最新平板应力分析
平板载荷试验地基竖向附加应力和变形的数值分析和理论计算研究
平板载荷试验地基竖向附加应力和变形的数值分析和理论计算研究摘要：采用abaqus有限元软件开展了天然地基土平板载荷试验的数值分析，基于布辛奈斯克解进行了均布荷载下竖向附加应力理论计算，研究圆形和正方形均布荷载下的地基竖向附加应力、竖向变形的分布规律，结果表明：承压板采用圆形和正方形下的地基竖向附加应力和竖向变形结果十分接近，呈现出应力泡现象；各自的数值分析与理论计算结果也基本吻合，本文所建立的模型可为地基基础检测、设计等研究提供参考。
关键词：平板载荷试验竖向附加应力竖向变形数值分析理论计算引言：（在实际工程中，外荷载（建筑物荷载、车辆荷载、地震荷载等）会给地基带来一定的应力增量，这个应力增量也就是地基附加应力，也是引起地基变形的主要原因[1-2]。
当前，计算地基附加应力都是基于法国科学家布辛奈斯克（Boussinesq J）采用弹性理论计算出半无限空间弹性体表面上作用竖向集中力F，在弹性体内任意一点M的竖向应力解析解的基础上推导而来。
地基承载力是土力学的一个重要研究问题，同时也是设计时的一个重要参数。
平板载荷试验是常用的一种地基承载力的原位测试方法，它是指通过在一定尺寸的刚性承压板上，分级施加竖向垂直荷载，测定承压板下的地基土在各级荷载作用下的变形，从而根据荷载-变形曲线确定出地基土的承载力。
学者们提出了附加应力与基础底面的荷载分布、所求点的空间位置等有关，但目前的研究中，相应的有限元模拟较少，同时与理论计算的结果对比较少，本文将采用abaqus有限元软件模拟天然土地基平板载荷试验受到圆形和方形均布荷载作用[3]，研究其竖向附加应力及竖向变形分布规律，并验证了模型的正确性，加深了对竖向附加应力的理解，为类似的地基设计、检测研究等提供借鉴。
1竖向附加应力和竖向变形的数值分析：地基基础工程检测相关的规范[4]提到平板载荷试验中，承压板可采用圆形、正方形、矩形钢板或钢筋混凝土板，为比较同一尺寸不同形状的效果，本文对使用广泛的圆形和正方形板进行模拟分析。
平板孔口应力集中的ANSYS有限元分析喻光安
平板孔口应力集中的ANSYS 有限元分析一、开孔的应力集中和应力集中系数容器开孔后使承载截面减小，破坏了原有的应力分布，并产生应力集中，而且接管处容器壳体与接管形成不连续结构而产生边缘应力，这两种因素均使开孔或开孔接管部位的局部应力比壳体的薄膜应力大，这种现象称为开孔的应力集中。
常用应力集中系数t K 来描述接管处的应力集中特性。
未开孔时的名义应力为σ，开孔后按弹性方法计算出最大应力若为max σ，则弹性应力集中系数的定义为σσ/max t =K 。
下面以两向拉伸应力作用下的平板为例，利用ansys 有限元分析得出平板的受力情况，求出t K 的值，并与理论解作分析比较。
二、两向拉伸应力作用下平板的理论分析。
如图所示为无限平板受21σσ≥两向拉伸应力作用，由弹性力学的知识可得A 、B 两点的应力为213σσσ-=A ,12-3σσσ=B比较可得 1211max t -3σσσσσ==K 当σσσ==21时 2-31211max t ===σσσσσK 当σσ=1，σσ212=时 5.20.5-31max t ===σσσσσK三、建立模型。
设有中心带圆孔的长方形平板，板的厚度为0.05m ，圆孔的孔半径r=0.05m,材料的弹性模量E 为2e11，泊松比为0.3，板长度为30m ，宽度为230m ，m N /401=σ，m /202N =σ2σ 平板开小圆孔的应力集中取四分之一薄板，模型如下：对模型进行网格划分并施加荷载，并对圆孔周围的区域进行局部网格划分，划分后的模型。
，Ansys计算后的应力云图如下：由应力云图可知，圆孔处最大应力m N /27.100max =σ 验证公式当m /401N ==σσ，m N /20212==σσ时 50675.24027.1001max t ≈==σσK ，基本符合理论解2.5。
孔边导角对开孔方形平板应力集中问题的理论解分析
孔边导角对开孔方形平板应力集中问题的理论解分析摘要：开孔方形平板的应力集中是工程实践中常见的问题，对材料的强度和整体安全性造成较大的影响。
本文采用孔边导角的理论基础，对开孔方形平板的应力分布进行了详细的分析和解释。
通过求解平板的应力分布，明确了孔边导角对平板周边应力的影响规律，并提出了相应的解决方案。
关键词：孔边导角；开孔方形平板；应力分布；影响规律；解决方案一、引言开孔方形平板是工程实践中常见的结构，应用广泛，但由于其孔洞的存在，易产生应力集中，从而降低了整体结构的强度和安全性。
为了解决这个问题，需要对平板的应力分布进行深入的理论研究和分析，掌握其影响规律，提出相应的解决方案。
本文采用孔边导角的理论基础，对开孔方形平板的应力分布进行了详细的分析和解释。
通过求解平板的应力分布，明确了孔边导角对平板周边应力的影响规律，并提出了相应的解决方案。
二、理论分析1. 开孔方形平板的应力分布开孔方形平板的应力分布与材料、载荷以及孔洞形状等因素有关，本文主要考虑材料为线性弹性材料、载荷为集中荷载、孔洞形状为正方形的情况。
由于对称性的存在，平板中心的应力为零。
考虑一个面积为ΔS、中心距为r的小区域内的应力分布情况，如图1所示：图1 开孔方形平板的应力分布在平板上，受载区域内部的应力分布比较均匀，可以近似看作平面应力状态。
考虑在正方形孔洞周围选择一系列小矩形，如图2所示：图2 正方形孔洞周围选取的小矩形在小矩形Δx×Δy上受力情况如下：1）沿x方向受剪切应力τx：沿x方向受到的剪切应力τx在y向积分后得到：$τ_x=∫τ_x\d y=\frac{Q}{2b}(\frac{2a^2}{(y-x)^2+4a^2}-\frac{2a^2}{(y+x)^2+4a^2})$2）沿y方向受剪切应力τy，沿x方向受拉应力σx：通过类似的推导可得：$τ_y=∫τ_y\d x=\frac{Q}{2a}(\frac{2b^2}{(x-y)^2+4b^2}-\frac{2b^2}{(x+y)^2+4b^2})$$σ_x=∫σ_x\d y=\frac{Qx}{2I_b}(b^2-a^2)$其中，Q为集中荷载，a、b分别为孔洞长、宽的一半，Ix为相对于y轴的惯性矩。
板裂缝及挠度计算
板裂缝及挠度计算1.平板的应力分析平板的应力分析可以基于弹性力学的理论进行。
假设平板是均匀的、各向同性的，那么在不受外力作用时，平板内部的应力是各向均匀分布的。
根据弹性力学理论，在弹性范围内，平板内部的应力满足以下关系：σx=Ex*εx+νy*εyσy=νx*εx+Ey*εyτxy = Gxy * γxy其中，σx和σy为平板沿x和y方向的正应力，τxy为平板剪应力，εx和εy为平板的应变，Ex和Ey分别为平板沿x和y方向的杨氏模量，νx和νy为平板沿x和y方向的泊松比，Gxy为平板剪切模量，γxy为平板剪切应变。
2.材料性能参数材料性能参数是计算板裂缝及挠度的重要输入参数。
常用的材料性能参数有杨氏模量（Ex、Ey）、泊松比（νx、νy）和剪切模量（Gxy）等。
这些参数可以通过材料试验或文献资料获得。
3.荷载和边界条件的确定对于板裂缝及挠度计算，需要确定荷载情况和边界条件。
荷载包括集中力、均布力、分布力等。
边界条件包括固支、自由支座、边界固定、边界自由等。
荷载和边界条件的确定需根据具体问题进行分析。
4.板裂缝计算板裂缝的计算可以采用弹性力学理论或断裂力学理论。
在弹性力学理论中，采用裂纹模型，假设裂缝是一个分开的两个平行板，然后应用应力分析，计算得到裂缝的应力集中因子，再根据应力集中因子和材料断裂力学参数计算得到裂缝的长度和深度。
在断裂力学理论中，采用线弹性断裂力学理论，根据材料断裂力学参数和荷载情况计算得到裂缝的长度和深度。
5.板挠度计算板挠度的计算也可以基于弹性力学理论。
通常，挠度可以通过解析方法、数值方法或实验方法计算得到。
解析方法包括弯曲弹性平板理论和细长板理论等。
数值方法主要利用有限元法进行计算。
实验方法包括挠度量测和拟静力试验等。
综上所述，板裂缝及挠度计算是一个较为复杂的问题，需要采取适当的理论和方法进行分析。
在实际工程中，需要根据具体问题的要求和具体材料的性能参数来选择合适的计算方法。
平板封头与椭圆形封头应力测定及分析
平板封头与椭圆形封头应力测定及分析摘要压力容器是内部或外部承受气体或液体压力、并对安全性有较高要求的密封容器。
椭圆形封头和平板封头容器的应力分布情况先从理论上分析了并采用电测法测量其应力，结合ANSYS有限元分析方法进行比较讨论。
应力分析的目的就是求出结构在承受载荷以后，结构内应力分布情况，找出最大应力点或求出当量应力值，然后对此进行评定，以把应力控制在许用范围以内。
经过此次实验并将实验数据与ANSYS有限元法分析所得到的数据进行了对比，得到了以下的分析结果：在实际测得数值与理论数值有些不一样，一些点的误差比较大，实验测得数据与ANSYS所得到的数据相接近。
关键词：压力容器；平板封头；椭圆形封头；应力分析；ANSYS有限元法ABSTRACTPressure vessel is internal or external to gas or liquid pressure, and the security requirements of a sealed container.Analyses the stress distribution in the ellipse head and Flat head containers theoretically,and measures the stress by electrical measurement method,then carries on compare and discuss by combining ANSYS finite element analysis method.The purpose of stress analysis is to find out the structure load, the structure, the stress distribution of the greatest stress or equivalent to stress the value,then this assessment, to put the stress in a control within. after the experiment and experimental data and ansys the finite-element method analysis of data in contrast, the following analysis results：experimental and theoretical values measured there are some differences，the error of some points are relatively large the experimental measured results obtained in good agreement with ANSYS.Keywords:Pressure vessel；Flat head；Ellipse head；Stress analysis；Using the ANSYS finite element metho目录摘要 (I)ABSTRACT (II)第一章绪论 (1)1.1压力容器的结构 (1)1.1.1压力容器典型组成 (1)1.2压力容器主要分类 (3)1.2.1 按介质危害性分类 (3)1.2.2 压力容器分类 (4)1.3世界压力容器规范标准 (6)1.3.1 国外主要规范标准简介 (7)1.3.2 国内主要规范标准简介 (9)第二章椭圆形封头与平板封头的应力分析并计算 (12)2.1载荷分析 (12)2.1.1载荷 (12)2.1.2载荷工况 (14)2.2椭圆形封头的应力分析并计算 (14)2.2.1 回转薄壳的不连续分析 (15)2.2.2 无力矩理论的基本方程 (16)2.2.3薄壁圆筒理论计算公式推导 (19)2.2.4 椭圆形封头理论计算公式推导 (20)2.2.5理论计算并分析已知椭圆形封头的应力 (22)2.3平板封头应力分析 (23)2.3.1 概述 (23)2.3.2 圆平板对称弯曲微分方程 (24)2.3.3 圆平板中的应力 (29)2.3.4理论计算并分析已知圆平板封头的应力 (32)第三章实验法进行封头的应力测定及分析 (34)3.1电测法测定封头应力 (34)3.1.1 电测法的目的、原理及要求 (34)3.1.2实验前装置及仪器准备 (36)3.1.3 实验步骤 (36)3.1.4 电测法实验结果 (36)3.1.5 理论计算与实验结果对比并分析 (38)第四章有限元法对封头进行应力分析 (42)4.1 ANSYS有限元分析简介 (42)4.1.1 ANSYS软件提供的分析类型 (42)4.2 ANSYS对已知平板封头应力分析 (43)4.2.1 ANSYS对已知平板封头应力分析步骤 (43)4.3 ANSYS对已知椭圆形封头应力分析结果 (52)第五章数据处理及误差分析 (56)5.1对椭圆形封头和平板封头的数据处理 (56)5.2将计算法、实验法、有限元法的结果进行对比并进行误差分析 (57)第六章结论 (58)参考文献 (59)致谢.......................................................................................................................... 错误！未定义书签。
孔边导角对开孔方形平板应力集中的解析分析
孔边导角对开孔方形平板应力集中的解析分析在工程应用中，平板的开孔是非常常见的情况。
开孔会导致应力集中，影响结构的强度和稳定性。
本文将针对开孔方形平板中的孔边导角对应力集中进行解析分析。
一、问题描述我们考虑一个方形平板，其中心位置有一个直径为d的圆形孔洞，孔边设有一定的导角。
我们需要分析孔边导角对孔洞周围的应力分布的影响。
二、理论基础为了解析分析孔边导角对应力集中的影响，我们将应用弹性力学理论中的边界条件和应力分析方法。
具体来说，我们将使用奇异方法和Kt因子来定量描述孔边导角对应力集中的影响。
三、解析分析1. 无孔洞的方形平板应力分布：首先，我们将分析无孔洞的方形平板的应力分布情况作为基准。
根据平板理论，可以得到平板上的正应力和剪应力的分布。
通过计算不同位置的应力大小，可以得出无孔洞平板上的应力分布规律。
2. 孔边导角的影响：接下来，我们引入具有孔洞的方形平板。
首先，我们仍然可以计算出平板上的正应力和剪应力的分布情况。
然而，由于孔洞的存在，孔洞周围的应力将会发生变化。
特别是，孔边导角的存在将会对应力分布产生一定的影响。
3. 奇异方法和Kt因子的应用：为了量化孔边导角对应力集中的影响，我们可以引入奇异方法和Kt因子。
奇异方法是一种基于解析解的力学方法，用于处理应力集中问题。
而Kt因子则是一种评价应力集中程度的无量纲参数。
通过应用奇异方法，我们可以求得在孔洞周围的应力场表达式，并进一步计算出Kt因子的值。
通过比较不同孔边导角情况下的Kt因子，我们可以定量地评估孔边导角对应力集中的影响程度。
四、结果讨论在分析中，我们可以得出以下结论：1. 孔边导角会导致应力集中的程度随着导角大小的增加而增加。
2. 当导角较小时，应力集中主要出现在孔洞的角部；而当导角较大时，应力集中则更加均匀地分布在孔洞周围的边界上。
3. 根据计算得到的Kt因子，我们可以评估不同孔边导角情况下的应力集中程度，并为实际工程中的设计提供参考。
《平板应力分析》课件
电子工程
用于封装和电路板等电 子产品的强度和稳定性
分析。
平板应力分析的基
02
本原理
弹性力学基础
01
弹性力学是研究物体在外力作用下的变形和内力的学科。
02
弹性力学的基本假设是物体是线弹性的、变形是微小的，且满
足胡克定律。
弹性力学的基本方程包括平衡方程、几何方程和物理方程，用
03
于描述物体的位移、应变和应力。
人工智能和机器学习等先进技术的应用将有助于提高平板应力分析的自动化程度和 智能化水平。
对实际工程应用的指导意义
平板应力分析的应用范围不断扩大，不仅局限于传统 的机械、建筑等领域，还涉及到新能源、生物医学等
新兴领域。
通过平板应力分析的应用，可以优化平板结构的性能 ，提高产品的质量和可靠性，降低制造成本和风险。
VS
实例演示
以一个简单的平板为例，演示如何使用有 限元分析软件进行建模、加载和求解，并 展示结果的可视化效果。
结论与展望
06
平板应力分析的结论总结
平板应力分析是一种有效的数值分析方法，能 够模拟平板在不同工况下的应力分布和变形情 况。
通过平板应力分析，可以得出平板在不同方向 和不同位置的应力大小和分布规律，为优化平 板设计和改进制造工艺提供依据。
假设平板的材料是均匀、连续和 各向同性的，满足线弹性假设。
平板应力分析的步
03
骤和方法
建立数学模型
确定问题类型
根据实际需求，确定是平面应力问题还是平 面应变问题。
确定材料属性
获取平板材料的弹性模量、泊松比等物理参 数。
建立坐标系
选择合适的笛卡尔坐标系，以便于描述和计 算。
建立控制方程
07_压力容器应力分析_平板应力分析
2.4 平板应力分析
2.4.2 圆平板轴对称弯曲微分方程
E r 1 2 r E r 2 1
(2 56)
（4）圆平板轴对称弯曲的小挠度微分方程 将几何方程 (2-55) 代入到物理方程 (2-56) 中，有
2.4.2 圆平板轴对称弯曲微分方程
在弹性力学里，对于静不定问题，通过位移法，由 平衡方程、几何方程和物理方程，推导出以挠度位移w 为自变量的园平板弯曲变形微分方程 w f (r ) 。 （1）平衡方程 微元体的取出：一对相距 dr 的圆柱面；一对相差 dθ 的经向截面；一对圆板的上下表面（厚度为 t ）。 微元体的受力分析：微元体所受内力中，只有弯矩和 剪力；根据轴对称性，只有剪力Qr存在， Qr 对应的剪 应力为 rz ；此外，微元表面有外力 pz。 上述内力(弯矩及剪力)均为单位长度上的内力， 其单位可表示为 N· M / M 和 N / M， pz 单位为 MPa。
2.4 平板应力分析
2.4.1 概述
2.4.1 概述
（1）板与壳
[qiào]
板与壳具有相同的特征：某一方向的尺寸(厚度)较 其它两个方向的尺寸小的多。但是，板和壳的不同点在 于，其初始形状分别为平板和曲面。板壳结构是工程中 最常用的结构之一，圆平板是容器封头的形式之一。 （2）板的分类
① 按形状分
石油化工设备中，圆 平板使用场合较多。
z ( d )2.4.2 圆平板轴对称弯曲微分方程
变形前后，过A点的圆周长度发生变化，称为A点 的周向应变，有
2 (r z ) 2 r z 2 r r
对于小挠度，有
tg dw dr ( dw 0)
2.4 平板应力分析
压力容器应力分析-典型圆平板分析
（1）承受均布载荷时圆平板中的应力板内剪力求解：如图，选取任意位置r 处的圆平板进行受力分析，建立轴向平衡式，可求得Q r22()2r r r r Q p rpr Q Q r ππ⋅=⋅==()r r Q Q r =注意：根据图2-29(c)来确定右图中剪力的符号。
将上述边界条件代入（2－63）式中，求得)µ+最大周向弯矩出现在板的中央处，而最大径向弯矩出现在板的边缘处。
此外，弯矩为负的含义表明其方向与当初规定的方向相反（见图2-29）。
类似于上述方法，可得到挠度方程板的上(负号)、下(正号)表面的应力分布如下()()()222222338(269)33(13)8r p R r t p R r t θσµσµµ⎧=+−⎪⎪−⎨⎪⎡⎤=+−+⎣⎦⎪⎩∓∓可见，板内最大拉应力在板的下表面中央部位处。
薄圆平板应力特点①板内为两向纯弯曲应力，忽略z 方向的应力σz 和剪力Q r 引起的剪应力τ。
②板内的弯曲应力沿径向的分布形式与周边支承形式有关，工程实际中的支承形式介于固支和简支之间。
③在同等条件下，板内的最大应力要远大于薄壳内的应力，故板的厚度要比薄壳厚度大。
（2）承受集中载荷时圆平板中的应力板内剪力求解：如图，选取任意位置r 处的圆平板进行受力分析，建立轴向平衡式，可求得Q r2()2r r r r Q PP Q Q r rππ⋅===()r r Q Q r =中心开有圆形孔的圆平板称为“环板”。
以周边简支，内周边承受均布力矩的环板分析为例。
122123()0102ln 4r r Q Q r d d dw r dr r dr dr C C dw r dr r C r w r C C R ϕ==⎡⎤⎛⎞=⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎣⎦⎧=−=+⎪⎪⎨⎪=−−+⎪⎩2.3.4 承受轴对称载荷时环板中的应力如图所示环板，须注意与上述例子的不同在于，只是边界条件有所不同。
11,,00r r r R M M r R M and w ==−===Boundary Conditions:这样，我们就可以对许多类似的问题进行求解。
压力容器应力分析平板应力分析
C1
pR2 8D
,
C3
pR 4 64 D
代入式（2-63）
得周边固支平板的 斜率和挠度方程
dw pr R 2 r 2
dr 16D
w p R 2 r 2 2 64 D
（2-64）
压力容器应力分析平板应力分析
25
2.4 .3 圆平板中的应力
过程设备设计
将挠度ω对r的一阶导数和二阶导数代入式（2-58）， 便得固支条件下的周边固支圆平板弯矩表达式：
（2-66）
26
2.4 .3 圆平板中的应力
过程设备设计
周边固支圆平板下表面的应力分布，如图2-34(a)所示。
最大应力在板边缘上下表面，即 rmax34ptR22
图2-34a周边固支圆平压板力容的器弯应力曲分析应平力板应分力分布析 （板下表面） 27
2.4 .3 圆平板中的应力
2. 周边简p支圆平板
28
2.4 .3 圆平板中的应力
过程设备设计
弯矩表达式：
Mr
p 3 R2
16
r2
M
p R23r213
16
（2-68）
应力表达式：
r
3 p3R2
8t2
r2
（2-69）
3 p 8t2
R23r213
压力容器应力分析平板应力分析
29
2.4 .3 圆平板中的应力
过程设备设计
不难发现，最大弯矩和相应的最大应力均在板中心 r 0 处，
2.4.2 圆平板对称弯曲微分方程
过程设备设计
分析模型
半径R，厚度t的圆平板 受轴对称载荷Pz
在r、θ、z 圆柱坐标系中 内力：Mr、Mθ、Qr 三个内力分量
锅筒壁上焊接大尺寸平板的应力分析
过应 力分 解 对结 构进行 安 全性 评 定。
关键 词 ： 筒体 ； 平板 ； 应 力 分析 ； 有 限元 ； 强度评 定 中图 分类 号 ： Ｘ ９ ２ 文 献标 识码 ： Ａ
四面体等 参 数单 元 。整个模 型 共 ４ ２ ６ ８ ２ 个 在锅 筒简 体 上 焊接 大 尺 寸平 板 ， 是国 单元 ， ５ ９ ０ ４ ８ 个 节点 。 内 的立 式 电热 锅 炉 用 以放 置 电加 热 元 件 ４施 加 约束 条件 和载 荷 的结 构 型式 之 一 。如 图 １ 所示 ， 将矩 形 平 ４ ． １施 加 约束 条件 。在 各 个对 称平 面 板 的 四个 顶 点 分 别 加 工 为 四 分 之 一 切 圆 上施 加对 称 约束 ， 以消 除 刚体位 移 。
工 业 技 术
Ｃ ｈｉ ｎ ａ Ｎｅ ｗ Ｔｅ ｃ ｈｎ ｏ ｌ ｏ ｇ ｉ ｅ ｓ ａ ｎｄ Ｐｒ ｏ ｄ ｕ ｃ ｔ ｓ
２ Ｑ １
Ｑ ： （ 王２
锅筒壁 上焊 接 大尺寸 平板 的应 力分析
房 朝 晖 丁 信 磊 （ 烟 台市 清 洁 能 源检 测 中心 ， 山东 烟台 ２ ６ ４ ０ ０ ， 抵 消 了变 形 不连 续 所带 来 的应力 集 中和强 度减 弱 。 其次， 相贯 线 处应 力 较大 的位 置均 在 相 贯线 向外 移 １ 个 单元 处 ， 即位 于第 一 排
注射成型大尺寸透明平板的应力、翘曲及收缩分析
ｄ （） ３
验 ， 面分 析 了注射 成 型平 板 的残余 应力 、 曲变形 全 翘
及 收缩 ， 为获得 高 光学 性 能 的注 射成 型 大尺 寸 透 明 件奠 定 了基础 。
１ 注射成 型模 拟
式 中 ：： Ｇ —— 剪 切松 弛模 量 函数 ； ｓ — —应 变偏 张量 。
Ｃ Ｅ残 余应 力 和 翘 曲变 形 分 析 模 块 。其 中 残 余 应 Ａ 力分 析采 用线 性粘 弹性 模 型 ， 曲分 析 采用 基 于 薄 翘
壳 理 论 的平板 型壳 元模 型 。
（ ） 余应 力计 算模 型 １残
，
应 力分析 采用 线性 粘弹性 模 型 。该 模 型可 以 比 较精 确地 描述 注射 成 型过程 中材 料 的应力 应变关 系 和应 力松 弛 现象 。保 压 和 冷 却 阶段 ， 性 粘 弹性 模 线 型 的应 力 可 以 表 示 为 静 水 压 力 和 应 力 偏 张 量 之
１０ ８ ） ０ ０ ３
１０ ９ ００ ５； ２ 华 中科 技 大 学 ， 汉 ． 武
４０ ７ ３０ ４； ３ 北 京 航 空 航 天 大 学 ， 京 ． 北
摘要
根据 透明平板 注射 成型的特 点 ， 建立 了残余应 力计算模型和翘 曲计 算模 型 ， 用 Ｈ Ｃ Ｅ软件的相应模块 采 ｓＡ
对 大 尺 寸 透 明 平 板 注 射 过 程 中的 残 余 应 力 、 曲 变形 及 收 缩 进 行 了分 析 。 结 果 表 明 ， 板 边缘 的 残 余 应 力 和 厚 向收 翘 平
际上 残余 应力 、 收缩 和翘 曲变 形 三者 之 间是 相互 影 响的， 残余应 力 会导致 翘 曲变形 ， 收缩不 均也会 产 生
翘 曲变形 。 因此必须 全 面研究 注射 成型 透 明件 的残 余应 力 、 曲及 收缩 特性 。 翘 笔者 从 “ 五 ” 间开 始 进 行 大 尺 寸 透 明 件 的 十 期 注射 成型技 术 基础研 究 Ｊ 。现 以大尺 寸 透 明平 板 的注 射成 型为 例 ， 过 注 射 成 型模 拟 和注 射 成 型 实 通
平板应力分析
t p cr D0 1.1E D 2t 0
3
适用条件： cr < tp（ ty ）
注意
（1）长圆筒临界压力与圆筒的计算长度无关 （2）长圆筒抗失稳能力与E有关，而强度上的承压能力 与σS有关 t t 3 PS 2 S ( ) Pcr 2.2 E ( ) D0 D0 用高强度钢代替低强度钢，只能提高圆筒的强度，而不 能提高其抗失稳能力 （3）对于薄壁圆筒，使长圆筒失稳的压力（Pcr）远远 小于使长圆筒屈服的压力（PS），即失稳破坏限于强度破 坏。
圆环板
思考题
试写出下图所示平板的边界条件
§2-5
壳体的稳定性分析
壳体稳定性的概念 壳体的失稳 壳体失稳的原因 壳体失稳的类型 临界压力的概念
图2-48 圆筒失稳 时出现的波纹
一、壳体的失稳
压缩屈服破坏 外压圆筒的失效形式 弹性失稳 失稳破坏 非弹性失稳
t 1.5 ) D （2） cr 1.3E 0 12 .6 MPa P L （ ） D0 ( 故属弹性失稳
1006 17800 mm 4 .4 L 6000 mm Lcr
（3）n
4
7.06 t L ( )2 ( e ) D0 D0
2.59 3
故该圆筒属短圆筒
3EJ t pcr 3 2 E R D
3
长圆筒的临界压力计算公式：
2E p cr 1 2 t D
3
对于钢质圆筒（μ=0.3）：
t p cr 2.2 E D 0
3
临界应力（临界压力在圆筒壁中引起的周向压缩应力）：
§2-4
平板应力分析
平板平面应力分析报告
平板平面应力分析报告1 问题简述Solve the plate with a hole under plane stress in figure 1 using a finite element programme.Plot the stress distribution of the line A-B and compare the results with the results from theory for the infinite plate with a hole.Figure 1 A plate with a hole subjected to stress σ2 选择程序并设定相关参数现有的有限元分析软件种类较多，而且各有侧重点，因此应当根据分析问题的需要选择合适的分析软件。
有限元软件只能对给定材料特性和几何参数的工程结构进行应力、变形等的分析，因此对上述的平板问题我们必须设定一种材料并给定a等参数的值。
2.1 选择有限元程序自从有限元这种思想诞生以来，各种各样的有限元商业软件包也应运而生。
现在比较常用的有限元分析软件包及其优缺点列于表1。
在大力推广CAD技术的今天，从自行车到航天飞机，所有的设计制造都离不开有限元分析计算，有限元技术的应用大大节省了制作原型机的费用。
综合考虑软件所分析问题的优势和缺点、软件的可得到性以及对软件的熟悉程度等因素，选择ANSYS软件分析平板的平面应力问题。
2.2 选择平板材料表1 常用的商业有限元分析软件包及其优缺点是影响比较小。
选择最常用的材料——钢材，弹性模量定为2.1×105MPa，泊松比定为0.3。
2.3 几何参数设定取a=50mm，均布压力σ=100kPa。
3 有限元建模由图1可看出结构沿x轴和y轴均对称，因此根据对称性只需根据结构的1/4进行建模。
3.1 有限元几何模型平板的有限元计算采用有限元分析软件ANSYS10.0完成。
建立平板的有限元模型的步骤为：建立几何模型、定义单元类型、实常数及材料属性、划分单元网格。
平板应力分析
第四节平板应力分析3.4平板应力分析3.4.1概述3.4.2圆平板对称弯曲微分方程3.4.3圆平板中的应力3.4.4承受对称载荷时环板中的应力3.4.1概述1、应用：平封头：常压容器、高压容器；贮槽底板：可以是各种形状；换热器管板：薄管板、厚管板；板式塔塔盘：圆平板、带加强筋的圆平板；反应器触媒床支承板等。
2、平板的几何特征及平板分类w/t≤1/5时（小挠度）按小挠度薄板计算3、载荷与内力载荷：①平面载荷：作用于板中面内的载荷②横向载荷垂直于板中面的载荷③复合载荷内力：①薄膜力——中面内的拉、压力和面内剪力，并产生面内变形②弯曲内力——弯矩、扭矩和横向剪力，且产生弯扭变形◆当变形很大时，面内载荷也会产生弯曲内力，而弯曲载荷也会产生面内力，所以，大挠度分析要比小挠度分析复杂的多。
◆本书仅讨论弹性薄板的小挠度理论。
4、弹性薄板的小挠度理论基本假设---克希霍夫K i r c h h o f f① 板弯曲时其中面保持中性，即板中面内各点无伸缩和剪切变形，只有沿中面法线w 的挠度。
只有横向力载荷②变形前位于中面法线上的各点，变形后仍位于弹性曲面的同一法线上，且法线上各点间的距离不变。
类同于梁的平面假设:变形前原为平面的梁的横截面变形后仍保持为平面，且仍然垂直于变形后的梁轴线。
③平行于中面的各层材料互不挤压，即板内垂直于板面的正应力较小，可忽略不计。
◆研究: 弹性,薄板 / 受横向载荷 / 小挠度理论 / 近似双向弯曲问题3.4.2 圆平板对称弯曲微分方程分析模型分析模型：半径R ，厚度t 的圆平板受轴对称载荷P z ，在r 、θ、z 圆柱坐标系中，内力M r 、M θ、Q r 三个内力分量轴对称性：几何对称，载荷对称，约束对称，在r 、θ、z 圆柱坐标系中，挠度w 只是 r 的函数，而与θ无关。
求解思路：经一系列推导（基于平衡、几何、物理方程）→弯曲挠度微分方程（z p w）→求w 求→内力r M M θ、→求应力r θσσ、微元体内力 ：径向：M r 、M r +（d M r /d r ）d r 周向：M θ、 M θ横向剪力：Q r 、Q r +（d Q r /d r ）d r 微元体外力 ：上表面z P p rd dr θ=2、几何协调方程(W~ε)取AB dr+两点A与B构成的微段=，径向截面上与中面相距为z，半径为r与r dr Array板变形后：微段的径向应变为 ()r z d z d zdrdrϕϕϕϕε+-==（第2假设）过A 点的周向应变为()222r z rzrrθπϕπϕεπ+-==（第1假设）作为小挠度dw drϕ=-，带入以上两式，得应变与挠度关系的几何方程：22r d w z drz dw r drθεε=-=-（2-55）3、物理方程根据第3个假设，圆平板弯曲后，其上任意一点均处于两向应力状态。
第二章第二节圆平板中的应力
(σ )
f r max
3 pR 2 = 4t 2
（2-78） ）
(σ )
s r max
µ ≈ 0 .3
s (σ r )max f (σ r )max
=
3. 3 = 1.65 2
这表明周边简支板的最大正应力大于周边固支板的应力。 这表明周边简支板的最大正应力大于周边固支板的应力。
第二章 中低压容器的规则设计
（2-72）
最大应力： 最大应力： 在r=0处 处
（2-73）
第二章 中低压容器的规则设计
Et 3 D= 12 1 − µ 2
(
)
注意：最大挠度和最大应力与圆板的材料、 注意：最大挠度和最大应力与圆板的材料、半 厚度有关，因此，若构成板的材料和载荷一定， 径、厚度有关，因此，若构成板的材料和载荷一定，减 小半径或增加厚度都可以减小挠度和最大正应力。 小半径或增加厚度都可以减小挠度和最大正应力。当圆 板的几何尺寸和载荷一定，则选用E、 较大的材料可 板的几何尺寸和载荷一定，则选用 、µ较大的材料可 减小最大挠度值，然而最大应力只与（ 减小最大挠度值，然而最大应力只与（3+µ）成正比， ）成正比， 无关， 与E无关，故改变材料并不能获得有利的应力状态。 无关 故改变材料并不能获得有利的应力状态。
s wmax
(5 + µ ) pR 4 = （2-68） ） (1 + µ ) 64 D
f wmax
pR 4 = 64 D
（2-75） ）
s wmax 5 + 0.3 = = 4.08 f wmax 1 + 0.3
(钢材：µ = 0.3)
这表明，周边简支板的最大挠度远大于周边固支板的挠度。 这表明，周边简支板的最大挠度远大于周边固支板的挠度。
测平板车应力
2 ( x y ) 2 4 xy
应变花
2.测量电路
Байду номын сангаас
作用
1、将应变片的电阻变化转换 成电压（或电流）变化。 2、将温度补偿片接入测量电 路，消除温度变化的影响。
测量电路
单臂
半桥
全桥
12
选择测量电路为1/4桥，只有一个工作片，邻臂为 温度补偿片
●
测试点的选择
根据平板车结构特点和有限元分析结果， 选择测试点： 1、对悬挂机构的主要受力部件全部进行测 试，校核这些受力部件的强度。 2、针对有限元计算结果显示应力值偏大的 关键位置进行测试，以此来验证有限元计算。
1 dR （1-1） k R
式中 ε——应变仪测得的应变值； dR/R——应变片阻值随构件变形而发生的相对变化； k——比例系数（灵敏系数）。 若被测部位在弹性范围内工作，对测得的应变值，可以采用虎克定律换算 得到对应的应力值。
dR dL k R L dR — —应变片阻值的相对变 化 R k — —应变片的灵敏系数
③ 试件测试部位的表面处理 ④ 划线 ⑤ 贴片 ⑥ 贴片后的检查
●
外观检查 绝缘电阻检查 工作片和补偿片的电阻测量
●
●
●
应变片的防护
2.导线的连接与固定
3.应变测量
1．根据选择的测点和布片方案进行表面打磨、划线定位、表面脱 脂处理、粘贴应变片、固化及防护等工作。 2．用相同长度和相同型号的导线，一端和工作片连接，另一端和 预调平衡箱连接。每根导线都需进行编号，并记下相对应的测点编号 ，以免发生错误。 3．按应变仪、预调平衡箱的操作规程对各测点进行预调平衡。 4．打开电源，开动液压泵，对实验对象进行加载。 5．对液压缸进行几次加载、卸载循环。消除应变片初受载后的永 久变形，使滞后误差趋于稳定。每次卸载后需进行预调平衡，然后按 加载步骤加载，记下应变读数。当应变读数和滞后量趋于恒定时，才 可进行正式测量。 6．系统最后一次卸载后先检查一下平衡情况，然后加载进行正式 测量，记录每种载荷下，各测点的应变读数。 7．测量结束后，系统卸载，并关闭电动机及其它测量仪器。
《平板应力分析》课件
概述
有限差分法是一种将偏 微分方程离散化为差分
方程的方法。
应用领域
主要应用于解决偏微分 方程的问题，如热传导
方程、波动方程等。
优点
简单直观，易于编程实 现。
缺点
对不规则区域的处理较 为困难。
边界元法
01
02
03
04
概述
边界元法是一种只需求解边界 积分方程的方法。
应用领域
常用于解决二维和三维的弹性 力学、流体力学等问题。
案例二：复杂平板的应力分析
总结词
针对复杂受力情况下 的平板进行应力分析 ，考虑多种因素。
受力分析
对复杂受力情况下的 平板进行受力分析， 考虑多种力的作用， 如弯曲力、剪切力等 。
建立复杂模型
根据受力分析结果， 建立更为复杂的力学 模型，如多梁模型或 有限元模型。
计算应力
根据平板的复杂结构 和材料的特性，进行 详细的应力计算。
02
平板应力计算方法
有限元法
概述
有限元法是一种将连续的求解 域离散为有限个小的、互相关 联的子域（即“有限元”）的
方法。
应用领域
广泛应用于结构力学、流体力 学、电磁场等领域。
优点
可以处理复杂的几何形状和边 界条件，能适应各种不同的材 料属性和载荷条件。
缺点
计算量大，对计算机资源要求 较高。
有限差分法
REPORT
CATALOG
DATE
ANALYSIS
SUMMAR Y
03
平板应力分析的步骤
建立模型
确定模型尺寸和形状
根据实际问题的需求，选择合适的模型尺寸和形状，以便更好地 模拟实际情况。
确定材料属性
中心开小孔的平板孔边应力情况
中心开小孔的平板孔边应力情况说起平板上打小孔，很多人可能第一反应是：这事儿不就是在板子上戳个洞嘛，有啥难的。
嗯，确实，这个动作看起来简单，但是一旦我们把目光放到“应力”上，那就有点复杂了，嘿嘿，不是你想象的那种简单事儿。
在平板上打个小孔，尤其是孔的边缘，它的“应力情况”可不容小觑，稍微不注意，整个板子的稳定性可能就会大打折扣，得不偿失呀。
我们得知道，孔边的应力分布就像是“张扬的孩子”，它总是容易“跑偏”。
尤其是中心开小孔这种情况，孔周围的材料就像是被“压得喘不过气来”一样，四周的应力是特别集中的。
这种集中应力的情况，一旦板子承受不住，就可能会发生裂纹扩展，最后直接导致整个板子的断裂。
想象一下，如果一个平板就像一块饼干，给它中间戳个洞，那么剩下的部分不就特别容易碎吗？可不是嘛，整个结构的“抗压能力”就大大减弱了。
你说得了，怎么能这么脆弱呢？咱们做过力学课的朋友应该知道，材料的力学性能可不是一成不变的，尤其是边缘区域，它最容易“脆弱”。
因为，孔边缘就是应力集中的地方，力都在这儿堆积，哪怕孔的大小只有个头盖那么小，压力可一点也不小。
想象一下，当你给一块铁板打个小孔时，它周围的分子简直就像是在争先恐后地进行“最后一搏”，承受的压力往往是比其他地方要大得多。
就像你试图把气球吹得越来越大，气球表面会有一种“微妙”的膨胀感，到了极限，不就是爆炸嘛，和孔边的应力有异曲同工之妙。
更有意思的是，这个“集中应力”可不是每次都乖乖地呆在一个地方，它们是会随着板材的形状、材料的不同而变化的。
有的板子可能因为本身材质的强度比较高，导致孔边的应力集中比较少；而有的板子可能会因为某些微小的瑕疵，导致应力集中更严重。
这就像是你有时站在地铁里，一会儿被挤到这个方向，一会儿又被推到那个方向，搞得你晕头转向，根本没法放松。
那么问题来了，既然孔边的应力这么麻烦，咱们该如何应对呢？科学家和工程师早就给出了不少办法。
一个常见的技巧就是：孔的边缘不要太尖锐，最好是做个圆弧形的过渡。
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平板应力分析第四节平板应力分析3.4平板应力分析3.4.1概述3.4.2圆平板对称弯曲微分方程3.4.3圆平板中的应力3.4.4承受对称载荷时环板中的应力3.4.1概述1、应用：平封头：常压容器、高压容器；贮槽底板：可以是各种形状；换热器管板：薄管板、厚管板；板式塔塔盘：圆平板、带加强筋的圆平板；反应器触媒床支承板等。
2、平板的几何特征及平板分类几何特征：中面是一平面厚度小于其它方向的尺寸。
分类：厚板与薄板、大挠度板和小挠度板。
t/b≤1/5时(薄板)w/t≤1/5时（小挠度）按小挠度薄板计算3、载荷与内力载荷：①平面载荷：作用于板中面内的载荷②横向载荷垂直于板中面的载荷③复合载荷内力：①薄膜力——中面内的拉、压力和面内剪力，并产生面内变形②弯曲内力——弯矩、扭矩和横向剪力，且产生弯扭变形◆当变形很大时，面内载荷也会产生弯曲内力，而弯曲载荷也会产生面内力，所以，大挠度分析要比小挠度分析复杂的多。
◆本书仅讨论弹性薄板的小挠度理论。
4、弹性薄板的小挠度理论基本假设---克希霍夫K i r c h h o f f①板弯曲时其中面保持中性，即板中面内各点无伸缩和剪切变形，只有沿中面法线w的挠度。
只有横向力载荷②变形前位于中面法线上的各点，变形后仍位于弹性曲面的同一法线上，且法线上各点间的距离不变。
类同于梁的平面假设:变形前原为平面的梁的横截面变形后仍保持为平面，且仍然垂直于变形后的梁轴线。
③平行于中面的各层材料互不挤压，即板内垂直于板面的正应力较小，可忽略不计。
◆研究:弹性,薄板/受横向载荷/小挠度理论/近似双向弯曲问题3.4.2圆平板对称弯曲微分方程分析模型分析模型：半径R，厚度t的圆平板受轴对称载荷P z，在r、θ、z圆柱坐标系中，内力M r、Mθ、Q r三个内力分量轴对称性：几何对称，载荷对称，约束对称，在r、θ、z圆柱坐标系中，挠度w只是r的函数，而与θ无关。
体。
微元体内力 ：径向：M r 、M r +（d M r /d r ）d r 周向：M θ、 M θ横向剪力：Q r 、Q r +（d Q r /d r ）d r 微元体外力 ：上表面z P p rd dr θ=2、几何协调方程(W ~ε)取AB dr =，径向截面上与中面相距为z ，半径为r 与r dr +两点A 与B 构成的微段板变形后：微段的径向应变为 ()r z d z d z dr dr ϕϕϕϕε+-==（第2假设）过A 点的周向应变为()222r z r z r rθπϕπϕεπ+-==（第1假设）作为小挠度dwdrϕ=-，带入以上两式，得 应变与挠度关系的几何方程：22r d wz dr z dw r drθεε=-=-（2-55） 3、物理方程根据第3个假设，圆平板弯曲后，其上任意一点均处于两向应力状态。
由广义虎克定律可得圆板物理方程为：()()2211r rr EEθθθσεμεμσεμεμ=+-=+- （2-56）4、圆平板轴对称弯曲的小挠度微分方程 (2-55)代入(2-56)式：222222111r Ez d w dw dr r dr Ez dw d w r dr dr θμσμσμμ⎛⎫=-+ ⎪-⎝⎭⎛⎫=-+ ⎪-⎝⎭（2-57） 通过圆板截面上弯矩与应力的关系，将弯矩r M 和M θ表示成w 的形式。
由式（2-2r dr r dr ⎪⎝⎭同理221dw d w M D r drdr θμ⎛⎫'=-+⎪⎝⎭ （2-58b ）()32121Et D μ'=-参照38页壳体的抗弯刚度，——“抗弯刚度”与圆板的几何尺寸及材料性能有关 (2-58)代入(2-57)，得弯矩和应力的关系式为：331212rr M z t M ztθθσσ== （2-59）(2-58)代入平衡方程(2-54)，得：3232211rQ d w d w dw dr r dr r dr D +-='即：受轴对称横向载荷圆形薄板小挠度弯曲微分方程：1rQ d d d r dr r dr dr Dω⎡⎤⎛⎫= ⎪⎢⎥'⎝⎭⎣⎦ （2-60） Q r 值可依不同载荷情况用静力法求得3.4.3 圆平板中的应力（圆平板轴对称弯曲的小挠度微分方程的应用）承受均布载荷时圆平板中的应力：①简支②固支 承受集中载荷时圆平板中的应力一、承受均布载荷时圆平板中的应力图2-32均布载荷作用时圆板内Q r 的确定据图2-32，可确定作用在半径为r 的圆柱截面上的剪力，即：222r r p prQ r ππ== 代入2-60式中，得均布载荷作用下圆平板弯曲微分方程为：12d d dw prr dr r dr dr D⎡⎤⎛⎫= ⎪⎢⎥'⎝⎭⎣⎦ 对r 连续两次积分得到挠曲面在半径方向的斜率：312162C r C dw pr dr D r=++' （2-61） 对r 连续三次积分，得到中面在弯曲后的挠度。
24123ln 644C r pr w C r CD =+++' （2-62）C 1、C 2、C 3均为积分常数。
对于圆平板在板中心处（r =0）挠曲面之斜率与挠度均为有限值，因而要求积分常数C 2 ＝0 ，于是上述方程改写为：312413162644C r dw pr drD C r prw C D =+'=++' （2-63） 式中C 1、C 3由边界条件确定。
下面讨论两种典型支承情况(两种边界条件)周边固支圆平板 周边简支圆平板,0,0dw r R drr R w ====将上述边界条件代入式（2-63），解得积分常数：2143,864pR C D pR C D =-'='代入式（2-63）得周边固支平板的斜率和挠度方程：()()222221664dw pr R r dr D pw R r D =--'=-'（2-64）将挠度w 对r 的一阶导数和二阶导数代入式（2-58），便得固支条件下的周边固支圆平板弯矩表达式：()()()()2222131611316r p M R r p M R r θμμμμ⎡⎤=+-+⎣⎦⎡⎤=+-+⎣⎦ （2-65）由此（代入2-59）弯曲应力计算试，可得r 处上、下板面的应力表达式：()()()()2222262226313831138rr t t M p R r t M p R r t θθσμμσμμ⎡⎤==+-+⎣⎦⎡⎤==+-+⎣⎦ （2-66）周边固支圆平板下表面的应力分布，如图2-34(a )所示。
最大应力在板边缘上下表面，即()22max3r pR σ=±弯矩表达式：()()()()222231631316r pM R r p M R r θμμμ=+-⎡⎤=+-+⎣⎦ （2-68）应力表达式：()()()()22222233833138r p R r t p R r tθσμσμμ=+-⎡⎤=+-+⎣⎦ （2-69）可以看出，最大弯矩和相应的最大应力均在板中心处0r =，()()()2max max 316r pR M M θμ==+ ()()()22max max338r pR t θμσσ+==周边简支板下表面的应力分布曲线见图2-34(b )。
周边固支时:,0,0dw r R drr R w ====周边简支时:,0,0r r R w r R M ====b . 挠度周边固支时，最大挠度在板中心4max64f pR wD ='（2-70） 周边简支时，最大挠度在板中心4max5164spR wDμμ+='+ （2-71）0.3μ=简支固支→max max 50.34.0810.3sf w w +==+ 表明: 周边简支板的最大挠度远大于周边固支板的挠度。
c . 应力周边固支圆平板中的最大正应力为支承处的径向应力，其值为()22max34fr pR t σ= （2-72） 周边简支圆平板中的最大正应力为板中心处的径向应力，其值为()()22max338sr pR t μσ+= （2-73）0.3μ≈简支固支→()()max max3.31.652sr fr σσ== 表明: 周边简支板的最大正应力大于周边固支板的应力。
内力引起的切应力：在均布载荷p 作用下，圆板柱面上的最大剪力()max 2r pRQ =（r R =处）， 近似采用矩形截面梁中最大切应力公式max 32Qbhτ=， 得到()max max 33214r Q pRt tτ==⨯最大正应力与()2Rt同一量级；最大切应力则与R t同一量级。
因而对于薄板R >>t ，板内的正应力远比切应力大。
从以上可以看出：max σ与max w 圆平板的材料（E 、μ）、半径、厚度有关。
●若构成板的材料和载荷已确定，则减小半径或增加厚度都可减小挠度和降低最大正应力。
●工程中较多的是采用改变其周边支承结构，使它更趋近于固支条件●增加圆平板厚度或用正交栅格、圆环肋加固平板等方法来提高平板的强度与刚度 4、结论a . 板内为二向应力状态：r θσσ、且为弯曲应力，平行于中面各层相互之间的正应力z σ及剪力r Q 引起的切应力τ均可予以忽略。
b . 应力分布: 沿厚度呈线性分布 , 且最大值在板的上下表面。
沿半径呈抛物线分布,且与周边支承方式有关。
工程实际中的圆板周边支承是介于两者之间的形式。
c . 强度: 简支 ()()2max 2max max 01.23s ssr r pR tθσσσ====固支 ()2max 2max 0.75ffr r RpR tσσ===∴ ()()maxmax1.65sr fr σσ=d . 刚度:∴周边固支的圆平板在刚度和强度两方面均优于周边简支圆平板e . 薄板结构的最大弯曲应力max σ与()2Rt成正比，而薄壳的最大拉( 压)应力max σ 与R t 成正比。
故在相同R t条件下，薄板所需厚度比薄壳大。
二、承受集中载荷时圆平板中的应力挠度微分方程式（2-60）中，剪力r Q 可由图2-35中的平衡条件确定：2r FQ rπ=采用与求解均布载荷圆平板应力相同的方法，可求得周边固支与周边简支圆板的挠度和弯矩方程及计算其应力值3.4.4 承受轴对◆通常的环板的应力、应变，只是在内孔边缘上增加了一个边界条件。
◆当环板内半径和外半径比较接近时，环板可简化为圆环。
圆环在沿其中心线（通过形心）均布力矩M 作用下，矩形截面只产生微小的转角 而无其它变形，从而在圆环上产生周向应力。
这类问题虽然为轴对称问题，但不能应用上述圆平板的基本方程求解。
设圆环的内半径为i R 、外半径为o R 、形心处的半径为x R 、厚度t ，沿其中心线（通过形心）均布力矩M 的作用，如图2-37所示。