第4讲对弧长的曲线积分
12-对弧长的曲线积分课件
定义 设 L 为 xOy 面内的一条光滑曲线弧，
函数 f (x, y) 在 L 上有界
将 L 任意分成n 个弧段 s1, s2 , , syn
并用si 表示第i 段的弧长
在每一弧段si 上任取一点(i ,i )
n
作和 f (i,i)si
i1
L
(i,i)
A M2
M1
Mi1
o
B Mn1
Mi
x
定义 令 max(s1, s2, , sn ) 如果当 0 时 这和的极限总存在 且与曲线弧 L 的分法及点(i ,i ) 的取法无关，
例 计算 (x2 y2 z2 )ds )其中 为螺旋线
x a cos t, y a sin t, z kt ( t 从 0 到 2π )的一段弧
解 (x2 y2 z2 )ds 2π (a2 k 2t 2 ) a2 k 2 dt
0
2 π a2 k 2 (3a2 4π2k 2 ) 3
则称此极限为函数 f (x, y) 在曲线弧 L 上对 弧 长的曲线积分或第一类曲线积分
定义 记作L f (x, y)ds
n
L
f
(x,
y)ds
lim 0 i1
f(i ,i )si
其中 f (x, y) 叫做被积函数 L 叫做积分弧段
曲线积分的存在 性
f (x, y) 连续 f (x, y)ds 存在. L
L 的参数方程为
x y
(t) (t)
,
( t ) ，
(t) ， (t) 在[, ] 上具有一阶连续导数 且 2 (t) 2 (t) 0
则曲线积分L f (x, y)ds 存在 且
f (x, y)ds f [(t), (t)] 2 (t) 2 (t)dt ( )
对弧长的曲线积分
函数f (x, y)在L上连续： ＞０，＞０，当点(x, y), (x0 , y0 ) L,且 (x x0 )2 ( y y0 )2 时，总有 f (x, y) f (x0 , y0 ) . (5)可积性．若函数 f (x, y)在有限长光滑曲线 L上连续，则
B,
第i段弧M
i
1
M
的长度记为
i
si
,
(i
1,, n).
n
任取点(i ,i ) M i1M i ,作积分和 I n f (i ,i )si ,并令
max
1in
si
.如果无论如何分割，无论如何i取1 点，极限
n
lim
0
i 1
f (i ,i )si
存在，则称此极限值为 函数f (x, y)在曲线L上的对弧长的曲线
圆关于平面z y对称，关于平面 z x对称,关于平面y x对称,
故 x2ds y 2ds z 2ds 1 (x2 y 2 z 2 )ds 1 a2ds
L
L
L
3L
3L
2 a3.
3
例28.4 计算I L xds,其中L为双纽线
(x2 y2) 2 a2(x2 y2) (a 0)
L
L
a
(4)若光滑曲线 L : x x( y), y [c, d], f (x, y)在L上连续，则
f (x, y)ds
f (x( y), x)ds
d
f (x( y), y)
1 x2 ( y)dy.
L
L
c
(5)若光滑曲线 L : r r( ), [, ], f (x, y)在L上连续，则
其中, i [ti1, ti ], i 1,2,, n.
(整理)对弧长的曲线积分.
对弧长的曲线积分一、概念的引进假设xoy 面内有一段曲线弧L 具有质量,在L 上任一点(,)x y 处的线密度为ρ(,)x y ,且ρ(,)x y 在L 上连续,A 与B 分别是弧L 的端点,现计算弧L 的质量m 。
在L 上任意地插入n +1个分点A M M M M M MB i i n n ==--0111,,,,,,,将L 分划成n 个小弧段。
对于第 i 个小弧段弧M i M i -1,由于线密度函数ρ(,)x y 在L 上连续,当该小弧段的长度充分小时,它的质量近似地等于ρξηξη(,)(,),i i ii i M i M i s i M i M i s ∆∆∀--弧表示弧的长度11于是,整个曲线弧L 的质量近似值为m s i i ii n≈⋅=∑ρξη(,)∆1用λ表示这n 个小弧段长度的最大者, 即λ=≤≤max {}1i ni s ∆为了得到质量m 的精确值,只需对上述和式取极限,令λ→0,即m s i i ii n=⋅→=∑lim (,)λρξη01∆ (1)撇开上例的物理意义,我们引入对弧长的曲线积分的概念。
【定义】设L 为xoy 面内的一条光滑曲线弧,函数f x y (,)在L 上有界,在L 内任意地插入n +1点,A M M M M M MB i i n n ==--0111,,,,,,,它把L 分成n 个小弧段,设第i 个小段弧M i M i -1的长度为∆s i ,(,)ξηi i 为弧M i M i -1上任取的一点,记λ=≤≤max {}1i ni s ∆作和式 f s i i ii n(,)ξη⋅=∑∆1如果极限 lim (,)λξη→=⋅∑01f s i i ii n∆ 存在,这个极限值就叫做函数f x y (,)在曲线弧L 上对弧长的曲线积分,记作f x y dsL(,)⎰。
亦即 f x y ds f s L i i i i n(,)lim (,)⎰∑=⋅→=λξη01∆其中:f x y (,)叫做被积函数, L 叫做积分弧段。
弧长曲线积分公式
弧长曲线积分公式是用于计算曲线弧长的公式。
对于参数方程表示的曲线，其弧长可以通过积分来计算。
具体的弧长曲线积分公式如下：
设曲线的参数方程为x = f(t)，y = g(t)，a ≤t ≤b，则曲线的弧长可以表示为：
L = ∫[a, b] √[f'(t)²+ g'(t)²] dt
其中，f'(t) 和g'(t) 分别表示参数方程x = f(t) 和y = g(t) 的导数。
该公式的思想是将曲线划分成无穷小的线段，然后对每个线段的长度进行求和，最终得到整个曲线的弧长。
需要注意的是，当曲线的参数方程难以直接求导时，可能需要使用其他方法来计算弧长，例如使用数值积分或近似计算方法。
Cjf4-对弧长的曲线积分
说明: ds (d x) (d y )
y
2 (t ) 2 (t ) d t
ds d y dx
o x
如果曲线 L 的方程为
b
则有
f ( x, ( x) ) 1 2 ( x) d x a
如果方程为极坐标形式: L : r r ( ) ( ), 则
(2)
f ( x, y, z) g ( x, y, z)d s f ( x, y , z ) d s g ( x, y , z ) d s
（k 为常数)
(4)
f ( x, y, z ) d s
1
f ( x, y , z ) d s
组成)
2
2
2 2 x 2 ds y ds z ds
1 x d s ( x 2 y 2 z 2 ) ds 3 1 2 1 2 a ds a 2 a 3 3 2 3 a 3
思考: 例5中 改为 计算
, 如何
X x 1 X 2 Y 2 Z 2 a2 解: 令 Y y 1 , 则 : X Y Z 0 Z z
f ( x, y , z ) d s
(由
二、对弧长的曲线积分的计算法
基本思路: 求曲线积分 定理:
转化
计算定积分
是定义在光滑曲线弧 且
上的连续函数, 则曲线积分
L
f ( x, y ) d s
2
f [ (t ) , (t )] 2 (t ) 2 (t ) d t
2
第四节 对弧长的曲线积分
第十章
一、对弧长的曲线积分的概念与性质 二、对弧长的曲线积分的计算法
对弧长的曲线积分
实例: 实例:曲线形构件的质量 匀质之质量 M = ρ ⋅ s . 分割 M1 , M 2 ,L, M n−1 → ∆si ,
n
y
B
L Mn−1
(ξi ,ηi ) M i M2 Mi−1 M1
A
o
x
取 (ξ i ,η i ) ∈ ∆si , ∆M i ≈ ρ (ξ i ,η i ) ⋅ ∆si .
∫
Γ
f ( x, y, z)ds
β α
= ∫ f [ϕ(t ),ψ (t ),ω(t )] ϕ′2(t ) +ψ′2(t ) + ω′2(t )dt (α < β )
x = a cos t , 例1 求 I = ∫ xyds, L : 椭圆 (第Ι象限 ). L y = b sin t ,
解 由对称性, 知 由对称性
∫ x ds = ∫
2 Γ
Γ
y ds = ∫ z ds .
2 2 Γ
1 故 I = ∫ ( x 2 + y 2 + z 2 )ds 3 Γ
a2 2 πa 3 = ∫ ds = . ( 2πa = ∫ ds, 球面大圆周长 ) Γ 3 Γ 3
六、小结
1、对弧长曲线积分的概念 2、对弧长曲线积分的计算 3、对弧长曲线积分的应用
( 2) 当 f ( x , y ) ≡ 1时, L弧长 = ∫Lds ;
( 3) 曲线弧对 x轴及 y轴的转动惯量 ,
I x = ∫ y ρ( x , y )ds , I y = ∫ x ρ( x , y )ds .
2 2 L L
(4) 曲线弧的质心坐标
∫ xρ ( x , y )ds , x= ∫ ρ ( x , y )ds
对弧长曲线积分课件
02 对弧长的曲线积分性质
线性性质
总结词
线性性质是指对弧长的曲线积分满足线性运算规则，即对弧长的曲线积分可以按照线性组合进行计算 。
详细描述
对于两个或多个函数的线性组合，其对应的对弧长的曲线积分等于各函数对弧长的曲线积分的线性组 合。即，如果 $f(x) 和 g(x)$ 是定义在同一直线上的函数，那么 $(f(x) + g(x))$ 的对弧长的曲线积分 等于 $f(x)$ 的对弧长的曲线积分加上 $g(x)$ 的对弧长的曲线积分。
要点二
平面曲线的面积
通过计算平面曲线围成的区域的面积，可以利用曲线积分 的方法。这种方法在几何学、物理学等领域有广泛应用。
平面曲线的曲率和挠率
平面曲线的曲率
曲率描述了曲线在某一点的弯曲程度。通过计算弧长曲 线积分，可以得到曲线的曲率。这对于分析曲线的形状 和性质具有重要意义。
平面曲线的挠率
挠率是描述曲线在垂直方向上的变化率，即曲线在某一 点的倾斜程度。通过计算弧长曲线积分，可以得到曲线 的挠率。这对于研究曲线的全局几何特征具有重要意义 。
积分区间的可加性
总结词
积分区间的可加性是指对弧长的曲线积分可以在不同的区间上分别计算，然后再 相加。
详细描述
如果函数 $f(x)$ 在两个不重叠的区间 $[a, b]$ 和 $[c, d]$ 上有定义，那么 $f(x)$ 在整个区间 $[a, b] cup [c, d]$ 上的对弧长的曲线积分等于在 $[a, b]$ 和 $[c, d]$ 上的对弧长的曲线积分之和。
03 对弧长的曲线积分的应用
平面曲线的长度
总结词
对弧长的曲线积分可以用来计算平面曲线的长度。
对弧长和曲线积分
则 f (x, y, z)ds
f ((t) , (t),(t) )
2 (t) 2 (t) 2 (t) d t
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例1. 计算
其中 L 是抛物线
与点 B (1,1) 之间的一段弧 .
解: L : y x2 ( 0 x 1)
1
0 x
1
x
1 4x2 dx
0
（k 为常数)
(3) f (x, y, z) ds f (x, y, z) ds f (x, y, z) ds
1
2
( 由
组成)
( l 为曲线弧 的长度)
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4、几何与物理意义
(1) 当( x, y)表示 L的线密度时,
M L ( x, y)ds ;
(2)
o
x
4 4 r cos
r 2 ( ) r2 ( ) d
0
4 4 a2 cos d 0
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例4. 计算曲线积分 线
解: (x2 y2 z2 ) ds
其中为螺旋 的一段弧.
a2 k 2 2 [a2 k 2t 2]d t 0
2 a2 k 2 (3a2 4 2k 2 )
解:
d
Fx
k
ds
R2
cos
(x, y)
d
Fy
k
ds
R2
sin
2k sin cos
R
0
Fy
2k R
0
sin
d
2k R
cos
sin
0
故所求引力为 F 4k , 2k
RR
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对弧长的曲线积分
令 v cos u
16a
3
1 1
(1 v 2 ) 2 d v
256 3 a . 15
例
L
( x 2 y 2 ) d s , 其中 L : x 2 y 2 a 2 (a 0) .
解
L 的参数方程为 x a cos t , y a sin t , 0 t 2 .
2 ) L OA AB , 在 OA 上 : y 0 , d s d x ; 在 AB 上 : x 1 , d s d y ,
3 故 x d s x d s x d s x d x 1d y . L OA AB 0 0 2
1 1
例
求
L
| y | d s , 其中 L 为右半单位圆 .
y B(0, 1)
C (1, 0)
O
解 由题意, L : x 2 y 2 1 , x 0 .
由隐函数求导法, 得
x y , y
故
从而,
x
A(0, 1)
ds
x2 y 2 1 1 y d x dx d x. 2 y | y|
x y z . 3 2 1
线段 AO 参数方程为 x 3 t , y 2 t , z t , 0 t 1 .
( x y z ) d s ((3 t )3 (2 t ) 2 t ) 32 22 12 d t
3 2 0
1
31 31 14 t d t 14 . 0 4
化为定积分后, 积分下限小于积分上限 .
例
计算
L
y 2 d s , 其中 L 为摆线 x a (t sin t ) , y a (1 cos t )
对弧长的曲线积分公式极坐标
对弧长的曲线积分公式极坐标在我们学习数学的旅程中，有一个概念叫对弧长的曲线积分公式极坐标。
这玩意儿，听起来是不是有点让人头大？别慌，让我来给您好好说道说道。
先来说说啥是曲线积分。
想象一下，有一条弯弯曲曲的线，就像公园里那种曲折的小路。
我们要沿着这条小路做一些计算，这就是曲线积分啦。
而极坐标呢，就像是给我们换了一副特别的眼镜来看世界。
咱们平常熟悉的坐标是直角坐标，就是那个横横竖竖的x 轴、y 轴。
极坐标可不一样，它用角度和距离来确定一个点的位置。
比如说，您告诉别人“我在离原点 3 米远，角度是 45 度的地方”，这就是极坐标的表达方式。
那把曲线积分和极坐标放在一块儿，就有了对弧长的曲线积分公式极坐标。
这个公式看起来挺复杂，但其实就是帮助我们在极坐标下计算沿着曲线的一些量。
我记得有一次给学生讲这个知识点的时候，有个小家伙皱着眉头问我：“老师，这东西到底有啥用啊？”我笑了笑，跟他们说：“同学们，想象一下，咱们要给一个圆形的花坛围上一圈彩灯，那得知道需要多长的彩灯线吧？这时候这个公式就能派上用场啦。
”为了让大家更好地理解，我在黑板上画了一个大大的极坐标图，标上了角度和距离。
然后一步一步地推导公式，边写边解释每个符号的含义。
那认真的劲儿，就像是在雕琢一件精美的艺术品。
同学们也跟着我的节奏，眼睛一眨不眨地盯着黑板，时不时还点点头，好像突然明白了什么。
在推导的过程中，有个平时挺调皮的学生突然喊了一句：“老师，我好像懂了！”那一瞬间，我心里别提多高兴了，就觉得所有的辛苦都值了。
当我们把这个公式弄明白之后，再去做那些相关的题目，就会发现其实也没那么难。
比如说，计算一个极坐标下的曲线长度，只要把相应的参数代入公式，认真算一算，答案就出来啦。
总之，对弧长的曲线积分公式极坐标虽然看起来有点复杂，但只要我们用心去学，多做几道题，多琢磨琢磨，就能掌握它的奥秘。
就像我们在生活中面对困难一样，只要不退缩，总能找到解决的办法。
希望大家在学习这个知识点的时候，都能充满信心，加油！。
对弧长的曲线积分
对弧长的曲线积分一、概念的引进假设xoy 面内有一段曲线弧L 具有质量,在L 上任一点(,)x y 处的线密度为ρ(,)x y ,且ρ(,)x y 在L 上连续,A 与B 分别是弧L 的端点,现计算弧L 的质量m 。
在L 上任意地插入n +1个分点A M M M M M MB i i n n ==--0111,,,,,,,将L 分划成n 个小弧段。
对于第 i 个小弧段弧M i M i -1,由于线密度函数ρ(,)x y 在L 上连续,当该小弧段的长度充分小时,它的质量近似地等于ρξηξη(,)(,),i i ii i M i M i s i M i M i s ∆∆∀--弧表示弧的长度11于是,整个曲线弧L 的质量近似值为m s i i ii n≈⋅=∑ρξη(,)∆1用λ表示这n 个小弧段长度的最大者, 即λ=≤≤max {}1i ni s ∆为了得到质量m 的精确值,只需对上述和式取极限,令λ→0,即m s i i ii n=⋅→=∑lim (,)λρξη01∆ (1)撇开上例的物理意义,我们引入对弧长的曲线积分的概念。
【定义】设L 为xoy 面内的一条光滑曲线弧,函数f x y (,)在L 上有界,在L 内任意地插入n +1点,A M M M M M MB i i n n ==--0111,,,,,,,它把L 分成n 个小弧段,设第i 个小段弧M i M i -1的长度为∆s i ,(,)ξηi i 为弧M i M i -1上任取的一点,记λ=≤≤max {}1i ni s ∆作和式 f s i i ii n(,)ξη⋅=∑∆1如果极限 lim (,)λξη→=⋅∑01f s i i ii n∆ 存在,这个极限值就叫做函数f x y (,)在曲线弧L 上对弧长的曲线积分,记作f x y dsL(,)⎰。
亦即 f x y ds f s L i i i i n(,)lim (,)⎰∑=⋅→=λξη01∆其中:f x y (,)叫做被积函数, L 叫做积分弧段。
对弧长曲线积分
∫
L
f ( x, y)ds
(化为定积分) 化为定积分)
x = ϕ(t ), 设曲线 L : (α ≤ t ≤ β ), y =ψ (t ), 且 其中 ϕ(t ),ψ (t ) 有连续的导数，
2 2
ϕ′ (t ) +ψ′ (t ) ≠ 0; f ( x, y) 在L上连续.
L : x = ϕ(t ), y =ψ (t ) (α ≤ t ≤ β ).
f ( x , y )ds;
∫
Γ
f ( x , y , z )ds
对面积的（第一类） 对面积的（第一类）曲面积分
∫∫
Σ
f ( x , y , z )dS
为平面或空间有限光滑(或分段光滑 当G为平面或空间有限光滑 或分段光滑 为平面或空间有限光滑 或分段光滑) 曲线(L或 时 积分称为对弧长的曲线积分 曲线 或 Γ)时，积分称为对弧长的曲线积分 或第一类曲线积分,即 第一类曲线积分 即
2 2
∆ x ds
dy
oa
x
x +∆x b
x
dy 2 ds = (dx) + (dy) = 1+ ( ) ⋅ dx, dx
弧长微分公式
ds = 1+ y′ dx,
2
(2) 参数方程情形
x = ϕ(t ), 曲线弧为 (α ≤ t ≤ β ). y =ψ (t ), 且在 [α, β ]上具有连续导数 ϕ′(t ),ψ ′(t ).
(1) 曲线弧为参数方程的计算 曲线弧为参数方程 参数方程的计算
L : x = ϕ(t ), y =ψ (t ) (α ≤ t ≤ β ).
β
∫
L
f ( x, y)ds= ∫α
对弧长曲线积分
f [ (t ), (t )]
2 (t ) 2 (t ) d t
• 对光滑曲线弧
b
f (x, y)ds f (x, (x) )
L
a
1 2(x) dx
• 对光滑曲线弧
L f (x, y)ds
f (r( ) cos , r( )sin )
r 2 ( ) r2 ( ) d
(2) f (x, y, z)ds f (x, y, z) ds f (x, y, z) ds
1
2
(3) ds l ( l 曲线弧 的长度) ( 由1, 2 组成)
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3. 计算
• 对光滑曲线弧
L
f
(x,
y) ds
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例1. 计算
其中 L 是抛物线
与点 B (1,1) 之间的一段弧 .
解: L : y x2 (0 x 1)
1
0 x
1
x
1 4x2 dx
0
1 12
(1
4x
2
)
3 2
1 0
1 (5 5 1) 12
上点 O (0,0)
y B(1,1) y x2
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例3. 计算
其中 为曲线 z
解: 利用轮换对称性 , 有
x2 ds y2 ds z2 ds
利用重心公式知
I 2 (x2 y2 z2) ds 3 4 πa3 3
y
O
对弧长的曲线积分
∫α
于是
β
f [(t),ψ(t)] ′2(t)+ψ′2(t)dt .
β α
∫L
f (x, y)ds = ∫ f [(t),ψ(t)] ′2(t)+ψ′2(t)dt .
二、对弧长的曲线积分的计算
定理 设f(x, y)在曲线弧L上有定义且连续, L的参数方程为 x=(t), y=ψ(t) (α≤t≤β), 其中(t)、ψ(t)在[α, β]上具有一阶连续导数, 且′2(t)+ψ′2(t)≠0,
a
b
设曲线 L的参数方程为x=(t), y=ψ(t) (α≤t≤β), 则
∫L
讨论:
f (x, y)ds =∫ f [(t),ψ(t)] ′2(t)+ψ′2(t)dt (α<β).
α
β
(1)若曲线 L 的方程为 y=ψ(x)(a≤x≤b), 则∫ f (x, y)ds =？
L
(2)若曲线 L 的方程为 x=(y)(c≤y≤d), 则∫ f (x, y)ds =？
提示: 曲线形构件L的质量元素为
f (x, y)ds = f [(t),ψ(t)] ′2(t)+ψ′2(t)dt .
二、对弧长的曲线积分的计算
根据对弧长的曲线积分的定义, 如果曲线形构件L的线密 度为f(x, y), 则曲线形构件L的质量为
∫L f (x, y)ds .
另一方面, 如果曲线L是光滑的, 其参数方程为 x=(t), y=ψ (t) (α≤t≤β), 则曲线形构件L的质量为
α
β
(1)若曲线 L 的方程为 y=ψ(x)(a≤x≤b), 则∫ f (x, y)ds =？
L
(2)若曲线 L 的方程为 x=(y)(c≤y≤d), 则∫ f (x, y)ds =？
对弧长的曲线积分计算思路、步骤与典型例题
对弧长的曲线积分计算思路、步骤与典型例题展开全文一、对弧长的曲线积分的几何意义与物理意义1、构建对弧长的曲线积分的模型对弧长的曲线积分即在微元弧微分ds分布的曲线上求分布的量的和。
比如小段ds的质量近似量，即为ds上一点(x,y,z)的线密度与弧长的乘积ρ(x,y,z)ds，总的曲线型构建的质量即为ds分布的曲线Γ上求和，从而得到对弧长的曲线积分模型描述形式为其中平面上的曲线积分即为以上模型的特殊情况，即z=0的情形。
2、对弧长的曲线积分的几何意义(1) 当f(x,y)=1时，表示积分曲线段L的长度；(2) 当f(x,y)>0时，表示以xOy面上的曲线L为准线，母线平行于z轴，顶部为(x,y,f(x,y))点构成的曲线的柱面片的面积。
当f(x,y,z)=1时，表示积分曲线段Γ的长度。
3、对弧长的曲线积分的物理意义当f(x,y)>0,f(x,y,z)>0时，分别表示平面曲线段L与空间曲线段Γ的长度。
二、对弧长的曲线积分的计算方法不管是空间曲线还是平面曲线，曲线积分的计算公式可以统一描述为其中C:r=r(t),a≤t≤b，即由曲线C的参数方程式分量构成的向量值函数描述形式，其中|r’(t)|表示向量值函数r=r(t)的导数向量的模。
1．积分曲线为平面曲线的情形● 当C:y=y(x),a≤x≤b时，则r=r(x)=(x,f(x))，a≤x≤b，所以有● 当C:x=x(x),y=y(t),a≤t≤b时，则r=r(t)=(x(t),y(t))，a≤t≤b，所以有● 当C:ρ=ρ(θ),α≤θ≤β时，则r=r(θ)=( ρ(θ)cosθ, ρ(θ)sinθ)，α≤θ≤β，所以有2．积分曲线为空间曲线的情形当C:x=x(x),y=y(t),z=z(t),a≤t≤b时，则r=r(t)=(x(t),y(t), z(t))，a≤t≤b，所以有【注】|r’(t)|dt即为弧微分，弧长大于0，所以以上的定积分计算式中一定有积分下限小于积分上限。
对弧长的曲线积分
d
【推广】 : x ( t ), y ( t ), z ( t ). ( t ) f ( x , y, z )ds Γ为空间曲线
f [ ( t ), ( t ), ( t )] 2 ( t ) 2 ( t ) 2 ( t )dt
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一、问题的提出
y
实例:曲线形构件的质量
B
L M n 1
( i , i ) M i M2 M i 1 M1
线密度为常量时 M s.
A
M1 , M 2 ,, M n1 si , o 分割
x
取近似 求和 取极限
取 ( i , i ) si , M i ( i ,i ) si .
曲线积分为
f ( x , y , z )ds lim f ( i ,i , i ) si .
0
i 1
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n
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【注意】 1. 若 L 是分段光滑的, ( L L1 L2 )
L1 L2
f ( x , y )ds f ( x , y )ds f ( x , y )ds.
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【思考题】 对弧长的曲线积分的定义中 S i的符号 可能为负吗？
【思考题解答】
S i 的符号永远为正，它表示弧段的长度.
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o
x
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积分弧段(路径)
被积函数
n
弧微分 积分和式
L
4.对弧长的曲线积分
§4. 对弧长的曲线积分
曲线型构体的质量M. 设L是一平面曲线. L上分布着质量. L 的线密度µ = µ (x , y)连续. 求L的质量M. 当µ 为常数时(即质量均匀分布时), M = µ ×L 的长. 当 µ = µ (x , y)不是常数时, 如何求 M ?
Xi–1 (ξ i , ηi ) x
(iii) L的质量 M ≈ ∑ µ (ξi ,ηi )∆si
i =1
n
(iv) 若记 λ = max{∆si },
1≤i ≤ n
则 M = lim ∑ µ (ξi ,ηi )∆si .
λ →0 i =1
n
对弧长的曲线积分(第一型曲线积分 对弧长的曲线积分 第一型曲线积分) 第一型曲线积分 f (x, y)是定义在平面曲线L上的二元函数. ds为弧长元素(弧微分)，
y 2 y2=2x
1 dy ds = 1 + dx = 1 + dx 2x dx
2
∴
0 2 x
∫
L
yds = ∫
2
0
1 2 x ⋅ 1 + dx 2x
1 2 x＋ dx = (5 5 − 1) 1 3
=∫
2
0
y2 解 2： L : x = , 0≤y≤2 2
dx 2 ds = 1 + dy = 1 + y dy dy
L a
b
(a<b)
(2) L：x=x(y), c≤y≤d 假设 x(y)∈C1([c, d]). 有
ds = 1 + x' 2 ( y )dy
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i 1
n
对弧长的曲线积分的记 号
LAB
f ( x, y ) d s lim f ( i , i )si .
0
i 1
n
L AB
— 对弧长的曲线积分号 ；
定义在曲线 LAB 上
f ( x, y ) d s — 被积表达式 ； d s — 弧长元素 ( 弧微分) ；
f ( x, y ) — 被积函数； LAB — 积分曲线 .
x y z . 3 2 1
线段 AO 参数方程为 x 3 t , y 2 t , z t , 0 t 1 .
( x y z ) d s ((3 t )3 (2 t ) 2 t ) 32 22 12 d t
3 2 0
1
31 31 14 t d t 14 . 0 4
L
| y | d s , 其中 L 为右半单位圆 .
y B(0, 1)
C (1, 0)
O
解 由题意, L : x 2 y 2 1 , x 0 .
由隐函数求导法, 得
x y , y
故
从而,
x
A(0, 1)
ds
x2 y 2 1 1 y d x dx d x. 2 y | y|
1 3
作业
P169-170 1 (1) (3) (5) 2
A i 1
M i ( i , i )
si
Ai
m f ( i , i ) si
i 1
m i f ( i , i )si
m lim f ( i , i ) si
0
i 1
n
二. 对弧长的曲线积分的定义和性质
设函数 f ( x , y ) 是定义在 xy 平面上的一条可求长的曲线 LAB
五. 三维空间中对弧长的曲线积分的计算
通常将空间 R 3 中的曲线表示为参数方 程形式 , 然后
化为定积分来计算.
设 R3 中曲线 的参数方程为
: x x(t ) , y y(t ) , z z(t ) , t [ , ] ,
且 x(t ) , y (t ) , z (t ) C1 ([ , ]) , 则
上的有界函数 . 在 LAB 上任取 n 1 个点 :
A A0 A1 Ai 1 Ai An1 An B ,
将 LAB 分 成 n 个小弧段 Si ( i 1 , 2 , , n) , 每个小弧段的长度
记为 si , 并记 max{si } . 若 ( i , i ) Si , 极限 1 i n
L
三. 直角坐标系下对弧长的曲线积分的计算
首先回忆定积分中讲过 的弧微分d s :
y
y f ( x)
dx
dy
d x2 d y2 d s2
当弧长的增加方向与自 变量 x 的增加方向一致时 ,
ds 1 y 2 d x .
1. 设曲线 L 的方程为
y y ( x) , x [a , b] , 且 y ( x) C1 ([a , b]) , 则
2 ) L 是折线 OAB , 其中 A( 1, 0) .
y
B( 1, 1 )
解
1) L : y x 2 , x [0, 1] , 而
ds
1 y 2 d x
1 2
1 4x2 d x ,
O
A(1,0) x
1 故 x d s x 1 4 x d x (5 5 1 ) . L 0 12
d s x2 (t ) y2 (t ) z2 (t ) d t ,
f ( x, y, z ) d s f ( x(t ), y (t ), z (t )) x2 (t ) y2 (t ) z 2 (t ) d t .
f ( x, y, z ) 定义在曲线 上 ; 弧长的增加方向与自变 量 t 的
L
f ( x, y ) d s f ( x, y ( x)) 1 y2 d x
a
b
(1) .
由于对弧长的曲线积分 与起点、终点的位置无 关, 所以, 总可以认为弧长的增加 方向与x 的增加方向一致.
将对弧长的曲线积分化 为定积分计算时 , 积分下限
总小于积分上限.
2. 设曲线 L 的方程为
2 ) L OA AB , 在 OA 上 : y 0 , d s d x ; 在 AB 上 : x 1 , d s d y ,
3 故 x d s x d s x d s x d x 1d y . L OA AB 0 0 2
1 1
例
求
五. 三维空间中对弧长的曲线积分的计算
一. 对弧长的曲线积分的物理背景
设有一质量非均匀分布 的光滑的平面曲线构件 L , 其密度 是 L 上点的连续函数 : f ( x, y ) ( x, y ) L .
求曲线构件L 的质量.
仿照质量非均匀分布的 直线构件的质量计算方 法:
分割 —— 近似 —— 求和 —— 取极限 . y B 将构件简化为数学中
第四章 多元函数积分学
第 四 节 对弧长的曲线积分
本节教学要求：
正确理解对弧长的曲线积分的概念和物理背景。
熟悉二维空间中对弧长的曲线积分的计算方法。 了解三维空间中对弧长的曲线积分。 正确理解弧长元素的含义。
第四节 对弧长的曲线积分
一. 对弧长的曲线积分的物理背景
二. 对弧长的曲线积分的定义和性质 三. 直角坐标系下对弧长的曲线积分的计算 四. 参数方程时对弧长的曲线积分的计算
d s x2 y2 d t (a sin t ) 2 (a cos t ) 2 d t a d t .
由于被积函数 f 定义在曲线 L 上 , 故
f ( x, y ) x 2 y 2 a 2 ,
从而 ,
L
(x y ) d s
2 2
2 0
a 2 a d t 2 a 3 .
如果积分曲线为一条封 闭曲线 L , 则积分记为
L
f ( x, y ) d s lim f ( i , i )si .
0
i 1
n
对弧长的曲线积分的性 质 1. 对弧长的曲线积分值与 曲线的起点、终点位置 无关:
LAB
f ( x, y) d s
LBA
f ( x, y) d s .
0
n
lim f ( i , i )si
i 1
存在, 且该极限值与对曲线LAB 的分法和点(i , i ) 的取法无关,
则称该极限值为函数 f ( x, y ) 在曲线 LAB 上对弧长的积分 , 记为
L AB
f ( x, y ) d s lim f ( i , i )si .
化为定积分后, 积分下限小于积分上限 .
例
计算
L
y 2 d s , 其中 L 为摆线 x a (t sin t ) , y a (1 cos t )
(a 0) 的第一拱 (0 t 2 ) .
解
d s x2 y2 d t a 2 (1 cos t ) 2 a 2 sin 2 t d t
增加方向一致.
例
求
ds , 是螺旋线 x a cos t , y a sin t , 2 2 2 x y z
z b t 的第一圈 ( 0 t 2 ) .
解
d s x2 (t ) y2 (t ) z2 (t ) d t a 2 b 2 d t ,
2. 如果 L＝L1 L 2 , L1 和 L2 是光滑曲线, 则
L
f ( x, y) d s f ( x, y) d s
L1
L2
f ( x, y) d s .
3. 当 f ( x , y ) 1 时 ,
L
f ( x, y ) d s d s s ( s 为曲线 L 的弧长 ) .
x x( y ) , y [c , d ] , 且 x( y ) C 1 ([c , d ]) , 则
d
L
f ( x, y ) d s f ( x( y ), y ) 1 x2 d y
c
( 2) .
y d
c
O
x x( y )
x
例
计算
L
x d s , 其中
1 ) L 是 y x 2 上由原点O(0, 0) 到点 B( 1, 1 ) 的一段弧.
令 v cos u
16a
3
1 1
(1 v 2 ) 2 d v
256 3 a . 15
例
L
( x 2 y 2 ) d s , 其中 L : x 2 y 2 a 2 (a 0) .
解
L 的参数方程为 x a cos t , y a sin t , 0 t 2 .
ds a 2 b2 d t 2 2 2 0 x y z a 2 b 2t 2
a 2 b2 2 b arctan . ab a
例
计算
( x3 y 2 z) d s ,
其中 是由点 A(3, 2, 1) 到原点的直线段 .
解 过原点和点A 的直线方程为
2
L AC
此题可选 y 作自变量. 请同学课后 自己完成.