初中数学竞赛专题培训(6)：代数式的求值
初中数学竞赛题,代数式求值,全班仅1人会解
初中数学竞赛题，代数式求值，全班仅1人会解
青春时光，所有人都向往它。
每一段年少的时光都是梦想的开始，而每一段的思考和成长过程都在最终实现梦想的道路上缔结着重要
的联系。
在初中，知识的积累只不过是一个开始，真正测试学生能力和智慧的是竞赛。
初中数学竞赛，特别是代数式求值，是一项很有挑战性的考试，只有少数学生能够完全理解题意并正确解答。
我的班级里也只有一个学生能够解出本次竞赛的代数式求值题，令人惊讶的还有他在有限的时间内就能正确地解答出这道经典的数学题，他就是刘华。
刘华是一个正直勤勉的学生，在学习和生活上都充满了活力，他乐于研究和学习，我们班的数学老师都把他当成是一个“宝贝学生”，他自己也对数学有着浓厚的兴趣。
因此，刘华非常擅长数学，他把每一分钟都珍惜起来，在每节课上仔细地听讲和练习，数学老师也十分支持他，从而使他成为了初中数学竞赛的佼佼者。
本次竞赛中，刘华的表现令人印象深刻，他对所有的题目都深有理解，尤其是代数式求值题，一眼就把它解出来，而其他的同学甚至都不明白题目的意思。
他解出来的题目，让所有人都惊叹不已，而在数学老师的鼓励下，刘华能够坚持到最后，他赢得了本次比赛的冠军。
这次初中数学竞赛，如同刘华一样，也是我们同学们踏上成长之路的一个重要里程碑，大家多多少少都收获了一些成长，尤其是刘华，他通过仔细学习和深思，最终获得了竞赛的胜利，而我们也从他身上获得了不少的启发，学会认真投入到每一件事，并且每一步都要做到
尽善尽美，只有这样才能实现一个梦想。
最后，祝愿刘华能够在未来也能取得更好的成绩，为国家增光添彩！。
初中数学讲义第6讲 代数式的求值
第六讲代数式的求值代数式的求值与代数式的恒等变形关系十分密切．许多代数式是先化简再求值，特别是有附加条件的代数式求值问题，往往需要利用乘法公式、绝对值与算术根的性质、分式的基本性质、通分、约分、根式的性质等等，经过恒等变形，把代数式中隐含的条件显现出来，化简，进而求值．因此，求值中的方法技巧主要是代数式恒等变形的技能、技巧和方法．下面结合例题逐一介绍．1．利用因式分解方法求值因式分解是重要的一种代数恒等变形，在代数式化简求值中，经常被采用．分析 x的值是通过一个一元二次方程给出的，若解出x后，再求值，将会很麻烦．我们可以先将所求的代数式变形，看一看能否利用已知条件．解已知条件可变形为3x2+3x-1=0，所以6x4+15x3+10x2=(6x4+6x3-2x2)+(9x3+9x2-3x)+(3x2+3x-1)+1=(3x2+3x-1)(2z2+3x+1)+1=0+1=1．说明在求代数式的值时，若已知的是一个或几个代数式的值，这时要尽可能避免解方程(或方程组)，而要将所要求值的代数式适当变形，再将已知的代数式的值整体代入，会使问题得到简捷的解答．例2 已知a，b，c为实数，且满足下式：a2+b2+c2=1，①求a+b+c的值．解将②式因式分解变形如下即所以a+b+c=0或bc+ac+ab=0．若bc+ac+ab=0，则(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(bc+ac+ab)=a2+b2+c2=1，所以 a+b+c=±1．所以a+b+c的值为0，1，-1．说明本题也可以用如下方法对②式变形：即前一解法是加一项，再减去一项；这个解法是将3拆成1+1+1，最终都是将②式变形为两个式子之积等于零的形式．2．利用乘法公式求值例3 已知x+y=m，x3+y3=n，m≠0，求x2+y2的值．解因为x+y=m，所以m3=(x+y)3=x3+y3+3xy(x+y)=n+3m·xy，所以求x2+6xy+y2的值．分析将x，y的值直接代入计算较繁，观察发现，已知中x，y的值正好是一对共轭无理数，所以很容易计算出x+y与xy的值，由此得到以下解法．解 x2+6xy+y2=x2+2xy+y2+4xy=(x+y)2+4xy3．设参数法与换元法求值如果代数式字母较多，式子较繁，为了使求值简便，有时可增设一些参数(也叫辅助未知数)，以便沟通数量关系，这叫作设参数法．有时也可把代数式中某一部分式子，用另外的一个字母来替换，这叫换元法．分析本题的已知条件是以连比形式出现，可引入参数k，用它表示连比的比值，以便把它们分割成几个等式．x＝(a-b)k，y＝(b-c)k，z＝(c-a)k．所以x+y+z=(a-b)k＋(b-c)k+(c-a)k=0．u+v+w=1，①由②有把①两边平方得u2+v2+w2+2(uv+vw+wu)=1，所以u2+v2+w2=1，即两边平方有所以4．利用非负数的性质求值若几个非负数的和为零，则每个非负数都为零，这个性质在代数式求值中经常被使用．例8 若x2-4x+|3x-y|=-4，求y x的值．分析与解x，y的值均未知，而题目却只给了一个方程，似乎无法求值，但仔细挖掘题中的隐含条件可知，可以利用非负数的性质求解．因为x2-4x+|3x-y|=-4，所以x2-4x＋4＋|3x-y|=0，即 (x-2)2+|3x-y|=0．所以 y x=62=36．例9 未知数x，y满足(x2＋y2)m2-2y(x+n)m+y2+n2=0，其中m，n表示非零已知数，求x，y的值．分析与解两个未知数，一个方程，对方程左边的代数式进行恒等变形，经过配方之后，看是否能化成非负数和为零的形式．将已知等式变形为m2x2+m2y2-2mxy-2mny+y2+n2=0，(m2x2-2mxy+y2)+(m2y2-2mny+n2)=0，即 (mx-y)2+(my-n)2=0．5．利用分式、根式的性质求值分式与根式的化简求值问题，内容相当丰富，因此设有专门讲座介绍，这里只分别举一个例子略做说明．例10 已知xyzt=1，求下面代数式的值：分析直接通分是笨拙的解法，可以利用条件将某些项的形式变一变．解根据分式的基本性质，分子、分母可以同时乘以一个不为零的式子，分式的值不变．利用已知条件，可将前三个分式的分母变为与第四个相同．同理分析计算时应注意观察式子的特点，若先分母有理化，计算反而复杂．因为这样一来，原式的对称性就被破坏了．这里所言的对称性是分利用这种对称性，或称之为整齐性，来简化我们的计算．同样(但请注意算术根！)将①，②代入原式有练习六2．已知x+y=a，x2+y2=b2，求x4+y4的值．3．已知a-b+c=3，a2+b2+c2=29，a3+b3+c3=45，求ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)的值．5．设a+b+c=3m，求(m-a)3+(m-b)3+(m-c)3-3(m-a)(m-b)(m-c)的值．8．已知13x2-6xy+y2-4x+1=0，求(x+y)13·x10的值．。
初中数学竞赛题,代数式求值,全班仅1人会解
初中数学竞赛题，代数式求值，全班仅1人会解在初中，数学竞赛越来越受到广大学生的追捧，因为它可以锻炼学生的智力，培养他们的逻辑思维能力，同时也是比较有挑战的课题。
有一次，班级里组织了一场数学竞赛，题目是“代数式求值，全班仅1人会解”，这一题在全班的学生里，只有一位学生能够解决，其它同学都茫然无措。
大家都试图理解这道充满挑战的题目，但却没有一个人能够做出来，这令班上的学生们都很着急，他们心里都在想：“到底是谁能够解决这道难题？”没有人能够给出答案，可是这时候，一位名叫李华的同学站了出来，他说道：“我会解决这道题目。
”这时，大家都惊讶不已，因为他们都不相信有人能够解决这道题。
李华说：“这个题目用代数式求值，其实是比较简单的，我只要花点时间思考，就可以找出解决的办法。
”他继续说道：“首先，我们要明确这个题目的意思，这里的代数式求值是指我们要根据表达式中的符号和数字，来求出其值。
然后，我们可以算出表达式中的结果，最后，把结果与答案进行比较，就可以得出最终结果了。
”听了李华的解释，全班的学生都非常钦佩他，他们都认为他真的有能力去解决这道数学题。
然后，他们都怀着期待的心情等待着李华的答案。
果不其然，李华花了两分钟的时间，就解出了这道代数式求值的题目，大家都纷纷表示赞赏。
李华成功地解出了这道题，他希望自己解出来的答案能帮助其他学生们，让他们了解怎样去求解这样的数学难题，并拓展他们的数学知识。
当天，李华获得了第一名，他的同学也为他欢呼雀跃，大家都感受到，他是真正的数学奇才。
数学竞赛的这一次，让大家明白，只要你对数学有兴趣，有自信，就一定能够解出任何一道题目。
李华通过他的表现，激励了其他的学生，让他们也有勇气去尝试一切数学难题，从而帮助他们更好地提升自己的能力。
数学竞赛，不仅让李华展示了解决困难题目的能力，也让其他学生看到了数学的精彩。
真正的数学天才，就像李华这样，能够用自己的思路去解决问题，这就是数学的精髓，也是数学竞赛存在的价值所在。
初中数学竞赛代数专题讲义之代数式求值含例题习题及详解
代数式求值由数与字母经有限次代数运算（加、减、乘、除、乘方、开方）所组成的表达式叫做代数式。
已知一个代数式，把式中的字母用给定数值代替后，运算所得结果叫做在字母取给定数值时代数式的值。
一、专题知识1.基本公式（1）立方和公式：2233()()a b a ab b a b +-+=+（2）立方差公式：2233()()a b a ab b a b-++=-（3）完全立方和：33223()33a b a a b ab b +=+++（4）完全立方差：33223()33a b a a b ab b -=-+-2.基本结论（1）33322()33a b a b a b ab +=+--（2）33322()33a b a b a b ab -=-+-（3）22()()4a b a b ab-=+-二、经典例题例题1已知y z x z x yx y z+++==求代数式y z x +的值。
【解】（1）0x y z ++≠，由等比性质得2()2x y z y zx y z x+++==++；（2）0x y z ++=，则y z x +=-，所以1y zx+=-。
例题2已知234100x y +-=，求代数式y x x y xy y x x 65034203152223--++++的值。
【解】32221532043506x x y xy y x x y++++--322222215205034103410105(3410)(3410)(3410)1010x xy x x y y y x y x x y y x y x y =+-++-++-+=+-++-++-+=例题3实数,,a b c满足条件：231224a b ab -=+=-，求代数式2a b c ++的值。
【解】22222442318224a b a ab b ab c ab ⎧-=⇒-+=⎪⎨+=-⇒+=-⎪⎩两式相加得，()2220a b ++=只有2=0a b +且0c =，所以20a b c ++=。
七年级代数式求值
七年级代数式求值一、代数式求值的概念。
代数式求值就是用给定的数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系计算得出结果。
例如，对于代数式2x + 3，当x = 5时，将x = 5代入代数式中进行计算，2×5+3 = 10 + 3=13，这个13就是当x = 5时该代数式的值。
二、代数式求值的步骤。
1. 化简代数式。
- 如果代数式比较复杂，先进行化简。
例如，对于代数式3x+2x^2 - 5x + 1，可以先合并同类项，得到2x^2 - 2x+1。
2. 代入数值。
- 明确代数式中字母的值，将其代入化简后的代数式。
已知x = 2，将x = 2代入2x^2 - 2x + 1中。
3. 计算结果。
- 按照代数式中的运算顺序进行计算。
对于2x^2 - 2x+1，当x = 2时，2×2^2-2×2 + 1=2×4 - 4+1=8 - 4+1 = 5。
三、注意事项。
1. 代入数值时要准确。
- 当字母的值是负数、分数等情况时，要特别注意符号问题。
例如，对于代数式x^2 - 3x，当x=-(1)/(2)时，(-(1)/(2))^2-3×(-(1)/(2))=(1)/(4)+(3)/(2)=(1 +6)/(4)=(7)/(4)。
2. 运算顺序。
- 遵循先乘方、再乘除、后加减的运算顺序。
如果有括号，先算括号里面的。
例如，对于代数式(2x + 1)^2 - 3(x - 1)，当x = 3时，先计算(2×3+1)^2=(6 + 1)^2 = 49，再计算3(x - 1)=3×(3 - 1)=6，最后49-6 = 43。
数学竞赛中的代数式求值经典问题
数学竞赛中的代数式求值经典问题题型一、代数式恒等变形1.假设1,那么111a b c ab a bc b ca c ++++++++的值是( ) A ．1． B ．0． C ．-1． D ．-2．解析：1，那么a ，b ，c 均不为0．选A ．2．假设x 33=1000，且x 22496，那么(x 33)+(42-2x 2y)-2(23)． 解析：由于x 33=1000，且x 22496，因此要把(x 33)+(42-2x 2y)-2(23)分组、凑项表示为含x 33及x 22的形式，以便代入求值，为此有(x 33)+(42-2x 2y)-2(23)33+22-2x 2(x 33)-2(x 22)=1000-2(-496)=19923．假设m ＋n －p ＝0，那么⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n m p p m n p n m 111111－－－＋－的值等于．解析：3-，4．假设2，x 22=4，那么x 19921992的值是 ( )A ．4B ．19922C ．21992D ．41992解析：由2 ①平方得x 2-22=4 ②又x 22=4 ③所以x ，y 中至少有一个为0，但x 22=4．因此，x ，y 中只能有一个为0，另一个为2或-2．无论哪种情况，都有x 19921992=01992+(±2)1992=21992，选C ．5．在等式2中,当1时2,当1时20,那么9b 2．解析：以12代入2得2 ①以120代入2得20 ②①-②,222，所以11．因此9．于是9b 2()+9b 2=(-11)×(9)+9×112=990．6．a ＋b ＝－3，a 2b ＋2＝－30，那么a 2－＋b 2＋11＝50．7．a a 1+2，那么441a a += 2 ； 441a a -= 0 . 8．如果m －m 1＝－3，那么m 3－31m ＝． 解析：36-，提示：32232211111()(1)()[()3] (3)[(3)3]36m m m m m m m m m m-=-++=--+=-⨯-+= 9．三个互不相等的有理数，既可表示为1，的形式,又可表示为0b a, 的形式,那么a 19921993.解析：由于三个互不相等的有理数，既可表示为1，下，只能是1．于是1．所以，a19921993=(-1)1992+(1)1993=1+1=2．10．如图6，D点在△的直角边上上，且2，3，假设，，那么解析:勾股定理：m222=522n222=322 可得：m2 - n2 =16 11．7，22=49，33=133，44=406，试求1995()+617( )的值.2分析：7，22=49，33=133，44=406．形式很对称，很容易诱使你将7两边平方，再减去22=49，…想利用乘法公式算出，但一试发现此路不通．由于受所作某些训练题型模式的影响，很多同学仍企图走此路，以致最后陷入死胡同．事实上，平方后必出现a2x2及b2y2，而22中，a，b都不是平方，这一特点已经说明利用乘法公式去消项的方法很难走通．应及时转向，通过一项一项表示，往一起凑这个最根本的方式去做．解：显然2=492，2=4923=492，3=492y相加得13333=49()()即49()-71337()19 ①同理3=1333，3=1333 4=1333，4=1333y相加得40644=133()(22)即133()-4940619()-758 ②由①、②联立，设，得71919758,解得，即，由7，7得2=7，2=7相加得4922=7()()所以 1.5()=49-7×∴21此时即可求得-9-178.5=4800说明：此题虽然所用知识单元块均在初一学过，但解此题需要考生有较强的应变能力及观察综合能力，并且计算也要很细心，因此此题属于对学生数学素质综合检查的题目．此题改编自下面的问题“8，22=22，33=62，44=178，试求1995()+6之值〞．有兴趣的读者不防解一解看．答案是10011．再想一想，满足题设条件的a及b两数之与等于多少？你能独立地求出之值吗？(答3)题型二、多项式的带余除法1．设m2＋m－1＝0，那么m3＋2m2＋1997＝．解析：原式＝m3＋m2－m＋m2＋m－1＋1998＝m〔m2＋m－1〕＋〔m2＋m－1〕＋1998＝〔m2＋m－1〕〔m＋1〕＋1998由于m2＋m－1＝0，∴原式＝1998．2.如果x2－1=0，那么x3+2x2+3= 4 ．3.假设=+++=-+1855,013232x x x x x 则204．如果223x x +=，那么432781315x x x x ++-+=18。
初中奥数竞赛辅导资料之第六讲代数式求值
第六讲代数式的求值代数式的求值与代数式的恒等变形关系十分密切．许多代数式是先化简再求值，特别是有附加条件的代数式求值问题，往往需要利用乘法公式、绝对值与算术根的性质、分式的基本性质、通分、约分、根式的性质等等，经过恒等变形，把代数式中隐含的条件显现出来，化简，进而求值．因此，求值中的方法技巧主要是代数式恒等变形的技能、技巧和方法．下面结合例题逐一介绍．1．利用因式分解方法求值因式分解是重要的一种代数恒等变形，在代数式化简求值中，经常被采用．分析 x的值是通过一个一元二次方程给出的，若解出x后，再求值，将会很麻烦．我们可以先将所求的代数式变形，看一看能否利用已知条件．解已知条件可变形为3x2+3x-1=0，所以6x4+15x3+10x2=(6x4+6x3-2x2)+(9x3+9x2-3x)+(3x2+3x-1)+1=(3x2+3x-1)(2z2+3x+1)+1=0+1=1．说明在求代数式的值时，若已知的是一个或几个代数式的值，这时要尽可能避免解方程(或方程组)，而要将所要求值的代数式适当变形，再将已知的代数式的值整体代入，会使问题得到简捷的解答．例2 已知a，b，c为实数，且满足下式：a2+b2+c2=1，①求a+b+c的值．解将②式因式分解变形如下即所以a+b+c=0或bc+ac+ab=0．若bc+ac+ab=0，则(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(bc+ac+ab)=a2+b2+c2=1，所以 a+b+c=±1．所以a+b+c的值为0，1，-1．说明本题也可以用如下方法对②式变形：即前一解法是加一项，再减去一项；这个解法是将3拆成1+1+1，最终都是将②式变形为两个式子之积等于零的形式．2．利用乘法公式求值例3 已知x+y=m，x3+y3=n，m≠0，求x2+y2的值．解因为x+y=m，所以m3=(x+y)3=x3+y3+3xy(x+y)=n+3m·xy，所以求x2+6xy+y2的值．分析将x，y的值直接代入计算较繁，观察发现，已知中x，y的值正好是一对共轭无理数，所以很容易计算出x+y与xy的值，由此得到以下解法．解 x2+6xy+y2=x2+2xy+y2+4xy=(x+y)2+4xy3．设参数法与换元法求值如果代数式字母较多，式子较繁，为了使求值简便，有时可增设一些参数(也叫辅助未知数)，以便沟通数量关系，这叫作设参数法．有时也可把代数式中某一部分式子，用另外的一个字母来替换，这叫换元法．分析本题的已知条件是以连比形式出现，可引入参数k，用它表示连比的比值，以便把它们分割成几个等式．x＝(a-b)k，y＝(b-c)k，z＝(c-a)k．所以x+y+z=(a-b)k＋(b-c)k+(c-a)k=0．u+v+w=1，①由②有把①两边平方得u2+v2+w2+2(uv+vw+wu)=1，所以u2+v2+w2=1，即两边平方有所以4．利用非负数的性质求值若几个非负数的和为零，则每个非负数都为零，这个性质在代数式求值中经常被使用．例8 若x2-4x+|3x-y|=-4，求y x的值．分析与解x，y的值均未知，而题目却只给了一个方程，似乎无法求值，但仔细挖掘题中的隐含条件可知，可以利用非负数的性质求解．因为x2-4x+|3x-y|=-4，所以x2-4x＋4＋|3x-y|=0，即 (x-2)2+|3x-y|=0．所以 y x=62=36．例9 未知数x，y满足(x2＋y2)m2-2y(x+n)m+y2+n2=0，其中m，n表示非零已知数，求x，y 的值．分析与解两个未知数，一个方程，对方程左边的代数式进行恒等变形，经过配方之后，看是否能化成非负数和为零的形式．将已知等式变形为m2x2+m2y2-2mxy-2mny+y2+n2=0，(m2x2-2mxy+y2)+(m2y2-2mny+n2)=0，即 (mx-y)2+(my-n)2=0．5．利用分式、根式的性质求值分式与根式的化简求值问题，内容相当丰富，因此设有专门讲座介绍，这里只分别举一个例子略做说明．例10 已知xyzt=1，求下面代数式的值：分析直接通分是笨拙的解法，可以利用条件将某些项的形式变一变．解根据分式的基本性质，分子、分母可以同时乘以一个不为零的式子，分式的值不变．利用已知条件，可将前三个分式的分母变为与第四个相同．同理分析计算时应注意观察式子的特点，若先分母有理化，计算反而复杂．因为这样一来，原式的对称性就被破坏了．这里所言的对称性是分利用这种对称性，或称之为整齐性，来简化我们的计算．同样(但请注意算术根！)将①，②代入原式有练习六2．已知x+y=a，x2+y2=b2，求x4+y4的值．3．已知a-b+c=3，a2+b2+c2=29，a3+b3+c3=45，求ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)的值．5．设a+b+c=3m，求(m-a)3+(m-b)3+(m-c)3-3(m-a)(m-b)(m-c)的值．8．已知13x2-6xy+y2-4x+1=0，求(x+y)13·x10的值．资料来源：回澜阁教育免费下载天天更新。
初中数学竞赛专题讲解代数式问题的求解思路
初中数学竞赛专题讲解代数式问题的求解思路代数式的求值问题是初中代数基础知识与基本技能的重要内容。
为了求解代数式的值，需要具体情况具体分析，灵活选用适当方法与技巧。
以下是一些例题的解答：1.已知m=1+2，n=1-2，则代数式m²+n²-3mn的值为多少？解：代入m和n的值，得到m²+n²-3mn=（1+2）²+（1-2）²-3（1+2）（1-2）=14.2.若a是方程x²-2016x+1=0的一个根，则a-2015/a=？解：根据因式定理，x²-2016x+1=(x-a)(x-2015/a)，所以a²-2016a+1=0，解得a=1008+√2015或a=1008-√2015.代入a-2015/a的公式，得到a-2015/a=1007+√2015或a-2015/a=1007-√2015.3.已知a+2/2016=2a+1/11=3/2，则a-的值为多少？解：根据等式a+2/2016=2a+1/11，可得a=41/22.代入a+2/2016=3/2，可得a+=31/22.因此，a-的值为10/11.4.已知实数a、b、c满足a+b+c=10，且1/a+1/b+1/c=14/11，则(a+b)/(c+a)+(b+c)/(a+b)+(c+a)/(b+c)的值是多少？解：根据题意，可以得到1/a+1/b+1/c=(a+b+c)/abc=10/abc，因此abc=110/7.代入(a+b)/(c+a)+(b+c)/(a+b)+(c+a)/(b+c)，化简得到(a+b)²/(c+a)(b+c)+(b+c)²/(a+b)(c+a)+(c+a)²/(b+c)(a+b)=10.因此，(a+b)/(c+a)+(b+c)/(a+b)+(c+a)/(b+c)的值为10-7=3.5.解方程组x+y+z=2007，x²+y²+z²=xy+yz+xz。
初中数学竞赛代数部分教程文件
（9）多项式的带余除法： 若多项式f(x)除以g(x)，所得商式为q(x),余式为
r(x),则 f(x)=g(x)q(x)+r(x)
（10）因式分解的方法：
•提公因式法 •运用公式法 •分组分解法 •十字相乘法 •双十字相乘法 •待定系数法 •添项、拆项、配方法 •换元法
例 （ 1 ） x 2 3 x y 1 0 y 2 x 9 y 2
（2） k 为何值时， x 2 2xy ky2 3x 5y 2
能分解成两个一次因式的乘积，并分解此多项式
（ 3 ） (x 2 3 x 2 )(4 x 2 8 x 3 ) 9 0
（11）幂指数运算性质：
amanamn am n amn
abn anbn
amanamn
2、分式的知识点
（1）基本公式
【例】(2000 年全国初中数学联赛题)
已知 a 3 4 3 2 3 1 ，求 3 3 1 的值. a a2 a3
练习、已知： x2
x 1
0，求 x 4
1 x4
的值。
练习.如果
a2
3a
1
0
,那么
a3 a6
1
的值是___________.
练习、若 a b 1 3,b c 1 3,
➢ a c b c a b c c 0；
➢
n
a
an a 0。
（4）设 a,b,c,d,m 有理数，且 m 不是完全平方数，则
当且仅当 a c，b d 时， a b m c d m 。
( 5 ) 若 a bc 0 ， 则 a 0 ,b 0
（6）二次根式的求值 基本思路：先将二次根式化为最简根式 再作加减乘除运算 特殊的方法、技巧：换元法、拆项法、因式
初中数学竞赛利用方程组解代数式求值问题(含答案)
利用方程组解代数式求值问题给出几个未知数满足的等量条件，求与之相关的代数式的值，是初中数学竞赛试题的热点之一．例１ 已知方程组⎩⎨⎧=++=+ay x a y x 232253，且7=+y x ，求代数式542+-a a 的值． 分析与解答：问题的关键在于求出a 的值．将a 当作常数，解关于y x ,的二元一次方程组，用a 表示y x ,，再代入7=+y x ，求出a 的值．解方程组⎩⎨⎧=++=+ay x a y x 232253 得： ⎩⎨⎧-=-=a y a x 4467代入7=+y x 得：374467=⇒=-+-a a a于是542+-a a ＝253432=+⨯-注意:根据已知条件提供的信息，构造二元一次方程组来辅助求解，是一种重要的解题策略． 例２ 如果z y x ,,都是正数，且满足条件005=+-=-+z y x z y x 和，求2222x z y x --的值．（第14届希望杯全国数学邀请赛初一培训题）分析与解：视z 为常数，将已知条件看作关于y x ,的二元一次方程组，将三元转换成一元，代入待求式化简即可．⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧-=-=+zy z x z y x z y x 325 ()()()35352322222222222=--=--=--z z z z z z x z y x . 评注：此例将y x ,看作主元，由已知条件构造关于y x ,的二元一次方程组，顺利地求解．例３ b a 与互为相反数，且54=-b a ，那么12+++-ab a b ab a ＝ . （第14届希望杯全国数学邀请赛初一年级第二试题）分析与解：欲求12+++-ab a b ab a 的值，须知b a ,的值。
于是根据已知条件构造二元一次方程组求解．依题意有： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==⇒⎪⎩⎪⎨⎧±=-=+52525252540b a b a b a b a 或 于是： ()()254112=-=++-+=+++-ab b a a ab b a ab a b ab a . 评注：将已知条件转化为关于b a ,的二元一次方程组，是解题的关键．例４ 已知z y x ,,都是正整数，且z y x 527-+是11的倍数，那么z y x 1243++除以11，得的余数是多少？（第14届希望杯全国数学邀请赛初二年级第二试题）解：依题意有：k z y x 11527=-+，()为整数k于是：k z y x 11527+=+设 p k z y x =+=+11527 ()为整数p ，有如下不定方程组： ⎩⎨⎧=+=+p k z p y x 11527 ()()21 对于不定二元一次方程（1）求得其通解是：⎩⎨⎧-=+-=tp y t p x 742 ()为整数t 对于不定二元一次方程（2）求得其通解是：⎩⎨⎧-=+-=s p y s p z 5112 ()为整数s 于是：z y x 1243++=()()()s p t p t p 1121274423+-+-++-=()s t p 12211+--，于是z y x 1243++除以11得的余数是 0 ．评注：由已知条件构造两个二元一次不定方程，写出“通解”，进而使问题获解．。
初中数学代数式求值专题辅导
初中数学代数式求值1. 直接代入例1. 当321-==b a ，时，求代数式222b ab a +-的值。
分析：对于较简单的代数式求值，只要把字母的取值直接代入即可。
解：当321-==b a ，时， 41129341)3()3(212)21(22222=++=-+-⨯⨯-=+-b ab a2. 整体代入例2. 已知ba b a 22+-5=，求代数式b a b a b a b a 2)2(2)2(5)2(3-+++-的值。
分析：此题无法求出a 和b 的值，也不必求出。
这是因为b a b a b a b a b a b a 222253)2(5)2(3-++-⨯=+-，是ba b a 22+-的倒数，所以只要把条件整体代入即可。
解：因为522=+-ba b a 所以ba b a b a b a 2)2(2)2(5)2(3-+++- 523512553=⨯+⨯=3. 换元代入例3. 已知532z y x ==，且42=-+z y x ，求代数式z y x 23+-的值。
分析：已知条件是等比关系式，可设其公比为常数k ，再通过代入求出值。
解：设k z y x ===532 则k z k y k x 532===，，代入42=-+z y x ，得24534==-+k k k k ，代入z y x 23+-，得62331092=⨯==+-k k k k即623=+-z y x4. 消元代入例4. 已知，，)0(23≠==c c b b a 求代数式cb ac b a 6432-++-的值。
分析：根据已知条件a ，b ，c 之间的关系，先通过消元，将代数式变形为只含一个字母的式子，再求值。
解：因为c b b a 23==， 所以b c 21=， cb ac b a 6432-++- =8742133432136==-++-b b b b a b b b。
全国初中数学竞赛辅导(初2)第06讲 代数式的求值
第 讲 代数式的求值代数式的求值 代数式的恒等变形关系十 密 ．许多代数式是先化简再求值 特别是有附加条件的代数式求值问题 往往需要利用乘法 式、绝对值 算术根的性质、 式的基本性质、通 、约 、根式的性质等等 过恒等变形 把代数式中隐含的条件显现出来 化简 进而求值．因 求值中的方法技 要是代数式恒等变形的技能、技 和方法．下面结合例题逐一介绍．1．利用因式 解方法求值因式 解是 要的一种代数恒等变形 在代数式化简求值中 常被采用．析 x的值是通过一个一元二次方程给出的 若解出x后 再求值 将会很麻烦． 们可以先将所求的代数式变形 看一看能否利用已知条件．解 已知条件可变形 左x2+左x-1称0 所以6x巧+15x左+10x2称(6x巧+6x左-2x2)+(9x左+9x2-左x)+(左x2+左x-1)+1称(左x2+左x-1)(2z2+左x+1)+1称0+1称1．说明 在求代数式的值时 若已知的是一个或几个代数式的值 这时要尽可能避免解方程(或方程 ) 而要将所要求值的代数式适当变形 再将已知的代数式的值整体代入 会使问题得到简捷的解答．例2 已知且 b c 实数 满足下式且2+b2+c2称1求且+b+c的值．解 将 式因式 解变形如下所以且+b+c称0或bc+且c+且b称0．若bc+且c+且b称0 则(且+b+c)2称且2+b2+c2+2(bc+且c+且b)称且2+b2+c2称1所以 且+b+c称±1．所以且+b+c的值 0 1 -1．说明 本题 可以用如下方法对 式变形前一解法是加一项 再 去一项 这个解法是将左拆 1+1+1 最终都是将 式变形 两个式子之 等于零的形式．2．利用乘法 式求值例左 已知x+y称m x左+y左称n m≠0 求x2+y2的值．解 因 x+y称m 所以m左称(x+y)左称x左+y左+左xy(x+y)称n+左m·xy所以求x2+6xy+y2的值．析 将x y的值直接代入计算较繁 观察发现 已知中x y的值 好是一对共轭无理数 所以很容易计算出x+y xy的值 由 得到以下解法．解 x2+6xy+y2称x2+2xy+y2+巧xy称(x+y)2+巧xy左．设参数法 换元法求值如果代数式字母较多 式子较繁 了使求值简便 有时可增设一些参数( 辅助未知数) 以便沟通数 关系 这 作设参数法．有时 可把代数式中某一部 式子 用另外的一个字母来替换 这 换元法．析 本题的已知条件是以连比形式出现 可引入参数k 用它表示连比的比值 以便把它们 割 几个等式．x＝(且-b)k y＝(b-c)k z＝(c-且)k．所以x+y+z称(且-b)k (b-c)k+(c-且)k称0．u+v+w称1由 有把 两边平方得u2+v2+w2+2(uv+vw+wu)称1 所以u2+v2+w2称1两边平方有所以巧．利用非负数的性质求值若几个非负数的和 零 则 个非负数都 零 这个性质在代数式求值中 常被使用．例叫 若x2-巧x+|左x-y|称-巧 求y x的值．析 解 x y的值均未知 而题目 给了一个方程 似乎无法求值 但仔细挖掘题中的隐含条件可知 可以利用非负数的性质求解．因 x2-巧x+|左x-y|称-巧 所以x2-巧x 巧 |左x-y|称0(x-2)2+|左x-y|称0．所以 y x称62称左6．例9 未知数x y满足(x2 y2)m2-2y(x+n)m+y2+n2称0 其中m n表示非零已知数 求x y 的值．析 解 两个未知数 一个方程 对方程 边的代数式进行恒等变形 过配方之后 看是否能化 非负数和 零的形式．将已知等式变形m2x2+m2y2-2mxy-2mny+y2+n2称0(m2x2-2mxy+y2)+(m2y2-2mny+n2)称0 (mx-y)2+(my-n)2称0．5．利用 式、根式的性质求值式 根式的化简求值问题 内容相当丰富 因 设有 门讲座介绍 这 别举一个例子略做说明．例10 已知xyzt称1 求下面代数式的值析 直接通 是笨拙的解法 可以利用条件将某些项的形式变一变．解 根据 式的基本性质 子、 母可以同时乘以一个 零的式子 式的值 变．利用已知条件 可将前三个 式的 母变 第四个相同．同理析 计算时应注意观察式子的特点 若先 母有理化 计算反而复杂．因 这样一来 原式的对 性就被破坏了．这 所言的对 性是利用这种对 性 或 之 整齐性 来简化 们的计算．同样(但请注意算术根！)将 代入原式有2．已知x+y称且 x2+y2称b2 求x巧+y巧的值．左．已知且-b+c称左 且2+b2+c2称29 且左+b左+c左称巧5 求且b(且+b)+bc(b+c)+c且(c+且)的值．5．设且+b+c称左m 求(m-且)左+(m-b)左+(m-c)左-左(m-且)(m-b)(m-c)的值．叫．已知1左x2-6xy+y2-巧x+1称0 求(x+y)1左·x10的值．。
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初中数学竞赛专题培训第六讲代数式的求值
代数式的求值与代数式的恒等变形关系十分密切．许多代数式是先化简再求值，特别是有附加条件的代数式求值问题，往往需要利用乘法公式、绝对值与算术根的性质、分式的基本性质、通分、约分、根式的性质等等，经过恒等变形，把代数式中隐含的条件显现出来，化简，进而求值．因此，求值中的方法技巧主要是代数式恒等变形的技能、技巧和方法．下面结合例题逐一介绍．
1．利用因式分解方法求值
因式分解是重要的一种代数恒等变形，在代数式化简求值中，经常被采用．
分析 x的值是通过一个一元二次方程给出的，若解出x后，再求值，将会很麻烦．我们可以先将所求的代数式变形，看一看能否利用已知条件．
解已知条件可变形为3x2+3x-1=0，所以
6x4+15x3+10x2
=(6x4+6x3-2x2)+(9x3+9x2-3x)+(3x2+3x-1)+1
=(3x2+3x-1)(2z2+3x+1)+1
=0+1=1．
说明在求代数式的值时，若已知的是一个或几个代数式的值，这时要尽可能避免解方程(或方程组)，而要将所要求值的代数式适当变形，再将已知的代数式的值整体代入，会使问题得到简捷的解答．
例2 已知a，b，c为实数，且满足下式：
a2+b2+c2=1，①
求a+b+c的值．
解将②式因式分解变形如下
即
所以
a+b+c=0或bc+ac+ab=0．
若bc+ac+ab=0，则
(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(bc+ac+ab)
=a2+b2+c2=1，
所以 a+b+c=±1．所以a+b+c的值为0，1，-1．
说明本题也可以用如下方法对②式变形：
即
前一解法是加一项，再减去一项；这个解法是将3拆成1+1+1，最终都是将②式变形为两个式子之积等于零的形式．
2．利用乘法公式求值
例3 已知x+y=m，x3+y3=n，m≠0，求x2+y2的值．
解因为x+y=m，所以
m3=(x+y)3=x3+y3+3xy(x+y)=n+3m·xy，
所以
求x2+6xy+y2的值．
分析将x，y的值直接代入计算较繁，观察发现，已知中x，y的值正好是一对共轭无理数，所以很容易计算出x+y与xy的值，由此得到以下解法．
解 x2+6xy+y2=x2+2xy+y2+4xy
=(x+y)2+4xy
3．设参数法与换元法求值
如果代数式字母较多，式子较繁，为了使求值简便，有时可增设一些参数(也叫辅助未知数)，以便沟通数量关系，这叫作设参数法．有时也可把代数式中某一部分式子，用另外的一个字母来替换，这叫换元法．
分析本题的已知条件是以连比形式出现，可引入参数k，用它表示连比的比值，以便把它们分割成几个等式．
x＝(a-b)k，y＝(b-c)k，z＝(c-a)k．
所以
x+y+z=(a-b)k＋(b-c)k+(c-a)k=0．
u+v+w=1，①
由②有
把①两边平方得
u2+v2+w2+2(uv+vw+wu)=1，
所以u2+v2+w2=1，
即
两边平方有
所以
4．利用非负数的性质求值
若几个非负数的和为零，则每个非负数都为零，这个性质在代数式求值中经常被使用．
例8 若x2-4x+|3x-y|=-4，求y x的值．
分析与解x，y的值均未知，而题目却只给了一个方程，似乎无法求值，但仔细挖掘题中的隐含条件可知，可以利用非负数的性质求解．
因为x2-4x+|3x-y|=-4，所以
x2-4x＋4＋|3x-y|=0，
即 (x-2)2+|3x-y|=0．
所以 y x=62=36．
例9 未知数x，y满足
(x2＋y2)m2-2y(x+n)m+y2+n2=0，其中m，n表示非零已知数，求x，y的值．
分析与解两个未知数，一个方程，对方程左边的代数式进行恒等变形，经过配方之后，看是否能化成非负数和为零的形式．将已知等式变形为
m2x2+m2y2-2mxy-2mny+y2+n2=0，
(m2x2-2mxy+y2)+(m2y2-2mny+n2)=0，即 (mx-y)2+(my-n)2=0．
5．利用分式、根式的性质求值
分式与根式的化简求值问题，内容相当丰富，因此设有专门讲座介绍，这里只分别举一个例子略做说明．
例10 已知xyzt=1，求下面代数式的值：
分析直接通分是笨拙的解法，可以利用条件将某些项的形式变一变．
解根据分式的基本性质，分子、分母可以同时乘以一个不为零的式子，分式的值不变．利用已知条件，可将前三个分式的分母变为与第四个相同．
同理
分析计算时应注意观察式子的特点，若先分母有理化，计算反而复杂．因为这样一来，原式的对称性就被破坏了．这里所言的对称性是
分利用这种对称性，或称之为整齐性，来简化我们的计算．
同样(但请注意算术根！)
将①，②代入原式有
练习六
2．已知x+y=a，x2+y2=b2，求x4+y4的值．
3．已知a+b+c=3，a2+b2+c2=29，a3+b3+c3=45，求
ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)的值．(改)
(第一个分母改为x) 5．设a+b+c=3m，求(m-a)3+(m-b)3+(m-c)3-3(m-a)(m-b)(m-c)的值．
8．已知13x2-6xy+y2-4x+1=0，求(x+y)^13·x^10的值．
1.383
2.(b4+2a2b2-a4)/2
3.42
4.2
5.0
6.2
7.8
8.8。