专题13【补充】巧用简谐运动中的对称性问题

简谐运动与弹簧问题
你需要知道并且熟记在心的几个点： 时间的对称性
加速度的对称性 合外力的对称性
速度对称性 能量对称性 1. 巧用时间的对称性 例1. 如图1所示，一质点在平衡位置O点两侧做简谐运动，在它从平衡 位置O出发向最大位移A处运动过程中经0.15s第一次通过M点，再经0.1s 第2次通过M点。则此后还要经多长时间第3次通过M点，该质点振动的频 率为多大？
。由加速度的对称性可知弹簧压缩时最大加速度也为
，所以轻弹簧的最大压缩量应满足关系式
，即得
。 3. 巧用速度的对称性 例5. 如图5所示是一水平弹簧振子在5s内的振动图象。从图象中分析， 在给定的时间内，以0.5s为起点的哪段时间内，弹力所做的功为零。
图5 解析：由速度的对称性可知，图5中与0.5s具有相同速率的时刻为 1.5s、2.5s、3.5s、4.5s。结合动能定理可知，从0.5s到以上时刻所对 应的时间内弹力所做的功均为零。 4. 巧用回复力的对称性 例6. 如图6所示，在质量为M的无下底的木箱顶部用一轻弹簧悬挂质量 均为
M
m
A．新振子的最大速度比原振子的最大速度小 B．新振子的最大动能比原振子的最大动能小 C．新振子的振动周期比原振子的振动周期大 D．新振子的振幅比原振子的振幅小 解析：滑块振动到最大位移处加放木块，相当于增大滑块质量后从
最大位移处由静止释放，振动过程中总能量不变，振动过程中仍能恰好
到达该位置，即振幅不变，振子的最大弹性势能不变．由简谐运动中机
图4 解析：从简谐运动的角度看，木板B和物块P的总重力与弹簧弹力的合力 充当回复力，即
；从简单连接体的角度看，系统受到的合外力产生了系统的加速度a， 即
，由以上两式可解为
。当P和B在平衡位置下方时，系统处于超重状态，P不可能和B分离，因 此P和B分离的位置一定在上方最大位移处，且P和B一起运动的最大加速 度
图9-1 图9-2 A. 物体的动能为1J； B. 物块的重力势能为1.08J C. 弹簧的弹性势能为0.08J D. 物块的动能与重力势能之和为2.16J 解析：由题设条件画出示意图9－2，物体距地面26cm时的位置O即为物 体做简谐运动的平衡位置。根据动能的对称性可知，物体距地面22cm时 A”位置的动能与距地面30cm时A位置的动能相等。因此只需求出物体自 由下落到刚接触弹簧时的动能即可。由机械能守恒定律得
可知，在原来的基础上弹簧再伸长一个振幅A就可恢复到原长，所以欲 使物体不离开弹簧，其振幅不能超过2A。 例8. 如图8，用质量不计的弹簧把质量为3m的木板A与质量为m的木板B
连接组成如图所示的装置，B板置于水平地面上，现用一竖直向下的力F 向下压木板A，撤消F后，B板恰好被提离地面，由此可知力F的大小是 （）
负电，在振动过程中当弹簧压缩到最短时，突然加上一个沿水平向左的
恒定的匀强电场，此后……………（ ）
；再对物体B进行受力分析，B恰好被提离地面可得：
，所以力F的大小为4mg。选项B正确。 5. 巧用能量的对称性 例9. 如图9－1，原长为30cm的轻弹簧竖立于地面，下端固定于地面， 质量为m＝0.1kg的物体放到弹簧顶部，物体静止，平衡时弹簧长为 26cm。如果物体从距地面130cm处自由下落到弹簧上，当物体压缩弹簧 到距地面22cm时（不计空气阻力，取g＝10m/s2）有：
图2 解析：小球和弹簧接触后做简谐运动，如图2所示，点B为弹簧为原长时 端点的位置。小球的重力与弹簧的弹力的大小相等的位置O为平衡位 置。点A为弹簧被压缩至最低点的位置（也就是小球做简谐振动的最大 位移处），点A”为与A对称的位移（也是最大位移处）。由对称性可 知，小球在点A和点A”的加速度的大小相等，设为a，小球在点B的加速 度为g，由图点B在点A”和点O之间，所以
的A、B两物块，箱子放在水平地面上，平衡后剪断A、B间细线，此后A 将做简谐运动。当A运动到最高点时，木箱对地面的压力为来自）图6 A. Mg B.
C.
D.
解析：剪断细线后的瞬间，弹簧对A的弹力为
，所以A受到向上的合外力（回复力）为mg。当A运动到上方最大位移处 时，由于简谐运动的回复力的对称性，A将受到竖直向下的合外力（回 复力），其大小仍为mg，也就是说，此时弹簧中没有弹力，所以木箱对 地面的压力为Mg。选项A正确。 例7. 如图7所示，质量为m的木块放在弹簧上端，在竖直方向上做简谐 运动，当振幅为A时，物体对弹簧的压力的最大值是物体重力的1.5倍， 则物体对弹簧的最小压力是______________；欲使物体在弹簧振动中不 离开弹簧，其振幅不能超过______________。
图8 A. 7mg B. 4mg C. 3mg D. 2mg 解析：没撤去力F时，物体A静止，所受合力为零，把力F撤去，物体A受 合力大小为F，方向向上，开始向上振动，所以最大回复力为F，根据力 大小的对称性，A振动到最高点时，回复力大小也为F，对物体A在最高 点进行受力分析：重力3mg和弹簧的弹力F”，合力为F。即
大小相等，方向相反，但经过的时间不是，可见选项B错．
B O D C 图1
由于振子的运动具有周期性，显然加速度也是如此，选项C正确．
对于选项D，振子由B经过O运动到C时，经过的时间为，但在B、C
两处弹簧长度不等，选项D错．正确答案选C．
解法二：本题也可利用弹簧振子做简谐运动的图象来解．如图2所
示，图中A点与B、E、F、I等点的振动位移大小相等，方向相同．由图
。物体从A到A”的过程中弹性势能的增加为
，所以选项A、C正确。 可见，熟练掌握并准确应用简谐运动的对称性，能使解题有理有据，简 捷明了，达到事半功倍的效果。
弹簧振子的运动具有周期性和对称性，因而很容易想到在振动过程 中一些物理量的大小相等，方向相同，是周期性出现的；而经过半个周 期后一些物理量则是大小相等，方向相反．但是上面想法的逆命题是否 成立的条件是：①此弹簧振子的回复力和位移符合（x指离开平衡位置 的位移）；②选择开始计时的位置是振子的平衡位置或左、右最大位移 处，若开始计时不是选择在这些位置，则结果就显而易见是不成立的．
衡位置在原长右边，当qE＝kx0（设此时弹簧伸长x0）时，此时球的速度 最大，故①错．弹簧原长时速度为0，故振幅＝，②正确．由简谐运动
的对称性可知，弹簧最大伸长量为2x0，又由于电场力做功，所以机械 能不守恒，③错．由动能定理，，故④正确．
例5 如图所示，在光滑的水平面上，有一绝缘的弹簧振子，小球带
械能守恒，故振子的最大动能不变，但最大速度变小（因振子质量变大
了），可见选项A对BD错；又由周期随振子质量增大而增大，故知选
项C正确．
注：若改为“当滑块运动到平衡位置时，在滑块上轻轻放上一木块组成新振子”，那由于碰 撞使总机械能减小．
例4 一根用绝缘材料制成的轻弹簧，劲度系数为k，一端固定，另一
端与质量为m、带正电荷、电量为q的小球相连，静止在光滑绝缘水平
可见，A点与E、I等点对应的时刻差为T或T的整数倍；A点与B、F等点
对应的时刻差不为T或T的整数倍，因此选项A不正确．用同样的方法很
容易判断出选项B、D也不正确．故只有选项C正确．
A 图2 B E F
I t C D G H O s
说明：比较两时刻的振动情况或根据两时刻的振动情况确定两时刻间的时间间隔跟周期的 关系时，借助振动图象可以较方便而准确地作出判断．
D．若Δt＝，则在t时刻和（t＋Δt）时刻弹簧的长度一定相等
解法一：如图1为一个弹簧振子的示意图，O为平衡位置，B、C为两
侧最大位移处，D是C、O间任意位置．
对于A选项，当振子由D运动到B再回到D，振子两次在D处位移大
小、方向都相同，所经历的时间显然不为T，A选项错．
对于B选项，当振子由D运动到B再回到D，振子两次在D处运动速度
二、利用弹簧振子作简谐运动过程中的位移、能量变化特征来巧解 题
例2 物体A与滑块B一起在光滑水平面上做简谐振动，如图所 示，A、B之间无相对滑动，已知轻质弹簧的劲度系数k，A、B的质量分 别m和M，则A、B（看成一个振子）的回复力由 提供，回复力跟位移 的比为 ，物体A的回复力由 提供，其回复力跟位移的比为 ，若A、B之间的静摩擦因数为μ，则A、B间无相对滑动的最大振幅为 ．
在这里就水平弹簧振子和竖直弹簧在作简谐运动过程中应用其特征 谈一谈解题技巧，把复杂的问题变简单化，从而消除学生的一种碰到弹 簧问题就无从入手的一种恐惧心理．
一、弹簧振子及解题方法 在判断弹簧振子的运动时间，运动速度及加速度等一些物理量时所 取的起始位置很重要，在解题方法上除了应用其规律和周期性外，运用 图象法解，会使问题更简单化． 例1 一弹簧振子做简谐运动，周期为T，则正确的说法 是………………………………………（ ） A．若t时刻和（t＋Δt）时刻振子运动位移的大小相等，方向相同， 则Δt一定等于T的整数倍 B．若t时刻和（t＋Δt）时刻振子运动速度大小相等，方向相反，则 Δt一定等于的整数倍 C．若Δt＝T，则在t时刻和（t＋Δt）时刻振子运动的加速度一度相 等
面上，当施加水平向右的匀强电场E后，（如图所示）小球开始做简谐
运动，关于小球的运动有如下说法，正确的是
E
①球的速度为零时，弹簧伸长qE/k；
（填序号）．
②球做简谐运动的振幅为qE/k；
③运动过程中，小球的机械能守恒；
④运动过程中，小球动能改变量、弹性势能改变量、电势能改变量
的代数和为零．
解析：由水平面光滑施加水平向右的匀强电场E，而q带正电，故平
。 例3. 如图3所示，质量为m的物体放在质量为M的平台上，随平台在竖直 方向上做简谐运动，振幅为A，运动到最高点时，物体m对平台的压力恰 好为零，当m运动到最低点时，求m的加速度。
图3 解析：我们容易证明，物体m在竖直平面内做简谐运动，由小球运动到 最高点时对M的压力为零，即知道物体m在运动到最高点时的加速度为 g，由简谐运动的对称性知道，物体m运动到最低点时的加速度和最高点 的加速度大小相等，方向相反，故小球运动到最低点时的加速度大小为 g，方向竖直向上。 例4. 如图4所示，轻弹簧（劲度系数为k）的下端固定在地面上，其上 端和一质量为M的木板B相连接，在木板B上又放有一个质量为m的物块 P。当系统上下振动时，欲使P、B始终不分离，则轻弹簧的最大压缩量 为多大？