上海市华东师范大学第二附属中学2020-2021学年度高二上学期9月月考数学卷
2024-2025学年上海市浦东新区华东师大二附中高二(上)月考数学试卷(9月份)(含答案)
2024-2025学年上海市浦东新区华东师大二附中高二（上）月考数学试卷（9月份）一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.空间两个角α，β的两边分别对应平行，且α=60°，则β为( )A. 60°B. 120°C. 30°D. 60°或120°2.若直线l 不垂直于平面α，那么平面α内( )A. 不存在与l 垂直的直线B. 只存在一条与l 垂直的直线C. 存在无数条直线与l 垂直D. 以上都不对3.若直线l 与平面α所成角为π3，直线a 在平面α内，且与直线l 异面，则直线l 与直线a 所成的角的取值范围是( )A. [0,23π]B. [π3,2π3)C. [π3,π2]D. [π3,2π3]4.正方体ABCD−A 1B 1C 1D 1有六个面，每个面有两条对角线，则这十二条对角线所在的十二条直线中，可以组成异面直线( )A. 24对B. 30对C. 32对D. 64对二、填空题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
5.直线与平面所成角的范围是______．6.“平面α经过直线AB ”用集合符号语言可表示为______．7.若两直线a 、b 与面α所成的角相等，则a 与b 的位置关系是______．8.已知斜线段长是它在平面上的射影长的2倍，则斜线与平面所成的角为______．9.在空间四边形P−ABC 的边与对角线六条边所在的直线中，异面直线共有______对.10.如图所示，正四面体ABCD 的棱长为1，则点A 到平面BCD 的距离为______．11.在正方体ABCD−A 1B 1C 1D 1中，若E 是BC 1的中点，则直线DE 与平面ABCD 所成角的大小为______．12.如图，PA ⊥平面ABC ，在△ABC 中，BC ⊥AC ，∠PBA =θ1，∠PBC =θ2，∠ABC =θ3.则角θ1，θ2，θ3的余弦值之间的关系可以是______．13.已知直角三角形ABC 中，AC =6，BC =8，若EC ⊥平面ABC ，且EC =4，则E 到斜边AB 的距离为______．14.如图，在直角梯形ABCD中，BC⊥DC，AE⊥DC，且E为CD的中点，M，N分别是AD，BE的中点，将三角形ADE沿AE折起，则下列说法正确的是______.(写出所有正确说法的序号)①不论D折至何位置(不在平面ABC内)，都有MN//平面DEC；②不论D折至何位置(不在平面ABC内)，都有MN⊥AE；③不论D折至何位置(不在平面ABC内)，都有MN//AB；④在折起过程中，一定存在某个位置，使EC⊥AD．15.在长方体ABCD−A1B1C1D1中，对角线AC1与棱AB，AD，AA1所成的角分别为α1，α2，α3，与平面ABCD，平面ABB1A1，平面ADD1A1所成的角分别为β1，β2，β3，则下列说法中正确的是______．①sin2α1+sin2α2+sin2α3=1；②sin2α1+sin2α2+sin2α3=2；③cos2α1+cos2α2+cos2α3=1；④sin2β1+sin2β2+sin2β3=116.空间给定不共面的A，B，C，D四个点，其中任意两点间的距离都不相同，考虑具有如下性质的平面α：A，B，C，D中有三个点到的距离相同，另一个点到α的距离是前三个点到α的距离的2倍，这样的平面α的个数是______个．三、解答题：本题共3小题，共36分。
上海市华东师大二附中2020-2021学年高二上学期9月月考数学试卷 Word版含答案
华二附中高二月考数学试卷2020.09一. 填空题1. 直线413y x =-的单位法向量是 2. 已知点(2,3)P -，(3,2)Q ，直线20ax y ++=与线段PQ 相交，则实数a 的取值范围是 3.直线cos 20x α++=的倾斜角的范围是4. 过点(10,10)-且在x 轴上的截距是在y 轴上截距的4倍的直线的方程为5. 已知三条直线1:440l x y +-=，2:0l mx y +=，3:2340l x my --=不能围成三角形，则m =6. 已知等腰三角形的底边所在直线过点(2,1)P ，两腰所在的直线为20x y +-=与740x y -+=，则底边所在的 直线方程是7. 数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线后人称之为三角形的欧拉线，已知△ABC 的顶点(2,0)A ，(0,4)B ，若其欧拉线方程为20x y -+=，则顶点C 的坐标8. 已知点P 在直线210x y +-=上，点Q 在直线230x y ++=上，PQ 的中点为00(,)M x y ，且002y x >+， 则00y x 的取值范围是 9. 已知,αβ∈R ，直线1sin sin sin cos x y αβαβ+=++与1cos sin cos cos x y αβαβ+=++的交点在直线 y x =-上，则sin cos sin cos ααββ+++=10. 已知点(1,0)A -，(1,0)B ，(0,1)C ，直线y ax b =+（0a >），将△ABC 分割为面积相等的两部分， 则b 的取值范围是二. 选择题11. 对于直线1:0l ax ay a+-=（0a ≠），下列说法不正确的是（ ） A. 无论a 如何变化，直线l 的倾斜角的大小不变 B. 无论a 如何变化，直线l 一定不经过第三象限C. 无论a 如何变化，直线l 必经过第一、二、三象限D. 当a 取不同数值时，可得到一组平行直线12. 唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为(2,0)B -，若将军从山脚下的点1(,0)3A -处出发，河岸线所在直线方程为23x y +=，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）A.3 B. 5C. 3D. 16313. 已知直线:30l x my m -+=上存在点M 满足与(1,0)A -、(1,0)B 两点连线的斜率MA k 与MB k 之积为3，则实数m 的取值范围是（ ）A. [6,6]-B. 66(,)(,)-∞-+∞ C. 66(,][,)66-∞-+∞ D. 22[,]22- 14. 设直线系:cos (2)sin 1M x y θθ+-=，02θπ≤≤，对于下列四个命题：（1）M 中所有直线均经过一个定点；（2）存在定点P 不在M 中的任意一条直线上；（3）对于任意整数n ，3n ≥，存在正n 边形，其所有边均在M 中的直线上；（4）M 中的直线所能围成的正三角形面积都相等； 其中真命题的是（ ）A.（2）（3）B.（1）（4）C.（2）（3）（4）D.（1）（2）三. 解答题15. 已知直线l 的方程为210x y -+=.（1）求过点(3,2)A ，且与直线l 垂直的直线1l 方程；（2）求过l 与1l 的交点B ，且倾斜角是直线l 的一半的直线2l 的方程.16. 已知直线1:3470l x y +-=与2:3480l x y ++=.（1）若11(,)A x y 、22(,)B x y 两点分别在直线1l 、2l 上运动，求AB 的中点D 到原点的最短距离；（2）若(2,3)M ，直线l 过点M ，且被直线1l 、2l 截得的线段长为35l 的方程.17. 已知直线:120l kx y k -++=，k ∈R .（1）证明：直线l 过定点；（2）若直线l 不经过第四象限，求k 的取值范围；（3）若直线l 交x 轴负半轴于点A ，交y 轴正半轴于点B ，O 为坐标原点，设△AOB 的面积为S ，求S 的最小值及此时直线l 的方程.参考答案一. 填空题 1. 43(,)55-或43(,)55- 2. 41[,]32- 3. 5[0,][,)66πππ 4. y x =-或11542y x =-+ 5. 4或1-或16-或23 6. 37y x =-+或1133y x =+ 7. (4,0)-8. 11(,)25-- 9. 0 10. 1(1)22-二. 选择题 11. C 12. A 13. C 14. A三. 解答题15.（1）270x y +-=；（2）1722y x -=+. 16.（1）min 110d =；（2）2(2)3y x =--+，2(2)311y x =--+. 17.（1）证明略，过定点(2,1)-；（2）0k ≥；（3）min 4S =，此时直线l 的方程为240x y -+=.。
2020届上海市华东师范大学第二附属中学高三上学期9月月考数学试题(解析版)
2020届上海市华东师范大学第二附属中学高三上学期9月月考数学试题一、单选题1．设α、β是两个平面，则//αβ的充要条件是（ ） A ．α内有无数条直线与β平行 B ．α内有两条相交直线与β平行 C ．α、β平行于同一条直线 D ．α、β垂直于同一个平面【答案】B【解析】根据面面平行的判定可得出正确答案. 【详解】选项A: α内有无数条直线与β平行,,αβ可能相交, 只要α内直线与,αβ交线平行,这样α内有无数条直线 与β平行,故错误;选项B:为面面平行的判定定理,故正确;选项C:两相交平面外存在无数条直线与两平面的交线平行， 故满足选项C 条件两平面可能相交,故错误;选项D:若直线a γ⊥，过直线a 所有平面均垂直平面γ, 这些平面显然是相交,故错误. 故选:B 【点睛】本题考查面面平行的判定,对于有关的结论要熟记,属于基础题.2．已知函数01,()1,1.x f x x x⎧⎪=⎨>⎪⎩剟若关于x 的方程1()()4f x x a a R =-+∈恰有两个互异的实数解，则a 的取值范围为 A ．59,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．59,44⎛⎤⎥⎝⎦C ．59,{1}44⎛⎤⎥⎝⎦D ．59,{1}44⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D【解析】画出()f x 图象及直线14y x a =-+，借助图象分析。
【详解】如图，当直线14y x a =-+位于B 点及其上方且位于A 点及其下方，或者直线14y x a =-+与曲线1y x=相切在第一象限时符合要求。
即1124a ≤-+≤，即5944a ≤≤， 或者2114x -=-，得2x =，12y =，即11224a =-⨯+，得1a =，所以a 的取值范围是{}59,144⎡⎤⎢⎥⎣⎦。
故选D 。
【点睛】根据方程实根个数确定参数范围，常把其转化为曲线交点个数，特别是其中一条为直线时常用此法。
3．设函数()()sin 05f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，已知()f x 在[]0,2π有且仅有5个零点，对于下述4个结论：①()f x 在()0,2π有且仅有3个最大值点；②()f x 在()0,2π有且仅有2个最小值点；③()f x 在0,10π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增；④ω的取值范围是1229,510⎡⎫⎪⎢⎣⎭.其中所有正确结论的编号为（ ） A ．①②③ B ．①④C ．①③④D ．②③【答案】C【解析】利用整体思想，结合正弦函数图像特征，可分析出①正确,②不正确,求出ω范围，判断③④正确. 【详解】[]0,2x π∈,[,2]555x πππωπω+∈+,()f x 在[]0,2π有且仅有5个零点，转化为sin y x =在[,2]55x πππω∈+有且仅有5个零点, 1229526,5510πππωπω≤+<≤<，故①④正确， ②不正确.29490,1055105101051002x x ππππππππωωπ<<<+<+<⋅+=<， 故③正确. 故选:C 【点睛】本题考查正弦函数的零点、最值、单调性,应用整体思想转化为sin y x =的图像和性质,属于基础题.4．已知1x 、2x 是关于x 的方程()()22210x x m m Z -+-=∈的两个不同实数根，则经过两点()211,A x x 、()222,B x x 的直线与双曲线2214x y -=的交点个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．根据m 的值来确定 【答案】B【解析】由关于x 的方程()()22210x x m m Z -+-=∈的两个不同实数根,求出m 的取值范围,再由根与系数关系,求出直线AB 斜率,与双曲线的渐近线的斜率相等，直线AB 与双曲线的渐近线平行或重合,即可答案. 【详解】关于x 的方程()()22210x x m m Z -+-=∈的两个不同实数根,所以44(21)8(2)0,2m m m ∆=--=->∴<,1212221212112,2AB x x x x k x x x x -+=∴===-+ 双曲线2214x y -=渐近线方程曲线12y x =±,∴直线AB 与双曲线的渐近线平行或重合,若()211,A x x 或()222,B x x 在直线12y x =得1x ,2x 的值为0或2，此时1210,2m m -==， m Z ∈,不合题意，直线AB 不与双曲线重合,∴直线AB 与双曲线一定平行，所以有一个交点.故选:B 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数关系,直线斜率,双曲线简单几何性质,要注意验证是否重合,数形结合是解题的关键,属于中档题,二、填空题5．函数()f x =______. 【答案】[)1,+∞【解析】由被开方数不小于0,得出关于x 的对数不等式,求出x 的范围,即是定义域. 【详解】由2log 0,1x x ≥∴≥,所以函数()f x =[)1,+∞. 故答案为:[)1,+∞. 【点睛】本题考查函数的定义域,解题的关键是对函数成立的限制条件要熟悉,属于基础题. 6．函数()13x f x -=的反函数()1fx -=______.【答案】3log 1x + 【解析】令13x y -=,把x 用y 表示,然后,x y 对换,即可求得()1fx -.【详解】 令13x y -=,则3log 1x y =+,()13x f x -=的反函数是3log 1y x =+,即13()log 1fx x -=+.故答案为:3log 1x +. 【点睛】本题求函数的反函数,对于反函数与原函数之间关系要清楚,属于基础题. 7．设全集U =R ，若集合1|12A x x ⎧⎫=-<⎨⎬⎩⎭，23|1x B x x -⎧⎫=≥⎨⎬⎩⎭，则U A C B =______.【答案】30,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】化简集合,A B ,求出U C B ,然后再求U A C B ⋂. 【详解】 由112x -<,得1313,(,)2222x A -<<∴=-， 由2331,0,0x x x x x--≥≥∴<或3x ≥, (,0)[3,),[0,3)U B C B =-∞+∞∴=,3[0,)2U A C B =.故答案为:30,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭【点睛】本题考查集合间的运算关系,以及解不等式,属于基础题.8．已知复数3sin cos z i θθ=+（i 是虚数单位），且z =θ为钝角时，tan θ=______.【答案】1-【解析】由模长公式,得到关于sin ,cos θθ关系,化弦为切,即可求得结果. 【详解】2222cos 5sin 5cos z θθθθ==+=+,222sin cos ,tan 1θθθ=∴=,θ为钝角,tan 1θ∴=-故答案为:1- 【点睛】本题考查复数的模长公式,考查三角函数的求值,注意"1"的变换,属于基础题.9．在甲、乙等8名班干部中选3人参加一个座谈会，则甲被选中的概率为______（结果用最简分数表示） 【答案】38【解析】求出8名班干部中选3人所有选法的总数,再求甲被选中的个数,即可求出结果. 【详解】8名班干部中选3人所有选法由38C 种， 甲被选中的个数为27C , 甲被选中的概率273838C C =, 故答案为:38【点睛】本题考查古典概型,正确求出所有基本事件总数和所求事件的个数是关键,属于基础题.10．设数列{}n a 前n 项的和为n S ，若14a =，且()*13n n a S n N +=∈，则n S =______.【答案】4n【解析】根据前n 项的和n S 与通项n a 的关系,即可求出n S . 【详解】1113,3,4n n n n n n n a S S S S S S +++=∴-==，11140,0,4n n nS S a S S +==≠∴≠∴=, {}n S ∴是以4为首项,公比为4的等比数列, 4n n S ∴=.故答案为:4n 【点睛】本题考查数列递推关系求前n 项的和n S ,要灵活应用n S 与n a 的关系,属于基础题.11．若行列式()1sin 2cos 34x x ππ+⎛⎫- ⎪⎝⎭的第1行第2列的元素1的代数余子式-1，则实数x 的取值集合为______.【答案】{}|2,x x k k Z ππ=+∈【解析】根据元素的代数余子式的公式,得到关于x 的三角关系式,即可求得x 的取值集合. 【详解】行第2列的元素1的代数余子式为12sin()(1)cos()4x x ππ++--(sin cos sin )cos 1x x x x =---==-, 2,x k k Z ππ=+∈，∴实数x 的取值集合为{}|2,x x k k Z ππ=+∈.故答案为:{}|2,x x k k Z ππ=+∈ 【点睛】本题考查行列式元素代数余子式的计算,以及三角函数中的给值求角问题,属于基础题. 12．若直线20x ay -+=与直线21ax y +=所成角的余弦值为13，则实数a =______.【答案】【解析】先求两直线的斜率,求出两直线的所成角的正切，把所成角的余弦值转为正切值，得到关于a 的关系式,即可求出a 的值. 【详解】设直线20x ay -+=与直线21ax y +=所成角为θ,则1cos ,tan 3θθ==, 若0a =两直线垂直不合题意,所以0a ≠, 两直线的斜率存在且分别为1,2a a -, 12tan ||112a a θ+==-解得a=.故答案为: 【点睛】本题考查两直线的夹角公式,注意判断直线的斜率是否存在,考查计算能力,属于基础题.13．设二元一次不等式组2190802140x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩所表示的平面区域为M ，若函数xy a =（0a >，且1a ≠）的图像经过区域M ，则实数a 的取值范围为______. 【答案】[]2,9【解析】作出平面区域M ,利用函数xy a =（0a >，且1a ≠）的图像特征,即可解决问题. 【详解】作出二元一次不等式组所表示的平面区域M , 如下图所示:求得(2,10),(1,9),(3,8)A B C ,由图可知, 要满足条件必有1a >,且图现在过,B C 两点的图像之间,当图像过B 点时, 19,9a a =∴=，当图像过C 点时, 38,2a a =∴=， a ∴的取值范围是[]2,9.故答案为:[]2,9 【点睛】本题考查了用平面区域表示二元一次不等式组、指数函数的图像与性质,以及简单的转化思想和数形结合思想,属于中档题.14．如图, 是半径为1的球的球心, 点A 、B 、C 在球面上、、两两垂直,E 、F 分别为圆弧的中点.则点E 、F 在该球面上的球面距离为______.【答案】【解析】【详解】 由已知得面面，如图,在平面内过点E 作,垂足为M,联结MF.易知,. 则,且，从而,, .因此,为正三角形,， 故点E 、F 在该球面上的球面距离为.15．设函数()f x 的定义域为R ，满足()()12f x f x +=，且当(]0,1x ∈时，()()1f x x x =-，若对任意(],x m ∈-∞，都有()23f x ≥-，则m 的最大值是______.【解析】(]0,1x ∈时，()()1f x x x =-最小值为14-,根据()()12f x f x +=,从(]0,1x ∈往x 轴负方向每移动一个单位,最小值都是相邻的12倍,同理从(]0,1x ∈往x轴正方向每移动一个单位，最小值都是相邻区间的2倍,(]1,2x ∈的最值为12-,(]2,3x ∈的最值为1-,所以对任意(],x m ∈-∞，()23f x ≥-时,m 的最大值为(]2,3x ∈图像与直线23y =-左交点的横坐标.【详解】(]0,1x ∈时,()()2111()24f x x x x =-=--，最小值为14-,()()12f x f x +=，(]1,0x ∈-时，(]10,1x +∈，()()2111111(1)()22228f x f x x x x ∴=+=+=+-最小值为18-，同理(]2,1x ∈--最小值为1,16-L (]1,2x ∈的最小值为12-,(]2,3x ∈的最值为1-，所以对任意(],x m ∈-∞，都有()23f x ≥-,m 的最大值为(]2,3x ∈图像与直线23y =-左交点的横坐标.(]2,3x ∈时,2(0,1]x -∈，()()214(2)4(2)(3)f x f x f x x x =-=-=--令()24(2)(3)3f x x x =--≥-,解得2x <≤3x ≤≤所以156x ≤时,()23f x ≥-恒成立,即对任意(],x m ∈-∞，都有()23f x ≥-，则m 的最大值是156故答案为：156【点睛】本题考查分段函数的解析式和最值特征,考查函数的图像,以及一元二次不等式的解法,可借助函数图像直观性找到解题思路,属于难题16．设1234,,,a a a a R ∈，且14231aa aa -=，则代数式222212341324a a a a a a a a +++++的最小值为______.【解析】由222212341324a a a a a a a a +++++结构特征,构造向量12(,)OA a a a ==,34(,)OB b a a ==，设,a b 的夹角为θ，14231,,a a a a a b -=不共线,0θπ<<,222212341324a a a a a a a a +++++=22||||2||||a b a b a b a b ++⋅≥+⋅，转化为求2||||a b a b +⋅的最小值, 由14231a a a a -=，可得1||||,sin a b θ=cos sin a b θθ⋅=，转化求2cos cos 2sin sin sin θθθθθ++=的最小值，即为(sin ,cos )M θθ与点(0,2)P -连线的斜率最小值，即可得结果. 【详解】设12(,)OA a a a ==,34(,)OB b a a ==，设,a b 的夹角为θ,14231,,a a a a a b -=不共线,0θπ<<,222212341324a a a a a a a a +++++=22||||2||||a b a b a b a b ++⋅≥+⋅，22sin ||||a b θ==41322||||a b =1||||||||a b a b ==1cos ||||,sin sin a b a b θθθ=⋅=2||||a b a b +⋅2cos cos 2sin sin sin θθθθθ+=+=① 设(sin ,cos )M θθ，（0θπ<<）,(0,2)P -，①式表示点(0,2)P -与单位圆（y 轴右侧）的点M 连线斜率,当PM故答案为 【点睛】本题考查向量的灵活应用,困难在于如何引进向量,以及利用条件把问题转化为有关三角函数的最值,考查利用数形结合思想求最值,是一道技巧性强的难题.三、解答题17．如图，在所有棱长都等于2的正三棱柱111ABC A B C -中，点D 是11A C 的中点，求：（1）异面直线AD 与1CB 所成角的大小； （2）直线1B B 与平面1B DC 所成角的大小.【答案】（1）；（2）arcsin【解析】（1）建立空间直角坐标系，确定1,AD CB 坐标，即可求出1,AD CB 所成角的余弦，转化为AD 与1CB 所成角，即可求出结果;（2）确定1B B 坐标，求出平面1B DC 的法向量，利用线面角公式，即可求出直线1B B 与平面1B DC 所成角 【详解】取AC 中点E ,连接DE ,则1//DE AA , 正三棱柱111ABC A B C -所有棱长都等于2,BE AC ⊥,1AA ⊥平面,ABC DE ∴⊥平面ABC ,以E 为坐标原点,,,EA EB ED 所在的直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系,则(1,0,0),(0,0,2)A D ,1(1,0,0),C B B -.（1）1(1,0,2),(1,3,2)AD CB =-=1113cos 20AD CB AD CB AD CB ⋅==， ∴异面直线AD 与1CB所成角的余弦为∴异面直线AD 与1CB 所成角是.（2）11(0,0,2),(0,3,0),(1,02)B B DB DC ===--, 设平面1B DC 的法向量1(,,),,n x y z n DB n DC =⊥⊥,13020n DB y n DC x y ⎧⋅==⎪⎨⋅=--=⎪⎩,0y =,令1y =-,则2x =, ∴平面1B DC 的一个法向量(2,0,1),n =-设直线1B B 与平面1B DC 所成角α,111||sin cos ,25B B n B B n BB nα⋅====⨯∴直线1B B 与平面1B DC 所成角arcsin【点睛】本题考查用空间向量求异面直线、直线与平面所成的角,考查计算能力,属于基础题. 18．已知函数()()220f x ax ax b a =-+>在区间[]1,3-上的最大值为5，最小值为1.（1）求a 、b 的值及()f x 的解析式； （2）设()()f x g x x=，若不等式()330x xg t -⋅≥在[]0,2x ∈上有解，求实数t 的取值范围.【答案】（1）1a =，2b =，()222f x x x =-+；（2）1t ≤.【解析】(1)()()220f x ax ax b a =-+>对称轴为直线1x =,判断最小值点和最大值点坐标代入函数解析式,即可求得a 、b 的值及()f x 的解析式; （2）()330xxg t -⋅≥在[]0,2x ∈上有解,分离出参数t ,转化求函数的最值,即可求出t的范围. 【详解】()22f x ax ax b =-+对称轴方程为1x =,因为()f x 在区间[]1,3-上的最大值为5，0a >, 故1x =时,()f x 取得最小值为1,即顶点为(1,1)，1x =-或3x =，()f x 取得最大值5. ()11(1)35f a b f a b ⎧=-+=⎨-=+=⎩,解得12a b =⎧⎨=⎩, 21,2,()22a b f x x x ∴===-+.（2）()()222,(3)323x x x f x g x x g x x ==+-=+-, ()23332303x x x x x g t t -⋅=+--⋅≥, 即2221(3)3x xt ≤+-在[]0,2x ∈上有解, 令[]11,0,2,[,1]39x m x m =∈∈ 22111()2212(),[,1]229h m m m m m =-+=-+∈max ()1t h m ≤=时，不等式()330x x g t -⋅≥在[]0,2x ∈上有解. ∴实数t 的取值范围1t ≤.【点睛】本题考查通过二次函数最值,求函数的解析式,考查存在成立问题,以及换元思想,是一道中档题.19．如图所示，某城市有一条从正西方AO 通过市中心O 后向东北OB 的公路，现要修一条地铁L ，在OA ，OB 上各设一站A ，B ，地铁在AB 部分为直线段，现要求市中心O 与AB 的距离为()10km ，设地铁在AB 部分的总长度为()y km ．()1按下列要求建立关系式：()i 设OAB α∠=，将y 表示成α的函数； ()i 设OA m =，OB m =用m ，n 表示y ．()2把A ，B 两站分别设在公路上离中心O 多远处，才能使AB 最短？并求出最短距离．【答案】()()1iy=20π2α14⎛⎫+- ⎪⎝⎭，()ii y =（2）OA OB ==【解析】()()1i 先过O 作OH AB ⊥于H ，结合题意用α表示出AH 和BH ，进而可求出结果；()ii 根据等面积原理得到113πAB 10mnsin 224⋅⋅=，进而可得出结果；(2)分别求出两种方案下的AB 的值，比较大小即可得出结果. 【详解】()()1i 过O 作OH AB ⊥于H由题意得，ππππAOH α,BOH παα2424∠∠⎛⎫=-=---=+ ⎪⎝⎭ 且πAH0α,tan AOH cot α210∠<<== 即AH 10cot α=,πBH tan BOH tan α410∠⎛⎫=+=⎪⎝⎭即πBH 10tan α4⎛⎫=+ ⎪⎝⎭πcos αsin αcos α20AB BH AH 10tan α10cot α10π4sin αcos αsin α2α14+⎛⎫⎛⎫∴=+=++=+=⎪ ⎪-⎛⎫⎝⎭⎝⎭+- ⎪⎝⎭；()ii 由等面积原理得113πAB 10mnsin 224⋅⋅=即AB y ==()2选择方案一：当πα8=时)min |AB |201=，此时10OA OB πsin 8==，而2ππcos 12sin 48=-=所以OA OB == 选择方案二：因为3πtan AOB 4∠=，由余弦定理得(222223πAB m n 2mncosm n 2mn 4=+-=++≥)2AB 201AB ∴≥，即)AB 201(≥当且仅当m n ==等号) 【点睛】本题主要考查解三角形的应用，熟记余弦定理和正弦定理等即可，属于常考题型.20．已知椭圆Γ的方程为22184x y +=，圆C 与x 轴相切于点()2,0T ，与y 轴正半轴相交于A 、B 两点，且3AB =，如图1.（1）求圆C 的方程；（2）如图1，过点B 的直线l 与椭圆Γ相交于P 、Q 两点，求证：射线AB 平分PAQ ∠； （3）如图2所示，点M 、N 是椭圆Γ的两个顶点，且第三象限的动点R 在椭圆Γ上，若直线RM 与y 轴交于点1M ，直线RN 与x 轴交于点1N ，试问：四边形11MNN M 的面积是否为定值？若是，请求出这个定值，若不是，请说明理由.【答案】（1）()2225224x y 5⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭；（2）证明见解析；（3）是，【解析】（1）根据已知条件设出圆心坐标,半径为圆心纵坐标,利用弦长公式,可求出圆的方程;（2）先求出,A B 点坐标,设出直线AB 方程,与椭圆方程联立,利用韦达定理,即可求得0AP AQ k k +=,命题得证;（3）设220000(,),28R x y x y +=,求出直线RM 、直线RN 方程，进而求出点1M 与点1N 的坐标,然后四边形11MNN M 的面积用点1M 与点1N 的坐标表示,计算可得定值. 【详解】（1）依题意,设圆心(2,),C b r b =，||3AB ==，解得52r =∴所求的方程为()2225224x y 5⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭; （2）0x =代入圆C 方程，得1y =或4y =(0,1),(0,4)B A ∴若过点B 的直线l 斜率不存在,此时,,A P Q 在y 轴上,0PAB QAB??,射线AB 平分PAQ ∠,若过点B 的直线l 斜率存在，设其方程为1y kx =+联立22281x y y kx ⎧+=⎨=+⎩，消去y 得,22222(21)460,1624(21)8(83)0,k x kx k k k ∆++-==++=+>设11(,)P x y ,22(,)Q x y ,12122246,2121kx x x x k k +=-?-++, 121212124433AP AQ y y kx kx k k x x x x ----+=+=+ 1212123()113423()2206x x k k k k x x x x +⨯=-+=-=-= PABQAB \??,∴射线AB 平分PAQ ∠,（3）设220000(,),28R x y x y +=,直线NR 方程为002(2)y y x x -=+,令0y = 得0022x x y =--，即1N 002(,0)2x y --, 直线MR方程为y x =-,令0x =得y =-，即1M,(0,-,11111||||2MNN M S MN M N 四边形=0021)22x y =-(2+, 00)2x y =-(1+00022x y +-=?-22=?222=?2=?2=?∴四边形11MNN M的面积为定值【点睛】本题考查了圆的标准方程求法,直线与圆锥曲线相交问题韦达定理的应用,以及定值问题,是综合类题目,考虑到证两条直线的斜率互为相反数是解决问题的关键,属于难题. 21．对于数列{}n u ，若对任意的()*,m n Nm n ∈≠，m n u u +也是数列{}n u 中的项，则称数列{}n u 为“U 数列”，已知数列{}n a 满足：对任意的*n N ∈，均有()12n n nS a a =+，其中n S 表示数列{}n a 的前n 项和. （1）求证：数列{}n a 为等差数列；（2）若数列{}n a 为“U 数列”，18a =，*2a N ∈且28a >，求2a 的所有可能值；（3）若对任意的*n N ∈，n S 也是数列{}n a 中的项，求证：数列{}n a 为“U 数列”. 【答案】（1）证明见解析；（2）29a =、10、12、16；（3）证明见解析. 【解析】（1）已知n S 与n a 关系,结合等差数列的定义,即可证明;（2）根据“U 数列”的定义,可推出公差d 的所有可能值，即可求出2a 的所有可能值; （3）由已知任意的*n N ∈,n S 也是数列{}n a 中的项,得到1a 与公差d 的关系,从而求得{}n a 的通项,即可得到证明.【详解】 （1）由()12n n nS a a =+,得()12n n S n a a =+, ()1111122(1)()2n n n n n a S n a a S a n a +++==++-+-,即11(1)n n n a na a +-=-,211(1)n n na n a a ++∴=+-, 两式相减得212n n n na na na +++=212n n n a a a ++∴+=,∴数列{}n a 为等差数列;（2）设{}n a 的公差为12,8,8,0d a a d =>∴>,8(1)n a n d =+-,*8(1),(,)m a m d m n N =+-∈由于数列{}n a 为“U 数列”，m n u u ∴+是{}n a 的项*16(2)8(1)()m n u u m n d k d k N ∴+=++-=+-∈,*(1)8,0,1k m n d d k m n N ∴--+=>∴++-∈，8(1)k m n d∴--+=d ∴的可能值为1,2,4,8,∴2a 的所有可能值9,10,12,16;（3）设1(1)n a a n d =+-,*n N ∈,n S 也是数列{}n a 中的项,设2S 是{}n a 中的第k 项，则2121(1),a a a d S k =+=+-*21(1),(2),(3),(,)n a k d a k d a n k d n k N ∴=-∴=-=+-∈ *(3),(,)m a m k d m k N ∴=+-∈，(33),,3n m a a m n k k d m n n m k ∴+=++-+-≠∴++> *3,m n k N ∴++-∈m n a a ∴+是{}n a 中的第3m n k ++-项， ∴数列{}n a 为“U 数列”.【点睛】本题考查数列的前n 项和求通项,考查了利用等差中项的概念判定等差数列以及等差数列的通项公式,考查对新定义的理解,属于难题。
2020-2021学年上海市某校高二(上)月考数学试卷(9月份)(有答案)
2020-2021学年上海市某校高二（上）月考数学试卷（9月份）一.填空题1. 函数y ＝sin x +cos x 在x ＝θ处取得最大值，则sin θ＝________．2. 已知等差数列{a n }满足a 1＝1，a 3＝5，那么数列{a n }的前8项和S 8＝________．3. 已知单位向量，的夹角为60∘，则|+|＝________．4. 若增广矩阵为的线性方程组的解为，则实数m ＝________．5. △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若B =π3，C =π4，a ＝2，则△ABC 的面积为________．6. 在Rt △ABC 中，AB ＝4，AC ＝2，P 为斜边BC 上靠近点B 的三等分点，O 为BC 边的中点，则的值为________．7. 已知，，α、β均为锐角，则sin (α−β)＝________．8. 圆O 为△ABC 的外接圆，半径为2，若AB →+AC →=2AO →，且|OA →|=|AC →|，则向量BA →在向量BC →方向上的投影为________．9. 方程cos πx ＝|log 2|x −1||所有解的和为________．10. 设函数f(x)＝2sin (ωx +φ)(ω>0，）的图象关于直线对称，它的周期为π，则下列说法正确是________.（填写序号）①f(x)的图象过点；②f(x)在上单调递减；③f(x)的一个对称中心是；④将f(x)的图象向右平移|φ|个单位长度得到函数y ＝2sin 2x 的图象．11. 如图所示，正方形上连接等腰直角三角形，直角三角形上再连接正方形…，如此无限重复下去，设正方形面积为S 1、S 2、S 3、…、S n 、…，三角形面积为T 1、T 2、T 3、…、T n 、…，当第一个正方形的边长为2时，则这些正方形和三角形的面积的总和为________．12. 在平面凸四边形ABCD 中，AB ＝2，点M ，N 分别是边AD ，BC 的中点，且MN ＝1，若，MN →⋅(AD →−BC →)=32，则AB ¯⋅CD ¯的值为________．二.选择题 已知，，且 // ，那么k ＝（ ）A.10B.5C.D.−10已知tan α＝3，则sin （）⋅cos （）的值为（ ）A. B.- C. D.-在△ABC 中，点D 是边BC 上任意一点，M 是线段AD 的中点，若存在实数λ和μ，使得BM →=λAB →+μAC →，则λ+μ=( )A.1 2B.−12C.2D.−2在平面直角坐标系中，定义(n∈N∗)为点P n(x n, y n)到点P n+1(x n+1, y n+1)的变换，我们把它称为点变换，已知P1(1, 0)，P2(x2, y2)，P3(x3, y3)，…是经过点变换得到一组无穷点列，设a n＝•，则满足不等式a1+a2+...+a n>2020最小正整数n的值为（）A.9B.10C.11D.12三.解答题解关于x、y的方程组，请对方程组解的情况进行讨论．已知，且向量与不共线．（1）若与的夹角为45∘，求；（2）若向量与的夹角为钝角，求实数k的取值范围．数列{a n}满足a1＝1，na n+1＝(n+1)a n+n(n+1)．（1）证明：数列是等差数列；（2）设，求数列{b n}的前n项和S n．已知，函数．（1）求f(x)的最小正周期；（2）求f(x)在[−10, 10]内的零点的个数；（3）将f(x)的图象先向下平移个单位，再把横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，其中ω>0，得到g(x)的图象，若g(x)在上恒满足，求ω所有可能取值．对于数列{x n}，若存在m∈N∗，使得x2m−k＝x k对任意1≤k≤2m−1(k∈N∗)都成立，则称数列{x n}为“m−折叠数列”．（1）若a n＝|25n−200|(n∈N∗)，b n＝n2−2019n−1(n∈N∗)，判断数列{a n}、{b n}是否是“m−折叠数列”，如果是，指出m的值；如果不是，请说明理由；（2）若x n＝q n(n∈N∗)，求所有的实数q，使得数列{x n}是3−折叠数列；（3）给定常数p∈N∗，是否存在数列{x n}，使得对所有m∈N∗，{x n}都是pm−折叠数列，且{x n}的各项中恰有p+1个不同的值，证明你的结论．参考答案与试题解析2020-2021学年上海市某校高二（上）月考数学试卷（9月份）一.填空题1.【答案】【考点】三角函数的最值【解析】将函数化简，由正弦函数的最大值可得θ的值，进而求出其正弦值．【解答】y＝sin x+cos x＝sin(x+），所以当x+＝+2kπ，k∈Z，即x＝+2kπ，k∈Z时函数值最大，所以sinθ＝sin x＝sin（+2kπ)＝，k∈Z，2.【答案】64【考点】等差数列的前n项和【解析】由已知求得等差数列的公差，再由等差数列的前n项和公式求解S8．【解答】在等差数列{a n}中，由a1＝1，a3＝5，得d＝，∴．3.【答案】【考点】平面向量数量积的性质及其运算【解析】直接根据向量数量积的公式进行计算即可．【解答】∵单位向量，的夹角为60∘，∴|+|2＝2+2+2•＝1+1+2×＝1+1+1＝3，即|+|＝，4.【答案】1【考点】几种特殊的矩阵变换【解析】首先应理解方程增广矩阵的涵义，由增广矩阵写出原二元线性方程组即可．【解答】∵增广矩阵为的二元线性方程组的解为，即方程组的解为，∴解得m＝1，5.【答案】3−√3【考点】正弦定理【解析】由已知利用两角和的正弦函数公式可求sin A的值，利用正弦定理可求b的值，进而根据三角形的面积公式即可计算得解．【解答】由题可知sin A=sin(B+C)=sin(π3+π4)=sinπ3cosπ4+cosπ3sinπ4=√32×√22+12×√22=√6+√24，由正弦定理可得asin A =bsin B，所以：b=asin A ×sin B=√6+√24√32=3√2−√6，可得：S=12ab sin C=12×2×(3√2−√6)×√22=3−√3．6.【答案】6【考点】平面向量数量积的性质及其运算【解析】画出图形，建立直角坐标系，求出相关点的坐标，然后求解向量的数量积即可． 【解答】建立如图所示的坐标系，A(0, 0)，B(0, 4)，C(2, 0)， P 为斜边BC 上靠近点B 的三等分点，O 为BC 边的中点，可得P （，），O(1, 2)，＝（，）⋅(1, 2)＝＝6．7. 【答案】【考点】两角和与差的三角函数 【解析】由α，β均为锐角，可判断α+β，2α为钝角，则可得sin (α+β)，sin 2α的大小，再把α−β＝2α−(α+β)，再按照正弦的差角公式展开即可求解． 【解答】因为α，β均为锐角，且cos (α+β)＝-，cos 2α＝-，则sin (α+β)＝，sin 2α＝，则sin (α−β)＝sin [2α−(α+β)]＝sin 2αcos (α+β)−cos 2αsin (α+β)＝＝，8.【答案】 3【考点】 向量的投影 平面向量数量积 【解析】由△ABC 外接圆圆心O 满足AO →=12(AB →+AC →)，可得点O 在BC 上．由于|AO →|=|AC →|．可得△OAC 是等边三角形．可得|AB →|=|BC →|sin 60∘，进而得到向量BA →在BC →方向上的投影=|BA →|cos 30∘． 【解答】解：△ABC 外接圆半径等于2，其圆心O 满足AO →=12(AB →+AC →)，∴ 点O 在BC 上，∴ ∠BAC =90∘． ∵ |AO →|=|AC →|． ∴ △OAC 是等边三角形． ∴ ∠ACB =60∘．∴ |AB →|=|BC →|sin 60∘=2√3．∴ 向量BA →在BC →方向上的投影=|BA →|cos 30∘=2√3×√32=3．故答案为：3． 9.【答案】 4【考点】函数的零点与方程根的关系 【解析】利用已知条件作出函数f(x)＝cos πx 与g(x)＝|log 2|x −1||的图象，由对称性可得答案． 【解答】又f(x)＝cos πx 的周期为2，如图所示：两图象都关于直线x ＝1对称，且共有A 、B 、C 、D4个交点， 由中点坐标公式可得：x A +x D ＝2，x B +x C ＝2， 故所有交点的横坐标之和为4，即方程cos πx ＝|log 2|x −1||所有解的和为4． 故答案为：4．10.【答案】 ③【考点】命题的真假判断与应用 【解析】运用三角函数的周期公式可得ω，由对称轴方程可得φ，则f(x)＝2sin(2x+），结合特殊角的函数值和对称中心、单调区间和图象平移，可判断正确结论．【解答】由周期为π，可得ω＝＝＝2，由f(x)的图象关于直线对称，可得2•+φ＝kπ+，k∈Z，即φ＝kπ−，k∈Z，由0<φ<，可取k＝1，φ＝π−＝，即f(x)＝2sin(2x+），由f(0)＝2sin＝1，故①错误；由x∈，可得2x+∈[，]，f(x)在上先增后减，故②错误；由f（）＝2sin（+）＝0，可得f(x)的一个对称中心是；由f(x)的图象向右平移个单位长度得到函数y＝2sin(2x−+）即y＝2sin(2x−）的图象，故④错误．11.【答案】10【考点】数列的极限【解析】正方形的面积构成以4为首项，以为公比的等比数列，等腰直角三角形的面积构成以1为首项，为公比的等比数列，再由无穷递缩等比数列的所有项和公式求解．【解答】依题意，正方形的面积S 1，S 2，S 3，…，构成以4为首项，以为公比的等比数列，，其各项和S ＝；三角形的面积为T 1，T 2，T 3，…，构成以1为首项，以为公比的等比数列，，其各项和T ＝．∴ 这些正方形和三角形的面积的总和为S +T ＝10． 12. 【答案】12【考点】平面向量数量积的性质及其运算 【解析】取BD 的中点O ，连接OM ，ON ，运用向量的中点表示和数量积的性质，以及加减运算，计算可得所求值． 【解答】取BD 的中点O ，连接OM ，ON ， 可得MN →=MO →+ON →=12(AB →+DC →)，平方可得MN →2=14(AB →2+DC →2+2AB →⋅DC →)=14(4+DC →2+2AB →⋅DC →)＝1，即有AB ¯⋅CD ¯=12DC →2， MN →⋅(AD →−BC →)=32，即有12(AB →+DC →)⋅(AB →+BD →−BC →) =12(AB →+DC →)⋅(AB →+CD →)=12(AB →2−CD →2)=12(4−CD →2)=32， 解得CD →2＝1，即有AB ¯⋅CD ¯=12， 二.选择题 【答案】D【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示 【解析】根据 // 即可得出4⋅5+2k ＝0，然后解出k 即可． 【解答】 ∵ // ，∴ 4⋅5+2k ＝0，解得k ＝−10． 【答案】 B【考点】运用诱导公式化简求值 【解析】直接利用诱导公式以及同角三角函数基本关系式转化求解即可． 【解答】tan α＝3，则sin （）⋅cos （）＝−sin αcos α＝＝-＝-．【答案】 B【考点】平面向量的基本定理 【解析】设BD →=kBC →，用AB →，AC →表示出BM →求出λ，μ的值即可得出答案． 【解答】解：设BD →=kBC →=kAC →−kAB →， ∴ BM →=12(BA →+BD →) =−12AB →+k 2AC →−k 2AB →=(−12−k2)AB →+k 2AC →. ∴ λ=−12−k2，μ=k2. ∴ λ+μ=−12． 故选B . 【答案】 C【考点】平面向量数量积的性质及其运算【解析】根据条件即可求得点P1，P2到P7的坐标，从而可以求出向量，，……，的坐标，进行向量数量积的坐标运算便可求出a1＝1，a2＝2，a3＝4，a4＝8，a5＝16，从而便可看出数列{a n}是以1为首项，2为公比的等比数列，从而可求出前n项和为2n−1，从而可以得到2n>2021，这样便可判断出最小正整数n的值．【解答】由条件得，P1(1, 0)，P2(1, 1)，P3(0, 2)，P4(−2, 2)，P5(−4, 0)，P6(−4, −4)，P7(0, −8)…；∴a1＝•＝(0, 1)⋅(−1, 1)＝1，a2＝•＝(−1, 1)⋅(−2, 0)＝2a3＝•＝(−2, 0)⋅(−2, −2)＝4，a4＝•＝(−2, −2)⋅(0, −4)＝8，a5＝•＝(0, −4)⋅(4, −4)＝16，∴数列{a n}是首项为1，公比为2的等比数列；∴a1+a2+...+a n＝＝2n−1，∴由a1+a2+...+a n>2020得，2n−1>2020；∴2n>2020；∵210＝1024，211＝2048，∴满足a1+a2+...+a n>2020的最小正整数n＝11，三.解答题【答案】根据题意，方程组的解，D＝＝3−m(m−2)＝−(m−3)(m+1)，D x＝＝−18+2m2＝2(m−3)(m+3)，D y＝＝−2m+6(m−2)＝4m−12＝4(m−3)，所以，当m＝−1时，D＝0，Dx≠0，方程组无解；当m＝3时，D＝Dx＝Dy＝0，方程组有无穷多个解；当m≠−1且m≠3时，D≠0，方程组有唯一的解；【考点】函数的零点与方程根的关系【解析】分情况m＝−1、m＝3，m≠−1，m≠3三种情形进行讨论，计算即可．【解答】根据题意，方程组的解，D＝＝3−m(m−2)＝−(m−3)(m+1)，D x＝＝−18+2m2＝2(m−3)(m+3)，D y＝＝−2m+6(m−2)＝4m−12＝4(m−3)，所以，当m＝−1时，D＝0，Dx≠0，方程组无解；当m＝3时，D＝Dx＝Dy＝0，方程组有无穷多个解；当m≠−1且m≠3时，D≠0，方程组有唯一的解；【答案】∵与的夹角为45∘，∴＝＝．∴＝-＝2+．∵向量与的夹角为钝角，∴（）•（，且不能反向共线，∴＝k2−1<4，解得−1<k<1∴实数k的取值范围是(−5, 1)(k≠0)．【考点】平面向量数量积的性质及其运算数量积表示两个向量的夹角【解析】（1）由与的夹角为45∘，可得＝cos45∘．展开＝-，代入即可得出．（2）由向量与的夹角为钝角，可得（）•（）<0，且不能反向共线，即可得出．【解答】∵与的夹角为45∘，∴＝＝．∴＝-＝2+．∵向量与的夹角为钝角，∴（）•（，且不能反向共线，∴＝k2−1<4，解得−1<k<1∴实数k的取值范围是(−5, 1)(k≠0)．【答案】证明：由na n+1＝(n+1)a n+n(n+1)，得，即，∵a1＝1，∴数列是以1为首项，以1为公差的等差数列；由（1）得，，∴，则＝n⋅3n．∴，，＝，∴．【考点】数列的求和等差数列的性质【解析】（1）由na n+1＝(n+1)a n+n(n+1)，得，即，则数列是以1为首项，以1为公差的等差数列；（2）由（1）得，，可得，代入，利用错位相减法求数列{b n}的前n项和S n．【解答】证明：由na n+1＝(n+1)a n+n(n+1)，得，即，∵a1＝1，∴数列是以1为首项，以1为公差的等差数列；由（1）得，，∴，则＝n⋅3n．∴，，＝，∴．【答案】，函数．可得：＝，∴f(x)的最小正周期为π．令f(x)＝0得，∴，∴，x∈[−10, 10]，当x＝kπ时，k＝−3，−2，…，2，3，有7个值，当时，k＝−3，−2，…，1，2，有6个值，即：f(x)在[−10, 10]内的零点的个数为13．依题意，将f(x)的图象先向下平移个单位，再把横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，其中ω>0，得到g(x)的图象，可得，是g(x)在上的最大值，当时，，下面分情况讨论：①当，即时，g(x)在上单调递增，符合题意，②当，即时，为了满足题意，必须保证，∴，∴，综上：ω所有可取的值为或．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换平面向量数量积的性质及其运算【解析】（1）利用向量的数量积以及两角和与差的三角函数化简函数的解析式，然后利用周期公式求解即可．（2）令f(x)＝0，求解三角函数值，结合范围推出结果即可．（3）利用函数的图象变换化简函数的解析式，利用函数的最值列出不等式求解即可．【解答】，函数．可得：＝，∴f(x)的最小正周期为π．令f(x)＝0得，∴，∴，x∈[−10, 10]，当x＝kπ时，k＝−3，−2，…，2，3，有7个值，当时，k＝−3，−2，…，1，2，有6个值，即：f(x)在[−10, 10]内的零点的个数为13．依题意，将f(x)的图象先向下平移个单位，再把横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，其中ω>0，得到g(x)的图象，可得，是g(x)在上的最大值，当时，，下面分情况讨论：①当，即时，g(x)在上单调递增，符合题意，②当，即时，为了满足题意，必须保证，∴，∴，综上：ω所有可取的值为或．【答案】存在m∈N∗，使得x2m−k＝x k对任意1≤k≤2m−1(k∈N∗)都成立，知：{x n}在1≤n≤2m−1内关于n＝m对称即可，①a n＝|25n−200|(n∈N∗)＝，(n∈N∗)，有{a n}在1≤n≤2×8−1＝15内关于n＝8对称，故m＝8，即是8−折叠数列；②b n＝n2−2019n−1(n∈N∗)有{b n}在1≤n≤2018内关于n＝对称，m＝∉N∗，即不是“m−折叠数列”；要使通项公式为x n＝q n(n∈N∗)的数列{x n}是3−折叠数列，只需要（）6−k＝q k，当q＝0时，x n＝0，显然成立，当q≠0时，由q6−k＝q k，得q6−2k＝1，q2（3−k）＝1，(k∈{1, 2, 3, 4, 5})，所以q＝1或q＝−1，综上q＝0，q＝1或q＝−1．对给定的p∈N∗，{x n}都是pm−折叠数列，故x n有多条对称轴，其中x＝pm都是数列{x n}的对称轴，设xn＝cos x，由x＝mπ(m∈N∗)得对称轴为x＝pm，且x n的周期为2p，满足给定常数p∈N∗，使得对所有m∈N∗，{x n}都是pm−折叠数列，x n是周期函数，周期为2p，在(1, 2p]这个周期内，x＝p为对称轴，故x n∈(1, 2p]对应函数值的个数与x n∈[p, 2p]对应的函数值个数相等，即x n∈[p, 2p]时，x n∈[π, 2π]，所以{x n}在x n∈[p, 2p]上单调递增，因为p∈N∗，所以x n各项中共有p+1个不同的值，综上，给定常数p∈N∗，存在数列{x n}，使得对所有m∈N∗，{x n}都是pm−折叠数列，且{x n}的各项中恰有p+1个不同的值．【考点】数列的应用【解析】（1）结合给的定义列出关于m的方程，判断方程是否有解即，可判断数列{a n}，{b n}是否是“m−折叠数列”；（2）根据题中所给定义，列方程得到6−k＝q k，再讨论q是否为0可得出结果；（3）只需列举出例子即可证明，结合定义，数列{x n}的图象有无数条对称轴，可联想三角函数求解，设x n＝cos x，结合三角函数单调性与周期性即可证明．【解答】存在m∈N∗，使得x2m−k＝x k对任意1≤k≤2m−1(k∈N∗)都成立，知：{x n}在1≤n≤2m−1内关于n＝m对称即可，①a n＝|25n−200|(n∈N∗)＝，(n∈N∗)，有{a n}在1≤n≤2×8−1＝15内关于n＝8对称，故m＝8，即是8−折叠数列；②b n＝n2−2019n−1(n∈N∗)有{b n}在1≤n≤2018内关于n＝对称，m＝∉N∗，即不是“m−折叠数列”；要使通项公式为x n＝q n(n∈N∗)的数列{x n}是3−折叠数列，只需要（）6−k＝q k，当q＝0时，x n＝0，显然成立，当q≠0时，由q6−k＝q k，得q6−2k＝1，q2（3−k）＝1，(k∈{1, 2, 3, 4, 5})，所以q＝1或q＝−1，综上q＝0，q＝1或q＝−1．对给定的p∈N∗，{x n}都是pm−折叠数列，故x n有多条对称轴，其中x＝pm都是数列{x n}的对称轴，设xn＝cos x，由x＝mπ(m∈N∗)得对称轴为x＝pm，且x n的周期为2p，满足给定常数p∈N∗，使得对所有m∈N∗，{x n}都是pm−折叠数列，x n是周期函数，周期为2p，在(1, 2p]这个周期内，x＝p为对称轴，故x n∈(1, 2p]对应函数值的个数与x n∈[p, 2p]对应的函数值个数相等，即x n∈[p, 2p]时，x n∈[π, 2π]，所以{x n}在x n∈[p, 2p]上单调递增，因为p∈N∗，所以x n各项中共有p+1个不同的值，综上，给定常数p∈N∗，存在数列{x n}，使得对所有m∈N∗，{x n}都是pm−折叠数列，且{x n}的各项中恰有p+1个不同的值．。
上海市华东师大二附中2020-2021学年高二上学期9月月考数学试卷含答案
华二附中高二月考数学试卷2020.09一.填空题1.直线413y x =-的单位法向量是2.已知点(2,3)P -，(3,2)Q ，直线20ax y ++=与线段PQ 相交，则实数a 的取值范围是3.直线cos 20x α+=的倾斜角的范围是4.过点(10,10)-且在x 轴上的截距是在y 轴上截距的4倍的直线的方程为5.已知三条直线1:440l x y +-=，2:0l mx y +=，3:2340l x my --=不能围成三角形，则m =6.已知等腰三角形的底边所在直线过点(2,1)P ，两腰所在的直线为20x y +-=与740x y -+=，则底边所在的直线方程是7.数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线后人称之为三角形的欧拉线，已知△ABC 的顶点(2,0)A ，(0,4)B ，若其欧拉线方程为20x y -+=，则顶点C 的坐标8.已知点P 在直线210x y +-=上，点Q 在直线230x y ++=上，PQ 的中点为00(,)M x y ，且002y x >+，则00y x 的取值范围是9.已知,αβ∈R ，直线1sin sin sin cos x y αβαβ+=++与1cos sin cos cos x y αβαβ+=++的交点在直线y x =-上，则sin cos sin cos ααββ+++=10.已知点(1,0)A -，(1,0)B ，(0,1)C ，直线y ax b =+（0a >），将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是二.选择题11.对于直线1:0l ax ay a+-=（0a ≠），下列说法不正确的是（）A.无论a 如何变化，直线l 的倾斜角的大小不变 B.无论a 如何变化，直线l 一定不经过第三象限C.无论a 如何变化，直线l 必经过第一、二、三象限D.当a 取不同数值时，可得到一组平行直线12.唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为(2,0)B -，若将军从山脚下的点1(,0)3A -处出发，河岸线所在直线方程为23x y +=，则“将军饮马”的最短总路程为（）A.3B.5C.3D.16313.已知直线:30l x my m -+=上存在点M 满足与(1,0)A -、(1,0)B 两点连线的斜率MA k 与MB k 之积为3，则实数m 的取值范围是（）A.[6,6]- B.66(,)(,)66-∞-+∞U C.66(,][,)66-∞-+∞U D.22[,]22-14.设直线系:cos (2)sin 1M x y θθ+-=，02θπ≤≤，对于下列四个命题：（1）M 中所有直线均经过一个定点；（2）存在定点P 不在M 中的任意一条直线上；（3）对于任意整数n ，3n ≥，存在正n 边形，其所有边均在M 中的直线上；（4）M 中的直线所能围成的正三角形面积都相等；其中真命题的是（）A.（2）（3）B.（1）（4）C.（2）（3）（4）D.（1）（2）三.解答题15.已知直线l 的方程为210x y -+=.（1）求过点(3,2)A ，且与直线l 垂直的直线1l 方程；（2）求过l 与1l 的交点B ，且倾斜角是直线l 的一半的直线2l 的方程.16.已知直线1:3470l x y +-=与2:3480l x y ++=.（1）若11(,)A x y 、22(,)B x y 两点分别在直线1l 、2l 上运动，求AB 的中点D 到原点的最短距离；（2）若(2,3)M ，直线l 过点M ，且被直线1l 、2l 截得的线段长为35，求直线l 的方程.17.已知直线:120l kx y k -++=，k ∈R .（1）证明：直线l 过定点；（2）若直线l 不经过第四象限，求k 的取值范围；（3）若直线l 交x 轴负半轴于点A ，交y 轴正半轴于点B ，O 为坐标原点，设△AOB 的面积为S ，求S 的最小值及此时直线l 的方程.参考答案一.填空题1.43(,)55-或43(,)55- 2.41[,]32- 3.5[0,][,)66πππU 4.y x =-或11542y x =-+ 5.4或1-或16-或236.37y x =-+或1133y x =+7.(4,0)-8.11(,25--9.010.21(1)22-二.选择题11.C 12.A 13.C 14.A三.解答题15.（1）270x y +-=；（2）y =+16.（1）min 110d =；（2）2(2)3y x =--+，2(2)311y x =--+.17.（1）证明略，过定点(2,1)-；（2）0k ≥；（3）min 4S =，此时直线l 的方程为240x y -+=.。
上海市华东师范大学第二附属中学2020-2021学年高二上学期期中数学试题(1)
上海市华东师范大学第二附属中学2020-2021学年高二上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．已知一个关于x ，y 的二元线性方程组230450x y x y --=⎧⎨-+-=⎩，则此线性方程组的增广矩阵为______. 2．已知直角坐标平面内的两个向量()1,a m =，()2,4b =使得平面内的任意一个向量c 都可以唯一分解成c a b λμ=+，则m 的取值范围是______.3．直线320x y ++=与4210x y +-=的夹角是______.4．设向量()3,0a =，()2,6b =，则b 在a 上的投影为______.5．直线3230x y --=与610x my ++=平行，则它们之间的距离为______. 6．直线420mx y +-=与直线250x y n -+=相互垂直，垂足为()1,p ，则n =______. 7．若原点在直线L 上的射影为()2,1，直线L 的倾斜角为θ，则sin 2θ=______. 8．经过点(3,1)(4,2)A B 和点--的直线l 的点方向式方程是 ．9．如图，在矩形ABCD 中，22AB BC ==，，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若·2AB AF =，则·AE BF 的值是 ．10．已知向量a ，b 满足1a =，2b =，若对任意单位向量e ，均有则7a e b e ⋅+⋅≤，则a b ⋅最大值为______.二、单选题11．设2111()1111f x xx =-，x ∈R ，则方程()0f x =的解集为（ ） A ．{1}B ．{}1-C ．{1,1}-D ．以上答案都不对 12．若,x y 满足约束条件1{122x y x y x y +≥-≥--≤，目标函数2z ax y =+仅在点（1，0）处取得最小值，则a 的取值范围是A ．（1-，2）B ．（4-，2）C ．(4,0]-D ．(2,4)- 13．若分别过()1,0P ，()2,0Q ，()4,0R ，()8,0S 四个点各作一条直线，所得四条直线恰围成正方形，则该正方形的面积不可能为（ ）A ．1617B ．365C ．6437D ．1965314．对任意两个非零的平面向量α和β，定义cos ααβθβ⊗=，其中θ为α和β的夹角．若两个非零的平面向量a 和b 满足：①a b ≥；②a 和b 的夹角(0,)4πθ∈；③a b ⊗和b a ⊗的值都在集合,2n x x n N ⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭中．则a b ⊗的值为（ ）．A ．52B ．32C ．1D ．12三、解答题15．用矩阵行列式的知识解关于x ，y 的方程组()12mx y m m R x my m+=+⎧∈⎨+=⎩. 16．（1）求点()1,3-关于直线220x y --=的对称点坐标；（2）求直线12x y =-关于直线24y x =-的对称直线的一般式方程. 17．已知向量15a =，15b =. （1）若a ，b 的夹角为60︒，{},1,0c xa yb c c xy +==，求x ，y 所满足的关系式，并求xy 的最大值；（2）若对任意的()(){},,1,0x y x y xa yb xy ∈+=，都有1x y +≤成立，求a b ⋅的最小值. 18．如果从北大打车到北京车站去接人，聪明的专家一定会选择走四环。
上海市华东师范大学第二附属中学2020-2021学年第一学期高二期中数学试卷
华二附中高二期中数学试卷2020.11一. 填空题1. 已知直线l 过点(2,3)P ，它的一个方向向量为(1,5)d =，则直线l 的点方向式方程为2. 若一条直线的斜率(1,1)k ∈-，则该直线的倾斜角的取值范围是3. 若椭圆221y x m +=的焦距是4，则m = 4. 已知(,2)a λλ=，(3,2)b λ=，如果a 与b 的夹角为锐角，则λ的取值范围是5. 已知三角形的三边所在直线为1x y +=-，21x y -=，23x y +=，则三角形的外接圆方程为6. 与两圆22(2)1x y ++=，22(2)1x y -+=都相切，且半径为3的圆一共有 个7. 在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，E 、F 分别是AB 、CD 上的点，若EF ∥AD ，且 35AE AD AB BC ==，若AB a =，DC b =，则EF 可用a 、b 表示为8. 手表的表面在一个平面上，整点1，2，3，⋅⋅⋅，12这12 的圆周上，从整点i 到整点1i +的向量记作1i i t t +，则1223233412112t t t t t t t t t t t t ⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅=9. 设实数x 、y 满足约束条件0,4312x y x x y ≥≥⎧⎨+≤⎩，则231x y x +++取值范围是 10. 已知非零向量OP 、OQ 不共线，设111m OM OP OQ m m =+++，定义点集 {|A F =}||||FP FMFQ FMFP FQ ⋅⋅=，若对于任意的3m ≥，当12,F F A ∈且不在直线PQ 上时，不等式12||||F F k PQ ≤恒成立，则实数k 的取值范围为二. 选择题11. 已知直角坐标平面上两条直线的方程分别为1111:0l a x b y c ++=（1a 、1b 不同时为零），2222:0l a x b y c ++=（2a 、2b 不同时为零），那么“11220a b a b =”是“两直线1l 、2l 平行” 的（ ）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件12. 已知11(,)P x y 是直线1:(,)0l f x y =上一点，22(,)Q x y 是l 外一点，则方程(,)f x y =1122(,)(,)f x y f x y +表示的直线（ ）A. 与l 重合B. 与l 交于点PC. 过Q 与l 平行D. 过Q 与l 相交13. 已知a 、b 均为单位向量，且0a b ⋅=，若|4||3|5c a c b -+-=，则||c a +的取值范围是（ ）A. [3,10]B. [3,5]C. [3,4]D. [10,5]14. 若在边长为1的正三角形ABC 的边BC 上有n （2n ≥，*n ∈N ）等分点，沿向量BC 的方向依次为121,,,n P P P -⋅⋅⋅，记1121n n T AB AP AP AP AP AC -=⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅，若给出四个数值：①294；②9110；③19718；④23233；则n T 的值可能的共有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个三. 解答题15. 设a 、b 是两个不共线的非零向量.（1）记OA a =，OB tb =，1()3OC a b =+，那么实数t 为何值时，A 、B 、C 三点共线？（2）若||||1a b ==，且a 与b 夹角为120°，那么实数x 为何值时，||a xb -的值最小？16. 已知过原点的动直线l 与圆221:650C x y x +-+=相交于不同的两点A 、B .（1）求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；（2）是否存在实数k ，使得直线:(4)L y k x =-与曲线C 只有一个交点，若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由.17. 在平面直角坐标系中，定义1212(,)max{||,||}d A B x x y y =--为两点11(,)A x y 、22(,)B x y 的“切比雪夫距离”，又设点P 及直线l 上任一点Q ，称(,)d P Q 的最小值为点P 到直线l 的“切比雪夫距离”，记作(,)d P l .（1）求证：对任意三点A 、B 、C ，都有(,)(,)(,)d A C d C B d A B +≥；（2）已知点(3,1)P 和直线:210l x y --=，求(,)d P l ；（3）定点00(,)C x y ，动点(,)P x y 满足(,)d C P r =（0r >），请求出点P 所在的曲线所围成图形的面积.18. 已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>，它的上、下顶点分别为A 、B ，左、右焦点分别为1F 、2F ，若四边形12AF BF 为正方形，且面积为2.（1）求椭圆E 的标准方程；（2）设存在斜率不为零且平行的两条直线1l 、2l ，它们与椭圆E 分别交于点C 、D 、M 、N ，且四边形CDMN 是菱形；求证：①直线1l 、2l 关于原点对称；②求出该菱形周长的最大值.参考答案一. 填空题 1. 2315x y --= 2. 3[0,)(,)44πππ 3. 5 4.411(,)(0,)(,)333-∞+∞5. 227320x y x y +-++=6. 77. 21211010EF b a =-8. 99. [3,11] 10. 34k ≥二. 选择题 11. B 12. C 13. B 14. A三. 解答题15.（1）12t =；（2）12x =-，min 3||a xb -=.16.（1）22395()(3)243x y x -+=<≤；（2）325{}[,4k ∈±-. 17.（1）证明略；（2）4(,)3d P l =；（3）24S r =.18.（1）22121x y +=；（2）①证明略；②菱形周长的最大值为。
上海市华东师范大学第二附属中学2022届高三上学期9月月考数学试题(讲解版)
【答案】
【分析】根据无穷等比数列性质，可结合极限的概念表示出 的代换式，再结合数列的通项公式 ，代换得 ，结合 即可求得 的取值范围
【详解】等比数列的前 项和公式 ，
， 的值趋向于正无穷时，即 ， ，
又 ， ，
，且 ，
故 .
【详解】 （ 且 ）,
即 ，
整理得 ，
所以 从第二项起是等差数列，且公差为 ， ，
所以 时， ，
也符合上式，所以 .
当 时， ，
所以
，
也符合上式，所以 .
所以 .
所以当 时， ；当 时， .
所以 ，
所以 .
故答案 ：
12.设点 在椭圆 上，点 在直线 上，则 的最小值为_____________．
【答案】2
【答案】
【分析】写出展开式的通项，然后可算出答案.
【详解】 的展开式的通项 ，由 ，得 ，
且 ，可得 ， .
故答案为：6
6.已知 为 上的奇函数，且其图象关于点 对称，若性及奇函数性质求得函数周期为4，从而 .
【详解】函数关于点 对称，则 ，
【详解】（1）由已知可得： ，解得 ， ，
所以椭圆的方程为 ；
（2）因为 ， ，所以直线l的斜率存在，
设直线l的方程为： ， ， ，
联立方程 ，消去y整理可得：
，
所以 ， ，
所以 ，
化简可得： ，所以 ，
则直线l的方程为： ；
（3）当直线AD的斜率不存在或为0时，矩形ABCD的面积为 ，
当直线AD的斜率存在且不为0时，设直线AD的方程为 ，
【详解】(1)棱柱 中，假设直线 与直线 共面，∵点 平面 ，
上海市华东师范大学第二附属中学2020-2021学年高二上学期期中数学试题(解析版)
所以
，
所以
，
令 ，解得 ；
令 ，解得 ；
令 ，解得 ；
令 ，解得 ；
所以 的值不可能取所给的四个数值.
故选：A.
【点睛】思路点睛：
向量数量积的问题，在求解时，可根据向量向量积的运算法则，由转化法求出数量积；也可利用建系的方法，建立平面直角坐标系，得出所需向量的坐标，根据向量数量积的坐标表示求解.
【分析】
根据两圆相离，可以判定出与两圆都相切且半径为3的圆有7个．
【详解】解：因为两圆 ， 是相离的，
所以与两圆都相切且半径为3的圆的情况如下：
与两圆都内切的有1个，是以原点为圆心，即 ；
与两圆都外切的有2个，设切点为 ，则 ，
，
同理，利用圆与圆的圆心距和半径的关系可得：
与圆 外切于圆 内切的圆有2个；与圆 内切于圆 外切的圆有2个；
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）设存在斜率不为零且平行的两条直线 、 ，它们与椭圆 分别交于点 、 、 、 ，且四边形 是菱形；
①求证：直线 、 关于原点对称；
②求出该菱形周长的最大值.
【答案】（1） ；（2）①证明见解析；②菱形周长的最大值为 .
【解析】
【分析】
（1）由已知可得关于 ， ， 的方程组，求得可得 ， 的值，则椭圆方程可求；
【答案】
【解析】
分析】
根据直线的斜率，分斜率为正和斜率为负两种情况考虑，结合倾斜角的范围，分别求解，即可的出结果.
【详解】因为直线的斜率 ，记该直线的倾斜角为 ，
所以当 时， ，因此倾斜角 ，
当 时， ，因此倾斜角 .
故答案为： .
3.若椭圆 的焦距是 ，则 ________
上海市华东师范大学第二附属中学2020-2021学年高二上学期期中数学试题(1)(1)
【全国百强校】福建省厦门外国语学校2020-2021学年高二下学期第一次月考数学（文）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．曲线2122y x x =-在点31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭处的切线的倾斜角为（ ） A ．-1 B ．45° C ．-45° D ．135° 2．设函数()()()()23f x x x k x k x k =++-，且()06f '=，则k=（ ）A ．0B ．-1C ．3D ．-63．已知函数()f x 的导函数()f x '的图象如图所示，那么函数()f x 的图象最有可能的是（ ）A ．B ．C ．D ．4．若函数()ln f x kx x =-在区间()1,+∞上单调递增，则实数k 的取值范围是（ ） A ．(],2-∞- B ．(],1-∞- C ．[)2,+∞ D ．[)1,+∞ 5．若曲线2y x mx n =++在点（0，n ）处的切线方程x-y+1=0，则（ ） A ．m 1=，n 1=B ．1m =-，n 1=C ．m 1=，n 1=-D ．m 1=-，n 1=- 6．已知函数322()43f x x ax x =-+在区间(2,1)--内存在单调递减区间，实数a 的取值范围为（ ）A ．)+∞B ．)+∞C ．(,-∞-D ．(,-∞- 7．已知复数z 满足(3443i z i -=+），则z 的虚部为（ ）A ．-4B ．45-C ．4D ．458．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且当(,0)x ∈-∞时，不等式()()0f x xf x '+<成立，若()a f ππ=，(2) (2)b f =--，(1)c f =，则,,a b c 的大小关系是（ ）A ．a b c >>B ．c b a >>C ．c a b >>D ．a c b >> 9．函数()3224f x x x x =--+,当[]3,3x ∈-时,有()214f x m m ≥-恒成立,则实数m 的取值范围是 （ ）A ．()311-，B ．()311， C ．[]2，7 D ．[]311， 10．若对于任意实数0x ≥，函数()x f x e ax =+恒大于零，则实数a 的取值范围是( )A ．(),e -∞B ．(],e -∞-C ．[),e +∞D ．()e,-+∞ 11．若点P 是曲线232ln 2y x x =-上任意一点，则点P 到直线52y x =-的距离的最小值为（ ）A B C ．2 D 12．直线y a =分别与直线22y x =+，曲线ln y x x =+交于点A B 、，则||AB 的最小值为（ ）A ．3B ．2CD ．32二、填空题13． i 是虚数单位，复数121i i-=+ ________． 14．设x ＝－2与x ＝4是函数f(x)＝x 3＋ax 2＋bx 的两个极值点，则常数a －b 的值为________．15．已知函数()()21ln f x f x x =-'，则()f x 的极大值为________．16．已知过点(,0)A a 作曲线:x C y x e =⋅的切线有且仅有两条，则实数a 的取值范围是______．三、解答题17．求当a 为何实数时，复数()()222312z a a a a i =++﹣﹣﹣满足： （Ⅰ）z 为实数；（Ⅱ）z 为纯虚数；（Ⅲ）z 位于第四象限．18．设函数()322312f x x x x m =--+． （1）求函数()f x 的单调减区间；（2）若函数()f x 在区间[]2,3-上的极大值为8，求在区间[]2,3-上的最小值． 19．已知函数3()31(0)f x x ax a =--≠. ()I 求()f x 的单调区间；()II 若()f x 在1x =-处取得极值，直线y=m 与()y f x =的图象有三个不同的交点，求m 的取值范围． 20．已知函数()21122xx f x e x =--- . （1）求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；（2）求()f x 的单调区间.21．设f(x)=xln x –ax 2+(2a –1)x ，a ∈R.（Ⅰ）令g(x)=f'(x)，求g(x)的单调区间；（Ⅱ）已知f(x)在x=1处取得极大值.求实数a 的取值范围.22．已知函数()()ln 1a f x x x a a R x=+-+-∈ . （1）求函数()f x 的单调区间；（2）若存在1x >，使()1x f x x x-+<成立，求整数a 的最小值.参考答案1．D【分析】 要求曲线2122y x x =-在点31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭处切线的倾斜角，先求出曲线方程的导函数，并计算出点31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭处的导数即切线的斜率，然后利用斜率与倾斜角的关系求解. 【详解】 因为2122y x x =-， 所以2y x '=-， ∴1121x y ==-=-'．由tan 1α=-，0180α︒≤<︒，得135α=︒，故选B ．【点睛】本题主要考查导数的几何意义，以及已知斜率求倾斜角，属于简单题.要解答本题，首先必须掌握在曲线上某点的导函数就是该点处的切线斜率，先对函数求导求得切线斜率，即是倾斜角正切值，再结合倾斜角本身的范围即可求出倾斜角α的值.2．B【解析】分析：由()()()()()()()()()2222332332f x x x k x k x k x x k x k x k x kx x kx k =++-=-++=-++，按导数乘法乘积运算法则求导可得()()()()()2222332323f x x k x kx k x kx x k =-+++-+'，由()06f '=可求k.详解：()()()()23f x x x k x k x k =++-()()()32x x k x k x k =-++()()222332x kx x kx k =-++∴()()()()()2222332323f x x k x kx k x kx x k =-+++-+'()2303266f k k k ∴=-⋅='-=，解得1k =-.故选：B.点睛：对于函数求导，一般要遵循先化简再求导的基本原则．求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误．3．A【分析】当()f x '大于等于0，()f x 在对应区间上为增函数；()f x '小于等于0，()f x 在对应区间上为减函数，由此可以求解．【详解】解：2x <-时，()0f x '<，则()f x 单调递减；20x -<<时，()0f x '>，则()f x 单调递增；0x >时，()0f x '<，则f （x ）单调递减．则符合上述条件的只有选项A ．故选A ．【点睛】本题主要考查了函数单调性与导函数的关系，重点是理解函数图象及函数的单调性． 4．D【详解】试题分析：，∵函数()ln f x kx x =-在区间()1,+∞单调递增，∴在区间()1,+∞上恒成立．∴，而在区间()1,+∞上单调递减，∴．∴的取值范围是[)1,+∞．故选D ．考点：利用导数研究函数的单调性.5．A【解析】【分析】根据函数的切线方程得到切点坐标以及切线斜率，再根据导数的几何意义列方程求解即可．【详解】曲线在点()0,n 处的切线方程是10x y -+=，010n ∴-+=，则1n =，即切点坐标为()0,1，切线斜率1k =，曲线方程为()21y f x x mx ==++， 则函数的导数()'2f x x m =+即()'001k f m ==+=，即1m =，则1m =，1n =，故选A ．【点睛】本题主要考查导数的几何意义的应用，属于中档题．应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：(1) 已知切点()()00,A x f x 求斜率k ,即求该点处的导数()0k f x '=；(2) 己知斜率k 求切点()()11,,A x f x 即解方程()1f x k '=；(3) 巳知切线过某点()()11,M x f x (不是切点) 求切点, 设出切点()()00,,A x f x 利用()()()10010f x f x k f x x x -'==-求解.6．C【解析】【分析】根据题意求出函数的导数，问题转化为2()max a x x<+=-，根据不等式的性质求出a 的范围即可．【详解】 ()2'224f x x ax =-+，由题意得()2,1x ∃∈--，使得不等式()()2'220f x x ax =-+<成立，即()2,1x ∈--时，2()max a x x <+，令()2g x x x=+，()2,1x ∈--， 则()22222'1x g x x x-=-=，令()'0g x >，解得：2x -<<令()'0g x <，解得：1x <<-，故()g x 在(2,-递增，在()1-递减，故(()max g x g ==-故满足条件a 的范围是(,-∞-， 故选C ．【点睛】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及不等式的性质，是一道中档题． 7．D【解析】试题解析：设z a bi =+(34)(34)()34(34)i z i a bi a b b a i -=-+=++-435i +==∴345{340a b b a +=-= ，解得45b = 考点：本题考查复数运算及复数的概念点评：解决本题的关键是正确计算复数，要掌握复数的相关概念8．A【解析】令函数F （x ）=xf （x ），则F′（x ）=f （x ）+xf′（x ）∵f （x ）+xf′（x ）＜0，∴F （x ）=xf （x ），x ∈（﹣∞，0）单调递减，∵y=f （x ）是定义在R 上的奇函数，∴F（x）=xf（x），在（﹣∞，0）上为减函数，可知F（x）=xf（x），（0，+∞）上为增函数∵a=π•f（π）=（﹣π）f（﹣π），b=﹣2f（﹣2），c=f（1）=（﹣1）f（﹣1），∴a=F（﹣π），b=F（﹣2），c=F（﹣1）∴F（﹣3）＞F（﹣2）＞F（﹣1），即a＞b＞c．故选A．点睛：构造函数F（x）=xf（x），对其求导分析可得F（x）在（0，+∞）上为增函数，分析可得a=π•f（π）=（﹣π）f（﹣π），b=﹣2f（﹣2），c=f（1）=（﹣1）f（﹣1），结合单调性分析可得答案.9．D【分析】要使原式恒成立，只需 m2﹣14m≤f（x）min，然后再利用导数求函数f（x）＝﹣x3﹣2x2+4x 的最小值即可．【详解】因为f（x）＝﹣x3﹣2x2+4x，x∈[﹣3，3]所以f′（x）＝﹣3x2﹣4x+4，令f′（x）＝0得2x x23==-或，因为该函数在闭区间[﹣3，3]上连续可导，且极值点处的导数为零，所以最小值一定在端点处或极值点处取得，而f（﹣3）＝﹣3，f（﹣2）＝﹣8，f（23）4027=，f（3）＝﹣33，所以该函数的最小值为﹣33，因为f（x）≥m2﹣14m恒成立，只需m2﹣14m≤f（x）min，即m2﹣14m≤﹣33，即m2﹣14m+33≤0解得3≤m≤11．故选C．【点睛】本题考查了函数最值，不等式恒成立问题，一般是转化为函数的最值问题来解决，而本题涉及到了可导函数在闭区间上的最值问题，因此我们只要从端点值和极值中找最值，注意计算的准确，是基础题10．D【分析】求出函数的导数，根据导数的符号求出函数的单调区间，求出最值，即可得到实数a 的取值范围【详解】当0x ≥时，()0xf x e ax =+>恒成立 ∴若0x =，a 为任意实数，()0x f x e ax =+>恒成立若0x >时，()0xf x e ax =+>恒成立 即当0x >时，xe a x>-恒成立， 设()x e g x x =-，则()()221xx x x e e x e g x x x --=-=' 当()01x ∈，时，()0g x '>，则()g x 在()01，上单调递增当()1x ∈+∞，时，()0g x '<，则()g x 在()1+∞，上单调递减 ∴当1x =时，()g x 取得最大值为e -则要使0x ≥时，()0xf x e ax =+>恒成立，a 的取值范围是()e -+∞， 故选D【点睛】本题以函数为载体，考查恒成立问题，解题的关键是分离含参量，运用导数求得新函数的最值，继而求出结果，当然本题也可以不分离参量来求解，依然运用导数来分类讨论最值情况． 11．C【解析】点P 是曲线232ln 2y x x =-上任意一点, 所以当曲线在点P 的切线与直线52y x =-平行时，点P 到直线52y x =-的距离的最小， 直线52y x =-的斜率为1，由23x 1y x =-='，解得1x =或2x 3=-（舍）.所以曲线与直线的切点为3P 1,2⎛⎫ ⎪⎝⎭. 点P 到直线52y x =-2=.选C. 12．D【解析】试题分析：设12(,),(,)A x a B x a ，则1222(1)ln x x x +=+，所以1221(ln )12x x x =+-，所以22221(ln )12AB x x x x =-=++，令111(ln )1(1)22y x x y x=-+⇒=-'，所以函数在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，所以1x =时，函数的最小值为32，故选D. 考点：导数的应用. 13．132i -- 【解析】【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简求值．【详解】()()()()121121313111222i i i i i i i i -----===--++-， 故答案为1322i --． 【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．14．21【分析】由已知得()2'32f x x ax b =++，且()'21240f a b -=-+=，()'44880f a b =++=，由此利用导数性质能求出常数-a b 的值.【详解】因为()32f x x ax bx =++，所以()2'32f x x ax b =++因为2x =-与4x =是函数，()32f x x ax bx =++的两个极值点，可得()()2124044880f a b f a b ⎧-=-+=⎪⎨=++=''⎪⎩ 解得3a =-，24b =-，所以21a b -=，故答案为21.【点睛】在极值点处，曲线若有切线则切线是水平的，即：当切线存在时，极值点处的导数为0； 注意：导数为0的点不一定是极值点，如3y x =.15．【解析】 2(1)2(1)()1(1)1,(1)11f f f x f f x '''=-'-='∴= ，因此()2ln f x x x =-，2()102f x x x -='=∴=时取极大值2ln22- 16．()(),40,-∞-⋃+∞【分析】设切点为()00,x y ，求导得斜率，然后利用点斜式得切线方程，将点A 代入，使得方程关于0x 有两解即可.【详解】设切点为()00,x y ，则切线斜率为：()00k 1xx e =+⋅. 切线方程为：()()0000y 1x y x e x x -=+⋅-，将点(),0A a 代入切线方程得：()()00001x y x ea x -=+⋅-，又000x y x e =⋅. 所以()()000001x x x ea x x e +⋅-=-⋅，整理得2000x ax a -+=有两个解. 所以240a a =->，解得4a <-或0a >.故答案为()(),40,-∞-⋃+∞.【点睛】本题主要考查了导数的几何意义：求切线，求切线时要注意设过点作切线还是在点处的切线，前者需要设出切点，后者给出的点即为切点，属于易错题型.17．（Ⅰ）4a =-或3a =（Ⅱ）1a =-（Ⅲ）41a -<<-【解析】【分析】（Ⅰ）由虚部等于0，求得a 值；（Ⅱ）由实部等于0且虚部不等于0求得a 值；（Ⅲ）由实部大于0且虚部小于0求得a 的范围．【详解】复数()()222312z a a a a i =++﹣﹣﹣． （Ⅰ）若z 为实数，则2120a a +=﹣，解得4a =-或3a =； （Ⅱ）若z 为纯虚数，则22a 230a 120a a ⎧--=⎨+-≠⎩，解得1a =-； （Ⅲ）若z 位于第四象限，则22a 230a 120a a ⎧-->⎨+-<⎩ ，解得41a -<<-． 【点睛】本题主要考查复数的代数表示法及其几何意义，熟记复数概念和几何意义即可，属于基础题型.18．（1）减区间为（﹣1，2）；（2）f(x)的最小值为-19．【分析】（1）先求出()f x '，由()0f x '<可得减区间；（2）根据极大值为8求得1m =，然后再求出最小值．【详解】（1）f′（x ）=6x 2-6x ﹣12=6（x-2）（x+1），令()0f x '<，得﹣1＜x ＜2．∴函数f （x ）的减区间为（﹣1，2）．（2）由（1）知，f′（x ）=6x 2-6x ﹣12=6（x+1）（x ﹣2），令f′（x ）=0，得x=-1或x=2（舍）．当x 在闭区间[-2，3]变化时，f′（x ），f （x ）变化情况如下表∴当x=-1时，f （x ）取极大值f （-1）=m+7，由已知m+7=8，得m=1．当x=2时f(x)取极小值f(2)=m-20=-19又f(-2)=-3,所以f(x)的最小值为-19．【点睛】（1）解题时注意导函数的符号与函数单调性间的关系；（2）求函数在闭区间上的最值时，可先求出函数在该区间上的极值，然后再求出函数在区间端点处的函数值，比较后最大者即为最大值，最小者即为最小值．19．()I()II (3,1)-【详解】解：（Ⅰ）2()33f x x a '=-，①当a ＜0时，f′（x ）＞0，f （x ）在R 上单调递增；②当a ＞0时，由f′（x ）＞0即2330x a ->，解得x <x >由f′（x ）＜0得x <<∴f （x ）的单调增区间为(,-∞，＋∞）；f （x ）的单调减区间是(． （Ⅱ）因为f （x ）在x ＝−1处取得极大值，所以2(1)3(1)30f a '-=⨯--=，∴a ＝1．所以32()31,()33f x x x f x x '=--=-，由f′（x ）＝0解得121,1x x =-=．由（1）中f （x ）的单调性可知，f （x ）在x ＝−1处取得极大值f （−1）＝1，在x ＝1处取得极小值f （1）＝−3．因为直线y ＝m 与函数y ＝f （x ）的图象有三个不同的交点，结合f （x ）的单调性可知，m 的取值范围是（−3，1）；20．（1）20x y -=；（2）见解析【解析】【分析】（1）求导数，根据导数的几何意义求出切线的斜率，结合点斜式，即可得到切线方程；（2）求导数，构造函数()g x ，对()g x 求导，根据导数确定()g x 的符号，即可判断()f x 的单调性.【详解】（1）解： ()12x f x e x ='-- ， 所以 ()102f '= ， ()00f = ， 因此曲线 ()y f x = 在 ()0,0 处的切线方程为： 20x y -=（2）解： ()12x f x e x ='-- 令 ()()g x f x =' ，则 ()1x g x e '=- ， 当 (),0x ∈-∞ 时， ()0g x '< ， ()f x ' 单调递减，当 ()0,x ∈+∞ 时， ()0g x '> ， ()f x ' 单调递增.所以 ()()1002f x f ≥='>' 所以 ()f x 的增区间为 (),-∞+∞. 【点睛】本题主要考查导数的几何意义，以及利用导数研究函数的单调性，对函数求导，解导函数对应的不等式即可求解，属于常考题型.21．（Ⅰ）当0a ≤时，函数()g x 单调递增区间为()0,+∞，当0a >时，函数()g x 单调递增区间为10,2a （），单调递减区间为1,2a +∞（）； （Ⅱ）12a > 【解析】 试题分析：（Ⅰ）先求出()g x '，然后讨论当0a ≤时，当0a >时的两种情况即得.（Ⅱ）分以下情况讨论：①当0a ≤时，②当102a <<时，③当12a =时，④当12a >时，综合即得.试题解析：（Ⅰ）由()ln 22,f x x ax a =-+'可得()()ln 22,0,g x x ax a x =-+∈+∞，则()1122ax g x a x x='-=-， 当0a ≤时，()0,x ∈+∞时，()0g x '>，函数()g x 单调递增；当0a >时，10,2x a∈（）时，()0g x '>，函数()g x 单调递增， 1,2x a∈+∞（）时，()0g x '<，函数()g x 单调递减. 所以当0a ≤时，()g x 单调递增区间为()0,+∞；当0a >时，函数()g x 单调递增区间为10,2a （），单调递减区间为1,2a+∞（）. （Ⅱ）由（Ⅰ）知，()10f '=. ①当0a ≤时，()0f x '<，()f x 单调递减.所以当()0,1x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减.当()1,x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增.所以()f x 在x=1处取得极小值，不合题意.②当102a <<时，112a >，由(Ⅰ)知()f x '在10,2a（）内单调递增， 可得当当()0,1x ∈时，()0f x '<，11,2x a∈（）时，()0f x '>， 所以()f x 在(0,1)内单调递减，在11,2a （）内单调递增， 所以()f x 在x=1处取得极小值，不合题意.③当12a =时，即112a=时，()f x '在(0,1)内单调递增，在 ()1,+∞内单调递减， 所以当()0,x ∈+∞时，()0f x '≤， ()f x 单调递减，不合题意.④当12a >时，即1012a << ，当1,12x a∈（）时，()0f x '>，()f x 单调递增, 当()1,x ∈+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减，所以f(x)在x=1处取得极大值，合题意.综上可知，实数a 的取值范围为12a >. 【考点】应用导数研究函数的单调性、极值,分类讨论思想【名师点睛】本题主要考查导数的计算、应用导数研究函数的单调性与极值、分类讨论思想.本题覆盖面广，对考生计算能力要求较高，是一道难题.解答本题，准确求导是基础，恰当分类讨论是关键，易错点是分类讨论不全面、不彻底、不恰当.本题能较好地考查考生的逻辑思维能力、基本计算能力及分类讨论思想等.22．（1）见解析（2）5.【解析】试题分析：(1)求导，分类讨论110044a a a ≤<<≥、、时三种情况的单调性(2)分离含参量ln 211x x x a x +->-，构造新函数，()ln 211x x x g x x +-=-，求导算出零点的范围，从而求出结果解析：（1）由题意可知，0x >，()22211a x x a f x x x x-+='-=--， 方程20x x a -+-=对应的14a ∆=-，当140a ∆=-≤，即14a ≥时，当()0,x ∈+∞时，()0f x '≤， ∴()f x 在()0,+∞上单调递减；当104a <<时，方程20x x a -+-=，且0<< ，此时，()f x 在上()0f x '>，函数()f x 单调递增，在110,22⎛⎫-++∞ ⎪ ⎪⎝⎭（，），上()0f x '<，函数()f x 单调递减；当0a ≤时，102<，102+>，此时当(),0x f x ⎛∈> ⎝'⎭，()f x 单调递增，当x ⎫∈+∞⎪⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减；综上：当0a ≤时，x ⎛∈ ⎝⎭，()f x 单调递增，当x ⎫∈+∞⎪⎪⎝⎭时， ()f x 单调递减；当104a <<时，()f x 在上单调递增，在110,22⎛⎫-++∞ ⎪ ⎪⎝⎭（，），上单调递减； 当14a ≥时，()f x 在()0,+∞上单调递减； （2）原式等价于()1ln 21x a x x x ->+-，即存在1x >，使ln 211x x x a x +->-成立． 设()ln 211x x x g x x +-=-，1x >， 则()()2ln 2'1x x g x x --=-，设()ln 2h x x x =--，则()1110x h x x x='-=->，∴()h x 在()1,+∞上单调递增． 又()()33ln321ln30,44ln4222ln20h h =--=-=--=-，根据零点存在性定理，可知()h x 在()1,+∞上有唯一零点，设该零点为0x ， 则()03,4x ∈，且()000ln 20h x x x =--=，即002ln x x -=，∴()0000min 0ln 2111x x x g x x x +-==+- 由题意可知01a x >+，又()03,4x ∈，a Z ∈，∴a 的最小值为5.点睛：本题考查了运用导数求函数的单调性，在求解过程中结合判别式和定义域需要进行分类讨论，在求解含有参量的恒成立问题时，可以采用分离参量的方法，不过需要注意用零点的存在定理进行判断零点范围，然后得出结果．。
上海市华东师范大学第二附属中学20192020学年上学期高二月考数学试卷无答案.doc
华二附中高二月考数学试卷一. 填空题1. 直线:51250l x y -+=的单位方向向量为2. 已知2a i j =-r r r ，b i k j =+r r r ，且a r 与b r 的夹角为锐角，则实数k 的取值范围是3. 若直线l 过点(P -，且与直线:20m x +=的夹角为3π，则直线l 的方程是4. 若直线:l y kx =2360x y +-=的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取 值范围是5. 已知直线:10l x y --=，1:220l x y --=，若直线2l 与1l 关于l 对称，则2l 的方程为6. 函数y 的最小值为7. 在ABC ∆中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，M 是直线DE 上的动点，若ABC ∆的面积为1，则2MB MC BC ⋅+u u u r u u u u r u u u r 的最小值为8. 如图同心圆中，大、小圆的半径分别为2和1，点P 在大圆上，PA 与小圆相切于点A ，Q 为小圆上的点，则PA PQ ⋅u u u r u u u r 的取值范围是9. 已知平面上三个不同的单位向量a r 、b r 、c r 满足12a b b c ⋅=⋅=r r r r ，若e r 为平面内的任意单 位向量，则||2||3||a e b e c e ⋅+⋅+⋅r r r r r r 的最大值为10. 在平面直角坐标系中，如果x 与y 都是整数，就称点(,)x y 为整点，下列命题中正确的是 （写出所有正确命题的编号）① 存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点；② 如果k 与b 都是无理数，则直线y kx b =+不经过任何整点；③ 直线l 经过无穷多个整点，当且仅当l 经过两个不同的整点；④ 直线y kx b =+经过无穷多个整点的充分必要条件是：k 与b 都是有理数； ⑤ 存在恰经过一个整点的直线；11. 已知ABC ∆的三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，O 为ABC ∆内一点，则 满足下列四个条件：① 0aOA bOB cOC ++=u u u r u u u r u u u r r ；② tan tan tan 0AOA BOB COC ++=u u u r u u u r u u u r r ； ③ sin 2sin 2sin 20AOA BOB COC ++=u u u r u u u r u u u r r ；④ 0OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r的点O 依次为ABC ∆的（ ）A. 外心、内心、垂心、重心B. 内心、外心、垂心、重心C. 垂心、内心、重心、外心D. 内心、垂心、外心、重心12. 如图，在同一平面内，点P 位于两平行直线1l 、2l 同侧，且P 到1l 、2l 的距离分别为 1、3，点M 、N 分别在1l 、2l 上，||8PM PN +=u u u u r u u u r ，则PM PN ⋅u u u u r u u u r 的最大值为（ ）A. 15B. 12C. 10D. 913. 如图所示，23BAC π∠=，圆M 与AB 、AC 分别相切于点D 、E ，1AD =，点P 是 圆M 及其内部任意一点，且AP x AD y AE =+u u u r u u u r u u u r （,x y R ∈），则x y +的取值范围是（ ）A. [1,4+B. [4-+C. [1,2D. [2-14. 已知点(,)M a b 与点(0,1)N -在直线3450x y -+=的两侧，给出以下结论： ① 3450a b -+>；② 当0a >时，a b +有最小值，无最大值；③ 221a b +>； ④ 当0a >且1a ≠时，11b a +-的取值范围是93(,)(,)44-∞-+∞U ； 正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 15. 在边长为1的正六边形ABCDEF 中，记以A 为起点，其余顶点为终点的向量分别为1a u u r 、2a u u r 、3a u u r 、4a u u r 、5a u u r ，以D 为起点，其余顶点为终点的向量分别为1d u u r 、2d uu r 、3d u u r 、4d uu r 、5d u u r ，若m 、M 为()()i j k r s t a a a d d d ++⋅++u r u u r u u r u u r u u r u u r 的最小值、最大值，其中{,,}{1,2,3,4,5}i j k ⊆，{,,}{1,2,3,4,5}r s t ⊆，则m 、M 满足（ ）A. 0m =，0M >B. 0m <，0M >C. 0m <，0M =D. 0m <，0M <16. 已知直线:(2)()0l a b x a b y a b ++++-=及点(3,4)P ，问：（1）直线l 是否经过某个定点？若经过，求该定点的坐标，若不经过，说明理由；（2）当点P 到直线l 的距离最大时，求直线l 的方程；17. 如图所示，PAQ ∠是某海海湾旅游区的一角，其中120PAQ ∠=︒，为了营造更加优美的旅游环境，旅游区管委会决定在直线海岸AP 和AQ 上分别修建观光长廊AB 和AC ，其中AB 是宽长廊，造价是800元/米，AC 是窄长廊，造价是400元/米，两段长廊的总造价为120万元，同时在线段BC 上靠近点B 的三等分点D 处建一个观光平台，并建水上通道AD （平台大小忽略不计），水上通道的造价是1000元/米； （1）若规划在三角形ABC 区域内开发水上游乐项目，要求ABC ∆的面积最大，那么AB 和AC 的长度分别为多少米？（2）在（1）的条件下，建直线通道AD 还需要多少钱？18. 定义“矩阵”的一种运算a b x ax by c d y cx dy +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅= ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭，该运算的意义为点(,)x y 在矩阵a b c d ⎛⎫ ⎪⎝⎭的变换下成点ax by cx dy +⎛⎫ ⎪+⎝⎭，设矩阵11A ⎛=⎪-⎭；（1）已知点P 在矩阵A 的变换后得到的点Q 的坐标为，试求点P 的坐标；（2）是否存在这样的直线：它上面的任一点经矩阵A 变换后得到的点仍在该直线上？若存在，试求出所有这样的直线，若不存在，则说明理由；19. 小郭是一位热爱临睡前探究数学问题的同学，在学习向量三点共线定理时，我们知道当P 、A 、B 三点共线，O 为直线外一点，且OP xOA yOB =+u u u r u u u r u u u r 时，1x y +=（如图1），第 二天，小郭提出了如下三个问题，请同学帮助小郭解答：（1）当1x y +>或1x y +<时，O 、P 两点的位置与AB 所在直线之间存在什么关系？写 出你的结论，并说明理由；（2）如图2，射线OM ∥AB ，点P 在由射线OM 、线段OA 及BA 的延长线围成的区域内（不含边界）运动，且OP xOA yOB =+u u u r u u u r u u u r ，求实数x 的取值范围，并求当12x =时，实数y 的取值范围；（3）过O 作AB 的平行线，延长AO 、BO ，将平面分成如图3所示的六个区域，且OP xOA yOB =+u u u r u u u r u u u r ，请分别写出点P 在每个区域内运动（不含边界）时，实数x 、y 应满足的条件（不必证明）；参考答案一. 填空题1. 125(,)1313或125(,)1313--2. 1(,2)(2,)2-∞--U 3. 2x =-或1x +=4. (,)62ππ5. 210x y --=6.7.8. [3+9.10. ①③⑤二. 选择题11. D 12. A 13. B 14. B 15. D三. 解答题16.（1）经过(2,3)-；（2）570x y ++=.17.（1）750米，1500米；（2）50万元.18.（1）1)4；（2）3y x =或y =. 19.（1）当1x y +>时，O 、P 两点位于直线异侧；当1x y +<时，O 、P 两点位于直线同侧；（2）(0,)+∞，1(,0)2-；（3）① 0x >，0y <，0x y +>；② 0x >，0y >；③ 0x <，0y >，0x y +>； ④ 0x <，0y >，0x y +<；⑤ 0x <，0y <；⑥ 0x >，0y <，0x y +<.。