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高中数学选修2-3 第一章《计数原理》单元测试题(含答案)

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无锡外国语学校高中数学选修2-3第一章《计数原理》测试卷(包含答案解析)

无锡外国语学校高中数学选修2-3第一章《计数原理》测试卷(包含答案解析)

一、选择题1．重阳节，农历九月初九，谐音是“久”，有长久之意，人们常在此日感恩敬老，是我国民间的传统节日.某校在重阳节当日安排6位学生到两所敬老院开展志愿服务活动，要求每所敬老院至少安排2人，则不同的分配方案数是（ ） A ．50B ．40C ．35D ．302．()()4221x x x -+-的展开式中x 项的系数为（ ）A ．9-B ．5-C ．7D ．83．从0，1，2，3，…，9中选出三个不同数字组成一个三位数，其中能被3整除的三位数个数为（ ） A ．252B ．216C ．162D ．2284．电影院一排10个位置，甲、乙、丙三人去看电影，要求他们坐在同一排，那么他们每人左右两边都有空位且甲坐在中间的坐法的种数为（ ） A ．40B ．36C ．32D ．205．若多项式()210011x x a a x +=++()()91091011a x a x +++++，则9a =（ ）A ．9B ．10C ．-9D ．-106．为深入贯彻实施党中央布置的“精准扶贫”计划，某地方党委政府决定安排5名党员干部到4个贫困村驻村扶贫，每个贫困村至少分配1名党员干部，则不同的分配方案共有（ ） A ．264种B ．480种C ．240种D ．720种7．某科技小组有四名男生两名女生.现从中选出三名同学参加比赛，其中至少有一名女生入选的不同选法种数为( ) A ．36CB ．1225C CC ．12212424C C C C +D ．36A8．从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中甲型与乙型电视机都要取到，则不同的取法种数为（ ） A ．40B ．50C ．60D ．709．甲乙和其他2名同学合影留念，站成两排两列，且甲乙两人不在同一排也不在同一列，则这4名同学的站队方法有（ ） A ．8种B ．16种C ．32种D ．64种10．有5位同学参加青少年科技创新大赛的3个不同项目，要求每位同学参加一个项目且每个项目至少有一位同学，则不同的参加方法种数为（ ） A ．80 B ．120 C ．150 D ．360 11．现有6位同学站成一排照相，甲乙两同学必须相邻的排法共有多少种？（ ） A ．720B ．360C ．240D ．12012．式子22223459C C C C ++++=（ ）A ．83B ．84C ．119D ．120二、填空题13．62x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中常数项为________.14．已知()723801238()(21)x m x a a x a x a R x a x m +-=+++++∈，若127a =，则()81ii i a =⋅∑的值为_______.15．已知数列{}n a 共有21项，且11a =， 2115a =，11(1,2,3,,20)k k a a k +-==，则满足条件的不同数列{}n a 有______个. 16．已知集合{}123456,,,,,AB C a a a a a a =，且集合{}123,,A B C a a a =，则集合A 、B 、C 所有可能的情况有__________种.17．在停课不停学期间，某校有四位教师参加三项不同的公益教学活动，每位教师任选一项，则每个项目都有该校教师参加的概率为________（结果用数值表示）. 18．计算2222223456C C C C C ++++=______.19．将5名上海世博会的志愿者分配到中国馆、美国馆、英国馆工作，要求每个国家馆至少分配一名志愿者且其中甲、乙两名志愿者不同时在同一个国家馆工作，则不同的分配方案有________种．20．某中学安排,,,A B C D 四支小队去3所不同的高校参观，上午每支小队各参观一所高校，下午A 小队有事返回学校，其余三支小队继续参观.要求每支小队上下午参观的高校不能相同，且每所高校上午和下午均有小队参观，则不同的安排有_____种.三、解答题21．从6名运动员中选出4人参加4100⨯接力赛，分别求满足下列条件的安排方法种数： （1）甲、乙两人都不跑中间两棒； （2）甲、乙二人不都跑中间两棒.22．袋中有相同的5个白球和4个黑球，从中任意摸出3个，求下列事件发生的概率. （1）摸出的全是白球或全是黑球、 （2）摸出的白球个数多于黑球个数.23．我校学生会进行换届选举，共选举出7名学生会委员，其中甲、乙、丙是上一届的委员，现对7名成员进行如下分工.（1）若学生会正、副主席两职位只能由甲、乙、丙三人选两人担任，则有多少种不同的分工方法；（2）若甲不担任学生会主席，乙不能担任组织委员，则有多少种不同的分工方法？ 24．设(,)(1)n f x n x =+，*n N ∈. （1）设260126(,6)f x a a x a x a x =++++，求0246a a a a +++的值；（2）求12320192019201920192019232019C C C C +++⋯+的值； （3）*n N ∈，化简01122310144444n n n n n n n n n n C C C C C -----++++.25．已知.（1）若，求及的值；（2）若，求最大的系数；（3）定义，若化简.26．某中学将要举行校园歌手大赛，现有4男3女参加，需要安排他们的出场顺序.（结果．．用数字作答．．．．．） （1）如果3个女生都不相邻，那么有多少种不同的出场顺序？（2）如果女生甲在女生乙的前面（可以不相邻），那么有多少种不同的出场顺序？ （3）如果3位女生都相邻，且女生甲不在第一个出场，那么有多少种不同的出场顺序？【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】先把6人分成两组，再安排到两所敬老院，由此可得． 【详解】先分组再安排：6人可按3,3分组或2,4分组，然后再安排到敬老院，方法为32266222()50C C A A +⨯=．故选：A 【点睛】关键点点睛：本题考查分组分配问题，涉及到平均分组和不平均分组，平均分组时要除以组数的阶乘．n 个不同元素按12,,,k m m m 分成k 组，若12,,,k m m m 两两不等，则分组数为312112kkmm m m n n m n m m m C C C C ---，若12,,,k m m m 中仅有i 个数相等，则分组数为312112kkm m m m n n m n m m mi iC C C C A---．2．A解析：A 【分析】将()()4221x x x -+-化简为:2444(1)(1)2(1)x x x x x --+--,写出4(1)x -二项展开式的通项公式(4)14(1)rr r r T C x -+=⋅-,即可求得答案.【详解】()()42244421(1)(1)2(1)x x x x x x x x -+---+-=-4(1)x -二项展开式的通项公式(4)14(1)r r r r T C x -+=⋅- 24(1)x x -中不含x 项,无需求解.4(1)x x --中含x 项,即当4r =时(44444)(1)x C xx --⋅⋅=--42(1)x -中含x 项,即当3r =时(43)34328(1)C x x -⋅=-- ∴ ()()4221x x x -+-的展开式中x 项9x -故选:A. 【点睛】本题考查求二项式展开式中常数项,解题关键是掌握二项展开式的通项公式,考查分析能力和计算能力,属基础题.3．D解析：D 【分析】根据题意将10个数字分成三组:即被3除余1的有1，4，7；被3除余2的有2，5，8；被3整除的有3，6，9，0，若要求所得的三位数被3整除，则可以分类讨论:每组自己全排列，每组各选一个，再利用排列与组合的知识求出个数，进而求出答案. 【详解】解:将10个数字分成三组，即被3除余1的有{1,4,7}，被3除余2的有{2,5,8}，被3整除的有{3,6,9,0}.若要求所得的三位数被3整除，则可以分类讨论:①三个数字均取自第一组{1,4,7}中，或均取自第二组{2,5,8}中，有33212A =个； ②若三个数字均取自第三组{3,6,9,0}，则要考虑取出的数字中有无数字0，共有324318A A -=个；③若三组各取一个数字，第三组中不取0，有11133333162C C C A ⋅⋅⋅=个， ④若三组各取一个数字，第三组中取0，有112332236C C A ⋅⋅⋅=个， 这样能被3整除的数共有12+18+162+36228=个. 故选：D. 【点睛】本题考查分类计数原理和排列组合知识，如何分类是关键，属于中档题.4．A解析：A 【分析】根据题意，先排好7个空座位，注意空座位是相同的，其中6个空位符合条件，将3人插入6个空位中，注意甲必须在三人中间，然后再排乙，丙，最后用分步计数原理求解. 【详解】除甲、乙、丙三人的座位外，还有7个座位，它们之间共可形成六个空， 三人从6个空中选三位置坐上去有36C 种坐法， 又甲坐在中间，所以乙、丙有22A 种方法，所以他们每人左右两边都有空位且甲坐在中间的坐法有36C 2240A ⋅=种. 故选：A . 【点睛】本题主要考查排列组合的实际应用，还考查了分析问题的能力，属于中档题.5．D解析：D 【解析】()()9011010019910999991...1[...]nn n x C C x C x a x a C C x C x +=++⇒+=++，()10101a x +=019910101010101010(...)a C C x C x C x ++++，根据已知条件得9x 的系数为0，10x 的系数为19999910101010101010011a a C a C a a C =-⎧⋅+⋅=⎧⇒⇒⎨⎨=⋅=⎩⎩ 故选D. 6．C解析：C 【分析】先从5个党员干部里选2个，再从4个贫困村里选1个接受选出的2个党员，剩下的3名党员分配给3个贫困村，即得解. 【详解】先从5个党员干部里选2个，有25C 种方法，再从4个贫困村里选1个接受选出的2个党员，有14C 种方法，剩下的3名党员分配给3个贫困村，有33A 种方法.所以共有213543240C C A =种方法.故选：C. 【点睛】本题主要考查排列组合的综合应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.7．C解析：C 【分析】分只有一名女生入选和有二名女生入选两种情况，结合分步乘法计数原理以及分类加法计数原理，即可得出答案. 【详解】当只有一名女生入选时，先选1名女生，有12C 种，再选2名男生，有24C 种，则根据分步乘法计数原理可知，有1224C C 种当有二名女生入选时，选选2名女生，有22C 种，再选1名男生，有14C 种，则根据分步乘法计数原理可知，有2124C C 种所以从中选出三名同学参加比赛，其中至少有一名女生入选的不同选法种数为12212424C C C C +故选：C 【点睛】本题主要考查了组合的应用，涉及了分步乘法计数原理以及分类加法计数原理的应用，属于中档题.8．D解析：D 【分析】根据题意，可分为2种情况，①取出的3台电视机为：甲型1台与乙型2台，②取出的3台电视机为：甲型2台与乙型1台，结合组合数的公式，即可求解. 【详解】根据题意，可分为2种情况，①取出的3台电视机为：甲型1台与乙型2台，共有124540C C =种不同的取法； ②取出的3台电视机为：甲型2台与乙型1台，共有214530C C =种不同的取法， 由分类计数原理，可得不同的取法共有403070+=种. 故选：D. 【点睛】本题主要考查了分类计数原理，以及组合数公式的应用，其中解答中合理分类，结合组合数的公式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.9．A解析：A 【分析】根据题意，分3步进行讨论：先在4个位置中任选一个安排甲，再安排乙，最后将剩余的2个人，安排在其余的2个位置，分别求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案. 【详解】根据题意，分3步进行讨论：1、先安排甲，在4个位置中任选一个即可，有14C 4=种选法；2、在与甲所选位置不在同一排也不在同一列只有一个位置，安排乙，即1种选法；3、将剩余的2个人，安排在其余的2个位置，有222A =种安排方法； 则这4名同学的站队方法有4128⨯⨯=种； 故选：A . 【点睛】本题主要考查排列、组合的综合应用，注意要优先分析受到限制的元素，属于中档题.10．C解析：C 【分析】根据题意，分清楚有两种情况，利用公式求得结果. 【详解】根据题意，可知有两种情况，一种是有三位同学去参加同一个项目，一种是有两个项目是两位同学参加，所以不同的参加方法种数为22333535332210310661502C C C A A A ⋅⨯⋅+⋅=⨯+⨯=种， 故选：C. 【点睛】该题考查的是有关排列组合的综合题，涉及到的知识点有分类计数加法计数原理，排列组合综合题，属于中档题目.11．C解析：C 【分析】6名同学排成一排，其中甲、乙两人必须排在一起，这是相邻问题，一般用“捆绑法”.将甲乙两名同学“捆绑”在一起，看成一个元素，再与剩下的4人一起全排列，根据分步计数原理即可得出结果. 【详解】将甲乙“捆绑”在一起看成一个元素，与其余4人一起排列， 而甲和乙之间还有一个排列， 共有5252240A A =. 故选：C. 【点睛】本题考查了排列组合、两个基本原理的应用，相邻问题“捆绑法”求解，属于基础题.12．C解析：C 【分析】根据组合数的计算公式111rr r n n n C C C ++++=，化简运算，即可求解.【详解】由题意，根据组合数的计算公式111rr r n n n C C C ++++=，可得22223459C C C C ++++=32222334591C C C C C +++++-322244591C C C C =++++-32235591011119C C C C =+++-==-=.故选：C. 【点睛】本题主要考查了组合数的化简与运算，其中解答中熟记组合数的运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了计算能力.二、填空题13．240【分析】先求出二项式的展开式的通项公式令的指数等于求出的值即可求得展开式中的常数项【详解】展开式的通项公式令所以的展开式的常数项为故答案为【点睛】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数属于简单解析：240 【分析】先求出二项式6x⎛⎝的展开式的通项公式，令x 的指数等于0，求出r 的值，即可求得展开式中的常数项. 【详解】6x⎛- ⎝展开式的通项公式3662166(2),rr r r r r r T C x C x --+⎛==⨯-⨯ ⎝令36342r r -=⇒=,所以6x ⎛ ⎝的展开式的常数项为4462240C ⨯=,故答案为240. 【点睛】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式1C rn r rr n T ab -+=；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.14．43【分析】因为的展开通项为：根据求的将所给等式两边求导即可求得的值【详解】的展开通项为：又等式两边求导可得：令得：故答案为：【点睛】本题解题关键是掌握多项式系数的求法和导数基础知识考查了分析能力和解析：43 【分析】因为7(21)x -的展开通项为：777177(2)(1)(1)2rrr rr r r r T C x C x ---+=⋅⋅-⋅-⋅⋅=，根据127a =，求的m ，将所给等式两边求导，即可求得()81i i i a =⋅∑的值.【详解】7(21)x -的展开通项为：777177(2)(1)(1)2r r r rr r r r T C x C x ---+=⋅⋅-⋅-⋅⋅= 又777()(21)(21)(21)x m x x x m x +--+-=∴7661777011(1)2(1)211427a C m C m =⨯-⋅+⨯--+==⋅∴2m =80187(2)(21)x x a a x a x +-=++⋯+等式两边求导可得：762712381(21)(2)7(21)2238x x x a a x a x a x ⋅-++⋅⋅-⋅=+++⋯+6(21)(211428)x x x =--++67128(1627)(21)28x x a a x a x =+-=++⋯+令1x =，得：1282843a a a ++⋯=+∴()8143i i i a =⋅=∑故答案为：43 【点睛】本题解题关键是掌握多项式系数的求法和导数基础知识，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.15．【分析】转化条件得或求出满足的个数再利用组合的知识即可得解【详解】或设满足的个数为解得结合组合的应用满足要求的数列有个故答案为：【点睛】本题考查了数列递推公式的应用考查了组合的应用与转化化归思想属于解析：1140【分析】转化条件得11k k a a +-=或11k k a a +-=-，求出满足11k k a a +-=的个数，再利用组合的知识即可得解. 【详解】11k k a a +-=， ∴11k k a a +-=或11k k a a +-=-，设满足11k k a a +-=的个数为x ，()()()211212*********a a a a a a a a -=-+-+⋅⋅⋅+-=， ∴()()20114x x +-⋅-=，解得17x =，结合组合的应用，满足要求的数列有20217301140C C ==个. 故答案为：1140. 【点睛】本题考查了数列递推公式的应用，考查了组合的应用与转化化归思想，属于中档题.16．【分析】由可知集合均含有元素作出韦恩图可知元素可以放在除之外的个区域中每个元素有个选择利用分步乘法计数原理可得结果【详解】如下图所示集合被分为了个区域由可知集合均含有元素则元素可以放在除之外的个区域 解析：216【分析】 由{}123,,AB C a a a =，可知集合A 、B 、C 均含有元素1a 、2a 、3a ，作出韦恩图，可知元素4a 、5a 、6a 可以放在除A B C ⋂⋂之外的6个区域中，每个元素有6个选择，利用分步乘法计数原理可得结果. 【详解】如下图所示，集合A 、B 、C 被分为了7个区域，由{}123,,AB C a a a =，可知集合A 、B 、C 均含有元素1a 、2a 、3a ，则元素4a 、5a 、6a 可以放在除A B C ⋂⋂之外的6个区域中，每个元素有6个选择，由分步乘法计数原理可知，所有可能的情况种数为36216=. 故答案为：216. 【点睛】本题考查排列组合问题，考查分步乘法计数原理的应用，考查运算求解能力，属于中等题.17．【分析】根据题意先求出四位教师参加三项不同的公益教学活动每位教师任选一项的所有情况有种每个项目都有该校教师参加的情况有种即可求得相应的概率【详解】解：由于四位教师参加三项不同的公益教学活动每位教师任解析：49【分析】根据题意，先求出四位教师参加三项不同的公益教学活动，每位教师任选一项的所有情况有43种，每个项目都有该校教师参加的情况有2343C A ⋅种，即可求得相应的概率. 【详解】解：由于四位教师参加三项不同的公益教学活动，每位教师任选一项的情况有：433333⨯⨯⨯=（种），而每个项目都有该校教师参加的情况有：234336C A ⋅=（种）， 则每个项目都有该校教师参加的概率为：436439=. 故答案为：49. 【点睛】本题考查概率的计算和分步乘法的计数原理，以及排列组合的应用，考查分析计算能力.18．35【分析】根据组合数的性质计算可得；【详解】解：故答案为：【点睛】本题考查组合数的性质属于中档题解析：35 【分析】根据组合数的性质11mm mn n n C C C -++=计算可得；【详解】解：2222223456C C C C C ++++3222233456C C C C C =++++ 32224456C C C C =+++ 322556C C C =++3266C C =+ 3776535321C ⨯⨯===⨯⨯故答案为：35 【点睛】本题考查组合数的性质，属于中档题.19．114【分析】本题是一个分类计数问题每个国家馆至少分配一名志愿者则有两种不同的情况当按照221安排时共有当按照113安排时有其中包括甲和乙在一个馆里的情况减去不合题意的结果即可【详解】由题意知本题是解析：114 【分析】本题是一个分类计数问题，每个国家馆至少分配一名志愿者，则有两种不同的情况，当按照2，2，1安排时，共有223533902C C A =，当按照1，1，3安排时，有335360C A =，其中包括甲和乙在一个馆里的情况，减去不合题意的结果即可． 【详解】由题意知本题是一个分类计数问题，每个国家馆至少分配一名志愿者，则有两种不同的情况， 每一个馆的人数分别是2，2，1；1，1，3 当按照2，2，1安排时，共有223533902C C A =，当按照1，1，3安排时，有335360C A =， 其中包括甲和乙在一个馆里的情况， 当甲和乙在同一个馆里时，共有234336C A =， ∴满足条件的排列法共有906036114+-=，故答案为：114. 【点睛】本题考查计数原理的应用，解题的关键是先分组再做分配，考查加法原理和乘法原理的实际应用，属于中等题.20．【分析】本题属于分组分配问题可按上午参观时A 是否与其他小队分在一组进行讨论分上下午两步安排参观即可得出答案【详解】若与中的某一支小队分在一组上午有种参观方法下午参观时三支小队不去各自上午参观的高校有解析：【分析】本题属于分组分配问题，可按上午参观时A 是否与其他小队分在一组进行讨论，分上下午两步安排参观，即可得出答案. 【详解】若A 与B 、C 、D 中的某一支小队分在一组，上午有1333C A ⋅种参观方法， 下午参观时B 、C 、D 三支小队不去各自上午参观的高校，有2种方法， 故有1333236C A ⋅⋅=种；若B 、C 、D 中某两支队分在一组，上午有2333C A ⋅种参观方法， 下午再安排时，也有2种方法， 故有2333236C A ⋅⋅=种. 所以一共有363672+=种. 故答案为：72. 【点睛】本题考查考查分组分配问题，注意其中的分类分步，属于中档题.三、解答题21．（1）144（2）336 【分析】（1）第一步，安排中间2个位置，第二步，安排首尾2个位置，利用乘法原理可得结论． （2）利用间接法，任意排法，再去掉甲、乙跑中间的安排方法即可得解； 【详解】解：（1）先选跑中间的两人有24A 种，再从余下的4人中选跑1、4棒的有24A ，则共有2244144A A =种.（2）用间接法：“不都跑”的否定是“都跑”，所以用任意排法46A ，再去掉甲、乙跑中间的安排方法2224A A 种，故满足条件的安排方法有246224336A A A =-种. 【点睛】本题考查计数原理的运用问题，解题的关键是正确分步．注意甲乙都不跑中间，包括了甲乙可能都不上场的情形．22．（1）16（2）2542【分析】（1）从袋中任意摸出3个球有39C 种不同情况，摸出的全是白球有35C 种不同情况，摸出的全是黑球有34C 种不同情况，计算概率得到答案.（2）摸出的3个球都是白球的事件，记为M ；摸出2个白球，1个黑球的事件，记为N .计算概率得到答案. 【详解】（1）设从袋中摸出的3个球全是白球或全是黑球的事件为A ， 从袋中任意摸出3个球有39C 种不同情况， 摸出的全是白球有35C 种不同情况， 摸出的全是黑球有34C 种不同情况，因为从袋中任意摸出3个球的所有情况都是等可能的，所以()3354391041846C C P A C ++===. （2）设从袋中摸出的白球个数多于黑球个数的事件为B . 事件B 包含两个基本事件：第一个，摸出的3个球都是白球的事件，记为M ； 第二个，摸出2个白球，1个黑球的事件，记为N .()3539542C P M C ==，()21543940108421C C P N C ===. 所以，()()()51025422142P B P M P N =+=+=. 【点睛】本题考查了概率的计算，意在考查学生的计算能力. 23．（1）720；（2）3720. 【分析】（1）由学生会正、副主席两职位只能由甲乙丙三人中选出两人担任，利用排列、组合计算即可；（2）甲不担任学生会主席，乙不担任组织委员，可用间接法计算，即可求解． 【详解】（1）由题意，学生会正、副主席两职位只能由甲乙丙三人中选出两人担任， 则有225325720C A A =种不同的分工．（2）甲不担任学生会主席，乙不担任组织委员，则有76576523720A A A -+=种不同的分工． 【点睛】本题主要考查了排列、组合及其简单的计数原理的应用，其中解答中认真审题，合理利用排列数、组合数的公式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．24．(1)32.（2）201820192⨯.（3）54n.【分析】（1）利用赋值法求解，令1x =和1x =-，两式相加可得；（2）利用11k k n n kC nC --=可求；（3）结合式子特点构造(41)n +可求. 【详解】（1）令1x =，得60126264a a a a +++⋯+== ① 令1x =-，得01260a a a a -+-⋯+= ② ①+②得024632a a a a +++=；（2）因为11k k n n kC nC --=所以12320192019201920192019232019C C C C ++++=()12201820182018201820182019C C C C ++++201820192=⨯；（3）01122310144444n n n n n n n n n n C C C C C -----+++⋯++011221144444n n n n nn n nnnC C C CC ---⎡⎤=+++++⎣⎦15(41)44nn=+=. 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，结合组合数的性质，侧重考查数学解题模型的构建能力. 25．（1）（2）（3）【解析】 【分析】(1)由赋值法得到相应的数值；（2）将参数值代入表达式得到其通项公式为，由不等式，可得到，进而得到；（3）按照组合数的展开公式，分组求和即可. 【详解】 （1）若，，令,则， 令，则所以.（2）若，其通项公式为，由不等式解得，且，∴.所以.（3）若,【点睛】本题考查二项式定理的应用,以及组合数公式的相关运算，考查推理能力与计算能力，属于中等题。

(必考题)高中数学高中数学选修2-3第一章《计数原理》测试卷(有答案解析)

(必考题)高中数学高中数学选修2-3第一章《计数原理》测试卷(有答案解析)

一、选择题1．先后投掷骰子（骰子的六个面分别标有1、2、3、4、5、6个点）两次落在水平桌面后，记正面朝上的点数分别为,x y ，设事件A 为“x y +为偶数”，事件B 为“x y 、中有偶数，且x y ≠”，则概率()P B A =( ) A ．13B ．12C ．14D ．252．设1~(10,)B p ξ，2~(10,)B q ξ，且14pq >，则“()()12E E ξξ>”是“()()12D D ξξ<”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．随机变量X 的分布列如表所示，若1()3E X =，则(32)D X -=（ ）A ．59B ．53C ．5D ．74．已知随机变量ξ的分布列如表，则ξ的标准差为（ ）A ．3.56B C ．3.2D 5．已知离散型随机变量X 服从二项分布(),X B n p ，且2EX =，DX q =，则21p q+的最小值为（ ） A ．274B ．92C ．3D ．46．某班有18名学生数学成绩优秀，若从该班随机找出6名学生，其中数学成绩优秀的学生数1~6,3X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()21E X +=（ ）A ．13B ．12C ．5D ．47．下列命题中真命题是（ ）（1）在1831x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项式展开式中，共有4项有理项；（2）若事件A 、B 满足()0.15P A =，()0.60P B =，()0.09P AB =，则事件A 、B 是相互独立事件；（3）根据最近10天某医院新增疑似病例数据，“总体均值为2，总体方差为3”，可以推测“最近10天，该医院每天新增疑似病例不超过7人”. A ．（1）（2）B ．（1）（3）C ．（2）（3）D ．（1）（2）（3）8．从装有除颜色外完全相同的3个白球和m 个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回的摸取5次，设摸得白球数为X ，已知()3E X =，则()(D X = ) A ．85B ．65C ．45D ．259．口袋中装有大小、轻重都无差别的5个红球和4个白球，每一次从袋中摸出2个球，若颜色不同，则为中奖每次摸球后，都将摸出的球放回口袋中，则3次摸球恰有1次中奖的概率为（ ）． A ．80243B ．100243C ．80729D ．10072910．某校高一（1）班共有54人，如图是该班期中考试数学成绩的频率分布直方图，则成绩在[]100,120内的学生人数为A ．36B ．27C ．22D ．1111．已知随机变量ξ服从正态分布2(2,)N σ，且(4)0.8P ξ<=，(02)P ξ<<=（ ）． A ．0.6B ．0.4C ．0.3D ．0.212．某班有14名学生数学成绩优秀，如果从该班随机找出5名学生，其中数学成绩优秀的学生数1~(5)4X B ，，则(21)E X += A ．54B ．72C ．3D ．52二、填空题13．设随机变量ξ服从二项分布16,2B ξ⎛⎫⎪⎝⎭～ ，则()3P ξ≤等于__________ 14．随机变量X 的分布列如下：其中a ，b ，c 成等差数列，若1()3E X =，则(31)D X +的值是______15．某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考试，否则即被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为45，35，25，且各轮问题能否正确回答互不影响，则该选手被淘汰的概率为_________．16．设在15个相同类型的产品中有2个是次品，每次任取1个，共取3次，并且每次取出后不放回，若以ξ表示取出次品的个数，则()E ξ=________．17．如图所示，旋转一次的圆盘，指针落在圆盘中3分处的概率为a ，落在圆盘中2分处的概率为b ，落在圆盘中0分处的概率为c ，（,,(0,1)a b c ∈），已知旋转一次圆盘得分的数学期望为1分，则213a b+的最小值为________.18．随机变量X 服从正态分布()2~10,X N σ，()12P X m >=，1(8)0P X n ≤≤=，则21m n+的最小值为_____． 19．邮局工作人员整理邮件，从一个信箱中任取一封信，记一封信的质量为X (单位：克)，如果()100.3P X <=,()10300.4P X ≤≤=，那么()30P X >等于_________. 20．某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p ，各成员的支付方式相互独立，设X 为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，此时()~10,.X B p 若() 2.1,D X =()()37,P X P X =<=则p =_______． 三、解答题21．在一场青年歌手比赛中，由20名观众代表平均分成A ，B 两个评分小组，给参赛选手评分，下面是两个评分小组对同一名选手的评分情况：A 组8.3 9.3 9.6 9.4 8.5 9.6 8.8 8.4 9.4 9.7 B 组8.69.19.28.89.29.19.29.38.88.7（1）分别计算这两个小组评分的平均数和方差，并根据结果判断哪个小组评分较集中； （2）在评分较集中的小组中，去掉一个最高分和一个最低分，从剩余的评分中任取2名观众的评分，记X 为这2个人评分之差的绝对值，求X 的分布列和数学期望.22．2019年春节期间，我国高速公路继续执行“节假日高速公路免费政策”某路桥公司为掌握春节期间车辆出行的高峰情况，在某高速公路收费点记录了大年初三上午9:20~10:40这一时间段内通过的车辆数，统计发现这一时间段内共有600辆车通过该收费点，它们通过该收费点的时刻的频率分布直方图如下图所示，其中时间段9:20~9:40记作区间[)20,40，9:40~10:00记作[)40,60，10:00~10:20记作[)60,80，10:20~10:40记作[)80,100.例如：10点04分，记作时刻64.（1）估计这600辆车在9:20~10:40时间段内通过该收费点的时刻的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；（2）为了对数据进行分析，现采用分层抽样的方法从这600辆车中抽取10辆，再从这10辆车中随机抽取4辆，设抽到的4辆车中，在9:20~10:00之间通过的车辆数为X ，求X 的分布列与数学期望；（3）由大数据分析可知，车辆在每天通过该收费点的时刻T 服从正态分布()2,N μσ，其中μ可用这600辆车在9:20~10:40之间通过该收费点的时刻的平均值近似代替，2σ可用样本的方差近似代替（同一组中的数据用该组区间的中点值代表），已知大年初五全天共有1000辆车通过该收费点，估计在9:46~10:40之间通过的车辆数（结果保留到整数）.参考数据：若()2,T N μσ~，则()0.6827P T μσμσ-<≤+=，()220.9545P T μσμσ-<≤+=，()330.9973P T μσμσ-<≤+=.23．抛掷一枚质地均匀的硬币2次，记正面朝上的次数为X ． （1）求随机变量X 的分布列；（2）若随机变量21Y X =+，求随机变量Y 均值、方差．24．某班同学在假期进行社会实践活动，对[]25,55岁的人群随机抽取n 人进行了一次当前投资生活方式——“房地产投资”的调查，得到如下统计和各年龄段人数频率．．．．．．．分布直方图：（Ⅰ）求n ，a ，p 的值；（Ⅱ）从年龄在[)4050，岁的“房地产投资”人群中采取分层抽样法抽取9人参加投资管理学习活动，其中选取3人作为代表发言，记选取的3名代表中年龄在[)4050，岁的人数为X ，求X 的分布列和期望EX ．25．数学是研究数量、结构、变化、空间以及信息等概念的一门科学.在人类历史发展和社会生活中，数学发挥着不可替代的作用，也是学习和研究现代科学技术必不可少的基本工具.（1）为调查大学生喜欢数学命题是否与性别有关，随机选取50名大学生进行问卷调查，当被调查者问卷评分不低于80分则认为其喜欢数学命题，当评分低于80分则认为其不喜欢数学命题，问卷评分的茎叶图如下：依据上述数据制成如下列联表：请问是否有90%的把握认为大学生是否喜欢数学命题与性别有关？参考公式及数据：22(),()()()()n ad bc K n a b c d a b c d a c b d -==+++++++. 20()P K k ≥0.100 0.050 0.010 0.001 0k2.7063.8416.63510.828(01)p p <<，各轮命题相互独立，若该同学在3轮命题中恰有2次成功的概率为49，记该同学在3轮命题中的成功次数为X ，求()E X .26．设甲、乙两位同学上学期间，每天7:30之前到校的概率均为23.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立.（1）设甲同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数为X ，求X 0=，1X =，2X =，3X =时的概率()0P X =，()1P X =，()2P X =，()3P X =；（2）设M 为事件“上学期间的三天中，甲同学在7:30之前到校的天数比乙同学在7:30之前到校的天数恰好多2”，求事件M 发生的概率.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】根据题意有()))|(=(n AB P n A A B ，所以只须分析事件A 和事件AB 所包含的基本事件，即可根据公式求出结果. 【详解】解：事件A 中“x y +为偶数”，所以,x y 同奇同偶，共包含22318⨯=种基本事件；事件AB 同时发生，则,x y 都为偶数，且x y ≠，则包含236A =个基本事件；()()61=)13|=(8n AB n A P B A =. 故选：A. 【点睛】本题考查条件概率的应用，考查基本事件的求法，解题的关键是辨析条件概率，属于基础题.2．C解析：C 【分析】根据二项分布的期望和方差公式，可知()110E p ξ=，()210E q ξ=，那么()()12E E ξξ>等价于1010p q >，即p q >，并且()()1101D p p ξ=-，()()2101D q q ξ=-，则()()12D D ξξ>等价于()()101101pp q q -<-，即()()11p p q q -<-，分情况讨论，看这两个条件是否可以互相推出即得. 【详解】由题得，()110E p ξ=，()210E q ξ=，故()()12E E ξξ>等价于1010p q >，即p q >. 又()()1101D p p ξ=-，()()2101D q q ξ=-，故()()12D D ξξ>等价于()()101101p p q q -<-，即()()11p p q q -<-.若p q >，因为14pq >，说明12p >，且()()211124p p p p pq +-⎛⎫-<=< ⎪⎝⎭，故1p q -<，故有1122p q ->-.若12q <，则221122p q ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，若12q ≥，则自然有11022p q ->->，则221122p q ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故221122p q ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即()()11p p q q -<-.若()()11p p q q -<-，则221122p q ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又因为()()1114p p q q pq -<-≤<，1p q -<，即1122p q ->-.若102p -≤，则与221122p q ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭矛盾，故12p >，若12q ≤，则自然有p q >，若12q >，则由221122p q ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭知1122p q ->-，即p q >. 所以是充要条件. 故选：C【点睛】本题综合的考查了离散型随机变量期望方差和不等式，属于中档题.3．C解析：C 【分析】 由1()3E X =，利用随机变量X 的分布列列出方程组，求出13a =，12b =，由此能求出()D X ，再由(32)9()D X D X -=，能求出结果．【详解】 1()3E X =∴由随机变量X 的分布列得：1161163a b b ⎧++=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，解得1312a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 2221111115()(1)(0)(1)3633329D X ∴=--⨯+-⨯+-⨯=，5(32)9()959D X D X ∴-==⨯=故选：C ． 【点睛】本题考查方差的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望、方差等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．4．D解析：D 【分析】由分布列的性质求得x ，利用方差的计算公式可求得()D ξ，进而得到标准差. 【详解】由分布列的性质得：0.40.11x ++=，解得：0.5x =，()10.430.150.5 3.2E ξ∴=⨯+⨯+⨯=，()()()()2221 3.20.43 3.20.15 3.20.5 3.56D ξ∴=-⨯+-⨯+-⨯=，ξ∴=故选：D . 【点睛】本题考查根据离散型随机变量的分布列求解标准差的问题，考查了分布列的性质、数学期望和方差的求解，考查基础公式的应用.5．B解析：B 【分析】根据二项分布的均值与方差公式,可得,p q 的等量关系.利用“1”的代换,结合基本不等式即可求得21p q+的最小值. 【详解】离散型随机变量X 服从二项分布(),XB n p ,且2EX =,DX q =由二项分布的均值与方差公式可得()21npq np p =⎧⎨=-⎩, 化简可得22p q +=,即12qp +=由基本不等式化简可得21p q+ 221p q q p ⎛⎫=+ ⎪⎛⎫+ ⎪⎝⎝⎭⎭2525922q p p q ≥+=++= 即21p q +的最小值为92故选:B 【点睛】本题考查了二项分布的简单应用,均值与方差的求法,利用“1”的代换结合基本不等式求最值,属于中档题.6．C解析：C 【分析】根据1~6,3X B ⎛⎫⎪⎝⎭得到()2E X =，再根据()()2121E X E X +=+，计算得到答案. 【详解】1~6,3X B ⎛⎫⎪⎝⎭，则()1623E X =⨯=，故()()21215E X E X +=+=.故选：C . 【点睛】本题考查了二项分布的均值，同时也考查了期望性质的应用，意在考查学生的计算能力.7．D解析：D 【分析】对三个命题分别判断真假，即可得出结论. 【详解】对于（1），18的二项展开式的通项为1815163621818rrrr rC x x C x ---⎛⎫⎛⎫⋅⋅=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当0r =、6、12、18时，为有理项，共有4个有理项，故（1）正确； 对于（2），事件A 、B 满足()0.15P A =，()0.60P B =，()0.09P AB =， 所以()()()0.150.600.09P AB P A P B =⨯==，满足A 、B 为相互独立事件，故（2）正确；对于（3），当总体平均数是2，若有一个数据超过7，则方差就接近于3， 所以，总体均值为2，总体方差为3时，没有数据超过7，故（3）正确. 故选：D.【点睛】本题考查命题真假的判断，考查分析法与基本运算能力，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.8．B解析：B 【分析】由题意知，3~(5,)3X B m +，由3533EX m =⨯=+，知3~(5,)5X B ，由此能求出()D X ．【详解】由题意知，3~(5,)3X B m +， 3533EX m ∴=⨯=+，解得2m =， 3~(5,)5X B ∴，336()5(1)555D X ∴=⨯⨯-=．故选：B ． 【点睛】本题考查离散型随机变量的方差的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意二项分布的灵活运用．9．A解析：A 【解析】每次摸球中奖的概率为114529C C 2059C 36==，由于是有放回地摸球，故3次摸球相当于3次独立重复实验，所以3次摸球恰有1次中奖的概率2135580C 199243P ⎛⎫=⨯⨯-= ⎪⎝⎭． 故选A ．点睛:判断一个随机变量是否服从二项分布，要看两点：①是否为n 次独立重复试验，在每次试验中事件A 发生的概率是否均为p ；②随机变量是否为在这n 次独立重复试验中某事件发生的次数，且()()1n kk kn p X k C p p -==-表示在独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率．10．B解析：B根据频率分布直方图，得成绩在[90120]，内的频率为：10.0150.0.0100.005100.70-++⨯=（），∴120.0300.7010a +=⨯，解得0.020a =；∴成绩在[100120]，内的频率为0.0300.020100.50+⨯=（），所求的学生人数为540.5027⨯=，故选B.11．C解析：C 【解析】∵P (ξ<4)＝0.8，∴P (ξ>4)＝0.2， 由题意知图象的对称轴为直线x ＝2，P (ξ<0)＝P (ξ>4)＝0.2，∴P (0<ξ<4)＝1－P (ξ<0)－P (ξ>4)＝0.6. ∴P (0<ξ<2)＝12P (0<ξ<4)＝0.3 12．B解析：B 【解析】因为115(5,)()5444X B E X ~⇒=⨯=，所以57(21)2()12142E X E X +=+=⨯+=，应选答案B 。

第30讲：选修2-3第一章计数原理单元检测题-高中数学单元检测题 含解析 精品

第30讲：选修2-3第一章计数原理单元检测题-高中数学单元检测题 含解析 精品

选修2-3第一章《计数原理》单元检测题本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知{1,2}{1,2,3,4,5}Z ⊆⊆,满足这个关系式的集合Z 共有 ( ) A.2个B.6个C.4个D.8个2.一次考试中,要求考生从试卷上的9个题目中选6个进行答题,要求至少包含前5个题目中的3个,则考生答题的不同选法的种数是( ) A.40B.74C.84D.2003.用4种不同的颜色涂图中的矩形,,,A B C D ,若要求有公共边界的矩形涂色不同,则不同涂法有 ( )A.72种B.48种C.24种D.108种4.(13)n x + (其中n N ∈且6n ≥)的展开式中5x 与6x 的系数相等,则n = ( ) A.6B.7C.8D.95.五本不同的书在书架上排成一排,其中甲、乙两本必须连排,而丙、丁两本不能连排,则不同的排法共有 ( ) A.12种B.20种C.24种D.48种6.已知22012(1)(1)(1)n n n x x x a a x a x a x ++++⋅⋅⋅++=+++⋅⋅⋅+()n N *∈, 若01230n a a a a +++⋅⋅⋅+=,则n 等于 ( ) A.5B.3C.4D.77.我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中,有5架舰载机准备着舰.如果甲、乙两机必须相邻着舰,而丙、丁不能相邻着舰,那么不同的着舰方法有 ( ) A.12种 B.18种C.24种D.48种8.在(1)n x + 的展开式中,奇数项之和为p ,偶数项之和为q ,则2(1)nx -等于 ( )A.0B.pqC.22p q - D. 22p q +9.设5432()(21)5(21)10(21)10(21)5(21)1f x x x x x x =+-+++-+++-,则()f x 等于( ) A. 5(22)x + B.52x C. 5(21)x - D. 5(2)x10.若x A ∈,则1A x ∈,就称A 是伙伴关系集合,集合错误！未找到引用源。

常德市高中数学选修2-3第一章《计数原理》测试(含答案解析)

常德市高中数学选修2-3第一章《计数原理》测试(含答案解析)

一、选择题1．杨辉是我国南宋末年的一位杰出的数学家.在他著的《详解九章算法》一书中，画了一张表示二项式展开后的系数构成的三角形数阵（如图所示），称做“开方做法本源”，现在简称为“杨辉三角”，它是杨辉的一大重要研究成果.它比西方的“帕斯卡三角形”早了393年.若用i j a -表示三角形数阵的第i 行第j 个数，则1003a -=（ ）A ．5050B ．4851C ．4950D ．50002．若13nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的二项式系数之和为64，则展开式中的常数项是（ ）A ．1215B ．135C ．18D ．93．把4个不同的小球全部放人3个不同的盒子中，使每个盒子都不空的放法总数为（ ） A ．1333C A B ．3242C AC ．132442C C CD ．2343C A4．设()22201221nn n x x a a x a x a x ++=++++，则022n a a a 的值是（ ）A ．()1312n- B ．1312nC ．3nD ．31n +5．如图是我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”．现提供4种颜色给“弦图”的5个区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案共有（ ）A ．48种B ．72种C ．96种D ．144种6．二项式3nx x 的展开式中第13项是常数项，则n =（ ）A ．18B ．21C ．20D ．307．袋中有大小相同的四个白球和三个黑球，从中任取两个球，两球同色的概率为（ ）A ．47B ．37C ．27D ．8218．5(3)(2)x x -+的展开式中3x 的系数为（ ） A ．10B ．40-C ．200D ．2409．在12202011x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中, 2x 项的系数为( ) A ．10B ．25C ．35D ．6610．已知8290129(3)(23)(1)(1)(1)x x a a x a x a x --=+-+-+⋅⋅⋅+-，则6a =（ ）A ．1792-B ．1792C ．5376-D ．537611．式子22223459C C C C ++++=（ ）A ．83B ．84C ．119D ．12012．若用1,2,3,4,5,6，这六个数字组成没有重复数字且任何相邻两个数字的奇偶性不同的六位数，则这样的六位数共有多少个( ) A ．720B ．36C ．144D ．72二、填空题13．函数()y f x =的定义域D 和值域A 都是集合{12,3}，的非空真子集，如果对于D 内任意的x ，总有()()x f x xf x ++的值是奇数，则满足条件的函数()y f x =的个数是_____；14．在一个正六边形的六个区域涂色(如图)，要求同一区域同一种颜色，相邻的两块区域(有公共边)涂不同的颜色.现有5种不同的颜色可供选择，则有________种涂色方案.15．已知正整数n ，二项式322nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中含有7x 的项，则n 的最小值是________.16．某单位拟安排6位员工在今年6月14号至16号（某节假期）值班，每天安排2人，每人值班1天.若6位员工中的甲不值16号，乙不值14号，则不同的安排方法共有____________种.17．设二项式11323nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的各项系数和为t ，其二项式系数之和为h ，若272h t +=，则二项展开式中2x 项的系数为__________.18．,,,,,A B C D E F 六人并排站成一排，,A B 必须站在一起，且,C D 不能相邻，那么不同的排法共有_____种（结果用数字表示）.19．从0，1，2，3，4，5这6个数字中任取3个组成一个无重复数字的三位数，其中奇数的个数是__________.20．若多项式()()()10112110110112111x x a a x a x a x +=+++++++，则10a =______.三、解答题21．男运动员6名，女运动员4名，其中男､女队长各1名.现选派5人外出参加比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？ （1）男运动员3名，女运动员2名； （2）队长中至少有1人参加； （3）既要有队长，又要有女运动员.22．已知n二项展开式中，第4项的二项式系数与第3项的二项式系数的比为8：3（1）求n 的值；（2）求展开式中3x 项的系数（3）计算式子01231010101010102481024C C C C C -+-++的值．23．已知数列{}n a 的首项为1，记()()()()120122123, 111nn n n nn F x n a C x a C x x a C x x --=-+-+-()11111n n n nn n n n a C x x a C x --+++-+.（1）若数列{}n a 是公比为3的等比数列，求()1, 2020F -的值；（2）若数列{}n a 是公差为2的等差数列，求证：(), 2020F x 是关于x 的一次多项式.24．若423401234(2x a a x a x a x a x =++++ （1）求2a 的值；（2）求2202413()()a a a a a ++-+25．用0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的自然数． （1）在组成的五位数中，所有奇数的个数有多少? （2）在组成的五位数中，数字1和3相邻的个数有多少? （3）在组成的五位数中，若从小到大排列，30124排第几个?26．（1）把6本不同的书分给4位学生，每人至少一本，有多少种方法？ （2）由0,1,2,3,4,5这6个数字组成没有重复数字的四位偶数由多少个？（3）某旅行社有导游9人，其中3人只会英语，4人只会日语，其余2人既会英语，也会日语，现从中选6人，其中3人进行英语导游，另外3人进行日语导游，则不同的选择方法有多少种？【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】依据二项展开式系数可知，得到第i 行第j 个数应为11j i C --，即可求得1003a -的值.【详解】依据二项展开式系数可知，第i 行第j 个数应为11j i C --， 故第100行第3个数为299999848512C ⨯== 故选：B . 【点睛】本题考查二项展开式的应用，其中解答中得出第i 行第j 个数应为11j i C --是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题.2．B解析：B 【解析】分析：由二项式系数和求出指数n ，再写出展开式通项后可求得常数项． 详解：由题意264n=，6n =，∴通项为36662166(3)3r r rr r rr T C x C x ---+==， 令3602r -=，4r =，∴常数项为2463135C =， 故选B.．点睛：在()n a bx +展开式中二项式系数为2n ，所有项的系数和为()n a b +．要注意这两个和是不一样的，二项式系数和是固定的，只与指数n 有关，而所有项系数和还与二项式中的系数,a b 有关．3．D解析：D 【分析】利用捆绑法选择两个球看成整体，再全排列得到答案. 【详解】选择两个球看成整体，共有24C 种取法，再把三个球放入三个盒子中，有33A 种放法，故共有2343C A 种放法. 故选：D. 【点睛】本题考查了排列和组合的应用，意在考查学生的应用能力，利用捆绑法是解题的关键.4．B解析：B 【分析】本题可以通过利用二项展开式的系数关系，采用赋值法将x 分别赋值为1、1-，然后通过运算即可得出结果． 【详解】()22201221nn n x x a a x a x a x ++=++++，令1x =，01223n na a a a ①，令1x =-，01221n a a a a ②，（①+②）02212312nna a a ， 故选：B ． 【点睛】本题考查二项展开式的相关运算，可通过赋值法进行计算，考查计算能力，考查化归与转化思想，是中档题.5．B解析：B 【分析】A 区域与其他区域都相邻，从A 开始分步进行其它区域填涂可解【详解】解：根据题意，如图，假设5个区域依次为A B C D E 、、、、，分4步分析： ①，对于A 区域，有4种涂法，②，对于B 区域，与A 相邻，有3种涂法， ③，对于C 区域，与A B 、 相邻，有2种涂法，④，对于D 区域，若其与B 区域同色，则E 有2种涂法，若D 区域与B 区域不同色，则E 有1种涂法，则D E 、 区域有2+1＝3种涂色方法， 则不同的涂色方案共有4×3×2×3＝72种； 故选： B ．【点睛】本题考查两个计数原理的综合问题使用两个计数原理进行计数的基本思想：对需用两个计数原理解决的综合问题要“先分类，再分步”，即先分为若干个“既不重复也不遗漏”的类，再对每类中的计数问题分成若干个“完整的步骤”，求出每个步骤的方法数，按照分步乘法计数原理计算各类中的方法数，最后再按照分类加法计数原理得出总数．6．D解析：D 【分析】直接利用二项式定理计算得到答案. 【详解】二项式3nx x 的展开式中第13项12101212123313()n n n n T C x C x x --⎛== ⎝， 令1003n-=，得30n =. 故选：D. 【点睛】本题考查了二项式定理，意在考查学生的计算能力和应用能力.7．B解析：B 【分析】根据题意可知，所选的两个球均为白球或黑球，利用组合计数原理与古典概型的概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】由题意可知，所选的两个球均为白球或黑球，由古典概型的概率公式可知，所求事件的概率为22432737C C P C +==. 故选：B. 【点睛】本题考查古典概型概率的计算，涉及组合计数原理的应用，考查计算能力，属于中等题.8．B解析：B 【分析】首先将5(3)(2)x x -+拆开得到555((2)3(23))(2)x x x x x =+-+-+，得到5(3)(2)x x -+的展开式中3x 的系数与5(2)x +展开式中2x 项和3x 项的系数有关，化简求得结果. 【详解】555((2)3(23))(2)x x x x x =+-+-+，5(2)x +展开式中2x 项的系数为335280C ⋅=， 5(2)x +展开式中3x 项的系数为225240C ⋅=， 所以5(3)(2)x x -+的展开式中3x 的系数为8034040-⨯=-， 故选：B. 【点睛】该题考查的是有关二项式定理的问题，涉及到的知识点有求两个二项式乘积展开式的系数问题，在解题的过程中，注意分析与哪些项有关，属于简单题目.9．D解析：D 【分析】分析12202011x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式的本质就是考虑12个202011x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，每个括号内各取202011,,x x 之一进行乘积即可得到展开式的每一项，利用组合知识即可得解.【详解】12202011x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式考虑12个202011x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭， 每个括号内各取202011,,x x 之一进行乘积即可得到展开式的每一项，要得到2x 项，就是在12个202011x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭中，两个括号取x ，10个括号取1， 所以其系数为21266C =. 故选：D 【点睛】此题考查求多项式的展开式指定项的系数，关键在于弄清二项式定理展开式的本质问题，将问题转化为计数原理组合问题.10．D解析：D 【分析】将原式改写成88(3)(23)[2(1)][2(1)1]x x x x --=----，利用二项式定理解决系数问题即可得解.【详解】88(3)(23)[2(1)][2(1)1]x x x x --=----290129(1)(1)(1)a a x a x a x =+-+-+⋅-+⋅⋅，所以26356882C 2C 2358417925376.a =⨯⨯+⨯=+= 故选：D 【点睛】此题考查二项式定理的理解辨析和应用，关键在于熟练掌握定理公式，根据公式处理系数关系.11．C解析：C 【分析】根据组合数的计算公式111rr r n n n C C C ++++=，化简运算，即可求解.【详解】由题意，根据组合数的计算公式111rr r n n n C C C ++++=，可得22223459C C C C ++++=32222334591C C C C C +++++-322244591C C C C =++++-32235591011119C C C C =+++-==-=.故选：C. 【点睛】本题主要考查了组合数的化简与运算，其中解答中熟记组合数的运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了计算能力.12．D解析：D 【分析】第一步先将1，3、5排列，共有336A =种排法；第二步再将2，4、6插空排列，不能空着两个偶数之间的空，先用两个元素排列中间两个空，在把两端的空位选一个放第三个元素，得到结果． 【详解】解：由题意知，本题是一个分步计数问题， 第一步先将1，3、5排列，共有336A =种排法，第二步再将2，4、6插空排列，不能空着两个偶数之间的空， 先用两个元素排列中间两个空，在把两端的空位选一个放第三个元素，共有23212A =种排法， 由分步乘法计数原理得这样的六位数共有：61272⨯=. 故选：D. 【点睛】本题考查分步计数原理，以及排列数的计算和插空法的应用，解题的关键是看出做完一件事需要分成几步，每一步包括几种方法．二、填空题13．【分析】化简得因此中至少一个为奇数再分两种情况讨论得解【详解】因为所以中至少一个为奇数定义域为的都可以有种；定义域为的函数所以有种；所以共种故答案为：29【点睛】关键点睛：解答本题有两个关键：其一是 解析：29【分析】化简得()()(1)(()1)1,x f x xf x x f x ++=++-因此(),f x x 中至少一个为奇数，再分两种情况讨论得解. 【详解】因为()()(1)(()1)1,x f x xf x x f x ++=++- 所以(),f x x 中至少一个为奇数，定义域为{1},{3},{1,3}的都可以，有3333=15++⨯种； 定义域为{}{}{}2,1,2,2,3的函数(2){1,3}f ∈， 所以有23223=14+⨯+⨯种； 所以共29种. 故答案为：29 【点睛】关键点睛：解答本题有两个关键：其一是分析出(),f x x 中至少一个为奇数，其二是合理分类讨论.14．4100【分析】分类讨论：三个区域用同一种颜色用2种颜色用3种颜色由分步计数原理可得结论【详解】考虑三个区域用同一种颜色共有方法数有考虑三个区域用2种颜色共有方法数有考虑三个区域用3种颜色共有方法数解析：4100 【分析】分类讨论：A 、C 、E 三个区域用同一种颜色，用2种颜色，用3种颜色，由分步计数原理可得结论． 【详解】考虑A 、C 、E 三个区域用同一种颜色，共有方法数有354320⨯=，考虑A 、C 、E 三个区域用2种颜色，共有方法数有(543)4332160⨯⨯⨯⨯⨯=， 考虑A 、C 、E 三个区域用3种颜色，共有方法数有33531620A ⨯=， 故总计有方法数320216016204100++=． 故答案为：4100． 【点睛】本题考查分类计数原理和分步计数原理，解题关键是确定完成事件的方法，是分类还是分步？本题完成涂色这个事件，采取的是先分类：按A 、C 、E 三个区域所用颜色数分三类，然后每类再分步，每类里先涂色A 、C 、E 三个区域，然后再涂色其它三个区域．15．【分析】确定展开式的通项令的指数为即可求得结论【详解】二项式的展开式通项为令可得当时取最小值故答案为：【点睛】本题考查二项展开式通项的应用考查学生的计算能力属于中等题 解析：4【分析】确定展开式的通项，令x 的指数为7，即可求得结论． 【详解】二项式322nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式通项为()3351222kn k k k kn k k n n T C x C x x --+⎛⎫=⋅=⋅ ⎪⎝⎭. 令357n k -=，可得573k n +=，当1k =时，n 取最小值4. 故答案为：4. 【点睛】本题考查二项展开式通项的应用，考查学生的计算能力，属于中等题.16．42【分析】根据题意不同的安排方法的数目等于所有排法减去甲值16号或乙值14号的排法数再加上甲值16号且乙值14号的排法进而计算可得答案【详解】解：根据题意不同的安排方法的数目为：所有排法减去甲值1解析：42 【分析】根据题意，不同的安排方法的数目等于所有排法减去甲值16号或乙值14号的排法数，再加上甲值16号且乙值14号的排法，进而计算可得答案． 【详解】解：根据题意，不同的安排方法的数目为：所有排法减去甲值16号或乙值14号的排法数，再加上甲值16号且乙值14号的排法，即221211645443242C C C C C C -⨯+=， 故答案为：42． 【点睛】本题考查组合数公式的运用，注意组合与排列的不同以及各种排法间的关系，避免重复、遗漏．17．1【分析】给二项式中的赋值1求出展开式的各项系数和利用二项式系数之和公式求出再代入解方程求出的值从而得出二形式的表达式再求出二项式中项的系数即可【详解】令二项式中的为1得到各项系数之和为又二项式系数解析：1 【分析】给二项式中的x 赋值1，求出展开式的各项系数和t ，利用二项式系数之和公式求出h ，再代入272h t +=，解方程求出n 的值，从而得出二形式的表达式，再求出二项式中2x 项的系数即可. 【详解】令二项式中的x 为1得到各项系数之和为4=n t ，又二项式系数之和为2=n h ， 因为272h t +=，，所以42272n n +=，解得4n =，所以41111332233nx x x x ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以它展开式的通项为443243-+-k kkkC x，要得到2x 项的系数，则需令4232-+=k k， 解得4k =，所以二项展开式中2x 项的系数为444431-=C .故答案为：1. 【点睛】本题主要考查二项式展开式的各项系数之和，二项式系数之和，二项展开式通项的应用，正确运用公式是解题关键.18．144【分析】根据题意分2步进行分析：①将两人看成一个元素与人进行全排列易得排好后有4个空位；②在4个空位中任选2个安排由分步计数原理计算可得答案【详解】解：根据题意分2步进行分析：①将两人看成一个解析：144 【分析】根据题意，分2步进行分析：①将AB 两人看成一个元素，与2EF 人进行全排列，易得排好后有4个空位；②在4个空位中任选2个，安排C 、D ，由分步计数原理计算可得答案． 【详解】解：根据题意，分2步进行分析：①将AB 两人看成一个元素，与2EF 人进行全排列， 有232312A A =种排法，排好后有4个空位，②在4个空位中任选2个，安排C 、D ，有2412A =种情况， 则有1212144⨯=种不同的排法. 故答案为：144. 【点睛】本题考查排列、组合的应用，注意常见的相邻和不相邻问题的处理方法有捆绑法和插空法．19．48【分析】根据题意分3步进行分析：①从135三个数中取一个排个位；②0不能在百位则百位的安排方法有4种；③在剩下的4个数中任选1个安排在十位由分步计数原理计算可得答案【详解】解：根据题意分3步进行解析：48【分析】根据题意，分3步进行分析：①从1、3、5三个数中取一个排个位；②0不能在百位，则百位的安排方法有4种；③在剩下的4个数中任选1个，安排在十位，由分步计数原理计算可得答案． 【详解】解：根据题意，分3步进行分析：①从1、3、5三个数中取一个排个位，有3种安排方法， ②0不能在百位，则百位的安排方法有4种，③在剩下的4个数中任选1个，安排在十位，有4种情况， 则符合题意的奇数的个数是为34448⨯⨯=个. 故答案为：48. 【点睛】本题考查排列组合及简单的计算原理，采用特殊元素特殊位置优先考虑的方法.20．【分析】由二项式定理及其展开式通项公式得展开式的通项为令解得则得解【详解】由展开式的通项为令解得则故答案为：【点睛】本题考查了二项式定理及其展开式通项公式意在考查学生对这些知识的理解掌握水平 解析：22-【分析】由二项式定理及其展开式通项公式得111122[(1)1]x x =+-展开式的通项为111112(1)(1)r r r r T C x -+=+-，令1110r -=，解得1r =，则110112(1)22a C =⨯-=-，得解．【详解】由111122[(1)1]x x =+-展开式的通项为111112(1)(1)rr r r T C x -+=+-， 令1110r -=，解得1r =，则110112(1)22a C =⨯-=-， 故答案为：22-． 【点睛】本题考查了二项式定理及其展开式通项公式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．三、解答题21．（1）120(种)；（2）196(种)；（3）191(种). 【分析】(1）本题是一个分步计数问题，首先选3名男运动员，有36C 种选法．再选2名女运动员，有24C 种选法．利用乘法原理得到结果;(2）只有男队长的选法为48C 种，只有女队长的选法为48C 种，男、女队长都入选的选法为38C 种，把所有的结果数相加;(3)当有女队长时，其他人选法任意，共有49C 种选法．不选女队长时，必选男队长，共有48C 种选法．其中不含女运动员的选法有45C 种，得到结果.【详解】 （1）分两步完成：第一步，选3名男运动员，有36C 种选法；第二步，选2名女运动员，有24C 种选法.由分步乘法计数原理可得，共有3264120C C ⋅=(种)选法.（2）方法一(直接法)可分类求解： “只有男队长”的选法种数为48C ； “只有女队长”的选法种数为48C ； “男､女队长都入选”的选法种数为38C ， 所以共有43882196C C +=(种)选法.方法二(间接法)从10人中任选5人有510C 种选法，其中不选队长的方法有58C 种.所以“至少有1名队长”的选法有55108196C C -=(种).（3）当有女队长时，其他人任意选，共有49C 种选法；当不选女队长时，必选男队长，共有48C 种选法，其中不含女运动员的选法有45C 种，所以不选女队长时的选法共有4485C C -（）种.所以既要有队长又要有女运动员的选法共有444985191C C C +-=(种).【点睛】本题主要考查了分步乘法计数原理，考查分类加法计数原理，在比较复杂的题目中，会同时出现分类和分步，本题是一个比较综合的题目，属于中档题. 22．（1）10n =；（2）180；（3）1. 【解析】试题分析： 本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x 赋值，求展开式的系数和，属于基础题．第一问，直接利用条件可得3283n n C C =，求得n 的值；第二问，在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于3，求出r 的值，即可求得展开式中x 3项的系数．第三问，在10二项展开式中，令x=1，可得式子01231010101010102481024C C C C C -+-++的值．试题（1）由第4项的二项式系数与第3项的二项式系数的比为8：3，可得3283n n C C =，化简可得2833n -=，求得10n =． （2）由于n 二项展开式的通项公式为5110(2)r r rr T C x -+=-，令53r -=，求得2r，可得展开式中3x 项的系数为2210(2)180C -=． （3）由二项式定理可得105100(2)n r r rr C x -==-∑， 所以令x=1得01231010101010102481024C C C C C -+-++10(12)1=-=.考点：二项式定理的应用；二项式系数的性质．23．（1）1（2）证明见解析； 【分析】（1）根据13-=n n a ，得到()()()()()1220012,313131nn n n nn F x n C x C x x C x x --=-+-+-()()()()()1113131312n n n nn nn n C x x C x x x x --++-+=-+=+求解.（2）易得21n a n =-，则(),F x n ()()()()()101222112114(1)12--=-++-++-+++nn n n n nn nn C x C x x C x n C xx ，再转化为(),F x n ()()10122211(1)--⎡⎤=-+-+-+++⎣⎦n n n n n n n n n C x C x x C x x C x ()11222212(1)n n n n n n n C x x C x x nC x --⎡⎤-+-++⎣⎦，利用二项式定理及组合数公式求解.【详解】（1）由题意得：13-=n n a ，∴()()()()()1220012,313131nn n n nn F x n C x C x x C x x --=-+-+-()()()()()1113131312n n nnn nn n C x x C x x x x --++-+=-+=+，∴()()20201,2020121F -=-=；（2）证明：若数列{}n a 是公差为2的等差数列，则21n a n =-.()()()()10111121,111---+=-+-++-+nn n n n nn n n n n n F x n a C x a C x x a C x x a C x ，()()()()()101222112114(1)12--=-++-++-+++nn n n n nn nn C x C x x C x n C x x ，()()10122211(1)--⎡⎤=-+-+-+++⎣⎦n n n n n n n n n C x C x x C x x C x()11222212(1)n n n n n n n C x x C x x nC x --⎡⎤-+-++⎣⎦，由二项式定理知，()()()10122211(1)11---+-+-=-+=⎡⎤⎣++⎦nn n n n nn n nnC x C x x C x x x x C x ，因为()()()()111!!!!1!!kk n n n n kC k n C k n k k n n k --⋅-=⋅=⋅=---，所以()1122212(1)---+-++n n n n n nn C x x C x nC x x()112211111(1)------=-+-++n n n n n n nnC x x n x x nC x C()112111111(1)n n n n n n n nx C x C x x C x -------=⎦-+-++⎡⎤⎣()11-=-+=⎡⎤⎣⎦n nx x x nx ，所以(),12F x n nx =+.(),202014040F x x =+.【点睛】本题主要考查二项式定理及其展开式以及组合数公式，等差数列，等比数列的通项公式，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 24．(1) 72 ；(2) 1 【分析】（1）求2a 时，可通过二项展开式的通项去求解；（2）先观察式子特征，注意到可进行平方差变形；然后根据1x =±时的值来计算最终结果. 【详解】（1）因为222224C (2)a x x =，所以22224C (2)72a ==； （2）22024130123401234()()()()a a a a a a a a a a a a a a a ++-+=++++-+-+当1x =时，401234(2a a a a a ++++=；当1x =-时，401234(2a a a a a --+-+=；所以2244402413()()2)2)(34)1a a a a a ++-+==-=. 【点睛】对于230123()...nn f x a a x a x a x a x =+++++形式的展开式，奇次项系数和：(1)(1)2f f +-，偶次项系数和：(1)(1)2f f --，所有项系数和：(1)f .25．（1）36个（2）36个（2）49个 【解析】 【分析】（1）先排个位数，方法数有12C 种，然后排万位数，方法数有13C 种，剩下百位、十位和千位任意排，方法数有33A 种，再按分步乘法计数原理即可求得种类数.（2）把数字1和3捆绑在一起，则相当于有4个位置，最高位不为0，其余位置任意排； （3）计算出比30124小的五位数的情况，即可知道30124排第几个. 【详解】（1）在组成的五位数中，所有奇数的个数有113233=236=36C C A ⨯⨯个； （2）在组成的五位数中，数字1和3相邻的个数有21323323636A C A =⨯⨯=个；（3）要求在组成的五位数中，要求得从小到大排列，30124排第几个，则计算出比30124小的五位数的情况，比30124小的五位数，则万位为1或2，其余位置任意排，即142422448C A=⨯=，故在组成的五位数中比30124小的数有48个，所以在组成的五位数中，若从小到大排列，30124排第49个.【点睛】本小题主要考查简单的排列组合问题，主要是数字的排列.要注意的问题主要是有特殊条件或者特殊要求的，要先排特殊位置或优先考虑特殊要求.如本题中，第一问要求是奇数，那么就先排个位.由于数字的万位不能为零，故第二考虑的是万位，本小题属于基础题. 26．（1）1560；（2）156；（3）92.【解析】【分析】（1）分为3,1,1,1和2,2,1,1两类分别计算，加和得到结果；（2）分为个位是0和个位不是0两类分别计算，加和得到结果；（3）分为只会英语的人中选了3人作英语导游、选了2人作英语导游和选了1人作英语导游三类分别计算，加和得到结果.【详解】（1）把6本不同的书分给4位学生，每人至少一本，有3,1,1,1和2,2,1,1两类分配方式为3,1,1,1时，共有：3114632433480C C CAA⋅=种分法分配方式为2,2,1,1时，共有：2214642422221080C C CAA A⋅=种分法由分类加法计数原理可得，共有：48010801560+=种分法（2）若个位是0，共有：3560A=个若个位不是0，共有：11224496C C A=个由分类加法计数原理可得，共有：6096156+=个（3）若只会英语的人中选了3人作英语导游，共有：3620C=种选法若只会英语的人中选了2人作英语导游，共有：12323560C C C=种选法若只会英语的人中选了1人作英语导游，共有：133412C C=种选法由分类加法计数原理可得，共有：20601292++=种选法【点睛】本题考查排列组合的综合应用问题，涉及到分组分配问题、元素位置有限制的排列组合问题等知识，关键是能够根据题目的要求进行合理的分类，最终通过分类加法计数原理得到结果.。

(易错题)高中数学高中数学选修2-3第一章《计数原理》测试题(含答案解析)

(易错题)高中数学高中数学选修2-3第一章《计数原理》测试题(含答案解析)

一、选择题1．在10个形状大小均相同的球中有5个红球和5个白球，不放回地依次摸出2个球，设事件A 表示“第1次摸到的是红球”，事件B 表示“第2次摸到的是红球”，则()P B A （ ） A ．49B ．12C ．110D ．152．一批产品（数量很大）中，次品率为13，现连续地抽取4次，其次品数记为X ，则()E X 等于（ ）A ．13B ．23C ．89D ．433．已知5台机器中有2台存在故障，现需要通过逐台检测直至区分出2台故障机器为止.若检测一台机器的费用为800元，则所需检测费的均值为（ ） A ．2800元B ．2880元C ．3500元D ．3600元4．有一批种子的发芽率为0.9,出芽后的幼苗成活率为0.8,在这批种子中,随机抽取一粒,则这粒种子能成长为幼苗的概率是( ) A ．0.72B ．0.8C ．89D ．0.95．某班学生的考试成绩中,数学不及格的占15%,语文不及格的占5%,两门都不及格的占3%.已知一学生数学不及格,则他语文也不及格的概率是( ) A ．15B ．310C ．12D ．356．某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为45，那么播下4粒种子恰有2粒发芽的概率是（ ） A ．16625B ．96625C ．192625D ．2566257．已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布()20,3N ，从中随机取一件，其长度误差落在区间（3,6）内的概率为（ ）（附：若随机变量ξ服从正态分布()2,N μσ ，则()68.26%P μσξμσ-<<+= ，()2295.44%P μσξμσ-<<+=．）A ．4.56%B ．13.59%C ．27.18%D ．31.74%8．三个元件123,,T T T 正常工作的概率分别为123,,234，且是相互独立的．如图，将23,T T 两个元件并联后再与1T 元件串联接入电路，则电路不发生故障的概率是（ ）A ．1124B ．2324C ．14D ．17329．已知随机变量ξ服从正态分布2(4,)N σ，(5)0.89P ξ≤=，则(3)P ξ≤=（ ） A ．0.89B ．0.22C ．0.11D ．0.7810．已知随机变量X 的分布列如表，其中a ，b ，c 为等差数列，若1()3E X =，则()D X 等于（ ）X 1- 0 1PabcA ．49B ．59C ．13D ．2311．甲、乙两类水果的质量（单位：kg ）分别服从正态分布()()221122,,,N N μδμδ，其正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法错误的是（ ）A ．甲类水果的平均质量10.4kg μ=B ．甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右C ．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小D ．乙类水果的质量服从正态分布的参数2 1.99δ= 12．已知随机变量X 的分布列为则E(6X ＋8)＝( ) A ．13.2B ．21.2C ．20.2D ．22.2二、填空题13．根据以往的临床记录，某种诊断癌症的试验有如下的效果：若以A 表示事件“试验反应为阳性”，以C 表示事件“被诊断者患有癌症”，则有P (A |C )＝0.95，P (A |C )＝0.95，现在对自然人群进行普查，设被试验的人患有癌症的概率为0.005，即P (C )＝0.005，则P (C |A )＝______．(精确到0.001)14．退休年龄延迟是平均预期寿命延长和人口老龄化背景下的一种趋势.某机构为了了解某城市市民的年龄构成，从该城市市民中随机抽取年龄段在[20，80]内的600人进行调查，并按年龄层次绘制频率分布直方图，如图所示.若规定年龄分布在[60，80]内的人为“老年人”，将上述人口分布的频率视为该城市年龄段在[20，80]的人口分布的概率.从该城市年龄段在[20，80]内的市民中随机抽取3人，记抽到“老年人”的人数为X 则随机变量X 的数学期望为______.15．某人乘车从A 地到B 地，所需时间（分钟）服从正态分布N （30，100），求此人在40分钟至50分钟到达目的地的概率为__________．参考数据：若2~(,)Z N μσ，则()0.6826P Z μσμσ-<<+=，(22)0.9544P Z μσμσ-<<+=，(33)0.9974P Z μσμσ-<<+=．16．甲、乙两人进行围棋比赛，比赛采取五局三胜制，无论哪一方先胜三局则比赛结束，假定甲每局比赛获胜的概率均为23，则甲以3:1的比分获胜的概率为______． 17．甲、乙两个袋子中均装有红、白两种颜色的小球,这些小球除颜色外完全相同,其中甲袋装有4个红球,2个白球,乙袋装有1个红球,5个白球.现分别从甲、乙两袋中各随机抽取1个小球,记抽取到红球的个数为X,则随机变量X 的均值EX=_____. 18．某班甲、乙、丙3名同学竞选班委,甲当选的概率为45,乙当选的概率为35,丙当选的概率为710,则恰有1名同学当选的概率为____. 19．某次测量中，测量结果2(2,)(0) ξN σσ∈>，若ξ在(0,2)内取值的概率为0.4，则ξ在(,4)-∞内取值的概率为__________20．给出下列命题：①函数()π4cos 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的一个对称中心为5π,012⎛⎫- ⎪⎝⎭；②若命题:p “2,10x R x x ∃∈-->”，则命题p 的否定为：“2,10x R x x ∀∈--<”；③设随机变量~(,)B n p ξ，且()2,()1E D ξξ==，则(1)p ξ==14；④函数sin 2y x =的图象向左平移π4个单位长度，得到πsin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象.其中正确命题的序号是_____________（把你认为正确的序号都填上）.三、解答题21．某款游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次，若出现一次音乐获得1分，若出现两次音乐获得2分，若出现三次音乐获得5分，若没有出现音乐则扣15分(即获得15-分).设每次击鼓出现音乐的概率为12，且各次击鼓出现音乐相互独立. （1）设每盘游戏获得的分数为X ，求X 的分布列. （2）玩三盘此游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？（3）玩过这款游戏的人发现，若干盘游戏后，与最初的得分相比，得分没有增加反而减少了.请你分析得分减少的原因.22．网上订外卖已经成为人们日常生活中不可或缺的一部分. M 外卖平台（以下简称M 外卖）为了解其在全国各城市的业务发展情况，随机抽取了100个城市，调查了M 外卖在今年2月份的订单情况，并制成如下频率分布表.（1）由频率分布表可以认为，今年2月份M 外卖在全国各城市的订单数Z （单位：万件）近似地服从正态分布2(,)N μσ，其中μ为样本平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表），σ为样本标准差，它的值已求出，约为3.64，现把频率视为概率，解决下列问题：①从全国各城市中随机抽取6个城市，记今年2月份M 外卖订单数Z 在区间(4.88,15.8]内的城市数为X ，求X 的数学期望（取整数）；②M 外卖决定在该月订单数低于7万件的城市开展“订外卖，抢红包”的营销活动来提升业绩，据统计，开展此活动后城市每月外卖订单数将提高到平均每月9万件的水平，现从全国2月订单数不超过7万件的城市中采用分层抽样的方法选出100个城市开展营销活动，若每接一件外卖订单平均可获纯利润5元，但每件外卖订单平均需送出红包2元，则M 外卖在这100个城市中开展营销活动将比不开展营销活动每月多盈利多少万元？（2）现从全国开展M 外卖业务的所有城市中随机抽取100个城市，若抽到K 个城市的M 外卖订单数在区间(]12.16,19.44内的可能性最大，试求整数k 的值.参考数据：若随机变量X 服从正态分布2(,)N μσ，则()0.6827P X μσμσ-<≤+=，(22)0.9545P X μσμσ-<≤+=，3309().973P X μσμσ-<≤+=.23．因新冠疫情的影响，2020年春季开学延迟，老师采用线上教学.某校高中二年级年级组规定：学生每天线上学习时间3小时及以上为合格，3小时以下为不合格.现从1班，2班，3班随机抽取一些学生进行网上学习时间调查，3个班的人数分别为40人，32人，32人，再采用分层抽样的方法从这104人中抽取13人. （1）应从这3个班中分别抽取多少人？（2）若抽出的13人中有10人学习时间合格，3人学习时间不合格，现从这13人中随机抽取3人.（i ）设X 表示事件“抽取的3人中既有学习时间合格的学生，又有学习时间不合格的学生”，求事件X 发生的概率.（ii ）设Y 表示抽取的3人中学习时间合格的人数，求随机变量Y 的分布列和数学期望. 24．甲，乙两人进行定点投篮活动，已知他们每投篮一次投中的概率分别是23和35，每次投篮相互独立互不影响．（Ⅰ）甲乙各投篮一次，记“至少有一人投中”为事件A ，求事件A 发生的概率； （Ⅱ）甲乙各投篮一次，记两人投中次数的和为X ，求随机变量X 的分布列及数学期望； （Ⅲ）甲投篮5次，投中次数为ξ，求ξ＝2的概率和随机变量ξ的数学期望．25．2019年4月，河北、辽宁、江苏、福建、湖北、湖南、广东、重庆等8省市发布高考综合改革实施方案，决定从2018年秋季入学的高中一年级学生开始实施“312++”高考模式.所谓“312++”，即“3”是指考生必选语文、数学、外语这三科；“1”是指考生在物理、历史两科中任选一科；“2”是指考生在生物、化学、思想政治、地理四科中任选两科. （1）若某考生按照“312++”模式随机选科，求选出的六科中含有“语文，数学，外语，物理，化学”的概率.（2）新冠疫情期间，为积极应对“312++”新高考改革，某地高一年级积极开展线上教学活动.教育部门为了解线上教学效果，从当地不同层次的学校中抽取高一学生2500名参加语数外的网络测试，并给前400名颁发荣誉证书，假设该次网络测试成绩服从正态分布，且满分为450分.①考生甲得知他的成绩为270分，考试后不久了解到如下情况：“此次测试平均成绩为171分，351分以上共有57人”，请用你所学的统计知识估计甲能否获得荣誉证书，并说明理由；②考生丙得知他的实际成绩为430分，而考生乙告诉考生丙：“这次测试平均成绩为201分，351分以上共有57人”，请结合统计学知识帮助丙同学辨别乙同学信息的真伪，并说明理由.附：()0.6828P X μσμσ-≤≤+=；()220.9544P X μσμσ-≤≤+=； ()330.9974P X μσμσ-≤≤+=.26．如图，直角坐标系中，圆的方程为22111,(1,0),,,22x y A B C ⎛⎛+=-- ⎝⎭⎝⎭为圆上三个定点，某同学从A 点开始，用掷骰子的方法移动棋子，规定：①每掷一次骰子，把一枚棋子从一个定点沿圆弧移动到相邻下一个定点；②棋子移动的方向由掷骰子决定，若掷出骰子的点数为3的倍数，则按图中箭头方向移动；若掷出骰子的点数为不为3的倍数，则按图中箭头相反的方向移动.设掷骰子n 次时，棋子移动到A ，B ，C 处的概率分别为(),(),(),n n n P A P B P C 例如：掷骰子一次时，棋子移动到A ，B ，C 处的概率分别为111()0,()3P A P B ==，12()3P C =.（1）分别掷骰子二次，三次时，求棋子分别移动到A ，B ，C 处的概率；（2）掷骰子N 次时，若以X 轴非负半轴为始边，以射线OA ，OB ，OC 为终边的角的正弦值弦值记为随机变量n X ，求5X 的分布列和数学期望；【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】首先设第一次摸出红球为事件A ，第二次摸出红球为事件B ，分别求出()P A ，()P AB ，利用条件概率公式求出答案．【详解】设第一次摸出红球为事件A ，第二次摸出红球为事件B ， 则“第一次摸到红球”的概率为：()51102P A == “在第一次摸出红球，第二次也摸到红球”的概率是()5421099P AB ⨯==⨯由条件概率公式有()()()249192P ABP B AP A===故选：A【点睛】本题考查了概率的计算方法，主要是考查了条件概率，弄清楚事件之间的联系，正确运用公式，是解决本题的关键．属于中档题．2．D解析：D【分析】根据独立重复试验的条件，转化成4次的独立重复试验，利用二项分布期望的计算公式，即可求解.【详解】由题意，一批产品数量很大，其中次品率为13，现连续地抽取4次，可以看出是4次的一个独立重复试验，可得随机变量X服从二项分布，即1(4,)3X B，所以()14 433E X=⨯=.故选：D.【点睛】本题主要考查了独立重复试验，以及二项分布的期望的计算，其中解答熟记独立重复试验的条件，掌握独立重复试验中随机变量服从二项分布是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.3．A解析：A【分析】设检测机器所需检测费为X，则X的可能取值为2000，3000，4000，分别求出相应的概率，由此能求出所需检测费的均值.【详解】设检测机器所需检测费为X，则X的可能取值为1600，2400，3200，211(1600)5410P X==⨯=，2313213213(2400)54354354310P X==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，133(3200)110105P X==--=，则133()160024003200280010105E X =⨯+⨯+⨯=. 故选：A. 【点睛】本题考查了独立事件概率的求法，离散型随机变量的数学期望的求法，考查对立事件概率计算公式，是中档题.4．A解析：A 【分析】设一批种子的发芽率为事件A ，则()0.9P A =，出芽后的幼苗成活率为事件B ，则()|0.8P B A =，根据条件概率公式计算即可，【详解】设一批种子的发芽率为事件A ，则()0.9P A =， 出芽后的幼苗成活率为事件B ，则()|0.8P B A =，∴这粒种子能成长为幼苗的概率()()()|0.90.80.72P P AB P A P B A ===⨯=. 故选：A ． 【点睛】本题主要考查了条件概率的问题，关键是分清是在什么条件下发生的，属于基础题．5．A解析：A 【分析】由题意设这个班有100人，则数学不及格有15人，语文不及格有5人，都不及格的有3人，则数学不及格的人里头有3人语文不及格，由此能求出已知一学生数学不及格，他语文也不及格的概率． 【详解】由题意设这个班有100人，则数学不及格有15人，语文不及格有5人，都不及格的有3人， 则数学不及格的人里头有3人语文不及格，∴已知一学生数学不及格，则他语文也不及格的概率为31155p ==，故选A ． 【点睛】本题主要考查概率的求法，设这个班有100人可使得该问题更加直观明了，属于基础题.6．B解析：B 【详解】解：根据题意，播下4粒种子恰有2粒发芽即4次独立重复事件恰好发生2次， 由n 次独立重复事件恰好发生k 次的概率的公式可得，()2224441962()()55625P C ==故选B ．7．B解析：B 【解析】 试题分析：由题意13368.26%6695.44%3695.44%68.26%13.59%2P P P （＜＜），（＜＜），（＜＜）（）．ξξξ-=-=∴=-=故选B ． 考点：正态分布8．A解析：A 【分析】若电路不发生故障，则满足1T 正常工作，23T T ，至少有一个正常工作 【详解】记1T 正常工作为事件A 记2T 正常工作为事件B 记3T 正常工作为事件C 则()12P A =，()23P B =，()34P C = 电路不发生故障，则满足1T 正常工作，23T T ，至少有一个正常工作 则23T T ，至少有一个正常工作，概率为()1231111113412P P BC ⎛⎫⎛⎫=-=--⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则电路不发生故障的概率1111121224P =⨯= 故选A 【点睛】本题主要考查了概率知识及实际应用能力，考查了相互独立事件同时发生的概率的计算，关键是确定不发生故障时满足的条件．9．C解析：C 【分析】由随机变量ξ服从正态分布()24,6N ，可得这组数据对应的正态曲线的对称轴4μ=，利用正态曲线的对称性，即可得到结论.【详解】随机变量ξ服从正态分布()24,6N ，∴这组数据对应的正态曲线的对称轴4μ=，()()35P P ξξ∴≤=≥， ()50.89P ξ≤=， ()510.890.11P ξ∴≥=-=，()30.11P ξ∴≤=，故选C.【点睛】本题主要考查正态分布的性质，属于中档题.有关正态分布应用的题考查知识点较为清晰，只要熟练掌握正态分布的性质，特别是状态曲线的对称性以及各个区间概率之间的关系，问题就能迎刃而解.10．B解析：B 【详解】∵a ，b ，c 为等差数列，∴2b a c =+，∵1a b c ++=，1113E a c c a ξ=-⨯+⨯=-=，解得16a =，13b =，12c =，∴22215()()39DX E X EX a c ⎛⎫=-=+-= ⎪⎝⎭，故选B ． 11．D解析：D 【解析】由图象可知，甲类水果的平均质量μ1=0.4kg ，乙类水果的平均质量μ2=0.8kg ，故A ，B ，C ，正确；乙类水果的质量服从的正态分布的参数σ2，故D 不正确．故选D ．12．B解析：B 【解析】由题意知，E(X)＝1×0.2＋2×0.4＋3×0.4＝2.2，∴E(6X ＋8)＝6E(X)＋8＝6×2.2＋8＝21.2.选B.二、填空题13．087【分析】根据条件概率和全概率公式可求得结果【详解】因为所以因为所以所以由全概率公式可得因为所以故答案为：【点睛】关键点点睛：掌握条件概率和全概率公式是解题关键解析：087 【分析】根据条件概率和全概率公式可求得结果． 【详解】因为()|0.95P A C =，所以()|1P A C =-()|0.05P A C =， 因为()0.005P C =，所以()0.995P C =，所以由全概率公式可得()()()()()||P A P A C P C P A C P C =⋅+⋅， 因为()P AC =()|P C A ()P A ()()|P A C P C = 所以()|P C A ()()()|()0.950.005190.0870.950.0050.050.995218|()|()P A C P C P A C P C P A C P C ⨯===≈⨯+⨯+．故答案为：0.087． 【点睛】关键点点睛：掌握条件概率和全概率公式是解题关键．14．6【分析】通过频率分布直方图求出年龄段在的频率即概率通过二项分布求出数学期望即可【详解】通过频率分布直方图得年龄段在的频率为即概率为抽到老年人的人数为服从二项分布即所以期望为故答案为：06【点睛】本解析：6 【分析】通过频率分布直方图求出年龄段在[]60,80的频率即概率，通过二项分布求出数学期望即可. 【详解】通过频率分布直方图得年龄段在[]60,80的频率为20.01100.2⨯⨯=，即概率为0.2， 抽到“老年人”的人数为X 服从二项分布，即()3,0.2X B ,所以期望为()30.20.6E X np ==⨯=， 故答案为：0.6. 【点睛】本题主要考查了频率分布直方图的应用，二项分布期望的求法，属于中档题.15．1359【分析】根据正态曲线的对称性求出概率即可；【详解】解：∵∴∴又∴∴∴∵∴因此此人在40分钟至50分钟到达目的地的概率是故答案为：【点睛】本题考查正态曲线的性质属于中档题解析：1359 【分析】根据正态曲线的对称性求出概率即可； 【详解】解：∵()0.6826P X μσμσ-<<+=，∴10.6826()2P X μσ->+=，∴()1P X μσ<+=-10.682610.6826222-=+．又(22)0.9544P X μσμσ-<<+=，∴10.9544(2)2P X μσ->+=，∴10.954410.9544(2)1222P X μσ-<+=-=+，∴(2)(2)P X P X μσμσμσ+<<+=<+-()P X μσ<+10.954410.6826()2222=+-+1(0.95440.6826)2=⨯-0.1359=． ∵30μ=，10σ=，∴(4050)0.1359P X <<=．因此，此人在40分钟至50分钟到达目的地的概率是0.1359． 故答案为：0.1359 【点睛】本题考查正态曲线的性质，属于中档题.16．【分析】前三局乙获胜一场计算得到概率【详解】根据题意知：前三局乙获胜一场故故答案为：【点睛】本题考查了概率的计算意在考查学生的理解应用能力解析：827【分析】前三局，乙获胜一场，计算得到概率. 【详解】根据题意知：前三局，乙获胜一场，故3131283327p C ⎛⎫=⨯⨯=⎪⎝⎭ 故答案为：827【点睛】本题考查了概率的计算，意在考查学生的理解应用能力.17．【分析】结合题意分别计算对应的概率计算期望即可【详解】列表：X 0 1 2 P 所以【点睛】本道题考查了数学期望计算方法结合题意即可属于中等难度的题解析：56【分析】结合题意，分别计算0,1,2x =对应的概率，计算期望，即可． 【详解】()112511665018C C P x C C ===，()111452116611118C C C P x C C +===，()11411166129C C P x C C === 列表：所以012181896EX =⨯+⨯+⨯= 【点睛】本道题考查了数学期望计算方法，结合题意，即可，属于中等难度的题．18．【解析】【分析】由题意结合事件的独立性整理计算即可求得最终结果【详解】设甲乙丙当选的事件分别为ABC 则有∵ABC 相互独立∴恰有1名同学当选的概率为：=【点睛】本题主要考查独立事件概率公式及其应用属于解析：47250【解析】 【分析】由题意，结合事件的独立性整理计算即可求得最终结果. 【详解】设甲、乙、丙当选的事件分别为A ,B ,C ,则有()()()437,,5510P A P B P C ===. ∵A ,B ,C 相互独立,∴恰有1名同学当选的概率为：()()()P ABC P ABC P ABC ++()()()()()()()()()++P A P B P C P A P B P C P A P B P C ==42313312747551055105510250=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=. 【点睛】本题主要考查独立事件概率公式及其应用，属于基础题.19．【解析】【分析】先由服从正态分布得出正态曲线关于x=2直线对称于是得到与的关系最后进行求解【详解】由正态分布可知正态分布密度曲线的对称为x=2由得所以填09【点睛】正态曲线：(1)从形态上看正态分布 解析：0.9【解析】 【分析】先由ξ服从正态分布()22,(0)N ξσσ∈>得出正态曲线关于x=2直线对称,于是得到(4)P ξ>与(4)P ξ<的关系，最后进行求解.【详解】由正态分布()22,(0)N ξσσ∈>，可知正态分布密度曲线的对称为x=2,由(02)0.4P ξ<<=，得(24)0.4P ξ<<=，(0)0.1P ξ<=，(0)(4)0.1P P ξξ==所以(4)1(4)0.9P P ξξ=-=，填0.9. 【点睛】正态曲线：(1)从形态上看，正态分布是一条单峰、对称呈钟形的曲线，其对称轴为x=μ，并在x=μ时取最大值。

(北师大版)大连市高中数学选修2-3第一章《计数原理》测试题(包含答案解析)

(北师大版)大连市高中数学选修2-3第一章《计数原理》测试题(包含答案解析)

一、选择题1．杨辉是我国南宋末年的一位杰出的数学家.在他著的《详解九章算法》一书中，画了一张表示二项式展开后的系数构成的三角形数阵（如图所示），称做“开方做法本源”，现在简称为“杨辉三角”，它是杨辉的一大重要研究成果.它比西方的“帕斯卡三角形”早了393年.若用i j a -表示三角形数阵的第i 行第j 个数，则1003a -=（ ）A ．5050B ．4851C ．4950D ．50002．10个人排队，其中甲、乙、丙、丁4人两两不相邻的排法A ．5457A A 种 B ．1010A －7474A A 种 C ．6467A A 种D ．6466A A 种3．下列四个组合数公式:对,n k N ∈，约定0001C ==！,有（1）(0)!kk n nP C k n k =≤≤（2）(0)k n kn n C C k n -=≤≤ （3）11(1)k k n n k C C k n n--=≤≤ （4）111(1)kkk n n n C C C k n ---=+≤≤ 其中正确公式的个数是（ ） A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个4．将红、黄、蓝三种颜色的三颗棋子分别放入33⨯方格图中的三个方格内，如图，要求任意两颗棋子不同行、不同列，则不同方法共有几种（ ）A ．12B ．16C ．24D ．365．若2020220200122020(12)x a a x a x a x -=+++⋯+，则下列结果不正确的是（ ）A ．01220201a a a a +++⋯+=B ．20201352019132a a a a -++++⋯+=C ．20200242020132a a a a ++++⋯+=D ．202012220201222a a a ++⋯+=- 6．从20名同学中选派3人分别参加数学、物理学科竞赛，要求每科竞赛都有人参加，而且每人只能参加一科竞赛．记不同的选派方式有n 种，则n 的计算式可以是（ ） A ．3203CB ．3206CC ．3202AD ．3203A ÷7．5250125(21)(1)(1)(1)x a a x a x a x -=+-+-+⋯+-，则2a =（ ）A ．40B ．40-C ．80D ．80-8．有5位同学参加青少年科技创新大赛的3个不同项目，要求每位同学参加一个项目且每个项目至少有一位同学，则不同的参加方法种数为（ ） A ．80B ．120C ．150D ．3609．甲、乙、丙、丁4人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是（ ） A ．840B ．2226C ．2100D ．235210．5(3)(2)x x -+的展开式中3x 的系数为（ ） A ．10B ．40-C ．200D ．24011．已知5250125(12)...x a a x a x a x +=++++，则512025...222a a a a ++++的值为（ ） A ．32 B ．1 C ．81D ．6412．为抗击新冠病毒，某部门安排甲、乙、丙、丁、戊五名专家到三地指导防疫工作.因工作需要，每地至少需安排一名专家，其中甲、乙两名专家必须安排在同一地工作，丙、丁两名专家不能安排在同一地工作，则不同的分配方法总数为（ ） A ．18B ．24C ．30D ．36二、填空题13．函数()y f x =的定义域D 和值域A 都是集合{12,3}，的非空真子集，如果对于D 内任意的x ，总有()()x f x xf x ++的值是奇数，则满足条件的函数()y f x =的个数是_____；14．A ，B ，C ，D ，E ，F 六名同学参加一项比赛，决出第一到第六的名次.A ，B ，C 三人去询问比赛结果，裁判对A 说：“你和B 都不是第一名”；对B 说：“你不是最差的”；对C 说：“你比A ，B 的成绩都好”，据此回答分析：六人的名次有_____________种不同情况.15．有5本不同的书，全部借给3人，每人至少1本，共有______种不同的借法.16．6212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项是_______________. 17．将编号为1，2，3，4，5，6，7的七个小球放入编号为1，2，3，4，5，6，7的七个盒中，每盒放一球，若有且只有三个盒子的编号与放入的小球的编号相同，则不同的放法种数为______.18．六位同学坐在一排，现让六位同学重新坐，恰有两位同学坐自己原来的位置，则不同的坐法有________种（用数字回答）. 19．若212626xx C C -=，则x ＝__________.20．甲、乙、丙等7人排成一排，甲站最中间，乙丙相邻，且乙、丙与丁均不相邻，共有______种不同排法．（用数字作答）三、解答题21．用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的数，问 （1）能够组成多少个五位奇数？ （2）能够组成多少个正整数？（3）能够组成多少个大于40000的正整数？22．若2nx⎛+ ⎝展开式的二项式系数之和是64．（1）求n 的值；（2）求展开式中的常数项．23．一场小型晚会有3个唱歌节目和2个相声节目，要求排出一个节目单． （1）2个相声节目要排在一起，有多少种排法？ （2）2个相声节目彼此要隔开，有多少种排法？（3）第一个节目和最后一个节目都是唱歌节目，有多少种排法？ （4）前3个节目中要有相声节目，有多少种排法？ （要求：每小题都要有过程，且计算结果都用数字表示） 24．已知数列{}n a 的首项为1，记()()()()120122123, 111nn n n nn F x n a C x a C x x a C x x --=-+-+-()11111n n n nn n n n a C x x a C x --+++-+.（1）若数列{}n a 是公比为3的等比数列，求()1, 2020F -的值；（2）若数列{}n a 是公差为2的等差数列，求证：(), 2020F x 是关于x 的一次多项式.25．已知21nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的二项式系数的和比()732a b +展开式的二项式系数的和大128.（1）求n 的值.（2）求21nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中的系数最大的项和系数最小的项26．3名男生，4名女生，按照不同的要求排队，求不同的排队方案的方法种数.（要求每问要有适当的分析过程，列式并算出答案） （1）选其中5人排成一排；（2）排成前后两排，前排3人，后排4人； （3）全体站成一排，男、女各站在一起；（4）全体站成一排，男生不能站在一起； （5）全体站成一排，甲不站排头也不站排尾.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】依据二项展开式系数可知，得到第i 行第j 个数应为11j i C --，即可求得1003a -的值.【详解】依据二项展开式系数可知，第i 行第j 个数应为11j i C --， 故第100行第3个数为299999848512C ⨯== 故选：B . 【点睛】本题考查二项展开式的应用，其中解答中得出第i 行第j 个数应为11j i C --是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题.2．C解析：C 【分析】不相邻问题采用“插空法”. 【详解】解：∵10个人排成一排，其中甲、乙、丙、丁4人两两不相邻排成一排， ∴采用插空法来解，另外六人，有66A 种结果，再在排列好的六人的七个空档里，排列甲、乙、丙、丁， 有47A 种结果，根据分步计数原理知共有66A •47A ， 故选C ． 【点睛】本题考查排列组合及简单计数问题，在题目中要求元素不相邻，这种问题一般采用插空法，先排一种元素，再在前面元素形成的空档，排列不相邻的元素．3．A解析：A 【分析】分别将组合数和排列数写成阶乘的形式，计算每个等式的两边并判断等式是否成立. 【详解】A ．()0!k kk n n nk k P P C k n P k ==≤≤，等式成立；B ．()()!0!!!k k n nP n C k n k n k k ==≤≤-⨯，()()()()()()!!0!!!!!n k n k n nP n n Ck n n k k n k n n k n k --===≤≤-⨯---⨯-， 所以(0)kn kn n C C k n -=≤≤成立；C ．()()()()1!!(1)!!!!1!k k n n n P k k k n C k n n n k n n k k n k k -=⋅=⋅=≤≤-⨯-⨯-， ()()()()1111(1!1!!1)!1k n k n n P k n k k Ck n -----==-≤-≤⨯-，所以11(1)k k n n k C C k n n --=≤≤成立； D ．()()()()()()1111111!1!!1!1!!!1!k k k k n n n n n n P P k k n k k Cn k k C--------=+=+=---⨯-⨯-+ ()()()()1!(1!!!)!!k n n n n k k C n k k n k k n k ⎡⎤-⎡⎤=-+==⎢⎥⎣⎦-⨯-⨯⎢≤⎥≤⎣⎦，所以111(1)k k k n n n C C C k n ---=+≤≤成立.故选A. 【点睛】本题考查排列数、组合数公式的运算化简，难度一般.注意排列组合中两个计算公式的使用：()()()!!,!!!!!n m mmn n nn P P n n P C n m n m m n m m ====---⨯. 4．D解析：D 【分析】直接利用乘法原理计算得到答案. 【详解】第一颗棋子有339⨯=种排法，第二颗棋子有224⨯=种排法，第三颗棋子有1种排法， 故共有94136⨯⨯=种排法. 故选：D. 【点睛】本题考查了乘法原理，意在考查学生的应用能力.5．B解析：B 【分析】令1x =，得到0120201a a a ++⋯+=，令1x =-，求得202001220203a a a a =-++⋯+，令0x =，求得01a =，进而逐项判定，即可求解.【详解】由题意，二项展开式2020220200122020(12)x a a x a x a x -=+++⋯+，令1x =，可得01220202020(12)1a a a a +++⋯+-==，①令1x =-，可得2020012202020203(123)a a a a a -=+-++⋯+=，②令0x =，可得20020(10)1a =-=，③由①-②，可得20201352019132a a a a -+++⋯+=， 由①+②，可得2020024*******a a a a ++++⋯+=， 令12x =，可得20202020120220201(12)12222a a a a +++⋯+=-⨯=， 所以202012220201222a a a ++⋯+=-. 综上可得，A 、C 、D 是正确的，B 是错误的. 故选：B. 【点睛】本题主要考查了二项展开式的系数问题的求解，其中解答中合理利用二项展开式的形式，合理赋值是解答的关键，着重考查推理与计算能力.6．B解析：B 【分析】先从20名同学中选派3人，再分为两类：第一类：2人参加数学，1人参加物理竞赛，第二类：1人参加数学，2人参加物理竞赛，结合分步计数原理，即可求解. 【详解】由题意，从20名同学中选派3人，共有320C 种不同的选法， 又由要求每科竞赛都有人参加，而且每人只能参加一科竞赛， 可分为两类：第一类：2人参加数学，1人参加物理竞赛，共有233C =中不同的选法； 第二类：1人参加数学，2人参加物理竞赛，共有133C =中不同的选法， 综上可得，不同的选派方式共有332020(33)6C C +⋅=⋅. 故选：B. 【点睛】本题主要考查了分步计数原理，以及排列、组合的综合应用，其中解答中选出3人后，合理分类求解是解答的关键，着重考查分析问题和解答问题的能力.7．A解析：A 【分析】易得[]55(21)2(1)1x x --=+，求出展开式通项后可得55152(1)rrr r T C x --+=⋅⋅-，令3r =可得出2a 的值. 【详解】由于[]55(21)2(1)1x x --=+，所以展开式的通项为：[]5551552(1)12(1)rrr r r r r T C x C x ---+=⋅-⋅=⋅⋅-，令3r =可得：322352(1)T C x =⋅⋅-，则3225240a C =⋅=. 故选：A . 【点睛】本题考查二项式定理的应用，解题关键是得出[]55(21)2(1)1x x --=+进而进行计算，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题.8．C解析：C 【分析】根据题意，分清楚有两种情况，利用公式求得结果. 【详解】根据题意，可知有两种情况，一种是有三位同学去参加同一个项目，一种是有两个项目是两位同学参加，所以不同的参加方法种数为22333535332210310661502C C C A A A ⋅⨯⋅+⋅=⨯+⨯=种， 故选：C. 【点睛】该题考查的是有关排列组合的综合题，涉及到的知识点有分类计数加法计数原理，排列组合综合题，属于中档题目.9．B解析：B 【分析】分成三类：一类每个台阶站1人；二类一个台阶站2人，一个台阶1人，一个台阶1人；三类一个台阶站2人，一个台阶站2人，分类用加法原理可得. 【详解】每个台阶站1人有47840A =,一个台阶站2人，一个台阶1人，一个台阶1人有23471260C A , 一个台阶站2人，一个台阶站2人有273126A 所以共有840+1260+126=2226故选：B. 【点睛】本题考查使用两个计数原理进行计数的基本思想:对需用两个计数原理解决的综合问题要“先分类，再分步”，即先分为若干个“既不重复也不遗漏”的类，再对每类中的计数问题分成若干个“完整的步骤”，求出每个步骤的方法数，按照分步乘法计数原理计算各类中的方法数，最后再按照分类加法计数原理得出总数．10．B解析：B 【分析】首先将5(3)(2)x x -+拆开得到555((2)3(23))(2)x x x x x =+-+-+，得到5(3)(2)x x -+的展开式中3x 的系数与5(2)x +展开式中2x 项和3x 项的系数有关，化简求得结果. 【详解】555((2)3(23))(2)x x x x x =+-+-+，5(2)x +展开式中2x 项的系数为335280C ⋅=， 5(2)x +展开式中3x 项的系数为225240C ⋅=， 所以5(3)(2)x x -+的展开式中3x 的系数为8034040-⨯=-， 故选：B. 【点睛】该题考查的是有关二项式定理的问题，涉及到的知识点有求两个二项式乘积展开式的系数问题，在解题的过程中，注意分析与哪些项有关，属于简单题目.11．A解析：A 【分析】根据所求与已知的关系，令12x =，即可求得答案. 【详解】5250125(12)...x a a x a x a x +=++++，∴令12x =，即可得555120251...122322222a a a a ⎛⎫++++=+⨯== ⎪⎝⎭.故选：A 【点睛】本题考查二项式定理的应用，考查理解辨析能力与运算求解能力，属于基础题.12．C解析：C 【分析】由甲、乙两名专家必须安排在同一地工作，此时甲、乙两名专家看成一个整体即相当于一个人，所以相当于只有四名专家，先计算四名专家中有两名在同一地工作的排列数，再去掉丙、丁两名专家在同一地工作的排列数，即可得到答案. 【详解】因为甲、乙两名专家必须安排在同一地工作，此时甲、乙两名专家 看成一个整体即相当于一个人，所以相当于只有四名专家，先计算四名专家中有两名在同一地工作的排列数，即从四个中选二个和 其余二个看成三个元素的全排列共有：2343C A ⋅种； 又因为丙、丁两名专家不能安排在同一地工作，所以再去掉丙、丁两名专家在同一地工作的排列数有33A 种， 所以不同的分配方法种数有：23343336630C A A ⋅-=-= 故选：C 【点睛】本题考查了排列组合的应用，考查了间接法求排列组合应用问题，属于一般题.二、填空题13．【分析】化简得因此中至少一个为奇数再分两种情况讨论得解【详解】因为所以中至少一个为奇数定义域为的都可以有种；定义域为的函数所以有种；所以共种故答案为：29【点睛】关键点睛：解答本题有两个关键：其一是 解析：29【分析】化简得()()(1)(()1)1,x f x xf x x f x ++=++-因此(),f x x 中至少一个为奇数，再分两种情况讨论得解. 【详解】因为()()(1)(()1)1,x f x xf x x f x ++=++- 所以(),f x x 中至少一个为奇数，定义域为{1},{3},{1,3}的都可以，有3333=15++⨯种； 定义域为{}{}{}2,1,2,2,3的函数(2){1,3}f ∈， 所以有23223=14+⨯+⨯种； 所以共29种. 故答案为：29 【点睛】关键点睛：解答本题有两个关键：其一是分析出(),f x x 中至少一个为奇数，其二是合理分类讨论.14．【分析】根据裁判所说对的名次分两类：第一类是获最后一名再考虑且在前面最后排剩下3人；第二类是没有获得最后一名此时可同时考虑获得前5名根据加法原理即可得到答案【详解】根据裁判所说对的名次分两类：第一类 解析：180【分析】根据裁判所说，对A 的名次分两类：第一类是A 获最后一名，再考虑B ，C 且C 在B 前面，最后排剩下3人；第二类是A 没有获得最后一名，此时可同时考虑A ，B ，C 获得前5名，根据加法原理即可得到答案. 【详解】根据裁判所说，对A 的名次分两类：第一类是A 获最后一名，再考虑B ，C ，从前5名中选2两个名次给B ，C 且C 在B 前面有25C 种，最后排D ，E ，F 有33A 种，根据分步计数原理，共有235360C A =种；第二类是A 没有获得最后一名，此时可同时考虑A ，B ，C 获得前5名中的3个名次 且C 名次在A ，B 之前有3252C A 种，最后排D ，E ，F 有33A 种，根据分步计数原理， 共有323523120C A A =种；根据分类计数原理，六人的名次共有60120180+=种不同情况. 故答案为：180 【点睛】本题主要考查分类计数原理和分步计数原理，注意对同学A 进行分类讨论，属于中档题．15．150【分析】将5本不同的书分成满足题意的3组有113与221两种分别计算可得分成113与分成221时的分组情况种数相加可得答案【详解】解：将5本不同的书分成满足题意的3组有113与221两种分成1解析：150 【分析】将5本不同的书分成满足题意的3组有1，1，3与2，2，1两种，分别计算可得分成1、1、3与分成2、2、1时的分组情况种数，相加可得答案． 【详解】解：将5本不同的书分成满足题意的3组有1，1，3与2，2，1两种，分成1、1、3时，有3353C A 种分法，分成2、2、1时，有22353322C C A A 种分法，所以共有223335353322150C C C A A A +=种分法， 故答案为：150． 【点睛】本题考查组合、排列的综合运用，解题时，注意加法原理与乘法原理的使用．16．60【分析】由题意可得二项展开式的通项要求展开式的常数项只要令可求代入可求【详解】解：由题意可得二项展开式的通项为：令可得：此时即的展开式中的常数项为60故答案为：60【点睛】本题考查了二项展开式项解析：60 【分析】由题意可得，二项展开式的通项26161(2)()(1)2r r r rr T C x x-+=-=-61236rr r C x --，要求展开式的常数项，只要令1230r -=可求r ，代入可求 【详解】解：由题意可得，二项展开式的通项为： 2661231661(2)()(1)2r r r r r r rr T C x C x x---+=-=-，令1230r -=，可得：4r =，此时2456260T C ==，即6212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为60. 故答案为：60． 【点睛】本题考查了二项展开式项的通项公式的应用，考查解题运算能力．17．315【分析】根据题意有且只有三个盒子的编号与放入的小球的编号相同再由排列组台及计数原理即可求解【详解】第一步：先确定三个盒子的编号与放入的小球的编号相同共种不同取法；第二步：再将剩下的个小球放入到解析：315 【分析】根据题意，有且只有三个盒子的编号与放入的小球的编号相同，再由排列组台及计数原理，即可求解. 【详解】第一步：先确定三个盒子的编号与放入的小球的编号相同，共3735C =种不同取法； 第二步：再将剩下的4个小球放入到4个盒子中,且小球编号与放入的小球的编号不相同，共()113219C C +=种不同放法；因而有且只有三个盒子的编号与放入的小球的编号相同的不同放法种数为359315⨯=种. 故答案为：315 【点睛】本题考查了排列组合及计数原理，考查理解辨析能力与运算求解能力，属中档题.18．135【分析】根据题意先确定2个人位置不变共有种选择再确定4个人坐4个位置但是不能坐原来的位置计算得到答案【详解】根据题意先确定2个人位置不变共有种选择再确定4个人坐4个位置但是不能坐原来的位置共有解析：135 【分析】根据题意先确定2个人位置不变，共有2615C =种选择，再确定4个人坐4个位置，但是不能坐原来的位置，计算得到答案. 【详解】根据题意先确定2个人位置不变，共有2615C =种选择.再确定4个人坐4个位置，但是不能坐原来的位置，共有33119⨯⨯⨯=种选择， 故不同的坐法有159135⨯=. 故答案为：135. 【点睛】本题考查了分步乘法原理，意在考查学生的计算能力和应用能力.19．1或9【分析】由再根据组合的互补性质可得即可解得的值【详解】解：由可得：解得：又根据组合的互补性质可得可得：解得：故答案为：1或9【点睛】本题考查了组合及组合数公式的应用掌握组合数的性质和组合数公式解析：1或9 【分析】由212626x x C C -=，再根据组合的互补性质可得26(21)2626x x C C --=，即可解得x 的值．【详解】解：由212626x x C C -=，可得：21x x =-，解得：1x =，又根据组合的互补性质可得26(21)2626x x C C --=，可得：26(21)x x =--，解得：9x =． 故答案为：1或9． 【点睛】本题考查了组合及组合数公式的应用，掌握组合数的性质和组合数公式是解题的关键．20．【分析】根据乙丙相邻所以捆在一起有种排法又因为乙丙与丁均不相邻且甲站最中间则剩余3人全排列从产生的4个空中选2个将乙丙与丁排列再用分类乘法计数原理求解【详解】因为乙丙相邻所以捆在一起有种排法又因为乙 解析：144【分析】根据乙丙相邻，所以捆在一起有22A 种排法，又因为乙、丙与丁均不相邻，且甲站最中间，则剩余3人全排列，从产生的4个空中选2个，将乙、丙与丁排列，再用分类乘法计数原理求解. 【详解】因为乙丙相邻，所以捆在一起有22A 种排法，又因为乙、丙与丁均不相邻，因为甲站最中间，则剩余3人全排列有33A 种排法，，从产生的4个空中选2个，将乙、丙与丁排列，有24A 种排法，所以共有232234144A A A ⨯⨯=种排法故答案为：144本题主要考查分类乘法计数原理，还考查了运算求解的能力，属于中档题.三、解答题21．（1）72；（2）325；（3）48； 【分析】（1）首先排个位，从3个奇数中选1个排在个位，再将其余4个数全排列即可； （2）根据题意，按数字的位数分5种情况讨论，求出每种情况下数字的数目，由加法原理计算可得答案；（3）大于40000的正整数，即最高位为4或5，其余数字全排列即可； 【详解】解：（1）首先排最个位数字，从1、3、5中选1个数排在个位有133A =种，其余4个数全排列有4424A =种，按照分步乘法计数原理可得有143472A A =个五位奇数； （2）根据题意，若组成一位数，有5种情况，即可以有5个一位数； 若组成两位数，有2520A =种情况，即可以有20个两位数； 若组成三位数，有3560A =种情况，即可以有60个三位数； 若组成四位数，有45120A =种情况，即可以有120个四位数； 若组成五位数，有55120A =种情况，即可以有120个五位数； 则可以有52060120120325++++=个正整数；（3）根据题意，若组成的数字比40000大的正整数，其首位数字为5或4，有2种情况； 在剩下的4个数，安排在后面四位，共有142448C A =种情况， 则有48个比40000大的正整数； 【点睛】本题考查排列组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于基础题． 22．（1）6；（2）60 【分析】由二项式系数和求出指数n ，再写出展开式通项后可得常数项. 【详解】（1）由题意得，二项式系数之和为012264n n n n n n C C C C ++++==，6n ∴=；（2）通项公式为366622166(2)2r r rrrr r T C x xC x----+==，令3602r-=，得4r = ∴展开式中的常数项为4464256(2)60T C x x --==．该题主要考查二项式定理，在()na b +展开式中二项式系数为2n ，只与指数n 有关，求特定项时要注意通项的正确应用.23．（1）48；（2）72；（3）36；（4）108. 【分析】（1）将2个相声节目进行捆绑，与其它3个节目形成4个元素，利用捆绑法可求得排法种数；（2）将2个相声节目插入其它3个节目所形成的空中，利用插空法可求得排法种数； （3）第一个节目和最后一个节目都是唱歌节目，则3个节目排在中间，利用分步乘法计数原理可求得排法种数；（4）在5个节目进行全排的排法种数中减去前3个节目中没有相声节目的排法种数，由此可求得结果. 【详解】（1）将2个相声节目进行捆绑，与其它3个节目形成4个元素，然后进行全排， 所以，排法种数为242448A A =种；（2）将2个相声节目插入其它3个节目所形成的4个空中，则排法种数为323472A A =种； （3）第一个节目和最后一个节目都是唱歌节目，则其它3个节目排在中间，进行全排， 由分步乘法计数原理可知，排法种数为233336A A =种；（4）在5个节目进行全排的排法种数中减去前3个节目中没有相声节目的排法种数， 可得出前3个节目中要有相声节目的排法种数为53253212012108A A A -=-=. 【点睛】本题考查排列组合综合问题，考查捆绑法、插空法、分步乘法计数原理以及间接法的应用，考查计算能力，属于中等题. 24．（1）1（2）证明见解析； 【分析】（1）根据13-=n n a ，得到()()()()()1220012,313131nn n n nn F x n C x C x x C x x --=-+-+-()()()()()1113131312n n n nn nn n C x x C x x x x --++-+=-+=+求解.（2）易得21n a n =-，则(),F x n ()()()()()101222112114(1)12--=-++-++-+++nn n n n nn nn C x C x x C x n C xx ，再转化为(),F x n ()()10122211(1)--⎡⎤=-+-+-+++⎣⎦n n n n n n n n n C x C x x C x x C x ()11222212(1)n n n n n n n C x x C x x nC x --⎡⎤-+-++⎣⎦，利用二项式定理及组合数公式求解.【详解】（1）由题意得：13-=n n a ，∴()()()()()1220012,313131nn n n nn F x n C x C x x C x x --=-+-+-()()()()()1113131312n n nnn nn n C x x C x x x x --++-+=-+=+，∴()()20201,2020121F -=-=；（2）证明：若数列{}n a 是公差为2的等差数列，则21n a n =-.()()()()10111121,111---+=-+-++-+nn n n n nn n n n n n F x n a C x a C x x a C x x a C x ，()()()()()101222112114(1)12--=-++-++-+++nn n n n nn nn C x C x x C x n C x x ，()()10122211(1)--⎡⎤=-+-+-+++⎣⎦n n n n n n n n n C x C x x C x x C x()11222212(1)n n n n n n n C x x C x x nC x --⎡⎤-+-++⎣⎦，由二项式定理知，()()()10122211(1)11---+-+-=-+=⎡⎤⎣++⎦nn n n n nn n nnC x C x x C x x x x C x ，因为()()()()111!!!!1!!kk nn n n kC k n C k n k k n n k --⋅-=⋅=⋅=---，所以()1122212(1)---+-++n n n n n nn C x x C x nC x x ()112211111(1)------=-+-++n n n n n n n nC x x n x x nC x C()1012111111(1)n n n n n n n nx C x C x x C x -------=⎦-+-++⎡⎤⎣()11-=-+=⎡⎤⎣⎦n nx x x nx ，所以(),12F x n nx =+.(),202014040F x x =+.【点睛】本题主要考查二项式定理及其展开式以及组合数公式，等差数列，等比数列的通项公式，还考查了运算求解的能力，属于中档题.25．（1）8；（2）系数最大项，4570T x =，系数最小项656T x =-和7456T x =-【分析】（1）21nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的二项式系数和为2n ，()732a b +展开式的二项式系数和为72，根据条件可得到关于n 的等式求解出n 的值；（2）根据二项式系数的性质求得当r 为何值时，展开式的系数最大或最小，从而求解出对应的系数最大和最小的项. 【详解】（1）由条件可知：722128n -=，所以822n =，所以8n =；（2）因为21nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的通项为：()163181r r rr T C x -+=⋅-⋅，由二项式系数的性质可知：当4r =时，21nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的系数最大，所以系数最大的项为4445870T C x x =⋅=， 当3r =或5时，21nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的系数最小，所以系数最小的项为3774856T C x x =-⋅=-和56856T C x x =-⋅=-. 【点睛】本题考查二项式定理的综合运用，难度一般.对于二项式系数kn C ，若n 为偶数时，中间一项2nn C 取得最大值；当n 为奇数时，中间两项1122,n n nnC C-+同时取得最大值.26．（1）2520；（2）5040；（3）288；（4）1440；（5）3600.【分析】相邻问题一般看作一个整体处理，利用捆绑法，不相邻问题一般用插空法，特殊位置优先考虑，即可求解． 【详解】解：（1）从7人中选其中5人排成一排，共有55752520C A =种排法； （2）排成前后两排，前排3人，后排4人，共有775040A =种排法； （3）全体站成一排，男、女各站在一起，属于相邻问题， 男生必须站在一起，则男生全排列，有33A 种排法， 女生必须站在一起，则女生全排列，有44A 种排法， 男生女生各看作一个元素，有22A 种排法；由分布乘法的计数原理可知，共有234234288A A A =种方法；（4）全体站成一排，男生不能站在一起，属于不相邻问题，先安排女生，有44A 种排法，把3个男生插在女生隔成的5个空位中，有35A 种排法， 由分布乘法的计数原理可知，共有43451440A A =种方法； （5）全体站成一排，男不站排头也不站排尾，则优先安排甲， 从除去排头和排尾的5个位置中安排甲，有15A 种排法， 再对剩余的6人进行全排列，有66A 种排法， 所以共有16563600A A =种方法． 【点睛】本题考查排列和组合的实际应用，涉及相邻和不相邻问题，利用了捆绑法、插空法和特殊位置优先考虑的方法，考查分析和计算能力．。

(必考题)高中数学高中数学选修2-3第一章《计数原理》测试(包含答案解析)

(必考题)高中数学高中数学选修2-3第一章《计数原理》测试(包含答案解析)

一、选择题1．西大附中为了增强学生对传统文化的继承和发扬，组织了一场类似《诗词大会》的PK 赛，A 、B 两队各由4名选手组成，每局两队各派一名选手PK ，除第三局胜者得2分外，其余各胜者均得1分，每局的负者得0分．假设每局比赛A 队选手获胜的概率均为23，且各局比赛结果相互独立，比赛结束时A 队的得分高于B 队的得分的概率为（ ） A ．2027B ．5281C ．1627D ．792．将三枚质地均匀的骰子各掷一次，设事件A =“三个点数之和等于15”，B =“至少出现一个5点”，则概率()|P A B 等于（ ） A ．5108B ．113C ．17D ．7103．从装有除颜色外完全相同的3个白球和m 个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回的摸取5次，设摸得白球数为X ，已知()3E X =，则()(D X = ) A ．85B ．65C ．45D ．254．连续投掷2粒大小相同，质地均匀的骰子3次，则恰有2次点数之和不小于10的概率为（ ） A ．112B ．572C ．115D ．52165．甲、乙两名篮球队员轮流投篮直至某人投中为止，设甲每次投篮命中的概率为0.4，乙每次投篮命中的概率为0.6，而且不受其他次投篮结果的影响.设投篮的轮数为X ，若甲先投，则()P X k =等于（ ） A ．10.60.4k -⨯B ．10.240.76k -⨯C ．10.40.6k -⨯D ．10.760.24k -⨯6．已知随机变量X 服从正态分布()100,4N ，若()1040.1359P m X <<=，则m 等于 （ ）[附：()()0.6826,220.9544P X P X μσμσμσμσ-<<+=-<<+=] A ．100B ．101C ．102D ．D ．1037．随机变量X 的分布列如下表，且E (X )＝2，则D (2X －3)＝（ ）A ．2B ．3C ．4D ．58．已知在5件产品中混有2件次品，现需要通过逐一检测直至查出2件次品为止，每检测一件产品的费用是10元，则所需检测费的均值为（ ）A ．32元B ．34元C ．35元D ．36元9．据统计，连续熬夜48小时诱发心脏病的概率为0.055 ，连续熬夜72小时诱发心脏病的概率为0.19 . 现有一人已连续熬夜48小时未诱发心脏病，则他还能继续连续熬夜24小时不诱发心脏病的概率为（ ） A ．67B ．335C ．1135D ．0.1910．口袋中装有大小、轻重都无差别的5个红球和4个白球，每一次从袋中摸出2个球，若颜色不同，则为中奖每次摸球后，都将摸出的球放回口袋中，则3次摸球恰有1次中奖的概率为（ ）． A ．80243B ．100243C ．80729D ．10072911．将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落，小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A 袋或B 袋中．已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是12，则小球落A 袋中的概率为（ ）．A ．18B ．14C ．38D ．3412．甲、乙两类水果的质量（单位：kg ）分别服从正态分布()()221122,,,N N μδμδ，其正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法错误的是（ ）A ．甲类水果的平均质量10.4kg μ=B ．甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右C ．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小D ．乙类水果的质量服从正态分布的参数2 1.99δ=二、填空题13．若有一个不透明的袋子内装有大小、质量相同的6个小球，其中红球有2个，白球有4个，每次取两个，取后放回，连续取三次，设随机变量ξ表示取出后都是白球的次数，则()E ξ=______ ．14．已知随机变量ξ服从正态分布()21,N σ，若(3)0.0442P ξ>=，则(13)P ξ≤≤=________．15．（理）设随机变量ξ的概率分布律如下表所示：x0 1 2()P x ξ= abc其中a ，b ，c 成等差数列，若随机变量ξ的均值为43，则ξ的方差为__________． 16．如图所示，旋转一次的圆盘，指针落在圆盘中3分处的概率为a ，落在圆盘中2分处的概率为b ，落在圆盘中0分处的概率为c ，（,,(0,1)a b c ∈），已知旋转一次圆盘得分的数学期望为1分，则213a b+的最小值为________.17．甲、乙两人进行围棋比赛，比赛采取五局三胜制，无论哪一方先胜三局则比赛结束，假定甲每局比赛获胜的概率均为23，则甲以3:1的比分获胜的概率为______． 18．中国光谷（武汉）某科技公司生产一批同型号的光纤通讯仪器，每台仪器的某一部件由三个电子元件按如图方式连接而成，若元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则该部件正常工作.由大数据统计显示：三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布()210000,10N ，且各个元件能否正常工作相互独立.现从这批仪器中随机抽取1000台检测该部件的工作情况（各部件能否正常工作相互独立），那么这1000台仪器中该部件的使用寿命超过10000小时的平均值为______台.19．已知随机变量X ～B (10，0.2)，Y ＝2X ＋3，则EY 的值为____________. 20．已知随机变量2~(1,)N ξσ，且(1)0.1P ξ≤-=，(23)0.15P ξ≤≤=，则(02)P ξ≤≤=_______.三、解答题21．设甲、乙两位同学上学期间，每天7:10之前到校的概率均为23.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立.（1）用X 表示甲同学上学期间的每周五天中7:10之前到校的天数，求随机变量X 的分布列和数学期望；（2）记“上学期间的某周的五天中，甲同学在7:10之前到校的天数比乙同学在7:10之前到校的天数恰好多3天”为事件M ，求事件M 发生的概率. 22．某射手每次射击击中目标的概率均为23，且各次射击的结果互不影响． （1）假设这名射手射击3次，求至少2次击中目标的概率；（2）假设这名射手射击3次，每次击中目标得10分，未击中目标得0分．在3次射击中，若有2次连续击中目标，而另外1次未击中目标，则额外加5分；若3次全部击中，则额外加10分．用随机变量ζ表示射手射击3次后的总得分，求ζ的分布列和数学期望． 23．某大型电器企业，为了解组装车间职工的生活情况，从中随机抽取了100名职工进行测试，得到频数分布表如下：（1）现从参与测试的日组装个数少于175的职工中任意选取3人，求至少有1人日组装个数少于165的概率；（2）由频数分布表可以认为，此次测试得到的日组装个数Z 服从正态分布(),169N μ，μ近似为这100人得分的平均值（同一组数据用该组区间的中点值作为代表）.（i ）若组装车间有20000名职工，求日组装个数超过198的职工人数；（ii ）为鼓励职工提高技能，企业决定对日组装个数超过185的职工日工资增加50元，若在组装车间所有职工中任意选取3人，求这三人增加的日工资总额的期望.附：若随机变量X 服从正态分布()2,N μσ，则()0.6827P X μσμσ-<<+=，()220.9545P X μσμσ-<<+=，()330.9973P X μσμσ-<<+=.24．在湖北新冠疫情严重期间，我市响应国家号召，召集医务志愿者组成医疗队驰援湖北.某医院有2名女医生，3名男医生，3名女护士，1名男护士报名参加，医院计划从医生和护士中各选2名参加医疗队.（1）求选出的4名志愿全是女性的选派方法数；（2）记X 为选出的4名选手中男性的人数，求X 的概率分布和数学期望.25．某单位选派甲､乙､丙三人组队参加知识竞赛，甲､乙､丙三人在同时回答一道问题时，已知甲答对的概率是34，甲､丙两人都答错的概率是112，乙､丙两人都答对的概率是14，规定每队只要有一人答对此题则该队答对此题．（1）求该单位代表队答对此题的概率；（2）此次竞赛规定每队都要回答10道必答题，每道题答对得20分，答错得10-分．若该单位代表队答对每道题的概率相等且回答任一道题的对错对回答其他题没有影响，求该单位代表队必答题得分的均值(精确到1分)．26．推进垃圾分类处理，是落实绿色发展理念的必然选择，也是打赢污染防治攻坚战的重要环节．为了解居民对垃圾分类的了解程度某社区居委会随机抽取1000名社区居民参与问卷测试，并将问卷得分绘制频率分布表如表：（1）从该社区随机抽取一名居民参与问卷测试试估计其得分不低于60分的概率：（2）将居民对垃圾分类的了解程度分为“比较了解”（得分不低于60分）和“不太了解”（得分低于60）两类，完成2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为“居民对垃圾分类的了解程度”与“性别”有关？（3）从参与问卷测试且得分不低于80分的居民中，按照性别进行分层抽样，共抽取10人，现从这10人中随机抽取3人作为环保宣传队长，设3人中男性队长的人数为ξ，求ξ的分布列和期望．附：22(),() ()()()()n ad bcK n a b c da b c d a c b d-==+++++++．临界值表：【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】比赛结束时A 队的得分高于B 队的得分的情况有3种：A 全胜；A 三胜一负、A 第三局胜，另外三局一胜两负.利用独立重复试验的概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】比赛结束时A 队的得分高于B 队的得分的情况有3种：A 全胜；A 三胜一负、A 第三局胜，另外三局一胜两负.所以，比赛结束时A 队的得分高于B 队的得分的概率为43232432212122033333327P C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⋅⋅+⋅⋅=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故选：A. 【点睛】本题考查概率的求解，考查独立重复试验概率的求解，考查计算能力，属于中等题.2．B解析：B 【分析】根据条件概率的计算公式即可得出答案. 【详解】3311166617()216A P AB C C C +==，11155561116691()1216C C C P B C C C =-=()()()72161|2169113P AB P A B P B ∴==⨯= 故选：B 【点睛】本题主要考查了利用条件概率计算公式计算概率，属于中档题.3．B解析：B 【分析】由题意知，3~(5,)3X B m +，由3533EX m =⨯=+，知3~(5,)5X B ，由此能求出()D X ．【详解】由题意知，3~(5,)3X B m +， 3533EX m ∴=⨯=+，解得2m =， 3~(5,)5X B ∴，336()5(1)555D X ∴=⨯⨯-=．故选：B ． 【点睛】本题考查离散型随机变量的方差的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意二项分布的灵活运用．4．B解析：B 【分析】基本事件总数n ＝6×6＝36，利用列举法求出出现向上的点数之和不小于10包含的基本事件有6个，由此能求出一次出现向上的点数之和不小于10的概率，再结合独立重复试验的概率公式求解即可． 【详解】连续投掷2粒大小相同，质地均匀的骰子1次， 基本事件总数n ＝6×6＝36，出现向上的点数之和不小于10包含的基本事件有：（4，6），（6，4），（5，5），（5，6），（6，5），（6，6），共有6个， ∴每次投掷，两骰子点数之和不小于10的概率为16， 又投掷3次，相当于3次独立重复试验，故恰有两次点数之和不小于10的概率为2231556672C ⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭. 故选：B 【点睛】本题考查独立重复试验的概率的求法，考查古典概型概率计算公式、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．5．B解析：B 【分析】由题意知甲和乙投篮不受其他投篮结果的影响，本题是一个相互独立事件同时发生的概率，甲投篮的次数为X ，甲先投，则X k =表示甲第k 次甲投中篮球，而乙前1k -次没有投中，甲前1k -次也没有投中或者甲第k 次未投中，而乙第k 次投中篮球，根据公式写出结果． 【详解】甲和乙投篮不受其他投篮结果的影响，∴本题是一个相互独立事件同时发生的概率，每次投篮甲投中的概率为0.4，乙投中的概率为0.6，甲投篮的次数为X ，甲先投，则X k =表示甲第k 次投中篮球，而甲与乙前1k -次没有投中，或者甲第k 次未投中，而乙第k 次投中篮球． 根据相互独立事件同时发生的概率得到甲第k 次投中的概率：1110.40.60.40.240.4k k k ---⨯⨯=⨯；第k 次甲不中的情况应是10.40.60.6k k -⨯⨯，故总的情况是1110.240.40.240.60.60.240.76k k k ---⨯+⨯⨯=⨯． 故选B ． 【点睛】本题考查相互独立事件同时发生的概率，是一个基础题，本题最大的障碍是理解X k =的意义，相互独立事件是指，两事件发生的概率互不影响，注意应用相互独立事件同时发生的概率公式．6．C解析：C 【分析】 由()()0.1322259P X P X μσμσμσμσ-<<+--<<+=，再根据正态分布的对称性，即可求解. 【详解】由题意，知()()0.6826,220.9544P X P X μσμσμσμσ-<<+=-<<+=， 则()()220.95440.682620.13592P X P X μσμσμσμσ-<<+--<<+-==，所以要使得()1040.1359P m X <<=，则102m =，故选C. 【点睛】本题主要考查了正态分布的应用，其中解答中熟记正态分布的对称性，以及概率的计算方法是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.7．C解析：C 【解析】1111632p =--=，111()0223623E X a a =⨯+⨯+⨯=⇒=∴222111()(02)(22)(32)1623D X =-⨯+-⨯+-⨯=∴2(23)2()4D X D X -==点晴：本题考查的是离散型随机变量的期望,方差和分布列中各个概率之间的关系.先根据概率之和为1，求出p 的值，再根据数学期望公式，求出a 的值，再根据方差公式求出D （X ），继而求出D （2X-3）．解决此类问题的关键是熟练掌握离散型随机变量的分布列与数学期望．8．C解析：C 【解析】 【分析】随机变量X 的可能取值为20,30,40，结合组合知识，利用古典概型概率公式求出各随机变量对应的概率，从而可得分布列，进而利用期望公式可得X 的数学期望. 【详解】X 的可能取值为20,30,40，()222521202010A P X A ====；()311232323562323306010A C C A P X A +⋅⋅+⨯⨯====； ()()()1334012030110105P X P X P X ==-=-==--=，数学期望2030403510105EX =⨯+⨯+⨯=， 即需检测费的均值为35，故选C. 【点睛】本题主要考查组合的应用、古典概型概率公式以及离散型随机变量的分布列与数学期望，属于中档题. 求解数学期望问题，首先正确要理解题意，其次要准确无误的找出随机变量的所以可能值，计算出相应的概率，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差的公式进行计算，也就是要过三关：（1）阅读理解关；（2）概率计算关；（3）公式应用关.9．A解析：A 【解析】分析：首先设出题中的事件，然后由题意结合条件概率公式整理计算即可求得最终结果. 详解：设事件A 为48h 发病，事件B 为72h 发病， 由题意可知：()()0.055,0.19P A P B ==， 则()()0.945,0.81P A P B ==， 由条件概率公式可得：()()()()()0.816|0.9457P AB P B P B A P A P A ====. 本题选择A 选项.点睛：本题主要考查条件概率公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.10．A解析：A 【解析】每次摸球中奖的概率为114529C C 2059C 36==，由于是有放回地摸球，故3次摸球相当于3次独立重复实验，所以3次摸球恰有1次中奖的概率2135580C 199243P ⎛⎫=⨯⨯-= ⎪⎝⎭． 故选A ．点睛:判断一个随机变量是否服从二项分布，要看两点：①是否为n 次独立重复试验，在每次试验中事件A 发生的概率是否均为p ；②随机变量是否为在这n 次独立重复试验中某事件发生的次数，且()()1n kk kn p X k C p p -==-表示在独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率．11．D解析：D 【解析】由于小球每次遇到黑色障碍物时，有一次向左和两次向右或两次向左和一次向右下落时，小球将落入A 袋，所以22123311113()C 1C 122224P A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅⋅-+⋅⋅-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 故选D ． 12．D解析：D由图象可知，甲类水果的平均质量μ1=0.4kg ，乙类水果的平均质量μ2=0.8kg ，故A ，B ，C ，正确；乙类水果的质量服从的正态分布的参数σ2，故D 不正确．故选D ．二、填空题13．【分析】计算出从袋中随机抽取两个球都是白球的概率可知然后利用二项分布的期望公式可计算出的值【详解】从袋中随机抽取两个球都是白球的概率为由题意可知由二项分布的期望公式得故答案为：【点睛】本题考查二项分解析：65【分析】计算出从袋中随机抽取两个球都是白球的概率p ，可知()3,B p ξ，然后利用二项分布的期望公式可计算出()E ξ的值. 【详解】从袋中随机抽取两个球都是白球的概率为242625C p C ==，由题意可知，23,5B ξ⎛⎫⎪⎝⎭，由二项分布的期望公式得()26355E ξ=⨯=.故答案为：65. 【点睛】本题考查二项分布期望的计算，解题时要弄清随机变量满足的分布列类型，考查计算能力，属于中等题.14．4558【分析】随机变量服从正态分布根据对称性可求得的值再根据概率的基本性质可求得【详解】因为所以故所以故答案为：04558【点睛】本题考查了正态分布曲线的对称性属于基础题解析：4558 【分析】随机变量ξ服从正态分布()21,N σ，(3)0.0442P ξ>=，根据对称性可求得(1)P ξ<-的值，再根据概率的基本性质，可求得(13)P ξ≤≤. 【详解】因为(3)0.0442P ξ>=， 所以(1)0.0442P ξ<-=，故(13)1(3)(1)0.9116P P P ξξξ-≤≤=->-<-=． 所以(13)0.4558P ξ≤≤=． 故答案为：0.4558.本题考查了正态分布曲线的对称性，属于基础题.15．【分析】根据题意已知成等差数列随机变量的均值为列出方程组得由此能求出【详解】解：由随机变量的概率分布律得：①因为成等差数列所以②而随机变量的均值为则③联立①②③得所以故答案为：【点睛】本题考查方差的解析：59【分析】根据题意，已知a ，b ，c 成等差数列，随机变量ξ的均值为43，列出方程组，得16a =，13b =，12c =，由此能求出()D ξ． 【详解】解：由随机变量ξ的概率分布律得：1a b c ++=，① 因为a ，b ，c 成等差数列，所以2b a c =+，② 而随机变量ξ的均值为43，则 40123a b c ⨯+⨯+⨯=，③联立①②③，得16a =，13b =，12c =， 所以2224141415012363()(3329()))(D ξ=-⨯+-⨯+-⨯=． 故答案为：59． 【点睛】本题考查方差的求法，以及离散型随机变量的分布列、等差数列的性质等基础知识.16．【分析】由数学期望可得再结合基本不等式求解即可【详解】解：由分布列知：又∴当且仅当即时取等号故答案为：【点睛】本题考查了数学期望的求法重点考查了基本不等式的应用属基础题解析：323. 【分析】由数学期望可得231b a +=，再结合基本不等式求解即可. 【详解】解：由分布列知：()1,2301a b c E x b a c ++==++⨯=， 又,(0,1)a b ∈∴212124202032()(32)64333333b a a b a b a b a b +=++=+++≥+=+=. 当且仅当4b aa b =，即11,48a b ==时取等号， 故答案为：323. 【点睛】本题考查了数学期望的求法，重点考查了基本不等式的应用，属基础题.17．【分析】前三局乙获胜一场计算得到概率【详解】根据题意知：前三局乙获胜一场故故答案为：【点睛】本题考查了概率的计算意在考查学生的理解应用能力 解析：827【分析】前三局，乙获胜一场，计算得到概率. 【详解】根据题意知：前三局，乙获胜一场，故3131283327p C ⎛⎫=⨯⨯=⎪⎝⎭ 故答案为：827【点睛】本题考查了概率的计算，意在考查学生的理解应用能力.18．375【分析】先求得元件和并联电路正常工作的概率乘以元件正常工作的概率由此求得部件正常工作超过小时的概率利用二项分布均值计算计算公式计算出台仪器中该部件的使用寿命超过小时的平均值【详解】由正态分布可解析：375 【分析】先求得元件1和2并联电路正常工作的概率，乘以元件3正常工作的概率，由此求得部件正常工作超过10000小时的概率.利用二项分布均值计算计算公式，计算出1000台仪器中该部件的使用寿命超过10000小时的平均值. 【详解】由正态分布可知，每个元件正常工作超过10000小时的概率为12，则部件正常工作超过10000小时的概率为21131228⎡⎤⎛⎫-⨯=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，又1000台仪器的该部件工作服从二项分布，所以平均值为310003758⨯=台.故答案为：375 【点睛】本小题主要考查相互独立事件概率计算，考查二项分布的识别和二项分布期望的计算，属于基础题.19．7【解析】【分析】先根据二项分布得EX 再根据Y ＝2X ＋3得EY=2EX+3即得结果【详解】因为X ～B(1002)所以EX=10×02=2因此EY=2EX+3=7【点睛】本题考查二项分布期望公式考查基解析：7 【解析】 【分析】先根据二项分布得EX ，再根据Y ＝2X ＋3得 EY=2EX+3,即得结果. 【详解】因为X ～B (10，0.2)，，所以EX =10×0.2=2，因此EY=2EX+3=7. 【点睛】本题考查二项分布期望公式，考查基本求解能力.20．【解析】【分析】利用随机变量关于对称结合已知求出结果【详解】随机变量满足图象关于对称则故答案为【点睛】本题考查了正态分布由正态分布的对称性即可计算出结果 解析：0.5【解析】 【分析】利用随机变量()2~1N ξσ，，关于1x =对称，结合已知求出结果【详解】随机变量满足()2~1N ξσ，，∴图象关于1x =对称()10.1P ξ≤-=，()30.1P ξ∴≥=则()()()120.5?23?30.50.150.10.25P P P ξξξ≤≤=-≤≤-≥=--= ()020.5P ξ∴≤≤=故答案为0.5 【点睛】本题考查了正态分布，由正态分布的对称性即可计算出结果三、解答题21．（1）分布列见解析，10()3E X =；（2）802187. 【分析】（1）先根据已知条件分析出X 服从二项分布，再利用二项分布概率计算公式求出相应概率，即可求出其分布列与数学期望；（2）先分析出乙同学7:10之前到校的天数Y 也服从二项分布，再根据互斥事件与相互独立事件的概率计算公式求概率即可. 【详解】（1）因为甲同学上学期间的五天中到校情况相互独立，且每天7:10之前到校的概率为23， 所以2(5,)3XB ，从而5521()()()33k k kP X k C -==，0,1,2,3k =，所以，随机变量X 的分布列为：所以()533E X =⨯=； （2）设乙同学上学期间的五天中7:10之前到校的天数为Y ，则2(5,)3Y B ，且事件{}{}{}3,04,15,2M X Y X Y X Y =======，由题意知，事件{}{}{}3,0,4,1,5,2X Y X Y X Y ======之间互斥，且X 与Y 相互独立， 由（1）可得8018010324080()2432432432432432432187P M =⨯+⨯+⨯=. 【点睛】该题主要考查离散型随机变量的分布列与数学期望，互斥事件和相互独立事件的概率计算公式等基础知识，考查运用概率知识解决简单实际问题的能力. 22．（1）2027；（2）分布列见解析，2209E ζ=． 【分析】（1）利用独立重复试验的概率公式可求得所求事件的概率；（2）由题意可知，随机变量ζ的可能取值有0、10、20、25、40，计算出随机变量ζ在不同取值下的概率，可得出随机变量ζ的分布列，由此可求得随机变量ζ的数学期望值. 【详解】（1）设X 为射手3次射击击中目标的总次数，则23,3XB ⎛⎫⎪⎝⎭．故()()()23233322220223133327P X P X P X C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫≥==+==⋅⋅-+⋅=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以，所求概率为2027；（2）由题意可知，ζ的所有可能取值为0、10、20、25、40，用()1,2,3i A i =表示事件“第i 次击中目标”，则()()31100327P P X ζ⎛⎫===== ⎪⎝⎭，()()2132221011339P P X C ζ⎛⎫====⋅⋅-= ⎪⎝⎭， ()()12321242033327P P A A A ζ===⨯⨯=，()()()82522027P P X P ζζ===-==， ()()328403=327P P X ζ⎛⎫==== ⎪⎝⎭．故ζ的分布列如下表所示：因此，随机变量的数学期望为1648822001020254027272727279E ζ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． 【点睛】本题考查利用独立重复试验的概率公式计算事件的概率，同时也考查了随机变量分布列与数学期望的求解，考查计算能力，属于中等题. 23．（1）149204（2）（i ）3173人（ii ）75 【分析】（1）利用对立事件公式结合古典概型求解（2）（i ）先求平均数185μ=，结合σ公式求得()10.68271980.158652P X ->==，再求人数；（ii ）先由正态分布得日组装个数为185以上的概率为0.5.设三人中日组装个数超过185个的人数为ξ，增加的日工资总额为η，得到ξ服从二项分布，由50ηξ=求得期望【详解】（1）设至少有1人日组装个数少于165为事件A ，则()3123181491204C P A C =-=，（2）1606170121803419030200102108185100X ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==（个）又2169σ=，所以13σ=，所以185μ=，13σ=， 所以198μσ+=.（i ）()10.68271980.158652P X ->==， 所以日组装个数超过198个的人数为0.15865200003173⨯=（人）（ii ）由正态分布得，日组装个数为185以上的概率为0.5.设这三人中日组装个数超过185个的人数为ξ，这三人增加的日工资总额为η，则50ηξ=，且()~3,0.5B ξ，所以()30.5 1.5E ξ=⨯=，所以()()5075E E ηξ==. 【点睛】本题考查古典概型，考查正态分布的概率，考查二项分布，考查转化化归能力，其中确定人数与工资总额的函数关系是关键，是中档题 24．（1）3（2）详见解析 【分析】（1）选出的4名志愿全是女性，则从2名女医生选2人有22C 种选法，从3名女护士选2人有23C 选法，根据乘法原理可得答案.（2）由题意有X 的取值可能为0,1,2,3，再分别计算出X 取各个值的概率，列出分布列，求出期望即可. 【详解】解：（1）从2名女医生选2人有22C 种选法，从3名女护士选2人有23C 选法 则选出的4名志愿全是女性有22233C C ⋅=种不同的选法. 所以选出的4名志愿全是女性的选派方法数有3种， （2）X 的取值可能为0,1,2,3()222322541020C C P X C C ===，()11221132323122547120C C C C C C P X C C +===， ()22111133323122549220C C C C C C P X C C +===， ()21133122543320C C C P X C C ===，列表如下：∴()01232020202010E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题考查组合问题和求概率分布列以及数学期望，求概率分布列先要弄清楚随机变量的取值情况，准确求出其对应的概率时关键，属于中档题. 25．（1）9196（2）184 【分析】（1）根据已知条件列方程组解得甲、乙、丙答对的概率，再根据对立事件的概率公式可求得结果；（2）记X 为该单位代表队必答题答对的道数，Y 为必答题的得分，则91~10,96X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，30100Y X =-，根据二项分布的期望公式以及期望的性质可得结果.【详解】（1）记甲､乙､丙分别答对此题为事件A ，B ，C ， 由已知，得3()4P A =，1[1()][1()]12P A P C --=， 2()3P C ∴=．又13()(),()48P B P C P B =∴=． ∴该单位代表队答对此题的概率为：332911[1()][1()][1()]111148396P P A P B P C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=----=--⨯-⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．（2）记X 为该单位代表队必答题答对的道数，Y 为必答题的得分，则91~10,96X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，91455()109648E X ∴=⨯=． 而()20101030100Y X X X =-⨯-=-，4551475()30()10030100184488E Y E X ∴=-=⨯-=≈． 【点睛】本题考查了对立事件的概率公式和独立事件的乘法公式，考查了二项分布的期望，属于中档题. 26．（1）35p =；（2）列联表见解析，有95%的把握认为“居民对垃圾分类的了解程度”与“性别”有关；（3）分布列见解析，()95E ξ= 【分析】（1）直接根据频率分布表得到答案.（2）根据频率分布表得到列联表，计算2 5.542 3.841K ≈>得到答案. （3）ξ的可能取值为0,1,2,3，计算概率得到分布列，计算数学期望得到答案. 【详解】（1）根据频率分布表：24021010050310005p +++==.（2）根据频率分布表得到列联表：故()221000250270150330 5.542 3.841400600580420K ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，故有95%的把握认为“居民对垃圾分类的了解程度”与“性别”有关.90人，女性有60人， 故抽取男性901069060⨯=+人，抽取女性601049060⨯=+人，故ξ的可能取值为0,1,2,3，()343101030C p C ξ===；()21463103110C C p C ξ⋅===；()1246310122C C p C ξ⋅===；()36310631C p C ξ===.故分布列为：故()01233010265ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=E . 【点睛】本题考查了概率的计算，独立性检验，分布列和数学期望，意在考查学生的计算能力和应用能力.。

(典型题)高中数学高中数学选修2-3第一章《计数原理》测试(包含答案解析)

(典型题)高中数学高中数学选修2-3第一章《计数原理》测试(包含答案解析)

一、选择题1．2019年10月20日，第六届世界互联网大会发布了15项“世界互联网领先科技成果”，其中有5项成果均属于芯片领域.现有3名学生从这15项“世界互联网领先科技成果”中分别任选1项进行了解，且学生之间的选择互不影响，则恰好有1名学生选择“芯片领域”的概率为（ ） A ．49B ．427C ．1927D ．481252．甲乙两人投篮，投中的概率分别为0.6，0.7．若两人各投2次，则两人投中次数相等的概率为（ ） A ．0.2484B ．0.25C ．0.90D ．0.39243．已知离散型随机变量X 服从二项分布(),X B n p ，且2EX =，DX q =，则21p q+的最小值为（ ） A ．274B ．92C ．3D ．44．已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布()20,3N ，从中随机取一件，其长度误差落在区间（3,6）内的概率为（ ）（附：若随机变量ξ服从正态分布()2,N μσ ，则()68.26%P μσξμσ-<<+= ，()2295.44%P μσξμσ-<<+=．）A ．4.56%B ．13.59%C ．27.18%D ．31.74%5．据统计，连续熬夜48小时诱发心脏病的概率为0.055 ，连续熬夜72小时诱发心脏病的概率为0.19 . 现有一人已连续熬夜48小时未诱发心脏病，则他还能继续连续熬夜24小时不诱发心脏病的概率为（ ）A ．67B ．335C ．1135D ．0.196．若随机变量ξ满足(1)4E ξ-=，(1)4D ξ-=，则下列说法正确的是A ．4,4E D ξξ=-=B ．3,3E D ξξ=-=C ．4,4ED ξξ=-=-D ．3,4E D ξξ=-=7．设随机变量ξ的概率分布列为1()()3kP k a ξ==，其中0,1,2k =，那么a 的值为（ ）A ．35B ．2713C ．919D ．9138．口袋中装有大小、轻重都无差别的5个红球和4个白球，每一次从袋中摸出2个球，若颜色不同，则为中奖每次摸球后，都将摸出的球放回口袋中，则3次摸球恰有1次中奖的概率为（ ）．A ．80243B ．100243C ．80729D ．1007299．已知随机变量X 的方差()D X m =，设32Y X =+，则()D Y =（ ） A ．9mB ．3mC ．mD ．32m +10．已知随机变量X 的分布列如表，其中a ，b ，c 为等差数列，若1()3E X =，则()D X 等于（ ）X 1- 0 1PabcA ．49B ．59C ．13D ．2311．设随机变量X 的分布列为()()1,2,32iP X i i a===，则()2P X ≥= ( ) A ．16B ．56 C ．13D ．2312．已知随机变量X 的分布列为则E(6X ＋8)＝( ) A ．13.2B ．21.2C ．20.2D ．22.2二、填空题13．设随机变量ξ服从二项分布16,2B ξ⎛⎫⎪⎝⎭～ ，则()3P ξ≤等于__________ 14．测量某一目标的距离时，所产生的随机误差X 服从正态分布()220,10N ，如果独立测量3次，至少一次测量误差在()0,30内的概率是__________.附参考数据：()0.68P X μδμδ-<≤+=，()220.95P X μδμδ-<≤+=，()330.99P X μδμδ-<≤+=，20.1850.03=，30.1850.006=，20.8150.66=，30.8150.541=.15．若随机变量2~5,3X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()3D X =_______．16．某同学解答两道试题，他能够解出第一道题的概率为0.8，能够解出第二道题的概率为0.6，两道试题能够解答与否相互独立，记该同学解出题目的个数为随机变量X ，则X 的数学期望()E X =______．17．已知随机变量X 服从正态分布()2,1N . 若()130.6826P X ≤≤=，则()3P X >等于______________．18．小李练习射击,每次击中目标的概率均为13,若用ξ表示小李射击5次击中目标的次数,则ξ的均值E(ξ)与方差D(ξ)的值分别是____.19．已知随机变量2~(1,)N ξσ，且(1)0.1P ξ≤-=，(23)0.15P ξ≤≤=，则(02)P ξ≤≤=_______.20．已知随机变量X 服从正态分布()2,1N ，若()()223P X a P X a ≤-=≥+，则a =__________．三、解答题21．复旦大学附属华山医院感染科主任医师张文宏在接受媒体采访时谈到：通过救治研究发现，目前对于新冠肺炎最有用的“特效药”还是免疫力．而人的免疫力与体质息息相关，一般来讲，体质好，免疫力就强．复学已有一段时间，某医院到学校调查高二学生的体质健康情况，随机抽取12名高二学生进行体质健康测试，测试成绩（百分制）如下：65，78，90，86，52，87，72，86，87，98，88，86．根据此年龄段学生体质健康标准，成绩不低于80的为优良．（1）将频率视为概率，根据样本估计总体的思想，在该学校全体高二学生中任选3人进行体质健康测试，求至少有1人成绩是“优良”的概率；（2）从抽取的12人中随机选取3人，记X 表示成绩“优良”的人数，求X 的分布列和期望．22．某社团现有5名女生，5名男生，其中3名学生来自同一个班，另外7名学生分别来自不同的班级.现要随机选3名学生参加活动.（1）求“选出的3名学生中，至多．．有2名来自同一班级”的概率； （2）设选出的3名学生中女生的人数为随机变量X ，求X 的分布列.23．某选修课的考试按A 级、B 级依次进行，只有当A 级成绩合格时，才可继续参加B 级的考试．已知每级考试允许有一次补考机会，两个级别的成绩均合格方可获得该选修课的合格证书．现某人参加这个选修课的考试，他A 级考试成绩合格的概率为23，B 级考试合格的概率为12．假设各级考试成绩合格与否均互不影响． （1）求他不需要补考就可获得该选修课的合格证书的概率；（2）在这个考试过程中，假设他不放弃所有的考试机会，求他一共参加3次考试的概率． 24．为有效预防新冠肺炎对老年人的侵害，某医院到社区检查老年人的体质健康情况．从该社区全体老年人中，随机抽取12名进行体质健康测试，根据测试成绩（百分制）绘制茎叶图如下．根据老年人体质健康标准，可知成绩不低于80分为优良，且体质优良的老年人感染新冠肺炎的可能性较低．（Ⅰ）从抽取的12人中随机选取3人，记ξ表示成绩优良的人数，求ξ的分布列及数学期望；（Ⅱ）将频率视为概率，根据用样本估计总体的思想，在该社区全体老年人中依次抽取10人，若抽到k 人的成绩是优良的可能性最大，求k 的值． 25．设甲、乙两位同学上学期间，每天7:30之前到校的概率均为23.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立.（1）设甲同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数为X ，求X 0=，1X =，2X =，3X =时的概率()0P X =，()1P X =，()2P X =，()3P X =；（2）设M 为事件“上学期间的三天中，甲同学在7:30之前到校的天数比乙同学在7:30之前到校的天数恰好多2”，求事件M 发生的概率.26．已知某高校综合评价有两步：第一步是材料初审，若材料初审不合格，则不能进入第二步面试；若材料初审合格，则进入第二步面试.只有面试合格者，才能获得该高校综合评价的录取资格，现有A ，B ，C 三名学生报名参加该高校的综合评价，假设A ，B ，C 三位学生材料初审合格的概率分别是13，12，14；面试合格的概率分别是12，13，23.（1）求A ，B 两位考生有且只有一位考生获得录取资格的概率；（2）记随机变量X 为A ，B ，C 三位学生获得该高校综合评价录取资格的人数，求X 的概率分布与数学期望.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】根据题设分析知：芯片领域被选、不被选的概率分别为13、23，而3名学生选择互不影响，则选择芯片领域的学生数{0,1,2,3}X =，即X 服从二项分布，则有3321()()()33n n n P X n C -==即可求恰好有1名学生选择“芯片领域”的概率.【详解】由题意知，有3名学生且每位学生选择互不影响，从这15项“世界互联网领先科技成果”中分别任选1项，5项成果均属于芯片领域，则： 芯片领域被选的概率为：51153=；不被选的概率为：12133-=；而选择芯片领域的人数{0,1,2,3}X =，∴X 服从二项分布1~3(,3)X B ，3321()()()33nnn P X n C -==，那么恰好有1名学生选择“芯片领域”的概率为123214(1)()()339P X C ===. 故选：A. 【点睛】本题考查了二项分布，需要理解题设条件独立重复试验的含义，并明确哪个随机变量服从二项分布，结合二项分布公式求概率.2．D解析：D 【分析】根据题意，两人投中次数相等：两人两次都未投中，两人各投中一次，和两人两次都投中，进而根据相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式，得到答案． 【详解】由题意，甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6，0.7，则甲、乙两人各投2次： 两人两次都未投中的概率：()()22010.610.70.0144P =-⨯-=；两人各投中一次的概率：()()111220.610.60.710.70.2016P C C =⨯⨯-⨯⨯⨯-=；两人两次都投中的概率：2220.60.70.1764P =⨯=.所以，两人投中次数相等的概率为：0120.3924P P P P =++=. 故选：D. 【点睛】本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题.3．B解析：B 【分析】根据二项分布的均值与方差公式,可得,p q 的等量关系.利用“1”的代换,结合基本不等式即可求得21p q+的最小值. 【详解】离散型随机变量X 服从二项分布(),XB n p ,且2EX =,DX q =由二项分布的均值与方差公式可得()21npq np p =⎧⎨=-⎩, 化简可得22p q +=,即12qp +=由基本不等式化简可得21p q +221p q q p ⎛⎫=+ ⎪⎛⎫+ ⎪⎝⎝⎭⎭2525922q p p q ≥+=++= 即21p q +的最小值为92故选:B 【点睛】本题考查了二项分布的简单应用,均值与方差的求法,利用“1”的代换结合基本不等式求最值,属于中档题.4．B解析：B 【解析】 试题分析：由题意13368.26%6695.44%3695.44%68.26%13.59%2P P P （＜＜），（＜＜），（＜＜）（）．ξξξ-=-=∴=-=故选B ． 考点：正态分布5．A解析：A 【解析】分析：首先设出题中的事件，然后由题意结合条件概率公式整理计算即可求得最终结果. 详解：设事件A 为48h 发病，事件B 为72h 发病， 由题意可知：()()0.055,0.19P A P B ==， 则()()0.945,0.81P A P B ==， 由条件概率公式可得：()()()()()0.816|0.9457P AB P B P B A P A P A ====. 本题选择A 选项.点睛：本题主要考查条件概率公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.解析：D 【解析】分析：由题意结合随机变量的性质整理计算即可求得最终结果. 详解：随机变量ξ满足()14E ξ-=，()14D ξ-=， 则：()214,14E D ξξ-=-=， 据此可得：3,4E D ξξ=-=. 本题选择D 选项.点睛：本题主要考查期望的数学性质，方差的数学性质等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7．D解析：D 【解析】分析：根据离散型随机变量分布列的性质，变量取各个量对应的概率和等于1，建立关于a 的等量关系式，最后求得结果.详解：根据分布列的性质可得，()()()0121110121333P P P a a a ξξξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+==++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，解得913a =，故选D. 点睛：解决该题的关键是明确离散型随机变量的分布列的性质，从而找到关于参数a 所满足的等量关系式，最后求得结果.8．A解析：A 【解析】每次摸球中奖的概率为114529C C 2059C 36==，由于是有放回地摸球，故3次摸球相当于3次独立重复实验，所以3次摸球恰有1次中奖的概率2135580C 199243P ⎛⎫=⨯⨯-= ⎪⎝⎭． 故选A ．点睛:判断一个随机变量是否服从二项分布，要看两点：①是否为n 次独立重复试验，在每次试验中事件A 发生的概率是否均为p ；②随机变量是否为在这n 次独立重复试验中某事件发生的次数，且()()1n kk kn p X k C p p -==-表示在独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率．解析：A 【解析】∵()D X m =，∴2()(32)3()D Y D X D X =+=9()D X =9m =，故选A ．10．B解析：B 【详解】∵a ，b ，c 为等差数列，∴2b a c =+，∵1a b c ++=，1113E a c c a ξ=-⨯+⨯=-=，解得16a =，13b =，12c =，∴22215()()39DX E X EX a c ⎛⎫=-=+-= ⎪⎝⎭，故选B ． 11．B解析：B 【解析】 由概率和为1,可知1231222a a a++=，解得3a =，()P X 2≥=235(2)(3)666P X P X =+==+=选B. 12．B解析：B 【解析】由题意知，E(X)＝1×0.2＋2×0.4＋3×0.4＝2.2，∴E(6X ＋8)＝6E(X)＋8＝6×2.2＋8＝21.2.选B.二、填空题13．【分析】利用独立重复试验的概率计算出再将这些相加可得出【详解】由于所以因此故答案为【点睛】本题考查二项分布独立重复试验的概率解这类问题要注意将基本事件列举出来关键在于灵活利用独立重复试验的概率公式进 解析：2132【分析】利用独立重复试验的概率计算出()0P ξ=、()1P ξ=、()2P ξ=、()3P ξ=，再将这些相加可得出()3P ξ≤. 【详解】由于1~6,2B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以，()6110264P ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()616131232P C ξ⎛⎫==⋅= ⎪⎝⎭，()6261152264P C ξ⎛⎫==⋅= ⎪⎝⎭，()636153216P C ξ⎛⎫==⋅= ⎪⎝⎭，因此，()()()()()213012332P P P P P ξξξξξ≤==+=+=+==，故答案为2132.【点睛】本题考查二项分布独立重复试验的概率，解这类问题要注意将基本事件列举出来，关键在于灵活利用独立重复试验的概率公式进行计算，考查计算能力，属于中等题．14．994【分析】根据正态分布的性质求出在一次测量中误差在内的概率再求出测量3次每次测量误差均不在内的概率根据对立事件的性质可得结果【详解】由题意可知在一次测量中误差在内满足其概率为测量3次每次测量误差解析：994 【分析】根据正态分布的性质求出在一次测量中误差在()0,30内的概率，再求出测量3次，每次测量误差均不在()0,30内的概率，根据对立事件的性质可得结果. 【详解】由题意可知在一次测量中误差在()0,30内满足2X μδμδ-<<+， 其概率为()()()111220.950.680.815222p p X p X μδμδμδμδ=-<≤++-<≤+=⨯+=， 测量3次，每次测量误差均不在()0,30内的概率为：()3310.8150.1850.006-==，∴独立测量3次，至少一次测量误差在()0,30内的概率是10.0060.994-=， 故答案为：0.994. 【点睛】本题主要考查正态分布概率的求法，n 次独立重复试验的模型，利用对立事件解决问题是解题的关键，属于中档题.15．10【分析】根据题意可知随机变量满足二项分布根据公式即可求出随机变量的方差再利用公式即可求出【详解】故答案为【点睛】本题主要考查满足二项分布的随机变量方差的求解解题时利用公式将求的问题转化为求的问题解析：10 【分析】根据题意可知，随机变量2~5,3X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭满足二项分布，根据公式()(1)D X np p =-，即可求出随机变量的方差，再利用公式2()()D aX b a D X +=即可求出()3D X 。

高中数学选修2-3第一章《计数原理》检测卷(包含答案解析)

高中数学选修2-3第一章《计数原理》检测卷(包含答案解析)

一、选择题1．设01a <<，2a b +=，随机变量X 的分布列如表：则当()0,1a ∈内增大时（ ）A ．()D X 增大B ．()D X 减小C ．()D X 先增大后减小D ．()D X 先减小后增大2．2019年10月20日，第六届世界互联网大会发布了15项“世界互联网领先科技成果”，其中有5项成果均属于芯片领域.现有3名学生从这15项“世界互联网领先科技成果”中分别任选1项进行了解，且学生之间的选择互不影响，则恰好有1名学生选择“芯片领域”的概率为（ ） A ．49B ．427C ．1927D ．481253．已知离散型随机变量X 的分布列为则D (X )的最大值是（ ） A ．29B ．59C ．89D ．2094．星期天上午，甲、乙、丙、丁到绿博园、四牟园、湿地公园、蟹岛游玩，每人只去一个地方，设事件A 为“4个人去的地方各不相同”，事件B 为“甲独自去一个地方”，则()P A B =（ ）A ．29B ．13C ．49D ．595．已知随机变量ξ的分布列如表，则ξ的标准差为（ ）A ．3.56B C ．3.2D 6．某班有18名学生数学成绩优秀，若从该班随机找出6名学生，其中数学成绩优秀的学生数1~6,3X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()21E X +=（ ） A ．13B ．12C ．5D ．47．已知随机变量ξ满足(0)1P p ξ==-，(1)P p ξ==，其中01p <<.令随机变量|()|E ηξξ=-，则（ ）A ．()()E E ηξ>B ．()()E E ηξ<C ．()()D D ηξ>D ．()()D D ηξ<8．已知随机变量,X Y 的分布列如下:若成等差数列，则下列结论一定成立的是（）A ．()()D X Y D >B ．()() E X E Y =C ．()()E X E Y < D ．()()D X Y D =9．某工厂生产的零件外直径（单位：cm ）服从正态分布()10,0.04N ，今从该厂上、下午生产的零件中各随机取出一个，测得其外直径分别为9.75cm 和9.35cm ，则可认为（ ）A ．上午生产情况异常，下午生产情况正常B ．上午生产情况正常，下午生产情况异常C ．上、下午生产情况均正常D ．上、下午生产情况均异常10．若随机变量ξ满足(1)4E ξ-=，(1)4D ξ-=，则下列说法正确的是 A ．4,4E D ξξ=-= B ．3,3E D ξξ=-= C ．4,4E D ξξ=-=- D ．3,4E D ξξ=-= 11．已知随机变量X ～N (2，σ2)，若P (X <a )＝0.32，则P (a ≤X <4－a )等于( )A ．0.32B ．0.68C ．0.36D ．0.6412．已知随机变量ξ服从正态分布2(2,)N σ，且(4)0.8P ξ<=，(02)P ξ<<=（ ）． A ．0.6B ．0.4C ．0.3D ．0.2二、填空题13．设随机变量ξ服从二项分布16,2B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭～ ，则()3P ξ≤等于__________14．退休年龄延迟是平均预期寿命延长和人口老龄化背景下的一种趋势.某机构为了了解某城市市民的年龄构成，从该城市市民中随机抽取年龄段在[20，80]内的600人进行调查，并按年龄层次绘制频率分布直方图，如图所示.若规定年龄分布在[60，80]内的人为“老年人”，将上述人口分布的频率视为该城市年龄段在[20，80]的人口分布的概率.从该城市年龄段在[20，80]内的市民中随机抽取3人，记抽到“老年人”的人数为X 则随机变量X 的数学期望为______.15．改革开放40年来，我国城市基础设施发生了巨大的变化，各种交通工具大大方便了人们的出行需求.某城市的A 先生实行的是早九晚五的工作时间，上班通常乘坐公交或地铁加步行.已知从家到最近的公交站或地铁站都需步行5分钟，乘坐公交到离单位最近的公交站所需时间Z 1（单位：分钟）服从正态分布N （33，42），下车后步行再到单位需要12分钟；乘坐地铁到离单位最近的地铁站所需时间Z 2（单位：分钟）服从正态分布N （44，22），从地铁站步行到单位需要5分钟.现有下列说法：①若8：00出门，则乘坐公交一定不会迟到；②若8：02出门，则乘坐公交和地铁上班迟到的可能性相同；③若8：06出门，则乘坐公交比地铁上班迟到的可能性大；④若8：12出门，则乘坐地铁比公交上班迟到的可能性大.则以上说法中正确的序号是_____.参考数据：若Z ～N （μ，σ2），则P （μ﹣σ＜Z ≤μ+σ）=0.6826，P （μ﹣2σ＜Z ≤μ+2σ）=0.9544，P （μ﹣3σ＜Z ≤μ+3σ）=0.997416．测量某一目标的距离时，所产生的随机误差X 服从正态分布()220,10N ，如果独立测量3次，至少一次测量误差在()0,30内的概率是__________.附参考数据：()0.68P X μδμδ-<≤+=，()220.95P X μδμδ-<≤+=，()330.99P X μδμδ-<≤+=，20.1850.03=，30.1850.006=，20.8150.66=，30.8150.541=.17．随机变量ξ服从正态分布()240,N σ，若()300.2P ξ<=，则()3050P ξ<<=______．18．运动员参加射击比赛,每人射击4次(每次射一发),比赛规定:全不中得0分,只中一弹得15分,中两弹得40分,中三弹得65分,中四弹得100分.已知某一运动员每一次射击的命中率为35,则他的得分期望为_____. 19．设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，ξ＝0；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，ξ＝1，则随机变量ξ的分布列为________．20．投到某出版社的稿件，先由两位初审专家进行评审，若能通过两位初审专家的评审，则直接予以利用，若两位初审专家都未予通过，则不予录用，若恰能通过一位初审专家的评审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录用，设稿件能通过各初审专家评审的概率均为12，复审的稿件能通过评审的概率为13，若甲、乙两人分别向该出版社投稿1篇，两人的稿件是否被录用相互独立，则两人中恰有1人的稿件被录用的概率为__________.三、解答题21．某市有两家共享单车公司，在市场上分别投放了黄、蓝两种颜色的单车，已知黄、蓝两种颜色的单车的投放比例为2:1.监管部门为了了解两种颜色的单车的质量，决定从市场中随机抽取5辆单车进行体验，若每辆单车被抽取的可能性相同. （1）求抽取的5辆单车中有2辆是蓝色颜色单车的概率；（2）在骑行体验过程中，发现蓝色单车存在一定质量问题，监管部门决定从市场中随机地抽取一辆送技术部门作进一步抽样检测，并规定若抽到的是蓝色单车，则抽样结束，若抽取的是黄色单车，则将其放回市场中，并继续从市场中随机地抽取下一辆单车，并规定抽样的次数最多不超过4次.在抽样结束时，已取到的黄色单车以ξ表示，求ξ的分布列. 22．已知甲盒中有三个白球和三个红球，乙盒中仅装有三个白球，球除颜色外完全相同，现从甲盒中任取三个球放入乙盒中.（1）求乙盒中红球个数X 的分布列与期望； （2）求从乙盒中任取一球是红球的概率.23．某投资公司准备在2020年年初将两千万投资东营经济开发区的“示范区”新型物流，商旅文化两个项目中的一个之中．项目一：新型物流仓是为企业提供仓储、运输、配送、货运信息等综合物流服务的平台．现准备投资建设10个新型物流仓，每个物流仓投资0.2千万元，假设每个物流仓盈利是相互独立的，据市场调研，到2022年底每个物流仓盈利的概率为(01)p p <<，若盈利则盈利为投资额的40%，否则盈利额为0．项目二：购物娱乐广场是一处融商业和娱乐于一体的现代化综合服务广场．据市场调研，投资到该项目上，到2022年底可能盈利投资额的50%，也可能亏损投资额的30%，且这两种情况发生的概率分别为p 和1p -．（1）若投资项目一，记1X 为盈利的物流仓的个数，求()1E X （用p 表示）； （2）若投资项目二，记投资项目二的盈利为2X 千万元，求()2E X （用p 表示）； （3）在（1）（2）两个条件下，针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个项目，并说明理由．24．在湖北新冠疫情严重期间，我市响应国家号召，召集医务志愿者组成医疗队驰援湖北.某医院有2名女医生，3名男医生，3名女护士，1名男护士报名参加，医院计划从医生和护士中各选2名参加医疗队.（1）求选出的4名志愿全是女性的选派方法数；（2）记X 为选出的4名选手中男性的人数，求X 的概率分布和数学期望.25．某选修课的考试按A 级、B 级依次进行，只有当A 级成绩合格时，才可继续参加B 级的考试．已知每级考试允许有一次补考机会，两个级别的成绩均合格方可获得该选修课的合格证书．现某人参加这个选修课的考试，他A 级考试成绩合格的概率为23，B 级考试合格的概率为12．假设各级考试成绩合格与否均互不影响． （1）求他不需要补考就可获得该选修课的合格证书的概率；（2）在这个考试过程中，假设他不放弃所有的考试机会，求他一共参加3次考试的概率． 26．现有甲乙两组学生，分别参加某项体能测试，所得成绩的茎叶图如图.规定测试成绩大于等于90分为优秀，80至89分为良好，60至79分为合格，60分以下为不合格.（1）现从甲组数据中抽取一名学生的成绩，有放回地抽取6次，记抽到优秀成绩的次数为X ，求4P X ；（2）从甲、乙两组学生中任取3名学生，记抽中成绩优秀的学生数为Y ，求Y 的概率分布与数学期望.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】先求出()E X ，利用方差的定义建立()()22=13D X a -，利用二次函数单调性判断出()D X 的变化.【详解】由题意：()1111333E X a b =⨯+⨯+⨯，∵2a b +=，∴()1E X =.∴()()()()()222221111=111123333D X a b a b -⨯+-⨯+-⨯=+-⨯ 又2a b +=，∴2b a =-，∴()()()()2222122=2=21=1333D X a b a a a +-⨯-+- ∴当01a <<时，()()22=13D X a -单调递减，即当()0,1a ∈内增大时()D X 减小. 故选：B2．A解析：A 【分析】根据题设分析知：芯片领域被选、不被选的概率分别为13、23，而3名学生选择互不影响，则选择芯片领域的学生数{0,1,2,3}X =，即X 服从二项分布，则有3321()()()33n n n P X n C -==即可求恰好有1名学生选择“芯片领域”的概率.【详解】由题意知，有3名学生且每位学生选择互不影响，从这15项“世界互联网领先科技成果”中分别任选1项，5项成果均属于芯片领域，则： 芯片领域被选的概率为：51153=；不被选的概率为：12133-=；而选择芯片领域的人数{0,1,2,3}X =，∴X 服从二项分布1~3(,3)X B ，3321()()()33nnn P X n C -==，那么恰好有1名学生选择“芯片领域”的概率为123214(1)()()339P X C ===. 故选：A. 【点睛】本题考查了二项分布，需要理解题设条件独立重复试验的含义，并明确哪个随机变量服从二项分布，结合二项分布公式求概率.3．C解析：C 【分析】根据分布列中概率和为1可得a 的范围和b 的值，再求出,EX DX 的表达式，转化成求二次函数在闭区间的最值问题. 【详解】12133b a a b +-+=⇒=，又110033a a -≥⇒≤≤，1242()3333EX b a a a b a =+⨯-+⨯=++=+，2221(1)(2)()(3)3DX EX b EX a EX a =-⋅+-⋅-+-⋅2221215()()()()3333a b a a a a =--⋅+-⋅-+-⋅22212215()()()()33333a a a a a =--⋅+-⋅-+-⋅27239a a =-++，对称轴为7163a =>，∴max 1728()9999DX =-++=， 故选：C. 【点睛】本题考查标准差的最值求解，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意将问题转化为函数的最值问题.4．A解析：A 【分析】甲独自去一个景点，有14C 种方法，其余3人去剩下的3个景点，有3327=种方法，由分步计数原理可求得甲独自去一个景点的有1427C ⋅种选择方法.若4个人去的地方各不相同，则属于排列问题，有44A 种.根据条件概率计算公式，即可求出相应的概率. 【详解】甲单独去一个景点有14C 4=种方法，其余3人去剩下的3个景点，有3327=种方法， 则甲独自去一个景点，有427108⨯=种方法， 而4个人去的地方各不相同，有4424A =种方法， 则242()1089P A B ==. 故选：A. 【点睛】本题考查了条件概率，分步乘法计数原理，排列问题，属于中档题.5．D解析：D 【分析】由分布列的性质求得x ，利用方差的计算公式可求得()D ξ，进而得到标准差. 【详解】由分布列的性质得：0.40.11x ++=，解得：0.5x =，()10.430.150.5 3.2E ξ∴=⨯+⨯+⨯=，()()()()2221 3.20.43 3.20.15 3.20.5 3.56D ξ∴=-⨯+-⨯+-⨯=，ξ∴=故选：D . 【点睛】本题考查根据离散型随机变量的分布列求解标准差的问题，考查了分布列的性质、数学期望和方差的求解，考查基础公式的应用.6．C解析：C 【分析】根据1~6,3X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭得到()2E X =，再根据()()2121E X E X +=+，计算得到答案. 【详解】1~6,3X B ⎛⎫⎪⎝⎭，则()1623E X =⨯=，故()()21215E X E X +=+=.故选：C . 【点睛】本题考查了二项分布的均值，同时也考查了期望性质的应用，意在考查学生的计算能力.7．D解析：D 【分析】根据题意,列表求得随机变量ξ及η的分布列,可知均为两点分布.由两点分布的均值及方差表示出()(),E D ξξ和()E η()D η,根据01p <<比较大小即可得解. 【详解】随机变量ξ满足(0)1P p ξ==-,(1)P p ξ==,其中01p <<. 则随机变量ξ的分布列为:所以,1E p D p p ==- 随机变量|()|E ηξξ=-,所以当0ξ=时,()E p ηξξ=-=,当1ξ=时,()1E p ηξξ=-=-所以随机变量|()|E ηξξ=-的分布列如下表所示(当0.5p =时,η只有一个情况,概率为1):则1121E p p p p p p =-+-=-()()()()22211121D p p p p p p p p η=--⋅-+---⋅⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()2121p p p =--当()()E E ξη=即()21p p p =-,解得12p =.所以A 、B 错误. ()()D D ξη-()()()21121p p p p p =----()22410p p =->恒成立.所以C 错误,D 正确 故选:D 【点睛】本题考查了随机变量的分布列,两点分布的特征及均值和方差求法,属于中档题.8．D解析：D 【分析】,,a b c 成等差数列，即2b a c =+，结合1a b c ++=，计算出()()()(), ,,E E Y D X X D Y ，由此判断出正确结论.【详解】由于,,a b c 成等差数列，故2b a c =+①，另根据分布列的知识可知1a b c ++=②.由①②得12,33b c a ==-. 所以()2243232333E X a b c a a a =++=++-=+， ()2282332333E Y a b c a a a ⎛⎫=++=++-=- ⎪⎝⎭，由于484224333a a a ⎛⎫+--=-+ ⎪⎝⎭正负无法确定，故()() ,E X E Y 大小无法比较. ()222444322212333D X a a a b a c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--⋅+--⋅+--⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2225211222233333a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⋅+-⋅++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()222888122232333D Y a a a b a c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+⋅+-+⋅+-+⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2225211222233333a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⋅+-⋅++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 故()()D X Y D =. 故选D. 【点睛】本小题主要考查根据随机变量分布列计算数学期望和方差，考查等差中项的性质，考查运算求解能力，属于中档题.9．B解析：B 【解析】分析：根据3σ原则判断.详解：因为服从正态分布()10,0.04N ，所以10,0.2(100.23,100.23)(9.4,10.6)x μσ==∴∈-⨯+⨯= 所以上午生产情况正常，下午生产情况异常, 选B.点睛：利用3σ原则求概率问题时，要注意把给出的区间或范围与正态变量的μ，σ进行对比联系，确定它们属于(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)中的哪一个.10．D解析：D 【解析】分析：由题意结合随机变量的性质整理计算即可求得最终结果. 详解：随机变量ξ满足()14E ξ-=，()14D ξ-=， 则：()214,14E D ξξ-=-=， 据此可得：3,4E D ξξ=-=. 本题选择D 选项.点睛：本题主要考查期望的数学性质，方差的数学性质等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.11．C解析：C 【解析】如图，由正态曲线的对称性可得(4)12()0.36P a X a P X a ≤<-=-<=.12．C解析：C 【解析】∵P (ξ<4)＝0.8，∴P (ξ>4)＝0.2， 由题意知图象的对称轴为直线x ＝2，P (ξ<0)＝P (ξ>4)＝0.2，∴P (0<ξ<4)＝1－P (ξ<0)－P (ξ>4)＝0.6. ∴P (0<ξ<2)＝12P (0<ξ<4)＝0.3 二、填空题13．【分析】利用独立重复试验的概率计算出再将这些相加可得出【详解】由于所以因此故答案为【点睛】本题考查二项分布独立重复试验的概率解这类问题要注意将基本事件列举出来关键在于灵活利用独立重复试验的概率公式进 解析：2132【分析】利用独立重复试验的概率计算出()0P ξ=、()1P ξ=、()2P ξ=、()3P ξ=，再将这些相加可得出()3P ξ≤. 【详解】由于1~6,2B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以，()6110264P ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()616131232P C ξ⎛⎫==⋅=⎪⎝⎭， ()6261152264P C ξ⎛⎫==⋅= ⎪⎝⎭，()636153216P C ξ⎛⎫==⋅= ⎪⎝⎭，因此，()()()()()213012332P P P P P ξξξξξ≤==+=+=+==，故答案为2132.【点睛】本题考查二项分布独立重复试验的概率，解这类问题要注意将基本事件列举出来，关键在于灵活利用独立重复试验的概率公式进行计算，考查计算能力，属于中等题．14．6【分析】通过频率分布直方图求出年龄段在的频率即概率通过二项分布求出数学期望即可【详解】通过频率分布直方图得年龄段在的频率为即概率为抽到老年人的人数为服从二项分布即所以期望为故答案为：06【点睛】本解析：6 【分析】通过频率分布直方图求出年龄段在[]60,80的频率即概率，通过二项分布求出数学期望即可.通过频率分布直方图得年龄段在[]60,80的频率为20.01100.2⨯⨯=，即概率为0.2， 抽到“老年人”的人数为X 服从二项分布，即()3,0.2X B ,所以期望为()30.20.6E X np ==⨯=， 故答案为：0.6. 【点睛】本题主要考查了频率分布直方图的应用，二项分布期望的求法，属于中档题.15．②④【分析】利用正态分布对每一个说法求解其概率逐项分析即可选出正确答案【详解】解：①若8：00出门江先生乘坐公交从家到车站需要5分钟下车后步行再到单位需要12分钟乘坐公交到离单位最近的公交站所需时间解析：②④ 【分析】利用正态分布对每一个说法求解其概率，逐项分析，即可选出正确答案． 【详解】解：①若8：00出门，江先生乘坐公交，从家到车站需要5分钟，下车后步行再到单位需要12分钟，乘坐公交到离单位最近的公交站所需时间1Z 服从正态分布()233,4N ，故()()12145452P Z P Z -<<≥=10.99740.00132-==， ∴江先生仍有可能迟到，只不过概率较小，故①错误； ②若8：02出门，江先生乘坐公交，∵从家到车站需要5分钟，下车后步行再到单位需要12分钟，乘坐公交到离单位最近的公交站所需时间1Z 服从正态分布()233,4N ，故当满足P （Z≤41）()()1254125410.97722P Z P Z -=+=＜＜＜＜时，江先生乘坐公交不会迟到；若8：02出门，江先生乘坐地铁，∵从家到车站需要5分钟，下地铁后步行再到单位需要5分钟，乘坐地铁到离单位最近的地铁站所需时间2Z 服从正态分布()244,2N ，故当满足P （Z≤48）()()1404840480.99722P Z P Z -=+=＜＜＜＜时，江先生乘坐地铁不会迟到，此时两种上班方式江先生不迟到的概率相当，故②正确； ③若8：06出门，江先生乘坐公交，∵从家到车站需要5分钟，下车后步行再到单位需要12分钟，乘坐公交到离单位最近的公交站所需时间1Z 服从正态分布()233,4N ，故当满足()()()129373729370.84132P Z P Z P Z -≤=+=＜＜＜＜时，江先生乘坐公交不会迟到；若8：06出门，江先生乘坐地铁，∵从家到车站需要5分钟，下地铁后步行再到单位需要5分钟，乘坐地铁到离单位最近的地铁站所需时间2Z 服从正态分布()244,2N ，故当满足()1440.52P Z ≤==时，江先生乘坐地铁不会迟到， 此时两种上班方式，乘坐公交比地铁上班迟到的可能性小，故③错误； ④若8：12出门，江先生乘坐公交，∵从家到车站需要5分钟，下车后步行再到单位需要12分钟，乘坐公交到离单位最近的公交站所需时间1Z 服从正态分布()233,4N ，故当满足()31P Z ≤时，江先生乘坐公交不会迟到， 而()()()1293731290.18572P Z P Z P Z -≤>≤==＜＜；若8：12出门，江先生乘坐地铁，∵从家到车站需要5分钟，下地铁后步行再到单位需要5分钟，乘坐地铁到离单位最近的地铁站所需时间2Z 服从正态分布()244,2N ，故当满足()()13850380.001352P Z P Z -<<≤==时，江先生乘坐地铁不会迟到，由0.18570.00135>，∴若8：12出门，则乘坐地铁比公交上班迟到的可能性大，故④正确； 故答案为：②④． 【点睛】本题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量μ和σ的应用，考查曲线的对称性，正确理解题意是关键，考查计算能力，属于中档题．16．994【分析】根据正态分布的性质求出在一次测量中误差在内的概率再求出测量3次每次测量误差均不在内的概率根据对立事件的性质可得结果【详解】由题意可知在一次测量中误差在内满足其概率为测量3次每次测量误差解析：994 【分析】根据正态分布的性质求出在一次测量中误差在()0,30内的概率，再求出测量3次，每次测量误差均不在()0,30内的概率，根据对立事件的性质可得结果. 【详解】由题意可知在一次测量中误差在()0,30内满足2X μδμδ-<<+， 其概率为()()()111220.950.680.815222p p X p X μδμδμδμδ=-<≤++-<≤+=⨯+=， 测量3次，每次测量误差均不在()0,30内的概率为：()3310.8150.1850.006-==，∴独立测量3次，至少一次测量误差在()0,30内的概率是10.0060.994-=， 故答案为：0.994. 【点睛】本题主要考查正态分布概率的求法，n 次独立重复试验的模型，利用对立事件解决问题是解题的关键，属于中档题.17．6【解析】【分析】根据随机变量服从正态分布知正态曲线的对称轴是且依据正态分布对称性即可求得答案【详解】解：根据随机变量服从正态分布知正态曲线的对称轴是利用正态分布的对称性可得所以故答案为06【点睛】解析：6 【解析】 【分析】根据随机变量ξ服从正态分布，知正态曲线的对称轴是40ξ=，且()300.2P ξ<=，依据正态分布对称性，即可求得答案． 【详解】解：根据随机变量ξ服从正态分布，知正态曲线的对称轴是40ξ=， 利用正态分布的对称性可得()()50300.2P P ξξ>=<=， 所以()()()30501503010.40.6P P P ξξξ⎡⎤<<=->+<=-=⎣⎦ 故答案为0.6 【点睛】本题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义、函数图象对称性的应用等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．18．552【解析】分析：由次独立重复试验的概率公式计算出射中01234次的概率得到得分的分布列再由期望公式得期望详解：设该运动员中弹数为ξ得分数为η则P(ξ=4)==01296P(ξ=3)==03456解析：552. 【解析】分析：由n 次独立重复试验的概率公式计算出射中0，1，2，3，4次的概率得到得分的分布列，再由期望公式得期望．详解：设该运动员中弹数为ξ,得分数为η,则P (ξ=4)=435⎛⎫ ⎪⎝⎭=0.129 6, P (ξ=3)=33432C ?·55⎛⎫ ⎪⎝⎭=0.345 6,P (ξ=2)=222432C ?·55⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=0.345 6,P (ξ=1)=31432C ?·55⎛⎫⎪⎝⎭=0.153 6,P (ξ=0)=425⎛⎫ ⎪⎝⎭=0.025 6. 由题意可知P (η)=P (ξ),所以E (η)=100×0.129 6+65×0.345 6+40×0.345 6+15×0.153 6+0×0.025 6=51.552.点睛：本题考查随机变量的分布列与期望．解题时关键是理解射击时命中n 次就是n 次独立重复试验，由此可由概率公式计算出概率，从而可得得分的分布列，由分布列的期望公式计算出期望．19．ξ 0 1 P 【分析】正方体的12条棱中任取两条共有种情况若两条棱相交则交点必在正方体的顶点处过任意一个顶点的棱有3条共有对相交棱若两条棱平行则它们的距离为1或而距离为的共有6对ξ的可正方体的12条棱中任取两条共有212C 种情况，若两条棱相交，则交点必在正方体的顶点处，过任意一个顶点的棱有3条，共有238C 对相交棱，若两条棱平行，则它们的距离为16对，ξ的可能取值为0，1. 【详解】ξ的可能取值为0，1若两条棱相交，则交点必在正方体的顶点处，过任意一个顶点的棱有3条，所以P (ξ＝0)＝232128C C＝411，若两条棱平行，则它们的距离为16对，则P (ξ＝2126C ＝111，P (ξ＝1)＝1－P (ξ＝0)－P (ξ＝1－411－111＝611，所以随机变量ξ的分布列为：20．【分析】计算出每人的稿件能被录用的概率然后利用独立重复试验的概率公式可求得结果【详解】记事件甲的稿件被录用则因此甲乙两人分别向该出版社投稿篇则两人中恰有人的稿件被录用的概率为故答案为：【点睛】思路点 解析：3572【分析】计算出每人的稿件能被录用的概率，然后利用独立重复试验的概率公式可求得结果. 【详解】记事件:A 甲的稿件被录用，则()2212111522312P A C ⎛⎫⎛⎫=+⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,因此，甲、乙两人分别向该出版社投稿1篇，则两人中恰有1人的稿件被录用的概率为125735121272P C =⋅⋅=. 故答案为：3572. 【点睛】思路点睛：独立重复试验概率求法的三个步骤：（1）判断：依据n 次独立重复试验的特征，判断所给试验是否为独立重复试验； （2）分拆：判断所求事件是否需要分拆；（3）计算：就每个事件依据n 次独立重复试验的概率公式求解，最后利用互斥事件概率加法公式计算.三、解答题21．（1）80243；（2）分布列答案见解析. 【分析】（1）利用独立重复试验的概率公式可求得所求事件的概率；（2）由题可知，随机变量ξ的可能取值有0、1、2、3、4，计算出随机变量ξ在不同取值下的概率，由此可得出随机变量ξ的分布列. 【详解】（1）因为随机地抽取一辆单车是蓝色单车的概率为13，用X 表示“抽取的5辆单车中蓝颜色单车的个数”，则X 服从二项分布，即15,3XB ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以抽取的5辆单车中有2辆是蓝颜色单车的概率为3225218033243P C ⎛⎫⎛⎫=⋅⋅=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （2）随机变量ξ的可能取值为：0、1、2、3、4，()103P ξ==，()2121339P ξ==⨯=，()221423327P ξ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭， ()321833381P ξ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，()42164381P ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭.所以ξ的分布列如下表所示：思路点睛：求解随机变量分布列的基本步骤如下：（1）明确随机变量的可能取值，并确定随机变量服从何种概率分布； （2）求出每一个随机变量取值的概率；（3）列成表格，对于抽样问题，要特别注意放回与不放回的区别，一般地，不放回抽样由排列、组合数公式求随机变量在不同取值下的概率，放回抽样由分步乘法计数原理求随机变量在不同取值下的概率. 22．（1）答案见解析，32；（2）14. 【分析】（1）由题意知X 的可能取值为0，1，2，3.分别求出随机变量取各值的概率，得出分布列，再由期望公式求出期望；（2）分乙盒中红球个数为0，为1，为2，为3时的概率，再得用概率的加法公式可得答案. 【详解】解：（1）由题意知X 的可能取值为0，1，2，3.()0333361020C C P X C ===，()1233369120C C P X C ===，()2133369220C C P X C ===，()3033361320C C P X C ===， 所以X 的分布列为所以()0123202020202E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. （2）当乙盒中红球个数为0时，10P =， 当乙盒中红球个数为1时，291320640P =⨯=， 当乙盒中红球个数为2时，392320620P =⨯=， 当乙盒中红球个数为3时，413120640P =⨯=， 所以从乙盒中任取一球是红球的概率为123414P P P P +++=. 【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，以及概率的加法公式，属于中档题. 23．（1）()110E X p =；（2）()2 1.60.6E X p =-；（3）分类讨论，见解析. 【分析】（1）由题意结合二项分布的期望公式即可得解；（2）由题意列出分布列，利用离散型随机变量期望公式即可得解；（3）由题意分别计算出项目一、项目二的利润的期望与方差，分类比较即可得解. 【详解】（1）由题意1~(10,)X B p ，则盈利的物流仓数的期望()110E X p =；（2）若投资项目二，盈利的金额为20.51⨯=（千万元），亏损的金额为20.30.6⨯=（千万元）， 则2X 的分布列为所以盈利的期望)20.6(1) 1.60.6E X p p p =--=-； （3）若盈利，则每个物流仓盈利0.240%0.08⨯=（千万元），若选择项目一，盈利的期望为()()110.080.080.08100.8E X E X p p ==⨯=（千万元），方差为()()22110.080.080.0810(1)0.064(1)D X D X p p p p ==⨯-=-，若选择项目二，盈利的方差为：()222(1 1.60.6)(0.6 1.60.6)(1) 2.56(1)D X p p p p p p =-++--+-=-，①当()()120.08E X E X =时，0.8 1.60.6p p =-，解得34p =， 而()()120.08D X D X <，故选择项目一；②当()()120.08E X E X >时，0.8 1.60.6p p >-，解得304p <<，此时选择项目一； ③当()()120.08E X E X <时，0.8 1.60.6p p <-，解得34p >，此时选择项目二． 【点睛】本题考查了离散型随机变量期望与方差的求解和应用，考查了二项分布的应用与分类讨论思想，属于中档题. 24．（1）3（2）详见解析 【分析】（1）选出的4名志愿全是女性，则从2名女医生选2人有22C 种选法，从3名女护士选2人有23C 选法，根据乘法原理可得答案.（2）由题意有X 的取值可能为0,1,2,3，再分别计算出X 取各个值的概率，列出分布列，求出期望即可. 【详解】解：（1）从2名女医生选2人有22C 种选法，从3名女护士选2人有23C 选法 则选出的4名志愿全是女性有22233C C ⋅=种不同的选法. 所以选出的4名志愿全是女性的选派方法数有3种， （2）X 的取值可能为0,1,2,3()222322541020C C P X C C ===，()11221132323122547120C C C C C C P X C C +===， ()22111133323122549220C C C C C C P X C C +===， ()21133122543320C C C P X C C ===，列表如下：。

(压轴题)高中数学高中数学选修2-3第一章《计数原理》测试卷(含答案解析)(1)

(压轴题)高中数学高中数学选修2-3第一章《计数原理》测试卷(含答案解析)(1)

一、选择题1．已知()~,X B n p ，且()2E X =，()43D X =，则n =（ ） A ．5B ．6C ．7D ．82．已知离散型随机变量X 的分布列为则D (X )的最大值是（ ） A ．29B ．59C ．89D ．2093．已知19,3X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，则()E X 、()D X 的值依次为（ ）. A ．3，2B ．2，3C ．6，2D ．2，64．已知随机变量,X Y 的分布列如下:若成等差数列，则下列结论一定成立的是（）A ．()()D X Y D >B ．()() E X E Y =C ．()()E X E Y < D ．()()D X Y D =5．甲、乙两名篮球队员轮流投篮直至某人投中为止，设甲每次投篮命中的概率为0.4，乙每次投篮命中的概率为0.6，而且不受其他次投篮结果的影响.设投篮的轮数为X ，若甲先投，则()P X k =等于（ ） A ．10.60.4k -⨯B ．10.240.76k -⨯C ．10.40.6k -⨯D ．10.760.24k -⨯6．同时抛掷5枚均匀的硬币80次，设5枚硬币正好出现2枚正面向上，3枚反面向上的次数为X ，则X 的均值为（ ） A ．20B ．25C ．30D ．407．已知在5件产品中混有2件次品，现需要通过逐一检测直至查出2件次品为止，每检测一件产品的费用是10元，则所需检测费的均值为（ ） A ．32元B ．34元C ．35元D ．36元8．将一枚质地均匀的硬币抛掷四次，设X 为正面向上的次数，则()03P X <<等于（ ）A ．18B ．38C ．58D ．789．据统计，连续熬夜48小时诱发心脏病的概率为0.055 ，连续熬夜72小时诱发心脏病的概率为0.19 . 现有一人已连续熬夜48小时未诱发心脏病，则他还能继续连续熬夜24小时不诱发心脏病的概率为（ ） A ．67B ．335C ．1135D ．0.1910．若随机变量X 的分布列为：已知随机变量Y aX b =+(,,0)a b R a ∈>，且()10,()4E Y D Y ==，则a 与b 的值为( ) A ．10,3a b ==B ．3,10a b ==C ．5,6a b ==D ．6,5a b ==11．设X 为随机变量，且1:,3X B n ⎛⎫ ⎪⎝⎭，若随机变量X 的方差()43D X =，则()2P X == ( )A ．4729B ．16C ．20243D ．8024312．设随机变量X 的分布列为()()1,2,32iP X i i a===，则()2P X ≥= ( ) A ．16B ．56 C ．13D ．23二、填空题13．某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考试，否则即被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为45，35，25，且各轮问题能否正确回答互不影响，则该选手被淘汰的概率为_________． 14．已知某人每次投篮投中的概率均为13，计划投中3次则结束投篮，则此人恰好在第5次结束投篮的概率是__________.15．如图所示，旋转一次的圆盘，指针落在圆盘中3分处的概率为a ，落在圆盘中2分处的概率为b ，落在圆盘中0分处的概率为c ，（,,(0,1)a b c ∈），已知旋转一次圆盘得分的数学期望为1分，则213a b+的最小值为________.16．甲乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分,负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止.设甲在每局中获胜的概率为23，乙在每局中获胜的概率为13，且各局胜负相互独立，比赛停止时一共已打ξ局， 则ξ的期望值()E ξ=______. 17．在一个均匀小正方体的六个面中,三个面上标以数字0,两个面上标以数字1,一个面上标以数字2,将这个小正方体抛掷2次,则向上一面上的数字之积的均值是____.18．某公司计划明年用不超过6千万元的资金投资于本地养鱼场和远洋捕捞队.经过对本地养鱼场年利润率的调研，其结果是：年利润亏损10%的概率为0.2，年利润获利30%的概率为0.4，年利润获利50%的概率为0.4，对远洋捕捞队的调研结果是：年利润获利为60%的概率为0.7，持平的概率为0.2，年利润亏损20%的可能性为0.1. 为确保本地的鲜鱼供应，市政府要求该公司对远洋捕捞队的投资不得高于本地养鱼场的投资的2倍.根据调研数据，该公司如何分配投资金额，明年两个项目的利润之和最大值为_________千万. 19．给出下列四个结论：①从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A =“取到的2个数之和为偶数”，事件B =“取到的2个数均为偶数”，则()1|4P B A =； ②某班共有45名学生，其中30名男同学，15名女同学，老师随机抽查了5名同学的作业，用X 表示抽查到的女生的人数，则()2E X =；③设随机变量X 服从正态分布()0,1N ，()1P X P >=，则()1102P X p -<<=-； ④由直线12x =，2x =，曲线1y x =及x 轴所围成的图形的面积是2ln 2.其中所有正确结论的序号为__________．20．设随机变量X 服从正态分布()0,1N ，如果()10.8413P X ≤=，则()10P X -<<= ________. 三、解答题21．《中华人民共和国道路交通安全法》第47条规定：机动车行经人行横道时，应当减速慢行；遇到行人正在通过人行横道，应当停车让行，即“行让行人”.下表是某十字路口监控设备所抓拍的6个月内驾驶员不“礼让行人”行为的统计数据： 月份x123456x 之间的回归直线方程ˆˆˆy bx a =+；（2）若该十字路口某月不“礼让行人”驾驶员人数的实际人数与预测人数之差小于5，则称该十字路口“礼让行人”情况达到“理想状态”.试判断6月份该十字路口“礼让行人”情况是否达到“理想状态”？（3）自罚单日起15天内需完成罚款缴纳，记录5月不“礼让行人”驾驶员缴纳罚款的情况，缴纳日距罚单日天数记为X ，若X 服从正态分布()~8,9X N ，求该月没能在 14天内缴纳人数. 参考公式：()()()112211ˆˆˆ,nniii ii i nniii i x x yyx y nxybay bx x x xnx====---===---∑∑∑∑()()()0.6826,220.9544,330.9974P Z P Z P Z μσμσμσμσμσμσ-<<+=-<<+=-<<+=22．某知名电脑品牌为了解客户对其旗下的三种型号电脑的满意情况，随机抽取了一些客户进行回访，调查结果如表：满意度是指，回访客户中，满意人数与总人数的比值.用满意度来估计每种型号电脑客户对该型号电脑满意的概率，且假设客户是否满意相互独立.（1）从型号Ⅰ和型号Ⅱ电脑的所有客户中各随机抽取1人，记其中满意的人数为X ，求X 的分布列和期望；（2）用“11ξ=”，“21ξ=”，“31ξ=”分别表示Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ型号电脑让客户满意，“10ξ=”，“20ξ=”，“30ξ=”分别表示Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ型号电脑让客户不满意，比较三个方差()1D ξ、()2D ξ、()3D ξ的大小关系.23．《山东省高考改革试点方案》规定：从2017年秋季高中入学的新生开始，不分文理科；2020年高考总成绩由语数外三门统考科目和物理、化学等六门选考科目组成，将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为A B +、、B C +、、C D +、、D E 、共8个等级，参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为3%、7%、16%、24%、24%、16%、7%、3%，选考科目成绩计入考生总成绩时，将A 至E 等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到[91,100]、[81,90]、[71,80]、[61,70]、[51,60]、[41,50]、[31,40]，[21,30]八个分数区间，得到考生的等级成绩．某市高一学生共6000人，为给高一学生合理选科提供依据，对六门选考科目进行测试，其中化学考试原始成绩ξ大致服从正态分布(70,169)N ．（1）求该市化学原始成绩在区间(57,96)的人数；（2）以各等级人数所占比例作为各分数区间发生的概率，按高考改革方案，若从全省考生中随机抽取3人，记X 表示这3人中等级成绩在区间[61,80]的人数，求(2)P X ．（附：若随机变量()2~,N ξμσ，则()0.683P μσξμσ-<<+=，(22)0.954P μσξμσ-<<+=，(33)0.997P μσξμσ-<<+=）24．某投资公司准备在2020年年初将两千万投资东营经济开发区的“示范区”新型物流，商旅文化两个项目中的一个之中．项目一：新型物流仓是为企业提供仓储、运输、配送、货运信息等综合物流服务的平台．现准备投资建设10个新型物流仓，每个物流仓投资0.2千万元，假设每个物流仓盈利是相互独立的，据市场调研，到2022年底每个物流仓盈利的概率为(01)p p <<，若盈利则盈利为投资额的40%，否则盈利额为0．项目二：购物娱乐广场是一处融商业和娱乐于一体的现代化综合服务广场．据市场调研，投资到该项目上，到2022年底可能盈利投资额的50%，也可能亏损投资额的30%，且这两种情况发生的概率分别为p 和1p -．（1）若投资项目一，记1X 为盈利的物流仓的个数，求()1E X （用p 表示）； （2）若投资项目二，记投资项目二的盈利为2X 千万元，求()2E X （用p 表示）； （3）在（1）（2）两个条件下，针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个项目，并说明理由．25．2020年寒假是特殊的寒假，因为抗击疫情全体学生只能在家进行网上在线学习，为了研究学生在网上学习的情况，某学校在网上随机抽取120名学生对线上教育进行调查，其中男生与女生的人数之比为11：13，其中男生30人对于线上教育满意，女生中有15名表示对线上教育不满意.（1）完成22⨯列联表，并回答能否有99%的把握认为对“线上教育是否满意与性别有关”；8名学生中抽取3名学生，作线上学习的经验介绍，其中抽取男生的个数为ξ，求出ξ的分布列及期望值.参考公式：附：22()()()()()n ad bc K a b a c b d c d -=++++26．2020年1月10日，引发新冠肺炎疫情的COVID -9病毒基因序列公布后，科学家们便开始了病毒疫苗的研究过程.但是类似这种病毒疫苗的研制需要科学的流程，不是一朝一夕能完成的，其中有一步就是做动物试验.已知一个科研团队用小白鼠做接种试验，检测接种疫苗后是否出现抗体.试验设计是：每天接种一次，3天为一个接种周期.已知小白鼠接种后当天出现抗体的概率为12，假设每次接种后当天是否出现抗体与上次接种无关. （1）求一个接种周期内出现抗体次数k 的分布列；（2）已知每天接种一次花费100元，现有以下两种试验方案：①若在一个接种周期内连续2次出现抗体即终止本周期试验，进行下一接种周期，试验持续三个接种周期，设此种试验方式的花费为X 元；②若在一个接种周期内出现2次或3次抗体，该周期结束后终止试验，已知试验至多持续三个接种周期，设此种试验方式的花费为Y 元. 比较随机变量X 和Y 的数学期望的大小.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】∵~(,)X B n p ，∴()2E X =，4()3D X =，∴2np =，且4(1)3np p -=，解得613n p =⎧⎪⎨=⎪⎩， ∴6n =，故选B ．2．C解析：C 【分析】根据分布列中概率和为1可得a 的范围和b 的值，再求出,EX DX 的表达式，转化成求二次函数在闭区间的最值问题. 【详解】12133b a a b +-+=⇒=，又110033a a -≥⇒≤≤， 1242()3333EX b a a a b a =+⨯-+⨯=++=+，2221(1)(2)()(3)3DX EX b EX a EX a =-⋅+-⋅-+-⋅2221215()()()()3333a b a a a a =--⋅+-⋅-+-⋅22212215()()()()33333a a a a a =--⋅+-⋅-+-⋅27239a a =-++，对称轴为7163a =>，∴max 1728()9999DX =-++=， 故选：C. 【点睛】本题考查标准差的最值求解，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意将问题转化为函数的最值问题.3．A解析：A 【分析】直接利用二项分布公式计算得到答案. 【详解】19,3X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，则()=⨯=1933E X ，()1191233D X ⎛⎫=⨯⨯-= ⎪⎝⎭故选：A 【点睛】本题考查了二项分布，意在考查学生对于二项分布的理解.4．D解析：D 【分析】,,a b c 成等差数列，即2b a c =+，结合1a b c ++=，计算出()()()(), ,,E E Y D X X D Y ，由此判断出正确结论.【详解】由于,,a b c 成等差数列，故2b a c =+①，另根据分布列的知识可知1a b c ++=②.由①②得12,33b c a ==-. 所以()2243232333E X a b c a a a =++=++-=+，()2282332333E Y a b c a a a ⎛⎫=++=++-=- ⎪⎝⎭，由于484224333a a a ⎛⎫+--=-+ ⎪⎝⎭正负无法确定，故()() ,E X E Y 大小无法比较. ()222444322212333D X a a a b a c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--⋅+--⋅+--⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2225211222233333a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⋅+-⋅++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ()222888122232333D Y a a a b a c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+⋅+-+⋅+-+⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2225211222233333a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⋅+-⋅++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 故()()D X Y D =. 故选D. 【点睛】本小题主要考查根据随机变量分布列计算数学期望和方差，考查等差中项的性质，考查运算求解能力，属于中档题.5．B解析：B 【分析】由题意知甲和乙投篮不受其他投篮结果的影响，本题是一个相互独立事件同时发生的概率，甲投篮的次数为X ，甲先投，则X k =表示甲第k 次甲投中篮球，而乙前1k -次没有投中，甲前1k -次也没有投中或者甲第k 次未投中，而乙第k 次投中篮球，根据公式写出结果． 【详解】甲和乙投篮不受其他投篮结果的影响，∴本题是一个相互独立事件同时发生的概率，每次投篮甲投中的概率为0.4，乙投中的概率为0.6，甲投篮的次数为X ，甲先投，则X k =表示甲第k 次投中篮球，而甲与乙前1k -次没有投中，或者甲第k 次未投中，而乙第k 次投中篮球． 根据相互独立事件同时发生的概率得到甲第k 次投中的概率：1110.40.60.40.240.4k k k ---⨯⨯=⨯；第k 次甲不中的情况应是10.40.60.6k k -⨯⨯，故总的情况是1110.240.40.240.60.60.240.76k k k ---⨯+⨯⨯=⨯． 故选B ． 【点睛】本题考查相互独立事件同时发生的概率，是一个基础题，本题最大的障碍是理解X k =的意义，相互独立事件是指，两事件发生的概率互不影响，注意应用相互独立事件同时发生的概率公式．6．B解析：B 【分析】先求得抛掷一次的得到2枚正面向上，3枚反面向上的概率，再利用二项分布可得结果. 【详解】由题，抛掷一次恰好出现2枚正面向上，3枚反面向上的概率为：2555216C =因为5枚硬币正好出现2枚正面向上，3枚反面向上的概率是一样的，且各次试验是相互独立的，所以X 服从二项分布5(80,)16X B 则5()802516E X =⨯= 故选B 【点睛】本题咔嚓了二项分布，掌握二项分布是解题的关键，属于中档题.7．C解析：C 【解析】 【分析】随机变量X 的可能取值为20,30,40，结合组合知识，利用古典概型概率公式求出各随机变量对应的概率，从而可得分布列，进而利用期望公式可得X 的数学期望. 【详解】X 的可能取值为20,30,40，()222521202010A P X A ====；()311232323562323306010A C C A P X A +⋅⋅+⨯⨯====； ()()()1334012030110105P X P X P X ==-=-==--=，数学期望2030403510105EX =⨯+⨯+⨯=， 即需检测费的均值为35，故选C.【点睛】本题主要考查组合的应用、古典概型概率公式以及离散型随机变量的分布列与数学期望，属于中档题. 求解数学期望问题，首先正确要理解题意，其次要准确无误的找出随机变量的所以可能值，计算出相应的概率，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差的公式进行计算，也就是要过三关：（1）阅读理解关；（2）概率计算关；（3）公式应用关.8．C解析：C 【解析】分析：先确定随机变量得取法12X =，，再根据独立重复试验求概率. 详解：因为14244411(1)(),(2)(),22P x C P x C ====所以142444411105(03)(1)(2)()(),2228P x P x P x C C <<==+==+== 选C.点睛：n 次独立重复试验事件A 恰好发生k 次得概率为(1)kkn kn C p p --.其中p 为1次试验种A 发生得概率.9．A解析：A 【解析】分析：首先设出题中的事件，然后由题意结合条件概率公式整理计算即可求得最终结果. 详解：设事件A 为48h 发病，事件B 为72h 发病， 由题意可知：()()0.055,0.19P A P B ==， 则()()0.945,0.81P A P B ==， 由条件概率公式可得：()()()()()0.816|0.9457P AB P B P B A P A P A ====. 本题选择A 选项.点睛：本题主要考查条件概率公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.10．C解析：C 【解析】 分析:详解：由随机变量X 的分布列可知，m 10.20.8=-=， ∴()00.210.80.8E X =⨯+⨯=，()10.20.80.16D X =⨯⨯=，∴()()()()2b 10?4E Y aE X D Y a D X =+===， ∴20.8a b 10? 0.164a +==，∴5,6a b == 故选C点睛：本题考查了随机变量的数学期望及其方差，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11．D解析：D 【解析】随机变量X 满足二项分布，所以1224(),3393D x npq n n ==⨯⨯==n=6,所以224612(2)()()33P X C ===80243，选D.12．B解析：B 【解析】 由概率和为1,可知1231222a a a++=，解得3a =，()P X 2≥=235(2)(3)666P X P X =+==+=选B. 二、填空题13．【分析】设事件表示该选手能正确回答第轮的问题选手被淘汰考虑对立事件代入的值可得结果；【详解】记该选手能正确回答第轮的问题为事件则该选手被淘汰的概率：故答案为：【点睛】求复杂互斥事件概率的两种方法：( 解析：101125【分析】设事件(1,2,3)i A i =表示“该选手能正确回答第i 轮的问题”，选手被淘汰，考虑对立事件，代入123(),(),()P A P A P A 的值，可得结果； 【详解】记“该选手能正确回答第i 轮的问题”为事件(1,2,3)i A i =，则()()()123432,,555P A P A P A ===. 该选手被淘汰的概率：112123112123()()()()()()()P P A A A A A A P A P A A P A A A =++=++142433101555555125=+⨯+⨯⨯=125【点睛】求复杂互斥事件概率的两种方法：(1)直接法：将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和；(2)间接法：先求该事件的对立事件的概率，再由()1()P A P A =－求解．当题目涉及“至多”“至少”型问题时，多考虑间接法．14．【分析】第五次结束投篮则前四次有两次投中且第五次投中根据独立重复试验的知识处理即可【详解】解：依题意恰好在第五次结束投篮则前四次有两次投中且第五次投中所以概率为：故答案为：【点睛】本题考查独立重复试 解析：881【分析】第五次结束投篮，则前四次有两次投中，且第五次投中，根据独立重复试验的知识处理即可． 【详解】解：依题意，恰好在第五次结束投篮， 则前四次有两次投中，且第五次投中， 所以概率为：22241118()(1)33381p C =⨯⨯-⨯=．故答案为：881． 【点睛】本题考查独立重复试验的知识，利用了二项分布求概率的公式．15．【分析】由数学期望可得再结合基本不等式求解即可【详解】解：由分布列知：又∴当且仅当即时取等号故答案为：【点睛】本题考查了数学期望的求法重点考查了基本不等式的应用属基础题解析：323. 【分析】由数学期望可得231b a +=，再结合基本不等式求解即可. 【详解】解：由分布列知：()1,2301a b c E x b a c ++==++⨯=， 又,(0,1)a b ∈∴212124202032()(32)64333333b a a b a b a b a b +=++=+++≥+=+=. 当且仅当4b aa b =，即11,48a b ==时取等号，3【点睛】本题考查了数学期望的求法，重点考查了基本不等式的应用，属基础题.16．【分析】首先确定所有可能的取值；根据每个取值所对应的情况计算出其所对应的概率从而根据数学期望计算公式求得结果【详解】由题意可知所有可能的取值为：则；；本题正确结果：【点睛】本题考查离散型随机变量的数 解析：26681【分析】首先确定ξ所有可能的取值；根据每个取值所对应的情况计算出其所对应的概率，从而根据数学期望计算公式求得结果. 【详解】由题意可知ξ所有可能的取值为：2,4,6则()222152339P ξ⎛⎫⎛⎫==+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；()3311221212204333381P C C ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯+⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭； ()520166198181P ξ==--=()520162662469818181E ξ∴=⨯+⨯+⨯=本题正确结果：26681【点睛】本题考查离散型随机变量的数学期望的求解，关键是能够准确求解出随机变量每个取值所对应的概率，从而结合公式直接求得结果，属于常考题型.17．【分析】结合题意分别计算出x=0124对应的概率列表计算期望即可【详解】列表x 0 1 2 4 P 所以【点睛】本道题考查了数学期望计算方法列表计算概率计算期望属于中等难度的题目解析：49【分析】结合题意，分别计算出x=0,1,2,4对应的概率，列表，计算期望，即可． 【详解】()332321322703636P x ⨯+⨯⨯+⨯⨯===，()2211369P x ⨯=== ()2212369P x ⨯===，()1436P x ==，列表x 0 1 2 4P2736 19 19 136所以27111401243699369EX =⨯+⨯+⨯+⨯= 【点睛】本道题考查了数学期望计算方法，列表，计算概率，计算期望，属于中等难度的题目．18．2【解析】【分析】先求出本地养鱼场平均年利润远洋捕捞队平均平均年利润再利用线性规划求明年两个项目的利润之和最大值【详解】设本地养鱼场平均年利润远洋捕捞队平均平均年利润设本地养鱼场投千万元远洋捕捞队投解析：2 【解析】 【分析】先求出本地养鱼场平均年利润1ξ，远洋捕捞队平均平均年利润2ξ，再利用线性规划求明年两个项目的利润之和最大值. 【详解】设本地养鱼场平均年利润1ξ，远洋捕捞队平均平均年利润2ξ10.10.20.30.40.50.40.3E ξ=-⨯+⨯+⨯=， 20.60.700.20.20.10.4E ξ=⨯+⨯-⨯=设本地养鱼场投x 千万元，远洋捕捞队投y 千万元，则利润之和0.30.4z x y =+620,0x y y xx y +≤⎧⎪≤⎨⎪≥≥⎩,如图，当目标函数经过点(2,4)B 时利润最大0.320.44 2.2z =⨯+⨯=千万元.【点睛】(1)本题主要考查线性规划和随机变量的期望，意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合分析推理能力.(2) 解答线性规划时，要加强理解，不是纵截距最小，z 就最小，要看函数的解析式，如：2y x z =-,直线的纵截距为z -,所以纵截距z -最小时，z 最大.19．①③④【解析】【分析】对①直接利用条件概率公式判断即可；对②利用期望公式判断即可；对③根据正态曲线的对称性判断即可；对④利用定积分的几何意义判断即可【详解】对①①正确；对②可取可得②错误对③正态曲线解析：①③④. 【解析】 【分析】对①，直接利用条件概率公式判断即可；对②，利用期望公式判断即可；对③，根据正态曲线的对称性判断即可；对④，利用定积分的几何意义判断即可. 【详解】 对①，()()14,1010P AB P A ==， ()1110|4410P B A ∴==，①正确；对②，X 可取0,1,2,3,4,5，()()5141530155545455,4C C C P X P X C C ====， ()()2332301530155545453,2C C C C P X P X C C ====， ()()4153015305545451,0C C C P X P X C C ====， 可得5()2E X =，②错误， 对③，正态曲线关于x 轴对称，()102P X ∴<=，()()11P X P X P <-=>=， ()()11012P X P X ∴-<<+<-=， ()1102P X P -<<=-，③正确； 对④，22112211ln |ln 2ln 2ln 22S dx x x ===-=⎰，④正确，故答案为①③④. 【点睛】本题主要通过对多个命题真假的判断，主要综合考查条件概率、离散型随机变量的数学期望、正态分布的应用以及定积分的几何意义，属于难题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.20．【分析】根据随机变量符合正态分布和正态分布的曲线关于对称得到一对对称区间的概率之间的关系即可求得结果【详解】随机变量服从正态分布曲线关于直线对称故答案为【点睛】本题主要考查的知识点是正态分布解题的关 解析：0.3413【分析】根据随机变量符合正态分布和正态分布的曲线关于0x =对称，得到一对对称区间的概率之间的关系，即可求得结果 【详解】随机变量X 服从正态分布()01N ， ∴曲线关于直线0x =对称()10.8413P X ≤=()()1010.50.3413P X P X ∴-<<=≤-=故答案为0.3413 【点睛】本题主要考查的知识点是正态分布，解题的关键是正态分布和正态分布的曲线关于0x =对称，属于基础题．三、解答题21．（1）ˆ8124yx =-+；（2）达到“理想状态”；（3）2. 【分析】（1）请根据表中数据计算x 、y ，求出回归系数，写出回归直线方程；（2）利用回归方程计算6x =时ˆy的值，比较即可得出结论； （3）根据正态分布的性质，结合()2140.9544P X <<=即可得答案. 【详解】（1）请根据表中所给前5个月的数据，计算1(12345)35x =⨯++++=， 1(1201051008590)1005y =⨯++++=；12222221()()(2)20(1)5001(15)2(10)ˆ8(2)(1)012()nii i nii xx y y bxx ==---⨯+-⨯+⨯+⨯-+⨯-===--+-+++-∑∑，ˆˆ100(8)3124ay bx =-=--⨯=； y ∴与x 之间的回归直线方程ˆ8124y x =-+；（2）由（1）知ˆ8124yx =-+，当6x =时，ˆ8612476y =-⨯+=； 且807645-=<，6∴月份该十字路口“礼让斑马线”情况达到“理想状态”；（3）因为X 服从正态分布()~8,9X N ， 所以()2140.9544P X <<=， 该月没能在14天内缴纳人数为10.95449022-⨯=， 【点睛】方法点睛：求回归直线方程的步骤：①依据样本数据确定两个变量具有线性相关关系；②计算211,,,nnii ii i x y x x y ==∑∑的值；③计算回归系数,a b ；④写出回归直线方程为ˆy bx a=+. 22．（1）分布列见解析，910；（2）()()()123D D D ξξξ>=. 【分析】（1）由题意得X 的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X 的分布列和数学期望.（2）由题意1ξ，2ξ，3ξ都服从两点分布，由此能求出()()()123D D D ξξξ>=. 【详解】解：（1）由题意得X 的可能取值为0，1，2，设事件A 为“从型号Ⅰ电脑所有客户中随机抽取的人满意”，事件B 为“从型号Ⅱ电脑所有客户中随机抽取的人满意”，且A ，B 为独立事件， 根据题意，()12P A =，()25P B =，()()()()1230112510P X P AB P A P B ⎛⎫⎛⎫====-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()()()1212111125252P X P AB AB P AB P AB ⎛⎫⎛⎫==+=+=⨯-+-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()()()1212255P X P AB P A P B ====⨯=，∴X 的分布列为：()012102510E X =⨯+⨯+⨯=. （2）由题意1ξ，2ξ，3ξ都服从两点分布，则()11111224D ξ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭， ()222615525D ξ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭，()333615525D ξ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭，∴()()()123D D D ξξξ>=. 【点评】本题考查离散型随机变量的要布列、数学期望的求法，考查三个离散型随机变量的方差的大小的比较，考查相互独立事件概率乘法公式、两点分布的性质等基础知识，考查推理论证能力与运算求解能力，属于中档题. 23．（1）4911人（2）44125【分析】（1）由正态分布曲线的对称性计算概率；（2）根据已知条件得等级成绩在区间[61,80]内的概率为25，则X 的所有可能取值为0，1，2，3，且2~3,5X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(2)(2)(3)P X P X P X ≥==+=，由二项分布概率公式可计算出概率． 【详解】解：（1）∵化学原始成绩()2~70,13N ξ，(5796)(5770)(7096)P P P ξξξ∴<<=<<+<11(70137013)(7021370213)22P P ξξ=-<<++-⨯<<+⨯ 0.6830.9540.818522=+=． ∴化学原始成绩在(57,96)的人数为60000.81854911⨯=（人）；（2）因为以各等级人数所占比例作为各分数区间发生的概率，且等级成绩在区间[71,80]、[61,70]的人数所占比例分别为16%、24%，则随机抽取1人，其等级成绩在区间[61,80]内的概率为25． 所以从全省考生中随机抽取3人，则X 的所有可能取值为0，1，2，3，且2~3,5X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，23233323244(2)(2)(3)555125P X P X P X C C ⎛⎫⎛⎫∴≥==+==⋅+⋅=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【点睛】本题考查正态分布，考查二项分布，掌握正态分布曲线的性质和二项分布的概率公式是解题关键．24．（1）()110E X p =；（2）()2 1.60.6E X p =-；（3）分类讨论，见解析. 【分析】（1）由题意结合二项分布的期望公式即可得解；（2）由题意列出分布列，利用离散型随机变量期望公式即可得解；（3）由题意分别计算出项目一、项目二的利润的期望与方差，分类比较即可得解. 【详解】（1）由题意1~(10,)X B p ，则盈利的物流仓数的期望()110E X p =；（2）若投资项目二，盈利的金额为20.51⨯=（千万元），亏损的金额为20.30.6⨯=（千万元）， 则2X 的分布列为所以盈利的期望)20.6(1) 1.60.6E X p p p =--=-； （3）若盈利，则每个物流仓盈利0.240%0.08⨯=（千万元），若选择项目一，盈利的期望为()()110.080.080.08100.8E X E X p p ==⨯=（千万元），方差为()()22110.080.080.0810(1)0.064(1)D X D X p p p p ==⨯-=-，若选择项目二，盈利的方差为：()222(1 1.60.6)(0.6 1.60.6)(1) 2.56(1)D X p p p p p p =-++--+-=-，①当()()120.08E X E X =时，0.8 1.60.6p p =-，解得34p =， 而()()120.08D X D X <，故选择项目一；②当()()120.08E X E X >时，0.8 1.60.6p p >-，解得304p <<，此时选择项目一； ③当()()120.08E X E X <时，0.8 1.60.6p p <-，解得34p >，此时选择项目二． 【点睛】本题考查了离散型随机变量期望与方差的求解和应用，考查了二项分布的应用与分类讨论思想，属于中档题.25．（1）填表见解析；有99%的把握认为对“线上教育是否满意与性别有关”（2）分布列见解析，期望为98． 【分析】（1）根据所给数据可得列联表，然后计算2K 可得；（2）由分层抽样可知男生抽3人，女生抽5人，ξ的可能取值为0，1，2，3，并且ξ服从超几何分布，计算出概率得分布列，再由期望公式计算出期望． 【详解】解：（1）因为男生人数为：11120551113⨯=+， 所以女生人数为1205565-=， 于是可完成2×2列联表，如下：根据列联表中的数据，得到K 的观测值22120(30152550)960 6.713 6.63555658040143K ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯，所以有99%的把握认为对“线上教育是否满意与性别有关”. （2）由（1）可知男生抽3人，女生抽5人，依题可知ξ的可能取值为0，1，2，3，并且ξ服从超几何分布，33538()(0,1,2,3)k k C C P k k C ξ-===，即 35385((0)28C P C ξ===，21533815(1)28C C P C ξ===12533815(2)56C C P C ξ===，33381(3)56C P C ξ===.可得分布列为可得()0123282856568E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题考查独立性检验，考查分层抽样，考查随机变量的概率分布列和数学期望，解题难点是确定随机变量ξ服从超几何分布，从而易计算概率．26．（1）分布列答案见解析.（2）()()E X E Y >【分析】（1）由题意可知，随机变量k 服从二项分布13,2B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故3311()(0,1,2,3)22k k k P k C k -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，然后列出分布列即可（2）根据题意分别算出X 和Y 的期望即可.【详解】（1）由题意可知，随机变量k 服从二项分布13,2B ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 故3311()(0,1,2,3)22k k k P k C k -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.则k 的分布列为（2）①设一个接种周期的接种费用为元，则可能的取值为200，300， 因为1(200)4P ξ==，3(300)4P ξ==， 所以13()20030027544E ξ=⨯+⨯=. 所以三个接种周期的平均花费为()3()3275825E X E ξ==⨯=. ②随机变量Y 可能的取值为300，600，900，设事件A 为“在一个接种周期内出现2次或3次抗体”，由（1）知，311()882P A =+=. 所以1(300)()2P Y P A ===， 1(600)[1()]()4P Y P A P A ==-⨯=， 1(900)[1()][1()]14P Y P A P A ==-⨯-⨯=， 所以111()300600900525244E Y =⨯+⨯+⨯=. 所以()()E X E Y >.【点睛】本题考查二项分布以及离散型随机变量的分布列与数学期望，属于基础题.。

天津雍阳中学高中数学选修2-3第一章《计数原理》检测卷(包含答案解析)

天津雍阳中学高中数学选修2-3第一章《计数原理》检测卷(包含答案解析)

一、选择题1．已知5台机器中有2台存在故障，现需要通过逐台检测直至区分出2台故障机器为止.若检测一台机器的费用为800元，则所需检测费的均值为（ ） A ．2800元B ．2880元C ．3500元D ．3600元2．已知19,3X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，则()E X 、()D X 的值依次为（ ）. A ．3，2B ．2，3C ．6，2D ．2，63．从某班6名学生（其中男生4人，女生2人）中任选3人参加学校组织的社会实践活动.设所选3人中女生人数为ξ，则数学期望E ξ=（ ） A ．1B ．45C ．75D ．24．先后抛掷三次一枚质地均匀的硬币，落在水平桌面上， 设事件A 为“第一次正面向上”，事件B 为“后两次均反面向上”，则概率(|)P B A =（ ） A ．12B ．13 C ．14 D ．385．抛掷一枚均匀的硬币4次，则出现正面的次数多于反面的概率( ) A ．38B ．12C ．516D ．7166．将一枚质地均匀的硬币抛掷四次，设X 为正面向上的次数，则()03P X <<等于（ ） A ．18B ．38C ．58D ．787．某工厂生产的零件外直径（单位：cm ）服从正态分布()10,0.04N ，今从该厂上、下午生产的零件中各随机取出一个，测得其外直径分别为9.75cm 和9.35cm ，则可认为（ ）A ．上午生产情况异常，下午生产情况正常B ．上午生产情况正常，下午生产情况异常C ．上、下午生产情况均正常D ．上、下午生产情况均异常8．根据以往数据统计,某酒店一商务房间1天有客人入住的概率为45，连续2天有客人入住的概率为35,在该房间第一天有客人入住的条件下,第二天也有客人入住的概率为（ ） A ．13B ．12C ．35D ．349．口袋中装有大小、轻重都无差别的5个红球和4个白球，每一次从袋中摸出2个球，若颜色不同，则为中奖每次摸球后，都将摸出的球放回口袋中，则3次摸球恰有1次中奖的概率为（）．A．80243B．100243C．80729D．10072910．将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落，小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A袋或B袋中．已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是12，则小球落A袋中的概率为（）．A．18B．14C．38D．3411．设X为随机变量，且1:,3X B n⎛⎫⎪⎝⎭，若随机变量X的方差()43D X=，则()2P X== ( )A．4729B．16C．20243D．8024312．已知随机变量X的分布列为则E(6X＋8)＝()A．13.2 B．21.2 C．20.2 D．22.2二、填空题13．中国光谷（武汉）某科技公司生产一批同型号的光纤通讯仪器，每台仪器的某一部件由三个电子元件按如图方式连接而成，若元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则该部件正常工作.由大数据统计显示：三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布N（1000，210）.且各个元件能否正常工作相互独立.现从这批仪器中随机抽取1000台检测该部件的工作情况（各部件能否正常工作相互独立），那么这1000台仪器中该部件的使用寿命超过1000小时的平均值为______台.14．数轴上有一质点，从原点开始每次等可能的向左或向右移动一个单位，则移动4次后，该质点的坐标为2的概率为________.15．某人乘车从A 地到B 地，所需时间（分钟）服从正态分布N （30，100），求此人在40分钟至50分钟到达目的地的概率为__________．参考数据：若2~(,)Z N μσ，则()0.6826P Z μσμσ-<<+=，(22)0.9544P Z μσμσ-<<+=，(33)0.9974P Z μσμσ-<<+=．16．设在15个相同类型的产品中有2个是次品，每次任取1个，共取3次，并且每次取出后不放回，若以ξ表示取出次品的个数，则()E ξ=________．17．已知随机变量ξ服从正态分布()21,N σ，若(3)0.0442P ξ>=，则(13)P ξ≤≤=________．18．（理）设随机变量ξ的概率分布律如下表所示：x0 1 2()P x ξ= abc其中a ，b ，c 成等差数列，若随机变量ξ的均值为43，则ξ的方差为__________． 19．已知随机变量ξ所有的取值为1，2，3，对应的概率依次为1p 、2p 、1p ，若随机变量ξ的方差12D ξ=，则12p p +的值是 _________. 20．1000名学生成绩近似服从正态分布N (100,100)，则成绩在120分以上的考生人数约为_________.[注：正态总体()2,N μσ在区间(),,μσμσ-+()()2,2,3,3μσμσμσμσ-+-+内取值的概率分别为0.683, 0.954, 0.997]三、解答题21．某学校为了了解学生对新冠病毒的传播和预防知识的掌握情况，学校决定组织一次有关新冠病毒预防知识竞答.竞答分为必答题（共5题）和选答题（共2题）两部分.每位同学答题相互独立，且每道题答对与否互不影响.已知甲同学答对每道必答题的概率为45，答对每道选答题的概率为25.（1）求甲恰好答对4道必答题的概率；（2）在选答阶段，若选择回答且答对奖励5分，答错扣2分，选择放弃回答得0分.已知甲同学对于选答的两道题，选择回答和放弃回答的概率均为12，试求甲同学在选答题阶段，得分X 的分布列.22．为加快推进我区城乡绿化步伐，植树节之际，决定组织开展职工义务植树活动，某单位一办公室现安排4个人去参加植树活动，该活动有甲､乙两个地点可供选择.约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去哪个地点植树，掷出点数为1或2的人去甲地，掷出点数大于2的人去乙地.（1）求这4个人中恰有2人去甲地的概率；（2）求这4个人中去甲地的人数大于去乙地的人数的概率；（3）用,X Y 分别表示这4个人中去甲､乙两地的人数，记||X Y ξ=-，求随机变量ξ的分布列与数学期望()E ξ.23．国庆70周年阅兵式上的女兵们是一道靓丽的风景线，每一名女兵都是经过层层筛选才最终入选受阅方队，筛选标准非常严格，例如要求女兵身高（单位：cm ）在区间[]165,175内.现从全体受阅女兵中随机抽取200人，对她们的身高进行统计，将所得数据分为[)165,167，[)167,169，[)169,171，[)171,173，[]173,175五组，得到如图所示的频率分布直方图，其中第三组的频数为75，最后三组的频率之和为0.7.（1）请根据频率分布直方图估计样本的平均数x 和方差2s （同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；（2）根据样本数据，可认为受阅女兵的身高X （cm ）近似服从正态分布()2,N μσ，其中μ近似为样本平均数x ，2σ近似为样本方差2s .（i ）求()167.86174.28P X <<；（ii ）若从全体受阅女兵中随机抽取10人，求这10人中至少有1人的身高在174.28cm 以上的概率.参考数据：若()2~,X N μσ，则()0.6826P X μσμσ-<<+=，()220.9544P X μσμσ-<<+=11510.7≈，100.95440.63≈，90.97720.81≈，100.97720.79≈.24．某企业有甲、乙两个研发小组，他们研究新产品成功的概率分别为34和35，现安排甲组研发新产品A，乙组研发新产品B，设甲、乙两组的研发相互独立．（1）求恰好有一种新产品研发成功的概率；（2）若新产品A研发成功，预计企业可获得利润120万元，不成功则会亏损50万元；若新产品B研发成功，企业可获得利润100万元，不成功则会亏损40万元，求该企业获利ξ万元的分布列和期望．25．甲、乙两名篮球运动员，甲投篮一次命中的概率为23，乙投篮一次命中的概率为12，若甲、乙各投篮三次，设X为甲、乙投篮命中的次数的差的绝对值，其中甲、乙两人投篮是否命中相互没有影响.（1）若甲、乙第一次投篮都命中，求甲获胜（甲投篮命中数比乙多）的概率；（2）求X的分布列及数学期望.26．已知某高校综合评价有两步：第一步是材料初审，若材料初审不合格，则不能进入第二步面试；若材料初审合格，则进入第二步面试.只有面试合格者，才能获得该高校综合评价的录取资格，现有A，B，C三名学生报名参加该高校的综合评价，假设A，B，C三位学生材料初审合格的概率分别是13，12，14；面试合格的概率分别是12，13，23.（1）求A，B两位考生有且只有一位考生获得录取资格的概率；（2）记随机变量X为A，B，C三位学生获得该高校综合评价录取资格的人数，求X的概率分布与数学期望.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【分析】设检测机器所需检测费为X，则X的可能取值为2000，3000，4000，分别求出相应的概率，由此能求出所需检测费的均值.【详解】设检测机器所需检测费为X，则X的可能取值为1600，2400，3200，211(1600)5410P X==⨯=，2313213213(2400)54354354310P X==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，133(3200)110105P X ==--=， 则133()160024003200280010105E X =⨯+⨯+⨯=. 故选：A. 【点睛】本题考查了独立事件概率的求法，离散型随机变量的数学期望的求法，考查对立事件概率计算公式，是中档题.2．A解析：A 【分析】直接利用二项分布公式计算得到答案. 【详解】19,3X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，则()=⨯=1933E X ，()1191233D X ⎛⎫=⨯⨯-= ⎪⎝⎭故选：A 【点睛】本题考查了二项分布，意在考查学生对于二项分布的理解.3．A解析：A 【解析】 【分析】随机变量随机ξ的所有可能的取值为0，1，2．分别求出其对应的概率，列出分布列，求期望即可. 【详解】随机变量ξ的所有可能的取值为0，1，2，P （ξ=0）30423615C C C ==,()214236315C C P C ξ===, ()124236125C C P C ξ===, 所有随机变量ξ的分布列为：所以ξ的期望()0121555E ξ=⨯+⨯+⨯= ,故选A ． 【点睛】本题考查了离散型随机变量的期望，属于中档题．4．C解析：C 【分析】由先后抛掷三次一枚质地均匀的硬币，得出事件A “第一次正面向上”，共有4种不同的结果，再由事件A “第一次正面向上”且事件B “后两次均反面向上”，仅有1中结果，即可求解. 【详解】由题意，先后抛掷三次一枚质地均匀的硬币，共有2228⨯⨯=种不同的结果， 其中事件A “第一次正面向上”，共有4种不同的结果，又由事件A “第一次正面向上”且事件B “后两次均反面向上”，仅有1中结果， 所以()()1(|)4P AB P B A P A ==，故选C. 【点睛】本题主要考查了条件概率的计算，其中解答中认真审题，准确得出事件A 和事件A B 所含基本事件的个数是解答的关键，着重考查了运算能力，属于基础题.5．C解析：C 【分析】掷一枚均匀的硬币4次，则出现正面的次数多于反面的次数包含出现4次正面和出现3次正面一次反面，由此能求出出现正面的次数多于反面的次数的概率． 【详解】掷一枚均匀的硬币4次，则出现正面的次数多于反面的次数包含出现4次正面和出现3次正面一次反面，∴出现正面的次数多于反面的次数的概率：4433441115()()22216p C C =+⋅=． 故选C ． 【点睛】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意互斥事件概率计算公式的合理运用．6．C解析：C 【解析】分析：先确定随机变量得取法12X =，，再根据独立重复试验求概率. 详解：因为14244411(1)(),(2)(),22P x C P x C ====所以142444411105(03)(1)(2)()(),2228P x P x P x C C <<==+==+== 选C.点睛：n 次独立重复试验事件A 恰好发生k 次得概率为(1)kkn kn C p p --.其中p 为1次试验种A 发生得概率.7．B解析：B 【解析】分析：根据3σ原则判断.详解：因为服从正态分布()10,0.04N ，所以10,0.2(100.23,100.23)(9.4,10.6)x μσ==∴∈-⨯+⨯= 所以上午生产情况正常，下午生产情况异常, 选B.点睛：利用3σ原则求概率问题时，要注意把给出的区间或范围与正态变量的μ，σ进行对比联系，确定它们属于(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)中的哪一个.8．D解析：D 【分析】首先设出所求的概率为P ，根据题中的条件，可以列出P 所满足的等量关系式，从而求得相应的结果. 【详解】设第二天也有客人入住的概率为P ，根据题意有43=55P ⋅，解得34P =，故选D.【点睛】该题考查的是有关两个事件同时发生的概率问题，也可以看做是有关条件概率的问题，在解题的过程中，需要正确应用公式求得结果.9．A解析：A 【解析】每次摸球中奖的概率为114529C C 2059C 36==，由于是有放回地摸球，故3次摸球相当于3次独立重复实验，所以3次摸球恰有1次中奖的概率2135580C 199243P ⎛⎫=⨯⨯-= ⎪⎝⎭． 故选A ．点睛:判断一个随机变量是否服从二项分布，要看两点：①是否为n 次独立重复试验，在每次试验中事件A 发生的概率是否均为p ；②随机变量是否为在这n 次独立重复试验中某事件发生的次数，且()()1n kk kn p X k C p p -==-表示在独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率．10．D解析：D 【解析】由于小球每次遇到黑色障碍物时，有一次向左和两次向右或两次向左和一次向右下落时，小球将落入A 袋，所以22123311113()C 1C 122224P A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅⋅-+⋅⋅-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 故选D ．11．D解析：D 【解析】随机变量X 满足二项分布，所以1224(),3393D x npq n n ==⨯⨯==n=6,所以224612(2)()()33P X C ===80243，选D.12．B解析：B 【解析】由题意知，E(X)＝1×0.2＋2×0.4＋3×0.4＝2.2，∴E(6X ＋8)＝6E(X)＋8＝6×2.2＋8＝21.2.选B.二、填空题13．375【分析】由正态分布可知每个元件正常工作超过10000小时的概率为从而求出部件正常工作超过10000小时的概率再根据二项分布求出平均值【详解】由正态分布可知每个元件正常工作超过10000小时的概解析：375 【分析】由正态分布可知，每个元件正常工作超过10000小时的概率为12，从而求出部件正常工作超过10000小时的概率，再根据二项分布求出平均值. 【详解】由正态分布可知，每个元件正常工作超过10000小时的概率为12， 则部件正常工作超过10000小时的概率为21131228⎡⎤⎛⎫-⨯=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，又1000台仪器的该部件工作服从二项分布，所以平均值为310003758⨯=台. 故答案为：375. 【点睛】本题考查正态分布和相互独立事件及二项分布，考查逻辑推理能力、运算求解能力.14．【分析】由题意分析可知质点4次运动中有1次向左3次向右根据独立事件的概率公式求解【详解】由题意可知质点移动4次后位于坐标为2的位置说明4次中有1次向左3次向右并且每次向左或向右的概率都是所以移动4次解析：14【分析】由题意分析可知质点4次运动中有1次向左，3次向右，根据独立事件的概率公式求解. 【详解】由题意可知质点移动4次后位于坐标为2的位置，说明4次中有1次向左，3次向右，并且每次向左或向右的概率都是12，所以移动4次后，该质点的坐标为2的概率314111224p C ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为：14【点睛】本题考查独立事件概率的实际应用问题，属于基础题型，本题的关键是抽象出质点运动方向，以及概率类型.15．1359【分析】根据正态曲线的对称性求出概率即可；【详解】解：∵∴∴又∴∴∴∵∴因此此人在40分钟至50分钟到达目的地的概率是故答案为：【点睛】本题考查正态曲线的性质属于中档题解析：1359 【分析】根据正态曲线的对称性求出概率即可； 【详解】解：∵()0.6826P X μσμσ-<<+=，∴10.6826()2P X μσ->+=，∴()1P X μσ<+=-10.682610.6826222-=+．又(22)0.9544P X μσμσ-<<+=，∴10.9544(2)2P X μσ->+=，∴10.954410.9544(2)1222P X μσ-<+=-=+，∴(2)(2)P X P X μσμσμσ+<<+=<+-()P X μσ<+10.954410.6826()2222=+-+1(0.95440.6826)2=⨯-0.1359=． ∵30μ=，10σ=，∴(4050)0.1359P X <<=．因此，此人在40分钟至50分钟到达目的地的概率是0.1359． 故答案为：0.1359【点睛】本题考查正态曲线的性质，属于中档题.16．【分析】根据题意可知取出次品的个数可能的值为012利用排列组合知识求出对应的概率从而得到分布列代入数学期望公式求解即可【详解】由题意知取出次品的个数可能的值为012所以可得的分布列为： 0 1 2解析：25． 【分析】根据题意可知，取出次品的个数ξ可能的值为0、1、2，利用排列组合知识求出对应的概率，从而得到分布列，代入数学期望公式求解即可. 【详解】由题意知，取出次品的个数ξ可能的值为0、1、2，∴()0321331522035C C P C ξ===，()1221331512135C C P C ξ===， ()212133151235C C P C ξ===， 所以可得ξ的分布列为：则()0123535355E ξ=⨯+⨯+⨯=． 故答案为：25【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望；考查运算求解能力；正确列出随机变量的分布列是求解本题的关键；属于中档题.17．4558【分析】随机变量服从正态分布根据对称性可求得的值再根据概率的基本性质可求得【详解】因为所以故所以故答案为：04558【点睛】本题考查了正态分布曲线的对称性属于基础题解析：4558 【分析】随机变量ξ服从正态分布()21,N σ，(3)0.0442P ξ>=，根据对称性可求得(1)P ξ<-的值，再根据概率的基本性质，可求得(13)P ξ≤≤. 【详解】因为(3)0.0442P ξ>=，所以(1)0.0442P ξ<-=，故(13)1(3)(1)0.9116P P P ξξξ-≤≤=->-<-=． 所以(13)0.4558P ξ≤≤=． 故答案为：0.4558. 【点睛】本题考查了正态分布曲线的对称性，属于基础题.18．【分析】根据题意已知成等差数列随机变量的均值为列出方程组得由此能求出【详解】解：由随机变量的概率分布律得：①因为成等差数列所以②而随机变量的均值为则③联立①②③得所以故答案为：【点睛】本题考查方差的解析：59【分析】根据题意，已知a ，b ，c 成等差数列，随机变量ξ的均值为43，列出方程组，得16a =，13b =，12c =，由此能求出()D ξ． 【详解】解：由随机变量ξ的概率分布律得：1a b c ++=，① 因为a ，b ，c 成等差数列，所以2b a c =+，② 而随机变量ξ的均值为43，则 40123a b c ⨯+⨯+⨯=，③联立①②③，得16a =，13b =，12c =， 所以2224141415012363()(3329()))(D ξ=-⨯+-⨯+-⨯=． 故答案为：59． 【点睛】本题考查方差的求法，以及离散型随机变量的分布列、等差数列的性质等基础知识.19．【分析】先由分布列的性质可得再利用数学期望公式解得进而根据方差公式求得代入得到不难得到的值【详解】由分布列的性质可得即则故答案为：【点睛】本题考查离散型分布的期望与方差考查分布列的性质的应用属于基础题解析：34【分析】先由分布列的性质可得1221p p +=,再利用数学期望公式解得2E ξ=,进而根据方差公式求得1p ,代入1221p p +=得到2p ,不难得到12p p +的值 【详解】由分布列的性质可得1211p p p ++=,即1221p p +=,()12112122342222E p p p p p p p ξ=++=+=+=,()()()2221211112223222D p p p p ξ∴=-+-+-==,则114p =, 2111121242p p ∴=-=-⨯=, 12113424p p ∴+=+= 故答案为：34【点睛】本题考查离散型分布的期望与方差,考查分布列的性质的应用,属于基础题20．23【分析】由题意结合正态分布的性质首先求得之间的考生人数然后求解120分以上的考生人数即可【详解】在之间的为954在120分以上的为【点睛】关于正态曲线在某个区间内取值的概率求法：①熟记P(μ－σ解析：23 【分析】由题意结合正态分布的性质首先求得(80,120)之间的考生人数，然后求解120分以上的考生人数即可. 【详解】(100,100),100,10N μσ==在(2,2)(80,120)μσμσ-+=之间的为10000.954⨯=954.∴在120分以上的为1(1000954)232⨯-=.【点睛】关于正态曲线在某个区间内取值的概率求法：①熟记P (μ－σ<X ≤μ＋σ)，P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)，P (μ－3σ<X ≤μ＋3σ)的值． ②充分利用正态曲线的对称性和曲线与x 轴之间面积为1.三、解答题21．（1）256625；（2）答案见解析. 【分析】（1）根据相互独立事件的概率公式解之即可；（2）甲得分的可能性为4-分，2-分，0分，3分，5分和10分，然后根据相互独立事件的概率公式求出相应的概率，列出分布列即可. 【详解】（1）甲恰好答对4道必答题的概率为4454125655625P C ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （2）依题意，每道题选择回答并答对的概率为121255⨯=，选择回答且答错的概率为1332510⨯=，选择放弃回答的概率为12.甲得分的可能性为4-分，2-分，0分，3分，5分和10分. 所以9(4)100P X =-=， 121133(2)C 22510P X ⎛⎫=-=⨯⨯= ⎪⎝⎭， 111(0)224P X ==⨯=， 1211233(3)C 225525P X ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 21121(10)22525P X ⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭.所以X 的分布列为22．（1）827；（2）19；（3）分布列答案见解析，数学期望：14881. 【分析】(1)参加甲游戏的概率P=13,设"这4个人中恰有k 人去参加甲游戏"为事件A k (k ＝0,1,2,3,4),可求这4个人中恰有2个人去参加甲游戏的概率()2P A ,计算即可得出结果; (2)由(1)可知求()()34P A P A +;(3)ξ的所有可能取值为0,2,4,写出其对应的概率和分布列. 【详解】依题意知，这4个人中每个人去甲地的概率为13，去乙地的概率为23.设“这4个人中恰有i 人去甲地”为事件0,1,2,3,4i A i =（），则4-412()()()33iiii P A C =.（1）这4个人中恰有2人去甲地的概率为22224128()()()3327P A C ==（2）设“这4个人中去甲地的人数大于去乙地的人数”为事件B ，则34B A A =⋃，由于3A 与4A 互斥，故3144443341211()()()3339PB P A PC C A =++==（）（）（）. 所以这4个人中去甲地的人数大于去乙地的人数的概率为19. （3）ξ的所有可能的取值为0,2,4，由于1A 与3A互斥，0A 与4A 互斥， 故28270PP A ξ===（）（），1340812P P A P A ξ==+=（）（）（）， 0417814P P A P A ξ==+=（）（）（）. 所以ξ的分布列为：故1714827801818124Eξ=⨯+⨯+⨯=（）. 【点睛】本小题主要考查古典概型及其概率计算公式、互斥事件、事件的相互独立性、离散型随机变量的分布列与数学期望等基础知识，考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.应用性问题是高考命题的一个重要考点，近年来都通过概率问题来考查，且常考常新,对于此类考题，要注意认真审题，对二项分布的正确判读是解题的关键，属于一般难度题型. 23．（1）170x =，2 4.6s =；（2）（i ）0.8185；（ii ）0.21 【分析】（1）由题意求出各组频率，由平均数公式及方差公式即可得解； （2）（i ）由题意结合正态分布的性质即可得解；（ii ）由题意结合正态分布的性质可得()174.280.0228P X >=，再由()10110.0228P =--即可得解.【详解】（1）由题知第三组的频率为750.375200=， 则第五组的频率为0.70.3750.12520.075--⨯=， 第二组的频率为10.70.0520.2--⨯=，所以五组频率依次为0.1，0.2，0.375，0.25，0.075，故0.11660.21680.3751700.251720.075174170x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，22222(170166)0.1(170168)0.2(170172)0.25(170174)0.075s =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯4.6=；（2）由题知170μ=， 2.14σ==≈， （i ）()()167.86174.282P X P X μσμσ<<=-<<+()()()222P X P X P X μσμσμσμσμσμσ-<<+--<<+=-<<++0.95440.68260.68260.81852-=+=；（ii ）()()10.9544174.2820.02282P X P X μσ->=>+==， 故10人中至少有1人的身高在174.28cm 以上的概率：()1010110.022810.977210.790.21P =--=-≈-=.【点睛】本题考查了频率分布直方图的应用，考查了正态分布的应用，属于中档题. 24．（1）920；（2）见解析，121.5万元． 【分析】（1）设恰好有一种新产品研发成功为事件A ，利用相互独立与互斥事件的概率计算公式可得P （A ）；（2）由题可得设企业可获得利润为ξ，则ξ的取值有﹣90，50，80，220．利用相互独立试验同时发生的概率计算方法分别得到每种情况的概率，列出分布列，算出期望即可. 【详解】解：（1）设恰好有一种新产品研发成功为事件A ，则 P （A ）＝（134-）3354⨯+⨯（135）920=；（2）由题可得设企业可获得利润为ξ，则ξ的取值有﹣90，50，80，220． 由独立试验的概率计算公式可得，P （ξ＝0）＝（134-）（135）110=，P （ξ＝50）33314520⎛⎫=-⨯=⎪⎝⎭， P （ξ＝80）33314510⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭， P （ξ＝220）3394520=⨯=， ∴ξ的分布列如下：则数学期望E （ξ）9010=-⨯+50802010⨯+⨯+22020⨯=121.5万元． 【点睛】本题主要考查离散型随机变量的分布列与均值的计算，考查了学生的运算求解能力. 25．（1）49；（2）分布列见解析，1 【分析】（1）甲获胜的情况为3:1,3:2,2:1分别计算概率即可得解；（2）X 的所有可能取值是0，1，2，3，分别计算概率，写出分布列，计算数学期望. 【详解】（1）甲以3:1获胜的概率221211329P ⎛⎫⎛⎫=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 甲以3:2获胜的概率22122212C 329P ⎛⎫⎛⎫=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 甲以2:1获胜的概率213221113329P C ⎛⎫=⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭， 则甲获胜的概率1231214.9999P P P P =++=++= （2）由题意可得X 的所有可能取值是0，1，2，3.3323232112233333333112112112(0)C C C C C C 323323323P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭311111722161262724⎛⎫⨯=+++=⎪⎝⎭； 33232333212133331121121121(2)C C C C 3233233232P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭11115723618924=+++=； 33331121111(3)32322162724P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯+⨯=+=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭； 75111(1)124242424P X ==---=. X 的分布列为故()0123 1.24242424E X =⨯+⨯+⨯+⨯= 【点睛】此题考查求解概率和分布列，根据分布列求解期望，关键在于准确求解概率. 26．（1）518（2）详见解析 【分析】（1）记“A ，B 两位考生有且只有一位考生获得录取资格”为事件M ，分别算出A ，B 考生获得录取资格的概率，再分两类求解.（2）随机变量X 可能的取值为：0，1，2，3，分别求出A ，B ，C 考生获得录取资格的概率，再根据A ，B ，C 三位考生获得高校综合评价录取资格的人数服从二项分布，列出分布列再求期望. 【详解】（1）记“A ，B 两位考生有且只有一位考生获得录取资格”为事件M A 考生获得录取资格的概率为111326⨯=；B 考生获得录取资格的概率为111236⨯=； 所以15515()666618P M =⨯+⨯= 答：A ，B 两位考生有且只有一位考生获得录取资格的概率为518； （2）随机变量X 可能的取值为：0，1，2，3 C 考生获得录取资格的概率为121436⨯=，由（1）得A ，B 两位考生获得录取资格的概率均为16， 所以A ，B ，C 三位考生获得高校综合评价录取资格的人数X ~B (3，16)， 则0335125(0)()6216P X C ===，1235175(1)()()66216P X C ===， 2235115(2)()()66216P X C ===，33311(3)()6216P X C ===，随机变量X 的概率分布表如下：125751511()01232162162162162E X=⨯+⨯+⨯+⨯=（人）答：X的数学期望为12人.【点睛】本题主要考查独立事件的概率以及离散型随机变量的分布列及期望，还考查了运算求解的能力，属于中档题.。

人教版高中数学选修2-3单元检测试题及答案(第一章-计数原理)

人教版高中数学选修2-3单元检测试题及答案(第一章-计数原理)

、选择题、填空题人教版高中数学选修2-3单元检测试题.1 • 由 1、2、 3三个数字构成的四位数有 ( )• A • 81个 B • 64 个 C • 12个 D • 14个 2•集合｛1， 2，3，4，5，6｝的真子集共有()•A • 5个B • 6个C • 63个D • 64个 3• 5个人排成一排，其中甲在中间的排法种数有( )•A •5 B • 120 C • 24 D • 4 4•从5个人中选1名组长和1名副组长，但甲不能当副组长，不同的选法总数是( ).A • 20B • 16C • 10D • 65. 已知n = 3! + 24!，贝U n 的个位数为( ).A • 7B • 6C • 8D • 36. 假设200件产品中有3件次品，现在从中任取 5件，至少有2件次品的抽法数有 ( )• A • c 3&98 B • c 3c 397+ C 3C ?97 C • c 2oo — C 497 D • c 2oo — C 》C 497 7•从6位男学生和3位女学生中选出4名代表，代表中必须有女学生，则不同的选法有 ( )•A • 168B • 45C • 60D • 111 &氨基酸的排列顺序是决定蛋白质多样性的原因之一，某肽链由 7种不同的氨基酸构成，若只改 变其中3种氨基酸的位置，其他 4种不变，则与原排列顺序不同的改变方法共有 ( )• A • 70 种 B • 126 种 C • 175 种展开式中只有第六项二项式系数最大，则展开式中第A • 18B • 20C • 22 亠 x10 •在——2 1 8 -3' 的展开式中的常数项是( •• x)•A • 7B • — 7C • 28D • 210种 2项系数是( D • 2411 •有四位学生报名参加三项不同的竞赛，(1) 每位学生都只报了一项竞赛，则有 ________ 种不同的报名方法； (2) 每项竞赛只许有一位学生参加，则有 ___________ 种不同的参赛方法； (3) 每位学生最多参加一项竞赛，每项竞赛只许有一位学生参加， 则有种不同的参赛方法•12 • 4名男生，4名女生排成一排，女生不排两端，则有 ___________ 种不同排法•13 •从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，若其中甲不能从 事翻译工作，则选派方案共有 _________ 种•-914 •已知-的展开式中，x 3的系数为-，则常数的a 值为x 2 415 •在二项式(1 - 2x)n 的展开式中，偶数项的二项式系数之和为 32,则展开式的第3项为 ___________•16 •将4个颜色互不相同的球放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有 __________ 种•三、解答题17 • 7人排成一排，在下列情况下，各有多少种不同排法： (1) 甲不排头，也不排尾；(2) 甲、乙、丙三人必须在一起； (3) 甲、乙之间有且只有两人； (4) 甲、乙、丙三人两两不相邻； (5) 甲在乙的左边(不一定相邻)•18 •某厂有150名员工，工作日的中餐由厂食堂提供，每位员工可以在食堂提供的菜肴中任选 2荤2 素共4种不同的品种，现在食堂准备了 5种不同的荤菜，若要能保证每位员工有不同选择， 则食堂至少还需准备不同的素菜品种多少种？19 •求(1 + x) 2( 1 - x)5的展开式中x 3的系数•D • -2820 • 7个人到7个地方去旅游，一人一个地方，甲不去 A 地，乙不去B 地，丙不去C 地，丁不去D 地，共有多少种旅游方案 ？2一、选择题 1. A解析：每位数都有 3种可能取法，34 .故选A . 2. C解析：26— 1 = 63.故选C . 3. C解析：1 X A ； = 24.故选C . 4. B解析：甲当副组长选法有 A 4种，故符合题意的选法有 A 2— A [ = 16 .故选B .5. B解析：由于24!为从1开始至24的24个数连乘，在这 24个数中有10,所以24!的个位数为0, 又3!的个位数为6,所以3! + 24!的个位数为6 .故选B . 6. B 解析：200件产品中有3件次品，197件正品.取5件，至少有2件次品，即3件正品2件次品或 2 3 3 22件正品3件次品，抽法数有 C 3 C 197 + C 3 C 197 .故选B . 7. D 解析：女生选1, 2, 3人，男生相应选3, 2, 1人，选法有C 3C 3 + C f C 6 + C 3C 6= 111 .故选D .11. (1)81.解析：4位学生每人都有 3项竞赛可以选择，3X 3X 3X 3= 81. (2) 64.解析：3项竞赛每项都有 4位学生可以选择，4X 4X 4 = 64. (3) 24.解析：4位学生选3人参加3项竞赛，A 4 = 24. 12. 8 640.解析：8个位置，先排女生不排两端有 A 6种排法，再排男生有A 4种排法，所以最后排法有A=8 640.13. 300.解析：选到甲时3 X A 5，不选甲时A 4，所以选派方案种数为： 3 X A 33 + A 5 = 300.14. 64.9- r解析：T r+1 = C 9 -X3r44A4=(—1)r a9-rC9X 23,则 r = 8, ( - 1)8a 9-82-8C 9 心 a = 64. 15. 60X 2.解析：•••偶数项的二项式系数之和为 32,8. A 解析：氨基酸有 C 种选法，选到的3种氨基酸与原排列顺序不同的排法有1种，所以与原排项式系数之和为 2n = 64,二 n = 6, T 3= C |( — 2X ) 2= 60X 2. 列顺序不同的改变方法数共有 C 3(A 3— 1) = 175.故选C . 9. B 解析：n = 10,所求系数为 1 C 10 X 2= 20.故选 B . 10. A 解析：T r+1 = C 8r 8- 4L3： = Cr(-1)r2r -8x'，常数项时 8-手=0，r = 6 所以 T7=1)6 26-8 = 7.故选二、填空题16. 10.解析：分两种情况：①1号盒放1个球，2号盒放3个球，有A4种；②1号盒放2个球，2号盒放2个球，有C 4种.C 4 + C ： = 10. 三、解答题17.解：(1)甲有中间5个位置供选择，有 A 5种排法，其余6人的排法有A 6 = 720, •••符合题意的排法共有 A5A 6 = 3 600种；(2)先排甲、乙、丙三人，有 A 3种排法，再把该三人当成一个整体与另四人排，有 A l 种排法,•••符合题意的共有 A^A ! = 720种排法；(3) 排在甲、乙之间的2个人的选法有A 5,甲、乙可以交换有A 2种情况，把该四人当成一个整体与另三人排，有A；种排法，.••符合题意的共有AfA^Al = 720种排法；(4) 先排甲、乙、丙之外的四人，有A；种排法，四人形成五个空位，甲、乙、丙三人插入这四人中间或两头，有A負种排法，•••符合题意的共有A!A4=1 440种排法；(5) 其余人先排，有Ay =2 520种排法，剩余二位置甲、乙排法唯一，故共2 520种排法.解：设要准备素菜x种，则cfcj >150,解得x>6,即至少要准备素菜6种.19•解：(1 + x)2的通项公式T r+i = C2 - x r, r€{0, 1, 2}.(1-x)5的通项公式T k+i= C5 • (-x)k=(-1)k C5X k, k€{0, 1, 2, 3, 4, 5}.k=l k=2 k=3令k+r=3,则或或r = 2 r = 1 r = 0从而x，的系数为—C 5+ C 2 C5一C? = 5 .20•解:用间接法，先求不满足要求的方案数.⑴若甲、乙、丙、丁4人分别去A, B, C, D,而其余的人不限，选法有As = 6#.(2) 若甲、乙、丙、丁中有3人去各自不能去的地方旅游，有C：种，而4人中剩下1人去的地方是C；种，其余的人有As#,所以共有C：C>4=72种.(3) 若甲、乙、丙、丁4人中有2人去各自不能去的地方旅游，有C：种，余下的5个人分赴5个不同的地方的方案有A?种，但是其中又包括了有限制条件的四人中的两人(不妨设甲、乙两人)同时去各自不能去的地方共A訂中，和这两人中有一人去了自己不能去的地方有2A1A S种，所以共有C4( A1-3 13A3 -2 A3A3) = 468 种.(4) 若甲、乙、丙、T 4人中只有1人去了自己不能去的地方旅游，有C；种方案，而余下的六个人的旅游方案仍与(3)想法一致，共有C4 [ A 6 - C3 ( A4 一A3) - C3 ( A 5 一A3 - 2 A 3A 3)] = 1 728 种.所以满足以上情况的不同旅游方案共有Ay -(6+ 72 + 468+ 1 728) = 2 766种.2。

最新北师大版高中数学高中数学选修2-3第一章《计数原理》检测卷(含答案解析)

最新北师大版高中数学高中数学选修2-3第一章《计数原理》检测卷(含答案解析)

一、选择题1．将编号为1、2、3、4、5的5个小球全部放入A 、B 、C 三个盒子内，若每个盒子不空，且放在同一个盒子内的小球编号不相连，则不同的方法总数有（ ） A ．42B ．36C ．48D ．602．733x x ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭展开式中含32x -的项是（ ） A ．第8项B ．第7项C ．第6项D ．第5项3．若多项式()210011x x a a x +=++()()91091011a x a x +++++，则9a =（ ）A ．9B ．10C ．-9D ．-104．如图，在杨辉三角形中，斜线l 的上方从 1 按箭头所示方向可以构成一个“锯齿形”的数列： 1,3,3,4,6,5,10,...，记此数列的前n 项之和为n S ，则 21S 的值为（ ）A ．66B ．153C ．295D ．3615．在一个具有五个行政区域的地图上（如图），用四种颜色给这五个行政区着色，当相邻的区域不能用同一颜色时，则不同的着色方法共有（ ）A ．72种B ．84种C ．180种D ．390种6．设()22201221nn n x x a a x a x a x ++=++++，则022n a a a 的值是（ ）A ．()1312n- B ．1312nC ．3nD ．31n +7．如图是我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”．现提供4种颜色给“弦图”的5个区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案共有（ ）A ．48种B ．72种C ．96种D ．144种8．某校高二年级共有六个班，现从外地转入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排2名，则不同的安排方案种数为（ ） A ．2264A CB ．22642A CC ．2264A AD ．262A9．有5位同学参加青少年科技创新大赛的3个不同项目，要求每位同学参加一个项目且每个项目至少有一位同学，则不同的参加方法种数为（ ） A ．80B ．120C ．150D ．36010．现有甲、乙、丙三个盒子，其中每个盒子中都装有标号分别为1、2、3、4、5、6的六张卡片，现从甲、乙、丙三个盒子中依次各取一张卡片使得卡片上的标号恰好成等差数列的取法数为（ ） A ．14 B ．16 C ．18 D ．2011．若()2019200119201x a a x a x a x +=++⋯++，则01910a a a a ++⋯++的值为（ ）A ．192B ．191020122C -C ．191020122C +D ．1910202C +12．41(1)x x++的展开式中常数项为（ ） A ．18B ．19C ．20D ．21二、填空题13．6x x ⎛⎝展开式中常数项为________.14．()83x y z +-展开式中，52x y z 项的系数为__________.15．设a 为非零常数，已知(x 21x +)6a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中各项系数和为2，则展开式中常数项等于_____.16．6人排成一排合影，甲乙相邻但乙丙不相邻，共有____（用数字）种不同的排法.17．若6(1)2xx x ⎛+- ⎝展开式中的常数项是60，则实数a 的值为_____． 18．设2012(1)nn n x a a x a x a x +=++++，*4,n n N ≥∈.已知23242a a a =（1）求n 的值.（2）设(12)2n a b =+*,a b N ∈，求222a b -的值.19．在停课不停学期间，某校有四位教师参加三项不同的公益教学活动，每位教师任选一项，则每个项目都有该校教师参加的概率为________（结果用数值表示）.20．某宿舍楼同寝室8名同学站成一排照相，甲、乙、丙三人相邻，乙不站在队列两端，则不同的排法种数为__________.（用数字作答）三、解答题21．已知727012712+++(=+)x a a x a x a x ⋯－. 求：（1）127+++a a a ⋯； （2）1357+++a a a a ； （3）0246+++a a a a ；22．从6名运动员中选4人参加4×100米接力赛，在下列条件下，各有多少种不同的排法？（1）甲、乙两人必须入选且跑中间两棒； （2）甲不跑第一棒且乙不跑第四棒. 23．已知，n ∈N *.（1）设f (x )＝a 0+a 1x +a 2x 2+…+a n x n ，①求a 0+a 1+a 2+…+a n ；②若在a 0，a 1，a 2，…，a n 中，唯一的最大的数是a 4，试求n 的值； （2）设f (x )＝b 0+b 1(x +1)+b 2(x +1)2+…+b n (x +1)n ，求.24．红星高中2019年五一演讲比赛将在体育馆举行，所有参加人员凭票入场.（1）若将6张连号的门票分给明明、慧慧等六位老师，每人1张，且明明、慧慧分得的门票连号，则一共有多少种不同的分法？（2）高二年级准备从甲、乙等八名同学中选派四名同学参加，要求甲、乙两名同学至少有一人参加，且若甲、乙同时参加时，他们的演讲顺序不能相邻，那么高二年级不同的演讲顺序一共有多少种？25．在AOB ∠的OA 边上有4个异于O 点的点，OB 边上有5个异于O 点的点，以这10个点（含O 点）为顶点，能得到多少个不同的三角形？26．已知2nx x ⎫⎪⎭的展开式中第4项与第5项的二项式系数相等．（1）求展开式中二项式系数最大的项； （2）求展开式中系数最大的项．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A 解析：A 【分析】将编号为1、2、3、4、5的5个小球，根据小球的个数可分为1、1、3或1、2、2两组，再分配到3个盒子即可求出. 【详解】将编号为1、2、3、4、5的5个小球，根据小球的个数可分为1、1、3或1、2、2两组.①当三个盒子中的小球个数分别为1、1、3时，由于放在同一个盒子里的小球编号互不相连，故3个小球的编号只能是1、3、5的在一个盒子里，故只有一种分组方法， 再分配到三个盒子，此时共有336A =种分配方法；②当三个盒子中的小球个数分别为1、2、2时，由于放在同一个盒子里的小球编号互不相连，此时放2个小球的盒子中小球的编号分别为()1,3、()2,4或()1,3、()2,5或()1,4、()2,5或()1,4、()3,5或()1,5、()2,4或()2,4、()3,5，共6种，再分配到三个盒子中，此时，共有33636A =种. 综上所述，不同的放法种数为64362+=种. 故选：A. 【点睛】方法点睛：本题主要考查排列的应用，属于中档题.常见排列数的求法为： （1）相邻问题采取“捆绑法”； （2）不相邻问题采取“插空法”； （3）有限制元素采取“优先法”；（4）特殊元素顺序确定问题，先让所有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列数.2．C解析：C 【分析】根据二项展开式的通项公式，求得含32x -项对应的r 即可得到结论. 【详解】解：7⎫⎝展开式的通项公式为：()21172722217713133rr r r r rr T C x x C x ---+⎛⎫⎛⎫=⋅⋅-⋅=-⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 令73522r r -=-⇒=；故展开式中含32x -的项是第6项. 故选：C. 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题.3．D解析：D 【解析】()()9011010019910999991...1[...]nn n x C C x C x a x a C C x C x +=++⇒+=++，()10101a x +=019910101010101010(...)a C C x C x C x ++++，根据已知条件得9x 的系数为0，10x 的系数为19999910101010101010011a a C a C a a C =-⎧⋅+⋅=⎧⇒⇒⎨⎨=⋅=⎩⎩ 故选D. 4．D解析：D 【解析】试题分析：观察杨辉三角结合其中数的来源，可得到这个数列的通项公式.n a 当n 为偶数时，42n n a +=；当n 为奇数时，0212322233551,3,6,C C C C C C ======,所以()()232138n n n n a C +++==，所以21S =()()()()22221352124620124622224622758a a a a a a a a ⎡⎤+++++++++=++++++++++⎣⎦()122423112475286753618⎡⎤=⨯⨯+⨯+=+=⎣⎦，故选D. 考点：归纳推理与数列求和.5．A解析：A 【分析】可分2种情况讨论：若选3种颜色时，必须2,4同色且1,5同色；若4种颜色全用，只能2,4同色或1,5同色，其它不相同，从而可得结果.【详解】选用3种颜色时，必须2,4同色且1,5同色，与3进行全排列， 涂色方法有334324C A ⋅=种；4色全用时涂色方法：2,4同色或1,5同色，有2种情况，涂色方法有142448C A ⋅=种，∴不同的着色方法共有482472+=种，故选A.【点睛】本题主要考查分步计数原理与分类计数原理的应用，属于简单题.有关计数原理的综合问题，往往是两个原理交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件.解题过程中要首先分清“是分类还是分步”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率.6．B解析：B 【分析】本题可以通过利用二项展开式的系数关系，采用赋值法将x 分别赋值为1、1-，然后通过运算即可得出结果． 【详解】()22201221nn n x x a a x a x a x ++=++++，令1x =，01223n na a a a ①，令1x =-，01221n a a a a ②，（①+②）02212312nna a a ， 故选：B ． 【点睛】本题考查二项展开式的相关运算，可通过赋值法进行计算，考查计算能力，考查化归与转化思想，是中档题.7．B解析：B 【分析】A 区域与其他区域都相邻，从A 开始分步进行其它区域填涂可解【详解】解：根据题意，如图，假设5个区域依次为A B C D E 、、、、，分4步分析： ①，对于A 区域，有4种涂法，②，对于B 区域，与A 相邻，有3种涂法， ③，对于C 区域，与A B 、 相邻，有2种涂法，④，对于D 区域，若其与B 区域同色，则E 有2种涂法，若D 区域与B 区域不同色，则E 有1种涂法，则D E 、 区域有2+1＝3种涂色方法， 则不同的涂色方案共有4×3×2×3＝72种； 故选： B ．【点睛】本题考查两个计数原理的综合问题使用两个计数原理进行计数的基本思想：对需用两个计数原理解决的综合问题要“先分类，再分步”，即先分为若干个“既不重复也不遗漏”的类，再对每类中的计数问题分成若干个“完整的步骤”，求出每个步骤的方法数，按照分步乘法计数原理计算各类中的方法数，最后再按照分类加法计数原理得出总数．8．B解析：B 【分析】先将4名学生均分成两组，注意重合的部分要去掉，再从6个班级中选出2个班进行排列，最后根据分步计数原理得到合要求的安排方法数． 【详解】解：先将4名学生均分成两组方法数为2412C ， 再分配给6个年级中的2个分配方法数为26A ，∴根据分步计数原理合要求的安排方法数为224612C A ．故选：B ． 【点睛】本题先考查的是平均分组问题，是一个易出错的问题，解题的关键是看清题目的实质，把实际问题转化为数学问题，解出结果以后再还原为实际问题．9．C解析：C 【分析】根据题意，分清楚有两种情况，利用公式求得结果. 【详解】根据题意，可知有两种情况，一种是有三位同学去参加同一个项目，一种是有两个项目是两位同学参加，所以不同的参加方法种数为22333535332210310661502C C C A A A ⋅⨯⋅+⋅=⨯+⨯=种， 故选：C. 【点睛】该题考查的是有关排列组合的综合题，涉及到的知识点有分类计数加法计数原理，排列组合综合题，属于中档题目.10．C解析：C 【分析】根据题意，若取出的卡片上的标号恰好成等差数列分三种情况，一是标号相等时，即所得的等差数列的公差为0，二是所得的等差数列公差为1或-1，三是所得的等差数列的公差为2或-2时，分别求出其不同的取法，再求和. 【详解】根据题意，若取出的卡片上的标号恰好成等差数列分三种情况， 一是标号相等时，即全部为1、2、3、4、5、6时，有6种取法，二是所得的等差数列公差为1或-1，即1、2、3；3、2、1；…4、5、6；6、5、4等8种取法，三是所得的等差数列的公差为2或-2时，即1、3、5；5、3、1；…2、4、6；6、4、2等4种取法，所以共有68418++=种. 故选：C 【点睛】本题主要考查分类加法计算原理，还考查了分类讨论的思想和列举求解的能力，属于中档题.11．C解析：C 【分析】计算20nn a C =，根据对称性得到答案. 【详解】()201x +展开式的通项为：120r r r T C x +=，故20nn a C =，()2019200119201x a a x a x a x +=++⋯++，根据对称性知：10200110191020019102020202021 (2222)C a a a a C C C C ++⋯++=+++=+=+. 故选：C. 【点睛】本题考查了二项式定理，意在考查学生的计算能力和应用能力.12．B解析：B 【分析】 41(1)x x ++展开式的141()r r r T C x x +=+，(0r =，1，⋯，4)．1()r x x+的通项公式：211()k r k k k r k k r r T C x C x x--+==，令2r k =，进而得出．【详解】 解：41(1)x x ++展开式的141()r r r T C x x+=+，(0r =，1，⋯，4)． 1()r x x +的通项公式：211()k r k k k r k k r r T C x C x x--+==，令2r k =，可得：0k =时，0r =；1k =时，2r ，2k =时，4r =．41(1)x x∴++展开式中常数项21424244119C C C C =+⨯+⨯=． 故选：B ． 【点睛】本题考查了二项式定理的通项公式及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题13．240【分析】先求出二项式的展开式的通项公式令的指数等于求出的值即可求得展开式中的常数项【详解】展开式的通项公式令所以的展开式的常数项为故答案为【点睛】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数属于简单解析：240 【分析】先求出二项式6x⎛⎝的展开式的通项公式，令x 的指数等于0，求出r 的值，即可求得展开式中的常数项. 【详解】6x⎛- ⎝展开式的通项公式3662166(2),rr r r r r r T C x C x --+⎛==⨯-⨯ ⎝令36342r r -=⇒=,所以6x ⎛ ⎝的展开式的常数项为4462240C ⨯=,故答案为240. 【点睛】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式1C rn r rr n T ab -+=；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.14．【分析】由的指数是1得到然后由的指数是2得到然后即可算出答案【详解】因为的指数是1所以得到又因为的指数是2得到所以项的系数为故答案为：【点睛】在解决本类问题时应将其中两项看成一个整体来处理 解析：1512-【分析】()()8833x y z x y z +-=+-⎡⎤⎣⎦，由z 的指数是1，得到()()7183C x y z +-，然后由y 的指数是2，得到()22573C x y ，然后即可算出答案.【详解】()()8833x y z x y z +-=+-⎡⎤⎣⎦因为z 的指数是1，所以得到()()7183C x y z +-又因为y 的指数是2，得到()22573C xy所以52x y z 项的系数为()12287131512C C -=-故答案为：1512- 【点睛】在解决本类问题时应将其中两项看成一个整体来处理.15．240【分析】根据(x2)的展开式中各项系数和为2令x=1得a=2再利用展开式的通项公式求出展开式中常数项【详解】∵(x2)的展开式中各项系数和为2∴令x=1得a=2或a=0(舍)又的通项6﹣2r 为解析：240 【分析】根据(x 21x +)6a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中各项系数和为2，令x =1得a =2，再利用展开式的通项公式，求出展开式中常数项. 【详解】∵(x 21x +)6a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中各项系数和为2，∴令x =1得()6212a ⋅-=，a =2或a =0(舍).又6a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的通项()6216(2)0126r r r r T C x r -+=-=，，，，，6﹣2r 为偶数，故6﹣2r =﹣2即r =4.∴2612()x x x x⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式的常数项为446(2)240C -=. 故答案为：240. 【点睛】本题考查二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题；考查求展开式的各项系数和的常用方法是赋值法.16．192【分析】先将甲乙两人捆绑在一起看成一个人且内部自排再与除丙外的其他人排列最后将丙插空放入保证与乙不相邻即可【详解】第一步：甲乙相邻共有种排法；第二步：将甲乙看成一个人与除丙外的其他人排列共有：解析：192 【分析】先将甲乙两人捆绑在一起看成一个人且内部自排，再与除丙外的其他3人排列，最后将丙插空放入，保证与乙不相邻即可. 【详解】第一步：甲乙相邻，共有222A =种排法；第二步：将甲乙看成一个人，与除丙外的其他3人排列，共有：4424A =种排法； 第三步：将丙插空放入，保证与乙不相邻，共有：144A =种排法； 根据分步计数原理可得，共有2244192⨯⨯=种排法. 故答案为: 192 【点睛】本题主要考查有限制条件的排列问题，属于中档题.解有限制条件的排列问题，可按元素的性质进行分类，按事件发生的连续过程分步，做到标准明确，分步层次清楚，不重不漏，分类标准一旦确定要贯穿于解题过程的始终，同时需掌握有限制条件的排列问题的求解方法.17．【分析】先得到的通项公式为若得到常数项当取1时令当取x 时令解得再根据常数项为60求解【详解】因为的通项公式为若得到常数项当取1时令当取x 时令解得或（舍）所以因为展开式的常数项为60所以解得故答案为： 解析：2±【分析】先得到62x ⎛- ⎝的通项公式为1r T +=36626(1)2rr r r r C a x --+-⨯⨯⨯⨯，若得到常数项，当(1)x +取1时，令3602r -=，当(1)x +取x 时，令3612r -=-，解得r ，再根据常数项为60求解. 【详解】因为62x ⎛- ⎝的通项公式为16(1)rr r T C +=-⨯⨯636626(1)22rrr r r r r x C a x ---+⎛⎫⨯=-⨯⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭， 若得到常数项，当(1)x +取1时，令3602r -=，当(1)x +取x 时，令3612r -=-， 解得4r =或143r =（舍）， 所以4r =，因为6(1)2x x ⎛+⋅- ⎝展开式的常数项为60， 所以446446(1)260C a -+-⨯⨯⨯=，解得2a =±． 故答案为：2± 【点睛】本题主要考查二项式展开式的通项公式以及常数项的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题．18．（1）（2）【分析】（1）根据二项展开式定理得出建立关于的方程求解即可；（2）由而结合二项展开式定理可得即可求解【详解】（1）依题意整理得(2)当时偶数项含有【点睛】本题考查二项展开式定理的应用熟记解析：（1）5n =（2）1- 【分析】（1）根据二项展开式定理，得出234,,a a a ，建立关于n 的方程，求解即可；（2）由222(a b a a -=+-，而(1n a =+可得(1n a =-. 【详解】（1）依题意324324,,n n n a C a C a C ===23242a a a =⋅2(1)(2)(1)(1)(2)(3)232124321n n n n n n n n n ------⎡⎤=⨯⨯⎢⎥⨯⨯⨯⨯⨯⎣⎦整理得2332n n --=，5n ∴=(2) 当5n =时，5(1a =+502233445555555(12)C C C C C C +=++++5(1a ∴=-22552(1(11a b ∴-==-【点睛】本题考查二项展开式定理的应用，熟记公式是解题的关键，考查计算求解能力，属于中档题.19．【分析】根据题意先求出四位教师参加三项不同的公益教学活动每位教师任选一项的所有情况有种每个项目都有该校教师参加的情况有种即可求得相应的概率【详解】解：由于四位教师参加三项不同的公益教学活动每位教师任解析：49【分析】根据题意，先求出四位教师参加三项不同的公益教学活动，每位教师任选一项的所有情况有43种，每个项目都有该校教师参加的情况有2343C A ⋅种，即可求得相应的概率. 【详解】解：由于四位教师参加三项不同的公益教学活动，每位教师任选一项的情况有：433333⨯⨯⨯=（种），而每个项目都有该校教师参加的情况有：234336C A ⋅=（种）， 则每个项目都有该校教师参加的概率为：436439=. 故答案为：49. 【点睛】本题考查概率的计算和分步乘法的计数原理，以及排列组合的应用，考查分析计算能力.20．3840【分析】将甲乙丙三人捆绑在一起先不考虑乙的特殊性算出一个总数再考虑乙在队列两端算出一个总数相减既为答案【详解】将甲乙丙三人捆绑在一起三人间的排列共有种可能这个整体与剩下的5名同学全排列共有种解析：3840 【分析】将甲、乙、丙三人捆绑在一起，先不考虑乙的特殊性算出一个总数，再考虑乙在队列两端算出一个总数，相减既为答案. 【详解】将甲、乙、丙三人捆绑在一起，三人间的排列共有336A =种可能，这个整体与剩下的5名同学全排列共有66654321720A 种可能，所以不考虑乙的特殊性共有67204320⨯=种可能；当乙从队列前后两端任选一个位置站位有122C =种可能，此时甲乙两人间有222A =种可能，剩下的5名同学全排列有55120A =种可能，所以乙在队列两端共有22120480种可能；故甲、乙、丙三人相邻，乙不站在队列两端，不同的排法种数为43204803840种.故答案为：3840 【点睛】本题考查排列组合中的捆绑法与特殊元素优先考虑法解决站位排法问题，属于中档题.三、解答题21．（1）2- ；（2）1094-；（3）1093. 【分析】 赋值法（1）令=0x 得：01a ＝；令=1x ，可得.（2）令=11x x =-，,再两式相减可得. （3）令=11x x =-，,再两式相加可得. 【详解】解 （1）令=1x ，则01234567++++++.=+1a a a a a a a a - ①令1x =-，则701234567+3++a a a a a a a a ----＝② 又=0x ，则01a =所以1234567++++++2a a a a a a a =- （2）两式相减，得1357713=19++042+a a a a --=-（3）两式相加，得0472613=109+2+3+a a a a -+=【点睛】赋值法在求各项系数和中的应用(1)形如(+)n ax b ，2()++m ax bx c (a b c R ∈，，)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令1x ＝即可． (2)对形如)()+(n ax by a b R ∈，的式子求其展开式各项系数之和，只需令==1x y 即可． (3)若2012()n n f x a a x a x a x ⋯＝++++，则()f x 展开式中各项系数之和为(1)f ．22．（1）24，（2）252. 【分析】（1）分两步，第一步，排甲乙两人，有222A =种排法，第二步，从剩下4人选出两人来跑第一棒和第四棒，有2412A =种排法，即可得出答案（2）以乙跑不跑第一棒分成两类，第一类，乙跑第一棒，有131560A A =种排法，第二类，乙不跑第一棒，有112444192A A A =种排法，即可得出答案. 【详解】（1）因为甲、乙两人必须入选且跑中间两棒所以可分两步，第一步，排甲乙两人，有222A =种排法第二步，从剩下4人选出两人来跑第一棒和第四棒，有2412A =种排法 所以共有21224⨯=种排法 （2）以乙跑不跑第一棒分成两类 第一类，乙跑第一棒，有131560A A =种排法 第二类，乙不跑第一棒，有112444192A A A =种排法+=种排法所以共有60192252【点睛】本题考查的是分步和分类计数原理、排列，属于基础题.23．（1）①；②n＝12或13；（2）(2n+1﹣2﹣n)【解析】【分析】（1）①可令x＝1，代入计算可得所求和；②可得f(x)＝(x+2)n＝(2+x)n的通项公式，a r最大即为a r≥a r﹣1，且a r≥a r+1，化简计算，结合不等式的解，可得所求值；（2）由f(x)＝[1+(x+1)]n，可得b r＝C，r＝0，1，…，n，推得，再由二项式定理，计算可得所求和.【详解】解：（1）①由(x+2)n＝a0+a1x+a2x2+…+a n x n，可令x＝1，可得3n＝a0+a1+a2+…+a n，即a0+a1+a2+…+a n＝3n；②f(x)＝(x+2)n＝(2+x)n，可得a r2n﹣r x r，r＝0，1，…，n，若在a0，a1，a2，…，a n中，a r最大，可得，即为，化为，由于r＝4时为a4唯一的最大值，可得n＝12，13；（2）由f(x)＝b0+b1(x+1)+b2(x+1)2+…+b n(x+1)n，且f（x）＝[1+(x+1)]n，可得b r＝C，r＝0，1，…，n，则，由••，则(C)(2n+1﹣2﹣n).【点睛】本题考查二项式定理，考查赋值法求系数和，考查组合数的性质．解题关键是掌握二项式展开式通项公式，在展开式中第项系数为，则由可得系数最大项的项数．24．（1）240种；（2）1140种 【分析】（1）先从6张门票中选出两张连号的门票，有5种选法，剩下的4张门票分给其余四位老师属于排列问题，有44A 种，又因为两张连号的门票分明明、慧慧两位老师，有22A 种分法，由分步乘法计数原理即可求得结果；（2）先分类再分步.一类是甲、乙两人中恰有一人参加，先从甲、乙中选出1人，再从其余6人中选出3人，最后将参加的4人全排列，有134264960C C A ⋅⋅=种；另一类是甲、乙两人都参加，有22C 种.除甲、乙外，再选2名，有26C 种.其余两人先排好有22A 种，甲、乙不相邻采用插空法有23A 种，用分步乘法计数原理22222623C C A A ⋅⋅⋅计算.最后再将两类的结果加起来. 【详解】解：（1）门票连号有5种，分给其余四位老师有44A 种， 明明、慧慧分得的门票连号，一共有42425240A A ⨯⨯=种； （2）就甲、乙两名同学中实际参与演讲比赛的人数进行分类计数： 第一类，甲、乙两名同学中实际参与演讲比赛的恰有一人， 满足题意的不同的演讲顺序的种数为134264960C C A ⋅⋅=； 第二类，甲、乙两名同学中实际参与演讲比赛的恰有两人， 满足题意的不同的演讲顺序种数为22222623180C C A A ⋅⋅⋅=. 因此满足题意的不同的演讲顺序的种数为9601801140+=. 【点睛】本题考查了两个计数原理的综合应用，其中甲、乙不相邻采用“插空法”，属于中档题. 25．90 【分析】根据三种情况分别利用组合公式可得对应情况下能组成的三角形的个数，再根据分类计数加法原理，将三种情况能组成三角形的个数相加，可得答案. 【详解】解：由题意可分三种情况考虑：①O 为顶点的三角形，另外两个顶点分别在OA OB 、上，共有：114520C C =个;②O 不为顶点的三角形，两个顶点分别在OB 上，一个顶点在OA 上，共有：124540C C =个;③O 不为顶点的三角形，两个顶点分别在OA 上，一个顶点在OB 上，共有：214530C C =个;故可得：一共有20403090++=不同的三角形. 【点睛】本题主要考查几何中的排列组合问题，属于基础题型，注意分情况进行讨论后利用分类计数原理相加.26．（1）14280T x -=-，525560T x-=；（2）525560T x-=．【分析】（1）利用34n n C C =求得n ，根据二项式系数的性质以及二项式展开式的通项公式求得二项式系数最大的项.（2）利用二项式展开式的通项公式，求得展开式中系数最大的项. 【详解】（1）由题意知34n n C C =，7n ∴=又72x ⎫⎪⎭展开式的通项为： ()()773221777222rr rrr r r rr r r T C C xC x x ----+⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭展开式中共有8项，其中二项式系数最大的项为第4，第5项 所以()793312472280T C xx--=-=-，()71254422572560T C xx --=-=（2）展开式中系数最大的项必须在正的系数项中产生，即在0r =，2，4，6时， 也即在1T ，3T ，5T ，7T 中产生， 而721T x =，12384T x =， 525560T x -=，1127448T x -=故系数最大的项为第5项525560T x-=【点睛】本小题主要考查二项式展开式的通项公式，考查二项式系数的最大项，考查展开式的最大项，属于中档题.。

(典型题)高中数学高中数学选修2-3第一章《计数原理》检测(答案解析)

(典型题)高中数学高中数学选修2-3第一章《计数原理》检测(答案解析)

一、选择题1．甲、乙、丙三台机床是否需要维修相互之间没有影响．在一小时内甲、乙、丙三台机床需要维修的概率分别是0.1，0.2，0.4，则一小时内恰有一台机床需要维修的概率是（ ） A ．0.444B ．0.008C ．0.7D ．0.2332．在某次联考数学测试中，学生成绩ξ服从正态分布2(100,)(0)σσ>，若ξ在(80,120)内的概率为0.8，则任意选取一名学生，该生成绩不高于80的概率为（ ） A ．0.05B ．0.1C ．0.15D ．0.23．位于坐标原点的一个质点P 按下述规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是12，则质点P 移动六次后位于点(2,4)的概率是（ ）A ．612⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．44612C ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．62612C ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．6246612C C ⎛⎫ ⎪⎝⎭4．设1~(10,)B p ξ，2~(10,)B q ξ，且14pq >，则“()()12E E ξξ>”是“()()12D D ξξ<”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知离散型随机变量X 的分布列如图：则均值E (X )与方差D (X )分别为( )A ．1.4,0.2B ．0.44,1.4C ．1.4,0.44D ．0.44,0.26．设离散型随机变量X 可能的取值为1，2，3，4，()P X k ak b ==+，又X 的数学期望为()3E X =，则a b += A ．110B ．0C ．110-D ．157．设一随机试验的结果只有A 和A ,且A 发生的概率为m ，令随机变量11A X A 发生发生⎧=⎨-⎩，则()D X =（ ）A ．1B ．(1)m m -C ．4(1)m m -D ．4(1)(21)m m m --8．三个元件123,,T T T 正常工作的概率分别为123,,234，且是相互独立的．如图，将23,T T 两个元件并联后再与1T 元件串联接入电路，则电路不发生故障的概率是（ ）A ．1124B ．2324C ．14D ．17329．已知在5件产品中混有2件次品，现需要通过逐一检测直至查出2件次品为止，每检测一件产品的费用是10元，则所需检测费的均值为（ ） A ．32元B ．34元C ．35元D ．36元10．将一枚质地均匀的硬币抛掷四次，设X 为正面向上的次数，则()03P X <<等于（ ）A ．18B ．38C ．58D ．7811．若随机变量ξ满足(1)4E ξ-=，(1)4D ξ-=，则下列说法正确的是A ．4,4E D ξξ=-=B ．3,3E D ξξ=-=C ．4,4ED ξξ=-=-D ．3,4E D ξξ=-=12．设随机变量ξ的概率分布列为1()()3kP k a ξ==，其中0,1,2k =，那么a 的值为（ ） A ．35B ．2713C ．919D ．913二、填空题13．对某个数学题，甲解出的概率为23，乙解出的概率为34，两人独立解题．记X 为解出该题的人数，则E (X )＝________.14．退休年龄延迟是平均预期寿命延长和人口老龄化背景下的一种趋势.某机构为了了解某城市市民的年龄构成，从该城市市民中随机抽取年龄段在[20，80]内的600人进行调查，并按年龄层次绘制频率分布直方图，如图所示.若规定年龄分布在[60，80]内的人为“老年人”，将上述人口分布的频率视为该城市年龄段在[20，80]的人口分布的概率.从该城市年龄段在[20，80]内的市民中随机抽取3人，记抽到“老年人”的人数为X 则随机变量X 的数学期望为______.15．《史记·卷六十五·孙子吴起列传第五》中记载了“田忌赛马”的故事.齐王有上等，中等，下等马各一匹；田忌也有上等，中等，下等马各一匹.田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马.现规定每场比赛从双方的马匹中随机各选取一匹进行比试，若有优势的马一定获胜，且每场比赛相互独立，则采取三局两胜制齐王获胜的概率为________. 16．2017年5月某校高三年级1600名学生参加了教育局组织的期末统考，已知数学考试成绩X ~ N ()2100,σ.（试卷满分为150分）统计结果显示数学考试成绩在80分到120分之间的人数约为总人数的34，则此次统考中成绩不低于120分的学生人数约为__________.17．设离散型随机变量ξ可能取的值为1，2，3，()P k ak b ξ==+（1,2,3k =），若ξ的数学期望7()3E ξ=，则a b +=_____. 18．甲、乙两人进行围棋比赛，比赛采取五局三胜制，无论哪一方先胜三局则比赛结束，假定甲每局比赛获胜的概率均为23，则甲以3:1的比分获胜的概率为______． 19．若随机变量2~5,3X B ⎛⎫⎪⎝⎭，则()3D X =_______． 20．一个病人服用某种新药后被治愈的概率为0.9.则服用这种新药的4个病人中至少3人被治愈的概率为_______（用数字作答）．三、解答题21．某款游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次，若出现一次音乐获得1分，若出现两次音乐获得2分，若出现三次音乐获得5分，若没有出现音乐则扣15分(即获得15-分).设每次击鼓出现音乐的概率为12，且各次击鼓出现音乐相互独立. （1）设每盘游戏获得的分数为X ，求X 的分布列. （2）玩三盘此游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？（3）玩过这款游戏的人发现，若干盘游戏后，与最初的得分相比，得分没有增加反而减少了.请你分析得分减少的原因.22．甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是12和25，假设两人射击是否击中目标，相互之间没有影响，每次射击是否击中目标，相互之间没有影响. （1）求甲射击5次，至少1次未击中目标的概率； （2）求两人各射击3次，甲恰好比乙多击中目标2次的概率23．从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下图频率分布直方图：（Ⅰ）求这500件产品质量指标值的样本平均值x 和样本方差2s （同一组的数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅱ）由直方图可以认为，这种产品的质量指标Z 服从正态分布()2,N μσ，其中μ近似为样本平均数x ，2σ近似为样本方差2s ． ①利用该正态分布，求()187.8212.2P Z <<；②某用户从该企业购买了100件这种产品，记X 表示这100件产品中质量指标值位于区间()187.8,212.2的产品件数．已知X 服从二项分布(),B n p ，利用①的结果，求()E X ．15012.2≈若()2,Z N μσ~则()0.6826P Z μσμσ-<<+=，()220.9544P Z μσμσ-<<+=．24．甲、乙两名篮球运动员，甲投篮一次命中的概率为23，乙投篮一次命中的概率为12，若甲、乙各投篮三次，设X 为甲、乙投篮命中的次数的差的绝对值，其中甲、乙两人投篮是否命中相互没有影响.（1）若甲、乙第一次投篮都命中，求甲获胜（甲投篮命中数比乙多）的概率； （2）求X 的分布列及数学期望.25．湖北省从2021年开始将全面推行新高考制度，新高考“3+1+2”中的“2”要求考生从政治、化学、生物、地理四门中选两科，按照等级赋分计入高考成绩，等级赋分规则如下：高考政治、化学、生物、地理四门等级考试科目的考生原始成绩从高到低划分为A ，B ，C ，D ，E 五个等级，确定各等级人数所占比例分别为15%，35%，35%，13%，2%，等级考试科目成绩计入考生总成绩时，将A 至E 等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法．．．．．．分别转换到[]86,100、[]71,85、[]56,70、[]41,55、[]30,40五个分数区间，得到考生的等级分，等级转换分满分为100分.具体转换分数区间如下表：而等比例转换法．．．．．．是通过公式计算：2211Y Y T TY Y T T --=--，其中1Y 、2Y 分别表示原始分区间的最低分和最高分，1T 、2T 分别表示等级分区间的最低分和最高分，Y 表示原始分，T 表示转换分，当原始分为1Y 、2Y 时，等级分分别为1T 、2T ，假设小明同学的生物考试成绩信息如下表： 设小明转换后的等级成绩为T ，根据公式得：847585756971TT --=--，所以76.677T =≈（四舍五入取整），小明最终生物等级成绩为77分.已知某学校学生有60人选了政治，以期中考试成绩为原始成绩转换该学校选政治的学生的政治等级成绩，其中政治成绩获得A 等级的学生原始成绩统计如下表： （1）从政治成绩获得A 等级的学生中任取3名，求至少有2名同学的等级成绩不小于93分的概率；（2）从政治成绩获得A 等级的学生中任取4名，设4名学生中等级成绩不小于93分人数为ξ，求ξ的分布列和期望.26．某选修课的考试按A 级、B 级依次进行，只有当A 级成绩合格时，才可继续参加B 级的考试．已知每级考试允许有一次补考机会，两个级别的成绩均合格方可获得该选修课的合格证书．现某人参加这个选修课的考试，他A 级考试成绩合格的概率为23，B 级考试合格的概率为12．假设各级考试成绩合格与否均互不影响． （1）求他不需要补考就可获得该选修课的合格证书的概率；（2）在这个考试过程中，假设他不放弃所有的考试机会，求他一共参加3次考试的概率．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】直接利用对立事件和独立事件的概率求解. 【详解】因为在一小时内甲、乙、丙三台机床需要维修的概率分别是0．1，0．2，0．4， 所以一小时内恰有一台机床需要维修的概率是：()()()()0.110.210.40.210.110.4p =⨯-⨯-+⨯-⨯- ，()()0.410.210.10.444+⨯-⨯-=.故选：A 【点睛】本题主要考查独立事件和对立事件的概率，属于中档题.2．B解析：B 【解析】1(80120)(80)(120)0.12P X P X P X -<<≤=≥== ,选B.3．C解析：C 【分析】根据题意，质点P 移动六次后位于点(4,2)，在移动过程中向右移动4次向上移动2次，即6次独立重复试验中恰有4次发生，由其公式计算可得答案． 【详解】根据题意，易得位于坐标原点的质点P 移动六次后位于点(2,4)，在移动过程中向上移动4次向右移动2次，则其概率为4262466111222C P C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭==.故选：C ． 【点睛】本题考查二项分布与n 次独立重复试验的模型，考查对基础知识的理解和掌握，考查分析和计算能力，属于常考题.4．C解析：C 【分析】根据二项分布的期望和方差公式，可知()110E p ξ=，()210E q ξ=，那么()()12E E ξξ>等价于1010p q >，即p q >，并且()()1101D p p ξ=-，()()2101D q q ξ=-，则()()12D D ξξ>等价于()()101101pp q q -<-，即()()11p p q q -<-，分情况讨论，看这两个条件是否可以互相推出即得. 【详解】由题得，()110E p ξ=，()210E q ξ=，故()()12E E ξξ>等价于1010p q >，即p q >. 又()()1101D p p ξ=-，()()2101D q q ξ=-，故()()12D D ξξ>等价于()()101101p p q q -<-，即()()11p p q q -<-.若p q >，因为14pq >，说明12p >，且()()211124p p p p pq +-⎛⎫-<=< ⎪⎝⎭，故1p q -<，故有1122p q ->-.若12q <，则221122p q ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，若12q ≥，则自然有11022p q ->->，则221122p q ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故221122p q ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即()()11p p q q -<-.若()()11p p q q -<-，则221122p q ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又因为()()1114p p q q pq -<-≤<，1p q -<，即1122p q ->-.若102p -≤，则与221122p q ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭矛盾，故12p >，若12q ≤，则自然有p q >，若12q >，则由221122p q ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭知1122p q ->-，即p q >. 所以是充要条件.故选：C 【点睛】本题综合的考查了离散型随机变量期望方差和不等式，属于中档题.5．C解析：C 【解析】 【分析】根据离散型随机变量的分布列的性质，求得，再利用随机变量的均值和方差的公式，即可求解，得到答案． 【详解】由离散型随机变量的分布列的性质可得，解得，所以随机变量的均值为，方差为， 故选C ． 【点睛】本题主要考查了离散型随机变量的分布列的性质，以及均值与方程的计算，其中解答中根据离散型随机变量的分布列的性质，求得的值，再利用均值和方差的公式，准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．6．A解析：A 【分析】将1,2,3,4X =代入()P X k =的表达式，利用概率之和为1列方程，利用期望值列出第二个方程，联立方程组，可求解得+a b 的值. 【详解】依题意可的X 的分布列为X1 2 3 4P+a b 2a b + 3a b + 4a b +()()()()23412233443a b a b a b a b a b a b a b a b +++++++=⎧⎨+++++++=⎩，解得1,010a b ==，故110a b +=.所以选A. 【点睛】本小题主要考查离散型随机变量分布列，考查概率之和为1，考查离散型随机变量的数学期望，还考查了方程的思想.属于基础题.7．C解析：C 【分析】根据随机试验的结果只有A 和A ，P （A ）=m ，使得随机变量11A X A ⎧=⎨-⎩发生发生，得到随机变量符合两点分布，根据两点分布的方差公式得到结果． 【详解】∵由题意知一随机试验的结果只有A 和A ， 且P （A ）=m ，随机变量11A X A ⎧=⎨-⎩发生发生∴X 服从两点分布，∴EX=1(1)(1)21m m m ⨯+-⨯-=-, ∴DX=4m （1-m ）． 故选C ． 【点睛】解决离散型随机变量分布列问题时，主要依据概率的有关概念和运算，同时还要注意题目中离散型随机变量服从什么分布，若服从特殊的分布则运算要简单的多．8．A解析：A 【分析】若电路不发生故障，则满足1T 正常工作，23T T ，至少有一个正常工作 【详解】记1T 正常工作为事件A 记2T 正常工作为事件B 记3T 正常工作为事件C 则()12P A =，()23P B =，()34P C = 电路不发生故障，则满足1T 正常工作，23T T ，至少有一个正常工作 则23T T ，至少有一个正常工作，概率为()1231111113412P P BC ⎛⎫⎛⎫=-=--⨯-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则电路不发生故障的概率1111121224P =⨯= 故选A 【点睛】本题主要考查了概率知识及实际应用能力，考查了相互独立事件同时发生的概率的计算，关键是确定不发生故障时满足的条件．9．C解析：C【解析】 【分析】随机变量X 的可能取值为20,30,40，结合组合知识，利用古典概型概率公式求出各随机变量对应的概率，从而可得分布列，进而利用期望公式可得X 的数学期望. 【详解】X 的可能取值为20,30,40，()222521202010A P X A ====；()311232323562323306010A C C A P X A +⋅⋅+⨯⨯====； ()()()1334012030110105P X P X P X ==-=-==--=，数学期望2030403510105EX =⨯+⨯+⨯=， 即需检测费的均值为35，故选C. 【点睛】本题主要考查组合的应用、古典概型概率公式以及离散型随机变量的分布列与数学期望，属于中档题. 求解数学期望问题，首先正确要理解题意，其次要准确无误的找出随机变量的所以可能值，计算出相应的概率，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差的公式进行计算，也就是要过三关：（1）阅读理解关；（2）概率计算关；（3）公式应用关.10．C解析：C 【解析】分析：先确定随机变量得取法12X =，，再根据独立重复试验求概率. 详解：因为14244411(1)(),(2)(),22P x C P x C ==== 所以142444411105(03)(1)(2)()(),2228P x P x P x C C <<==+==+== 选C.点睛：n 次独立重复试验事件A 恰好发生k 次得概率为(1)k k n k n C p p --.其中p 为1次试验种A 发生得概率.11．D解析：D 【解析】分析：由题意结合随机变量的性质整理计算即可求得最终结果. 详解：随机变量ξ满足()14E ξ-=，()14D ξ-=， 则：()214,14E D ξξ-=-=， 据此可得：3,4E D ξξ=-=. 本题选择D 选项.点睛：本题主要考查期望的数学性质，方差的数学性质等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.12．D解析：D 【解析】分析：根据离散型随机变量分布列的性质，变量取各个量对应的概率和等于1，建立关于a 的等量关系式，最后求得结果.详解：根据分布列的性质可得，()()()0121110121333P P P a a a ξξξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+==++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，解得913a =，故选D. 点睛：解决该题的关键是明确离散型随机变量的分布列的性质，从而找到关于参数a 所满足的等量关系式，最后求得结果.二、填空题13．【解析】所以【点睛】解答离散型随机变量的分布列及相关问题的一般思路:(1)明确随机变量可能取哪些值(2)结合事件特点选取恰当的计算方法计算这些可能取值的概率值(3)根据分布列和期望方差公式求解注意： 解析：1712【解析】()11103412P X ==⨯=，()211351343412P X ==⨯+⨯=，()23623412P X ==⨯=，所以()1526171212E X ⨯+⨯==. 【点睛】解答离散型随机变量的分布列及相关问题的一般思路:(1)明确随机变量可能取哪些值．(2)结合事件特点选取恰当的计算方法计算这些可能取值的概率值．(3)根据分布列和期望、方差公式求解．注意：解题中要善于透过问题的实际背景发现其中的数学规律，以便使用我们掌握的离散型随机变量及其分布列的知识来解决实际问题．14．6【分析】通过频率分布直方图求出年龄段在的频率即概率通过二项分布求出数学期望即可【详解】通过频率分布直方图得年龄段在的频率为即概率为抽到老年人的人数为服从二项分布即所以期望为故答案为：06【点睛】本解析：6 【分析】通过频率分布直方图求出年龄段在[]60,80的频率即概率，通过二项分布求出数学期望即可. 【详解】通过频率分布直方图得年龄段在[]60,80的频率为20.01100.2⨯⨯=，即概率为0.2， 抽到“老年人”的人数为X 服从二项分布，即()3,0.2X B ,所以期望为()30.20.6E X np ==⨯=， 故答案为：0.6. 【点睛】本题主要考查了频率分布直方图的应用，二项分布期望的求法，属于中档题.15．【分析】列出所有情况统计满足条件的情况得到齐王每次胜利的概率再根据独立事件计算得到答案【详解】设齐王的上中下等马为田忌的上中下等马为则共有9种情况其中齐王获胜的有6种情况故故答案为：【点睛】本题考查 解析：2027【分析】列出所有情况，统计满足条件的情况得到齐王每次胜利的概率123p =，再根据独立事件计算得到答案. 【详解】设齐王的上中下等马为ABC ，田忌的上中下等马为abc ， 则共有,,,,,,,,Aa Ab Ac Ba Bb Bc Ca Cb Cc 9种情况， 其中齐王获胜的有,,,,,Aa Ab Ac Bb Bc Cc 6种情况，故16293p ==， 32232212033327p C ⎛⎫⎛⎫=+⋅⋅=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为：2027. 【点睛】本题考查了概率的计算，意在考查学生的计算能力和应用能力.16．【分析】根据正态分布对称性知计算得到答案【详解】根据正态分布对称性知：故此次统考中成绩不低于120分的学生人数约为故答案为：【点睛】本题考查了正态分布意在考查学生对于正态分布性质的应用 解析：200根据正态分布对称性知()11208p X >=，计算得到答案. 【详解】根据正态分布对称性知：()()131120801248p X p X ⎛⎫>=<=⋅-= ⎪⎝⎭. 故此次统考中成绩不低于120分的学生人数约为116002008⨯=. 故答案为：200. 【点睛】本题考查了正态分布，意在考查学生对于正态分布性质的应用.17．【分析】要求的值就是要将与求出两个未知数建立出两个方程即可由概率之和为1得到一个方程由得到第二个方程建立方程组从而得到结果【详解】解：离散随机变量可能取的值为123（）故的数学期望①而且②①②联立方解析：16【分析】要求+a b 的值，就是要将a 与b 求出。

(易错题)高中数学高中数学选修2-3第一章《计数原理》测试卷(有答案解析)

(易错题)高中数学高中数学选修2-3第一章《计数原理》测试卷(有答案解析)

一、选择题1．在某次联考数学测试中，学生成绩ξ服从正态分布2(100,)(0)σσ>，若ξ在(80,120)内的概率为0.8，则任意选取一名学生，该生成绩不高于80的概率为（ ） A ．0.05B ．0.1C ．0.15D ．0.22．甲、乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛．若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛．假设每局甲获胜的概率为13，乙获胜的概率为23各局比赛结果相互独立．则甲在4局以内（含4局）赢得比赛的概率为（ ） A ．1781B ．5681C ．6481D ．25813．已知,a b 为实数，随机变量X ，Y 的分布列如下：若()(1)E Y P Y ==-，随机变量ξ满足XY ξ=，其中随机变量X ，Y 相互独立，则()E ξ取值范围的是（ ）A ．3,14⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．1,018⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．1,118⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．3,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦4．随机变量X 的取值为0，1，2，若1(0)5P X ==，()1E X =，则()D X =（ ）A ．15B ．25C D 5．某闯关游戏规则如下:在主办方预设的6个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，闯关成功，假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.6，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就闯关成功的概率等于（ ） A ．0.064B ．0.144C ．0.216D ．0.4326．某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为45，那么播下4粒种子恰有2粒发芽的概率是（ ） A ．16625B ．96625C ．192625D ．2566257．设一随机试验的结果只有A 和A ,且A 发生的概率为m ，令随机变量11A X A 发生发生⎧=⎨-⎩，则()D X =（ ）A ．1B ．(1)m m -C ．4(1)m m -D ．4(1)(21)m m m --8．设随机变量ξ服从正态分布()0,1N ，则下列结论正确的是（ ）①()()()()0P a P a P a a ξξξ<=<+>->；②()()()210P a P a a ξξ<=<->； ③()()()120P a P a a ξξ<=-<>；④()()()10P a P a a ξξ<=-≥>． A ．①②B ．②③C ．①④D ．②④9．随机变量X 的分布列如下表，且E (X )＝2，则D (2X －3)＝（ ）A ．2B ．3C ．4D ．510．已知在5件产品中混有2件次品，现需要通过逐一检测直至查出2件次品为止，每检测一件产品的费用是10元，则所需检测费的均值为（ ） A ．32元B ．34元C ．35元D ．36元11．若随机变量X 的分布列为：已知随机变量Y aX b =+(,,0)a b R a ∈>，且()10,()4E Y D Y ==，则a 与b 的值为( ) A ．10,3a b == B ．3,10a b ==C ．5,6a b ==D ．6,5a b ==12．如果()20,X B p ，当12p =且()P X k =取得最大值时， k 的值是（ ）A ．8B ．9C ．10D ．11二、填空题13．数轴上有一质点，从原点开始每次等可能的向左或向右移动一个单位，则移动4次后，该质点的坐标为2的概率为________.14．某人乘车从A 地到B 地，所需时间（分钟）服从正态分布N （30，100），求此人在40分钟至50分钟到达目的地的概率为__________．参考数据：若2~(,)Z N μσ，则()0.6826P Z μσμσ-<<+=，(22)0.9544P Z μσμσ-<<+=，(33)0.9974P Z μσμσ-<<+=．15．已知随机变量ξ服从正态分布()21,N σ，若(3)0.0442P ξ>=，则(13)P ξ≤≤=________．16．若随机变量~(2,)X B p ，随机变量~(3,)Y B p ，若4(2)9P X ==，则(21)E Y +的值为_______.17．已知随机变量ξ所有的取值为1，2，3，对应的概率依次为1p 、2p 、1p ，若随机变量ξ的方差12D ξ=，则12p p +的值是 _________. 18．随机变量ξ的分布列如下：若()3E ξ=，则()D ξ=__________. 19．江先生朝九晚五上班，上班通常乘坐公交加步行或乘坐地铁加步行.江先生从家到公交站或地铁站都要步行5分钟.公交车多且路程近一些，但乘坐公交路上经常拥堵，所需时间（单位：分钟）服从正态分布()233,4N ，下车后从公交站步行到单位要12分钟；乘坐地铁畅通，但路线长且乘客多，所需时间（单位：分钟）服从正态分布()244,2N ，下地铁后从地铁站步行到单位要5分钟.下列说法：①若8：00出门，则乘坐公交不会迟到；②若8：02出门，则乘坐地铁上班不迟到的可能性更大；③若8：06出门，则乘坐公交上班不迟到的可能性更大；④若8：12出门，则乘坐地铁几乎不可能上班不迟到.从统计的角度认为以上说法中所有合理的序号是__________． 参考数据：若()2~,Z N μσ，则()0.6826P Z μσμσ-<<+=，(22)0.9544P Z μσμσ-<<+=，(33)0.9974P Z μσμσ-<<+=.20．已知随机变量2~(1,)N ξσ，且(1)0.1P ξ≤-=，(23)0.15P ξ≤≤=，则(02)P ξ≤≤=_______.三、解答题21．网上订外卖已经成为人们日常生活中不可或缺的一部分. M 外卖平台（以下简称M 外卖）为了解其在全国各城市的业务发展情况，随机抽取了100个城市，调查了M 外卖在今年2月份的订单情况，并制成如下频率分布表.（1）由频率分布表可以认为，今年2月份M 外卖在全国各城市的订单数Z （单位：万件）近似地服从正态分布2(,)N μσ，其中μ为样本平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表），σ为样本标准差，它的值已求出，约为3.64，现把频率视为概率，解决下列问题：①从全国各城市中随机抽取6个城市，记今年2月份M 外卖订单数Z 在区间(4.88,15.8]内的城市数为X ，求X 的数学期望（取整数）；②M 外卖决定在该月订单数低于7万件的城市开展“订外卖，抢红包”的营销活动来提升业绩，据统计，开展此活动后城市每月外卖订单数将提高到平均每月9万件的水平，现从全国2月订单数不超过7万件的城市中采用分层抽样的方法选出100个城市开展营销活动，若每接一件外卖订单平均可获纯利润5元，但每件外卖订单平均需送出红包2元，则M 外卖在这100个城市中开展营销活动将比不开展营销活动每月多盈利多少万元？（2）现从全国开展M 外卖业务的所有城市中随机抽取100个城市，若抽到K 个城市的M 外卖订单数在区间(]12.16,19.44内的可能性最大，试求整数k 的值.参考数据：若随机变量X 服从正态分布2(,)N μσ，则()0.6827P X μσμσ-<≤+=，(22)0.9545P X μσμσ-<≤+=，3309().973P X μσμσ-<≤+=.22．随着马拉松运动在全国各地逐渐兴起，参与马拉松训练与比赛的人数逐年增加.为此，某市对参加马拉松运动的情况进行了统计调查，其中一项是调查人员从参与马拉松运动的人中随机抽取100人，对其每月参与马拉松运动训练的天数进行统计，得到以下统计表：平均每月进行训练的天数位于该区间的概率，从该市所有参与马拉松训练的人中随机抽取4个人，求恰好有2个人是“平均每月进行训练的天数不少于20天”的概率；（2）依据统计表，用分层抽样的方法从这100个人中抽取20个，再从抽取的20个人中随机抽取4个，Y 表示抽取的是“平均每月进行训练的天数不少于20天”的人数，求Y 的分布列及数学期望()E Y .23．根据某电子商务平台的调查统计显示，参与调查的1 000位上网购物者的年龄情况如图所示．（1）已知[30，40），[40，50），[50，60）三个年龄段的上网购物者人数成等差数列，求,a b 的值；（2）该电子商务平台将年龄在[30，50）内的人群定义为高消费人群，其他年龄段的人群定义为潜在消费人群，为了鼓励潜在消费人群的消费，该平台决定发放代金券，高消费人群每人发放50元的代金券，潜在消费人群每人发放100元的代金券，现采用分层抽样的方式从参与调查的1 000位上网购物者中抽取10人，并在这10人中随机抽取3人进行回访，求此3人获得代金券总和X （单位：元）的分布列与数学期望．24．已知甲盒中有三个白球和三个红球，乙盒中仅装有三个白球，球除颜色外完全相同，现从甲盒中任取三个球放入乙盒中.（1）求乙盒中红球个数X 的分布列与期望； （2）求从乙盒中任取一球是红球的概率.25．2020年1月10日，引发新冠肺炎疫情的9COVID -病毒基因序列公布后，科学家们便开始了病毒疫苗的研究过程.但是类似这种病毒疫苗的研制需要科学的流程，不是一朝一夕能完成的，其中有一步就是做动物试验.已知一个科研团队用小白鼠做接种试验，检测接种疫苗后是否出现抗体.试验设计是：每天接种一次，3天为一个接种周期.已知小白鼠接种后当天出现抗体的概率为12，假设每次接种后当天是否出现抗体与上次接种无关. （1）求一个接种周期内出现抗体次数K 的分布列；（2）已知每天接种一次花费100元，现有以下两种试验方案：①若在一个接种周期内连续2次出现抗体即终止本周期试验，进行下一接种周期，试验持续三个接种周期，设此种试验方式的花费为X 元；②若在一个接种周期内出现2次或3次抗体，该周期结束后终止试验，已知试验至多持续三个接种周期，设此种试验方式的花费为Y 元.本着节约成本的原则，选择哪种实验方案. 26．抛掷一枚质地均匀的硬币2次，记正面朝上的次数为X ． （1）求随机变量X 的分布列；（2）若随机变量21Y X =+，求随机变量Y 均值、方差．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B解析：B 【解析】1(80120)(80)(120)0.12P X P X P X -<<≤=≥== ,选B.2．A解析：A 【分析】甲在4局内（含4局）赢得比赛包含3种情况：①甲胜第1、2局；②乙胜第1局，甲胜2、3局；③甲胜第1局，乙胜第2局，甲胜第3、4局，由此可求得甲在4局以内（含4局）赢得比赛的概率. 【详解】由题意，甲在4局内（含4局）赢得比赛包含3种情况：①甲胜第1、2局，概率为211()3p =；②乙胜第1局，甲胜2、3局，概率为2221()33p =⨯； ③甲胜第1局，乙胜第2局，甲胜第3、4局，概率为23121()333p =⨯⨯， 所以甲在4局以内（含4局）赢得比赛的概率为22212112117()()()33333381p =+⨯+⨯⨯=. 故选：A. 【点睛】本题主要考查了概率的求法，以及相互独立事件的概率乘法公式和互斥事件的概率加法公式的应用，着重考查分类讨论思想，以及计算能力.3．B解析：B 【分析】由()(1)E Y P Y ==-及1a b c ++=，可知13b a =-，2c a =；又因为0,,1a b c ≤≤，可求出103a ≤≤；由题意知1()6E a ξ=-，从而可求出()E ξ取值范围.【详解】解：由()(1)E Y P Y ==-知，a c a -+= ，即2c a = ，又1a b c ++= ，所以13b a =-；因为0,,1a b c ≤≤ ，所以0131021a a ≤-≤⎧⎨≤≤⎩ ，解得103a ≤≤.又()1110366E X =-++=- ，且X ，Y 相互独立，XY ξ=，所以()()()11(),0618E E XY E X E Y a ξ⎡⎤===-∈-⎢⎥⎣⎦. 故选:B. 【点睛】本题考查了数学期望，考查了分布列的性质，考查了推理能力和计算能力.本题的关键是由条件求出a 的取值范围.4．B解析：B 【分析】设(1)P X p ==，(2)P X q ==，则由1(0)5P X ==，()1E X =，列出方程组，求出35p =，15q =，由此能求出()D X ． 【详解】设(1)P X p ==，(2)P X q ==，1()0215E X p q =⨯++=①，又115p q ++=，② 由①②得，35p =，15q =， 2221312()(01)(11)(21)5555D X ∴=-+-+-=，故选：B . 【点睛】本题考查离散型随机变量的方差的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．5．B解析：B 【分析】根据题意得到第2个问题不正确，第3、4个问题正确，计算概率得到答案. 【详解】选手恰好回答了4个问题就闯关成功，则第2个问题不正确，第3、4 个问题正确. 故0.60.40.60.60.40.40.60.60.144p =⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=. 故选：B . 【点睛】本题考查了概率的计算，意在考查学生的应用能力.6．B解析：B 【详解】解：根据题意，播下4粒种子恰有2粒发芽即4次独立重复事件恰好发生2次， 由n 次独立重复事件恰好发生k 次的概率的公式可得，()2224441962()()55625P C ==故选B ．7．C解析：C 【分析】根据随机试验的结果只有A 和A ，P （A ）=m ，使得随机变量11A X A ⎧=⎨-⎩发生发生，得到随机变量符合两点分布，根据两点分布的方差公式得到结果． 【详解】∵由题意知一随机试验的结果只有A 和A ，且P （A ）=m ，随机变量11A X A ⎧=⎨-⎩发生发生 ∴X 服从两点分布，∴EX=1(1)(1)21m m m ⨯+-⨯-=-,∴DX=4m （1-m ）． 故选C ． 【点睛】解决离散型随机变量分布列问题时，主要依据概率的有关概念和运算，同时还要注意题目中离散型随机变量服从什么分布，若服从特殊的分布则运算要简单的多．8．D解析：D 【解析】 【分析】随机变量ξ服从正态分布N(0，1)，根据概率和正态曲线的性质，即可得到答案 【详解】因为P(|ξ|＜a)＝P(－a ＜ξ＜a)，所以①不正确；因为P(|ξ|＜a)＝P(－a ＜ξ＜a)＝P(ξ＜a)－P(ξ＜－a)＝P(ξ＜a)－P(ξ＞a) ＝P(ξ＜a)－(1－P(ξ＜a))＝2P(ξ＜a)－1，所以②正确，③不正确； 因为P(|ξ|＜a)＋P(|ξ|≥a)＝1，所以P(|ξ|＜a)＝1－P(|ξ|≥a)(a ＞0)，所以④正确． 故选D 【点睛】本题是一道关于正态分布的题目，解题的关键是正确理解正态分布曲线的特点，属于中档题。

(压轴题)高中数学高中数学选修2-3第一章《计数原理》测试题(包含答案解析)

(压轴题)高中数学高中数学选修2-3第一章《计数原理》测试题(包含答案解析)

一、选择题1．甲、乙、丙三台机床是否需要维修相互之间没有影响．在一小时内甲、乙、丙三台机床需要维修的概率分别是0.1，0.2，0.4，则一小时内恰有一台机床需要维修的概率是（ ） A ．0.444B ．0.008C ．0.7D ．0.2332．两个实习生每人加工一个零件.加工为一等品的概率分别为56和34，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为( ) A ．12B ．13C ．512D ．163．西大附中为了增强学生对传统文化的继承和发扬，组织了一场类似《诗词大会》的PK 赛，A 、B 两队各由4名选手组成，每局两队各派一名选手PK ，除第三局胜者得2分外，其余各胜者均得1分，每局的负者得0分．假设每局比赛A 队选手获胜的概率均为23，且各局比赛结果相互独立，比赛结束时A 队的得分高于B 队的得分的概率为（ ） A ．2027B ．5281C ．1627D ．794．已知,a b 为实数，随机变量X ，Y 的分布列如下：若()(1)E Y P Y ==-，随机变量ξ满足XY ξ=，其中随机变量X ，Y 相互独立，则()E ξ取值范围的是（ ）A ．3,14⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．1,018⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．1,118⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．3,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦5．将三枚质地均匀的骰子各掷一次，设事件A =“三个点数之和等于15”，B =“至少出现一个5点”，则概率()|P A B 等于（ ） A ．5108B ．113C ．17D ．7106．从装有除颜色外完全相同的3个白球和m 个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回的摸取5次，设摸得白球数为X ，已知()3E X =，则()(D X = )A ．85B ．65C ．45D ．257．体育课上定点投篮项目测试规则：每位同学有3次投篮机会，一旦投中，则停止投篮，视为合格，否则一直投3次为止．每次投中与否相互独立，某同学一次投篮投中的概率为p ，若该同学本次测试合格的概率为0.784，则p =（ ）A ． 0.4B ．0.6C ．0.1D ．0.28．据统计，连续熬夜48小时诱发心脏病的概率为0.055 ，连续熬夜72小时诱发心脏病的概率为0.19 . 现有一人已连续熬夜48小时未诱发心脏病，则他还能继续连续熬夜24小时不诱发心脏病的概率为（ ） A ．67B ．335C ．1135D ．0.199．若随机变量X 的分布列为：已知随机变量Y aX b =+(,,0)a b R a ∈>，且()10,()4E Y D Y ==，则a 与b 的值为( ) A ．10,3a b ==B ．3,10a b ==C ．5,6a b ==D ．6,5a b ==10．甲、乙两名同学参加一项射击比赛游戏，其中任何一人每射击一次击中目标得2分，未击中目标得0分．若甲、乙两人射击的命中率分别为0.6和P ，且甲、乙两人各射击一次得分之和为2的概率为0.45．假设甲、乙两人射击互不影响，则P 值为（ ） A ．0.8B ．0.75C ．0.6D ．0.2511．已知随机变量X 的分布列如表，其中a ，b ，c 为等差数列，若1()3E X =，则()D X 等于（ ）X 1- 0 1PabcA ．49B ．59C ．13D ．2312．小明的妈妈为小明煮了 5 个粽子，其中两个腊肉馅三个豆沙馅，小明随机取出两个，事件‘‘"A 取到的两个为同一种馅，事件‘‘"B =取到的两个都是豆沙馅，则()P B A =∣ （ ）A ．14B ．34C ．110D ．310二、填空题13．甲、乙两人被随机分配到,,A B C 三个不同的岗位（一个人只能去一个工作岗位）．记分配到A 岗位的人数为随机变量X ，则随机变量X 的数学期望()E X =_____． 14．一只青蛙从数轴的原点出发，当投下的硬币正面向上时，它沿数轴的正方向跳动两个单位；当投下的硬币反面向上时，它沿数轴的负方向跳动一个单位，若青蛙跳动4次停止，设停止时青蛙在数轴上对应的坐标为随机变量X ，则()E X =______． 15．在一个袋中放入四种不同颜色的球，每种颜色的球各两个，这些球除颜色外完全相同．现玩一种游戏：游戏参与者从袋中一次性随机抽取4个球，若抽出的4个球恰含两种颜色，获得2元奖金；若抽出的4个球恰含四种颜色，获得1元奖金；其他情况游戏参与者交费1元．设某人参加一次这种游戏所获得奖金为X ，则()E X =________． 16．测量某一目标的距离时，所产生的随机误差X 服从正态分布()220,10N ，如果独立测量3次，至少一次测量误差在()0,30内的概率是__________.附参考数据：()0.68P X μδμδ-<≤+=，()220.95P X μδμδ-<≤+=，()330.99P X μδμδ-<≤+=，20.1850.03=，30.1850.006=，20.8150.66=，30.8150.541=.17．设平面上的动点P(1,y)的纵坐标y 等可能地取-用ξ表示点P 到坐标原点的距离,则随机变量ξ的数学期望Eξ=_________18．已知随机变量X 服从正态分布()2,1N . 若()130.6826P X ≤≤=，则()3P X >等于______________．19．甲、乙两人投篮命中的概率分别为p,q,他们各投2次,若p=12,且甲比乙投中次数多的概率为736,则q 的值为____. 20．给出下列命题：①函数()π4cos 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的一个对称中心为5π,012⎛⎫- ⎪⎝⎭；②若命题:p “2,10x R x x ∃∈-->”，则命题p 的否定为：“2,10x R x x ∀∈--<”；③设随机变量~(,)B n p ξ，且()2,()1E D ξξ==，则(1)p ξ==14；④函数sin 2y x =的图象向左平移π4个单位长度，得到πsin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象.其中正确命题的序号是_____________（把你认为正确的序号都填上）.三、解答题21．已知一个袋子里有形状一样仅颜色不同的6个小球，其中白球2个，黑球4个.现从中随机取球，每次只取一球．()1若每次取球后都放回袋中，求事件“连续取球四次，至少取得两次白球”的概率；()2若每次取球后都不放回袋中，且规定取完所有白球或取球次数达到五次就终止游戏，记游戏结束时一共取球X 次，求随机变量X 的分布列与期望．22．某市教育部门规定,高中学生三年在校期间必须参加不少于80小时的社区服务．教育部门在全市随机抽取200位学生参加社区服务的数据,按时间段[)75,80,[)80,85,[)85,90,[)90,95,[]95,100（单位：小时）进行统计,其频率分布直方图如图所示．（1）求抽取的200位学生中,参加社区服务时间不少于90小时的学生人数,并估计从全市高中学生中任意选取一人,其参加社区服务时间不少于90小时的概率；（2）从全市高中学生（人数很多）中任意选取3位学生,记X 为3位学生中参加社区服务时间不少于90小时的人数．试求随机变量X 的分布列和数学期望EX ．23．2019年以来，全国发生多起较大煤矿生产安全事故，事故给人民群众的财产和生命造成重大损失.尽管国务院安委办要求对事故责任人从严查处.但是有的煤矿企业领导人仍然不能够对安全生产引起足够重视.不久前，某煤矿发生瓦斯爆炸事故，作业区有若干矿工人员被困.若救援队从入口进入之后有1L ，2L 两条巷道通往作业区如下图所示，其中1L 巷道有1A ，2A ，3A 三个易堵塞点，且各易堵塞点被堵塞的概率都是12；2L 巷道有1B ，2B 两个易堵塞点，且1B ，2B 易堵塞点被堵塞的概率分别为14，35，不同易堵塞点被堵塞或不被堵塞互不影响.（1）求1L 巷道中的三个易堵塞点至少有两个被堵塞的概率；（2）若2L 巷道中两个易堵塞点被堵塞个数为X ，求X 的分布列及数学期望； （3）若1L 巷道中三个易堵塞点被堵塞的个数为Y ，求Y 的数学期望.24．在一次猜灯谜活动中，共有20道灯谜，两名同学独立竞猜，甲同学猜对了12个，乙同学猜对了8个，假设猜对每道灯谜都是等可能的，试求：（1）任选一道灯谜，恰有一个人猜对的概率；（2）任选一道灯谜，甲、乙都没有猜对的概率．25．甲，乙两人进行定点投篮活动，已知他们每投篮一次投中的概率分别是23和35，每次投篮相互独立互不影响．（Ⅰ）甲乙各投篮一次，记“至少有一人投中”为事件A，求事件A发生的概率；（Ⅱ）甲乙各投篮一次，记两人投中次数的和为X，求随机变量X的分布列及数学期望；（Ⅲ）甲投篮5次，投中次数为ξ，求ξ＝2的概率和随机变量ξ的数学期望．26．超市为了防止转基因产品影响民众的身体健康，要求产品在进入超市前必须进行两轮转基因检测，只有两轮都合格才能销售，否则不能销售.已知某产品第一轮检测不合格的概率为14，第二轮检测不合格的概率为19，两轮检测是否合格相互没有影响.（1）求该产品不能销售的概率；（2）如果产品可以销售，则每件产品可获利50元；如果产品不能销售，则每件产品亏损60元.已知一箱中有产品4件，记一箱产品获利X元，求X的分布列，并求出均值()E X.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【分析】直接利用对立事件和独立事件的概率求解.【详解】因为在一小时内甲、乙、丙三台机床需要维修的概率分别是0．1，0．2，0．4，所以一小时内恰有一台机床需要维修的概率是：()()()()0.110.210.40.210.110.4p=⨯-⨯-+⨯-⨯-，()()0.410.210.10.444+⨯-⨯-=.故选：A【点睛】本题主要考查独立事件和对立事件的概率，属于中档题.2．B解析：B【分析】根据题意，分析可得，这两个零件中恰有一个一等品包含仅第一个实习生加工一等品与仅第二个实习生加工一等品两种互斥的事件，而两个零件是否加工为一等品相互独立，进而由互斥事件与独立事件的概率计算可得答案． 【详解】记两个零件中恰好有一个一等品的事件为A ， 即仅第一个实习生加工一等品为事件1A ， 仅第二个实习生加工一等品为事件2A 两种情况， 则()()()125113164643P A P A P A =+=⨯+⨯=， 故选：B ． 【点睛】本题考查了相互独立事件同时发生的概率与互斥事件的概率加法公式，解题前，注意区分事件之间的相互关系，属于基础题.3．A解析：A 【分析】比赛结束时A 队的得分高于B 队的得分的情况有3种：A 全胜；A 三胜一负、A 第三局胜，另外三局一胜两负.利用独立重复试验的概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】比赛结束时A 队的得分高于B 队的得分的情况有3种：A 全胜；A 三胜一负、A 第三局胜，另外三局一胜两负.所以，比赛结束时A 队的得分高于B 队的得分的概率为43232432212122033333327P C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⋅⋅+⋅⋅=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故选：A. 【点睛】本题考查概率的求解，考查独立重复试验概率的求解，考查计算能力，属于中等题.4．B解析：B 【分析】由()(1)E Y P Y ==-及1a b c ++=，可知13b a =-，2c a =；又因为0,,1a b c ≤≤，可求出103a ≤≤；由题意知1()6E a ξ=-，从而可求出()E ξ取值范围.【详解】解：由()(1)E Y P Y ==-知，a c a -+= ，即2c a = ，又1a b c ++= ，所以13b a =-；因为0,,1a b c ≤≤ ，所以0131021a a ≤-≤⎧⎨≤≤⎩ ，解得103a ≤≤.又()1110366E X =-++=- ，且X ，Y 相互独立，XY ξ=，所以()()()11(),0618E E XY E X E Y a ξ⎡⎤===-∈-⎢⎥⎣⎦. 故选:B. 【点睛】本题考查了数学期望，考查了分布列的性质，考查了推理能力和计算能力.本题的关键是由条件求出a 的取值范围.5．B解析：B 【分析】根据条件概率的计算公式即可得出答案. 【详解】3311166617()216A P AB C C C +==，11155561116691()1216C C C P B C C C =-= ()()()72161|2169113P AB P A B P B ∴==⨯= 故选：B 【点睛】本题主要考查了利用条件概率计算公式计算概率，属于中档题.6．B解析：B 【分析】由题意知，3~(5,)3X B m +，由3533EX m =⨯=+，知3~(5,)5X B ，由此能求出()D X ．【详解】由题意知，3~(5,)3X B m +， 3533EX m ∴=⨯=+，解得2m =， 3~(5,)5X B ∴，336()5(1)555D X ∴=⨯⨯-=．故选：B ． 【点睛】本题考查离散型随机变量的方差的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意二项分布的灵活运用．7．A解析：A 【解析】 【分析】根据合格的情况列方程：()()2110.784p p p p p +-+-=，解方程求出结果． 【详解】由题意可得：()()2110.784p p p p p +-+-= 整理可得：()()22212330.784p p p p p pp -+-+=-+=解得：0.4p = 本题正确选项：A 【点睛】本题考查概率的求法，考查对立事件概率计算公式、相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8．A解析：A 【解析】分析：首先设出题中的事件，然后由题意结合条件概率公式整理计算即可求得最终结果. 详解：设事件A 为48h 发病，事件B 为72h 发病， 由题意可知：()()0.055,0.19P A P B ==， 则()()0.945,0.81P A P B ==， 由条件概率公式可得：()()()()()0.816|0.9457P AB P B P B A P A P A ====. 本题选择A 选项.点睛：本题主要考查条件概率公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.9．C解析：C 【解析】 分析:详解：由随机变量X 的分布列可知，m 10.20.8=-=， ∴()00.210.80.8E X =⨯+⨯=，()10.20.80.16D X =⨯⨯=，∴()()()()2b 10?4E Y aE X D Y a D X =+===， ∴20.8a b 10? 0.164a +==， ∴5,6a b == 故选C点睛：本题考查了随机变量的数学期望及其方差，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10．B解析：B 【解析】分析：由题意知甲、乙两人射击互不影响，则本题是一个相互独立事件同时发生的概率，根据题意可设“甲射击一次，击中目标”为事件A ，“乙射击一次，击中目标”为事件B ，由相互独立事件的概率公式可得，可得关于p 的方程，解方程即可得答案． 详解：设“甲射击一次，击中目标”为事件A ，“乙射击一次，击中目标”为事件B ， 则“甲射击一次，未击中目标”为事件A ，“乙射击一次，未击中目标”为事件B ， 则P （A ）=35，P （A ）=1﹣35=25，P （B ）=P ，P （B ）=1﹣P ， 依题意得：35×（1﹣p ）+25×p=920， 解可得，p=34， 故选：B ．点睛：求相互独立事件同时发生的概率的方法主要有 ①利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解．②正面计算较繁或难以入手时，可从其对立事件入手计算．11．B解析：B 【详解】∵a ，b ，c 为等差数列，∴2b a c =+，∵1a b c ++=，1113E a c c a ξ=-⨯+⨯=-=，解得16a =，13b =，12c =，∴22215()()39DX E X EX a c ⎛⎫=-=+-= ⎪⎝⎭，故选B ． 12．B解析：B 【详解】由题意，P （A ）=222310C C +=410，P （AB ）=2310C =310， ∴P （B|A ）=()AB A)P P （=34，故选B ．二、填空题13．【分析】由题意得出的可能取值以及相应的概率再计算数学期望即可【详解】由题意可得的可能取值有012则数学期望故答案为：【点睛】本题主要考查了求离散型随机变量的数学期望属于中档题解析：23【分析】由题意得出X 的可能取值以及相应的概率，再计算数学期望即可. 【详解】由题意可得X 的可能取值有0，1，2224(0)339P X ⨯===⨯，122411(1),(2)339339C P X P X ⨯======⨯⨯则数学期望4()09E X =⨯41212993+⨯+⨯=． 故答案为：23【点睛】本题主要考查了求离散型随机变量的数学期望，属于中档题.14．2【分析】列举出所有的可能出现的情况硬币4次都反面向上则青蛙停止时坐标为硬币3次反面向上而1次正面向上硬币2次反面向上而2次正面向上硬币1次反面向上而3次正面向上硬币4次都正面向上做出对应的坐标和概解析：2 【分析】列举出所有的可能出现的情况,硬币4次都反面向上,则青蛙停止时坐标为14x =-,硬币3次反面向上而1次正面向上,硬币2次反面向上而2次正面向上,硬币1次反面向上而3次正面向上,硬币4次都正面向上,做出对应的坐标和概率,算出期望. 【详解】所有可能出现的情况分别为硬币4次都反面向上，则青蛙停止时坐标为14x =-,此时概率1116p =； 硬币3次反面向上而1次正面向上,则青蛙停止时坐标为21x =-,此时概率33241141=22164p C ⎛⎫=⨯⨯= ⎪⎝⎭；硬币2次反面向上而2次正面向上,则青蛙停止时坐标为32x =,此时概率222341163=22168p C ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭硬币1次反面向上而3次正面向上，则青蛙停止时坐标为45x =,此时概率341141141=22164p C ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；硬币4次都正面向上，则青蛙停止时坐标为58x =,此时标率405411216p C ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭.1122334455()2E X x p x p x p x p x p ∴=++++=故答案为：2 【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列和期望,考查学生分析问题的能力和计算求解能力,难度一般.15．【分析】首先根据题意判断出的可取值有并利用概率公式求得对应的概率最后利用离散型随机变量的期望公式求得结果【详解】由已知1又所以故答案为：【点睛】该题考查的是有关离散型随机变量的期望的求解问题涉及到的 解析：27-【分析】首先根据题意，判断出X 的可取值有2,1,1-，并利用概率公式求得对应的概率，最后利用离散型随机变量的期望公式求得结果. 【详解】由已知2X =，1，1-， 又()22242486(2)70C CP X C ===，()441424816(1)70C C P X C ===，()22114224848(1)70C C CP X C =-==，所以12164827070707EX =+-=-， 故答案为：27-. 【点睛】该题考查的是有关离散型随机变量的期望的求解问题，涉及到的知识点有古典概型概率公式，离散型随机变量的期望公式，属于简单题目.16．994【分析】根据正态分布的性质求出在一次测量中误差在内的概率再求出测量3次每次测量误差均不在内的概率根据对立事件的性质可得结果【详解】由题意可知在一次测量中误差在内满足其概率为测量3次每次测量误差解析：994【分析】根据正态分布的性质求出在一次测量中误差在()0,30内的概率，再求出测量3次，每次测量误差均不在()0,30内的概率，根据对立事件的性质可得结果. 【详解】由题意可知在一次测量中误差在()0,30内满足2X μδμδ-<<+， 其概率为()()()111220.950.680.815222p p X p X μδμδμδμδ=-<≤++-<≤+=⨯+=， 测量3次，每次测量误差均不在()0,30内的概率为：()3310.8150.1850.006-==，∴独立测量3次，至少一次测量误差在()0,30内的概率是10.0060.994-=， 故答案为：0.994. 【点睛】本题主要考查正态分布概率的求法，n 次独立重复试验的模型，利用对立事件解决问题是解题的关键，属于中档题.17．【解析】由题意随机变量ξ的的值分别为321则随机变量ξ的分布列为:所以随机变量ξ的数学期望Eξ=点睛：数学期望是离散型随机变量中重要的数学概念反映随机变量取值的平均水平求解离散型随机变量的分布列数学 解析：115【解析】由题意,随机变量ξ的的值分别为3,2,1,则随机变量ξ的分布列为:所以随机变量ξ的数学期望Eξ=122111235555⨯+⨯+⨯=. 点睛：数学期望是离散型随机变量中重要的数学概念，反映随机变量取值的平均水平.求解离散型随机变量的分布列、数学期望时，首先要分清事件的构成与性质，确定离散型随机变量的所有取值，然后根据概率类型选择公式，计算每个变量取每个值的概率，列出对应的分布列，最后求出数学期望.18．【解析】试题分析：因为随机变量服从正态分布所以因为所以考点：正态分布解析：0.1587【解析】试题分析：因为随机变量X 服从正态分布()2,1N ，所以()()31P X >=P X <，因为()()()11331P X <+P ≤X ≤+P X >=，所以()()1310.68260.15872P X >=-=． 考点：正态分布．19．【分析】由题意根据甲比乙投中次数多的可能情形有:甲投中1次乙投中0次;甲投中2次乙投中1次或0次再由概率的加法公式即可列出方程求解答案【详解】甲比乙投中次数多的可能情形有:甲投中1次乙投中0次;甲投解析：23【分析】由题意，根据甲比乙投中次数多的可能情形有:甲投中1次,乙投中0次;甲投中2次,乙投中1次或0次，再由概率的加法公式，即可列出方程，求解答案. 【详解】甲比乙投中次数多的可能情形有:甲投中1次,乙投中0次;甲投中2次,乙投中1次或0次.由题意得p(1-p)·(1-q)2+p 2[(1-q)2+q(1-q)]=,解得q=或q=(舍). 【点睛】本题主要考查了相互独立事件的概率的计算，其中认真审题，根据甲比乙投中次数多的可能情形:甲投中1次,乙投中0次;甲投中2次,乙投中1次或0次，再根据概率的加法公式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.20．①③【分析】求出判断①利用存在量词命题否定形式判断②二项分布的期望与方差判断③；三角函数图象变换判断④【详解】解：①函数的一个对称中心为故①正确；②若命题：则命题的否定为：；所以②不正确；③设随机变解析：①③ 【分析】 求出5()012f π-=判断①，利用存在量词命题否定形式判断②，二项分布的期望与方差判断③；三角函数图象变换判断④． 【详解】 解：①5()4cos()0122f ππ-=-=， ∴函数()4cos(2)3f x x π=+的一个对称中心为5(,0)12π-，故①正确；②若命题p ：“x R ∃∈，210x x -->”，则命题p 的否定为：“x R ∀∈，210x x --”；所以②不正确；③设随机变量~(,)B n p ξ，且()2E ξ=，()1D ξ=，可得2np =，(1)1np p -=，可得12p =，4n =则43111(1)12412p C ξ⎛⎫==-⋅= ⎪⎝⎭；所以③正确；④函数sin 2y x =的图象向左平移4π个单位长度，得到sin 2()4y x π=+，不是sin(2)4y x π=+的图象，所以④不正确；故答案为：①③． 【点睛】本题考查命题的真假判断与应用，考查sin()y A x ωϕ=+型函数的图象和性质，命题的否定，期望与方差的求法，属于中档题．三、解答题21．（1）；（2）随机变量X 的分布列见解析，期望为133. 【分析】（1）可从正面计算取得两次、三次、四次白球的概率和，也可以用1减去取得一次、两次白球的概率，而四次取球中每次是否取得白球相互独立，只需用组合数即可得到相应概率；（2）注意取出的球不放回，因此最多取5次白球就会被取完，故X ＝2，3，4，5，分别计算对应的概率，写出分布列，进而可求出期望. 【详解】（1）记随机变量ξ表示连续取球四次，取得白球的次数，则ξ～B （4，13） 则P （ξ＞1）＝1－P （ξ＝0）－P （ξ＝1）＝1－00411344121211()()()()333327C C -=（2）随机变量X 的取值分别为2，3，4，5∴P （X ＝2）＝2226115C C =，P （X ＝3）＝11242612415C C C ⨯= P （X ＝4）＝1224361135C C C ⨯=，P （X ＝5）＝134244446635C C C C C += ∴随机变量X 的分布列为 X 2345P115 215 15 35∴随机变量X 的期望为：1313()23451515553E X =⨯+⨯+⨯+⨯= 考点：古典概型，相互独立事件，随机变量的分布列与期望 22．（1）25；（2）分布列见解析，65（1）由频率分布直方图可求出抽取的200位学生中，参加社区服务时间不少于90小时的学生人数为80人，再根据古典概型概率公式可得结果； （2）由已知得随机变量X 的可能取值为0，1，2，3，X ～B （3，25），由此能求出随机变量X 的分布列和数学期望EX ． 【详解】 （1）根据题意，参加社区服务在时间段[)90,95的学生人数为2000.06560⨯⨯=人； 参加社区服务在时间段[)95,100的学生人数为2000.02520⨯⨯=人；∴抽取的200位学生中，参加社区服务时间不少于90小时的学生人数为80人. ∴从全市高中学生中任意选取一人，其参加社区服务时间不少于90小时的概率为8022005P ==. （2）由（1）可知，从全市高中学生中任意选取1人，其参加社区服务时间不少于90小时的概率为25，X ～B （3，25），由已知得，随机变量X 的可能取值为0,1,2,3， 则()03032327055125P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()12132354155125P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ()21232336255125P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()333238355125P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 随机变量X 的分布列为：∴()2754368601231251251251255E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题考查古典概型概率的求法，考查离散型随机变量二项分布的分布列和数学期望，属于中档题． 23．（1）12；（2）分布列见解析；期望为1720；（3）32. 【分析】（1）根据独立事件的概率公式计算，至少有两个被堵塞含两个被堵塞和三个被堵塞两种情形，分别计算相加可得；（2）X 的所有可能取值为0，1，2.，分别计算其概率得分布列，由期望公式得期望； （3）Y 的所有可能取值为0，1，2，3，计算出各概率，然后由期望公式计算期望．解：（1）据题设知，所求概率213233311112222p C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭12=. （2）X 的所有可能取值为0，1，2.133(0)114510P X ⎛⎫⎛⎫==-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，131311(1)11454520P X ⎛⎫⎛⎫==⨯-+-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，133(2)4520P X ==⨯=， 所以随机变量X 的分布列为所以()01210202020E X =⨯+⨯+⨯=. （3）Y 的所有可能取值为0，1，2，3.303111(0)228P Y C ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，213113(1)228P Y C ⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭，223113(2)228P Y C ⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭，333111(3)228P Y C ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以13313()012388882E Y =⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题考查相互独立事件的概率公式，考查随机变量的概率分布列数学期望，考查了学生的数据处理能力，运算求解能力，属于中档题． 24．（1）1325．（2）625【分析】（1）设事件A 表示“甲猜对”，事件B 表示“乙猜对”，求出()p A ，()p B ，任选一道灯谜，恰有一个人猜对的概率为：()()()()()P AB AB P A P B P A P B +=+，由此能求出结果．（2）任选一道灯谜，甲、乙都没有猜对的概率为()()()P AB P A P B =，由此能求出结果. 【详解】（1）设事件A 表示“甲猜对”，事件B 表示“乙猜对”， 则P （A ）123205==，P （B ）82205==， ∴任选一道灯谜，恰有一个人猜对的概率为： P （A B AB +）＝P （A ）P （B ）+P （A ）P （B ）32155⎛⎫=⨯-+ ⎪⎝⎭（135）213525⨯=．（2）任选一道灯谜，甲、乙都没有猜对的概率为： P （AB ）＝P （A ）P （B ）＝（135）（125-）625=【点睛】本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题. 25．（Ⅰ）1315；（Ⅱ）分布列见解析，1915；（Ⅲ）40243，103． 【分析】（Ⅰ）先求出甲乙两人都未投中的概率，再根据对立事件的概率进行计算即可； （Ⅱ）随机变量X 的可能取值为0,1,2，然后根据相互独立事件的概率逐一求出每个X 的取值，求得相应的概率，得出分布列，进而求出数学期望； （Ⅲ）随机变量2(5,)3B ξ，根据二项分布的性质求概率和数学期望即可．【详解】（Ⅰ）设甲投中为事件B ，乙投中为事件C ，则()()1235P B P C ==，， 所以()()()1213113515P A P B P C =-=-⨯=． （Ⅱ）随机变量X 的可能取值为0,1,2， 则122(0)3515P X ==⨯=， 22137(1)353515P X ==⨯+⨯=，232(2)355P X ==⨯=， 所以随机变量X 的分布列为所以数学期望()0121515515E X =⨯+⨯+⨯=． （Ⅲ）甲投篮5次，投中次数为ξ，可得随机变量2(5,)3B ξ，所以22352140()()33(243)2C P ξ==⋅⋅=， 所以随机变量ξ数学期望()210533E ξ=⨯=． 【点睛】本题考查独立事件的概率、相互独立事件的概率、离散型随机变量的分布列与数学期望，以及二项分布的数学期望计算，考查学生灵活运用知识的能力和运算能力． 26．（1）13；（2）分布列见解析，1533.【分析】（1）记“该产品不能销售”为事件A ，则1()1(191)(1)4P A =--⨯-，计算得到答案. （2）X 的取值为-240，-130，-20，90，200，计算概率得到分布列，计算均值得到答案. 【详解】（1）记“该产品不能销售”为事件A ，则11()1(1)(1)4193P A =--⨯-=， 所以该产品不能销售的概率为13. （2）依据题意的，X 的取值为-240，-130，-20，90，200，411(240)()381P X =-== ； 134128(130)()3381P X C =-==； 22241224(20)()()3381P X C =-== ；31341232(90)()()3381P X C ===；4216(200)()381P X ===.所以X 的分布列为：1()24013020902005381818181813E X =-⨯-⨯-⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题考查了概率的计算，分布列，均值，意在考查学生的计算能力和应用能力.。

(必考题)高中数学高中数学选修2-3第一章《计数原理》测试(答案解析)

(必考题)高中数学高中数学选修2-3第一章《计数原理》测试(答案解析)

一、选择题1．甲、乙、丙三台机床是否需要维修相互之间没有影响．在一小时内甲、乙、丙三台机床需要维修的概率分别是0.1，0.2，0.4，则一小时内恰有一台机床需要维修的概率是（ ） A ．0.444B ．0.008C ．0.7D ．0.2332．某单位举行诗词大会比赛，给每位参赛者设计了“保留题型”､“升级题型”､“创新题型”三类题型，每类题型均指定一道题让参赛者回答．已知某位参赛者答对每道题的概率均为45，且各次答对与否相互独立，则该参赛者答完三道题后至少答对两道题的概率（ ） A ．112125B ．80125C ．113125D ．1241253．位于坐标原点的一个质点P 按下述规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是12，则质点P 移动六次后位于点(2,4)的概率是（ ）A ．612⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．44612C ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．62612C ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．6246612C C ⎛⎫ ⎪⎝⎭4．某学习小组有三名男生、三名女生共计六名同学，选出四人进行学业水平测试，这四人中所含女生人数记为η，则η的数学期望为（ ） A ．1B ．32C ．2D ．35．孔子曰“三人行，必有我师焉．”从数学角度来看，这句话有深刻的哲理，古语说三百六十行，行行出状元，假设有甲、乙、丙三人中每一人，在每一行业中胜过孔圣人的概率为1%，那么甲、乙、丙三人中至少一人在至少一行业中胜过孔圣人的概率为（ ）（参考数据：3600.990.03≈，3600.010≈，30.970.912673≈） A ．0.0027%B ．99.9973%C ．0D ．91.2673%6．先后投掷骰子（骰子的六个面分别标有1、2、3、4、5、6个点）两次落在水平桌面后，记正面朝上的点数分别为,x y ，设事件A 为“x y +为偶数”，事件B 为“x y 、中有偶数，且x y ≠”，则概率()P B A =( ) A ．13B ．12C ．14D ．257．已知离散型随机变量X 服从二项分布(),X B n p ，且2EX =，DX q =，则21p q+的最小值为（ ） A ．274B ．92C ．3D ．48．设离散型随机变量X 可能的取值为1，2，3，4，()P X k ak b ==+，又X 的数学期望为()3E X =，则a b +=A ．110B ．0C ．110-D ．159．将一枚质地均匀的硬币抛掷四次，设X 为正面向上的次数，则()03P X <<等于（ ） A ．18B ．38C ．58D ．7810．甲、乙两类水果的质量（单位：kg ）分别服从正态分布()()221122,,,N N μδμδ，其正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法错误的是（ ）A ．甲类水果的平均质量10.4kg μ=B ．甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右C ．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小D ．乙类水果的质量服从正态分布的参数2 1.99δ= 11．设随机变量X 的分布列为()()1,2,32iP X i i a===，则()2P X ≥= ( ) A ．16B ．56C ．13D ．2312．如果()20,X B p ，当12p =且()P X k =取得最大值时， k 的值是（ ）A ．8B ．9C ．10D ．11二、填空题13．随着电商的兴起，物流快递的工作越来越重要了，早在周代，我国便已出现快递制度，据《周礼·秋官》记载，周王朝的官职中设置了主管邮驿，物流的官员“行夫”，其职责要求是“虽道有难，而不时必达”.现某机构对国内排名前五的5家快递公司的某项指标进行了3轮测试(每轮测试的客观条件视为相同)，每轮测试结束后都要根据该轮测试的成绩对这5家快递公司进行排名，那么跟测试之前的排名比较，这3轮测试中恰好有2轮测试结果都出现2家公司排名不变的概率为_________.14．数轴上有一质点，从原点开始每次等可能的向左或向右移动一个单位，则移动4次后，该质点的坐标为2的概率为________.15．甲、乙两名射击运动员一次射击命中目标的概率分别是0.7，0.6，且每次射击命中与否相互之间没有影响，求：（1）甲射击三次，第三次才命中目标的概率；（2）甲、乙两人在第一次射击中至少有一人命中目标的概率； （3）甲、乙各射击两次，甲比乙命中目标的次数恰好多一次的概率.16．随机变量ξ的分布列如下：若()3E ξ=，则()D ξ=__________. 17．若随机变量3~34X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，, 则方差()D x =____________.18．某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p ，各成员的支付方式相互独立，设X 为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，此时()~10,.X B p 若() 2.1,D X =()()37,P X P X =<=则p =_______．19．给出下列四个结论：①从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A =“取到的2个数之和为偶数”，事件B =“取到的2个数均为偶数”，则()1|4P B A =； ②某班共有45名学生，其中30名男同学，15名女同学，老师随机抽查了5名同学的作业，用X 表示抽查到的女生的人数，则()2E X =；③设随机变量X 服从正态分布()0,1N ，()1P X P >=，则()1102P X p -<<=-； ④由直线12x =，2x =，曲线1y x =及x 轴所围成的图形的面积是2ln 2.其中所有正确结论的序号为__________．20．已知随机变量ξ服从二项分布，1~(6,)2B ξ，则(23)E ξ+=________，(23)D ξ+=________. 三、解答题21．已知一个袋子里有形状一样仅颜色不同的6个小球，其中白球2个，黑球4个.现从中随机取球，每次只取一球．()1若每次取球后都放回袋中，求事件“连续取球四次，至少取得两次白球”的概率； ()2若每次取球后都不放回袋中，且规定取完所有白球或取球次数达到五次就终止游戏，记游戏结束时一共取球X 次，求随机变量X 的分布列与期望．22．2019年春节期间，我国高速公路继续执行“节假日高速公路免费政策”某路桥公司为掌握春节期间车辆出行的高峰情况，在某高速公路收费点记录了大年初三上午9:20~10:40这一时间段内通过的车辆数，统计发现这一时间段内共有600辆车通过该收费点，它们通过该收费点的时刻的频率分布直方图如下图所示，其中时间段9:20~9:40记作区间[)20,40，9:40~10:00记作[)40,60，10:00~10:20记作[)60,80，10:20~10:40记作[)80,100.例如：10点04分，记作时刻64.（1）估计这600辆车在9:20~10:40时间段内通过该收费点的时刻的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；（2）为了对数据进行分析，现采用分层抽样的方法从这600辆车中抽取10辆，再从这10辆车中随机抽取4辆，设抽到的4辆车中，在9:20~10:00之间通过的车辆数为X ，求X 的分布列与数学期望；（3）由大数据分析可知，车辆在每天通过该收费点的时刻T 服从正态分布()2,N μσ，其中μ可用这600辆车在9:20~10:40之间通过该收费点的时刻的平均值近似代替，2σ可用样本的方差近似代替（同一组中的数据用该组区间的中点值代表），已知大年初五全天共有1000辆车通过该收费点，估计在9:46~10:40之间通过的车辆数（结果保留到整数）.参考数据：若()2,T N μσ~，则()0.6827P T μσμσ-<≤+=，()220.9545P T μσμσ-<≤+=，()330.9973P T μσμσ-<≤+=.23．2020年1月10日，引发新冠肺炎疫情的9COVID -病毒基因序列公布后，科学家们便开始了病毒疫苗的研究过程.但是类似这种病毒疫苗的研制需要科学的流程，不是一朝一夕能完成的，其中有一步就是做动物试验.已知一个科研团队用小白鼠做接种试验，检测接种疫苗后是否出现抗体.试验设计是：每天接种一次，3天为一个接种周期.已知小白鼠接种后当天出现抗体的概率为12，假设每次接种后当天是否出现抗体与上次接种无关. （1）求一个接种周期内出现抗体次数K 的分布列；（2）已知每天接种一次花费100元，现有以下两种试验方案：①若在一个接种周期内连续2次出现抗体即终止本周期试验，进行下一接种周期，试验持续三个接种周期，设此种试验方式的花费为X 元；②若在一个接种周期内出现2次或3次抗体，该周期结束后终止试验，已知试验至多持续三个接种周期，设此种试验方式的花费为Y 元.本着节约成本的原则，选择哪种实验方案. 24．“过大年，吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗，2020年春节前夕，A 市某质检部门随机抽取了100包某种品牌的速冻水饺，检测其某项质量指标．（1）求所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数x （同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）①由直方图可以认为，速冻水饺的该项质量指标值Z 服从正态分布()2,N μσ，利用该正态分布，求Z 落在()38.45,50.4内的概率；②将频率视为概率，若某人从某超市购买了4包这种品牌的速冻水饺，记这4包速冻水饺中这种质量指标值位于()10,30内的包数为X ，求X 的分布列和数学期望．附：①计算得所抽查的这100包速冻水饺的质量指标的标准差为142.7511.95σ=≈； ②若()2~,Z N μσ，则()0.6826P Z μσμσ-<≤+=，()220.9544P Z μσμσ-<≤+=．25．甲、乙两名运动员进行射击训练，已知他们击中的环数都稳定在7、8、9、10环，且每次射击成绩互不影响．根据以往的统计数据，甲、乙射击环数的频率分布条形图如下：若将频率视为概率，回答下列问题：（1）甲、乙各射击一次，求甲、乙同时击中10环的概率； （2）求甲射击一次，击中9环以上（含9环）的概率；（3）甲射击3次，X 表示这3次射击中击中9环以上（含9环）的次数，求X 的分布列及数学期望()E X ．26．已知某高校综合评价有两步：第一步是材料初审，若材料初审不合格，则不能进入第二步面试；若材料初审合格，则进入第二步面试.只有面试合格者，才能获得该高校综合评价的录取资格，现有A，B，C三名学生报名参加该高校的综合评价，假设A，B，C三位学生材料初审合格的概率分别是13，12，14；面试合格的概率分别是12，13，23.（1）求A，B两位考生有且只有一位考生获得录取资格的概率；（2）记随机变量X为A，B，C三位学生获得该高校综合评价录取资格的人数，求X的概率分布与数学期望.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【分析】直接利用对立事件和独立事件的概率求解.【详解】因为在一小时内甲、乙、丙三台机床需要维修的概率分别是0．1，0．2，0．4，所以一小时内恰有一台机床需要维修的概率是：()()()()0.110.210.40.210.110.4p=⨯-⨯-+⨯-⨯-，()()0.410.210.10.444+⨯-⨯-=.故选：A【点睛】本题主要考查独立事件和对立事件的概率，属于中档题.2．A解析：A【分析】利用n次独立重复试验中事件A恰好发生k次概率计算公式能求出该参赛者答完三道题后至少答对两道题的概率．【详解】解：某单位举行诗词大会比赛，给每位参赛者设计了“保留题型”、“升级题型”、“创新题型”三类题型，每类题型均指定一道题让参赛者回答．某位参赛者答对每道题的概率均为45，且各次答对与否相互独立，则该参赛者答完三道题后至少答对两道题的概率：3223441112()()()555125P C =+=．故选：A ． 【点睛】本题考查概率的求法，考查n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．3．C解析：C 【分析】根据题意，质点P 移动六次后位于点(4,2)，在移动过程中向右移动4次向上移动2次，即6次独立重复试验中恰有4次发生，由其公式计算可得答案． 【详解】根据题意，易得位于坐标原点的质点P 移动六次后位于点(2,4)，在移动过程中向上移动4次向右移动2次，则其概率为4262466111222C P C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭==. 故选：C ． 【点睛】本题考查二项分布与n 次独立重复试验的模型，考查对基础知识的理解和掌握，考查分析和计算能力，属于常考题.4．C解析：C 【分析】根据题意可知随机变量η的可能取值有1、2、3，计算出随机变量η在不同取值下的概率，列出分布列，进而可求得η的数学期望. 【详解】由题意可知，随机变量η的可能取值有1、2、3，()1346115C P C η===，()223346325C C P C η===，()1346135C P C η===. 所以，随机变量η的分布列如下表所示：因此，随机变量η的数学期望为1232555E η=⨯+⨯+⨯=. 故选：C. 【点睛】本题考查随机变量数学期望的计算，一般要列出随机变量的分布列，考查计算能力，属于中等题.5．B解析：B 【分析】先求出一个人在所有行业中都不能胜过孔圣人的概率，再求出三个人在所有行业中都不能胜任孔圣人的概率，用1减去此概率即为所求. 【详解】一个人三百六十行全都不如孔圣人的概率为3600.990.03≈，三个人三百六十行都不如孔圣人的概率为30.030.000027=，所以至少一人在至少一行业中胜过孔圣人的概率为10.0000270.99997399.9973%-==．故选：B ． 【点睛】本题考查相互独立事件的概率乘法公式，考查至多至少问题用对立事件解决的方法，属于中档题.6．A解析：A 【分析】根据题意有()))|(=(n AB P n A A B ，所以只须分析事件A 和事件AB 所包含的基本事件，即可根据公式求出结果. 【详解】解：事件A 中“x y +为偶数”，所以,x y 同奇同偶，共包含22318⨯=种基本事件；事件AB 同时发生，则,x y 都为偶数，且x y ≠，则包含236A =个基本事件；()()61=)13|=(8n AB n A P B A =. 故选：A. 【点睛】本题考查条件概率的应用，考查基本事件的求法，解题的关键是辨析条件概率，属于基础题.7．B解析：B 【分析】根据二项分布的均值与方差公式,可得,p q 的等量关系.利用“1”的代换,结合基本不等式即可求得21p q+的最小值. 【详解】离散型随机变量X 服从二项分布(),XB n p ,且2EX =,DX q =由二项分布的均值与方差公式可得()21npq np p =⎧⎨=-⎩, 化简可得22p q +=,即12qp +=由基本不等式化简可得21p q +221p q q p ⎛⎫=+ ⎪⎛⎫+ ⎪⎝⎝⎭⎭2525922q p p q ≥+=++= 即21p q +的最小值为92故选:B 【点睛】本题考查了二项分布的简单应用,均值与方差的求法,利用“1”的代换结合基本不等式求最值,属于中档题.8．A解析：A 【分析】将1,2,3,4X =代入()P X k =的表达式，利用概率之和为1列方程，利用期望值列出第二个方程，联立方程组，可求解得+a b 的值. 【详解】依题意可的X 的分布列为()()()()23412233443a b a b a b a b a b a b a b a b +++++++=⎧⎨+++++++=⎩，解得1,010a b ==，故110a b +=.所以选A. 【点睛】本小题主要考查离散型随机变量分布列，考查概率之和为1，考查离散型随机变量的数学期望，还考查了方程的思想.属于基础题.9．C解析：C 【解析】分析：先确定随机变量得取法12X =，，再根据独立重复试验求概率. 详解：因为14244411(1)(),(2)(),22P x C P x C ====所以142444411105(03)(1)(2)()(),2228P x P x P x C C <<==+==+== 选C.点睛：n 次独立重复试验事件A 恰好发生k 次得概率为(1)kkn kn C p p --.其中p 为1次试验种A 发生得概率.10．D解析：D 【解析】由图象可知，甲类水果的平均质量μ1=0.4kg ，乙类水果的平均质量μ2=0.8kg ，故A ，B ，C ，正确；乙类水果的质量服从的正态分布的参数σ2，故D 不正确．故选D ．11．B解析：B 【解析】 由概率和为1,可知1231222a a a++=，解得3a =，()P X 2≥=235(2)(3)666P X P X =+==+=选B. 12．C解析：C 【解析】因为()20,X B p ~，12p =，所以()20202020111222k kk k P X k C C -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当10k = 时20kC 取得最大值，故选C.二、填空题13．【分析】根据题意求出家快递公司进行排名与测试之前的排名比较出现家公司排名不变的概率根据题意满足二项分布根据二项分布概率计算即可【详解】解：首先在一轮测试中家快递公司进行排名与测试之前的排名比较出现家 解析：572【分析】根据题意求出5家快递公司进行排名与测试之前的排名比较出现2家公司排名不变的概率，根据题意满足二项分布，根据二项分布概率计算即可. 【详解】解：首先，在一轮测试中5家快递公司进行排名与测试之前的排名比较出现2家公司排名不变的概率为255522011206C A ⨯==， 其次，3轮测试每次发生上述情形的概率均为16P =, 故3轮测试中恰好有2轮测试结果都出现2家公司排名不变的概率为223155()6672C ⨯⨯=. 故答案为：572. 【点睛】独立重复试验与二项分布问题的常见类型及解题策略：（1）在求n 次独立重复试验中事件恰好发生k 次的概率时，首先要确定好n 和k 的值，再准确利用公式求概率；（2）在根据独立重复试验求二项分布的有关问题时，关键是理清事件与事件之间的关系，确定二项分布的试验次数n 和变量的概率，求得概率.14．【分析】由题意分析可知质点4次运动中有1次向左3次向右根据独立事件的概率公式求解【详解】由题意可知质点移动4次后位于坐标为2的位置说明4次中有1次向左3次向右并且每次向左或向右的概率都是所以移动4次解析：14【分析】由题意分析可知质点4次运动中有1次向左，3次向右，根据独立事件的概率公式求解. 【详解】由题意可知质点移动4次后位于坐标为2的位置，说明4次中有1次向左，3次向右，并且每次向左或向右的概率都是12，所以移动4次后，该质点的坐标为2的概率314111224p C ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为：14【点睛】本题考查独立事件概率的实际应用问题，属于基础题型，本题的关键是抽象出质点运动方向，以及概率类型.15．（1）；（2）088；（3）【分析】（1）甲第三次才命中目标为事件且三次射击相互独立利用独立重复试验概率计算公式即可求得答案；（2）求该事件的反面的概率用1减其即可；（3）设甲在两次射击命中目标i 次解析：（1）0.063；（2）0.88；（3）0.3024. 【分析】（1）“甲第三次才命中目标”为事件123A A A ，且三次射击相互独立，利用独立重复试验概率计算公式即可求得答案；（2）求该事件的反面的概率，用1减其即可；（3）设“甲在两次射击命中目标i 次”为事件(0,1,2)i M i =，“乙在两次射击命中目标i 次”为事件(0,1,2)i N i =，则事件“甲、乙各射击两次，甲比乙命中目标次数恰好多一次”可表示为1021M N M N +，用独立重复试验概率计算公式即可求得答案. 【详解】记“甲第i 次射击命中目标”为事件i A ，“乙第i 次射击命中目标”为事件i B ，依题意得()0.7i P A =，()0.6i P B =，且i A ，i B （1,2,3i =）相互独立.（1）“甲第三次才命中目标”为事件123A A A ，且三次射击相互独立，()()123123()()0.30.30.70.063P A A A P A P A P A ∴==⨯⨯=.答：甲第三次才命中目标的概率为0.063.（2）“甲、乙两人在第一次射击中至少有一人命中目标”为事件C .()11()1()10.30.40.88P C P A P B =-⋅=-⨯=.答：甲、乙两人在第一次射击中至少有一人命中目标的概率为0.88. （3）设“甲在两次射击命中目标i 次”为事件(0,1,2)i M i =， “乙在两次射击命中目标i 次”为事件(0,1,2)i N i =，事件“甲、乙各射击两次，甲比乙命中目标次数恰好多一次”可表示为1021M N M N +，且10M N ，21M N 为互斥事件，∴所求的概率为()()()10211021P M N M N P M N P M N +=+()()()()12211021220.70.30.40.70.60.4P M P N P M P N C C =+=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯0.06720.23520.3024=+=答：甲、乙各射击两次，甲比乙命中目标的次数恰好多一次的概率为0.3024. 【点睛】本题考查独立重复试验中的概率计算问题，属于中档题.16．【分析】利用概率之和为以及数学期望列方程组解出和的值最后利用方差的计算公式可求出的值【详解】由题意可得解得因此故答案为【点睛】本题考查随机分布列的性质以及随机变量的数学期望和方差的计算解题时要注意概解析：59【分析】利用概率之和为1以及数学期望列方程组解出a 和c 的值，最后利用方差的计算公式可求出()D ξ的值．【详解】由题意可得()11313a c E a c ξ⎧++=⎪⎪⎨⎪=-+=⎪⎩，解得1612a c ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，因此，()22211111151013633329D ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--⨯+-⨯+-⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故答案为59． 【点睛】本题考查随机分布列的性质以及随机变量的数学期望和方差的计算，解题时要注意概率之和为1这个隐含条件，其次就是熟悉随机变量数学期望和方差的公式，考查计算能力，属于中等题．17．【分析】利用方差公式即可得出答案【详解】结合方差【点睛】本题考查了方差计算公式记住即可 解析：916【分析】利用方差公式()D x npq =，即可得出答案． 【详解】结合方差()31934416D x npq ==⋅⋅=． 【点睛】本题考查了方差计算公式，记住()D x npq =，即可．18．【解析】【分析】由二项分布性质可知Dx=np(1-p)=21解得p=03或p=07再由二项分布公式代入解得p>05可求得p 【详解】由二项分布可知Dx=np(1-p)=10p(1-p)=21所以p=0解析：0.7 【解析】 【分析】由二项分布性质可知Dx=np(1-p) =2.1,解得p=0.3或p=0.7,再由二项分布公式代入()()37,P X P X =<=解得p>0.5，可求得p.【详解】由二项分布可知Dx=np(1-p)=10p(1-p)=2.1,所以p=0.3或p=0.7,又因为()()37P X P X =<=，所以3377731010(1)(1)C p p C p p -<-，解得p>0.5,所以p=0.7,填0.7. 【点睛】本题综合考查二项分布公式应用及二项分布的性质，需要学生灵活运用。

滨州市高中数学选修2-3第一章《计数原理》测试题(含答案解析)

滨州市高中数学选修2-3第一章《计数原理》测试题(含答案解析)

一、选择题1．22nx ⎫⎪⎭展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是（ ） A ．180 B ．90 C ．180- D ．90-2．1180被9除的余数为（ ） A ．1- B ．1C ．8D ．8-3．设()22201221nn n x x a a x a x a x ++=++++，则022n a a a 的值是（ ）A ．()1312n- B ．1312nC ．3nD ．31n +4．若将函数5()f x x =表示为250125()1+1+()+(++)1(+)f x a a x a x a x +=⋯，其中0125a a a a ⋯，，，，为实数，则3=a （ ）A ．15B ．5C ．10D ．205．我们把各位数字之和为6的四位数称为“六合数”(如2013是“六合数”)，则“六合数”中首位为3的“六合数”共有（ ） A ．18个B ．15个C ．10个D ．9个6．为支援湖北抗击新冠疫情，无锡市某医院欲从6名医生和4名护士中抽选3人（医生和护士均至少有一人）分配到A ，B ，C 三个地区参加医疗救援（每个地区一人），方案要求医生不能去A 地区，则分配方案共有( ) A ．264种B ．224种C ．250种D ．236种7．现某路口对一周内过往人员进行健康码检查安排7名工作人员进行值班，每人值班1天，每天1人，其中甲乙两人需要安排在相邻两天，且甲不排在周三，则不同的安排方法有( ) A ．1440种 B ．1400种C ．1320种D ．1200种8．有4个不同的小球放入3个盒子中，每个盒子至少放一个小球，则不同的放法共有（ ） A ．12种 B ．18种 C ．24种 D ．36种 9．现有6位同学站成一排照相，甲乙两同学必须相邻的排法共有多少种？（ ）A ．720B ．360C ．240D ．12010．已知5250125(12)...x a a x a x a x +=++++，则512025...222a a a a ++++的值为（ ） A ．32 B ．1 C ．81D ．6411．五声音阶是中国古乐的基本音阶，故有成语“五音不全”．中国古乐中的五声音阶依次为：宫、商、角、徽、羽，如果用上这五个音阶，排成一个五音阶音序，且宫、羽不相邻，且位于角音阶的同侧，可排成的不同音序有（ ） A ．20种B ．24种C ．32种D ．48种12．若用1,2,3,4,5,6，这六个数字组成没有重复数字且任何相邻两个数字的奇偶性不同的六位数，则这样的六位数共有多少个( ) A ．720B ．36C ．144D ．72二、填空题13．高三一班里七名身高不同的女生拍毕业照，摄影师要求她们排成一排, 身高由矮到高,再由高到矮(最高的女生站在正中间).这七位女生的排队姿态有________种.14．设a 为非零常数，已知(x 21x +)6a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中各项系数和为2，则展开式中常数项等于_____. 15．已知集合{}123456,,,,,AB C a a a a a a =，且集合{}123,,A B C a a a =，则集合A 、B 、C 所有可能的情况有__________种.16．若52345012345(12)x a a x a x a x a x a x +=+++++，则0135a a a a +++=_________17．将5名上海世博会的志愿者分配到中国馆、美国馆、英国馆工作，要求每个国家馆至少分配一名志愿者且其中甲、乙两名志愿者不同时在同一个国家馆工作，则不同的分配方案有________种．18．二项式122x ⎛ ⎝，则该展开式中的常数项是______. 19．若多项式()()()10112110110112111x x a a x a x a x +=+++++++，则10a =______.20．某宿舍楼同寝室8名同学站成一排照相，甲、乙、丙三人相邻，乙不站在队列两端，则不同的排法种数为__________.（用数字作答）三、解答题21．已知n二项展开式中，第4项的二项式系数与第3项的二项式系数的比为8：3（1）求n 的值；（2）求展开式中3x 项的系数（3）计算式子01231010101010102481024C C C C C -+-++的值．22．某中学将要举行校园歌手大赛，现有4男3女参加，需要安排他们的出场顺序．（结．果用数字作答．．．．．．） （1）如果3个女生都不相邻，那么有多少种不同的出场顺序？（2）如果3位女生都相邻，且男生甲不在第一个出场，那么有多少种不同的出场顺序？ 23．（1）求122332C C -，233443C C -，345664C C -，346774C C -的值，设*,m n ∈N ，k m ，判断(1)m k k C +与11(1)k mm C +++的关系，不用证明；（2）求1111112969793282349798C C C C C A +++++的值． 24．六个人按下列要求站成一排，分别有多少种不同的站法？ （1） 甲不站在两端； （2） 甲 ，乙必须相邻；（3）甲 ，乙不相邻. (4) 甲 ，乙之间恰有两人 25．已知*(12),n x n +∈N ．（1）若展开式中奇数项的二项式系数和为128，求展开式中二项式系数最大的项的系数； （2）若展开式前三项的二项式系数和等于37，求展开式中系数最大的项． 26．2名女生、4名男生排成一排，求： （1）2名女生不相邻的不同排法共有多少种？（2）女生甲必须排在女生乙的左边（不一定相邻）的不同排法共有多少种？【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】利用二项式系数的对称性求得10n =，然后写出二项展开式的通项，令x 的指数为零，求出参数的值，代入通项即可得解. 【详解】22nx ⎫⎪⎭展开式中只有第六项的二项式系数最大，10n ∴=，故22nx ⎫⎪⎭展开式的通项公式为()5105211010222rrr rrr T C C x x --+⎛⎫=⋅-=-⋅ ⎪⎭⋅⋅⎝， 令5502r -=，解得2r ，所以展开式中的常数项为22102180C ⨯=. 故选：A. 【点睛】本题考查利用二项式定理求指定项的系数，同时也考查了利用二项式系数的对称性求参数，考查计算能力，属于中等题.2．C解析：C 【分析】将1180转化为()11811-，利用二项式定理，即可得解. 【详解】()111180811=-()()()()210111210111110911111111111818118118111C C C C C =⋅+⋅⋅-+⋅⋅-++⋅⋅-+⋅-1210111110911111111181818181C C C C =-⋅+⋅++⋅-1211109111181818111811C C =-⋅+⋅++⨯- 121110911118181811081811C C =-⋅+⋅++⨯+- 12111091111818181108180C C =-⋅+⋅++⨯+121110911118181811081728C C =-⋅+⋅++⨯++12111091111818181108172C C -⋅+⋅++⨯+可以被9整除，所以1180被9除的余数为8. 故选：C. 【点睛】本题考查利用二项式定理解决余数问题，将原式变形为()11811-是本题的解题关键，属于中档题.3．B解析：B 【分析】本题可以通过利用二项展开式的系数关系，采用赋值法将x 分别赋值为1、1-，然后通过运算即可得出结果． 【详解】()22201221nn n x x a a x a x a x ++=++++，令1x =，01223n na a a a ①，令1x =-，01221n a a a a ②，（①+②）02212312nna a a ， 故选：B ． 【点睛】本题考查二项展开式的相关运算，可通过赋值法进行计算，考查计算能力，考查化归与转化思想，是中档题.4．C解析：C 【分析】令55[(1)1]x x =+-，展开二项式可得. 【详解】二项展开式的通项是515(1)(1)rrrr T C x -+=-+，令2r，得2235(1)10a C =-= 故选：C ． 【点睛】二项展开式问题的常见类型及解法(1)求展开式中的特定项或其系数．可依据条件写出第1k +项，再由特定项的特点求出k 值即可．(2)已知展开式的某项或其系数求参数．可由某项得出参数项，再由通项公式写出第1k +项，由特定项得出k 值，最后求出其参数．5．C解析：C 【分析】首位数字是3，则后三位数字之和为3，按一个为3，两个和为3及三个和为3进行分类排列可得. 【详解】由题知后三位数字之和为3，当一个位置为3时有003，030，300三个；当两个位置和为3时有336A =个，；当三个位置和为3时只有111一个，一共有10个. 故选：C 【点睛】本题考查求解排列问题.其主要方法： 直接法:把符合条件的排列数直接列式计算. 优先法:优先安排特殊元素或特殊位置.捆绑法:把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列. 插空法:对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空档中.6．A解析：A 【分析】分类计数，考虑选取1名医生2名护士和选取2名医生1名护士两类情况求解. 【详解】当选取的是1名医生2名护士，共有126436C C =种选法，分配到A ，B ，C 三个地区参加医疗救援（每个地区一人），方案要求医生不能去A 地区，共有2224A =种，即一共364144⨯=种方案；当选取的是2名医生1名护士，共有216460C C =种选法，分配到A ，B ，C 三个地区参加医疗救援（每个地区一人），方案要求医生不能去A 地区，共有222A =种，即一共602120⨯=种方案.综上所述：分配方案共有264种. 故选：A 【点睛】此题考查分类计数原理和分步计数原理综合应用，涉及排列组合相关知识，综合性强.7．D【分析】根据题意,分2步进行分析: ①将甲、乙按要求安排，②将剩下的5人全排列，安排在剩下的5天，由分步计数原理计算可得答案.【详解】根据题意，分2步进行分析:①要求甲、乙安排在相邻两天，且甲不排在周三，先把周一周二、周二周三、⋯、周六周日看作6个位置，任选一个位置，排上甲乙两人，有126212A A=种方法，其中甲排在周三去掉，则甲乙的安排方法有1262210A A-=种,②将剩下的5人全排列，安排在剩下的5天，有55120A=种情况；由分步计数乘法原理知，则有101201200⨯=种安排方法.故选：D【点睛】本题主要考查了排列、组合的实际应用，涉及分步计数原理的应用，属于中档题. 8．D解析：D【分析】先把小球分3组共有24C种分法，再将3组小球全排列，放入对应3个盒子即可.【详解】根据题意，分2步安排，第一步，把4个小球分成3组，其中1组2只，剩余2组各1只，分组方法有246C=种，第二步，把这3组小球全排列，对应3个盒子，有336A=种,根据分步计数原理可得所有的不同方法共有6636⨯=种.故选：D【点睛】本题主要考查了计数原理，排列与组合的应用，属于中档题.9．C解析：C【分析】6名同学排成一排，其中甲、乙两人必须排在一起，这是相邻问题，一般用“捆绑法”.将甲乙两名同学“捆绑”在一起，看成一个元素，再与剩下的4人一起全排列，根据分步计数原理即可得出结果.【详解】将甲乙“捆绑”在一起看成一个元素，与其余4人一起排列，而甲和乙之间还有一个排列，共有5252240A A=.故选：C.本题考查了排列组合、两个基本原理的应用，相邻问题“捆绑法”求解，属于基础题.10．A解析：A 【分析】根据所求与已知的关系，令12x =，即可求得答案. 【详解】5250125(12)...x a a x a x a x +=++++，∴令12x =，即可得555120251...122322222a a a a ⎛⎫++++=+⨯== ⎪⎝⎭.故选：A 【点睛】本题考查二项式定理的应用，考查理解辨析能力与运算求解能力，属于基础题.11．C解析：C 【分析】根据角所在的位置，分两类：角排在一或五；角排在二或四.根据分类计数原理和排列组合的知识可得． 【详解】若角排在一或五，有22232A A =24种；若角排在二或四，有22222A A 8=. 根据分类计数原理可得，共有24832+＝种. 故选：C ． 【点睛】本题考查排列组合和计数原理，属于基础题.12．D解析：D 【分析】第一步先将1，3、5排列，共有336A =种排法；第二步再将2，4、6插空排列，不能空着两个偶数之间的空，先用两个元素排列中间两个空，在把两端的空位选一个放第三个元素，得到结果． 【详解】解：由题意知，本题是一个分步计数问题， 第一步先将1，3、5排列，共有336A =种排法，第二步再将2，4、6插空排列，不能空着两个偶数之间的空， 先用两个元素排列中间两个空，在把两端的空位选一个放第三个元素，共有23212A =种排法，由分步乘法计数原理得这样的六位数共有：61272⨯=. 故选：D. 【点睛】本题考查分步计数原理，以及排列数的计算和插空法的应用，解题的关键是看出做完一件事需要分成几步，每一步包括几种方法．二、填空题13．20【分析】因为最高的女生站在正中间因此只需要考虑最高的女生的左边或者右边即可因为当最高女生的左边（或右边）确定好后其右边（或左边）也就确定了由此计算出七位女生排队的方法数【详解】由题意可知当最高的解析：20 【分析】因为最高的女生站在正中间，因此只需要考虑最高的女生的左边或者右边即可，因为当最高女生的左边（或右边）确定好后，其右边（或左边）也就确定了，由此计算出七位女生排队的方法数. 【详解】由题意可知，当最高的女生站在正中间，此时只需要排好左右两边， 第一步：先排左边，有3620C =种排法，第二步：再排右边，此时另外三人按从高到低排列，只有1种排法， 所以总的排法数为：36120C ⨯=种. 故答案为20. 【点睛】本题考查分步乘法原理以及排列组合的简单应用，难度一般.利用排列组合的方法解答计数问题时，要活用分步乘法和分类加法计数原理.14．240【分析】根据(x2)的展开式中各项系数和为2令x=1得a=2再利用展开式的通项公式求出展开式中常数项【详解】∵(x2)的展开式中各项系数和为2∴令x=1得a=2或a=0(舍)又的通项6﹣2r 为解析：240 【分析】根据(x 21x +)6a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中各项系数和为2，令x =1得a =2，再利用展开式的通项公式，求出展开式中常数项. 【详解】∵(x 21x +)6a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中各项系数和为2，∴令x =1得()6212a ⋅-=，a =2或a =0(舍).又6a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的通项()6216(2)0126r r r r T C x r -+=-=，，，，，6﹣2r 为偶数，故6﹣2r =﹣2即r =4.∴2612()x x x x⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式的常数项为446(2)240C -=. 故答案为：240. 【点睛】本题考查二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题；考查求展开式的各项系数和的常用方法是赋值法.15．【分析】由可知集合均含有元素作出韦恩图可知元素可以放在除之外的个区域中每个元素有个选择利用分步乘法计数原理可得结果【详解】如下图所示集合被分为了个区域由可知集合均含有元素则元素可以放在除之外的个区域 解析：216【分析】 由{}123,,AB C a a a =，可知集合A 、B 、C 均含有元素1a 、2a 、3a ，作出韦恩图，可知元素4a 、5a 、6a 可以放在除A B C ⋂⋂之外的6个区域中，每个元素有6个选择，利用分步乘法计数原理可得结果. 【详解】如下图所示，集合A 、B 、C 被分为了7个区域，由{}123,,AB C a a a =，可知集合A 、B 、C 均含有元素1a 、2a 、3a ，则元素4a 、5a 、6a 可以放在除A B C ⋂⋂之外的6个区域中，每个元素有6个选择，由分步乘法计数原理可知，所有可能的情况种数为36216=. 故答案为：216. 【点睛】本题考查排列组合问题，考查分步乘法计数原理的应用，考查运算求解能力，属于中等题.16．123【分析】在所给式子中分别令相减得到得值又令得到得值相加即可得到答案【详解】令得令得①令得②①—②得所以又所以故答案为：123【点睛】本题考查利用赋值法求二项展开式中部分项的系数和考查学生的基本解析：123 【分析】在所给式子中分别令1x =，1x =-，相减得到135a a a ++得值，又令0x =得到0a 得值，相加即可得到答案. 【详解】令0x =，得01a =，令1x =，得50123453a a a a a a +++++=①，令1x =-，得0123451a a a a a a -+-+-=-②，①—②，得51352(31)a a a ++=+，所以135122a a a ++=，又01a =，所以0135123a a a a +++=. 故答案为：123 【点睛】本题考查利用赋值法求二项展开式中部分项的系数和，考查学生的基本计算能力，是一道中档题.17．114【分析】本题是一个分类计数问题每个国家馆至少分配一名志愿者则有两种不同的情况当按照221安排时共有当按照113安排时有其中包括甲和乙在一个馆里的情况减去不合题意的结果即可【详解】由题意知本题是解析：114 【分析】本题是一个分类计数问题，每个国家馆至少分配一名志愿者，则有两种不同的情况，当按照2，2，1安排时，共有223533902C C A =，当按照1，1，3安排时，有335360C A =，其中包括甲和乙在一个馆里的情况，减去不合题意的结果即可． 【详解】由题意知本题是一个分类计数问题，每个国家馆至少分配一名志愿者，则有两种不同的情况， 每一个馆的人数分别是2，2，1；1，1，3 当按照2，2，1安排时，共有223533902C C A =，当按照1，1，3安排时，有335360C A =， 其中包括甲和乙在一个馆里的情况， 当甲和乙在同一个馆里时，共有234336C A =， ∴满足条件的排列法共有906036114+-=， 故答案为：114.【点睛】本题考查计数原理的应用，解题的关键是先分组再做分配，考查加法原理和乘法原理的实际应用，属于中等题.18．【分析】直接利用二项式定理计算得到答案【详解】二项式的展开式的通项为：取得到常数项为故答案为：【点睛】本题考查了二项式定理意在考查学生的计算能力和应用能力 解析：552-【分析】直接利用二项式定理计算得到答案. 【详解】二项式122x ⎛ ⎝的展开式的通项为： ()41231212112121221rrr r r rrr xx T C C --+-⎛=-⋅ ⎝⎛⎫⎛⎫=⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，取9r =得到常数项为()1299129152512C -⎛⎫⋅- =-⎪⎝⎭. 故答案为：552-. 【点睛】本题考查了二项式定理，意在考查学生的计算能力和应用能力.19．【分析】由二项式定理及其展开式通项公式得展开式的通项为令解得则得解【详解】由展开式的通项为令解得则故答案为：【点睛】本题考查了二项式定理及其展开式通项公式意在考查学生对这些知识的理解掌握水平 解析：22-【分析】由二项式定理及其展开式通项公式得111122[(1)1]x x =+-展开式的通项为111112(1)(1)r r r r T C x -+=+-，令1110r -=，解得1r =，则110112(1)22a C =⨯-=-，得解．【详解】由111122[(1)1]x x =+-展开式的通项为111112(1)(1)rr r r T C x -+=+-， 令1110r -=，解得1r =，则110112(1)22a C =⨯-=-， 故答案为：22-． 【点睛】本题考查了二项式定理及其展开式通项公式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．20．3840【分析】将甲乙丙三人捆绑在一起先不考虑乙的特殊性算出一个总数再考虑乙在队列两端算出一个总数相减既为答案【详解】将甲乙丙三人捆绑在一起三人间的排列共有种可能这个整体与剩下的5名同学全排列共有种解析：3840 【分析】将甲、乙、丙三人捆绑在一起，先不考虑乙的特殊性算出一个总数，再考虑乙在队列两端算出一个总数，相减既为答案. 【详解】将甲、乙、丙三人捆绑在一起，三人间的排列共有336A =种可能，这个整体与剩下的5名同学全排列共有66654321720A 种可能，所以不考虑乙的特殊性共有67204320⨯=种可能；当乙从队列前后两端任选一个位置站位有122C =种可能，此时甲乙两人间有222A =种可能，剩下的5名同学全排列有55120A =种可能，所以乙在队列两端共有22120480种可能；故甲、乙、丙三人相邻，乙不站在队列两端，不同的排法种数为43204803840种.故答案为：3840 【点睛】本题考查排列组合中的捆绑法与特殊元素优先考虑法解决站位排法问题，属于中档题.三、解答题21．（1）10n =；（2）180；（3）1. 【解析】试题分析： 本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x 赋值，求展开式的系数和，属于基础题．第一问，直接利用条件可得3283n n C C =，求得n 的值；第二问，在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于3，求出r 的值，即可求得展开式中x 3项的系数．第三问，在10二项展开式中，令x=1，可得式子01231010101010102481024C C C C C -+-++的值．试题（1）由第4项的二项式系数与第3项的二项式系数的比为8：3，可得3283n n C C =，化简可得2833n -=，求得10n =． （2）由于n 二项展开式的通项公式为5110(2)r r rr T C x -+=-，令53r -=，求得2r，可得展开式中3x 项的系数为2210(2)180C -=．（3）由二项式定理可得105100(2)n r r rr C x -==-∑， 所以令x=1得01231010101010102481024C C C C C -+-++10(12)1=-=.考点：二项式定理的应用；二项式系数的性质．22．（1）1440；（2）576． 【分析】（1）采用 “插空法”， 先排4名男生，形成5个空档，将3名女生插入其中，由此可得； （2）3名女生捆绑作为一个人，优先排男生甲，然后其他人全排列． 【详解】（1）采用 “插空法”，先排4名男生，有44A 种，形成5个空档，将3名女生插入其中，有35A 种，最后由分步乘法计数原理可得，共有43451440A A ⋅=种不同的出场顺序．（2）3名女生捆绑有33A 种，然后优先排男生甲有4种选择，其余可以进行全排列44A ，所以共有3434·4A A =576． 【点睛】本题考查排列的综合应用，考查“相邻”与“不相邻”问题．排列时，相邻问题用捆绑法，不相邻问题用插空法．23．（1）11(1)(1)m m k k k C m C +++=+；（2）33. 【分析】（1）由组合数公式，求出122332C C -，233443C C -，345664C C -，346774C C -的值，然后归纳推理即可；（2）根据（1）的结论可得121(1)2n n n C C ++=，再结合组合数的性质，即可求解. 【详解】（1）122332660C C -=-=，23344312120C C -=-=，3456646522560C C -=⨯⨯-⨯⨯=，3467740C C -=，∴11(1)(1)m m k k k C m C +++=+． （2）∵()()1111mm k k k C m C +++=+，∴1111112396972349798C C C C C +++++2222398222C C C =+++()22223982C C C =+++． 又111kkk n n n C C C ---=+， ∴()()22232232398339899222C C C C C C C +++=+++=， ∴1111131239697992298982349798233C C C C C C A A +++++==． 【点睛】本题考查归纳推理、组合数的性质的应用，考查计算求解能力，属于中档题. 24．(1)480.(2)240(3)480(4)144. 【解析】 【分析】（1）现在中间的4个位中选一个，排上甲，再其余的人任意排，即可求解； （2）把甲、乙看成一个整体，进行全排列，即可求解；（3）先把甲、乙二人单独挑出，然后再把甲、乙插入其余4人形成的5个空中，即可求解；（4）先把甲、乙排好，再从其余的4人中选出2人放到甲、乙中间，最后把排好的这4个人看做一个整体进行排列，即可求解． 【详解】（1）现在中间的4个位中选一个，排上甲，方法有4种，其余的人任意排，方法有1545480A A =（种）；（2）把甲、乙看成一个整体，这样6个人变成了5个人，全排列方法共有2525240A A =（种）；（3）先把甲、乙二人单独挑出来，把其余的4个人全排列，然后再把甲、乙插入其余4人形成的5个空中，方法共有4245480A A =（种）；（4）先把甲、乙排好，有22A 种方法，再从其余的4人中选出2人放到甲、乙中间，方法有24A 种.把排好的这4个人看做一个整体，再与其他的2个人进行排列，方法有33A 种. 根据分步计数原理，求得甲、乙之间间隔两人的排法共有223243144A A A ⋅⋅=（种）； 【点睛】本题主要考查了排列组合的应用，其中解答中认真审题，合理分类与分步是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题． 25．（1）1120；（2）561792,1792x x 【分析】（1）由奇数项的二项式系数和为128求得8n =，再利用二项式系数的性质求解即可； （2）由展开式前三项的二项式系数和等于37求得8n =，利用展开式中系数最大的项的系数比相邻两项的系数大，列不等式求解即可. 【详解】（1）由展开式中奇数项的二项式系数和为0241...2128n n n n C C C -+++==,可得8n =，所以展开式中二项式系数最大的项第五项，其系数为44821120C ⨯=；（2）由展开式前三项的二项式系数和012(1)1372n n n n n C C C n -++=++=， 化为2720n n +-=，解得8n =，或9n =-（舍去），设展开式中系数最大的项为第1k +项，则11881188225622k k k k kk k k C C k C C --++⎧⨯≥⨯⇒≤≤⎨⨯≥⨯⎩， 所以展开式中系数最大的项为第6或第7项， 即5556666878(2)1792,(2)1792T C x x T C x x =⋅==⋅=【点睛】本题主要考查展开式中二项式系数最大的项以及展开式中项的系数最大的项，同时考查了二项展开式的通项公式，考查了计算能力，意在考查学生综合应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.26．（1）480种（2）360种 【分析】（1）不相邻问题利用插空法法；（2）女生顺序已定，先排女生，再排男生，最后根据分步乘法计算原理计算可得； 【详解】解：（1）2名女生不相邻的排列可以分成2步完成： 第一步 将4名男生排成一排，有44A 种排法；第二步 排2名女生.由于2名女生不相邻，可以在每2名男生之间及两端共5个位置中选出2个排2名女生，有25A 种排法.根据分步计数原理，不同的排法种数是42452420480A A =⨯=. （2）女生甲必须排在女生乙左边的排列可以分成2步完成：第一步：排2名女生，女生的顺序已经确定，这2名女生的排法种数为从6个位置中选出2个位置的组合数，即为26C ；第二步：排4名男生.将4名男生在剩下的4个位置上进行排列的方法数有44A 种. 根据分步计数原理，不同的排法种数是24641524360C A =⨯=. 答：分别有480和360种不同的排法. 【点睛】本题考查简单的排列组合问题，属于中档题.。

最新北师大版高中数学高中数学选修2-3第一章《计数原理》测试卷(含答案解析)

最新北师大版高中数学高中数学选修2-3第一章《计数原理》测试卷(含答案解析)

一、选择题1．4(12)x -的展开式中2x 的系数为（ ）A ．6B ．24C ．32D ．482．影片《红海行动》里的“蛟龙突击队”在奉命执行撤侨过程中，海军舰长要求队员们依次完成6项任务，并对任务的顺序提出了如下要求：重点任务A 必须排在第2位，且任务E 、F 必须排在一起，则这6项任务的不同安排方案共有（ ） A ．18种B ．36种C ．144种D ．216种3．设()929012913x a a x a x a x -=+++⋅⋅⋅+，则0129a a a a +++⋅⋅⋅+的值为( ) A ．94B ．93C ．92D ．92-4．在56789(1)(1)(1)(1)(1)x x x x x -+-+-+-++的展开式中，含3x 的项的系数是（ ） A ．121B ．-37C ．-74D ．-1215．现有甲、乙、丙三个盒子，其中每个盒子中都装有标号分别为1、2、3、4、5、6的六张卡片，现从甲、乙、丙三个盒子中依次各取一张卡片使得卡片上的标号恰好成等差数列的取法数为（ ） A ．14B ．16C ．18D ．206．为支援湖北抗击新冠疫情，无锡市某医院欲从6名医生和4名护士中抽选3人（医生和护士均至少有一人）分配到A ，B ，C 三个地区参加医疗救援（每个地区一人），方案要求医生不能去A 地区，则分配方案共有( ) A ．264种B ．224种C ．250种D ．236种7．安排3人完成5项不同工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式种数为（ ） A ．60B ．150C ．180D ．2408．我省5名医学专家驰援湖北武汉抗击新冠肺炎疫情现把专家全部分配到A ，B ，C 三个集中医疗点，每个医疗点至少要分配1人，其中甲专家不去A 医疗点，则不同分配种数为（ ） A ．116 B ．100 C ．124 D ．909．从1，2，3，4，…，9这9个整数中同时取出4个不同的数，其和为奇数，则不同取法种数有（ ） A ．60B ．66C ．72D ．12610．若()5211x a x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中常数项为-1，则a 的值为( ) A ．1 B ．9C ．-1或-9D ．1或911．41(1)x x++的展开式中常数项为（ ） A ．18B ．19C ．20D ．2112．设2*012(12),(N )n n n x a a x a x a x n +=+++⋯⋯+∈若12728n a a a ++⋯+=，则展开式中二项式系数最大的项是( ) A ．3160xB ．260xC ．4240xD ．320x二、填空题13．西部五省，有五种颜色供选择涂色，要求每省涂一色，相邻省不同色，有__________种涂色方法．14．某学校组织劳动实习，其中两名男生和两名女生参加农场体验活动，体验活动结束后，农场主人与四名同学站一排合影留念.已知农场主人站在中间，两名男生不相邻，则不同的站法共有______种. 15．()621x x +-的展开式中，含10x项的系数是________16．已知(12)n x -的展开式中，二项式系数的和为64，则它的二项展开式中，系数最大的是第__________项．17．若1121101211(21)x a a x a x a x +=+++⋅⋅⋅+，则2202101311()()a a a a a a ++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+=________18．6人排成一排合影，甲乙相邻但乙丙不相邻，共有____（用数字）种不同的排法. 19．在今年的疫情防控期间，某省派出5个医疗队去支援武汉市的4个重灾区，每个重灾区至少分配一个医疗队，则不同的分配方案共有_____________种.（用数字填写答案）20．二项式1232x x ⎛ ⎝，则该展开式中的常数项是______. 三、解答题21．已知727012712+++(=+)x a a x a x a x ⋯－. 求：（1）127+++a a a ⋯； （2）1357+++a a a a ； （3）0246+++a a a a ；22．某工厂生产的10件产品中，有8件合格品、2件不合格品，合格品与不合格品在外观上没有区别.从这10件产品中任意抽检2件，计算： （1）抽出的2件产品恰好都是合格品的抽法有多少种？ （2）抽出的2件产品至多有1件不合格品的抽法有多少种？（3）如果抽检的2件产品都是不合格品，那么这批产品将被退货，求这批产品被退货的概率.23．从1,3,5,7,9中任取2个数，从0,2,4,6中任取2个数， （1）能组成多少个没有重复数字的四位数？（2）若将（1）中所有个位是5的四位数从小到大排成一列，则第100个数是多少？ 24．（1）把6本不同的书分给4位学生，每人至少一本，有多少种方法？ （2）由0,1,2,3,4,5这6个数字组成没有重复数字的四位偶数由多少个？（3）某旅行社有导游9人，其中3人只会英语，4人只会日语，其余2人既会英语，也会日语，现从中选6人，其中3人进行英语导游，另外3人进行日语导游，则不同的选择方法有多少种？ 25．已知数列是等差数列，且，，是展开式的前三项的系数.（1）求的值； （2）求展开式的中间项； （3）当时，用数学归纳法证明：.26．有4名学生和2位老师站成一排合影. （1）若2位老师相邻，则排法种数为多少？ （2）若2位老师不相邻，则排法种数为多少？【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】利用二项展开式的通项可得14(2),0,1,2,3,4rrr T C x r +=-=，令2r 可求得结果.【详解】因为4(12)x -的第1r +项展开式14(2),0,1,2,3,4r rr T C x r +=-=， 令2r，则含2x 项系数为224(2)24C -=， 故选：B ． 【点睛】该题考查的是有关二项式定理的问题，涉及到的知识点有二项展开式通项的应用，项的系数，属于简单题目.2．B解析：B 【分析】根据A 必须排在第2位，且任务E 、F 必须排在一起，先得到任务E 、F 相邻的位置的种数，再考虑E 、F 的顺序，然后将剩下的3个任务全排列，最后用分步计数原理求解. 【详解】因为A 必须排在第2位，且任务E 、F 必须排在一起， 则任务E 、F 相邻的位置有3种， 考虑E 、F 的顺序，有2种情况，将剩下的3个任务全排列，安排在其他3个位置，有336A =种， 所以这6项任务的不同安排方案共有32636⨯⨯=种， 故选：B 【点睛】本题主要考查计数原理中的排列问题，还考查了分析求解的能力，属于中档题.3．A解析：A 【分析】由()913x -的展开式的通项为()193rrr T C x +=-，可得10a <，30a <，50a <，70a <，90a <，则01290123456789a a a a a a a a a a a a a a +++⋅⋅⋅+=-+-+-+-+-，再令1x =-即可得解； 【详解】解：因为()929012913x a a x a x a x -=+++⋅⋅⋅+，()913x -的展开式的通项为()193rr r T C x +=-，所以10a <，30a <，50a <，70a <，90a <，所以01290123456789a a a a a a a a a a a a a a +++⋅⋅⋅+=-+-+-+-+- 令1x =-得901234567894a a a a a a a a a a -+-+-+-+-= 所以901294a a a a +++⋅⋅⋅+= 故选：A 【点睛】本题考查赋值法求二项式展开式的系数和的问题，属于中档题.4．B解析：B 【分析】对每个二项式的展开式进行取值，得到3x 的系数，再求和可得【详解】5(1)x -的展开式通项15(1)k k k kT C x 令3k = 得3x 的系数335(1)C ， 同理可得：33333333356789(1)+(1)+(1)+(1)+=37C C C C C 故选：B. 【点睛】本题考查二项展开式问题.其常见类型及解法(1)求展开式中的特定项或其系数．可依据条件写出第1k +项，再由特定项的特点求出k 值即可．(2)已知展开式的某项或其系数求参数．可由某项得出参数项，再由通项公式写出第1k +项，由特定项得出k 值，最后求出其参数．5．C解析：C 【分析】根据题意，若取出的卡片上的标号恰好成等差数列分三种情况，一是标号相等时，即所得的等差数列的公差为0，二是所得的等差数列公差为1或-1，三是所得的等差数列的公差为2或-2时，分别求出其不同的取法，再求和. 【详解】根据题意，若取出的卡片上的标号恰好成等差数列分三种情况， 一是标号相等时，即全部为1、2、3、4、5、6时，有6种取法，二是所得的等差数列公差为1或-1，即1、2、3；3、2、1；…4、5、6；6、5、4等8种取法，三是所得的等差数列的公差为2或-2时，即1、3、5；5、3、1；…2、4、6；6、4、2等4种取法，所以共有68418++=种. 故选：C 【点睛】本题主要考查分类加法计算原理，还考查了分类讨论的思想和列举求解的能力，属于中档题.6．A解析：A 【分析】分类计数，考虑选取1名医生2名护士和选取2名医生1名护士两类情况求解. 【详解】当选取的是1名医生2名护士，共有126436C C =种选法，分配到A ，B ，C 三个地区参加医疗救援（每个地区一人），方案要求医生不能去A 地区，共有2224A =种，即一共364144⨯=种方案；当选取的是2名医生1名护士，共有216460C C =种选法，分配到A ，B ，C 三个地区参加医疗救援（每个地区一人），方案要求医生不能去A地区，共有222A=种，即一共602120⨯=种方案.综上所述：分配方案共有264种.故选：A【点睛】此题考查分类计数原理和分步计数原理综合应用，涉及排列组合相关知识，综合性强. 7．B解析：B【分析】根据题意，分2步进行分析：①、分两种情况讨论将5项工作分成3组的情况数目，②、将分好的三组全排列，对应3名志愿者，由分步计数原理计算可得答案．【详解】解：根据题意，分2步进行分析：①、将5项工作分成3组，若分成1、1、3的三组，有3115212210C C CA=种分组方法，若分成1、2、2的三组，有2215312215C C CA=种分组方法，则将5项工作分成3组，有101525+=种分组方法；②、将分好的三组全排列，对应3名志愿者，有336A=种情况，则有256150⨯=种不同的分组方法；故选：B．【点睛】本题考查排列、组合的应用，注意分组时要进行分类讨论，属于中档题．8．B解析：B【分析】完成这件事情可分2步进行：第一步将5名医学专家分为3组；第二步将分好的3组分别派到三个医疗点，由分步计数原理计算即可得到答案．【详解】根据已知条件，完成这件事情可分2步进行：第一步：将5名医学专家分为3组①若分为3,1,1的三组，有3510C=种分组方法；②若分为2,2,1的三组，有22532215C CA=种分组方法，故有101525+=种分组方法．第二步：将分好的三组分别派到三个医疗点，甲专家不去A医疗点，可分配到,B C 医疗点中的一个，有122C =种分配方法， 再将剩余的2组分配到其余的2个医疗点，有222A =种分配方法， 则有224⨯=种分配方法．根据分步计数原理，共有254100=⨯种分配方法． 故选：B ． 【点睛】本题主要考查排列、组合的应用，同时考查分步计数原理，属于基础题．9．A解析：A 【分析】要使四个数的和为奇数，则取数时奇数的个数必须是奇数个，再根据排列组合及计数原理知识，即可求解. 【详解】从1，2，3，4，…，9这9个整数中同时取出4个不同的数，其和要为奇数，则取数时奇数的个数必须是奇数个：所以共有1331545460C C C C +=种取法. 故选：A 【点睛】本题考查了排列组合及简单的计数问题，属于简单题.10．D解析：D 【分析】根据题意分析常数项由()2x a +中的某项与511x ⎛⎫- ⎪⎝⎭中的某项项相乘所得,再二项式定理的通项公式求解即可. 【详解】由题可得,()2x a +中含2x 项与511x ⎛⎫- ⎪⎝⎭中含21x 项相乘可得常数项； ()2x a +中含x 项与511x ⎛⎫- ⎪⎝⎭中含1x 项相乘可得常数项； ()2x a +中的常数项与511x ⎛⎫- ⎪⎝⎭中的常数项相乘可得常数项.故()5211x a x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中常数项为 ()()()2134522122551112111010x C ax C a a a x x ⎛⎫⎛⎫⋅⋅⋅-+⋅⋅⋅-+⋅-=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故22101011090a a a a -+-=-⇒-+=,解得1a =或9a =. 故选：D 【点睛】本题主要考查了利用二项式定理,根据常数项求解参数的方法.需要根据题意分析常数项的所有可能组成,属于中档题.11．B解析：B 【分析】 41(1)x x ++展开式的141()r r r T C x x +=+，(0r =，1，⋯，4)．1()r x x+的通项公式：211()k r k k k r k k r r T C x C x x--+==，令2r k =，进而得出．【详解】 解：41(1)x x ++展开式的141()r r r T C x x+=+，(0r =，1，⋯，4)． 1()r x x +的通项公式：211()k r k k k r k k r r T C x C x x--+==，令2r k =，可得：0k =时，0r =；1k =时，2r ，2k =时，4r =．41(1)x x∴++展开式中常数项21424244119C C C C =+⨯+⨯=． 故选：B ． 【点睛】本题考查了二项式定理的通项公式及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12．A解析：A 【分析】由题意得，当1x =时，0123nn a a a a +⋯⋯+=++，利用二项展开式的通项公式求出0021n a C =⋅=，结合条件求得6n =，利用二项式系数的性质，得出二项式系数最大的项为 33362C x ⋅，即可求出结果. 【详解】解：由题可知，2012(12)nnn x a a x a x a x +=+++⋯⋯+， 当1x =时，0123nn a a a a +⋯⋯+=++，(12)n x +的展开式中，通项公式为：12r r rr nT C x +=， 则常数项对应的系数为：0a ，即0r =，得00021n a C =⋅=， 所以1231728n na a a =-+⋯=+⋯+，解得：6n =， 则6(12)x +展开式中二项式系数最大为：36C ， 则二项式系数最大的项为： 333362160C x x ⋅=.故选：A. 【点睛】本题考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，组合数的计算公式．二、填空题13．420【分析】根据题意分别分析5个省的涂色方法的数目进而由分步分类计数原理计算可得答案【详解】对于新疆有5种涂色的方法对于青海有4种涂色方法对于西藏有3种涂色方法对于四川：若与新疆颜色相同则有1种涂解析：420 【分析】根据题意，分别分析5个省的涂色方法的数目，进而由分步、分类计数原理，计算可得答案． 【详解】对于新疆有5种涂色的方法， 对于青海有4种涂色方法， 对于西藏有3种涂色方法，对于四川：若与新疆颜色相同，则有1种涂色方法，此时甘肃有3种涂色方法； 若四川与新疆颜色不相同，则四川只有2种涂色方法，此时甘肃有2种涂色方法； 根据分步、分类计数原理，则共有5×4×3×（2×2+1×3）＝420种方法． 故答案为420. 【点睛】本题考查分类、分步计数原理，对于计数原理的应用，解题的关键是分清要完成的事情分成几部分及如何分类，注意做到不重不漏．14．16【分析】根据正难则反原理可求男生相邻的情况再拿所有情况减去即可【详解】农场主在中间共有种站法农场主在中间两名男生相邻共有种站法故所求站法共有种故答案为：16【点睛】本题考查计数原理考查了正难则反解析：16 【分析】根据正难则反原理，可求男生相邻的情况，再拿所有情况减去即可. 【详解】农场主在中间共有4424A =种站法，农场主在中间，两名男生相邻共有222228A A ⋅=种站法， 故所求站法共有24816-=种. 故答案为：16 【点睛】本题考查计数原理，考查了正难则反原理，考查逻辑推理能力，属于中档题.15．9【分析】将看成整体利用二项式定理展开讨论和两种情况计算得到答案【详解】展开式通项为当时的展开式的通项为取得到项的系数为；当时的展开式的通项为取得到项的系数为综上所述：项的系数是故答案为：【点睛】本解析：9 【分析】将2x x -看成整体，利用二项式定理展开，讨论6r =和=5r 两种情况，计算得到答案. 【详解】()()()662211x x x x =+-+-，展开式通项为()216rrr T C x x +=-，当6r =时，()62x x -的展开式的通项为()()6261661aaa a a aa TC x x C x-++=⋅-=⋅-， 取4a =得到10x 项的系数为()46466115C C ⋅⋅-=；当=5r 时，()52x x-的展开式的通项为()()5251551bbb bb b b TC xxC x -++=⋅-=⋅-，取5b =得到10x 项的系数为()5556516C C ⋅⋅-=-.综上所述：10x 项的系数是1569-=. 故答案为：9. 【点睛】本题考查了二项式定理的应用，意在考查学生的计算能力和应用能力，分两步计算是解题的关键.16．5【分析】根据二项式系数和求出n 的值确定二项展开式的系数最大项在奇数项建立不等式求解即可【详解】由题意知解得由的展开式通项公式知二项展开式的系数最大项在奇数项设二项展开式中第项的系数最大则解得故其展解析：5 【分析】根据二项式系数和求出n 的值，确定二项展开式的系数最大项在奇数项，建立不等式求解即可. 【详解】由题意知，264n =，解得6n =,由(12)n x -的展开式通项公式16(2)rrr T C +=-知二项展开式的系数最大项在奇数项， 设二项展开式中第1r +项的系数最大，则22662266(2)(2)(2)(2)r r r r r r r r C C C C ++--⎧--⎨--⎩， 解得4r =，故其展开式中系数最大的项第5项. 故答案为: 5 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，涉及二项展开式中二项式系数和与系数和问题，容易出错.要正确区分这两个概念.17．【分析】利用赋值法求二项式展开式系数和令则可得的值令则可得的值从而得解；【详解】解：因为令得令得则故答案为：【点睛】本题考查利用赋值法求二项式展开式的系数和的问题属于中档题 解析：177147-【分析】利用赋值法求二项式展开式系数和，令1x =则，可得01211a a a a +++⋅⋅⋅+的值，令1x =-则，可得01231011a a a a a a -+-+⋅⋅⋅+-的值，从而得解；【详解】解：因为1121101211(21)x a a x a x a x +=+++⋅⋅⋅+ 令1x =得11012113a a a a +++⋅⋅⋅+=，令1x =-得()110123101111a a a a a a -+-+⋅⋅⋅+-=-=-则2202101311()()a a a a a a ++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+[][]0210131102101311()()()()a a a a a a a a a a a a =++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+⋅++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+()1131=⨯-177147=-故答案为：177147- 【点睛】本题考查利用赋值法求二项式展开式的系数和的问题，属于中档题.18．192【分析】先将甲乙两人捆绑在一起看成一个人且内部自排再与除丙外的其他人排列最后将丙插空放入保证与乙不相邻即可【详解】第一步：甲乙相邻共有种排法；第二步：将甲乙看成一个人与除丙外的其他人排列共有：解析：192 【分析】先将甲乙两人捆绑在一起看成一个人且内部自排，再与除丙外的其他3人排列，最后将丙插空放入，保证与乙不相邻即可. 【详解】第一步：甲乙相邻，共有222A =种排法；第二步：将甲乙看成一个人，与除丙外的其他3人排列，共有：4424A =种排法； 第三步：将丙插空放入，保证与乙不相邻，共有：144A =种排法； 根据分步计数原理可得，共有2244192⨯⨯=种排法. 故答案为: 192 【点睛】本题主要考查有限制条件的排列问题，属于中档题.解有限制条件的排列问题，可按元素的性质进行分类，按事件发生的连续过程分步，做到标准明确，分步层次清楚，不重不漏，分类标准一旦确定要贯穿于解题过程的始终，同时需掌握有限制条件的排列问题的求解方法.19．240【分析】根据题意分2步进行分析:先选出一个重灾区分配有两个医疗队再为剩下的3个重灾区各分配一个医疗队由分步计数原理计算可得答案【详解】根据题意将5个医疗队分派到4个重灾区每个重灾区至少分配一个解析：240 【分析】根据题意，分2步进行分析:先选出一个重灾区分配有两个医疗队，再为剩下的3个重灾区各分配一个医疗队，由分步计数原理计算可得答案. 【详解】根据题意，将5个医疗队分派到4个重灾区，每个重灾区至少分配一个医疗队， 则其中有一个重灾区安排两个医疗队，剩下3个重灾区各安排一个医疗队. 分2步进行分析：先选出一个重灾区分配有两个医疗队，有1245C C 种分配法， 再为剩下的3个重灾区各分配一个医疗队，有33A 种分配法，所以不同的分配方案数共有123453240C C A =.故答案为：240. 【点睛】本题考查排列组合，属于基础题.20．【分析】直接利用二项式定理计算得到答案【详解】二项式的展开式的通项为：取得到常数项为故答案为：【点睛】本题考查了二项式定理意在考查学生的计算能力和应用能力 解析：552-【分析】直接利用二项式定理计算得到答案. 【详解】二项式122x ⎛ ⎝的展开式的通项为： ()41231212112121221rrr r r rrr xx T C C --+-⎛=-⋅ ⎝⎛⎫⎛⎫=⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，取9r =得到常数项为()1299129152512C -⎛⎫⋅- =-⎪⎝⎭. 故答案为：552-. 【点睛】本题考查了二项式定理，意在考查学生的计算能力和应用能力.三、解答题21．（1）2- ；（2）1094-；（3）1093. 【分析】 赋值法（1）令=0x 得：01a ＝；令=1x ，可得.（2）令=11x x =-，,再两式相减可得. （3）令=11x x =-，,再两式相加可得. 【详解】解 （1）令=1x ，则01234567++++++.=+1a a a a a a a a - ①令1x =-，则701234567+3++a a a a a a a a ----＝② 又=0x ，则01a =所以1234567++++++2a a a a a a a =- （2）两式相减，得1357713=19++042+a a a a --=-（3）两式相加，得0472613=109+2+3+a a a a -+=【点睛】赋值法在求各项系数和中的应用(1)形如(+)n ax b ，2()++m ax bx c (a b c R ∈，，)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令1x ＝即可． (2)对形如)()+(n ax by a b R ∈，的式子求其展开式各项系数之和，只需令==1x y 即可． (3)若2012()n n f x a a x a x a x ⋯＝++++，则()f x 展开式中各项系数之和为(1)f ．22．（1）28种；（2）44种；（3）145【分析】（1）根据题意，利用组合数的公式，即可求得抽出的2件都是合格品的抽法种数； （2）由（1）得抽出的2件产品都是合格品的抽法，再求得恰好1件合格品1件不合格品的抽法种数，利用分类计数原理，即可求解.（3）求得基本事件的总数，得出其中抽检的2件产品都是不合格品的事件数，结合古典概型的概率计算公式，即可求解. 【详解】（1）由题意，某工厂生产的10件产品中，有8件合格品、2件不合格品，所以抽出的2件都是合格品的抽法，共有20828712821C C ⨯=⨯=⨯种. （2）由（1）得抽出的2件产品都是合格品的抽法，共有2082872821C C ⨯==⨯种； 恰好1件合格品1件不合格品的抽法，共有11828216C C =⨯=种， 所以抽到的2件产品中至多有1件不合格品的抽法，共有281644+=种.（3）从10件产品中任意抽取2件产品的抽法，共有2101094521C ⨯==⨯种， 其中抽检的2件产品都是不合格品的事件数有221C =种， 得抽检的2件产品都是不合格品的概率145P =， 即这批产品被退货的概率为145. 【点睛】本题主要考查了分类计数原理、排列组合的应用，以及古典概型的概率计算，其中解答中认真审题，合理分类，结合分类计数原理和古典概型的概率计算公式准确运算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力. 23．(1) 1260 ;(2) 7205. 【分析】（1）需要分两类:第一类,不选0时;第二类,选0时,根据分类计数原理可得;（2）先分5种情况,形如①“1××5",②"2××5",③“3××5”,④“4××5”,⑤“6××5”,再寻找规律,问题得以解决. 【详解】解：（1）不选0时,有224534720C C A ⋅⋅=个;选0时,0不能排在首位, 21135333540C C A A ⋅⋅⋅=,根据分类计数原理,共有720+540=1260个四位数.（2）①“1××5”，中间所缺的两数只能从0，2，4，6中选排,有2412A =个； ②“2××5"，中间所缺的两数是奇偶数各一个,有112432C C A 24⋅⋅=个； ③“3××5"，仿“1××5”，也有2412A =个； ④“4××5"，仿“2××5"，也有112432C C A 24⋅⋅=个； ⑤“6××5”也有112432C C A 24⋅⋅=个；即小于7000的数共有96个，故第97个数是7025，第98个数是7045，第99个数是7065，第100个数是7205. 【点睛】本题主要考查了分类计数原理，关键是分类，要不重不漏，属于中档题. 24．（1）1560；（2）156；（3）92. 【解析】 【分析】（1）分为3,1,1,1和2,2,1,1两类分别计算，加和得到结果；（2）分为个位是0和个位不是0两类分别计算，加和得到结果；（3）分为只会英语的人中选了3人作英语导游、选了2人作英语导游和选了1人作英语导游三类分别计算，加和得到结果.【详解】（1）把6本不同的书分给4位学生，每人至少一本，有3,1,1,1和2,2,1,1两类分配方式为3,1,1,1时，共有：3114632433480C C CAA⋅=种分法分配方式为2,2,1,1时，共有：2214642422221080C C CAA A⋅=种分法由分类加法计数原理可得，共有：48010801560+=种分法（2）若个位是0，共有：3560A=个若个位不是0，共有：11224496C C A=个由分类加法计数原理可得，共有：6096156+=个（3）若只会英语的人中选了3人作英语导游，共有：3620C=种选法若只会英语的人中选了2人作英语导游，共有：12323560C C C=种选法若只会英语的人中选了1人作英语导游，共有：133412C C=种选法由分类加法计数原理可得，共有：20601292++=种选法【点睛】本题考查排列组合的综合应用问题，涉及到分组分配问题、元素位置有限制的排列组合问题等知识，关键是能够根据题目的要求进行合理的分类，最终通过分类加法计数原理得到结果.25．（1）（2）（3）见证明【解析】【分析】（1）先写出展开式的通项，得到，，，根据数列是等差数列，列出等式，即可得出结果；（2）根据（1）的结果，确定中间项为第5项，进而可求出结果；（3）根据数学归纳法的一般步骤，直接证明即可.【详解】解：（1）展开式的通项为，依题意，，，由可得（舍去）或.（2）所以展开式的中间项是第五项为：.（3）证：由（1），①当时，结论成立；当时，；②设当时，，则时，，由，可知，即.综上①②，当时，成立.【点睛】本题主要考查二项展开式以及数学归纳法，只需熟记二项式定理以及数学归纳法的一般步骤即可，属于常考题型.26．（1）240种；（2）480种【分析】（1）2位老师站在一起，可以采取绑定法计数，先绑定2位老师，再将2者看作一人与4名学生进行全排列；（2）2位老师互不相邻，可先排4名学生，然后把2位老师插空，最后用乘法原理计数.【详解】（1）先把2位老师“捆绑”看做1元素，与其余4个元素进行排列，再对2位老师进行排列，共有A22A55＝240种.（2）先让4名学生站好，有A44种排法，这时有5个“空隙”可供2位老师选取，共有A44A52＝480种.【点睛】本题主要考查排列、组合及简单计数问题以及捆绑法，插空法的应用，还考查了分析求解问题的能力，属于中档题.。

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高中数学选修2--3 第一章《计数原理1》单元测试题一、选择题1．将3个不同的小球放入4个盒子中，则不同放法种数有（ ）A ．81B ．64C ．12D ．142．从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少有甲型与乙型电视机 各1台，则不同的取法共有（ ）A ．140种 B.84种 C.70种 D.35种3．5个人排成一排,其中甲、乙两人至少有一人在两端的排法种数有（ ）A ．33AB ．334AC ．523533A A A -D ．2311323233A A A A A + 4．,,,,a b c d e 共5个人，从中选1名组长1名副组长，但a 不能当副组长， 不同的选法总数是（ ）A.20 B ．16 C ．10 D ．65．现有男、女学生共8人，从男生中选2人，从女生中选1人分别参加数学、 物理、化学三科竞赛，共有90种不同方案，那么男、女生人数分别是（ ）A ．男生2人，女生6人B ．男生3人，女生5人C ．男生5人，女生3人D ．男生6人，女生2人.6．在82x ⎛ ⎝的展开式中的常数项是（ ） A.7 B ．7- C ．28 D ．28-7．5(12)(2)x x -+的展开式中3x 的项的系数是（ ）A.120 B ．120- C ．100 D ．100-8．22nx ⎫⎪⎭展开式中只有第六项二项式系数最大,则展开式中的常数项是（ ）A ．180B ．90C ．45D ．360二、填空题1．从甲、乙，……，等6人中选出4名代表，那么（1）甲一定当选，共有种选法．（2）甲一定不入选，共有种选法.（3）甲、乙二人至少有一人当选，共有种选法.2．4名男生，4名女生排成一排，女生不排两端，则有种不同排法. 3．由0,1,3,5,7,9这六个数字组成_____个没有重复数字的六位奇数.4．在10(x的展开式中，6x的系数是 .5．在220-展开式中，如果第4r项和第2(1)xr+项的二项式系数相等，T= .则r=，4r6．在1,2,3,...,9的九个数字里，任取四个数字排成一个首末两个数字是奇数的四位数，这样的四位数有_________________个？7．用1,4,5,x四个不同数字组成四位数,所有这些四位数中的数字的总和为288,则x .8．从1,3,5,7,9中任取三个数字，从0,2,4,6,8中任取两个数字，组成没有重复数字的五位数，共有________________个？三、解答题1．判断下列问题是排列问题还是组合问题？并计算出结果.（1）高三年级学生会有11人：①每两人互通一封信，共通了多少封信？②每两人互握了一次手，共握了多少次手？（2）高二年级数学课外小组10人：①从中选一名正组长和一名副组长，共有多少种不同的选法？②从中选2名参加省数学竞赛，有多少种不同的选法？（3）有2,3,5,7,11,13,17,19八个质数：①从中任取两个数求它们的商可以有多少种不同的商？②从中任取两个求它的积，可以得到多少个不同的积？2．7个排成一排，在下列情况下，各有多少种不同排法？（1）甲排头，（2）甲不排头，也不排尾，（3）甲、乙、丙三人必须在一起，（4）甲、乙之间有且只有两人，（5）甲、乙、丙三人两两不相邻，（6）甲在乙的左边（不一定相邻），（7）甲、乙、丙三人按从高到矮，自左向右的顺序，（8）甲不排头，乙不排当中。

3．解方程432(1)140;x x A A =112311(2)n n n n n n n nC C C C +--+-+=++4．已知21n x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中的二项式系数的和比7(32)a b +展开式的二项式系数的和大128,求21nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中的系数最大的项和系数量小的项.5．（1）在n （1+x ）的展开式中，若第3项与第6项系数相等，且n 等于多少？（2）n⎛ ⎝的展开式奇数项的二项式系数之和为128， 则求展开式中二项式系数最大项。

6．已知5025001250(2),a a x a x a x =++++L 其中01250,,,a a a a L 是常数,计算220245013549()()a a a a a a a a ++++-++++L L高中数学选修2--3 第一章《计数原理2》过关练习题一、选择题1．由数字1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数，其中小于50000的偶数共有（ ）A ．60个B ．48个 ．36个 D ． 24个2．3张不同的电影票全部分给10个人,每人至多一张,则有不同分法的种数是( )A ．1260B ．120C ．240D ．7203．n N ∈且55n <,则乘积(55)(56)(69)n n n ---L 等于A ．5569n n A --B ．1569n A -C ．1555n A -D ．1469n A -4．从字母,,,,,a b c d e f 中选出4个数字排成一列，其中一定要选出a 和b ， 并且必须相邻（a 在b 的前面），共有排列方法（ ）种.A.36 B ．72 C ．90 D ．1445．从不同号码的5双鞋中任取4只，其中恰好有1双的取法种数为（ ）A ．120B ．240C ．280D ．606．把10)x -把二项式定理展开，展开式的第8项的系数是（ ）A ．135B ．135-C ．-D ．7．2122nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，2x 的系数是224，则21x 的系数是（ ） A.14 B ．28 C ．56 D ．1128．在310(1)(1)x x -+的展开中，5x 的系数是（ ）A.297- B ．252- C ．297 D ．207二、填空题1．n 个人参加某项资格考试，能否通过，有 种可能的结果？2．以1239L ，，，这几个数中任取4个数，使它们的和为奇数，则共有 种不同取法.3．已知集合{}1,0,1S =-,{}1,2,3,4P =,从集合S ,P 中各取一个元素作为点的坐标,可作出不同的点共有_____个.4．,n k N ∈且,n k >若11::1:2:3,n n n k k k C C C -+=则n k +=______.5．511x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式中的常数项有 6．在50件产品n 中有4件是次品，从中任意抽了5件，至少有3件是次品的抽法共有______________种（用数字作答）.7．2345(1)(1)(1)(1)(1)x x x x x ---+---+-的展开式中的3x 的系数是___________8．{}1,2,3,4,5,6,7,8,9A =，则含有五个元素，且其中至少有两个偶数的子集个数为_____.三、解答题1．集合A 中有7个元素，集合B 中有10个元素，集合A I B 中有4个元素，集合C 满足（1）C 有3个元素； （2）C A U B（3）C I B ≠Φ， C I A ≠φ求这样的集合C 的集合个数.2．计算：（1）()2973100100101C C A +÷；（2）3333410C C C +++L .（3）11m n m n n m n m n nC C C C -++--3．证明：11mm m n n n A mA A -++=.4．求31(2)x x+-展开式中的常数项。

5．从{}3,2,1,0,1,2,3,4---中任选三个不同元素作为二次函数2y ax bx c =++的系数,问能组成多少条图像为经过原点且顶点在第一象限或第三象限的抛物线?6．8张椅子排成,有4个人就座,每人1个座位,恰有3个连续空位的坐法共有多少种?高中数学选修2--3 第一章《计数原理3》质量检测题一、选择题1．若346n n A C =，则n 的值为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．92．某班有30名男生，30名女生，现要从中选出5人组成一个宣传小组， 其中男、女学生均不少于2人的选法为（ ）A ．230C 220C 146CB ． 555503020C C C --C ．514415*********C C C C C --D ． 322330203020C C C C + 3．6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人两本，不同的分法种数是（ ）A ．2264C C B ．22264233C C C A C ．336AD ．36C 4．设含有10个元素的集合的全部子集数为S ，其中由3个元素组成的子集数为T ，则T S的值为（ ） A.20128 B ．15128 C ．16128 D ．21128 5．若423401234(2x a a x a x a x a x =++++，则2202413()()a a a a a ++-+的值为（ ）A.1 B ．1- C ．0 D ．26．在()n x y +的展开式中，若第七项系数最大，则n 的值可能等于（ ）A.13,14 B ．14,15 C ．12,13 D ．11,12,137．不共面的四个定点到平面α的距离都相等，这样的平面α共有（ ）A ．3个B ．4个C ．6个D ．7个8．由0,1,2,3,...,9十个数码和一个虚数单位i 可以组成虚数的个数为（ ）A.100 B ．10 C ．9 D ．90二、填空题1．将数字1,2,3,4填入标号为1,2,3,4的四个方格里，每格填一个数字，则每个方格的标号与所填的数字均不同的填法有 种？2．在△AOB 的边OA 上有5个点，边OB 上有6个点，加上O 点共个点，以这12个点为顶点的三角形有 个.3．从0,1,2,3,4,5,6这七个数字中任取三个不同数字作为二次函数2y ax bx c =++的系数,,a b c 则可组成不同的函数_______个,其中以y 轴作为该函数的图像的对称轴的函数有______个.4．若9a x ⎛ ⎝的展开式中3x 的系数为94，则常数a 的值为 . 5．若2222345363,n C C C C ++++=L 则自然数n =_____. 6．若56711710m m m C C C -=,则8__________m C =. 7．50.991的近似值（精确到0.001）是多少？8．已知772127(12)o x a a a x a x -=++++L ,那么127a a a +++L 等于多少?三、解答题1．6个人坐在一排10个座位上,问(1)空位不相邻的坐法有多少种?(2) 4个空位只有3个相邻的坐法有多少种?(3) 4个空位至多有2个相邻的坐法有多少种?2．有6个球,其中3个黑球,红、白、蓝球各1个，现从中取出4个球排成一列，共有多少种不同的排法？3．求54(12)(13)x x -+展开式中按x 的降幂排列的前两项.4．用二次项定理证明2289n C n +--能被64整除()n N ∈.5．求证：0212(1)22n n n nn n C C n C n -++++=+⋅L .6．(1)若(1)n x +的展开式中，3x 的系数是x 的系数的7倍，求n ；(2)已知7(1)(0)ax a +≠的展开式中, 3x 的系数是2x 的系数与4x 的系数的等差中项,求a ;(3)已知lg 8(2)x x x +的展开式中,二项式系数最大的项的值等于1120,求x .第一章 计数原理1 参考答案一、选择题1．B 每个小球都有4种可能的放法，即44464⨯⨯=2．C 分两类：（1）甲型1台，乙型2台：1245C C ；（2）甲型2台，乙型1台：2145C C 1221454570C C C C += 3．C 不考虑限制条件有55A ，若甲，乙两人都站中间有2333A A ，523533A A A -为所求4．B 不考虑限制条件有25A ，若a 偏偏要当副组长有14A ，215416A A -=为所求 5．B 设男学生有x 人，则女学生有8x -人，则2138390,x x C C A -=即(1)(8)30235,3x x x x --==⨯⨯=6．A 148888833188811()((1)()(1)()222r r r r r r r r r r r r r x T C C xC x ------+==-=- 令6866784180,6,(1)()732r r T C --===-=7．B 555332255(12)(2)2(12)(12)...2(2)(2)...x x x x x C x xC x -+=-+-=+-+-+ 233355(416)...120...C C x x =-+=-+ 8．A 只有第六项二项式系数最大，则10n =，551021101022()2rr r r r rrT C C xx--+==，令2310550,2,41802r r T C-====二、填空题1．（1）103510C=；（2）5455C=；（3）14446414C C-=2．8640先排女生有46A，再排男生有44A，共有44648640A A⋅=3．4800既不能排首位，也不能排在末尾，即有14A，其余的有55A，共有1545480A A⋅=4．189010110(r r rrT C x-+=，令466510106,4,91890r r T C x x-====5．1530204,C x-4111521515302020162020,41120,4,()r rC C r r r T C x C x-+=-++===-=-6．840先排首末，从五个奇数中任取两个来排列有25A，其余的27A，共有2257840A A⋅=7．2当0x≠时，有4424A=个四位数，每个四位数的数字之和为145x+++ 24(145)288,2x x+++==；当0x=时，288不能被10整除，即无解8．11040不考虑0的特殊情况，有32555512000,C C A=若0在首位，则314544960,C C A=3253145555441200096011040C C A C C A-=-=三、解答题1．解：（1）①是排列问题，共通了211110A=封信；②是组合问题，共握手21155C=次。

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