鲁教版八年级上册特殊的四边形(正方形)培优

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鲁教版八年级数学第五章平行四边形单元综合培优练习题(附答案)

鲁教版八年级数学第五章平行四边形单元综合培优练习题（附答案）一．选择题（共5小题）1．如图是由10把相同的折扇组成的“蝶恋花”（图1）和梅花图案（图2）（图中的折扇无重叠），则梅花图案中的五角星的五个锐角均为（）A．36°B．42°C．45°D．48°2．如图，将一张面积为14的大三角形纸片沿着虚线剪成三张小三角形纸片与一张平行四边形纸片．根据图中标示的长度，求平行四边形纸片的面积为何？（）A．B．C．D．3．把六张大小形状完全相同的小平行四边形卡片（如图）放在一个底面为平行四边形的盒子底部，两种放置方法如图2、图3所示，其中3中的重叠部分是平行四边形EFGH，若EH＝2GH，且图2中阴影部分的周长比图3中阴影部分的周长大3．则AB﹣AD的值为（）A．0.5B．1C．1.5D．34．如图：在4×4的正方形（每个小正方形的边长均为1）网格中，以A为顶点，其他三个顶点都在格点（网格的交点）上，且面积为2的平行四边形共有（）个．A．10B．12C．14D．255．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F是对角线AC上的两点，给出下列五个条件：①∠ADB＝∠CBD②DE＝BF③∠EDF＝∠EBF④∠DEB＝∠DFB⑤AE＝CF．其中不能判定四边形DEBF是平行四边形的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二．填空题（共10小题）6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8，点M是AC边的中点，点N是BC边上的任意一点，若点C关于直线MN的对称点C′恰好落在△ABC的中位线上，则CN的长为．7．如图，△ABC中，∠A＝60°，AC＞AB＞2，点D，E分别在边AB，AC上，且BD＝CE ＝2，连接DE，点M是DE的中点，点N是BC的中点，线段MN的长为．8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，点M为边AC的中点，点N为边BC上任意一点，若点C关于直线MN的对称点C′恰好落在△ABC的中位线上，则CN的长为．9．如图，△ABC中，AB＝10，AC＝7，AD平分∠BAC，AE是BC边上的中线，过点C作CG⊥AD于F，交AB于G，连接EF，则线段EF的长为．10．如图，顺次连结△ABC三边的中点D，E，F得到的三角形面积为S1，顺次连结△CEF 三边的中点M，G，H得到的三角形面积为S2，顺次连结△CGH三边的中点得到的三角形面积为S3．设△ABC的面积为S，则S1+S2+S3＝．11．请你分别从下列多边形的同一顶点出发画对角线：想一想：依此规律可以把十边形分成个三角形．12．一个多边形的一个外角为α，且该多边形的内角和与α的和等于840°，则这个多边形的边数为，α＝度．13．如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC＝60°，BC＝2AB＝8，点C关于AD的对称点为E，连接BE交AD于点F，点G为CD的中点，连接EG，BG，则S△BEG＝．14．如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，对角线AC、BD相交于点E，E为BD中点，且AD＝BD，AB＝2，∠BAC＝30°，则DC＝．15．如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，对角线BD，AC相交于点O，有以下四个结论：①OA＝OC；②△ABC≌△BCD；③△ABO与△CDO面积相等；④此梯形的对称轴只有一条．请你把正确结论的序号填写在横线上：．三．解答题（共8小题）16．李明同学要证明命题“三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半”，他已经画出了图形，写出已知和求证，并请你帮助他写出证明过程．已知：如图，在△ABC中，D、E分别为边AB、AC的中点，求证：DE∥BC且DE＝BC证明：17．叙述三角形的中位线定理，并结合图形进行证明．定理：证明：18．如图，△ABC中，M为BC的中点，AD为∠BAC的平分线，BD⊥AD于D．（1）求证：DM＝（AC﹣AB）；（2）若AD＝6，BD＝8，DM＝2，求AC的长．19．如图，△ABC中，∠C＝90°，CA＝CB，E、F分别为CA、CB上一点，CE＝CF，M、N分别为AF、BE的中点．求证：AE＝MN．20．（1）从多边形的一个顶点出发，分别连接这个多边形的其余各顶点，则可以把这个多边形分成若干个三角形．若多边形是一个五边形，则可以分成个三角形；若多边形是一个六边形，则可以分割成个三角形，……；则n边形可以分割成个三角形．（2）如果从一个多边形的一个顶点出发，分别连接其余各顶点，将这个多边形分割成了2016个三角形，那么此多边形的边数为．（3）若在n边形的一条边上取一点P（不是顶点），再将点P与n边形的各顶点连接起来，则可将n边形分割成个三角形．21．如图，在六边形ABCDEF中，AF∥CD，AB∥DE，且∠A＝120°，∠B＝80°，求∠C 和∠D的度数．22．如图，在平行四边形ABCD中，CE⊥BC交AD于点E，连接BE．（1）如图1，点F是BE上一点，连接CF，若∠ECD＝30°，BC＝BF＝4，DC＝2，求EF的长；（2）如图2，若BC＝EC，延长BE交CD延长线于点G，以CG为斜边作等腰直角△CHG，连接HE，求证：HE＝HG．23．证明定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD．求证：四边形ABCD是平行四边形．证明：参考答案:一．选择题（共5小题）1．如图是由10把相同的折扇组成的“蝶恋花”（图1）和梅花图案（图2）（图中的折扇无重叠），则梅花图案中的五角星的五个锐角均为（）A．36°B．42°C．45°D．48°【解答】解：如图，梅花扇的内角的度数是：360°÷3＝120°，180°﹣120°＝60°，正五边形的每一个内角＝（5﹣2）•180°÷5＝108°，∴梅花图案中的五角星的五个锐角均为：108°﹣60°＝48°．故选：D．2．如图，将一张面积为14的大三角形纸片沿着虚线剪成三张小三角形纸片与一张平行四边形纸片．根据图中标示的长度，求平行四边形纸片的面积为何？（）A．B．C．D．【解答】解：如图，设△ADE，△BDF，△CEG，平行四边形DEGF的面积分别为S1，S2，S3和S，过点D作DH∥EC，则由DFGE为平行四边形，易得四边形DHCE也为平行四边形，从而△DFH≌△EGC，∴S△DFH＝S3，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，DE＝3，BC＝7，∴＝，∵S△ABC＝14，∴S1＝×14，∴S△BDH：S＝（×4）：3＝2：3，∴S△BDH＝S，∴+S＝14﹣×14，∴S＝．故选：D．3．把六张大小形状完全相同的小平行四边形卡片（如图）放在一个底面为平行四边形的盒子底部，两种放置方法如图2、图3所示，其中3中的重叠部分是平行四边形EFGH，若EH＝2GH，且图2中阴影部分的周长比图3中阴影部分的周长大3．则AB﹣AD的值为（）A．0.5B．1C．1.5D．3【解答】解：设AB＝a，BC＝b，图1中的平行四边形的边长是x、y（y＞x），GH＝c，则EH＝2c，∵图2中阴影部分的周长比图3中阴影部分的周长大3，∴（2b+2a）﹣[2（b﹣2c）+2（a﹣c）]＝3，解得：c＝0.5，即GH＝0.5，EH＝1，所以AB﹣AD＝（y﹣+3x）﹣（3x﹣1+y）＝0.5，故选：A．4．如图：在4×4的正方形（每个小正方形的边长均为1）网格中，以A为顶点，其他三个顶点都在格点（网格的交点）上，且面积为2的平行四边形共有（）个．A．10B．12C．14D．25【解答】解：一顶点在BC上，两顶点在MG上的有四边形CEOQ、CEIM、CEGI、AGIB、AOQB、AMIF、AFOQ、ABMI、AFGI共9个，一顶点在BC上，两顶点在PH上的有四边形AHVC、AVNC、APZE、AZNE、AEVN、ACZN 共6个，还有四边形AQNO、AIYL、ATXI、AHLI、APTI、AGHI、AMPI、AZRN、AVR′N、AOKN，共10个，9+6+10＝25个，故选：D．5．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F是对角线AC上的两点，给出下列五个条件：①∠ADB＝∠CBD②DE＝BF③∠EDF＝∠EBF④∠DEB＝∠DFB⑤AE＝CF．其中不能判定四边形DEBF是平行四边形的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：⑤可以判断四边形DEBF是平行四边形．理由：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OD＝OB，OA＝OC，∵AE＝CF，∴OE＝OF，∴四边形DEBF是平行四边形，故选：D．二．填空题（共10小题）6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8，点M是AC边的中点，点N是BC边上的任意一点，若点C关于直线MN的对称点C′恰好落在△ABC的中位线上，则CN的长为或．【解答】解：取BC、AB的中点H、G，连接MH、HG、MG．如图1中，当点C′落在MH上时，设NC＝NC′＝x，由题意可知：MC＝MC′＝4，MH＝5，HC′＝1，HN＝3﹣x，在Rt△HNC′中，∵HN2＝HC′2+NC′2，∴（3﹣x）2＝x2+12，解得x＝．如图2中，当点C′落在GH上时，设NC＝NC′＝x，在Rt△GMC′中，MG＝CH＝3，MC＝MC′＝4，∴GC′＝，∵∠NHC'＝∠C'GM＝90°，∠NC'M＝90°，∴∠HNC'+∠HC'N＝∠GC'M+∠HC'N＝90°，∴∠HNC'＝∠CGC'M，∴△HNC′∽△GC′M，∴＝，∴＝，∴x＝．如图3中，当点C′落在直线GM上时，易证四边形MCNC′是正方形，可得CN＝CM ＝2．∴C'M＞GM，此时点C′在中位线GM的延长线上，不符合题意．综上所述，满足条件的线段CN的长为或．故答案为：或．7．如图，△ABC中，∠A＝60°，AC＞AB＞2，点D，E分别在边AB，AC上，且BD＝CE ＝2，连接DE，点M是DE的中点，点N是BC的中点，线段MN的长为．【解答】解：如图，作CH∥AB，连接DN，延长DN交CH于H，连接EH，作CJ⊥EH 于J．∵BD∥CH，∴∠B＝∠NCH，∵BN＝CN，∠DNB＝∠KNC，∵△DNB≌△HNC（ASA），∴BD＝CH，DN＝NH，∵BD＝EC＝2，∴EC＝CH＝2，∵∠A+∠ACH＝180°，∠A＝60°，∴∠ECH＝120°，∵CJ⊥EH，∴EJ＝JH＝EC•cos30°＝，∴EH＝2EJ＝2，∵DM＝ME，DN＝NH，∴MN＝EH＝．故答案为．8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，点M为边AC的中点，点N为边BC上任意一点，若点C关于直线MN的对称点C′恰好落在△ABC的中位线上，则CN的长为或．【解答】解：取BC、AB的中点H、G，连接MH、HG、MG．如图1中，当点C′落在MH上时，设NC＝NC′＝x，由题意可知：MC＝MC′＝2，MH＝，HC′＝，HN＝﹣x，在Rt△HNC′中，∵HN2＝HC′2+NC′2，∴（﹣x）2＝x2+（）2，解得x＝．如图2中，当点C′落在GH上时，设NC＝NC′＝x，在Rt△GMC′中，MG＝CH＝，MC＝MC′＝2，∴GC′＝，∵△HNC′∽△GC′M，∴＝，∴＝，∴x＝．如图3中，当点C′落在直线GM上时，易证四边形MCNC′是正方形，可得CN＝CM ＝2．此时点C′在中位线GM的延长线上，不符合题意舍弃．综上所述，满足条件的线段CN的长为或．故答案为为或．9．如图，△ABC中，AB＝10，AC＝7，AD平分∠BAC，AE是BC边上的中线，过点C作CG⊥AD于F，交AB于G，连接EF，则线段EF的长为 1.5．【解答】解：∵AD平分∠BAC，∴∠GAF＝∠CAF，∵CG⊥AD，∴∠AFG＝∠AFC，在△AGF和△ACF中，，∴△AGF≌△ACF（ASA），∴AG＝AC＝7，GF＝CF，则BG＝AB﹣AG＝10﹣7＝3．又∵BE＝CE，∴EF是△BCG的中位线，∴EF＝BG＝1.5．故答案是：1.5．10．如图，顺次连结△ABC三边的中点D，E，F得到的三角形面积为S1，顺次连结△CEF 三边的中点M，G，H得到的三角形面积为S2，顺次连结△CGH三边的中点得到的三角形面积为S3．设△ABC的面积为S，则S1+S2+S3＝S．【解答】解：∵D，E，F是△ABC三边的中点，∴DF∥BC，DE∥AC，EF∥AB，∴△ADF∽△ABC，△BDE∽△BAC，△CEF∽△CBA且相似比为，∴＝＝＝，∵△ABC的面积为S，∴S△ADF＝S△BDE＝S△CEF＝S，∴S1＝S﹣S△ADF﹣S△BDE﹣S△CEF＝S﹣S﹣S﹣S＝S．同理可得，S2＝S△CEF＝×S＝S，S3＝S△CGH＝××S＝S，∴S1+S2+S3＝S+S+S＝S．故答案为：S．11．请你分别从下列多边形的同一顶点出发画对角线：想一想：依此规律可以把十边形分成8个三角形．【解答】解：∵四边形可分割成4﹣2＝2个三角形；五边形可分割成5﹣2＝3个三角形；六边形可分割成6﹣2＝4个三角形；七边形可分割成7﹣2＝5个三角形∴10边形可分割成10﹣2＝8个三角形．12．一个多边形的一个外角为α，且该多边形的内角和与α的和等于840°，则这个多边形的边数为六，α＝120度．【解答】解：∵840÷180＝4…120，∴这个多边形的边数为：4+2＝6，α＝120°，故答案为：六；120．13．如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC＝60°，BC＝2AB＝8，点C关于AD的对称点为E，连接BE交AD于点F，点G为CD的中点，连接EG，BG，则S△BEG＝14．【解答】解：如图，取BC中点H，连接AH，连接EC交AD于N，作EM⊥CD交CD 的延长线于M．∵BC＝2AB，BH＝CH，∠ABC＝60°，∴BA＝BH＝CH，∴△ABH是等边三角形，∴HA＝HB＝HC，∴∠BAC＝90°，∴∠ACB＝30°，∵EC⊥BC，∠BCD＝180°﹣∠ABC＝120°，∴∠ACE＝60°，∠ECM＝30°，∵BC＝2AB＝8，∴CD＝4，CN＝EN＝2，∴EC＝4，EM＝2，∴S△BEG＝S△BCE+S ECG﹣S△BCG＝×8×4+2×2﹣S平行四边形ABCD＝16+2﹣4＝14．故答案为4．14．如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，对角线AC、BD相交于点E，E为BD中点，且AD＝BD，AB＝2，∠BAC＝30°，则DC＝．【解答】解：如图，在EA上取一点K，使得EK＝CE，连接DK，BK，延长DK交AB 于H．∵DE＝EB，CE＝EK，∴四边形BCDK是平行四边形，∴CD＝BK，DK∥BC，∵BC⊥AB，∴DH⊥AB，∵DA＝DB，∴AH＝HB＝1，∴KA＝KB＝CD，在Rt△AKH中，AK＝AH÷cos30°＝，∴CD＝，故答案为．15．如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，对角线BD，AC相交于点O，有以下四个结论：①OA＝OC；②△ABC≌△BCD；③△ABO与△CDO面积相等；④此梯形的对称轴只有一条．请你把正确结论的序号填写在横线上：②③④．【解答】解：∵在梯形ABCD中，AB＝CD∴AC＝DB∵BC＝BC，AC＝DB，AB＝DC∴△ABC≌△BCD∴∠BAC＝∠CDB∵∠AOB＝∠DOC，AB＝DC∴△ABO≌△CDO∴OA＝OD≠OC∵在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD∴由等腰梯形的性质得出其对称轴只有一条所以①不正确，②③④正确．三．解答题（共8小题）16．李明同学要证明命题“三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半”，他已经画出了图形，写出已知和求证，并请你帮助他写出证明过程．已知：如图，在△ABC中，D、E分别为边AB、AC的中点，求证：DE∥BC且DE＝BC证明：【解答】证明：延长DE至F，使EF＝DE，连接CF，∵E是AC中点，∴AE＝CE，在△ADE和△CFE中，，∴△ADE≌△CFE，∴AD＝CF，∠ADE＝∠F∴BD∥CF，∵AD＝BD，∴BD＝CF∴四边形BCFD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）∴DF∥BC，DF＝BC，∴DE∥CB，DE＝BC．17．叙述三角形的中位线定理，并结合图形进行证明．定理：证明：【解答】解：定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半．已知：△ABC中，点E、F分别是AB、AC的中点，求证：EF＝AB，EF∥AB，证明：如图，延长EF到D，使FD＝EF，连接CD，∵点F是AC的中点，∴AF＝CF，在△AEF和△CDF中，，∴△AEF≌△CDF（SAS），∴AE＝CD，∠D＝∠AEF，∴AB∥CD，∵点E是AB的中点，∴AE＝BE，∴BE＝CD，∴BECD，∴四边形BCDE是平行四边形，∴DE∥BC，DE＝BC，∴DE∥BC且DE＝BC．18．如图，△ABC中，M为BC的中点，AD为∠BAC的平分线，BD⊥AD于D．（1）求证：DM＝（AC﹣AB）；（2）若AD＝6，BD＝8，DM＝2，求AC的长．【解答】解：（1）证明：延长BD交AC于E，∵AD⊥BD，∴∠ADB＝∠ADE＝90°，∵AD为∠BAC的平分线，∴∠BAD＝∠EAD，在△BAD和△EAD中，，∴△BAD≌△EAD（SAS），∴AB＝AE，BD＝DE，∵M为BC的中点，∴DM＝CE＝（AC﹣AB）；（2）∵在Rt△ADB中，∠ADB＝90°，AD＝6，BD＝8，∴由勾股定理得：AE＝AB＝＝10，∵DM＝2，DM＝CE，∴CE＝4，∴AC＝10+4＝14．19．如图，△ABC中，∠C＝90°，CA＝CB，E、F分别为CA、CB上一点，CE＝CF，M、N分别为AF、BE的中点．求证：AE＝MN．【解答】证明：如图，取AB的中点G，连接MG、NG，∵M、N分别为AF、BE的中点，∴NG＝AE，NG∥AE，MG＝BF，MG∥BF，∵CE＝CF，∠C＝90°，∴AE＝BF，∠MGN＝∠C＝90°，∴MG＝NG，∴△MNG是等腰直角三角形，∴NG＝MN，∴AE＝2NG＝NG＝×2MN＝MN，即AE＝MN．20．（1）从多边形的一个顶点出发，分别连接这个多边形的其余各顶点，则可以把这个多边形分成若干个三角形．若多边形是一个五边形，则可以分成3个三角形；若多边形是一个六边形，则可以分割成4个三角形，……；则n边形可以分割成（n﹣2）个三角形．（2）如果从一个多边形的一个顶点出发，分别连接其余各顶点，将这个多边形分割成了2016个三角形，那么此多边形的边数为2018．（3）若在n边形的一条边上取一点P（不是顶点），再将点P与n边形的各顶点连接起来，则可将n边形分割成（n﹣1）个三角形．【解答】解：（1）从一个五边形的同一顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点，可以把这个五边形分成5﹣2＝3个三角形．若是一个六边形，可以分割成6﹣2＝4个三角形，n边形可以分割成（n﹣2）个三角形．故答案为：3，4，（n﹣2）；（2）如果从一个多边形的一个顶点出发，分别连接其余各顶点，将这个多边形分割成了2016个三角形，那么此多边形的边数为：2016+2＝2018；故答案为：2018；（3）若点P取在多边形的一条边上（不是顶点），在将P与n边形各顶点连接起来，则可将多边形分割成（n﹣1）个三角形．故答案为：（n﹣1）．21．如图，在六边形ABCDEF中，AF∥CD，AB∥DE，且∠A＝120°，∠B＝80°，求∠C和∠D的度数．【解答】解：连接AC．∵AF∥CD，∴∠ACD＝180°﹣∠CAF，又∠ACB＝180°﹣∠B﹣∠BAC，∴∠BCD＝∠ACD+∠ACB＝180°﹣∠CAF+180°﹣∠B﹣∠BAC＝360°﹣120°﹣80°＝160°．连接BD．∵AB∥DE，∴∠BDE＝180°﹣∠ABD．又∵∠BDC＝180°﹣∠BCD﹣∠CBD，∴∠CDE＝∠BDC+∠BDE＝180°﹣∠ABD+180°﹣∠BCD﹣∠CBD＝360°﹣80°﹣160°＝120°．22．如图，在平行四边形ABCD中，CE⊥BC交AD于点E，连接BE．（1）如图1，点F是BE上一点，连接CF，若∠ECD＝30°，BC＝BF＝4，DC＝2，求EF的长；（2）如图2，若BC＝EC，延长BE交CD延长线于点G，以CG为斜边作等腰直角△CHG，连接HE，求证：HE＝HG．【解答】解：（1）∵平行四边形ABCD中，CE⊥BC，∴CE⊥AD，又∵∠ECD＝30°，∴Rt△CDE中，DE＝CD＝1，∴CE＝＝＝，又∵在Rt△BCE中，BC＝4，∴BE＝＝＝，∴EF＝BE﹣BF＝﹣4；（2）如图2所示，过C作CM⊥CG，交GH的延长线于M，连接EM，∵△CGH是等腰直角三角形，∠MCG＝90°，∴∠CGH＝∠CMG＝45°，∴CG＝CM，∵∠BCE＝90°，∠MCG＝90°，∴∠BCG＝∠ECM，又∵BC＝EC，∴△BCG≌△ECM（SAS），∴∠CEM＝∠CBG＝45°，又∵∠BEC＝45°，∴∠MEG＝90°，又∵CM＝CG，CH平分∠MCG，∴H是MG的中点，∴Rt△MEG中，EH＝MG＝HG．23．证明定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD．求证：四边形ABCD是平行四边形．证明：【解答】证明：连接AC，如图所示：∵AB∥CD，∴∠1＝∠2，在△ABC和△CDA中，，∴△ABC≌△CDA（SAS），∴∠3＝∠4，∴AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）．。

特殊四边形培优习题精选及答案

《特殊平行四边形习题精选》1、矩形ABCD 的对角线相交于O ，AE 平分∠BAD 交BC 于E ，∠CAE=15°，则∠BOE=________°2、菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于O ，△AOB 的周长为33 ，∠ABC=60º，则菱形ABCD 的面积为__________3、如图，矩形ABCD 长为a ，宽为b ，若s 1=s 2=21(s 3+s 4)，则s 4等于（）（A ）ab 83 （B ）ab 43 （C ）ab 32 （D ）ab214、菱形ABCD 中，∠B=∠EAF=60°，∠BAE=20°，则∠CEF=_________°5、点M 、N 分别在正方形ABCD 的边CD 、BC 上，，已知△MCN 的周长等于正方形ABCD周长的一半，求∠MAN 的度数。

6、如图，将矩形纸片ABCD 沿对角线AC 折叠，使点B 落在点E 处，求证：EF=DF.7、如图，在平行四边形ABCD 中，BC = 2AB ，E 为BC 的中点，求∠AED 的度数；D C BA MNA B CDOE A B C D E FS1S2S4S3A B C DEF FEDCB A8、如图，以正方形ABCD 的对角线AC 为一边，延长AB 到E ，使AE = AC ，以AE 为一边作菱形AEFC ，若菱形的面积为29，求正方形边长；9、如图AD 是⊿ABC 边BC 边上的高线，E 、F 、G 分别是AB 、BC 、AC 的中点，求证：四边形EDGF 是等腰梯形；10、如图1，正方形ABCD 边长为1，G 为CD 边上的一个动点（点G 与C 、D 不重合），以CG 为一边向正方形ABCD 外作正方形GCEF ，连接DE 交BG 的延长线于点H 。

（1）求证：①△BCG ≌△DCE ；②BH ⊥DE 。

（2）当点G 运动到什么位置时，BH 垂直平分DE ？请说明理由。

初二数学培优卷―特殊的平行四边形(知识点+例题+练习)

BCEDA F AB C DEF GHAB C DE初二数学培优卷―特殊的平行四边形一、知识点（1）矩形：有一个角是直角的平行四边形菱形：有一组邻边相等的平行四边形正方形：有一个角是直角并且有一组邻边相等的平行四边形（注：矩形、菱形、正方形的定义既是性质又是判定）（2）矩形的性质：矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等；矩形是轴对称图形菱形的性质：菱形的四条边都相等；菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角正方形的性质：正方形既是矩形又是菱形，它具有矩形和菱形的全部性质（3）矩形的判定：有三个角是直角的平行四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形菱形的判定：四边都相等的四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形正方形的判定：先判定是矩形，再判定是菱形；或者先判定是菱形，再判定是矩形（4）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；菱形的面积等于对角线乘积的半二、例题：例1、如图，矩形ABCD 中，E 为AD 上一点，EF ⊥CE 交AB 于F ，若DE=2，矩形的周长为16，且CE=EF ，求AE 的长。

例2、如图，E 是菱形ABCD 边AD 的中点，EF ⊥AC于H ，交CB 的延长线于F ，交AB 于G ，求证：AB 与EF 互相平分。

例3、如图，以正方形ABCD 的DC 边为一边向外作一个等边三角形，①求证：△ABE 是等腰三角形②求∠BAE 的度数三、训练题： 1、选择题（1）平行四边形的周长等于56cm ，两邻边长的比是3:1，那么这平行四边形的较长的边长为（）。

（A ）10.5cm （B ）21cm（C ）42cm （D ）14cm（2）平行四边形两邻角的平分线交成的角为（）。

（A ）锐角（B ）直角（C ）钝角（D ）不确定（3）能够判定一个四边形是平行四边形的条件是（）。

（A ）一组对角相等（B ）两条对角线互相垂直（C ）两条对角线互相平分（D ）一对邻角的和为180° （4）下面性质中菱形有而矩形没有的是（）（A ）邻角互补（B ）内角和为360（C ）对角线相等（D ）对角线互相垂直（5）在矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于O ，OF ⊥AB,若AC=2AD ，OF=9cm ，那么BD 的长为（）（A ）180cm （B ）9 3 cm（C ）36cm (D)18 3 cm（6）在菱形ABCD 中,∠D :∠A=5:1,若菱形的周长为80cm,则菱形的高DE=( ) (A)20cm (B)10cm (C)10 3 cm (D)20 3 cm（7）菱形ABCD 中，AC 、BD 交于O 点，AM ⊥AB 交BD 于M 点，且∠DAM=14∠BAD 则四个内角的度数分别为（）。

初二数学平行四边形和特殊四边形提高练习与常考题和培优题(含解析)之欧阳治创编

初二数学平行四边形和特殊四边形提高练习常考题和培优题时间2021.03.10 创作：欧阳治一．选择题（共5小题）1．如图，把大小相同的两个矩形拼成如下形状，则△FBD是（）A．等边三角形 B．等腰直角三角形C．一般三角形 D．等腰三角形2．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=，CE=3，H是AF的中点，那么CH 的长是（）A．3.5 B． C．D．23．如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=8，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE垂直AC交AD 于点E，则AE的长是（）A．3 B．5 C．2.4 D．2.54．如图，在△ABC中，CF⊥AB于F，BE⊥AC于E，M为BC的中点，EF=7，BC=10，则△EFM的周长是（）A．17 B．21 C．24 D．275．如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，P是AD 上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作AC 和BD的垂线，垂足为E、F，则PE+PF的值为（）A．10 B．4.8 C．6 D．5二．填空题（共4小题）6．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，若∠CAE=15°，则∠BOE的度数等于．7．如图，将平行四边形ABCD的边DC延长到E，使CE=CD，连接AE交BC于F，∠AFC=n∠D，当n=时，四边形ABEC是矩形．8．如图，在正五边形ABCDE中，连接AC、AD、CE，CE交AD于点F，连接BF，则线段AC、BF、CD之间的关系式是．9．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，四边形OABC是矩形，A（﹣10，0），C（0，3），点D是OA的中点，点P在BC边上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标是．三．解答题（共31小题）10．如图，正方形ABCD中，AE=AB，直线DE交BC于点F，求∠BEF的度数．11．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，对角线AC、BD交于点O，AC⊥BD，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点．（1）求证：四边形EFGH为正方形；（2）若AD=1，BC=3，求正方形EFGH的边长．12．如图，点E、F分别是正方形ABCD的边CD和AD的中点，BE和CF交于点P．求证：AP=AB．13．如图，点P为正方形ABCD对角线BD上一点，PE⊥BC于E，PF⊥DC于F．（1）求证：PA=EF；（2）若正方形ABCD的边长为a，求四边形PFCE 的周长．14．如图1，在正方形ABCD中，点E为BC上一点，连接DE，把△DEC沿DE折叠得到△DEF，延长EF交AB于G，连接DG．（1）求∠EDG的度数．（2）如图2，E为BC的中点，连接BF．①求证：BF∥DE；②若正方形边长为6，求线段AG的长．15．如图①，在正方形ABCD中，F是对角线AC上的一点，点E在BC的延长线上，且BF=EF．（1）求证：BF=DF；（2）求证：∠DFE=90°；（3）如果把正方形ABCD改为菱形，其他条件不变（如图②），当∠ABC=50°时，∠DFE=度．16．已知正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于O．①如图1，若E是AC上的点，过A 作AG⊥BE于G，AG、BD交于F，求证：OE=OF②如图2，若点E在AC的延长线上，AG⊥EB交EB 的延长线于G，AG延长DB延长线于点F，其它条件不变，OE=OF还成立吗？17．如图，点P是菱形ABCD中对角线AC上的一点，且PE=PB．（1）求证：PE=PD；（2）求证：∠PDC=∠PEB；（3）若∠BAD=80°，连接DE，试求∠PDE的度数，并说明理由．18．如图，正方形ABCD中，AB=1，点P是BC边上的任意一点（异于端点B、C），连接AP，过B、D 两点作BE⊥AP于点E，DF⊥AP于点F．（1）求证：EF=DF﹣BE；（2）若△ADF的周长为，求EF的长．19．如图，正方形ABCD的对角线AC、BD的交点为O，以O为端点引两条互相垂直的射线OM、ON，分别交边AB、BC于点E、F．（1）求证：0E=OF；（2）若正方形的边长为4，求EF的最小值．20．如图，在正方形ABCD中，点E是边AD上任意一点，BE的垂直平分线FG交对角AC于点F．求证：（1）BF=DF；（2）BF⊥FE．21．已知：如图所示，四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，M是AC上任一点，O是BD 的中点，连接MO，并延长MO到N，使NO=MO，连接BN与ND．（1）判断四边形BNDM的形状，并证明；（2）若M是AC的中点，则四边形BNDM的形状又如何？说明理由．22．如图，在△ABC中，O是边AC上的一动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．（1）求证：OE=OF；（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？23．（1）如图矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，过点D作DP∥OC，且DP=OC，连接CP，判断四边形CODP的形状并说明理由．（2）如果题目中的矩形变为菱形，结论应变为什么？说明理由．（3）如果题目中的矩形变为正方形，结论又应变为什么？说明理由．24．如图1，已知AB∥CD，AB=CD，∠A=∠D．（1）求证：四边形ABCD为矩形；（2）E是AB边的中点，F为AD边上一点，∠DFC=2∠BCE．①如图2，若F为AD中点，DF=1.6，求CF的长度：②如图2，若CE=4，CF=5，则AF+BC=，AF=．25．如图，直线a、b相交于点A，C、E分别是直线b、a上两点且BC⊥a，DE⊥b，点M、N是EC、DB 的中点．求证：MN⊥BD．26．如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=24cm，BC=26cm，动点P从点A出发沿AD方向向点D以1cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿着CB方向向点B以3cm/s的速度运动．点P、Q 分别从点A和点C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点随之停止运动．（1）经过多长时间，四边形PQCD是平行四边形？（2）经过多长时间，四边形PQBA是矩形？（3）经过多长时间，当PQ不平行于CD时，有PQ=CD．27．如图，E、F是正方形ABCD的边AD上的两个动点，满足AE=DF．连接CF交BD于G，连接BE 交AG于H．已知正方形ABCD的边长为4cm，解决下列问题：（1）求证：BE⊥AG；（2）求线段DH的长度的最小值．28．如图，点M是矩形ABCD的边AD的中点，点P 是BC边上一动点，PE⊥MC，PF⊥BM，垂足为E、F．（1）当矩形ABCD的长与宽满足什么条件时，四边形PEMF为矩形？猜想并证明你的结论．（2）在（1）中，当点P运动到什么位置时，矩形PEMF变为正方形，为什么？29．某校数学兴趣小组开展了一次课外活动，过程如下：如图①，正方形ABCD中，AB=4，将三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点与D点重合．三角板的一边交AB于点P，另一边交BC的延长线于点Q．（1）求证：AP=CQ；（2）如图②，小明在图1的基础上作∠PDQ的平分线DE交BC于点E，连接PE，他发现PE和QE存在一定的数量关系，请猜测他的结论并予以证明；（3）在（2）的条件下，若AP=1，求PE的长．30．如图，在菱形ABCD中，AB=4cm，∠ADC=120°，点E、F同时由A、C两点出发，分别沿AB、CB方向向点B匀速移动（到点B为止），点E的速度为1cm/s，点F的速度为2cm/s，经过t秒△DEF为等边三角形，求t的值．31．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D是AC的中点，作∠ADB的角平分线DE交AB于点E，（1）求证：DE∥BC；（2）若AE=3，AD=5，点P为BC上的一动点，当BP为何值时，△DEP为等腰三角形．请直接写出所有BP的值．32．已知：如图，BF、BE分别是∠ABC及其邻补角的角平分线，AE⊥BE，垂足为点E，AF⊥BF，垂足为点F．EF分别交边AB、AC于点M、N．求证：（1）四边形AFBE是矩形；（2）BC=2MN．33．如图，在边长为5的菱形ABCD中，对角线BD=8，点O是直线BD上的动点，OE⊥AB于E，OF⊥AD 于F．（1）对角线AC的长是，菱形ABCD的面积是；（2）如图1，当点O在对角线BD上运动时，OE+OF的值是否发生变化？请说明理由；（3）如图2，当点O在对角线BD的延长线上时，OE+OF的值是否发生变化？若不变请说明理由，若变化，请直接写出OE、OF之间的数量关系，不用明理由．34．如图，已知Rt△ABD≌Rt△FEC，且B、D、C、E在同一直线上，连接BF、AE．（1）求证：四边形ABFE是平行四边形．（2）若∠ABD=60°，AB=2cm，DC=4cm，将△ABD 沿着BE方向以1cm/s的速度运动，设△ABD运动的时间为t，在△ABD运动过程中，试解决以下问题：（1）当四边形ABEF是菱形时，求t的值；（2）是否存在四边形ABFE是矩形的情形？如果存在，求出t的值，如果不存在，请说明理由．35．已知，矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，AC 的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F，垂足为O．（1）如图1，连接AF、CE．求证：四边形AFCE为菱形．（2）如图1，求AF的长．（3）如图2，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周．即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止．在运动过程中，点P的速度为每秒1cm，设运动时间为t秒．①问在运动的过程中，以A、P、C、Q四点为顶点的四边形有可能是矩形吗？若有可能，请求出运动时间t和点Q的速度；若不可能，请说明理由．②若点Q的速度为每秒0.8cm，当A、P、C、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．36．如图1，E，F是正方形ABCD的边上两个动点，满足AE=DF，连接CF交BD于G，连接BE交AG 于点H（1）求证：AG⊥BE；（2）如图2，连DH，若正方形的边长为4，则线段DH长度的最小值是．37．如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠DAB=60°，点E时AD边的中点，点M时AB边上的一个动点（不与点A重合），延长ME交CD的延长线于点N，连接MD，AN．（1）求证：四边形AMDN是平行四边形．（2）填空：①当AM的值为时，四边形AMDN是矩形；②当AM的值为时，四边形AMDN是菱形．38．如图，已知正方形OABC的边长为4，顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，M是BC的中点，点P （0，m）是线段oc上的一动点9点P不与点O、C 重合0，直线PM交AB的延长线于点D．（1）求点D的坐标；（用含m的代数式表示）（2）若△APD是以AP边为一腰的等腰三角形，求m的值．39．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，点D为AC 的中点，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD 的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG=BD，连接BG、DF．（1）证明：四边形BDFG是菱形；（2）若AC=10，CF=6，求线段AG的长度．40．如图，在正方形ABCD中，点E在边AD上，点F在边BC的延长线上，连接EF与边CD相交于点G，连接BE与对角线AC相交于点H，AE=CF，BE=EG．（1）求证：EF∥AC；（2）求∠BEF大小；（3）若EB=4，则△BAE的面积为．初二数学平行四边形和特殊四边形提高练习常考题和培优题参考答案与试题解析一．选择题（共5小题）1．（2012春•炎陵县校级期中）如图，把大小相同的两个矩形拼成如下形状，则△FBD是（）A．等边三角形 B．等腰直角三角形C．一般三角形 D．等腰三角形【分析】根据正方形性质得出FG=BC，∠G=∠C=90°，GB=CD，根据SAS证△FGB≌△BCD，推出∠FBG=∠BDC，BF=BD，求出∠DBC+∠FBG=90°，求出∠FBD的度数即可．【解答】解：∵大小相同的两个矩形GFEB、ABCD，∴FG=BE=AD=BC，GB=EF=AB=CD，∠G=∠C=∠ABG=∠ABC=90°，∵在△FGB和△BCD中，∴△FGB≌△BCD，∴∠FBG=∠BDC，BF=BD，∵∠BDC+∠DBC=90°，∴∠DBC+∠FBG=90°，∴∠FBD=180°﹣90°=90°，即△FBD是等腰直角三角形，故选B．【点评】本题考查了等腰直角三角形，全等三角形的性质和判定，正方形性质的应用，关键是证出△FGB≌△BCD，主要考查学生运用性质进行推理的能力．2．（2015春•江阴市期中）如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=，CE=3，H是AF的中点，那么CH的长是（）A．3.5 B． C．D．2【分析】根据正方形的性质求出AB=BC=，CE=EF=3，∠E=90°，延长AD交EF于M，连接AC、CF，求出AM=4，FM=2，∠AMF=90°，根据正方形性质求出∠ACF=90°，根据直角三角形斜边上的中线性质求出CH=AF，根据勾股定理求出AF即可．【解答】解：∵正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=，CE=3，∴AB=BC=，CE=EF=3，∠E=90°，延长AD交EF于M，连接AC、CF，则AM=BC+CE=4，FM=EF﹣AB=2，∠AMF=90°，∵四边形ABCD和四边形GCEF是正方形，∴∠ACD=∠GCF=45°，∴∠ACF=90°，∵H为AF的中点，∴CH=AF，在Rt△AMF中，由勾股定理得：AF==2，∴CH=，故选：C．【点评】本题考查了勾股定理，正方形的性质，直角三角形斜边上的中线的应用，解此题的关键是能正确作出辅助线，并求出AF的长和得出CH=AF，有一定的难度．3．（2015春•泗洪县校级期中）如图，在矩形ABCD 中，AB=4，BC=8，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE垂直AC交AD于点E，则AE的长是（）A．3 B．5 C．2.4 D．2.5【分析】根据矩形的性质得出∠CDE=90°，AD=BC=8，AB=DC=4，AO=OC，根据线段垂直平分线性质得出AE=CE，在Rt△CDE中，由勾股定理得出CE2=CD2+DE2，代入求出即可．【解答】解：∵在矩形ABCD中，AB=4，BC=8，∴∠CDE=90°，AD=BC=8，AB=DC=4，AO=OC，∵OE⊥AC，∴AE=CE，在Rt△CDE中，由勾股定理得：CE2=CD2+DE2，即AE2=42+（8﹣AE）2，解得：AE=5，故选B．【点评】本题考查了矩形的性质，勾股定理，线段垂直平分线性质的应用，解此题的关键是得出关于AE 的方程．4．（2015秋•无锡期中）如图，在△ABC中，CF⊥AB 于F，BE⊥AC于E，M为BC的中点，EF=7，BC=10，则△EFM的周长是（）A．17 B．21 C．24 D．27【分析】根据CF⊥AB于F，BE⊥AC于E，M为BC 的中点，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求出FM和ME的长，即可求解．【解答】解：∵CF⊥AB，M为BC的中点，∴MF是Rt△BFC斜边上的中线，∴FM=BC=×10=5，同理可得，ME=BC=×10=5，又∵EF=7，∴△EFM的周长=EF+ME+FM=7+5+5=17．故选A．【点评】此题主要考查学生对直角三角形斜边上的中线这个知识点的理解和掌握，解答此题的关键是利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求出FM 和ME的长．5．（2015春•乌兰察布校级期中）如图，在矩形ABCD 中，AB=6，AD=8，P是AD上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作AC和BD的垂线，垂足为E、F，则PE+PF的值为（）A．10 B．4.8 C．6 D．5【分析】连接OP，利用勾股定理列式求出BD，再根据矩形的对角线相等且互相平分求出OA、OD，然后根据S△AOD=S△AOP+S△DOP列方程求解即可．【解答】解：如图，连接OP，∵AB=6，AD=8，∴BD===10，∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OD=×10=5，∵S△AOD=S△AOP+S△DOP，∴××6×8=×5•PE+×5•PF，解得PE+PF=4.8．故选B．【点评】本题考查了矩形的性质，三角形的面积，熟记性质并利用三角形的面积列出方程是解题的关键．二．填空题（共4小题）6．（2016春•东平县期中）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC 于点E，若∠CAE=15°，则∠BOE的度数等于75°．【分析】由矩形ABCD，得到OA=OB，根据AE平分∠BAD，得到等边三角形OAB，推出AB=OB，求出∠OAB、∠OBC的度数，根据平行线的性质和等角对等边得到OB=BE，根据三角形的内角和定理即可求出答案．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AC=BD，OA=OC，OB=OD，∠BAD=90°，∴OA=OB，∠DAE=∠AEB，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠DAE=45°=∠AEB，∴AB=BE，∵∠CAE=15°，∴∠DAC=45°﹣15°=30°，∠BAC=60°，∴△BAO是等边三角形，∴AB=OB，∠ABO=60°，∴∠OBC=90°﹣60°=30°，∵AB=OB=BE，∴∠BOE=∠BEO=（180°﹣30°）=75°．故答案为75°．【点评】本题主要考查了三角形的内角和定理，矩形的性质，等边三角形的性质和判定，平行线的性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定等知识点，解此题的关键是求出∠OBC的度数和求OB=BE．7．（2014春•武昌区期中）如图，将平行四边形ABCD 的边DC延长到E，使CE=CD，连接AE交BC于F，∠AFC=n∠D，当n= 2 时，四边形ABEC是矩形．【分析】首先根据四边形ABCD是平行四边形，得到四边形ABEC是平行四边形，然后证得FC=FE，利用对角线互相相等的四边形是矩形判定四边形ABEC是矩形．【解答】解：当∠AFC=2∠D时，四边形ABEC是矩形．∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC∥AD，∠BCE=∠D，由题意易得AB∥EC，AB∥EC，∴四边形ABEC是平行四边形．∵∠AFC=∠FEC+∠BCE，∴当∠AFC=2∠D时，则有∠FEC=∠FCE，∴FC=FE，∴四边形ABEC是矩形，故答案为：2．【点评】此题考查了平行四边形的性质以及矩形的判定．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用，解题的关键是了解矩形的判定定理．8．（2015春•南长区期中）如图，在正五边形ABCDE 中，连接AC、AD、CE，CE交AD于点F，连接BF，则线段AC、BF、CD之间的关系式是AC2+BF2=4CD2．【分析】首先根据菱形的判定方法，判断出四边形ABCF是菱形，再根据菱形的性质，即可判断出AC⊥BF；然后根据勾股定理，可得OB2+OC2=BC2，据此推得AC2+BF2=4CD2即可．【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形，∴AB∥CE，AD∥BC，∴四边形ABCF是平行四边形，又∵AB=BC=CD=DE=EA，∴四边形ABCF是菱形，∴AC⊥BF，∴OB2+OC2=BC2，∵AC=2OC，BF=2OB，∴AC2+BF2=（2OC）2+（2OB）2=4OC2+4OB2=4BC2，又∵BC=CD，∴AC2+BF2=4CD2．故答案为：AC2+BF2=4CD2．【点评】（1）此题主要考查了菱形的判定和性质的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法．（2）此题还考查了勾股定理的应用：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方，要熟练掌握．9．（2015春•株洲校级期中）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，四边形OABC是矩形，A（﹣10，0），C（0，3），点D是OA的中点，点P在BC边上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P 的坐标是（﹣4，3），或（﹣1，3），或（﹣9，3）．【分析】先由矩形的性质求出OD=5，分情况讨论：（1）当OP=OD=5时；根据勾股定理求出PC，即可得出结果；（2）当PD=OD=5时；①作PE⊥OA于E，根据勾股定理求出DE，得出PC，即可得出结果；②作PF⊥O A于F，根据勾股定理求出DF，得出PC，即可得出结果．【解答】解：∵A（﹣10，0），C（0，3），∴OA=10，OC=3，∵四边形OABC是矩形，∴BC=OA=10，AB=OC=3，∵D是OA的中点，∴AD=OD=5，分情况讨论：（1）当OP=OD=5时，根据勾股定理得：PC==4，∴点P的坐标为：（﹣4，3）；（2）当PD=OD=5时，分两种情况讨论：①如图1所示：作PE⊥OA于E，则∠PED=90°，DE==4，∴PC=OE=5﹣4=1，∴点P的坐标为：（﹣1，3）；②如图2所示：作PF⊥OA于F，则DF==4，∴PC=OF=5+4=9，∴点P的坐标为：（﹣9，3）；综上所述：点P的坐标为：（﹣4，3），或（﹣1，3），或（﹣9，3）；故答案为：（﹣4，3），或（﹣1，3），或（﹣9，3）．【点评】本题考查了矩形的性质、坐标与图形性质、等腰三角形的性质、勾股定理；熟练掌握矩形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．三．解答题（共31小题）10．（2012春•西城区校级期中）如图，正方形ABCD 中，AE=AB，直线DE交BC于点F，求∠BEF的度数．【分析】设∠BAE=x°，根据正方形性质推出AB=AE=AD，根据等腰三角形性质和三角形的内角和定理求出∠AEB和∠AED的度数，根据平角定义求出即可．【解答】解：设∠BAE=x°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD=90°，AB=AD，∵AE=AB，∴AB=AE=AD，∴∠ABE=∠AEB=（180°﹣∠BAE）=90°﹣x°，∠DAE=90°﹣x°，∠AED=∠ADE=（180°﹣∠DAE）=[180°﹣（90°﹣x°）]=45°+x°，∴∠BEF=180°﹣∠AEB﹣∠A ED，=180°﹣（90°﹣x°）﹣（45°+x°），=45°，答：∠BEF的度数是45°．【点评】本题考查了三角形的内角和定理，等腰三角形性质，正方形性质的应用，解此题的关键是如何把已知角的未知角结合起来，题目比较典型，但是有一定的难度．11．（2012秋•高淳县期中）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，对角线AC、BD交于点O，AC⊥BD，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA 的中点．（1）求证：四边形EFGH为正方形；（2）若AD=1，BC=3，求正方形EFGH的边长．【分析】（1）先由三角形的中位线定理求出四边相等，然后由AC⊥BD入手，进行正方形的判断．（2）连接EG，利用梯形的中位线定理求出EG的长，然后结合（1）的结论求出EH2=2，也即得出了正方形EHGF的边长．【解答】（1）证明：在△ABC中，∵E、F分别是AB、BC的中点，∴EF=同理FG=，GH=，HE=在梯形ABCD中，∵AB=DC，∴AC=BD，∴EF=FG=GH=HE∴四边形EFGH为菱形．设AC与EH交于点M在△ABD中，∵E、H分别是AB、AD的中点，∴EH∥BD，同理GH∥AC又∵AC⊥BD，∴∠BOC=90°．∴∠EHG=∠EMC=∠BOC=90°∴四边形EFGH为正方形．（2）解：连接EG，在梯形ABCD中，∵E、G分别是AB、DC的中点，∴EG=（AD+BC）=（1+3）=2，在Rt△HEG中，EG2=EH2+HG2，4=2EH2，EH2=2，则EH=．即四边形EFGH的边长为．【点评】此题考查了等腰梯形的性质及三角形、梯形的中位线定理，解答本题的关键是根据三角形的中位线定理得出EH=HG=GF=FE，这是本题的突破口．12．（2013秋•青岛期中）如图，点E、F分别是正方形ABCD的边CD和AD的中点，BE和CF交于点P．求证：AP=AB．【分析】延长CF、BA交于点M，先证△BCE≌△CDF，再证△CDF≌△AMF得BA=MA由直角三角形中斜边中线等于斜边的一半，可得Rt△MBP中AP=BM，即AP=AB．【解答】证明：延长CF、BA交于点M，∵点E、F分别是正方形ABCD的边CD和AD的中点，∴BC=CD，∠BCE=∠CDF，CE=DF，∴△BCE≌△CDF，∴∠CBE=∠DCF．∵∠DCF+∠BCP=90°，∴∠CBE+∠BCP=90°，∴∠BPM=∠CBE+∠BCP=90°．又∵FD=FA，∠CDF=∠MAF，∠CFD=∠MFA，∴△CDF≌△AMF，∴CD=AM．∵CD=AB，∴AB=AM．∴PA是直角△BPM斜边BM上的中线，∴AP=BM，即AP=AB．【点评】本题考查了正方形各边长相等、各内角为直角的性质，全等三角形的判定和对应边相等的性质，直角三角形斜边中线长为斜边长一半的性质，本题中求证△CDF≌△AMF是解题的关键．13．（2015春•禹州市期中）如图，点P为正方形ABCD 对角线BD上一点，PE⊥BC于E，PF⊥DC于F．（1）求证：PA=EF；（2）若正方形ABCD的边长为a，求四边形PFCE 的周长．【分析】（1）连接PC，证四边形PFCE是矩形，求出EF=PC，证△ABP≌△CBP，推出AP=PC即可；（2）证△CBD是等腰直角三角形，求出BF、PF，求出周长即可．【解答】解：证明：（1）连接PC，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=CB，∠ABD=∠CBD=45°，∠C=90°，在△ABP与△CBP中，，∴△ABP≌△C BP（SAS），∴PA=PC，∵PE⊥BC，PF⊥CD，∴∠PFC=90°，∠PEC=90°．又∵∠C=90°，∴四边形PFCE是矩形，∴EF=PC，∴PA=EF．（2）由（1）知四边形PFCE是矩形，∴PE=CF，PF=CE，又∵∠CBD=45°，∠PEB=90°，∴BE=PE，又BC=a，∴矩形PFCE的周长为2（PE+EC）=2（BE+EC）=2BC=2a．【点评】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的性质和判定等知识点的连接和掌握，能证出AP=PC 是解此题的关键．14．（2015秋•福建校级期中）如图1，在正方形ABCD 中，点E为BC上一点，连接DE，把△DEC沿DE 折叠得到△DEF，延长EF交AB于G，连接DG．（1）求∠EDG的度数．（2）如图2，E为BC的中点，连接BF．①求证：BF∥DE；②若正方形边长为6，求线段AG的长．【分析】（1）由正方形的性质可得DC=DA．∠A=∠B=∠C=∠ADC=90°，由折叠的性质得出∠DFE=∠C，DC=DF，∠1=∠2，再求出∠DFG=∠A，DA=DF，然后由“HL”证明Rt△DGA≌Rt△DGF，由全等三角形对应角相等得出∠3=∠4，得出∠2+∠3=45°即可；（2）①由折叠的性质和线段中点的定义可得CE=EF=BE，∠DEF=∠DEC，再由三角形的外角性质得出∠5=∠DEC，然后利用同位角相等，两直线平行证明即可；②设AG=x，表示出GF、BG，根据点E是BC的中点求出BE、EF，从而得到GE的长度，再利用勾股定理列出方程求解即可；【解答】（1）解：如图1所示：∵四边形ABCD是正方形，∴DC=DA．∠A=∠B=∠C=∠ADC=90°，∵△DEC沿DE折叠得到△DEF，∴∠DFE=∠C，DC=DF，∠1=∠2，∴∠DFG=∠A=90°，DA=DF，在Rt△DGA和Rt△DGF中，，∴Rt△DGA≌Rt△DGF（HL），∴∠3=∠4，∴∠EDG=∠3+∠2=∠ADF+∠FDC，=（∠ADF+∠FDC），=×90°，=45°；（2）①证明：如图2所示：∵△DEC沿DE折叠得到△DEF，E为BC的中点，∴CE=EF=BE，∠DEF=∠DEC，∴∠5=∠6，∵∠FEC=∠5+∠6，∴∠DEF+∠DEC=∠5+∠6，∴2∠5=2∠DEC，即∠5=∠DEC，∴BF∥DE；②解：设AG=x，则GF=x，BG=6﹣x，∵正方形边长为6，E为BC的中点，∴CE=EF=BE=×6=3，∴GE=EF+GF=3+x，在Rt△GBE中，根据勾股定理得：（6﹣x）2+32=（3+x）2，解得：x=2，即线段AG的长为2．【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、翻折变换的性质；熟练掌握正方形的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．15．（2016春•召陵区期中）如图①，在正方形ABCD 中，F是对角线AC上的一点，点E在BC的延长线上，且BF=EF．（1）求证：BF=DF；（2）求证：∠DFE=90°；（3）如果把正方形ABCD改为菱形，其他条件不变（如图②），当∠ABC=50°时，∠DFE=50 度．【分析】（1）根据正方形的四条边都相等可得BC=DC，对角线平分一组对角可得∠BCF=∠DCF，然后利用“边角边”证明即可；（2）易证∠FBE=∠FEB，又因为∠FBE=∠FDC，所以可证明∠FEB=∠FDC，进而可证明∠DFE=90°；（3）根据全等三角形对应角相等可得∠CBF=∠CDF，根据等边对等角可得∠CBF=∠E，然后求出∠DFE=∠DCE，再根据两直线平行，同位角相等可得∠DCE=∠ABC，从而得解．【解答】（1）证明：在正方形ABCD中，BC=DC，∠BCF=∠DCF=45°，∵在△BCF和△DCF中，，∴△BCF≌△DCF（SAS）；∴BF=DF；（2）证明：∵BF=EF，∴∠FBE=∠FEB，又∵∠FBE=∠FDC，∴∠FEB=∠FDC，又∵∠DGF=∠EGC，∴∠DFG=∠ECG=90°，即∠DFE=90°；（3）证明：由（1）知，△BCF≌△DCF，∴∠CBF=∠CDF，∵EE=FB，∴∠CBF=∠E，∵∠DGF=∠EGC（对顶角相等），∴180°﹣∠DGF﹣∠CDF=180°﹣∠EGC﹣∠E，即∠DFE=∠DCE，∵AB∥CD，∴∠DCE=∠ABC，∴∠DFE=∠ABC=50°，故答案为：50．【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的性质，等边对等角的性质，熟记正方形的性质确定出∠BCF=∠DCF是解题的关键．16．（2015秋•泗县期中）已知正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于O．①如图1，若E是AC上的点，过A 作AG⊥BE于G，AG、BD交于F，求证：OE=OF②如图2，若点E在AC的延长线上，AG⊥EB交EB 的延长线于G，AG延长DB延长线于点F，其它条件不变，OE=OF还成立吗？【分析】①由正方形的性质得出OA=OB，AC⊥BD，得出∠BOE=∠AOF=90°，由角的互余关系得出∠OBE=∠OAF，由ASA证明△BOE≌△AOF，得出对应边相等即可；②由正方形的性质得出OA=OB，AC⊥BD，得出∠BOE=∠AOF=90°，由角的互余关系得出∠OBE=∠OAF，由ASA证明△BOE≌△AOF，得出对应边相等即可．【解答】①证明：∵四边形ABCD是正方形，∴OA=OB，AC⊥BD，∴∠BOE=∠AOF=90°，∴∠OEB+∠OBE=90°，∵AG⊥BE，∴∠AGE=90°，∴∠OEB+∠OAF=90°，∴∠OBE=∠OAF，在△BOE和△AOF中，，∴△BOE≌△AOF（ASA），∴OE=OF；②解：OE=OF还成立；理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∴OA=OB，AC⊥BD，∴∠BOE=∠AOF=90°，∴∠OEB+∠OBE=90°，∵AG⊥BE，∴∠AGE=90°，∴∠OEB+∠OAF=90°，∴∠OBE=∠OAF，在△BOE和△AOF中，，∴△BOE≌△AOF（ASA），∴OE=OF．【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握正方形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．17．（2016春•邳州市期中）如图，点P是菱形ABCD 中对角线AC上的一点，且PE=PB．（1）求证：PE=PD；（2）求证：∠PDC=∠PEB；（3）若∠BAD=80°，连接DE，试求∠PDE的度数，并说明理由．【分析】（1）由菱形的性质得出AB=BC=CD=AD，AB∥CD，∠DCP=∠BCP，由SAS证明△CDP≌△CBP，得出PB=PD，再由PE=PB，即可得出结论；（2）由等腰三角形的性质得出∠PBC=∠PEB，由全等三角形的性质得出∠PDC=∠PBC，即可得出∠PDC=∠PEB；（3）由四边形内角和定理得出∠DPE=100°，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可得出结果．【解答】（1）解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=AD，AB∥CD，∠DCP=∠BCP，在△DCP和△BCP中，，∴△CDP≌△CBP（SAS），∴PB=PD，∵PE=PB，∴PE=PD；（2）证明：∵PE=PB，∴∠PBC=∠PEB，∵△CDP≌△CBP，∴∠PDC=∠PBC，∴∠PDC=∠PEB；（3）解：如图所示：∠PDE=40°；理由如下：在四边形DPEC中，∵∠DPE=360°﹣（∠PDC+∠PEC+∠DCB）=360°﹣（∠PEB+∠PEC+∠DCB）=360°﹣（180°+80°）=100°，∵PE=PD∴∠PDE=∠PED=40°．【点评】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质；熟练掌握菱形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．18．（2016春•昆山市期中）如图，正方形ABCD中，AB=1，点P是BC边上的任意一点（异于端点B、C），连接AP，过B、D两点作BE⊥AP于点E，DF⊥AP 于点F．（1）求证：EF=DF﹣BE；（2）若△ADF的周长为，求EF的长．【分析】（1）由正方形的性质得出AD=AB，证出∠DAF=∠ABE，由AAS证明△ADF≌△BAE，得出AF=BE，DF=AE，即可得出结论；（2）设DF=a，AF=b，EF=DF﹣AF=a﹣b＞0，由已知条件得出DF+AF=，即a+b=，由勾股定理得出a2+b2=1，再由完全平方公式得出a﹣b即可．【解答】（1）证明：∵BE⊥AP，DF⊥AP，∴∠DFA=∠AEB=90°，∠ABE+∠BAE=90°，∵四边形ABCD为正方形，∴AD=AB，∠DAB=90°=∠DAF+∠BAE，∴∠DAF=∠ABE，在△ADF和△BAE中，，∴△ADF≌△BAE（AAS），∴AF=BE，DF=AE，∴EF=AE﹣AF=DF﹣BE；（2）解：设DF=a，AF=b，EF=DF﹣AF=a﹣b＞0，∵△ADF的周长为，AD=1，∴DF+AF=，即a+b=，由勾股定理得：DF2+AF2=AD2，即a2+b2=1，∴（a﹣b）2=2（a2+b2）﹣（a+b）2=2﹣=，∴a﹣b=，即EF=．【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握正方形的性质，由勾股定理得出a与b的关系式是解决问题（2）的关键．19．（2015春•繁昌县期中）如图，正方形ABCD的对角线AC、BD的交点为O，以O为端点引两条互相垂直的射线OM、ON，分别交边AB、BC于点E、F．（1）求证：0E=OF；（2）若正方形的边长为4，求EF的最小值．【分析】（1）根据正方形的性质可得∠EAO=∠FBO=45°，OA=OB，再根据同角的余角相等可得∠AOE=∠BOE，然后利用“角边角”证明△AOE和△BOF全等，根据全等三角形对应边相等即可得证；（2）根据等腰直角三角形△EOF，当OE最小时，再根据勾股定理得出EF的最小值．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴OA=OB，∠AOB=90°，∠EAO=∠FBO=45°，∴∠AOE+∠BOE=90°，∵OE⊥OF，∴∠BOF+∠BOE=90°，∴∠AOE=∠BOF，在△AOE与△BOF中，，∴△AOE≌△BOF（ASA），∴OE=OF；（2）由（1）可知，△EOF是等腰直角三角形，∠EOF 是直角，当OE最小时，EF的值最小，∵OA=OB，OE⊥AB，∴点E是AB的中点，∴OE=AB，∵AB=4，∴OE=2，∴EF=，即EF的最小值是2．【点评】本题考查了正方形的性质，解决此类问题的关键是正确的利用旋转不变量．正确作出辅助线是关键．20．（2016春•江宁区期中）如图，在正方形ABCD中，点E是边AD上任意一点，BE的垂直平分线FG交对角AC于点F．求证：（1）BF=DF；（2）BF⊥FE．【分析】（1）由正方形的性质得出AB=AD，∠BAF=∠DAF=45°，由SAS证明△BAF≌△DAF，得出对应边相等即可；（2）由线段垂直平分线的性质得出BF=EF，证出EF=DF，得出∠FDE=∠FED，再由全等三角形的性质证出∠ABF=∠FED，由邻补角关系得出∠FED+∠FEA=180°，证出∠ABF+∠FEA=180°，由四边形内角和得出∠BAE+∠BFE=180°，求出∠BFE=90°即可．【解答】证明：如图所示：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠BAF=∠DAF=45°，∠BAE=90°，在△BAF和△DAF中，，∴△BAF≌△DAF（SAS），∴BF=DF；（2）∵BE的垂直平分线FG交对角AC于点F，∴BF=EF，∵BF=DF，∴EF=DF，∴∠FDE=∠FED，。

2021-2022学年鲁教版八年级数学上册《5-1平行四边形的性质》优生辅导训练(附答案)

2021-2022学年鲁教版八年级数学上册《5.1平行四边形的性质》优生辅导训练（附答案）1．如图，▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，OE⊥BD交AD于点E，连接BE，若▱ABCD的周长为18，则△ABE的周长为（）A．8B．9C．10D．182．如图，在边长为1的正方形网格中，平行四边形ABCD的顶点在格点上，平行四边形EFGH 的顶点E、F在边CD上，且AD∥EH，AD＝EH，AG交CD于点O，则S阴影为（）A．7平方单位B．8平方单位C．14平方单位D．无法确定3．如图所示，以▱ABCD的边AB为边向内作等边△ABE，使AD＝AE，且点E在平行四边形内部，连接DE，CE，则∠CED的度数为（）A．150°B．145°C．135°D．120°4．如图所示，点E为▱ABCD内一点，连接EA，EB，EC，ED，AC，已知△BCE的面积为2，△CED的面积为10，则阴影部分△ACE的面积为（）A．5B．6C．7D．85．如图，已知E，F为▱ABCD对角线AC上两点，且AE＝CF，过E，F将▱ABCD分制成9个小的平行四边形，则已知下列哪个选项中的图形面积，就可以求出△GIN的面积（）A．△AHF B．△GHN C．四边形AHPI D．四边形IPFJ 6．如图，点E是▱ABCD的边AD的中点，CD、BE的延长线交于点F，DF＝4，DE＝3，则▱ABCD的周长为（）A．6B．8C．20D．247．如图，平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，过点O的直线分别交AD和BC于点F，E，若设该平行四边形的面积为2，则图中阴影部分的面积为（）A．4B．1C．D．无法确定8．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝2，点E为平行四边形内一点且∠AED＝∠BEC＝90°，若∠DEC＝45°，则AD的长为（）A．3B．2C．D．29．如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，AE平分∠BAD，交BC于点E，且∠ADC ＝60°，AB＝BC，连接OE，下列结论：①∠CAD＝30°；②OD＝AB；③S▱ABCD＝AC•CD；④S四边形OECD＝S△AOD，其中成立的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个10．如图，在平行四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝10，AB＝8，点P在边AD上，且BP＝BC，点M在线段BP上，点N在线段BC的延长线上，且PM＝CN，连接MN交CP于点F，过点M作ME⊥CP于E，则EF＝．11．如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC＝60°，BC＝2AB＝8，点C关于AD的对称点为E，连接BE交AD于点F，点G为CD的中点，连接EG，BG，则S△BEG＝．12．如果存在一条线把一个图形分割成两个部分，使其中一个部分沿某个方向平移后能与另一个部分重合，那么我们把这个图形叫做平移重合图形，那么①平行四边形，②等腰梯形，③正六边形，④圆，以上图形中，平移重合图形是（填序号）．13．如图，在▱ABCD中，BE平分∠ABC交AD于点E，过点A作AF⊥DC，交DC的延长线于点F，分别交BE，BC于点G，H，若AH＝，CD＝，则△ABE的面积是．14．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，且AC＝6，BD＝8，E、F分别为AO、DO上两点，且2AE＝DF，连接BE、CF，则△ABE与△DCF的面积比为．15．如图P为平行四边形ABCD内的任意一点，连接P A，PB，PC，PD．设△P AB、△PBC、△PCD、△P AD的面积分别为S1、S2、S3、S4，则S1、S2、S3、S4之间的等量关系为．16．（1）如图1，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AB＝a，BC＝b，AC＝m，BD＝n．①若AC＝BD，则m2＝；（用含a，b的式子表示）若AC⊥BD，则m2＝；（用含a，n的式子表示）②试探索a，b，m，n这四条线段之间的数量关系，并说明理由；（2）如图2，在△EFG中，GH是中线，若FG＝6，GH＝7，EG＝9，则FH的长为．17．如图，点E在▱ABCD外，连接BE，DE，延长AC交DE于F，F为DE的中点．（1）求证：AF∥BE；（2）若AD＝2，∠ADC＝60°，∠ACD＝90°，AC＝2CF，求BE．18．已知，如图，平行四边形ABCD中，延长AB到点F使得BF＝AB，连接DF交BC于点E，求证：E是BC边的中点．19．如图，点E在▱ABCD内部，AF∥BE，DF∥CE．（1）求证：△BCE≌△ADF；（2）设▱ABCD的面积为6，求四边形AEDF面积．20．如图，已知平行四边形ABCD中，E，F为对角线BD上两点，且AE⊥AD，CF⊥BC，AC＝BC．（1）求证：AE＝CF；（2）若∠EAC＝60°，求∠BAE的度数．21．如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F在BD上，且BE＝DF，连接AE并延长，交BC于点G，连接CF并延长，交AD于点H．（1）求证：AE＝CF；（2）若AC平分∠HAG，判断四边形AGCH的形状，并证明你的结论．22．如图，在平行四边形ABCD中，连接DB．过D点作DE⊥AB于点E，过BE上一点F 作FG⊥AD于点G，交DE于点P；过F作FH⊥DB于点H，连接EH．（1）若DE＝6，DC＝10，AD＝2，求BE的长．（2）若AE＝PE，求证：DH+HF＝EH．23．如图，在平行四边形ABCD中，AC是对角线，且AB＝AC，CF是∠ACB的角平分线交AB于点F，在AD上取一点E，使AB＝AE，连接BE交CF于点P．（1）求证：BP＝CP；（2）若BC＝4，∠ABC＝45°，求平行四边形ABCD的面积．参考答案1．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB＝OD，AB＝CD，AD＝BC，∵▱ABCD的周长为18，∴AB+AD＝9，∵OE⊥BD，∴OE是线段BD的中垂线，∴BE＝ED，∴△ABE的周长＝AB+BE+AE＝AB+AD＝9，故选：B．2．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴S平行四边形ABCD＝7×2＝14（平方单位），∵四边形EFGH是平行四边形，∴EH＝GF，EH∥GF，∵AD∥EH，AD＝EH，∴AD∥GF，AD＝GF，∴∠DAO＝∠FGO，在△AOD和△GOF中，，∴△AOD≌△GOF（AAS），∴S△AOD＝S△GOF，∴S阴影＝S△ADC＝S平行四边形ABCD＝7（平方单位），故选：A．3．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，∠BAD+∠ABC＝180°，∵△ABE是等边三角形，∴AE＝AB＝BE，∠AEB＝∠EAB＝∠ABE＝60°，∵AD＝AE，∴AD＝AE＝BE＝BC，∴∠ADE＝∠AED，∠BCE＝∠BEC，设∠ADE＝∠AED＝x，∠BCE＝∠BEC＝y，∴∠DAE＝180°﹣2x，∠CBE＝180°﹣2y，∴∠BAD＝180°﹣2x+60°＝240°﹣2x，∠ABC＝240°﹣2y，∴∠BAD+∠ABC＝240°﹣2x+240°﹣2y＝180°，∴x+y＝150°，∴∠CED＝360°﹣150°﹣60°＝150°，故选：A．4．解：如图，过点B作BF⊥CD于点F，设△ABE和△CDE的AB和CD边上的高分别为a和b，∴S△ABE＝×AB×a，S△CDE＝CD×b，∵a+b＝BF，AB＝CD，∴S△ABE+S△CDE＝（AB×a+CD×b）＝AB•BF，∵S平行四边形ABCD＝CD•BF，∴S△ABE+S△CDE＝S平行四边形ABCD，∵S△ABE+S△CBE+S阴影＝S平行四边形ABCD，∴S△ABE+S△CDE＝S△ABE+S△CBE+S阴影，∴S阴影＝S△CDE﹣S△CBE＝10﹣2＝8．故选：D．5．解：连接IM、EN、GP，由图可得，S△IEN＝S△IEM，S△GEN＝S△GEP，则阴影部分的面积＝S△IGP+S△IEM＝S▱AHPI+S▱IEMD，∵AE＝CF，过E，F将▱ABCD分制成9个完全相同的小的平行四边形，∴S▱AGEI＝S▱JQMD＝S▱HBKP＝S▱FLCN，∴S▱IEMD＝S▱GEKB＝S▱AHPI，∴阴影部分的面积＝S▱AHPI，故选：C．6．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AD＝BC，AB∥CD，∴∠ABE＝∠F，∵E是AD的中点，∴AE＝DE＝3，AD＝2DE＝6，在△BAE和△FDE中，，∴△BAE≌△FDE（AAS），∴AB＝DF＝4，∴平行四边形ABCD的周长＝2（AB+AD）＝2×（4+6）＝20．故选：C．7．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，OA＝OC，OB＝OD，在△AOB和△COD中，，∴△AOB≌△COD（SSS），∴S△AOB＝S△COD，同理可证：△AFO≌△CEO（ASA），△BOE≌△DOF（ASA），∴S△AFO＝S△CEO，S△BOE＝S△DOF，∴阴影部分的面积＝S四边形ABEF＝S平行四边形ABCD＝1．故选：B．8．解：如图，取AD，BC的中点M，N，连接MN，ME，NE，则MN＝AB＝2，在平行四边形ABCD中，AD＝BC，AD∥BC，∵AD，BC的中点为M，N，∠AED＝∠BEC＝90°，∴EM＝AD＝MD，EN＝＝NC，∴EM＝EN，∠MED＝∠MDE，∠CEN＝∠NCE，过点E作EP∥AD交CD于点P，∴EP∥BC，∴∠MDE＝∠DEP，∠NCE＝∠PEC，∴∠MED＝∠DEP，∠CEN＝∠PEC，∴∠MED+∠CEN＝∠DEP+∠PEC＝∠DEC＝45°，∴∠MEN＝90°，∴△MEN为等腰直角三角形，∴AD＝2ME＝2×MN＝2．故选：B．9．解：∵四边形ABCD为平行四边形，∠ADC＝60°，∴AD∥BC，∠ABC＝∠ADC＝60°，OB＝OD，∴∠DAE＝∠AEB，∠BAD＝∠BCD＝120°，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE，∴∠BAE＝∠AEB∴△ABE为等边三角形，∴∠BAE＝∠AEB＝60°，AB＝BE＝AE，∵AB＝BC，∴EC＝AE，∴∠EAC＝∠ECA＝30°，∴∠CAD＝30°，故①正确；∵∠BAD＝120°，∠CAD＝30°，∴∠BAC＝90°，∴BO＞AB，∴OD＞AB，故②错误；∴S▱ABCD＝AB•AC＝AC•CD，故③正确；∵∠BAC＝90°，BC＝2AB，∴E是BC的中点，∴S△BEO：S△BCD＝1：4，∴S四边形OECD：S△BCD＝3：4，∴S四边形OECD：S▱ABCD＝3：8，∵S△AOD：S▱ABCD＝1：4，∴S四边形OECD＝S△AOD，故④正确．故选：C．10．解：如图，过点M作MH∥BC交CP于H，则∠MHP＝∠BCP，∠NCF＝∠MHF，∵BP＝BC，∴∠BCP＝∠BPC，∴∠BPC＝∠MHP，∴PM＝MH，∵PM＝CN，∴CN＝MH，∵ME⊥CP，∴PE＝EH，在△NCF和△MHF中，，∴△NCF≌△MHF（AAS），∴CF＝FH，∴EF＝EH+FH＝CP，∵矩形ABCD中，AD＝10，∴BC＝AD＝10，∴BP＝BC＝10，在Rt△ABP中，AP＝＝＝6，∴PD＝AD﹣AP＝10﹣6＝4，在Rt△CPD中，CP＝＝＝4，∴EF＝CP＝×4＝2．故答案为：2．11．解：如图，取BC中点H，连接AH，连接EC交AD于N，作EM⊥CD交CD的延长线于M．∵BC＝2AB，BH＝CH，∠ABC＝60°，∴BA＝BH＝CH，∴△ABH是等边三角形，∴HA＝HB＝HC，∴∠BAC＝90°，∵EC⊥BC，∠BCD＝180°﹣∠ABC＝120°，∴∠ACE＝60°，∠ECM＝30°，∵BC＝2AB＝8，∴CD＝4，CN＝EN＝2，∴EC＝4，EM＝2，∴S△BEG＝S△BCE+S ECG﹣S△BCG＝×8×4+2×2﹣S平行四边形ABCD＝16+2﹣4＝14．故答案为14．12．解：如图，平行四边形ABCD中，取BC，AD的中点E，F，连接EF．∵四边形ABEF向右平移可以与四边形EFDC重合，∴平行四边形ABCD是平移重合图形，故答案为：①．13．解：过A作AM⊥BC于M，过B作BN⊥DA于N，如图所示：则BN＝AM，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，AB＝CD＝，∴∠AEB＝∠CBE，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠AEB，∴AE＝AB＝，∵AF⊥DC，∴AF⊥AB，∴∠BAF＝90°，∴BH＝＝＝2，∵AM⊥BC，∴△ABH的面积＝BH×AM＝AB×AH，∴AM＝＝＝，∴BN＝，∴△ABE的面积＝AE×BN＝××＝，故答案为：．14．解：如图，过点B作BM⊥AC，CN⊥BD于点M，N，∵∠MOB＝∠NOC，∠BMO＝∠CNO＝90°，∴△MOB∽△NOC，∴BM：CN＝OB：OC＝4：3，∴BM＝CN，∵S△ABE＝AE•BM＝AE×CN＝AE•CN，S△DCF＝DF•CN＝2AE•CN＝AE•CN，∴＝，则△ABE与△DCF的面积比为．故答案为：．15．解：∵△APD以AD为底边，△PBC以BC为底边，AD∥BC，∴两个三角形AD、BC边上的高的和为平行四边形BC边上的高，∴S2+S4＝×平行四边形ABCD面积；同理可得，S1+S3＝×平行四边形ABCD面积；∴S2+S4＝S1+S3；故答案为：S2+S4＝S1+S3．16．解：（1）①∵AC，BD是▱ABCD的对角线，若AC＝BD，则ABCD是矩形，∴m2＝a2+b2；若AC⊥BD，则ABCD是菱形，∴＝a2，即m2＝4a2﹣n2；故答案为：a2+b2，m2＝4a2﹣n2；②如图1，作CN⊥AD于N，BM垂直DA延长线于M，∵BM＝CN，AB＝CD，∴△ABM≌△DCN，∴AM＝DN，在Rt△BDM中，BD2＝BM2+DM2，即n2＝MB2+（MA+AD）2＝MB2+MA2+AD2+2MA•AD＝a2+b2+2MA•AD，在Rt△N中，AC2＝AN2+CN2，即m2＝（AD﹣DN）2+CN2＝AD2+DN2+CN2﹣2AD•DN＝a2+b2﹣2AD•DN，∴m2+n2＝2（a2+b2）+2MA•AD﹣2DA•AD，∵MA＝DN，∴m2+n2＝2（a2+b2）；（2）如图2，将三角形补全成平行四边形，利用上面讨论有：（2FH）2+（2GH）2＝2（FG2+EG2），∴FH＝．17．（1）证明：如图，连接BD交AC于点O，∵四边形ABCD是平行四边形，∴点O是BD的中点，∵F为DE的中点，∴OF是△DBE的中位线，∴OF∥BE，∴AF∥BE；（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AC＝2OA＝2OC，∵AC＝2CF，∴OA＝OC＝CF，∵∠ADC＝60°，∠ACD＝90°，∴∠DAC＝30°，∵AD＝2，∴DC＝1，∴AC＝＝＝，∴OF＝AC＝，∴BE＝2OF＝2．18．证明：法一：在▱ABCD中，CD平行且等于AB，∴∠C＝∠CBF，∠CDF＝∠F，∵BF＝AB，∴CD＝BF，在△DCE和△FBE中，，∴△DCE≌△FBE（ASA），∴CE＝BE，∴E是BC边的中点，法二：如图，连接DB、CF，在▱ABCD中，CD平行且等于AB，且BF＝AB，∴CD＝BF，∴CD平行且等于BF，∴四边形DBFC是平行四边形，∴DF、BC互相平分，∴E是BC边的中点．19．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴∠ABC+∠BAD＝180°，∵AF∥BE，∴∠EBA+∠BAF＝180°，∴∠CBE＝∠DAF，同理得∠BCE＝∠ADF，在△BCE和△ADF中，，∴△BCE≌△ADF（ASA）；（2）解：∵点E在▱ABCD内部，∴S△BEC+S△AED＝S▱ABCD，由（1）知：△BCE≌△ADF，∴S△BCE＝S△ADF，∴S四边形AEDF＝S△ADF+S△AED＝S△BEC+S△AED＝S▱ABCD，∵▱ABCD的面积为6，∴四边形AEDF的面积为3．20．解：（1）证明：∵四边形ABCD平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴∠ADE＝∠CBF，∵AE⊥AD，CF⊥BC，∴∠EAD＝∠FCB＝90°，在△EAD和△FCB中，，∴△EAD≌△FCB（ASA），∴AE＝CF；（2）∵∠EAC＝60°，∴∠CAD＝30°，∴∠ACB＝30°，∵AC＝BC．∴∠BAC＝75°，∴∠BAE＝15°．21．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，∵BE＝DF，∴OB﹣BE＝OD﹣DF，即OE＝OF，又∵∠AOE＝∠COF，∴△AOE≌△COF（SAS），∴AE＝CF．（2）四边形AGCH是菱形．理由如下：∵△AOE≌△COF，∴∠EAO＝∠FCO，∴AG∥CH，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴四边形AGCH是平行四边形，∵AD∥BC，∴∠HAC＝∠ACB，∵AC平分∠HAG，∴∠HAC＝∠GAC，∵∠GAC＝∠ACB，∴GA＝GC，∴平行四边形AGCH是菱形．22．解：（1）∵DE⊥AB，∴AE＝＝＝2，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD＝10，∴BE＝AB﹣AE＝8；（2）方法一：如图，过点E作EM⊥HE，交HF的延长线于点M，连接AP，GE，DF，∵AE＝PE，且DE⊥AE，∴∠P AE＝∠APE＝45°，∵∠AGP＝∠AEP＝90°，∴点A，点E，点P，点G四点共圆，∴∠PGE＝∠P AE＝45°，∵∠DGF＝∠DEF＝90°，∴点D，GH，点E，点F四点共圆，∴∠EDF＝∠PGE＝45°，∴∠EDF＝∠DFE＝45°，∴DE＝EF，∵∠DHF＝∠DEF＝90°，∴∠DFE＝∠DHE＝45°，∠EDF＝∠EHF＝45°，且EM⊥EH，∴∠M＝∠EHF＝45°，∴EH＝EM，∴HM＝EH，∵∠DEB＝∠HEM＝90°，∴∠DEH＝∠FEM，且∠DHE＝∠M＝45°，DE＝EF，∴△DEH≌△FEM（AAS）∴DH＝MF，∴DH+HF＝MF+HF＝HM＝EH．方法二：∵∠AED＝∠DGP＝∠PEF＝90°，∠DPG＝∠EPF，∴∠ADE＝∠PFE，∴△ADE≌△PFE（AAS），∴DE＝EF，延长BD到Q使DQ＝FH，∵FH⊥BD，∴∠EDB+∠DBE＝∠HFB+∠HBF＝90°，∴∠EPB＝∠HFB，∴∠QDE＝∠HFE，∴△EQD≌△EFH（SAS），∴∠QED＝∠HEF，QE＝EH，∴∠QEH＝∠DEB＝90°，∴△QEH是等腰直角三角形，∴QH＝EH，∴DH+FH＝EH．23．解：（1）设AP与BC交于H，∵在平行四边形ABCD中，AD∥BC，∴∠AEB＝∠CBE，∵AB＝AE，∴∠ABE＝∠AEB，∴∠ABE＝∠CBE，∴BE平分∠ABC，∵CF是∠ACB的角平分线，BE交CF于点P，∴AP平分∠BAC，∵AB＝AC，∴AH垂直平分BC，∴PB＝PC；（2）∵AH垂直平分BC，∴AH⊥BC，BH＝CH＝BC＝2，∵∠ABH＝45°，∴AH＝BH＝2，∴平行四边形ABCD的面积＝4×2＝8．。

特殊四边形培优及答案

特殊四边形练习题及答案1．如下图，将一张边长为8的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在BC的中点E处，点A落在点F处，折痕为MN，那么线段MN的长为〔〕2A．10 B．45 C．89 D．212．如图2，在一张矩形纸片ABCD中，AB=4，BC=8，点E，F分别在AD，BC上，将纸片ABCD沿直线EF折叠，点C落在AD上的一点H处，点D落在点G处，以下结论：①四边形CFHE是菱形；②EC平分∠DCH；③线段BF的取值范围为3≤BF≤4；④当点H与点A重合时，EF=2．其中结论正确的个数是〔〕．〔A〕1个〔B〕2个〔C〕3个〔D〕4个3．如图，正方形ABCD中，AB=6，点E在边CD上，且CD=3DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF．那么以下结论：①△ABG≌△AFG；②BG=CG；③AG∥CF；④S△EGC=S△AFE；⑤∠AGB+∠AED=145°．其中正确的个数是〔〕A．2 B．3 C．4 D．54．如图，正方形ABCD的面积为4，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，那么这个最小值为〔〕A．2 B．3 C．335．如图，ABCD 为正方形，O 为AC 、BD 的交点，△DCE 为Rt △，∠CED=90°，∠DCE=30°，假设OE=，那么正方形的面积为〔〕A ．5B ．4C ．3D ．26．如图，∠MON=90°，矩形ABCD 的顶点A 、B 分别在边OM ，ON 上，当B 在边ON 上运动时，A 随之在边OM 上运动，矩形ABCD 的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D 到点O 的最大距离为A ．21B ．5C ．1455D ．527．如图，正方形ABCD 的边长是4cm ，点G 在边AB 上，以BG 为边向外作正方形GBFE ，连接AE 、AC 、CE ，那么△AEC 的面积是 cm 2。

初二数学平行四边形和特殊四边形提高练习与常考题和培优题(含解析)之欧阳体创编

初二数学平行四边形和特殊四边形提高练习常考题和培优题时间：2021.02.03 创作：欧阳体一．选择题（共5小题）1．如图，把大小相同的两个矩形拼成如下形状，则△FBD是（）A．等边三角形 B．等腰直角三角形C．一般三角形 D．等腰三角形2．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=，CE=3，H是AF的中点，那么CH的长是（）A．3.5 B． C．D．23．如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=8，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE垂直AC交AD于点E，则AE的长是（）A．3 B．5 C．2.4 D．2.54．如图，在△ABC中，CF⊥AB于F，BE⊥AC于E，M为BC 的中点，EF=7，BC=10，则△EFM的周长是（）A．17 B．21 C．24 D．275．如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，P是AD上不与A 和D重合的一个动点，过点P分别作AC和BD的垂线，垂足为E、F，则PE+PF的值为（）A．10 B．4.8 C．6 D．5二．填空题（共4小题）6．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AE 平分∠BAD交BC于点E，若∠CAE=15°，则∠BOE的度数等于．7．如图，将平行四边形ABCD的边DC延长到E，使CE=CD，连接AE交BC于F，∠AFC=n∠D，当n=时，四边形ABEC是矩形．8．如图，在正五边形ABCDE中，连接AC、AD、CE，CE交AD于点F，连接BF，则线段AC、BF、CD之间的关系式是．9．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，四边形OABC是矩形，A（﹣10，0），C（0，3），点D是OA的中点，点P在BC 边上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标是．三．解答题（共31小题）10．如图，正方形ABCD中，AE=AB，直线DE交BC于点F，求∠BEF的度数．11．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，对角线AC、BD 交于点O，AC⊥BD，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA 的中点．（1）求证：四边形EFGH为正方形；（2）若AD=1，BC=3，求正方形EFGH的边长．12．如图，点E、F分别是正方形ABCD的边CD和AD的中点，BE和CF交于点P．求证：AP=AB．13．如图，点P为正方形ABCD对角线BD上一点，PE⊥BC于E，PF⊥DC于F．（1）求证：PA=EF；（2）若正方形ABCD的边长为a，求四边形PFCE的周长．14．如图1，在正方形ABCD中，点E为BC上一点，连接DE，把△DEC沿DE折叠得到△DEF，延长EF交AB于G，连接DG．（1）求∠EDG的度数．（2）如图2，E为BC的中点，连接BF．①求证：BF∥DE；②若正方形边长为6，求线段AG的长．15．如图①，在正方形ABCD中，F是对角线AC上的一点，点E在BC的延长线上，且BF=EF．（1）求证：BF=DF；（2）求证：∠DFE=90°；（3）如果把正方形ABCD改为菱形，其他条件不变（如图②），当∠ABC=50°时，∠DFE=度．16．已知正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于O．①如图1，若E是AC上的点，过A 作AG⊥BE于G，AG、BD 交于F，求证：OE=OF②如图2，若点E在AC的延长线上，AG⊥EB交EB的延长线于G，AG延长DB延长线于点F，其它条件不变，OE=OF还成立吗？17．如图，点P是菱形ABCD中对角线AC上的一点，且PE=PB．（1）求证：PE=PD；（2）求证：∠PDC=∠PEB；（3）若∠BAD=80°，连接DE，试求∠PDE的度数，并说明理由．18．如图，正方形ABCD中，AB=1，点P是BC边上的任意一点（异于端点B、C），连接AP，过B、D两点作BE⊥AP于点E，DF⊥AP于点F．（1）求证：EF=DF﹣BE；（2）若△ADF的周长为，求EF的长．19．如图，正方形ABCD的对角线AC、BD的交点为O，以O 为端点引两条互相垂直的射线OM、ON，分别交边AB、BC于点E、F．（1）求证：0E=OF；（2）若正方形的边长为4，求EF的最小值．20．如图，在正方形ABCD中，点E是边AD上任意一点，BE 的垂直平分线FG交对角AC于点F．求证：（1）BF=DF；（2）BF⊥FE．21．已知：如图所示，四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，M是AC上任一点，O是BD的中点，连接MO，并延长MO到N，使NO=MO，连接BN与ND．（1）判断四边形BNDM的形状，并证明；（2）若M是AC的中点，则四边形BNDM的形状又如何？说明理由．22．如图，在△ABC中，O是边AC上的一动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．（1）求证：OE=OF；（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？23．（1）如图矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，过点D 作DP∥OC，且DP=OC，连接CP，判断四边形CODP的形状并说明理由．（2）如果题目中的矩形变为菱形，结论应变为什么？说明理由．（3）如果题目中的矩形变为正方形，结论又应变为什么？说明理由．24．如图1，已知AB∥CD，AB=CD，∠A=∠D．（1）求证：四边形ABCD为矩形；（2）E是AB边的中点，F为AD边上一点，∠DFC=2∠BCE．①如图2，若F为AD中点，DF=1.6，求CF的长度：②如图2，若CE=4，CF=5，则AF+BC=，AF=．25．如图，直线a、b相交于点A，C、E分别是直线b、a上两点且BC⊥a，DE⊥b，点M、N是EC、DB的中点．求证：MN⊥BD．26．如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=24cm，BC=26cm，动点P从点A出发沿AD方向向点D以1cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿着CB方向向点B以3cm/s的速度运动．点P、Q分别从点A和点C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点随之停止运动．（1）经过多长时间，四边形PQCD是平行四边形？（2）经过多长时间，四边形PQBA是矩形？（3）经过多长时间，当PQ不平行于CD时，有PQ=CD．27．如图，E、F是正方形ABCD的边AD上的两个动点，满足AE=DF．连接CF交BD于G，连接BE交AG于H．已知正方形ABCD的边长为4cm，解决下列问题：（1）求证：BE⊥AG；（2）求线段DH的长度的最小值．28．如图，点M是矩形ABCD的边AD的中点，点P是BC边上一动点，PE⊥MC，PF⊥BM，垂足为E、F．（1）当矩形ABCD的长与宽满足什么条件时，四边形PEMF为矩形？猜想并证明你的结论．（2）在（1）中，当点P运动到什么位置时，矩形PEMF变为正方形，为什么？29．某校数学兴趣小组开展了一次课外活动，过程如下：如图①，正方形ABCD中，AB=4，将三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点与D点重合．三角板的一边交AB于点P，另一边交BC的延长线于点Q．（1）求证：AP=CQ；（2）如图②，小明在图1的基础上作∠PDQ的平分线DE交BC 于点E，连接PE，他发现PE和QE存在一定的数量关系，请猜测他的结论并予以证明；（3）在（2）的条件下，若AP=1，求PE的长．30．如图，在菱形ABCD中，AB=4cm，∠ADC=120°，点E、F 同时由A、C两点出发，分别沿AB、CB方向向点B匀速移动（到点B为止），点E的速度为1cm/s，点F的速度为2cm/s，经过t秒△DEF为等边三角形，求t的值．31．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D是AC的中点，作∠ADB的角平分线DE交AB于点E，（1）求证：DE∥BC；（2）若AE=3，AD=5，点P为BC上的一动点，当BP为何值时，△DEP为等腰三角形．请直接写出所有BP的值．32．已知：如图，BF、BE分别是∠ABC及其邻补角的角平分线，AE⊥BE，垂足为点E，AF⊥BF，垂足为点F．EF分别交边AB、AC于点M、N．求证：（1）四边形AFBE是矩形；（2）BC=2MN．33．如图，在边长为5的菱形ABCD中，对角线BD=8，点O是直线BD上的动点，OE⊥AB于E，OF⊥AD于F．（1）对角线AC的长是，菱形ABCD的面积是；（2）如图1，当点O在对角线BD上运动时，OE+OF的值是否发生变化？请说明理由；（3）如图2，当点O在对角线BD的延长线上时，OE+OF的值是否发生变化？若不变请说明理由，若变化，请直接写出OE、OF之间的数量关系，不用明理由．34．如图，已知Rt△ABD≌Rt△FEC，且B、D、C、E在同一直线上，连接BF、AE．（1）求证：四边形ABFE是平行四边形．（2）若∠ABD=60°，AB=2cm，DC=4cm，将△ABD沿着BE方向以1cm/s的速度运动，设△ABD运动的时间为t，在△ABD运动过程中，试解决以下问题：（1）当四边形ABEF是菱形时，求t的值；（2）是否存在四边形ABFE是矩形的情形？如果存在，求出t 的值，如果不存在，请说明理由．35．已知，矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F，垂足为O．（1）如图1，连接AF、CE．求证：四边形AFCE为菱形．（2）如图1，求AF的长．（3）如图2，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿△AFB 和△CDE各边匀速运动一周．即点P自A→F→B→A停止，点Q 自C→D→E→C停止．在运动过程中，点P的速度为每秒1cm，设运动时间为t秒．①问在运动的过程中，以A、P、C、Q四点为顶点的四边形有可能是矩形吗？若有可能，请求出运动时间t和点Q的速度；若不可能，请说明理由．②若点Q的速度为每秒0.8cm，当A、P、C、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．36．如图1，E，F是正方形ABCD的边上两个动点，满足AE=DF，连接CF交BD于G，连接BE交AG于点H（1）求证：AG⊥BE；（2）如图2，连DH，若正方形的边长为4，则线段DH长度的最小值是．37．如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠DAB=60°，点E时AD 边的中点，点M时AB边上的一个动点（不与点A重合），延长ME交CD的延长线于点N，连接MD，AN．（1）求证：四边形AMDN是平行四边形．（2）填空：①当AM的值为时，四边形AMDN是矩形；②当AM的值为时，四边形AMDN是菱形．38．如图，已知正方形OABC的边长为4，顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，M是BC的中点，点P（0，m）是线段oc上的一动点9点P不与点O、C重合0，直线PM交AB的延长线于点D．（1）求点D的坐标；（用含m的代数式表示）（2）若△APD是以AP边为一腰的等腰三角形，求m的值．39．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，点D为AC的中点，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG=BD，连接BG、DF．（1）证明：四边形BDFG是菱形；（2）若AC=10，CF=6，求线段AG的长度．40．如图，在正方形ABCD中，点E在边AD上，点F在边BC 的延长线上，连接EF与边CD相交于点G，连接BE与对角线AC相交于点H，AE=CF，BE=EG．（1）求证：EF∥AC；（2）求∠BEF大小；（3）若EB=4，则△BAE的面积为．初二数学平行四边形和特殊四边形提高练习常考题和培优题参考答案与试题解析一．选择题（共5小题）1．（2012春•炎陵县校级期中）如图，把大小相同的两个矩形拼成如下形状，则△FBD是（）A．等边三角形 B．等腰直角三角形C．一般三角形 D．等腰三角形【分析】根据正方形性质得出FG=BC，∠G=∠C=90°，GB=CD，根据SAS证△FGB≌△BCD，推出∠FBG=∠BDC，BF=BD，求出∠DBC+∠FBG=90°，求出∠FBD的度数即可．【解答】解：∵大小相同的两个矩形GFEB、ABCD，∴FG=BE=AD=BC，GB=EF=AB=CD，∠G=∠C=∠ABG=∠ABC=90°，∵在△FGB和△BCD中，∴△FGB≌△BCD，∴∠FBG=∠BDC，BF=BD，∵∠BDC+∠DBC=90°，∴∠DBC+∠FBG=90°，∴∠FBD=180°﹣90°=90°，即△FBD是等腰直角三角形，故选B．【点评】本题考查了等腰直角三角形，全等三角形的性质和判定，正方形性质的应用，关键是证出△FGB≌△BCD，主要考查学生运用性质进行推理的能力．2．（2015春•江阴市期中）如图，正方形ABCD和正方形CEFG 中，点D在CG上，BC=，CE=3，H是AF的中点，那么CH的长是（）A．3.5 B． C．D．2【分析】根据正方形的性质求出AB=BC=，CE=EF=3，∠E=90°，延长AD交EF于M，连接AC、CF，求出AM=4，FM=2，∠AMF=90°，根据正方形性质求出∠ACF=90°，根据直角三角形斜边上的中线性质求出CH=AF，根据勾股定理求出AF即可．【解答】解：∵正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG 上，BC=，CE=3，∴AB=BC=，CE=EF=3，∠E=90°，延长AD交EF于M，连接AC、CF，则AM=BC+CE=4，FM=EF﹣AB=2，∠AMF=90°，∵四边形ABCD和四边形GCEF是正方形，∴∠ACD=∠GCF=45°，∴∠ACF=90°，∵H为AF的中点，∴CH=AF，在Rt△AMF中，由勾股定理得：AF==2，∴CH=，故选：C．【点评】本题考查了勾股定理，正方形的性质，直角三角形斜边上的中线的应用，解此题的关键是能正确作出辅助线，并求出AF的长和得出CH=AF，有一定的难度．3．（2015春•泗洪县校级期中）如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=8，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE垂直AC交AD于点E，则AE的长是（）A．3 B．5 C．2.4 D．2.5【分析】根据矩形的性质得出∠CDE=90°，AD=BC=8，AB=DC=4，AO=OC，根据线段垂直平分线性质得出AE=CE，在Rt△CDE中，由勾股定理得出CE2=CD2+DE2，代入求出即可．【解答】解：∵在矩形ABCD中，AB=4，BC=8，∴∠CDE=90°，AD=BC=8，AB=DC=4，AO=OC，∵OE⊥AC，∴AE=CE，在Rt△CDE中，由勾股定理得：CE2=CD2+DE2，即AE2=42+（8﹣AE）2，解得：AE=5，故选B．【点评】本题考查了矩形的性质，勾股定理，线段垂直平分线性质的应用，解此题的关键是得出关于AE的方程．4．（2015秋•无锡期中）如图，在△ABC中，CF⊥AB于F，BE⊥AC于E，M为BC的中点，EF=7，BC=10，则△EFM的周长是（）A．17 B．21 C．24 D．27【分析】根据CF⊥AB于F，BE⊥AC于E，M为BC的中点，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求出FM和ME 的长，即可求解．【解答】解：∵CF⊥AB，M为BC的中点，∴MF是Rt△BFC斜边上的中线，∴FM=BC=×10=5，同理可得，ME=BC=×10=5，又∵EF=7，∴△EFM的周长=EF+ME+FM=7+5+5=17．故选A．【点评】此题主要考查学生对直角三角形斜边上的中线这个知识点的理解和掌握，解答此题的关键是利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求出FM和ME的长．5．（2015春•乌兰察布校级期中）如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，P是AD上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作AC和BD的垂线，垂足为E、F，则PE+PF的值为（）A．10 B．4.8 C．6 D．5【分析】连接OP，利用勾股定理列式求出BD，再根据矩形的对角线相等且互相平分求出OA、OD，然后根据S△AOD=S△AOP+S△DOP列方程求解即可．【解答】解：如图，连接OP，∵AB=6，AD=8，∴BD===10，∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OD=×10=5，∵S△AOD=S△AOP+S△DOP，∴××6×8=×5•PE+×5•PF，解得PE+PF=4.8．故选B．【点评】本题考查了矩形的性质，三角形的面积，熟记性质并利用三角形的面积列出方程是解题的关键．二．填空题（共4小题）6．（2016春•东平县期中）如图，在矩形ABCD中，对角线AC 与BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，若∠CAE=15°，则∠BOE的度数等于75°．【分析】由矩形ABCD，得到OA=OB，根据AE平分∠BAD，得到等边三角形OAB，推出AB=OB，求出∠OAB、∠OBC的度数，根据平行线的性质和等角对等边得到OB=BE，根据三角形的内角和定理即可求出答案．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AC=BD，OA=OC，OB=OD，∠BAD=90°，∴OA=OB，∠DAE=∠AEB，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠DAE=45°=∠AEB，∴AB=BE，∵∠CAE=15°，∴∠DAC=45°﹣15°=30°，∠BAC=60°，∴△BAO是等边三角形，∴AB=OB，∠ABO=60°，∴∠OBC=90°﹣60°=30°，∵AB=OB=BE，∴∠BOE=∠BEO=（180°﹣30°）=75°．故答案为75°．【点评】本题主要考查了三角形的内角和定理，矩形的性质，等边三角形的性质和判定，平行线的性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定等知识点，解此题的关键是求出∠OBC的度数和求OB=BE．7．（2014春•武昌区期中）如图，将平行四边形ABCD的边DC 延长到E，使CE=CD，连接AE交BC于F，∠AFC=n∠D，当n=2时，四边形ABEC是矩形．【分析】首先根据四边形ABCD是平行四边形，得到四边形ABEC是平行四边形，然后证得FC=FE，利用对角线互相相等的四边形是矩形判定四边形ABEC是矩形．【解答】解：当∠AFC=2∠D时，四边形ABEC是矩形．∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC∥AD，∠BCE=∠D，由题意易得AB∥EC，AB∥EC，∴四边形ABEC是平行四边形．∵∠AFC=∠FEC+∠BCE，∴当∠AFC=2∠D时，则有∠FEC=∠FCE，∴FC=FE，∴四边形ABEC是矩形，故答案为：2．【点评】此题考查了平行四边形的性质以及矩形的判定．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用，解题的关键是了解矩形的判定定理．8．（2015春•南长区期中）如图，在正五边形ABCDE中，连接AC、AD、CE，CE交AD于点F，连接BF，则线段AC、BF、CD之间的关系式是AC2+BF2=4CD2．【分析】首先根据菱形的判定方法，判断出四边形ABCF是菱形，再根据菱形的性质，即可判断出AC⊥BF；然后根据勾股定理，可得OB2+OC2=BC2，据此推得AC2+BF2=4CD2即可．【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形，∴AB∥CE，AD∥BC，∴四边形ABCF是平行四边形，又∵AB=BC=CD=DE=EA，∴四边形ABCF是菱形，∴AC⊥BF，∴OB2+OC2=BC2，∵AC=2OC，BF=2OB，∴AC2+BF2=（2OC）2+（2OB）2=4OC2+4OB2=4BC2，又∵BC=CD，∴AC2+BF2=4CD2．故答案为：AC2+BF2=4CD2．【点评】（1）此题主要考查了菱形的判定和性质的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法．（2）此题还考查了勾股定理的应用：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方，要熟练掌握．9．（2015春•株洲校级期中）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，四边形OABC是矩形，A（﹣10，0），C（0，3），点D 是OA的中点，点P在BC边上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标是（﹣4，3），或（﹣1，3），或（﹣9，3）．【分析】先由矩形的性质求出OD=5，分情况讨论：（1）当OP=OD=5时；根据勾股定理求出PC，即可得出结果；（2）当PD=OD=5时；①作PE⊥OA于E，根据勾股定理求出DE，得出PC，即可得出结果；②作PF⊥OA于F，根据勾股定理求出DF，得出PC，即可得出结果．【解答】解：∵A（﹣10，0），C（0，3），∴OA=10，OC=3，∵四边形OABC是矩形，∴BC=OA=10，AB=OC=3，∵D是OA的中点，∴AD=OD=5，分情况讨论：（1）当OP=OD=5时，根据勾股定理得：PC==4，∴点P的坐标为：（﹣4，3）；（2）当PD=OD=5时，分两种情况讨论：①如图1所示：作PE⊥OA于E，则∠PED=90°，DE==4，∴PC=OE=5﹣4=1，∴点P的坐标为：（﹣1，3）；②如图2所示：作PF⊥OA于F，则DF==4，∴PC=OF=5+4=9，∴点P的坐标为：（﹣9，3）；综上所述：点P的坐标为：（﹣4，3），或（﹣1，3），或（﹣9，3）；故答案为：（﹣4，3），或（﹣1，3），或（﹣9，3）．【点评】本题考查了矩形的性质、坐标与图形性质、等腰三角形的性质、勾股定理；熟练掌握矩形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．三．解答题（共31小题）10．（2012春•西城区校级期中）如图，正方形ABCD中，AE=AB，直线DE交BC于点F，求∠BEF的度数．【分析】设∠BAE=x°，根据正方形性质推出AB=AE=AD，根据等腰三角形性质和三角形的内角和定理求出∠AEB和∠AED的度数，根据平角定义求出即可．【解答】解：设∠BAE=x°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD=90°，AB=AD，∵AE=AB，∴AB=AE=AD，∴∠ABE=∠AEB=（180°﹣∠BAE）=90°﹣x°，∠DAE=90°﹣x°，∠AED=∠ADE=（180°﹣∠DAE）=[180°﹣（90°﹣x°）]=45°+x°，∴∠BEF=180°﹣∠AEB﹣∠AED，=180°﹣（90°﹣x°）﹣（45°+x°），=45°，答：∠BEF的度数是45°．【点评】本题考查了三角形的内角和定理，等腰三角形性质，正方形性质的应用，解此题的关键是如何把已知角的未知角结合起来，题目比较典型，但是有一定的难度．11．（2012秋•高淳县期中）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，对角线AC、BD交于点O，AC⊥BD，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点．（1）求证：四边形EFGH为正方形；（2）若AD=1，BC=3，求正方形EFGH的边长．【分析】（1）先由三角形的中位线定理求出四边相等，然后由AC⊥BD入手，进行正方形的判断．（2）连接EG，利用梯形的中位线定理求出EG的长，然后结合（1）的结论求出EH2=2，也即得出了正方形EHGF的边长．【解答】（1）证明：在△ABC中，∵E、F分别是AB、BC的中点，∴EF=同理FG=，GH=，HE=在梯形ABCD中，∵AB=DC，∴AC=BD，∴EF=FG=GH=HE∴四边形EFGH为菱形．设AC与EH交于点M在△ABD中，∵E、H分别是AB、AD的中点，∴EH∥BD，同理GH∥AC又∵AC⊥BD，∴∠BOC=90°．∴∠EHG=∠EMC=∠BOC=90°∴四边形EFGH为正方形．（2）解：连接EG，在梯形ABCD中，∵E、G分别是AB、DC的中点，∴EG=（AD+BC）=（1+3）=2，在Rt△HEG中，EG2=EH2+HG2，4=2EH2，EH2=2，则EH=．即四边形EFGH的边长为．【点评】此题考查了等腰梯形的性质及三角形、梯形的中位线定理，解答本题的关键是根据三角形的中位线定理得出EH=HG=GF=FE，这是本题的突破口．12．（2013秋•青岛期中）如图，点E、F分别是正方形ABCD的边CD和AD的中点，BE和CF交于点P．求证：AP=AB．【分析】延长CF、BA交于点M，先证△BCE≌△CDF，再证△CDF≌△AMF得BA=MA由直角三角形中斜边中线等于斜边的一半，可得Rt△MBP中AP=BM，即AP=AB．【解答】证明：延长CF、BA交于点M，∵点E、F分别是正方形ABCD的边CD和AD的中点，∴BC=CD，∠BCE=∠CDF，CE=DF，∴△BCE≌△CDF，∴∠CBE=∠DCF．∵∠DCF+∠BCP=90°，∴∠CBE+∠BCP=90°，∴∠BPM=∠CBE+∠BCP=90°．又∵FD=FA，∠CDF=∠MAF，∠CFD=∠MFA，∴△CDF≌△AMF，∴CD=AM．∵CD=AB，∴AB=AM．∴PA是直角△BPM斜边BM上的中线，∴AP=BM，即AP=AB．【点评】本题考查了正方形各边长相等、各内角为直角的性质，全等三角形的判定和对应边相等的性质，直角三角形斜边中线长为斜边长一半的性质，本题中求证△CDF≌△AMF是解题的关键．13．（2015春•禹州市期中）如图，点P为正方形ABCD对角线BD上一点，PE⊥BC于E，PF⊥DC于F．（1）求证：PA=EF；（2）若正方形ABCD的边长为a，求四边形PFCE的周长．【分析】（1）连接PC，证四边形PFCE是矩形，求出EF=PC，证△ABP≌△CBP，推出AP=PC即可；（2）证△CBD是等腰直角三角形，求出BF、PF，求出周长即可．【解答】解：证明：（1）连接PC，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=CB，∠ABD=∠CBD=45°，∠C=90°，在△ABP与△CBP中，，∴△ABP≌△CBP（SAS），∴PA=PC，∵PE⊥BC，PF⊥CD，∴∠PFC=90°，∠PEC=90°．又∵∠C=90°，∴四边形PFCE是矩形，∴EF=PC，∴PA=EF．（2）由（1）知四边形PFCE是矩形，∴PE=CF，PF=CE，又∵∠CBD=45°，∠PEB=90°，∴BE=PE，又BC=a，∴矩形PFCE的周长为2（PE+EC）=2（BE+EC）=2BC=2a．【点评】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的性质和判定等知识点的连接和掌握，能证出AP=PC是解此题的关键．14．（2015秋•福建校级期中）如图1，在正方形ABCD中，点E 为BC上一点，连接DE，把△DEC沿DE折叠得到△DEF，延长EF交AB于G，连接DG．（1）求∠EDG的度数．（2）如图2，E为BC的中点，连接BF．①求证：BF∥DE；②若正方形边长为6，求线段AG的长．【分析】（1）由正方形的性质可得DC=DA．∠A=∠B=∠C=∠ADC=90°，由折叠的性质得出∠DFE=∠C，DC=DF，∠1=∠2，再求出∠DFG=∠A，DA=DF，然后由“HL”证明Rt△DGA≌Rt△DGF，由全等三角形对应角相等得出∠3=∠4，得出∠2+∠3=45°即可；（2）①由折叠的性质和线段中点的定义可得CE=EF=BE，∠DEF=∠DEC，再由三角形的外角性质得出∠5=∠DEC，然后利用同位角相等，两直线平行证明即可；②设AG=x，表示出GF、BG，根据点E是BC的中点求出BE、EF，从而得到GE的长度，再利用勾股定理列出方程求解即可；【解答】（1）解：如图1所示：∵四边形ABCD是正方形，∴DC=DA．∠A=∠B=∠C=∠ADC=90°，∵△DEC沿DE折叠得到△DEF，∴∠DFE=∠C，DC=DF，∠1=∠2，∴∠DFG=∠A=90°，DA=DF，在Rt△DGA和Rt△DGF中，，∴Rt△DGA≌Rt△DGF（HL），∴∠3=∠4，∴∠EDG=∠3+∠2=∠ADF+∠FDC，=（∠ADF+∠FDC），=×90°，=45°；（2）①证明：如图2所示：∵△DEC沿DE折叠得到△DEF，E为BC的中点，∴CE=EF=BE，∠DEF=∠DEC，∴∠5=∠6，∵∠FEC=∠5+∠6，∴∠DEF+∠DEC=∠5+∠6，∴2∠5=2∠DEC，即∠5=∠DEC，∴BF∥DE；②解：设AG=x，则GF=x，BG=6﹣x，∵正方形边长为6，E为BC的中点，∴CE=EF=BE=×6=3，∴GE=EF+GF=3+x，在Rt△GBE中，根据勾股定理得：（6﹣x）2+32=（3+x）2，解得：x=2，即线段AG的长为2．【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、翻折变换的性质；熟练掌握正方形的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．15．（2016春•召陵区期中）如图①，在正方形ABCD中，F是对角线AC上的一点，点E在BC的延长线上，且BF=EF．（1）求证：BF=DF；（2）求证：∠DFE=90°；（3）如果把正方形ABCD改为菱形，其他条件不变（如图②），当∠ABC=50°时，∠DFE=50度．【分析】（1）根据正方形的四条边都相等可得BC=DC，对角线平分一组对角可得∠BCF=∠DCF，然后利用“边角边”证明即可；（2）易证∠FBE=∠FEB，又因为∠FBE=∠FDC，所以可证明∠FEB=∠FDC，进而可证明∠DFE=90°；（3）根据全等三角形对应角相等可得∠CBF=∠CDF，根据等边对等角可得∠CBF=∠E，然后求出∠DFE=∠DCE，再根据两直线平行，同位角相等可得∠DCE=∠ABC，从而得解．【解答】（1）证明：在正方形ABCD中，BC=DC，∠BCF=∠DCF=45°，∵在△BCF和△DCF中，，∴△BCF≌△DCF（SAS）；∴BF=DF；（2）证明：∵BF=EF，∴∠FBE=∠FEB，又∵∠FBE=∠FDC，∴∠FEB=∠FDC，又∵∠DGF=∠EGC，∴∠DFG=∠ECG=90°，即∠DFE=90°；（3）证明：由（1）知，△BCF≌△DCF，∴∠CBF=∠CDF，∵EE=FB，∴∠CBF=∠E，∵∠DGF=∠EGC（对顶角相等），∴180°﹣∠DGF﹣∠CDF=180°﹣∠EGC﹣∠E，即∠DFE=∠DCE，∵AB∥CD，∴∠DCE=∠ABC，∴∠DFE=∠ABC=50°，故答案为：50．【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的性质，等边对等角的性质，熟记正方形的性质确定出∠BCF=∠DCF是解题的关键．16．（2015秋•泗县期中）已知正方形ABCD中，对角线AC、BD 相交于O．①如图1，若E是AC上的点，过A 作AG⊥BE于G，AG、BD 交于F，求证：OE=OF②如图2，若点E在AC的延长线上，AG⊥EB交EB的延长线于G，AG延长DB延长线于点F，其它条件不变，OE=OF还成立吗？【分析】①由正方形的性质得出OA=OB，AC⊥BD，得出∠BOE=∠AOF=90°，由角的互余关系得出∠OBE=∠OAF，由ASA证明△BOE≌△AOF，得出对应边相等即可；②由正方形的性质得出OA=OB，AC⊥BD，得出∠BOE=∠AOF=90°，由角的互余关系得出∠OBE=∠OAF，由ASA证明△BOE≌△AOF，得出对应边相等即可．【解答】①证明：∵四边形ABCD是正方形，∴OA=OB，AC⊥BD，∴∠BOE=∠AOF=90°，∴∠OEB+∠OBE=90°，∵AG⊥BE，∴∠AGE=90°，∴∠OEB+∠OAF=90°，∴∠OBE=∠OAF，在△BOE和△AOF中，，∴△BOE≌△AOF（ASA），∴OE=OF；②解：OE=OF还成立；理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∴OA=OB，AC⊥BD，∴∠BOE=∠AOF=90°，∴∠OEB+∠OBE=90°，∵AG⊥BE，∴∠AGE=90°，∴∠OEB+∠OAF=90°，∴∠OBE=∠OAF，在△BOE和△AOF中，，∴△BOE≌△AOF（ASA），∴OE=OF．【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握正方形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．17．（2016春•邳州市期中）如图，点P是菱形ABCD中对角线AC上的一点，且PE=PB．（1）求证：PE=PD；（2）求证：∠PDC=∠PEB；（3）若∠BAD=80°，连接DE，试求∠PDE的度数，并说明理由．【分析】（1）由菱形的性质得出AB=BC=CD=AD，AB∥CD，∠DCP=∠BCP，由SAS证明△CDP≌△CBP，得出PB=PD，再由PE=PB，即可得出结论；（2）由等腰三角形的性质得出∠PBC=∠PEB，由全等三角形的性质得出∠PDC=∠PBC，即可得出∠PDC=∠PEB；（3）由四边形内角和定理得出∠DPE=100°，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可得出结果．【解答】（1）解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=AD，AB∥CD，∠DCP=∠BCP，在△DCP和△BCP中，，∴△CDP≌△CBP（SAS），∴PB=PD，∵PE=PB，∴PE=PD；（2）证明：∵PE=PB，∴∠PBC=∠PEB，∵△CDP≌△CBP，∴∠PDC=∠PBC，∴∠PDC=∠PEB；（3）解：如图所示：∠PDE=40°；理由如下：在四边形DPEC中，∵∠DPE=360°﹣（∠PDC+∠PEC+∠DCB）=360°﹣（∠PEB+∠PEC+∠DCB）=360°﹣（180°+80°）=100°，∵PE=PD∴∠PDE=∠PED=40°．【点评】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质；熟练掌握菱形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．18．（2016春•昆山市期中）如图，正方形ABCD中，AB=1，点P是BC边上的任意一点（异于端点B、C），连接AP，过B、D 两点作BE⊥AP于点E，DF⊥AP于点F．（1）求证：EF=DF﹣BE；（2）若△ADF的周长为，求EF的长．【分析】（1）由正方形的性质得出AD=AB，证出∠DAF=∠ABE，由AAS证明△ADF≌△BAE，得出AF=BE，DF=AE，即可得出结论；（2）设DF=a，AF=b，EF=DF﹣AF=a﹣b＞0，由已知条件得出DF+AF=，即a+b=，由勾股定理得出a2+b2=1，再由完全平方公式得出a﹣b即可．【解答】（1）证明：∵BE⊥AP，DF⊥AP，∴∠DFA=∠AEB=90°，∠ABE+∠BAE=90°，∵四边形ABCD为正方形，∴AD=AB，∠DAB=90°=∠DAF+∠BAE，∴∠DAF=∠ABE，在△ADF和△BAE中，，∴△ADF≌△BAE（AAS），∴AF=BE，DF=AE，∴EF=AE﹣AF=DF﹣BE；（2）解：设DF=a，AF=b，EF=DF﹣AF=a﹣b＞0，∵△ADF的周长为，AD=1，∴DF+AF=，即a+b=，由勾股定理得：DF2+AF2=AD2，即a2+b2=1，∴（a﹣b）2=2（a2+b2）﹣（a+b）2=2﹣=，∴a﹣b=，即EF=．【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握正方形的性质，由勾股定理得出a与b的关系式是解决问题（2）的关键．19．（2015春•繁昌县期中）如图，正方形ABCD的对角线AC、BD的交点为O，以O为端点引两条互相垂直的射线OM、ON，分别交边AB、BC于点E、F．（1）求证：0E=OF；（2）若正方形的边长为4，求EF的最小值．【分析】（1）根据正方形的性质可得∠EAO=∠FBO=45°，OA=OB，再根据同角的余角相等可得∠AOE=∠BOE，然后利用“角边角”证明△AOE和△BOF全等，根据全等三角形对应边相等即可得证；（2）根据等腰直角三角形△EOF，当OE最小时，再根据勾股定理得出EF的最小值．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴OA=OB，∠AOB=90°，∠EAO=∠FBO=45°，∴∠AOE+∠BOE=90°，∵OE⊥OF，∴∠BOF+∠BOE=90°，∴∠AOE=∠BOF，在△AOE与△BOF中，，∴△AOE≌△BOF（ASA），∴OE=OF；（2）由（1）可知，△EOF是等腰直角三角形，∠EOF是直角，当OE最小时，EF的值最小，∵OA=OB，OE⊥AB，∴点E是AB的中点，∴OE=AB，∵AB=4，∴OE=2，∴EF=，即EF的最小值是2．【点评】本题考查了正方形的性质，解决此类问题的关键是正确的利用旋转不变量．正确作出辅助线是关键．20．（2016春•江宁区期中）如图，在正方形ABCD中，点E是边AD上任意一点，BE的垂直平分线FG交对角AC于点F．求证：（1）BF=DF；（2）BF⊥FE．【分析】（1）由正方形的性质得出AB=AD，∠BAF=∠DAF=45°，由SAS证明△BAF≌△DAF，得出对应边相等即可；（2）由线段垂直平分线的性质得出BF=EF，证出EF=DF，得出∠FDE=∠FED，再由全等三角形的性质证出∠ABF=∠FED，由邻补角关系得出∠FED+∠FEA=180°，证出∠ABF+∠FEA=180°，由四边形内角和得出∠BAE+∠BFE=180°，求出∠BFE=90°即可．【解答】证明：如图所示：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠BAF=∠DAF=45°，∠BAE=90°，在△BAF和△DAF中，，∴△BAF≌△DAF（SAS），∴BF=DF；（2）∵BE的垂直平分线FG交对角AC于点F，∴BF=EF，∵BF=DF，∴EF=DF，∴∠FDE=∠FED，∵△BAF≌△DAF，。

八年级培优提升专题(六) 特殊的平行四边形

D C例1题图ABO E FD C例3题图1A BEFDC例3题图2A BEFD C例3题图3ABEFD C例5题图AB E α例8题图ABCDOE PD C例10题图1A BPD C例10题图2A BPD C例10题图2A BABCD FE例4题图MM培优提升专题（六）特殊的平行四边形一．基础知识回顾1．平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质与判定2．常考知识点：⑴矩形：对角线相等且互相平分；⑵菱形：对角线互相垂直平分；⑶正方形：四边相等、对角线相等且互相垂直平分、对称性；二．典例分析1．已知，如图，矩形ABCD 中，对角线,AC BD 相交于O ，AE BD ⊥于E ，若:3:1DAE BAE ∠∠=，则EAC ∠= 2．如图，已知矩形ABCD 中，将BCD 沿对角线BD 折叠，记点C 的对应点为E ，若20ADE ∠=，则BDC ∠=3．如图①是长方形纸带，20DEF ∠=，将纸带沿EF 折叠成图②，再沿BF 折叠成图③，则图③中的CFE ∠的度数是 4．如图，在ABC 中，90ACB ∠=，BC 的垂直平分线DE 交BC 于点D ，交AB 于点E ，点F 在DE 上，且AF CE =。

（1）求证：四边形ACEF 是平行四边形；（2）当B ∠的大小满足什么条件时，四边形ACEF 是菱形？（3）四边形ACEF 有可能是正方形吗，为什么？ 5．如图，菱形ABCD 的边长为2，2,BD E =、F 分别是边,AD CD 上的两个动点，且满足2AE CF +=。

⑴判断BEF 的形状，并说明理由；⑵设BEF 的面积为S ，求S 的取值范围。

6．有一个边长为5的正方形纸片ABCD ，要将其剪拼成边长分别为,a b 的两个小正方形，使得2225a b +=。

⑴,a b 的值可以是（写出一组即可）；⑵请你设计一种具有一般性的裁剪方法，在图中画出裁剪线，并拼接成两个小正方形，同时说明该裁剪方法具有一般性。

培优专题菱形矩形正方形和梯形含答案

培优专题和梯形菱形、矩形、正方形都是特殊的平行四边形，它们除了具有平行四边形的性质外，各自都有相应的特性，如菱形四边相等、对角线互相垂直，且平分对角；矩形四个角都是直角且对角线相等；正方形是最特殊的平行四边形，它具有菱形和矩形的所有特性，可以说是菱形、矩形的完美结合体，也是最基本的正多边形之一．梯形是现实生活中比较常见的图形之一，也是考查平行四边形和直角三角形非常好的载体，因此在中考数学测试和初中数学竞赛中这些特殊的四边形都是考查的重要内容．例1 如果将长方形纸片ABCD，沿EF折叠，如图，延长C′E交AD于H，连结GH，那么EF及GH互相垂直平分吗？分析要说明EF及GH互相垂直平分，只须说明四边形FGEH是菱形即可．解：∵FH`∥GE，FG∥EH，∴四边形FGEH为平行四边形，由题意知：△GEF≌△HFE．∴FG=FH，EG=EH．∴四边形GEHF为菱形．∴EF、GH互相垂直平分．练习11．如图1，菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠B=∠EAF=60°，•∠BAE=18°，则∠CEF=________．(1) (2) (3)2．如图2，四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于O，四边形BEFD是菱形，若正方形的边长为6，则菱形的面积为________．3．如图3，ABCD是正方形，E为BF上一点，四边形AFEC•恰是一个菱形，•则∠EAB=________．例2 矩形一边长为5，另一边长小于4，将矩形折起来，使两对角顶点重合，•如图，若折痕EF长为6，求另一边长．分析关键弄清“折痕”特点，即在对角线的中垂线上．此问题转化为就矩形ABCD中，已知AD=5，过对角线AC的中点O作AC的垂线EF，分别交AD于F，BC于E，若EF=6，求AB的长的问题．解：设AB=x，BE=y，连结AE．则AE=CE=5-y．在Rt△ABE中，AB2+BE2=AE2，即x2+y2=（5-y）2．得y=22510x-，AE=5-y=22510x+．又在Rt△AOE中，AO=12AC=2252x+，EO=12EF=62．代入AE2=AO2+OE2得，（22510x+）2=（2252x+）2+（62）2．即x4+25x2-150=0．解之得，x2=5，x2=-30（舍去）∴x=5．练习21．如图4，矩形纸片ABCD中，AB=3cm，BC=4cm，现将A、C重合，使纸片折叠压平，•设折痕为EF，试确定重叠部分的△AEF的面积是__________．(4) (5)2．如图5所示，把一张长方形的纸条ABCD沿对角线BD将△BCD折成△BDF，DF•交AB于E，若已知AE=2cm，∠BDC=30°，求纸条的长和宽各是________．3．如图，折叠正方形纸片ABCD，先折出折痕BD，再折叠使AD边及对角线BD重合，得折痕DG，使AD=2，求AG．例3如图，E、F分别为正方形ABCD的边BC、CD上的一点，AM⊥EF，•垂足为M，AM=AB，则有EF=BE+DF，为什么？分析要说明EF=BE+DF，只需说明BE=EM，DF=FM即可，而连结AE、AF．只要能说明△ABE≌△AME，△ADF≌△AMF即可．理由：连结AE、AF．由AB=AM，AB⊥BC，AM⊥EF，AE公用，∴△ABE≌△AME．∴BE=ME．同理可得，△ADF≌△AMF．∴DF=MF．∴EF=ME+MF=BE+DF．练习31．如图6，点A 在线段BG 上，四边形ABCD 及DEFG 都是正方形，•其边长分别为3cm 和5cm ，则△CDE 的面积为________cm 2． (6) (7)2．你可以依次剪6张正方形纸片，拼成如图7所示图形．•如果你所拼得的图形中正方形①的面积为1，且正方形⑥及正方形③的面积相等，•那么正方形⑤的面积为________．3．如图，P 为正方形ABCD 内一点，PA=PB=10，并且P 点到CD 边的距离也等于10，求正方形ABCD 的面积？例4 如图，等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BD 平分∠ABC ，∠C=30°，求AD ：BC 的值．分析添加辅助线，使等腰梯形ABCD•的问题转化为平行四边形和等腰三角形的问题．解：过D 作DF ∥AB 交BC 于F ，过D 作DE ⊥BC 于E ，则四边形ABFD 为平行四边形．设AD=a ，则AD=BF=a ．∵BD 平分∠ABC ，∴AD=AB=DF=DC=a ．在Rt △DEC 中，∠C=30°，∵DE=2a ，EC=32a ．又∵EC=DF=32a ， ∴BC=BF+EF+EC=a+32a+32a=（1+3）a ．∴AD ：BC=a ：（1+3）a=（3-1）：2练习4 1．用长为1、4、4、5的线段为边作梯形，那么这个梯形的面积等于_______．2．用一块面积为900cm 2的等腰梯形彩纸做风筝，为牢固起见，•用竹条做梯形的对角线，对角线恰好互相垂直，那么梯形对角线至少需______cm ．3．如图，一块直角梯形的钢板，两底长分别是4cm 、•10cm ，•且有一个内角为60°，问是否能将铁板任意翻转，使从一个直径为8.7cm 的圆洞中穿过？例5 如图，在矩形ABCD 中，已知AD=12，AB=5，P 是AD 边上任意一点，PE•⊥BD ，PE ⊥AC ，E 、F 分别是垂足，求PE+PF 的长．分析连结PO，则PE、PF可分别看作是OD、OA边上的高，而OA=OD，故只需求出△AOP、△DOP的面积即可．解：连结OP．由矩形ABCD，AD=12，AB=5．∴AC=BD=2OA=2OB=13．∴OA=OD=6．5．而S矩形=12×5=60．∴S△AOD =14×60=15．∴S△AOP +S △DOP =15．即12×OA×PF+12×OD×PE=15．∴12×6.5×（PE+PF）=15．∴PE+PF=60 13．练习51．如图8，等腰梯形ABCD中，上底AD=2，下底BC=8，M是腰AB的中点，若MD⊥CD，•则梯形的面积为________．(8) (9)2．如图9，已知正方形ABCD的面积为35平方厘米，E、F分别为边AB、BC上的点．AF、CE相交于G，并且△ABF的面积为14平方厘米，△BCE的面积为5平方厘米，•那么四边形BEGF的面积是________． 3．如图，在ABCD中，在AD、CD上各取一点E、F，使AF=CE，AF及CE相交于P，•则PB平分∠APC．答案:练习11．18° 2．363．连结BD交AC于点O，作EM⊥AC于点M．设正方形边长为a，则AC=BD=AE=2a又∵AC∥BF，BO⊥AC，EM⊥AC，∴BO=EM=12BD=22a．在Rt△AEM中，AE=2a，EM=22a．∴∠CAE=30°．则∠EAB=15°．练习21．7516cm2．2．纸条长为6cm，宽为23cm．3．作GM⊥BD，垂足为M．由题意可知∠ADG=GDM，则△ADG≌△MDG．∴DM=DA=2． AC=GM又易知：GM=BM．而BM=BD-DM=22-2=2（2-1），∴AG=BM=2（2-1）．练习31．6cm2． 2．36．3．过P作EF⊥AB于F交DC于E．设PF=x，则EF=10+x，BF=12（10+x）．由PB2=PF2+BF2．可得：102=x2+14（x+10）2．故x=6．S正方形ABCD=162=256．练习41．63或10．2．302．3．过D作DE⊥BC于E，则BE=4，EC=6，由∠C=60°，知CD=2EC=12，由于BC>8.7，DE>8.7，故这两个方向不能穿过圆洞．过B作BF⊥CD，有CF=12BC=5．得=8.7．故沿CD方向可穿过圆洞．练习51．2．42027cm2（面积法）．3．连结BF、BE．过B作BM⊥AF于M，BN⊥CE于N．则有S △ABF=S△BCE=12S ABCD．即12×AF×BM=12×CE×BN．∵AF=CE∴BM=BN∴点B在∠APC的平分线上．即PB平分∠APC．练习5-1的详解：方法一：过D作DQ⊥BC于Q，作CD中点N，连结MN，交DQ于S MN为梯形ABCD中位线，∴MN=5,MN‖BC∴MS为梯形ABQD中位线∴MS=7/2,S为DQ中点，∵DQ⊥BC,MN‖BC，∴DQ⊥MN设DS=SQ=a，则MS²+DS²=MD²，则MD²=49/4 + a²， SN为△DQC中位线∴SN=3/2∴DN²=9/4 +a²∵MD⊥CD∴MD²+DN²=MN²∴49/4 + a²+ 9/4 +a²=25解得a=√21 /2，DQ=√21， S=1/2(2+8)*√21=5√21方法二：延长DM，BC交于点N。

鲁教版八年级数学上册第五章平行四边形单元综合培优测试题1(附答案)

鲁教版八年级数学上册第五章平行四边形单元综合培优测试题1（附答案）一、单选题1．如图，锐角△ABC中，AD是高，E,F分别是AB,AC中点,EF交AD于G,已知GF=1,AC= 6,△DEG的周长为10，则△ABC的周长为（）A．27-32B．28-32C．28-42D．29-522．如图,在四边形ABCD中, AD//BC,且AD>BC,BC= 6cm, AD=9cm, P、Q分别从A、C 同时出发,P以1cm/s的速度由A向D运动,Q以2cm/s的速度由C向B运动,多少s时直线将四边形ABCD截出一个平行四边形( )A．1 B．2 C．3 D．2或33．能够铺满地面的正多边形组合是（）A．正三角形和正五边形B．正方形和正六边形C．正方形和正五边形D．正五边形和正十边形4．如图，在Rt△ABC中，∠A=30°，BC=2，点D，E分别是直角边BC，AC的中点，则DE的长为（）A．2 B．3 C．4 D．235．如图，∠BAC＝∠ACD＝90°，∠ABC＝∠ADC，CE⊥AD，且BE平分∠ABC，则下列结论：①AD＝CB；②∠ACE＝∠ABC；③∠ECD+∠EBC＝∠BEC；④AD∥BC;⑤△CDE △ABF其中正确的是（）个6．已知点A（4，0），B（0，﹣4），C（a，2a）及点D是一个平行四边形的四个顶点，则线段CD的长的最小值为（）A．655B．1255C．32D．427．如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，将直角边AC绕A点逆时针旋转至AC′，连接BC′，E为BC′的中点，连接CE,则CE的最大值为( ).A．5B．21+C．212+D．512+二、填空题8．如图，在Rt△ABC中, 90B∠=，AB=3，30BCA∠=点D在BC上，以AC为对角线的所有平行四边形ADCE中，DE最小值是_______.9．如图，在▱ABCD中，M为边CD上一点，将△ADM沿AM折叠至△AD′M处，A D′与CM交于点N．若∠B＝55°，∠DAM＝24°，则∠NMD′的大小为___度．10．如图，在▱ABCD 中，∠A＝60°，AB＝8，AD＝6，点E、F 分别是边AB、CD 上的动点，将该四边形沿折痕EF 翻折，使点A 落在边BC 的三等分点处，则AE 的长为．11．如图，△ACB 中，∠ACB =90°，在AB 的同侧分别作正△ACD 、正△ABE 和正△BCF . 若四边形CDEF 的周长是24，面积是17，则AB 的长是_______.12．如图，在平面直角坐标系xOy 中，A,B 两点分别在x 轴，y 轴的正半轴上，且OA=OB ，点C 在第一象限，OC=3，连接BC ，AC ，若∠BCA=90°，则BC+AC 的值为_________．13．如图，平行四边形ABCD 中，AB ：BC ＝3：2，∠DAB ＝60°，E 在AB 上，如果AE ：EB ＝1：2，F 是BC 的中点，过D 分别作DP ⊥AF 于P ，DQ ⊥CE 于Q ，那么DP ：DC 等于_____．14．如图，四边形ABCD 中，∠ABC=90°,AB=4cm ，BC=8cm ，E 、F 是AD ，DC 的中点，连接EF 、BE 、BF ，已知四边形ABCD 的面积为36，△DEF 的面积是△DAC面积的，求△BEF 的面积_____.15．已知从六边形的一个顶点出发，可以引m 条对角线，这些对角线可以把这个六边形分成n 个三角形，则m n -=______.16．如图，在Rt ABC △中，90︒∠=C ，2BC =，30A ︒∠=，点D 是AB 的中点，P 是AC 边上一动点，连接DP ，将DPA 沿着DP 折叠，A 点落到F 处，DF 与AC 交于点E ，当DPF 的一边与BC 平行时，线段DE 的长为_____.17．在△ABC中，BC=a．作BC边的三等分点C1，使得CC1：BC1=1：2，过点C1作AC的平行线交AB于点A1，过点A1作BC的平行线交AC于点D1，作BC1边的三等分点C2，使得C1C2：BC2=1：2，过点C2作AC的平行线交AB于点A2，过点A2作BC 的平行线交A1C1于点D2；如此进行下去，则线段A n D n的长度为______________.三、解答题18．如图，在△ABC中，CE平分∠ACB交AB于E点，DE∥BC，DF∥AB．（1）若∠BCE＝25°，请求出∠ADE的度数；（2）已知：BF＝2BE，DF交CE于P点，连结BP，AB⊥BP．①猜想：△CDF的边DF与CD的数量关系，并说明理由；②取DE的中点N，连结NP．求证：∠ENP＝3∠DPN．19．如图，在△ABC中，AD、AE分别为△ABC的中线和角平分线．过点C作CH⊥AE于点H，并延长交AB于点F，连接DH，求证：DH＝12 BF．20．我们定义：如图1、图2、图3，在△ABC中，把AB绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°）得到AB′，把AC绕点A逆时针旋转β得到AC′，连接B′C′，当α+β＝180°时，我们称△AB'C′是△ABC的“旋补三角形”，△AB′C′边B'C′上的中线AD叫做△ABC的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．图1、图2、图3中的△AB′C′均是△ABC的“旋补三角形”．（1）①如图2，当△ABC为等边三角形时，“旋补中线”AD与BC的数量关系为：AD＝BC；②如图3，当∠BAC＝90°，BC＝8时，则“旋补中线”AD长为．（2）在图1中，当△ABC为任意三角形时，猜想“旋补中线”AD与BC的数量关系，并给予证明．21．（1）操作发现：如图1，在矩形ABCD中，E是BC的中点，将△ABE沿AE折叠后得到△AFE，点F在矩形ABCD内部，延长AF交CD于点G．猜想线段GF与GC有何数量关系？并证明你的结论．（2）简单应用：在（1）中，如果AB＝4，AD＝6，求DG的长；（3）类比探究：如图2，将（1）中的矩形ABCD改为平行四边形，其它条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由．22．如图1，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（﹣1，0），（3，0），现同时将点A、B分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到对应点C、D，连接AC，BD，CD．（1）点C的坐标是，点D的坐标是．（2）在坐标轴上是否存在一点P，S△P AC＝14S四边形ABDC，若存在这样一点，请求出点P的坐标，若不存在，试说明理由．（3）如图2，在线段CO上取一点G，使OG＝3CG在线段OB上取一点F，使OF＝2BF，CF与BG交于点H，求四边形OGHF的面积．23．如图，已知直线l1：y＝2x+4与y轴交于A点，与x轴交于点B，经过A点的直线l2与直线l1所夹的锐角为45°．（1）过点B作CB⊥AB，交l2于C，求点C的坐标．（2）求l2的函数解析式．（3）在直线l1上存在点M，直线l2上存在点N，使得点A、O、M、N四点组成的四边形是平行四边形，请直接写出点N的坐标．24．如图：五边形ABCDE 中，AB ∥CD ，BC ⊥AB ，AB =BC =8，CD =5．（1）说明∠A ，∠E ，∠D 之间的数量关系；（2）平移五边形ABCDE ，使D 点移动到C 点，画出平移后的五边形A 'B 'C 'CE '，并求出顺次连接A 、A '、E '、C 、D 、E 、A 各点所围成的图形的面积；（3）在∠BAE 和∠E 'CD 的内部取一点F ，使∠EAF =13∠EAB ，∠FCE '=13∠DCE ' ，求∠AFC 与∠AED 之间的数量关系．25．AF CD ∥，AB DE ∥，且120A ∠=︒，80B ∠=︒，求D ∠和C ∠的度数.26．如图所示，ABC ∆中，90C ∠=︒，D ，E 分别为BC ，AC 上一点，BD CE =，AE BC =，求证：2AD BE =.27．如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B =90°，AB =8，AD =24，BC =26，点P 从点A 出发，以1的速度向点D 运动；点Q 从点C 同时出发，以3的速度向点B 运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动.设运动时间为.（1）为何值时，四边形PQCD 为平行四边形?28．分别在图①，图②中按要求作图（保留作图痕迹，不写作法）（1）如图①，已知四边形ABCD 为平行四边形，BD 为对角线，点P 为AB 上任意一点，请你用无刻度的直尺在CD 上找出另一点Q ，使AP ＝CQ ；（2）如图②，已知四边形ABCD 为平行四边形，BD 为对角线，点P 为BD 上任意一点，请你用无刻度的直尺在BD 上找出一点Q ，使BP ＝DQ ．29．在平面直角坐标系中，过点(1,3)C 、(3,1)D 分别作x 轴的垂线，垂足分别为A 、B ． (1)求直线CD 和直线OD 的解析式；(2)点M 为直线OD 上的一个动点，过M 作x 轴的垂线交直线CD 于点N ，是否存在这样的点M ，使得以A 、C 、M 、N 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求此时点M 的横坐标；若不存在，请说明理由；(3)若AOC ∆沿CD 方向平移(点C 在线段CD 上，且不与点D 重合)，在平移的过程中，设平移距离为2t ，AOC ∆与OBD ∆重叠部分的面积记为s ，试求s 与t 的函数关系式．参考答案1．C 【解析】【分析】由中点性质先得AF ＝3，再用勾股定理求出AG ＝，然后由中位线性质得DG ＝AG ＝△DEG 的周长为10，所以求得EG+DE 的值，进一步证得AB=2DE,BD=2EG,从而求得△ABC 的周长. 【详解】∵ E,F 分别是AB,AC 中点,EF 交AD 于G, ∴EF ∥BC ，11AF AC 6322==⨯= ∵AD 是高∴∠ADC=∠AGF=90° 在Rt △AGF 中AG ===∵EF ∥BC ∴1AG AFDG FC== ∴FG 是△ADC 的中位线 ∴DC=2GF=2∴ ∵ △DEG 的周长为10，∴ 在Rt △ADB 中，点E 是AB 边的中点，点G 是AD 的中点， ∴AB=2DE ，BD=2EG∴AB+BD=2（EG+DE ）∴△ABC 的周长为：故答案为C 【点睛】此题主要考查了直角三角形的性质、勾股定理、中位线性质等知识点.在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半． 2．D 【解析】【分析】根据题意设t 秒时，直线将四边形ABCD 截出一个平行四边形，AP=t,DP=9-t,CQ=2t,BQ=6-2t.要使成平行四边形，则就有AP=BQ 或CQ=PD ，计算即可求出t 值. 【详解】根据题意设t 秒时，直线将四边形ABCD 截出一个平行四边形则AP=t,DP=9-t,CQ=2t,BQ=6-2t 要使构成平行四边形则：AP=BQ 或CQ=PD进而可得：62t t =- 或29t t =- 解得2t = 或3t = 故选D. 【点睛】本题主要考查四边形中的动点移动问题，关键在于根据平行四边形的性质列出方程求解即可. 3．D 【解析】【分析】正多边形的组合能否铺满地面，关键是要看位于同一顶点处的几个角之和能否为360°．若能，则说明能铺满；反之，则说明不能铺满．【详解】解：A 、正五边形和正三边形内角分别为108°、60°，由于60m+108n=360，得m=6-95n ，显然n 取任何正整数时，m 不能得正整数，故不能铺满，故此选项错误；B 、正方形、正六边形内角分别为90°、120°，不能构成360°的周角，故不能铺满，故此选项错误；C 、正方形、正五边形内角分别为90°、108°，当90n+108m=360，显然n 取任何正整数时，m不能得正整数，故不能铺满，故此选项错误；D、正五边形和正十边形内角分别为108、144，两个正五边形与一个正十边形能铺满地面，故此选项正确．故选：D．【点睛】此题主要考查了平面镶嵌，两种或两种以上几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．需注意正多边形内角度数=180°-360°÷边数．4．A【解析】【分析】根据直角三角形的性质求出AB，根据三角形中位线定理计算即可.【详解】解：在Rt△ABC中，∠A=30°，∴AB=2BC=4，∵D，E分别是直角边BC，AC的中点，∴122DE AB==，故选：D.【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半.5．B【解析】【分析】根据条件∠BAC=∠ACD=90°，∠ABC=∠ADC可以判断四边形ABCD是平行四边形，于是可判断答案①②④正确，由④再进一步判断答案③也正确，即可做出选择．【详解】解：∵∠BAC=∠ACD=90°，且∠ABC=∠ADC∴AB∥CD且∠ACB=∠CAD∴BC∥AD∴四边形ABCD是平行四边形．∴答案①④正确；∵∠ACE+∠ECD=∠D+∠ECD=90°∴∠ACE=∠D而∠D=∠ABC∴∠ACE=∠D=∠ABC∴答案②正确；又∵∠CEF+∠CBF=90°，∠AFB+∠ABF=90°且∠ABF=∠CBF，∠AFB=∠CFE∴∠CEF=∠AFB=∠CFE∵∠ECD=∠CAD，∠EBC=∠EBA∴∠ECD+∠EBC=∠CFE=∠BEC∴答案③正确．∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD=AB<BF，∴△CDE与△ABF不会全等，答案⑤错误.故选B．【点睛】本题考查的是直角三角形中角的相互转化，会运用三角形的全等及角的互余关系进行角的转化是解题关键．6．B【解析】【分析】根据题意可判定此题需分两种情况讨论，如果AB、CD为对角线，AB与CD交于点F，当FC⊥直线y＝2x时，CD最小，根据垂直及F点坐标可先求的直线FC的函数解析式，进而通过求得点C坐标来求CD；如果CD是平行四边形的边，则CD＝AB＝对比两种情况即可求得CD最小值.【详解】解：如图，由题意点C在直线y＝2x上，如果AB、CD为对角线，AB与CD交于点F，当FC⊥直线y＝2x时，CD最小，易知直线AB为y＝x﹣4，∵AF＝FB，∴点F坐标为（2，﹣2），∵CF⊥直线y＝2x，设直线CF为y＝﹣12x+b′F（2，﹣2）代入得b′＝﹣1∴直线CF为y＝﹣12x﹣1，由2112y xy x=⎧⎪⎨=--⎪⎩解得2545xy⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，∴点C坐标（25-，45-）．∴CD＝2CF＝222242255⎛⎫⎛⎫++-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭125如果CD是平行四边形的边，则CD＝AB＝2125，∴CD 125．故选：B．【点睛】本题考查了一次函数与平行四边形的综合题，解本题的关键是找到何时CD最短.7．B【解析】【分析】取AB的中点M，连接CM，EM，当CE＝CM+EM时，CE的值最大，根据旋转的性质得到AC ′＝AC ＝2，由三角形的中位线的性质得到EM 12=AC ′＝1，根据勾股定理得到AB ＝22，即可得到结论．【详解】取AB 的中点M ，连接CM ，EM ，∴当CE ＝CM +EM 时，CE 的值最大．∵将直角边AC 绕A 点逆时针旋转至AC ′，∴AC ′＝AC ＝2． ∵E 为BC ′的中点，∴EM 12=AC ′＝1． ∵∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝2，∴AB ＝22，∴CM 12=AB 2=，∴CE ＝CM +EM 21=+．故选B ．【点睛】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，三角形的中位线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．8．3【解析】【分析】DE 2OD =,当且仅当OD 取得最小值时DE 取得最小值，即OD BC.⊥【详解】解：在Rt △ABC 中, 90B ∠= ，AB=3当OD BC ⊥时，OD 的值最小∴当OD BC ⊥时，OD AB在平行四边形ADCE 中，O 是AC 的中点∴OD 是ABC 的中位线13OD 22AB ∴== DE 2OD 3.∴==故答案为3.【点睛】此题重点考察学生对直角三角形和平行四边形的应用，掌握直角三角形和平行四边形的性质是解题的关键.9．22.【解析】【分析】由平行四边形的性质得出∠D=∠B=55°，由折叠的性质得：∠D'=∠D=55°，∠MAD'=∠DAM=24°，由三角形的外角性质求出∠AMN=79°，与三角形内角和定理求出∠AMD'=101°，即可得出∠NMD'的大小.【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠D=∠B=55°，由折叠的性质得：∠D'=∠D=55°，∠MAD'=∠DAM=24°，∴∠AMN=∠D+∠DAM=55°+24°=79°，∠AMD'=180°-∠MAD'-∠D'=101°， ∴∠NMD'=101°-79°=22°；故答案为：22.【点睛】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的外角性质以及三角形内角和定理；熟练掌握平行四边形的性质和折叠的性质，求出∠AMN 和∠AMD'是解决问题的关键. 10．143或285【解析】【分析】设点A 落在BC 边上的A′点，分两种情况：①当A′C=13BC=2时；②如图2，当A′B=13BC=2时，过A′点作AB 延长线的垂线，构造直角三角形，利用勾股定理即可．【详解】设点A落在BC边上的A′点．①如图1，当A′C=13BC=2时，A′B=4，设AE=x，则A′E=x，BE=8-x．过A′点作A′M垂直于AB，交AB延长线于M点，在Rt△A′BM中，∠A′BM=60°，∴BM=2，3．在Rt△A′EM中，利用勾股定理可得：x2=（10-x）2+12，解得x=285．即AE=285；②如图2，当A′B=13BC=2时，设AE=x，则A′E=x，BE=8-x．过A′点作A′N垂直于AB，交AB延长线于N点，在Rt△A′BN中，∠A′BN=60°，∴BN=1，3在Rt△A′EN中，利用勾股定理可得：x2=（9-x）2+3，解得x=143．即AE=143；所以AE的长为5.6或143．故答案为5.6或143．【点睛】本题主要考查翻折性质、平行四边形的性质、勾股定理，同时考查分类讨论的数学思想．11．19【解析】【分析】依据全等三角形的性质，即可得到DE=CB=CF，EF=AC=DC，进而得出四边形CDEF是平行四边形，再根据∠CFG=30°，即可得到CG=12CF ，进而根据四边形CDEF 的周长和面积，得到AC 与BC 的和与积，再利用勾股定理及完全平方公式的变形即可解答．【详解】如图，过C 作CG ⊥EF 于G ，设BC=a ，AC=b ，∵△ACD ，△ABE ，△BCF 都是等边三角形，∴AD=AC ，AE=AB ，∠DAC=∠EAB=60°，∴∠DAE=∠CAB ，∴△ADE ≌△ACB ，∴DE=CB=CF=a ，同理可得，EF=AC=DC=b ，∴四边形CDEF 是平行四边形，∵∠ACD=∠BCF=60°，∠ACB=90°，∴∠DCF=150°，∴∠CFG=30°，∴CG=12CF ∵四边形CDEF 的周长是24，面积是17，∴a+b=12,ab=34∵∠ACB=90°∴AB 2=22221446876a b a b ab∴AB=219【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质的综合运用，解决问题的关键是判定四边形CDEF 是平行四边形，作辅助线构造含30°角的直角三角形．12．32【解析】【分析】可将△OBC绕着O点顺时针旋转90°，所得的图形与△OAC正好拼成等腰直角三角形BC+AC等于等腰三角形的斜边CD.【详解】解：将△OBC绕O点旋转90°，∵OB=OA∴点B落在A处，点C落在D处且有OD=OC=3，∠COD=90°，∠OAD=∠OBC，在四边形OACB中∵∠BOA=∠BCA=90°，∴∠OBC+∠OAC=180°，∴∠OAD+∠OAC=180°∴C、A、D三点在同一条直线上，∴△OCD为等要直角三角形，根据勾股定理CD2=OC2+OD2即CD2=32+32=18解得CD=32即BC+AC=32【点睛】本题考查旋转的性质，旋转前后的图形对应边相等，对应角相等.要求两条线段的长，可利用作图的方法将两条线段化成一条线段，再求这条线段的长度即可，本题就是利用旋转的方法做到的，但做本题时需注意，一定要证明C 、A 、D 三点在同一条直线上.本题还有一种化一般为特殊的方法，因为答案一定可考虑CB⊥y 轴的情况，此时四边形OACB 刚好是正方形，在做选择或填空题时，也可以起到事半功倍的效果.13【解析】【分析】连接DE 、DF ，过F 作FN⊥AB 于N ，过C 作CM⊥AB 于M ，根据平行四边形的性质得到AD∥BC ，根据平行线的性质得到∠CBN=∠DAB=60°，根据勾股定理得到，根据三角形和平行四边形的面积公式即可得到结论．【详解】连接DE 、DF ，过F 作FN ⊥AB 于N ，过C 作CM ⊥AB 于M ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，∵∠DAB ＝60°，∴∠CBN ＝∠DAB ＝60°，∴∠BFN ＝∠MCB ＝30°，∵AB ：BC ＝3：2，∴设AB ＝3a ，BC ＝2a ，∴CD ＝3a ，∵AE ：EB ＝1：2，F 是BC 的中点，∴BF ＝a ，BE ＝2a ，∵∠FNB ＝∠CMB ＝90°，∠BFN ＝∠BCM ＝30°，∴BM ＝12BC ＝a ，BN ＝12BF ＝12a ，FN ，CM a ，∴AF ，∵F 是BC 的中点， ∴S △DF A ＝12S 平行四边形ABCD ，即12AF×DP＝12CD×CM，∴PD＝33 13，∴DP：DC＝3:13．故答案为：3:13．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，平行四边形面积，勾股定理，三角形的面积，含30度角的直角三角形等知识点的应用，正确的作出辅助线是解题的关键．14．13【解析】【分析】过D点作DM⊥AC,分别交AC、EF于点M、N，过B点作BP⊥AC，垂足为P,先利用勾股定理和中位线定理求出AC和EF的长，然后利用面积法求出相应的高MN，BP，再利用面积公式求出的面积.【详解】解：过D点作DM⊥AC,分别交AC、EF于点M、N，过B点作BP⊥AC，垂足为P,∵AB=4，BC=8，∴AC=,∵E、F是AD，DC的中点，∴EF=∵四边形ABCD的面积=36,∴,即,∴∴，∴∴=13.【点睛】本题主要考查了勾股定理和三角形中位线以及三角形面积问题，正确做出辅助线和利用面积法求出相应的高MN，BP是解题的关键.15．﹣1【解析】【分析】多边形的任意一点连其他各点得到的对角线条数为（n﹣3）；组成的三角形的个数为（n﹣2），.分别求出m、n的值即可得出m n【详解】根据题意，画出图形：总结规律“多边形的任意一点连其他各点得到的对角线条数为（n ﹣3）；组成的三角形的个数为（n ﹣2）”可知，对角线共有6﹣3=3条，分成6﹣2=4个三角形，则3,4m n ==所以341m n -=-=-故答案为﹣1【点睛】本题主要考查了多边形的任意一点连其他各点得到的对角线条数为（n ﹣3）及组成的三角形的个数为（n ﹣2），掌握规律能轻松快速解答本题.16．1或2或23 【解析】【分析】当DPF 的一边与BC 平行时，会有三种情况，需分别讨论，①：//DF BC ，②//DP BC ，③：//PF BC ，分别计算出每种情况时线段DE 的长即可.【详解】当DPF 的一边与BC 平行时，有三种情况，分别讨论:①：//DF BC如下图所示，当//DF BC 时，90AED C ︒∠=∠=，则在Rt AED △中，30A ︒∠=，2AD =，则 12AD DE ==; ②: 如下图所示，当//DP BC 时，点A 的对应点F 与点C 、E 重合，由折叠的性质可知2AD DE ==；③: 当//PF BC 时,如下图所示，90CPF APF C ︒∠=∠=∠=，因为折叠，30A F ︒∠=∠=，过点D 作AC 边上的垂线，垂足为H ，则60DEH ︒∠=，根据中位线定理可知12BC DH ==，继而可23DE =【点睛】本题考查折叠的性质，中位线定理，熟知折叠的性质和中位线定理的应用是解题关键，本题属于三角形综合题 . 17．123n n a - 【解析】【分析】根据平行四边形的判定定理得到四边形A 1C 1CD 1为平行四边形，根据平行四边形的性质得到A 1D 1=C 1C ，总结规律，根据规律解答．【详解】∵A 1C 1∥AC ，A 1D 1∥BC ，∴四边形A 1C 1CD 1为平行四边形，∴A 1D 1=C 1C=13a=11123a -，同理，四边形A2C2C1D2为平行四边形，∴A2D2=C1C2=29a=21223a-，……∴线段A n D n=123nna-，故答案为：123nna-．【点睛】本题考查的是平行四边形的判定和性质、图形的变化规律，掌握平行四边形的判定定理和性质定理是解题的关键．18．（1）∠ADE＝50°；（2）①CD＝2DF；见解析；②见解析．【解析】【分析】（1）利用角平分线得出∠ACB=2∠BCE=50°，再利用两直线平行，同位角相等即可得出结论；（2）先判断出四边形BEDF是平行四边形，进而得出DE=2DF，再利用角平分线及平行线得出DE=CD，即可得出结论；（3）先利用倍长中线法得出NG=NP，∠EGN=∠DPN，再用直角三角形的中线得出∠EGN=∠EBN，再构造出菱形判断出∠BEN=∠BHN，即可得出结。

鲁教版八年级数学上册第五章平行四边形单元综合培优测试题(附答案)

鲁教版八年级数学上册第五章平行四边形单元综合培优测试题（附答案）一、单选题 1．如图，在平行四边形ABCD 中，点O 是对角线BD 的中点，过点O 作线段EF ，使点E 点F 分别在边AD ，BC 上（不与四边形ABCD 顶点重合），连结EB ，EC 设ED ＝kAE ，下列结论：①若k ＝1，则BE ＝CE ；②若k ＝2，则△EFC 与△OBE 面积相等：③若△ABE ≌△FEC ，则EF ⊥BD ．其中正确的是（）A ．①B ．②C ．③D ．②③2．如图：已知AB ＝10，点C 、D 在线段AB 上且AC ＝DB ＝2；P 是线段CD 上的动点，分别以AP 、PB 为边在线段AB 的同侧作等边△AEP 和等边△PFB ，连接EF ，设EF 的中点为G ；当点P 从点C 运动到点D 时，则点G 移动路径的长是（）A ．5B ．4C ．3D ．03．如图，△ABC 的面积为1，分别取AC 、BC 两边的中点A 1、B 1，则四边形A 1ABB 1的面积为34，再分别取A 1C 、B 1C 的中点A 2、B 2，取A 2C 、B 2C 的中点A 3、B 3，依次取下去…利用这一图形，能直观地计算出233333++++4444n =（）A ．1B ．144n n - C ．11-4n D ．414n n + 4．如图，点O 为正六边形的中心，P ，Q 分别从点A （1，0）同时出发，沿正六边形按图示方向运动，点P 的速度为每秒1个单位长度，点Q 的速度为每秒2个单位长度，则第2020次相遇地点的坐标为（）A ．1322⎛- ，B ．()10，C ．1322⎛-- ，D ．()10-，二、填空题5．如图，在平行四边形ABCD 中，AB =2AD ，BE 平分∠ABC 交CD 于点E ，作BF ⊥AD ，垂足为F ，连接EF ，小明得到三个结论：①∠FBC =90°；②ED =EB ；③EBF EDF EBC S S S ∆∆∆=+．则三个结论中一定成立的是____________．6．如图，已知60XOY ∠=，点A 在边OX 上，4OA =，过点A 作AC OY ⊥于点C ，以AC 为一边在XOY ∠内作等边三角形ABC ，点P 是ABC 围成的区域（包括各边）内的一点，过点P 作//PD OY 交OX 于点D ，作//PE OX 交OY 于点E ，则2OD OE +的最大值与最小值的积是______．7．如图，在三角形纸片ABC 中，90C =∠，30A ∠=，9AC =，将纸片沿过点B 的直线折叠，使点C 落在斜边上的点E 处，折痕记为BD ，剪去△ADE 后得到双层△BDE ，再沿着过△BDE 某顶点的直线将双层三角形剪开，使得展开后的平面图形中有一个是平行四边形，则所得平行四边形的面积是_____．8．如图，CM 是ABC 的中线，2,,,AB AC AD BC CN DN ===若100ACB ∠=︒，则NMC ∠的度数为___________________．9．如图，平行四边形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝2，∠DAB ＝60°，E 在AB 上，且AE ＝12EB ，F 是BC 的中点，过D 分别作DP ⊥AF 于P ，DQ ⊥CE 于Q ，则DP ：DQ 的值为_____．10．在ABC ∆中，120BAC D ︒∠=，为BC 的中点，6AE =，把AD 绕点A 逆时针旋转120︒，得到AF ，若7,CF ACF AEC =∠=∠，则AC =________11．如图，菱形ABCD 的边长为6，M 、N 分别是边BC 、CD 的上点，且MC ＝2MB ，ND ＝2NC ．点P 是对角线上BD 上一点，则PM ＋PN 的最小值是_____．三、解答题12．已知，在ABC 中，以AC 、BC 为边分别向形外作等边ACD 和BCE ，M 为CD 中点，N 为CE 中点，P 为AB 中点．（1）如图(a )所示，当120ACB ∠=︒时，MPN ∠的度数为__________．（2）如图(b )所示，当()0180ACB αα∠=<<时，MPN ∠的度数是否发生变化？证明你的结论．13．在平面直角坐标系中，直线()403y x b b =-+>交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，10AB =．（1）如图1，求b 的值；（2）如图2，经过点B 的直线(4)(40)y n x b n =++-<<与直线y nx =交于点C ，与x 轴交于点R ，//CD OA ，交AB 于点D ，设线段CD 长为d ，求d 与n 的函数关系式；（3）如图3，在（2）的条件下，点F 在第四象限，CF 交OA 于点E 、交OB 于点S ，点P 在第一象限，PH OA ⊥，点N 在x 轴上，点M 在PH 上，MN 交PE 于点G ，45EGN ∠=︒，PH EN =，过点E 作EQ CF ⊥，交PH 于点Q ，连接BF 、RQ ，BF 交x 轴于点V ，若C 为BR 中点，222EQ EF PM =+=，ERQ ABF ∠=∠，求点V 的坐标．14．我们知道平行四边形有很多性质.现在如果我们把平行四边形沿着它的一条对角线翻折，会发现这其中还有更多的结论.（发现与证明）在ABCD 中，AB BC ≠，将ABC ∆沿AC 翻折至'AB C ∆，连结'B D .结论1：'//B D AC ；结论2：'AB C ∆与平行四边形ABCD 重叠部分的图形是等腰三角形……请利用图1证明结论1或结论2（只需证明一个结论）.（应用与探究）在平行四边形ABCD 中，已知30B ∠=︒，将ABC ∆沿AC 翻折至'AB C ∆，连结'B D .（1）如图1，若3AB ='75AB D ∠=︒，则ACB =∠______，BC =______；（2）如图2，23AB =1BC =，'AB 与边CD 相交于点E ，求AEC ∆的面积；（3）已知23AB =BC 长为多少时，'AB D ∆是直角三角形？15．如图①，将正方形ABOD 放在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，点D 的坐标为（2，3），（1）点B 的坐标为；（2）若点P 为对角线BD 上的动点，作等腰直角三角形APE ，使∠P AE ＝90°，如图②，连接DE ，则BP 与DE 的关系（位置与数量关系）是，并说明理由；（3）在（2）的条件下，再作等边三角形APF ，连接EF 、FD ，如图③，在 P 点运动过程中当EF 取最小值时，此时∠DFE ＝ °；（4）在（1）的条件下，点 M 在 x 轴上，在平面内是否存在点N ，使以 B 、D 、M 、N 为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．16．如图所示，在ABCD 中，AE BC ⊥，垂足为E ，DE 平分ADC ∠，点F 为CE 的中点，点G 为CD 上的一点，连接DF 、EG 、AG 、FG ，GEC FDC ∠=∠．（1）若 2.5CF =，4AE =，求BE 和FG 的长．（2）求证：12FDC AGE ∠=∠．17．感知：如图()1，在ABC 中，120BAC ∠=︒，,AB AC =点,D E 分别在边,AB AC 上，,AD AE =连接,,,BE DE MN 点,,M P N 分别为,,DE BE BC 的中点，则PM 与PN 的数量关系是：．探究：把ADE 绕点A 顺时针方向旋转，如图()2，连接,,BD CE()1证明： PM PN =()2PMN ∠的度数为 _应用：把ADE 绕点A 在平面内自由旋转，若3,9,AD AB PMN ==面积的最大值为___________．18．已知如图，四边形ABCD，BE、DF分别平分四边形的外角∠MBC和∠NDC，若∠BAD ＝α，∠BCD＝β（1）如图1，若α+β＝150°，求∠MBC+∠NDC的度数；（2）如图1，若BE与DF相交于点G，∠BGD＝45°，请写出α、β所满足的等量关系式；（3）如图2，若α＝β，判断BE、DF的位置关系，并说明理由．19．如图，在平行四边形ABCD中，AB = 6cm ，BC = 12cm ，∠B = 30︒，点P 在BC 上由点B向点C 出发，速度为每秒2cm；点Q 在边AD上，同时由点D 向点A 运动，速度为每秒1cm ，当点P 运动到点C时，P 、Q 同时停止运动，连接PQ，设运动时间为t秒．（1）当t为何值时四边形ABPQ 为平行四边形？（2）当t为何值时，四边形ABPQ 的面积是四边形ABCD 的面积的四分之三？（3）连接AP ，是否存在某一时刻t，使∆ABP 为等腰三角形？并求出此刻t的值．20．如图，四边形ABCD为矩形，C点在x轴上，A点在y轴上，D(0，0)，B(3，4)，矩形ABCD沿直线EF折叠，点B落在AD边上的G处，E、F分别在BC、AB边上且F(1，4)．(1)求G点坐标(2)求直线EF解析式(3)点N在坐标轴上，直线EF上是否存在点M，使以M、N、F、G为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出M点坐标；若不存在，请说明理由21．在平行四边形ABCD中，点E是AD边上的点，连接BE．（1）如图1，若BE平分∠ABC，BC＝8，ED＝3，求平行四边形ABCD的周长；（2）如图2，点F是平行四边形外一点，FB＝CD．连接BF、CF，CF与BE相交于点G，若∠FBE+∠ABC＝180°，点G是CF的中点，求证：2BG+ED＝BC．22．在△ABC中，AB=AC，点E是AC的中点，线段AE以A为中心顺时针旋转，点E 落在线段BE上的D处，线段CE以C为中心顺时针旋转，点E落在BE的延长线上的点F处，连接AF，CD，（1）求证：四边形ADCF是平行四边形；23．如图，锐角ABC ∆，AB AC =，点D 是边BC 上的一点，以AD 为边作ADE ∆，使AE AD =，EAD BAC ∠=∠．（1）过点E 作//EF DC 交AB 于点F ，连接CF （如图①）①请直接写出EAB ∠与DAC ∠的数量关系；②试判断四边形CDEF 的形状，并证明；（2）若60BAC ∠=，过点C 作//CF DE 交AB 于点F ，连接EF （如图②），那么（1）②中的结论是否任然成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由．24．如图所示，四边形ABCD 中，C DAB ∠=∠，CDA CBA ∠=∠，连接BD ，延长DA 到H ，使AH AD =，连接BH ，3BC =，4CD =，6DB =，求BH 的长．25．如图，在平面直角坐标系中，点A (1，4)，点B (3，2)，连接OA ，OB ．（1）求直线OB 与AB 的解析式；（2）求△AOB 的面积．（3）下面两道小题，任选一道作答．作答时，请注明题号，若多做，则按首做题计入总分．①在y 轴上是否存在一点P ，使△P AB 周长最小．若存在，请直接写出．．．．点P 坐标；若不存在，请说明理由．26．如图，在平面直角坐标系中，等边三角形△ABO 的边长为4．（1）求点A 的坐标．（2）若点P 从点O 出发以每秒1个单位的速度沿x 轴正方向运动，运动时间为t 秒，△PAB 的面积为S ，求S 与t 的关系式，并直接写出t 的范围．（3）在（2）的条件下，当点P 在点B 的右侧时，若S ＝3，在平面内是否存在点Q ，使点P 、Q 、A 、B 围成的四边形是平行四边形？若存在，求出点Q 坐标；若不存在，请说明理由．27．如图，抛物线211:2(0)C y ax ax a =+>与x 轴交于点A ，顶点为点P ．（1）直接写出抛物线1C 的对称轴是_______，用含a 的代数式表示顶点P 的坐标_______；（2）把抛物线1C 绕点M （m ，0）旋转180︒得到抛物线2C （其中m >0），抛物线2C 与x 轴右侧的交点为点B ，顶点为点Q ．①当m =1时，求线段AB 的长；②在①的条件下，是否存在△ABP 为等腰三角形，若存在请求出a 的值，若不存在，请说明理由；③当四边形APBQ 为矩形时，请求出m 与a 之间的数量关系，并直接写出当a =3时矩形APBQ 的面积．28．（1）如图1，在四边形ABCD 中，AB CD =，E 、F 分别是BC 、AD 的中点，连接EF 并延长，分别与BA 、CD 的延长线交于点M 、N ，证明：BME CNE ∠=∠．请将证明BME CNE ∠=∠的过程填写完整：证明：连接BD ，取BD 的中点H ，连接HE 、HF ．F 是AD 的中点，H 是BD 的中点，//HF ∴________，HF =_______，同理：//HE _______，HE =_______，1BME ∴∠=∠，2CNE ∠=∠，又AB CD =，HF HE ∴=，12∠∠∴=，BME CNE ∴∠=∠．（2）运用上题方法解决下列问题：问题一：如图2，在四边形ADBC 中，AB 与CD 相交于点O ，AB CD =，E 、F 分别是BC 、AD 的中点，连接EF ，分别交DC 、AB 于点M 、N ，请判断OMN 的形状，并说明理由；问题二：如图3，在钝角ABC 中，AC AB >，D 点在AC 上，E 、F 分别是BC 、AD 的中点，连接EF 并延长，与BA 的延长线交于点G ，连接GD ，若60EFC ∠=︒，AGD △是直角三角形且90AGD ∠=︒，求证：AB CD =．参考答案1．B【解析】【分析】根据题意，不能证明△BAE ≌△CDE ，则①错误；根据平行四边形的性质和全等三角形的判定和性质，得到BF=2CF ，结合面积的计算方法，即可判断②；连接DF ，不能证明四边形DEBF 是菱形，则③错误；然后得到答案．【详解】解：当k ＝1时，DE=AE ，不能证明△BAE ≌△CDE ，∴BE ≠CE ；故①错误；当k ＝2时，DE=2AE ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，AD=BC ，∴∠EDO=∠FBO ，∵点O 是BO 的中点，∴OB=OD ，∵∠EOD=∠FOB ，∴△EOD ≌△FOB ，∴DE=BF ，∴AD -DE=BC -BF ，∴AE=CF ，∴BF=2CF ， ∴1111=3326EFC BEC ABCD ABCD S S S S ∆∆==•四边形四边形， ∵12BOEDOE BDE S S S ∆∆∆==， ∴16BOE ABCD S S ∆=四边形， ∴EFC BOE S S ∆∆=，故②正确；连接DF ，如图：∵△ABE≌△FEC，∴AE=FC，∴DE=BF，∵DE∥BF，∴四边形DEBF是平行四边形，不能证明DEBF是菱形，∴EF与BD无法证明互相垂直，故③错误；∴正确的选项只有②；故选：B．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握所学的知识，从而分别进行判断．2．C【解析】【分析】本题通过做辅助线构造新三角形，继而利用等边三角形性质求证四边形HFPE为平行四边形，进一步结合点G中点性质确定点G运动路径为△HCD中位线，最后利用中位线性质求解．【详解】延长AE与BF使其相交于点H，连接HC、HD、HP，如下图所示：由已知得：∠A=∠FPB=60°，∠B=∠EPA=60°，∴AH ∥PF ，BH ∥PE ，∴四边形HFPE 为平行四边形，∴EF 与PH 互相平分，又∵点G 为EF 中点，∴点G 为PH 中点，即在点P 运动过程中，点G 始终为PH 的中点，故点G 的运动轨迹为△HCD 的中位线MN ． ∵10AB =，2==AC BD ，∴10226CD AB AC DB =--=--=， ∴116322MN CD ==⨯=，即点G 的移动路径长为3．故选：C ．【点睛】本题考查等边三角形性质以及动点问题，此类型题目难点在于辅助线的构造，需要多做类似题目积累题感，涉及动点运动轨迹时，其路径通常是较为特殊的线段或图形，例如中位线或圆．3．C【解析】【分析】对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的.通过分析找到各部分的变化规律后用一个统一的式子表示出变化规律是此类题目中的难点.【详解】解：∵A 1、B 1分别是AC 、BC 两边的中点，且△ABC 的面积为1，∴△A 1B 1C的面积为114⨯ ∴四边形A 1ABB 1的面积=△ABC 的面积-△A 1B 1C 的面积31144==-； ∴四边形A 2A 1B 1B 2的面积=11A B C △的面积- 22A B C △的面积22113444=-= …∴第n 个四边形的面积1113444n n n-=-= ∴23213333111111114444444444n n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋯+=-+-+⋯+-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 故答案为：C【点睛】本题主要考查了学生通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力.4．A【解析】【分析】根据题意可求出正六边形的周长，以及点P ，Q 相遇所需的时间为2秒，从而得出两点第一次相遇的地点为点C ，第二次相遇的地点为点E ，第三次相遇的地点为点A ，第四次相遇的地点为点C ，因此两点的相遇是3次一循环，202036731=⨯+，因此第2020次相遇的地点为点C ，求点C 坐标即可．【详解】解：由题意可得：1OA OB AB ===∴正六边形的周长为166⨯=∵点P 的速度为每秒1个单位长度，点Q 的速度为每秒2个单位长度∴第一次相遇的时间为6(12)2s ÷+=此时点P 的路程为122⨯=，点P ，Q 第一次相遇的地点为点C依次类推，得出：点P ，Q 第二次相遇的地点为点E ，点P ，Q 第三次相遇的地点为点A ，点P ，Q 第四次相遇的地点为点C ，∴点P ，Q 两点的相遇是3次一循环，∵202036731=⨯+∴第2020次相遇的地点为点C∵1,30OC OA COM ==∠=︒ ∴1133,2222CM OC OM OC ==== ∴13(,)2C - 故选：A ．【点睛】本题考查的知识点是在平面直角坐标系中找规律以及正六边形的性质，解直角三角形等，有一定的难度，解此题的关键是找出两点相遇的规律，从而确定相遇的点的坐标．5．①③【解析】【分析】由垂直的定义得到∠AFB ＝90°，根据平行线的性质即可得到∠AFB ＝∠CBF ＝90°，故①正确；延长FE 交BC 的延长线与M ，根据全等三角形的性质得到EF ＝EM ＝12FM ，根据直角三角形的性质得到BE ＝12FM ，等量代换的EF ＝BE ，故②错误；由于BEF BME S =S △△，DFE CMES=S△△，于是得到EBF BME MEC EBC EDF EBCS=S=S+S=S+S△△△△△△，故③正确．【详解】解：∵BF⊥AD，∴∠AFB＝90°，∵在平行四边形ABCD中，AD∥BC，平行线之间内错角相等，∴∠AFB＝∠FBC＝90°，故①正确；如下图所示，延长FE交BC的延长线于M，又∵在平行四边形ABCD中，AD∥BC，平行线之间内错角相等，∴∠DFE＝∠M，且CD与MF交于点E，两相交直线对顶角相等，∴∠DEF＝∠CEM，又∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠EBC，而平行四边形ABCD中，AB∥CD，平行线之间内错角相等，∴∠CEB＝∠ABE，∴∠ABE=∠EBC=∠CEB，故BCE为等腰三角形，其中BC=CE，又∵AB=2AD，故CD=2BC=2CE，∴CE=DE，在DFE与CME中，DFE MDEF CEMDE CE∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴DFE≌CME（AAS），∴EF＝EM＝12FM，又∵∠FBM＝90°，∴BE＝12FM，∴EF＝BE，∵EF≠DE，故②错误；又∵EF＝EM，∴BEF BMES=S△△，∵△DFE≌△CME，∴DFE CMES=S△△，∴EBF BME MEC EBC EDF EBC S =S =S +S =S +S △△△△△△，故③正确，故答案为：①③．【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，本题需要添加辅助线，构造出全等三角形DFE ≌CME ，这是解题的关键．6．40【解析】【分析】结合题意，得四边形ODPE 是平行四边形，从而得到22OD OE OH +=；结合点P 是ABC 围成的区域（包括各边）内的一点，推导得当点P 在AC 上时，OH 取最小值；当点P 与点B 重合时，OH 取最大值；再分别根据两种情况，结合平行四边形、等边三角形、勾股定理的性质计算，即可完成求解．【详解】过点P 做PH OY ⊥交于点H∵AC OY ⊥∴//AC PH∵60XOY ∠=∴60HEP ∠=∴12EH EP = ∵//PD OY ，//PE OX∴四边形ODPE 是平行四边形∴OD EP =∴1122EH EP OD == ∴()22222OD OE EH OE EH OE OH +=+=+=∵点P 是ABC 围成的区域（包括各边）内的一点结合图形，得：当点P 在AC 上时，OH 取最小值；当点P 与点B 重合时，OH 取最大值；当点P 在AC 上时，OH OC =∵60XOY ∠=，AC OY ⊥ ∴114222OC OA ==⨯= ∴2OD OE +最小值24OH ==；当点P 与点B 重合时，如下图，AC 和BD 相交于点G∴OH OE EH =+∵//PD OY ，60XOY ∠=，AC OY ⊥∴60BDA ∠= ,906030OAC ∠=-= ，332AC ==∵等边三角形ABC∴60CAB CBA ∠=∠= ,23AB AC ==∴306090DAB OAC CAB ∠=∠+∠=+=∴9030DBA BDA ∠=-∠=∴12DBA CBA ∠=∠ ∴GB 是等边三角形ABC 的角平分线∴12CG AG AC == 又∵//PD OY ，即//DG OC∴DG 是AOC △的中位线 ∴122AD OD OA ===∴4BD ===，2EB OD ==∴4OE BD ==∵//PE OX∴60HEB XOY ∠=∠=∴112EH EB == ∴415OH OE EH =+=+=∴2OD OE +最大值210OH ==∴2OD OE +最大值与最小值的积41040=⨯=故答案为：40．【点睛】本题考查了平行四边形、勾股定理、直角三角形、等边三角形、等边三角形中位线、平行线的知识；解题的关键是熟练掌握平行线、平行四边形、等边三角形、勾股定理的性质，从而完成求解．7．2【解析】【分析】利用三角函数先求解,,AB BC 得到DE 是AB 的中垂线，由对折的性质求解,,CD DE 分情况讨论， ①如图中，当3DE FE ==时，沿着直线EF 将双层三角形剪开，展开后的平面图形中有一个是平行四边形，②如图中，当FD=FB 时，沿着直线DF 将双层三角形剪开，展开后的平面图形中有一个是平行四边形，利用平行四边形的面积是三角形面积的2倍，从而可得答案．【详解】解：如图，90,30,9,C A AC ∠=︒∠=︒=2,AB BC ∴= 222,AB AC BC =+()22281,BC BC ∴=+∴33,BC = 63,AB ∴=由对折设,CD DE x == 33,90,BC BE BED C ==∠=∠=︒33,AE AB BE ∴=-=,AE BE ∴=DE ∴是AB 的中垂线，9,AD BD x ∴==-在Rt BDC 中，()()222933,x x -=+ ∴3x =，∴3DE CD ==，①如图中，当3DE FE ==时，沿着直线EF 将双层三角形剪开，展开后的平面图形中有一个是平行四边形，30,90,A DCB ∠=︒∠=60,30,ABC DBE ∴∠=︒∠=︒90,DEB ∠=︒60,EDB ∴∠=︒DEF ∴为等边三角形，过E 作EH BD ⊥于H ，3,2DH FH ∴== 223333,22EH ⎛⎫∴=-= ⎪⎝⎭ 13393223,2DEF S S ∴==⨯⨯⨯=平行四边形②如图中，当FD=FB 时，沿着直线DF 将双层三角形剪开，展开后的平面图形中有一个是平行四边形，过F 作FH BD ⊥于H ，936,BD =-=3,DH BH ∴==30,DBE ∠=︒2BF BH ∴=222,BF BH FH =+()2229,FH FH ∴=+3,FH ∴=122636 3.2DBF S S ∴==⨯⨯⨯=平行四边形综上：所得平行四边形的面积是93,6 3. 故答案为：93,6 3. 【点睛】本题考查翻折变换、线段的垂直平分线的判定与性质，勾股定理的应用，平行四边形的判定和性质、含30角的直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．8．40︒【解析】【分析】延长CM 到H ，使MH=CM ，连接BH 、DH 、AH ，得ACBH ，由平行四边形性质将已知条件集中到一起，得等腰ADH 和BHM △，由三角形内角和求得40DHM ∠=︒，在由中位线定理可得//MN DH ，从而求出40CMN DHM ∠=∠=．【详解】解：延长CM 到H ，使MH=CM ，连接BH 、DH 、AH ，∵12AM BM AB ==，CM HM =∴四边形ACBH 是ACBH ，∴AC BH =，BC AH =，又∵2AB AC =，AD BC =， ∴12BM BH AC AB ===，AD AH =， ∴BMH BHM ∠=∠，ADH AHD ∠=∠，在ACBH 中，//AH BC ，//AC BH ，∴CAB ABH ∠=∠，CBA BAH ∠=∠，设CAB ABH x ∠=∠=，CBA BAH y ∠=∠=，则1902BMH x ∠=︒-，1902ADH y ∠=︒-． ∵在ACBH 中，100AHB ACB ∠=∠=︒，∴80HBC HAC ∠=∠=︒，即80x y +=︒ ，又∵DHM BMH ADH AHB ∠=∠+∠-∠， ∴11909010022DHM x y ∠=︒-+︒--︒=()180402x y ︒-+=︒，又,M N 分别为,CD CH 中点，∴//MN DH ，∴40CMN DHM ∠=∠=．故答案为：40︒．【点睛】本题综合考查了平行四边形性质和判定、等腰三角形性质和判定、三角形内角和等知识点，倍长中线构造三角形全等，将已知条件集中到一起是解题的关键，本题角的关系比较复杂，设参数能简化书写和思维．9．【解析】【分析】连接DE 、DF ，过F 作FN ⊥AB 于N ，过C 作CM ⊥AB 于M ，根据三角形的面积和平行四边形的面积得出S △DEC =S △DFA =12S 平行四边形ABCD ，求出AF×DP=CE×DQ ，求出BF=1，BE=2，BN=12，BM=a ，FN=3，CM=3，求出AF=13，CE=213，代入求出即可．【详解】解：连接DE 、DF ，过F 作FN ⊥AB 于N ，过C 作CM ⊥AB 于M ，∵根据三角形的面积和平行四边形的面积得：S △DEC ＝S △DFA ＝12S 平行四边形ABCD ，即12AF ×DP ＝12CE ×DQ ， ∴AF ×DP ＝CE ×DQ ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，∵∠DAB ＝60°，∴∠CBN ＝∠DAB ＝60°，∴∠BFN ＝∠MCB ＝30°，∵AB ＝3，BC ＝2，∴设AB ＝3a ，BC ＝2a ，∵AE ：EB ＝1：2，F 是BC 的中点，∴BF ＝1，BE ＝2，BN ＝12，BM ＝1，由勾股定理得：FN ＝32，CM 3， AF 2213(3)()22++13CE 223(3)+＝3 13DP ＝3DQ∴DP ：DQ ＝313故答案为：313【点睛】本题考查了平行四边形面积，勾股定理，三角形的面积，含30度角的直角三角形等知识点的应用，关键是求出AF×DP=CE×DQ 和求出AF、CE的值．10．10【解析】【分析】过点D作//DG CE交AB于点G，过点E作EH AC⊥的延长线于点H，证明()ACF AGD AAS≅△△，从而可知AC AG=，7CF DG==，根据三角形中位线判定和性质进而可得14CE=，再由30°直角三角形性质求出132AH AE==，33HE=，在Rt EHC中利用勾股定理求出HC，由AC HC AH=-即可求出答案．【详解】解：过点D作//DG CE交AB于点G，过点E作EH AC⊥的延长线于点H，120BAC FAD∠=∠=︒FAC DAG∴∠=∠，//DG CE，AGD AEC∴∠=∠，ACF AEC∠=∠，ACF AGD∴∠=∠在AFC△与ADGFAC DAGFCA AGDAF AD∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()AFC ADG AAS∴≅△△AC AG∴=，7CF DG==AD是ABC∆的中线，∴点D 是BC 的中点，//DG CEDG ∴是BCE 的中位线，14CE ∴=，60EAH ∠=︒，132AH AE ∴== 由勾股定理可知：33HE =，在Rt EHC 中，()2222143313CH CE EH =-=-=， ∴13310AC HC AH =-=-=．故答案为：10．【点睛】本题主要考查了旋转的性质，三角形全等的性质及判定，涉及勾股定理、三角形中位线的性质，中线的性质，解题关键是构造三角形全等，并利用中位线性质求出CE 的长． 11．6【解析】【分析】作M 关于BD 的对称点Q ，连接NQ ，交BD 于P ，连接MP ，此时MP+NP 的值最小【详解】连接AC ，求出BM=BQ=13BC=2、CN=13CD=2，则MP+NP=QN=BC=6．12．（1）60°；（2）MPN ∠的度数不变，仍是60°，证明见解析．【解析】【分析】（1）设AC 中点G 、BC 中点H ，连接MG 、PG ；NH ，PH ，利用中位线定理可以证明△MGP 和△PHN 全等，然后利用角之间的关系即可得出答案；（2）由题意可知MF 是等边△ACD 的中位线，PG 是△ABC 的中位线，根据中位线的性质可知四边形CFPG 是平行四边形，再根据平行四边形的性质可证明△MFP ≌△PGN ，即可得出答案.【详解】解：（1）60°取AC ，BC 的中点分别为G ，H ，连接MG ，GP ，PH ，HN又M 是CD 的中点，P 是AB 的中点，N 是CE 的中点∴MG=12AD ，MG ∥AD ，NH=12EB ，NH ∥EB ，GP=12BC ，GP ∥BC ，HP =12AC ，HP ∥AC 又∵△ACD 和△ABE 均为等边三角形∴AD=AC ，BC=BE ，∠MGC=∠DAC=60°，∠CGP=∠ECB=60°, ∠PHC=∠ACD=60°, ∠CHN=∠CBE=60°∴MG= HP ，NH= GP ，∠MGP=∠PHN=120°在△MGP 和△PHN 中MG PH MGP PHN GP HN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△MGP ≌△PHN∴∠MPG=∠PNH∴∠PNH+∠NPH=180°-∠PHN=60°（2）MPN ∠的度数不变，仍是60°，证明：如图所示，取AC 、BC 的中点分别为F ，G ，连接MF 、FP 、PG 、GN ，∵MF 是等边ACD 的中位线，∴1122MF AD AC ==，MF AD ，∴60CFM CAD ∠=∠=．∵PG 是ABC 的中位线， ∴12PG AC =，PG AC ，∴60CGN CBE ∠=∠=，∴MF PG =，CFM CGN ∠=∠．同理FP NG =，∴四边形CFPG 是平行四边形，∴CFP CGP ∠=∠，∴MFC CFP CGN CGP ∠+∠=∠+∠，即MFP PGN ∠=∠， ∴()SAS MFP PGN ≌，∴FMP GPN ∠=∠．∵PG AC ，∴12∠=∠．在MFP 中，180MFC CFP FMP FPM ∠+∠+∠+∠=．又∵60MFC ∠=，∴120CFP FMP FPM ∠+∠+∠=．∵13CFP ∠=∠+∠，∴13120FMP FPM ∠+∠+∠+∠=．∵12∠=∠，FMP GPN ∠=∠，∴23120GPN FPM ∠+∠+∠+∠=．又∵32180FPM MPN GPN ∠+∠+∠+∠+∠=，∴60MPN ∠=．【点睛】本题考查了全等三角形和平行四边形的判定与性质，难度较高，需要熟练掌握相关基础知识. 13．（1）b=8；（2）382d n =+；（3）8,03V ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 【解析】【分析】（1）根据函数解析式()403y x b b =-+>，得出3,04b A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()0,B b ，然后根据勾股定理即可求解；（2）过点C 作CI x ⊥轴于点I ，过点D 作DJ x ⊥轴于点J ，设点(,)C t nt ，可得点()2,2C n --，然后证得四边形D CIJ 是平行四边形，即可求解；（3）过点E 作E ET P ⊥，交过点N 且垂直于x 轴的垂线于点T ，连接PT ，根据PH EH ⊥，可得TEN EPH ∠=∠，进而得到PHE ENT ∆≅∆，进而得到四边形T PMN 是平行四边形，过点C 作N CW O ⊥，B CD O ⊥，可证明CDB CRW ∆≅∆，进而得到REQ BSE ∆≅∆，过点V 作B VK A ⊥，根据勾股定理即可求解．【详解】解：（1）0y =时，34x b = 0x =时，y b =∴3,04b A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()0,B b 34b OA ∴= OB b =222AB OA OB =+()2223104b b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 8b ∴=或8-0b >8b ∴=（2）过点C 作CI x ⊥轴于点I ，过点D 作DJ x ⊥轴于点J设点(,)C t nt(4)8nt n t =++2t ∴=-∴点()2,2C n --2CI n ∴=-90CIR DJR ∠=∠=︒//CI DJ ∴//CD IJ∴四边形CIJD 是平行四边形2DJ CI n ∴==-4283n x -=+ 362n x ∴=+ 336(2)822n n CD IJ ∴==+--=+ 382d n ∴=+（3）过点E 作ET PE ⊥，交过点N 且垂直于x 轴的垂线于点T ，连接PTPH EH ⊥90PET ENT PHE ∴∠=∠=∠=︒90PEH TEN PEH EPH ∴∠+∠=∠+∠=︒TEN EPH ∴∠=∠PH EN =PHE ENT ∴∆≅∆TN EH ∴=PE ET =45EPT ∴∠=︒45EGN ∠=︒EGN EPT ∴∠=∠//MN PT ∴180ENT PHE ∠+∠=︒//TN PM ∴∴四边形PMNT 是平行四边形TN PM ∴=PM EH ∴= 2EQ =，45QEH ∴∠=︒，45CER ∴∠=︒，过点C 作CW ON ⊥，CD OB ⊥，可证明CDB CRW ∆≅∆，2CD RW OW ∴===，4CW ∴=，2OS OE ∴==，22SE =，6RE BS ==，135REQ BSF ∠=∠=︒22SF EF EQ =+=REQ BSE ∴∆≅∆ERQ FBS ∴∠=∠ERQ ABF ∠=∠FBS ABF ∴∠=∠过点V 作VK AB ⊥，设OV a =，则VK a =，在Rt AKV ∆中，90VKA ∠=︒，2AK =，6AV a =- 222VK AK AV ∴+=即2222(6)a a +=-解得83a =， 8,03V ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭【点睛】此题主要考查一次函数与几何综合，熟练利用勾股定理、平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质进行逻辑推理是解题关键．14．【发现与证明】见解析；【应用与探究】（1）45︒；332+；（2）73（3）436、、或2 【解析】【分析】【发现与证明】根据翻折对称的性质,平行四边形的性质和三角形内角和定理即可证；【应用与探究】（1）过点A 作AM BC ⊥，垂足为M ，利用翻折对称的性质和【发现与证明】的结论即可求出ACB ∠；根据30所对的直角边是斜边的一半、等腰直角三角形和勾股定理即可求出BC .（2）过A 点作AN CD ⊥，垂足分别为N ,利用平行四边形的性质、30所对的直角边是斜边的一半和勾股定理CE 和AN 的长即可求出AEC ∆的面积；（3）根据题意：应该分三类讨论：①'90AB D ∠=︒；②'90ADB ∠=︒；③'90DAB ∠=︒.【详解】解：【发现与证明】设AD 与B C '相交于点F ，∵ABC ∆沿AC 翻折至'AB C ∆∴ACB=ACB '∠∠，BC B C '=.∵四边形ABCD 是平行四边形，∴,//AD BC AD BC =. ∴,B C AD ACB CAD '=∠=∠.∵CAD=AC 12B 80AFC '︒-∠=∠∠ ∴AF CF =，故'AB C ∆与平行四边形ABCD 重叠部分的图形是等腰三角形（结论2证毕） ∴B F DF '=，∴FB D=B 1802F B FD D ''︒-∠='∠∠ 又∵AFC B FD '∠=∠，∴CAD B DF '∠=∠∴'//B D AC .（结论1证毕）.【应用与探究】（1）过点A 作AM BC ⊥，垂足为M∵ABC ∆沿AC 翻折至'AB C ∆∴30AB C B '∠=∠=︒，ACB=ACB '∠∠∵'75AB D ∠=︒ ∴4CB 5D '=∠︒又∵'//B D AC∴ACB CB 45D ''∠=∠=︒∴5ACB=4∠︒∴AMC ∆为等腰直角三角形，AM CM =∵AM BC ⊥，30B ∠=︒，3AB =∴1322AM AB ==，2232BM AB AM =-= ∴332BC BM CM BM AM =+=+=+ （2）过A 点作AN CD ⊥，垂足分别为N ,∵30B ∠=︒，23AB =，1BC =，四边形ABCD 是平行四边形∴30ADC ∠=︒，23CD =，1AD =又∵AN CD ⊥∴1122AN AD ==，223DN AD AN =-= 由【发现与证明】结论：可设AE CE x ==则332EN CD CE ND x =--=- 由勾股定理可得：222AN EN AE +=∴2221332x x ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解得：73x = ∴AEC ∆的面积为：1732CE AN •= （3）①当'90AB D ∠=︒时，如下图所示∵'//B D AC∴''90B AC AB D ∠=∠=︒∵ABC ∆沿AC 翻折至'AB C ∆∴30AB C B '∠=∠=︒， 23AB AB∴6CB 0D '=∠︒又∵'//B D AC ，'AB C ∆与平行四边形ABCD 重叠部分的图形是等腰三角形∴6B 0C DAC A CB D '==∠∠='∠︒∴''30B AD B AC DAC ∠=∠-∠=︒∴2AD B D '=根据勾股定理：222AD B D AB ''=+解得：4BC AD ==；②当'90ADB ∠=︒时∵30B ∠=︒，23AB =，四边形ABCD 是平行四边形∴30ADC ∠=︒，23CD =，AD BC =∴6C 0B D '=∠︒∵'//B D AC ，'AB C ∆与平行四边形ABCD 重叠部分的图形是等腰三角形∴D 60C B AC A CDB ''==∠=∠∠︒，18090DAC ADB '=-∠=∠︒∴30DAB '∠=︒∴132B D AB ''== 利用勾股定理：223BC AD AB B D ''==-=③当'90DAB ∠=︒时，设AD 与B C '相交于点F ，此时有两种情况，如图1：∵ABC ∆沿AC 翻折至'AB C ∆∴30AB C B '∠=∠=︒， 23ABAB∴60AFB '∠=︒又∵'AB C ∆与平行四边形ABCD 重叠部分的图形是等腰三角形，AFB '∠是三角形AFC ∆的外角 ∴1302DAC B FA '∠=∠=︒ ∵'//B D AC∴30B DA DAC ∠∠'==︒∴243B D AB ''==利用勾股定理：226BC AD B D AB ''==-=如图2所示：∵30B ∠=︒，四边形ABCD 是平行四边形∴30ADC ∠=︒，AD BC =∴60AFD ∠=︒ 又∵'AB C ∆与平行四边形ABCD 重叠部分的图形是等腰三角形，AFD ∠是三角形AFC ∆的外角∴1302B AC DFA '=∠=∠︒ ∵'//BD AC∴30AB D B AC ''∠=∠=︒∴2B D AD '=∵ABC ∆沿AC 翻折至'AB C ∆∴23AB AB根据勾股定理：222AB AD B D解得：2BC AD ==综上所述：BC 长为436、、或2时，'AB D ∆是直角三角形【点睛】此题考查的是：（1）平行四边形的性质；（2）翻折对称的性质；（3）平行线的性质及判定；（4）等腰三角形的判定和性质；（5）勾股定理；（6）30所对的直角边是斜边的一半；（7）分类思想的应用，此题难度较大，掌握勾股定理解直角三角形、分类讨论的数学思想与画图是解决此题的关键.15．（1）点B的坐标为（－3，2）；（2）BP与DE的关系是垂直且相等，证明详见解析；（3）∠DFE＝150 °；（4）存在，点N坐标为（22＋2，1）或（－22＋2，1）或（17－3，－1）或（－17－3，－1）或（－1，5）【解析】【分析】（1）如图，过点B作BE⊥x轴于E，过点D作DF⊥x轴于F，证明△BEO≌△OFD，则可得OF=BE，OE=FD，根据点D的坐标（2，3），可求得点B坐标；（2）如图，通过证明△ABP≌△ADE(SAS)，可得∠4=∠5，BP=DE，进而可证明∠BDE=90°，则，BP与DE垂直且相等得证；（3）由等边△APF和等腰直角△P AE，可知△AFE为等腰三角形，顶角为30°，且EF为底边，所以当腰AF最小时，底边EF则最小，故而AP垂直BD时，AF=AP此时取最小值，此时易证△AFE≌△PFD，故而∠AFE=∠PFD=75°，根据周角为360°，即可计算∠EFD的度数；（4）分情况讨论，①当BD为菱形的边时，通过作图构造直角三角形，使用勾股定理先求对应点M坐标，再根据菱形的性质及平移思想，求点N坐标；②当BD为菱形的对角线时，M与O重合，此时N与A重合，同样构造直角三角形，使用勾股定理求解即可．【详解】解（1）：过点B作BE⊥x轴于E，过点D作DF⊥x轴于F，∵ABOD为正方形，O是坐标原点，点D的坐标为（2，3），∴OB=OD，∠BE0=∠DFO，∠BOE=∠ODF，∴△BEO≌△OFD，∴OF=BE，OE=FD，∴点B的坐标为（－3，2），故答案为：（－3，2）；（2）BP与DE的关系是：垂直且相等；证明：如图，∵正方形ABOD，∴∠BAD＝90°，AB＝AD，∵∠P AE＝90°，∴∠BAD－∠3＝∠P AE－∠3，即∠1＝∠2，∵AP＝AE，∴△ABP≌△ADE(SAS)，∴∠4＝∠5，BP＝DE，∵∠4＋∠6＝90°，∴∠5＋∠6＝90°，即∠BDE=90°，∴BP⊥DE，∴BP与DE垂直且相等，故答案为：垂直且相等；（3）∵△APF为等边三角形，△P AE为等腰直角三角形，且∠P AE=90°，∴AF=AE，∠F AE=30°，即△AFE为等腰三角形，且EF为底边，∴当EF最小时，AF=AE应该取最小值，即AP应当取最小值，∵四边形ABOD为矩形，BD为ABOD一条对角线，∴当AP⊥BD时，EF有最小值，如下图所示，∴AP=PD=AE，∠P AD=∠APD=90°，∴∠EAF=∠DPF=30°，又∵AF=PF，∴△AFE≌△PFE，∴∠PFD=∠AFE=75°，∴∠EFD=360°-75°-75°-60°=150°，即，当EF取最小值时，∠DFE=150°，故答案为：150；（4）∵D（2，3）,∴OD13∴BD26，①当BD为菱形的边时，（Ⅰ）如图，作BQ⊥x轴于Q，MB＝BD＝26，在Rt△BQM中根据勾股定理，可得M1（22－3，0）、M2（－22－3，0），∵B向右平移5个单位再向上平移1个单位得到D，∴N1（22＋2，1）、N2（－22＋2，1）；（Ⅱ）如图，作TP垂直x轴于P，MD＝BD26Rt△DPM中根据勾股定理，可得M317＋2，0）、M4172，0），∵D向左平移5个单位再向下平移1个单位得到B，∴N317－3，－1）、N4173，－1）②当BD为菱形的对角线时，M与O重合，此时N与A重合，如图，作AJ∥x轴交y轴于R，过点D作JK⊥x轴垂足为K，交AJ于点J，。

八年级数学上册基础训练四边形证明习题鲁教版

.EC513E 42 C四边形证明（习题）例题示范例 1：如图，在□ABCD 中，E 是 BC 边的中点，连接 AE 并延长，交 DC 的延长线于点 F ．（1）求证：△ABE ≌△FCE ．A（2）连接 AC ，BF ，若∠AEC =2∠D ，求证：四边形 ABFC 为矩形． D A D【思路分析】 BB①读题标注： ②梳理思路：FF（1）在□ABCD 中，AB ∥CD ，因为 E 是 BC 边的中点，平行夹中点结构，所以△ABE ≌△FCE ．（2）由（1）可得，AB =FC ，因为 AB ∥FC ，所以四边形 ABFC是平行四边形．要证四边形 ABFC 为矩形，根据题目中已有的条件选择判定定理：有一个角是直角的平行四边形是矩形．由三角形外角定理和等角对等边得到 AE =BE =CE ，由定理“如果三角形的一边中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形”，得∠BAC =90°，故四边形 ABFC 为矩形．【过程书写】证明：如图，（1）∵四边形 ABCD 是平行四边形 ∴AB ∥CD ∴∠1=∠2∵E 是 BC 边的中点 ∴BE =CE ∵∠3=∠4∴△ABE ≌△FCE （ASA ）（2）∵△ABE ≌△FCE ∴AB =FC ∵AB ∥FC∴四边形 ABFC 为平行四边形 ∴∠D =∠1 ∵∠AEC =2∠D∴∠AEC =2∠1∵∠AEC 是△ABE 的一个外角 ∴∠AEC =∠1+∠5 ∴∠1=∠5 ∴AE =BE =CE ∴∠BAC =90° ∴四边形 ABFC 为矩形O巩固练习1.如图，在梯形 ABCD 中，AD ∥BC ，点 E ，F 在边 BC 上，且 AB ∥DE ，AF ∥DC ，四边形 AEFD 是平行四边形．（1）AD 与 BC 有何等量关系？请说明理由．（2）当 AB =DC 时，求证：平行四边形 AEFD 是矩形．A DB2.如图，在矩形 ABCD 中，O 是对角线 AC ，BD 的交点，过点 O 的直线分别交 AB ，CD 的延长线于点 E ，F ．（1）求证：△BOE ≌△DOF ；（2）当 EF 与 AC 满足什么关系时，以 A ，E ，C ，F 为顶点的四边形是菱形？证明你的结论． FADBCE3.如图，在△ABC 中，D 是AB 的中点．E 是CD 的中点，过点C 作CF∥AB，交AE 的延长线于点F，连接BF．（1）求证：DB=CF；（2）若AC=BC，试判断四边形CDBF 的形状，并证明你的结论．C FA D B4.如图，在矩形ABCD 中，M，N 分别是AD，BC 的中点，P，Q 分别是BM，DN 的中点．（1）求证：△MBA≌△NDC；（2）四边形MPNQ 是什么样的特殊四边形？请说明理由．A BPM NQD C5.如图，在△ABC 中，O 是 AC 边上的一动点，过点 O 作直线 MN ∥BC ，直线 MN 与∠ACB 的平分线相交于点 E ，与∠DCA （△ABC 的外角）的平分线相交于点 F ．（1）求证：OE =OF ；（2）若 CE =12，CF =5，求 OC 的长；（3）当点 O 运动到何处时，四边形 AECF 是矩形？请证明你的结论．NABC D【参考答案】巩固练习1.（1）BC=3AD，理由略（2）证明略2.（1）证明略（2）当EF⊥AC 时，以A，E，C，F 为顶点的四边形是菱形证明略3.（1）证明略提示：证明△ADE≌△FCE，则DB=DA=CF（2）四边形CDBF 是矩形，证明略提示：先证四边形CDBF 是平行四边形，因为AC=BC，D 是AB 的中点，所以∠BDC=90°，进而得证4.（1）证明略（2）四边形MPNQ 是菱形，理由略提示：由△MBA≌△NDC 得，BM=DN连接MN，则四边形AMNB，四边形DMNC 均为矩形，可利用直角三角形中斜边中线等于斜边一半进行证明5.（1）证明略提示：由角平分线+平行线，可以得到OE=OC，OF=OC13（2）O C2（3）当点O 运动到AC 中点时，四边形AECF 是矩形，证明略如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！。

八年级数学上册基础训练四边形证明讲义鲁教版-鲁教版初中八年级上册数学试题

word四边形证明（讲义）课前预习1.我们在做几何证明题时，如果已知条件中有某个特殊的四边形，往往从其性质着手考虑．而如果要证明某个四边形是特殊的四边形，则需要考虑其判定方法．例如：在四边形ABCD 中，若AB=CD，要证明四边形ABCD 是平行四边形，我们考虑判定方法：对边平行且相等的四边形是平行四边形或两组对边分别相等的四边形是平行四边形．2.请结合下列情景，将你认为可能用到的判定方法填入相应的横线上：①要证明□ABCD 是菱形，若条件与边有关，我们可以考虑：；若条件与对角线有关，我们可以考虑：．②要证明四边形ABCD是矩形，若条件与角有关，我们可以考虑：或；若条件与对角线有关，我们可以考虑：．知识点睛（）（）矩形（）平行四边形正方形（）（）菱形精讲精练1.如图，AE∥BF，AC平分∠BAD，且交BF于点C，BD平分∠ABC，且交AE 于点D，连接CD．求证：四边形ABCD 是菱形．A D EOB C F2.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°．AG∥CD，交BC 于点G，E，F分别为AG，CD的中点，连接DE，FG，DG．（1）求证：四边形DEGF 是平行四边形；（2）当点G 是BC 的中点时，求证：四边形ABGD 是矩形．A DEB G CDOE3. 如图，在△ABC 中，AB =AC ，AD 是△ABC 的角平分线，O 为 AB 的中点，连接 DO 并延长至点 E ，使 OE =DO ，连接 AE ， BE ．（1）求证：四边形 AEBD 是矩形；（2）当△ABC 满足什么条件时，矩形 AEBD 是正方形？请说明理由．BECA4. 如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，BC 的垂直平分线 DE 交 BC于点 D ，交 AB 于点 E ，点 F 在 DE 上，且 AF =CE =AE ．（1）求证：四边形 ACEF 是平行四边形；（2）当∠B 满足什么条件时，四边形 ACEF 是菱形？请说明理由．BFDACDEO5. 如图，在△ABC 中，AD 是 BC 边上的中线，E 是 AD 的中点，过点 A 作 BC 的平行线交 BE 的延长线于点 F ，连接 CF ．若AB ⊥AC ，试判断四边形 ADCF 的形状，并证明你的结论．CFAB6. 如图，在正方形 ABCD 中，点 E ，F 分别在 BC ，CD 边上，且 AE =AF ．（1）求证：BE =DF ；（2）连接 AC ，交 EF 于点 O ，延长 OC 至点 M ，使 OM =OA ，连接 EM ，FM ，则四边形 AEMF 是什么特殊四边形？请证明你的结论．A D FBECM一个角是直角）【参考答案】课前预习2. ①有一组邻边相等的平行四边形是菱形对角线互相垂直平分的四边形是菱形 ②有三个角是直角的四边形是矩形有一个角是直角的平行四边形是矩形对角线相等且互相平分的四边形是矩形知识点睛（一个角是直角）（一组邻边相等）矩形（一组邻边相等，平行四边形（一组邻边相等）精讲精练1. （1）证明略正方形（一个角是直角）菱形提示：先证 AB =AD =BC ，再证四边形 ABCD 是平行四边形，则四边形 ABCD 是菱形2. （1）证明略提示：先证四边形 AGCD 是平行四边形，得到 AG =CD ，进而可得 EG =DF ，则四边形 DEGF 是平行四边形（2）证明略提示：先证明四边形 ABGD 是平行四边形，再结合∠B =90°，进而可得四边形 ABGD 是矩形3. （1）证明略提示：由 OE =DO ，AO =BO 得，四边形 AEBD 是平行四边形，又因为 AB =AC ，AD 是△ABC 的角平分线，所以 AD ⊥BC ，进而得证四边形 AEBD 是矩形word（2）当△ABC 是等腰直角三角形，即AB=AC，∠BAC=90°时，四边形AEBD 是正方形，理由略4.（1）证明略提示：先证AC∥EF，∠EAC=∠AEF，又AF=CE=AE，则∠EAF=∠AEC，AF∥CE，即得证四边形ACEF 是平行四边形（2）当∠B=30°时，四边形ACEF 是菱形，理由略word5.四边形ADCF是菱形，证明略6.（1）证明略提示：证明△ABE≌△ADF（2）四边形AEMF 是菱形，证明略。

八年级数学上册综合训练四边形中的几何结构讲义鲁教版

四边形中的几何构造〔讲义〕课前预习条件的组合搭配是解决几何综合题目的根本思路，在进展组合搭配中往往遇到一些常用的构造．请根据提示，补全思路及图形：ACBDCADB等腰+中点考虑．直角+中点考虑．ABOCABDCD平行夹中点，．见中点，要，之后证全等．A EDGBFC多个中点，考虑．坐标系中见到中点，考虑．A平行线+角平分线出现．三线中两线重合，考虑证．M C ByBM AOxE F知识点睛1. 几何计算、证明的根本思考流程①标注条件，合理转化； ②组合特征，分析构造； ③由因导果，执果索因．2. 特殊四边形中隐含条件①平行四边形中隐含条件：平行、中点；②菱形中隐含条件：平行、中点、角平分线、垂直； ③矩形中隐含条件：平行、中点、垂直；④正方形中隐含条件：平行、中点、角平分线、垂直．3. 四边形中常见几何构造举例①中点构造：直角+中点，平行+中点，多个中点； ②旋转构造：等线段共点； ③弦图构造：外弦图，内弦图； ④面积构造：三个“一半〞，平行转化．精讲精练1.如图，在平行四边形 ABCD 中，BC =2AB ，CE ⊥AB 于点 E ，F 为 AD 的中点，假设∠AEF =54°，那么∠B =．DAFDAEP CB CB第 1 题图第 2 题图2.如图，在菱形 ABCD 中，∠A =110°，E ，F 分别是边 AB ，BC 的中点，假设 EP ⊥CD 于点 P ，那么∠FPC =．3.如图，在四边形 ABCD 中， D∠ABC =∠ADC =90°，AD = CCD ，DP ⊥AB 于点 P ．假设四边形 ABCD 的面积是 16，那么 DP 的长为．APBB HGF G H4.如图 1，将正方形ABCD 的顶点B 与正方形EFGH 的对角线的交点重合在一起，那么两正方形重叠局部〔即阴影局部〕的面积是正方形ABCD 面积的3，假设将正方形ABCD 的对角线16的交点与正方形EFGH 的顶点H 重合在一起，如图2 所示，那么两正方形重叠局部〔即阴影局部〕的面积是正方形EFGH 面积的．EEA F AB FHGD C D C图1 图25.如图，在菱形ABCD 中，AB=BD，点E，F 分别在边AB，AD 上，且AE=DF．连接BF，交DE 于点G，连接CG，交BD 于点H．那么以下结论：①△AED≌△DFB；②∠BGD=120°；③S四边形BCDG3CG2 ．其中正确的选项是4D〔填写序号〕CA E B6.，在平面直角坐标系中放置了5 个如下列图的正方形，其中点B1 在y 轴上，点C1，E1，E2，C2，E3，E4，C3 均在x 轴上．假设正方形A1B1C1D1 的边长为 1，∠B1C1O=60°，B1C1∥B2C2∥B3C3，那么点A3 到x 轴的距离为．yA1B1 A2D1 B2B3A3O C1 E1 E2 C2 E3 E4 C3x6 2 O7.如图，四边形 ABCD 是正方形，对角线 AC ，BD 相交于点 O ，在 Rt △DCE 中，∠ CED =90° ，∠ DCE =30° ，假设OE ，那么正方形 ABCD 的面积为．2ADDCEFPQBCAEB第 7 题图第 8 题图8.如图，在平行四边形 ABCD 中，AB :BC =3:2，∠DAB =60°，点E 在 AB 边上，且 AE :EB =1:2，F 为 BC 边的中点，过点 D 作DP ⊥ A F 于点 P ， DQ ⊥ C E 于点 Q ，那么 DP :DQ 的值为．9.如图，在边长为 4 的菱形 ABCD 中，∠B =60°，点 E ，G ，H ， F 分别在边 AB ，BC ，CD ，AD 上，且 AF =CG =1，BE =DH =2．P 是直线 EF ，GH 之间的任一点，连接 PE ，PF ，PG ，PH ，那么 △PEF 与△PGH 的面积之和为．PA FDEHBG C【参考答案】课前预习等腰+中点考虑三线合一直角+中点考虑斜边中线等于斜边的一半平行夹中点，延长证全等见中点，要倍长，倍长之后证全等多个中点，考虑中位线坐标系中见到中点，考虑中点坐标公式平行线+角平分线出现等腰三线中两线重合，考虑证等腰精讲精练1. 72°2. 55°3. 44.135. ①②③6. 3 1 67. 48. 2 39 139. 2 3如。

培优专题5特殊四边形中的折叠问题-2022-2023学年八年级(五四制)下册初三数学学练测(鲁教版)

培优专题5 特殊四边形中的折叠问题一、引言在几何学中，四边形是一种具有四个边和四个角的多边形。

常见的四边形有矩形、正方形、梯形等等。

在本文中，我们将讨论一些特殊的四边形，特别是与折叠相关的问题。

本文适用于2022-2023学年鲁教版八年级（五四制）下册初三数学学练测。

二、矩形的折叠问题2.1 问题描述考虑一个矩形，其长为a，宽为b。

我们将矩形沿着对角线进行折叠，试问折叠后的形状是什么？2.2 解答当矩形沿着对角线进行折叠时，折叠后的形状是一个等腰直角三角形。

其中，等腰边长为a，直角边长为b。

2.3 示例假设矩形的长为6cm，宽为4cm。

则折叠后的形状是一个等腰直角三角形，其中等腰边长为6cm，直角边长为4cm。

三、正方形的折叠问题3.1 问题描述考虑一个正方形，其边长为a。

我们将正方形沿着对角线进行折叠，试问折叠后的形状是什么？当正方形沿着对角线进行折叠时，折叠后的形状是一个等腰直角三角形。

其中，等腰边长为a，直角边长为a/√2。

3.3 示例假设正方形的边长为8cm。

则折叠后的形状是一个等腰直角三角形，其中等腰边长为8cm，直角边长为8cm/√2。

四、梯形的折叠问题4.1 问题描述考虑一个梯形，其中上底长为a，下底长为b，高为h。

我们将梯形沿着高的方向进行折叠，试问折叠后的形状是什么？4.2 解答当梯形沿着高的方向进行折叠时，折叠后的形状是一个等腰梯形。

其中，上底长为a/2 + b/2 ，下底长为b，高为h。

4.3 示例假设梯形的上底长为6cm，下底长为10cm，高为8cm。

则折叠后的形状是一个等腰梯形，其中上底长为8cm，下底长为10cm，高为8cm。

五、菱形的折叠问题5.1 问题描述考虑一个菱形，其中对角线1长为a，对角线2长为b。

我们将菱形沿着对角线1进行折叠，试问折叠后的形状是什么？当菱形沿着对角线1进行折叠时，折叠后的形状是一个等腰梯形。

其中，上底长为a/2 + b/2 ，下底长为b，高为√(a2-b2)/2。

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1.(1)如图1，已知正方形ABCD和正方形CGEF（CG＞BC），B,C,G在同一条直线上，P为线段AE的中点，探究：线段PD,PF的关系，并加以证明.
数量、位置
PF=PD，PF⊥PD
F
M
E
延长DP交EF于M
P
A
D
△ADP≌△EMP（ASA）
FC-DC=FE-ME FD=FM
B
C
G
三线合一
Rt△ 斜边中线
PF⊥PD PF=PD
（2）如图2，操作：将正方形CGEF绕点C顺时针旋转45°，使得正方形CGEF的对角线CE放在正方形ABCD的边BC的延长线上，P为线段AE的中点. 探究：线段PD,PF的关系，并加以证明.
F D A
DP=MP DF=MF ∠DFM=90° 延长DP交CE于M，连接DF,FM
延长DC,EMΒιβλιοθήκη 于点N八字形△DCF≌△MEF
1.准备好培优试题 2.学习用品
1.(1)如图1，已知正方形ABCD和正方形CGEF（CG＞BC），B,C,G在同一条直线上，P为线段AE的中点，探究：线段PD,PF的关系，并加以证明. （2）如图2，操作：将正方形CGEF绕点C顺时针旋转45°，使得正方形CGEF的对角线CE放在正方形ABCD的边BC的延长线上，P为线段AE的中点. 探究：线段PD,PF的关系，并加以证明. (3)如图2，将正方形CGEF绕点C旋转任意角度后，其他条件不变. 探究：线段PD,PF的关系，并加以证明.
P
B
C
E M
△DCF≌△MEF
∠DFC=∠MFD
G
∠DFM=90°
(3)如图3，将正方形CGEF绕点C旋转任意角度后，其他条件不变. 探究：线段PD,PF的关系，并加以证明.
D
A
F
DF=MF ∠DFM=90°
B
C
P
N
M
G
倍长线段
延长DP至M，使PM=PD,连接DF,FM
E
△ADP≌△EMP(SA S)