微积分总复习(一)

总复习（一）

一、 知识间的关系：

研究对象：函数 初等函数 研究方法：极限 数列的极限

函数的极限

x (微 y x 积 连续 一元函数连续分 多元函数连续 导数

一元函数 ()dx x f dy '=

微分

微分学 偏导数

研究内容 多元函数 dy y z dx x z dz ∂∂+∂∂=

全微分

积分学 不定积分

牛顿-莱不尼兹

定积分曲线积分

曲面积分

二．几个概念的比较

1．不定积分与定积分的比较

区别：

不定积分：全体原函数的集合

定积分：常数，曲边梯形面积的代数和

联系：

2．定积分与二重积分的比较

①定积分：曲边梯形的面积

②二重积分：曲顶柱体的体积

共同点：

它们都是一个常数，只与被积函数，积分区间（区域）有关，与积分变量的选取无关。

联系：二重积分转化成二次积分求解。

各种关系图：

4．二重积分中直角坐标系与极坐标系的比较注：直角坐标与极坐标的选取规律：

1． 由积分区域D 的形状：成圈的

圆形、圆环、扇形、成近似圆形，近似环形，近似扇形。

2．由被积函数的形式：被积函数中含有

x y y x ,2

2+，即)(22y x f +,)(x y f 5．微分方程中，可分离变量的微分方程，一阶微分方程，二阶微分方程之间的关系。

（1）可分离变量的一阶微分方程

i ）()()

y g dx x f =ii ）齐次微分方程

（2）一阶线性微分方程

形如

()()x q y x p y =+'

①()0=+'y x p y 一阶线性齐次微分方程（分离变量求解）

②

()()x q y x p y =+'一阶线性非齐次微分方程（常数变易法）

（3）二阶线性微分方程

()

x f y ='' 两次积分

②

③()y y f y '='',

作变量代换 ()

dy

dp p y y p y ⋅=''=' 计算思路连接

对称性，几何意义 转化()()()()b F a F x F dx x f b a b a -==⎰ 函数，区间（区域对称） 不定积分

1

． 定积分

（直接利用(

)()()()b F a F x F dx x f b a b a -==⎰的条件：一般为闭区间上的连续函数。注意区别有瑕玷的广义积分）

①换元法：真的换元时，一定对应换上、下限。 ②对称区间上奇、偶函数的利用

③区间的可加性

④可变上限的定积分的导数

可变上限函数本身在闭区间上的性质： 连续，有界，可积，可导。

i ）利用下述公式求导数

()()[]()()[]()x u x u f x v x v f dt t f dx d x v x u '-'=⎰)()

(ii ）利用上述公式求极限

iii ）利用上述公式求某些可变上限函数的极值，最值。

2． 广义积分

①注意找出瑕玷：被积函数中分母=0且不能约分

的点。注意瑕玷的处理。

②收敛性的判断：只有两个都收敛，广义积分才收敛。

③综合题会涉及含有参数的广义积分，收敛性讨论时，要对参数讨论。

3．二重积分：一条线原则（上下、左右、里外

即从小到大）

特点：

1）最外层上下限：常数

2）里面一层上下限：可以有函数，是关于外层积分变量的函数；

3）两层积分限都是常数的充要条件：

直角坐标对应区域为水平放置的矩形；

极坐标中对应区域为以极点为圆心的圆；

①坐标系的选取：直角坐标，极坐标

②X—型，Y—型的选取

③由积分的难易，常用交换积分顺序的方法，完成二重积分的证明题。

a) 由已知写出区域的不等式组

b) 由不等式组画出区域的图形

c) 由区域的图形，换种投影方式，写出不等式组

d) 由新的不等式组写出二重积分，化简即可。

4． 偏导数，全微分的计算

①对哪一变量求偏导，哪一变量看作变量，其它的全部看成常数，用导数对应的求导法则。 ②求一阶偏导时，

显函数时直接用上述方法

隐函数时用公式：z y x ,,均是独立的

③求二阶偏导时，

显函数时直接利用上述结果用同样方法继续求偏导。

隐函数时，不再利用公式，z y x ,,不再独立，而将z 看成y x ,的函数，用一元函数隐含数求导法。

四．证明主要题型

1． 证明关于偏导数的方程

2． 证明关于二重积分的方程（交换积分次序）

3． 利用定积分的中值定理，解决一些综合题。

五．应用题主要题型：

1. 求平面图形的面积及其绕某一轴旋转后旋转体的体积。

面积：可据图形，选择积分变量X —型，Y —型 ①利用定积分求解

②利用二重积分dxdy D

旋转体：绕哪一轴，哪一个为积分变量，不能人为选取。

2.求二元函数的极值，最值。二元函数极值的判

定法。

3.利用二重积分求曲顶柱体的体积。

4.偏导数在经济学上的应用

5.全微分在近似计算中的应用