数学分析下册期末考试卷及参考答案

第 1 页 共 5 页

数学分析下册期末模拟试卷及参考答案

一、填空题（第1题每空2分，第2，3，4，5题每题5分，共26分） 1、已

知u =则

u

x

∂=∂ ，u y ∂=∂ ，du = 。

2、设22L y a +=2：x ，则L

xdy ydx -=⎰ 。

3、设L ⎧⎨

⎩x=3cost ，

：y=3sint.（02t π≤≤），则曲线积分ds ⎰22L

（x +y ）= 。 4、改变累次积分3

2

dy f dx ⎰⎰3

y

（

x ，y ）的次序为 。 5、设1D x y +≤：

，则1)D

dxdy ⎰⎰= 。

二、判断题（正确的打“O ”;错误的打“×”；每题3分，

共15分）

1、若函数f （x ，y ）在点p 00（x ，y ）连续，则函数f （x ，y ）

点p 00（x ，y ）必存在一阶偏导数。 ( )

2、若函数f （x ，y ）在点p 00（x ，y ） 可微，则函数f （x ，y ）

在点p 00（x ，y ）连续。 ( )

3、若函数f （x ，y ）在点p 00（x ，y ）存在二阶偏导数00(,)xy f x y 和00(,)yx f x y ，则

必有 0000(,)(,)xy yx f x y f x y =。 ( ) 4、

(,)

(,)

(,)(,)L A B L B A f x y dx f x y dx =

⎰

⎰

。

( )

5、若函数f （x ，y ）在有界闭区域D 上连续，则函数f （x ，y ） 在D 上可积。( )

第 2 页 共 5 页

三、计算题 （ 每小题9分，共45分）

1、用格林公式计算曲线积分

(sin 3)(cos 3)x x AO

I e y y dx e y dy =-+-⎰ ，

其中AO 为由(,0)A a 到(0,0)O 经过圆22x y ax +=上半部分的路线。

、计算三重积分

2

2()V

x

y dxdydz +⎰⎰⎰，

是由抛物面22z x y =+与平面4z =围成的立体。

第 3 页 共 5 页

3、计算第一型曲面积分

S

I dS =⎰⎰ ，

其中S 是球面2222x y z R ++=上被平面(0)z a a R =<<所截下的顶部（z a ≥）。

4、计算第二型曲面积分 22

()()S

I y x z dydz x dzdx y

xz dxdy =

-+++⎰⎰，

其中S 是立方体[][][]0,0,0,V b b b =⨯⨯的外表面。

第 4 页 共 5 页

5、设{}

222(,)D x y x y R =+≤. 求以圆域D 为底，以曲面2

2()

x y z e -+=为顶的

曲顶柱体的体积。

四、证明题(每小题7分，共14分)

1、验证曲线积分

第 5 页 共 5 页

222(2)(2)(2)L

x yz dx y xz dy z xy dz -+-+-⎰，

与路线无关，并求被积表达式的一个原函数(,,)u x y z 。

2、证明：若函数f （x ，y ）在有界闭区域D 上连续，则存在(,),D ξη∈ 使得 (,)(,)D

D

f x y d f S

σξη=⋅⎰⎰ ，这里D S 是区域D 的面积。

参考答案

一、填空题（第1题每空2分，第2，3，4，5题每题5分，共26分） 1、

22x x y +；22y x y +；2222

x y

dx dy x y x y

+++。 2、2

2a π； 3、54π ； 4、3

2

2

(,)X

dx f x y dy ⎰⎰ ；5

、1)。

二、判断题（正确的打“O ”;错误的打“×”；每题3分，共15分）

1、×；

2、○；

3、×；

4、× ；

5、○ .

第 6 页 共 5 页

三、计算题 （ 每小题9分，共45分）

1、解：补上线段:0,0OA y x a =≤≤ 与弧22:(0)AO x y ax y +=≥构成封闭曲线，由格林公式，有

(sin 3)(cos 3)(sin 3)(cos 3)x x x

x OA

OA AO

I e y y dx e y dy e

y y dx e y dy +=-+--

-+-⎰⎰

----------------------------------------------------------------------------------------------6分 =220:(0)

cos (cos 3)0a

x x D x y ax y e y e y dxdy dx +≤≥⎡⎤---⎣⎦⎰⎰⎰-----------------------------8

分

=2

338

D

dxdy a π=

⎰⎰--------------------------------------------------------------------9分 2、解：作柱面坐标变换：cos ,sin ,x r y r z z θθ===， 则(,,)J r z r θ= 且

2:4,02,02V V r z r θπ'⇒≤≤≤≤≤≤---------------------------------------------4分

2

22222

4

3

()683293

V

V r x y dxdydz

r rdrd dz d r dr dz π

θθπ

'∴+=⋅--------------------=--------------------=

-------------------------⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰分

分

分

3

、解：22S Z R a =∈≤-22：x ，y ）D ：x +y

.

dS =