第4讲对弧长的曲线积分

1 3
作业
P169-170 1 (1) (3) (5) 2

具有质量的平面曲线 .
A

b
O a
x
y
A A A
A i 1
i 1
An 1 B
点 M i ( i , i ) 的位置
可以由点A 到 M 的 弧长来确定.
f ( M i ) f ( i , i )
O a
b
x
n
可以看成是弧长的
函数 .

L
f ( x, y ) d s f ( x, y ( x)) 1 y2 d x
a
b
(1) .
由于对弧长的曲线积分 与起点、终点的位置无 关, 所以, 总可以认为弧长的增加 方向与x 的增加方向一致.
将对弧长的曲线积分化 为定积分计算时 , 积分下限
总小于积分上限.
2. 设曲线 L 的方程为
2
L AC
此题可选 y 作自变量. 请同学课后 自己完成.

L
| y |ds 百度文库
| y |ds
LBC
| y |ds
1 1 1 | y| dx | y| d x 2. 0 0 | y| | y| 1
四. 参数方程时对弧长的曲线积分的计算
设 L : x x(t ) , y y(t ) , t [ , ] ,
0
i 1
n
对弧长的曲线积分的记 号

LAB
f ( x, y ) d s lim f ( i , i )si .
0
i 1
n

L AB
— 对弧长的曲线积分号 ；
定义在曲线 LAB 上
f ( x, y ) d s — 被积表达式 ； d s — 弧长元素 ( 弧微分) ；
f ( x, y ) — 被积函数； LAB — 积分曲线 .
五. 三维空间中对弧长的曲线积分的计算
通常将空间 R 3 中的曲线表示为参数方 程形式 , 然后
化为定积分来计算.
设 R3 中曲线 的参数方程为
: x x(t ) , y y(t ) , z z(t ) , t [ , ] ,
且 x(t ) , y (t ) , z (t ) C1 ([ , ]) , 则
t 2a sin d t , (0 t 2 ) 2
于是

L
y d s 2a
2
3

3
2 0
2 t 3 5 t (1 cos t ) sin d t 8a sin d t 0 2 2 2
t 令 u 2
16a


0
sin u d u 16a
5
3


0
(1 cos 2 u ) 2 sin u d u
化为定积分后, 积分下限小于积分上限 .
例
计算

L
y 2 d s , 其中 L 为摆线 x a (t sin t ) , y a (1 cos t )
(a 0) 的第一拱 (0 t 2 ) .
解
d s x2 y2 d t a 2 (1 cos t ) 2 a 2 sin 2 t d t
上的有界函数 . 在 LAB 上任取 n 1 个点 :
A A0 A1 Ai 1 Ai An1 An B ,
将 LAB 分 成 n 个小弧段 Si ( i 1 , 2 , , n) , 每个小弧段的长度
记为 si , 并记 max{si } . 若 ( i , i ) Si , 极限 1 i n
如果积分曲线为一条封 闭曲线 L , 则积分记为

L
f ( x, y ) d s lim f ( i , i )si .
0
i 1
n
对弧长的曲线积分的性 质 1. 对弧长的曲线积分值与 曲线的起点、终点位置 无关:


LAB
f ( x, y) d s
LBA
f ( x, y) d s .
x y z . 3 2 1
线段 AO 参数方程为 x 3 t , y 2 t , z t , 0 t 1 .


( x y z ) d s ((3 t )3 (2 t ) 2 t ) 32 22 12 d t
3 2 0
1
31 31 14 t d t 14 . 0 4
2. 如果 L＝L1 L 2 , L1 和 L2 是光滑曲线, 则
L
f ( x, y) d s f ( x, y) d s
L1
L2
f ( x, y) d s .
3. 当 f ( x , y ) 1 时 ,
L
f ( x, y ) d s d s s ( s 为曲线 L 的弧长 ) .
2 ) L 是折线 OAB , 其中 A( 1, 0) .
y
B( 1, 1 )
解
1) L : y x 2 , x [0, 1] , 而
ds
1 y 2 d x
1 2
1 4x2 d x ,
O
A(1,0) x
1 故 x d s x 1 4 x d x (5 5 1 ) . L 0 12

ds a 2 b2 d t 2 2 2 0 x y z a 2 b 2t 2
a 2 b2 2 b arctan . ab a
例
计算

( x3 y 2 z) d s ,
其中 是由点 A(3, 2, 1) 到原点的直线段 .
解 过原点和点A 的直线方程为
2 ) L OA AB , 在 OA 上 : y 0 , d s d x ; 在 AB 上 : x 1 , d s d y ,
3 故 x d s x d s x d s x d x 1d y . L OA AB 0 0 2
1 1
例
求

增加方向一致.
例
求

ds , 是螺旋线 x a cos t , y a sin t , 2 2 2 x y z
z b t 的第一圈 ( 0 t 2 ) .
解
d s x2 (t ) y2 (t ) z2 (t ) d t a 2 b 2 d t ,
令 v cos u
16a
3

1 1
(1 v 2 ) 2 d v
256 3 a . 15
例

L
( x 2 y 2 ) d s , 其中 L : x 2 y 2 a 2 (a 0) .
解
L 的参数方程为 x a cos t , y a sin t , 0 t 2 .
五. 三维空间中对弧长的曲线积分的计算
一. 对弧长的曲线积分的物理背景
设有一质量非均匀分布 的光滑的平面曲线构件 L , 其密度 是 L 上点的连续函数 : f ( x, y ) ( x, y ) L .
求曲线构件L 的质量.
仿照质量非均匀分布的 直线构件的质量计算方 法:
分割 —— 近似 —— 求和 —— 取极限 . y B 将构件简化为数学中
A i 1

M i ( i , i )
si

Ai
m f ( i , i ) si
i 1
m i f ( i , i )si
m lim f ( i , i ) si
0
i 1
n
二. 对弧长的曲线积分的定义和性质
设函数 f ( x , y ) 是定义在 xy 平面上的一条可求长的曲线 LAB
L
| y | d s , 其中 L 为右半单位圆 .
y B(0, 1)
C (1, 0)
O
解 由题意, L : x 2 y 2 1 , x 0 .
由隐函数求导法, 得
x y , y
故
从而,
x
A(0, 1)
ds
x2 y 2 1 1 y d x dx d x. 2 y | y|
d s x2 (t ) y2 (t ) z2 (t ) d t ,

f ( x, y, z ) d s f ( x(t ), y (t ), z (t )) x2 (t ) y2 (t ) z 2 (t ) d t .


f ( x, y, z ) 定义在曲线 上 ; 弧长的增加方向与自变 量 t 的
d s x2 y2 d t (a sin t ) 2 (a cos t ) 2 d t a d t .
由于被积函数 f 定义在曲线 L 上 , 故
f ( x, y ) x 2 y 2 a 2 ,
从而 ,

L
(x y ) d s
2 2
2 0
a 2 a d t 2 a 3 .
第四章 多元函数积分学
第 四 节 对弧长的曲线积分
本节教学要求：


正确理解对弧长的曲线积分的概念和物理背景。
熟悉二维空间中对弧长的曲线积分的计算方法。 了解三维空间中对弧长的曲线积分。 正确理解弧长元素的含义。
第四节 对弧长的曲线积分
一. 对弧长的曲线积分的物理背景
二. 对弧长的曲线积分的定义和性质 三. 直角坐标系下对弧长的曲线积分的计算 四. 参数方程时对弧长的曲线积分的计算
0
n
lim f ( i , i )si
i 1
存在, 且该极限值与对曲线LAB 的分法和点(i , i ) 的取法无关,
则称该极限值为函数 f ( x, y ) 在曲线 LAB 上对弧长的积分 , 记为

L AB
f ( x, y ) d s lim f ( i , i )si .
L
三. 直角坐标系下对弧长的曲线积分的计算
首先回忆定积分中讲过 的弧微分d s :
y
y f ( x)
dx
dy
d x2 d y2 d s2
当弧长的增加方向与自 变量 x 的增加方向一致时 ,
ds 1 y 2 d x .
1. 设曲线 L 的方程为
y y ( x) , x [a , b] , 且 y ( x) C1 ([a , b]) , 则
且 x(t ) , y (t ) C1 ([ , ]) , 则
d s x2 (t ) y2 (t ) d t ,

L
f ( x, y ) d s f ( x(t ), y (t )) x2 (t ) y2 (t ) d t


(3) .
注意: 取弧长的增加方向与自 变量 t 的增加方向一致.
x x( y ) , y [c , d ] , 且 x( y ) C 1 ([c , d ]) , 则
d

L
f ( x, y ) d s f ( x( y ), y ) 1 x2 d y
c
( 2) .
y d
c
O
x x( y )
x
例
计算

L
x d s , 其中
1 ) L 是 y x 2 上由原点O(0, 0) 到点 B( 1, 1 ) 的一段弧.