倒了 ,周围站着三个人 ,分别代表了社会、家庭和学校 ,三个人异口同声地说“ 出事了 ” 。这道题的图画本质上是一则叙事材料 , 在当下各地不断探索作

如出一辙的几道高考试题给予的启示

若此磁场仅分布在一个圆形区域内，试求这圆形磁
场区域的最小半径．力忽略不计．重解：点在磁场中做半径为Ｒ的圆周运动，质有
２
ｑＢｖ
解：子在磁场中受洛伦兹力作用，匀速圆周粒做
运动，设其半径为ｒ有，
所笔者多年来对高考命题的研究实践表明，年是以ＭＮ连线为直径的圆周．以本题所求的圆形每高考对原高考试题进行变式、陈出新一直是高考磁场区域的最小半径为推
对主干知识进行考查的重要命题特点．因此研究历
强磁场的分布区域是以坐标原点０为圆心的圆形区域．本题解答的难点在于需要满足所求圆形磁场区
域的面积为最小．・
质量为ｍ，电荷量为ｑ以平行，于轴的速度从Ｙ轴上的／７，
点射入图中第一象限所示的区域．了使该质点能从轴上的为
分布在以０为中心的一个圆形区域内．个质量为一ｍ、电荷量为ｑ的带电粒子，由原点０开始运动，初速为Ｕ方向沿Ｘ，正方向．后来，子经过Ｙ粒轴上的Ｐ点，此时速度方向与Ｙ轴的夹角为３。Ｐ到０的距离为０，
己如图３所示．，不计重力的影响．求磁场的磁感强度Ｂ的大小和ｙ平面上磁场区域的半径尺．
２１００年第５期
物理通报
竞赛、考试与评价研究
如出一辙的几道高考试题给予的启示

动量守恒和机械能守恒高考题剖析

动量守恒和机械能守恒高考题剖析动量守恒和机械能守恒是物理学中两个非常重要的概念，也是高考物理考试中经常涉及的内容。

这两个概念在解题时需要我们深刻理解其物理意义和应用方法。

下面我将通过几道高考题来剖析动量守恒和机械能守恒的应用。

题目一：一个质点质量为m的物体，自高度为H处自由下落，下落过程中不发生任何能量损失。

下列关于该物体运动的描述中，正确的是（）。

A. 从高度H下落到地面，物体动能增加，动量不守恒B. 物体下落过程中动能增加，动量守恒C. 物体下落过程中动能增加，机械能守恒D. 物体下落过程中动能不变，动量守恒答案解析：在这道题中，我们需要考虑动量守恒和机械能守恒的概念。

当物体自高度H处自由下落时，由于只受重力作用，物体的机械能（动能和势能之和）守恒。

动能增加的过程是因为势能转化为动能，而动量守恒是因为重力做功的过程中没有外力对物体做功，所以动量守恒。

因此，选项C“物体下落过程中动能增加，机械能守恒”是正确的答案。

题目二：质量为m的物体以速度v水平抛射，高度为h，下列说法正确的是（）。

A. 抛射时动量守恒，落地时动能守恒B. 抛射时机械能守恒，落地时动能守恒C. 抛射时动量守恒，落地时机械能守恒D. 抛射时动量守恒，落地时动量守恒答案解析：这道题考察了抛体运动中动量守恒和机械能守恒的应用。

在物体水平抛射时，受到的只有重力和空气阻力，这时动量守恒，即动量在抛体运动过程中守恒。

而在物体落地时，动能守恒，即动能在抛体运动中守恒。

因此，选项A“抛射时动量守恒，落地时动能守恒”是正确的答案。

通过以上两道题目的分析，我们可以看出动量守恒和机械能守恒在物体运动过程中的重要性。

在解题时，我们需要深刻理解这两个概念，正确运用它们，才能准确回答物理题目。

希望同学们能够通过这些题目的剖析，加深对动量守恒和机械能守恒的理解，更好地应对高考物理考试。

从一道高考题说开去

从一道高考题说开去今年广东省高考语文卷第22题的3个填空格，让该省64.4万考生中的13万人拿了零分。

这道戴着“数学面具”的语言应用题让众多考生没了方向——其实这是一道半开放的考题，考察学生通过语文学习后、实际应用语言的能力，然而，令人遗憾的是众多考生没能在这道题上得分，这为我们传统的语文教学敲响了警钟。

而如今的“语文综合性学习”是为了传统改变语文教学相对封闭的状态，为了改变课本是惟一的课程资源的状况，更是为了克服传统语文教学片面追求知识技能，割裂语文学习与生活的关系，割裂语文学科与其他学科之间密切联系的现象，克服传统教学严重阻碍学生综合能力的发展，阻碍了语文素养的提高，偏重接受性学习的弊端，在语文课程改革上采取的一个重要的举措。

《语文课程标准》明确指出：综合性学习主要体现为语文知识的综合运用、听说读写能力的整体发展、语文课程与其他课程的沟通、书本学习与实践活动的紧密结合。

综合性学习应强调合作精神，注意培养学生策划、组织、协调和实施的能力。

综合性学习应突出学生的自主性，重视学生主动积极的参与精神，主要由学生自行设计和组织活动，特别注重探索和研究的过程。

提倡跨领域学习，与其他课程相结合。

怎样上好语文综合性学习课？这是当前语文教师普遍关注的值得研究的问题。

近段时间，从报刊杂志上阅读了不少行家俚手的精辟阐述，再结合自身的语文教学实践，也想谈一点肤浅体会。

上好“语文综合性学习”课，我觉得教师应当注意以下几点。

充分做好课前准备活动，注重调动学生的参与兴趣。

一、课前准备活动是有效开展综合性学习活动的前提，它是学生参与活动的必要过程，这个过程其实就是准备资料的过程，它决定着综合性学习活动开展的成效。

因此，安排好课前准备过程是十分重要的。

通常情况下，每次综合性学习都要提前一个星期或者两到三个星期布置，让学生有充分的时间自主、合作、探究有关的课题。

教师可以让学生自由组合，上网查资料，到校内外收集资料，并明确组员职责、活动主题、活动方式等要求，指导学生掌握查找资料、引用资料的基本方法，鼓励学生多渠道获取信息、收集资料，使学生逐步掌握互联网、图书馆、人际交流、社会生活、大自然等获取资料的方法与途径。

提取图表背后的历史信息——以几道高考历史试题为例

作者：李铜玉
作者机构：广州市天河中学
出版物刊名：历史教学问题
页码： 99-101页
主题词：高考;中国;历史教学;课程标准;图表信息
摘要：一、高考对提取信息能力的要求中学历史课程标准（高中）对学生学科能力提出的要求是“在掌握基本历史知识的过程中。

进一步提高阅读和通过多种途径获取历史信息的能力；通过对历史事实的分析、综合、比较、归纳、概括等认知活动，培养历史思维和解决问题的能力”。

根据课程标准，2004年高考历史科考试大纲将要求进一步细化：“对材料进行去粗取精、去伪存真、由表及里、由此及彼的整理，最大限度地获取有效信息。

从几道2008年高考化学试题引发的思考

— —
的离子方程式）要求运用多步反应的化学方程式计算技能，
进行实验数据处理。配平氧化还原反应方程式和化学计算在近年高考试题中出现不多、求不高。有些考生在平时学要习或复习阶段．注重考试命题走向的猜测．这些内容疏太对于学习，考场上心理和知识准备不足．在只能遇 “ ” 难而退。
液，晶得到深紫色的针状Ｋ（结Ｍｎ￣。试回答：（）锰矿制备ＫＭｎ的化学方程式是１软２Ｏ４
；
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［３（例３理综全国卷Ｉ２第８题）取化学式为ＭＺ的黄：色粉末状化合物进行如下实验。将ＭＺ和足量的碳粉充分混合物，平铺在反应管ａ中，ｂ瓶中盛足量澄清石灰水。在
方式．出中学化学教学、考备考和高考化学试题命制需要思考和注意的一些问题。提高关键词高考化学试题分析与质疑高考要求备考策略２０高考理科综合能力测试全国卷Ｉ卷Ｉ和海南等０８年、１（）化合物分别是Ｖ１５种
溶液出现白色浑浊。待反应完全后，止加热，继续通氮停仍
气，至反应管冷却。时，中的熔融物凝固城银白色金直此管
属。根据以上叙述回答：
（）素Ｚ是１元
么？
；
—
—

“等效重力”思想的应用——从一道高考题说起

等效重力思想的应用从一道高考题说起陈笃杰(福建省漳州市第三中学㊀３６３０００)摘㊀要:本文应用等效重力思想解答２０１８年高考全国Ⅰ卷第１８题ꎬ并以此为母题进行变形拓展ꎬ探讨了等效重力在处理一些复杂问题时的简捷性.关键词:等效思想ꎻ等效重力中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０１９)０４－００６３－０３收稿日期:２０１８－１１－１５作者简介:陈笃杰(１９７７.１１－)ꎬ男ꎬ中学一级教师ꎬ从事高中物理教学研究.㊀㊀一㊁２０１８年全国Ⅰ卷第１８题的探讨原题:如图１ꎬａｂｃ是竖直面内的光滑固定轨道ꎬａｂ水平ꎬ长度为２Ｒꎻｂｃ是半径为Ｒ的四分之一的圆弧ꎬ与ａｂ相切于ｂ点.一质量为ｍ的小球始终受到与重力大小相等的水平外力的作用ꎬ自ａ点处从静止开始向右运动ꎬ重力加速度大小为ｇ.小球从ａ点开始运动到其轨迹最高点ꎬ机械能的增量为(㊀㊀).Ａ.２ｍｇＲ㊀㊀Ｂ.４ｍｇＲ㊀㊀Ｃ.５ｍｇＲ㊀㊀Ｄ.６ｍｇＲ分析㊀本题用很基本㊁简洁的物理模型来考查物理规律和思维方法ꎬ这也是全国卷命题的特点之一.学生对熟悉的物理情景容易上手ꎬ解题的关键是小球始终受到一个水平恒力ꎬ对文字表述运动到其轨迹最高点要细心审题ꎬ避免跳进陷阱 .此题将运动的合成与分解㊁功能关系等核心考点有机融合ꎬ突出考查学生分析综合能力.解法一㊀设小球运动到ｃ点的速度大小为ｖｃꎬ如图２ꎬ小球从ａ到ｃ的过程中由动能定理得Ｆ３Ｒ－ｍｇＲ＝１２ｍｖ２ｃ又Ｆ＝ｍｇꎬ解得ｖｃ＝２ｇＲ.小球离开ｃ点到轨迹最高点的过程中ꎬ由运动的分解得竖直方向上:小球只在重力的作用下ꎬ速度从ｖｃ匀减速到０所需的时间ｔ＝ｖｃｇ＝２ｇＲ水平方向上:小球做初速度为零的匀加速直线运动ꎬ加速度ａ＝ｇ水平位移大小ｘ＝１２ｇｔ２＝２Ｒ小球从ａ点开始运动到其轨迹最高点的过程中ꎬ总水平位移大小为５Ｒ由功能关系得:小球机械能的增加量ΔＥ＝Ｆ５Ｒ＝５ｍｇＲ该解法中规中矩ꎬ要求学生具有扎实的基本功和一定的数学计算能力.然而作为一道选择题我们可以寻求较简捷的方法.等效重力概念㊀以本题为例ꎬ等效重力以力的叠加法则为基础ꎬ因小球始终受到与重力大小相等的水平恒力的作用ꎬ故可以把水平恒力和重力合成ꎬ合力等效为一个新的重力ꎬ并称之为等效重力 ꎬ如图３.其大小:ｍｇᶄ＝(ｍｇ)２＋Ｆ２ꎬ方向:与水平方向成４５ʎ斜向右下方ꎬ其中ｇᶄ为等效重力加速度 .解法二㊀我们可以设想ꎬ整个轨道模型处在一个与水平方向成４５ʎ斜向右下方的等效重力场中ꎬ四分之一圆弧的中点可称为等效最低点 .如果在ｃ点上方再补上一段竖直光滑轨道ꎬ如图４ꎬ从等效重力场的角度观察ꎬ呈现了我们熟悉的情景伽利略理想实验的两个对接的斜面.根据对称性ꎬ小球从ａ点静止出发沿斜面滚下经圆弧后又会沿斜面滚上相同的高度 ꎬ即恰好到达ｄ点ꎬｃｄ＝２Ｒ.３６再撤去竖直光滑轨道ꎬ小球从ｃ点抛出后ꎬ由于竖直方向上只受重力ꎬ按分运动的独立性可知ꎬ小球离开ｃ点后到其轨迹最高点的竖直高度也为２Ｒ.又因水平和竖直方向上的两个分运动具有对称性 ꎬ容易得出小球达到轨迹最高点时的水平位移也为２Ｒꎬ则从ａ点开始的水平总位移为５Ｒꎬ由功能关系得小球机械能的增加量ΔＥ＝Ｆ５Ｒ＝５ｍｇＲ.解法二强调的是物理思想的应用ꎬ等效重力场确定后只要简单分析和推理ꎬ基本上无需数学计算就能快速得出结果ꎬ提高了解题效率.下面以这道高考题为母题ꎬ通过一些简单的变形来探讨等效重力的应用.㊀㊀二㊁一题多变㊁拓展延伸拓展一㊀在原题的基础上改为求:小球从ｃ点抛出后经多少时间动能最小?最小动能为多少?解法一㊀如图５ꎬ设从ｃ点抛出后经过时间ｔ动能最小ꎬ由原题已得ｖｃ＝２ｇＲ竖直方向上:做初速度为ｖｃꎬ加速度为ｇ的匀减速运动ｖｙ＝ｖｃ－ｇｔ水平方向上:做初速度为零ꎬ加速度为ｇ的匀加速运动ｖｘ＝ｇｔ小球上抛后的速度ｖｔ＝ｖ２ｘ＋ｖ２ｙ＝(ｇｔ)２＋(ｖｃ－ｇｔ)２＝２(ｇｔ)２－２ｖｃｇｔ＋ｖ２ｃ＝(２ｇｔ－ｖｃ２)２＋ｖ２ｃ２当２ｇｔ－ｖｃ２＝０时ꎬｖｔ有最小值ｖｍｉｎｔ＝ｖｃ２ｇ＝Ｒｇ㊀ｖｍｉｎ＝ｖｃ２＝２ｇＲ最小动能Ｅｋｍｉｎ＝１２ｍｖ２ｍｉｎ＝ｍｇＲ该解法运用二次函数求速度极值较繁琐ꎬ要求学生具备较强的数学能力.解法二㊀如图６ꎬ由于等效重力与水平方向成４５ʎ斜向右下方ꎬ可知小球从ｃ点开始的运动可视为抛射角为４５ʎ的斜抛. 等效重力加速度ｇᶄ＝(ｍｇ)２＋Ｆ２ｍ＝２ｇ设小球斜抛到等效最高点ｄ点的时间为ｔꎬ有最小速度ｖｍｉｎ由原题已得ｖｃ＝２ｇＲｔ＝ｖｃｓｉｎ４５ʎ＝Ｒｇｖｍｉｎ＝ｖｃｃｏｓ４５ʎ＝２ｇＲ最小动能Ｅｋｍｉｎ＝１２ｍｖ２ｍｉｎ＝ｍｇＲ可见ꎬ解法二应用等效重力解题ꎬ思路清晰㊁过程简洁.拓展二㊀如图７ꎬａｂ是光滑水平轨道ꎬ一半径为Ｒ的竖直光滑圆形轨道与ａｂ相切于ｂ点.整个装置处于一个水平向右㊁场强大小为Ｅ＝３ｍｇ４ｑ的匀强电场中ꎬ一质量为ｍꎬ带电量为ｑ的小球自ａ点处从静止开始向右运动ꎬ重力加速度大小为ｇ.为使小球能够在圆轨道内做完整的圆周运动ꎬ求ａｂ的最小距离Ｓ.解㊀如图８ꎬ小球受电场力ｑＥ＝３４ｍｇ等效重力ｍｇᶄ＝(ｑＥ)２＋(ｍｇ)２＝５４ｍｇ等效重力场 (ｇᶄ)与竖直方向夹角为αｔａｎα＝Ｆｍｇ＝３４ꎬα＝３７ʎ设ａｂ距离为Ｓ时ꎬ小球恰能做完整的圆周运动ꎬ小球在经过等效最高点ｃ点时ꎬ对轨道压力恰好为零ꎬ即小球在ｃ点只受等效重力ｍｇᶄꎬｃＯ方向与竖直方向夹角也为α.由牛顿第二定律得ｍｇᶄ＝ｍｖ２ｃＲ由动能定理得ｑＥＳ＝１２ｍｖ２ｂ－ｍｇᶄＲ(１＋ｃｏｓα)＝１２ｍｖ２ｃ－１２ｍｖ２ｂ解得Ｓ＝２３６Ｒ拓展三㊀如图９ꎬ光滑的水平轨道和圆弧轨道在ｂ点相切ꎬ整个装置处于一个水平向右的匀强电场中.带电小球在ｃ点平衡ꎬｏｃ与竖直方向夹角α＝３０ʎ.(１)要使小球运动到ｂ点时速度４６为零ꎬ则小球由静止释放的位置与Ｏ连线与竖直方向夹角β为多少?(２)若αɤ５ʎꎬ则小球从静止释放到达ｂ点的时间为多少?解㊀(１)由于带电小球在ｃ点平衡ꎬ可知ｃ点为等效最低点 ꎬ 等效重力ｍｇᶄ方向沿Ｏｃꎬ如图１０ꎬ根据对称性ꎬ小球应从ｃ点右侧的ｂᶄ点静止释放ꎬｂᶄ点与ｂ点关于Ｏｃ对称.因此ꎬＯｂᶄ与竖直方向的夹角β＝２α＝６０ʎꎬ小球从ｂᶄ点静止出发后将在ｂｂᶄ之间往复运动.(２)若αɤ５ʎꎬ则小球将在ｂｂᶄ之间做简谐振动等效重力ｍｇᶄ＝ｍｇｃｏｓα得ｇᶄ＝ｇｃｏｓα从静止释放后到达ｂ点的时间ｔ＝１２Ｔ＝１２２πＲ＝πＲｃｏｓαｇ㊀㊀等效重力是等效思想在解题过程中的一种具体应用ꎬ是培养学生从不同角度思考问题能力的重要途径.我们可以利用类比法把一些复杂的㊁生疏的问题等效为我们熟知的㊁经典的重力场问题ꎬ使解题思路更加豁然开朗ꎬ减少繁琐的数学计算ꎬ达到柳暗花明的效果.在重力场和匀强电场组成的复合场中ꎬ可应用等效重力处理的常见问题有:竖直平面内圆周运动的临界问题㊁单摆的对称性问题㊁求解抛体运动速度(动能㊁动量)极值的问题等.㊀㊀参考文献:[１]２０１８年普通高等学校招生全国统一考试理科综合能力测试(新课标卷Ⅰ)物理试题及参考答案[Ｊ].中学物理教学参考ꎬ２０１８ꎬ４７(１３):５８－６２.[２]温春奎. 等效重力在高中物理解题中的应用[Ｊ].物理通报ꎬ２０１２(６):５９－６２.[责任编辑:闫久毅]物理学习应把握学生的思维起点顺势而为林泽伟(福建省安溪恒兴中学高二１班㊀３６２４００)摘㊀要:高中物理学习对学生的思维有很高的要求ꎬ在我们学习的过程中应该积极地进行物理思维方面的活动.本文从多角度思考问题㊁找准思维中的分歧点和进行思维的扩展这三个方面说明了高中物理学习中思维的提升的方法ꎬ这对增强学生的物理做题能力和物理应用能力有所帮助.关键词:物理学习ꎻ高中物理ꎻ思维起点中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０１９)０４－００６５－０２收稿日期:２０１８－１１－１５作者简介:林泽伟(２００２.９－)ꎬ男ꎬ福建省安溪人ꎬ在校学生.㊀㊀高中物理对一个人的思维能力有很高的要求.现阶段的物理教育认为:激发学生在物理学习中的用脑是物理学习的一大关键.只有不断地训练物理思维ꎬ我们才能够从真正意义上增长自己在物理方面的能力.以下对物理学习过程中把握并应用思维起点的方法做出说明.㊀㊀一㊁多角度思考问题ꎬ激发思维活性爱动脑㊁多动脑ꎬ我们的动脑能力才会逐步得到增强.在学习的过程中ꎬ很多人总是浅尝辄止.例如:解决某一物理题的方法有很多种ꎬ但是有的人在了解一种方法后就会放弃这个问题ꎬ他们都不愿意去考虑其他解题方法.固然ꎬ这种学习方法能够在短期内取得较好的学习效益ꎬ但是其长期收益却比不上那些愿意多思考问题的人.思考物理问题的多种解决方法既能够锻炼学习者的思考能力ꎬ其还能够让学习者遇到其他类似的问题时有更多的选择ꎬ因此考虑多种解题方法同学在物理解题中的速度往往比只考虑一种解题方法的同学要快.而真实的物理学习中有很多题目就具备着多种㊁灵活的解题方法.例如有这样一道物理题: 一小球从Ｏ点开始从静止开始做匀加速直线运动.在小球运动的过程中ꎬ其依次经过Ａ㊁Ｂ㊁Ｃ㊁Ｄ四点.其中ꎬＡＢ的距离为２ｍꎬＢＣ的距离为３ｍꎬＣＤ的距离为４ｍ.且小球经过ＡＢ段㊁ＢＣ段㊁ＣＤ段的时间相等.现问ＯＡ段的距离是多少 .在遇到这个问题后ꎬ很多人都会采用公式法.通过对公式组Ｖ＝Ｖ０＋ａｔ㊁Ｖ０＝０ｍ/ｓ㊁ｔａｂ＝ｔｂｃ＝ｔｃｄ的应用ꎬ我们能够推导出来ＯＡ的距离为９/８ｍ.虽然公式法能够很快地解决问题ꎬ但５６。

解析几道以迭代数列为背景的高考题

解析几道以迭代数列为背景的高考题薛红利(长春第六中学ꎬ吉林长春１３００００)摘㊀要:迭代数列的极限是数学分析中的重要内容ꎬ而以迭代数列为背景的高考试题不在少数.文章先介绍数列的有关知识和迭代数列的极限ꎬ然后深度解析高考试题的高数背景.关键词:高考题ꎻ数列ꎻ迭代数列ꎻ极限ꎻ高数背景中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２４)０４－００２８－０３收稿日期:２０２３－１１－０５作者简介:薛红利(１９７２.５－)ꎬ女ꎬ吉林省安图人ꎬ本科ꎬ中学高级教师ꎬ从事高中数学教学研究.㊀㊀高考题一般都是大学老师命制的ꎬ所以高考题尤其是高考压轴题ꎬ有高等数学背景也是常有的事.这就要求一线教师不仅要会做高考压轴题ꎬ还要弄清楚高考压轴题的高数背景ꎬ这样才能看清试题的命制思路和背景ꎬ才能更好地服务于教学.１预备知识定义㊀称ｘｎ＋１＝ｆ(ｘｎ)ꎬｎ＝１ꎬ２ꎬ 为迭代数列ꎬ称其中的ｆ(ｘ)为迭代函数.(以下均假设ｆ与ｎ无关)[１].定理１㊀设数列{ｘｎ}满足迭代公式ｘｎ＋１＝ｆ(ｘｎ)ꎬｎ＝１ꎬ２ꎬ ꎬ且已知ｌｉｍｎңɕｘｎ＝ｃꎬｌｉｍｎңɕｆ(ｘｎ)＝ｆ(ｃ)ꎬ则极限ｃ是方程ｆ(ｘ)＝ｘ的根(即ｆ(ｘ)的不动点).㊀注㊀条件ｌｉｍｎңɕｆ(ｘｎ)＝ｆ(ｃ)在ｆ(ｘ)于点ｃ处连续时就成立.定理的证明是显然的ꎬ但定理提供了一种方法ꎬ即在研究迭代数列时ꎬ先假设它收敛ꎬ看极限是什么ꎬ然后再证明这就是该数列的极限.定理２㊀设函数ｆ(ｘ)在区间Ｉ上单调ꎬ数列{ｘｎ}满足迭代公式ｘｎ＋１＝ｆ(ｘｎ)ꎬｎɪＮ∗ꎬ且ｘｎɪＩꎬｎɪＮ∗ꎬ则只有两种可能:(１)当ｆ(ｘ)为单调递增时ꎬ{ｘｎ}为单调数列ꎻ(２)当ｆ(ｘ)为单调递减时ꎬ{ｘｎ}的子列{ｘ２ｎ－１}和{ｘ２ｎ}是具有相反单调性的两个单调子列.其几何解释如下图:图１㊀定理２几何解释２高考试题及其背景分析例１[２]㊀(２０１４年重庆卷理)设ａ１＝１ꎬａｎ＋１＝ａ２ｎ－２ａｎ＋２＋ｂ(ｎɪＮ∗).(１)若ｂ＝１ꎬ求ａ２ꎬａ３及数列{ａｎ}的通项公式ꎻ(２)若ｂ＝－１ꎬ问:是否存在实数ｃ使得ａ２ｎ<ｃ<ａ２ｎ＋１对所有ｎɪＮ∗成立?证明你的结论.８２解析㊀(１)ａ２＝２ꎬａ３＝２＋１ꎬａｎ＝ｎ－１＋１. (２)解法１㊀设ｆ(ｘ)＝(ｘ－１)２＋１－１ꎬ则ａｎ＋１＝ｆ(ａｎ).令ｃ＝ｆ(ｃ)ꎬ即ｃ＝(ｃ－１)２＋１－１ꎬ解得ｃ＝１４.下面用数学归纳法加强命题:ａ２ｎ<ｃ<ａ２ｎ＋１<１.当ｎ＝１时ꎬａ２＝ｆ(１)＝０ꎬａ３＝ｆ(０)＝２－１ꎬ所以ａ２<ｃ<ａ３<１成立.假设当ｎ＝ｋ(ｋȡ１)时命题成立ꎬ即ａ２ｋ<ｃ<ａ２ｋ＋１<１.因为ｆ(ｘ)在(－ɕꎬ１]上单调递减ꎬ所以ｃ＝ｆ(ｃ)>ｆ(ａ２ｋ＋１)>ｆ(１)＝ａ２.所以１>ｃ>ａ２ｋ＋２>ａ２.所以ｃ＝ｆ(ｃ)<ｆ(ａ２ｋ＋２)<ｆ(ａ２)＝ａ３<１.所以ｃ<ａ２ｋ＋３<１.因此ａ２(ｋ＋１)<ｃ<ａ２(ｋ＋１)＋１<１ꎬ即当ｎ＝ｋ＋１时命题也成立.综上ꎬ存在ｃ＝１４使ａ２ｎ<ｃ<ａ２ｎ＋１对一切ｎɪＮ∗成立.背景分析㊀在解法１中ꎬ为何设ｆ(ｘ)＝ｘ２－２ｘ＋２－１?又为何设ｃ＝ｆ(ｃ)呢?本题以迭代数列为背景ꎬ考查迭代数列的极限.由定理１ꎬ先求出ｆ(ｘ)的不动点ꎬ即令ｃ＝ｆ(ｃ)ꎬ再证明ａ２ｎ<ｃ<ａ２ｎ＋１对一切ｎɪＮ∗成立.考查函数ｆ(ｘ)＝ｘ２－２ｘ＋２－１ꎬ易知ｆ(ｘ)在[０ꎬ１]上单调递减ꎬ且当ｘɪ[０ꎬ１]时ꎬ有ｆ(ｘ)ɪ[０ꎬ１]成立.因为ａ１＝１ɪ[０ꎬ１]ꎬ由数学归纳法可知ａｎɪ[０ꎬ１].根据ｆ(ｘ)在[０ꎬ１]上单调递减ꎬ且ａｎɪ[０ꎬ１]ꎬ知本题的高数背景是定理２的情况(２)ꎬ即{ａ２ｎ}和{ａ２ｎ－１}是两个具有相反单调性的数列.利用极限知识求出它们的极限即可ꎬ具体操作如下:计算可知ꎬａ２＝ｆ(ａ１)＝０ꎬａ３＝ｆ(ａ２)＝２－１.即有ａ１>ａ３成立.又因为ｆ(ｘ)在[０ꎬ１]上单调递减ꎬ所以ａ２＝ｆ(ａ１)<ｆ(ａ３)＝ａ４.同理可得ꎬａ３＝ｆ(ａ２)>ｆ(ａ４)＝ａ５.一直下去ꎬ可得:ａ１>ａ３> >ａ２ｎ－１>ａ２ｎ＋１(ｎɪＮ∗)ꎬａ２<ａ４< <ａ２ｎ<ａ２ｎ＋２(ｎɪＮ∗).即{ａ２ｎ－１}ꎬ{ａ２ｎ}分别是两个单调有界的数列ꎬ利用单调有界定理可得:ｌｉｍｎңɕａ２ｎ＝Ａꎬｌｉｍｎңɕａ２ｎ＋１＝Ｂꎬ且ａ２ｎ<Ａꎬａ２ｎ＋１>Ｂ(ｎɪＮ∗).实际上ꎬ这里Ａ＝Ｂ＝１４.下面利用数列极限知识计算ＡꎬＢ的值.因为ａ２ｎ＋１＝ａ２２ｎ－２ａ２ｎ＋２－１ꎬａ２ｎ＋２＝ａ２２ｎ＋１－２ａ２ｎ＋１＋２－１ꎬ对以上两式两边取极限ꎬ可得Ｂ＝Ａ２－２Ａ＋２－１ꎬＡ＝Ｂ２－２Ｂ＋２－１.解得Ａ＝Ｂ＝１４.因此存在ｃ＝１４使得ａ２ｎ<ｃ<ａ２ｎ＋１对一切ｎɪＮ∗成立.解法２㊀当ｂ＝－１时由题意ꎬ得(ａｎ＋１＋１)２＝(ａｎ－１)２＋１.从而得到(ａ２ｎ＋１＋１)２＝(ａ２ｎ－１)２＋１.①假设存在实数ｃ使得ａ２ｎ<ｃ<ａ２ｎ＋１对所有的ｎɪＮ∗都成立ꎬ又ａｎ＋１＋１ȡ１ꎬ则(ａ２ｎ＋１)２<(ｃ＋１)２<(ａ２ｎ＋１＋１)２.由①式得(ａ２ｎ＋１)２<(ｃ＋１)２<(ａ２ｎ－１)２＋１.由(ａ２ｎ＋１)２<(ａ２ｎ－１)２＋１ꎬ解得ａ２ｎ<１４.由①式得(ａ２ｎ＋１＋１)２＝(ａ２ｎ－１４)２－３２ａ２ｎ＋１５１６＋１>－３２ａ２ｎ＋１５１６＋１>－３２ˑ１４＋１５１６＋１＝２５１６.解得ａ２ｎ＋１>１４.综上ꎬ得ａ２ｎ<１４<ａ２ｎ＋１.故存在ｃ＝１４使得ａ２ｎ<ｃ<ａ２ｎ＋１对一切ｎɪＮ∗成立.９２例２㊀(２０１２年大纲全国卷理)函数ｆ(ｘ)＝ｘ２－２ｘ－３.定义数列{ｘｎ}如下:ｘ１＝２ꎬｘｎ＋１是过两点Ｐ(４ꎬ５)ꎬＱｎ(ｘｎꎬｆ(ｘｎ))的直线ＰＱｎ与ｘ轴的交点的横坐标.(１)证明:２ɤｘｎ<ｘｎ＋１<３ꎻ(２)求数列{ｘｎ}的通项公式.解析㊀由题意得ｘｎ＋１＝４ｘｎ＋３ｘｎ＋２.(１)参考答案用的是数学归纳法.(２)ｘｎ＝３－４３５ｎ－１＋１.过程略背景分析㊀由ｘ１＝２ꎬｘｎ＋１＝４－５ｘｎ＋２知ꎬ２ɤｘｎ<４.由于ｆ(ｘ)＝４ｘ＋３ｘ＋２＝４－５ｘ＋２在[２ꎬ４)上单调递增ꎬ根据定理２的情形(１)ꎬ知数列{ｘｎ}单调递增.由单调有界定理ꎬ知ｌｉｍｎңɕｘｎ存在ꎬ不妨设ｌｉｍｎңɕｘｎ＝Ａꎬ则ｌｉｍｎңɕｘｎ＋１＝Ａ.对ｘｎ＋１＝４ｘｎ＋３ｘｎ＋２两边取极限ꎬ得Ａ＝４Ａ＋３Ａ＋２ꎬ即(Ａ＋１)(Ａ－３)＝０ꎬ解得Ａ＝－１(舍)ꎬＡ＝３.所以２ɤｘｎ<ｘｎ＋１<３.例３㊀设数列{ａｎ}满足:ａ１＝１ꎬａｎ＋１＝ｂ１＋ａｎꎬｎɪＮ∗.(１)若ｂ＝－１４ꎬ令ｂｎ＝ａｎ＋１２ꎬ求数列{ｂｎ}的通项公式ꎻ(２)若ｂ＝１ꎬ问:是否存在实数ｃ使得ａ２ｎ<ｃ<ａ２ｎ＋１对所有ｎɪＮ∗成立?证明你的结论.解析㊀(１)ｂｎ＝３６ｎ－４.(２)方法类似于例１的解法２.背景分析㊀由于数列为正项数列ꎬ因此迭代函数ｆ(ｘ)＝１１＋ｘ在(０ꎬ１]上单调递减ꎬ且ａｎɪ(０ꎬ１].由ｃ＝ｆ(ｃ)求出不动点ꎬ得ｃ＝５－１２.根据以上分析ꎬ其高数背景是定理２的情形(２)ꎬ即需证子列{ａ２ｎ}和{ａ２ｎ－１}分别单调ꎬ且收敛于同一极限ｃ.ａ２＝１１＋１＝１２ꎬａ３＝１１＋ａ２＝２３<ａ１＝１.即０<ａ３<ａ１＝１由ｆ(ｘ)在(０ꎬ１]上单调递减ꎬ得ａ２＝ｆ(ａ１)<ｆ(ａ３)＝ａ４.即０<ａ２<ａ４<１.进而ꎬａ３＝ｆ(ａ２)>ｆ(ａ４)＝ａ５ꎬａ４＝ｆ(ａ３)<ｆ(ａ５)＝ａ６ꎬ一直下去ꎬ可得ａ２<ａ４<ａ６< <ａ２ｎ<ａ２ｎ＋２ꎬａ１>ａ３>ａ５> >ａ２ｎ－１>ａ２ｎ＋１.即{ａ２ｎ－１}ꎬ{ａ２ｎ}分别是两个单调有界的数列ꎬ故ｌｉｍｎңɕａ２ｎ＝Ａꎬｌｉｍｎңɕａ２ｎ＋１＝Ｂꎬ且ａ２ｎ<Ａꎬａ２ｎ＋１>Ｂ(ｎɪＮ∗).因为ａ２ｎ＋１＝１１＋ａ２ｎꎬａ２ｎ＋２＝１１＋ａ２ｎ＋１ꎬ对以上两式两边取极限ꎬ可得Ｂ＝１１＋Ａ且Ａ＝１１＋Ｂꎬ解得Ａ＝Ｂ＝５－１２.３结束语站得高ꎬ才能看得远.作为教师ꎬ应该具备一定的高等数学知识ꎬ这其实就是我们大学本科四年学习的基本功ꎬ这样ꎬ遇到压轴题才能轻松应对ꎬ游刃有余.在具体操作上ꎬ可先分析出试题的高数背景ꎬ获得答案ꎬ这时就得到了解题的方向ꎬ然后再用高中知识和方法去书写解题过程.由此可见ꎬ掌握一定的高数知识ꎬ弄清楚高考题的高数背景和命制思路是非常必要的.参考文献:[１]王晖.数列很重要㊀综合常考到[Ｊ].中学生理科应试ꎬ２０２０(１２):５－１０.[２]李鸿昌.高考题的高数探源与初等解法[Ｍ].合肥:中国科学技术大学出版社ꎬ２０２２.[责任编辑:李㊀璟]０３。

让解题思路来的更自然些——从两道高考题说起

２０１４年２月
解法探究
学谋
由罗比达法则得
—
＝ｌｉａｒ
ｅ～ — Ｊｌ＋Ｚｘ
一
２，

发，以基础知识为依托、以基本方法为技能，按照既定的
步骤，逐步推出问题和解答，解法思想顺乎一般思维规
所以ｌｉｍｈ（ｘ）＝一３，故口 ≤一３．
。ｅ一
＋ｘＶ（）］＝兰ｅ可得（）＝＾（２）＝０，掰（）ｔ＞０，选择
，
ｓｉ似），下面
Ｄ项．
逐一验证“ （）＞０，（）＞０，这样ｗｉ得出（）＞０，函数（）＝
一
题１（２０１３年辽宁理１２）设函数厂（）满足２厂（）＋
２玎（）：，－厂（２）＝ｅｚ则＞Ｏ，时，，（）（
，
Ｘ２
一
１
—
２ｃ。， ∈
）．（０，１］最小值即可．
解析１：（２）不等式恒成立问题，朴实的想法是：首先，
面的“ 特技 ” ，不注重对学生通性通法的指导，使学生受到
潜移默化的影响所致，学生看到这些题目时首先考虑的不是通性通法，而是特殊技巧，思路混乱，解题时一旦遇阻就毫无章法．借此笔者谈谈在数学解题中怎样使解题
解析２：，（） ≥ｇ（）恒成立，一般可以转化为，（）一

从几道学科融合类试题谈起

美ꎬ没有向弱点做任何的迁就ꎻ没有音乐和绘画那
样的装饰ꎬ而是令人惊异的纯真ꎬ具有最伟大的艺
术品所显示的完美. ”
例１古希腊时期ꎬ人们认为最美人体的头顶
至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是
(
５－１
２
５－１
≈０. ６１８ꎬ称为黄金分割比例) ꎬ著名的“ 断臂
２
维纳斯” 便是如此. 此外ꎬ最美人体的头顶至咽喉
图１
在所有重卦中随机取一重卦ꎬ则
该重卦恰有３个阳爻的概率是
( )
５
１１
２１
１１
Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ.
１６
３２
３２
１６
(２０１９年全国数学高考卷Ⅰ理科试题第６题)
点评中学师生对« 周易» 的了解一般停留在
“ 太极生两仪ꎬ两仪生四象ꎬ四象生八卦” 一段ꎬ以
此来加深对实数轴、平面直角坐标系与空间直角坐
能力ꎬ新意突出ꎬ贴近生活ꎬ对目前的中学数学教学
工作有一定的指导意义. 笔者欲从以下３个方面谈
谈关于学科融合的看法:
１学科融合之考题再现
１. １数学与艺术
数学与艺术都是美丽的ꎬ艺术的研究受到数学
发展的影响ꎬ而数学的发展又从艺术中汲取营养.
罗素说过:“ 数学ꎬ从正确的观点来看ꎬ它不仅是真
理ꎬ而且是至上的美丽———一种严峻的美ꎬ雕刻的
业取得又一重大成就. 实现月球背面软着陆需要解
决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联
系. 为解决这个问题ꎬ发射了嫦娥四号中继星“ 鹊
桥” ꎬ鹊桥沿着围绕地月拉格朗日Ｌ２点的轨道运
行. Ｌ２点是平衡点ꎬ位于地月连线的延长线上. 设
地球质量为Ｍ１ ꎬ月球质量为Ｍ２ ꎬ地月距离为ＲꎬＬ２

从两道化学高考题论学生归纳能力的培养

从两道化学高考题论学生归纳能力的培养【关键词】高中化学归纳能力培养策略归纳能力是化学学习中必须掌握的能力之一。

化学与其他学科相比，最大的不同之处就在于知识点多而散。

如果不对这些知识进行归纳总结，不仅加重学生的记忆负担，而且增加了学生理解和掌握知识的难度。

通过对相似知识的总结归纳，找出它们之间的联系与规律，形成立体式的知识网络结构，既有利于对已学知识的掌握，也有利于从总结出来的规律中探究和发现新的事物。

在化学发展历史当中，很多重大发现都是通过归纳总结已知知识规律得到的。

所以在化学教学中，培养学生的归纳能力，对学生理解和掌握知识、提高学生的推理能力和探究水平都有着重要的意义。

下面从两道高考题来谈谈如何加强对学生归纳能力的培养。

题一：（2006全国高考i理综27）置换反应的通式可以表示为：单质(1)+化合物(l)=化合物(2)+单质(2)。

请写出满足以下要求的3个置换反应的化学方程式：①所涉及的元素的原子序数都小于20；②6种单质分属6个不同的主族。

【分析】本题要求书写置换反应。

刚看题会感觉这应该是比较容易的题目，但细细研究题目的要求就会发现，写出符合要求的三个方程式并不是那么简单。

不少考生写出两个方程式后就发觉很难写出第三个符合要求的置换反应。

笔者曾以这道题对本校去年刚进入高三学习的成绩较好的3个班级进行了一次测试，限时7分钟完成。

最终在限定的时间内只有大约三分之一的人能完全正确地写出。

题目答案为：三个方程式都是中学化学常见的。

为什么学生却不能在规定的时间内快速完成呢？这是值得思考的。

假如在复习到化学反应类型时，教师要求学生对所学过的置换反应类型作一个系统的总结归纳，让学生对置换反应有个全局性的把握，完成这道题就比较容易了。

（如下表）题二：（2008年·全国理综）V、W、X、Y、Z是由周期表中l - 20号元素组成的5种化合物，V、W、X、Z均为两种元素组成。

上述五种化合物涉及的所有元素原子序数之和等于35；它们之间的反应关系如下：(1)5种化合物分别是v____w____X____Y____Z____(2)由上述5种化合物的某两种化合物反应可生成一种新的化合物，它包含了5种化合物中的所有元素，生成该化合物的化学方程式是____________(3)V的电子式是____________【分析】这是高考中典型的无机推断框图题，向来是高考中的热点和难点，很多考生比较害怕这种题目。

如出一辙的几道高考试题给予的启示

如出一辙的几道高考试题给予的启示
赵坚;赵双立
【期刊名称】《物理通报》
【年(卷),期】2010(000)005
【摘要】@@ 高考备考复习阶段,如何有针对性地选择习题进行强化训练,对于提高备考复习效率显得尤为重要.常听到有的教师发出这样的感叹,这种或那种类型的习题给学生训练了不少,但一考试效果却不佳.实际上,给学生多做题主要能够提高的是解题的技巧,技巧熟练当然对提高成绩有一定作用,但不是最主要的作用,特别是现在市面上许多复习资料质量很差,有的热衷于将试题的内容和解题的方法用一些所谓的模式加以固定,让学生反复操练这些基本套路,以为这样就可以解决问题.其实这种希望通过大量解题来包围考试题的做法,只能是一种高消耗、低效率的办法.【总页数】2页(P58-59)
【作者】赵坚;赵双立
【作者单位】昆明市五华区教师进修学校,云南,昆明,650031;昆明市第十四中学,云南,昆明,650106
【正文语种】中文
【相关文献】
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