泊松过程 poisson
第三章泊松(Poisson)过程.
4. 齐次泊松过程的两个相关随机变量
设{N (t), t 0}是强度为的泊松过程，Wn(n 1)
表示事件第n次出现的等待时间.
W0 0
记 Ti Wi Wi1, i 1,2, 则Ti 表示第n-1次
事件发生到第n次事件发生的时间间隔.
（每小时）的泊松过程 {N(t), t 0}, 若每个人消费 的金额（元）为独立同分布的随机变量 Yn：
f ( y) 0.05e0.05 y ( y 0)
设 X(t) 表示 [0,t) 时间内该超市的总营业额，求3 小时内总营业额的期望和方差.
基础部张守成 2020年2月28日星期五
令 s 0, 根据假设 N (0) 0 可得
均值函数: E[N (t)] t,
方差函数: DN (t) Var[N (t )] t
E[ N (t)].
t
泊松过程的强度等于单位长时间间隔内发生的事件 数目的均值.
基础部张守成 2020年2月28日星期五
(2) 协方差函数:
设{N(t), t0}是强度的泊松过程,{Yk,k=1,2,}是
独立同分布随机变量序列,且与{N(t), t0}独立,令
N (t)
X (t) Yk , t 0 k 1
则称为复合泊松过程. 例 设N(t)是在(0, t]内来到某商店的顾客数,Yk是
N (t)
第k个顾客的花费,则 X (t) 是Yk (0, t]内的营业额. k 1
如果对任意的实数h 和 0 s h t h,
X (t h) X (s h) 和 X (t) X (s) 具有相同的分布, 则称增量具有平稳性.
第三章泊松过程
定理 设是{N (t), t≥0}一个强度为l的泊松过程，则对任 意固定的t, N(t)服从泊松分布，即
P(N (t) = k ) = (lt)k e-l t
k!
k = 0,1, 2,L
二、泊松过程的数字特征与特征函数
1. 泊松过程的均值函数
mN (t) = E[N(t)]= lt
2. 泊松过程的方差函数
DN (t) = D[N(t)]= lt
3. 泊松过程的均方值函数
y
2 N
(t)
=
E[N
2
(t)]
=
DN
(t)
+
mN2
(t)
=
lt
+
(lt)2
4. 泊松过程的自相关函数
E(N (t1)N (t2 ))
令t2 ³ t1E{[N (t1)- N (0)][N (t2 )- N (t1)+ N (t1)]} 展开 E{[N(t1)- N (0)][N (t2 )- N(t1)]+ [N(t1)- N(0)]N(t1)} 展开 E{[N(t1)- N (0)][N (t2 )- N(t1)]}+ E{[N(t1)- N (0)]N (t1)} 增量独立E{[N(t1)- N(0)][N(t2 )- N(t1)]}+ E{[N(t1)- N(0)]N(t1)} 增量独立E[N (t1)- N (0)]E[N (t2 )- N (t1)]+ E{[N (t1)- N (0)]N (t1)}
mN (t) = 4t = DN (t)
RN (t1,t2 ) = 4 min(t1,t2 ) + 16t1t2 , t1,t2 Î T
CN (t1,t2 ) = 4 min(t1,t2 )
第三章 泊松过程
第一节、泊松过程的基本概念
证明： （1） 0 N (0) N1 (0) N2 (0) 可得 N1 (0) N2 (0) 0 （2）由N(t)的独立增量性可得，N1 (t ), N2 (t ) 也为独立增量过程； （3）记 N (t s) N (t ) N (t , t s) P[ N1 (t , t s ) k1 ]
泊松过程（Poisson process）最早由法国人Poisson于 1837年引入。
主 要 内 容
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 第六节
泊松过程的基本概念 相邻时间的时间间隔 剩余寿命与年龄 非时齐泊松过程 复合泊松过程 更新过程
第一节、泊松过程的基本概念
一、定义 一随机过程N (t ), t 0 ，若满足条件： （1）是一计数过程，且N(0)=0; （零初值性) （2）任取 0 t1 t2 tn , （独立增量过程） N (t1 ), N (t2 ) N (t1 ), , N (tn ) N (tn1 ) 相互独立； （3）s, t 0, n 0, P[ N (s t ) N (s) n] P[ N (t ) n] （增量平稳性） （4）对任意 t 0 和充分小的 t 0 ，有 P[ N (t t ) N (t ) 1] t o(t ) P[ N (t t ) N (t ) 2] o(t ) 称N (t ), t 0 是强度 为的时齐泊松过程。 其中 0 称 为强度常数。
即 N (s t ) N ( s) 是参数为 t 的泊松分布。
证明
第一节、泊松过程的基本概念
泊松过程的等价定义： 一计数过程N (t ), t 0 ，若满足条件： （1）N(0)=0; （2）N(t)是独立增量过程； （3）对 s, t 0, N (s t ) N (s) P(t ) ，即
泊松过程poisson
研究如何将泊松过程与其他 随机过程进行更有效的结合，
以更好地描述复杂现象。
探索如何利用机器学习方法改 进泊松过程的参数估计和模型 选择，以提高模型的预测能力
和解释性。
THANKS
泊松分布的性质
泊松分布具有指数衰减的性质， 即随着时间的推移，事件发生的
概率逐渐减小。
泊松分布的期望值和方差都是参 数λ（λ > 0），即E(X)=λ， D(X)=λ。
当λ增加时，泊松分布的概率密 度函数值也增加，表示事件发生
的频率更高。
泊松分布的应用场景
通信网络
泊松分布用于描述在一定 时间内到达的电话呼叫或 数据包的数量。
生物信息学中的泊松过程
在生物信息学中，泊松过程用于描述基因表达、蛋白质相互 作用等生物过程中的随机事件。例如，基因表达数据可以用 泊松过程来分析，以了解基因表达的模式和规律。
通过泊松过程，生物信息学家可以识别出与特定生物学功能 或疾病相关的基因，为药物研发和个性化医疗提供有价值的 线索。
06 泊松过程的扩展与展望
交通流量分析
泊松分布用于描述在一定 时间内经过某个地点的车 辆数量。
生物学和医学研究
泊松分布可以用于描述在 一定时间内发生的事件数 量，例如基因突变或细菌 繁殖。
04 泊松过程的模拟与实现
离散时间的模拟
01
定义时间间隔
首先确定模拟的时间区间，并将其 划分为一系列离散的时间点。
随机抽样
使用随机数生成器，在每个时间间 隔内随机决定是否发生事件。
有限可加性
在有限的时间间隔内，泊松过 程中发生的事件数量服从二项
分布。
与其他随机过程的比较
与马尔可夫链的比较
poisson过程 大数定律
poisson过程大数定律
大数定律（Law of Large Numbers）是概率论中的一个定理，它描述了当独立随机变量的个数很大时，这些随机变量的均值会接近它们的期望值。
对于泊松过程（Poisson Process）来说，它是一种随机过程，用来描述事件在一定时间或空间范围内的随机发生情况。
泊松过程的特点是事件发生的间隔时间服从指数分布。
如果我们在一段时间内观察泊松过程发生的事件次数，根据大数定律，当观察事件次数足够大时，这些事件次数的平均值会接近于其期望值，即泊松分布的参数λ乘以观察的时间长度。
换句话说，当观察时间足够长时，泊松过程的事件发生率的估计值会越来越接近真实的发生率。
用数学符号表示，设N(t)为在时间段[0,t]内发生的事件次数，λ为泊松分布的参数（表示单位时间内事件的平均发生率），则根据大数定律：
lim(t->∞) N(t)/t = λ
即当观察时间t趋向无穷大时，事件次数N(t)除以观察时间t 的比值会接近λ。
总结起来，大数定律表明，当观察时间足够长时，泊松过程的事件发生率的估计值会越来越接近真实的发生率。
这个定律在
众多实际应用中具有重要的意义，尤其在统计学和概率论中扮演着重要的角色。
泊松过程的应用范文
1.无线通信：泊松过程可以用于表示用户的到达时间和数据包的到达时间，研究无线网络中的容量和覆盖范围。
泊松过程在金融领域的应用：
1.期权定价：泊松过程可以用于建立股票价格模型，帮助计算期权的价格和风险价值。
2.保险精算：泊松过程可以用于描述保险事故的发生过程，研究保险公司的风险和储备。
3.稀释性：对于时间区间[0,t]和[0,s](s<t)，在时间s内N(t)-N(s)的分布仍然是一个泊松分布。
泊松过程在生物学领域的应用：
1.遗传学：泊松过程可以用于描述染色体上突变点的分布，用于研究基因突变的规律。
2.分子生物学：泊松过程可以用于描述酶催化反应的进程，研究酶的活性和速率。
3.神经科学：泊松过程可以用于描述神经元的放电模式，研究神经元的兴奋过程。
2.事件发生的概率分布：在时间区间[0,t]上，事件发生的数目服从泊松分布，即P(N(t)=n)=(λt)^n*e^(-λt)/n!，其中λ是事件发生的平均速率。
1.独立增量：对于不相交的时间区间，N(t1)和N(t2)-N(t1)是独立的随机变量。
2.无记忆性：已知在时间t1已经发生n个事件，那么在时间t2>t1时，N(t2)-N(t1)的分布与N(t2)的分布相同。
3.高频交易：泊松过程可以用于建模市场价格的波动和交易活动的发生，研究高频交易策略和风险控制。
综上所述，泊松过程是一种重要的随机过程，具有独立增量、无记忆性和稀释性等性质。在生物学、计算机科学、通信工程和金融等领域中，泊松过程被广泛应用于描述事件的发生过程和研究随机现象的规律。通过对泊松过程的研究，可以深入理解各个领域中的问题，并提供有益的解决方案和决策支持。
泊松过程在计算机科学领域的应用：
泊松过程的定义
泊松过程的定义泊松过程（Poisson Process）是一种随机过程，它表示了在固定时间段内发生的不同类型事件的概率分布。
泊松过程由泊松分布发展而来，它是一种概率分布，其中包含一个无限的平均特征。
泊松过程是一种重要的概率过程，在许多领域都有应用，例如通讯、生物学、信号处理等等。
泊松过程的定义是描述一个不断发生的随机事件的概率分布，即它是一种持续的随机过程，表示在给定的时间段内，某种类型的事件在某个时间段内会发生多少次。
这种过程的性质是：在一个给定的时间段内，随机事件的发生次数是一个服从泊松分布的随机变量。
泊松过程的定义一般可以描述为：设定一个时间段Δt，若在Δt内某种类型的事件发生m次，则该事件的发生概率满足泊松分布：P(m) = (λΔt)^me-λΔt/ m!，其中λ 是发生次数的平均数，Δt 是时间段，m 是发生次数。
泊松过程的定义还包括“独立性”的要求，即在一定的时间段内，发生的每一次事件都是相互独立的。
此外，泊松过程还有一个重要的性质——“不确定性”，即在一定时间段内，发生的每一次事件是不确定的，也就是说，我们不能准确预测每次发生的次数。
泊松过程是一种重要的概率过程，在一定的时间段内，对某种事件的发生次数的预测，可以使用泊松分布来实现。
泊松过程的应用可以追溯到19世纪，由法国数学家和物理学家泊松（Simeon Denis Poisson）发现，并且受到广泛的应用。
泊松过程的定义和性质是概率论中的重要概念，它主要用于描述在一定的时间段内，某种类型的事件发生的概率分布。
它可以用来描述不同类型事件发生的概率，从而可以模拟不同类型事件的发生情况。
同时，它可以用来研究一定时间段内，某种类型事件发生的概率，从而帮助我们更好地预测未来事件的发生情况。
空间泊松过程
空间泊松过程1. 简介空间泊松过程（Spatial Poisson Process）是一种常用于描述随机事件在空间中分布的数学模型。
它是一种二维或三维的随机过程，用来描述在给定空间中随机事件（例如点、线、面）的出现情况。
空间泊松过程在很多领域都有广泛的应用，如地理学、物理学、生态学和通信工程等。
2. 定义空间泊松过程是一个随机点过程，其定义如下：•在给定的空间区域中，随机点的数量是随机的。
•任意两个点之间的距离是独立同分布的。
•在不同的子区域中，点的数量是独立的。
3. 性质空间泊松过程具有以下性质：3.1. 点的数量分布给定一个空间区域，假设该区域的面积（或体积）为A。
如果单位面积（或单位体积）内的平均点数为λ，则空间泊松过程的点的数量N服从泊松分布，其概率质量函数为：P(N=k) = (λA)^k * exp(-λA) / k!3.2. 点的分布密度函数空间泊松过程的点是随机分布的，其分布密度函数可以用核密度估计方法来估计。
核密度估计是一种非参数估计方法，通过在每个点处放置一个核函数，然后将所有核函数叠加起来，得到点的分布密度函数。
3.3. 点的强度函数空间泊松过程的强度函数描述了点的密度在空间中的变化情况。
强度函数可以是常数，也可以是空间的函数。
在一维空间中，强度函数表示单位长度内的点的平均数量；在二维空间中，强度函数表示单位面积内的点的平均数量；在三维空间中，强度函数表示单位体积内的点的平均数量。
3.4. 点的空间关联性空间泊松过程的点之间是独立的，即一个点的出现不会影响其他点的出现。
这种独立性可以通过点的间距分布来描述。
常见的间距分布有指数分布、高斯分布和均匀分布等。
4. 应用空间泊松过程在各个领域都有广泛的应用。
4.1. 地理学地理学中常用空间泊松过程来描述地理现象的分布，如城市的人口分布、道路网的分布和地震的发生等。
通过对空间泊松过程的研究，可以更好地理解地理现象的规律性和随机性。
4.2. 物理学物理学中的粒子分布、原子核的排列和宇宙中星系的分布等现象都可以用空间泊松过程来描述。
泊松过程公式范文
泊松过程公式范文泊松过程（Poisson process）是概率论中的一种重要的随机过程。
它以数学家西莫恩·庞加莱（Siméon Denis Poisson）的名字命名，他在19世纪早期首次引入了这个概念。
泊松过程是一种离散时间（时间按照一定的间隔划分）连续状态（可以不断地发生事件）的随机过程。
泊松过程的定义是：在一段时间内，事件发生的次数服从泊松分布（Poisson distribution）。
这段时间可以是无穷小的时间间隔，也可以是有限的时间窗口。
泊松过程的关键特征是事件之间的时间间隔都是独立的且呈指数分布。
所谓指数分布是指事件之间的时间间隔满足指数分布的概率密度函数，即事件发生的概率与时间间隔的长度成正比。
泊松过程的数学定义可以表示为：P(N(t)=k)=(e^(-λt)*(λt)^k)/k!其中，N(t)表示在时间t内发生的事件次数，k表示事件的个数，λ表示单位时间内平均发生的事件个数。
根据泊松过程的定义，可以得到一些重要的性质和公式。
首先是事件发生的概率。
在时间t内发生k次事件的概率可以用公式P(N(t)=k)表示，其中λt表示单位时间内平均发生的事件个数。
这个公式是泊松分布的概率质量函数。
其次是事件之间的时间间隔。
由于泊松过程中时间间隔是独立的且呈指数分布，所以事件发生的时间间隔满足无记忆性（memoryless）的特性。
无记忆性意味着事件的发生与之前的事件的发生时间无关，只与发生事件的频率有关。
再次是事件的到达间隔。
事件的到达间隔是指两个连续事件之间的时间间隔。
根据泊松过程的定义，事件的到达间隔呈指数分布。
事件的到达间隔的期望值（也称为平均间隔）为1/λ，即单位事件到达的平均时间间隔。
最后是超过特定事件个数的概率。
假设我们需要计算在一定时间内超过n次事件发生的概率。
可以用公式P(N(t) > n) = 1 - P(N(t) <= n)= 1 - ∑(i=0 to n) (e^(-λt) * (λt)^i) / i!来计算。
泊松过程
泊松过程
泊松过程是由法国著名数学家泊松（Poisson, Simeon-Denis）（1781—1840）证明的。
1943年C.帕尔姆在电话业务问题的研究中运用了这一过程，后来辛钦于50年代在服务系统的研究中又进一步发展了它。
它是一种累计随机事件发生次数的最基本的独立增量过程。
例如随着时间增长累计某电话交换台收到的呼唤次数的过程。
一般地来说，一个泊松过程是在每个有界的时间区间或在某个空间（例如：一个欧几里得平面或三维的欧几里得空间）中的每一个有界的区域，赋予一个随机的事件数，使得在一个时间区间或空间区域内的事件数，和另一个互斥（不重叠）的时间区间或空间区域内的事件数，这两个随机变数是独立的。
在每一个时间区间或空间区域内的事件数是一个随机变数，遵循泊松分布。
（技术上而言，更精确地来说，每一个具有有限测度的集合，都被赋予一个泊松分布的随机变数。
）泊松过程是莱维过程（Lévy pro cess）中最有名的过程之一。
时间齐次的泊松过程也是时间齐次的连续时间Markov过程的例子。
一个时间齐次、一维的泊松过程是一个纯出生过程，是一个出生——死亡过程的最简单例子。
对泊松过程，通常可取它的每个样本函数都是跃度为1的左（或右）连续阶梯函数。
可以证明，样本函数具有这一性质的、随机连续的独立增量过程必是泊松过程，因而泊松过程是描写随机事件累计发生次数的基本数学模型之一。
直观上，只要随机事件在不相交时间区间是独立发生的，而且在充分小的区间上最多只发生一次，它们的累
计次数就是一个泊松过程。
泊松过程详细分析与公式
泊松过程详细分析与公式泊松过程（Poisson process）是一种描述时间间隔发生事件的随机过程。
它由法国数学家西蒙·邦努力·泊松（Siméon Denis Poisson）创立，被广泛应用于各个领域，例如物理学、生物学、通信工程、金融学等。
泊松过程的定义如下：在一个时间段内，事件以一定频率随机发生，且事件之间是独立的。
泊松过程具有以下几个特点：1.事件的发生次数是离散的，且在一个固定时间段内可以是0个、1个、2个......无限多个。
2.事件之间的时间间隔是随机的，并且满足指数分布。
3.事件的发生频率是恒定的。
在泊松过程中，事件的发生次数服从泊松分布。
泊松分布的概率质量函数表示了事件在一个特定时间段内发生k次的概率，公式为：P(k)=(λ^k*e^(-λ))/k!其中，λ是事件的发生强度，也称为时间单位内事件发生的平均次数。
k是事件发生的次数。
泊松过程的强度参数λ可以理解为单位时间内事件发生的平均次数。
因此，单位时间内事件发生的概率为λ，单位时间内不发生事件的概率为1-λ。
泊松过程的平均时间间隔为1/λ，也即泊松过程中连续两次事件的时间间隔不超过1/λ的概率为1-e^(-λt)，其中t表示时间间隔。
根据泊松过程的定义，事件之间的时间间隔是独立的，因此事件的发生时间是随机的。
泊松过程在实际应用中具有很大的灵活性。
例如，在通信工程中，泊松过程可以用来模拟数据包到达路由器的时间间隔；在金融学中，泊松过程可以用来模拟股票价格的变动情况；在生物学中，泊松过程可以用来研究神经元放电的规律。
通过对泊松过程的建模分析，可以更好地了解事件的发生规律，从而做出相应的决策。
总结起来，泊松过程是一种描述时间间隔发生事件的随机过程。
它具有离散和独立的特点，事件之间的时间间隔满足指数分布，事件的发生次数服从泊松分布。
泊松过程广泛应用于各个领域，通过对泊松过程的建模和分析，可以更好地理解事件的发生规律并做出相应的决策。
4-泊松过程
n kn1
k1 !(k2 k1 )!(kn kn 1 )!
12
二、泊松过程的数字特征与一维特征函数
设 {N (t ), t 0} 是强度为 的泊松过程，则
1. 均值函数 mN (t ) E( N (t )) t 2. 方差函数 DN (t ) D( N (t )) t
[例1] 设 N (t )为[0,t)时段内某电话交换台收到的
呼叫次数， t [0, )，N (t ) 的状态空间为 {0,1, 2,}，
且具有如下性质： （1） N (0) 0，即初始时刻未收到任何呼叫； （2）在[t,s)这段时间内收到的呼叫次数只与 时间间隔s-t有关，而与时间起点t无关； （3）在任意多个不相重叠的时间间隔内收到
注:(4)中实际上假设了在足够小的时间间隔 内出现一个质点的概率与时间间隔成正比，而 出现质点数不少于2的概率是关于时间间隔的 高阶无穷小——这一般是与实际情况相吻合的。
思考：试举个例子是计数过程而不是泊松过程。
9
[定理1]设 {N (t ), t T [0, )}是一强度为 的泊 松过程，则对任意固定的 t 0，N (t ) 服从泊松 一维分布 分布 (t ) ，即 k
P{N (t1 ) N (0) k1, N (t2 ) N (t1 ) k2 k1,, N (tn ) N (tn1 ) kn kn1}
P{N (t1 ) N (0) k1} P{N (t2 ) N (t1 ) k2 k1} P{N (tn ) N (tn 1 ) kn kn 1}
2 1
则称{N (t ), t T [0, )}是强度为 的泊松过程。
k!
复合泊松过程
tm ，则
i i N ( t k 1 ) 1
Y , k 1,2,, m
由题设条件易证{X(t),t≥0}具有独立增量性。
定理2：
设 X (t ) Yk , t 0 是复合泊松过程，则 k 1 t [Y ( u ) 1] (1)X(t)的矩母函数 X ( t ) (u) e Y (u) 是随机 其中，是事件的到达率， 变量 Yi 的矩母函数； 2 E ( Y (2)若 1 ) ，则
E[ X (t )] tE[Y1 ], D[ X (t )] tE[Y12 ]
N (t )
全数学期望公式： E[X]=E[E(X/Y)]
例2：设 { X (t ) Yi , t 0} 是复合泊松过程，已 知 5, Yi 服从指数分布。 求：E[X(t)],D[X(t)]与矩母函数 X ( t ) (u) ？
为p,且与其它顾客是否购买商品无关。
问：在时间(0,ห้องสมุดไป่ตู้]内购买商品的顾客数是
否复合泊松过程？
二、复合泊松过程的性质
定理1：
Yk , t 0 是复合泊松过程，则 设 X (t ) k 1 {X(t),t0}是独立增量过程。
N (t )
证明： 令 0 t0 t1 t2
X (t k ) X (t k 1 )
第五节
复合泊松(Poisson)过程
本节学习的主要内容
一、复合泊松过程的定义 二、复合泊松过程的性质 三、复合泊松过程的应用
一、复合泊松过程的定义
定义：设{N(t),t0}是强度的泊松过程， {Yk ,k=1,2,}是一族独立同分布随机变量， 且与{N(t),t0}独立，令
X (t )
第4章Poisson过程
第4章Poisson过程Poisson过程是一种常见的随机过程，被广泛应用于各个领域，包括计算机科学、物理学、生物学等。
本章将介绍Poisson过程的定义、特性和应用，并详细解释其背后的数学原理。
1. Poisson过程的定义与特性Poisson过程是一个连续时间随机过程，其特点是在一定时间内事件发生的数量满足泊松分布。
具体来说，Poisson过程满足以下几个条件：1)事件发生的间隔是独立的，即事件之间的时间间隔是随机的且相互独立。
2)事件发生的概率是相等的，即在单位时间内事件发生的概率是恒定的。
3)事件发生的次数满足泊松分布，即在给定时间内事件发生的次数服从参数为λ的泊松分布，其中λ是单位时间内事件发生的平均次数。
Poisson过程的重要特性包括：1)非负增量性质：即在给定时间内，事件发生的次数是非负的。
2)无记忆性质：即给定过去的事件信息，事件发生的概率与未来的事件无关。
3)稀疏性质：即在大部分时间段内，事件都不会发生。
2. Poisson过程的应用Poisson过程在实际应用中有着广泛的应用。
以下是几个常见的应用例子：2) 网络流量建模：在网络流量分析中，可以使用Poisson过程来描述网络中的数据包到达情况，进而进行网络拥塞控制和负载均衡。
3) 突发事件模拟：在灾难响应和紧急情况下的资源调度中，可以使用Poisson过程来模拟事件的发生情况，进而进行调度和分配。
4) 电子设备故障：在电子设备可靠性分析中，可以使用Poisson过程来建模设备故障的发生情况，进而进行设备寿命评估和维修策略制定。
3. Poisson过程的数学原理Poisson过程的数学原理基于泊松分布和指数分布的性质。
泊松过程的定义要求事件发生的间隔是独立的，而指数分布的性质恰好满足了这一要求。
具体来说，如果事件之间的时间间隔满足参数为λ的指数分布，那么事件发生的次数就会满足参数为λ的泊松分布。
Poisson过程的数学表示可以使用随机变量N(t)来表示在时间段[0,t]内事件发生的次数。
第三章 泊松(Poisson)过程
DN (t ) Var[ N (t )] t
E[
N (t ) ]. t
泊松过程的强度等于单位长时间间隔内发生的事件 数目的均值.
基础部张守成 2014年6月18日星期三
(2)
协方差函数:
C N ( s, t ) mins, t , s, t 0.
基础部张守成 2014年6月18日星期三
(1) 7时至9时为t(2,4],则由非齐次泊松过程的 性质可得7时至9时乘车人数的数学期望为
E[ N (4) N (2)] m(4) m(2)
( t )dt
2
4
(200 400t )dt 1400dt
2 3
3
4
由于Wn Ti , 利用矩母函数容易证明
i 1
n
Wn ~ (n, ), 即Wn具有概率密度
t ( t )n 1 ,t 0 e fWn ( t ) ( n 1)! 0 , t 0
基础部张守成 2014年6月18日星期三
二、泊松过程的推广
由于 N ( s, t ) N ( t ) N ( s) ~ ( (t s )) ， (1) E[ N (t ) N ( s )] Var[ N (t ) N ( s )] (t s ).
令 s 0, 根据假设 N (0) 0 可得
均值函数: 方差函数:
P Yn 2 0.4，P Yn 3 0.4， P Yn 4 0.1.
设X (t)表示 [0, t )时间内移民到该地的人口数， 求在五周内移民到该地人口数的的期望和方差.
X ( t ) Yn 是复合泊松过程, 解： 由Yn的分布律可得
如何理解泊松分布(Poisson Distribution)
如何理解泊松分布(PoissonDistribution)【泊松分布是以其发表者Poisson命名的】随机变量X服从参数为λ的泊松分布，记作 X ∼ π ( λ )X\sim\pi(\lambda) X∼π(λ)其分布律为P { X = k } = λ k e − λ k ! , k = 0 , 1 , 2 , …P\{X=k\}=\frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}, k=0,1,2,… P{X=k}=k!λke−λ,k=0,1,2,…其中λ>0注意k取值哟，k是从0到∞！！证明分布律对于上式，我们需要证明其满足分布律的条件，即各值概率求和为1, 即：∑ k = 0 ∞ P { X = k } = 1\sum_{k=0}^{\infty}P\{X=k\}=1 k=0∑∞P{X=k}=1证明如下：∑ k = 0 ∞ P { X = k } = ∑ k = 0 ∞ λ k e −λ k ! = e − λ ∑ k = 0 ∞ λ k k ! = e − λ × e λ = 1\sum_{k=0}^{\infty}P\{X=k\}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\ lambda^k e^{-\lambda}}{k!}=e^{-\lambda}\sum_{k=0}^\infty\frac{\lambda^k}{k!}=e^{-\lambda}\times e^{\lambda}=1 k=0∑∞P{X=k}=k=0∑∞k!λke−λ=e−λk=0∑∞k!λk=e−λ×eλ=1这个求和用到了函数f(x)=e^x的带有拉格朗日余项的n阶麦克劳林公式哈哈，其实这里只是推导一下就好，更严谨，以后使用公式时候用不到泊松定理这是一种用泊松分布逼近二项分布的定理，可以看作泊松分布分布律从二项分布律的推导，具体内容如下：n为任意正整数，np=λ，λ>0,对任意非负整数k，都有 lim x → ∞ C n k p n k ( 1 − p ) n − k = λ k e −λ k ! \lim_{x \to \infty}C_n^k p_n^k (1-p)^{n-k}=\frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} x→∞limCnkpnk(1−p)n−k=k!λke−λ证明思路：让式子只剩下λ，消去n，p1.消去n：使n趋近于∞2.消去p：p=λ/n证明如下： C n k p n k ( 1 − p ) n − k = n ( n −1 ) . . . ( n − k + 1 ) k ! ( λ n ) k ( 1 − λ n ) n − k C_n^k p_n^k (1-p)^{n-k}=\frac{n(n-1)...(n-k+1)}{k!}{(\frac \lambda n)}^k (1-\frac \lambda n)^{n-k} Cnkpnk(1−p)n−k=k!n(n−1)...(n−k+1)(nλ)k(1−nλ)n−k观察右项，尽量配出来原式= λ k k ! [ 1 × ( 1 − 1 n ) × … × ( 1 − k − 1 n ) ] ( 1 − λ n ) n ( 1 − λ n ) − k 原式=\frac {\lambda^k}{k!}[1\times(1-\frac1n)\times…\times(1-\frac {k-1}n)](1-\frac \lambdan)^n(1-\frac \lambda n)^{-k} 原式=k!λk[1×(1−n1)×…×(1−nk−1)](1−nλ)n(1−nλ)−k令n趋近于正无穷，则[ 1 × ( 1 − 1 n ) × … × ( 1 − k − 1 n ) ] → 1 [1\times(1-\frac 1n)\times…\times(1-\frac {k-1}n)] \to 1 [1×(1−n1)×…×(1−nk−1)]→1 ( 1 − λ n ) n → e − λ (1-\frac \lambda n)^n\to e^{-\lambda} (1−nλ)n→e−λ上式为对自然常数e的定义的代换，实质上用到了复合函数的极限运算法则 ( 1 − λ n ) − k → 1 (1-\frac \lambda n)^{-k}\to 1 (1−nλ)−k→1因此，得证 lim x → ∞ C n k p n k ( 1 − p ) n − k = λ k e − λ k ! \lim_{x \to \infty}C_n^k p_n^k (1-p)^{n-k}=\frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} x→∞limCnkpnk(1−p)n−k=k!λke−λnp=λ，n很大，p很小时，有近似式： C n k p n k ( 1 − p ) n − k ≈ λ k e − λ k ! C_n^k p_n^k (1-p)^{n-k}\approx \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} Cnkpnk(1−p)n−k≈k!λke−λ即用泊松分布概率值作二项分布概率值的近似一般来说，n>=20,p<=0.0.5,近似效果不错λ的意义从二项分布可知，E(X)=np，而在泊松定理中λ=np，所以λ是否是数学期望呢？已知一个分布，可以求其数学期望(用定义求)，我们求出泊松分布的数学期望，看它是否是我们预测的λ即可。
泊松过程平均等待时间
泊松过程平均等待时间泊松过程（Poissonprocess）是一种随机事件的概率过程，主要用于描述在给定时间内发生某种事件的概率。
它揭示了一些随机性行为的规律，如一个特定位置上发生特定事件的概率分布，涉及经典问题，如随机等待时间的平均时间、服务需求的完整描述等。
这些问题有可能在金融流动性分析、通讯系统性能分析、拥塞识别等。
泊松过程的基本思想是：一定时间内发生特定事件的概率是一个均匀的、固定的分布；在观察时间内，随机事件的发生概率是常数，事件的发生是独立的，且每个时间段内没有超出时间限制的事件发生，只在某一特定时间发生。
假设特定事件在单位时间内以概率$P$发生，则发生次数X服从泊松分布，数学期望和方差均等于$P$。
泊松过程不仅解释随机发生的概率，而且可以用来测算出随机等待时间的平均时间。
泊松过程以P为概率，在任何给定时间上，发生特定事件的概率是$$P (X)=frac{P^X}{X!}e^{-P}$$其中, X是发生的次数，P是发生的概率和。
如果要测算出随机等待时间的平均时间，则可以根据贝叶斯定理和期望公式：$$E (X)=sum_{X=0}^infty X frac{P^X}{X!}e^{-P}=P$$ 根据以上公式可以得出，随机等待时间的平均时间等于概率P。
如果要求解具体的等待时间，可以使用随机变量的变换法求解，具体可以用到以下公式：$$P (X)=frac{P^X}{X!}e^{-P} P (X leq n)=sum_{X=0}^n frac{P^X}{X!}e^{-P}$$要求出等待时间的期望，可以利用泊松分布的性质：$$E(X)=sum_{X=0}^infty X frac{P^X}{X!}e^{-P}=Psum_{X=0}^n X frac{P^X}{X!}e^{-P}=P(1-frac{P^n}{n!}e^{-P})$$有了上面的公式，就可以求出泊松过程随机等待时间的期望，即P(1-Pn/n!e-P)。
泊松过程特征函数 -回复
泊松过程特征函数-回复泊松过程特征函数（Poisson process characteristic function）是描述泊松过程的一种数学工具。
泊松过程是一种离散事件发生的过程，其中事件的数量在任何时间间隔上都是独立的且服从泊松分布。
特征函数则是用来描述一个随机变量的性质的函数。
本文将从基本概念入手，逐步解释泊松过程和特征函数的概念和性质。
我们将回答以下几个问题：什么是泊松过程？如何定义泊松过程的特征函数？特征函数有哪些性质？特征函数如何与其他概率分布函数关联？一、什么是泊松过程？泊松过程是一种用于描述连续时间发生的离散事件的过程。
在泊松过程中，事件的发生是随机的且独立的，事件的数量服从泊松分布。
泊松过程可以用于模拟很多现实生活中的事件，例如电话交换系统中的电话呼叫、交通流量中的车辆通过等。
具体来说，泊松过程可以用以下方式描述：1. 事件的发生是随机的，没有固定的间隔时间。
2. 在任意时间段内，事件的发生数量服从泊松分布，且事件的发生是独立的。
3. 事件的发生数量与事件的发生时间是无关的。
二、如何定义泊松过程的特征函数？特征函数是描述一个随机变量的性质的函数。
对于泊松过程，我们可以定义它的特征函数如下：设N(t)为时间t内发生的事件数量，λ为单位时间内事件的平均发生率，则泊松过程的特征函数φ(t)可以定义为：φ(t) = E[e^{itN(t)}]其中，i为虚数单位，e为自然对数的底。
特征函数φ(t)描述了泊松过程在时间t内发生的事件数量的性质。
三、泊松过程的特征函数有哪些性质？泊松过程的特征函数具有以下性质：1. φ(0) = 1：特征函数在t=0时的值为1，表示在时间0内发生的事件数量为0的概率为1。
2. φ(t)是复数：特征函数的取值是复数，可以表示幅度和相位信息。
3. φ(t)是连续的：特征函数在t的取值范围内是连续的，可以用来描述事件数量的连续性。
特征函数还具有很多其他性质，例如可加性、数值范围等，但这些性质超出了本文的讨论范围。
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泊松过程的几个例子
考虑某一电话交换台在某段时间接到的呼叫。令X(t) 表示电话交换台在 [0, t] 时间内收到的呼叫次数， 则{ X(t), t 0 } 是一个泊松过程。 考虑来到某火车站售票窗口购买车票的旅客。若记 X(t) 为时间 [0, t] 内到达售票窗口的旅客数，则 { X(t), t 0 } 是一个泊松过程。 X(t) 为某网站在时间 [0, t] 内的被访问次数。
分布函数：
s0 0, FW1 X ( t ) 1 ( s ) s / t , 0 s t 1, st
分布密度：
se s e (t s ) s t te t
1 / t , 0 s t fW1 X (t )1 (s) 其它 0,
例6
设{ X (t) , t 0 }是具有跳跃强度
(t ) 0.5(1 cost )
的非齐次泊松过程。求 E[X(t)] 和 D[X(t)]。
E[ X (t )] D[ X (t )] 0.5(1 coss)ds
0 t
1 0.5 t sin t
t 0 t0
E[ wn ] n 2 D [ w ] n n
[例1] 已知仪器在 [ 0 , t ] 内发生振动的次数 X(t) 是具有参
数的泊松过程。若仪器振动k (k 1)次就会出现故障， 求仪器在时刻 t0 正常工作的概率。
[解]
仪器发生第k振动的时刻Wk 就是故障时刻T ， 则T 的概率分布为 分布:
(3) 到达时间的条件分布
假设在[0 , t ]内事件A已经发生一次，确定这一事件到
达时间W1的分布 ——均匀分布
P{W1 s, X (t ) 1} P{W1 s X (t ) 1} P{ X (t ) 1} P{ X ( s ) 1, X (t ) X ( s ) 0} P{ X (t ) 1} P{ X ( s ) 1} P{ X (t ) X ( s) 0} P{ X (t ) 1}
0t 3 200 400t , (t ) 1400, 3 t 13 1400 400(t 13) , 13 t 16
mX (9) mX (7) (t )dt 1400d t 2800
7 7
9
9
28002000 2800 P[ X (9) X (7) 2000 ] e 2000 !
等待时间（到达时间）Wn
[定理] 设 {X (t), t 0 }是具有参数的泊松过程，{Wn , n1}
是对应的等待时间序列，则随机变量Wn 服从参数为n与 的 分布（又称为爱尔兰分布），其概率密度为
t (t ) n 1 e , fWn (t ) (n 1)! 0,
s C t
k n
k
s 1 t
nk
参数为 n 和 s/t 的 二项分布
泊松过程的另一个定义
[定义] 称计数过程{ X (t) , t 0 }为具有参数 >0 的泊松 过程，若它满足下列条件： (1) X (0) = 0 ; (2) X (t) 是独立、平稳增量过程; (3) X (t) 满足下列两式：
ΦX ( ) E[e
jX (t )
]e
t ( e j 1)
(1) 泊松过程的数字特征
均值函数 方差函数 相关函数 协方差函数
mX (t ) E[ X (t )] t
2 X (t ) DX (t ) t
RX (s, t ) E[ X (s) X (t )] s(t 1) , (s t )
0
t
则X(t)服从参数为 mX (t ) 的poisson分布 [定理] 设{ X (t) , t 0 }为具有跳跃强度函数为 (t ) 的非齐次泊松过程，则有
[mX (t )]n P{ X (t ) n} exp{ mX (t )}, (n 0) n!
P{ X (t s) X (t ) n} [mX (t s) mX (t )]n exp{[m X (t s) mX (t )]}, (n 0) n!
fWk X (t ) (s n)
lim
h0
n! s s 1 k (k 1)!(n k )! t t
h
k 1
n k
Beta分布
P{s Wk s h X (t ) n}
fWk (s) P{ X (t ) X (s) n k} P{ X (t ) n}
的非齐次泊松过程，若它满足下列条件： (1) X (0) = 0 ; (2) X (t) 是独立增量过程; (3) P{ X (t h) X (t ) 1} (t )h o(h)
P{ X (t h) X (t ) 2} o(h)
非齐次泊松过程的分布
令
mX (t ) (s) d s
[例] 设在 [ 0 , t ] 内事件A已经发生 n 次，且0 < s < t，对
于0 < k < n ，求在 [ 0 , s ] 内事件A发生 k 次的概率。
P{X (s) k X (t ) n}
P{ X ( s) k , X (t ) n} P{ X (t ) n}
[例3] 设在 [ 0 , t ] 内事件A已经发生 n 次，求第k次(k < n)
事件A发生的时间Wk 的条件概率密度函数。
P{s Wk s h X (t ) n}
P{s Wk s h, X (t ) n} P{ X (t ) n} P{s Wk s h, X (t ) X ( s h) n k} P{ X (t ) n} P{s Wk s h} P{ X (t ) X ( s h) n k} P{ X (t ) n}
到达时间的条件分布
[定理] 设 {X (t), t 0 }是泊松过程，已知在[0, t]内事件A
发生n次，则这n次到达时间W1< W2< …< Wn可看成n 个[0, t]上均匀分布的独立随机变量的顺序统计量
n! n , 0 t1 t n t f (t1 , , t n X (t ) n) t 其它 0,
P{ X (t h) X (t ) 1} h o(h) P{ X (t h) X (t ) 2} o(h)
6.2 泊松过程的基本性质
Hale Waihona Puke 泊松分布:(t ) n t P{ X (t s) X ( s) n} e , n! n 0, 1,
(t ) n t P{ X (t ) n} e , n 0, 1, 2, n!
6.6 复合泊松过程
[定义] 设{ N (t) , t 0 }是强度为 的泊松过程，{ Yk , k =1, 2, … }是一列独立同分布随机变量，且与{ N (t) , t
0 }独立，令
X (t ) Yk , t 0
k 1
N (t )
则称{ X (t) , t 0 }为复合泊松过程。
泊松过程
[定义] 称计数过程{ X (t) , t 0 }为具有参数 的泊松过程，
若它满足下列条件： (1) X (0) = 0 ; (2) X (t) 是独立增量过程; (3) （平稳性）在任一长度为 t 的区间中，事件A发生的
次数服从参数t 的泊松分布，即对任意 s , t ，有
(t ) n t P{ X (t s) X ( s) n} e , n! n 0, 1,
3 泊松过程
内容提要
泊松过程的定义 泊松过程的基本性质
非齐次泊松过程
复合泊松过程
泊松分布
[泊松分布] 随机变量X 的所有可能取值为0, 1, 2, … ，而
取各个值的概率为
P{ X k}
k e
k!
, k 0, 1, 2, ( 0为常数)
则随机变量X 服从参数为 的泊松分布，简记为 ()。
[例4] 设{X1(t), t 0 }和{X2(t), t 0 }是两个相互独立的泊松
过程，它们在单位时间内平均出现的事件数分别为 1和
2。记Wk(1)为过程X1(t)的第k次事件到达时间， W1(2)为过
程X2(t)的第1次事件到达时间，求 P{Wk(1)<W1(2)}，即第一 个泊松过程的第k次事件发生早于第二个泊松过程的第1 次事件发生 的概率。
C X ( s, t ) RX ( s, t ) mX ( s)mX (t ) min(s, t ) s , ( s t )
(2) 时间间隔与等待时间
设 {X (t), t 0 }是泊松过程，令X (t)表示 (0,t] 时间内
事件A发生的次数， T1 0 W1 T2 T3 W2 W3 Tn Wn-1 Wn
P{ X ( s) k , X (t ) X ( s) n k} P{ X (t ) n}
(s ) k e s [ (t s )]n k e ( t s ) k! (n k )! n! s k (t s) nk n t ( t ) e k!(n k )! tn n!
[例7] 设某路公共汽车从早上 5时到晚上9时有车发出。
乘客流量如下： 5时平均乘客为 200人/时；5时至8时乘 客线性增加，8时达到 1400人/时；8时至18时保持平均 到达率不变； 18 时至 21 时到达率线性下降，到 21 时为 200人/时。假定乘客数在不相重叠的时间间隔内是相互 独立的。求 12 时至 14 时有 2000 人来站乘车的概率，并 求出这两小时内乘客人数的数学期望。