点集拓扑学第二章拓扑空间与连续映射2-3.4

(2)蕴涵(3). 设 A X , 由于f(A) 根据(2)，
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成立．
(3)蕴涵(4)设 B Y , 集合 f 1(B) X 应用(3)即得:
(4)蕴涵(l)．设U是Y中的一个开集． 则 U c是Y中的一个闭集．对此集合应用(4) 可见: f 1(U c ) f 1(U c ) f 1(U c )
重点：拓扑空间,同胚映射,拓扑的建立和证明. 难点：拓扑空间,同胚映射
§2.3 拓扑空间的其他概念
一. 导集，闭集，闭包
1. 导集 定义2.11. 设 ( X , )为拓扑空间, A X ,如果点
x∈X的每一个邻域U中都有A中异于x的点，则称 点x是集合A的一个凝聚点或极限点．集合A的所 有凝聚点构成的集合称为A的导集，记作d(A)． 说明 凝聚点可以属于A,也可以不属于A
定理2.18 设X是一个拓扑空间，F是由空间X
中所有包含A的闭集构成的族，则对于X的每一
个子集A，有
A B
BF . A B
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定理2.19 设X和Y是两个拓扑空间，f :X→Y． 则以下条件等价：
(l) f 是一个连续映射 (2) Y中的任何一个闭集B的原象 f 1(B)是闭集 (3) 对于X中的任何一个子集A，A的闭包的象
包含于A的象的闭包，即 f ( A) f ( A) (4) 对于Y中的任何一个子集B， B的原象的闭
包含于B的闭包的原象，即 f 1(B) f 1(B )
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证明 (1)蕴涵(2)．设 B Y 是闭集 则 Bc 是一个开集，因此根据 (1)
f 1(Bc ) ( f 1(B))c 是X中的一个开集，因此 f 1(B) 是X中的一个闭集．
有限个闭集的并是闭集，任意个闭集的交是闭 集．其余情形不一定．
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3. 闭包 定义2.13. 设X是一个拓扑空间，A X ,集合A
与A的导集d(A)的并A∪d(A)称为集合A的闭包,记
作: A
定理2.15 拓扑空间X的子集A是闭集的充要
条件是 A A
证明: 集合A为闭集当且仅当d(A) A
而这又当且仅当A=A∪d(A)
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定理2.16 设X是一个拓扑空间,则对于任意
A,B∈X,有：
(1) ,
(2) A A
(3) AB A B , (4) A A
定理2.17 拓扑空间X的任何一个子集A的闭 包 A 都是闭集.
点 集 拓 扑 学
-哈尔滨工程大学-理 学 院-林 锰-
第二章 拓扑空间与连续映射
本章教学基本要求
掌握度量空间及度量空间的连续映射的概念掌握拓 扑与拓扑空间的概念,并在此空间上建立起来的连续映 射,同胚的概念，熟悉几个拓扑空间的例子掌握邻域与 邻域系的概念及性质；掌握连续映射的两种定义；掌 握证明开集与邻域的证明方法 掌握闭集和闭包等相关 概念.
x d( A)
证明(3)必要性:
如果
x
d(
A) d(B)
x
d(B)
综上所述，可见(3)必要性成立．
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(4) d((d( A)) A d( A) 证明(4)设：
由此(4)成立
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2. 闭集 定义2.12. 设X是一个拓扑空间，A X ,如果A
A的所有开集的并称为集合A的内部,记为: A
A是含于A里的最大开集
定理2.19. 设X是一个拓扑空间，A X ,则
A是开集的任充取分x必要( A条c件)c,是则Ax=AA. c ,
定理所2以.2,0存. 在对xA的X邻, 域VA,使 得(:Ac ),c A (( Ac ))c
回答: 不是
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定理2.14. 设X是一个拓扑空间．记F为所有闭集 构成的族．则：
(1) X , F
(2) 若A, B∈F. 则A∪B∈ F (3) 若 F1 F . 则 B ∈F
BF1
有限个开集的交是开集，任意个开集的并是开 集．其余情形不一定．
d( A)
X
A
X
A
A {x0} A的 元 素 多 于 一 个
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定理2.12 设X是一个拓扑空间，A X则:
(1) d() (2) A B d( A) d(B)
(3) d( A B) d( A) d(B)
(4) d((d( A)) A d( A)
如果x∈A并且x不是A的凝聚点，则称x为A 的一个孤立点．
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x d( A) U U x ,U ( A { x}) x d( A) U U x ,U ( A { x})
例2.4. 离散空间中集合的凝聚点和导集． d(A)＝
例2.5. 平庸空间中集合的凝聚点和导集．
而: f 1(U c ) f 1(U c ) f 1(U c ) f 1(U c ) f 1(U c ) ( f 1(U ))c FX f 1(U ) X
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二. 内部与边界
A V {V X V A,V }
定义2.14. 设X是一个拓扑VV空A 间，A X ,称含于
证明必要性：设A是一个闭集
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充分性：设：
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即A是一个闭集．
例2.6 实数空间R中作为闭集的区间． 设a,b∈R，a＜b．闭区间[a,b]是实数空间R 中的一个闭集. (-∞,a]，[b,∞)都是闭集，(-∞,∞)＝R显然更 是一个闭集．
（a，b]，[a，b）是否闭集?
的每一个凝聚点都属于A，即: d( A) A,则称
A是拓扑空间X中的一个闭集．
说明 离散空间中的任何一个子集都是闭集 平庸空间中的任何一个非空的真子集都不是 闭集
定理2.13 设X是一个拓扑空间，A X 则A是一个闭集，当且仅当A的补集 Ac是开集.
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