§4.3 费米能级与载流子浓度的计算.ppt
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§4.3 费米能级与载流子浓度的计算解析
n E F E Fi k B T ln ni p E F E Fi k B T ln ni
（4）
式中常用禁带中央能级来近似。所以杂质半导体的费 米能级可近似为 ND N A EF Ei k BT ln N型半导体 ni P型半导体
N A ND EF Ei k BT ln ni
同理可写出，p型半导体中当ni<<(NA- ND)时，载流子 浓度p和n为：
ni2 n N A ND
pN A N D
由于n型半导体与p型半导体电子的浓度分别为
n ni e
p ni e
( EF EFi ) / k BT
( EFi EF ) / k BT
因此费米能级为
故 即
(2)
( EC EV ) k BT
n N C NV e
2 i
ni ( N C NV ) e
1/ 2
E g 2 k BT
式中Eg=EC-EV 为禁带宽度。上式中ni对温 度的依赖关系主要取决于指数因子，从而 得到随着温度上升，本征载流子浓度将急 剧增加的结论。这里顺便指出，(2)式不仅 适用于本征半导体，事实上，只要是非简 并化的情形，即使存在杂质，(2)式仍然成 立，这是标志热平衡条件的一个重要的关 系式。
(2)．掺杂半导体 为明确起见，考虑n型半导体，施主浓度为ND。在室 温，我们可以认为杂质全部电离， ND+≈ND 。由电中 性条件得 n = p + ND+≈p + ND 结合（2）式消去n得 p(p + ND)=ni2 解得
1 2 p ( N D N D 4ni2 ) 2
（3）
p>0，上式中应取正号。代入（3）式得
费米能级在半导体中的作用课件
费米能级的调控技术及其应用前景
费米能级调控技术
研究和发展新的费米能级调控技术，如 电场、磁场、光场等手段对费米能级的 调控。
VS
费米能级调控的应用前景
探讨费米能级调控在能源、信息、生物等 领域的应用前景，如自旋电子学、拓扑电 子学等。
费米能级与载流子浓度的关系
01
费米能级的位置决定了载流子的 浓度。当费米能级接近价带时， 载流子为电子；当费米能级接近 导带时，载流子为空穴。
02
载流子浓度决定了半导体的导电 性能。在一定温度下，费米能级 的位置和载流子浓度可以通过掺 杂和温度调节来实现。
03
费米能级在半导体中的行为
费米能级与热平衡状态下的半导体
在正向偏置的PN结中，由于多数载流子的注入，费米能级会上移；而在 反向偏置下，费米能级会下移。
费米能级的变化会影响半导体的导电性能，进而影响半导体器件的性能。
费米能级与半导体器件性能的关系
费米能级的位置直接决定了半导体的 导电性能，进而影响半导体器件的性 能。
对于光伏器件，如太阳能电池，费米 能级的位置会影响光生载流子的产生 和分离效率，从而影响光伏转换效率。
费米能级的计算方法
根据费米分布函数和电子状态 密度函数，可以计算出费米能 级的位置。
费米能级的位置与温度、材料 种类、掺杂浓度等因素有关。
在半导体中，费米能级的位置 通常可以通过实验测量得到， 如通过霍尔效应、光电导等实 验方法。
费米能级与状态密度的关系
费米能级的位置与状态密度密切 相关，随着状态密度的变化，费
对于双极性器件，如晶体管，费米能 级的位置会影响载流子的浓度和电流 放大倍数，从而影响器件的放大性能。
因此，控制费米能级的位置是优化半 导体器件性能的关键因素之一。
费米能级
费米子可以是电子、质子、中子（自旋为半整数的粒子）。 费米能级描述了各个能级上电子分布的概率。
一、基本简介
固体物理和半导体物理在这方面的内容没有什么差别。原子核外的电子可以拥 有的能量当然可以高于费米能级，只不过具有这种能量的几率很小而已。这也 正是为什么本征半导体虽然电导很低，但也不是无穷小的原因。
对于p型半导体，因为价带中有较多的自由空穴（多数载流子），则Fermi能级EF在价带顶（EV） 之上、并必将靠近EV；这时，价带中越是靠近EF的的能级，就被空穴占据的几率越大；同时， 掺入受主的杂质浓度越高，Fermi能级就越靠近价带顶。
总之，凡是EF靠近导带底的半导体必将是电子导电为主的n型半导体，凡是EF靠近价带顶的半 导体必将是空穴导电为主的p型半导体。当然，如果EF处于禁带中央，即两种载流子分别占据 导带能级和价带能级的几率相等，则两种载流子的数量也就差不多相等，那么这就必然是本征 半导体，这时的Fermi能级特称为本征Fermi能级（用EFi表示，与禁带中央线Ei一致）。
四、Fermi能级与温度和掺杂的关系
四、Fermi能级与温度和掺杂的关系
④由于Fermi-Dirac分布函数是载流子体系处于热平衡状态下的一种统计分布规律。因此，也 只有在（热）平衡情况下才可采用此分布函数，并且也只有在这时Fermi能级才有意义。实际 上，Fermi能级本来就是热平衡电子系统的一个热力学函数——化学势。由于在热平衡状态下
三、Fermi能级的含义
整个系统具有统一的化学势，因此整个电子系统、即使是复杂的混合体系，在热平衡时也必将F以上的能级基本上是空着的（例如，导带就是如此，其中的自由电子很 少），EF以下的能级基本上是被电子填满了的（例如，价带就填满了价电子，其中的自由空穴 很少）；在EF以上、并越靠近EF（即E-EF越小）的能级，被电子所占据的几率就越大。对于n 型半导体，因为导带中有较多的电子（多数载流子），则Fermi能级EF必将靠近导带底（EC）； 同时，掺入施主杂质的浓度越高，Fermi能级就越靠近导带底。
一、基本简介
固体物理和半导体物理在这方面的内容没有什么差别。原子核外的电子可以拥 有的能量当然可以高于费米能级，只不过具有这种能量的几率很小而已。这也 正是为什么本征半导体虽然电导很低，但也不是无穷小的原因。
对于p型半导体，因为价带中有较多的自由空穴（多数载流子），则Fermi能级EF在价带顶（EV） 之上、并必将靠近EV；这时，价带中越是靠近EF的的能级，就被空穴占据的几率越大；同时， 掺入受主的杂质浓度越高，Fermi能级就越靠近价带顶。
总之，凡是EF靠近导带底的半导体必将是电子导电为主的n型半导体，凡是EF靠近价带顶的半 导体必将是空穴导电为主的p型半导体。当然，如果EF处于禁带中央，即两种载流子分别占据 导带能级和价带能级的几率相等，则两种载流子的数量也就差不多相等，那么这就必然是本征 半导体，这时的Fermi能级特称为本征Fermi能级（用EFi表示，与禁带中央线Ei一致）。
四、Fermi能级与温度和掺杂的关系
四、Fermi能级与温度和掺杂的关系
④由于Fermi-Dirac分布函数是载流子体系处于热平衡状态下的一种统计分布规律。因此，也 只有在（热）平衡情况下才可采用此分布函数，并且也只有在这时Fermi能级才有意义。实际 上，Fermi能级本来就是热平衡电子系统的一个热力学函数——化学势。由于在热平衡状态下
三、Fermi能级的含义
整个系统具有统一的化学势，因此整个电子系统、即使是复杂的混合体系，在热平衡时也必将F以上的能级基本上是空着的（例如，导带就是如此，其中的自由电子很 少），EF以下的能级基本上是被电子填满了的（例如，价带就填满了价电子，其中的自由空穴 很少）；在EF以上、并越靠近EF（即E-EF越小）的能级，被电子所占据的几率就越大。对于n 型半导体，因为导带中有较多的电子（多数载流子），则Fermi能级EF必将靠近导带底（EC）； 同时，掺入施主杂质的浓度越高，Fermi能级就越靠近导带底。
半导体中电子的费米统计分布 ppt课件
一般地：
1 f(E)e(EEF)/kBT 1
对导带中的电子，有： E -EF >Ec -EF >> kBT
则 f(E)e(EEF)/kBT
——导带中的电子接近经典玻耳兹曼分布 ——导带中每个能级上电子的平均占据数很小
一、 载流子的统计分布
(2)价带中空穴占据的几率——能级不被电子占据的几率
1f(E)1e(EEF)1/kBT1
(1) N型半导体导带中电子的数目
如果N型半导体主要含有一种施主，施主的能级: ED 施主的浓度: ND
足够低的温度下，载流子主要是从施主能级激发到导 带的电子, 导带中电子的数目是空的施主能级数目
nND[1f(E)]
1 f(E)e(EEF)/kBT 1
nND[1e(EF1ED)/kBT]
因为
nNe(EcEF)/kBT c
de允许的量子态按能量如何分布de2导带中电子的浓度2导带中电子的浓度二载流子浓度载流子浓度有效能级密度2导带中电子的浓度2导带中电子的浓度二载流子浓度载流子浓度2导带中电子的浓度2导带中电子的浓度二载流子浓度载流子浓度3价带中空穴的浓度3价带中空穴的浓度二载流子浓度载流子浓度得得单位体积中价带空穴数就是如同价带顶e个能级所应含有的空穴数价带顶附近有效能级密度的位置和载流子浓度很简单地把费米能级的位置和载流子浓度很简单地联系了起来4费米能级4费米能级二载流子浓度载流子浓度温度不变导带中电子越多空穴越少温度不变导带中电子越多空穴越少反之亦然二载流子浓度载流子浓度至此我们获得了载流子浓度随温度变化的一般规律
三、 杂质激发－掺杂半导体的载流子浓度
(1) N型半导体导带中电子浓度
1[14(ND)eEi ] /kBT 1/2
n
3费米能级与载流子浓度的计算
费米能级与载流子浓 度的关系是相互影响 的，费米能级的高低 会影响载流子浓度的 分布
在一定温度下，费 米能级的位置和载 流子浓度可以通过 计算得出
费米能级是描述电子在半导体材料 中分布的物理量
半导体材料的导电性能与费米能级 的位置密切相关
添加标题
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费米能级的位置受温度、掺杂等因 素影响
载流子浓度可以 通过掺杂等方式 进行控制
载流子浓度对半 导体器件的性能 有重要影响
定义：单位体积内某种载 流子的数目
计算公式：n=N/V
影响因素：费米能级、温 度、杂质浓度等
作用：决定半导体的导电 能力
费米能级是半导体 的能级，决定了载 流子的分布情况
载流子浓度是半导 体中自由电子和空 穴的数量，影响半 导体的导电性能
描述电子在固体材料中的行为 决定半导体的导电性能 与载流子浓度和温度有关 是计算电子分布和迁移的关键参数
定义：费米能级是指 电子占据的最高能级， 通常用于描述半导体 的电子状态。
计算方法：费米能级可 以通过能带计算或实验 测量得到，是半导体物 理中的一个重要参数。
应用：费米能级在半导 体器件性能分析和优化 中具有重要意义，如太 阳能电池、LED等。
通过调控费米能级，可以实现半导 体材料的导电性能调控
费米能级随温度升高而升高 载流子浓度随温度升高而增加 费米能级与载流子浓度的关系密切 温度对费米能级和载流子浓度的影响是相互关联的
确定费米能级 计算载流子浓度 实例分析 结果展示与讨论
计算结果与实验数据的对比 结果误差分析 结果对实际应用的指导意义 结果的推广与展望
XX,a click to unlimited possibilities
热平衡时的能带和载流子浓度讲义(ppt 23页)
2章 热平衡时的能带和载流子浓度
5
本征载流子浓度ni：本征半导体，导带中每单位体积的电子 数与价带中每单位体积的空穴数相同，即n=p=ni，ni称为本 征载流子浓度， 本征费米能级Ei：本征半导体的费米能级EF。
令 n N C e x p E C k T E F p N V e x p E F k T E V
图(d)中阴影区域面积为载流子浓度（上半部阴影区域面积相当
于电子浓度，下半部阴影区域面积则为空穴浓度）。
2章 热平衡时的能带和载流子浓度
4
经过数学推导可得，导带的电子浓度为
nNCexpECkTEF
其中，NC是导带中的有效态密度。
同理，价带中的空穴浓度为
pNVexpEFkTEV
其中，NV是价带中的有效态密度。 在室温下（300K），对硅而言NC、NV的数量级为1019cm-3，对 砷化镓则为1017～1018cm-3。
镓的ni为106cm-3量级。上图给出了硅及砷化镓的ni对于温度的
变化情形。禁带宽度越大，本征载流子浓度越小；温度越高，
本征载流子浓度越大。
2章 热平衡时的能带和载流子浓度
7
2.7 施主与受主
非本征半导体：当半导体被掺入杂质时，半导体变成非本征 的，而且引入杂质能级。
施主：一个硅原子被一个带有5个 价电子的砷原子所取代（或替补 ）。此砷原子与4个邻近硅原子形 成共价键，而其第5个电子有相当 小的束缚能，能在适当温度下被 电离成传导电子。通常说此电子 被施给了导带。砷原子因此被称 为施主。由于带负电载流子增加 ，硅变成n型半导体。
nni expEFkTEi
=ni
同理:
pni
exp
Ei EF kT
2章 热平衡时的能带和载流子浓度
半导体物理学课件4 半导体中载流子的统计分布
到区间的电子浓度，然后再
由导带底至导带顶积分就得
到了导带的电子浓度。
半导体中载流子 电子空穴的平衡分布
假设电子空穴有效质量相等，则EF位于禁带中线
半导体中载流子 n0 p0的方程
热平衡时的电子浓度n0 这里假设费米能级始终位于禁带中。
n0 gc E fF E dE
积分下限：Ec；积分上限：这里设为无穷大。
电子占据施主能级E D的几率f D
E
1
1
1
gD E
ED EF
e k0T
1
空穴占据受主能级E A的几率f A
E
1
1
1
gA E
EF EA
e k0T
2
gD E和gA E分别是施主和受主基态简并度
施主浓度:ND 受主浓度: NA
（1）杂质能级上未离化的载流子浓度nD和pA ：
施主能级上的电子浓度nD NDfD E 3
因此对导带或价带中所有量子态来说，电子或 空穴都可以用玻耳兹曼统计分布描述。
由于分布几率随能量呈指数衰减，因此导带绝 大部分电子分布在导带底附近，价带绝大部分 空穴分布在价带顶附近，即起作用的载流子都 在能带极值附近。
例：四个电子处于宽度为a=10埃的一维无 限深势阱中，假设质量为自由电子质量，求 T=0K时的费米能级.
导带中有效电子能态密度：
4
gc E
2mn* h3
32
E - Ec
价带中有效电子能态密度：
4
gv E
2m*p h3
32
Ev - E
3.2 统计力学
在一定温度下，半导体中的大量电子不停地 作无规则热运动，从一个电子来看，它所具 有的能量时大时小，经常变化。但是，从大 量电子的整体来看，在热平衡状态下，电子 按能量大小具有一定的统计分布规律性，即 电子在不同能量的量子态上统计分布几率是 一定的。
由导带底至导带顶积分就得
到了导带的电子浓度。
半导体中载流子 电子空穴的平衡分布
假设电子空穴有效质量相等，则EF位于禁带中线
半导体中载流子 n0 p0的方程
热平衡时的电子浓度n0 这里假设费米能级始终位于禁带中。
n0 gc E fF E dE
积分下限：Ec；积分上限：这里设为无穷大。
电子占据施主能级E D的几率f D
E
1
1
1
gD E
ED EF
e k0T
1
空穴占据受主能级E A的几率f A
E
1
1
1
gA E
EF EA
e k0T
2
gD E和gA E分别是施主和受主基态简并度
施主浓度:ND 受主浓度: NA
（1）杂质能级上未离化的载流子浓度nD和pA ：
施主能级上的电子浓度nD NDfD E 3
因此对导带或价带中所有量子态来说，电子或 空穴都可以用玻耳兹曼统计分布描述。
由于分布几率随能量呈指数衰减，因此导带绝 大部分电子分布在导带底附近，价带绝大部分 空穴分布在价带顶附近，即起作用的载流子都 在能带极值附近。
例：四个电子处于宽度为a=10埃的一维无 限深势阱中，假设质量为自由电子质量，求 T=0K时的费米能级.
导带中有效电子能态密度：
4
gc E
2mn* h3
32
E - Ec
价带中有效电子能态密度：
4
gv E
2m*p h3
32
Ev - E
3.2 统计力学
在一定温度下，半导体中的大量电子不停地 作无规则热运动，从一个电子来看，它所具 有的能量时大时小，经常变化。但是，从大 量电子的整体来看，在热平衡状态下，电子 按能量大小具有一定的统计分布规律性，即 电子在不同能量的量子态上统计分布几率是 一定的。
费米能级表
费米能级表什么是费米能级？费米能级是固体物理学中一个重要的概念，它描述了在零温下填充电子的最高能级。
费米能级得名于意大利物理学家恩里科·费米（Enrico Fermi），他于1926年提出了这个概念。
在原子中，电子的运动遵循量子力学的规律。
根据泡利不相容原理，每个轨道最多只能容纳两个电子，且这两个电子的自旋方向必须相反。
当所有低能态的轨道都被填满后，剩余的高能态轨道将会留空。
费米能级就是这些填充和留空之间的分界线。
在绝对零度（-273.15℃）下，所有低于费米能级的能态都被填充满了电子，而高于费米能级的能态则没有电子占据。
费米-狄拉克统计费米-狄拉克统计是描述自旋为半整数粒子行为的统计方法。
根据这一统计方法，在绝对零度下，每个粒子只能占据一个量子态，并且不同粒子不能同时占据同一个量子态。
费米-狄拉克统计的重要性在于它解释了为什么电子在原子中能够遵循泡利不相容原理。
根据这个统计方法，当温度接近绝对零度时，电子将填充低能态轨道，直到费米能级上的能态被填满。
费米能级表的作用费米能级表是一种将费米能级与材料中电子状态相关联的工具。
它可以帮助我们理解固体材料中电子行为的特性，并预测材料的导电性、磁性等性质。
通过费米能级表，我们可以知道一个材料中费米能级的位置。
如果费米能级位于某个带隙内，那么该材料将是一个绝缘体或半导体；如果费米能级位于某个带隙上，则该材料可能是一个金属。
此外，费米能级表还可以用来计算材料的载流子浓度和电导率等参数。
这些参数对于理解和设计各种器件、开发新型材料以及优化现有材料至关重要。
如何绘制费米能级表绘制费米能级表需要获得关于材料中电子状态的信息。
通常情况下，这些信息可以通过实验或计算得到。
首先，我们需要知道材料的能带结构。
能带结构描述了材料中电子的允许能量范围。
一般来说，能带分为价带和导带，其中价带中的能态被填充满了电子，而导带中的能态则留空。
接下来，我们需要确定费米能级的位置。
半导体物理课件杂质半导体的载流子浓度
施主杂质全部电离后
n0 ND
室温下施主杂质全部电离时杂质浓度的上
限
nD
2ND
exp( ED EF k0T
)
2
N
D
p
(ED k0T
)
令 则
D
(2ND Nc
) exp(ED k0T
)
nD D ND
可以看出：D 表示未电离施主占施主杂质数 的百分比，取决于温度、电离能与杂质浓 度。杂质浓度越高，达到全部电离的温度 越高 。
重要的知识点
电中性条件 掺杂半导体的载流子浓度与温度的关系 费米能级与掺杂浓度、温度的关系
n型半导体
pn0
ni2 ND
p型半导体
np0
ni2 NA
小结：非简并半导体热平衡时的载流子浓度
n0
Nc
exp
Ec kT
EF
玻尔兹曼近似成立
p0
Nv
exp
EF Ev k0T
n0
ni
exp(
Ei EF k0T
)
p0
ni
exp(Ei EF k0T
)
常温下完全电离的非简并半导体：n0=ND（n型半导体）， p0=NA（p型半导体）
0T
ln
(
ND Nc
)
不同掺杂浓度、不同温度下费米能 级的变化趋势
掺杂浓度一定，T=0K时，n（p）型半导体 费米能级位于导带底（价带顶）和施主 （受主）能级中央，随温度升高，费米能 级先上升（下降）后下降（上升）直至禁 带中央。
T一定时，随施主（受主）浓度增加，费米 能级向导带底（价带顶）靠近。
3.4杂质半导体的载流子浓度
分析问题思路
一、杂质能级上的电子和空穴
费米能级ppt课件
在非绝对零度时，电子可以占据高于EF的若干能级，则这时Fermi能级将是占据几率等于50%的 能级。处于Fermi能级附近的电子（常称为传导电子）对固体的输运性质起着重要的作用。
4
三、Fermi能级的含义
作为Fermi-Dirac分布函数中一个重要参量的Fermi能级EF，具有决定整个系统能量以及载流子 分布的重要作用。
费米能级在半导体物理中是个很重要的物理参数，只要知道了它的数值，在一 定温度下，电子在各量子态上的统计分布就完全确定了。它和温度、半导体材 料的导电类型、杂质的含量以及能量零点的选取有关。
3二、Fermຫໍສະໝຸດ 能级的概念在固体物理学中，Fermi能量(Fermi energy)是表示在无相互作用的Fermi粒子的体系中加入一 个粒子所引起的基态能量的最小可能增量；也就是在绝对零度时，处于基态的Fermi粒子体系 的化学势，或者是处于基态的单个Fermi粒子所具有的最大能量——Fermi粒子所占据的最高能 级的能量。另一方面，按照Fermi-Dirac统计，在能量为E的单电子量子态上的平均电子数为：
费米子可以是电子、质子、中子（自旋为半整数的粒子）。 费米能级描述了各个能级上电子分布的概率。
2
一、基本简介
固体物理和半导体物理在这方面的内容没有什么差别。原子核外的电子可以拥 有的能量当然可以高于费米能级，只不过具有这种能量的几率很小而已。这也 正是为什么本征半导体虽然电导很低，但也不是无穷小的原因。
hh
式中的h是Dirac常数，m是自由电子的质量。因此，金属中的Fermi能级也就是导带中自由电 子填充的最高能级。pF=kF称为Fermi动量，vF=kF/m称为Fermi速度。一般，金属的Fermi能量 约为1.5～15eV。
对于绝缘体和半导体，Fermi能级则处于禁带中间。特别是本征半导体和绝缘体，因为它们的 的价带是填满了价电子（占据几率为100%）、导带是完全空着的（占据几率为0%），则它们的 Fermi能级正好位于禁带中央（占据几率为50%）。即使温度升高时，本征激发而产生出了电子 -空穴对，但由于导带中增加的电子数等于价带中减少的电子数，则禁带中央的能级仍然是占
4
三、Fermi能级的含义
作为Fermi-Dirac分布函数中一个重要参量的Fermi能级EF，具有决定整个系统能量以及载流子 分布的重要作用。
费米能级在半导体物理中是个很重要的物理参数，只要知道了它的数值，在一 定温度下，电子在各量子态上的统计分布就完全确定了。它和温度、半导体材 料的导电类型、杂质的含量以及能量零点的选取有关。
3二、Fermຫໍສະໝຸດ 能级的概念在固体物理学中，Fermi能量(Fermi energy)是表示在无相互作用的Fermi粒子的体系中加入一 个粒子所引起的基态能量的最小可能增量；也就是在绝对零度时，处于基态的Fermi粒子体系 的化学势，或者是处于基态的单个Fermi粒子所具有的最大能量——Fermi粒子所占据的最高能 级的能量。另一方面，按照Fermi-Dirac统计，在能量为E的单电子量子态上的平均电子数为：
费米子可以是电子、质子、中子（自旋为半整数的粒子）。 费米能级描述了各个能级上电子分布的概率。
2
一、基本简介
固体物理和半导体物理在这方面的内容没有什么差别。原子核外的电子可以拥 有的能量当然可以高于费米能级，只不过具有这种能量的几率很小而已。这也 正是为什么本征半导体虽然电导很低，但也不是无穷小的原因。
hh
式中的h是Dirac常数，m是自由电子的质量。因此，金属中的Fermi能级也就是导带中自由电 子填充的最高能级。pF=kF称为Fermi动量，vF=kF/m称为Fermi速度。一般，金属的Fermi能量 约为1.5～15eV。
对于绝缘体和半导体，Fermi能级则处于禁带中间。特别是本征半导体和绝缘体，因为它们的 的价带是填满了价电子（占据几率为100%）、导带是完全空着的（占据几率为0%），则它们的 Fermi能级正好位于禁带中央（占据几率为50%）。即使温度升高时，本征激发而产生出了电子 -空穴对，但由于导带中增加的电子数等于价带中减少的电子数，则禁带中央的能级仍然是占
费米能级_精品文档
费米能级费米能级是描述多粒子量子系统中电子状态的一个重要概念。
它以物理学家恩里科·费米（Enrico Fermi）的名字命名，用于描述一种特殊的情况：在低温条件下，填充着电子的能级。
能级和电子状态在量子力学中，能级是一个离散的能量值，表示系统中的粒子可以具有的不同能量。
在一个多电子系统中，如原子或固体，每个电子都占据着不同的能级。
电子状态则指的是一个电子所处的能级以及该能级上的其他特征，如自旋、动量等。
根据泡利不相容原理，每个能级上只能存在两个电子，且它们的自旋必须相反。
费米-狄拉克分布函数费米能级的概念可以通过费米-狄拉克分布函数来描述。
费米-狄拉克分布函数给出了在给定温度下，能级上电子的填充情况。
费米-狄拉克分布函数的表达式如下：$$f(E) = \\frac{1}{e^{\\frac{E-E_f}{kT}} + 1}$$其中，f(E)表示能级上的电子填充情况，E表示能级的能量，E f是费米能级，k是玻尔兹曼常数，T是温度。
当能级的能量小于费米能级时，费米-狄拉克分布函数接近于1，表示该能级上已经被占据。
当能级的能量大于费米能级时，费米-狄拉克分布函数接近于0，表示该能级上未被占据。
费米-狄拉克分布函数的物理意义在于描述了电子在低温下如何填充能级。
由于费米-狄拉克分布函数的特性，低温情况下费米能级以下的能级通常被填充满，而费米能级以上的能级则基本为空。
费米能级和导电性费米能级的概念在电子输运理论中有着重要的应用。
在固体中，费米能级决定了材料的导电性质。
在金属中，费米能级位于传导带与价带之间，且占据电子的能级数量相对较少。
这使得金属中的电子能够在外加电场的作用下自由的移动，导致金属具有良好的导电性。
相比之下，在绝缘体中，费米能级处于带隙中，且带隙较大，导致费米能级以下的能级均被填满，费米能级以上的能级均为空。
在这种情况下，绝缘体中的电子无法自由移动，导致绝缘体不导电。
在半导体中，费米能级的位置可以通过掺杂来调节。
固体电子学 第四章 半导体中的载流子
Ge和Si的晶体结构与金刚石相似。每个原子的最近邻有四 个原子，组成正四面体最外层有四个价电子，恰好与最近邻 原子形成四个共价键。
n 型半导体
Si Si Si Si Si
Si Si P
空带
ED：施主电离能
施主能级 Eg
满带
掺入施主杂质后，半导体中电子浓度增加，n>p，半导体的导电性 以电子导电为主，故称为N型半导体。施主杂质又被称为N型杂质。
第四章 半导体中的载流子
计算机、数码相机、手机等 公交卡、银行卡、电话卡等
热敏器件、太阳能电池、激光器、各 种照明器件、显示器件、图像器件等
二极管、三极管等基本电子器件
半导体材料（Si、Ge）
§4.1 本征半导体与杂质半导体
• 极低温下，半导体能带为全 满或全空。 • 室温下，少量电子跃迁，导 电。
在绝对零度时： E<EF时，f(E)=1； E>EF时，f(E)=0； E=EF时，f(E)发生突变。 在温度很低时：
表示在费米能级，被电子填充的几 率和不被电子填充的几率是相等的。
波尔兹曼（Boltzmann）分布函数
当E-EF》kBT时,
EEF
e kB0T 1
所以 fF (E)
1 e EEF
提供给电子大于禁带宽度能量的任何物理作用都会引起电 子跃迁。
n代表导带电子浓度；p代表价带空穴浓度。
对于本征激发满足： n=p
价带顶附近的电子热激发到导带底所需的能量最低，因此 这是最易发生的本征激发过程。
认为导带中的电子处在导带底附近，价带中的空穴处在价 带顶附近。
4.1.2 杂质半导体
•向导带提供电子的杂质称为施主； •能接受电子并向价带提供空穴的杂质称为受主； •含有杂质原子的半导体称为杂质半导体； •由于掺杂引起禁带中出现的能级，称为杂质能级；
n 型半导体
Si Si Si Si Si
Si Si P
空带
ED：施主电离能
施主能级 Eg
满带
掺入施主杂质后，半导体中电子浓度增加，n>p，半导体的导电性 以电子导电为主，故称为N型半导体。施主杂质又被称为N型杂质。
第四章 半导体中的载流子
计算机、数码相机、手机等 公交卡、银行卡、电话卡等
热敏器件、太阳能电池、激光器、各 种照明器件、显示器件、图像器件等
二极管、三极管等基本电子器件
半导体材料（Si、Ge）
§4.1 本征半导体与杂质半导体
• 极低温下，半导体能带为全 满或全空。 • 室温下，少量电子跃迁，导 电。
在绝对零度时： E<EF时，f(E)=1； E>EF时，f(E)=0； E=EF时，f(E)发生突变。 在温度很低时：
表示在费米能级，被电子填充的几 率和不被电子填充的几率是相等的。
波尔兹曼（Boltzmann）分布函数
当E-EF》kBT时,
EEF
e kB0T 1
所以 fF (E)
1 e EEF
提供给电子大于禁带宽度能量的任何物理作用都会引起电 子跃迁。
n代表导带电子浓度；p代表价带空穴浓度。
对于本征激发满足： n=p
价带顶附近的电子热激发到导带底所需的能量最低，因此 这是最易发生的本征激发过程。
认为导带中的电子处在导带底附近，价带中的空穴处在价 带顶附近。
4.1.2 杂质半导体
•向导带提供电子的杂质称为施主； •能接受电子并向价带提供空穴的杂质称为受主； •含有杂质原子的半导体称为杂质半导体； •由于掺杂引起禁带中出现的能级，称为杂质能级；
二维材料 载流子浓度计算
二维材料载流子浓度计算二维材料指平面上仅有两个原子层的材料，如石墨烯和二硫化钼。
由于其特殊的结构与性质，其在电子学、能源、光学、传感等领域拥有广泛的应用。
在研究二维材料性质时，载流子浓度是一个重要的参数。
本文将介绍如何计算二维材料的载流子浓度。
第一步：求解费米能级费米能级是指能量为Ef的电子在物质中占据概率等于1/2的能级。
在确定载流子浓度之前，首先需要求解费米能级。
方法有多种，其中一种常用的是通过电子浓度计算。
n=k^2/π式中n为电子浓度，k为矢量波数，π为圆周率。
由于二维材料上的电子是在平面内运动的，因此只需考虑kx和ky两个方向上的波数。
得到电子浓度后，我们可以通过给定的色散关系计算能量E(k)，然后使用二分法或牛顿法等数值方法来求解费米能级Ef。
在实际计算中，可以使用如下公式：E(k) = ħ²k²/2m*式中m*为有效质量，ħ为普朗克常数除以2π。
第二步：计算载流子浓度在确定了费米能级Ef后，我们可以使用下面的公式计算载流子浓度：n=C*(T^3/2)*exp(-Ef/kT)式中C为常数，T为温度，k为玻尔兹曼常数，exp为指数函数。
需要注意的是，上述公式计算的是所有载流子（包括电子和空穴）的浓度。
由于二维材料是一个绝缘体或半导体材料，因此在低温下载流子仅来自掺杂或缺陷，而在高温下还会出现电子-空穴对。
第三步：考虑缺陷由于二维材料中存在缺陷，如氧化、掺杂等，因此实际载流子浓度可能与预测值有所偏差。
为了准确计算真实的载流子浓度，需要考虑所有可能引起偏差的缺陷。
一般来说，缺陷可以分为两类：杂质缺陷和位错缺陷。
杂质缺陷是指在原子晶格中出现了错误的原子，如掺杂杂质或边界缺陷。
位错缺陷则是指晶体内部的错位，从而导致晶格缺陷和应力集中等问题。
综上所述，计算二维材料的载流子浓度需要首先求解费米能级，然后根据公式计算载流子浓度，并考虑缺陷对浓度的影响。
该方法可以帮助研究人员更好地了解二维材料的性质和应用前景。
高二物理竞赛载流子的统计分布PPT(课件)2
第三章 载流子的统计分布
1. 状态密度
杂质能级与能带中的能级有无区别？
2. 载流子的统计分布与费米能级 施主杂质能级或者被一个有任一自旋方向的电子所占据，或者不接受电子，不允许同时被自旋方向相反的两个电子所占据。
施主能级上的电子浓度nD为： 电子占据施主能级的概率：
3. 本征半导体的费米能级和载流子浓度 （既适用于本征半导体，也适用于非简并的杂质半导体）
22k0T
3 2
h3
mp*
mn*
3 4
exp
Eg 2k0T
h、k0 的数值，电子质量m0
3
ni
4.82
1015
mp*mn* m02
4
T
3 2
exp
Eg 2k0T
设Eg随温度的变化为：Eg Eg 0 T 2 / (T )
3
ni
4.82 1015
mp* mn* mo2
4
T
3 2
exp
可 以 证 明
费米分布函数f E
1
1
exp
E EF k0T
电子占据施主能级的概率：fD
E
1
1 gD
1 exp
ED EF k0T
空穴占据受主能级的概率：fA 基态简并度：gD 2, gA 4
E
1
1 gA
1 exp
EF EA k0T
施主浓度ND和受主浓度NA就是杂质的量子态密度
T
2k0 (T
)
exp
Eg 0
2k0T
3/ 2
据此，作出 ln n T ~ 1/ T 关 非简并半导体处于热平衡状态的
从直线斜率可得T=0K时的禁带宽度Eg(0)=2k0×斜率 i
1. 状态密度
杂质能级与能带中的能级有无区别？
2. 载流子的统计分布与费米能级 施主杂质能级或者被一个有任一自旋方向的电子所占据，或者不接受电子，不允许同时被自旋方向相反的两个电子所占据。
施主能级上的电子浓度nD为： 电子占据施主能级的概率：
3. 本征半导体的费米能级和载流子浓度 （既适用于本征半导体，也适用于非简并的杂质半导体）
22k0T
3 2
h3
mp*
mn*
3 4
exp
Eg 2k0T
h、k0 的数值，电子质量m0
3
ni
4.82
1015
mp*mn* m02
4
T
3 2
exp
Eg 2k0T
设Eg随温度的变化为：Eg Eg 0 T 2 / (T )
3
ni
4.82 1015
mp* mn* mo2
4
T
3 2
exp
可 以 证 明
费米分布函数f E
1
1
exp
E EF k0T
电子占据施主能级的概率：fD
E
1
1 gD
1 exp
ED EF k0T
空穴占据受主能级的概率：fA 基态简并度：gD 2, gA 4
E
1
1 gA
1 exp
EF EA k0T
施主浓度ND和受主浓度NA就是杂质的量子态密度
T
2k0 (T
)
exp
Eg 0
2k0T
3/ 2
据此，作出 ln n T ~ 1/ T 关 非简并半导体处于热平衡状态的
从直线斜率可得T=0K时的禁带宽度Eg(0)=2k0×斜率 i
高二物理竞赛载流子的统计分布PPT(课件)
高能量的量子态
单个电子
能量时大时小，经常变化
大量电子
在热平衡状态下，电子按能量大 小具有一定的统计分布规律性
电子在不同能量的量子态 上统计分布概率是一定的 （动态平衡）
• 电子的费米分布函数
f (E)
1
E EF
1 e k0T
• 空穴的费米分布函数？
1 f (E)
1
EF E
1 e k0T
• 对于能量为E的一个量子态被一个电子占据的概
率 f (E)为
f (E)
1
E EF
1 e k0T
f (E)：电子的费米分布函数，它是描写热平衡状态下，电子
在允许的量子态上如何分布的一个统计分布函数。
费米能级
• EF 称为费米能级或费米能量
)T
–与温度、导电类型、杂质含量、能量零点选取等有 关
• 费米能级的确定： f (Ei ) N
i
• 处于热平衡状态的电子系统有统一的费米能级
费米分布函数
• 当–T若E0KE时，则 f (E) 1 f (E ) 1 电子的费米分布函数，它是描写热平衡状态下，电子在允许的量子态上如何分布的一个统计分布函数。
第三章 载流子的统计分布
1. 状态密度
一定温度下： 低能量的量子态
高能量的量子态
2. 载流子的统计分布与费米能级 能量E~(E+dE)之间的量子态数为
系综中增加一个粒子所需要的能量 能量时大时小，经常变化
3. 本征半导体的费米能级和载流子浓度 载流子的统计分布与费米能级
本征半导体的费米能级和载流子浓度 导带底附近的E～k关系：
载流子的统计分布与费米能级
与温度、导电类型、杂质含量、能量零点选取等有关
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费米能级与掺杂能级的关系
f (ED )
1
ED EF
1 e kBT
1
2
电子占据施主能级 上的概率
1
f (EA)
EA EF
1 e kBT
1
2
空穴占据受主 能级上的概率
结论
（1）n型半导体的费米能级在本征费米能级之上； （2）而p型半导体的费米能级在本征费米能级之下。 （3）费米能级与温度有关，当温度很高时，载流子主要
§4.3 费米能级与载流子浓度的计算
只要知道了费密能级EF ，原则上就可知道给定半导体 的载流子浓度。下面我们讨论如何决定半导体的费密能
级。块均匀半导体在空间任 何地方均应保持电中性的原理，应有
n +NAf(EA)=p+ND[1-f(ED)]
来源于本征激发，此时费米能级与本征费米能级很接近 ，都在能带中央附近。
例题
•设n型硅，掺施主浓 ， 度 ND 1.51014cm3 试分别计算温度在300K和500K时 电子和空穴的浓度和费米能级的位 置征载。流设ni 子温2.6浓度1度在014c分3m03别0K为和500nKi 时1.5的10本1和0cm3 。
为明确起见，考虑n型半导体，施主浓度为ND。在室 温，我们可以认为杂质全部电离，ND+≈ND。由电中 性条件得
n = p + ND+≈p + ND 结合（2）式消去n得
解得
p(p + ND)=ni2
p
1 2
(N D
N
2 D
4ni2
)
（3）
p>0，上式中应取正号。代入（3）式得
n
1 2
(ND
N
2 D
式中Eg=EC-EV 为禁带宽度。上式中ni对温 度的依赖关系主要取决于指数因子，从而 得到随着温度上升，本征载流子浓度将急 剧增加的结论。这里顺便指出，(2)式不仅 适用于本征半导体，事实上，只要是非简 并化的情形，即使存在杂质，(2)式仍然成 立，这是标志热平衡条件的一个重要的关 系式。
(2)．掺杂半导体
4ni2
)
通常本征载流子浓度数值较小，满足，此时n≈ND。
若n型半导体中同时掺有受主杂质，并设ND >>NA。如 前所述，一部分数量为NA的施主能级上的电子，从ED 跃迁至能量较低的受主能级EA，使施主及受主同时电 离，剩下浓度为ND-NA的电子则由热激发跃迁至导带， 成为载流子。上式改写成
n
1 2 {(ND
p ni e (EFi EF ) / kBT
因此费米能级为
EF
EFi
k BT ln
n ni
p EF EFi k BT ln ni
（4）
式中常用禁带中央能级来近似。所以杂质半导体的费 米能级可近似为
N型半导体
EF
Ei
kBT ln
ND NA ni
P型半导体
EF
Ei
kBT ln
NA ND ni
)3/ 2
一般mk和me具有相同的数量级，故常可将上式右边第 二项略去。即对本征半导体有
EFi≈Ei
上式表明，本征半导体的费密能级接近禁带中央。此时 我们可直接由n = p = ni, 得
ni2 = np
(2)
故
n N N e 2
( EC EV ) kBT
i
CV
即
ni (NC NV )1/ 2 eEg 2kBT
(1)
式中n为导带电子浓度，NAf(EA)为受主能级EA 上的电子 浓度，由于受主能级为电子占据时受主是荷负电的，上
式左边即为单位体积的半导体中的负电荷。至于上式右
边，p为价带空穴浓度；NDf(ED)为施主能级上的电子浓 度，故ND[1-f(ED)] 为电离施主浓度，因而方程右边为正 电荷浓度。
下面我们就几种具体情形作近似讨论。
(1)．本征半导体
此时(1)式成为 n =p ，即
N e N e (EC EF ) kBT C
( EF EV ) k BT V
由此可解得本征费米能级EF(改记为EFi)
E Fi
EC
EV 2
1 2 k BT ln
NV NC
令
Ei
1 2
(
EC
EV )
代表禁带中央能量，得
EFi
Ei
1 2
kBT
ln( mh me
NA)
[(ND
NA)2
4ni2 ]1/ 2}
当 ND NA ni 时，上式近似为 n ND NA
同理可写出，p型半导体中当ni<<(NA- ND)时，载流子 浓度p和n为：
pN A N D n ni2
N A N D
由于n型半导体与p型半导体电子的浓度分别为
n ni e (EF EFi ) / kBT