专题-解析几何知识点汇总(全)

直线的方程

注意：

（1）点法向式方程和一般式方程可以表示所有的直线；

（2）两点式方程和点方向式方程不能表示垂直于x 轴或垂直于y 轴的直线；（3）点斜式方程和斜截式方程不能表示垂直于x 轴的直线；（4）截距式方程不能表示经过原点的直线．2、直线的倾斜角和斜率：

（1）直线的倾斜角为平面直角坐标系中直线与x 轴正半轴的夹角．

取值范围：),0[πθ∈；（2）直线的斜率：

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=∈=2),2()2,0[,tan πθπππθθ不存在， k ；

00200tan [0,)(,)222

02

k k k k k πθθππθππ

θπθπ⎧

>⇔<<⎪⎪

=⇔=⎪⎪

=⎨⇔⎪⎪

⎪<⇔<<⎪⎩在和上单调递增不存在=．（3）若直线过点),(11y x ，),(22y x ，则该直线的斜率⎪⎩

⎪

⎨⎧=≠--=2121121

2,x

x x x x x y y k 不存在，，R k ∈．

3、两条直线的位置关系：

已知0:1111=++c y b x a l ，0:2222=++c y b x a l ，则（1）系数法：

①0212121=+⇔⊥b b a a l l ；特别地，若1l 的斜率为1k ，2l 的斜率为2k ，则

12121l l k k ⊥⇔⋅=-；

②1l 与2l 相交⇔1221a b a b ≠；

③1l 与2l 重合⇔111222::::a b c a b c =；

④1l 与2l 平行⇔1122

11221122

::::::a b a b a c a c b c b c =⎧⎨≠≠⎩或．

（2）向量法：

已知1l 的法向量为111(,)n a b = ，2l 的法向量为222(,)n a b =

，则①12l l ⊥⇔120n n ⋅=

⇔12120a a b b +=；

特别地，若1l 的斜率为1k ，2l 的斜率为2k ，则12121l l k k ⊥⇔⋅=-；

②1l 与2l 相交⇔12n n

与不平行⇔1221a b a b ≠；③1l 与2l 平行或重合⇔12n n

与平行⇔1221a b a b =．

（3）行列式法：

已知112

2

a b D a b =

，112

2x c b D c b -=

-，112

2

y a c D a c -=

-，则

1

1

l 与2l

相交⇔0D ≠；②1l

与2l

重合⇔0x y D D D ===；

③1l 与2l

平行⇔0

x y D D D =⎧⎪⎨

⎪⎩、不全为零

．

4、两条相交直线0:1111=++c y b x a l 和0:2222=++c y b x a l 的夹角θ：

（1）若1l 、2l 的法向量分别为112(,)n a b = 、222(,)n a b = ，且1l 、2l 的方向向量分别为1d 、2d

，

则

12

12

cos n n n n θ⋅==

⋅ 或1212

cos d d d d θ⋅=⋅ ，[0,]2π

θ∈；

（2）若1l 、2l 的斜率分别为1k 、2k ，且1l 到2l 的角为1θ，2l 到1l 的角为2θ，则

2

,0[,1tan 2121π

θθ∈+-=

k k k k ；211211tan k k k k +-=θ，212121tan k k k k +-=θ．

5、点到直线的距离公式：

（1）点),(00y x P 到直线0:=++C By Ax l 的距离为

2

2

00B

A C

By Ax d +++=

；

（2）直线0:11=++C By Ax l 与直线0:22=++C By Ax l 的距离为

2

2

21B

A C C d +-=

．

6、直线:0l Ax By C ++=同侧/异侧：

（1）00000(0)(,)Ax By C A P x y ++>>⇔在直线:0(0)l Ax By C A ++=>的右侧；

00000(0)(,)Ax By C A P x y ++<>⇔在直线:0(0)l Ax By C A ++=>的左侧．

（2）点11(,)M x y 、22(,)N x y 在直线l 同侧⇔1122()()0Ax By C Ax By C ++++>；

点11(,)M x y 、22(,)N x y 在直线l 异侧⇔1122()()0Ax By C Ax By C ++++<．

7、点关于直线的对称问题：点)

,(00y x P 直线

x 轴

y 轴x

y =x

y -=m

x =n y =对称点

)

,(00y x P -')

,(00y x P -')

,(00x y P ')

,(00x y P --')

,2(00y x m P -')

2,(00y n x P -'