电场力做功

2.积分法 —— 电荷连续分布的带电体
将带电体分割成无限多个电荷元，利用积分法求解电 势。
dV dq 4
0
r
r
dq
dV
V

dV
V体
P
dq 4 0 r
V
体
V体
注意：叠加原理适用于取∞点为电势0点的情 况。 12
3.场强的线积分法—具有高度对称性的场
b
E dl

a
b a
将上式同时除以q0：

E dl
令b点为电势能0点，引入 电势定义为：
V
WP q0
WP q0
0 势能点

E d l
r
单位：伏特，V
点电 荷的电势 注意：
V

qq
0 0
4 0 rq

q 4 0 r
1、电势是描述静电场又一种方法。电势的计算与试验电荷q0 无关，它的大小等于将单位正电荷从r移到势能0点时电场力所 作的功。 2、电势是标量，只有正负之分（但无方向）。
E dl 0
E dl 0
E
L
作功： L
与环路定理矛盾，电力线为非闭合曲线。
5
三、电势能、电势、电势差
由于电场力是保守力，可以引入势能的概念。 重力是保守力，作功为
A 重 mgh mgh
0
mg
h
重力势能
W
p
mgh
q 0q 4 0 r a q 0q 4 0 rb
b
L1
b
E
L
q0

a
E dl L1
a

b
E dl L2
a
L
2
Hale Waihona Puke Baidu
q0
b

a
E dl L1
b

a
E dl L2


E dl 0
L
证毕
4

E dl 0
L
将实验电荷沿任意的闭合路径绕行一周电场力所作的功 为 0。 3.由环路定理可证明静电场的一重要性质——静电场的 电场线不是闭合曲线 反证法：假设电场线为闭合曲线，将 单位正电荷沿电场线移动一周
cos
1
由图中可见：dl cosθ=dr
A ab q 0 Edr
a
b
b
点电荷的场
A ab q 0
rb
rb
1 q
0
ra
4
r
2
dr
q
ra
dl

dr
q0
a
r
F E
q 0q 1 1 4 0 r a rb
F q0E q0 E i
8
3、电势的计算与电势0点的选取有关，对带电量为有限大小的 带电体可以选择无穷远为电势 0 点。但对电荷无限分布的带电 体则不能选无穷远为电势 0 点。
4、电势的叠加原理：点电荷系在空间某点的电势为各点电荷 在该点产生电势的代数和。
Va




E dl
a



a

(E 1 E 2 E n ) d l

i
q0qi 4 0 ria


i
q0qi 4 0 rib
W Pa W Pb W P
这里引入的电势能是与q0有关的，并不反映电场的特 性。在电磁学中常用的是电势。
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2.电势V
A W Pa W Pb q 0
A q0 W Pa q0 W Pb q0
一、电场力做功
1.在点电荷的场中场力做功
在 点电荷q 产生的电场中 将检验电荷 q0 从 a 点沿 任意的路径移动到 b 点， q 电场力作功为：
A ab
rb
q0 ra
a
b
r dl
dr

F
E

b
F d l
a
由于
F q0E
b
A ab q 0
a
b E d l q 0 a Edl
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电场力作功等于势能增量的负值。
q0q 1 1 A 4 0 ra rb
(W Pb W Pa ) W P W Pa W Pb
对于点电荷系，电势能要用求和的方式表示，
A

i
q0qi 1 1 4 0 ria rib
电场力的功只与q0始末位置有关，而与q0所经过的路 径无关，电场力为保守力，静电场为保守力场。
二、静电场的环路定理
1.定理表述
静电场中电场强度沿任意的闭合路径绕行一周积分 等于零。

E dl 0
L
3
2.定理证明 将电荷 q0 沿任意的闭合 路径绕行一周电场力作功：
A q0 E dl
2、对于无限分布的带电体，不能取无穷远点为电势的 0点。这时只有电势差有意义。 3、实际工作中常以仪器设备的外壳、大地作为电势0 点。这时内部的电压就是对外壳或大地的电压。
五、电势的计算方法
电势定义 1.点电荷系
V
n
A q0
Vi

W q0
n
V

i 1

i 1
qi 4 0 ri
11


b
E dl
a
电势差 Vab 大小等于将单位正电荷从 a 点移动到 b 点 时电场力所作的功。
A q0
b a
E d l q 0 V ab
移动电荷q0时电场力的功等于电势差与电荷电量的乘 10 积。
注意：1、电势差与电势不同，电势差具有绝对意义，它的数 值与电势0点的选择无关。
i
2、对于点电荷系产生的电场，试验电荷受力
这时将试验电荷沿任意路径从a点移到b点电场力做功为：
b
A ab q 0
a

i
E i d l q0
i
b
4
a
1
qi
0
ri
2
dr i
2
A ab

i
q0qi 1 1 4 0 ria rib

在点电荷q产生的电场中电场力作功
A ab q0q 1 1 4 0 ra rb
h0


同样可以引入静电势能Wp 令rb=∞作为电势能的0点时，点电荷q的电势能为：

WP

r
q0 E dl
q0q 4 0 r
意义为将实验电荷从r点移到∞ 时电场力作的功。
E1 d l
a


a
E2 dl
n


a
En dl
V1 V 2 V n


i 1
Vi
9
3.电势差Vab
空间任意两点间电势之差称为电势差（也称为 电压）：
A q0 W Pa q0 W Pb q0


b
E dl
a
V ab V a V b