微积分总复习(一)
（完整版）微积分复习资料
（完整版）微积分复习资料基本知识复习⼀、不定积分1．不定积分概念，第⼀换元积分法（1）原函数与不定积分概念设函数()F x 与()f x 在区间(),a b 内有定义，对任意的(),x a b ∈，有()()'F x f x =或()()dF x f x dx =，就称()F x 是()f x 在(),a b 内的⼀个原函数。
如果()F x 是函数()f x 的⼀个原函数,称()f x 的原函数全体为()f x 的不定积分,记作()(),f x dx F x C =+?（2）不定积分得基本性质1．()()df x dx f x dx=?2。
()()'F x dx F x C =+? 3。
()()()().Af x Bg x dx A f x dx B g x dx +=+（3）基本不定积分公式表⼀()()122222(1)2)1,13ln C,x (4)arctan ,1(5)arcsin ,(6)cos sin ,(7)sin cos ,(8)sec tan ,cos (9)csc cot ,sin (10)sec t kdx kx C k x x dx C dx x dx x C x x C xdx x C xdx x C dx xdx x C x dx xdx x C x x µµµµ+=+=+≠-+=+=++=+=+=-+==+==-+是常数，（1（）22an sec ,(11)csc cot csc ,(12),ln (13),(14),1(15),1(16).xxxdx x C x xdx x C a a dx C ashxdx chx C chxdx shx C dx thx C ch x dx cthx C sh x =+=-+=+=+=+=+=-+（3）第⼀换元积分法（凑微分法）设()f u 具有原函数, ()u x ?=可导,则有换元公式()()()()'.u x f x x dx f u du =??=?2．第⼆换元积分法，分部积分法（1）第⼆换元积分法设()x t ψ=是单调的、可导的函数,并且()'0t ψ≠.⼜设()()'f t t ψψ具有原函数,则有换元公式()()()()1',t x f x dx f t t dt ψψψ-=??=其中()1x ψ-是()x t ψ=的反函数.（2）分部积分法设函数()u u x =及()v v x =具有连续导数,那么,()''',uv u v uv =+移项,得 ()'''.uv uv u v =-对这个等式两边求不定积分,得''.uv dx uv u vdx =-??这个公式称为分部积分公式.它也可以写成以下形式:.udv uv vdu =-??（3）基本积分公式表⼆(2222(17)tan ln cos )cot ln sin ,sec ln sec tan C,(20)csc ln csc cot ,1(21)arctan ,1(22)ln ,2(23)arcsin ,(24)ln ,(2xdx x C xdx x C xdx x xdx x x C dx x C a x a a dx x adx C x a a x a xC a x C =-+=+=++=-+=++-=+-+=+=++，（18（19）5)ln .x C =+ （3）有理函数的积分，三⾓函数有理式的积分，某些简单⽆理式的积分⼀、有理函数的积分两个多项式的商()()P x Q x 称为有理函数，⼜称为有理分式.我们总假定分⼦多项式()P x 与分母多项式()Q x 之间是没有公因式的.当分⼦多项式()P x 的次数⼩于分母多项式()Q x 的次数时,称这有理函数为真分式,否则称为假分式.利⽤多项式的除法,总可以将⼀个假分式化成⼀个多项式与⼀个真分式之和的形式,由于多项式的积分容易求,故我们将重点讨论真分式的积分⽅法.对于真分式()()n m P x Q x ,⾸先将()m Q x 在实数范围内进⾏因式分解,分解的结果不外乎两种类型:⼀种是()kx a -,另外⼀种是()2lx px q ++,其中,k l 是正整数且240p q -<;其次,根据因式分解的结果,将真分式拆成若⼲个分式之和.具体的做法是:若()m Q x 分解后含有因式()kx a -,则和式中对应地含有以下k 个分式之和:()()()122,k kA A A x a x a x a +++---L 其中:1,,k A A L 为待定常数.若()m Q x 分解后含有因式()2lx px q ++,则和式中对应地含有以下l 个分式之和:()()()11222222,l l l M x N M x N M x N x px q x px q x px q ++++++++++++L 其中:(),1,2,,i i M N i l =L 为待定常数.以上这些常数可通过待定系数法来确定.上述步骤称为把真分式化为部分分式之和,所以,有理函数的积分最终归结为部分分式的积分.⼆、可化为有理函数的积分举例例4 求()1sin .sin 1cos xdx x x ++?解由三⾓函数知道,sin x 与cos x 都可以⽤tan2x的有理式表⽰,即 222222222tan 2tan22sin 2sin cos ,22sec 1tan 221tan 1tan 22cos cos sin .22sec 1tan 22x x x x x x xx xx x x x x ===+--=-==+如果作变换()tan2xu x ππ=-<<,那么 22221sin ,cos ,11u u x x u u -==++ ⽽2arctan ,x u =从⽽2.1dx du u =+ 于是()22222221sin sin 1cos 2211121111112212ln 2211tan tan ln tan .42222 xdx x x u du u u u u u u u du u u u u C x x xC ++??+ ?++??=??-+ ?++??=++=+++ ?=+++例5求. 解u =,于是21,2,x u dx udu =+=从⽽所求积分为()222222111212arctan 12.u u dx udu dux u u du u u C u C =?=++?=-=-++??=+ 例6求u =,于是322,3,x u dx u du =-=从⽽所求积分为223113113ln 13ln 1.2u duu u duu u u u C C =+?=-+ +=-+++=+例7 求解设6x t =,于是56,dx t dt =从⽽所求积分为()()52223266111616arctan 16arctan .t t dt dt t t tdt t t C t C ==++?=-=-+ +=+例8求解t =,于是()2222112,,,11x tdtt x dx x t t +===---从⽽所求积分为 ()()()22222222*********ln 1122ln 1ln 12ln 1ln .t t t t dt dtt t t dt t Ct t t t t C x C -=-?=----?=-+=--+ -+=-++--+=-++⼆、定积分（1）定积分概念，微积分基本定理，定积分得基本性质（1）定积分的概念1。
微积分复习题(1)(1)
《微积分》期末考试复习题第一章 函数与极限2. 求下列函数的定义域211(1)arctan ;(2);lg(1)(3); (4)arccos(2sin ).1y y x x xy y x x ==-==-6. 求下列极限：24213423(2)lim ;31(4)lim ;31(1)(2)(3)(6)lim ;5x x n x xx x x xx x n n n n →→∞→∞+-+--++++ 7若211lim 221x x ax b x →∞⎛⎫+=-- ⎪+⎝⎭，求a 和b . 9. 通过恒等变形求下列极限：2243222231016811(2)lim ;(4)lim ;15422 (5)lim log (1)113 (12)lim ;(13)lim ; (11)lim ; (1)11(1n n x x x a x x x x x x x xx x x x x x x →∞→→+∞→→→→-+⎛⎫+++ ⎪-+⎝⎭+-+⎛⎫- ⎪---⎝⎭3sin 0001sin 4)lim ; (15)lim(12); (16)lim ln .x xx x x a x x x x→→→-+11. 利用重要极限1lim(1)e uu u →+=，求下列极限：2221232cot 013(1)lim ;(2)lim ;12(3)lim(13tan );(4)lim(cos 2);xx x x xx x x x x x x x +→∞→∞→→+⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭+12. 利用取对数的方法求下列幂指函数的极限：()1201(1)lim ;(4)lim .1e xx xx x x x →→∞⎛⎫++ ⎪⎝⎭14. 利用0sin lim1x xx→=或等价无穷小量求下列极限：000sin 1cos 2(1)lim;(3)lim ;sin sin arctan 3(5)lim ;(6)lim 2sin ;2x x n n x n mx xnx x xx x x →→→→∞-16、若0→x 时,1)1(412--ax 与x x sin 是等价无穷小,求a 的值。
浙江大学微积分复习资料
I = lim (x2 + 2x + sin x) - (x + 2)2 = lim
-2x + sin x + 4
x®+¥ x2 + 2x + sin x + (x + 2) x®+¥ x2 + 2x + sin x + (x + 2)
= lim
-2 + x-1 sin x + 4x-1
= -1.
x®+¥ 1 + 2x-1 + x-2 sin x + (1 + 2x-1)
x
= 1.
x®0
x®0
x2
x®0 2x(ex - x) x®0 2x(ex - x) 2
1
1
因此，lim (ex - x) x2 = e2 .
x®0
6、 求：lim sin x - tan x . x®0 tan x(ex - 1) ln(1 - x)
I
=
lim
x®0
tan
x(cos -x3
x
- 1)
若为高阶无穷小量，可考虑用 Taylor 展开，不过在应用Taylor 展开时，要求 对有关展开式比较熟悉；否则还是“慎用”.
常见的等价无穷小量：
· 当x ® 0 时，常见的等价无穷小量： (1)sin x ~ x ； (2) tan x ~ x ； (3)ln(1+ x) ~ x ； (4) ex -1 ~ x ； (5) arctan x ~ x ；(6) arcsin x ~ x ； (7) 1 - cos x ~ x2 ；(8) (1 + x)a -1 ~ a x.
大学微积分总复习提纲
2
微积分（一） calculus
第二章 极限与连续
极限的描述性定义与左右极限
极限四则运算
未定式求极限(因式分解/有理化/同除最高次项)
求极限
夹逼定理 两个重要极限
无穷小量X有界函数(注意无穷小量性质)
等价代换(加减不能代换，乘除可以代换)
洛必达法则(注意运用条件，与上述方法结合)
必考：先分清极限类型，选择相应方法
微积分（一） calculus
第一章 函数
初等函数 分段函数
定义域、值域 奇偶性 周期性 有界性 反函数
选择题或填空题：与换元法结合考察上述知识点
1
微积分（一） calculus
第一章 函数
经济学函数
需求与供给函数 成本函数 收益函数 利润函数 库存函数
边际与弹性 最优化问题
应用题必考：与求导、求极值、最值知识点结合
5
微积分（一） calculus
第三章 导数与微分
导数的定义与左右导数 (求分段点导数，判断可导性与连续性，求极限)
必考：判断分段函数分段点可导性，与连续性、可微 结合考察；与求极限及无穷小量基本性质结合考察。
6
微积分（一） calculus
第三章 导数与微分
基本公式
求导数
四则运算 链式法则 反函数求导
9
微积分（一） calculus
第五章 多元函数微分学
ห้องสมุดไป่ตู้
求极限
极限定义与不同方向的极限 极限四则运算 未定式求极限(因式分解/有理化) 夹逼定理 无穷小量X有界函数(注意无穷小量性质) 等价代换(加减不能代换，乘除可以代换) 换元法后，使用洛必达法则
必考：先分清极限类型，选择相应方法
微积分复习参考资料(辽大版)
《微积分》复习参考资料第一章 函数一、据定义用代入法求函数值：典型例题：设函数f(x-1)=x 2,则f(x+1)=（x+2）2 ； 二、求函数的定义域：（答案只要求写成不等式的形式，可不用区间表示）对于用数学式子来表示的函数，它的定义域就是使这个式子有意义的自变量x 的取值范围（集合） 主要根据：①分式函数：分母≠0②偶次根式函数：被开方式≥0③对数函数式：真数式＞0④反正（余）弦函数式： 自变量 ≤1在上述的函数解析式中，上述情况有几种就列出几个不等式组成不等式组解之。
例1：求y=x x 212-+的定义域。
（答案：212<≤-x ） 三、判断函数的奇偶性：奇函数：f(-x)=-f(x),偶函授：f(-x)=f(x); 四、反函数 五、初等函授1.基本初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数。
2.复合函数3.初等函数：由基本初等函数和常数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数，称为初等函数。
注：分段函数一般不是初等函数。
特例：,0,0x x y x x ≥⎧==⎨-<⎩为初等函数。
例2：设)(x f 是偶函数，)(x g 是奇函数，则函数)]([x g f 是（ A ）.A. 偶函数B. 奇函数C. 非奇非偶函数D.以上均不对.例3：设)(x f 的定义域为)2,1(, 则)(lg x f 的定义域为__)100,10(_____.A. )100,10(B. )2,1(C. )2lg ,0(D. ]2lg ,0[第二章 极限与连续1、极限定义：n lim n a a →∞=⇔对任给0ε>，存在,N 当n N >时，有||n a a ε-<.（等价定义）2、无穷小的定义与性质：1）若函数f(x)当x x 0→(或∞→x )时的极限为零,则称f(x)当x x 0→(或∞→x )时为无穷小量。
注：（1）无穷小量是个变量而不是个很小的数. （2）零是常数中唯一的无穷小量。
微积分复习资料_微积分公式运算法则
《 微积分》综合复习资料一、填空题1、设1ln ,0,()1,0x x f x x x+>⎧⎪=⎨<⎪⎩，则)(x f 的定义域 ,1()f e = .2、曲线2xy x e =+在点（0，1）处的切线方程是 .210,2Q C Q Q =+=3、设产量为时的成本为则产量时的平均成本 边际成本为4、设21,11,()1,13,x x f x x x ⎧+-≤≤=⎨-<≤⎩，则(1)f = .(0)f = (2)f =5、曲线ln y x x =在点（1，0）处的法线方程是: .6、3(),()f x dx x C f x dx '=+=⎰⎰则7、设111)(++-=x x x f ，则)(x f 的定义域 ,(1)f x += . 8、曲线1xy x=+的水平渐近线为 ，铅直渐近线为 。
9、设需求函数为505,Q P =-2P =时的边际收益为 10、设21()1f x x=++，则)(x f 的定义域 ,2()f x π+= . 11、曲线41y x =+在点(1,2)处的切线方程是 。
12、设需求函数时的边际收益为则销售量2,210=-=Q QP . 二、选择题1、 下列函数中的奇函数是（ ）(a)2()sin ,[0,1]f x x x x =+∈ (b)),(,)(2+∞-∞∈=x x x f (c))1,1(,cos )(-∈=x x x x f (d) 2()tan(1),(,)f x x x =+∈-∞+∞ 2、下列级数中绝对收敛的是（ ）(a)∑∞=121n n (b) ∑∞=-1)1(n nn (c)14()n n ∞=π∑ (d) 11n n n ∞=+∑ 3、下列算式中不正确的是（ ）(a)(sin )sin cos x x x x x '=+ (b)22()x x e e '=(c)2()2d x xdx +π= (d)1ln(1)1d x dx x+=+ 4、下列函数中函数是非奇非偶的函数是（ ）(a)2()sin ,[1,1]f x x x x =+∈- (b)),(,)(2+∞-∞∈=x x x f (c))1,1(,cos )(-∈=x x x x f (d) 24()log (1),(,)f x x x =+∈-∞+∞5、若130(4)0x k dx -=⎰，则k=（ ）(a) -1 (b) 1 (c) 0 (d) 26、下列算式中不正确的是（ ）(a)2(ln )2ln x x x x x '=+ (b)(sin 2)2cos 2x x '= (c)2()d x xdx +π= (d)222ln(1)1d xx dx x +=+ 7、下列函数对中是偶函数的是（ ）(a)53)(x x f = (b)x x x x x f cos 1)(224++=(c)x x x f sin )(+= (d)2)(x x x f +=8、2211(),121x x f x x kx x ⎧-≤==⎨->⎩在点连续，则k=( ) (a) 4 (b) 3 (c) 2 (d) 19、下列极限中能用罗必达法则计算得出结果的是（ ） (a)21lim1++→x x x (b) )1sin(1lim 1--→x x x(c) xx xx x sin sin lim +-∞→ (d) x x x x x e e e e --+∞→+-lim10、下列函数中既是偶函数又是有界函数的是（ ） (a)]1,0[,)(2∈=x x x f (b)),(,)(2+∞-∞∈=x x x f (c))1,1(,cos )(-∈=x x x x f (d) ),(,11)(2+∞-∞∈+=x xx f 11、31(),11x kx f x x x kx -≤⎧==⎨+>⎩在处连续，则k=( ) (a) 0 (b) 1 (c) 2 (d) 3 12、下列算式中不正确的是（ ）(a)x xt e dt e dx d =⎰0 (b))()(x f dx x f dxd =⎰(c)C x dx x dx d +=⎰22sin )(sin (d)1cos cos xdtdt x dx =⎰三、判断题1、已知2(1)1,f x x -=+则2()22f x x x =++（ ）2、如果极限lim ()x af x →存在，则函数()f x 在点a 连续 ( )3、已知边际收益函数为()2R p p '=，则总收益函数为2()R p p =( )4、函数()sin(21)f x x =+是周期函数，也是有界函数( )5、如果函数()f x 在点a 的导数存在，则()f x 在点a 连续。
微积分-期末复习总结整理-第一章.docx
第一章第一节常用符号介绍一，集合符号1.集合与元素之间符号“W”表示“属于”,符号F “表示”不属于“。
2.集合之间符号” W “表示”包含于“；符号”=“表示”等于“；符号” 0“表示”空集”；符号“U”表示“并”；符号“CI”表示“和”；符号表示“差”或“余”。
二，数集符号自然数集：表示为“N”；整数集：表示为“Z“；有理数集：表示为” Q”。
显然有NCZCQCR区间设a, b WR, a<bo常用的有限区间有开区间 (a, b) ={x I a<x<b }；闭区间【a, b] ={x I aWxWb }；半开半闭区间：(a,, b] ={x I aVxWb }或【a, b) =(x I aWxVb }o常用的无限区间有(a, +oo) ={x I x>a} ； [a, +oo) ={x I xNa}(-oo, a) ={x I xVa} ； (-oo, a] ={x I xWa}邻域设aWR,对任意5>0,记数集U (a, 8) =(x I x-a| <8}= (a-5, a+5),称作以a为中心，以6为半径的邻域。
当不需要证明邻域半径5时，常将它表示为U(a),简称为a的邻域记数集U (a, 8) = (x I 0< x-a | <8}= (a—& a+6) Ta}, 即在a的5的邻域u(a, 5)中去掉a,称为a的6去心邻域。
第二节函数的概念一，函数的定义给定一个数集A,假设其中的元素为xo现对A中的元素x施加对应法则f,记作f (x),得到另一数集B。
假设B中的元素为y。
则y与x之间的等量关系可以用y=f (x)表示。
我们把这个关系式就叫函数关系式，简称函数。
函数概念含有三个要素：定义域A、值域C和对应法则f。
其中核心是对应法则f,它是函数关系的本质特征。
符号函数(1, x>0Y=sgnx< 0, x = 0(-1/ x <ro绝对值函数I . (—X, x<0 Y=|x|=I x, x > 0迪利克雷函数黎曼函数1 V一，X = 一Y 二q qto, x = 0, 1和3D内的无理数第三节数列的极限1.定义：设有数列｛%｝ , a是常数，若对任意的£>0 ,总存在自然数N ,对任意的自然数n>N ,有|a孔-a\ < £ ,则称数列｛%｝的极限是a , 或数列｛%｝收敛于a,表示为ZiTna” = a71T002.重点性质：唯一性，有界性，保序性3.数列收敛的判别方法：两边夹定理（夹逼定理），单调有界定理•夹逼定理:如果数列｛Xn｝,｛Yn｝及｛Zn｝满足下列条件：（1 ）当n>N0 时，其中NOeN* ,有YnWXnWZn ,（2 ）｛Yn｝、｛Zn｝有相同的极限a ,设-»<a<+oo单调性对任一数列｛Xj,如果从某一项Xk开始，满足Xk <X k+l <X k+2 < ......则称数列（从第k项开始）是单调递增的。
微积分练习1
C.非奇非偶函数
函数奇, 偶性定义 : 1.若对任意x, 恒有f ( x) = f ( x), 则称f ( x)为偶函数.
2.若对任意x, 恒有f ( x) = f ( x), 则称f ( x)为奇函数.
解: 设f ( x) = x sin x, 则 f ( x) = ( x) sin( x) = ( x)( sin x) = x sin x = f ( x)
说明 : 函数的间断点一般是使 分母为0的点.
解 : 令x + 1 = 0 x = 1
导数基本公式
(1) ( 2) (3) ( 4) (5) ( 6) (7 ) (8) (9 ) (10 ) (c )' = 0 (c为常数 ) (α为任意实数 ) ( a > 0, a ≠ 1) ( a > 0, a ≠ 1) ( x α ) ' = α xα 1 ( a x ) ' = a x ln a (e x ) ' = e x (log a x ) ' = 1 x ln a
2
ax + bx+ c < 0
2
(a, b, c均为常数 且a > 0) , x > x2或 x < x1 x <x<x
1
2
( x位于两根之外 )
( x位于两根之内)
堂上练习: 1 1 函数f ( x) = , 的定义域是 (2,3) U (3,+∞) . ln( x 2) 1 2, 函数f ( x) = + 5 x的定义域是 ( 1,0 ) U (0,5] . ln( x + 1)
x →0 x →0
.
B .2
C.1
D .0
微积分(上)复习资料_公式
1
0
0
-1
不存在
0
0
不存在
(1) (2)
(3)
(B )
定理 2 复合函数极限
设函数
是函数
，
的复合函数。
若
,
在 有定义且
，则
因为
，所以定理结论也也可写成
推论 3 若
存在，C 为常数，则
推论 4 若
存在，n 为正整数，则
2.3 常用极限
lim n a (a o) 1
n
lim n n 1
n
lim arctan x
sin
a
b
sin
a
b
6.万能公式
2 tan a
sin a
2
1 tan2 a
2
7.平方关系
1 tan2 a
cos a
2
1 tan2 a
2
2 tan a
tan a
2
1 tan2 a
2
sin2 x cos2 x 1
sec2 x ta n2 x 1
csc2 x cot2 x 1
8.倒数关系 tan xcot x 1 9.商数关系
cos A 1 cos A
2
2
cot A 1 cos A sin A 2 1 cos A 1 cos A
4.和差化积公式
sin a sin b 2sin a b cos a b
2
2
sin a sin b 2cos a b sin a b
2
2
cos a cos b 2cos a b cos a b
⑼ ax ax ln a ⑽ ex ex
⑾
微积分(上)复习
n
n−1
同步练习P6 同步练习 一、13，33，35 ， ， 二、6，9，16 ， ，
11/58
(6)幂指函数求导法 幂指函数求导法
y = [ f ( x )] g ( x )
①取自然对数化为隐函数再求导. 取自然对数化为隐函数再求导. 利用对数恒等式化为以 为底的复合函数 再求导. 为底的复合函数, ②利用对数恒等式化为以e为底的复合函数,再求导.
6/58
第一类间断点 (左右极限都存 在的点). 在的点). (3) 间 断 点
①可去间断点(左 可去间断点( 右极限相等) 右极限相等) ②跳跃间断点(左 跳跃间断点( 右极限不相等) 右极限不相等) 无穷间断点(左右 无穷间断点( 极限至少有一个为 ∞) 非无穷间断点 例如： 例如：振荡
同步练习P5 同步练习 二、15
推论: 推论
f ′( x ) ≡ 0 ⇒ f ( x ) = C f ′( x ) ≡ g ′( x ) ⇒ f ( x ) − g ( x ) = C
(3)柯西中值定理 柯西中值定理
f ′(ξ ) f (b) − f ( a ) (至少有一个 ξ ∈ (a , b)) 闭连开导 ⇒ = g′(ξ ) g(b) − g(a )
x → x0
( 3) lim f ( x ) = A ⇔ f ( x ) = A + α , lim α = 0
x → x0
x → x0
2.无穷小与无穷大的概念与性质 无穷小与无穷大的概念与性质 （1）无穷小 (lim α = 0) ）
有限个无穷小量的代数和仍是无穷小量。 有限个无穷小量的代数和仍是无穷小量。 有界量与无穷小量的积仍是无穷小。 有界量与无穷小量的积仍是无穷小。
微积分（ 微积分（上）
微积分(I)复习(不定积分与定积分)
7） b f ( x)dx
b
f ( x)dx
a
a
8） 估 值 定 理
若m f ( x) M ,则
b
m(b a) a f ( x)dx M (b a)
9） 中 值 定 理
若f ( x) C[a, b], 则 存 在 [a, b],
使 得
b
f ( x)dx
f ( )( b a).
a
10） 广 义 中 值 定 理
若f ( x) C[a, b], g( x) R[a, b]且 在[a, b]
上 不 变 号, 则 存 在 [a, b], 使 得
b
b
a f ( x)g( x)dx f ( )a g( x)dx .
(四)变上限定积分
x2 a2 dx.
x
解 令 x asec t, 则
原式
a tant asec t
asin t cos2 t
dt
a
sin 2 t cos2 t
dt
a
tan 2
tdt
a (sec 2 t 1)dt a sec2 tdt dt
a d tant dt a tant at C
限 值 为f ( x)在[a, b]上 的 定 积 分 ， 记 作
b
n
a
f ( x)dx
lim
0 k1
f (k )xk
此 时 称f ( x)在[a, b]上 可 积.
2.定积分的几何意义
b f ( x)dx表示f ( x)与x轴及直线x a, a
x b之间所围面积的代数和.
2019《微积分II》期末复习题一 - 参考答案
.
M
gradu
u i x
u y
j
u k z
u x
,
u y
,
u z
2 9
,
4 9
,
4 9
u
2x
x x2 y2 z2
u
2y
y x2 y2 z2
u
2z
z x2 y2 z2
gradu M
S
曲面方程, x用 x替换, 曲面边界方程不变化.
(1)被积函数f ( x, y, z)关于x是奇函数 (即f ( x, y, z) f ( x, y, z)),
则 f ( x, y, z)dS 0;
S
(2)被积函数f ( x, y, z)关于x是偶函数 (即f ( x, y, z) f ( x, y, z)),
x2 y2 1以及平面z 0围成.
法一: 积分区域为圆柱去掉圆锥的部分,
z
用先一后二法
V
:
0
z
x2 y2
Dxy : 0 x2 y2 1
I
2
d
1
rdr
r z r 2dz
0
0
0
2 1 r 3 1 z2 r dr 1 r 5dr
0 0
1 x cos 2x 1
cos 2xd 2x
0 2 0
1 1 sin 2x
2
0
1
11/24
三、设z
xn
f
微积分总复习题详细答案
微积分总复习题详细答案一、极限与连续性1. 极限的定义- 极限是描述函数在某点或无穷远处的行为。
对于函数f(x)，当x趋近于a时，如果存在一个实数L，使得对于任意给定的正数ε，总存在一个正数δ，使得当0 < |x - a| < δ时，都有|f(x) - L| < ε，则称L为函数f(x)在x趋近于a时的极限。
2. 极限的运算法则- 极限的加法法则：lim(x→a) (f(x) + g(x)) = lim(x→a) f(x) + lim(x→a) g(x)- 极限的乘法法则：lim(x→a) (f(x) * g(x)) = (lim(x→a)f(x)) * (lim(x→a) g(x))- 极限的除法法则：lim(x→a) (f(x) / g(x)) = (lim(x→a)f(x)) / (lim(x→a) g(x))，前提是lim(x→a) g(x) ≠ 0。
3. 连续性的定义- 函数f(x)在点a处连续，如果lim(x→a) f(x) = f(a)。
4. 间断点的类型- 可去间断点：函数在a点的左极限或右极限存在，但不等于f(a)。
- 跳跃间断点：函数在a点的左极限和右极限都存在，但两者不相等。
- 无穷间断点：函数在a点的左极限或右极限为无穷大。
二、导数与微分1. 导数的定义- 函数f(x)在点a处的导数定义为：f'(a) = lim(h→0) [(f(a+h)- f(a)) / h]。
2. 导数的几何意义- 导数表示函数在某点处的切线斜率。
3. 基本导数公式- (c)' = 0，其中c是常数。
- (x^n)' = nx^(n-1)，其中n是实数。
- (sin(x))' = cos(x)。
- (cos(x))' = -sin(x)。
- (e^x)' = e^x。
4. 高阶导数- 高阶导数是一阶导数的导数，记作f''(x)。
《微积分》总复习试题
（Ｂ） y yy y 0
2
（C） y y y y x 0
2 2
(D) y yy x 0
三、求解下列微分方程 1.求 ydx+(x2y-x)dy=0，满足 y 2.求 y y
x 1
1 的特解，
1 的通解 1 ex
2x
是方程 y 4 y 0 的
（A）通解； （B）特解； （C）解，但既非通解也非特解（D）以上都不对 ３．微分方程 2 y 5 y cos x 的特解应具有形式（其中，a,b,c 为常数）
2
（A） x ( a cos x b sin x ); （C）a+bcos2x;
lim u n 0 是级数 u n 发散的
n n 0
。
A、 必要条件； B、充分条件； C、充要条件； D、既非充分又非必要。
总复习 吖恰制作
广东工业大学华立学院（微积分课程）吖恰制作
3．在区域 D ： 0 y
2 2
R 2 x 2 上的 xy 2 d 值为 2 3
4
4
（D） e
2 y=y(x)是微分方程 y y e
0 的解，且 f ( x 0 ) 0 ，则 f(x)在
（A） x０的某个邻域内单调增加 （B）x０的某个邻域内单调减少 （C）x０处的取极小值 （D）x０处取极大值 3．一曲线通过点 m(4.3),且该曲线上任意一点 p 处的切线在 y 轴上的截距等于原点到 p 的距 离，则此曲线方程为 （A） x y 25 （B） y 2
x
2
dydz z 2 dxdy ，其中 为 z x 2 y 2 和 z 1 所围立体边界的外侧。
(完整版)微积分复习资料
基本知识复习一、 不定积分1． 不定积分概念，第一换元积分法（1） 原函数与不定积分概念设函数()F x 与()f x 在区间(),a b 内有定义，对任意的(),x a b ∈，有()()'F x f x =或()()dF x f x dx =，就称()F x 是()f x 在(),a b 内的一个原函数。
如果()F x 是函数()f x 的一个原函数,称()f x 的原函数全体为()f x 的不定积分,记作()(),f x dx F x C =+⎰（2） 不定积分得基本性质1．()()df x dx f x dx=⎰2。
()()'F x dx F x C =+⎰ 3。
()()()().Af x Bg x dx A f x dx B g x dx +=+⎡⎤⎣⎦⎰⎰⎰（3）基本不定积分公式表一()()122222(1)2)1,13ln C,x (4)arctan ,1(5)arcsin ,(6)cos sin ,(7)sin cos ,(8)sec tan ,cos (9)csc cot ,sin (10)sec t kdx kx C k x x dx C dx x dx x C x x C xdx x C xdx x C dx xdx x C x dxxdx x C x x μμμμ+=+=+≠-+=+=++=+=+=-+==+==-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰是常数，（1（）22an sec ,(11)csc cot csc ,(12),ln (13),(14),1(15),1(16).xxxdx x C x xdx x C a a dx C ashxdx chx C chxdx shx C dx thx C ch x dx cthx C sh x =+=-+=+=+=+=+=-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰（3） 第一换元积分法（凑微分法）设()f u 具有原函数, ()u x ϕ=可导,则有换元公式()()()()'.u x f x x dx f u du ϕϕϕ=⎡⎤=⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎰⎰2． 第二换元积分法，分部积分法（1） 第二换元积分法设()x t ψ=是单调的、可导的函数,并且()'0t ψ≠.又设()()'f t t ψψ⎡⎤⎣⎦具有原函数,则有换元公式()()()()1',t x f x dx f t t dt ψψψ-=⎡⎤=⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎰⎰其中()1x ψ-是()x t ψ=的反函数.（2） 分部积分法设函数()u u x =及()v v x =具有连续导数,那么,()''',uv u v uv =+移项,得 ()'''.uv uv u v =-对这个等式两边求不定积分,得''.uv dx uv u vdx =-⎰⎰这个公式称为分部积分公式.它也可以写成以下形式:.udv uv vdu =-⎰⎰（3） 基本积分公式表二(2222(17)tan ln cos )cot ln sin ,sec ln sec tan C,(20)csc ln csc cot ,1(21)arctan ,1(22)ln ,2(23)arcsin ,(24)ln ,(2xdx x C xdx x C xdx x xdx x x C dx x C a x a a dx x adx C x a a x a xC a x C =-+=+=++=-+=++-=+-+=+=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰，（18（19）5)ln .x C =+ （3）有理函数的积分，三角函数有理式的积分，某些简单无理式的积分一、有理函数的积分 两个多项式的商()()P x Q x 称为有理函数，又称为有理分式.我们总假定分子多项式()P x 与分母多项式()Q x 之间是没有公因式的.当分子多项式()P x 的次数小于分母多项式()Q x 的次数时,称这有理函数为真分式,否则称为假分式.利用多项式的除法,总可以将一个假分式化成一个多项式与一个真分式之和的形式,由于多项式的积分容易求,故我们将重点讨论真分式的积分方法.对于真分式()()n m P x Q x ,首先将()m Q x 在实数范围内进行因式分解,分解的结果不外乎两种类型:一种是()kx a -,另外一种是()2lx px q ++,其中,k l 是正整数且240p q -<;其次,根据因式分解的结果,将真分式拆成若干个分式之和.具体的做法是:若()m Q x 分解后含有因式()kx a -,则和式中对应地含有以下k 个分式之和:()()()122,k kA A A x a x a x a +++---L 其中:1,,k A A L 为待定常数.若()m Q x 分解后含有因式()2lx px q ++,则和式中对应地含有以下l 个分式之和:()()()11222222,l l l M x N M x N M x N x px q x px q x px q ++++++++++++L 其中:(),1,2,,i i M N i l =L 为待定常数.以上这些常数可通过待定系数法来确定.上述步骤称为把真分式化为部分分式之和,所以,有理函数的积分最终归结为部分分式的积分.二、可化为有理函数的积分举例 例4 求()1sin .sin 1cos xdx x x ++⎰解 由三角函数知道,sin x 与cos x 都可以用tan2x的有理式表示,即 222222222tan 2tan22sin 2sin cos ,22sec 1tan 221tan 1tan 22cos cos sin .22sec 1tan 22x x x x x x xx xx x x x x ===+--=-==+如果作变换()tan2xu x ππ=-<<,那么 22221sin ,cos ,11u u x x u u -==++ 而2arctan ,x u =从而22.1dx du u =+ 于是()22222221sin sin 1cos 2211121111112212ln 2211tan tan ln tan .42222xdx x x u du u u u u u u u du u u u u C x x xC ++⎛⎫+ ⎪++⎝⎭=⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭⎛⎫=++ ⎪⎝⎭⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭=+++⎰⎰⎰例5求. 解u =,于是21,2,x u dx udu =+=从而所求积分为()222222111212arctan 12.u u dx udu dux u u du u u C u C =⋅=++⎛⎫=-=-+ ⎪+⎝⎭=+⎰⎰⎰⎰ 例6求解u =,于是322,3,x u dx u du =-=从而所求积分为223113113ln 13ln 1.2u duu u duu u u u C C =+⎛⎫=-+ ⎪+⎝⎭⎛⎫=-+++=+ ⎪⎝⎭⎰⎰例7 求解 设6x t =,于是56,dx t dt =从而所求积分为()()52223266111616arctan 16arctan .t t dt dt t t tdt t t C t C ==++⎛⎫=-=-+ ⎪+⎝⎭=+⎰⎰⎰例8求.解t =,于是()2222112,,,11x tdtt x dx x t t +===---从而所求积分为 ()()()22222222*********ln 1122ln 1ln 12ln 1ln .t t t t dt dtt t t dt t Ct t t t t C x C -=-⋅=----⎛⎫=-+=--+ ⎪-+⎝⎭=-++--+⎫=-++⎪⎪⎭⎰⎰⎰二、 定积分（1） 定积分概念，微积分基本定理，定积分得基本性质 （1） 定积分的概念1。
微积分公式大全以及经典试题含答案1
微积分公式sin (α±β)=sin α cos β ± cos α sin β cos (α±β)=cos α cos β sin α sin β 2 sin α cos β = sin (α+β) + sin (α-β) 2 cos α sin β = sin (α+β) - sin (α-β) 2 cos α cos β = cos (α-β) + cos (α+β) 2 sin α sin β = cos (α-β) - cos (α+β)sin α + sin β = 2 sin ½(α+β) cos ½(α-β) sin α - sin β = 2 cos ½(α+β) sin ½(α-β)cos α + cos β = 2 cos ½(α+β) cos ½(α-β) cos α - cos β = -2 sin ½(α+β) sin ½(α-β) tan (α±β)=βαβαtan tan tan tan ±, cot (α±β)=βαβαcot cot cot cot ±e x=1+x+!22x +!33x +…+!n x n + …sin x = x-!33x +!55x -!77x +…+)!12()1(12+-+n x n n + …cos x = 1-!22x +!44x -!66x +…+)!2()1(2n x n n -+ …ln (1+x) = x-22x +33x -44x +…+)!1()1(1+-+n x n n + …tan -1x = x-33x +55x -77x +…+)12()1(12+-+n x n n + …(1+x)r=1+r x+!2)1(-r r x 2+!3)2)(1(--r r r x 3+… -1<x<1 ∑=ni 11= n∑=ni i 1= ½n (n +1)∑=ni i 12=61n (n +1)(2n +1) ∑=ni i13= [½n (n +1)]2Γ(x) =⎰∞t x-1e -t d t = 2⎰∞t 2x-12t e -d t =⎰∞)1(ln tx-1 d t β(m , n ) =⎰10x m -1(1-x)n -1 d x =2⎰20sin π2m -1x cos 2n -1x d x=⎰∞+-+01)1(nm m x x d x 希臘字母 (Greek Alphabets)大寫 小寫讀音 大寫 小寫讀音 大寫 小寫 讀音Α α alpha Ι ι iota Ρ ρrho Β β beta Κ κ kappa Σ σ, ς sigmaΓ γ gamma Λ λ lambda Τ τtau Δ δ delta Μ μ mu Υ υ upsilonΕ ε epsilon Ν ν nu Φ φphi Ζ ζ zeta Ξ ξ xi Χ χkhi Η η eta Ο ο omicron Ψ ψpsi Θθ thetaΠπ piΩω omega倒數關係: sin θcsc θ=1; tan θcot θ=1; cos θsec θ=1商數關係: tan θ=θθcos sin ; cot θ= θθsin cos 平方關係: cos 2θ+ sin 2θ=1; tan 2θ+ 1= sec 2θ; 1+ cot 2θ= csc 2θ順位低順位高; ⎰ 順位高d 順位低 ;0*∞ =∞1 *∞ = ∞∞ = 0*01 = 00順位一: 對數; 反三角(反雙曲) 順位二: 多項函數; 冪函數1 000 000 000 000 000 000 000 000 10 yotta Y1 000 000 000 000 000 000 000 1021 zetta Z1 000 000 000 000 000 000 1018 exa E1 000 000 000 000 000 1015 peta P1 000 000 000 000 1012 tera T 兆1 000 000 000 109 giga G 十億1 000 000 106 mega M 百萬1 000 103 kilo K 千100 102 hecto H 百10 101 deca D 十0.1 10-1 deci d 分，十分之一0.01 10-2 centi c 厘（或寫作「厘」），百分之一0.001 10-3 milli m 毫，千分之一0.000 001 10-6 micro ? 微，百萬分之一0.000 000 001 10-9 nano n 奈，十億分之一0.000 000 000 001 10-12 pico p 皮，兆分之一0.000 000 000 000 001 10-15 femto f 飛（或作「費」），千兆分之一0.000 000 000 000 000 001 10-18 atto a 阿0.000 000 000 000 000 000 001 10-21 zepto z 0.000 000 000 000 000 000 000 001 10-24 yocto y综合练习题1（函数、极限与连续部分）1．填空题 （1）函数)2ln(1)(-=x x f 的定义域是 ． 答案：2>x 且3≠x .（2）函数24)2ln(1)(x x x f -++=的定义域是 ．答案：]2,1()1,2(-⋃--（3）函数74)2(2++=+x x x f ，则=)(x f ． 答案：3)(2+=x x f（4）若函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<+=0,0,13sin )(x k x xx x f 在0=x 处连续，则=k ．答案：1=k （5）函数x x x f 2)1(2-=-，则=)(x f ．答案：1)(2-=x x f（6）函数1322+--=x x x y 的间断点是 ．答案：1-=x（7）=∞→xx x 1sinlim ．答案：1 （8）若2sin 4sin lim0=→kxxx ，则=k ．答案：2=k2．单项选择题（1）设函数2e e xx y +=-，则该函数是（ ）．A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．既奇又偶函数 答案：B（2）下列函数中为奇函数是（ ）．A ．x x sinB ．2e e xx +- C ．)1ln(2x x ++ D ．2x x +答案：C（3）函数)5ln(4+++=x x xy 的定义域为（ ）．A ．5->xB ．4-≠xC ．5->x 且0≠xD ．5->x 且4-≠x答案：D（4）设1)1(2-=+x x f ，则=)(x f （ ） A ．)1(+x x B ．2xC ．)2(-x xD ．)1)(2(-+x x 答案：C（5）当=k （ ）时，函数⎩⎨⎧=≠+=0,0,2)(x k x e x f x 在0=x 处连续.A ．0B ．1C ．2D ．3 答案：D（6）当=k （ ）时，函数⎩⎨⎧=≠+=0,0,1)(2x k x x x f ，在0=x 处连续.A ．0B ．1C ．2D ．1- 答案：B（7）函数233)(2+--=x x x x f 的间断点是（ ） A ．2,1==x x B ．3=x C ．3,2,1===x x x D ．无间断点 答案：A 3．计算题（1）423lim 222-+-→x x x x ．解：4121lim )2)(2()1)(2(lim 423lim 22222=+-=+---=-+-→→→x x x x x x x x x x x x （2）329lim 223---→x x x x解：234613lim )1)(3()3)(3(lim 329lim 33223==++=+-+-=---→→→x x x x x x x x x x x x （3）4586lim 224+-+-→x x x x x解：3212lim )1)(4()2)(4(lim 4586lim 44224=--=----=+-+-→→→x x x x x x x x x x x x x综合练习题2（导数与微分部分）1．填空题（1）曲线1)(+=x x f 在)2,1(点的切斜率是 ． 答案：21（2）曲线x x f e )(=在)1,0(点的切线方程是 ． 答案：1+=x y（3）已知x x x f 3)(3+=，则)3(f '= ． 答案：3ln 33)(2x x x f +=')3(f '=27（)3ln 1+（4）已知x x f ln )(=，则)(x f ''= ． 答案：x x f 1)(='，)(x f ''=21x- （5）若x x x f -=e )(，则='')0(f．答案：x x x x f --+-=''e e 2)(='')0(f 2-2.单项选择题（1）若x x f x cos e )(-=，则)0(f '=（ ）． A. 2 B. 1 C. -1 D. -2 因)(cos e cos )e ()cos e ()('+'='='---x x x x f x x x)sin (cos e sin e cos e x x x x x x x +-=--=---所以)0(f '1)0sin 0(cos e 0-=+-=- 答案：C （2）设，则（ ）． A ．B ．C ．D ．答案：B（3）设)(x f y =是可微函数，则=)2(cos d x f （ ）． A ．x x f d )2(cos 2' B ．x x x f d22sin )2(cos ' C ．x x x f d 2sin )2(cos 2' D ．x x x f d22sin )2(cos '- 答案：D（4）若3sin )(a x x f +=，其中a 是常数，则='')(x f （ ）．A ．23cos a x +B ．a x 6sin +C ．x sin -D ．x cos 答案：C3．计算题（1）设xx y 12e =，求y '．解： )1(e e 22121xx x y xx-+=')12(e 1-=x x（2）设x x y 3cos 4sin +=，求y '.解：)sin (cos 34cos 42x x x y -+='x x x 2cos sin 34cos 4-=（3）设x y x 2e 1+=+，求y '. 解：2121(21exx y x -+='+（4）设x x x y cos ln +=，求y '.解：)sin (cos 12321x x x y -+=' x x tan 2321-= 综合练习题3（导数应用部分）1．填空题 （1）函数的单调增加区间是 ．答案：),1(+∞（2）函数1)(2+=ax x f 在区间),0(∞+内单调增加，则a 应满足 ． 答案：0>a2．单项选择题（1）函数2)1(+=x y 在区间)2,2(-是（ ） A ．单调增加 B ．单调减少 C ．先增后减 D ．先减后增 答案：D（2）满足方程0)(='x f 的点一定是函数)(x f y =的（ ）. A ．极值点 B ．最值点 C ．驻点 D ． 间断点 答案：C（3）下列结论中（ ）不正确． A ．)(x f 在0x x =处连续，则一定在0x 处可微. B ．)(x f 在0x x =处不连续，则一定在0x 处不可导.C ．可导函数的极值点一定发生在其驻点上.D ．函数的极值点一定发生在不可导点上. 答案： B（4）下列函数在指定区间上单调增加的是（ ）．A ．x sinB ．x eC ．2xD ．x -3 答案：B3．应用题（以几何应用为主）（1）欲做一个底为正方形，容积为108m 3的长方体开口容器，怎样做法用料最省？解：设底边的边长为x m ，高为h m ，容器的表面积为y m 2。
《微积分》复习大纲1
《微积分》复习大纲第二章、极限与连续第一节、数列的极限教学目的和要求：1、通过割圆术和截杖问题的计算实例引入数列极限的概念，从中领会极限的基本思想。
2、使学生了解的极限定义和性质，并通过例题学会如何处理和解决相应的数学问题。
重点：数列极限的概念教学过程：一、问题的提出1、刘徽的割圆术2、截杖问题二、数列极限的定义注：1、数列是否有极限，与其前面的有限项无关•而与从某项以后的变化情况有关，因此改变一个数列的有限项的值或去掉或添加有限项，均不改变{ X n} 的收敛与发散性；2、在证明数列有极限时，不一定要找到最小的正整数N,只要证明其存在即可.显然，如果证明了存在符合要求的正整数N,那么这种就有无穷多个.3、数列极限的定义未给出求极限的方法.第二节、函数的极限教学目的和要求：1、理解函数极限的概念，了解；-X ,；定义。
2、使学生了解的函数极限性质重点：函数极限的概念教学过程：一、函数极限的定义1、自变量趋于无穷大时函数的极限注：讨论当自变量X的绝对值|X无限增大（X r ,X r 一，X））时，函数f （X）无限趋近于一个常数A的情形.2、自变量趋于有限值时函数的极限注：研究自变量x无限趋近于一个常数x o,(x— x0,x_. x0,x_. \7),函数f (x) 无限趋近于一个常数A的情形.三、例题分析例1证明lim叱=0.x注：1本题考察用定义验证函数极限的一般过程2、若|im f x =c，则直线y = c是函数y= f x的图形的水平渐近线。
例2:证明lim c =c ( c为常数).X—注：常数在任一点的极限是常数。
例3:证明lim x = x0.X—sxo例4:证明lim匸1 =2.一x—1注：函数在某一点是否有极限，与该点是否有定义无关。
\+1, x c0例5:设f (x)=彳0, x =0证验当X T0时，f (x )的极限不存在.x2 -1, x 0注：函数f X当x > X。
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总复习（一）
一、 知识间的关系：
研究对象：函数 初等函数 研究方法：极限 数列的极限
函数的极限
x (微 y x 积 连续 一元函数连续分 多元函数连续 导数
一元函数 ()dx x f dy '=
微分
微分学 偏导数
研究内容 多元函数 dy y z dx x z dz ∂∂+∂∂=
全微分
积分学 不定积分
牛顿-莱不尼兹
定积分曲线积分
曲面积分
二．几个概念的比较
1．不定积分与定积分的比较
区别：
不定积分：全体原函数的集合
定积分：常数，曲边梯形面积的代数和
联系：
2．定积分与二重积分的比较
①定积分：曲边梯形的面积
②二重积分：曲顶柱体的体积
共同点：
它们都是一个常数，只与被积函数，积分区间（区域）有关，与积分变量的选取无关。
联系：二重积分转化成二次积分求解。
各种关系图：
4．二重积分中直角坐标系与极坐标系的比较注：直角坐标与极坐标的选取规律：
1． 由积分区域D 的形状：成圈的
圆形、圆环、扇形、成近似圆形，近似环形，近似扇形。
2．由被积函数的形式：被积函数中含有
x y y x ,2
2+，即)(22y x f +,)(x y f 5．微分方程中，可分离变量的微分方程，一阶微分方程，二阶微分方程之间的关系。
（1）可分离变量的一阶微分方程
i ）()()
y g dx x f =ii ）齐次微分方程
（2）一阶线性微分方程
形如
()()x q y x p y =+'
①()0=+'y x p y 一阶线性齐次微分方程（分离变量求解）
②
()()x q y x p y =+'一阶线性非齐次微分方程（常数变易法）
（3）二阶线性微分方程
()
x f y ='' 两次积分
②
③()y y f y '='',
作变量代换 ()
dy
dp p y y p y ⋅=''=' 计算思路连接
对称性，几何意义 转化()()()()b F a F x F dx x f b a b a -==⎰ 函数，区间（区域对称） 不定积分
1
． 定积分
（直接利用(
)()()()b F a F x F dx x f b a b a -==⎰的条件：一般为闭区间上的连续函数。
注意区别有瑕玷的广义积分）
①换元法：真的换元时，一定对应换上、下限。
②对称区间上奇、偶函数的利用
③区间的可加性
④可变上限的定积分的导数
可变上限函数本身在闭区间上的性质： 连续，有界，可积，可导。
i ）利用下述公式求导数
()()[]()()[]()x u x u f x v x v f dt t f dx d x v x u '-'=⎰)()
(ii ）利用上述公式求极限
iii ）利用上述公式求某些可变上限函数的极值，最值。
2． 广义积分
①注意找出瑕玷：被积函数中分母=0且不能约分
的点。
注意瑕玷的处理。
②收敛性的判断：只有两个都收敛，广义积分才收敛。
③综合题会涉及含有参数的广义积分，收敛性讨论时，要对参数讨论。
3．二重积分：一条线原则（上下、左右、里外
即从小到大）
特点：
1）最外层上下限：常数
2）里面一层上下限：可以有函数，是关于外层积分变量的函数；
3）两层积分限都是常数的充要条件：
直角坐标对应区域为水平放置的矩形；
极坐标中对应区域为以极点为圆心的圆；
①坐标系的选取：直角坐标，极坐标
②X—型，Y—型的选取
③由积分的难易，常用交换积分顺序的方法，完成二重积分的证明题。
a) 由已知写出区域的不等式组
b) 由不等式组画出区域的图形
c) 由区域的图形，换种投影方式，写出不等式组
d) 由新的不等式组写出二重积分，化简即可。
4． 偏导数，全微分的计算
①对哪一变量求偏导，哪一变量看作变量，其它的全部看成常数，用导数对应的求导法则。
②求一阶偏导时，
显函数时直接用上述方法
隐函数时用公式：z y x ,,均是独立的
③求二阶偏导时，
显函数时直接利用上述结果用同样方法继续求偏导。
隐函数时，不再利用公式，z y x ,,不再独立，而将z 看成y x ,的函数，用一元函数隐含数求导法。
四．证明主要题型
1． 证明关于偏导数的方程
2． 证明关于二重积分的方程（交换积分次序）
3． 利用定积分的中值定理，解决一些综合题。
五．应用题主要题型：
1. 求平面图形的面积及其绕某一轴旋转后旋转体的体积。
面积：可据图形，选择积分变量X —型，Y —型 ①利用定积分求解
②利用二重积分dxdy D
旋转体：绕哪一轴，哪一个为积分变量，不能人为选取。
2.求二元函数的极值，最值。
二元函数极值的判
定法。
3.利用二重积分求曲顶柱体的体积。
4.偏导数在经济学上的应用
5.全微分在近似计算中的应用。