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(整理)定积分练习题Doc1.

定积分复习复习要点：1 定积分的定义；()=_________baf x dx ⎰2．定积分的实质如果在区间[,]a b 上函数连续且有()0f x ≥，那么定积分()baf x dx ⎰表示由直线,x a x b ==（a b ≠），0y =和曲线()y f x =所围成的曲边梯形的面积。

如果在区间[,]a b 上函数连续且有x)0f ≤（，那么定积分()ba f x dx ⎰表示由直线,x a x b ==（a b ≠），0y =和曲线()y f x =所围成的曲边梯形的面积的相反数。

如果在区间[,]a b 上函数连续且()f x 有正有负时，那么定积分()ba f x dx ⎰表示介于,x a x b ==（a b ≠）之间x 轴之上、下相应的曲边梯形的面积代数和。

()ba f x dx ∴=⎰阴影A 的面积—阴影B 的面积（即x 轴上方面积减x 轴下方的面积）3定积分的性质根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质：性质1 ()=_______bakf x dx ⎰（其中k 是不为0的常数）性质2 []12()()=___________baf x fx dx ±⎰性质3()()()()b cbaacf x dx f x dx f x dx a c b =+<<⎰⎰⎰其中4微积分基本定理一般的，如果()f x 是闭区间[,]a b 上的连续函数，并且()()F x f x '=，那么()=()=_________1bab af x dx F x ⎰。

5.定积分的求法主要有：（1）定积分的定义（2）几何意义法：例如1-⎰（3）利用奇偶函数的性质求：若()f x 是[-a,a]上的奇函数，则()0a af x dx -=⎰；若()f x 是[-a,a ]上的偶函数，则()2()aaaf x dx f x dx -=⎰⎰。

（4）利用运算性质求（5）微积分基本定理典型例题例1 利用定积分的定义，计算320x dx ⎰例2计算下列定积分（1）a -a⎰ (2)10)-x dx ⎤⎦⎰（3）20(3+sin )x x dx π⎰ (4)1()d x ⎰(5)2x12(e -)xdx ⎰ (6)31⎰(7)x 220e dx ⎰ (8)+121-1e dx x ⎰(9)20cos2xcosx+sinxdx π⎰ (10)202sin dx x π⎰(11)23-2dx ⎤⎦⎰ (12)21(t+2)dx ⎰(13)220(sin +cos )22x x dx π⎰ （14）211x(x+1)dx ⎰ （15） 12xdx ⎰ （16）033+2edx x ⎰（17） 3-3(2x+3+3-2)dx x ⎰（18）1201+xdx x ⎰例3求由曲线x y x y x y 31,2,-=-==所围成图形的面积巩固练习1．若a ＝⎠⎛02x 2d x ，b ＝⎠⎛02x 3d x ，c ＝⎠⎛02sin x d x ，则a 、b 、c 的大小关系是( )A ．a <c <bB ．a <b <cC ．c <b <aD ．c <a <b2．设函数f (x )＝x m ＋ax 的导函数f ′(x )＝2x ＋1，则⎠⎛12f (－x )d x 的值等于( ) A.56 B.12 C.23 D.16 3.已知f (x )为偶函数且60⎰f (x )d x ＝8，则66-⎰f (x )d x 等于( )A ．0B ．4C ．8D ．16 4.已知f (x )为奇函数且60⎰f (x )d x ＝8，则66-⎰f (x )d x 等于( )A ．0B ．4C ．8D ．165. .设2(01)()2(12)x x f x x x ⎧≤<=⎨-<≤⎩则20()f x dx ⎰=（）A.34B.45C.56D.不存在6．函数y ＝⎠⎛-xx (cos t ＋t 2＋2)d t (x >0)( )A ．是奇函数B ．是偶函数C ．非奇非偶函数D ．以上都不正确 7.(2010·烟台模拟)若y ＝0x ⎰(sin t ＋cos t sin t )d t ，则y 的最大值是( )A ．1B ．2C ．－72D ．08用S 表示图中阴影部分的面积，则S 的值是( )A ．⎠⎛ac f (x )d xB ．|⎠⎛ac f (x )d x |C ．⎠⎛a b f (x )d x ＋⎠⎛b c f (x )d xD ．⎠⎛b c f (x )d x －⎠⎛ab f (x )d x9.如图，阴影部分的面积是（）A ．32B ．329-C ．332 D ．33510．由直线x ＝12，x ＝2，曲线y ＝1x及x 轴所围成图形的面积为( )A.154B.174C.12ln2 D ．2ln2 11．函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋1 (－1≤x <0)cos x (0≤x ≤π2)的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积为( )A.32B ．1C ．2 D.12例1（2）12．已知a ∈[0，π2]，则当⎰a 0(cos x －sin x )d x 取最大值时，a ＝________.13．⎠⎛-aa (2x －1)d x ＝－8，则a ＝________.14.已知函数f (x )＝3x 2＋2x ＋1，若⎠⎛-11f (x )d x ＝2f (a )成立，则a ＝________.15．如果⎠⎛01f (x )d x ＝1，⎠⎛02f (x )d x ＝－1，则⎠⎛12f (x )d x ＝________.16. 221x x dx --⎰= 17. 已知221,[2,2]()1,(2,4]x x f x x x +∈-⎧=⎨+∈⎩,当k = 时, 340()3kf x dx =⎰成立 18．(2010·温州模拟)若f (x )是一次函数，且10⎰f (x )d x ＝5，10⎰xf (x )d x ＝176，那么21⎰f (x )xd x 的值是________． 19．如图，设点P 从原点沿曲线y ＝x 2向点A (2,4)移动，记直线OP 、曲线y ＝x 2及直线x ＝2所围成的面积，分别记为S 1，S 2，若S 1＝S 2，则点P 的坐标为________．20．已知f (x )为二次函数，且f (－1)＝2，f ′(0)＝0，⎠⎛01f (x )d x＝－2.(1)求f (x )的解析式；(2)求f (x )在[－1,1]上的最大值与最小值．21已知⎰-+=-++11362)3(a dx b a ax x ，且dx b a ax x t f t)3()(03-++=⎰为偶函数，求b a ,22设)(x f y =是二次函数，方程0)(=x f 有两个相等的实根，且22)(+='x x f 。

定积分典型例题20例答案

定积分典型例题20例答案定积分典型例题20例答案例1 求33322321lim(2)n n n n n →∞+++．分析将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限．若对题目中被积函数难以想到，可采取如下方法：先对区间[0,1]n 等分写出积分和，再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限．解将区间[0,1]n 等分，则每个小区间长为1i x n ?=，然后把2111n n n=?的一个因子1n 乘入和式中各项．于是将所求极限转化为求定积分．即33322321lim(2)n n n n n →∞+++=333112lim ()n n n n nn →∞+++=13034xdx =?．例2 2202x x dx -?=_________．解法1 由定积分的几何意义知，2202x x dx -?等于上半圆周22(1)1x y -+= (0y ≥)与x 轴所围成的图形的面积．故2202x x dx -?=2π．解法2 本题也可直接用换元法求解．令1x -=sin t （2 2t ππ-≤≤），则222x x dx -?=2221sin cos t tdt ππ--?=2221sin cos t tdt π-?=2202cos tdt π=2π 例3 （1）若22()x t xf x e dt -=?，则()f x '=___；（2）若0()()xf x xf t dt =?，求()f x '=___．分析这是求变限函数导数的问题，利用下面的公式即可()()()[()]()[()]()v x u x d f t dt f v x v x f u x u x dx ''=-?．解（1）()f x '=422x x xe e ---；（2）由于在被积函数中x 不是积分变量，故可提到积分号外即0()()xf x x f t dt =?，则可得()f x '=0()()xf t dt xf x +?．例4 设()f x 连续，且31()x f t dt x -=?，则(26)f =_________．解对等式310()x f t dt x -=?两边关于x 求导得32(1)31f x x -?=，故321(1)3f x x -=，令3126x -=得3x =，所以1(26)27f =．例5 函数11()(3)(0)x F x dt x t =->?的单调递减开区间为_________．解 1()3F x x'=-，令()0F x '<得13x >，解之得109x <<，即1(0,)9为所求．例6 求0()(1)arctan xf x t tdt =-?的极值点．解由题意先求驻点．于是()f x '=(1)arctan x x -．令()f x '=0，得1x =，0x =．列表如下：故1x =为()f x 的极大值点，0x =为极小值点．例7 已知两曲线()y f x =与()y g x =在点(0,0)处的切线相同，其中2arcsin 0()xt g x e dt -=?，[1,1]x ∈-，试求该切线的方程并求极限3lim ()n nf n→∞．分析两曲线()y f x =与()y g x =在点(0,0)处的切线相同，隐含条件(0)(0)f g =，(0)(0)f g ''=．解由已知条件得2(0)(0)0t f g e dt -===?，且由两曲线在(0,0)处切线斜率相同知2(arcsin )2(0)(0)11x x e f g x -=''===-．故所求切线方程为y x =．而()(0)3lim ()lim33(0)330n n f f n nf f n n→∞→∞-'=?==-．例8 求 22000sin lim(sin )x x xtdtt t t dt→-??；分析该极限属于型未定式，可用洛必达法则．解 22000sin lim (sin )x x xtdtt t t dt→-?=2202(sin )lim (1)(sin )x x x x x x →-??-=220()(2)lim sin x x x x →-?-=304(2)lim 1cos x x x→-?-x(,0)-∞0 (0,1)1 (1,)+∞()f x '＋－=2012(2)lim sin x x x→-?=0．注此处利用等价无穷小替换和多次应用洛必达法则．例9 试求正数a 与b ，使等式2201lim1sin x x t dt x b x a t→=-+?成立．分析易见该极限属于型的未定式，可用洛必达法则．解 20201lim sin x x t dt x b x a t →-+?=220lim 1cos x x a x b x →+-=22001lim lim 1cos x x x b x a x →→?-+201lim 11cos x x b x a →==-，由此可知必有0li m(1cos )0x b x →-=，得1b =．又由2012lim 11cos x x x a a→==-，得4a =．即4a =，1b =为所求．例10 设sin 20()sin x f x t dt =?，34()g x x x =+，则当0x →时，()f x 是()g x 的（）．A ．等价无穷小．B ．同阶但非等价的无穷小．C ．高阶无穷小．D ．低阶无穷小．解法1 由于 22300()sin(sin )cos lim lim()34x x f x x xg x x x →→?=+ 2200cos sin(sin )lim lim34x x x x x x →→=?+ 22011lim 33x x x →==．故()f x 是()g x 同阶但非等价的无穷小．选B ．解法2 将2sin t 展成t 的幂级数，再逐项积分，得到sin 223370111()[()]sin sin 3!342x f x t t dt x x =-+=-+，则344340001111sin (sin )sin ()1342342lim lim lim ()13x x x x x x f x g x x x x→→→-+-+===++．例11 计算21||x dx -?．分析被积函数含有绝对值符号，应先去掉绝对值符号然后再积分．解 21||x dx -?＝0210()x dx xdx --+??＝220210[][]22x x --+＝52．注在使用牛顿－莱布尼兹公式时,应保证被积函数在积分区间上满足可积条件．如 33222111[]6dx x x --=-=?，则是错误的．错误的原因则是由于被积函数21 x 在0x =处间断且在被积区间内无界.例12 设()f x 是连续函数，且10()3()f x x f t dt =+?，则()________f x =．分析本题只需要注意到定积分()baf x dx ?是常数（,a b 为常数）．解因()f x 连续，()f x 必可积，从而10()f t dt ?是常数，记1()f t dt a =?，则()3f x x a =+，且11(3)()x a dx f t dt a +==??．所以2101[3]2x ax a+=，即132a a +=，从而14a =-，所以 3()4f x x =-．例13 计算2112211x x dx x-++-?．分析由于积分区间关于原点对称，因此首先应考虑被积函数的奇偶性．解 2112211x x dx x-++-?=211112221111x x dx dx x x--++-+-?．由于22211x x+-是偶函数，而211x x+-是奇函数，有112011xdx x-=+-?, 于是2112211x x dx x -++-?=2102411x dx x +-?=22120(11)4x x dx x--?=11200441dx x dx --?? 由定积分的几何意义可知12014x dx π-=, 故211122444411x x dx dx xππ-+=-?=-+-?．例14 计算220()xd tf x t dt dx -?，其中()f x 连续．分析要求积分上限函数的导数，但被积函数中含有x ，因此不能直接求导，必须先换元使被积函数中不含x ，然后再求导．解由于220()xtf x t dt -?=2221()2x f x t dt-?．故令22x t u -=，当0t =时2u x =；当t x =时0u =，而2dt du =-，所以220()x tf x t dt -?=201()()2x f u du -?=201()2x f u du ?，故220()x d tf x t dt dx -?=201[()]2x d f u du dx ?=21()22f x x=2()xf x ．错误解答220()x d tf x t dt dx -?22()(0)xf x x xf =-=．错解分析这里错误地使用了变限函数的求导公式，公式()()()xad x f t dt f x dx 'Φ==?中要求被积函数()f t 中不含有变限函数的自变量x ，而22()f x t -含有x ，因此不能直接求导，而应先换元．例15 计算30sin x xdx π．分析被积函数中出现幂函数与三角函数乘积的情形，通常采用分部积分法．解30s i n x x d x π30(c o s )x d x π=-?33[(c o s )](c o s )x x x d x ππ=?---? 30cos 6xdx ππ=-+?326π=-．例16 计算120ln(1)(3)x dx x +-?．分析被积函数中出现对数函数的情形，可考虑采用分部积分法．解 120ln(1)(3)x dx x +-?=101ln(1)()3x d x +-?=1100111[ln(1)]3(3)(1)x dx x x x +-?--+? =101111ln 2()2413dx x x-++-?11ln 2ln324=-．例17 计算20sin x e xdx π．分析被积函数中出现指数函数与三角函数乘积的情形通常要多次利用分部积分法．解由于2sin xe xdx π20sin xxde π=?220[sin ]cos xx e x e xdx ππ=-?220cos x e e xdx ππ=-?，（1）而20cos xe xdx π20cos xxde π=?220[cos ](sin )xx e x e x dx ππ20sin 1x e xdx π=-?，（2）将（2）式代入（1）式可得20sin xe xdx π220[sin 1]x e e xdx ππ=--?,故20sin xe xdx π21(1)2e π=+．例18 计算1arcsin x xdx ?．分析被积函数中出现反三角函数与幂函数乘积的情形，通常用分部积分法．解 10arcsin x xdx ?210arcsin ()2x xd =?221100[arcsin ](arcsin )22x x x d x =?-?21021421x dx x π．（1）令sin x t =，则2121x dx x-?222sin sin 1sin td t tπ=-?220sin cos cos ttdt t π=??220sin tdt π=?201cos22t dt π-==?20sin 2[]24t t π-4π=．（2）将（2）式代入（1）式中得1arcsin x xdx =8π．例19设()f x [0,]π上具有二阶连续导数，()3f π'=且0[()()]cos 2f x f x xdx π''+=?，求(0)f '．分析被积函数中含有抽象函数的导数形式，可考虑用分部积分法求解．解由于0[()()]cos f x f x xdx π''+?00()sin cos ()f x d x xdf x ππ'=+??{()sin ()sin }{[()cos ]()sin }f x x f x xdx f x x f x xdx ππππ'''=-++??()(0)2f f π''=--=．故(0)f '=2()235f π'--=--=-．例20 计算243dxx x +∞++?．分析该积分是无穷限的的反常积分，用定义来计算．解2043dx x x +∞++?=20lim 43t t dx x x →+∞++?=0111lim ()213t t dx x x →+∞-++? =011lim [ln ]23t t x x →+∞++=111lim (ln ln )233t t t →+∞+-+ =ln 32．。

(压轴题)高中数学高中数学选修2-2第四章《定积分》测试卷(包含答案解析)(1)

一、选择题1．4片叶子由曲线2||y x =与曲线2||y x =围成，则每片叶子的面积为（） A ．16B．6C ．13D ．232．若函数()32nxf x x x =++在点()1,6M 处切线的斜率为33ln3+，则n 的值是（） A ．1 B ．2 C ．4 D ．33．已知函数()2ln 2f x mx x x =+-在定义域内存在单调递减区间，则实数m 的取值范围是（） A ．12m ≥B ．12m < C ．1m ≥ D ．1m < 4．若曲线ln y kx x =+在点()1,k 处的切线平行于x 轴，则k =（） A ．2- B ．1- C ．0 D ．15．设若20lg ,0()3,0ax x f x x t dt x >⎧⎪=⎨+≤⎪⎩⎰，((1))1f f =，则a 的值是( ) A ．-1 B ．2 C ．1 D ．-26．等比数列{}n a 中,36a =,前三项和3304S xdx =⎰,则公比q 的值为（）A ．1-或12-B ．1或12-C ．12-D ．17．设()2012a x dx =-⎰,则二项式6212a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的常数项是（） A ．240 B ．240-C ．60-D ．608．定积分2]x dx ⎰的值为（）A ．24π- B ．2π- C ．22π- D ．48π-9．设曲线e xy x =-及直线0y =所围成的封闭图形为区域D ,不等式组1102x y -≤≤⎧⎨≤≤⎩所确定的区域为E ,在区域E 内随机取一点,则该点落在区域D 内的概率为A ．2e 2e 14e--B ．2e 2e 4e-C ．2e e 14e--D ．2e 14e-10．由直线0,,2y x e y x ===及曲线2y x=所围成的封闭图形的面积为（） A ．3B ．32ln 2+C ．223e -D ．e11．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A．4B．2 C．43D．2312．由曲线4y x=，1yx=，2x=围成的封闭图形的面积为()A．172ln22-B．152ln22-C．15+2ln22D．17+2ln22二、填空题13．()222sin4x x dx-+-=⎰______.14．由曲线xy e x=+与直线0,1,0x x y===所围成图形的面积等于________．15．曲线()sin0πy x x=≤≤与x轴围成的封闭区域的面积为__________．16．如图所示，则阴影部分的面积是 .17．1321(tan sin)x x x x dx-++⎰的值为______________________18．定积分()12xx e dx+=⎰__________．19．定积分()12xx e dx+=⎰__________．20．若()()4112ax x-+的展开式中2x项的系数为4，则21aedxx=⎰________________三、解答题21．已知函数()3812f x x x=+-.（1）求()f x的单调区间；（2）求函数()y f x =的极大值和极小值. 22．已知函数21()ln (1)12f x x ax a x =-+-+．（1）当1a =时，）求函数()f x 在2x =处的切线方程；（2）求函数()f x 在[]1,2x ∈时的最大值． 23．计算：（1）710C （2）()22224x x dx -+-⎰24．已知曲线C ：322321y x x x =--+，点1(,0)2P ，求过P 的切线l 与C 围成的图形的面积.25．已知函数()1x f x e ex =--，其中e 为自然对数的底数，函数()(2)g x e x =-. （1）求函数()()()h x f x g x =-的单调区间；（2）若函数(),,()(),f x x m F x g x x m ≤⎧=⎨>⎩的值域为R ，求实数m 的取值范围.26．已知函数f （x ）=3sin 2x cos 2x +cos 22x +m 的图象过点（56π，0）．（1）求实数m 值以及函数f （x ）的单调递减区间；（2）设y=f （x ）的图象与x 轴、y 轴及直线x=t （0＜t ＜23π）所围成的曲边四边形面积为S ，求S 关于t 的函数S （t ）的解析式．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】先计算图像交点，再利用定积分计算面积. 【详解】如图所示：由2y x y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩0,0,x y =⎧⎨=⎩11x y =⎧⎨=⎩，根据图形的对称性，可得每片叶子的面积为)13023210211d 333x x x x x ⎛⎫⎰=-= ⎪⎝⎭.故答案选C 【点睛】本题考查定积分的应用，考查运算求解能力2．A解析：A【解析】由题意，得()13ln32n x f x nx-=++'， ()13ln3233ln3f n =++=+'，所以1n =；故选A.3．B解析：B【解析】求导函数，可得()1'220f x mx x x=+->，，函数()2ln 2f x mx x x =+-在定义域内是增函数，所以()'0f x < 成立，即1220(0)mx x x+-<>恒成立，所以21211m x ⎛⎫->-- ⎪⎝⎭，所以21m ->-，所以12m < 时，函数()f x 在定义域内是增函数．故选B ．4．B解析：B【解析】因为1y k x'=+,所以10,1k k +==- ,选B. 点睛：(1)求曲线的切线要注意“过点P 的切线”与“在点P 处的切线”的差异，过点P 的切线中，点P 不一定是切点，点P 也不一定在已知曲线上，而在点P 处的切线，必以点P 为切点.(2)利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化.以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解.5．C解析：C 【详解】233003|aat dt t a ==⎰，33(1)lg10,(0),1, 1.f f a a a ===∴==故选：C6．B解析：B 【解析】试题分析：解：∵3304S xdx =⎰=18，,∴a 1+a 2=32a q (1+q)=12，⇒2q 2-q-1=0，⇒q=1或q=12-，故选B考点：等比数列的前n 项和, 定积分的基本运算点评：本题考查等比数列的前n 项和、定积分的基本运算，求定积分关键是找出被积函数的原函数，本题属于基础题．7．D解析：D 【解析】试题分析：242a =-=-，62122x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的通项为()()662112366112222rrrrr r rC x x C x----⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1230,4r r -==，系数为()244612602C ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.考点：定积分、二项式定理．8．B解析：B 【解析】试题分析：由定积分的几何意义有⎰表示的是以(2,0)为圆心，半径为2的圆的14部分，而20xdx ⎰表示的是直线y x =，0,2,x x x ==轴所围成的面积，故2]x dx ⎰表示的图形如下图的阴影部分，面积为221122242ππ⨯-⨯=-.故选B.考点：1.定积分的几何意义；2.方程的化简.9．D解析：D 【详解】曲线e x y x =-及直线0y =所围成封闭图形的面积()1211112x x S e x dx e x -⎛⎫=-=- ⎪-⎝⎭⎰阴影=1e e --;而不等式组1102x y -≤≤⎧⎨≤≤⎩所确定区域的面积22 4.S =⨯=所以该点落在区域D 内的概率1S 4S e e P --==阴影=2e 14e-.故选D. 【方法点睛】本题题主要考查定积分的几何意义及“面积型”的几何概型，属于中档题.解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与体积有关的几何概型问题关鍵是计算问题题的总面积以及事件的面积积；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本事件对应的区域测度把握不准导致错误；（3）利用几何概型的概率公式时,忽视验证事件是否等可能性导致错误.10．A解析：A 【解析】如图所示，曲边四边形OABC 的面积为11121212ln 12(ln ln1)1232eedx x e x ⨯⨯+=+=+-=+=⎰.故选A.点睛：本题考查了曲线围成的图形的面积，着重考查了定积分的几何意义和定积分计算公式等知识，属于基础题；用定积分求平面图形的面积的步骤：（1）根据已知条件，作出平面图形的草图；根据图形特点，恰当选取计算公式；（2）解方程组求出每两条曲线的交点，以确定积分的上、下限；（3）具体计算定积分，求出图形的面积．11．D解析：D 【分析】根据三视图可得到该几何体的直观图，进而可求出该几何体的体积. 【详解】根据三视图可知该几何体为四棱锥E ABCD -，四边形ABCD 是边长为1的正方形，BE ⊥平面ABCD ，2BE =，则四棱锥E ABCD -的体积为1233ABCD V S BE =⋅=. 故选D.【点睛】本题考查了三视图，考查了四锥体的体积的计算，考查了学生的空间想象能力，属于基础题.12．B解析：B 【解析】【分析】联立方程组，确定被积区间和被积函数，得出曲边形的面积2121(4)S x dx x=-⎰，即可求解，得到答案．【详解】由题意，联立方程组41y xy x =⎧⎪⎨=⎪⎩，解得12x =，所以曲线4y x =，1y x=，2x =围成的封闭图形的面积为 22222112211115(4)(2ln )|(22ln 2)[2()ln ]2ln 2222S x dx x x x =-=-=⨯--⨯-=-⎰，故选B ．【点睛】本题主要考查了利用定积分求解曲边形的面积，其中解答中根据题意求解交点的坐标，确定被积分区间和被积函数，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．二、填空题13．【分析】根据定积分的四则运算和几何意义求定积分【详解】因为故答案为2π【点睛】本题考查了定积分的计算；利用定积分的几何意义分别求出两个被积函数的定积分属于基础题解析：2π【分析】根据定积分的四则运算和几何意义求定积分．【详解】因为(222222sin sin 022x dx xdx ππ---+=+=+=⎰⎰⎰故答案为2π．【点睛】本题考查了定积分的计算；利用定积分的几何意义分别求出两个被积函数的定积分，属于基础题.14．【分析】根据定积分的几何意义得到积S ＝(ex ＋x)dx 由牛顿莱布尼茨公式可得到答案【详解】根据定积分的几何意义得到面积S ＝(ex ＋x)dx ＝故答案为【点睛】这个题目考查了定积分的几何意义以及常见函数解析：12e -【分析】根据定积分的几何意义得到积S ＝10⎰(e x ＋x )d x ，由牛顿莱布尼茨公式可得到答案.【详解】根据定积分的几何意义得到，面积S ＝10⎰(e x ＋x )d x ＝210111|1.222xe x e e ⎛⎫+=+-=- ⎪⎝⎭ 故答案为1.2e - 【点睛】这个题目考查了定积分的几何意义，以及常见函数的积分值的求法.15．2【解析】与轴所围成的封闭区域的面积故答案为2解析：2 【解析】sin (0π)y x x =≤≤与x 轴所围成的封闭区域的面积ππsin d cos cos πcos020S x x x==-=-+=⎰，故答案为2.16．【解析】试题分析：由题意得直线与抛物线解得交点分别为和抛物线与轴负半轴交点设阴影部分的面积为则考点：定积分在求面积中的应用【方法点晴】本题主要考查了定积分求解曲边形的面积中的应用其中解答中根据直线方解析：323【解析】试题分析：由题意得，直线2y x =与抛物线23y x =-，解得交点分别为(3,6)--和(1,2)，抛物线23y x =-与x轴负半轴交点(，设阴影部分的面积为S，则1220(32)(3)S x x dx xdx =--+-⎰2332)xdx x dx ---+-⎰532933=+-．考点：定积分在求面积中的应用．【方法点晴】本题主要考查了定积分求解曲边形的面积中的应用，其中解答中根据直线方程与曲线方程的交点坐标，确定积分的上、下限，确定被积函数是解答此类问题的关键，同时解答中注意图形的分割，在x 轴下方的部分积分为负（积分的几何意义强调代数和），着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．17．0【解析】因为f(x)=x3+tanx+x2sinx−1⩽x ⩽1所以f(−x)=−x3−tanx−x2sinx=−f(x)所以f(x)为奇函数解析：0 【解析】因为f (x )=x 3+tanx +x 2sinx ，−1⩽x ⩽1 所以f (−x )=−x 3−tanx −x 2sinx =−f (x )，所以f (x )为奇函数，21310x tanx x sinx dx -⎛⎫∴++= ⎪⎝⎭⎰. 18．e 【解析】点睛：1求曲边图形面积的方法与步骤(1)画图并将图形分割为若干个曲边梯形；(2)对每个曲边梯形确定其存在的范围从而确定积分的上下限；(3)确定被积函数；(4)求出各曲边梯形的面积和即各积分解析：e 【解析】121212000(2)()|(1)(0)x x x e dx x e e e e +=+=+-+=⎰.点睛：1.求曲边图形面积的方法与步骤 (1)画图，并将图形分割为若干个曲边梯形；(2)对每个曲边梯形确定其存在的范围，从而确定积分的上、下限； (3)确定被积函数；(4)求出各曲边梯形的面积和，即各积分的绝对值的和．2．利用定积分求曲边图形面积时，一定要找准积分上限、下限及被积函数．当图形的边界不同时，要分不同情况讨论．19．e 【解析】点睛：1求曲边图形面积的方法与步骤(1)画图并将图形分割为若干个曲边梯形；(2)对每个曲边梯形确定其存在的范围从而确定积分的上下限；(3)确定被积函数；(4)求出各曲边梯形的面积和即各积分解析：e 【解析】1212120(2)()|(1)(0)x x x e dx x e e e e +=+=+-+=⎰. 点睛：1.求曲边图形面积的方法与步骤 (1)画图，并将图形分割为若干个曲边梯形；(2)对每个曲边梯形确定其存在的范围，从而确定积分的上、下限； (3)确定被积函数；(4)求出各曲边梯形的面积和，即各积分的绝对值的和．2．利用定积分求曲边图形面积时，一定要找准积分上限、下限及被积函数．当图形的边界不同时，要分不同情况讨论．20．【解析】由题意得项的系数为所以点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项可依据条件写出第项再由特定项的特点求出值即可(2)已知展开式的某项求特定项的系数可由某项得出参数项解析：ln51-【解析】由题意得2x项的系数为221445224,2C aC a ⋅-⨯==，所以5225152ln |ln ln ln5 1.222e e dx x e x ==-=-⎰ 点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第1r +项，再由特定项的特点求出r 值即可. (2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第1r +项，由特定项得出r 值，最后求出其参数.三、解答题21．（1）22x -<<;（2）()()28f x f 极小值=-=-或()()224f x f ==极大值【解析】试题分析：（1）求出()f x '，求出()0f x '=，即可得到()f x 的单调区间；（2）由（1）可知，当2x =-时，()f x 有极小值，当2x =时，()f x 有极大值试题∵()3812f x x x =+-，∴()()234f x x ='-，（1）由()0f x '<，解得2x >或2x <-；由()0f x '>，解得22x -<<.所以，()f x 在()2,2-上单调递增，在(),2-∞-，()2,+∞上单调递减. （2）由（1）知，当2x =-时，()f x 有极小值，()()28f x f =-=-极小值，同理，当2x =时，()()224f x f 极大值==.22．（1）32ln 22y x =-++（2）max 143ln 2,211()ln ,12232,12a a f x a a a a a ⎧-++≤⎪⎪⎪=-+<<⎨⎪⎪-+≥⎪⎩【解析】试题分析：（1）由导数几何意义得切线斜率为()2f '，再根据点斜式可得切线方程；（2）先研究导函数符号变化规律：当12a ≤时，为正；当112a <<时，先正后负；当1a ≥时，为负，对应确定单调性，进而确定函数最值试题解：（1）当1a =时，()21ln 12f x x x =-+ ∴()1f x x x'=- ∴()322f '=-，即32k 切=- 已知切点为()2,1ln2-+ ∴切线的方程为：32ln22y x =-++ （2）∵()()()21112ax a x f x x x-+-+≤'=≤当0a ≤时，()0f x '>在[]1,2x ∈恒成立 ∴()f x 在[]1,2x ∈单调递增∴()()max 243ln2f x f a ==-++ 当102a <≤时，()f x 在[]1,2x ∈单调递增 ∴()()max 243ln2f x f a ==-++ 当112a <<时，()f x 在11,x a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦单调递增，在1,2x a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦单调递减 ∴()max 11ln 2f x f a a a⎛⎫==- ⎪⎝⎭ 当1a ≥时，()f x 在[]1,2x ∈单调递减 ∴()()max 3122f x f ==-+ 综上所述()max 1432,211,12232,12a ln a f x lna a a a a ⎧-++≤⎪⎪⎪=-+<<⎨⎪⎪-+≥⎪⎩23．(1)120；(2)2π 【分析】（1）根据组合数的对称性计算；（2）将括号中内容拆分，一部分按定积分性质计算，另一部分使用定积分几何意义计算. 【详解】（1）7310101098C =C ==1203⨯⨯！；（2）(222222=2x dx xdx ---+⎰⎰⎰，其中222xdx -⎰中()2f x x =是奇函数，所以 2220xdx -=⎰；2-⎰表示圆心在原点半径等于2的圆在x 轴上方的面积，故(2222242=2022x dx xdx ππ---++=+=⎰⎰⎰. 【点睛】（1）计算()aaf x dx -⎰（0a >）时，若()f x 为奇函数，则()0aaf x dx -=⎰；若()f x 为偶函数，则()2()2()aaaaf x dx f x dx f x dx --==⎰⎰⎰.（2）组合数对称性：C =C ()mn mn n m n -≤.24．2732. 【解析】试题分析：先根据导数的几何意义求得曲线在点P 处的切线，然后画出草图，结合图形得到被积函数和积分区间，最后由定积分求得图形的面积．试题∵322321y x x x =--+， ∴2662y x x =--'．设切点为00(,)A x y ，则0200|662x x y x x =-'=-， ∴所求切线方程为20000(662)()y y x x x x -=---，即，∵切线过点P （），∴ ，整理得，解得，∴01y =， ∴点(0,1)A ．故切线方程为12(0)y x -=--，即．由，解得．∴点B 的坐标为（）．画出图形如图所示．∴切线l 与C 围成的图形的面积333223232432000127[(12)(2321)](23)()|232S x x x x dx x x dx x x =----+=-+=-+=⎰⎰．点睛：利用定积分求平面图形面积的步骤(1)根据题意画出图形；(2)借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限；(3)把平面图形的面积表示成若干个定积分的和或差；(4)计算定积分得出答案． 25．(1)单调增区间为(ln 2,)+∞，单调减区间为(,ln 2)-∞.(2)1[0,]2e -. 【解析】试题分析：(1)求出函数的导数()2xh x e '=-,解关于导函数的不等式,求出函数的单调区间即可;(2)函数的导数,通过讨论m 的范围得到函数的值域,从而确定m 的具体范围即可. 试题（1）()()()()21,2xxh x f x g x e x h x e =-=--=-'.由()0h x '>得ln2x >，由()0h x '<得ln2x <.所以函数()h x 的单调增区间为()ln2,+∞，单调减区间为(),ln2-∞. （2）()xf x e e '=-.当1x <时，()0f x '<，所以()f x 在区间(),1-∞上单调递减；当1x >时，()0f x '>，所以()f x 在区间()1,+∞上单调递增.1° 当1m ≤时，()f x 在(],m -∞上单调递减，值域为)1,me em ⎡--+∞⎣，()()2g x e x =-在(),m +∞上单调递减，值域为()(),2e m -∞-，因为()F x 的值域为R ，所以()12me em e m --≤-，即210m e m --≤.（*）由（1）可知当0m <时，()()2100mh m e m h =-->=，故（*）不成立.因为()h m 在()0,ln2上单调递减，在()ln2,1上单调递增，且()()00,130h h e ==-<，所以当01m ≤≤时，()0h m ≤恒成立，因此01m ≤≤.2° 当1m >时，()f x 在(),1-∞上单调递减，在(]1,m 上单调递增，所以函数()1xf x e ex =--在(],m -∞上的值域为())1,f ⎡+∞⎣，即[)1,-+∞.()()2g x e x =-在（m ，＋∞）上单调递减，值域为()(),2e m -∞-.因为()F x 的值域为R ，所以()12e m -≤-，即112m e <≤-. 综合1°，2°可知，实数m 的取值范围是10,2e ⎡⎤⎢⎥-⎣⎦. 26．（1）12m =-，单调递减区间是42,233k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ；（2）2()sin()(0)323s t t t ππ=-+<<．【分析】（1）利用二倍角的正弦和余弦公式降幂，化为y=162sin x m π⎛⎫+++ ⎪⎝⎭的形式，把点（56π，0）代入函数解析式求得m 的值，再代入函数解析式后利用复合函数的单调性求得函数f （x ）的单调递减区间；（2）对（1）中所求函数f （x ）求0到t 上的积分，即求被积函数f （x ）的原函数，代入积分上限和下限后作差得答案．【详解】（1）f （x ）2x cos 2x +cos 22x +m=1122cosx m +++ =162sin x m π⎛⎫+++ ⎪⎝⎭． ∵f （x ）的图象过点（56π，0）， ∴510662sin m ππ⎛⎫+++=⎪⎝⎭，解得12m =-．∴f （x ）=6sin x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭，由322262k x k πππππ+≤+≤+，得42233k x k ππππ+≤≤+，k ∈Z ．故f （x ）的单调递减区间是42,233k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ；（2）由（1）得，f （x ）12sinx cosx +．∴012tS cosx dx ⎫=⎰+⎪⎪⎝⎭=01|2t sinx ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭=110022sint sin ⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=32sin t π⎛⎫-+ ⎪⎝⎭．∴()32S t sin t π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭（203t π＜＜）．【点睛】本题主要考查二倍角公式、两角和与差的三角函数公式、三角函数的图象与性质及定积分等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．。

南开大学出版社高数练习册第五章答案.doc

第五章定积分第一节定积分的概念及性质一、选择题1、A2、D二、填空题1、负2、［*/3、b-a三、1、1 2、0 -4四、1、z 2> < 3> < 4、>五、解：定积分处理问题的四个步骤为：1、分割：将时间区间［儿乙］任意分成n个小区间M，商= l,2,...,n),每个小区间所表示的时间为;各区间物体运动的路程记为△SiQ = 1,2,・•。

2、近似：在每个小区间上以匀速直线运动的路程近似代替变速直线运动的路程。

在每个小区间"E ］上任取一时刻夺，以速度V⑥近似代替时间段 "，讪上各个时刻的速度,则有△仰=1,2,・••/)・3、求和：将所有这些近似值求和，得到总路程S的近似值，即S = £△$"£・/=! /=14、取极限：对时间间隔四乙］分割越细，误差越小。

为此记A = max{An),\<i<nn当人TO时和式的极限便是所求路程S,即S = lim£v ㈤山二* 1=1 /=!那么在一秒内经过的路程为S=、20=l ・六、解：设f(x) = /二则/⑴=/站(2尤-1) 当JCG(O,-)时,f (x)<0.2 Ji当xe (— ,2)时,f (x) > 0.i _i・•・、心的极小值为/'(5)=厂；2・.・ f(0) = l,f(2) = e~:.| < J / dx < | /dx即2e^< f e x X dx<2e2••-2° < [ / dx <-2e4七、证明："⑴二土在[1,4]±为减函数.・.sA⑴第二节微积分基本公式一、填空题1、C2、&「23、2xsin V44、05、「Vsin A入r i2 r »小+x 小+x 二、求定积分1、^Vx(l + Vx)Jx = (&2 +：Q L = 45：。

习题一.doc

1第一章习题解答与问题一、习题解答1 设x >0，x 的相对误差限为δ，求 ln x 的误差。

解：设 x 的准确值为x *，则有( | x – x * | /|x *| ) ≤ δ所以e (ln x )=| ln x – ln x * | =| x – x * | ×| (ln x )’|x=ξ·≈ ( | x – x * | / | x *| ) ≤ δ另解：e (ln x )=| ln x – ln x * | =| ln (x / x *) | = | ln (( x – x * + x *)/ x *) |= | ln (( x – x * )/ x * + 1) |≤( | x – x * | /|x *| ) ≤ δ2 设 x = – 2.18 和 y = 2.1200 都是由准确值经四舍五入而得到的近似值。

求绝对误差限ε( x ) 和 ε( y ) 。

解：| e (x ) | = |e (– 2.18)|≤ 0.005，| e (y ) | = |e ( 2.1200)|≤ 0.00005，所以ε( x )=0.005， ε( y ) = 0.00005。

3 下近似值的绝对误差限都是 0.005，问各近似值有几位有效数字x 1=1.38，x 2= –0.0312，x 3= 0.00086解：根据有效数字定义，绝对误差限不超过末位数半个单位。

由题设知，x 1，x 2， x 3有效数末位数均为小数点后第二位。

故x 1具有三位有效数字，x 2具有一位有效数字，x 3具有零位有效数字。

4 已知近似数x 有两位有效数字，试求其相对误差限。

解：| e r (x ) | ≤5 × 10– 2 。

5 设 y 0 = 28，按递推公式 y n = y n-1 –783/ 100 ( n = 1，2，…) 计算到y 100。

若取≈78327.982 （五位有效数字），试问，计算 y 100 将有多大的误差？解：由于初值 y 0 = 28 没有误差，误差是由≈78327.982所引起。

(典型题)高中数学高中数学选修2-2第四章《定积分》测试题(包含答案解析)(1)

一、选择题1．如图所示的阴影部分是由x 轴，直线1x =及曲线1x y e =-围成，现向矩形区域OABC 内随机投掷一点，则该点落在阴影部分的概率是（）A ．1eB ．11e - C ．11e-D ．21e e -- 2．曲线3y x =在点()1,1处的切线与x 轴、直线2x =所围成的三角形的面积为（） A ．83B ．73C ．53D ．433．曲线x y e =，x y e -=和直线1x =围成的图形面积是（） A ．1e e --B ．1e e -+C ．12e e ---D ．12e e -+-4．已知1(1)1x f x x e ++=-+，则函数()f x 在点(0,(0))f 处的切线l 与坐标轴围成的三角形的面积为 A ．14 B ．12C ．1D ．2 5．图中阴影部分的面积用定积分表示为（）A ．12d xx ⎰B ．()1021d xx -⎰C ．()1021d xx +⎰D ．()1012d xx -⎰6．使函数()322912f x x x x a =-+-图象与x 轴恰有两个不同的交点，则实数a 可能的取值为（） A ．8B ．6C ．4D ．27．由直线,1y x y x ==-+，及ｘ轴所围成平面图形的面积为（） A ．()101y y dy ⎡⎤--⎣⎦⎰B ．()1201x x dx ⎡⎤-+-⎣⎦⎰C ．()121y y dy ⎡⎤--⎣⎦⎰D ．()101x x dx ⎡⎤--+⎣⎦⎰8．设函数2e ,10()1,01xx f x x x ⎧-≤≤⎪=⎨-<≤⎪⎩，计算11()d f x x -⎰的值为（） A ．1e πe 4-+ B ．e 1πe 4-+ C ．e 12πe -+D ．e 1πe 2-+ 9．曲线2y x 与直线y x =所围成的封闭图形的面积为（）A ．16 B ．13C ．12D ．5610．已知函数20()cos 0x f x x x ≥⎧=⎨<⎩,则12()f x dx π-⎰的值等于（）A ．1B ．2C ．3D ．411．20sin xdx π=⎰（）A ．4B ．2C ．-2D ．012．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．4B ．2C ．43D ．23二、填空题13．直线x ＝0、直线y ＝e +1与曲线y ＝e x +1围成的图形的面积为_____． 14．曲线2yx x 和2y x x 所围成的封闭图形的面积是_______.15．如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ，则点P 恰好取自阴影部分的概率为_________.16．已知函数()()()22ln 1,0ln 1,0x x x x f x x x x x ⎧++≥⎪=⎨--+<⎪⎩，若()()()21f a f a f -+≤，则实数a 的取值范围是___________．17．计算()32sin x x dx π+⎰＝_________________．18．2222(sin 4)x x x dx -+-⎰=______．19．定积分2sin cos t tdt π=⎰________．20．如图，两曲线2y x =，2y x 围成图面积__________．三、解答题21．设点P 在曲线y ＝x 2上，从原点向A (2,4)移动，如果直线OP ，曲线y ＝x 2及直线x ＝2所围成的面积分别记为S 1、S 2.(1)当S 1＝S 2时，求点P 的坐标；(2)当S 1＋S 2有最小值时，求点P 的坐标和最小值． 22．已知函数1()ln ()f x x b x b R x=--∈，且曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与y 轴垂直．（Ⅰ）求b 的值；（Ⅱ）设2()g x x =，求证()()2ln 2g x f x >-． 23．（2015秋•钦州校级期末）求曲线y=sinx 与直线，，y=0所围成的平面图形的面积． 24．计算下列定积分.（1）1211e dx x +-⎰；（2）342x dx -+⎰.25．如图，函数()sin()f x x ωϕ=+（其中π0,2ωϕ>≤）的图象与坐标轴的三个交点为,,P Q R ，且π(,0)6P ,2π(,0)3Q ，M 为QR 的中点，且M 的纵坐标为34-.（1）求()f x 的解析式；（2）求线段QR 与函数()f x 图象围成的图中阴影部分的面积. 26．（1）已知0a >，求22aaa x dx --⎰；（2）求证：椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的面积为ab π.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】试题分析：由几何概型可知，所求概率为.考点：几何概型、定积分．2．A解析：A 【解析】试题分析：()'323x x=,所以切线方程为13(1),32y x y x -=-=-,所以切线与x 轴、直线2x=所围成的三角形的面积()2238 323S x dx=-=⎰.考点：1、切线方程；2、定积分.【易错点晴】本题易错点有三个,一个是切线方程,错解为看成过()1,1的切线方程；第二个错误是看成与y轴围成的面积,()()2232328103232333S x dx x dx=--+-=+=⎰⎰；第三个是没有将切线与x轴的交点求出来,导致没有办法解决题目.切线的常见问题有两种,一种是已知切点求切线方程；另一种是已知切线过一点求切线方程,两种题目都需要我们认真掌握. 3．D解析：D【解析】试题分析：根据题意画出区域，作图如下，由{xxy ey e-==解得交点为（0，1），∴所求面积为：()()111|2x x x xS e e dx e e ee--=-=+=+-⎰考点：定积分及其应用4．A解析：A【解析】试题分析：由1(1)1xf x x e++=-+知()2xf x x e=-+，则()1(0)2xf x e f''=+⇒=，而(0)1f=-，即切点坐标为()0,1-，切线斜率(0=2k f'=），则切线()():12021l y x y x--=-⇒=-，切线l与坐标轴的交点分别为1,02⎛⎫⎪⎝⎭和()0,1-，则切线l与坐标轴围成的三角形的面积为1111224S=⋅⋅-=考点：函数在某点处的切线5．B解析：B 【解析】根据定积分的几何意义，阴影部分的面积为12xdx ⎰－()11121x dx dx －=⎰⎰.故选B.6．C解析：C 【解析】f ′(x )=6x 2−18x +12，令f ′(x )=0得x 2−3x +2=0，解得x =1，或x =2. ∴当x <1或x >2时,f ′(x )>0，当1<x <2时,f ′(x )<0，∴f (x )在(−∞,1)上单调递增,在(1,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增， ∴当x =1时,f (x )取得极大值f (1)=5−a ，当x =2时,f (x )取得极小值f (2)=4−a ，∵f (x )只有两个零点，∴5−a =0或4−a =0，即a =5或a =4. 本题选择C 选项.7．C解析：C 【解析】如图，由直线y=x ，y=−x+1，及x 轴围成平面图形是红色的部分，它和图中蓝色部分的面积相同，∵蓝色部分的面积()121S x x dx ⎡⎤=--⎣⎦⎰，即()121y y dy ⎡⎤--⎣⎦⎰.本题选择C 选项.8．B解析：B 【解析】因为函数e ,10()1x x f x x ⎧-≤≤⎪=<≤，所以10110()d e d x f x x x x --=+⎰⎰，其中01101e 1e d e e e 11e e xxx ---==-=-=-⎰，0x 表示圆221x y +=在第一象限的面积，即π4x =，所以11e 1π()d e 4f x x --=+⎰，故选B ．9．A解析：A 【解析】曲线2y x =与直线y x =的交点坐标为()()0,0,1,1 ，由定积分的几何意义可得曲线2y x =与直线y x =所围成的封闭图形的面积为()122310111|236x x dx x x ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭⎰ ，故选A. 10．C解析：C 【分析】由函数20()cos 0x f x x x ≥⎧=⎨<⎩，根据定积分的运算性质，得1122()cos 2f x dx xdx dx ππ--=+⎰⎰⎰，即可求解，得到答案．【详解】由题意，函数20()cos 0x f x x x ≥⎧=⎨<⎩，根据定积分的运算性质，可得110100222()cos 2sin |2|123f x dx xdx dx x x πππ---=+=+=+=⎰⎰⎰，故选C ．【点睛】本题主要考查了定积分的计算，其中解答中熟记定积分的运算性质，准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．11．D解析：D 【分析】根据积分公式直接计算即可. 【详解】2200sin cos |cos 2cos0110xdx x πππ=-=-+=-+=⎰.故选：D. 【点睛】本题主要考查积分的计算，要求熟练掌握常见函数的积分公式，属于基础题.12．D解析：D 【分析】根据三视图可得到该几何体的直观图，进而可求出该几何体的体积. 【详解】根据三视图可知该几何体为四棱锥E ABCD -，四边形ABCD 是边长为1的正方形，BE ⊥平面ABCD ，2BE =，则四棱锥E ABCD -的体积为1233ABCD V S BE =⋅=. 故选D.【点睛】本题考查了三视图，考查了四锥体的体积的计算，考查了学生的空间想象能力，属于基础题.二、填空题13．1【分析】如图所示：计算交点为计算积分得到面积【详解】依题意令e+1＝ex+1得x ＝1所以直线x ＝0y ＝e+1与曲线y ＝ex+1围成的区域的面积为S 故答案为：1【点睛】本题考查了利用积分求面积意在考解析：1 【分析】如图所示：计算交点为()1,1e +计算积分()()111xe e dx ⎡⎤+-+⎣⎦⎰得到面积.【详解】依题意，令e +1＝e x +1，得x ＝1，所以直线x ＝0，y ＝e +1与曲线y ＝e x +1围成的区域的面积为S ()()()1111110xx xe e dx e e dx ex e ⎡⎤=⎰+-+=⎰-=-=⎣⎦故答案为：1【点睛】本题考查了利用积分求面积，意在考查学生的计算能力.14．【解析】【分析】本题首先可以绘出曲线和的图像并找出两曲线图像围成的区域然后通过微积分以及定积分的基本定理即可解出答案【详解】如图所示曲线和所围成的封闭图形的面积为：故答案为【点睛】本题考查几何中面积解析：13【解析】【分析】本题首先可以绘出曲线2y x x 和2y x x 的图像，并找出两曲线图像围成的区域，然后通过微积分以及定积分的基本定理即可解出答案。

第五章定积分(完整资料).doc

【最新整理，下载后即可编辑】高等数学练习题第五章定积分系专业班姓名学号第一节定积分的概念与性质一、选择题： 1、1lim n n →∞+ ⎪⎝⎭=[ B ]（A ）⎰212ln xdx （B ）⎰21ln 2xdx （C ）⎰+212)1(ln dx x （D ）⎰+21)1ln(2dx x2、设函数)(x f 在[b a ,]上连续，则曲线)(x f y =与直线0,,===y b x a x 所围成的平面图形的面积等于 [ C ] （A ）⎰ba dx x f )( （B ）⎰badxx f )( （C ）dx x f ba⎰)( （D ）)())((b a a b f <<-'ξξ3、设定积分⎰+=141dxxx I ，则I的值[ A ]（A ）220≤≤I （B ）151≤≤I （C ）51102≤≤I （D ）1≥I4、设⎰=401πxdxI ，⎰=402πdxx I ，⎰=403sin πxdxI ，则[ D ]（A ）321I I I >> （B ）213I I I >> （C ）231I I I >> （D ）312I I I >>二、填空题：1、利用定积分的几何意义，填写下列定积分的结果：（1）⎰-224dx x = π（2）⎰-ππxdx sin = 0（3）⎰-22cos ππxdx = 2⎰20cos πxdx （4）⎰--02)1(dx x = 4-2、利用定积分的性质，填写下列各题：（1）6≤+≤⎰412)1(dx x 51 （2）9π≤≤⎰331arctan xdx x 23π 3、利用定积分的性质，比较下列各题两各积分的大小（填写 ≤ 或≥）（1）⎰102dx x≥ ⎰103dxx（2）⎰21ln xdx ≥⎰212)(ln dx x（3）⎰10dxex≥ ⎰+10)1(dx x （4）⎰+20321πdx x ≥⎰+2032sin 1πdx x三、计算题：1、用定积分表示极限)321(lim 2222222n n nn n n n n n n ++++++++∞→ 解：原式=1102021111141lim [arctan]()nn k dx k nx nπ→+∞====++∑⎰ 2、利用定积分定义计算有抛物线21y x =+，两直线,()x a x b a b ==<及x 轴所围成的图形的面积。

1_定积分与微积分基本定理(理)含答案版

定积分与微积分基本定理(理)基础巩固强化1.求曲线y ＝x 2与y ＝x 所围成图形的面积，其中正确的是( ) A ．S ＝⎠⎛01(x 2－x )d x B ．S ＝⎠⎛01(x －x 2)d xC ．S ＝⎠⎛01(y 2－y )d y D ．S ＝⎠⎛01(y －y )d y[答案]B[分析] 根据定积分的几何意义，确定积分上、下限和被积函数． [解析]两函数图象的交点坐标是(0,0)，(1,1)，故积分上限是1，下限是0，由于在[0,1]上，x ≥x 2，故函数y ＝x 2与y ＝x 所围成图形的面积S ＝⎠⎛01(x －x 2)d x .2．如图，阴影部分面积等于( )A ．23B ．2－ 3 C.323D.353 [答案]C[解析]图中阴影部分面积为S ＝⎠⎛-31(3－x 2－2x )d x ＝(3x －13x 3－x 2)|1－3＝323. 3.⎠⎛024－x 2d x ＝( )A ．4πB ．2πC ．π D.π2 [答案]C[解析]令y ＝4－x 2，则x 2＋y 2＝4(y ≥0)，由定积分的几何意义知所求积分为图中阴影部分的面积，∴S ＝14×π×22＝π.4.已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线(假定为直线)行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为v 甲和v 乙(如图所示)．那么对于图中给定的t 0和t 1，下列判断中一定正确的是( )A ．在t 1时刻，甲车在乙车前面B ．在t 1时刻，甲车在乙车后面C ．在t 0时刻，两车的位置相同D ．t 0时刻后，乙车在甲车前面 [答案]A[解析]判断甲、乙两车谁在前，谁在后的问题，实际上是判断在t 0，t 1时刻，甲、乙两车行驶路程的大小问题．根据定积分的几何意义知：车在某段时间行驶的路程就是该时间段速度函数的定积分，即速度函数v (t )的图象与t 轴以与时间段围成区域的面积．从图象知：在t 0时刻，v 甲的图象与t 轴和t ＝0，t ＝t 0围成区域的面积大于v 乙的图象与t 轴和t ＝0，t ＝t 0围成区域的面积，因此，在t 0时刻，甲车在乙车的前面，而且此时乙车的速度刚刚赶上甲车的速度，所以选项C ，D 错误；同样，在t 1时刻，v 甲的图象与t 轴和t ＝t 1围成区域的面积，仍然大于v 乙的图象与t 轴和t ＝t 1围成区域的面积，所以，可以断定：在t 1时刻，甲车还是在乙车的前面．所以选A.5．向平面区域Ω＝{(x ，y )|－π4≤x ≤π4，0≤y ≤1}随机投掷一点，该点落在曲线y ＝cos2x 下方的概率是( )A.π4B.12C.π2－1D.2π [答案]D[解析]平面区域Ω是矩形区域，其面积是π2，在这个区6．的值是( )A ．0 B.π4 C ．2 D ．－2 [答案]D[解析]2(cos sin )2x x ππ---＝2(cos sin )2x x ππ---＝－2. 7．⎠⎛02(2－|1－x |)d x ＝________.[答案]3[解析]∵y ＝⎩⎨⎧1＋x 0≤x ≤13－x 1<x ≤2，∴⎠⎛02(2－|1－x |)d x ＝⎠⎛01(1＋x )d x ＋⎠⎛12(3－x )d x＝(x ＋12x 2)|10＋(3x －12x 2)|21＝32＋32＝3. 9．已知a ＝20(sin cos )x x dx π+⎰，则二项式(a x －1x)6的展开式中含x 2项的系数是________．[答案]－192 [解析]由已知得a ＝2(sin cos )x x dx π+⎰＝(－cos x ＋sin x )|π20＝(sin π2－cos π2)－(sin0－cos0)＝2，(2x －1x)6的展开式中第r ＋1项是T r ＋1＝(－1)r ×C r 6×26－r×x 3－r ，令3－r ＝2得，r ＝1，故其系数为(－1)1×C 16×25＝－192.10．有一条直线与抛物线y ＝x 2相交于A 、B 两点，线段AB 与抛物线所围成图形的面积恒等于43，求线段AB 的中点P 的轨迹方程．[解析]设直线与抛物线的两个交点分别为A (a ，a 2)，B (b ，b 2)，不妨设a <b ，则直线AB 的方程为y －a 2＝b 2－a 2b －a (x －a )，即y ＝(a ＋b )x －ab .则直线AB 与抛物线围成图形的面积为S ＝⎠⎛ab [(a ＋b )x －ab －x 2]d x＝(a ＋b 2x 2－abx －x 33)|ba ＝16(b －a )3，∴16(b －a )3＝43，解得b －a ＝2.设线段AB 的中点坐标为P (x ，y )，其中⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋b 2，y ＝a 2＋b 22.将b －a ＝2代入得⎩⎨⎧x ＝a ＋1，y ＝a 2＋2a ＋2.消去a 得y ＝x 2＋1.∴线段AB 的中点P 的轨迹方程为y ＝x 2＋1.能力拓展提升11.等比数列{a n }中，a 3＝6，前三项和S 3＝⎠⎛034x d x ，则公比q 的值为( )A ．1B ．－12C ．1或－12D ．－1或－12 [答案]C [解析]因为S 3＝⎠⎛034x d x ＝2x 2|30＝18，所以6q ＋6q 2＋6＝18，化简得2q 2－q －1＝0，解得q ＝1或q ＝－12，故选C.12．已知(x ln x )′＝ln x ＋1，则⎠⎛1e ln x d x ＝( )A ．1B ．eC ．e －1D ．e ＋1 [答案]A[解析]由(x ln x )′＝ln x ＋1，联想到(x ln x －x )′＝(ln x ＋1)－1＝ln x ，于是⎠⎛1e ln x d x ＝(x ln x －x )|e 1＝(e ln e －e )－(1×ln1－1)＝1.13．抛物线y 2＝2x 与直线y ＝4－x 围成的平面图形的面积为________．[答案]18[解析]由方程组⎩⎨⎧y 2＝2x ，y ＝4－x ，解得两交点A (2,2)、B (8，－4)，选y 作为积分变量x ＝y 22、x ＝4－y ，∴S ＝⎠⎛-42 [(4－y )－y 22]dy ＝(4y －y 22－y 36)|2－4＝18.14.已知函数f (x )＝e x －1，直线l 1：x ＝1，l 2：y ＝e t －1(t 为常数，且0≤t ≤1)．直线l 1，l 2与函数f (x )的图象围成的封闭图形如图中区域Ⅱ所示，其面积用S 2表示．直线l 2，y 轴与函数f (x )的图象围成的封闭图形如图中区域Ⅰ所示，其面积用S 1表示．当t 变化时，阴影部分的面积的最小值为________．[答案](e －1)2[解析]由题意得S 1＋S 2＝⎠⎛0t (e t －1－e x ＋1)d x ＋⎠⎛t1(e x －1－e t ＋1)d x＝⎠⎛0t (e t －e x )d x ＋⎠⎛t1(e x －e t )d x ＝(xe t －e x )|t 0＋(e x －xe t )|1t ＝(2t －3)e t ＋e ＋1，令g (t )＝(2t －3)e t ＋e ＋1(0≤t ≤1)，则g ′(t )＝2e t ＋(2t －3)e t ＝(2t －1)e t，令g ′(t )＝0，得t ＝12，∴当t ∈[0，12)时，g ′(t )<0，g (t )是减函数，当t ∈(12，1]时，g ′(t )>0，g (t )是增函数，因此g (t )的最小值为g (12)＝e ＋1－2e 12＝(e －1)2.故阴影部分的面积的最小值为(e －1)2.15．求下列定积分． (1)⎠⎛1－1|x |d x; (2)⎠⎛πcos 2x2d x ；(3)∫e ＋121x －1d x . [解析](1)⎠⎛1－1|x |d x ＝2⎠⎛1x d x ＝2×12x 2|10＝1.(2)⎠⎛πcos 2x 2d x ＝⎠⎛0π1＋cos x 2d x ＝12x |π0＋12sin x |π0＝π2. (3)∫e ＋121x －1d x ＝ln(x －1)|e ＋12＝1. 16．已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2＋bx (a ，b ∈R )的图象如图所示，它与x 轴在原点处相切，且x 轴与函数图象所围区域(图中阴影部分)的面积为112，求a 的值．[解析]f ′(x )＝－3x 2＋2ax ＋b ，∵f ′(0)＝0，∴b ＝0， ∴f (x )＝－x 3＋ax 2，令f (x )＝0，得x ＝0或x ＝a (a <0)． ∴S 阴影＝⎠⎛a0[0－(－x 3＋ax 2)]d x＝(14x 4－13ax 3)|0a ＝112a 4＝112， ∵a <0，∴a ＝－1.1．已知函数f (x )＝sin 5x ＋1，根据函数的性质、积分的性质和积分的几何意义，探求22()f x dx ππ-⎰的值，结果是( )A.16＋π2 B ．π C ．1 D ．0 [答案]B[解析]22()f x dx ππ-⎰＝22ππ-⎰sin 5x d x ＋22ππ-⎰1d x ，由于函数y ＝sin 5x 是奇函数，所以22ππ-⎰sin 5x d x ＝0，而22ππ-⎰1d x ＝x |π2－π2＝π，故选B.2．若函数f (x )＝⎩⎨⎧－x －1 (－1≤x <0)，cos x (0≤x <π2)，的图象与坐标轴所围成的封闭图形的面积为a ，则a 的值为( )A.2＋π4B.12 C ．1 D.32 [答案]D[解析]由图可知a ＝12＋⎠⎜⎜⎛0π2cos x d x ＝12＋sin x |π20＝32.3．对任意非零实数a 、b ，若a ⊗b 的运算原理如图所示，则2⊗⎠⎛0πsin x d x ＝________.[答案]22[解析]∵⎠⎛0πsin x d x ＝－cos x |π0＝2>2， ∴2⊗⎠⎛0πsin x d x ＝2⊗2＝2－12＝22. 4．设函数f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)，若⎠⎛01f (x )d x ＝f (x 0)，0≤x 0≤1，则x 0的值为________． [答案]33[解析]⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(ax 2＋c )d x ＝(ax 33＋cx )|10＝a 3＋c ，故a 3＋c ＝ax 20＋c ，即ax 20＝a 3，又a ≠0，所以x 20＝13，又0≤x 0≤1，所以x 0＝33.故填33. 5．设n ＝⎠⎛12(3x 2－2)d x ，则(x －2x)n 展开式中含x 2项的系数是________．[答案]40[解析]∵(x 3－2x )′＝3x 2－2， ∴n ＝⎠⎛12(3x 2－2)d x ＝(x 3－2x )|21 ＝(23－2×2)－(1－2)＝5.∴(x －2x )5的通项公式为T r ＋1＝C r 5x 5－r (－2x)r ＝(－2)r C r 5x 5－3r 2 ，令5－3r2＝2，得r ＝2， ∴x 2项的系数是(－2)2C 25＝40.。

定积分例题

定积分例题例1、计算dx x ⎰π20sin分析：可利用积分的可加性将绝对值去掉解：dx x ⎰π20sin ππππππ2020cos cos )sin (sin x x dx x xdx +-=-+=⎰⎰ 4)]1(1[)11(=--+---= 例2、计算dx xxe⎰12ln 解：dx x x e ⎰12ln 31ln 31ln ln 1312===⎰ee x x xd例3、计算下列定积分1、dx xe x⎰2022、⎰e xdx x 1ln分析：利用分部积分法，定积分的分部积分公式是⎰⎰-=baba bavdu uv udv ，它与不定积分的区别在于每一项都带有积分上、下限。

解：1、dx xe x ⎰202)(2222202202dx e xe x x x ⎰⎰-==4)44(444202=--=-=e e e e x2、⎰exdx x 1ln )ln ln (21ln 21121212x d x x x xdx e e e ⎰⎰-==)1(4121412121212212212--=-=-=⎰e e x e xdx e ee)1(41414122+=+=e e 例4、计算下列无穷限积分：1、dx e x ⎰+∞-03； 2、dx xx e⎰+∞ln 1分析：由定义知，⎰⎰+∞→+∞=ba b a dx x f dx x f )(lim )(，对于无穷限积分⎰+∞adx x f )(的求解步骤为①求常义积分)()()(a F b F dx x f ba-=⎰；②计算极限)]()([lim a F b F b -+∞→ 解：1、dx e x⎰+∞-03)31(lim lim 0303bx b bxb e dx e-+∞→-+∞→-==⎰31)1(lim 313=--=-+∞→b b e 2、dx xx e⎰+∞ln 1+∞===+∞→+∞→⎰be b b e b x x d x ln ln lim ln ln 1lim 说明此无穷积分dx xx e⎰+∞ln 1是发散的例5、设)(x f ''在],[b a 上连续，证明：)]()([)]()([)(a f a f a b f b f b dx x f x ba-'--'=''⎰分析：利用定积分的分部积分公式证明证明：⎰⎰⎰'-'='=''ba ba ba b a dx x f x f x x f xd dx x f x )()()()( ba x f a f ab f b )()()(-'-'= )]()([)]()([a f a f a b f b f b -'--'=。

【高考数学】定积分的概念、基本定理及其简单应用1

【高考数学】定积分的概念、基本定理及其简单应用1未命名一、单选题1．由曲线2y x = ，3y x =围成的封闭图形的面积为（） A ．13B ．14C ．112D ．7122．由曲线y =直线2y x =-及y 轴所围成的平面图形的面积为( )A ．6B ．4C ．103D ．1633．若20sin a xdx π=⎰，则函数1()x f x ax e -=+的图象在1x =处的切线方程为（）A ．20x y -=B ．20x y +=C ．20x y -=D ．20x y +=4．二项式()()310mx m ->展开式的第二项的系数为-3，则22mx dx -⎰的值为（）A ．3B ．73C ．83D ．25．已知函数()())11001x x f x x ⎧+-≤≤=<≤，则()1-1x f x d ⎰的值为( ) A ．1+2π B ．1+24π C ． 1+4π D ．1+22π6．1(e )d x x x --=⎰A ．11e --B ．1-C ．312e-+D ．32-7．函数1()1x f x x +=-的图象在点(3,2)处的切线与函数2()2g x x =+的图象围成的封闭图形的面积为（） A ．1112B ．3316C ．3516D ．125488．4片叶子由曲线2||y x =与曲线2||y x =围成，则每片叶子的面积为（）A．6B ．13C ．23D ．439．若2,a ln =125b -=，201cos 2c xdx π=⎰，则,,a b c 的大小关系（）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．b c a <<10．平面直角坐标系中，过坐标原点O 作曲线:x C y e =的切线l ，则曲线C 、直线l 与y 轴所围成的封闭图形的面积为（）A ．112e - B ．2e C ．12e -D ．32e -11．正方形的四个顶点分别在抛物线和上，如图所示，若将一个质点随机投入正方形ABCD 中，则质点落在图中阴影区域的概率是 ( )A ．B ．C ．D ．12．曲线4y x=与直线5y x =-围成的平面图形的面积为（） A ．152B ．154C ．154ln 24- D ．158ln 22- 13．曲线()22f x x =，()22g x x x =-以及直线14x =所围成封闭图形的面积为（）A ．132B ．116C ．18 D ．1414．曲线，和直线围成的图形面积是（） A ． B ．C ．D ．15．()22310xk dx +=⎰，则k =（）A ．1B ．2C ．3D ．416．若1201ln 2,5,sin 4a b c xdx π-===⎰，则a ，b ，c ，的大小关系（） A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．b c a <<17．已知()6cos 1x t dx π-=⎰，则常数t 的值为（）A ．3π-B ．1π-C ．32π-D ．52π-18．已知函数()f x 满足()()4f x f x =-，()524f x dx =⎰，则()51f x d x -⎰等于（）A ．0B ．2C ．8D ．不确定19．函数()1f x x=与两条平行线x e =，4x =及x 轴围成的区域面积是（） A ．2ln21-+B ．2ln 21-C ．ln 2-D ．ln 220．由曲线y ＝x 2和曲线y =（）A ．13B ．310C ．14D ．1521．在812x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭二项展开式中3x 的系数为m ,则()120x mx dx +=⎰（） A ．176B ．206C ．236D ．26622．已知函数3,1()1,1x x f x x x⎧⎪=⎨≥⎪⎩＜，（e 为自然对数的底数）的图象与直线x e =，x 轴围成的区域为E ，直线x e =与1y =围成的区域为F ，在区域F 内任取一点，则该点落在区域E 内的概率为（） A ．58eB ．18eC ．43eD ．12e23．曲线21:C y x =，22:4C y x x =-以及直线:2l x =所围成封闭图形的面积为（）A ．1B ．3C ．6D ．824．已知曲线cos y x =，其中30,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则该曲线与坐标轴围成的面积等于（）A ．1B ．2C ．52D ．325．曲线2sin (0)y x x π=≤≤与直线1y =围成的封闭图形的面积为( ) A．43π B．23π C．43π D．23π 26．在1100x y x y ==-=,,,围成的正方形中随机投掷10000个点，则落入曲线20x y -=,1y =和y 轴围成的区域的点的个数的估计值为（）A ．5000B ．6667C ．7500D ．785427．用S 表示图中阴影部分的面积，若有6个对面积S 的表示，如图所示，()caS f x dx =⎰①；()caS f x dx =⎰②；()c a S f x dx =⎰③；()()b ca bS f x dx f x dx =-⎰⎰④；()()c b baS f x dx f x dx =-⎰⎰⑤；()()b cabS f x dx f x dx =-⎰⎰⑥.则其中对面积S 的表示正确序号的个数为（）A ．2B ．3C ．4D ．528．如图，若在矩形OABC 中随机撒一粒豆子，则豆子落在图中阴影部分的概率为（）A ．21π-B ．2πC ．22πD ．221π-29．函数()2,? 0,2,x x f x x -≤=<≤，则()22f x dx -⎰的值为（） A ．6π+B ．2π-C ．2πD ．830．4片叶子由曲线2||y x =与曲线2||y x =围成，则每片叶子的面积为（）A ．16B．6C ．13D ．2331．111d ex x ⎛⎫- ⎪⎝⎭⎰的值为（） A ．e 2-B ．eC ．e 1+D ．e 1-32．已知412(1)x a x x ⎛⎫++- ⎪⎝⎭展开式中3x 项的系数为5，则0⎰＝（） A ．2πB ．πC ．2πD ．4π33．在4(1)(21)x x +-的展开式中，2x 项的系数为a ，则0(2)ax e x dx +⎰的值为（）A ．1e +B ．2e +C ．23e +D ．24e +34．1012x dx ⎫=⎪⎭⎰（） A ．14π+ B ．12π+ C ．124π+D ．14π+35．已知,由抛物线2y x =、x 轴以及直线1x =所围成的曲边区域的面积为S.如图可以通过计算区域内多个等宽的矩形的面积总和来估算S.所谓“分之弥细,所失弥少”,这就是高中课本中的数列极限的思想.由此可以求出S 的值为（）A ．12B ．13C ．14D ．2536．计算2131dx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰的值为（） A ．ln21+ B ．2ln 21+ C ．3ln23+D ．3ln 21+37．设曲线cos y x =与x 轴、y 轴、直线6x π=围成的封闭图形的面积为b ，若()22ln 2g x x bx kx =--在[]1,+∞上的单调递减，则实数k 的取值范围是（）A ．[)0,+∞B ．()0,∞+C ．[)1,+∞D ．()1,+∞38．设[](]2,0,1,(){1,1,e x x f x x x∈=∈（其中为自然对数的底数），则0()ef x dx ⎰的值为（）A ．43B ．54C ．65D ．39．若ln 2a =，125b -=，201cos 2c xdx π=⎰，则a ，b ，c 的大小关系（）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．b c a <<40．定积分)232sin x x dx -+⎰的值是（）A ．πB ．2πC ．2π+2cos2D ．π+2cos241．如图所示，阴影部分的面积为（）A ．()41f x dx -⎰B ．()41f x dx --⎰C ．()()3413f x dx f x dx --⎰⎰D ．()()4331f x dx f x dx --⎰⎰42．在平面直角坐标系中，由坐标轴和曲线3cos 02y x x π⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭所围成的图形的面积为（） A ．2 B ．52C ．3D ．443．已知()12201,log 3,cos6a x dxbc π=-==⎰，则,,a b c 的大小关系是（）A ．a b c <<B ．c a b <<C ．a c b <<D ．b c a <<44．定积分()1214d x x x --=⎰（）A ．0B ．1-C ．23-D ．2-45．由曲线22y x x =+与直线y x =所围成的封闭图形的面积为（） A ．16B ．13C ．56D ．2346．函数f x （）在区间[15]-，上的图象如图所示，0()()xg x f t dt =⎰，则下列结论正确的是（）A ．在区间04（，）上，g x （）先减后增且0g x <（）B ．在区间04（，）上，g x （）先减后增且0g x >（）C ．在区间04（，）上，g x （）递减且0g x >（）D ．在区间04（，）上，g x （）递减且0g x <（） 47．若函数f (x)＝＋x ，则＝ A ．B ．C ．D ．48．已知225sin )a x dx -=⎰，且2am π=.则展开式212(1)m x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭中x 的系数为（） A ．12B ．-12C ．4D ．-449．设，则的展开式中的常数项为A ．20B ．-20C ．120D ．-120二、填空题50．设抛物线C ：22(0)y px p =>，过抛物线的焦点且平行于y 轴的直线与抛物线围成的图形面积为6，则抛物线的方程为________.51．若曲线y =x m =，0y =所围成封闭图形的面积为2m ，则正实数m =______．52．由曲线3y x =（x ≥0）与它在1x =处切线以及x 轴所围成的图形的面积为___________．53．设函数2y nx n =-+和1122y x n =-+（*n N ∈，2n ≥）的图像与两坐标轴围成的封闭图形的面积为n S ，则lim n n S →∞=________ 54．定积分=⎰____________.55．若函数的图象如图所示,则图中的阴影部分的面积为；56．已知1a -=⎰，则61[(2)]2a x xπ+--展开式中的常数项为______．57．已知实数x ，y 满足不等式组2025020x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，且z =2x -y 的最大值为a ，则1e a dx x ⎰=______．58．如图放置的边长为1的正方形沿轴滚动，点恰好经过原点．设顶点的轨迹方程式（），则对函数有下列判断： ①函数是偶函数；②对任意的，都有； ③函数在区间上单调递减； ④．其中判断正确的序号是．59．222(3)x sinx dx --=⎰______．60．由x 的正半轴、2y x =和4x =所围成的封闭图形的面积是______61．12xdx ⎰的值为________．62．0=⎰_________.63．(434sin x dx -⎰的值为__________.64．若04sin n xdx π=⎰,2⎛⎝nx 的展开式中常数项为________．65．如图,在平面直角坐标系xoy 中,将直线y 2x=与直线x ＝1及x 轴所围成的图形绕x 轴旋转一周得到一个圆锥,圆锥的体积V 圆锥1=⎰π（2x ）2dx 310|1212x ππ==据此类比：将曲线y ＝x 2（x ≥0）与直线y ＝2及y 轴所围成的图形绕y 轴旋转一周得到一个旋转体,该旋转体的体积V ＝_____．66．若()12143a x dx --=⎰，则a =______. 67．直线x ＝0、直线y ＝e +1与曲线y ＝e x +1围成的图形的面积为_____． 68．(12x dx +=⎰________69．1||-1x e dx ⎰值为______．70．22sin )x dx -+=⎰___________71．已知数列{}n a 是公比120=⎰q x dx 的等比数列，且312a a a =⋅，则10a =________.72．33(sin cos x x dx -+=⎰______.73．设计一个随机试验，使一个事件的概率与某个未知数有关，然后通过重复试验，以频率估计概率，即可求得未知数的近似解，这种随机试验在数学上称为随机模拟法，也称为蒙特卡洛法。

数学同步优化指导(北师大版选修2-2)练习：第4章 1、1.2 定积分的概念活页作业15

活页作业(十五) 定积分的概念1．对于由直线x ＝1，y ＝0和曲线y ＝x 3所围成的曲边梯形，把区间3等分，则曲边梯形面积的近似值(取每个区间的左端点)是( )A ．19B ．125C ．127D ．130解析：将区间[0,1]三等分为⎣⎡⎦⎤0，13，⎣⎡⎦⎤13，23，⎣⎡⎦⎤23，1，各小矩形的面积和为s 1＝03×13＋⎝⎛⎭⎫133×13＋⎝⎛⎭⎫233×13＝981＝19.答案：A2．当n 很大时，函数f (x )＝x 2在区间⎣⎡⎦⎤i －1n ，i n 上的值，可以用下列中的哪一项来近似代替( )A ．f ⎝⎛⎭⎫1nB ．f ⎝⎛⎭⎫2nC ．f ⎝⎛⎭⎫i nD ．f (0)解析：任一函数在⎣⎡⎦⎤i －1n ，i n 上的值均可以用f ⎝⎛⎭⎫i n 近似代替．答案：C3．下列等式成立的是( ) A ．⎠⎛a b0d x ＝b －a B ．⎠⎛abx d x ＝12C ．⎠⎛－11|x |d x ＝2⎠⎛01|x |d xD ．⎠⎛a b (x ＋1)d x ＝⎠⎛a bx d x解析：⎠⎛－11|x |d x ＝⎠⎛－10|x |d x ＋⎠⎛01|x |d x＝⎠⎛－10(－x )d x ＋⎠⎛01x d x ＝⎠⎛01x d x ＋⎠⎛01x d x ＝2⎠⎛01x d x ＝2⎠⎛01|x |d x .答案：C4．已知定积分∫60f (x )d x ＝8，且f (x )为偶函数，则⎠⎛6－6f (x )d x 等于( )A ．0B ．16C ．12D ．8解析：偶函数的图像关于y 轴对称，故∫6－6f (x )d x ＝2∫60f (x )d x ＝16.答案：B5．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2(x ≥0)，2x (x <0)，则⎠⎛－11f (x )d x 的值是( )A ．⎠⎛－11x 2d xB ．⎠⎛－112x d xC ．⎠⎛－10x 2d x ＋⎠⎛012x d xD ．⎠⎛－102x d x ＋⎠⎛01x 2d x解析：由定积分的性质4求f (x )在区间[－1,1]上的定积分，可以通过求f (x )在区间[－1,0]与[0,1]上的定积分来实现，显然D 正确．答案：D6．已知⎠⎛a bf (x )d x ＝6，则⎠⎛a b6f (x )d x ＝________. 解析：⎠⎛a b6f (x )d x ＝6⎠⎛a bf (x )d x ＝6×6＝36. 答案：367．用定积分表示下列各图中阴影部分的面积(不要求计算)： (1)图(1)中S 1＝________； (2)图(2)中S 2＝________； (3)图(3)中S 3＝________.答案：(1)∫ππ3sin x d x (2)⎠⎛－42x 22d x(3)－⎠⎛49(－x 12)d x8．计算：⎠⎛06(2x －4)d x ＝________.解析：如右图，由y ＝2x －4可得A (0，－4)，B (6,8)．则S △AOM ＝12×2×4＝4，S △BCM ＝12×4×8＝16.∴⎠⎛06(2x －4)d x ＝16－4＝12. 答案：129．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x (x ∈[0，2))，4－x (x ∈[2，3))，52－x 2(x ∈[3，5])，求f (x )在区间[0,5]上的定积分．解：如右图，由定积分的几何意义，得⎠⎛02x d x ＝12×2×2＝2，⎠⎛23(4－x )d x ＝12×(1＋2)×1＝32，⎠⎛35⎝⎛⎭⎫52－x 2d x ＝12×2×1＝1. ∴⎠⎛05f (x )d x ＝⎠⎛02x d x ＋⎠⎛23(4－x )d x ＋⎠⎛35⎝⎛⎭⎫52－x 2d x ＝2＋32＋1＝92. 10．利用定积分的几何意义计算⎠⎛02(2x ＋1)d x .解：如右图，所求定积分为阴影部分的面积，其面积为12×(1＋5)×2＝6.故⎠⎛02(2x ＋1)d x ＝6.11．如下图，由曲线y ＝x 2－1和x 轴围成图形的面积等于S .给出下列结果：①⎠⎛－11(x 2－1)d x ；②⎠⎛－11(1－x 2)d x ；③2⎠⎛01(x 2－1)d x ；④2⎠⎛－10(1－x 2)d x .则S 等于( )A ．①③B ．③④C ．②③D ．②④解析：⎠⎛－11(1－x 2)d x ＝2⎠⎛－10(1－x 2)d x 答案：D12．若∫π20cos x d x ＝1，则由x ＝0，x ＝π，f (x )＝sin x 及x 轴围成的图形的面积为________．解析：由正弦函数与余弦函数的图像，知f (x )＝sin x ，x ∈[0，π]的图像与x 轴围成的图形的面积等于g (x )＝cos x ，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2的图像与x 轴围成的图形的面积的2倍．所以答案应为2.答案：213．在等分区间的情况下，写出f (x )＝11＋x 2(x ∈[0,1])及x 轴所围成的曲边梯形面积和式的极限形式为___________．解析：将区间[0,1]等分成n 份，形成n 个小区间[x i －1，x i ]＝⎣⎡⎦⎤i －1n ，i n (i ＝1,2，…，n )，且每个小区间的长度为Δx i ＝1n (i ＝1,2，…，n )，在区间⎣⎡⎦⎤i －1n ，i n (i ＝1,2，…，n )上取一点ξi ＝i n (i ＝1,2，…，n )，则∑i ＝1n f (ξi )Δx i ＝∑i ＝1n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＋⎝⎛⎭⎫i n 2·1n . ∴和式的极限形式为lim n →＋∞∑＝1n⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＋⎝⎛⎭⎫i n 2·1n . 答案：lim n →＋∞∑＝1n⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＋⎝⎛⎭⎫i n 2·1n 14．将和式的极限lim n →＋∞1p ＋2p ＋3p ＋…＋n pn p ＋1(p >0)表示成定积分为________．解析：令ξi ＝in，f (x )＝x p ，则lim n →＋∞1p ＋2p ＋3p ＋…＋n pn p ＋1＝lim n →＋∞∑i ＝1n 1n f (ξi )＝⎠⎛01x p d x . 答案：⎠⎛01x p d x15．利用定义计算定积分⎠⎛01(x 2＋2)d x .解：把区间[0,1]分成n 等份，分点和小区间的长度分别为x i ＝in (i ＝1,2，…，n －1)，Δx i ＝1n (i ＝1,2，…，n )，取ξi ＝in(i ＝1,2，…，n )，作积分和∑i ＝1nf (ξi )Δx i ＝∑i ＝1n(ξ2i ＋2)Δx i ＝∑i ＝1n⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫i n 2＋2·1n＝1n 3∑i ＝1n i 2＋2＝1n 3·16n (n ＋1)(2n ＋1)＋2＝16⎝⎛⎭⎫1＋1n ⎝⎛⎭⎫2＋1n ＋2. ∴⎠⎛01(x 2＋2)d x ＝lim n →∞∑i ＝1n f (ξi )Δx i＝lim n →∞⎣⎡⎦⎤16⎝⎛⎭⎫1＋1n ⎝⎛⎭⎫2＋1n ＋2＝13＋2＝73. 16．利用定积分表示由曲线y ＝x －2和x ＝y 2围成的平面区域的面积．解：曲线所围成的平面区域如图所示，则S ＝A 1＋A 2.A 1为y ＝x ，y ＝－x ，x ＝1围成的阴影部分的面积； A 2为y ＝x ，y ＝x －2，x ＝1和x ＝4围成的阴影部分的面积． ∴A 1＝⎠⎛01[x －(－x )]d x ， A 2＝⎠⎛14[x －(x －2)]d x .∴S ＝2⎠⎛01x d x ＋⎠⎛14(x －x ＋2)d x .。

(压轴题)高中数学高中数学选修2-2第四章《定积分》测试题(有答案解析)(1)

一、选择题1．已知71()x x +展开式中，5x 的系数为a ，则62axdx =⎰（）A ．10B ．11C ．12D ．132．若函数()32nxf x x x =++在点()1,6M 处切线的斜率为33ln3+，则n 的值是（） A ．1 B ．2 C ．4 D ．33．已知二次函数()y f x =的图象如图所示,则它与x 轴所围图形的面积为：A ．2π5B ．32C ．43D ．π24．已知函数f(x)=x 2+1的定义域为[a,b](a<b),值域为[1,5],则在平面直角坐标系内,点(a,b)的运动轨迹与两坐标轴围成的图形的面积为( ) A ．8 B ．6 C ．4 D ．25．324xdx -=⎰（）A ．213 B ．223 C ．233 D ．2536．由曲线2y x =与直线2y x =+所围成的平面图形的面积为（） A ．52 B ．4 C ．2 D ．927．若在R 上可导,,则( )A ．B ．C ．D ．8．使函数()322912f x x x x a =-+-图象与x 轴恰有两个不同的交点，则实数a 可能的取值为（） A ．8B ．6C ．4D ．29．设曲线e x y x =-及直线0y =所围成的封闭图形为区域D ,不等式组1102x y -≤≤⎧⎨≤≤⎩所确定的区域为E ,在区域E 内随机取一点,则该点落在区域D 内的概率为A ．2e 2e 14e --B ．2e 2e 4e -C ．2e e 14e --D ．2e 14e-10．由直线0,,2y x e y x ===及曲线2y x=所围成的封闭图形的面积为（） A ．3 B ．32ln 2+C ．223e -D ．e11．()1211x dx --=⎰（）A ．1B ．4π C ．2π D ．π12．计算()122x x dx -⎰的结果为（）A ．0B ．1C ．23D ．53二、填空题13．()2208x x dx --=⎰______.14．由曲线2y x=，直线y =2x ，x =2所围成的封闭的图形面积为______． 15．如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ，则点P 恰好取自阴影部分的概率为_________.16．计算由曲线22,4y x y x ==-所围成的封闭图形的面积S =__________． 17．在下列命题中 ①函数1()f x x=在定义域内为单调递减函数； ②已知定义在R 上周期为4的函数()f x 满足(2)(2)f x f x -=+，则()f x 一定为偶函数；③若()f x 为奇函数，则()2()(0)aaaf x dx f x dx a -=>⎰⎰；④已知函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠，则0a b c ++=是()f x 有极值的充分不必要条件；⑤已知函数()sin f x x x =-，若0a b +>，则()()0f a f b +>. 其中正确命题的序号为___________________（写出所有正确命题的序号）. 18．已知等差数列{}n a 中， 225701a a x dx +=-⎰，则468a a a ++=__________．19．()402sin cos 2x a x dx π-=-⎰，则实数a =____________. 20．曲线2y x 和曲线y x =围成一个叶形图（如图所示阴影部分），其面积是________．三、解答题21．为了降低能源消耗，某冷库内部要建造可供使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为4万元，又知该冷库每年的能源消耗费用c （单位：万元）与隔热层厚度x （单位：cm ）满足关系()(010)25kc x x x =≤≤+，若不建隔热层，每年能源消耗为8万元.设()f x 为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和. （1）求k 的值及()f x 的表达式；（2）隔热层修建多厚时，总费用()f x 达到最小？并求最小值. 22．已知2()2ln ,(0,]f x ax x x e =-∈ 其中e 是自然对数的底 . (1)若()f x 在1x = 处取得极值,求a 的值； (2)求()f x 的单调区间； 23．已知函数1()ln 2f x x x =-，(0,)x ∈+∞．（1）求函数()f x 的图象在点(2,(2))f 处的切线方程．（2）求函数()f x 的单调递增区间．24．已知函数f （x ）=x 3-3ax+e ，g （x ）=1-lnx ，其中e 为自然对数的底数.（I ）若曲线y=f （x ）在点（1，f （1））处的切线与直线l ：x+2y=0垂直，求实数a 的值；（II ）设函数F （x ）=-x[g （x ）+12x-2]，若F （x ）在区间（m,m+1）（m ∈Z ）内存在唯一的极值点，求m 的值；（III ）用max{m ，n}表示m ，n 中的较大者，记函数h （x ）=max{f （x ），g （x ）}（x>0）. 若函数h （x ）在（0，+∞）上恰有2个零点，求实数a 的取值范围. 25．已知函数()xf x xea -=-有两个零点1x ， 2x .（1）求实数a 的取值范围；（2）求证： 122x x +>. 26．已知()xkx bf x e +=．（Ⅰ）若()f x 在0x =处的切线方程为1y x =+，求k 与b 的值；（Ⅱ）求1x xdx e ⎰．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】利用二项式的通项公式求得7a =，从而求得762xdx ⎰的值.【详解】在71()x x +展开式中，得二项式的通项公式7721771rr r r r r T C x C x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭，令725r -=，解得1r =，所以5x 的系数为177C =，即7a =.所以7267662213axdx xdx x===⎰⎰.故选：D 【点睛】本题主要考查二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，求定积分的值，属于中档题．2．A解析：A【解析】由题意，得()13ln32n x f x nx-=++'， ()13ln3233ln3f n =++=+'，所以1n =；故选A.3．C解析：C 【解析】试题分析：由图像可知函数解析式为()21f x x =-+∴由定积分的几何意义可知面积()12311111141|113333S x dx x x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-+=---=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰ 考点：定积分及其几何意义4．C解析：C 【解析】由函数的图像可知，需满足或，所以点的运动轨迹与两坐标轴围成的图形是边长为2的正方形，其面积为4.5．C解析：C【解析】试题分析：画出函数图象如下图所示,可知()()323222002882344489128333x dx x dx x dx ⎛⎫-=-+-=-+--+=⎪⎝⎭⎰⎰⎰．考点：定积分的几何意义．6．D解析：D 【解析】试题分析：由定积分的几何意义得，293122122132221=-+=-+=--⎰)(])[(x x x dx x x s ,故选D 。

(必考题)高中数学高中数学选修2-2第四章《定积分》测试卷(含答案解析)(1)

一、选择题1．由曲线22y x =和直线4y x =-所围成的图形的面积（）A ．18B ．19C ．20D ．212．已知函数sin (11)()1(12)x x f x x x-≤≤⎧⎪=⎨<≤⎪⎩，则21()f x dx -=⎰( )A ．ln 2B ．ln 2-C ．12-D ．3cos 1-3．在1100x y x y ==-=,,,围成的正方形中随机投掷10000个点，则落入曲线20x y -=,1y =和y 轴围成的区域的点的个数的估计值为（）A ．5000B ．6667C ．7500D ．78544．直线4y x =与曲线3y x =在第一象限内围成的封闭图形的面积为（） A ．22B ．42C ．2D ．45．如图所示的阴影部分是由x 轴，直线1x =及曲线1x y e =-围成，现向矩形区域OABC 内随机投掷一点，则该点落在阴影部分的概率是（）A ．1eB ．11e - C ．11e-D ．21e e -- 6．已知是i 虚数单位，复数()1a i z a R i -=∈-，若01||(sin )z x dx ππ=-⎰，则a =（） A ．±1 B ．1 C ．1- D ．12±7．三棱锥D ABC -及其正视图和侧视图如图所示，且顶点,,,A B C D 均在球O 的表面上，则球O 的表面积为（）A ．32πB ．36πC ．128πD ．144π8．已知幂函数a y x =图像的一部分如下图，且过点(2,4)P ，则图中阴影部分的面积等于（）A ．163B ．83C ．43D ．239．设曲线e xy x =-及直线0y =所围成的封闭图形为区域D ,不等式组1102x y -≤≤⎧⎨≤≤⎩所确定的区域为E ,在区域E 内随机取一点,则该点落在区域D 内的概率为A ．2e 2e 14e--B ．2e 2e 4e-C ．2e e 14e--D ．2e 14e-10．一物体在力F (x )＝3x 2－2x ＋5(力单位：N ，位移单位：m)作用力下，沿与力F (x )相同的方向由x ＝5 m 直线运动到x ＝10 m 处做的功是( )． A ．925 J B ．850 JC ．825 JD ．800 J11．已知11em dx x=⎰，函数()f x 的导数()()()f x a x m x a '=++，若()f x 在x a =-处取得极大值，则a 的取值范围是（） A ．1a < B ．10a -<< C ．1a >或0a <D ．01a <<或0a <12．二维空间中圆的一维测度（周长）2l r π=，二维测度（面积）2S r π=，观察发现()S r l '=：三维空间中球的二维测度（表面积）24S r π=，三维测度（体积）343V r π=，观察发现()V r S '=.则由四维空间中“超球”的三维测度38V r π=，猜想其四维测度W =（）. A ．224r πB ．283r πC ．514r πD ．42r π二、填空题13．定积分211dx x⎰的值等于________. 14．由曲线2y x=，直线y =2x ，x =2所围成的封闭的图形面积为______．15．()1||214x ex dx -+-=⎰__________________16．在下列命题中 ①函数1()f x x=在定义域内为单调递减函数； ②已知定义在R 上周期为4的函数()f x 满足(2)(2)f x f x -=+，则()f x 一定为偶函数；③若()f x 为奇函数，则()2()(0)aaaf x dx f x dx a -=>⎰⎰；④已知函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠，则0a b c ++=是()f x 有极值的充分不必要条件；⑤已知函数()sin f x x x =-，若0a b +>，则()()0f a f b +>. 其中正确命题的序号为___________________（写出所有正确命题的序号）.17．设函数()f x 的图象与直线,x a x b ==及x 轴所围成图形的面积称为函数()f x 在[],a b 上的面积，已知函数()sin f x nx =在0,2n π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的面积为1n()*n N ∈，则函数()()sin 32f x x π=-+在4,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的面积为__________．18．计算()2224x x dx -+-⎰得__________．19．如图，两曲线2y x =，2y x 围成图面积__________．20．定积分11d ex x ⎰的值为____________________. 三、解答题21．已知函数2()ln f x x a x =-（a R ∈），()F x bx =（b R ∈）. （1）讨论()f x 的单调性；（2）设2a =，()()()g x f x F x =+，若12,x x （120x x <<）是()g x 的两个零点，且1202x x x +=，试问曲线()y g x =在点0x 处的切线能否与x 轴平行？请说明理由.22．函数()ln ,kf x x k R x=+∈．若曲线()y f x =在点()(),e f e 处的切线与直线20x -=垂直，求()f x 的单调递减区间和极小值（其中e 为自然对数的底数）．23．为了降低能源消耗，某冷库内部要建造可供使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为4万元，又知该冷库每年的能源消耗费用c （单位：万元）与隔热层厚度x （单位：cm ）满足关系()(010)25kc x x x =≤≤+，若不建隔热层，每年能源消耗为8万元.设()f x 为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和. （1）求k 的值及()f x 的表达式；（2）隔热层修建多厚时，总费用()f x 达到最小？并求最小值.24．求由抛物线28(0)y x y =>与直线60x y +-=及0y =所围成图形的面积. 25．利用定积分的定义，计算2211d x x ⎰的值． 26．已知函数()ln mf x x x=+()m R ∈. （1）若函数()f x 的图象与直线240x y +-=相切，求m 的值；（2）求()f x 在区间[]1,2上的最小值；（3）若函数()f x 有两个不同的零点1x ， 2x ，试求实数m 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】画出两曲线的图像，求得交点坐标，由定积分求得图形的面积即可. 【详解】根据题意，画出量曲线的图像，设其交点为,A B ，如下所示：联立22y x =和4y x =-，解得()()2,2,8,4A B -，根据抛物线的对称性，即可得两曲线围成的面积28222d (24)d S x x x x x =++⎰⎰23022021622d 2233x x x ⎛⎫⎰== ⎪⎝⎭ 82(24)d x x x +⎰83222212432x x x ⎫=-+⎪⎭322212884832⎫=⨯-⨯+⨯⎪⎭322213822242323⎫-⨯-⨯+⨯=⎪⎭故所求面积为28222d (24)d x x x x x ++⎰⎰163833=+ 18=.故选：A. 【点睛】本题考查由定积分求解曲边梯形的面积，需要注意的是，本题中需要对曲边梯形的面积进行拆分求解，这是本题的难点.2．A解析：A将所求积分分成两段来进行求解，根据积分运算法则可求得结果. 【详解】()21212111111sin cos ln cos1cos1ln 2ln1ln 2f x dx xdx dx x x x ---=+=-+=-++-=⎰⎰⎰ 故选：A 【点睛】本题考查积分的计算问题，关键是能够按照分段函数的形式将所求积分进行分段求解.3．B解析：B 【分析】应用微积分基本定理求出对应的原函数，再由定积分定义求出空白区域面积，由正方形面积减去空白区域面积即可求出阴影部分面积，结合几何概型可推导出对应区域内的点的个数【详解】由微积分基本定理可求出2yx 的原函数为()313F x x =，空白区域面积为31101133S x ==，故阴影部分面积212133S =-=，由几何概型可知，落入阴影部分的点数估计值为21000066673⨯≈ 故选：B 【点睛】本题考查定积分与微积分的基本定理，几何概型，属于基础题4．D解析：D 【解析】直线4y x =与曲线3y x =的交点坐标为(0,0)和(2,8)，故直线4y x =与曲线3y x =在第一象限内围成的封闭图形的面积23242001(4)2|8444S x x dx x x ⎛⎫=⎰-=-=-= ⎪⎝⎭．故选D ．5．D【解析】试题分析：由几何概型可知，所求概率为.考点：几何概型、定积分．6．A解析：A 【解析】因为11122a i a a z i i -+-==+-，所以222111()()22222a a z a +-=+=+，由定积分公式0011(sin )[cos ]|1x dx x x ππππ-=--=⎰，故22122112a a +=⇒=，即1a =±，应选答案A 。

(必考题)高中数学高中数学选修2-2第四章《定积分》测试卷(有答案解析)(1)

一、选择题1．=（）A ．12πB．128π+C．68π+ D．64π+2．计算211x dx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰的值为（）A ．34B ．3ln 22+ C ．55ln 22+ D ．3ln 2+3．已知函数sin (11)()1(12)x x f x x x-≤≤⎧⎪=⎨<≤⎪⎩，则21()f x dx -=⎰( ) A ．ln 2B ．ln 2-C ．12-D ．3cos 1-4．若曲线ln y kx x =+在点()1,k 处的切线平行于x 轴，则k =（） A ．2- B ．1- C ．0 D ．15．侧面与底面所成的角是45︒，则该正四棱锥的体积是（） A ．23B ．43CD6．等比数列{}n a 中,36a =,前三项和3304S xdx =⎰,则公比q 的值为（）A ．1-或12-B ．1或12-C ．12-D ．17．由23y x =-和2y x =围成的封闭图形的面积是（） A．．9-．323 D ．3538．曲线3y x =在点()1,1处的切线与x 轴、直线2x =所围成的三角形的面积为（） A ．83B ．73C ．53D ．439．曲线x y e =，x y e -=和直线1x =围成的图形面积是（） A ．1e e --B ．1e e -+C ．12e e ---D ．12e e -+-10．由曲线2y x =与直线2y x =+所围成的平面图形的面积为（） A ．52 B ．4 C ．2 D ．9211．已知二次函数()y f x =的图像如图所示，则它与x 轴所围图形的面积为（）A ．25π B ．43C ．32D ．2π 12．使函数()322912f x x x x a =-+-图象与x 轴恰有两个不同的交点，则实数a 可能的取值为（） A ．8B ．6C ．4D ．2二、填空题13．已知曲线与直线所围图形的面积______.14．由直线2x y +=，曲线2y x =所围成的图形面积是________ 15．曲线y=x 2与y=x 所围成的封闭图形的面积为______． 16．定积分21d 1x x ⎰-的值为__________． 17．202x xdx -+=__________18．定积分()12xx e dx +=⎰__________．19．定积分2sin cos t tdt π=⎰________．20．定积分120124x x dx π⎫--⎪⎭⎰的值______. 三、解答题21．函数()ln ,kf x x k R x=+∈．若曲线()y f x =在点()(),e f e 处的切线与直线20x -=垂直，求()f x 的单调递减区间和极小值（其中e 为自然对数的底数）．22．已知2()2ln ,(0,]f x ax x x e =-∈ 其中e 是自然对数的底 . (1)若()f x 在1x = 处取得极值,求a 的值； (2)求()f x 的单调区间；23．如图，函数()sin()f x x ωϕ=+（其中π0,2ωϕ>≤）的图象与坐标轴的三个交点为,,P Q R ，且π(,0)6P ,2π(,0)3Q ，M 为QR 的中点，且M 的纵坐标为3（1）求()f x 的解析式；（2）求线段QR 与函数()f x 图象围成的图中阴影部分的面积. 24．设函数()x x f x e e -=- （1）证明：'()2f x ≥；（2）若对任意[0,)x ∈+∞都有21(22)f x x e e ---<-，求x 的取值范围.25．已知函数()xe f x x=.（1）若曲线()y f x =与直线y kx =相切于点P ，求点P 的坐标；（2）当a e ≤时，证明：当()0,x ∈+∞时，()()ln f x a x x ≥-. 26．已知()y f x =是二次函数，方程0f x 有两相等实根，且()22f x x '=+（Ⅰ）求()f x 的解析式．（Ⅱ）求函数()y f x =与函数241y x x =--+所围成的图形的面积．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】令21y x =-()2210x y y +=≥，点(),x y 的轨迹表示半圆，则该积分表示该半圆与y 轴，12x =，x 轴围成的曲边梯形的面积，求出面积即可. 【详解】解：令21y x =-()2210x y y +=≥，点(),x y 的轨迹表示半圆，12201x dx -表示以原点为圆心，2为半径的圆的上半圆与y 轴，12x =，x 轴围成的曲边梯形的面积，如图：故1220113131122226812OAB BOCx dx SS ππ-=+=⨯⨯+⨯⨯=+扇形. 故选：B. 【点睛】本题考查定积分的几何意义，属基础题.2．B解析：B 【分析】根据牛顿莱布尼茨公式，即可代值求解. 【详解】根据牛顿莱布尼茨公式211x dx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰2211()2x lnx =+1142122ln ln ⎛⎫=⨯+-+ ⎪⎝⎭ 322ln =+. 故选：B. 【点睛】本题考查牛顿莱布尼茨公式的直接应用，属基础题.3．A解析：A 【分析】将所求积分分成两段来进行求解，根据积分运算法则可求得结果. 【详解】()21212111111sin cos ln cos1cos1ln 2ln1ln 2f x dx xdx dx x x x ---=+=-+=-++-=⎰⎰⎰ 故选：A 【点睛】本题考查积分的计算问题，关键是能够按照分段函数的形式将所求积分进行分段求解.4．B解析：B【解析】因为1y k x'=+,所以10,1k k +==- ,选B. 点睛：(1)求曲线的切线要注意“过点P 的切线”与“在点P 处的切线”的差异，过点P 的切线中，点P 不一定是切点，点P 也不一定在已知曲线上，而在点P 处的切线，必以点P 为切点.(2)利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化.以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解.5．B解析：B 【解析】设底面边长为a ，依据题设可得棱锥的高2ah =，底面中心到顶点的距离2d =，由勾股定理可得2221)()2a +=，解之得2a =，所以正四棱锥的体积21242323V =⨯⨯=，故应选答案B ．6．B解析：B 【解析】试题分析：解：∵3304S xdx =⎰=18，,∴a 1+a 2=32a q (1+q)=12，⇒2q 2-q-1=0，⇒q=1或q=12-，故选B考点：等比数列的前n 项和, 定积分的基本运算点评：本题考查等比数列的前n 项和、定积分的基本运算，求定积分关键是找出被积函数的原函数，本题属于基础题．7．C解析：C 【解析】试题分析：画出函数图象如下图所示，所以围成的面积为()13122333232333x x x dx x x --⎛⎫--=--= ⎪⎝⎭⎰.考点：定积分.8．A解析：A 【解析】试题分析：()'323x x=,所以切线方程为13(1),32y x y x -=-=-,所以切线与x 轴、直线2x =所围成的三角形的面积()2238323S x dx =-=⎰.考点：1、切线方程；2、定积分.【易错点晴】本题易错点有三个,一个是切线方程,错解为看成过()1,1的切线方程；第二个错误是看成与y 轴围成的面积,()()22320328103232333S x dx x dx =--+-=+=⎰⎰；第三个是没有将切线与x 轴的交点求出来,导致没有办法解决题目.切线的常见问题有两种,一种是已知切点求切线方程；另一种是已知切线过一点求切线方程,两种题目都需要我们认真掌握.9．D解析：D 【解析】试题分析：根据题意画出区域，作图如下，由{x xy e y e -==解得交点为（0，1），∴所求面积为：()()1101|2x x x x S e e dx e e e e --=-=+=+-⎰ 考点：定积分及其应用10．D解析：D 【解析】试题分析：由定积分的几何意义得，293122122132221=-+=-+=--⎰)(])[(x x x dx x x s ,故选D 。

大学高数定积分应用1(6-1--6-5)课后参考答案及知识总结

第六章定积分的应用内容概要课后习题全解习题6-2★ 1．求由曲线xy =与直线x y =所围图形的面积。

知识点：平面图形的面积思路：由于所围图形无论表达为X-型还是Y-型，解法都较简单，所以选其一做即可解：见图6-2-1∵所围区域D 表达为X-型：⎩⎨⎧<<<<x y x x 10，（或D 表达为Y-型：⎩⎨⎧<<<<y x y y 210）∴⎰-=10)(dx x x S D61)2132(1223=-=x x （⎰=-=1261)(dy y y S D） ★ 2．求在区间[0，π/2]上，曲线x y sin =与直线0=x 、1=y 所围图形的面积知识点：平面图形面积思路：由于所围图形无论表达为X-型还是Y-型，解法都较简单，所以选其一做即可解：见图6-2-2∵所围区域D 表达为X-型：⎪⎩⎪⎨⎧<<<<1sin 20y x x π，（或D 表达为Y-型：⎩⎨⎧<<<<y x y arcsin 010） ∴12)cos ()sin 1(202-=+=-=⎰πππx x dx x S D（ 12arcsin 1-==⎰πydy S D）★★3．求由曲线x y =2与42+-=x y 所围图形的面积知识点：平面图形面积思路：由于所围图形表达为Y-型时解法较简单，所以用Y-型做解：见图6-2-3∵两条曲线的交点：⎩⎨⎧±==⇒⎩⎨⎧+-==22422y x x y x y ， ∴所围区域D 表达为Y-型：⎩⎨⎧-<<<<-22422yx y y ，∴2316)324()4(2232222=-=--=--⎰y y dy y y S D（由于图形关于X 轴对称，所以也可以解为：2316)324(2)4(223222=-=--=⎰y y dy y y S D ）★★4．求由曲线2x y =、24x y =、及直线1=y 所围图形的面积知识点：平面图形面积思路：所围图形关于Y 轴对称，而且在第一象限内的图形表达为Y-型时，解法较简单解：见图6-2-4∵第一象限所围区域1D 表达为Y-型：⎩⎨⎧<<<<y x y y 210，∴34322)2(22102311=⨯=-==⎰y dy y y S S D D（若用X-型做，则第一象限内所围区域=1D b a D D Y ，其中a D ：⎪⎩⎪⎨⎧<<<<22410x y x x ，b D ：⎪⎩⎪⎨⎧<<<<14212y x x ；∴12212201422[()(1)]443D D x x S S x dx dx ==-+-=⎰⎰） ★★5．求由曲线xy 1=与直线x y =及2=x 所围图形的面积知识点：平面图形面积思路：由于所围图形表达为X-型,解法较简单，所以用X-型做解：见图6-2-5∵两条曲线xy =和x y =的交点为（1，1）、（-1，-1），又这两条线和2=x 分别交于 21,2(、2) ,2( ∴所围区域D 表达为X-型：⎪⎩⎪⎨⎧<<<<x y xx 121，∴22211113((ln )ln 222DS x dx x x x =-=-=-⎰★★★6．抛物线x y 22=分圆822=+y x 的面积为两部分，求这两部分的面积知识点：平面图形面积思路：所围图形关于X 轴对称，而且在第一象限内的图形表达为Y-型时，解法较简单解：见图6-2-6，设阴影部分的面积为1D S ，剩余面积为2D S∵两条曲线x y 22=、822=+y x 的交于(2,2)±（舍去4-=x 的解），∴所围区域1D 表达为Y-型：⎪⎩⎪⎨⎧-<<<<-228222y x y y ；又图形关于x 轴对称，∴342)342(2)68(2)28(220320220221+=-+=--=--=⎰⎰ππy y dy y y S D（其中222cos 18cos 22cos 22844sin 2222+=+=⨯=-⎰⎰⎰=πππdt ttdt t dyy ty ） ∴34634282-=--=πππDS ★★★7．求由曲线x e y =、x e y -=与直线1=x 所围图形的面积知识点：平面图形面积思路：由于所围图形表达为X-型时，解法较简单，所以用X-型做解：见图6-2-7∵两条曲线x e y =和x e y -=的交点为（0，1），又这两条线和1=x 分别交于) ,1(e 和) ,1(1-e∴所围区域D 表达为X-型：⎩⎨⎧<<<<-x x e y e x 10，∴2)()(1101-+=+=-=---⎰e e e e dx e e S x x x x D★★★8．求由曲线x y ln =与直线a y ln =及b y ln =所围图形的面积)0(>>a b知识点：平面图形面积思路：由于所围图形表达为Y-型时，解法较简单，所以用Y-型做解：见图6-2-8∵在x ln 的定义域范围内所围区域D ：⎩⎨⎧<<<<ye x by a 0ln ln ， ∴a b edy e S b ay bayD-===⎰ln ln ln ln★★★★9．求通过（0，0），（1，2）的抛物线，要求它具有以下性质：（1）它的对称轴平行于y 轴，且向下弯；（2）它与x 轴所围图形面积最小知识点：平面图形面积和求最值思路：首先根据给出的条件建立含参变量的抛物线方程，再求最值时的参变量解：由于抛物线的对称轴平行于y 轴，又过（0，0），所以可设抛物线方程为bx ax y +=2，（由于下弯，所以0<a），将（1，2）代入bx ax y +=2，得到2=+b a ，因此x a ax y )2(2-+=该抛物线和X 轴的交点为0=x 和aa x 2-=， ∴所围区域D ：2200(2)a x ay ax a x-⎧<<⎪⎨⎪<<+-⎩ ∴23223226)2()223(])2([a a x a x a dx x a ax S aa a a D-=-+=-+=--⎰)4()2(61)]2()2()2(3[61)(233322+-=-⨯-+-⨯='---a a a a a a a a S D得到唯一极值点：4-=a ，∴所求抛物线为：x x y 642+-=★★★★10．求位于曲线x e y =下方，该曲线过原点的切线的左方以及x 轴上方之间的图形的面积知识点：切线方程和平面图形面积思路：先求切线方程，再作出所求区域图形，然后根据图形特点，选择积分区域表达类型解：x e y =⇒xe y ='，∴在任一点0x x =处的切线方程为)(000x x e ey x x -=-而过（0，0）的切线方程就为：)1(-=-x e e y ，即ex y =所求图形区域为21D D D Y =,见图6-2-10X-型下的1D ：⎩⎨⎧<<<<∞-x e y x 00，2D ：⎩⎨⎧<<<<xey ex x 1∴222)(12110e e e x eedx ex e dx e S x x x D=-=-=-+=∞-∞-⎰⎰ ★★★11．求由曲线θcos 2a r =所围图形的面积知识点：平面图形面积思路：作图可知该曲线是半径为a 、圆心（0 ,a ）的圆在极坐标系下的表达式，可直接求得面积为2a π，也可选择极坐标求面积的方法做。

高数之定积分 (1)

第五章定积分§5. 1 定积分概念与性质一、定积分问题举例1. 曲边梯形的面积曲边梯形: 设函数y =f (x )在区间[a , b ]上非负、连续. 由直线x =a 、x =b 、y =0及曲线y =f (x )所围成的图形称为曲边梯形, 其中曲线弧称为曲边. 求曲边梯形的面积的近似值:将曲边梯形分割成一些小的曲边梯形, 每个小曲边梯形都用一个等宽的小矩形代替, 每个小曲边梯形的面积都近似地等于小矩形的面积, 则所有小矩形面积的和就是曲边梯形面积的近似值. 具体方法是: 在区间[a , b ]中任意插入若干个分点a =x 0< x 1< x 2< ⋅ ⋅ ⋅< x n -1< x n =b ,把[a , b ]分成n 个小区间[x 0, x 1], [x 1, x 2], [x 2, x 3], ⋅ ⋅ ⋅ , [x n -1, x n ],它们的长度依次为∆x 1= x 1-x 0 , ∆x 2= x 2-x 1 , ⋅ ⋅ ⋅ , ∆x n = x n -x n -1 .经过每一个分点作平行于y 轴的直线段, 把曲边梯形分成n 个窄曲边梯形. 在每个小区间 [x i -1, x i ]上任取一点ξ i , 以[x i -1, x i ]为底、f (ξ i )为高的窄矩形近似替代第i 个窄曲边梯形(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅ , n ) , 把这样得到的n 个窄矩阵形面积之和作为所求曲边梯形面积A 的近似值, 即A ≈f (ξ 1)∆x 1+ f (ξ 2)∆x 2+⋅ ⋅ ⋅+ f (ξ n )∆x n ∑=∆=ni i i x f 1)(ξ.求曲边梯形的面积的精确值:显然, 分点越多、每个小曲边梯形越窄, 所求得的曲边梯形面积A 的近似值就越接近曲边梯形面积A 的精确值, 因此, 要求曲边梯形面积A 的精确值, 只需无限地增加分点, 使每个小曲边梯形的宽度趋于零. 记λ=max{∆x 1, ∆x 2,⋅ ⋅ ⋅, ∆x n }, 于是, 上述增加分点, 使每个小曲边梯形的宽度趋于零, 相当于令λ→0. 所以曲边梯形的面积为∑=→∆=ni i i x f A 10)(lim ξλ.2. 变速直线运动的路程设物体作直线运动, 已知速度v =v (t )是时间间隔[T 1, T 2]上t 的连续函数, 且v (t )≥0, 计算在这段时间内物体所经过的路程S . 求近似路程:我们把时间间隔[T 1, T 2]分成n 个小的时间间隔∆t i , 在每个小的时间间隔∆t i 内, 物体运动看成是均速的, 其速度近似为物体在时间间隔∆t i 内某点ξ i 的速度v (τ i ), 物体在时间间隔∆t i 内运动的距离近似为∆S i = v (τ i ) ∆t i . 把物体在每一小的时间间隔∆t i 内运动的距离加起来作为物体在时间间隔[T 1 , T 2]内所经过的路程S 的近似值. 具体做法是:在时间间隔[T 1 , T 2]内任意插入若干个分点T 1=t 0< t 1< t 2<⋅ ⋅ ⋅< t n -1< t n =T 2,把[T 1 , T 2]分成n 个小段[t 0, t 1], [t 1, t 2], ⋅ ⋅ ⋅, [t n -1, t n ] ,各小段时间的长依次为∆t 1=t 1-t 0, ∆t 2=t 2-t 1,⋅ ⋅ ⋅, ∆t n =t n -t n -1.相应地, 在各段时间内物体经过的路程依次为∆S 1, ∆S 2, ⋅ ⋅ ⋅, ∆S n .在时间间隔[t i -1, t i ]上任取一个时刻τ i (t i -1<τ i < t i ), 以τ i 时刻的速度v (τ i )来代替[t i -1, t i ]上各个时刻的速度, 得到部分路程∆S i 的近似值, 即∆S i = v (τ i ) ∆t i (i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅ , n ).于是这n 段部分路程的近似值之和就是所求变速直线运动路程S 的近似值, 即∑=∆≈ni i i t v S 1)(τ;求精确值:记λ = max{∆t 1, ∆t 2,⋅ ⋅ ⋅, ∆t n }, 当λ→0时, 取上述和式的极限, 即得变速直线运动的路程∑=→∆=ni i i t v S 10)(lim τλ.设函数y =f (x )在区间[a , b ]上非负、连续. 求直线x =a 、x =b 、y =0 及曲线y =f (x )所围成的曲边梯形的面积.(1)用分点a =x 0<x 1<x 2< ⋅ ⋅ ⋅<x n -1<x n =b 把区间[a , b ]分成n 个小区间: [x 0, x 1], [x 1, x 2], [x 2, x 3], ⋅ ⋅ ⋅ , [x n -1, x n ], 记∆x i =x i -x i -1 (i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅ , n ). (2)任取ξ i ∈[x i -1, x i ], 以[x i -1, x i ]为底的小曲边梯形的面积可近似为i i x f ∆)(ξ (i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅ , n ); 所求曲边梯形面积A 的近似值为 ∑=∆≈ni i i x f A 1)(ξ.(3)记λ=max{∆x 1, ∆x 2,⋅ ⋅ ⋅, ∆x n }, 所以曲边梯形面积的精确值为 ∑=→∆=ni i i x f A 10)(l i m ξλ.设物体作直线运动, 已知速度v =v (t )是时间间隔[T 1, T 2]上t 的连续函数, 且v (t )≥0, 计算在这段时间内物体所经过的路程S .(1)用分点T 1=t 0<t 1<t 2<⋅ ⋅ ⋅<t n -1<t n =T 2把时间间隔[T 1 , T 2]分成n 个小时间段: [t 0, t 1], [t 1, t 2], ⋅ ⋅ ⋅, [t n -1, t n ] , 记∆t i =t i -t i -1 (i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅ , n ).(2)任取τi ∈[t i -1, t i ], 在时间段[t i -1, t i ]内物体所经过的路程可近似为v (τi )∆t i (i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅ , n ); 所求路程S 的近似值为 ∑=∆≈ni i i t v S 1)(τ.(3)记λ=max{∆t 1, ∆t 2,⋅ ⋅ ⋅, ∆t n }, 所求路程的精确值为 ∑=→∆=ni i i t v S 10)(lim τλ.二、定积分定义抛开上述问题的具体意义, 抓住它们在数量关系上共同的本质与特性加以概括, 就抽象出下述定积分的定义.定义设函数f (x )在[a , b ]上有界, 在[a , b ]中任意插入若干个分点a =x 0< x 1< x 2< ⋅ ⋅ ⋅< x n -1< x n =b ,把区间[a , b ]分成n 个小区间[x 0, x 1], [x 1, x 2], ⋅ ⋅ ⋅, [x n -1, x n ] ,各小段区间的长依次为∆x 1=x 1-x 0, ∆x 2=x 2-x 1,⋅ ⋅ ⋅, ∆x n =x n -x n -1.在每个小区间[x i -1, x i ]上任取一个点ξ i (x i -1< ξ i < x i ), 作函数值f (ξ i )与小区间长度∆x i 的乘积 f (ξ i ) ∆x i (i =1, 2,⋅ ⋅ ⋅, n ) , 并作出和∑=∆=ni i i x f S 1)(ξ.记λ = max{∆x 1, ∆x 2,⋅ ⋅ ⋅, ∆x n }, 如果不论对[a , b ]怎样分法, 也不论在小区间[x i -1, x i ]上点ξ i 怎样取法, 只要当λ→0时, 和S 总趋于确定的极限I , 这时我们称这个极限I 为函数f (x )在区间[a , b ]上的定积分, 记作⎰ba dx x f )(, 即∑⎰=→∆=ni i i ba x f dx x f 10)(lim )(ξλ.其中f (x )叫做被积函数, f (x )dx 叫做被积表达式, x 叫做积分变量, a 叫做积分下限, b 叫做积分上限, [a , b ]叫做积分区间.定义设函数f (x )在[a , b ]上有界, 用分点a =x 0<x 1<x 2< ⋅ ⋅ ⋅<x n -1<x n =b 把[a , b ]分成n 个小区间: [x 0, x 1], [x 1, x 2], ⋅ ⋅ ⋅, [x n -1, x n ] , 记∆x i =x i -x i -1(i =1, 2,⋅ ⋅ ⋅, n ). 任ξ i ∈[x i -1, x i ] (i =1, 2,⋅ ⋅ ⋅, n ), 作和∑=∆=ni i i x f S 1)(ξ.记λ=max{∆x 1, ∆x 2,⋅ ⋅ ⋅, ∆x n }, 如果当λ→0时, 上述和式的极限存在, 且极限值与区间[a , b ]的分法和ξ i 的取法无关, 则称这个极限为函数f (x )在区间[a , b ]上的定积分, 记作⎰ba dx x f )(,即∑⎰=→∆=ni i i bax f dx x f 1)(lim )(ξλ.根据定积分的定义, 曲边梯形的面积为⎰=ba dx x f A )(. 变速直线运动的路程为dt t v S TT )(21⎰=.说明:(1)定积分的值只与被积函数及积分区间有关, 而与积分变量的记法无关, 即⎰⎰⎰==ba b a b a du u f dt t f dx x f )()()(.(2)和∑=∆ni i i x f 1)(ξ通常称为f (x )的积分和.(3)如果函数f (x )在[a , b ]上的定积分存在, 我们就说f (x )在区间[a , b ]上可积. 函数f (x )在[a , b ]上满足什么条件时, f (x )在[a , b ]上可积呢？定理1 设f (x )在区间[a , b ]上连续, 则f (x ) 在[a , b ]上可积.定理2 设f (x )在区间[a , b ]上有界, 且只有有限个间断点, 则f (x ) 在[a , b ]上可积. 定积分的几何意义:在区间[a , b ]上, 当f (x )≥0时, 积分⎰ba dx x f )(在几何上表示由曲线y =f (x )、两条直线x =a 、x =b 与x 轴所围成的曲边梯形的面积; 当f (x )≤0时, 由曲线y =f (x )、两条直线x =a 、x =b 与x 轴所围成的曲边梯形位于x 轴的下方, 定义分在几何上表示上述曲边梯形面积的负值;⎰∑∑⎰--=∆--=∆==→=→ba ni i i ni i i ba dx x f x f x f dx x f )]([)]([lim )(lim )(110ξξλλ.当f (x )既取得正值又取得负值时, 函数f (x )的图形某些部分在x 轴的上方, 而其它部分在x 轴的下方. 如果我们对面积赋以正负号, 在x 轴上方的图形面积赋以正号, 在x 轴下方的图形面积赋以负号, 则在一般情形下, 定积分⎰ba dx x f )(的几何意义为: 它是介于x 轴、函数f (x )的图形及两条直线x =a 、x =b 之间的各部分面积的代数和.用定积分的定义计算定积分:例1. 利用定义计算定积分dx x 210⎰.解把区间[0, 1]分成n 等份, 分点为和小区间长度为 n i x i =(i =1, 2,⋅ ⋅ ⋅, n -1), n x i 1=∆(i =1, 2,⋅ ⋅ ⋅, n ) .取n i i =ξ(i =1, 2,⋅ ⋅ ⋅, n ), 作积分和∑∑∑===⋅=∆=∆ni ini i i n i i n ni x x f 121211)()(ξξ)12)(1(61113123++⋅==∑=n n n n i n ni )12)(11(61nn ++=. 因为n 1=λ, 当λ→0时, n →∞, 所以31)12)(11(61lim )(lim 10210=++=∆=∞→=→∑⎰n n x f dx x n n i i i ξλ. 利定积分的几何意义求积分:例2. 用定积分的几何意义求⎰-10)1(dx x .解: 函数y =1-x 在区间[0, 1]上的定积分是以y =1-x 为曲边, 以区间[0, 1]为底的曲边梯形的面积. 因为以y =1-x 为曲边, 以区间[0, 1]为底的曲边梯形是一直角三角形, 其底边长及高均为1, 所以 211121)1(10=⨯⨯=-⎰dx x .三、定积分的性质两点规定: (1)当a =b 时, 0)(=⎰ba dx x f . (2)当a >b 时,⎰⎰-=abba dx x f dx x f )()(.性质1 函数的和(差)的定积分等于它们的定积分的和(差) 即⎰⎰⎰±=±ba ba b a dx x g dx x f dx x g x f )()()]()([.证明:⎰±ba dx x g x f )]()([∑=→∆±=ni i i i x g f 10)]()([lim ξξλ∑∑=→=→∆±∆=ni i i n i i i x g x f 1010)(lim )(lim ξξλλ⎰⎰±=ba ba dx x g dx x f )()(.性质2 被积函数的常数因子可以提到积分号外面即⎰⎰=ba b a dx x f k dx x kf )()(.这是因为∑⎰=→∆=ni i i ba x kf dx x kf 10)(lim )(ξλ⎰∑=∆==→ba ni i i dx x f k x f k )()(lim 10ξλ.性质3 如果将积分区间分成两部分则在整个区间上的定积分等于这两部分区间上定积分之和即⎰⎰⎰+=bc c a b a dx x f dx x f dx x f )()()(.这个性质表明定积分对于积分区间具有可加性. 值得注意的是不论a ,b ,c 的相对位置如何总有等式⎰⎰⎰+=bcc a b a dx x f dx x f dx x f )()()(成立. 例如, 当a <b <c 时, 由于 ⎰⎰⎰+=cb ba ca dx x f dx x f dx x f )()()(,于是有⎰⎰⎰-=c b c a b a dx x f dx x f dx x f )()()(⎰⎰+=bc c a dx x f dx x f )()(. 性质4 如果在区间[a b ]上f (x )≡1 则a b dx dx ba ba -==⎰⎰1. 性质5 如果在区间[a ,b ]上 f (x )≥0, 则⎰≥b a dx x f 0)((a <b ). 推论1 如果在区间[a , b ]上 f (x )≤ g (x ) 则⎰⎰≤ba ba dx x g dx x f )()((a <b ).这是因为g (x )-f (x )≥0, 从而 ⎰⎰⎰≥-=-ba ba ba dx x f x g dx x f dx x g 0)]()([)()(,所以⎰⎰≤b a ba dx x g dx x f )()(.推论2 ⎰⎰≤ba ba dx x f dx x f |)(||)(|(a <b ). 这是因为-|f (x )| ≤ f (x ) ≤ |f (x )|, 所以 ⎰⎰⎰≤≤-ba ba ba dx x f dx x f dx x f |)(|)(|)(|, 即 ⎰⎰≤ba ba dx x f dx x f |)(||)(|| .性质6 设M 及m 分别是函数f (x )在区间[a , b ]上的最大值及最小值, 则 ⎰-≤≤-ba ab M dx x f a b m )()()((a <b ). 证明因为 m ≤ f (x )≤ M , 所以 ⎰⎰⎰≤≤b a ba b a M d xdx x f mdx )(, 从而⎰-≤≤-b a a b M dx x f a b m )()()(.性质7 (定积分中值定理) 如果函数f (x )在闭区间[a , b ]上连续, 则在积分区间[a , b ]上至少存在一个点ξ , 使下式成立:⎰-=ba ab f dx x f ))(()(ξ.这个公式叫做积分中值公式.证明由性质6⎰-≤≤-ba ab M dx x f a b m )()()(, 各项除以b -a 得⎰≤-≤ba M dx x f ab m )(1,再由连续函数的介值定理, 在[a , b ]上至少存在一点ξ , 使⎰-=ba dx x f ab f )(1)(ξ,于是两端乘以b -a 得中值公式⎰-=ba ab f dx x f ))(()(ξ.积分中值公式的几何解释:应注意: 不论a <b 还是a >b , 积分中值公式都成立.。

专题1——利用定积分定义求极限 (1)

专题1——利用定积分定义求极限 (1) 哎呀，这可是个大问题啊！今天我们来聊聊一个特别重要的数学概念——极限。

你们知道吗？极限可是数学里的灵魂啊！它就像是我们生活中的大佬，总是能解决我们遇到的各种难题。

极限到底是什么呢？别着急，我给大家慢慢道来。

我们要明白什么是定积分。

定积分就像是一种加法，它可以把无穷多个小矩形拼接起来，形成一个更大的矩形。

这个更大的矩形的面积就是我们要找的那个数。

这个过程可能会遇到一个问题——无穷多个小矩形怎么才能拼成一个大矩形呢？这时候，我们就需要用到极限的概念了。

极限就像是一个桥梁，它可以帮助我们把无穷多个小矩形联系起来。

当我们把无穷多个小矩形的面积相加时，如果结果是一个无限大的数，那么我们就可以说这个数是无穷大；如果结果是一个有限的数，那么我们就可以说这个数是有限的。

而极限就是帮助我们确定这个数到底是无穷大还是有限的。

怎么求极限呢？其实，求极限的方法有很多种。

这里我给大家介绍一种最简单、最直接的方法——四分之法。

具体操作方法就是：把分子和分母都除以同一个非零常数，然后再求极限。

这样做的好处是，可以简化我们的计算过程，让我们更容易地找到答案。

求极限并不是一件容易的事情。

有时候，我们需要通过一些巧妙的方法来突破困境。

比如说，我们可以利用“夹逼定理”来求极限。

这个定理告诉我们，如果一个函数在某个区间内单调递增或单调递减，那么它在这个区间内的极限就是它的端点值。

这样一来，我们就可以通过比较两个端点值的大小来求出函数在这个区间内的极限了。

还有一种求极限的方法叫做“洛必达法则”。

这个法则适用于那些形式比较复杂的极限问题。

它的操作方法是：先对分子和分母分别求导，然后再求极限。

这样做的好处是，可以帮助我们找到隐藏在复杂表达式中的规律，从而更容易地求出极限。

求极限是数学中的一个重要概念，也是我们解决实际问题的关键。

虽然求极限的过程可能会遇到很多困难，但是只要我们掌握了正确的方法，就一定能够攻克这些难关。

1_5_3定积分的概念基础达标(含答案解析)

1．定积分⎠⎛ab f (x )dx 的大小( )A ．与y ＝f (x )和积分区间[a ，b ]相关，与ξi 的取法无关B ．与y ＝f (x )相关，与积分区间[a ，b ]和ξi 的取法无关C ．与y ＝f (x )和ξi 的取法相关，与积分区间[a ，b ]无关D ．与y ＝f (x )、积分区间[a ，b ]、ξi 的取法均无关解析：选A.定积分的大小仅与被积函数和积分的上、下限相关． 2．以下结论中成立的个数是( ) ①⎠⎛01x 3dx ＝∑i ＝1ni 3n 3·1n ； ②⎠⎛01x 3dx ＝(i －1)3n 3·1n ； ③⎠⎛1x 3dx ＝i 3n 3·1n.A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选C.积分是一个极限的形式，根据积分的定义可知②③准确．3．(2013·铜陵质检)定积分⎠⎛13(－3)dx 等于( )A ．－6B ．6C ．－3D ．3解析：选A.⎠⎛133dx表示图中阴影部分的面积S ＝3×2＝6，⎠⎛13(－3)dx＝－⎠⎛133dx ＝－6.4．已知函数f (x )＝sin 5x ＋1，根据函数的性质、积分的性质和积分的几何意义，探求f (x )dx 的值，结果是( ) A.16＋π2 B ．π C ．1 D ．0 解析：选B. (sin 5x ＋1)dx ＝sin 5xdx ＋1dx ，∵y ＝sin 5x 在[－π2，π2]上是奇函数，∴sin 5xdx ＝0. 而1dx ＝＝π，故f (x )dx ＝π，应选B.5．设a ＝⎠⎛01x 13dx ，b ＝⎠⎛01x 2dx ，c ＝⎠⎛01x 3dx ，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．c ＞a ＞bB ．a ＞b ＞cC ．a ＝b ＞cD ．a ＞c ＞b解析：选B.根据定积分的几何意义，易知⎠⎛01x 3dx ＜⎠⎛01x 2dx ＜⎠⎛01x 13dx ，即a ＞b ＞c ，故选B.6．(2013·淄博调研)定积分⎠⎛01(2＋1－x 2)dx ＝________.解析：原式＝⎠⎛012dx ＋⎠⎛011－x 2dx .∵⎠⎛012dx ＝2，⎠⎛011－x 2dx ＝π4，∴⎠⎛01(2＋1－x 2)dx ＝π4＋2.答案：π4＋27．直线x ＝1，x ＝－1，y ＝0及曲线y ＝x 3＋sin x 围成的平面图形的面积可用定积分表示为________．解析：因y ＝x 3＋sin x 为奇函数，故⎠⎛0－1(x 3＋sin x )dx ＝－⎠⎛01(x 3＋sin x )dx ＜0，所以S ＝2⎠⎛01(x 3＋sin x )dx .答案：2⎠⎛01(x 3＋sin x )dx8. (2013·成都高二检测)若y ＝f (x )的图象如图所示，定义F (x )＝⎠⎛0x f (t )dt ，x ∈[0,1]，则下列对F (x )的性质描述正确的有________．(1)F (x )是[0,1]上的增函数； (2)F ′(1)＝0；(3)F (x )是[0,1]上的减函数； (4)∃x 0∈[0,1]使得F (1)＝f (x 0)．解析：由定积分的几何意义可知，F (x )表示图中阴影部分的面积，且F (1)＝⎠⎛01f (t )dt 为一个常数，当x 逐渐增大时，阴影部分的面积也逐渐增大，所以F (x )为增函数，故(1)，(2)正确，(3)错误．由定积分的几何意义可知，必然∃x 0∈[0,1]，使S 1＝S 2，此时矩形ABCO 的面积与函数f (x )的图象与坐标轴围成的区域的面积相等，即F (1)＝⎠⎛01f (t )dt ＝f (x 0)，故(4)正确．所以对F (x )的性质描述正确的有(1)，(2)，(4)．答案：(1)(2)(4)9．用定积分表示下列阴影部分的面积(不要求计算)：解：(1)sin xdx . (2) ⎠⎛-42⎠⎛2－412x 2dx .(3)－⎠⎛49－x 12dx ＝⎠⎛49x 12dx .10．已知⎠⎛01x 3dx ＝14，⎠⎛12x 3dx ＝154，⎠⎛12x 2dx ＝73，⎠⎛24x 2dx ＝563，求：(1)⎠⎛023x 3dx ；(2)⎠⎛146x 2dx ； (3)⎠⎛12(3x 2－2x 3)dx .解：(1)⎠⎛023x 3dx ＝3⎠⎛02x 3dx ＝3(⎠⎛01x 3dx ＋⎠⎛12x 3dx )＝3⎝⎛⎭⎫14＋154＝12.(2)⎠⎛146x 2dx ＝6(⎠⎛12x 2dx ＋⎠⎛24x 2dx )＝6⎝⎛⎭⎫73＋563＝126.(3)⎠⎛12(3x 2－2x 3)dx ＝3⎠⎛12x 2dx －2⎠⎛12x 3dx ＝3×73－2×154＝－12.。

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定积分练习题一．选择题、填空题1．将和式的极限lim 1p 2 p3p .......n p0) 表示成定积分n P 1( p（）n111 pdx11 pdx1xp dxA ．dxB ． xC ．()D ． ()0 x0 xn2．将和式 lim ( 11 .........1) 表示为定积分．nn 1n 2 2n3．下列等于 1 的积分是（）A ． 1xdxB ． 1C ． 111( x 1)dx1dxD ． dx2124 | dx =4． | x（）A ．21B ．22232533C ．3D ．35．曲线 ycos x, x[0,3] 与坐标周围成的面积（）25A ．4B ．2D ． 3C ．21e x)dx =6． (ex（）A ． e 1B ．2e2D ． e1eC ．ee7.若 m1e xdx ， ne1dx ，则 m 与 n 的大小关系是（）1 xA ． m nB ． m nC ． m nD ．无法确定 8.9 y x2 1 和 x 轴围成图形的面积等于 S．给出下列结果：．由曲线11)dx ； ② 11①( x 2(1 x 2)dx ； ③ 2 ( x21)dx ； ④ 2 (1 x 2 )dx ． 111 则 S 等于（）A ． ①③B ． ③④C ． ②③D ． ②④ 10. yxcost sin t)dt ，则 y 的最大值是（(sin t ）A ． 1B ． 2C ．7 D ． 0217f ( x)11. 若 f (x) 是一次函数，且112 dx 的值是f ( x) dx 5 ， xf ( x)dx6，那么x1．15．设 f (x )sin x 3 x，则f (x) cos2 xdx ()其余（ A ）17. 定积分3 3 （D ）－ 1（ B ）（C ）144sin x sin 3 xdx 等于 _______18. 定积分cos xcos 3 xdx 等于 ( )（ A ）3 （ B ）2 （ C ）4 4 3（ D ）319. 定积分2| sin x cos x | dx 等于 ()（ A ） 0（ B ）1（ C ）2 1（D ）2( 2 1)220.定积分max{ x 3, x2,1}dx 等于 ( )2（ A ） 0（ B ） 4（ C ）16（ D ）97312综合题：(1) 1x 2dx (2) 1x)dx2( x24x 2 x cos 5 x)dxln(1(3)x2x 22 (4)edx2 dx ex(1ln x)ln x(5)3(3 2x 2)2x(6)2 tan 2 x[sin 22x ln( x1 x2)]dx(7)21 dx224 x 2(14) 用定积分定义计算极限： lim( n n...n)2 2 222nn 1 n 2nn定积分练习题1x) 1 x 2 dx2.(1 ()1（ A ）（ B ）2（C ） 2（ D ）43. 设 fC [ 0, 1] ，且1x dx ，则2f (cos 2x) sin 2xdx ()f( 2)（ A ）2 （B ）3 （ C ）4 （D ）14. 设 f ( x) 在 [a,b] 上连续，且b 0 ，则（f ( x)dx ）。

a（ A ）在 [ a, b] 的某个子区间上， f ( x) 0 ；（ B ）在 [ a, b] 上， f ( x) 0 ；（ C ）在 [ a, b] 内至少有一点c ， f (c) 0 ；（ D ）在 [ a, b] 内不一定有 x ，使 f ( x)0 。

25.x 3 2x 2xdx =()(A)4(22)4(22 )4 28 2 (D)4 2 8 215 15353 51e xdx 6..e x()11(A)1 e 1 e (D)11 (B)e(C)e1 1 填空、选择题(1) 2 sin 8 xdx _______,2cos 7 xdx _______,x(2)limt sin tdt______;x)x 0ln(12x 22x dx _______;(3) 1曲线y x t(1的上凸区间是_______;(4)1t )dt(5) 1 cos2xdx _______;设是连续函数，且，则： f ( x) ______;1x(1x 2005 )(e xe x )dx______; (7)1(8) lim1 x 1)dt _______;ln(1xx 1t定积分练习题一．计算下列定积分的值（ 1） 3 2252；（4） 22xdx ；(4x x )dx；（）( x 1) dx；（） ( x sin x)dx cos12132π111 x 2e2（ 5）2cos 2d(2x 3) dx ；dx ； 02 （6） 0 （7） 01 x 2 （ 8） edxx ln x；1e xe x 3 tan 2xdx91 4dx（9） 02dx ；（10） 0 （11） 4 ( xx)dx;（ 12） 0 1x ;e1(ln x) 2dx5x1dx;（13） 1x2cos xsin 2xdx; （15） 2 e sin xdx; （16）(x 2x 1) 3 / 2e （14） 02cos x1dxsin 2 xdx;（18）e x;（17） 0 1e x三．利用定积分求极限（ 1）lim nn 1 1 1 ;(n 1) 2( n 2) 2(n n) 2（ 2）limn(2121 12 );nn 1 ( n2)2n定积分练习题一、填空题：如果在区间 [a, b] 上 ,b1. f ( x) 1,则 f (x)dx.a2.1(2x 3)dx.3. 设 f ( x)x2dt ,则 f ( x). sin t4. 设 f ( x)1e t 2 dt ,则f (x).cosx5.2cos 5 x sin xdx6.2 sin 2n 1 xdx.27.13 dx.1x338. 比较大小 ,x 2dxx 3dx .119. 由曲线 y sin x 与 x 轴 ,在区间 [0, ] 上所围成的曲边梯形的面积为.10. 曲线 yx 2 在区间 [0,1] 上的弧长为.二、选择题：31. 设函数 f(x) 仅在区间 [0， 4]上可积，则必有f (x)dx =[]2f ( x)dx313f ( x)dxA ．0 f ( x)dxB ．f (x)dx215310 3f (x)dxC ． f (x)dxf (x)dxD ．f ( x) dx510122.设 I 1 = xdx ， I 2 =x 2 dx ，则 []1A ． I 1I 2B ． I 1 I 2C ． I 1I 2D ． I 1I 2yx 32) dt 则dyx0 3. 0 (t1) (tdxA ． 2B ． -2C ． 0D ． 1a3x)dx2, 则 a 4.x(2A ．2B ． -1C ． 0D ． 15. 设 f （ x ） =2( x 0) 则f (x)dx =[ ]x1x(x0)1A ． 21xdxB ． 2 x 2 dx11x 2dx +xdx1C ． 1D ． xdxx 2dx1x sin t 2dt 6. limx 2x 011C ． 0D ． 1A ．B ．23xet7.F ( x)costdt, 则 F (x) 在 [0, ]上有()(A)F ( ) 为极大值 , F (0) 为最小值F ( ) 为极大值 ,但无最小值2 2 (B)F ( ) 为极小值 ,但无极大值 F ( ) 为最小值 , F (0) 为最大值22x 22x3 ，则 f (2)9. 设 f ( x) 是区间 a,b 上的连续函数，且f (t)dt （）1(A) 2 (B) -211(C)(D)441ln(1 x)10. 定积分1x 2dx =（）（ A ）1（ B ） 2（）ln 2（） ln 2CD811. 定积分4tan 2 x=（）4 1 e xdx（ A ）1（ B ）124 2（ C ）1 2（ D ）1413. 设函数 fR[ a, b] ，则极限 limf ( x) | sin nx | dx 等于（）n（ A ）2 f (x)dx（ B ） 2f (x)dx1（ C ）f ( x)dx（ D ）不存在x x 2x14. 设 f (x) 为连续函数，且满足x)dte1，则 f (x)f (t（）。

2（ A ）x e x（ B ） x e x（ C ） x e x（ D ） x e x15. fC [ a , b) ， F ( x)xx1dt ，则 F ( x) 0 设正定函数 f (t) dtf ( x)在ab( a , b) 内根的个数为( )（A ）0（ B ）1（C ）2（D ）3三．计算题：1. dx21 t 2dt2. 2sin xdxdx(x t2 dt ) 21 dxe3.4. lim2x2x0 te 2t dt4 x5. a 1 dx (a 0)6.4 dxx 2 a 21xx1t21xdx2dt 7.te8.e。