结构力学第七章位移法PPT课件
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结构力学位移法
FP
M BC -3iZ1
A
M BA M BC 0
1 Z1 56i FPl
3 M BA 56 FPl 当附加约束产生实际位移时，建立附加约束的
平衡方程，求解附加约束的位移，进而根据形
常数和载常数绘出各杆的内力图。
25
平衡方程法
以某些结点的位移为基本未知量 将结构拆成若干具有已知力-位移(转 角-位移)关系的单跨梁集合 分析各单跨梁在外因和结点位移共同 作用下的受力 将单跨梁拼装成整体 用平衡条件消除整体和原结构的差别, 建立和位移个数相等的方程 求出基本未知量后,由单跨梁力-位移关 系可得原结构受力
B 结点位移状态的一
致性。
18
P
A θA
C
θA
实现位移状态可分两步完成
1）在可动结点上附加约束， 限制其位移，在荷载作用下， 附加约束上产生附加约束力；
B 分析：
2）在附加约束上施加外力， 使结构发生与原结构一致的结 点位移。
1）叠加两步作用效应，约束结构与原结构的荷载特征及 位移特征完全一致，则其内力状态也完全相等；
2）结点位移计算方法：对比两结构可发现，附加约束上 的附加内力应等于0，按此可列出基本方程。
19
位移法基本思路
q
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
A
C
βA
Z1
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
A θA
Z1P
q ql2/12
q
ql2/12 ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
A
C
C
Z1P
ql 2 Z1P - 12
l
EI=常数
B l
Z1=0
A A
26
2.典型方程法
图示各杆长度为 l ,EI 等于常数,分布集度q,
结构力学 7.位移法
也称“先拆后搭”
§7-1 位移法的基本概念
2 位移法计算刚架的基本思路
（1）基本未知量——A 和。
（2）建立位移法基本方程 ■刚架拆成杆件，得出杆件的刚度方程。 ■杆件合成刚架，利用刚架平衡条件，建立位移法基本方程。
§7 – 2 等截面直杆的刚度方程 正负号规定
结点转角 A 、 B 、弦转角（ = / l ) 和杆端弯矩M AB
0
0
6
5ql
3ql
3l / 8
8
8
9ql2 / 128
（↑） （↑）
2ql
ql
7
5
10
（↑） （↑）
8
9ql
11ql
40
40
（↑） （↑）
§7-2 等截面杆件的刚度方程
表1：载常数表（续）
序号 计算图及挠度图
弯矩图及固端弯矩
9
10
5FPl / 32
11
12
固端剪力
FQAB
FQBA
FPb(3l 2 b2 ) 2l 3
M AB
4i A
2i B
6i
l
M BA
2i A
4i B
6i
l
（1）B端为固定支座 B 0
FQ AB FQ BA
6i l
A
6i l
B
12i l2
（2）B端为铰支座 MBA 0
M AB
4i A
6i
l
M BA
2i A
6i
l
M AB
3i A
3i
l
§7-2 等截面杆件的刚度方程
M AB
24
25
26
27
固端剪力
§7-1 位移法的基本概念
2 位移法计算刚架的基本思路
（1）基本未知量——A 和。
（2）建立位移法基本方程 ■刚架拆成杆件，得出杆件的刚度方程。 ■杆件合成刚架，利用刚架平衡条件，建立位移法基本方程。
§7 – 2 等截面直杆的刚度方程 正负号规定
结点转角 A 、 B 、弦转角（ = / l ) 和杆端弯矩M AB
0
0
6
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3ql
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8
8
9ql2 / 128
（↑） （↑）
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ql
7
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10
（↑） （↑）
8
9ql
11ql
40
40
（↑） （↑）
§7-2 等截面杆件的刚度方程
表1：载常数表（续）
序号 计算图及挠度图
弯矩图及固端弯矩
9
10
5FPl / 32
11
12
固端剪力
FQAB
FQBA
FPb(3l 2 b2 ) 2l 3
M AB
4i A
2i B
6i
l
M BA
2i A
4i B
6i
l
（1）B端为固定支座 B 0
FQ AB FQ BA
6i l
A
6i l
B
12i l2
（2）B端为铰支座 MBA 0
M AB
4i A
6i
l
M BA
2i A
6i
l
M AB
3i A
3i
l
§7-2 等截面杆件的刚度方程
M AB
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26
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固端剪力
结构力学课件--7位移法1资料教程
梁 MBC4B2C41.741.1524.8941.746.9kNm
..............................................
柱 MBE443B3B31.153.45kNm
MCF412C2C2(4.89)9.8kNm
43.5 46.9
24.5 14.7
A
3.45 B
Q
F BA
B
D
i1
q
i
i
A
C
其中
x 0 Q B A Q D C 0
QBAl32i
3ql 8
3i QDC l 2
6i l2
3ql 8
0
ql 3 16 i
QBA q
QDC
绘制弯矩图的方法：
（1）直接由外荷载及剪力计算；
（2）由转角位移方程计算。
课件
例：作图示刚架的弯矩图。忽略梁的轴向变形。
MBA4iB15 MBC3iB9
4、位移法基本方程（平衡条件） 5、各杆端弯矩及弯矩图
MB 0
MBAMBC 0
4iB 153iB 90
B
6 7i
16.72
11.57
M AB 2i7 6i1 51.7 6k2N m
M BA 4i7 6i1 51.5 1k7N m M BC 3i7 6i91.5 1k7N m
A31iMAB61iMBA
7
B61iMAB31iMBA
（2）由于相对线位移引起的A和B
A
B
l
以上两过程的叠加
A3 1iMAB 6 1iMBA l
A B
我们的任务是要由杆端位移求 杆端力，变换上面的式子可得：
B6 1iMAB 3 1iM BA l
..............................................
柱 MBE443B3B31.153.45kNm
MCF412C2C2(4.89)9.8kNm
43.5 46.9
24.5 14.7
A
3.45 B
Q
F BA
B
D
i1
q
i
i
A
C
其中
x 0 Q B A Q D C 0
QBAl32i
3ql 8
3i QDC l 2
6i l2
3ql 8
0
ql 3 16 i
QBA q
QDC
绘制弯矩图的方法：
（1）直接由外荷载及剪力计算；
（2）由转角位移方程计算。
课件
例：作图示刚架的弯矩图。忽略梁的轴向变形。
MBA4iB15 MBC3iB9
4、位移法基本方程（平衡条件） 5、各杆端弯矩及弯矩图
MB 0
MBAMBC 0
4iB 153iB 90
B
6 7i
16.72
11.57
M AB 2i7 6i1 51.7 6k2N m
M BA 4i7 6i1 51.5 1k7N m M BC 3i7 6i91.5 1k7N m
A31iMAB61iMBA
7
B61iMAB31iMBA
（2）由于相对线位移引起的A和B
A
B
l
以上两过程的叠加
A3 1iMAB 6 1iMBA l
A B
我们的任务是要由杆端位移求 杆端力，变换上面的式子可得：
B6 1iMAB 3 1iM BA l
结构力学I第7章 位移法
2015-12-21
Page 25
LOGO §7-2单跨超静定梁的形常数与载常数
2015-12-21
Page 26
LOGO
§7-3 位移法解无侧移刚架
如果刚架的各结点只有角位移而没有线位移，这种刚架 称为无侧移刚架。
位移法计算：
为什么不选结点C？
取结点角位移 ������������ 作为基本位置量。 C为支座结点！
6i 6i
/ /
l l
2015-12-21
A
=
1 3i
M
AB
1 6i
M
BA
l
M BA =0
B
=
1 6i
M
AB
+
1 3i
M
BA
l
M AB 3iA 3i / l
B 0
FQAB FQBA 0
M AB M BA
第七章 位移法
结构力学 I
浙江大学海洋学院 Tel : Email：
LOGO
§7-1 位移法基本概念
位移法是计算超静定结构的基本方法之一。
P
力法计算太困难了！
用力法计算，9个未知量 如果用位移法计算, 1个基本未知量
1个什么样的基本未知量?
Page 2
LOGO
§7-1位移法基本概念
一、位移法的提出（Displacement Method）
Page 20
LOGO §7-2单跨超静定梁的形常数与载常数
用位移法进行结构分析的基础是杆件分析。位移法的基 本结构为以下三种单跨超静定梁:
四川大学结构力学第7章
概括起来，只有位移和相应位移方向上的内力 均未知时，该位移作为位移法的基本未知量。
F
F
F
θ3
F
θ1
θ2
Δ2
F M
Δ1
F M
F
A E
C
F M AE A
F
BF
A
E
BF
D
F
F
B
M AE A
D
D
θ1
F
B
D
F
A
B
C
FRB
B
C
F DE
F
G
DE
F RB
M CB C
DE
G
F
G
FRB
M CB C
θ1 DE
F
G
由平衡条件建立位移法方程
16i1
6i l
1
ql 2 8
0
(1)
M CD
FX 0, FQCA 0
M CA
B FQCA
M CA
M AC l
6i l
1
12i l2
1
C
D
6i l
1
12i l2
1
0
例2、用位移法分析图示结构
10kN.m
20kN/m
B 2EI
40kN
E D 2EI
4m EI
EI
C
A
4m
2m
2m
❖ 解：１、确定基本未知量
20kN/m
40kN
10kN.m θ2
E
θ1 B
2i
D
2i
F
F
F
θ3
F
θ1
θ2
Δ2
F M
Δ1
F M
F
A E
C
F M AE A
F
BF
A
E
BF
D
F
F
B
M AE A
D
D
θ1
F
B
D
F
A
B
C
FRB
B
C
F DE
F
G
DE
F RB
M CB C
DE
G
F
G
FRB
M CB C
θ1 DE
F
G
由平衡条件建立位移法方程
16i1
6i l
1
ql 2 8
0
(1)
M CD
FX 0, FQCA 0
M CA
B FQCA
M CA
M AC l
6i l
1
12i l2
1
C
D
6i l
1
12i l2
1
0
例2、用位移法分析图示结构
10kN.m
20kN/m
B 2EI
40kN
E D 2EI
4m EI
EI
C
A
4m
2m
2m
❖ 解：１、确定基本未知量
20kN/m
40kN
10kN.m θ2
E
θ1 B
2i
D
2i
07★结构力学A上★第七章★位移法
31
例：作图示刚架弯矩图。忽略横梁的 轴向变形。 解:（1）基本未知量：各柱顶水平 位移相等，只有一个独立线位移Δ。 （2）各柱的杆端弯矩和剪力为：
EI1 i1 h1 EI 2 i2 h2 EI 3 i3 h3
32
M BA 3i1 M DC 3i2 M FE 3i3
FP i1 i2 i3 3 2 2 2 h1 h2 h3 FP 3 i h2
列出水平投影方程：
X 0
33
（4）各柱最终杆端弯矩，画弯矩图：
i1 2 h1 FP i 2 h i3 2 h3 FP i 2 h i2 2 h2 i 2 h
转角位移方程。因此，不能利用刚性杆两端的刚结点力矩平
衡条件。应建立弹性杆端的剪力平衡方程。 刚性杆虽然没有变形，但是可存在内力。
30
2. 基本方程的建立
B= 0.737/ i (1) 基本未知量 B = 7.58/i
(2) 杆端弯矩
1 AB：M AB 2i B 6i 3 42 4 12 1 M BA 4iB 6i 3 42 4 12
M E 0, FQBE
M F 0, FQCF
1 (M EB M BE ) 4
1 M FC M CF 6
1 1 (M EB M BE ) M FC M CF 0 4 6
（4）解方程组
1.125 B 0.5C 0.728 0
得 B= 0.94 C= -4.94 = -1.94
10 B 2C 1.125 1.7 0 2 B 9C 0.5 41.7 0 1.125 B 0.5C 0.728 0
例：作图示刚架弯矩图。忽略横梁的 轴向变形。 解:（1）基本未知量：各柱顶水平 位移相等，只有一个独立线位移Δ。 （2）各柱的杆端弯矩和剪力为：
EI1 i1 h1 EI 2 i2 h2 EI 3 i3 h3
32
M BA 3i1 M DC 3i2 M FE 3i3
FP i1 i2 i3 3 2 2 2 h1 h2 h3 FP 3 i h2
列出水平投影方程：
X 0
33
（4）各柱最终杆端弯矩，画弯矩图：
i1 2 h1 FP i 2 h i3 2 h3 FP i 2 h i2 2 h2 i 2 h
转角位移方程。因此，不能利用刚性杆两端的刚结点力矩平
衡条件。应建立弹性杆端的剪力平衡方程。 刚性杆虽然没有变形，但是可存在内力。
30
2. 基本方程的建立
B= 0.737/ i (1) 基本未知量 B = 7.58/i
(2) 杆端弯矩
1 AB：M AB 2i B 6i 3 42 4 12 1 M BA 4iB 6i 3 42 4 12
M E 0, FQBE
M F 0, FQCF
1 (M EB M BE ) 4
1 M FC M CF 6
1 1 (M EB M BE ) M FC M CF 0 4 6
（4）解方程组
1.125 B 0.5C 0.728 0
得 B= 0.94 C= -4.94 = -1.94
10 B 2C 1.125 1.7 0 2 B 9C 0.5 41.7 0 1.125 B 0.5C 0.728 0
结构力学电子教案第七章静定结构位移计算ppt课件
a 1
c y1
yC
EI
1 EI
(1 y1
2
y2 )
2
b
1 EI
al 2
(2 3
c
1 3
d)
bl 2
(1 3
c
2 3
d
)
y2
d
1 EI
l 6
(2ac
2bd
ad
bc)
结构力学电子教案
a 1
c y1
第七章 静定结构位移计算
第8页
2 b
d y2
图形的纵距a、b 或c、 d不在基线同一侧时。
处理原则也和上面一样，
第七章 静定结构位移计算
第12页
在图乘法中，当各杆段的截面不相等时，应分段图乘， 再进行叠加。
yc
EI
1y12y23y3
E1I E2I E3I
结构力学电子教案
第七章 静定结构位移计算
三．图乘法位移计算举例
第13页
例1 试求图a 所示刚架C 点的竖向位移 C y 。
解 （1）作实际状态的 M P 。
均可看成一个梯形与一个标准抛物线图形的叠加。
MB
MA
qa 2
8
结构力学电子教案
第七章 静定结构位移计算
第10页
结构力学电子教案
第七章 静定结构位移计算
第11页
在图乘法中，当yc所属图形不是一段直线而是若干段 直线组成时，应分段图乘，再进行叠加。
yc EI
E 1( I1y12y23y3)
结构力学电子教案
可分解为位于基线两侧的两 个三角形，分别与另一图形 相乘，然后叠加。
E ycIE 1( I1y12y2)
结构力学 第七章 位移法
表示等截面直杆杆端力与杆端位移及杆上荷载间关系的表达式
B A
Δ
6i F M AB l 6i F M BA 2i A 4i B M BA l 6i 6i 12i F F QAB A B 2 FAB l l l M AB 4i A 2i B
B
4i
1
2i
6i l
12i
l
6i
3i
l
6i
0
l2
θ =1
B B
3i
3i l
l
2
1 θ =1
B
3i
i
l
0
A
－i
0
三 等截面直杆的载常数 由荷载作用所引起的杆端力（固端力）
单跨超静定梁简图
q A
↓↓↓↓↓↓ ↓↓↓↓↓↓ ↓↓
mAB
B
mBA
ql 2 12
Pl 8
ql 2 12
Pl 8
位移法方程实质上平衡方程
Z1
D i A 2i E
Z2
C 2i
i EI l
4m
EI
i B
A
B
4m
2m
2m
位移法基本体系
解：1 确定位移法基本体系 2 列位移法方程 k11Z1+ k12Z2+ F1P=0 k21Z1+ k22Z2+ F2P=0
３ 计算系数和自由项 Z1=1
4i 4i D i8i A 2i 8i 2i E 2i i B C
M AB 2i B
M BC ql 2 4i B 12
ql 2 ql 2 ql 2 4i 96i 12 24
结构力学 位移法
S in
分析方法：
该题有一个刚结点，因此有一个转角位移。水平线位移 的分析方法：假设B结点向左有一个水平位移△，BC杆平 移至B’C’，然后它绕B’转至D点。
D
B
E
C
A
注意：
(1)铰处的转角不作基本未知量。
Δ
(2)剪力静定杆的杆端侧移也可不作为基本未知量。
(3)结构带无限刚性梁时，即EI∞时，若柱子平行，
q4l02kN2.m0•42 84q1l 2.7kN82.m0•5
12 12
2
MBA
m 41.7kN.m CB
44mm
EE
300I..7755M图(kN.M300)I..55
1.7
55mm 4.9FF
MCB MCD
MCF 44mm
MBC M 4•0.75 3 =3.4
BE
B
B
M 3 40 =43.5 MBE
FP
B FQBA FQBC
MBC
M B 0M B A M B C 0
11iB
9i qL2 L 12
0
……①
Y 0
FQBA FQBC FP 0 ……②
求FQBA MAB A
q
FQAB
求FQBC
MBC B FQBC
MA 0
B
MBA
FQBA
M AB
M BC L
qL 2
FQBA
12i L
3 2 1
结点转角的数目：7个
独立结点线位移的数目：3个
D
E
刚架结构，有两个刚结点D、E，
故有两个角位移，结点线位移由铰
结体系来判断，W=3×4－2×6=0，
A
B
分析方法：
该题有一个刚结点，因此有一个转角位移。水平线位移 的分析方法：假设B结点向左有一个水平位移△，BC杆平 移至B’C’，然后它绕B’转至D点。
D
B
E
C
A
注意：
(1)铰处的转角不作基本未知量。
Δ
(2)剪力静定杆的杆端侧移也可不作为基本未知量。
(3)结构带无限刚性梁时，即EI∞时，若柱子平行，
q4l02kN2.m0•42 84q1l 2.7kN82.m0•5
12 12
2
MBA
m 41.7kN.m CB
44mm
EE
300I..7755M图(kN.M300)I..55
1.7
55mm 4.9FF
MCB MCD
MCF 44mm
MBC M 4•0.75 3 =3.4
BE
B
B
M 3 40 =43.5 MBE
FP
B FQBA FQBC
MBC
M B 0M B A M B C 0
11iB
9i qL2 L 12
0
……①
Y 0
FQBA FQBC FP 0 ……②
求FQBA MAB A
q
FQAB
求FQBC
MBC B FQBC
MA 0
B
MBA
FQBA
M AB
M BC L
qL 2
FQBA
12i L
3 2 1
结点转角的数目：7个
独立结点线位移的数目：3个
D
E
刚架结构，有两个刚结点D、E，
故有两个角位移，结点线位移由铰
结体系来判断，W=3×4－2×6=0，
A
B
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计算。 • 位移法方程有两种建立方法，写典型方程法和写平衡
方程法。要求熟练掌握一种，另一种了解即可。
2
7.1 基本概念
欲求超静定结构先取一个基本体系,然后让基本 体系在受力方面和变形方面与原结构完全一样。
力法的特点：基本未知量——多余未知力； 基本体系—— 静定结构； 基本方程——位移条件（变形协调条件）。
A
q 5ql2/48 C
B
ql2/48
q l 2 ↓↓↓↓↓q↓↓↓
12
A
C
2 EI l
A
A
4 EI l
A
θA
4 EI l
θA A
MA M0A C
M4 AEBlIM A ACq1
l2
20
B
4EI l
AMCq1A l22
2 4ElIElIAA
ql2
1 20
MAB
4
EI l
A
A
ql 3 96 EI
M AB
MBA
B EI
3、列杆端转角位移方程
MBC3iB3limBC
设i
EI 6
4、位移法基本方程（平衡条件）
MAB2iB15 MBA4iB15
MBC3iB9 24
M超AB静EI定结P构必B 须M满B足C 的三q个条件:
3、列杆端转角位移方程
(1)变形连续条件M:B在A 确定B基本E未I 知量时得到满足M ；AB2iB15
A
l
MBA
B
B
M AB
4i A
2i B
6i
l
M BA
2i A
4i B
6i
l
F Q ABF Q BA6 liA6 liB1l2 2i
10
1). 两端固定梁
i EI l
A
EI
B
A
l B
MAB
A
EI
A
l
MBA
B
B
MAB4iA MBA2iA
A
i
B
A
MAB2iB MBA 4iB
A
i B B
MAB
A
MBA
M
BA
2
i
4i
FQAB
6i
l
6i l
M AB
4i A
2i B
6i
l
M BA
2i A4i B6i Nhomakorabeal
F Q ABF Q BA6 liA6 liB1l2 2i
6i l
6i l
A
B
12i l2
弯曲杆件的刚度方程 刚度系数又称形常数
9
A
EI
B
A
l B
MAB
A
EI
杆端弯矩对杆端以顺时针为正， 剪力使分离体有顺时针 转动趋势时为正，否则为负。
7
单位荷载法可得出：
A
1 3i
M AB
1 6i
MBA
l
B
1 6i
M AB
1 3i
M BA
l
i=EI/l----线刚度
解联立方程可得：
M
AB
4i A
2i B
6i
l
M
BA
2i A
4i B
6i
l
8
M
AB
4
i
2i
第七章 位移法
• 熟练掌握位移法基本未知量和基本结构的确定、位移 法典型方程的建立及其物力意义、位移法方程中的系 数和自由项的物理意义及其计算、最终弯矩图的绘制。
• 熟记一些常用的形常数和载常数。 • 熟练掌握由弯矩图绘制剪力图和轴力图的方法。 • 掌握利用对称性简化计算。 • 重点掌握荷载荷载作用下的计算，了解其它因素下的
15.85
3.21
M图 kNm
25
例1、试用位移法分析图示刚架。 （1）基本未知量 B、 C
q=20kN/m
（2）杆端弯矩Mi j
位移法的特点： 基本未知量——独立结点位移； 基本体系——一组单跨超静定梁； 基本方程——平衡条件。
3
力法思路：转换 超静定结构 静定结构 超静定结构
位移法思路：先化整为零，再集零为整
结构
杆件
结构
两种方法：平衡方程法和典型方程法
4
基本思路
q
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
A
C
θA
EI=常数
B l
l
ql2/24 ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
(2)物理条件: 即刚度方程；
(3)平衡条件:MB即A 位移M法B基C 本方程。
MBA4iB15 MBC3iB9
4、位移法基本方程（平衡条件） 5、各杆端弯矩及弯矩图
MB 0
MBAMBC 0
4iB 153iB 90
B
6 7i
16.72
11.57
M AB 2i7 6i1 51.7 6k2N m
M BA 4i7 6i1 51.5 1k7N m M BC 3i7 6i91.5 1k7N m
iB
MAB
MBA
6i l
11
2). 一端固定、一端滚轴支座的梁
M AB
A
EI
A
l
i EI l
MAB 3iA
B
A
i
B
A
A
iB
M
AB
3i l
MAB
3iA
3i l
12
3). 一端固定、一端滑动支座的梁
MAB
MBA
A
EI
A
MAB iA MBA iA
B
i EI l
13
4). 等截面直杆只要两端的杆端位移对应相同， 则相应的杆端力也相同。
2 EI l
A
M AC
5
位移法分析中应解决的问题是： ①用力法确定单跨超静定梁在杆端发生各种位
移时以及荷载等因素作用下的内力。 ②确定以结构上的哪些位移作为基本未知量。 ③如何求出这些位移。
6
7.2 等截面杆件的刚度方程
1.由杆端位移求杆端弯矩
杆端力和杆端位移的正负规定：
杆端转角，弦转角 ＝Δ/l都以顺时针为正。
§7.3 无侧移刚架的计算
如果除支座以外，刚架的各结点只有角位移而没有线位移，这种刚架称 为
无侧移刚架。 FP=20kN
q=2kN/m
1、基本未知量B
2、固端弯矩
A
EI B B EI
C
M B FA F 8 Pl28 061k5N m
3m 3m
6m
MAB
EI
FP B
MBC
q
MA FB1k5N m MBFCq82l 9kNm
21
线位移数也可以用几何方法确定。 将结构中所有刚结点和固定支座，代之以铰结点和铰支座，分析新体系的几 何构造性质，若为几何可变体系，则通过增加支座链杆使其变为无多余联系的 几何不变体系，所需增加的链杆数，即为原结构位移法计算时的线位移数。
1
4
0
22
角位移数 5 角位移数 2
线位移数 2
23
线位移数 1
1)
MAB E I A i l
MBA
B
A
MAB A
i
EI l
A
MBA
B
MAB
4iA
6i l
MBA
2iA
6i l
14
单位杆端位移引起的杆端内力称为形常数. i=EI/l----线刚度
2.由荷载求固端弯矩（载常数教材表8-1） 荷载引起的杆端内力称为载常数.
MAB
4iA
2iB
6i
l
MAFB
MBA
2iA
4iB
6i
l
MBFA
FQAB
6liA
6liB
12i l2
FQFAB
FQBA
6liA
6liB
12i l2
FQFBA
19
位移法基本未知量个数的确定
一、角位移个数的确定
20
二、线位移个数的确定
结点线位移是位移法计算中的一个基本未知量，为了减少基 本未知量的个数，使计算得到简化，常作以下假设： (1)忽略由轴力引起的轴向变形； (2)结点位移都很小； (3)直杆变形后，曲线两端的连线长度等于原直线长度。
方程法。要求熟练掌握一种，另一种了解即可。
2
7.1 基本概念
欲求超静定结构先取一个基本体系,然后让基本 体系在受力方面和变形方面与原结构完全一样。
力法的特点：基本未知量——多余未知力； 基本体系—— 静定结构； 基本方程——位移条件（变形协调条件）。
A
q 5ql2/48 C
B
ql2/48
q l 2 ↓↓↓↓↓q↓↓↓
12
A
C
2 EI l
A
A
4 EI l
A
θA
4 EI l
θA A
MA M0A C
M4 AEBlIM A ACq1
l2
20
B
4EI l
AMCq1A l22
2 4ElIElIAA
ql2
1 20
MAB
4
EI l
A
A
ql 3 96 EI
M AB
MBA
B EI
3、列杆端转角位移方程
MBC3iB3limBC
设i
EI 6
4、位移法基本方程（平衡条件）
MAB2iB15 MBA4iB15
MBC3iB9 24
M超AB静EI定结P构必B 须M满B足C 的三q个条件:
3、列杆端转角位移方程
(1)变形连续条件M:B在A 确定B基本E未I 知量时得到满足M ；AB2iB15
A
l
MBA
B
B
M AB
4i A
2i B
6i
l
M BA
2i A
4i B
6i
l
F Q ABF Q BA6 liA6 liB1l2 2i
10
1). 两端固定梁
i EI l
A
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B
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A
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B
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A
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MAB
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M
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2
i
4i
FQAB
6i
l
6i l
M AB
4i A
2i B
6i
l
M BA
2i A4i B6i Nhomakorabeal
F Q ABF Q BA6 liA6 liB1l2 2i
6i l
6i l
A
B
12i l2
弯曲杆件的刚度方程 刚度系数又称形常数
9
A
EI
B
A
l B
MAB
A
EI
杆端弯矩对杆端以顺时针为正， 剪力使分离体有顺时针 转动趋势时为正，否则为负。
7
单位荷载法可得出：
A
1 3i
M AB
1 6i
MBA
l
B
1 6i
M AB
1 3i
M BA
l
i=EI/l----线刚度
解联立方程可得：
M
AB
4i A
2i B
6i
l
M
BA
2i A
4i B
6i
l
8
M
AB
4
i
2i
第七章 位移法
• 熟练掌握位移法基本未知量和基本结构的确定、位移 法典型方程的建立及其物力意义、位移法方程中的系 数和自由项的物理意义及其计算、最终弯矩图的绘制。
• 熟记一些常用的形常数和载常数。 • 熟练掌握由弯矩图绘制剪力图和轴力图的方法。 • 掌握利用对称性简化计算。 • 重点掌握荷载荷载作用下的计算，了解其它因素下的
15.85
3.21
M图 kNm
25
例1、试用位移法分析图示刚架。 （1）基本未知量 B、 C
q=20kN/m
（2）杆端弯矩Mi j
位移法的特点： 基本未知量——独立结点位移； 基本体系——一组单跨超静定梁； 基本方程——平衡条件。
3
力法思路：转换 超静定结构 静定结构 超静定结构
位移法思路：先化整为零，再集零为整
结构
杆件
结构
两种方法：平衡方程法和典型方程法
4
基本思路
q
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
A
C
θA
EI=常数
B l
l
ql2/24 ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
(2)物理条件: 即刚度方程；
(3)平衡条件:MB即A 位移M法B基C 本方程。
MBA4iB15 MBC3iB9
4、位移法基本方程（平衡条件） 5、各杆端弯矩及弯矩图
MB 0
MBAMBC 0
4iB 153iB 90
B
6 7i
16.72
11.57
M AB 2i7 6i1 51.7 6k2N m
M BA 4i7 6i1 51.5 1k7N m M BC 3i7 6i91.5 1k7N m
iB
MAB
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11
2). 一端固定、一端滚轴支座的梁
M AB
A
EI
A
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MAB 3iA
B
A
i
B
A
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M
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12
3). 一端固定、一端滑动支座的梁
MAB
MBA
A
EI
A
MAB iA MBA iA
B
i EI l
13
4). 等截面直杆只要两端的杆端位移对应相同， 则相应的杆端力也相同。
2 EI l
A
M AC
5
位移法分析中应解决的问题是： ①用力法确定单跨超静定梁在杆端发生各种位
移时以及荷载等因素作用下的内力。 ②确定以结构上的哪些位移作为基本未知量。 ③如何求出这些位移。
6
7.2 等截面杆件的刚度方程
1.由杆端位移求杆端弯矩
杆端力和杆端位移的正负规定：
杆端转角，弦转角 ＝Δ/l都以顺时针为正。
§7.3 无侧移刚架的计算
如果除支座以外，刚架的各结点只有角位移而没有线位移，这种刚架称 为
无侧移刚架。 FP=20kN
q=2kN/m
1、基本未知量B
2、固端弯矩
A
EI B B EI
C
M B FA F 8 Pl28 061k5N m
3m 3m
6m
MAB
EI
FP B
MBC
q
MA FB1k5N m MBFCq82l 9kNm
21
线位移数也可以用几何方法确定。 将结构中所有刚结点和固定支座，代之以铰结点和铰支座，分析新体系的几 何构造性质，若为几何可变体系，则通过增加支座链杆使其变为无多余联系的 几何不变体系，所需增加的链杆数，即为原结构位移法计算时的线位移数。
1
4
0
22
角位移数 5 角位移数 2
线位移数 2
23
线位移数 1
1)
MAB E I A i l
MBA
B
A
MAB A
i
EI l
A
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B
MAB
4iA
6i l
MBA
2iA
6i l
14
单位杆端位移引起的杆端内力称为形常数. i=EI/l----线刚度
2.由荷载求固端弯矩（载常数教材表8-1） 荷载引起的杆端内力称为载常数.
MAB
4iA
2iB
6i
l
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MBA
2iA
4iB
6i
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6liA
6liB
12i l2
FQFAB
FQBA
6liA
6liB
12i l2
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位移法基本未知量个数的确定
一、角位移个数的确定
20
二、线位移个数的确定
结点线位移是位移法计算中的一个基本未知量，为了减少基 本未知量的个数，使计算得到简化，常作以下假设： (1)忽略由轴力引起的轴向变形； (2)结点位移都很小； (3)直杆变形后，曲线两端的连线长度等于原直线长度。